Квант 1989, №10 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1989

1

В номере:

Д. А. Киржниц. Некоторые уроки научной сенсации
В. Н. Дубровский, Я. А. Смородинский. Оптическое изображение и проективная плоскость.
С. Н. Лыков, Д. А. Паршин. Симметрия, анизотропия и закон Ома
Н. Я. Виленкин. В таниственном мире бесконечных рядов

Задачник «Кванта»
Задачи M1186—M1190, Ф1193—Ф1197
Решения задач M1161—M1164, Ф1173—Ф1177
О числе целых точек в плоском множестве
Список читателей, приславших правильные решения

Калейдоскоп «Кванта»
Информация
Об итогах ТЮФ 1988/89 года
V Весоизная научно-техническая конференции школьников

«Квант» для младших школьников
Задачи
С. Л. Табачников. Закон Архимеда с точки зрения математика

Школа в «Кванте»
В. Н. Вагутен. Правильные многогранники и повороты
Избранные школьные задачи

Лаборатория «Кванта»
С. К. Бетлеев. Десять опытов из «золотого фона» гидродинамики

Практикум абитуриента
В. А. Бодик, Ф. В. Шейнерман. Об увеличении изображения

Информация и программирование
Н. Н. Носков, С. К. Столбошкин. Спутник на дисплее

Олимпиды
ХV Всероссийская олимпида по математике и физике
I Всероссийская олимпида по информаике

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (65)
Смеся (7, 27)

Наша обложка
Поверхность Боя — гладкая поверхность, топологически эквивалентная проективной плоскости (см. статью «Оптическое изображение и.projectивная плоскость», а также появление на с. 11).

Две старинные карикатуры «Все при помощи пара: и продукка, и путешествия, и полет» и «Вудуще пара» — реакция художников наала XIX века на изобретение паровой машины (см. «Калейдоскоп «Кванта»).

Шахматная страница.

Два способа склейки поверхности в трехмерном пространстве, топологически эквивалентной.projectивной плоскости.

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1989

2

НЕКОТОРЫЕ УРОКИ
НАУЧНОЙ СЕНСАЦИИ

Член-корреспондент АН СССР
Д. А. КИРЖНИЦ

…вот уже несколько лет учены мечтают о создании сверхпроводника, который функционировал бы при компатной температуре.

Артур Хейли. Колеса

В первые последовные годы, когда с выходом на сцены новой могучеей силы — atomной энергии — началась эпоха научно-технической революции, специальность физика считалась особенностью престижной. Позднее общество не только охладело к представителем этой профессии, но и стало видеть в них источник глобальных проблем, ставших перед человекеством. Эту эволюцию чутко уловили позты: на смену стихам Слуцкого «Что-то физики в почете…» пришла песня Галича «Это гады-физики на пари раскрутили шарик наборот…».

Похоже, что в последнее время акции физков снова пошли на повышение. К этому приела крупная научная сенсация — открытие высокотемпературной сверхпроводимости (сокращенно BC).

Подробный рассказ об удивительном мире сверхпроводимости и об открытии BC читатель найдет в статье академика А. А. Абрикосова «Сверхпроводимость: история, современные представления, последние успехи», опубликованной в № 6 «Кваента» за 1988 год. А в этой статье автор стремился, безкошувшись всего необходимого читателю для получения общего представления о проблеме, удельить основное внимание ее общечеловеческим аспектам.

1. Начать придется с общей картины внутреннего строения проводника (металлического тела). Его жесткий

Эта статья — расширенный текст документа на вечере «Жизнь и судьба научных открытий середина» в Центральном Доме актера им. А. А. Яблочкин.

каркас образует правильная кристаллическая решетка, составлена из atomов металла, которые колблются около узлов решетки. В пространстве между atomами находится легкоподвижные электроны, а также atoms посторонних примесей.

При подключении источника питания (например, батареи) в проводнике возникнет электрический ток, т. е. приходят в движение электроны металла. Они неизбежно сталиваются с колблощимися atomами решетки и с atomами примесей. Это ведет к торможению электронов с превращением их первоначального упорядоченного движения вxaотическая (инными словами — с выделением теплла). Поэтому при открытии батареи ток быстро затухает, а его энергия переходит в теплло.

Мерой такого торможения служит удельное сопротивление проводника (далее для краткости именуемое просто сопротивлением). Для данного материала оно тем меньше, чем ниже концентрация примесей и температура проводника. Поэтому уже давно возникло убеждание, что сопротивление очень чистого проводника при его охлаждении до абсолотного нуля (—273 °C) должно плавано стремиться к нулю.

Для проверки этого убеждания голландский физик Х. Камерлинг-Оннес проверел в 1911 году измерения сопротивления других (жидкого и потому легко очищаемого металла) при ее глубоком охлаждении. Поначалу все шло в соответствии с ожиданиями: с уменьшением температуры плавано padало и сопротивление. Однако при температуре около 4 К произшло число сопротивления внезапно упало до нуля и продолжало отсутствовать при дальнейшем охлаждения.

3

Так было открыто явление сверхпроводимости — полного исчезновения сопротивления металла. Если создать ток в сверхпроводящем коллеце и выключить источники питания, то заметного затухания тока не долженся и нашли далекие потоки: соответствующее время много большие возраства Вселенной. Перефразируя Шолом-Алейхема, можно сказать: «Спротивление как деньги — уже если оно есть, так есть, а если его нет, так нет».

Со временем оказалось, что сверхпроводимость присуза широкому кругу веществ, каждое из которых имеет свое значение критической температуры — температуры исчезновения сопротивления. По мере открытия новых сверхпроводников наиболее значение этой величины росло, но весма медленно: за 75 лет оно выросло с 4 К до 23 К — примерно на 0,2 К/год.

Положение радиkalно изменилось в 1986 году, когда швейцарские физики А. Моллер и Г. Бедорц начали изучать новый класс материалов, содержащих кислород, медь и другие металлы, — так называемые оксокупраты. Материалы эти не похожи на обычные проводники (внешне они напоминают продюшесся в аптеках угольные таблетки), и их перепективность в плане BC казалась очень компетентной. Оdnako Моллер и Бедорц верили в успех и не обманались в своих ожиданиях: критическая температура сразу же отодвилась примерно до 40 К.

Этот успех и стал открытом BC (точнее, открытом нового класса материалов, исключительно перспективных с точки зрения дальнейшего повышения критической температуры). Уже через короткое время, в начале 1987 года, американцем П. Чу был синтезирован оксокупрат с критической температурой около 100 К, а сегодняший абсолотный рекорд составляет примерно 125 К. Это, так сказать, «синница в руках». Что же касется «журавля в небе», то имеется сообщения (требующее, однako, подтверждение) о наблюдении сверхпроводимости при комнатной и даже более высокой температуре. Во всяком случае, существование сверхпроводников, не требующих никакого специализации, сохраняющего свой упорядоченный характер. Чтобы понять природу этой «нечувствительности» электронов сверхпроводника, придется поверить в одно фундаментальное свойство частиц, из которых построена materia. Они состоит в том, что в микромире есть две формы поведения частиц друг по отношению к другу (и, соответственно, два класса частиц) — «индивидуализческая» и «коллективная».

Частцы-«индивидуализцы» (фермичатьсяцы) находятся обязательно в различных состояниях, не допуская скопления в каждом из них более одной частицы. Например, частцы-«коллективцы» (бозе-частицы) стремятся скопиться в одном и том же состоянии, «завлекая» в него другие бозе-частицы и, обратно, превращается им покинут это состояние. Это стремление выражено особенно сильно, если в данном состоянии уже скопилась заметная доля всех бозе-частицы. Такое скопление называют бозе-конденсатом (входящие в него частицы абсолотно не отличны друг от друга).

Бозе-конденсат не поддерживает внешним воздействием, превращается, как уже отмечалось, попыткам выравнять из него отдельные частицы и перевести их в другой состояние. Он представляет собой монолит, крепко спаянный «морально-политическая единством» своих членов и сопротивляющийся попыткам разрушить это единство. Читатель без труда obties соответствующее аналогии в истории или в повседневной жизни.

4

(Для автора незабываемый пример такого рода — собрание домохозяек и пенсионеров, требовавших крови врагов народа, на котором он присутствовал подростком.)

Если бы электроны были более частицами, то при низкой температуре они обязательно перешли бы в состояние более конденсата, а только что отмеченная его нечувствительность к внешним воздействиям (в частности — к столковеням с колебаниями решетки и с примесями) и оказалась бы ключом к объясению сверхпроводимости. Однако электроны — не более-, а ферmi-частицы, так что такое объясение напряму не проходит. Тем не менее, в конечном случае оно правильно.

Дело в том, что объединенные какими-либо слицами две ферmi-частицы ведут себя как одно целое, подобное более частице, и также пары способны поэтому переходить в состояние более конденсата (здесь также есть житейская аналогия: хлопстки, как правило, меньше конформисты, чем супружские пары). Поэтому, если бы для всех сверхпроводников существовал механизм обедининия электронов в пары, то приду сверхпроводимости можно было бы считать ясной. Для «стары» сверхпроводников этот механизм основывается на взаимодействии электронов с колебаниями решетки, а для оксокупаров его еще предстоит установить. На это сегодня направлены основные усилия учены.

3. Говоря выше об открытии BC, мы не разъяснили, почему повышение критической температуры до величины порядка 100 К означает не просто количество прогресс, а принципальный качественный скакок, общеоощущий огромные технические последствия. Дело в том, что до открытия BC сверхпроводник проявляет свои замечательные свойства только при его охлаждении жидким гелем — дорогостоящим и трудноодоступным продуктом. Именно поэтому прежние технические применения сверхпроводимости ограничались в основном установленном типе ускорителей элементарных частиц, уникаль-

ная стоимость которых многоократно перекрывала расходы на охлаждение сверхпроводящих объекток мощных магнитов.

Открытие BC сделало возможность охлаждения сверхпроводника с помощью жидкого азота (его температура кипения 77 К). Этот продукт примерно в тысячу раз делевле жидкого гелия, а о его общеоступности говорит уже тот факт, что победе в минувшей войне немало способствовал перевод металлурги на кислородное дутье (кислород добавляется жидкого воздуха, состоящего на 4/5 из жидкого азота). Переход на азотное охлаждение открыет дорогу широкому применению сверхпроводников в технические уже самого близкойшего будущего: западные специализиты оценывают потенциальный риск этих материалов к 2000 году в 1 млд долларов. А если надежны на сверхпроводимость при комнатной температуре оправдаются, то соответствующие перспективы станут вообщенее необходимыми.

Для большинства электротехнических устройств (исключая, конечно, электропреваательные приборы) выделение тепла в проводнике при протекании по нему электрического тока означает бесполезное разбазаривание энергии, а во многих случаях — крайне вредный разогрев аппаратуры, мешающий ее нормальной работе. Применение сверхпроводящих материалов позволяет резко подавить (в принципе свести на нет) тепловые эфекты. На этом основана большая группа технических приложений BC.

