Квант 1989, №9 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Орбиты…

1989

1

В номере:

2 В. Н. Дубровский, Я. А. Смородинский. Оптическое изображение и проектная плockость
9 А. В. Митрофанов Прогулки с фогоаппаратом
18 О. В. Руденко, В. О. Черкезян. В мире моиного звука
26 И. Ф. Акулич. Муравей на консервной банке

Задачик «Квант»
30 Задачи M1181—M1185, Ф1188—Ф1192
31 Решения задач M1156—M1160, Ф1168—Ф1172
38 О свойствах центра okружности

Калейдоскоп «Квант»
«Квант» для младших школьников
Задачи
Ответы, ответы…
Школа в «Квант»
Физика 8, 9, 10:
Относительность движения
Модуляция и модуляторы

Математический кружок
52 И. Ф. Шарыгин. Узнайте точку
Есть идея?
58 Физика и техническое творчество
Р — значит пакета
60 В. Е. Белонукин. Орбиты
Игры и головоломки
67 Проверьте свои способности
Практикум абитриента
71 И. Г. Габович. Теорема о трех синусах

Олимпиды
73 Задачи Московской математической олимпиды
74 Избранные задачи Московской городской олимпиды по физике
75 Олимпида по физике Ленинградского политического института
76 Всесоизная заочная физico-matематическая олимпида МГТУ им. Н. Э. Баумана
77 Олимпиды по информацией в Киргизии
78 Ответы, указания, решения

Наша анкета (79)
Смесь (51)
Наша обложка
1 Кольца Сатурна (этот симок был передан на Землю с американского космического аппарата «Вояджер-1» в ноябре 1980 года) — живое изображение орбит космических тел (см. статью на с. 60).
2 Репродукция картины Макса Эрнста «Евклид» (см. заметку «Варшаци на тему Евклида» на с. 51).
3 Шахматная страница.
4 Куб, сложный из квадрата без ножниц и kleя.

2

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ И ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Кандидат физико-математических наук
В. Н. ДУБРОВСКИЙ,
доктор физико-математических наук
Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

Что общего между двумя темами, вынесенными в заглавие? Ответ будет интересным, он будет также и полезным. Мы познакомимся с ярким примером физической теории, превращенной, по существу, в математическую. Такое превращение претерпели многое разделы физики. Все начинается с наблюдения, гипотез, с их экспериментальной проверки. Но по мере поступления сутки предмета выкристаллизовается несколько основных предложок, своего рода поступатов, из которых все результаты можно вывести уже чисто логическим путем. У нас reчь поддет о геометрической оптике. Начнем с того, что вспомним, как возникает изобравжение в оптической системе. А кончием… Но рассакjem все по порядку.

Изобравжения и отобравжения

Для того чтобы оптическая система работала, необходимо, чтобы пучок лучей света, исходящих из точного источника (в геометрической центральным), после прохождения системы снова превращался в центральный пучок. Тогда в центре преобразованного пучка возникнет изобравжение источника. Причем изобравжение может создавать двумя путями: либо сами лучи света, выходя из оптической системы, собираются в одну точку — тогда говорят о действительном изобравении; его можно выидеть, помещив в эту точку киноэкран или фотопленку (рис. 1, а); либо лучи на выходе из системы образуют расходящийся пучок, но их продолжения проходят через одну точку — тогда изобравжение называется

вается минимым, хотя его-то как раз и можно видеть непосредственно (рис. 1, б). Наконец, если пучок лучей, поступающий в оптическую систему, является сходящимся (рис. 1, с), то говорят о минимом источнике. Чем выше качество системы, тем точнее формулу пучки лучей. В идеале каждый точный источник (действительный или минимый) А имеет точное изобравжение $A'$ (также того или другого типа). Возникает отобравжение $p$, сопоставляющее точке $A$ точку $A'$. Вот мы и поставляемся выяснить, как устройство это отобравжение.

Начнем с простейшей «оптической системы» — плоского зеркала. Едва ли здесь что-то нужно обьясить: оченьindo, что отобравжение $p$ является симметрией относительно плоскости. Это отобравжение можно рассматривать для всех точек, в том числе и для точки «Зазеркалья»: минимый источник в «Зазеркалье» создает действительное изобравжение перед зеркалом (рис. 2).

Второй пример — преломление света на плоской границе двух сред. Строго говора, здесь изобравжение не создается. Чтобы лучи, выпущенные из одной точки, образованы после преломления центральный пучок, для них должны быть постоянно относительно тg $\varphi'$/tg $\varphi$, где $\varphi$ и $\varphi'$ — углы, составляемые падающим и преломленным лучом с нормалью к плоскости раздела сред (см. рис. 3). А в действительности преломление происходит по закону Снеглиуса: sin $\varphi'$/sin $\varphi = k$. Однако для лучей, почти перpendикулярных границ сред, т. е. с малыми углами $\varphi$ и $\varphi'$, синусы в последней формуле можно с большой точностью

3

заменить на тангенсы, поэтому мы все же можем говорить об изобравении (минимом) и даже увидеть его, заглянув, например, в аквариум. Поскольку коэффициент $k$ зависит только от сред, соответствующей отображение $p$ будет растяжением от плоскости раздела, т. е. каждый точка перемещается перpendикularно этой плоскости так, что ее расстояние до плоскости изменяется в одно и то же число раз (а именно, делится на $k$; при $k > 1$ естественное название этого отображения скатцем).

А как устройство отображение $p$ для более сложных оптических систем? Оказывается, ответить на этот вопрос можно почти не вдаваться в физические детали. Все, что нам необходимо, — это поступировать начиные точечного изобравения любого точного источника.

Для простоты мы предложим, что все происходит не в пространстве, а на плоскости $a$ — на ней расположены и источники, и их изобравения.

В наших примерах его могла бы быть любая плоскость, перpendикularная поверхности зеркала или границе сред, а если рассматривается линза или система линз, имеющие ось симметрики, — любая плоскость, проходящая через эту ось. Толщиной нашей системы мы претензем; тогда ее можно изобраться прямой линии $l$ на плоскости $a$, при встрече с которой лучи преломляются так, что центральный пучок с центром $A$ преобразуется снова в центральный пучок с центром $A' = p(A)$ (рис. 4, а).

Тепер мы совершим выход в пространство. Представим, что у нас имеется два совпадающих экземпляра плоскости $a$. На первом будем отмечать источники, на втором — их изображения. Повернем второй экземпляр вместе со всеми изобравениями вокруг оси $l$ (рис. 4, б) — получится плоскость $a_1$. Возьмем произвольную точку $A$, отметим ее изобравнение $A'$ и соответствующую точку $A_1$ в плоскости $a_1$. Сейчас мы докажем, что все

Рис. 1. Два гита источников света и их изобравений: а — источник и изобравение действительные; б — источник действительный, изобравение минимое; в — минимый источник.

Рис. 2. Отражение в зерке дейстентного ($A$) и минимого ($B$) источников.

Рис. 3. Для того чтобы центральный пучок лучше после преломления оставался центральным, закон преломления должен быть иметь вид $tg\varphi'/tg\varphi = \text{const}$.

4

Рис. 4. С помощью выхода в пространство построение изображения в лице свойства к центральной проекции.

Рис. 5. К доказательству существования центра проекции.

прямы AA₁ будут либо паралельны, либо будут пересекаться в одной точке.

Заметим, что четыре точки A, B, A₁ и B₁ всегда лежат в одной плоскости, ведь луч света, проходящий через A и B, после преломления на прямой l пройдет через A’ и B’ (рис. 4, 6); поэтому прямые AB и A₁B₁ тоже пересекаются. (Если же прямая AB паралельна l, то, как легко понять, прямая A₁B₁ тоже паралельна l.) Следовательно, прямые AA₁ и BB₁ всегда либо паралельны, либо пересекаются. Допустим, что не все такие прямые паралельны, например AA₁ пересекается с BB₁ в точке P. Для любой точки C вне прямой AB прямая CC₁ лежит в одной плоскости с AA₁ и в одной плоскости с BB₁ (рис. 5). Поэтому она является прямой пересечения этих плоскостей, а значит, проходит через их общую точку P. Для точек, лежащих на AB, доказательство проводится аналогично, только пару точек A, B надо заменить на A, C, где C не лежит на AB.

Доказанное утверждение можно переформулировать следующим образом: отображение p₁, сопоставление точки A плоскости α соответствующего точку A₁ плоскости α₁, является паралельной или центральной проекцией.

Ясно, что в рассмотренных нами примерах зеркального отражения и

5

преломления отображение $p_1$ — это паралельная проекция. Но в случае линзы паралельная проекция уже возникнуть не может, хотя бы потому, что при такой проекции паралельные прямы переходят в паралельные, а линза, как известно, фокусирует паралельные лучи в точку. Поэтому для линзы и других оптических систем, превращающих паралельные лучки в центральные, отображение $p_1$ является центральной проекцией. А поскольку все прямы $A_1A'$ в силу нашего построения паралельных друг другу, можно сделать вывод, что преобразование $p$ плоскости, описывающее изображение в линze, является композицией центральной проекции $(A \rightarrow A_1)$ и паралельной проекции $(A_1 \rightarrow A')$. Для оптических прибора, состоящих из нескольких линз и зеркал, отображение $p$ будет композицией нескольких центральных и паралельных проекций. По определению, такие отображения называются проективными.

Центральная проекция и формула линзы

Прежде чем пожинать плоды наших построений применительно к линze, сделаем существенную оговорку. Лучи, выпущенные из одного источника, фокусируются линзой в точку линзы тогда, когда они проходят внизи от главной оптической оси (прямой, проходящей перpendикулярно к линze через ее центр). Мы допускаем идеализацию, рассматривая отображение $p$ на всей плоскости. Но истина от этого нестрадает, потому что все наши рассуждения можно с тем же успехом повторить и для любой, даже сколь годно малой области на плоскости.

Итак, применим к линze нашей построение. Пусть $a$ — ее главная оптическая ось, $a_1$ — соответствующая ей пряма в плоскости $a_1$, $P$ — центр проекции $p_1$. Ясно, что все прямы, паралельные $a$, при этой проекции перейдет в прямы, проходящие через одну и ту же точку $F_1$ прямой $a_1$ (рис. 6) — паралельную проекцию точки $P$ на плоскость $a_1$ вдоль прямой $a$. Следовательно, лучок лучей, паралельных главной оси, пройдя линзу, coincается в точке $F'$ главной оси (рис. 7), соответствующей точке $F_1$: $OF' = OF_1$, где $O$ — центр линзы. Аналогично, лучи, выходящие из точки $F$ — проекции $P$ на плоскость $\alpha$ вдоль прямой $a_1$, пройдя линзу, становится паралельными главной оси. Точки $F$ и $F_1$ называются фокусами линзы. Можно dokазать, что для системы из одной линзы фокусные расстояния $f = OF$ и $f' = OF'$ одинаковы; для более сложных систем они могут быть различны.

