Квант 1989, №11 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1989

1

В номере:

2 Ю. Р. Носов. Оптическая память
8 С. Л. Табачников. Дифференциальная геометрия вокруг нас
14 А. В. Жиглевич, Н. Н. Петров. О четырех решений уравнения $x^2=x$
19 В. А. Давыдов. Как индейцы бросают томагавк?
Задачик «Квант»
Задачи M1191 — M1195, Ф1198 — Ф1202
Решения задач M1166 — M1169, Ф1178 — Ф1182
О треугольном биллярде
«Квант» для младших школьников
Задачи
М. П. Бронштейн. Лучи «икс»
Калейдоскоп «Квант»
Р — значит ракета
Космическая парсная регата
Школа в «Квант»
Физика 8, 9, 10:
Симметрия и физические свойства кристаллов
Дифракция света на круглом ответии
Информация и программирование
В. О. Шварцман. ЭВМ и электроны
Математический кругжок
В. Г. Волгянский. Паркет из четырехугольников
Практикум абитриента
И. А. Кушинр. Геометрические решения негеометрических задач
Олимпiadы
XXIII Всесоюзная олимпiadа по математике
XXIII Всесоюзная олимпiadа по физике
II Всесоюзная олимпiad школьников по информаике
Ответы, указания, решения
Нам пишут (33)
«Квант» улыбается (64)
Смесь (60)

Наша обложка
Паркет из четырехугольников — см. с. 57.
На этой картине французского примитивства Анира Руссо изображены четыре корня уравнения… Какого?
Вы узнаете ответ, если посмотрите на с. 14.
Шахматная страница.
Спирали из «змеек» Рубика.

© Издательство «Наука»,
Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1989

2

Память, несомненно, является определенным атрибутом человекаской существии. Развитая способность запоминания, хранения, воспоминания самой разнообразной информации выделяет человека среди всех представителей животного мира. Именно память делает человека Человеком. Те из вас, кто прочитал «Буранный полустанок» Чингиза Айтматова, наверняка запомнили мрачную легенду о манкурах. У людей «убивали» память, и они становились надежными, естественные телохранители своих владык, способными не рассуждая убить собственную мать. Человек, потеряший память, сохранил человека облик, но стал чудовищем.

Совокупная память отделных индивидуумов, коллективная память всего человекаского сообщства, материализованная в книгах, картинах, потах, фотографиях, чертежах, кинофильмах, грампластинках и во многом-много другом, составляет существенные цيруны.

С возникновением вычислительной техники появились и начали развиваться приципально новые средства памяти — электронные. Функциональное назначение запоминающих устройств (ЗУ) заключается в записи, хранения и неразрушающей считывании записанной информации. Характеристика память ЭВМ, обычно говорят об нераххическом принципе ее построения как наиболее целесообразном. Рядом с процессором трудятся оперативные ЗУ, очень быстрые, но не очень емкие; вне ЭВМ — архивные ЗУ, обладающие огромной емкостью, но значительное более медленное. И — многочисленные разновидности ЗУ промежуточного типа. Образно все «зание» память ЭВМ представляет в виде парамиды, острую вершину которой составляют оперативные ЗУ, а массивное основание — архивные.

Одна из определенных tendений программы ЭВМ заключится в операционной системе,ускоренным средством памяти — современные компьютеры не столько «вычислют», сколько манипулируют с данными, хранящимися в запоминающих устройствах. Подсчитано, что для вступления в так называемое «информаное общество» — общество, в котором компьютеризация охватит все сферы производства, управления, науки, образования, культуры, быта, развлечений,—ежедневный прирост емкости ЗУ в расчете на одного человека должен приблизиться к 1 млрд. бит (такая информация содержится приблизительно в сотне книжных томов).

Замечено, что «пирамида памяти» с течение времени «деформируется», все более «заострясь» вверху и уродливо «расползаясь» у основания. И это понятно. Оперативные ЗУ, занимающие верхние этажи парамиды, нашли для себя в полное подходящий элементную базу — это полупроводниковые интерgalные схемы, подобные тем, которые используют в процессе. Вот поэтому-то процессор ЭВМ и его оперативное ЗУ идут в будущее «рука об руку», в полном согласию друг с другом.

В нижних этажах парамиды гармония разрушается. «Строительная материал» архивных ЗУ — магнитные ленты и диски — тоже непрерывно програмсирует, но за полупроводниковыми собраниями им не угнатся. И чем более производительными становится ЭВМ, тем является проявляется «тирания» архивных ЗУ, передко они требуют для своего разме

3

шения огромного зала, тогда как процессор умешается в одной стандартной стойке.

Уже в конце 60-х годов начал осуществляться дискомфорт; в 70-е годы громко заговорили о дисгармонини получодниковых микропроцессоров и магнитных 3У как об очень проблеме. Вычислительная техника стала очень благоклонно относиться к появлению альтернативных направлений в развитием среды памяти. Важнейшее место среди них заняла оптическая память, суляшая информаτικές наболее радужные перспективы. Первыми оптическими 3У, появившимися в промышленности ряда развитих стран в 1984 году, стали оптические дисковые накопители (ОДН). Идея их проста.

Кто из нас в раннем детстве неувлекался выжиганием на фанерках, фокусируя солнечный свет с помощью линзы? Если выжженную точку отложить с логической единцией («1»), а нетронутую поверхность — с логической нулем («0»), то на фанерке можно записать нужную информацию, а процесс записи — это уже, как говорится, «дело технически». Конечно, в заполненной устройстванике не использует свет от солнца (его не собрать в маленькое пятно — фокус всегда размаzan, по перipherии пятна расходятся радужные колца), да и фанерка как носитель информации, размещется, не годится. Нужен мощный монхроматический излучатель с узкой диаграммой направленности, интенсивность которого можно просто и быстро модировать, излучатель миниаторный и долговечный. Развитие техники подготовило такой излучатель — это получодниковый инженционный лазер (см. «Квант», 1988, № 11—12). А носитель пришлось создавать специально — об этих «оптических дисках» ниже.

В структуровой схеме ОДН (рис. 1) центральное зено — это и есть оптический диск, на котором лазерный луч оставляет метки памяти. Для записи луч фокусируется на поверхности врашающего диска; мощность луча подбирается такой, чтобы метка образовательась за несколько десятиков наносекунд. При этом метка не размазывается вдоль дорогки, а сохраняет форму кружочка, и обеспечивает достагоно высокая скорость записи. На источник импульсного возбуждения поступает от ЭВМ последовательность командных импульсов, и по этой программе лазер то дает яркую вспышку, то гаснет на мгновенье — так записьаемая информация «вводится» в световой луч и передается им на врашающей носитель. После каждого оборота диска луч лазера переводится на следующую дорогку, и запись продолжается. Кроме информационных меток, наносится еще и вспомогательные — метки следения за дорогкой и метки считывания. Первые признаны «удерживать» лазер на дорогке: если он чуть сокольнет, то механизм обратной связи возвращает его на «путь истинный». Метки второго видаускоряют поиск нужного массива, они образуют ключифр.

При считывании модуляция отключается, излучение поступает непрерывно. Мощность лазера снижается настолько, что были луч не мог ни создать новых меток, ни исказить существующие. «Ощупывая» врашающая диск, луч по-разному отражается от меток и отнетронутой поверхности. Таким образом записанная информация переходит в луч считывания, затем попадает на фотоидод, где пребрается в электронные импульсы, которые после успешного поступа на выход накопителя.

Важнейшим параметром ОДН является минимальный диаметр метки, создаваемой лазером, — он определяет плотность записи информации на носитель (бит/cm²). Известно, что на какие бы ихшищения мы ни пускались, световой поток невозможно свести в геометрическую точку — явление дифракции приводит к тому, что минимальный диаметр фокусированного пятна близок к длине волны λ использующего излучения. Но одно дело теория, другое — реализность. Попробуйте собрать в такое пятный шкоlet от общей лампоки накапливания —

5

соединяются не бумагой, на которой выполнен рисунок 1, и не стрелками, изображаются шimizми световые лучи. Кроме того, надо врашать диск, переводить лазерный луч с дорогки на дорогку, изменять положение следующего зеркала. Все это выполняет электромеханический сервисный код, должен обеспечить высокое постоянство скорости вращения, мгновенные остановки и изменения направления вращения, отсутствие бейеня, точную фиксацию совмещающихся элементов. Причем все должны выполнять все зависимости от износа трушихся деталей и их температуры деформаций. Указем для примера, что радиальные биния должны быть не более 0,1 мкм, а нестабильность скорости вращения — на уровне 0,01 %. К счастью, и для традиционных 3У подобные сервисные необходимы, причем все более совершенные и прецизионные. Скажем, зазор между магнитной головкой и магнитным диском должен составлять 0,1 мкм, а в некоторых специальных случаях — и 0,01 мкм; при этом даже микробы и вирусы на поверхности диска становятся помехой. Азродинамика подобных систем «вылизана» настолько, что ей могли бы позавидать и создатели знаменитых МИГ-29. Так что и в области сервисировода оптического что позаместровать у предшествников. И она, разумеется, позаместровала. Окажется ли это достаточно для оптических накопителей? Не станет ли механика тормозом, а то и вовсе не преодолимым барером на пути их прогресса? Ответ на эти вопросы сейчас неоднозначен. Подыскивать положительные аргументы становится все труднее… Однако и пессимизм здесь вряд ли оправдан — время ведь что-то подскажет, да и сегодняшие успехи ОДН настоявают скорее на максимый лад.

Постотрим теперь, что же представляется собой оптический диск. Найболее распространенным методом записи оптических импульсов стало выжигание, проплавление микроотверстией в тонкой металлической пленке.