К их числу относятся прежде всего технические устройства, конструкция которых включает сильные электромагниты: упомянутые выше ускорители, магнитные селараторы, медицинские томографы массового использования и т. д. Другие приложения BC того же характер связаны с транспортировкой энергии. Ведь в линиях электропередачи на бескмесibleное отопление атмосферы расходуется до 1/4 всей передаваемой энергии. Использование сверхпроводящих кабелей позволяет радиальнымому решению этой проблемы, острая которой еще

5

более возрастет, когда размещение источников энергии (обычных и atomных электростанций) будет приведено в соответствии с требованиями экономии и безопасности населения.

Особая группа технических приложений BC связана с использованием специфических свойств сверхпроводника, прямо не относится к отсутствию в нем теплыделения. Имеются в виду магнитные накопители энергии (сверхпроводящие катушки с током) в электротехнике сильных токов и многочисленные устройства в электронике (быстродействующие переключатели, логические ячейки и элементы памяти в ЭВМ, высокоточные сверхпроводники измерительные приборы и др.).

Сюда же относятся и приложения BC, общегошие переход к экономичному и быстроходному транспорту на магнитной подушке. Здесь предполагается использовать еще одно чудесное свойство сверхпроводника — его способность устойчиво в воздухе над сильным магнитом (левитация, или «гроб Магомета»).

Не следует, однако, думать, что уже завтра вокруг нас потекут молочные реки в кислых березах. Люди вообще склонны ошибаться в оценке перспектив только что сделанного научного открытия. Часто эти ошибки имеют характер преуменшения, как это было с паровой машиной или электричством. Но не исключаено и обратное, когда возникает искушение покрыть экономический и социальный дефицит общества за счет чудес, подобных BC. Нельзя забывать, чтоникакое научное открытие не может снять тех проблем, которые должны решаться политическими средствами. Во всяком случае, эффективно использовать результаты научного открытия может лишь экономические здоровое общество. Обо всем этом думаем, выходя ночной на балкон и наблюдая море огней вLECTничных клетках спящих домов. Известно, что королева Мария-Антуанетта, узнав, что французским крестьянам не хватает черного хлеба, спросила: «А почему же они не едят брюши?»

Наряду с использованием физических свойств высокотемпературных сверхпроводников делаются и первые шаги на пути их практического использования; уже изготовлены опытные образцы стержней, проводов, зубных лент.

(это следие булочки). Невольно возникает вопрос: а не «бриоши» ли для нас BC при отсутствии хлеба — элементарного уменьшения экономического энергии?

4. Мечта о BC возникала, скорее всего, одновременно с открытом самой сверхпроводимости. Едва ли стоит

6

В магнитном поле цилиндрического магнита «зависли» два высокотемпературных сверхпроводника — один над магнитом, другой под ним.

сомневаться в том, что о высокой критической температуре грезили и сам Kamерлинг-Оннес, и его последователь. Однако в серьзной научной постановке problema BC появился гораздо позднее.

Четверть века назад, в 1964 году, американец У. Литтл и советский академик В. Л. Гинзбург рассмотрел специальный механизм обедининия электронов сверхпроводника в пары, обеспечивший значительный рост критической температуры.

Новый механизм сверхпроводимости вызвал первоначально значительный интерес к проблеме BC у многих ученых. Появилось немало теоретических работ, в которых эта идея углублялась и развивалась. Начались и экспериментальные исследования (впрочем, их главным итогом было появление новых направлений на стыке физики и химии, развивались уже вне всякой связи с BC). Однако не произшло главного: идея BC не овладела массами. Неоднократные признавы энтузиастов (в первую очередь, самого Гинзбурга) развернуть широким фронтом исследования по BC, концентрировав услуга физков, химков и материалов на поиск высокотемпературных сверхпроводников, оставались без ответа.

Волее того, у специалистов сложился во временем устойчивый стереотип прохладного, а зачастую и открытого отрицательного отношения к BC. Большинство не верило в реализность соответствующего программы, а были и такие, кому почему-то ужасно не хотелось, чтобы она была осуществлена. Два весы крупных и авторитетных специалиста даже доказали специальный теорему о принципальной необходимости BC (и автору этих строк пришлось немало потрудиться для ее опровержения). В обшем, к середине 70-х годов образовался своето рода более конденсаат почти всеобщого скеписа и неверия в программу BC.*)

Нужно ли после этого удивляться, что открытие BC произшло неожиданно и оказалось во многих отношениях случайным. Материалы, обнаруженные BC, были в поля зреня большинства специалистов (хотя еще за десять лет до открытия BC появился сигнал о том, что сложные структуры типа оксокупратов могут иметь относительно высокую критическую температуру). В известном смысле случайными фигурами были авторы открытия, пришедшие в физку сверхпроводимости из другой области (хотя, может быть, это как раз закономерно: Мюллер и Беднорц не испытали на себе воздействия общего настоящего специалистов). Случайной оказаласьdata открытия: еще в конце 70-х годов химики разных стран интересровали оксокупраты нужного состояния и даже изменяли зависимость их сопротивления от температуры (но, не помышляя о сверхпроводности, работали при слишком высокой температуре).** Такие исследования

*) Смешно сказаны, но членов небольшого коллектива (куда входил и автор), занимавшегося проблему BC уже долгие годы, радовала даже моральная поддержка со стороны писателя Хейли (см. эпиграф к этой статье).

**) Еще в конце 60-х годов автор, находясь под внешателем информации об организации на западе работ по химотерапии рака, предложил создать специальный службу по проверке на сверхпроводимость каждого нового класса материалов, вводимого в оборот науки. Это предложение поддержало не было — как по материалов и организационным принимам, так и из-за нежелания делать «тупую» работу. Между тем, будь оно реализовано, открытие BC не заполило бы почти на десятиле, а создатели оксокупратов не упустили бы верной Нобелевской премии.

7

ния величь, например, в нашей стране, во Франции.

Если роль научного общественного мнения в истории BC действительное такое, как это описано выше, то причины возникновения этого феномена бесспорно заслуживают изучения. Поскольку здесь играли роль и объектные, и чисто психологические факторы, соответствующим анализом должны заняться, помимо физиков и химиков, также историки науки, психологи, а может быть и пишущие о науке «инженеры человеках души».

Во всяком случае, уже сейчас из истории BC можно извлечь один правственный урок. Несомненно, что в формировании научной атмосферы особая роль принадлежит крупным и авторитетным ученым. Никто, конечно, не пытается отнять у них право иметь свое мнение о реальности научной программы, верить или не верить в ее осуществимость. Однако, чем выше потенциальная важность программы и чем крупнее имя ученого, тем большею моральную ответственность он должен чувствовать (и тем большею целепитливо проявлять) при высказывании своего мнения. Слава Богу, наши учитель оставили нам достаточно примеров подлинно интеллигентного отношения к новым идеям (автор имеет в виду прежде всего школьу теоретической физики Мандельштама — Тамма, к которой принадлежит сам).

Нельзя забивать, что ситuation, подобная истории BC, может повториться — могут возникнуть новые научные программы, реализность которых (при их завертом потенциальной важности) заранее не очень нацедна, хотя и не может быть опровергунут. Что делать авторам такой программы, если они не имеют ресурсов для ее реализации и не смогли предолеть предубежdenный своих коллег? Ждать, как раньше, пока подобная программа научет осуществлять за рубежом, а потом со всех ног договорить, как это и произошло с BC? Стараться, как и раньше, доказать, что программа имеет особо важное стратегическое значение, в надежде запитевать соответствующее богатые ведомства?

Хочеется надеться на то, что нашей перестроенное общество выработает такой механизм моральной, организационной и/materialной поддержки подобных программ, действие (или бездействие) которого будет определяться не эмоциями и настроениями определенного круга лиц, а объектной оценкой серbezности соответствующих предложений.

Вниманию наших читателей

Магазин «Академика» г. Киева (252030 Киев, ул. Ленина, 42, «Академика») высылает наложенным платежом:

Книги из серии «Виблотечка «Квант»
Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика. — 1988. — 35 к.
Ашкинази Л. А. Вакум для науки и техники. — 1987. — 25 к.
Балк М. Б., Болтян-ский В. Г. Геометрия масс. — 1987. — 30 к.
Беркинбит М. Б., Глаголова Е. Г. Электричество в живых организмах. — 1988. — 70 к.
Задачи Московских физических оптимизат. — 1988. — 40 к.
Зельдович Я. Б., Хлопов М. Ю. Драма идеи в познании природы (частицы, поля, заряды). — 1988. — 50 к.
Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — 1988. — 65 к.
Левинштейн М. Е., Симин Г. С. Барверы (Открытая до интеллектной схемы). — 1987. — 75 к.
Новиков И. Д. Как взор-валас Вселенная. — 1988. — 40 к.
Стасенко А. Л. Физика полета. — 1988. — 30 к.
Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — 1986. — 35 к.
Фейнман Р. Кэд — страна теория света и вещества. Пер. с англ. — 1988. — 45 к.
Фейнман Р. Характер физических законов. Пер. с англ. Изд. 2-е, испр. — 1987. — 45 к.
Франк-Каменецкий М. Д. Самая главная молекула. Изд. 2-е, переработ. и доп. — 1988. — 40 к.
Чернин А. Д. Физика времени. — 1987. — 40 к.

8

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
И ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Кандидат физико-математических наук
В. Н. ДУВРОВСКИЙ,
доктор физико-математических наук
Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

Проектная плоскость

Настоящее образить более пристальное внимание на точки, которые до сих пор мы лишь вскользь упоминали. Эти точки фокальных прямых m и n, параллельных «линии линзы» l и проходящих через фокусы F и F’ (рис. 1). Эти точки у нас обжены: уже говорилось, что точки первой прямой никак не изображаются, ведь искодящие из них лучи становятся параллельными. Аналогично, точки второй прямой как бы ничего не изображают: в них фокусируются параллые на линзу лучи параллельных лучей. Впрочем, с такой «дискриминацией» можно не согласиться. В конце концов, увидеть точный источник света — это все равно, что увидеть испускаемые им лучи, а лучок параллельных лучей ничем не хуже центрального. Поэтому естественно расматривать любой лучок параллельных, как лучок лучей, испходим из некой бесконечного удаленной точки — его «центра» (математическое вопросение «далекой звезды»), а точку прямой n, в котором он фокусируется,— как изображение этого бесконечного удаленного центра. Никакой мистики здесь нет: во всяком случае, бесконечно удаленные точки реальныхровно настолько, насоклько реальных параллельные прямые. В то же время, они позволят придать законченый вид всем нашим построениям.

