Квант 2007, №1 · Страницы

Вверх и вниз через атмосферу

К.БОГДАНОВ

Можно ли улететь в космос на воздушном шаре?

В течение многих лет этот вопрос волновал известного русского ученого и изобретателя в области аэрои ракетодинамики К.Э.Циолковского. Сначала он пытался обосновать возможность, а потом – невозможность таких полетов. И только в 1903 году ученый дал окончательный отрицательный ответ в ставшей классической работе «Исследование мировых пространств реактивными приборами». Рассчитывая необходимые размеры шара массой 1 кг, наполненного водородом, который мог бы поднять 1 кг полезного груза на высоту 27 км, Циолковский пришел к заключению, что «…даже папиросная бумага будет в 5 раз тяжелее той материи, которая должна быть употреблена на наш аэростат. Такая материя, в применении к аэростату, невозможна, потому что оболочка, сделанная из нее, будет рваться и сильно пропускать газ». И далее: «Что же сказать о поднятии приборов на большую высоту? Размеры аэростатов должны быть еще значительно больше, но не надо при этом забывать, что с увеличением размеров воздушного шара разрывающие оболочку силы все более и более берут перевес над сопротивлением материала. За пределы атмосферы поднятие приборов, с помощью воздушного шара, разумеется, совсем немыслимо…» Итак, по мнению Циолковского, полет аэростатов в космос невозможен хотя бы только из-за отсутствия достаточно тонких и прочных материалов для оболочек аэростатов. Прошло более ста лет, и сейчас создано довольно много материалов, о которых Циолковский не мог и мечтать. Так, использование полиэтиленовой пленки толщиной 3,4 мкм дало возможность японским ученым из Института космических исследований изготовить стратостат объемом $60000 м^{3}$ (диаметром 50 м), масса которого составила всего 35 кг. В мае 2002 года этот стратостат установил рекорд, поднявшись на высоту 53 км с полезным грузом около 5 кг, состоящим из двух телевизионных камер и прибора для определения высоты. График рекордного подъема этого стратостата изображен на рисунке 1. Таким образом, развитие технологий показало, что пророчество Циолковского в отношении воздушных шаров, вообще говоря, оказалось не совсем верным. Ведь на высоте 53 км плотность атмосферы составляет меньше 1/1000 от ее плотности на уровне моря,

поэтому можно считать, что с помощью воздушных шаров приборы за пределы атмосферы все-таки подняли! Так, может быть, вообще не существует верхнего предела для высоты, на которую может подняться стратостат? Попробуем ответить на этот вопрос.

Оцениваем энергию опускающегося атмосферного столба

Аэростат движется вверх, поскольку снизу на него действует выталкивающая сила Архимеда со стороны окружающего воздуха. Поднимаясь, аэростат освобождает под собой место, которое занимает воздух, вытесненный аэростатом сверху. Потенциальная энергия этого движущегося сверху вниз воздуха уменьшается, и часть этой энергии переходит в механическую энергию стратостата. Если $M_{a}$ – масса перемещающегося атмосферного воздуха, а Н – характерная высота стратостата, то максимальная энергия, которая может быть передана стратостату от опускающегося воздуха,

14

КВАНТ 2007/№1

мии в Упсальском университете в 1730 году. После этого он предпринял длительный вояж по европейским обсерваториям, где встречался практически со всеми ведущими астрономами своего времени. Вскоре после своего возвращения в родной город Цельсий принял участие в экспедиции французского астронома П.Мопертюи на север Швеции. Целью этой знаменитой «лапландской» экспедиции было измерение длины земного градуса вдоль меридиана в непосредственной близости к полюсу и сопоставление полученного результата с данными аналогичной экспедиции в Перу вблизи экватора (см. статью «Хорхе Хуан де Сантасилья» в «Кванте» №3 за 2006 г.). Экспедиции подтвердили гипотезу Ньютона о том, что форма Земли представляет собой уплощенный на полюсах эллипсоид, а участие Цельсия в этой экспедиции сделало его знаменитым. Это, в свою очередь, позволило Цельсию получить достаточные средства от шведских властей, чтобы оснастить астрономическую обсерваторию в Упсале наиболее современным оборудованием. Часть оборудования, правда, была закуплена Цельсием еще раньше во время длительного путешествия по Европе. Обсерватория Цельсия открылась в 1741 году. В те годы задачей профессора астрономии считалось не только наблюдение за звездным небом, но и метеорология, и географические измерения. Он, в частности, внес важный вклад в картографию Швеции и установил, что уровень земель северных стран еще со времен таяния ледников медленно повышается над уровнем моря. Задолго до своего последователя Биркеланда Андерс Цельсий пришел к пониманию того, что северное сияние обусловлено магнитными явлениями, причем такой вывод он сделал, наблюдая отклонение стрелки компаса во время этого природного явления. Цельсий опубликовал каталог 300 звезд, используя созданную им самим фотометрическую систему. Идея этой системы заключалась в наложении друг на друга одинаковых полупрозрачных пластинок. Так, для исключения света от Сириуса, ярчайшей звезды на небе, ему потребовалось 25 пластинок. Цельсий был активным сторонником введения Грего-