Зная положение фокусов, легко построить изображение любой точки $A$, не лежащей на главной оси, проследив за двумя исходными из нее лучами — лучом, паралельным оси, и лучом, проходящим через фокус $F$ (рис. 8). Это построение хорошо известно. Подчеркием еще раз, что мы с необходимостью пришли к нему, основываясь по сути дела только на нашем «постулате о точечном изображении». На рисунке 8 показано, как строится изображение точки $B$ на главной оси. Здесь мы пользовемся тем, что изображением прямой $AB$, перpendикулярной этой оси, является прямой $A'B'$, также ей перpendикулярная, — факт, очевидный из рассмотрения нашей центральной проекции. Столь же просто устанавливаются с помощью центральной проекции и другие свойства изображения, создаваемых идеальной лин-

6

Зой. Ясно, например, что изображением любой прямой будет прямая (попробуйте доказать это, пользовясь непредседательно построением рисунка 8!). Правда, строго говоря, это свойство выполняется с одним исключением: прямая, проходящая через фокус $F$ перpendикулярно главной оси, никак не изображается, потому что лучи, выходящие из любой ее точки, преобразуют линзой в параллельные. К этому важному замечанию мы еще вернемся.

Как связаны расстояния $r=OA$ и $r'=OA'$ от центра линзы $O$ до точки $A$ на главной оси и до ее изображения $A'$? И здесь ответ легко получается с помощью центральной проекции. Из рисунка 9 видно, что

$$\frac{OF}{OA} + \frac{OF'}{OA'} = \frac{OF}{OA} + \frac{OF_1}{OA_1} =$$

$$= \frac{A_1P}{A'A} + \frac{PA}{A'A} = \frac{A'A}{A'A} = 1,$$

т. е.

$$\frac{f}{r} + \frac{f'}{r'} = 1.$$

В частности, при $f=f'$ выполняется так называемая «формула линзы» $1/r+1/r'=1/f$. Эти равенства остаются в силу и для точки $A$ на отрезке $OF$ и на луче $OF'$, если считать все отрезки направлеными, а величины $r$ и $r'$ — координатами точки $A$ и $A'$ на главной оси с началом в точке $O$. При этом положительное получено

Рис. 8. Построение изображения по фокусам.

Рис. 9. $f/r+f'/r'=1$ (формула линзы).

Рис. 10. Формула линзы верна при любом положении источника на главной оптической оси.

7

выбрать по-разному: для точек $A$ — луч $OF$, а для изображений $A'$ — луч $OF'$. Тогда положительные значения $r$ и $r'$ будут отвечать действительным источникам и изображениями, а отпечатные — минимум (рис. 10).

Формулу (1) можно сделать более компактной, перенесая начало отчета на «оси источников» в фокус $F$, а на «оси изображений» — в $F'$. Полягая в (1) $r=f+x$, $r'=f'+x'$ (см. рис. 9), после простых преобразований получим

$$xx'=ff'$$

— эта формула была известна еще Ньютону. На рисунке 11 она доказывается для $x>0$ неопределенно; аналогичное доказательство для других значений $x$ предоставим читателю.

Проектные преобразования прямой и двойное отношение

Выразим в формулах (1) и (2) координату изображения через координату источника:

$$r'=\frac{f'r}{r-f}$$ или $x'=\frac{ff'}{x}$.

В обихх случае преобразование координаты записывается дробно-линейной функцией, т. е. функцией вида $y=(ax+b)/(cx+d)$. Обратно, переписав последнее равенство в виде

$$\frac{S}{S'}=\frac{x x'}{f f'}$$

Рис. 11. Вывод формулы линзы в осах $x$ и $x'$.

$$\left(y-\frac{a}{c}\right)\left(x+\frac{d}{c}\right)=\frac{bc-ad}{c^2},$$

анаалогичном (2), убеждаемся, что любую дробно-линейную функцию, отличную от линейной ($c\neq 0$) и от постоянной ($bc-ad\neq 0$), можно геометрически представить как центральную проекцию одной координатной оси на другую при соответствующем выше осей и центра проекции.

Параллельные проекции, как легко понять, выражаются линейными функциями $y=ax+b$. А поскольку композиция любого числа линейных и дробно-линейных функций снова будет дробно-линейной функцией $^*$), всякое проективное преобразование прямой выражается в координатах дробно-линейной функцией.

Отсюда, между прочим, следует, что проектное преобразование прямой полностью определяется образами трех точек. Действительно, по координатам этих точек и их образов составляются три уравнения на коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$ соответствующую дробно-линейной функции. Тем самым коэффициенты будут заданы с точностью до множителей, а сама функция — однозначно. Точно так же, зная координаты двух точек $A$, $B$ и их образов $A'$, $B'$ при параллельной проекции, мы могли бы найти соответствующую линейную функцию, а с ее помощью — и образ $C'$ любой другой точки $C$. Однако точку $C'$ можно построить гораздо прошее: при параллельной проекции отношение, в котором точка делит отрезок, остается неизменным, или инвариантным, поэтому $A'C':C'B'=AC:CB$. (Здесь и ниже мы считаем отрезки направлены; равенство $AC:CB=k$ означает, что $\vec{AC}=k\vec{CB}$.) Центральная проекция не сохраняет отношение $AC:CB$, загона сохраняет отношение двух таких отношений. Эта величина называется двойным отношением четырех точек, обозначается (ABCD) и равна по определению

$$\left(ABCD\right)=\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}.$$

*) Линейная функция — это частный случай дробно-линейной.

8

Чтобы доказать инвариантность двойного отношения, рассмотрим прямые a, b, c, d, проходящие через общую точку P (рис. 12) и произвольную прямую l, пересекающую их в точках A, B, C, D. Проверим, что $(ABCD) = A_1C_1/B_1C_1$, где A_1, B_1, C_1 — точки пересечения прямой l_1, параллельной d, с a, b и c. Очевидно, отношения A_1C_1/B_1C_1 одинаково для всех таких прямых, поэтому можно считать, что l_1 проходит через C, т. е. C_1 = C. Из подобия треугольников, которые читатель легко найдет сам на рисунке 12, имеем

$$\frac{AC}{AD} = \frac{A_1C}{PD}, \quad \frac{CB}{DB} = \frac{B_1C}{PD}.$$

Позатем

$$\frac{AC}{CB} : \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{AD} : \frac{CB}{DB} = \frac{A_1C}{PD} : \frac{B_1C}{PD} = \frac{A_1C}{B_1C} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}.$$

Итак, для данных прямых a, b, c, d двойное отношение $(ABCD)$ не зависит от прямой l, а значит, оно сохраняется при центральной проекции.

Пусть теперь нам известны образы A’, B’ и C’ точек A, B, C при некотором преобразовании. Тогда образ D’ любой другой точки D находится из соответствия $(A'B'C'D') = (ABCD)$ или $A'D'/D'B' = (ABCD) \cdot (A'C'/C'B')$. Если записать эти равенства в координатах, мы получим еще одно подтверждение того, что проективное преобразование выражается дробно-линейной функцией, и одновременно способ находится этой функции. В качестве упражнения читатель предлагается прямым вычислением проверить инвариантность двойного отношения относительно линейных функций и функций 1/x, а значит, и любой дробно-линейной функции (ибо любая дробно-линейная функция — комплексная также функция!).

Вернемся еще раз к линзе, соответствующему проективному преобразованию p ее главной оптической оси и его аналитической выражению — формуле линзы. Оказывается, и эту формулу можно вывести с помощью двойного отношения. Представим, что к главной оси добавлена воображаемая бесконечную удаленная точка U, координату которого будет равной ∞. Условия, что через эту точку проходят все прямые, параллельные оси. Тогда ее нужно рассматривать как изображение функции F, а ее собственным изображением будет второй функцией F’. Итак, мы знаем, куда переходит при преобразовании p три точки: центр линзы — p(O) = O, функция — p(F) = U и бесконечную удаленная точка — p(U) = F’. координаты точки O, F, F’ и U равны, соответственно, 0, f, f’ и ∞. Если r и r’ — координаты точки A и ее образа A’, то

$$(OFUA) = \frac{\infty - 0}{f - \infty} : \frac{r - 0}{f - r} = -\frac{f - r}{r} = 1 - \frac{f}{r},$$

$$(OUF'A') = \frac{f' - 0}{\infty - f} : \frac{r' - 0}{\infty - r'} = \frac{f'}{r'}.$$

Приравнивая эти выражения (двойное отношение сохраняется!), получаем формулу линзы. Обосновать законность этих триоков легко: надо просто перейти в равенстве $(OBCA) = (OB'C'A')$ к пределу при B→F, OC→∞. Однако в следующем разделе мы видим, что добавление бесконечного удаленной точки имеет глубокий смысл, а относить не является чисто формальным примем, граница с мстификацией.

(Окончание см. в № 10)

11

Рис. 2. Спектральная чувствительность в относительной единицах изображения фототэмульсии типа «Фото» (кривая 1) и человекаческого глаза для дневного зрения (кривая 2).

ность режимов проявления и с разбросом характеристик различных фотопленок.

Если проявляется пленку в стандартных условиях, то можно найти абсолотную величины светового потока от источника излучения в заданной точке (правда, с определенной погрешностью). Подбирая светочувствительность пленки, составляют проявителя, время экспозиции кадра, размер диафрагмы и дополнительные светофильтуры, можно фотографировать и изучать очень широкий класс объектов (скажем, проводить ночную панорамную светку местности или получать фотографию ослепительно яркого солнца).

Obчная любительская фотопленка — это сравнительно чувствительный приемник света. При экспозициях порядка 0,01—0,1 л к·с и более уже удается фотографировать. Поэтому ночная фотосъемка на высокочувствительную фотопленку при длительных выделениях (скажем, ~100 с) может заменить наблюдения с помощью так называемого прибора ночного видения, т. е. очень сложного устройства — электронного оси литерая ярости.

Спектральная传感ительность фотопленки с панхроматической или изображением эмульсий типа «Фото» гораздо шире, чем у человекаского глаза (см. рис. 2). Пленка

Н. Ньенс получил первый фотографический позитив (примерно в 1826 году). Поместив в камеру-обскуруюловную пластинку, покрытую битумной «эмульсей», он экспонировал ее в течение дня, а затем обработал в лаван-довом масле. На пластинке зафиксировался вид из окна мастерской.

Ж. Дазер десять годами позже разработал первый практический фотографический процесс. Суть изображения Дазера основана на открытом им эфективе проявления в парах других предварительного экспонированной в камере-обскуре сердечной пластинки, покрытой йодистым сердером.

Ф. Тальбот примерно в это же время изображен неагативно-оситивную фотографию. Он получил изображение в камере-обскуре на бумажной пластинке, пропитанной светочувствительным растором.