Дадим более строгие определения. К каждой прямой d плоскости мы добавляемровно одну новую точку U_d, причем ко всем параллельным прямым добавляется одна и та же точка. А все новые точки объединяются в одну «бесконечную удаленную» прямую u. Эта процедура называется пополненем плоскости.

На пополненной плоскости сохраняется «аксиoma прямой» — через любые две точки можно проверить одну только одну прямую. Например, если одна из двух точек — «обичная» точка M, а другая — бесконечно удаленная точка U_d, то содержащая их прямая проходит через M и параллельна d; ее единственное следует из аксиомы параллельных. Приемые удовлетворяют симметриному свойству: любые две прямые имеютровно одну общую точку (обичную или бесконечную). Другими словами, на пополненной плоскости две прямые всегда пересекаются. Любое множество точки, в котором видлена некоторая система подмножества — «прямы», удовлетворяющая этим двум свойством *, называется (абстрактной) проектной плоскостью. Это очень общее определение допускает множество разных интерпретаций, среди них, как это ни парадокально, и «плоскости» из конечного числа точек (см., например, решение задачи M1113 в «Кванте» № 11 — 12 за 1988 г.). Пополнение обичной плоскости.beсконечно удаленными точками дает действительность проектную плоскость; только о такой плоскости и идет у нас речь.

Но вернемся к оптике. Тепер мы можем сказать, что наша идеальная линия создает изображение p(A) для

*) Чтобы исключить совсем неинтересные примеры, к ним обично добавлять еще одно: существуют 4 точки, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой.

10

любой точки $A$ пополненной плоскости и, обратно, любая точка этой плоскости является изображением неокоторого точного источника. В частности, фокус $F$ изображается бесконечно удаленной точкой $U_a = p(F)$ главной оптической оси, а сама точка $U_a$ — вторым фокусом $F' = p(U_a)$. Точно так же, любая прямая пополненной плоскости изображется прямой и смачит изображением какой-то прямой. В частности, бесконечно удаленная прямая $u$ изображает фокальную прямую $m$, а смачит изображется второй фокальной прямой $n$. Когда мы смотрим на мир сквозь линзу, разница между бесконечно удаленными и «нормальными» элементами страется: все точки и все прямые проективной плоскости равноправны.

На первых порах примириться с этим трудновато по простой причине — проективную плоскость мы восприняли пока только как продукт пополнения объчной плоскости. Но если немного напрячь воображение и взглянуть на нее иначе, можно увидеть нечто поистине неожиданное. Пусть $\alpha$ — пополненная плоскость, $P$ — точка вне ее (рис. 2). Каждый точке $A$ плоскости $\alpha$ соответствуетровно одна проходящая через центр проектации $P$ прямая $PA$ (бесконечно удаленной точке $U_a$ соответствует прямая, параллельная $d$). Заменим точки на соответствующее прямые. Иначе говоря, рассмотрим «плоскость» $\Pi$, «точками» которой будут служить всевозможные прямые в пространстве, проходящие через $P$, а «прямыми» — плоскости, проходящие через $P$, точнее, каждая «пряма» — это совокупность всех общих прямых (носящих теперь названное «точек»), лежащих в одной, общей плоскости; каблички помогут нам избежать путаницы в терминах. Совершенно ясно, что последившее нам отправным пунктом соответствие между «точками» $\Pi$ и точками пополненной плоскости $\alpha$ сопоставляет каждой «прямой» на $\Pi$ прямую на $\alpha$, и наборот. Поэтому $\Pi$ — это просто другая модель действительного проектаной плоскости (tem не менее небесполезно проверить неосредственно выполнение трех приведенных выше аксиом проективной плоскости). И в этой модели никаких выделенных точек и прямых нет. Но мы можем вернуться к первой интерпретации, пересекая все прямые нащшего пучка (т. е. «точки» $\Pi$) любой плоскостью $\beta$, не проходящей через $P$, при этом можно заранее договориться о том, какая «пряма» станет бесконечно удаленной.

Достижение «всеобщего равноправия» — отличь не главное преимущество построенной модели проектаной плоскости. Мы можем естественно образом ввести на проективной плоскости координаты (как координаты любого направляющего вектора заданной прямой «точки»), записывать в этих координатах проектные преобразования и т. д. Но это тема для другой статьи. Мы же сейчас еще немного переделаем эту модель, чтобы лучше представлять,

10

Рис. 3. Проективную плоскость можно представить как сферу с отношением точками.

Рис. 6. Так появляется лента Мёбцуса.

Как устройна проективная плоскость

Рассмотрим сферу с центром в точке P. Любая прямая нашего пути («точка») пересекает ее в двух диаметрально противоположных точках. Заметим прямые на эти пары точек. Тогда проективная плоскость применяется сферы (рис. 3), в которой концы каждой диаметра считаются одну точку — отождствлены, а прямые проективной плоскости представятся окружностями с отождствлением диаметрально противоположными точками. Каждый пару таких точек можно «склеить», заменив их на одну общную точку — это проделано на рисунке 4 (при этом приходит выполнять непрерывные деформации). Что же получилось в итоге? Окружность! Итак, добавляя к общий прямой бесконечно удаленную точку, т. е. превращая ее в проективную прямую, мы как бы замыкаем ее в окружность.

Тепер попытаемся осуществить такую же склейку для всей плоскости. Вырежем из нашей сферы колцевой полосок вдоль экрана — остатся две сферические шапочки, которые после склейки превращаются в одну (рис. 5). Поясок разрежем по двум противоположным меридиамам (рис. 6, a; линии разреза обозначены одинаково, потому что они должны быть отождствлены) и подклеим одну половинку к другой. Склейм, наконец, образовавшуюся плоскку по линии

11

Рис. 7. Превращение прямого изображения в обратное.

разреза. Вот и обещанный矫приз: перед склейкой полоску придется перекрутить на 180°, а значит, в результате получится лента Мёбиуса (рис. 6, 6). Ее граница — это одна замкнутая кривая, которую осталось подклить к окружности, ограничивающей сферическую шапочку. Таким образом, проектная плоскость — это сфера с дыркой, закленной лентой Мёбиуса. Если вы хотите узнать, как же выглядит такая необъичная поверхность, загляните на обложку этого номера.

Тепер есть смысл еще раз посмотреть, как изменяется изображение предмета, движущgosся по главной оптической оси из бесконечности к фокусу $F$ и дальней (рис. 7). При приближении к фокусу изображение уходит на бесконечность и сразу после фокуса возврашается, но уже с другой стороны (ничего удивительного — прямая-то замкнута). При этом из прямого оно делается обратным, появляется по другую сторону оси (а это, так сказать, эффектив ленты Мёбиуса).

Наша обложка

На рисунках 1—4 последней страницы обложки показано, как построить поверхность в трехмерном пространстве, топологически эквивалентную проектной плоскости. Эта поверхность имеет линюю самопересечения, на концах которой нарушается глаздость поверхности — в этих точках к ней нельзя провести касательную плоскость. От самопересечения изображения можно, только выйдя в четырехмерное пространство, а вот пример гладкой поверхности, топологически эквивалентной проектной плоскости, существующника, и разрежем полусферу на 3дольки, как показано на рисунке 5 на 4-й странице обложки. Возьмем одну дольку, превращим две попавшие на нее стороны шестиугольника в петли (рис. 6) и изогнем поверхность так, чтобы одна из петли (петля $b$) легла на поверхность (рис. 7), петля $a$ переходила бы в петлю $b$ при повороте $R$ на 120° вокруг оси NS, а в точке $S$ образовала угол величины 120°. То же самое продельывает с двумя другими дольками, которые приставляются к первой так, что полученная фигура переходит в себя при повороте $R$. Поверхность Боя образуется при склеивания долек по линяям разреза и петлям (петли составляют трехлепестковую замкнутую линюю самопересечения). На 1-й странице обложки показан вид этой поверхности сверху, со стороны точки $N$.

В. Д.

13

СИММЕТРИЯ, АНИЗОТРОПИЯ
И ЗАКОН ОМА

Кандидат физico-mатематических наук
С. Н. ЛЫКОВ,
доктор физico-mатематических наук
Д. А. ПАРШИН

Наверное, каждый человек имеет интуитивное представление о симметрии — симметрично расположены лепестки в цветке, узоры орнамента, атомы в кристаллической решетке и т. д. С симметрией связи пояные красоты. И не только в искусстве или архитектуре, но даже в математике и физике. Причем в последнем случае она играет исключительно полезную роль: оказывается, что одних лишь сообщенный симметриный бывает достаочно для решения веса трудных физических вопросов. В этом мы попытаемся убедить читателя с помощью наглядных примеров из физики твердого тела.

Представьте, что перед нами поставлена задача: определить электропроводность*) некоторого кристаллического вещества (с неизвестными пока свойствами). Вырежем из него прямогольный образец, включим в цепь, как показано на рисунке 1. Измерив ток через образец и напряжение на нем, с помощью закона Ома найдем удельную проводимость $\sigma$:

$$\sigma = \frac{IL}{US}.$$

Она не зависит от размеров образца и поэтому, казалось бы, однозначно характеризует способность данного вещества проводить ток. Но почему «казаLOBЫ»? Разве может кристаллим несколько значений проводимости?

Оказывается, да. И в этом нет ничего удивительного. Вообразите, к

*) Электропроводность — величины, обратная сопротивления $R$ проводника; удельная электропроводность, или удельная проводимость, — величины, обратная удельному сопротивлению, т. е. $\sigma = 1/\rho$.

Рис. 1.

Рис. 2.

14

Ром такой слонстой среды служит кристалл графита. Его продолжая проводимость в 250 раз больше поперечной.

Но и в отсутствие слоев проводимости среды может зависеть от направления тока в ней. Очень многое кристаллы обладают таким свойством. И вот почему.

На рисунке 3 показано расположение atomов в кристалле (настоящие кристаллы, конечно, трехмерны, однако суть дела выясняется уже на плоских картинах). Сравните два направления, обозначенные красной и синей линиими: видно, что они неэквивалентны. Почему? Ну, хотя бы потому, что вдоль «синнего». Попробуйте выбрать любое другое направление, и вы увидите, что оно неэквивалентно предыдующим. Естественно ожидать, что электоны тоже как-то «ошушают» эту неэквивалентность — в одних направлениях им легче проводятся между atomами, в других труднее. А значит, и не надо удивлять, что проводимость кристалла может зависеть от направления тока.

Среды, свойства которых не одинаковы в разных направлениях, называют анизотропными. Причина анизотропии кристаллов, как вы теперь понимаете, — неэквивалентность направления, проистекающая из регуляного расположения atomов.