Чтобы этот процесс протекал наилучшим образом, на шитательно отполированной поверхности стеклянной заготовки изготавливается четырехслойная пленочная структура (рис. 2). Лучлазера фокусируется на пленке рабочего металла (5) и в небольший области разогрева его до расплавления. Силы поверхностного натяжения растягивают расплав, и в пленке раскрывается сквозное отверстие. Толщина пленки ничтожна, она не превышает 0,02—0,05 мкм, поэтому форма ответия повторяет сечение лазерного лука, а диаметр ответия может быть даже несколько меньше указанного раннее диффрационного предела. Удается получать ответия диаметром 0,3—0,5 мкм; в промышленных 3У размеры ответия обчено близки к 1 мкм, а расстояния между соседними ответиями и между дорогками — около 2 мкм.

При других сложных структуры также важны, какый из них «делает свое дело». Диэлектрический подсой (4) делается из материалов с большим коэффициентом отражения — это обладает различие «0» и «1» при считывании. Алюминиевый экран (3) возвращает назад лучи, которые, не поглотившись, прошли через пленку металла, и тем самым повышает эффициент.

Рис. 2. Выжизание меток или образование микровздутина на оптическом диске.
1 — заготовка, 2 — отполированный подсой, 3 — отражатель, 4 — диэлектрик, 5 — телур, 6 — покрытие.

6

фективность использования лазерной энергии. Верхнее только произное зашитное покрытие обеспечивает надежность записи и считывания — случайные пылики, освещие на его поверхности, не восприняются оптической системой, так как они находятся не в фокусе микрообъекта 2. Если бы пылики попадали прямо на металлическую пленку, они «работали» бы точно так же, как метки, искажая смысл записанного.

В качестве материалов рабочого слоя чаще всего использовется телур — он просто нарыляется в виде однородных тонких пленок, легко плавится, в нем долго сохраняются выженные отверстия. Ускоренные испитания позволяют оценить срок хранения не менее чем в 10 лет.

Еще лучше результаты по долговечности дает замена телур на титан или платину — более 30 лет хранения. Но это требует увеличения мощности лазерного лука, поэтому вместе проплавления использует метод создания микровздутий. Для этого диэлектрический подсолю изготовлен из материалов с низкой температурой испарения — при нагреве образуется пузырек пара, вспучивающий нерасплавившуюся металлическую пленку. Считывание информации основывает на том, что отражательная способность видения намного выше, чем у неисскаженного участка поверхности металла.

Первые успешные исследования — теперь уже никто не содерживает благоговение перед уникальной лазерной технической Оказалось, что оптические диски можно изготовить и из пластиссы. Однако английская фирма разработала совсем дешевую пленку, свойствами направляющего объективную бумагу и пригодную для выживания методок.

Все это носит для однократной записи — хозяйн ОДН может по своему желанию единжды заполнить их в дальнейшем читать записанное столбко раз, сколько захочет. А почувству для них подготовили постоянные носители, появившиеся еще в 1972 году.

Они изготовливаются в фабричных условиях. В специальной студии на установке, использующей мощный газовый лазер (λ≈0,48 мкм), информация записывается на оптический диск путем выживания ответств. Только диск этот сделан особенно тщательно, а запись ведется особенно аккуратно. В результате получается образцовый диск — его называют мастер-диском, оригиналом. С мастердиска традиционными методами полигraphический технологии изготовления металлические матрицы. С матрицы отличная установка воспроизводит пластмассовые копии — по 3—4 штуки в минуту. На них затем нарылят тончайшую алюминевую или золотую пленку — участки металла на плоской поверхности и во颁инах обладают разными отражениями свойствами. Затем две копии склеивания ребефом внутри (для защиты) — и двусторонняя пластинка готова.

Как говорится, «дешево и сердито». Конечно, дешево только в том случае, если с одного оригинала наштамповать, например, сотню тысяч, а еще лучшие миллион одинаковых копий. А это возможно лишь при записи определенной спецификации информации. Так и появились вначале аудиодисски с очень качественной цифровой записью музыкальных программ, а затем — видеодисски с телевизionной «начинкой». Все рекорды массовости повышают рок-видеоклипы, обеспечившие две современные формы развития — рок-муззы и телевидение. Проигрыватели оптических дисков (их часто называют лазерными электрофонами) получают все более широкое распространение в развитых странах.

Все это хорошо, скажете вы, но как можно оптические дискы ставить в один ряд с магнитными? Ведь магнитную запись хозяйнь — храншь, хозяйнь — стираешь и пишешь новое. И полки захламлят не надо, да и деньги попусту не расхудются. А оптическая запись — что-то вроде насакальной живописи: нарисованное сохраняется наеки, но для

7

каждого нового рисунка нужна новая скала.

Оптические диски для многократной перезаписи информации — их еще называют реверсивными, страемыми дискими — пока еще не получили повышенное промышленного распространения, но несколько подходящих физических эффектов, делающих их изготовление удобным и выгодным, уже подобрано.

Пока наиболее симpatичные прибрежные магнитоптические диски. Некоторые ферромагнитные пленки, например сплавы «марганец — висмут» или аморфный состав «железо — кобальт — гадолиний — тербиий», в местах разогрева лазерным лучом меняют свои магнитные свойства (как иногда говорят, меняют магнитную полярность). Вследствие этого «превращенные» участки — метки записи — изменяют поляризацию отраженного луча света иначе, чем остальная поверхность. Если в схеме, приведенной на рисунке 1, на выходе лазера помещить поляризатор, а перед фотодiodом — анализатор, то при считывании лучи, отраженные от метки и отнетронутой поверхности, вызовут разную реакцию фотодiodа. Различие это очень незначительное, логическое «1» и «0» очень «похожи» друг на друга, но современная электроника умудряется их различить. Для страницы весь диск либо помещают в магнитное поле, либо нагревают и охлаждают. Похоже, что цикл «запись — считывание — стирание» можно повторять сколько годно раз — магнитоптические диски не «утомляются», и в этом их основное достоинство. Но это время хранения не превышает всего двух лет — утерано достоинство оптических дисков и «приобретен» порок магнитных. И еще одно. Для магнитоптических дисков не годятся обычные лазерные электрофоны, расчитанные на диски с выженными отвергениями или с микроведутями,— нужны новые проигрыватели.

Терять уже прибрежное кому же захочется — поэтому и другие реверсивные носители. В некоторых

10

При разрыве параллеля возникает продольная трещина — сосска лопается вдоль*). Если вам кажется, что сосски не стоит внимания, то скажу, что точно так же — вдоль, а не поперек — лопаются трубы газопроводов. В случае цилиндрической трубы причина особенного понятна: при сdwите образуощая цилиндра вовсе не удлияется.

Почему линяя сиба листа бумаги пряма? С этим вопросом я тоже «приставал» ко многим своим знакомым. Самый распространенный ответ такой: линяя сиба — это линя пересечения двух плоских половинок листа бумаги. А пересечение плоскостей — пряма. Меня этот ответ не убеждает: лист бумаги можно сложить на весь, и тогда он не будет идеально плоским, а линяя сиба все равно получится прямой. А можно складывать бумагу на неровной поверхности — результат получится тоже.

Что происходит с листом бумаги при складывании? Одна его положика накладывается на другую сохраненем расстояний — ведь лист бумаги нерастяжим (см. статью «Геометрия листа бумаги» в «Кванте» № 9 за 1988 год). Говоря более математically, возникает отдельное листья в себя, которое сохраняет расстояния. Такое обрабатение называется изометрией, а линяя сиба — это кривая, образованная неподвижными точками этой изометрии.

Предположим, что линяя сиба где имеет ненулевую кривизну. Отступов от линей сиба в этом месте bleiben иправо на небольшое расстояние ε, мы получим две линей длинами $L_\varepsilon$ и $L_{-\varepsilon}$ — см. рисунок 3.

Поскольку кривизна отлична от нуля, $L_\varepsilon > L > L_{-\varepsilon}$. С другой стороны, изометрия обрабатывается одну синюю линю на другую. Поэтому их длины равны: $L_\varepsilon = L_{-\varepsilon}$. Возникает противоречие, которое показывает, что кривизна красной линей нулевая, т. е. эта линя — пряма*).

Как это часто бывают, мы доказали больше, чем собирались. Изометрия бывают не только у плоских поверхностей. Например, сфера симметрина относительно плоскости, проходящей через центр, а цилиндр (не обязательно круговой) — относительно плоскости, перpendикулярной оси. Линии, составленные из неподвижных точек изометрий, обладают тем свойством, что их кривизна вводится нулевую. Это значит, что если отсутствует линия на малое расстояние, то скорость относительной изменения длины в каждой точке будет равна нулю: $\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{L_\varepsilon - L}{\varepsilon L} = 0$ при $L, \varepsilon \to 0$. Такие линии называются геодезическими (и они также расскажены в статье «О кривизне»). Геодезические линии, конечно, поворачиваются в пространстве, но только в направлении, перpendикулярном поверхности. А еще их можно описать, как траектории свободной частицы на поверхности, т. е. частицы, которые движутся по инерции.

Наше рассудение доказывает такую теорму:

если изометрия неоторой поверхности меняет ее ориентацию и на поверхности имеет кривая, составлен-

*) Другое объяснение см. в брошюре «Понимеете ли вы физику?» (М.: Знание, 1967, задача № 80).

*) Другое объяснение дает М. Гарднер в одной из своих книг.

12

уменный площад, подобно тому, как упругая резинка стремиется уменный площад своего длину. Средняя кривизна пленки не может быть отличной от нуля — ведь тогда при нормальном сдвиге ее площад уменный площад бы, а она и так минимальная. Поэтому поверхности, средняя кривизна которых равна нулю — это поверхности всевозможных мыльных пленок. Они называются minimalbimu и могут иметь довольно замысловать форму (см. статью «Минimalные поверхности» в «Кванте» № 6 за 1983 год).

Возьем замкнутую выпуклу поверхность площадью $S$ и сдинем ее в нормальном направлении на расстояние $\varepsilon$. Чему равна площад $S_c$ новой поверхности? Ответ такой:

$$S_c = S + 2\varepsilon I + 4\pi\varepsilon^2,$$

где $I$ — интеграл средней кривизны по исходной поверхности. Кстати, коэффициент 4л при $\varepsilon^2$ тоже равен интегралу по поверхности — только не средней, а гаusscovой кривизны (это доказано в статье «О кривизне»).