2*

12

позволяет регистрации излучения с длинами волн, лежащими за пределами кривой цветительности глаза как в красной, так и в ультрафиолетовой области спектра. Более того, замена объекта нерозрачным экраном (металлической пластинкой) с маленьким отверстием в центре превращает зеркальный фотоаппарат в получатоматическую камеру-обскуру, с помощью которого можно даже фотографироватьRENTеновские источники излучения — например, фокус работышей медицинскойRENTеновской трубки. Фотопленку при этом лучше прикрыть черной бумаги, нерозрачной для видимого света, или же прикрыть этой бумаги само отверстие камеры-обскуры.

Специальные виды съемки, такие как получениестерозображений (стеропар), съемка с использованием поляризационного светофильтра, фотографирование на цветную фотопленку и т. д., оказываются полезными при изучении оптических явлений: дифраクционного рассеяния, интерференции, поляризации.

Весь этот арсенал технических средств помогает как можно полнее реализовать самое главное достоинство фотокамеры — возможность с ее помощью получить редкий кадр, фотографировать что-нибудь интересное, что-нибудь новое и необычное, а может быть, и неопятное…

Перейдем теперь к конкретным примерам.

Загадка адмирала

Рассмотрим такую задачу, которая, на первый взгляд, не имеет отношения к теме нашего разговора.

Известно, что полет многих насекомых сопровождается каким-либо звуком. Вспомните характерный шеелест крыльев протеающей стрекозы, жужжание пчел, невызывающий приятных эмощей пик комара и т. д. Звуки возникают при машущем полете насекомых, а источником звука является чаше всего колебания крыльев насекомых в воздухе. Спрашивает: почему многое бабочки (но не все!) летают беззвучно, хотя тоже «хлопают» крыльями?

14

часоты, примерно ниже 20 Гц, называются инфразвуком.

Многие насекомые в полете машут крыльями с гораздо большей частотой, и мы улавливаем звук, даже если они пропетают достаточно далеко от нас. Для сравнения предлагаем вам таблицу, в котором приводится приближение число взмахов крыльев в секунду некоторых насекомых:

бабочка капустница — 10—12
бражник — 85
оса — 110
шмель — 240
комнатная муxa — 330
medонская пчела — 250—440
комар — 600

У пчел, как видно из таблицы, наблюдается большой разброс частот колебаний крыльев. Об этом следует сказать особо. Дело в том, что частота колебаний крыльев пчели зависит от того, летит ли она со взятком (~300 Гц) или же она ненагружена (~440 Гц). Так что по звуку, а также по фотосимку, сделанному с короткой выдержкой (~1/1000 с), можно определить, с добавлением взврашается пчela домой или нет. Звук летящей пчели — это не просто тоновые колебания воздуха на несущей частоте, равной частоте колебаний крыльев. Он куда богаче. В отличие от многих других насекомых пчели могут издавать звуки различной высоты и разных тембров, причем источником этих звуков является не только крылья, но и части корпуса пчели, которые вибрируют за счет частых мышечных сокращений.

Эти данные были получены на основании скоростной фотосъемки полета пчел.

Именно фотосемка совместно с акустическими изменениями является основными экспериментальными методами изучения.maxового полета насекомых — как это нистрано, одного из наименее к настоящему времени изученных типов полета.

Как летают птицы?

Фотография стайки воробьев, старотовшей мартовским утром в Чертанове (один из новых районов Москвы), сделана примерно с расстояния 10 м с помощью объекта «Юпитер-37 А» с фокусным расстоянием 135 мм на фотопленку чувствительностью 250 ед. ГОСТ при выдержке 1/500 с. Вам не кажется, что эти птицы чем-то напоминают рыбок в аквариме? С той лишь разницей, что их крылья-«плавники» сравнительно больше, чем у рыбок. Такое внешнее сходство не служают: есть много общERO в движении рыб и птиц, хотя птицы значительное тяжелее воздуха, а рыбы в воде почти «невесомы».
И еще одна деталь хорошо видна на снимке: воробьи умелот разворчивать плоскость крыльев почти на 90° по отношению к их положению в общим планирующем полете (см. группу птиц в центре фотосимка). Это помогает воробьям стартовать свежий вертикальное вверх, резко изменять направление полета и зависять неподвижно в воздухе.

Как-то раз я наблюдал такую картину. К нам на балкон в щель между окном и шкафом случной попал воробей. Шель была узкая, и воробей не мог выбрать из плена. Пришлось ему помочь. Пока я вынимал воробья, он был крыльями об оконное стекло. На звук с улицы прилетела пара воробьев. Честно говоря, я не ожидал от них таких действия, вызванных явно не простым любопитством.

16

поперечное сечение грудной клетки скворца в области плечевого посязнения с более чем 50 %! Без учета такого механизма трудно было объяснить, как птицы делают мощные взмах крыльев в полете и не устают.

Дженкинс и его коллеги получили свои научные результаты искусственного благодаря фотографии. Права, не совсем обичной. Они проводили фотосъемку вRENTгеновских лучах, чтобы наблюдать только движение костей птицы в полете.

Следы планет и звезд на фотоснимках

Рассмотрим теперь случай медленного, «застывшего» для глаз движения.

Ночная фотосъемка — это исключительно интересное занятие для фотообителя, требующое большого мастерства, трудолюбия и нахождения. Ведь уже в сумерках света для фотофиррования маловато, а что уже говорить о фотосъемке почью! Тем не менее на разных фотоистав-ках иногда бывают хорошо пейзажа в поле зреня объektива попадает участок звездного неба, то у фотографи потом появляются дополнительные трудности: при проявлении негатива и изготовлении фотоснимка небесные светила, такие, казалось бы, неподвижные, оставляют на фотоэмульсидлинные светленные треки — это следы движения звезд и планет на небосводе. Конечно, их можно заретушировать, но на показанной здесь фотографи я спецально не сделал этого, а оставил все как есть, чтобы предложить вам решить самостоятельное следующее задачу: как определить время экспонирования такогоочного кадра? На фотографи показан освещенный лучной судоходный окский затон с сигналным бакеном перед отmelью. Симмок был сделан, когда сумерки уже прошли и наступила ночь. Оцените выдержку при фотографировании этого кадра.

Читательям, которые мои примеры показались слишком легкими, предлагаю более трудные вопросы:

1. Почему бабочка, попавшую в пустью стеклянную банку или между оконными рамками и машушую крыльями, очень хорошо сливно, хотя свободный полет бабочки беззвучен?
2. Частота взмахов крыльев воробьев приблизительно такая же, как у бабочки. Почему же тогда мы слышим протекающий невдалеке стайку воробьев и совсем не слышим стайкулубок порхающих в воздухе бабочки?
3. При быстром перемещении предмета перед фотокамерой его изображение на фотоснимке получается размытым. Каким образом космонавтам удает получать высококачественные фотоснимки земной поверхности при фотографировании со спутника, который продает над Землей с огромной скоростью — около 8 км/c? Можно ли по фотоснимку, переданному со спутника, определить скорость спутника?
4. Симмок пейзажа при лучном освещении был выполен с объективом «Юптер-37» при максимальной открытии диафрагме (диафрагменное число 3,5), использоваясь фотопленка типа «Фото» чувствительностью 130 ед. ГОСТ. Определив время экспонирования кадра и сравнив его с характерной движением, необходимой для фотосъемки того же пейзажа ясным солнечным днем, оцените, во сколько раз яркость солнечного диска больше, чем лучного. Разумна ли ваша оценка?

17

«Благодаря изобретению г-на Дагера физика середня получила реалент, необычайно чувственный к действию света, и прибор, который сыграет в изучении света и световых явлений такую же роль, как микрокосон в изучении малых объектов. Это изобретение создает основу для новых исследований и новых открытий», — так в 1839 году сказал о фотографии французский физик и химик Жозеф Луи Гей-Люссак. И действительно, фотография сразу запила искусство в разных областях научных исследований…

1. Дагеротип личного серпа. Возможно, что первая астрономическая фотография. (1840 год)

2. Вспышка молнии, снять новый 18 июня 1847 года.

3. Одна из первых стrobосоппических фотографии. Посмотррев на фото 4, вы должныесь, что на ней запечатлено. (Примерно 1881 год)

19

«Стоп! — приказал капитан, и подлодка тотчас остановилась на месте… — Целься! — Звук!…

В первую минуту во внешнем виде крепсера ничего не изменилось. Ультразвуковая пушка работала лишь на пяты десятых своей мощности. Вдруг… середина подводной части крепсера стала растягиваться, расползаться, словно глина. Спустя лишь одну минуту после начала ультразвуковой атакки середина обращенного к подлодке борта корабля неожиданное и сразу вдавилась внутри его, потом вдруг, как огромный пузьрь, лопнула, и гигантская струя водыворалась в триомы, машинное отделение, артиллерийские погреба.»

Мы привели отрывок из некотора популярного научно-фантастического романа Гр. Адамова «Тайна двух океанов». (Бытъ может, кто-то из наших читателей лучше помнить двухсерийный приключенный фильм с таким же названиям.) Герой этого произведения совершал кругосветное путешествие на борту экспериментальной подводной лодки «Пионер» — чуда советской военной техники. Как подлодка, так и водолазы в автономных скафандрах вооружены ультразвуковым оружением, которое не раз выручало их в критических ситуациях. Мощным ультразвуком акванавты пытались разрушить скалу, завалившую выход из подводной пещеры; сразу огромного кашалота, который чуть не потопил загарпунивших его китобов; уничтожили вражеский крепсер и даже… фантастических морских чудниц, похожих одного из членов экипажа подводной лодки…

Возможно, читатель покажется излишним то внимание, которое автор удалил стражиям и погоней за шпонами, одnakо вспомним, что роман опубликован незадолго до начала войны. И тогда еще можно было думать, что использование ультразвука как оружия реально, что это вопрос техники, который со временем удался решить. Оdnako…

В этой статье мы познакомим читатель с некоторыми читателями физи-

зики мощного звука и, в частности, показем, почему использование мощных актических (ультразвуковых) волн в качестве оружия неосуществимо (так что по крайней мере в этой части роман Гр. Адамова является сугубо фантастическим производением). Что касается «мирного» использования мощных актических волн, здесь положение иное: неразрушающее методы контроля, параметрические излучатель и антенны, ультразвуковая очистка поверхностей, сверление отверстия, разрушение почечных камней — вот лишь некоторые их применения.

За последние двадцать лет произошел колосальный скачок в понимании того, как ведут себя волны больших амплитуд вообще и актические волны в частиности. Что мы знаем о мощных актических волнах сегодня?

В журнале «Квант» уже расссказывалось об интересных явлениях, сопровождающихся распространением больших волн на поверхности океана (см. статью Л. А. Островского в № 8 за 1987 год). Напомним: эфективы, которые проявляются только для достагоно сильных волн и зависят от их амплитуды, называют нелинейными эфективами. Уже сформировалась область науки, изучающая эти явления,— это физика нелинейных волновых процессов. Раздел физики, изучающий мощные актические волны, получил название «нелинейная акстика». Эта наука занимает особое место в физике по широте исследуемых объектов. Изучаемые его волны возникдают в газах, жидкостях, твердых телах, плазме. Они существуют в природных средах — в атмосфере, в океане, в грунтах, в объектах космических масштабов; примерами могут служить гром, подводные взрывы, сейсмические волны от землетрясений и многое другое.