Виктор Васильевич Можаев (1938 – 2006)

рианского календаря в Швеции. Первая попытка замены Юлианского календаря здесь была предпринята еще в 1700 году, когда планировалось убирать по дню из високосных лет с 1700 по 1740 годы. Когда же 1704 и 1708 году были объявлены по ошибке високосными, Швеция вернулась к Юлианскому календарю. Уже после Цельсия Швеция ввела новый календарь, сдвинув старый календарь сразу на 11 дней. Для метеорологических наблюдений Цельсий сконструировал свой знаменитый термометр, где в качестве нулевой точки отсчета, т.е. за 0 градусов, была принята температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении, а в качестве 100 градусов – температура ее замерзания. Уже после его ухода из жизни шкала Цельсия была обращена к ее современному виду. Благодаря точной фиксации методов и условий измерений, шкала Цельсия давала большую воспроизводимость и точность по сравнению с использовавшимися тогда шкалами Фаренгейта и Реомюра. В 1948 году единице температурной шкалы было официально присвоено наименование «градус Цельсия». Хотя температуры кипения и замерзания воды приблизительно отвечают современным понятиям градуировки, формально исходное определение температурной шкалы Цельсия требует корректировки. Дело в том, что температуры кипения и замерзания воды зависят от атмосферного давления, которое, в свою очередь, зависит от определения температуры. В современной трактовке $0,01 ^\circ$ С устанавливается в тройной точке воды, а градус Цельсия равен 1/273,16 от разности между тройной точкой воды и абсолютным нулем температуры. Согласно этому определению, один градус по шкале Цельсия по абсолютной величине равен одному градусу по шкале Кельвина. Для преобразования шкалы Цельсия в шкалу Кельвина надо использовать соотношение К = 273,15 + С, где К – температура по шкале Кельвина, а С – температура по шкале Цельсия. Для преобразования шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта надо использовать соотношение F = 1,8 С + 32, где F – температура по шкале Фаренгейта. Шкала Реомюра в настоящее время практически не используется.

С глубоким прискорбием сообщаем, что с нами больше нет Виктора Васильевича Можаева, одного из активных авторов и членов редколлегии журнала «Квант». В.В.Можаев был блестящим педагогом, доцентом кафедры общей физики Московского физико-технического института, автором различных пособий и задачников для студентов и школьников, членом жюри многих Всероссийских олимпиад по физике. Виктор Васильевич отличался незаурядной работоспособностью и абсолютной надежностью. В течение последних более чем пятнадцати лет, пока он вел раздел «Практикум абитуриента» по физике, редколлегия была спокойна – статья в номер будет, будет хорошая и, что важно, вовремя. Мы с удовольствием общались с этим скромным, но очень достойным и интересным человеком. Нам будет очень не хватать Виктора Васильевича Можаева.

Редакционная коллегия, редакционный совет, редакция журнала «Квант»

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 апреля 2007 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2007» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2026» или «Ф2033». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2027–М2030, M2033 предлагалась на XXVIII Турнире городов, задача М2031 предлагалась на II Всероссийской олимпиаде по геометрии имени И.Ф.Шарыгина.