Другое важное проявление анизотропии заключается в том, что ток в кристалле может течь и не в тосторону, куда направлено электроное поле. Поясним, о чем идет речь. Из формулы (1) видно, что плотность тока $j=I/S$ пропорциональная направлением приложенного к образцу электрического поля $E=U/L$:

$$j=\sigma E.$$

Однако ток и поле в среде характераизуется не только своей величины, но и направлением. Вектор поля $\vec{E}$ задает величины и направление силы $\vec{F}=e\vec{E}$, действующей на каждой заряде $e$. Под действием этой силы электоны движутся в среднем с определенной скоростью $\vec{v}$. Вектор плотности тока $\vec{j}$, который для краткости будем называть просто вектором тока, параллелен средней скорости направления электонов $\vec{v}^*$). Закон Ома, записанный в виде (2), связывает лишь величины тока $j$ и приложенного извне поля, но ничего не говорит о взаимной ориентации векторов $\vec{j}$ и $\vec{E}$.

«Она же оченьидна, — скажете вы. — Поле $\vec{E}$ и сила $\vec{F}$ параллельны. Средняя скорость электонов $\vec{v}$ параллельна действующей силы $\vec{F}$. А ток $\vec{j}$ параллелен $\vec{v}$. Значит, векторы $\vec{j}$ и $\vec{E}$ тоже параллельны, и вместе (2) мы можем записать:

$$\vec{j}=\sigma \vec{E}.$$

Все очень просто!>

Верно ли такое рассудение? Да… если реч идет об изготовной среде — среде, в которой все направления эквивалентны. Когда все направления эквивалентны, электронам безразлично, куда двигается, и как только мы приложим внешнее поле, им не придется выбирать — вектор $\vec{E}$ задает единственное видение направление. Вдоль него и потечет ток $\vec{j}$.

Но когда реч заходит о кристаллах, нельзя упускать из виду анизотропию! В любом кристалле есть богатый выбор неэквивалентных направлений (вспомните рисунок 3). В этом плане направление $\vec{E}$ — лишь одно из них, выделенное с точки зрения движения электонов. По-

*) Легко показать, что $\vec{j}=env$, где $n$ — число электронов в единичном объеме, движущихся со скоростью $\vec{v}$. Заряд электрона $e$ отрицательен, поэтому $\vec{j}$ и $\vec{v}$ ориентированы настречу друг друг.

15

этому расуждать так же, как в изотропном случае, нельзя. Слабое место наших расужdenий то, где говорится о паралельности векторов $\vec{v}$ и $\vec{F}$. В анизотропной среде они могут оказаться неправильными, и тогда не будут паралельны векторы $\vec{j}$ и $\vec{E}$! Наглядно эту ситуацию можно себе представить так.

Внешняя сила $\vec{F} = e\vec{E}$ гонит электроны «сквозь строй» атомов, а в нем есть «легкие» и «трудные» направления для движения. Сталкиваясь с atomами, электрон часто меняет направление полета, и лишь в среднем можно говорить о движении электрона по прямой. Проходя много механих расстояний, он успевает сместиться больше в «легком» направлении, чем в «трудном», и притом — не обязательно вдоль $\vec{F}$. Все зависит от деталей взаимодействия электронов с atomами и ориентации поля $\vec{E}$ по отношению к наиболее виделенным кристалическим направлениям.

Вдумчивый читатель, наверное, уже готов задать каверзный вопрос: в наших опитах (рис. 1) поле всегда прикладывается вдоль образца и ток, без сомнения, может точь тоже лишь вдоль образца. Где же здесь не паралельность векторов $\vec{j}$ и $\vec{E}$?

Признаемся, что утили от вас важный факт, которыйSTRAняет это недоразумение. Мы не сказали, что (все из-за той же анизотропии) поле $\vec{E}$, вызвающее в толще кристалла ток $\vec{j}$, не обязательно с приложенным вдоль образца электрическим полем направностью $U/L$. Ни по величине, ни по направлению. Возможная в случае анизотропной среды картина показана на рисунке 4, где вы видите итог цепочки событий,

Рис. 4.

протекающих с момента подачи на прижения на образец. В этот момент на электроны начинает действовать приложенное вдоль образца поле — вектор $\vec{E}_{\parallel}$ на рисунке 4. Возникающий ток, как уже говорилось, из-за анизотропии среды может оказаться направленным иначе, например, вправо и немного вверх (электроны при этом движются blevo и немного вниз). Поперечное смение электронов приведет к тому, что грани образца станут заряжаться (верхняя положительное, нижняя отрицательное), и в образце появится дополнительное к приложениюу поперечное поле $\vec{E}_{\perp}$. Но оно само же и препятствует поперечному движению электронов вниз, поэтому нарастает только до тех пор, пока это движение не прекраится. Все это происходит в мгновение ока (за каких-нибудь $10^{-13}$ с) и в дальнейшем картина не меняется: ток $\vec{j}$ продолжает течь вдоль образца, но результатющее поле $\vec{E} = \vec{E}_{\parallel} + \vec{E}_{\perp}$ направлено под углом к нему. Кстати, это легко проверить — между верней и нижней граними должны быть разность потенциалов, обусловленная дополнительной составляющей $\vec{E}_{\perp}$ вектора поля $\vec{E}$. Это действительное обнаруживается на опыте.

Итак, уже первое знакомство с законом Ома для анизотропных проводников показано, что проводимость кристалла, вообще говоря, различна в разных направлениях, причем ток $\vec{j}$ может точь под углом к электрическому полю $\vec{E}$.

«Кажется,— подумает кто-то из читателей,— мы взялись за неоспольную задачу! Нeyжели предстоит выполнить бесконечное число изменений, для каждой мыслиного направления?»

Нет, ситуация попрощена. Это выяснить после того, как мы придам закон Ома четку математической форму. И уже совсем все просто будет в случае кристалла с достаточно высокой симметрией. О ней-то инойдет теперь речь.

На рисунке 3 был приведен пример кристалической структуры, в которой

16

рой все направления неэквивалентны. Обратимся к другим примерам, на сея раз трехмерным. Не будучи искусным художником, трудно передать картину, которая открылась бы «путешественнику», разгуляющему внутри кристалла и любующему перспективной стройных atomных рядов. Поэтому на рисунках 5—7 показаны лишь малые фрагменты трех разных типов кристаллических структур.

На рисунке 5 atoms расположены в вершинах ничем не примечательного косугольного параллелепипеда. Этот кристалл (как и его двухмерный аналог на рисунке 3) не имеет эквивалентных направлений. Но следующие примеры интереснее. На рисунке 6 atoms находится в вершинах прямогоного параллелепипеда, а линии, обозначенные символом $C_2$, проведены через его центр перепendlкулярно граням. На рисунке 7, где вместо параллелепипеда изображен куб, аналогичные линии отмещены символом $C_4$ и, кроме того, проведена пространственная диагональ куба — $C_3$. Чем примечательны все эти линии?

Линии $C_2$, $C_3$, $C_4$ — это оси симметрики показанных на рисунках 6 и 7 кристаллических структур. Так называют направления, выделенные тем, что, поворачивая вокруг как целое, можно получить расположение atomов, совершенного не отличимое от исходного. Над лишь выделять определенный угол повората: $180^\circ$ для оси $C_2$, $120^\circ$ для оси $C_3$, $90^\circ$ для оси $C_4$ — т. е. $2\pi/n$ для оси $C_n$; кратные этим значения углов повората тоже годятся, так как ответают повторенно указаны поверхов. Кстати, $C_n$ — общеприятие обозначение оси симметрики; число $n$ называется ее «порядком».

С точки зрения симметрины мы можем уточнить понятие эквивалентности направления: любые направления, которые «переходят друг в друга» при поворотах вокруг симметрики, эквивалентны.

Чем больше осей высокого порядка имеет кристалл, тем больше в нем эквивалентных направлений, тем сильнее симметрия конкурирует с анизотропей. Как эта конкуренция связывает на проводимости, вы сейчас увидите, но преждевременно найти примеры эквивалентных и неэквивалентных направлений в кристаллических структурах, показанных на рисунках 6 и 7. В частности, нам будет важно, что в кубищеком кристалле сами оси $C_4$ — эквивалентные направления (переходят друг в друга при поворотах вокруг $C_3$), а аналогичные оси $C_2$ на рисунке 6 неэквивалентны.

Ну, так как же на практике применить сообщения симметрики к вопросу о проводимости? Покажем это на примерах. Начнем со случая, когда в кристалле есть три взаимно перепendlкулярные (неэквивалентные) оси симметрии $C_2$ (как на рисунке 6). Для удобства пропумерем их — 1, 2, 3 (см. рис. 8). Спросим себя: куда будет точь ток $\vec{j}$, если поле $\vec{E}$ направлено вдоль одной из осей второго порядка, скажем, вдоль оси 1? Ответ оказывается неожиданно простым — ток будет точь вдоль той же оси симметрики, параллельно

17

полю! Докажем это методом «от противного».

Предположим, что ток $\vec{j}$ течет под углом к оси симметрии 1. Повернем кристалл вместе с приложенным к нему полем $\vec{E}$ на $180^\circ$ вокруг этой оси. Очевидно, тогда все, что есть внутри кристалла — «стой» атомов и произвольной его поток электронов, — тоже повернется. И, так как вектор $\vec{j}$, по предположению, не параллелен оси поворота, его новая ориентация, показанная пунктиром на рисунке 8, будет отличаться от исходной. Но ведь микросоппечная картина, определяющая направление ток $\vec{j}$, после такого поворота выглядает так же, как прежде: новое положение atomов неотличимо от первого начального, а поле $\vec{E}$ было и осталось параллельным направлению 1. Значит, и ориентация ток $\vec{j}$ должна быть прежней.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и единственный путь избежать его — признать, что в данном случае вектор $\vec{j}$ ориентирован как и вектор $\vec{E}$ — вдоль оси 1 (рис. 9).

Причемательно, что этот вывод не чувствуетлен к деталям микросоппечной структуры кристалла — не пришлось выяснять, как именно расположены atoms и каковы направления, наиболее легкие для движения электронов. Начиные других осей симметрии тоже не использовалось. Не важен даже порядок той оси симметрии, вдоль которой направлено поле $\vec{E}$, — рассужждение остanetся в силу при любом значении угла поворота (не кратном $360^\circ$), допускаем симметрией.

Таким образом, если кристалл имеет ось симметрии и поле $\vec{E}$ направлено вдоль нее, ток $\vec{j}$ течет вдоль поля. В этих условиях связи между $\vec{j}$ и $\vec{E}$ дается равенством (3), где коэффициент пропорциональности $\sigma$ в данной случае — проводимость вдоль этой оси симметрии. Проведяем измерение (рис. 1) на образце, вырезанным вдоль оси симметрики кристалла, мы можем найти $\sigma$ по формуле (1). Ведь в отличие от ситuation, изображенной на рисунке 4, у поля заведomo не будет составляющих, поперечных к току; поэтому $E = U/L$, и (1) сразу следует из (3).