У читателя могут возникнуть вопросы. Первая вопрос: как какой же звук следует считать сильным (мощным), а какой слабым, где количество границ этого разделения?

20

И второй вопрос: в чем заключится нелинейные эффекты, что в них необходимо или необходимо, где они могут найти применение?

Постараемся ответить на эти вопросы. Но сначала напомним о том, что такое звуковая волна.

Звуковая волна представляют собой распространяющиеся в среде области скатания и разрежения. В каждой точке среды проискодит изменение давления, вызванное изменением степенки скатания. Это изменение давления на среднее давление, которое существует в среде в отсутствие звуковой волны, и называют его звуковым давлением.

Звуковая волна несет с собой энергию — потенциальную энергию уругоу деформации (если звук распространяется в атмосфере, то это энергия уругоу деформации воздуха) и кинетическая энергию движущихся частиц (воздуха). Эта энергия течет в том направлении, в котором распространяется волна. Поток энергии, который проходит за единицу времени через единичную площадку, перепendlкулярную к направлению распространения волны, характеризует интенсивность звуковой волны.

Понятно, что и интенсивность $I$, и звуковое давление $p$ зависит от свойств среды, в котором распространяется звук. Мы не будем выводить эти зависимости, приведем лишь формулу, связывающего $p$, $I$ и характеризчики среды — плотность $\rho$ и скорость звука в среде $c$:

$$I = p_0^2/2\rho c$$

($p_0$ — амплитуда звукового давления).

А теперь перейдем к вопросу о том, что такое «сильный» и «слабый» звук.

Слушу звука приятно определять уровнем звукового давления — величины, которая связана с амплитудой звукового давления и изменяется в децибелах (ДБ):

$$N = 20 \lg(p/p_n), \text{ДБ.}$$

Здесь $p$ — это давление, уровень которого нас интересует, $p_n$ — пороговое давление звука, условно приято равным $2 \cdot 10^{-5}$ Па. Давление $p_n$ применено соответствует интенсивности $I_n = 10^{-12} \text{Bt/m}^2$ очень слабого звука, который罢 может воспринять человекаухо в воздухе на части 1000 Гц.

Звук тем сильнее, чем выше уровень звукового давления.

Субъективные представления о силье звука связаны с понятием «громокость», т. е. приязанны к диапазону частот, воспринаемых ухом (см. таблицу). А как бы, когда частота звука лежит за пределами этого диапазона, в области ультразвука? Именно в этой ситуации, при опытах с ультразвуком на частотах порядка 1 МГц, легче всего наблюдать влабораторных условиях нелинейные эффекты.

Таким образом, мы как бы замкнули кругг: мощными имеет смысл назвать такие актические волны, для которых нелинейные эффекты становятся заметными.

Обратимся теперь к самим нелинейным эффектам. Известно, что общная (линейная) волна звука малой амплитуды распространяется в среде, не меняя свой формы. При этом и области скатания, и области разрежения перемещаются в пространстве с одной и той же скоростью — это и есть скорость звука в среде. Если источник звука генерирует (излучает), например, синусодальную волну, тоrophиль ее остается синусодальным на любом удалении от источника. В мощной же звуковой волне картина инна: области, где среда ската (звуковое давление положительное), перемещаются со скоростью, большей скорости звука, а области разрежения — со скоростью, меньшей скорости звука в данной среде. В результате профиль волны искажается — передние сколны становятся более крупными, а задние — более пологими. Похожая картина наблюдается для морских волн вблизи берега: гладкие волнызыби на мелководье изменяют свою форму, и в зоне прибоя, прежде чем разрушиться, прибрегают кругг передний фронт. Образование круггого переднего фронта или разрыва представляет собой нелинейный эффект. То расстояние $l_p$, которое должно пройти

21

Волна, чтобы ее форма заметно исказилась, называют длиной образованная разрыва. Как и всякий нелинейный эфект, искажение профиля зависит от амплитуды волны $p_0$ — длина образованная разрыва обратно пропорциональна амплитуде, т. е. $l_p \sim 1/p_0$. Чем сильнее волна, чем больше ее амплитуда, тем быстро искажается профиля. Если затухание достаточно сильное и происходит на расстояниях $l_3$, меньше $l_p$, нелинейность может оказаться подавленной и не проявиться вовсе. Естественно, $l_3$, так же как и $l_p$, зависит от свойств среды, в которой распространяется звук.

Теперь мы можем уточнить определение мощной акустической волны: это такая волна, у которой $l_p < l_3$. Отношение $l_3/l_p$ называют акустическим числом Рейнольдаса и обозначют Re.

Когда $Re > 10$, волна сильная; при $Re \ll 1$ — слабая. Число Рейнольдаса равно $Re = \alpha p_0/f$, где $f$ — частота звучка, а коэффициент $\alpha$ — некоторая константа, характеризующая неплотические и вязкость свойства среды (то, как «откликается» среда на мощный сигнал, насоклько она его искажает). Для разных сред значения $\alpha$ различны; для воды $\alpha \approx 300$ ($\Pi a \cdot c$)$^{-1}$. При расстройении в воде звучка с частотой $f \sim 1$ МГц условия $Re > 10$ выполняется для волн с амплитудой звукового давления $p_0 > 3 \cdot 10^4$ Па. Таким образом, сильная звучная волна в воде — это волна с интенсивностью $I = p_0^2/2\rho c > \frac{(3 \cdot 10^4)^2}{2 \cdot 10^3 \cdot 1,5 \cdot 10^3} \cdot Bt/m^2 = 300 \cdot Bt/m^2$; соответствующий уровень звукового давления $N > 180$ дБ.

Вернемся теперь к очень заманчивающей передачи высоких плотностей энергии на большие расстояния при помощи актического луча. Довольно длительное время считалось, что эта идея близка к реализации. Входновляющий примером в последние годы явилось лазерное излучение. Как известно, наверное, многим читателям, мощные лазерные импульсы способны разрушать конструкции, пробивать ответствия в прействиях на значительном удалении от самой лазерной установки. На первый взгладкается, что замена света на звук в этих задачах принципиально возможно и

22

остается преодолеть лишь технические сложности. Однако существуют трудности прициплального порядка, которые делают беспереспективной идею создания ультразвукового оружения. Оказывается, что для любого заданного расстояния существует предельное значение интенсивности звуковой волны, достигающий целый, причем эта интенсивность тем меньше, чем больше расстояние до целы. И дело вовсе не в обычном затухании акустических волн при прохождения поглощаюшей среды, которое происходит по закону $p_x = p_0 e^{-x/l_3}$.

Объчно дляна затухания для акустических волн тем меньше, чем больше частота звука, $-l_3 \sim f^{-2}$, т. е. эффектив затухания заметно услышается с увеличением частоты. Однако можно так выбрать частоту, что общное (линейное) затухание на нужных нам расстояниях будет пребрежимо мало.*) Теперь представляет себе, что в некоторых месте пространства $(x=0)$ мы задаем (генерируем) волну именно с такой частотой и с большой амплитудой, такой, что на поверхности волны существенно скажутся нелинейные эффективы. Изменение формы одного перiodа волны при ее распространении показано на рисунке 1.

Мы видим, что до тех пор, пока волна находится на расстояниях $x \leq l_p$, она не затухает вовсе. Зато при $x > l_p$ начинается нелинейное затухание. Амплитуды волны уменьшается по мере удаления от источника как

$$p_0(x > l_p) = \frac{p_0}{1 + x/l_p}$$

*) Для сигнала частотой 1 МГц в воде $l_3 \approx 50$ м, а $l_p$ для ультразвука достаточно большой амплитуды может быть всего 10 см.

— тем быстрее, чем больше исходное значение amплитуды $p_0$. При очень больших значениях начальной amплитуды единицей в значенте можно пребрежать по сравнению с другими слагаемыми; amплитуду убивает проорциональное $1/x$, причем, поскольку $l_p \sim 1/p_0$, скорость убывания не зависит от величины начального сигнала $p_0$. Этот процесс происходит до тех пор (до таких расстояний от источника), пока волна не затухнет столь сильно, что нейнейные эффективы «остановятся», и после этого волна перейдет в линейный режим распространения. Дальнейшее затухание происходит по законам линейной акустики, т. е. является горизонтом более слабым и не зависит от величины исходного возмущения.

Можно получить выражение для предельного (максимального) значения amплитуды синусоидальной (на входе в среду) волны при совместном действия как нелинейных эффективов (затухания за счет образования кругтого фронта волны), так и общного линейного затухания, характеризующегося коэффициентом затухания $1/l_3$:

$$\lim_{p_0 \to \infty} p_0(x > l_p) = p_{\text{пред}}(x) = \frac{4f}{\alpha} e^{-x/l_3}.$$

Еще раз обращаем внимание на то, что amплитуда сигнала $p_0(x)$ на расстоянии $x \gg l_p$, как это следует из приведенного выражения, не зависит от величины (amплитуды) сигнала $p_0$ на излучатель. Существует конечный предел $p_0(x)$ при $p_0(x = 0) \to \infty$. Какой бы мощный излучатель мы ни взяли, какой бы больший или делали amплитуду исходного сигнала, для каждого заданного расстояния $x$ невозможно получить сигнал больший, чем $p_{\text{пред}}(x)$.

23

Попробуем оценить, какая максимальная интенсивность может быть передана в воде на расстояние 100 м звуковой волной с частотой 1 МГц:

$$I_{\text{преД}} = \frac{p^2_{\text{преД}}(x=100 \text{ м})}{2c\rho} = \frac{8f^2}{c\rho\alpha^2} e^{-2x/l_3},$$

и подставляя $c \approx 1,5 \cdot 10^3$ м/c, $\rho \approx 10^3$ кг/м$^3$, $\alpha \approx 300$ (Па·с)$^{-1}$, $l_3 \approx 50$ м, получаем $I_{\text{преД}} \approx 1$ Вт/м$^2$. Таким образом, в условиях, наличиших для возникления мощного ультразвукового излучения (в воде), на расстоянии порядка 100 м от источника на применную антенну площадью один квадратный метр за одну секунду можно передать очень малую энергию, порядка одного джойля. Этот энергии достаточно, чтобы горела лампочка от карманного фонарика, но явно не достаточно для того, чтобы повредить корабль или травмировать кашалота.

Как же в таком случае возникны многочисленные технические применения ультразвука, о которых мы упоминали ранее, — сверление отверстий, ультразвуковая очистка и т. д.? Дело в том, что эти операции проводятся на сравнительно небольшых расстояниях от излучателя, где нелинейное затухание еще не успело заметно ослабить мощную волну и эффективность еще не наступил.