Доказать формулу для $S_c$ можно так же, как в плоском случае, т. е. приближая поверхность многограннком. Нужно только понять, что является аналогом средней кривизны для многогранных поверхностей. Но это уже tema для отдельного разговора…

Задча 3*. Замкнутая выпуклая поверхность площадью $S$ ограничивает объем $V$. Какой объем ограничивает сдинитная на $\varepsilon$ поверхности?

Кривизну изменяет… мятник. Вы, конечно, слышали о мятнике Фуко. А многое видели его, например, в Исаакиевском соборе в Ленинграде. Плоскость колбаний этого мятника с течение времен поворачивается относительно Земли. Причина становится особенно понятной, если мятник подвешен на полюсе. Плоскость его колбаний остается неизменной, а Земля вращается, поэтому относительно Земли поворачивается плоскость колбаний мятника. При приближении к экватору этот эфект ослабевает, а на самом экваторе и вовсе пропадает.

Такое поведение мятника вызвано тем, что его точка подвеска движется (вращаясь вокруг оси Земли). Удобно считать Землю неподвижной, а перевигается только точку подвеска мятника. Итак, берем в руку нить с подвешенным на ней грузом и отправляемся в путь. Сначала仔дем по экватору. Плоскость колбаний мятника не будет поворачивать относительно направления движения просто в силу сметрии, ведь экваторальная плоскость — это плоскость сметрии сферы. По аналогичной причине эфект мятника Фуко отсутствует при движении по меридиану, и вообще по любой большей окружности сферы — на неподвижной сфере каждую из них можно считать экватором. Если же траектория движения — произвольная кривая, то ее можно приближить ломаной, состоящей из отрезков больших окружностей. При движении по этим отрезкам угол между ними и плоскостью колбаний не меняется, а в углах ломаной направление движения поворачивается относительно направления колбаний. Следовательно, чем сильнее отличается траектория от большей окружности, тем сильнее эфект мятника Фуко.

Предположим теперь, что планета имеет произвольную форму, например форму элиписона (или даже тора!). Предположим еще, что сила тяжести по-прежнему перpendикулярна поверхности, и снова задаимся вопросом о поверхности мятника при движении его точки подвеса. Какие кривые на поверхности играют роль больших окружностей сферы? Конечно, геодезическая линей. По-видимому, если идти по геодезическим, плоскосте колбаний не будет поворачивать относительно направления движения…

Если бы геодезическая лежала в плоскости сметрии поверхности, то все доказываюсь бы точно так же, как в случае сферы. К сожалению, этим свойством геодезических обладается не обязаны (хотя, как мы видели, если плоскость сметрии есть, то кривые, лежшие в ней —

13

геодезическая). Дело можно поправить, если взять на поверхности узкую полоску шириной 2ε, для которого геодезическая служит средней линия. Рассмотрим симметрию этой полоски относительно геодезической. Эта симметрия, конечно, может не сохранять расстояния. Однако, как мы знаем, изменения длины геодезической при сдвиге в нормальном направлении имеет второй порядок малости по ε. Позмоту искажение длини при симметринии полоски — величина второго порядка малости по ε (т. е. предел отношения искажения к ε равен нулю при ε→0).

Это рассужждение можно сделать более нагладным. Чтобы получить геодезическую, достаточно плотно прижать к поверхности узкую бумажную полоску (см. статью «О кривизне»). Средняя линия полоски — ее ось симметрии. Позмоту геодезическая — это «почти» ось симметрии полоски на поверхности.

Итак, начнем двигаться по геодезической. Угол α между направлением колебаний и направлением движения — функия от времени t. Поскольку геодезическая с точностью до малых второго порядка является осью симметрики полоски на поверхности, функия α(t) — постоянная с точностью до членов второго порядка по t. Это значит, что произведение по времени α′(t) равна нулю при любом t, т. е. α(t) — постоянная. Следовательно, при движении по геодезической эфект магнитка Фуко отсутствует.

Рассмотрим теперь произвольную траекторию движения. Ее можно приблизить геодезической ломаной, и повторить полоски колебаний относительно направления движения произходит только в ее вершинах. Значит, чем больше отличия траектория от геодезической, тем сильнее эфект магнитка. Величина, которая изменяет это отличие, называется геодезической кривизной линии на поверхности. Она определяется так же, как кривизна линии на плоскости, — это скорость изменения длины кривой при нормальном сдвиге. Итак, магнитка — это прибор для изменения геодезической кривизны линии на поверхности.

Все это можно сказать и инчае. В статье «О кривизне» определялен паалельный перенос на поверхности. Его результат зависит от путь, вдоль которого он проискодит; если этот путь — геодезическая, то каждое направление при перенос сохраняет с ней постоянный угол. Этот условием перенос однозначно задается. Наш результат о магнитке можно формулировать так: при движении точки подвеска магнитка направление его колебаний переносится паалельно вдоль траектории движения.

Вернемся на Землю и найдем скорость поворота плоскости колебания магнитка на шире φ. Угол поворота за сутки образован начальным направлением и направлением, полученным из него паалельным переносом вдоль параллели с ширеой φ. Чтобы найти этот угол, построим конус, касающийся сферы вдоль этой параллели (см. рис. 7). паалельный перенос на сфере приводит к тому же результату, что на конусе. Но конус можно разрезать и развернуть на плоскость. Позмоту искомый угол равен углу получившегося кругового сектора. А он равен 2π sin φ.

Задачи
4. Докажите это.
5. Найditе геодезическую кривизну паалельни сферы радиусом R с ширеой φ.

Итак, поворот плоскости колебаний за сутки составляет 2π sin φ, а скорость поворота равна 2π sin φ/24 радиан в час. Для магнитка в Исаакиевском соборе (φ≈60°) это примерно 13° в час.

15

О ЧЕТЫРЕХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ $X^2 = X$

А. В. ЖИГЛЕВИЧ,
доктор физико-математических наук
Н. Н. ПЕТРОВ

Прежде чем убедить читателя, что уравнение $x^2 = x$ имеет не два решения, как думают все, а четые, как утверждается в заглавии статьи, мы обратимся к следующему беспорядному факту. Если натуральное число окачивается (в десятичной записи) цифрой 0, 1, 5, 6, то такой же цифрой окачивается его квадрат. То же относится к двумячных окончиям 00, 01, 25, 76, т. е. если окачивается одной из этих пар цифр, то его квадрат окачивается той же парой цифр (например, $176^2 = 30976$, $225^2 = 50625$ и т. п.). Аналогичным свойством обладают трехначные окончиания 000, 001, 625, 376. В то же время никакие другие однозначные, двухначные и трехначные окончиния подобным свойством не обладают. В чем тут дело? Ответ дает Теорема. При любом $k$ существуетровно 4 набора из $k$ цифр — 00…00, 00…01 и еще два, окачивающейся соответственно пагерой и шестеркой,— обладающие таким свойством: если натуральное число окачивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат окачивается тем же набором цифр.

Для убедительных мы даим два доказательства этой теоремы. Впрочем, сначала разберемся, что же мы должны доказать. Мы ищем целое число $x$, $0 \leqslant x < 10^k$, такое, что для любого целого $a \geqslant 0$ квадрат числа $10^k a + x$ (так записывается произвольное число, $k$-значное окончание которого совпадает с $x$) имеет вид

$$10^k b + x, \quad b \text{ — целое число. Но } (10^k a + x)^2 = 10^k (10^k a^2 + 2ax) + x^2; \text{ поэтому наше условие состоит попросту в том, что } x^2 - x \text{ делится на } 10^k. \text{ Итак, наша задача формулируется предельно просто: найти все целые } x, 0 \leqslant x < 10^k, \text{ такие, что } x^2 - x \text{ делится на } 10^k. \text{ Мы должны убедиться в том, что задача имеет 4 решения и что эти решения обладают указанным в формулировке теоремы свойствми.}$$

Первое доказательство. Итак, разность $x^2 - x = x(x - 1)$ должна делиться на $10^k = 2^k 5^k$. Но числа $x$ и $x - 1$ не могут делиться одновременно ни на 2, ни на 5. Это оставляет нам четыре возможности:

(1) $x$ делится на $10^k$;
(2) $x - 1$ делится на $10^k$;
(3) $x$ делится на $2^k$, а $x - 1$ делится на $5^k$;
(4) $x$ делится на $5^k$, а $x - 1$ делится на $2^k$.

Так как $x < 10^k$, то первая возможность реализуется только при $x = 0$; аналогично, вторая возможность реализуется только при $x = 1$.

В случае (3) число $x$ (а в случае (4) число $x - 1$) есть одно из чисел $a \cdot 2^k$, где $0 \leqslant a < 5^k - 1$. Все эти числа имеют разные остатки от деления на $5^k$: если $b \cdot 2^k$ и $c \cdot 2^k$ ($0 \leqslant b \leqslant c < 5^k$) имеют одинаковые остатки от деления на $5^k$, то $(c - b) \cdot 2^k$ делится на $5^k$ и, значит, на $10^k$, что возможно только при $c = b$. Но возможно остаток $-5^k$, значит, какый из них по разу представлен в нашем наборе чисел. Это означает, чторовно одно из чисел $a \cdot 2^k$, скажем $a_1 \cdot 2^k$, имеет остаток 1 от деления на $5^k$, и если $x = a_1 \cdot 2^k$, то $x - 1$ делится на $5^k$. Аналогично,ровно одно из чисел $a \cdot 2^k$, скажем

16

$a_2 \cdot 2^k$, имеет остаток $5^k - 1$ от деления на $5^k$, и если $x - 1 = a_2 \cdot 2^k$, то $x$ делится на $5^k$.

Мы убедились, что в каждом из четырех случайных нуждное $x$ существует и единственное, т. е. таких чисел всего четыре. Ясно также, что в случае (3) число $x$ кончается на 6, а в случае (4) на 5. Теорема доказана.