Соответствие, три измерения на образцах, ориентированных вдоль осей симметрии 1, 2, 3, дает нам три значения проводимости: $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Ясно, что они, вообще говоря, оказывается различными, поскольку направления 1, 2, 3 неэквивалентны:

$$\sigma_1 \neq \sigma_2 \neq \sigma_3.$$

А какова будет картина, если поле $\vec{E}$ в нашем кристалле направлено не вдоль оси симметрии? Куда почеет ток $\vec{j}$? Чтобы разобраться в этом, найдем проекции вектора $\vec{E}$ на оси 1, 2, 3, т. е. представим поле в виде суммы $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$ (рис. 10). Тепер посмотрим, какой вклад в ток дает каждое из слгаемых.

Поле $\vec{E}_1$ направлено вдоль оси симметрии 1 и, значит, порождает ток в том же направлении:

$$\vec{j}_1 = \sigma_1 \vec{E}_1.$$

Аналогично, две другие компоненты поля вызывают токи вдоль осей симметрии 2 и 3:

$$\vec{j}_2 = \sigma_2 \vec{E}_2, \quad \vec{j}_3 = \sigma_3 \vec{E}_3.$$

18

Эти соотношения определяют результатирующий ток $\vec{j} = \vec{j}_1 + \vec{j}_2 + \vec{j}_3$:

$$\vec{j} = \sigma_1 \vec{E}_1 + \sigma_2 \vec{E}_2 + \sigma_3 \vec{E}_3.$$ (5)

Из-за неравенств (4) отношения проекций тока и поля ($j_1/E_1 = \sigma_1$ и т. д.) на направления 1, 2, 3 неодинаковы. Значит, векторы $\vec{j}$ и $\vec{E}$ не параллельны (рис. 11). Этот отнюдь не новый для нас факт, как видим, прямо связыван с различием проводимости в разных направлениях.

И вот что интересно. Формула (5) говорит нам: при любой ориентации поля $\vec{E}$ величины и направление тока $\vec{j}$ полностью определяются лишь значениями проводимости вдоль осей симметрины нашего кристалла. О бесконечном числе измерений нет и речи, достаточно найти $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Правда, сперва надо найти направления самых осей симметрины, но это уже отдельная история.

Следующий пример — кубический кристалл (рис. 7). Но ведь это частный случай предыдущего? Да. Иpritом самый интересный! Во-первых, кубическая симметрия — наиболее изозможных для кристаллов. Во-вторых, его обладают важные для практики кристаллеские полупроводники — Ge, Si и др. В-третьих, это будет самый яркий пример влияния симметрии на проводимость кристаллов.

Итак, есть три взаимно перpendикулярные оси симметрии $C_4$. Значения проводимости вдоль них по-прежнему обозначим $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Тогда уже известные нам рассуждания слова при ведут к формуле (5), справедливой при любой ориентации вектора $\vec{E}$. А теперь вспомним, что все три направления $C_4$ в кубическом кристалле эквивалентны друг другу. А из этого, как вы договорается, следует, что

$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma.$$ (6)

Да, симметрия гарантирует, что проводимость вдоль этих трех направлений зависит одна и та же. Но только ли вдоль них? Ведь с учетом (6) формула (5) превращается… в формулу (3), известную нам как закон Ома для изготовной среды —

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}_1 + \sigma \vec{E}_2 + \sigma \vec{E}_3 = \sigma (\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3) = \sigma \vec{E},$$

т. е., во-первых, независимо от направления приложенного поля $\vec{E}$ ток $\vec{j}$ всегда параллелен полю $\vec{E}$ и, во-вторых, величина его определяется только одним значением проводимости $\sigma$. Проводимость кубического кристалла одинакова для всех направлений!

Неправда ли, результат неожиданный и безусловно красивый? Ведь не все направления в кубическом кристалле эквивалентны — сравните, например, линии $C_4$ и $C_3$ на рисунке 7. Обе они — оси симметрии, и ток, понятно, будет параллелен полю $\vec{E}$, если оно приложено вдоль любой из них. Но почему при обеих ориентациях $\vec{E}$ должна быть одинаковой величины тока? Ведь электропы «ошушают» эквивалентность направления, и это, казалось бы, должно проявиться в различных значениях соответствующих проводимости. Но нет! Безразлично, в какой ориентации вырезать образец,— измерения должны быть единственное значение $\sigma$. И мы только что доказали это, исходя лишь из сообщений симметрии.

Итак, в данной симметрия полностью победила анизотропию: в отношении электропроводности кубический кристалл подобен изготовной среде, в котором, как уже говорилось, все направления эквивалентны.

Интересно сравнить микросопперскую структуру кристалла и изготовной среды. Примером последней

19

случит аморфное тело, характеризующее совершенное беспорядочным расположением атомов. Такое расположение, скажете вы, вообще не симметрично — любые повороты (не кратные 360°) будут давать разные картины. Но все картины будут одинаково беспорядочны и в этом смысле не отличны от исходной. Беспорядок выравнивает (уредняяет) свойства среды во всех направлениях. Он делает все направления эквивалентными. Значит, как это ни парадоксально, симметрия направленной в аморфном теле выше, чем даже в кубическом кристалле! Любое направление — ось симметрики. В свете этого закон Ома (3) для изготовных сред каждой простого азбучной истинной.

Да, симметрия направлен — благо. Но как быт, если ее нет совсем (например, кристалл на рисунке 5 не имеет ни одной оси симметрики)? Придется обратиться к закону Ома в самом общем виде. Попробуем его установить.

Произвольно выберем три взаимно перpendикулярные направления $x, y, z$ (координные оси). Разложим поле $\vec{E}$ на составляющие $E_x, E_y, E_z$. Tok $\vec{j}$ будем искать тоже в виде трех составляющих $j_x, j_y, j_z$.

Из чего складывается $j_x$? Координные оси — это еще не оси симметрики! При това, порожденные треями компонентами поля, не обязательные чей именно вдоль осей $x, y$ и $z$. Значит, каждый ток будет иметь $x-, y-$ и $z$-составляющие, т. е. не только $x$-компонента поля, но также $y-$ и $z$-компонента вектора $\vec{E}$ дают проорциональный вклад в $j_x$. Соответствие коэффициентов проорциональнойности обозначим $\sigma_{xx}, \sigma_{xy}, \sigma_{zx}$.

А из чего складывается $j_y$ и $j_z$? Ответ почти дословно совпадает с предыдущим, лишь коэффициенты будут другие.

Итак:

$$\begin{align*} i_x &= \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{zx} E_z, \\ j_y &= \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z, \\ j_z &= \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z. \end{align*}$$

Эти три равенства представляют собой закон Ома для среды с произ-

21

В ТАИНСТВЕННОМ МИРЕ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ

Доктор физико-математических наук
Н. Я. ВИЛЕНКИН

Как можно и как нельзя обращаться с рядами

Древнегреческая математика выразила в спорах о беконечном. Еще в V веке до н. э. философ Зенон Элейский показал, к каким результатам приводит беспечное обращение с этим танистенным понятем. Он «доказывает», например, что быстроний Ахиллесникогда не доходит медленно ползушую черпаху, что легшая стрелка никогда не свинится с места и другие, столже парадокальные вещи. В основе этих парадоксов лежала возможность разбить отрезок на беконечное множество неравных частей. Для этого достаточно разбить отрезок сначала пополам, потом одну из полученных частей снова разбить пополам и продолжать эту операцию беконечного много раз (в математическом фольклоре таким методом реконендуетсяLOBить льва в пустыне, только пополам делить не отрезок, а пустыню).

После парадоксов Зенона понятие беконечности было надолго изгнано из математики и лишь в XVII веке оно было восстановлено в правах. Без него немыслимо было создание новой науки — математического анализа. А одним из самых могующих средств этой науки были беконечные ряды, т. е. суммы, состоящие из беконечного множество слагаемых. Ведь уже рассужждение Зенона ознакомлено, что целое состоит из суммы половины, четверти, восьмой и т. д., т. е. опиралось на равенство

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots = 1.$$ (1)

Оно становится более наглядным, если представить себе, что отрезка длиной 1 отрезают сначала половину, потом половину остатка и продолжают это «отрезание» до беконечности. Ясно, что отрезка ничего не оставется, т. е. сумма длин отрезанных частей равна 1. А это и выражается равенством (1).

Более общим, чем (1), является равенство

$$1 + q + q^2 + \dots + q^n + \dots = \frac{1}{1-q}.$$ (2)

Конечно, оно верно, лишь если $|q| < 1$ — в этом случае модели слагаемых убивают, а значение суммы $1 + q + \dots + q^{n-1}$ первый $n$ слагаемых приближается с ростом $n$ к $\frac{1}{1-q}$. Но в XVIII веке ученые пытались пользоваться этим равенством для любых значений $q$. Например, полагая $q = -1$, они получили равенство

$$1 - 1 + 1 - 1 + 1 + \dots = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2},$$

а при $q = 3$ — равенство

$$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n + \dots = \frac{1}{1-3} = -\frac{1}{2}.$$

Вообще, в XVIII веке с беконечными рядами обращались как с конечными суммами. Не заботать ни о чем, в них переставляли слагаемые, умножали друг друг два беконечных ряда как обычные многочлены и т. д. Но потом обнаружилось, что при таком подходе сумма половительных чисел может оказаться отрицательным числом (как мы уже видели).

22

дели), а перестановка членов ряда меняет его сумму. Это показало, что у бесконечности своих законы — не те, что в мире конечного

Можно доказать, например, что сумма ряда
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \dots$$
положительная. Обозначим ее буквой $S$. (В действительности $S = \ln 2$, но это для нас не важно.) А теперь переставим члены этого ряда так:
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Итак, только от перестановки членов ряда (3) его сумма уменьшилась вдвое! А перестановка
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Уменьшает эту сумму второе. Нетрудно и udвоить сумму ряда (3) — для этого нужно переставить его члены так:
$$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots$$
Вообще можно показать, что надлежащая перестановка членов сделает этот ряд сложимся к любому направлению числу.

Современные математики приучены обращаться с бесконечными рядами с осторожностью. Учены XVIII века не знали всех этих тонкостей, но смело, с которой они обращались с такимыми рядами, зачастую приносила им неожиданные победы. И самым смелым, самым удачливым был петербургский академик Леонард Эйлер (1707—1783). Собранное его сочинение содержит несколько десятилетия после смерти ученого его работы публикации в трудах Петербургской Академии наук.