Учитатель может возникнуть вопрос — а как же объяснить сильное воздействие ударных волн на прейстствия? Известно, что взрывные ударные волны могут разрушать сооружения, находящиеся довольно далее от места взрыва. А ведь ударная волна — это сильно нелинейное образование, и поэтому затухание за счет нелинейных эффектов должно проискать еще быстрее, чем у слабых волн, наблюдаемых в задачах нелинейной акстики.

Все дело в том, что одиночный импульсный сигнал (рис. 2) ведет себя не так, как периодический (сравните рисунки 1 и 2). Его пиковое значение уменшается по мере удаления от источника по закону

$$p_0(x) = \frac{p_0}{\sqrt{1+x/l_p}}.$$

При больших начальных амплитудах $p_0$ можно пренебречь единцией под корнем в знаменатель; в этих случаях амплитуда одиночного сигнала в точке наблюдания, скажем у прейстствия, зависит от амплитуды в точке излучения (взрыва) и расстояния как

$$p_0(x) = p_0 \sqrt{l_p/x} \sim \sqrt{p_0/x}.$$

Для нас существена зависимость от исходной амплитуды $p_0$. Мы видим, что при сильном проявлении нелинейных эффектов в случае ударной волны максимальное значение $p_0(x)$ не ограничивается на некотором пределном уровне, а только более медленно зависит от своего начального значения (пропорционально $\sqrt{p_0}$, а не $p_0$ как в линейном случае). Это означает, что, увечивая амплитуду волны (например, силу взрыва), мы можем добиться на заданном (пустых даже большом) расстоянии больших давления на прейстствие и тем самым разрушить его.

Do схх пор мы говорили об изменении формы мощной акстической волны и уменшении ее амплитуды при распространении в среде. Но мы ничего не сказали о самом главном — о том, как меняется ее спектральный состав. Для приложения этот вопрос очень важен.

24

Напомним читателью, что такое спектр сигнала. По-видимому, слово «спектр» приводит ассоцируется с картиной оптических спектров излучения atomов, содержащей набор разноцветных полос. Каждый atom характеризуется своим «спектральным портретом». Так, в спектре натрия выделяется желтая линия на длине световой волны 0,59 мкм. Как бы мы ни преобразовывали в линейной среде светового волну заданного спектрального состава (т. е. с известным набором линейной поглощения) — пропускали бы ее через светофильты, рассеивающие среды, усилители и т. д.,— новых частот (или, что то же самое, новых спектральных линей) не возникнет. Иное дело — нелинейное преобразование сигнала методами нелинейной оптики. Известно, что инфракрасный луч мощного лазера,ройдя через спецально подобранный кристалл, может изменить свой цвет на зеленьий. Частота световой волны при этом увеличивается в два раза.

Аналогичный эффект кратного увеличения частоты, или, как еще говорят, генерации высших гармоник, важен и для физики мощных акустических волн. Когда мы рассматривали искажение формы гармоничного сигнала (см. рис. 1), мы фактически уже столкнулись с этим явлением. Действительно, спектр сигнала, изображенного на рисунке 1, состоит из набора равностоящих частот — основной частоты излучаемого сигнала $f$ — эта частота соответствует исходному неискаженному синусоидному сигналу — и высоким гармоник $nf$ ($n=2, 3, 4, \dots$), появившихся при распространении волны в нелинейной среде. Иными словами, искажение формы синусоидной волны ведет к появлению в спектре высоких гармоники. Амплитуда второй гармоники ($n=2$) растет пропорционально проеденному волной расстоянию. Она может стать довольно большой и поэтому может быть изменена достаточно точно. С другой стороны, при фиксированном расстоянии между излучателем и приемником звука амплитуда второй гармоники зависит от упругих свойств среды, или, как говорят физики и материйаловы, от нелинейных моделей среды. Нашим читателем, вероятно, знаком модель Юнга — величина, определяющая упругую деформацию твердого тела под действием приложенного механического напряжения (воспомним закон Гука). Модуль Юнга — это линейный модель, так как в законе Гука деформация тела прямо пропорциональна напряжению (линейно зависит от него). При утончении закона Гука в области больших напряжений, когда деформация нельзя считать упругими — материал становится «пласничным», «течет» и даже разрушается,— зависимости деформации от напряжения характеризуется уже нелинейными модулями среды.

Так вот, изменяя амплитуду второй гармоники прошедшей сквозь такую среду волны, мы тем самым изменяем нелинейные модели среды и, следовательно, можем судить о пластинности, прочности и других важных характеристиках материйов.

Тепер нам удался понять смысл одного из важнейших приложений нелинейной акстики. При изучении свойств твердых материалов их общно подвергают большим нагрузкам. С помощью спецальных прессов создаются давления до десять тысяч атмосфера. Вместо этой громоздкой и дорогостойшей аппаратуры иногда можно использовать более простой метод. К торцу стержня из исследуемого материала приклеивается излучатель звука, с помощью которого можно возбудить в стержне достагоно мощную волну. На другом конце стержня регистрации нелинейной сигнала (например, амплитуда второй гармоники), содержащий нужную информацию о свойствах материйала.

В отличие от линейной волны, мощная волна как бы «запоминает» свойства среды на пути своего распространения. Именно поэтому нелинейные сигналы использются для диагностики грунтов и водных сред,

25

непрозрачных для других видов изучения, но «прозрачных» для звука.

Если на своем пути мощная звуковая волна пересечет трассу другой волны (сигнала), она «запомнить» эту встречу, т. е. ее характеристики изменятся. Иными словами, мощный пучок служит своеобразной применной антенной. Представьте себе: достаточно увеличить мощность звука, излучаемого, например, вводу, и мы получим приемную гидроакустическую антенну протяженноью в десятки и даже сотни метров. Такой антенной будет столь воды, в котором сосредоточен аккутический пучок, т. е. пространство между излучателем и примником. Разумеется, для слабых волн ничего подобного получить не удается. Известно, что две линейные волны свободно проходят друг через друга, создавая в области пересечения интерференционную картину. Покидая область интерференции, каждой волна ведет себя точно так же, как если бы другой волны не было. Мощный пучок может служить не только применной, но и излучающей антенной. Приборы, излучающие звук с помощью таких антенн, называют параметрическими излучателями. Для чего нужны эти приборы?

Известно, что единственный вид излучения, который может распространяться под водой на большие расстояния, — это звук. Без актистической связи невозможно освить Мировой океан, использовать его богатства. Но для направленного излучения низкочастного звука узким лучом нужны очень большие антенны с диаметром отражающей поверхности (зеркала) в десятки метров. Проблем изготовления огромных излучающих антенн можно обойти, использую нелинейное взаимодействие волн. Для этого антенной обычных размеров надо излучить вводу две мощные звуковые волны с частотами $f_1$ и $f_2$. Эти две волны будут взаимодействовать друг с другом до тех пор, пока не затухнут, например, на расстоянии один километр от излучателя. В результате взаимодействия двух волнрождается сигнал на низкой (разностоящий) частоте $f_1 - f_2$, который затухает гораздо слабее и может распространяться на очень большие расстояния. Но самое важное — в том, что этот сигнал рождения не на поверхности антенны (там есть только сигналы с частотами $f_1$ и $f_2$), а в толще воды. Таким образом, kilометровый столб воды, в котором происходит взаимодействие, является гигантской излучающей антенной. Ее не нужно стройить — она возникает сама по себе.

Параметрические излучатели нашли применение в геофизике, медицинке, исследовании атмосферы. Но особенно полезными антенны такого типа оказались для морских исследований. Они позволили с большой точностью изучить рельеф дна, свойства грунта вридонных слоях моря. Интересное приложение нашла «параметрика» в археологии; с ее помощью пытались найти ценности, увезенные Наполеоном из Кремля и брошенные им при бегстве в 1812 году в заболоченных, запленных озерах под Смоленском; найдены предметы, принадлежавшие полярным экспедициям perвых лет освоения Арктики…

Сейчас уже организован массовый промышленный выпуск рыбописочных актических локаторов, которые позволяют обнаруживать скопления рыб у поверхности или у дна моря, в устях рек, на мелководье — там, где обычные гидроакустики неэфективны.

В этой статье мы лишь попытались обозначить некоторые из множества эфективов, присходящихся в мощных актических полях.

Нелинейная актифика — молода наука, она развивается немного более трудится лет. Здесь есть чем занять молоду исследователь, интерсуцизмся физикой нелинейных процессов и ее приложениями.

27

МУРАВЕЙ
НА КОНСЕРВНОЙ БАНКЕ

И. Ф. АКУЛИЧ

Правы ли школьники?

Два школьника задамались над решением следующей задачи:
Консервная банка имеет форму прямоугольного крутового цилиндра радиусом R и высотой H. На окружности одного из оснований находится муравей (в точке A на рис. 1). Он хочет переполтити по поверхности банки в наиболее удаленную от него точку B на окружности другого основания (симметрично точке A относительно центра банки). Как он должен полтити, чтобы длина пути была наименьшей?

— Но ведь это — совсем простая задача! — уверенно сказал первый школьник. — Нужно сделать развертку поверхности цилиндра на плоскость. Для определения будем считать, что муравей ползет сначала по боковой поверхности, а потом по верхнему основанию (возможен, разметется, и симметричный путь: сначала по нижнему основанию, а потом по боковой поверхности, длина которого такая же). Развернуть банку (рис. 2, a), мы сразу же получаем, что кратчайший путь — сначала по образушей AM, затем — по диаметру MB. Длина этого путь, очевидно, равна $S_{\min} = H + 2R$.

— Постой-ка,— возразил другой школьник,— но ведь горячдо удобнее развернуть банку по-другому. Отбросим доньшко вообше, а боковою поверхности развернем в прямойгольник (рис. 2, б). Тогда кратчайший путь — это отрезок, соединяющий точки A и B; длина его равна $S_{\min} = \sqrt{H^2 + \pi^2 R^2}$. А на банке путь муравья будет участком винтовой линии.

Школьники заспорили, но потом нашли выход: надо сравнить два полученных результата и какой из них меньше — тот и будет искомым маршрутом. Сначала они определили, при каких условиях оба пути будут равны по длине; для этого они их просто приравняли:

$$H + 2R = \sqrt{H^2 + \pi^2 R^2},$$

затем преобразовали:

$$(H + 2R)^2 = H^2 + \pi^2 R^2,$$
$$H^2 + 4HR + 4R^2 = H^2 + \pi^2 R^2,$$
$$4H = (\pi^2 - 4)R,$$
$$\frac{H}{R} = \frac{\pi^2}{4} - 1 \approx 1,467.$$

Итак, пути равны при определении соответствия и радиуса банки. Отсюда легко сделать вывод, что если

28

Рис. 3.

$$\frac{H}{R} < \frac{\pi^2}{4} - 1,$$
то кратчайший путь предложил первый ученик, а если $\frac{H}{R} > \frac{\pi^2}{4} - 1$, то кратчайший путь указыл второй.

Обраванные школьники не удержались, чтобы на следующий день не похвататься перед учительем математики своим решением.

Вопрос к читателю: что бы вы сказали им, будучи их учительем?