Задачи М2026 – М2035, Ф2033–Ф2042

M2026. На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD выбраны, соответственно, точки P, M, N, Q так, что Р MAN $= 45 ^\circ, PM P AN, AM P NQ$. Отрезок PQ пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите, что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FMP и GNQ. В.Произволов

M2027. На доске написаны три натуральных числа x, y, z. Петя записывает на листке произведение какихнибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию и т.д. до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет равным нулю. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на листке? Е.Горский, С.Дориченко

M2028. Известно, что вруны всегда врут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Вы можете задавать вопросы, на которые есть ответ «да» или «нет» (например: «верно ли, что этот человек хитрец?»). а) Перед вами трое – врун, правдивый и хитрец, которые знают, кто из них кто. Как и вам это узнать? б) Перед вами четверо – врун, правдивый и два хитреца (все четверо знают, кто из них кто). Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что вы, спрашивая этих четверых, ни про кого из них не узнаете наверняка, кто он. Б.Гинзбург, М.Гервер

M2029. Даны две бесконечные прогрессии, состоящие из положительных чисел: арифметическая и геометри-

ческая, причем любое число, встречающееся в геометрической прогрессии, встречается также и в арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число. Б.Френкин

M2030. Можно ли вписать правильный октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на ребрах куба? Л.Радзивиловский

M2031. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность $\omega$ в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают $\omega$ второй раз в точках $A_{2}, B_{2}, C_{2}$. Докажите, что прямые $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}$ пересекаются в одной точке. А.Заславский

M2032. а) Существует ли такое натуральное n, что для любого натурального k хотя бы одно из чисел $n^{k} - 1, n^{k} + 1$ имеет вид $a^{b}$ для некоторых натуральных a и b > 1? б*) Назовем натуральное число антипростым, если оно делится на квадрат любого своего простого делителя. Два натуральных числа назовем близнецами, если они отличаются на 2. Конечно или бесконечно множество пар антипростых чисел-близнецов? В.Сендеров

M2033. У ведущего имеется колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (не уточняя, сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида «Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?» Один из зрите-

26

КВАНТ 2007/№1

САМОЕ ЗАПУТАННОЕ ДЕЛО-2

В.КИТАЙСКИЙ

АЛИСА, ВЫЙДЯ НА ОПУШКУ ЛЕСА, УВИДЕЛА НЕВДАЛЕ- ке своего давнего знакомого, Белого Рыцаря, стоявшего рядом со своим верным конем. Их встреча была радостной, и Белый Рыцарь засыпал Алису вопросами о ее приключениях в Стране Чудес. Девочка охотно рассказала ему о своих похождениях и о суде, на котором она побывала в конце своего пребывания там. – Я тоже недавно побывал на одном процессе в Королевском Суде, – заметил Белый Рыцарь. – Но судили, кажется, не меня. – Как интересно! Расскажите! – попросила Алиса. – А, вспомнил! На судебном процессе, о котором я хочу тебе рассказать, – начал Белый Рыцарь, – подсудимых было четверо, и только один из них был виновен. Да ты их всех, кстати, знаешь! – обрадованно воскликнул он. – Это твои старые знакомые из Страны Чудес: Мартовский Заяц, Чеширский Кот, Болванщик и Лакей-Лещ. Когда Мартовского Зайца спросили, виновен ли Болванщик, то он ответил либо «да», либо «нет», но что именно он ответил, я не помню. Чеширскому Коту строгий судья, Червонный Король, задал один-единственный вопрос: «Виновен ли Лакей-Лещ?» Что он ответил – сейчас я уже позабыл, но точно помню, что он сказал либо «да», либо «нет». У Болванщика помощник судьи, Пиковый Валет, поинтересовался о правдивости показания Чеширского Кота, но я совершенно запамятовал его ответ. После короткого перерыва суд возобновил работу, и был допрошен последний подозреваемый, Лакей-Лещ. Второй помощник судьи, Трефовый Валет, задал ему довольно-таки замысловатый вопрос: «Верно ли, что Чеширский Кот виновен, а Мартовский Заяц сказал правду?» То ли Лакей-Лещ сказал «да», то ли ответил «нет», сейчас уже вылетело у меня из головы. Зато я помню, как сейчас, что из всех показаний только два были ложными. В прошлом месяце, – продолжал Белый Рыцарь, – я встретил Бармаглота и рассказал ему все, о чем ты уже знаешь. В то время я еще помнил, что именно говорил каждый из четырех подсудимых (т.е. «да» или «нет»), и когда сообщил Бармаглоту их показания, он без труда сумел определить виновного. – Знаю, знаю! – перебила его Алиса. – Дальше вы скажете, что, будь у меня дополнительные сведения о Бармаглоте, я непременно должна была бы решить эту задачу. Ведь правильно? – Нет,– задумчиво произнес Белый Рыцарь. – Для того чтобы ты смогла решить задачу, этих данных недостаточно. – А что мне еще необходимо знать? – спросила Алиса.