Ряды и бесконечность простых чисел
Еще со времен Евклида была известна теорема: простых чисел бесконечного много. Эйлер придумал новое чрезвычайно острумное доказательство этой теоремы. Положим в формуле (2) $q = \frac{1}{p}$, где $p$ — простое число, т. е. $p = 2, 3, 5, 7, 11, \dots$. Получим равенства
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots.$$
Предположим, что количество простых чисел конечно. Тогда среди равенств (4) будет последнее. Переможная эти равенства для всех простых чисел, мы получим
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots \right).$$
Раскроем в правой части равенства (5) скобки. Мы получим сумму слагаемых вида $1/2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$, где $k_2, k_3, k_5, \dots, k_p$ — произвольные неотрицательные целые числа. Так как мы предположили, что других простых чисел, кроме 2, 3, 5, …, $p$, не

23

существует, а любое натуральное число, больше 1, разлагается единственным образом в произведение простых чисел, то среди чисел $2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$ по одному разу встречаются все натуральные числа. Таким образом, справа у нас должна получить сумму бесконечного ряда

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$$

И мы получили бы, что ряд (6) имеет конечную сумму.

Но уже давно было известно, что это не так. В самом деле, из неравенств

$$\frac{1}{3} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{6} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{7} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{8} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{9} \geq \frac{1}{16},$$

следует, что сумма ряда (6) не может быть меньше, чем сумма ряда

$$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) +$$

$$+ \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \dots$$

Но сумма чисел в каждой скобках равна $\frac{1}{2}$, а складная бесконечного много «половинок», получаем бесконечность. И выходит, что конечное число

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}}$$

равно бесконечности! Это противоречие показывает, что нашей предположение о конечности совокупности простых чисел ложно, а потому простых чисел бесконечного много.

Дзета-функция

Читатель, знакомый с классическим доказательством теоремы о простых числах, разочарованно скажет, что новое доказательство ничего не проще

тоного, которое придумал две с лишним刮сячи лет тому назад Евклид. Так-то оно так, но оказалось, что из доказательства Эйлера можно узнать также вещи о простых числах, которые из ενклидового доказательства вывести нельзя. Для этого надо образовать ряд

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots$$

и изучать его поведение при всемозможных значениях $z$. Ввиду исключительной важности суммы ряда (7) ей должно обозначение $\zeta(z)$ и называли дзета-функцией.

Оказалось, что вопрос о том, сколько часто встречаются простые числа среди натуральных, зависит именно от поведения дзета-функции $\zeta(z)$ при компликственных значениях $z$. Разумеется, говорить об этих значениях можно, только если уменьшить числа в компликственной степени. А это делает с помощью выведенной Эйлером же формулы

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x,$$

о которой мы поговорим позднее.

Главный вопрос, от решения которого зависит от оценки проблем теории чисел, состоит в следующем: при каких значениях $z$ дзета-функция обращается в нуль? Еще во второй половине XIX века замечательный немецкий математик В. Риман (1826—1866) высказал предложение, что все эти значения (их зовут нулями дзета-функции) компликены и имеют вид $z_k = \frac{1}{2} + iy_k$. Много успешный приложили математики, чтобы доказать это утверждение. Но пока что никому это не удалось, хотя некоторые и утвергли, что нашли доказательство. Для проверки утверждения Римана были приведены быстродействующие вычислительные машины. С их помощью удалось найти несколько миллионов нуля дзета-функции. Все они имеют тот самый вид, который предсказал Риман. Если бы решила о каком-нибудь вопросе физики или биологии,никто бы не усомнился в том, что Риман прав — гипотеза, подтверждающая миллионами опытов, становится в этих нахах неизбежным утверждением. Но не такова математика — она имеет дело с бесконечным множество натуральных чисел, и вдруг миллиардного или квантилionного нуля дзета-функции гипотеза Римана оказется ложной!

Интересующая математика значения дзета-функции и при натуральных $z$. Для четырех $z$ эти значения вычислил Эйлер, вовь проявив непрерывное мастерство обработки

24

и

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!} + \dots$$

Для современного математика приведенный выше вывод формул (10)—(12) послужил бы мішенью для разнообразных пририкок. «Помилуйте, скажет он,—a откуда извесно, что функции $e^x$, sin $x$, cos $x$ вообще разлагаются в степенные ряды? И кто сказал, что бесконечные ряды можно дифференцировать по тем же правилам, что и многочленены? Ведь произвольная суммы бесконечного множества слагаемых не всегда равна сумме производных, и интеррировать ряды по членно вообще говоря нельзя.» И так далее, и так далее. И что самое печальное, он будет совершенню прав. Но в XVIII веке этих тонкостей не знали и, руководствуясь правилом «Работайте, и вера к вам придет», математики выводили замечательные формулы, предоставляя внукам давать строгие доказательства полученных делами результатов.

Волlee того, они смело применяли разложения в ряды не только для действияных, но и для комплексных значений аргумента. Это позволило им находить значения для степени с комплексными показателями, синусы и косинусы от комплексных чисел. Рассмотрение функций в комплексной области позволяет установить их скрытие свойства.

Многие из этих свойств связаны с упоминавшейся выше формулой Эйлера (8). Чтоы доказать ее, достаточно в ряд (10) вместе $x$ подставить $ix$, а потом отдельно сгруппировать члены, содержащие $i$, и члены, в которых $i$ не входит. Проделяйте эти выкладки сами. Из формулы Эйлера следует далее, что $\cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,$ и потому $e^{z+2\pi i} = e^z e^{2\pi i} = e^z$. Значит, показатель функция периодична, как и трионометрические функции, только ее период — минимое число $2\pi i$. Из формулы Эйлера следует далее, что $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ и потому, например, $\cos i = \frac{e^{i^2} + e^{-i^2}}{2} = \frac{e^{-1} + e}{2} > 1$.

25

Читт, в комплектой области косинус может оказаться и больше, чем 1.

Но мы отвлеклись от рассказа о дзета-функции и ее значения. Номиним, что задача состоит в нахождении значений ζ(2), ζ(4), …, ζ(2k), …, т. е. сумм рядов.

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots,$$ (13)

$$1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots$$ (14)

Эту задачу тоже решил Эйлер. Для этого он взял да и разложил бесконечный ряд на множители. Он знал, что если многочлен $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ имеет корни $x_1, x_2, \dots, x_n$, то справедливо равенство

$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = a_n\left(1 - \frac{x}{x_1}\right) \times \left(1 - \frac{x}{x_2}\right) \dots \left(1 - \frac{x}{x_n}\right)$$ (15)

(ведь обе части этого равенства обращаются в нуль при $x = x_1, x_2, \dots, x_n$, а при $x = 0$ обе части равны $a_n$). Эйлер смело применил эту формулу к бесконечным рядам. Так как функция $\frac{\sin x}{x}$ обращается в нуль в точках вида $\pm n\pi$, где $n$ — натуральное число, он по аналогии с формулой (15) написал

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right) \times \left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right) \dots$$

(Эйлер использовал здесь также равенство $\frac{\sin x}{x} = 1$ при $x = 0$, которое читатель, возможно, предпоел бы заменить формулой для предела $\frac{\sin x}{x}$ при $x \to 0$. Но Эйлер не боялся схватить тройку по «алгебре и анализу»!) После этого, группировав соедние члены, Эйлер получил:

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{2^2\pi^2}\right) \times \dots \times \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right).$$ (16)

И здесь незнание опасностей для возникновения Эйлеру быстро дивится вперед. Не прошло и стала лет, как немецкий математик К. Вейерштрасс (1815—1897) строго обосновал расчудение Эйлера. Более того, он доказал, что если функция $f(z)$ при любом (комплексном) значении $z$ является суммой ряда $a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n + \dots$, то ее можно разложить на множители способом, пожоким на примененный Эйлером.

А из формулы (16) без труда получаем сумму ряда (13). Для этого нужно лишь раскрыть скобки в правой части равенства (16), а следва заменить sin $x$ по формуле (11), после чего сравнить коэффициенты при $x^2$ следва и справа. Проделаем это. Если раскрыть скобки в конечном произведении

$$\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right) \dots \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right),$$

то у получившегося многочлена коэффициент при $x^2$ будет равен

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2};$$

если устремить $n$ к бесконечности, этот коэффициент будет стремиться к сумме бесконечного ряда

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2} - \dots,$$

т. е. $k - \frac{1}{\pi^2} \zeta(2)$. У ряда для $\frac{\sin x}{x}$ коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3!} = -\frac{1}{6}$. Сравнивая коэффициенты при $x^2$, мы получаем совершенно неожиданное равенство

$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}.$$ (17)

Аналогично, сравнивая коэффициенты при $x^4$ следва и справа и учитывая равенства (14) и (17), получаем

$$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots = \frac{\pi^4}{90}.$$ (18)

26

Затем вычислем $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ и т. д.

Как ни странно, ничего похожего для значений дзета-функции при нечетных значениях $z$ неизвестно. С большим трудом удалось окло-десати лет назад доказать, что число $\zeta(3)$ irrationalно.

От Эйлера ведет свое начало значения Петербургская математическая школа. К ней принадлежал и замечательный русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894). И хотя Чебышева отделяет от Эйлера целое столетие, в его творчестве чувствуется двух эйлеровой математики, эйлеров интерес к свойством натуральных чисел, к изучению свойств конкретиных функций, решения конкретиных проблем, имеющих важное прикладное значение.

Одна вероятностная задача

Какова вероятность того, что наудачу взглядадrobь несократима? Эта задача, поставленная и решенная Чебышевым, тесно связана с исследованием Эйлера. Для современного математика и она сформулирована несликом строго; на сея раз мы подем ему навстречу и уточним постановку задачи.

Для этого возьмем не все доби, а лишь доби, числитель и знаменатель которых не превосходит некоторого числа $N$. К какому числу приближается доля несократимы добей среды выборных добей при неограничном возрастании $N$? Именно, обозначим через $f(N)$ количество несократимы добей вида $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant N$, $1 \leqslant n \leqslant N$. Всего добей такого вида имеется $N^2$. Мы должны найти $\lim_{N \to \infty} f(N)/N^2$ — он и будет вероятностью того, что выборная наудачу добь несократима.

Для того чтобы найти этот предел, возьмем какое-нибудь конкретиное большое $N$, скажем 1000, и посмотрим, сколько добей из миллиона добей вида $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant 1000$, $1 \leqslant n \leqslant 1000$, можно сократить на 2. Для этого их числители и знаменатели должны быть четыями числами. Но количество четыями чисел от 1 до 1000 равно 500, поэтому добей, сократились на 2, будет 500·500, т. е. 250 000. А это как разчетерть общего числа добей, у которых и числитель, и знаменатель не превосходит 1000. Но $1/4 = 1/2^2$, а потому доля добей, не сократились на 2, выражается числом $1 - \frac{1}{2^2}$.

Аналогично устанавливаем, что доля добей, которые нельзя сократить на 3, примерно равна $1 - \frac{1}{3^2}$; доля несократицы на 5 будет $1 - \frac{1}{5^2}$ от общего количества на 5.