Нет, не правы!

Давайте ответим вместе: ребята, вы ошибаете! Вы, конечно, решили задачу, но… совсем другую. А именно: вы взяли два возможных пути из точки $A$ в точку $B$ и определили, при каких условиях какой из путьей будет короче. Но ведь кроме этих двух путьев возможны еще много другие пути (рис. 3), идущие от точки $A$ по боковой поверхности к произвольной точке $P$ на окружности верхнего основания, а от точки $P$ к точке $B$ — по отрезку прямой на верхнем основании. Как видно, маршруты, предложенные школьниками, представляют собой лишь частиные случи предложенного пути: у первого школьника точка $P$ совпадает с точкой $M$, у второго она совпадает с $B$, т. е. школьники предложили два «крайних» варианта. Ну а истина, несомненно, где-то посредине.

Давайте разберемся.

Итак, пощем кратчайший путь. Если обозначить центр верхнего основания через $O$, а угол $MOP$ через $\varphi$, то мы без особого труда определим, чтолина дуги $MP$ равна $R\varphi$,лина кратчайшей линии $AP$ равна $\sqrt{H^2 + R^2\varphi^2}$ (по теореме Пифагора); а длина отрезка $PB$ равна $2R\cos \frac{\varphi}{2}$. Таким образом, длина пути является функцией от $\varphi$ и равна

$$S = \sqrt{H^2 + R^2\varphi^2} + 2R\cos \frac{\varphi}{2}.$$

Осталось только найти минимум этой функции на участке $\varphi \in [0; \pi]$.

Как это делать — известно. Минимум может достигаться либо на одном из концов интервала, либо где-то в середине. Что касается концов, то эту часть задачи рассмотрели сами школьники (их маршруты соответствуют значениям $\varphi = 0$ и $\varphi = \pi$). А как найти минимум функции внутри интервала? Здесь универсальный способ дает дифференциальное исчисление. Возьмем произвольную:

$$S' = \frac{R^2\varphi}{\sqrt{H^2 + R^2\varphi^2}} - R\sin \frac{\varphi}{2}.$$

Te точки интервала $(0; \pi)$, в которых эта произвольная обращается в нуль или не определена (впрочем, последнее в данном случае невозможно), является точками, подозрительные на экстремум: если функция имеет на этом отрезке локальные максиммы или миниммы, то они могут достигаться только в таких точках. Приравняем произвольную к нулю:

$$\frac{R^2\varphi}{\sqrt{H^2 + R^2\varphi^2}} - R\sin \frac{\varphi}{2} = 0,$$

или, после упрощения:

$$\frac{R\varphi}{\sqrt{H^2 + R^2\varphi^2}} = \sin \frac{\varphi}{2}.$$

Осталось найти отсюда все $\varphi$, входящие в интервал $(0; \pi)$, определять для этих $\varphi$ значения $S$ и среди всех полученных таким образом $S(\varphi)$, а также концевых значений $S(0)$ и $S(\pi)$, выбрать наиболее ее. И никаких проблем!

Скоро сказака сказается…

Вот именно. И первый же непреодолимая трудность — решение уравнения (1). Оно не решается, т. е. выра-

29

зить из него $\varphi$ через $H$ и $R$ в виде элементарных функций нижним образом не удалется.

Как же быть? Выход один — отыскать какой-нибудь охходной вариант. Прежде всего отметим: если функция имеет в какой-либо точке локальный минимум, то это значит, что слева от этой точки она убивает, а справа возрастает, поэтому производаная ее слева — отрицательна, в самом точке равна нулю, а справа — положительная: иначе говоря, производаная в нижнем случае — нулевой). Если она строго отрицательна, то можно наверняка утверждать — в этой точке локального минимума нет (а есть, понятное дело, максимум).

Найдем вторую производуную:

$$S'' = \frac{R^2 H^2}{(\sqrt{H^2 + R^2 \varphi^2})^3} - \frac{R}{2} \cos \frac{\varphi}{2}. \tag{2}$$

Выясним ее знак при тех $\varphi$, для которых первая производаная обращается в нуль, т. е. для которых справедливо равенство (1). Но как это сделать? Предлагается «хитрый ход»: выразим из уравнения (1) величины $\sqrt{H^2 + R^2 \varphi^2}$ и $H^2$:

$$\sqrt{H^2 + R^2 \varphi^2} = \frac{R \varphi}{\sin \frac{\varphi}{2}},$$

$$H^2 = \left( \frac{R \varphi}{\sin \frac{\varphi}{2}} \right)^2 - R^2 \varphi^2 =$$

$$= R^2 \varphi^2 \left( \frac{1}{\sin^2 \frac{\varphi}{2}} - 1 \right) = R^2 \varphi^2 \frac{\cos^2 \frac{\varphi}{2}}{\sin^2 \frac{\varphi}{2}}.$$

Подставим эти значения в (2):

$$S'' = \frac{R^2 \cdot R^2 \varphi^2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}}{\sin^2 \frac{\varphi}{2}} - \frac{R}{2} \cos \frac{\varphi}{2} =$$

$$= \frac{R}{2 \varphi} \cos \frac{\varphi}{2} \cdot (2 \cos \frac{\varphi}{2} \sin \frac{\varphi}{2} - \varphi) =$$

$$= \frac{R}{2 \varphi} \cos \frac{\varphi}{2} (\sin \varphi - \varphi).$$

Если $0 < \varphi < \pi$, то множество перед скобкой положительен, и, следовательно, $S''$ совпадает со знаком выражения $(\sin \varphi - \varphi)$. Но, как известно, если $0 < \varphi < \pi$, то $\sin \varphi < \varphi$; откуда следует, что $\sin \varphi - \varphi < 0$ при $\varphi \in (0; \pi)$. Итак, если у функции $S$ и есть экстремум на этом интервале, то он может быть только максимумом, но никак не минимумом.

А ведь школьники права!

Следовательно, минимальное значение $S$ достигается на одном из концов отрезка $[0; \pi]$, и, значит, школьники для совершенного правильный ответ. Т. е. они правы.

Вот тебе и раз! Но ведь и то, что мы им возразили — тоже верно! Парадокс?

Нет, скорее,— счастливый случай. В данной задаче школьникам просто повезло: неверное решение приело к верному ответу. Над сказать, что такие случаи былиют не так уж и редко: наверно, каждый из своей практики что-нибудь да вспомнить в этом рода. А вообще-то эта статика написана, чтобы напомнить лишь раз: даже при применении самых наноченных и нанадежных методов (как, например, метод развертки при отыскании кратчайшего пути) надо быть осторожным и критически относиться к своим рассудениями. Иначе можно попасть впросак.

Кстати, нашей решения тоже не было полным. Ведь мы не рассмотрели пути муравы, изображенные на рисунке 4. Подумайте сами, как быть с ними! Ответ — как облично, в конце номера.

31

Ф1189. В большой комнате зимой поддерживается постоянная температура $T_k=+15^\circ\text{C}$ при помощи трех радиаторов центрального отопления, соединенных последовательно (рис. 2), по которым прокачивается горячая вода. При этом температура первого радиатора $T_1=+75^\circ\text{C}$, а последнего (третьего) — $T_3=+30^\circ\text{C}$. Чему равна температура второго радиатора? Считайте, что теплобмен — как между радиатором и комнатой, так и между горячевой водой и радиатором — пропорционален соответствующей разности температур.

А. В. Андрианов

Ф1190. К батарее с внутренним сопротивлением $r=1$ Ом подключены последовательно два одинаковых конденсатора. Параллельно одному из них присоединяют резistor $R=1000$ Ом, при этом в схеме выделяется некоторое количество теплла. Какая часть этого теплла выделится на внутреннем сопротивлении батареи?

А. Р. Зильберман

Ф1191. Тонкостенная проводящая сфера радиусом $R$ подключена к источнику тонкими проводами (рис. 3), присоединенными в точках $A$ и $B$ ($AO \perp OB$, $O \perp OB$)? Сделаем на сфере около точки $C$ две отметки, так, чтобы расстояние между составляло $R/1000$, а соединяющий их отрезок оказался перpendicularным направлением зарядов. Какая часть общего тока протекает по сфере между этим отметками?

Л. Г. Маркович

Ф1192. На торце цилиндрического соленода лежит тонкий лист картона, на нем — маленькое сверхпроводящое колюцо из тонкой проводки, диаметр которого $d_1$ существенно меньше диаметра колюца $D$. При подключении соленода к источнику последовательно с конденсатором (рис. 4) колюцо подрывается при $U>U_0$. Каким должно быть напряжение источника в аналогичном опите с колютом такого же диаметра, но сделанным из проводки толщиной $d_2$? Индуктивность такого колюца с достаочной для практики точностью можно оценить по формуле $L=kD \ln(1,4D/d)$. Сопротивление соленода считать малым.

В. В. Можаев

Решения задач
M1156—M1160, Ф1168—Ф1172

Докажем, что выход в финальную четверку гарантирован команде, набравшей 11 очков. Предположим противное: пусть неокторые 5 команда набрали не менее чем по 11 очков. В 10 играх между собой эти 5 команда набрали в сумме 20 очков, а в играх с 3 остальных — не более $2 \cdot 3 \cdot 5=30$, т. е. всего они набрали не более $50<5 \cdot 11$ очков. Это противоречит нашему предположению.

32

О очков.) Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четверку?

С другой стороны, 10 очков еще не гарантируют выход в финал. Действительно, если какие-то 5 команд все матчи между собой сыграют вничью, а у остальных 3 команд выиграют, то каждая из них наберет по 4+6=10 очков, но может не попасть в финальную четверку.

Точно так же можно доказать, что в однокрутовом турире команд наименьшее число очков, гарантирущее выход в число $k$ сильнейших из $n$ участников ($k < n$), равно $2n-k-1$.

С. Ходжиев

M1157. Три треугольника — белый, красный и зеленьый — имеют общую внутреннюю точку M. Докажите, что можно выбрать по одной вершине каждого треугольника так, чтобы точка M находится внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трех разных цветов.

Рассмотрим всевозможные углы, образуемые отрезками, ищими из $M$ в некоторые две вершины разного цвета. Пусть наиболее из этих углов $\alpha = \angle AMB \leq 180^\circ$, причем $A$ — красная точка, $B$ — белая. тогда внутри углов $AMB'$ и $BMA'$, смежных с $\alpha$, нет зеленых точек (см. рисунок). Поэтому в вертикальном по отношению к $\alpha$ угле $A'MB'$ должна находиться одна зеленьая вершина $C$ (начие все 3 зеленые вершины оказались бы внутри угла $\alpha$, и зеленый треугольник не содержал бы внутри себя точку $M$). Треугольник $ABC$ — искомый: он содержит точку $M$, поскольку $M$ лежит по одному сторону с $C$ от прямой $AB$, а отрезки $AC$ и $BC$ пересекают продолжения отрезков $BM$ и $AM$.