– А вот что, – продолжал Белый Рыцарь. – Через неделю после моего разговора с Бармаглотом я встретил Плотника, большого знатока и любителя такого рода вопросов, и рассказал ему все, о чем ты уже знаешь. Разумеется, Плотник смог продвинуться в решении задачи ничуть не дальше, чем ты. Однако, подумав, он спросил: «Все ли подозреваемые ответили «да»?». Ответ тогда еще был мне известен, и я откровенно сообщил его Плотнику. Поразмышляв немного, он сказал:«А не могли бы вы вспомнить, говорил ли суду Мартовский Заяц правду или же он лгал?» И на этот вопрос я дал ему ответ, но это не помогло: Плотник так и не смог решить задачу. – Интересно получается! – воскликнула Алиса. – Плотник, зная все то же самое, что и я, не смог решить задачу, а я – должна ее решить? – Разумеется, нет, – успокоил ее Белый Рыцарь, – мой рассказ еще далеко не окончен. – Еще через неделю, – продолжал Белый Рыцарь, – я повстречал Моржа и рассказал ему все то, о чем только что рассказал тебе. Морж после долгого раздумья задал мне вопрос о правдивости показаний Чеширского Кота. Правда, сейчас я уже позабыл, что ответил ему, а тогда я дал исчерпывающий ответ. Но, несмотря на столь обширные сведения, Морж так и не смог определить, кого же суд признал виновным. – Неужели вы думаете, что если Морж и Плотник не смогли решить, кто же виновный, – спросила Алиса, – то это смогу сделать я? Или вы еще, может быть, чтонибудь вспомните или расскажете? – Ну, конечно же, расскажу, – ответил радостно Белый Рыцарь. – Я еще очень многое помню и ничего не скрою от тебя. Вскоре после встречи с Моржом я зашел на чаепитие к Соне-Мыши и во время беседы с ней упомянул об этом процессе, рассказав ей все, что только что рассказал тебе, и, кроме того, сообщил ей о том, что Чеширский Кот и Болванщик то ли оба солгали, то ли оба сказали правду, то ли один из них сказал правду. Но, к сожалению, эта информация ей не помогла: Соня не смогла решить эту непростую задачу. – Вот еще что, – продолжал он свой рассказ. – Полмесяца назад, прогуливаясь по берегу моря, я встретил своего друга, Грифона, и во время нашего разговора вспомнил об этом непростом деле. Грифон очень им заинтересовался, и я все без утайки рассказал ему. Он внимательно выслушал меня, а затем надолго задумался. Потом он спросил, не помню ли я, что ответил на суде Мартовский Заяц: «да» или «нет». Получив от меня ответ и подумав еще немного, он так и не сумел решить, кто же был виноват. На другой день после встречи с Грифоном, гуляя по лесу, я встретил Траляля. Рассказав ему о своих встре-

27

М

Ш

Иллюстрация В.Иванюка

К

чах с Бармаглотом, Плотником, Моржом, Соней и Грифоном, я надеялся, что уж он-то назовет мне имя виновного, тем более что я сообщил ему еще кое-что об истинности показаний виновного: то ли что виновный солгал, то ли что виновный сказал правду. Но, к большому моему разочарованию, и он тоже не смог назвать имя того, кого суд признал виновным. Спустя некоторое время я встретил второго из братцев, Труляля. Вспоминая разные интересные истории, я рассказал ему о ходе недавно закончившегося процесса все то же самое, что только что услышала от меня ты, только не сказал ему о встречах с Грифоном и Траляля, но зато вспомнил показание на суде одного из подозреваемых, о чем и сообщил ему. Что это было за показание, «да» или «нет», и чье оно, сейчас я уже не могу точно вспомнить, но что-то я ему все же сообщил. Тем не менее, Труляля так и не смог назвать мне имя виновного. – Ваш рассказ становится все более интересным, – в задумчивости произнесла Алиса. – Впрочем, извините, что перебила! Продолжайте, прошу вас! – Вчера во время прогулки я встретил нашего общего знакомого Шалтая-Болтая и рассказал ему все,