Далее, естественно считать, что доби, которые нельзя сократить на 3, будут с одинаковой частотой встречаться среди добей, которые можно сократить на 2, и добей, которые нельзя сократить на 2. Это значит, что доля добей, которые нельзя сократить на 3, среди добей, которые нельзя сократить на 2, тоже будет примерно равна $1 - \frac{1}{3^2}$. Таким образом, доля добей, не сократицы ни на 2, ни на 3, среди добей будет

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right),$$

доля добей, не сократицы ни на 2, ни на 3, или на 5 —

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right),$$

а доля добей, которые нельзя сократить ни на одно простое число (т. е. просто несократицы), выражается бесконечным произведением

$$A = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right) \times \dots$$

$$\times \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) \dots$$

Это означает, что среди $N^2$ добей,

28

Задчи

M1186 — M1190, Ф1193 — Ф1197

M1186. Будем говорить, что два четырехугольника — бумажный и картоный — подходят друг к другу, если картоный можно наложить на бумажный так, что все его вершины попадут на стороны бумажного (по одной на каждой) и при этом, если перегнуть четыре образованшихся маленьких бумажных треугольника на картоный четырехугольник, то они закроют весь его в один слой.

a) Докажите, что если четырехугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны, либо диагонали перпендикулярны.

b) Докажите, что если бумажный четырехугольник — параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картоный.

Н. В. Васильев

M1187. Докажите, что если $m$ четно, то все целые числа от 1 до $m-1$ можно выписать в таком порядке, что никакая сумма нескольких подряд не будет делиться на $m$.

Ф. Г. Шлейфер

M1188. a) Дан 101 прямогольник с целыми сторонами, не превосходящими 100. Докажите, что среди них найдется три прямогольника $A, B, C$, которые можно поместить друг в друга: $A \subseteq B \subseteq C$.

b) Докажите, что среди 1989 прямогольников с целыми сторонами, не превосходящими 100, найдется 40 прямогольников таких, что первый можно поместить во второй, второй — в третьий, …, 39-й — в 40-й.

Н. М. Седракин

M1189*. На плоскости дано $n$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбиают плоскость, можно поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по modulo $n$, так, что по любую сторону от любой из этих прямых сумма чисел равна 0.

Д. В. Фомин

M1190*. a) Докажите, что если в таблице $2n \times 2n$ клеток стоит $3n$ звездочек, то можно вычернуть $n$ строк и $n$ столцов так, что все звездочки будут вычернуть. b) Докажите, что в таблице $2n \times 2n$ клеток можно расставить $3n+1$ звездочку так, что после вычеркивания любых $n$ строк и $n$ столцов останется по крайней мере одна звездочка.

К. П. Кохась

Ф1193. В пространстве二维ется кубик. В данный момент грань $ABCD$ горизонтальная (рис. 1), а скорости точки $A$ и $B$ направлены вертикально вниз и равны по modulo $v$. Известно, что скорость точки $C$ в этот же

29

момент равна по модулю 2v. Какую максимальную скорость могут иметь в этот момент другие точки кубика?

С. С. Кротов

Ф1194. Капилляр сделан из двух тонких стеклянных трубок с внутренними диаметрами $d_1$ и $d_2$ (рис. 2). В него введи большую каплю воды массой $M$. Когда капилляр расположили горизонтальное, вся капля «уползла» в тонкую часть, а когда его установили вертикальное — вся вода из него вытекла. При каких углах между осью капилляра и вертикального капля будет расположаться частично в толстой, а частично в тонкой трубке? Козффициент поверхности натяжения воды $\sigma$, плотность воды $\rho$. Смачивание считать полным.

Р. А. Тилло

Ф1195. Вертикальная труба высотой $H=1$ м и площадью поперечного сечения $S=50$ см$^2$ открыта с двух концов. В нижней части трубы установлен нагревальmente мощностью $N=100$ Вт. Какая скорость восходящого потока установится в трубе? Считайте, что нагревальне не загрязливает поперечное сечение трубы. Атомсферное давление $p_0=1$ атм, температура снаружи комнатная. Молярная теплоемкость воздуха при неизменном объеме $C_V=2,5$ R, где $R$ — универсальная газовая постоянная.

М. М. Цыпин

Ф1196. Работое напряжение лампочки, волт-ампераная характеристика которого приведена на рисунке 3, равно 3,5 В (кривая обращается при напряжении 4 В — лампочка перегорает). Две такие лампочки соединяют последовательно и подключают к источнику с напряжением 5 В. Какой ток потребит по цепи? Какой резистор нужно подключить параллельно одной из лампочки, чтобы напряжение на другой составило 3,5 В? Перегорит ли какая-нибудь из лампочки, если этот резистор заменить еще одной такой же лампочной?

А. Р. Зильберман

Ф1197. При исследовании электрических свойств тонкой пластинки нового соединения было обнаружено, что его проводимость существенно анизотропна: вдоль одного направления (ось $X$) она максимальная, а вдоль перепendlukулярного направления (ось $Y$) — минимальная. Из пластинки вырезали образец в виде полоски длиной $L$ и шириной $d$ ($L \gg d$) под углом $\alpha=45^\circ$ к осям $X$ и $Y$ и подключили к концам полоски источник с напряжением $U_0$ (рис. 4). Измерив напряжение между краями полоски в поперечном направлении, получили значение $U$ ($U \ll U_0$). Определите отношение проводимости вдоль осей $X$ и $Y$.

А. И. Буздин

30

Решения задач
M1161 — M1164, Ф1173 — Ф1177

М1161. В большинстве случаев выполняется 10 шаров. Доказите, что если в нем помещать 9 шаров, то обязательно остатся место для десятою (т. е. центры 9 шаров расположатся по треугольной сетке).

Прием диаметр шара за 1. Задча эквивалентна следующей: доказать, что если 9 точек $K_1, K_2, ..., K_9$, попарные расстояния между которых не меньше 1, размещены в правильном треугольнике со сторонай 3, то они обязательно находятся в вершинах треугольной решетки со стороной 1 (в 9 из 10 черных точек на рисунке). Достаточно доказать, что 6 (или 7) из точек $K_i$ находится в пределах красного шестиугольника, причем они обязательно находятся в его вершинах или в центре $O$ — ведь в каждом угловом треугольнике со стороной 1 (не на красной стороне) может находиться лишь одна из точек $K_i$, причем если на его красной стороне есть другая точка $K_j$, то $K_i$ лежит в вершине большого треугольника.

Ясно, что если одна из 6 точек $K_i$ внутри шестиугольника совпадает с $O$, то остальные лежат в вершинах. Если же все они отличны от $O$, то отрезки $OK_i$, проведенные в эти точки, образуют между собой углы $60^\circ$ (если $\angle K_iOK_j < 60^\circ$, $OK_i \leq 1$, $OK_j \leq 1$, то $K_iK_j < 1$) и $OK_i = 1$.

По-видимому, верен и такой факт: если из 1+2+…+$n=n(n+1)/2$ шаров, вплотную уложенных в треугольную коробку, убрать один шар, то остальные обязательно будут располагаться по треугольной сетке — так что убранный шар можно уложить на место.

Н. П. Дольбин

M1162. Найдите все целочисленные решения уравнений
$$x^3 - 13x \cdot y + y^3 = 13.$$

Введем новые переменные $s = x + y$ и $t = xy$. Тогда уравнение примет вид $s^3 - 3st - 13t = 13$, или
$$t = \frac{s^3 - 13}{3s + 13},$$
(*)

и, следовательно,
$$27t = \frac{27s^3 - 13 \cdot 27}{3s + 13} = 9s^2 - 39s + 169 - \frac{13^3 + 13 \cdot 27}{3s + 13}.$$

Отсюда получаем, что число 3s+13 должно быть делителем числа 2548=13·196. Далее, так как $s^2 - 4t = (x - y)^2 \geq 0$, то
$$s^2 - 4 \frac{s^3 - 13}{3s + 13} = \frac{3s^3 + 13s^2 - 4s^3 + 52}{3s + 13} \geq 0$$
и, значит,
$$\frac{s^2(13 - s) + 52}{3s + 13} \geq 0.$$

Отсюда имеем $s \leq 13$ и $s \geq -4$ (иначе значение дроби отрицательное). Следовательно, 3s+13 лежит в пределах отрезка 1 при делении на 3. Таким делителем у числа 2548=2·2·7·7·13 семь: 1, 4, 7,

31

13, 28, 49, 52. Они дают значения $s$ соответственно: $-4, -3, -2, 0, 5, 12, 13$ и значения $t$ (из уравнения (*)): $-77, -10, -3, -1, 4, 35, 42$. Решая для каждой из этих пар системы

$$\begin{cases} x+y=s, \\ xy=t \end{cases}$$

— для этого достаточно найти корни квадратного уравнения $z^2-sz+t=0$,— мы получаем 7 пар решения (7; 5), (7; 6), (7; -11), (1; -3), (1; -1), (1; 4), (-5; 2). Естественно, выду симметрию исходного уравнения относительно $x$ и $y$ числа в парах можно менять местами, так что всего уравнение имеет 14 решений. Вообще легко видеть, что уравнение $x^3-kxy+y^3=m$ при целых $k$, $m$ имеет конечное число решений в целых числах, если $k^3+27m \neq 0$. Заметим, что уравнение

$$x^3-kxy+y^3=k$$

всегда имеет стандартное решение (1; -1) и, если $k=2p+1$, еще и решение $(p; p+1)$. Однако коэффициент $k=13$ является, в некоторых смысле, почти «уникальным»: все допустимые значения $s$ (отображенные по неравенству $s^2-4t \geq 0$) дают в результате квадратные уравнения, имеющие целые решения. Можно подметить еще одно сравнительное простое свойство уравнения (***), прослеживающееся в данном примере: если $(a; b)$ и $(a; c)$ — решения данного уравнения, то и пара $(a; -b-c)$ — решение этого уравнения (это легко следует из теоремы Виета).

Д. В. Фомин

M1163. Черенаха вышла из точки $A$ и пришла в точку $B$, дв歧ясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки $A$ вышла вторая черенаха, которая в каждой момент времени движалась в направлении перой (с произвольной скоростью) и в конце концов также пришла в точку $B$. Доказите, что пусть, проеденный второй черенахой (к моменту прихода обеих в $B$), не превозходит пути перой.

Пусть к моменту времени $t$ 1-я черенаха прошла путь $L(t)$, вторая — $P(t)$, а расстояние между ними в этот момент — $D(t)$. Докажем, что с течением времени величины

$$f(t)=L(t)-P(t)-D(t)$$

не убивает, т. е. $f(t) \geq f(t')$ при $t > t'$. Отсюда будет следовать утверждение задачи: пусть 1-я черенаха начала движения при $t=0$, а 2-я закончила его при $t=T$, тогда $f(0)=0$, $D(T)=0$ и если $f(T)=L(T)-P(T) \geq f(0)$, то $L(T) \geq P(T)$.