Попробуйте придумать аналог утверждения этой задачи в пространстве.

И. Барани

M1158. Найдите наименьшее значение выражения $(x+y)(x+z)$, если $x, y, z$ — положительные числа и $xyz(x+y+z)=1$.

Ответ: Наименьшее значение равно 2.

Положим $a=y+z, b=x+z, c=x+y$ и рассмотрим треугольник со стороны $a, b, c$; он существует, поскольку каждое из чисел $a, b, c$ меньше суммы двух других (см. рисунок). Перimetр этого треугольника равен $2p=a+b+c=2(x+y+z)$, а площадь, по формуле Герона

33

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{(x+y+z)xyz} = 1.$$
С другой стороны, $2S = bc \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$, поэтому
$$(x+z)(x+y) = bc \geqslant 2S = 2,$$
причем равенство достигается для прямого лого треугольника, т. е. при условии $a^2 = b^2 + c^2$, эквивалентном такому: $x(x+y+z) = yz$. (В частности, $(x+y)(x+z) = 2$ при $x+y=x+z=\sqrt{2}$, $y+z=2$, т. е. $y = z=1$, $x=\sqrt{2}-1$.)
Догадавшись, когда достигается равенство, легко найти и короткое число алгебраической доказательство, использующее неравенство $p+q \geqslant 2\sqrt{pq}$:
$$(x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz \geqslant 2\sqrt{xyz}(x+y+z) \geqslant 2.$$
О. Христенко

M1159. С помощью двусторонней линеки построите угол величиной $30^\circ$. Разрешены следующие операции: (1) проведение прямой через две точки, (2) проведение прямой, параллельной даниной, на расстоянии, равном ширине линеки.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

4. Отмечаем три узла этой сетки $A, B, C$, образующие прямой треугольник с катетами $AB=\sqrt{3}, BC=\sqrt{6}$ и гипotenuse $AC=3$ (рис. 3).
5. Проведя прямую, параллельную $AB$ на расстоянии 1 от нее, находим точку $D$ на отрезке $BC$ такую, что $BD=1$. Тогда $\angle BAD=30^\circ$.
   Конечно, имеются и другие решения.
   Иного возможности двусторонней линеки понятно более широко: разрешают проводить две параллельные прямые на расстоянии 1 через две заданные точки $A$ и $B$ ($AB \geqslant 1$; рис. 4). Можно показать, что в этом случае с помощью двусторонней линеки ре-

34

Шаются все те же задачи на построение, что и с помощью циркуля и линейки (см., например, книгу И. И. Александрова «Сборник геометрических задач на построение», М.: Учредница, 1952). Подумайте, верно ли это для двух операций из условий нашей задачи.

А. В. Полеб

M1160. У одного конца А прямолинейной дороги АВ собрать 10 кенгуру и начили цагать в чехарду. Они прыгают по очереди: первый каждый раз прыгает, куда хочет; второй прыгает через первый так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концем прыжка, третый точно так же прыгает через второй и т. д., десятий прыгает через девятого, затем начинаяся новая серия прыжков по тем же правилам.

a) Могут ли через 10 серий прыжков все кенгуру собрать в точке B?
b) Могут ли они собрать там равше?

0 $x_1(1)$ $x_1(2)$ … 1
0 $x_2(1)$ $x_2(2)$ … 1
0 $x_3(1)$ $x_3(2)$ … 1
0 $x_{10}(1)$ $x_{10}(2)$ … 1

Таблица 1.

0 1/512 10/512 … 1
0 1/256 9/256 … 1 1
0 1/4 3/4 1 … 1 1
0 1/2 1 1 … 1 1
0 1 1 1 … 1 1

Таблица 2.

Ответ: a) да, 6) нет.

Будем задавать положение $i$-го кенгуру после $k$-го прыжка координатой $x_i(k)$ на оси АВ, приняв точку А за 0, а $B$ — за 1. Тогда

$$x_{i-1}(k) = \frac{x_i(k-1)+x_i(k)}{2},$$

(1)

или

$$x_i(k-1) = 2x_{i-1}(k)-x_i(k).$$

(2)

Рассмотрим таблицу, в котором на пересечении $i$-й строки и $k$-го столбца стоит число $x_i(k)$; добавим «нулевой» столбец, заданной начальное положение: $x_1(0)=x_2(0)=\dots=x_{10}(0)=0$. В силу (1) каждое число в таблице, кроме чисел нулевого столбца и последней (10-й) строки, равно получиме двух, стоящих в следующей строке — в том же столбце и в предыдущем (см. таблицу 1). Если все кенгуру когда-то собрать в точке $B$, то последний столбец состоит из единиц и из (2) следует, что весь правильный угол состоит из одних единиц, как на таблице 2. Отсюда сразу следует, что число серий прыжков должно быть не менее 10, причем $i$-й кенгуру ($i=2,3,\dots,10$) должен последнее $i-1$ серий должен остаться в точке $B$, прыгая на месте. (Конечно, в условиях подразумевается, что такие прыжки разрешены, т. е. несколько кенгуру могут находиться в одной точке.)

По той же таблице 2 из 10 строк и 11 столбцов видно, как должны прыжать кенгуру, чтобы за 10 серий опали в точку $B$. 10-й кенгуру уже в первой серии должен попасть в $B$, и по формуле (1) последовательное нахождение (отличные от 1) числа $x_i(k)$, начиная с нижней строки: для $i=9$, затем $i=8$ и т. д. Чтобы указывать прыжки ($i-1$-го кенгуру, надо отметить середины векторов, на которых прыжает $i$-й кенгуру (см. рисунок).

Составляя таблицу этих прыжков — 1; $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$ и $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{8}$ и т. д. — легко заметить, что они выражаются через биоминальные коэффициенты $C_n^m = \frac{n(n-1)\dots(n-m+1)}{1\cdot2\cdot\dots\cdot m}$, участующее в формуле *)

*) См. брошюр «Треугольник Паскала» В. А. Успенского (М.: Наука, 1979) или соответствующие статьи в «Энциклопедическом словаре конного математика» (недавно вышло повторное издание: М.: Педагогика, 1988).

35

$$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + \ldots + C_n^k a^{n-k} b^k + \ldots + C_n^0 b^n.$$

А именно, дляна $k$-го прыжка $i$-го кенгуру ($1 \leq k \leq 11-i, i=10, 9, \ldots, 1$) равна

$$x_i(k) - x_i(k-1) = C_{10-i}^{k-1}/2^{10-i};$$

сумма $11-i$ эти прыжков (по всем $k$ от 1 до $11-i$) при каждом $i$ равна 1.

С. Л. Елисеев

Ф1168. Оцените максимальный скорость лунохода — работающего на Луне самоходного аппарата, управляемого с Земли.

Предположим, что в какой-то момент телефонла лунохода «обнаружила» неровность лунной поверхности и «сообщила» об этом на Землю. До момента получения команды как двигается дальше время

$$t = 2 \frac{l}{c} + \tau = 2 \frac{380 \cdot 10^3 \text{ км}}{300 \cdot 10^3 \text{ км/c}} + 0,1 \text{ с} \sim 2,6 \text{ с}.$$

Здесь $l$ — расстояние от Земли до Лунны, $c$ — скорость распространения радиосигнала, $\tau$ — длительность принятия решения оператором.

Для оценки скорости движения лунохода будем считать, что она во столько раз меньше скорости $v \sim 20$ km/ч движения автоматически на плоской земной дороге, во сколько раз время $t$ «принятия решения» луноходом больше времени $\tau$ реакции земного водителя. Следовательно, максимальный скорость лунохода

$$v_\pi \sim v \frac{\tau}{t} \sim 1 \text{ km/ч}.$$

В. И. Шелест

Ф1169. Тонарм произрыватель представляет собой легкий прямой стержень длиной $L$ (см. рис.ок), на одном конце которого (в точке В) закреплен звуковимататель с целюй, а другой конец закреплен в шарнире, который может без трения врачаться относительно вертикальной оси $A$, проходящей на расстоянии $R$ ($R > L$) от оси врачания О диска произрывателя. Илла ставится наровную однородную поверхность равномерного врачающего диска. Наути установленная уzel а между тонаром и лицею АО.

Понятно, что на тонар со стороны врачающегося диска действует сила треня, направленная, как обычно, против относительной скорости тонарма и диска, в установившемся положении — перпендикулярно отрезку, соединяющему точки $B$ и $O$.

В состоянии равновесия момент силы треня относительно оси $A$ должен быть равен нулю. Это означает, что сила треня направлена вдоль тонарма, т. е. угол $ABO$ — прямой, треугольник $ABO$ — прямой угольный, а угол $a$ такой, что

$$\cos \alpha = \frac{L}{R}.$$

Характерно, что это равновесие устойчивое (показите это самостояльно).

Пусть теперь игла ставится на грампластинку. Общно при конструкировании произрывателя выбирают $L \approx R$. Тогда при произрывании пластинки на иглу все время действует слая, стремящаяся сместить ее к центру диска, что ведет к неравномерному износу пластинки. Поэтому в произрывателей высокого класса преду-

36

Ф1170. Оценки массы Галактики, полученные различными способами, дают отличующие результаты. Так, согласно визуальным оценкам, в пределах расстояния $R = 3 \cdot 10^9 R_0$ ($R_0$ — радиус орбиты Земли) от центра Галактики сосредоточена масса $M_1 = 1,5 \cdot 10^{11} M_0$ ($M_0$ — масса Солнца). Между тем перiod обращения звезд, находящся на указанном расстоянии от центра Галактики, составляет $T = 3,75 \cdot 10^8$ лет. Определить «скрытую массу» Галактики, т. е. массу невидимых объектов внутренней сферы радиусом $R$. При расчете движения звезд массу Галактики можно считать сосредоточенной в ее центре.

Ф1171. Электрический диополь — две частицы с одинаковыми массами $m$ и зарядами $+q$ и $-q$, заключенные на концах жесткого неевесomoно стержня диополя $l$, — врачается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр $O$ диополя (рис. 1). В некоторых моментах включают постоянное магнитное поле с индуктивity $B$, направленной вертикально. Опишите установившееся движение диополя.