Второе доказательство мы проведем, считая уже известным, что чисел с указанным свойством — не больше четырех (это нам известно из первого доказательства, но легко может быть доказано и прямо). Кроме того, применим индукцию по $k$: будем считать, что уже найдены числа $x_{k-1}$ и $y_{k-1}$, оказывающиеся, соответственно, пятеркой и шестеркой такие, что $0 \leqslant x_{k-1} < 10^{k-1}$, $0 \leqslant y_{k-1} < 10^{k-1}$, и разности $x_{k-1}^2 - x_{k-1}$ и $y_{k-1}^2 - y_{k-1}$ делятся на $10^{k-1}$. Наша задача — найти числа $x_k$ и $y_k$ с аналогичными свойствами.

Чтобы найти $x_k$, мы возведем $x_{k-1}$ в квадрат и возьмем последние $k$ цифр этого квадрата; таким образом, $x_{k-1}^2 = a \cdot 10^k + x_k$. Покажем, что $x_k^2 - x_k$ делится на $10^k$:

$$x_k^2 - x_k = (x_{k-1}^2 - a \cdot 10^k)^2 - (x_{k-1}^2 - a \cdot 10^k) = x_{k-1}^4 - 2ax_{k-1}^2 \cdot 10^k + a^2 \cdot 10^{2k} - x_{k-1}^2 + a \cdot 10^k = (x_{k-1}^2 - x_{k-1})(x_{k-1}^2 + x_{k-1}) + 10^k(a^2 \cdot 10^k + a - 2ax_{k-1}^2).$$

No $x_{k-1}^2 - x_{k-1}$ делится на $10^{k-1}$, а $x_{k-1}^2 + x_{k-1}$ делится на 10 (потому что $x_{k-1}$ и $x_{k-1}^2$ оказались цифрой 5); значит, $(x_{k-1}^2 - x_{k-1})(x_{k-1}^2 + x_{k-1})$ делится на $10^k$.

Построение $y_k$ чуть сложнее: нужно взять последние $k$ цифр числа $y_{k-1}^5$. Доказательство того, что $y_k^2 - y_k$ делится на $10^k$, почти такое же:

$$y_k^2 - y_k = (y_{k-1}^5 - b \cdot 10^k)^2 - (y_{k-1}^5 - b \cdot 10^k) = y_{k-1}^10 - y_{k-1}^5 + 10^k \cdot c = (y_{k-1}^2 - y_{k-1})(y_{k-1}^8 + y_{k-1}^7 + y_{k-1}^6 + y_{k-1}^5 + y_{k-1}^4 + 10^k \cdot c,$$

где $c = b^2 \cdot 10^k + b - 2by_{k-1}^5$. Но выражение $y_{k-1}^8 + \dots + y_{k-1}^4$ делится на 10,

потому что это — сумма пятей цифр, окончивающих на 6, а разность $y_{k-1}^2 - y_{k-1}$ делится на $10^{k-1}$; значит, $y_{k-1}^2 - y_{k-1}$ делится на $10^k$. Доказательство окончено.

Что видно из этих двух доказательств? Из первого доказательства видно, что сумма третьего и четвертого из найdenных чисел равна $10^k + 1$ (и правда, $25 + 76 = 101, 625 + 376 = 1001$). Второе же доказательство демонстрирует совершенное порядательнуюweisь: четыре $k$-значных окончания, сохраняющихся при возвведении в квадрат, приписыванием слева одной цифры! (Действительно, последнее $k$ цифр числа $x_k^2$ — это $x_{k-1}$ и только $k$-я с конца цифра числа $x_k$ является новой; аналогично для $y_k$.) Это мы могли заметить уже на наших числовых примерах:

0—00—000—…
1—01—001—…
5—25—625—…
6—76—376—…

Таким образом, в последовательности 5, 25,…, $x_{k-1}$, $x_k$,…… приходит бесконечное нарастание цифр слева, и аналогично — в последовательности 6, 76,…, $y_{k-1}$, $y_k$,…… Если не оставить этот процесс, мы получим два бесконечных «числа» (выпшем их с 10 знаками):

$X = \dots 8212890625,$
$Y = \dots 1787109376.$

Слово «числа» мы отсорожно взяли в кавычки, но, как мы сейчас убедимся, таким бесконечным последовательством можно привести статус настоящих чисел, хотя и несколько необычны.

Новая разновидность чисел. Изовем, скажем, сувертиками, бесконечные влево последовательности цифр:

…$a_4a_3a_2a_1$.

Если эта последовательность, начиная с некоторого места, состоит из одних нуля, будем говорить, что нашей сувертикальной является общкой

17

Рис. 1. 6)
венным числом; например,
000132=132.

Таким образом, среди суперчисел присутствуют все обыкновенные натуральные числа (и 0), но не только они. Суперчисла можно складывать и перемножать (столбиком) — см. рисунки 1, а и 1,б, причем для обычных чисел это сложение и умножение совпадают с обычными сложением и умножением. Интересно, что суперчисла всегда можно вычитать в любом порядке — тоже столбиком — рисунок 2 (для суперчисел отсутствует понятие «большое — меньшее»). В частности, любое суперчисло можно вычитать из нуля (из суперчисла …000). Значит, среди суперчисел присутствуют все обыкновенные отрицательные числа; например, на рисунке 3 — это число —132=…99868.

Кстати, оченьindo, что «обыкновенные отрицательные числа» — это в точности суперчисла, у которых, начиная с некоторого места, все цифры — девятки.

Сложение и умножение суперчисел (как и их вычитание) обладают обычными свойствами: $a+b=b+a$, $ab=ba$, $a+(b+c)=(a+b)+c$, $a(bc)=(ab)c$, $a(b+c)=ab+ac$ и т. д. В частности, для любого суперчисла $x$ можно вычислить выражение $x^2-x$, а из нашей Теоремы немедленно вытекает.

Следствие. Уравнение $x^2=x$ имеет б суперчисла 4 решения: 0,1,X,Y.

Вот мы и доказали этого результат.

Как же так? Ведь если действия над суперчисла обладают обычными свойствами, то должно пройти обычное доказательство того факта, что уравнение $x^2-x$ имеет два решения. Посмотрим. По-прежнему $x^2-x=x(x-1)$ — это никто не отменял. Значит, если $x^2-x=0$, то либо $x=0$, либо $x-1=0$. Но почему? Кто сказал, что если произведение $ab$ суперчисел $a$ и $b$ равно 0, то одно из этих суперчисел равно 0? Это не так! Более того, мы отлично знаем, что $XY=0$.

В самом деле, $x_k$ делится на $5^k$, а $y_k$ делится на $2^k$; значит, произведение $x_k y_k$ делится на $10^k$, т. е. оканчивается $k$ нулями. Значит, перемножая $X$ и $Y$ столбиком, мы будем получить в результате один нул. Для сомневающихся приводим рисунок 4.

Если $a\neq0$, $b\neq0$, но $ab=0$, то $a$ и $b$ называются делительами нуля. Среди чисел нет делительей нуля, а среди суперчисел — есть, и в этом все дело.

Кстати, теперь ясно, почему $X$ и $Y$ — решения нашего уравнения: ведь $X+Y=1$ (помните, $x_k+y_k=10^k+1$) и $X(X-1)=-X(1-X)=-XY=0$, и аналогично $Y(Y-1)=0$.

Уравнение $x^m=x$. Если $x^2=x$, то $x^3=x^2 \cdot x=x \cdot x^2=x$, $x^4=x^3 \cdot x=x \cdot x^2=x$ и аналогично $x^5=x$, $x^6=x$, … Таким образом, решения уравнения $x^2=x$ являются решениями уравнения $x^m=x$ при любом $m$. А имеет ли уравнение $x^m=x$ другие решения?

$$\begin{array}{c} -6847 \\ 4219 \\ 2628 \\ -4219 \\ 6847 \\ 7372 \\ \end{array}$$

Рис. 2.

$$\begin{array}{c} -000000 \\ 00132 \\ 99868 \\ \end{array}$$

Рис. 3.

18

Начнем с $m=3$. Кроме 0, 1, $X$, $Y$, уравнение $x^3=x$ имеет еще решение $X-Y$:

$$\begin{align*} (X-Y)^3 &= X^3 - 3X^2Y + 3XY^2 - Y^3 \\ &= X - 3XY + 3XY - Y = X-Y. \end{align*}$$

(Кстати, $(X-Y)^2=1$, откуда тоже следует, что $X-Y$ удовлетворяет уравнению $x^3-x$.) Кроме того, у любого решения уравнения $x^3=x$ можно поменять знак, и это дает еще четыре решения: $-1, -X, -Y, Y-X$. Итак, мы нашли девять решения:

$$0, 1, -1, X, -X, Y, -Y, X-Y, Y-X.$$

Уражение 1. Докажите, что этими девятью решениями исчерпываются все решения уравнения $x^3=x$.

Случай $m=4$ (как и вообще случай четного $m$, см. теорему ниже) не столбит интересен:

Уражение 2. Докажите, что уравнение $x^4=x$ имеет в точности те же решения, что уравнение $x^2=x$.

Зато при $m=5$ появляется новое решение. Чтобы описать их, достаточно указать одно из них, а это можно сделать так. Составим последовательность $z_k$, в котором $z_1=2$ и число $z_k$ состоит из последних $k$ цифр числа $z_{k-1}$:

$$z_1=2, z_2=32, z_3=432, \dots$$

Уражение 3. Докажите, что $z_k$ получается из $z_{k-1}$ при письменном слова одной цифры и что $z_{k-2}=z_k$ при любом $k$ делится на $10^k$.

Числа $z_k$ составляют суперчисло (выпшем его с 10 знаками):

$$Z = \dots 9879186432.$$

Уражение 4. Уравнение $x^5=x$ имеет пятнадцать решения: девять решений уравнения $x^3=x$ (см. уравнение 1) и еще $Z, -Z, X-Z, Z-X, X+Z, -X-Z$.