Основное утверждение об $f(t)$ можно доказать по разному. (Например, с помощью произвольной.) Трудность связана с тем, что в задаче решет о произвольных траекториях и произвольных скорости. Мы обойдем эту трудность так: заменим траектории черенах близкими к ним ломанными.

Пусть $M_i$ — положение 1-я черенахи в момент времени $t_i=i\tau$, $\tau=T/n$ ($i=0, 1, ..., n$; $M_0=A$, $M_n=B$); $u_i$ — скорость 2-я черенахи в момент времени $t_i$. Предположим, что 1-я черенаха на отрезке времени между $t_i$ и $t_{i+1}$ проходит отрезок $M_iM_{i+1}$, а 2-я проходит отрезок $N_iN_{i+1}$ длиной $u_i\tau$, направленный к точке $M_i$ (рис. 1;

32

Мы считаем, что $u_0 = 0$, $N_0 = N_1 = A$; если $u_i \tau \geq M_i N_i$, то $N_{i+1} = M_i$). Пусть при этом движении по ломанным к моменту $t_i$ черезх прошли путь $L^*(t_i)$, $P^*(t_i)$ и находятся на расстоянии $D^*(t_i)$ друг от друга. (На каждом интервале $[t_i, t_{i+1}]$ эти функции мы считаем линейными.) Положим $f^*(t) = L^*(t) - P^*(t) - D^*(t)$. Поскольку (см. рисок 2)

$$D^*(t_i) = N_i M_i, L^*(t_{i+1}) = L^*(t_i) + M_i M_{i+1},$$
$$P^*(t_{i+1}) = P^*(t_i) + N_i N_{i+1}, D^*(t_{i+1}) = N_{i+1} M_{i+1},$$

получим

$$f^*(t_{i+1}) - f^*(t_i) = M_i M_{i+1} - N_i N_{i+1} + M_{i+1} N_{i+1} - N_i M_i = N_{i+1} M_i + M_i M_{i+1} - N_{i+1} M_{i+1} \geq 0.$$

Итак, функция $f^*(t)$ — неубывающая. Отсюда следует, что и $f(t)$ — неубывающая: при достаточно большом $n$ ломанные $M_0 M_1 \dots M_n$ и $N_0 N_1 \dots N_n$ будут сколь годно близки к траекторям черезх, а функция $L^*$, $P^*$ и $D^*$, $f^*$ — соответственно к функциям $L$, $P$, $D$ и $f$, и если бы оказалось, что $f(t) > f(t')$ при некоторых $t > t'$, то должно быть $f(t_{i+1}) > f(t_i)$ при некоторых $i$ (для достаточно большого $n$).

С. Ю. Орвеков, А. Х. Шень

M1164. Натуральное число $n$ называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, меньших $n$ (например: $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$). Доказите, что нечетное совершенное число (если такое существует) не может одновременно делиться на 3, на 5 и на 7.

Пусть $n = p_1^{k_1} \dots p_r^{k_r}$ — разложение числа $n$ на простые множители. Тогда сумма $S(n)$ его делителей, включая 1 и $n$, равна $(1 + p_1 + \dots + p_1^{k_1})(1 + p_2 + \dots + p_2^{k_2}) \dots (1 + p_r + \dots + p_r^{k_r})$. (*)

Поскольку $n$ совершенное, $S(n) - n = n$, т. е. $S(n) = 2n$. Если $n$ и все его простые множители $p_1, p_2, \dots, p_r$ нечетны, то в произведении (*) одна из сумм в скобках четна, а остальные — нечетны. Пусть $k_1 = 2m + 1$, тогда

$$1 + p_1 + \dots + p_1^{2m + 1} = (1 + p_1)(1 + p_1^2 + \dots + p_1^{2m}).$$

позному $p_1 \neq 3$ и $p_1 \neq 7$ (инначе $S(n)$ делится на 4). Если среднее число $p_1, p_2, p_3, \dots, p_r$ встречаются 3, 5 и 7, причем $p_1$ отлично от 3 и 7, то

$$\frac{S(n)}{n} \geq \left(1 + \frac{1}{p_1}\right)\left(1 + \frac{1}{p_2} + \frac{1}{p_2^2}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{p_r} + \frac{1}{p_r^2}\right) \geq$$

$$\geq \left(1 + \frac{1}{5}\right)\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right)\left(1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49}\right) =$$

$$= \frac{6 \cdot 13 \cdot 57}{5 \cdot 9 \cdot 49} > 2.$$

Это противоречит равенству $S(n) = 2n$.

В. В. Шабунин

Ф1173. Длиний irregular noeэд, составленный из большого числа ва-

По мере подъема в «мертвуо петлю» скорость поезда уменьшается. Она достигает наименьшего значения $v$, когда «петля» целиком заполнится составом (а потом

33

онов, едет с постоянной скоростью по горизонтальным рельсам, а потом вззаяет в «мертвую петлю» (рис. 1). Длина поезда L, радиус петли R (R сущестевенно большие размеры вагона, но L>2πR). При какой начальной скорости поедет преодолет пренятие так, что во время движения ни один вагон не перестанет давать на рельсы?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

изменяться не будет). Запишем для этого и начального моментов закон сохранения энергии:

$$\frac{Mv_0^2}{2} = \frac{Mv^2}{2} + \left( M \frac{2\pi R}{L} \right) gR,$$

(1)

где M — масса всего поезда, v₀ — его начальная скорость, M(2πR/L) — масса вагоничков, находящся в «петле», R — высота их центра масс.

Пока вагоничок находится в контакте с рельсами, на него со стороны рельсов действует сила реакции. Наименшей силы реакции соответствует наивысшая точка «петли». В предельном случае сила реакции равна нулю. При этом на вагоник (рис. 2) действуют силы тяжестей mg (m — масса вагоника) и силы натяжения T со стороны сцепок с двумя соседними вагоничками. Раводействующая этих сил направлена вертикально вниз и сообщает вагонику необходимое центростремительное ускорение v²/R:

$$2T(\alpha/2) + mg = mv^2/R.$$

Здесь мы учили малость угла α=l/R, под которым виден вагоник длиной l из центра «мертвой петли», и заменили синус малого угла симм углом. Заметим также, что m=(l/L)M=(αR/L)M (если пренебречь промежутками между вагониками). Тогда предыдущее уравнение можно записать в виде

$$T + \frac{R}{L}Mg = M\frac{v^2}{L}.$$

(2)

Тепер найдем силу натяжения T. Расмотрим часть состава, которая забирается в «мертвую петлю» (рис. 3). Пусть состав смесителя на малое расстояние Δx, тогда сила T произвела работу A=TΔx. Но поскольку скорость поезда не изменилась, эта работа должна быть равна изменению потенциальной энергии участка состава длиной Δx и массой Δm=(M/L)Δx, поднявшегося на высоту 2R (см. рис. 3). Итак,

$$T\Delta x = 2\frac{M}{L}\Delta xRg,$$

и T = \frac{2MRg}{L}.

(3)

Объединив равенства (1) — (3) в системе, находим исходную начальную скорость поезда:

$$v_0 = \sqrt{Rg(3+4\pi R/L)}.$$

А. И. Буздин

Ф1174. В кубическом соусе объемом V=1 л находится m=0,01 г целая при температуре T=300 K. Понадлюдаем за одной из молекул. Сколько раз она удапится о верхнюю стенку соуса за время t=1 мин?

Если время, заданное в задане, достаточно велико (это следует проверить), то все молекулы будут сталкиваться с выделенной стенкой соуса одинаково часто. Тогда искомое число уdarов

$$n_{уд} = \frac{n_{уд обш}}{N},$$

где n_{уд обш} — общее число уdarов о стенку, N — количество молекул в соусе.

34

Для оценки $n_{yd}$ поступим следующим образом. Обозначим площадь стены через $S$ ($S=(\sqrt[3]{V})^2$) и концентрацию молекул через $n$ ($n=N/V$). Очевидно, что за время $t$ о стенку ударятся все те молекулы, которые находимись от нее на расстоянии $\bar{v}_x t$ ($\bar{v}_x$ — среднее значение молекул соответствуют компоненты скорости) и двигались по направлению к стенке, т. е.

$$n_{yd} = \frac{1}{2} n \bar{v}_x t S.$$

Тепер оценим $\bar{v}_x$:

$$\bar{v}_x = \sqrt{\bar{v}_x^2} = \sqrt{\frac{1}{3} v^2} = \sqrt{\frac{RT}{M}},$$

где $R=8,31$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная, $M=4 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль — молярная масса гелия.

Таким образом, окончательно получаем

$$n_{yd} = \frac{n \bar{v}_x t S}{2N} = \frac{1}{2V} \sqrt{\frac{RT}{M}} t V^{2/3} = \frac{\sqrt{RT/M} t}{2V^{1/3}} \approx 2,5 \cdot 10^5.$$

Другими словами, если не учитывать столковенный молекул между собой, то $n_{yd} = (v_x t)/(2a)$, где $2a=2V^{1/3}$ — путь молекулы «от потолка до потолка».

Нам нужно теперь обосновать выбранную модель. Для этого оценим длину свободного пробета молекулы, т. е. среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя соударениями с другими молекулами:

$$\lambda \approx \frac{V/N}{\pi d^2} = \frac{1}{\pi d^2 n},$$

где $d \sim 10^{-10}$ м — диаметр молекул. При нормальных условиях в 1 м$^3$ любого газа содержится $\approx 2,7 \cdot 10^{25}$ молекул. Поэтому $\lambda \approx 10^{-6}$ м и среднее смешение молекулы за время $t$ равно

$$\bar{x} = \sqrt{\lambda v_x t} \approx 1 \text{ м},$$

что существенно больше размера сосуда. Значит, перемешивание действительно эффективно «разравнивается» молекулы.

А. Р. Зильберман

Ф1175. НЛО проletaет над Землей с постоянной оцень большой скоростью $v$. Какую скорость зафиксирует наземные пробы станицы слежения в тот момент, когда направление на объект будет составлять угол $\varphi$ с вертикалью (рис. 1)?

Пусть от момента проleta НЛО близкий к наблюдаемой точки $A$ (рис. 2) до данного момента (до точки $B$) прошло время $t$, причем это время отсутствовало по неподвижным часам, находимся в точке $B$. Обозначим высоту проleta НЛО над Землей через $l$. Тогда путь, пройденный объектом от $A$ до $B$, равен

$$vt = l \ tg \ \varphi.$$

Наблюдайте же увидит светящийся объект в точке $B$ несколько позже (из-за конечности скорости распространения света $c$), и его часы покажут время