Для тела, движущемся по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$ под действием притяжения центрального тела массой $m_\pi$, центростремительное ускорение $v^2/r$ равно gravitationalному ускорению $Gm_\pi/r^2$ (G — gravitational постоянная):

$$\frac{v^2}{r} = \frac{Gm_\pi}{r^2}.$$

Отсюда, использая для периода обращения выражение $t = 2\pi r/v$, для массы центрального тела получим

$$m_\pi = \frac{4\pi^2 r^3}{Gt^2}.$$

Сравнивая движение Земли вокруг Солнца (с перiodом $T_0 = 1$ год) с движением расматриваемых в задание звезд, найдем полную массу $M$ Галактики внутри сферы, радиус которого равен $R$:

$$M_0 = \frac{4\pi^2 R_0^3}{GT_0^2}, \quad M = \frac{4\pi^2 R_3^3}{GT^2},$$

$$M = M_0 \frac{R^3}{R_0^3} \frac{T_0^2}{T^2} = 1,9 \cdot 10^{11} M_0.$$

Таким образом, «скрытая масса» Галактики равна

$$\Delta M = M - M_1 = 4 \cdot 10^{10} M_0.$$

При включении магнитного поля на каждую частицу будет действовать сила Лоренца (рис. 2), направленная вдоль стержня и равна

$$F_{\pi} = qvB = q\omega \frac{l}{2} B.$$

На диополь в целом действует сила

$$F = 2F_{\pi} = q\omega lB.$$

37

Эта сила постояна по модулю, но ее направление в пространстве изменяется: вектор $F$ врашает вместе со стержнем с угловой скоростью $\omega$. Следовательно, центр диополя — точка $O$ — будет враться с угловой скоростью $\omega$ по окружности радиусом $r$, который можно определить из второго закона Ньютона:

$$F = 2m\omega^2 r \Rightarrow r = \frac{F}{2m\omega^2} = \frac{qlB}{2m\omega}.$$

С. Эдравкович (СФРЮ)

Ф1172. Внутренняя поверхность сферы покрыта диффузным отражателем с коэффициентом отражения $r = 0,9$. Условое распределение света, отраженной диффузным отражателем, описывается законом Ламберта:

$$\Delta N = \frac{N}{\pi} \cdot \cos \theta \cdot \Delta \Omega,$$

где $N$ — полное число отраженных фонов, $\Delta N$ — число отраженных фонов в малом телесном угле $\Delta \Omega$, составляющим угол $\theta$ с нормально к отражающей площадке. В центре сферы происходит вспышка точного источника света. Какая доля фонов выйдет через очень маленькое отвергение, имеющееся в сфере?

Через отвергение в сфере выйдет, во-первых, те фотоны, которые попадут на отвергение непосредственно сразу после вспышки источника, а во-вторых, те, которые попадут на отвергение в результате многократных отражений от внутренней поверхности сферы.

Рассчитаем, какая доля $p$ фоновов, отразившихся от плоскки $\Delta S'$, попадет на плоскку $\Delta S$ (см. рисунок). В соответствии с законом Ламберта,

$$p = \frac{\Delta N}{N} = \frac{1}{\pi} \cos \theta \cdot \Delta \Omega,$$

где $\Delta \Omega = \Delta S \frac{\cos \theta}{AB^2}$ (со $\theta$ учитывает «видимую» из точки $A$ площадь $\Delta S$). Поскольку $AB = 2R$ cos $\theta$,

$$p = \frac{\Delta S}{4\pi R^2}.$$

Таким образом, доля фоновов, попавших на плоскку $\Delta S$ с плоскки $\Delta S'$, зависит только от отношения $\Delta S$ к плоскии сферы и не зависит от взаимного расположения выбранных плоскадок. Это в свою очередь означает, что если плоскад отвергения $s$, а плоскад сферы $S$, то после отражения от сферы через отвергение выйдет доля отраженных фонов, равная $s/S$. Для оценки положим $s/S = 0,1\%$.

Поскольку уменьшение числа фонов за счет поверхнения стеками сферы на два порядка больше, чем за счет утечки через отвергение (при каждом отражении теряется 10 % фоновов, а через отвергение после каждого отражения выходит 0,1 %), уменьшением числа $N_0$ фонов в сфере за счет утечки через отвергение можно пренебрецть. тогда сразу после вспышки (до первого отражения) через отвергение выйдет $N_0 s/S$ фоновов, после первого отражения $-rN_0 s/S$ фоновов, после второго $-r^2 N_0 s/S$ и т. д. Доля фонов, которые в конце концов выйдет через отвергение, равна

$$\alpha = \frac{s}{S} (1 + r + r^2 + \dots + r^n) = \frac{s}{S} \frac{1}{1-r} = 1\%.$$

С. А. Хорозов

38

О свойствах центра внешней окружности

В этой заметке мы приведем решение задачи M1146. Сама по себе эта задача не сложна. Но при ближайшей рассмотрении за ней выступается длинная цепочка обобщений.

M1146. Точка K — середина стороны AB равностороннего треугольника ABC. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так, что ∠MKN=60°. Доказите, что перimeter треугольника MCN равен половине перimeter треугольника ABC.

Возьем сразу обобщий случай. Пусть K — точка на биссекторice угла MCN величины γ, причем точки K и C лежат по разные стороны от MN (рис. 1). Тогда следующее условия эквивалентны:

(1) ∠MKN=(π−γ)/2,
(2) MN=PM+QM, где P и Q — проекции точки K на стороны угла.

Задача M1146 получается от сюда при γ=60° (рис. 2): в этом случае угол MKN в равенстве (1) равен 60°, а свойство (2) эквивалентно равенством CM+MN+NC=CP+CQ=2CK cos 30°=3AB/2, т. е. утверждение задачи. Заметим, кстати, что при γ=90° возникает задача M851 (см. «Квант» № 3 за 1984 г.).

Одно из доказательств эквивалентности (1) и (2) можно получить, проверив △KPM на угол π−γ во кругл точки K (рис. 3). В результате он перейдет в △KQL (∠PKQ=π−γ), где L — некоторая точка на прямой CN, причем ∠MKL=∠MKQ+∠QKL=

= ∠MKQ+∠PKM=π−γ, NL=NQ+QL=NQ+MP. Следовательно, каждое из условий (1) и (2) эквивалентно равенству треугольников MKN и LKN. Действительно, эти треугольники заведено имеют общую сторону KN и равные стороны KM и KL, а кроме того, в силу (1) — равные углы (∠MKN=(π−γ)/2 и ∠LKN=∠LKM=∠LKM−∠NKM=π−γ-(π−γ)/2, а в силу (2) — равные стороны MN и NL=NQ+QL=NQ+MP.

Второе доказательство эквивалентности (1) и (2) выявляет геометрический смысл точки K. Оказывается, условия (1) и (2) означают, что

(3) K — центр внешней окружности треугольника CMN, т. е. окружности, касающей стороны MN и продолженной сторон CM и CN.

В самом деле, если K — центр этой окружности, то P и Q — точки ее касания с прямыми CM и CN. Пусть R — точка касания окружности с MN (рис. 4), тогда, очевидно, MP=MR, NQ=NR, и, следовательно, выполено свойство (2). А из равенства треугольников KPM и KRM, KQM и KRN следует, что ∠MKN=∠PKQ/2=(π−γ)/2, т. е. выполено условие (1). Обратно, пусть точка K удовлетворяет, например, условия (1). Впищем в угол MCN окружность с центром K и проведем к ней касательную M′N′, параллельную MN. По доказанному ∠M′KN′=(π−γ)/2 = ∠MKN, но это возможно, только если M′=M, N′=N. Таким образом, из (1) следует (3). Аналогично доказывается, что из (2) следует (3).

39

Итак, для всех касательных $MN$ к вписанной в угол $C$ окружности с центром $K$, проведенных со стороны вершины угла, величины угла $MKN$, а также перimetр треугольника $CMN$ построены (и равны, соответственно, $(\pi - \gamma)/2$ и $CP + CQ = 2CK \cos(\gamma/2)$). Еще одна постоянная для всех этих отрезков величины — это произведение отношений, в которых точки $M$ и $N$ делят отрезки $CP$ и $CQ$:

$$\frac{CM \cdot CN}{MP \cdot NQ} = \frac{1}{\sin^2(\gamma/2)}$$

Для доказательства заменим, что $MK$ и $NK$ — биссектрисы внешних углов $PMN$ и $QNM$ треугольника $CMN$ (см. рис. 4). Положим $\angle CMN = \alpha$, $\angle CNM = \beta$, тогда из треугольников $PKM$ и $CKM$ получим $\angle PKM = \alpha/2$, $\angle CKM = \beta/2$.

По теореме синусов

$$\frac{CM}{MP} = \frac{\sin(\beta/2)}{\sin(\alpha/2) \sin(\gamma/2)}$$

$$\frac{CN}{NP} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2) \sin(\gamma/2)}$$

Из этих равенств сразу следует (4).

Еще одно красивое свойство нашей конфигурации обнаруживается, если проведится отрезок $PQ$ и расстоять треугольник $RUV$, где $U$ и $V$ — точки пересечения $PQ$ с $KM$ и $KN$ (рис. 5):

$$U \cap V = \text{основания высот треугольника } KMN, \text{ причем треугольник } RUV \text{ подобен треугольнику } CNM \text{ с коэффициентом } 1/\sin(\gamma/2).$$

Наметим доказательство с помощью преобразования подобия. Сначала проведем биссектрисы всех (внутренних и внешних) углов треугольника $CMN$ и отметим кроме $K$ еще две точки их пересечения — центры $K_1$ и $K_2$

Двух внешисанных окружностей треугольника $CMN$ (см. рис. 5). Посольку биссектрисы смежных углов перепидикуляры, точки $C, M, N$ — это основания высот треугольника $KK_2K_1$. Поэтому нам достаточно указать преобразование подобия с коэффициентом $k = \sin(\gamma/2)$, переводящие $\triangle KK_1K_2$ в $\triangle KNM$ и одновременно $\triangle MNC$ в $\triangle VUR$. Таким преобразование является композиция $F$ симметричной относительной биссектрисы $l$ угла $MKN$ и готовети с центром $K$ и коэффициентом $k$.

Действительно, при этом преобразования

$$1^\circ$$ точка $K$ остается на месте, а прямые $KK_1$ и $KK_2$ переходит друг в друга, причем $F(K_1) = N$, $F(K_2) = M$ (введ $KN/KK_1 = KM/KK_2 = \cos \angle MKN = \sin(\gamma/2) = k$);

$$2^\circ$$ $F(C) = R$ (так как $F(\triangle KK_1K_2) = \triangle KNM$, а $KC$ и $KR$ — высоты этих треугольников);

$$3^\circ$$ прямая $KP$ переходит в прямую $KC$ (они симметричные относительно $l$), причем $F(R) = E$, где $E$ — точка пересечения $KC$ и $PQ$ ($KE/KR = KE/KP = \cos \angle PKC = k$), и, следовательно.

$$4^\circ$$ прямая $MN$ переходит в прямую $PQ$, а значит, $F(M) = V$, $F(N) = U$.

Попробуйте самостояльно найти «традиционное» доказательство утверждения (5) (свпомогательными окружностями, подсчет углов и т.п.), а также решить следующее задачи.

1. Докажите, что условия (4) и (5) эквивалентны (1), (2) и (3).

2. Покажите, что если в нашей конфигурации брать точку $K$ с самого начала по одному сторону с точкой $C$ от прямой $MN$, то условия (2), (4), (5) будут по-прежнему эквивалентны друг другу, а также условия

$$\begin{align*} (1') & \angle MKN = (\pi + \gamma)/2 \\ (3') & K - центр вписанной окружности треугольника CMN. \end{align*}$$

Э. Г. Готман, В. Н. Дубровский