Прибольших $m$ новых решений не появляется. Читатель может попытаться доказать самостояльное следующую теорему:

Если $m$ четно, то уравнение $x^m=x$ имеет (в суперчислах) те же решения, что уравнение $x^2=x$. Если $m$ имеет вид $4n-1$, то уравнение $x^m=x$ имеет те же решения, что уравнение $x^3=x$. Если $m$ имеет вид $4n+1$, то уравнение $x^m=x$ имеет те же решения, что уравнение $x^5=x$.

Приведем еще одну формулировку, относящую к уравнению $x^m=1$:

Если $m$ нечетно, то уравнение $x^m=1$ имеет единственное решение $(x=1)$. Если $m$ делится на 2, но не делится на 4, то уравнение $x^m=1$ имеет четыре решения: $1, -1, X-Y, Y-X$. Если $m$ делится на 4, то уравнение $x^m=1$ имеет восемь решения: $1, -1, X-Y, Y-X, X-Z, Z-X, X+Z, -X-Z$.

Еще два упражнения. Уражение 5. Для каких (объикновенных) чисел $m$ разрешимо в суперчислах уравнение $mx=1$ (т. е. какие объикновенные дроби присутствуют среди суперчисел)?

Уражение 6. Верно ли для суперчисел утверждение Беликой теоремы Ферма: если $n$ — (объикновенное) число число, больше 2, то не существует отличных от нуля суперчисел $X, Y, Z$ таких, что $X^n+Y^n=Z^n$?

Заключительное замечание. Если вы видите в суперчислах нечто знакомое, не удивляйтесь; эти числа знакомы всякомому математику как «целые 10-адичские числа». Все непритности, или, лучше сказать, все неожиданности, с которых мы столкнулись здесь, связаны с тем, что 10 — составное число; в частности, в $p$-адичских числах с простым $p$ уравнение $x^2=x$ имею бы, как и положено, 2 решения. Можно сказать, что если бы наша система численения имела простое основание, то мы вредили нашли бы материал для такой статьи, как эта.

19

КАК ИНДЕЙЦЫ
БРОСАЮТ ТОМАГАВК?

Доктор физико-математических наук
В. А. ДАВЫДОВ

Томагазок просвистел mismo лица Хейворода и,
срезав несколько солотистых локонов Али-
сы, задрожал в столь дерева над ее
золовой.
Д. Ф. Купер. Последний из могикан.

Мальчишки моето поколения, чье
детство пришлось на шестидесятые
годы, еще застали время, когда ребята взхлёб читали романы Купера и Майна Рида, мечтая о жизни и приключениях среди индейских племен Северной Америки. Выкроив свободный часок и вооружившись лассо из белевой вервки, мы безжали во двор, где безупешно пытались заарканить какой-нибудь кусть, торчащую ветку, а порой и незадачливую кошку, которая опрометчив вылеза из подвала погреться на солнышке. Но самоое боль шое восхищение вызывало у нас妒азительное совершенство, с каким индейские воины владелiens grootным оружием — томагавком.

Трудно найти автора «индейских» романов, который не посвятил хотя бы несколько эпизодов замечательному искусству бросать топор. Интерес к этой проблемы постояно подогревал и киноматограф. В то время на наших экранах периодические появлялись «индейские» фильмы, для героев которых всегда находилась возможность раз-другой метнуть томагавк в цель. Взять хотя бы такую сцену. Индейское пламя решает наказать в чем-то провинившегося перед ним бледнолицERO. Его привязывают

20

к стене хжинны, после чего каждый участник расправы кидает в него томагавк. Последний топор перерубает вервку, и, когда потеряшая от страха сознание жертва сползает на землю, зрители с восхищением видят на стене контур человекаского тела, образованный внизимся в нее томагавками. После посещения кинотеатра особенно хотелось если и не научиться бросать топор — мы понимали, что это выше способностейgliedолицого мальчишки,— то хотя бы понять техническую indейцев.

Сейчас, какется, интерес ребят к «индейской проблемике» упал, и мои дети, например, уже не смогут отличить гурона от команча и вред ли скажут, кто такой Оцеола. Однако и их не оставляют равнодушными удивительные способности северомериканских аборигенов обращаться со своим традиционным оружием.

Идея, которая легла в основу предлагаемой читателем теории бросания топора, родилась, когда мы стали регуляторно ходить в походы. В свободное время мы находили пользовости от лагеря сухое дерево (которые в наших лесах великое множество) и пытались попасть в него топор. Вот тут-то и обнаружился замечательный факт. Оказалось, что если встать на определенном расстоянии от дерева, то вероятность того, что брошенный топор возникется в него (а не откочит, ударившись обухом или ручкой), резко возрастает. При этом достагоно минимального навывания, чтобы научиться (конечно, стоя на этом расстоянии) попадать в сухое дерево, например, это раз из ста. Попытки понять это явление позволили автору сформулировать предлагаемую ниже модель. Мы увидим, что для того, чтобы способу уметь обращаться с томагавком, вовсе не требуется родиться краснокожим; нужно, по сути дела, лишь развить в себе способность на глазок оценить расстояние, а все остальное получится само собой.

Перейдем теперь к рассмотрению модели. Очевидно, что задача естественных образом разбиается на две.

Во-первых, нужно просто суметь попасть топор в столб или сухое дерево; во-вторых, желательно попасть именно лезвием, а не обухом или топоршем. Будем считать, что с первой проблемой читатель сможет справиться с ним.

Движение руки при броске происходит следующим образом. Рука, держащая топор, вращается в локтеомysteave с некоторой угловой скоростью $\omega$, и бросок проискит в тот момент, когда скорость центра масс топора направлена горизонтально. Строго говоря, если мы хотим, чтобы топор возникла в определенную точку столба, направление его скорости в момент бросания может отличаться от горизонтального. Однако мы ставим перед собой более скромную задачу: просто воткнуть томагавку в вертикально стоящий столб (неважно в какой точке). При такой постановке можно претензить и принять решение Земли. Влияние тяготения приведет к тому, что топор возникется в столбе несколько ниже.

В нашей модели считается — и это очень важно, — что при броске не проискит подкрутивания топора кислюто. При всем желании практически необходимости (и читатель может в этом легко убедиться на собственном опыте) в течение короткого времени броска придать томагавку заметное дополнительноевращение движением кислоты. Таким образом, в момент броска мы просто отпускаем топор, предоставляя ему далее движаться свободно.

Введем следующие параметры (см. рисунок на с. 19): $l$ — расстояние от центра вращения руки в локтеомysteave до точки $B$, определенное место на топорике, где мы держим топор; $a$ — расстояние от точки $B$ до точки $M$ — центра масс топора; $\alpha$ — угол, образованный рукой и топоршем. Угол $\alpha$ можно менять в нейроких пределах, однако бросать удобнее всего, когда $\alpha \approx \pi/2$. При этом скорость движения центра масс бросенного топора будет описывать следующую следующую форму:

$$v = \omega \sqrt{a^2 + l^2}.$$

21

Определим теперь угловую скорость вращения леташего томагавка. Проще всего это сделать, перейдя в систему отчета, движущуюся вместе с центром масс топора со скоростью $v$. В этой системе отчета точка $M$ (центр масс) покопится, а точка $B$ (как и все остальные точки томагавка) врашается вокруг нее; скорость $u$ точки $B$ в любой момент направлена перпендикулярно топорищу и равна $\omega_B a$, где $\omega_B$ — интересуция нас угловая скорость вращения леташего томагавка. В неподвижной системе отчета точка $B$ в момент бросания имела скорость $\omega l$, направленную перпендикулярно $l$, т. е. вдоль топорища. Таким образом,

$$u = \omega_B a = \sqrt{v^2 - (\omega l)^2}.$$

Подставив $v = \omega \sqrt{a^2 + l^2}$, получим

$$\omega_B a = \omega a, \text{ т. е. } \omega_B = \omega$$

брошенный томагавк будет враться с угловой скоростью $\omega$, равной угловой скорости вращения руки при броске. Этот вывод останется в силу, даже если угол $\alpha$ будет отличаться от $\pi/2$. Полученный результат, несмотря на свою простоту, очень важен. Действительно, из него следует, что отношение поступательной скорости движения центра масс томагавка к его угловой скорости вращения не зависит от «силы броска» (от импульса, сообщаемого топору в момент броска) и равно $v/\omega = \sqrt{a^2 + l^2}$. А это значит, что расстояние $L_n$, которое пролетит топор, сделав $n$ оборотов, также не зависит от силы броска. Учитывая, что время, необходимое для того, чтобы топор сделал $n$ оборотов, равно $2\pi n/\omega$, найдем $L_n$:

$$L_n = 2\pi n \sqrt{a^2 + l^2}.$$

Мы пришли к замечательному выводу: существует «спектр» расстояний $L_n$, и для того, чтобы при броске добавться успеха, нужно находиться от цели на расстоянии

$$L_n + \arctg (l/a)\sqrt{a^2 + l^2}$$

(появление второго слагаемого связано с тем, что в момент броска ручка топора образует с вертикальной угол, равный $\arctg (l/a)$).

Давайте оценим величины элементов «кванта» $L_1$, т. е. расстояние, пролетев которое топор сделает один оборот. Возьмем $l = 33$ см, $a = 20$ см (автор проводил измерения на собственной руке и личном плотницком топорике). Вычисления дают $L_1 = 2,42$ м. Таким образом, топор, брошенный с расстояния 2,82 м (вспомним, что к $L_1$ нужно еще прибавить слагаемое с арктигенсом), сделав один оборот, попадет в целю.

Опыт показывает, что практические без всякой тренировки можно успешно попадать в цель с расстояний $L_1$ и $L_2$. Подъем на следующее «квантовые уровни» дается уже тяжелее, однако многое знакомые автора без видимых усилений порядки сухое дерево с расстояния $L_4$, которое превышает 10 м.

«Все это замечательно,— скажет читатель.— Однако индец способен попасть в цель не только с расстояний $L_n$. Как это ему удается?»

Представляется, что все очень просто. В нашей модели имеется параметр $a$, который легко изменить: для этого достаточно, бросая томагавк, взяться за другой место на его ручке. При этом «спектр» также будет другим. Таким образом, изменение положения точки захвата $B$ приводит к размытию «уровней» $L_n$ и образование своего образной «зонной структуры». Находясь внутри одной из таких разрешенных зон, можно подобрать положение точки $B$ (или, что тоже самое, параметр $a$), сделать удачный бросок. Большое того, если пользоваться томагавком с достаточно длинной ручкой, можно добавиться перекрытия зон, отвечающих соединим уровням $L_n$ и $L_{n+1}$. Оценим необходимую для этого длину руч-

22

ки $b$. Очевидно, для того, чтобы соседние зоны перекрылись, необходимо выполнение следующей задачи:

$$2\pi n \sqrt{l^2 + b^2} = 2\pi (n + 1)\sqrt{l^2 + a_{\min}^2},$$

где $a_{\min}$ — минимальное расстояние от точки $B$ до центра масс $M$. Опыт показывает, что если $a$ меньше 10 см, бросать топор неудобно. Поэтому для оценки $b$ значение $a_{\min}$ можно принять равным 10 см. Решая последнее уравнение, найдем $b$:

$$b = \frac{1}{n} \sqrt{(2n + 1)l^2 + (n + 1)^2a_{\min}^2}.$$

Рассмотренное этого выражения показывает, что наиболее длинна топорша требуется для перекрытия первой и второй зон, т. е. для $n = 1$. Подставляя в формулу для $b$ значение $l = 33$ см, $a_{\min} = 10$ см, $n = 1$, получим $b \approx 60$ см. Для перекрытия второй и третьей зон ($n = 2$), достаточно иметь томагавк с длиной ручки $b = 40$ см, и т. д. Таким образом, для того чтобы иметь возможность с любого размера расстояния поразить цель, величины $b$ должны быть довольно большой. Недаром у индейских томагавков такая длинная ручка!

В действительности можно обойтись и меньше длиной топорша: топор может возникнуть в сухое дерево как верхней, так и нижней частью лесня, что приводит к дополнительному сбижению границ разрешенных зон. Опыт автора готовит о том, что вполне достаточно иметь топорше длиной 50 см.

Итак, рассмотренная модель показывает, что научиться метко кидать томагавк не так уж сложно. Нужно лишь оценить расстояние до цели и держать топор за соответствующей место на его ручке. При этом топор можно предварительно «програмировать», нанеся на топорше деления, отвечающие данным расстояниям до цели.

А как же все-tаки индейцы бросают томагавк? Вполне возможно, что они делают это описанным выше способом. Но может быть они ухитрются еще и подкрутить топор кистью? Автор этого не знает, поскольку не знаком ни с одним индейцем. Остается лишь найдется, что такое знакомство все же когда-нибудь состоит, и уже тогда автор не упустит возможности выведать дополнительные секреты этого замечательного искусства.

Метание томагавка — увлекательный вид спорта. может быть, он найдет у нас своих приверженцев, которые образуют ассоциацию, будут проводить севернования и — кто знает? — когда-нибудь добавится включения его в Олимпийскую программу?

23

Задание
M1191 — M1195, Ф1198 — Ф1202

M1191. Пусть $A_1, A_2, A_3, \dots$ — неокоторая последовательность точек на плоскости. Начав с неокотой точки $T_0$, построим последовательность $T_1, T_2, T_3, \dots$, где $T_n$ — точка, симметричная $T_{n-1}$ относительно $A_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$).

Каким необходимо и достаточно условия должны удовлетворять последовательность $A_n$, чтобы последовательность $T_n$ получалась периодической при любом выборе точки $T_0$ (т. е. $T_{n+p}=T_n$ для неокотого $p$ при всех $n$)?

И. Ф. Акулич

M1192. Известно, что все ребра многогранника $M$ равны между собой и касаются неокотого шара.
a) Пусть одна из граней $M$ имеет нечетное число сторон. Докажите, что существует описанный вокруг $M$ шар.
b) Обязательно ли при условиях пункт a) существуетписанный в $M$ шар?
b) Пусть все грани $M$ имеют одинаковое число сторон. Докажите, что существуетписанный в $M$ шар.
г) Обязательно ли при условиях пункт b) существуетписанный шар?

В. А. Сендеров

M1193*. Докажите (для любых чисел $a, b, c, x, y, z$) неравенство
$$ax + by + cz + \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)} \geq \frac{2}{3}(a + b + c)(x + y + z).$$
В. Кыртоаже (Румыния)

M1194. a) Из точки $M$ внутри прямогольника $ABCD$ площади $S$ проводятся биссектрисы $ME, MF, MG, MH$ треугольников $AMB, BMC, CMD, DMA$. Докажите, что для площади $S_0$ четырехугольника $EFGH$ выполнен неравенства
$$\frac{3}{8}S < S_0 \leq \frac{1}{2}S.$$
б) Для таких точки $M$ выполняется равенство $S_0 = S/2$?
А. А. Азамов

M1195. Последовательность $x_1, x_2, \dots$ такова, что для любых натуральных $m$ и $n$
$$|x_{m+n} - x_m - x_n| < 1/(m+n).$$
Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.
О. Т. Ижболдин

Ф1198. Труба радиусом $R$ заполнена песком до высоты $H(H > 200R)$. Плотность песка $q$. Найти минимальную силу давления песка на дно трубы. Известно, что этот пе

24

сок на горизонтальной поверхности образует горку с предельным углом при основании $\gamma_0$ (рис. 1), причем этот угол мал ($\gamma_0 \sim 0,1$ рад). Коэффициент треня покоя песка о материал труды равен $\mu$.

А. Н. Семенов

Ф1199. Из опыта известно, что скорость волн на поверхности океана, длина которых $\lambda = 10$ м, равна $v = 4$ м/с. Предположим, что в океане на большой глубине есть граница раздела, выше которой находится менее соленая вода, а ниже — более соленая, так что разность плотностей воды $\Delta \rho = 1$ кг/м$^3$. По этой границе могут быть волны (так называемые внутренние волны). Найти скорость таких волн с длиной $\lambda = 10$ м. Амплитуду волн считать малой.

В. В. Геоджавев

Ф1200. На столе стоит два одинаковых стакана, в один из которых напит горячий чай. Температура чай $t_0$. Чай требуется охладить до температуры $t_k$. Это можно сделать двумя способами:

1. сразу перелить чай во второй стакан и ждать, пока он остынет до температуры $t_k$;
2. ожидать, пока чай остынет до некоторой температуры $t_1$ такой, что после переливания во второй стакан температура чай сразу окажется равной $t_k$.

Какой способ быстрое? Известно, что теплотдача стакана с чем пропорциональна разности температуры стакана и окружающей среды, теплобмен между чем и стаканом происходит очень быстро. Теплоемкость стакана $C_0$, тепломкость чай $C$.

К. С. Ведое

Ф1201. Имеется нелинейный электронный прибор $\tilde{R}$. На рис. 2 приведен график зависимости тока через прибор от напряжения на нем (на участках 1—2 и 3—4 наклад графика очень велики). Собращены состояния из $\tilde{R}$, катушки с индуктивностью $L$ и батарейки с ЭДС, равной $U_0$ (прибор включают с «правильной» полярностью, соответствующей графику). Построить график зависимости тока в цепи от времени и найти период колебаний тока.

К. С. Ведое

Ф1202. При электрическом разряде в разреженном неоне (Ne) при комнатной температуре очень небольшая часть atoms неона распадается на электроны ионы (масса $M$ atoms неона в $4 \cdot 10^4$ раз больше массы $m$ электрона). Длина свободного пробета электронов (т. е. среднее расстояние, которое электрон проходит без соударения) $l = 0,1$ мм. Газ находится в электрическом поле с напряженной $E = 10$ В/см. Оценить «температуру» электронов, соответствующую их средней кинетической энергии. Постоянная Большима $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К, заряд электрона $e = -1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Д. А. Купцов

25

Решения задач
M1166 — M1169, Ф1178 — Ф1182

Заменяя при необходимости $p, q, r$ на противоположные, мы можем свести дело к случайю, когда два из чисел $p, q, r$, например $p$ и $q$, неположительные, а треtte (число $r$) неоричительно. По неравенству треугольника $c^2 \geq (a-b)^2$, следовательно,
$$a^2 pq + b^2 qr + c^2 rp \leq a^2 pq + b^2 qr + (a-b)^2 rp = a^2 p(q+r) + b^2 r(q+p) - 2abrp = -(ap+br)^2 \leq 0.$$
Я. Ш. Мустафаев

M1167. Сколько существует перестановок чисел $1, 2, ..., n$, в которых для любого числа $i$, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$ и $i+1$ находится левее $i$?

Ответ: $2^{n-1}$. Пусть на первом месте стоит число $k$. Заметим, что если $k > 1$, то числа $k-1, k-2, ..., 1$ стоит в нашей перестановке в порядке убывания (если двигать слева направо). Действительно, по условию левее числа 1 должно стоять 2, левее 2—1 или 3, т. е. 3, левее 3—2 или 4, т. е. 4 и т. д. Аналогично, при $k < n$ числа $k+1, k+2, ..., n$ стоит в порядке возрастания, так как левее $n$ должно быть $n-1$, левее числа $n-1$ — число $n-2$ и т. д. Следовательно, любая из расстатриваемых перестановок однозначно задается набором мест, занимаемых числами $1, 2, ..., k-1$ (таких мест может вообще не быть, если $k=1$, т. е. для перестановки $1, 2, ..., n$). Количество этих наборов равно количество подмножества множества из $n-1$ элементов — всех мест, кроме первого, т. е. $2^{n-1}$.

А. В. Анджанс

M1168*. В стране 1989 годов и 4000 годов (каждая дорога соединяет два города). Доказите, что можно выбрать кольцевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.

Назовем город «захолустным», если из него идет не более 2 дорог. Сотрем с карты страны кольцевой захолустный город, если такой имеется, вместе с выходящими из него дорогами. Подчисим таким же образом новую карту и будем продолжать стирание захолустных городов, пока они не исчезнут. Число дорог, которые мы при этом можем стереть, не превосходит 2·1989, что меньше чем 4000; поэтому хотя один город останется.

Выберем левой из оставшихся городов. Из него, как и из других оставшихся городов, выходит по меньшей мере 3 дороги. Пойдем по одной из них и каждый раз, приходя в новый город, будем дивится дальше по одной из дорог, отличных от дороги, по которой мы пришли. Если какие-нибудь 2 маршрута, состоящие не более чем из 10 дорог, закончится в одном городе, то мы получим искомый кольцевой маршрут не более чем из 20 дорог (см. рисунок). Но иначе и быть не может, потому что число всех таких маршрутов не меньше чем $3+3\cdot 2+3\cdot 2^2+...$

26

…+3 · 2^9=3069, а число городов, т. е. возможных концов этих маршрутов, — не больше 1989.

Это решение можно обобщить на случай $n$ городов и $m$ дорог. В результате «подистки» карты остатуса города, из которых выходит не менее чем по $s$ дорог, где $s$ — наименьшее число такое, что $s \geq m/n$. А расчудение с непересекающимся маршрутами позволяет доказать существование цикла (кольцевого маршрута) из $l$ дорог, где

$$l \leq 2[\log_{s-1} \frac{n(s-2)+2}{s} +1]$$

(квадратные скобки означают целую часть числа). В частности, при $n=1989$ и $m=4000$ мы получаем $s=3$ и $l \leq 20$.

Интересен и другой вопрос: при каком числе дорог $m$ между $n$ городами удалется найти систему дорог, не содержащую циклов длины $d$? С помощью довольного сложной оценки среднего числа дорог в такой системе можно показать, что это возможно при

$$m < p \left( \frac{n(n-1)}{2} - \frac{n^2}{2d} \right),$$ где $p=n^{-\frac{d-2}{d-1}}$.

А. А. Разборов

M1169. Пусть $M$ — точка, лежащая внутри прямой ABCD, $S$ — его площадь. Доказите неравенство $S \leq AM \cdot CM + BM \cdot DM$.

Ясно, что площадь прямогоЛЬника вдвое больше суммы площадей треугольников AMD и BMC. (Для доказательства достаточно проверить через $M$ прямую, параллельную $AD$, и затем, что площадь каждого из двух образованных прямого/Lльника.) Пристрюм к стороне $AD$ треугольник AND, равный CMB так, что $AN=CM$, $DN=BM$ (см. рис.ок). Тогда

$$S = 2(S_{AMD} + S_{BMC}) = 2S_{AMDN} = 2S_{AMN} + 2S_{DMN} \leq AM \cdot AN + DN \cdot DM = AM \cdot CM + BM \cdot DM,$$

что и требовалось доказать.

И. Я. Гольдшейд

Ф1178. В пространстве падает лист фанеры. Оказалось, что в некоторых момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ одинаковы — $\vec{v}_a = \vec{v}_b = \vec{v}$ — и лежат в плоскости листа. Оказалось также, что ско-

Представим сложное движение всех точек листа фанеры в указанный момент времени как сумму двух простых движений — поступательного вместе с точками $a$ и $b$ (а значит, и вместе с прямой $ab$) и врашательного относительно оси $ab$.

Рассмотрим точку $c$. Вектор ее скорсти $\vec{v}_c$ складывается из вектора $\vec{v}$, отвечающего поступательному движению, и вектора $\vec{v}_{bp}$, отвечающего врашательному

27

рост точки листа с, находящаяся от точке a и b на расстоянии, равных расстоянию между точками a и b, в два раза больше скорости v. Где в данной момент на листе находится точки, скорости которых равны 3v?

Рис. 1.

Рис. 2.

Движению, причем векторы $\vec{v}$ и $\vec{v}_{\text{bp}}$ — взаимно перпендикулярины (рис. 1):

$$\vec{v}_c = \vec{v} + \vec{v}_{\text{bp}},$$
или $v_c^2 = v^2 + v_{\text{bp}}^2.$

Поскольку $v_c = 2v$, получаем

$$v_{\text{bp}} = \sqrt{3}v.$$

Найдем теперь расстояние от точки c до прямой ab. Точки a, b и c являются вершинами равностороннего треугольника (рис. 2). Обозначим его сторону, например ab, через l. Тогда интересующое нас расстояние

$$d = l \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Очевидно, что искомые точки листа фанеры, скорость которых по модулю в 3 раза больше v, лежат на двух прямых, параллельных оси ab и нахождения от нее на некотором расстоянии L. Чтобы найти это расстояние, поступим следующим образом. По аналогии с точкой c, выразим скорость искомых точек как сумму перпендикулярных друг друга скоростей $\vec{v}$ и $\vec{v}'_{\text{bp}}$:

$$(3v)^2 = v^2 + (v'_{\text{bp}})^2,$$

откуда получаем

$$v'_{\text{bp}} = 2\sqrt{2}v.$$

Теперь сравним между собой скорости $v_{\text{bp}}$ и $v'_{\text{bp}}$. С одной стороны,

$$\frac{v_{\text{bp}}}{v'_{\text{bp}}} = \frac{\sqrt{3}v}{2\sqrt{2}v} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},$$

с другой —

$$\frac{v_{\text{bp}}}{v'_{\text{bp}}} = \frac{d}{L} = \frac{l\sqrt{3}/2}{L}.$$

Таким образом,

$$\frac{l\sqrt{3}/2}{L} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},$$
и $L = l\sqrt{2}$.

К. С. Сергеев

Ф1179. Если молния во время грозы попала в воду, то после грозы на озере иногда видят всплышую мертвую рыбу. Как это обязанить? Ведь вероятность попадания молнии в отдельно взятую рыбу низкого мала.

Рыбу убивает, конечно же, не прямое попадание молнии, а электрический ток, который при этом проходит через воду. По мере удаления от места попадания молнии плотность тока спадает. Разность потенциальов, возникшая на тульвище рыбы, пропорциональная величины тока и определенная плотность тока через воду. Погибает та рыба, которая находится в области, где плотность тока превышает критическую величины. Характерный размер этой области составляет от нескольких метров до нескольких метров,

28

И в этой опасной зоне вполне может оказаться несколько рыбин.

В некоторых случаях сходная ситуация может возникнуть при обращение высокого напряжения и падании его на землю. В этом случае плотность тока, текущего по земле, растет по мере приближения к месту падания провода. Степень опасности для человека характеризуется здесь так называемым «шаговым напряжением» — напряжением, возникающем между ступнями человека при контакте с землей. Ясно, что маленькие шаги приводят к меньшему шаговому напряжению — именно поэтому выходит из опасной зоны, где уплотровод, надо небольшим шагами.

А. И. Буздин

Ф1180. Лампочка, подсоединная к батареике, горит три часа, после чего батареика полностью разряжается. Сделали копию этой батареики вдвое больших линейных размеров из тех же материалов. Сколько времени будет гореть та же лампочка, подключенная к такой копии? Внутреннее сопротивление батареики много меньше сопротивления лампочи.

Поскольку электродвижущая сила химического источника тока определяется только его химическим составом, ЭДС копии будет равна ЭДС батарейки. Пусть эта ЭДС равна $\mathcal{E}$, сопротивление лампочи равно $R$ и внутреннее сопротивление источника — $r$. Тогда полная мощность, выделяющая в цепи батарейки, равна $P_1 = \mathcal{E}^2 / (R + r_1)$, а в цепи копии — $P_2 = \mathcal{E}^2 / (R + r_2)$. Так как $r_1 \ll R$ и, следовательно, $r_2 \ll R$,

$$P_1 \approx P_2 \approx \frac{\mathcal{E}^2}{R}.$$

Химический источник тока совершает работу, расходя запасенную в нем энергию химических веществ. По сравнению с батарейкой в копии заключено в $2^3 = 8$ раз больше реагентов, поэтому при такой же мощности она может совершить во столько же раз большую работу. Это означает, что лампочка, подключенная к копии, будет гореть 24 часа.

К. С. Бедов

Ф1181. Жесткое тонкое проводящое колючит на непроводящей горизонтальной поверхности и находится в однородном магнитном поле, линии индекции которого горизонтальные. Масса колюца $m$, радиус $R$, величины индекции $B$. Какой силы ток нужно пропустить по колючу, чтобы оно начало приодниматься?

Рассмотрим колюцо, когда оно еще занимает горизонтальное положение (см. рисунок; на нем изображен вид сверху). Выделим на нем величину точек $C$ и $D$ два небольших участка длиной $\Delta l$ каждой, расположенных симметрично относительно диаметра колюца $AB$. На первый участок действует направленная вертикальная вниз сила

$$\Delta F_1 = BI \Delta l \sin \alpha = BI \Delta x,$$

где $\Delta x$ — проекция отрезка $\Delta l$ на направление диаметра $AB$. На второй участок действует направленная вертикальная вверх сила

$$\Delta F_2 = BI \Delta l \sin \alpha = BI \Delta x.$$

29

Эти силы, одинаковые по модулю и направленные в противоположные стороны, представляют собой пару сил, которая создает относительно оси $AB$ врашательный момент

$$\Delta M = \Delta F_1 l_{CD} = BI \Delta x l_{CD} = BI \Delta S,$$

где $\Delta S$ — площадь затрихованной на рисунке части контура.

Разобъем все колюцо на аналогичные пары небольших участков, расположенных симметрично по отношению к диаметру $AB$. Тогда мы получим, что на тонкое проводаще колюцо с током $I$, находящемся в горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$, будет действовать момент магнитных сил, равный

$$M_{\text{магн}} = BIS = BI \pi R^2.$$

Он врашает колюцо вокруг горизонтальной оси $AB$.

Когда колюцо будет находиться на грани подъема, преястовать его врашению будет две механические силы — сила тяжесте $mg$, приложенная в центре колюца и направления вертикального вниз, и сила нормальной реакции $N$, приложенная в точке касания колюца и плоскости и направления вертикального вверх. Поскольку колюцо все еще находится в равновесии,

$$mg - N = 0, \text{ т. е. } N = mg,$$

так что механические силы образуют свою пару сил, которая создает свой врашательный момент

$$M_{\text{мек}} = mgR.$$

Из равновесия колюца следует, что суммарный момент всех сил — в нашем случае это сумма моментов магнитных и механических сил — равен нулю:

$$M_{\text{магн}} - M_{\text{мек}} = 0, \text{ или } BI \pi R^2 - mgR = 0.$$

Отсюда находится значение силы тока:

$$I = \frac{mg}{\pi BR}.$$

С. С. Кротов

Ф1182. При проведении радиолокации Луны, взошедшей над горизонтом, чтобы обеспечить вернуто направленность, излучатель высокочастотных радиосценалов был сопряжен с оптическим телескопом. Однако при наличии оптического изображения Луны отсутствовал отраженный радиосценал. В то же время, когда удавалось получить отраженный ра-

Описанное явление действительное имею место — автор столкнулся с ним при исследовании канала связываи, в котором Луна использовалась в качестве пассивного отражателя радиосистелов. При этом антенна, сопряженная с оптическим телескопом, предназначалась не для работы с Луной, а для приема спутникового телевидения.

Когда Луна всходит над горизонтом, очень существенно рефраクция света, т. е. искривление световых лучей за счет преломления в атмосфере. (Вспомните, например, как сильно искажают форма и размеры Луны и Солнца, когда они находится невысоком над горизонтом.) Для радиоволн (использовая сант-

30

Диосигнал, не было оптического изображения. Обязание это является.

Задатчик, Канта́

метровый диапазон) рефракция тоже имеет место, однако виной mere, поскольку поведение коэффициента преломления воздейства для столб различных длин волн существенного различается. Это означает, что свет от Луны идет к нам «по одной кривой», а радиовольны — по другой, в результате чего оптическое изображение и «радиоизображение» не совпадает. Заметим кстати, что если бы антенна была не такой хорошей (с меньшей направленностью), описанного явления могло бы и не быть.

А.Р. Зильберман

О треугольном бильярде

В этой заметке, дополняя статью Г. А. Гальперина и А. М. Степина «Перiodические движения бильярного шара» («Квант» № 3, 1989), мы опишем еще некоторые приемы построения перiodических траекторий в треугольных бильярдах, в частности, решим задачу M1155. Напомним ее условия.

M1155. Точка движется в треугольнике, отражая от его стороны по закону «узол падения равен углу отражения». Перiodический называется такая траектория этой точки, которая является замкнутой ломаной и не проходит через вершины треугольника.
а) Докажите, что ни в каком треугольнике с различными сторонами нет четырехзвенной перiodической траектории.

Существует ли остроугольный треугольник, имеющий перiodический траекторию 6) из 5 звенев? в) из 7 звенев?

Утверждение a) этой задачи доказывается от противного. Предположим, что в некотором треугольнике имеется четырехзвенная periodическая траектория. Тогда какие-то две из четырех ее точек излома A, B, C, D находится на одной стороне треугольника, а две другие на этой стороне не лежат. Пусть, например, на стороне MN треугольника лежат точки B и D (условное расположение точки излома изобравено на рисунке 1). Хорошо известно, что на прямой MN существует только одно точка X, для которой $\angle AXM = \angle CXN$ — ее построение показано на рисунке 2. Следовательно, точки B и D совпадают, и наша траектория оказывается двухзвенной, что позволяет сделать следующее:

противоречит сделанному предположению. Ответ на оба вопросы 6) и в) утвердительный; примеры строя методы выпрямления, о котором говорилось в упомянуте.state.

Перiodический траекторию из 5 звенев (задание 6) построим в остроугольном треугольнике ABC, у которой $\angle B < \pi/4$. Отразив его симметрично относительно стороны BC, продолжим сторону BA’ полученного треугольника A’BC до пересечения в точке C’ с продолжением стороны AC исходного треугольника (рис. 3, a). Легко видеть, что возниккающий треугольник $\angle ABC'$ — остроугольный ($\angle ABC' = 2\angle B < \pi/2, \angle C' < \angle BCA < \pi/2$), и поэтому в нем существует перiodический траектория, точки излома H1, H2, H3 которой — основания высот треугольника ABC’ (это утверждение доказано в упоминав-

31

шейся статье). Заметим, что высота $BH_3$ является одновременно высотой и в треугольнике $ABC$, поэтому точка $H_3$ лежит внутри отрезка $AC$, а не на его продолжении $CC'$ (как могло бы служило оказать). Кроме того, $H_2 \in BA'$. Отразив теперь симметрично относительно прямой $BC$ часть трехвенной траектории $H_1H_2H_3$, лежащую вне треугольника $ABC$, получаем 5-звенную перiodическую траекторию в $\triangle ABC$. Другая 5-звенная перiodическая траектория получается тем же способом, если сделать вначале зеркальное отражение треугольника $ABC$ относительно стороны $AC$.

Аналогично строится остроугольный треугольник $ABC$, содержащий 7-звенную перiodическую траекторию (задча $\theta$): если $\angle B < \pi/6$, то надо сделать два зеркальных отражения треугольника $ABC$ вокруг вершины $B$ против часовой стрелки, продлит сторону $BA''$ у получившейся фигуры $\Phi = BAA'A''$ до пересечения в точке $C'$ с продолжением стороны $AC$ и построить трехвенную перiodическую траекторию $H_1H_2H_3$ в остроугольном треугольнике $ABC'$, целком расположению в фигуре $\Phi$ (рис. 3, 6) (Принадлежность траектории $H_1H_2H_3$ фигуре $\Phi$ легко доказать — оставляем это читателью.) Сворачивая затем фигуру $\Phi$ в трехслойную гармошку, т. е. делая последовательное обратные отражения зеркально-симметричных треугольников вместе с расположенными в них частями траектории $H_1H_2H_3$, получим 7-звенную перiodическую траекторию в $\triangle ABC$. Другая 7-звенная траектория получится, если делать отра

32

Значит через $E$ точку пересечения отрезка $A'B'$ с прямой $AC$. Так как в треугольнике $A'EC$ угол $A'EC$ равен
$$\pi - (\alpha + (\pi - 2\beta)) = = 2\beta - \alpha > \frac{2\pi}{3} - \alpha > > \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{2},$$
точка $C'$, как симметричная точка $C$ относительно $A'B'$, лежит ниже прямой $AC$. Оказывается, что прямая $A'C'$ наклонена влево, т. е. угол $\angle A'DC$ — острый: $\angle A'DC = \pi - (2\alpha + (\pi - 2\beta)) = 2(\beta - \alpha) < 4\alpha < \pi/2$. Из условия на $\alpha$ следует, что и угол $F'AC$ — острый.
Докажем, что в построальном треугольнике $AND$, образованном прямым $AD$, $AF'$ и $DA'$, основание высоты $H_1$, опущенной на $AD$, принимают отрезку $AC$. Действенный, как мы уже видели, $\angle A'DA < 4\alpha = \angle F'AD$, поэтому достаточно заметить, что $CD < AC$. (Последнее неравенство выполено, поскольку в треугольнике $A'CD$
$$\angle A'DC = 2\beta - 2\alpha > > 2\pi/3 - 2\alpha > \pi/2 - 2\alpha > > 4\alpha - 2\alpha = 2\alpha = \angle CA'D,$$
следовательно, $AC = A'C > CD$.)
Пусть $H_2$ и $H_3$ — основания высоты, опущенных боковые стороны треугольника $AND$. Каждый из углов треугольника $AND$ при вершинах $A$ и $D$ отличается от $\frac{\pi}{2}$ меньше чем на 0,004 (проверьте!), поэтому отрезок $H_2H_3$ пройдет ниже точки $B$. Фигуру $\Phi$, составленную из 7 треугольников, равных $\triangle ABC$ (см. рис. 4), наложим «гармошкой» на $\triangle ABC$ (как в п. 6) задачи M1155). При этом периодическая траектория $H_1H_2H_3$ в $\Phi$ перейдет в периодическую траекторию $l$ в треугольнике $ABC$, состоящую из 15 звенев, что и требовалось.
Заметим, что построенная траектория $l$ устойчива: это означает, что при небольшей деформации треугольника $ABC$ она переходит в близкую к $l$ 15-звенную периодическую траекторию.
Описанную конструкцию можно обобщить. Начнем с спомогательного треугольника $\Delta_0$ с основанием $AC$ и острыми углами $\alpha$, $\beta$ при основании, для которого построена цепочка треугольников
$$\Delta - 2l, \Delta - 1, \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{2k},$$
пересекающихся с горизонтальной прямой $AC$ и верхней полуплоскостью, причем соседние треугольники цепочки имеют общую сторону и симметрицы относительно нее. Поскольку результат применения двух последовательных отрезков относительно непараллельных осей есть поворот, то треугольник $\Delta - 2l$ повернут относительно $\Delta_0$ на некоторый угол $n_1\alpha + n_2\beta + n_3\pi$; аналогично, треугольник $\Delta_2k$ повернут относительно треугольника $\Delta_0$ на угол $m_1\alpha + m_2\beta + m_3\pi$. Предположим, что пары цепых чисел ($n_1, n_2$) и ($m_1, m_2$) непропорциональны, треугольники $\Delta - 2l$ и $\Delta_2k$ имеют стороны, перpendикулярные прямой $AC$ и на этой прямой нет других вершин треугольников цепочки, кроме $A$ и $C$. Тогда оказывается, что сколь угол малым изменением углов $\alpha$ и $\beta$ можно получить треугольники $ABC$, имеющие устойчивые периодические траектории. В частности, если $\Delta_0$ — прямой угольный треугольник с $\alpha = \pi/8$, $\beta = 3\pi/8$, то получается треугольники из расстоянего приmeta, а при $\alpha = \pi/2k$, $\beta = \pi/2l$ — треугольники из статы в «Кванте» № 3 (см. рис. 12 в этой статье).

Г. А. Гальперин, А. М. Степин