о чем ты уже знаешь. И о встрече с Бармаглотом, который успешно решил задачу, и о том, как бились над ней Морж, Плотник, Соня, Грифон, Траляля и Труляля, но вынуждены были отступить, несмотря на то что располагали дополнительными сведениями. Шалтай-Болтай тотчас же извлек карандаш и блокнот и принялся что-то писать. Наконец, он покачал головой и произнес: – Данных недостаточно! Вот если бы вы, уважаемый Рыцарь, смогли припомнить, о ком из подсудимых вы сказали Труляля, то тогда, возможно, и я назвал бы вам имя виновного. – К счастью, – закончил Белый Рыцарь, – именно об этой встрече и о подробностях разговора с Труляля я помнил, о чем и сообщил Шалтаю-Болтаю, после чего тот назвал мне имя виновного. – Так кто же он? – чуть не закричала от восторга Алиса. – А вот этого я уже и не помню, – ответил Белый Рыцарь. Но Алиса все же решила эту задачу. А вы?

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Мосты и парашюты

В.ВЫШИНСКИЙ

КАЗАЛОСЬ БЫ, ЧТО ОБЩЕГО МЕЖДУ ПАРАШЮТОМ И

… мостом? Мосты строили тысячи лет, причем это дело считалось настолько важным, что понтификами (pontifices), буквально – строителями мостов, в Древнем Риме называли жрецов, а в настоящее время так называют римских пап. А парашют изобретен всего около ста лет назад (Г.Е.Котельников, 1911 г.). Кроме того, приличный мост весит сотни и тысячи тонн (рис.1), а парашют помещается в ранце. И все же, с

объединяющей мосты и парашюты, является отрывное обтекание их воздухом. Рассмотрим систему двух тел: спускаемый аппарат (СА) + парашют (П) и мост на этапе строительства методом продольной надвижки, когда многобалочная система, пока что облегченная от плит перекрытия, выдвигается от одного быка моста к другому (см. рис.1). И там и здесь мы имеем систему нескольких плохообтекаемых тел и существенно нестационарный (т.е. изменяющийся со временем) отрывной характер течения воздуха. При исследовании таких течений можно считать, что обтекание всех угловых кромок происходит с отрывом потока, а характер обтекания всей системы тел зависит от расстояния между телами – будь то СА+П или выдвинутые балки моста (аванбеки) при их поперечном обтекании. Обсудим процесс спуска груза на парашюте. Изменением расстояния между СА и П можно менять величину силы сопротивления. При расстоянии L между ними, меньшем некоторого критического значения $L^{*}$, имеет место обтекание с «открытым следом» (нестационарное обтекание; рис. 3,а), а при $L > L^{*}$ – с «закрытым следом» (рис.3,б). Этим пользуются с целью уменьшения динамических нагрузок,

Рис.1. Монтаж моста через реку Томь в городе Томске

точки зрения аэродинамики, в них есть нечто общее: и мост и парашют – плохообтекаемые тела. А что значит – плохо или хорошо? Если при обтекании тела струйки воздуха разделяются в его носовой области и затем вновь соединяются в кормовой точке – это хорошо для самолета или дирижабля, потому что при этом сила сопротивления минимальна. Но парашют в принципе должен иметь как можно большее сопротивление, т.е. быть плохообтекаемым. Встречные струйки тока воздуха, разделившись перед плохообтекаемым телом, уже не соединяются за ним, а образуют вихри. Как говорят аэродинамики, образуется отрыв потока. На рисунке 2 это явление изображено для случая обтекания стержней прямоугольного сечения, например элементов конструкции моста. Таким образом, можно сказать, что общей чертой,

Рис. 2. Раскачка многобалочной конструкции при отрывном обтекании

Рис.3. Изменение схемы обтекания системы двух тел при увеличении расстояния между ними

максимум которых приходится на момент раскрытия парашюта (рис. 4). Резко тормозиться нельзя и по другой причине – спутный след может догнать быстро тормозящийся парашют и смять его. Поэтому применяют несколько парашютов – сначала

Рис.4. Изменение расстояния между спускаемым аппаратом и парашютом для управления величиной аэродинамического сопротивления (ф. – фал, который в момент раскрытия парашюта выбран, т.э. – тормозной экран, использованный на начальном этапе торможения)

31

ШКОЛА

воздействий всегда есть слабый шум, поведение системы в критических условиях оказывается хаотическим. Для шарика критические условия связаны только с изменениями равновесия. Более интересны системы, которым внешнее воздействие не дает прийти в равновесие. Так, Земля не приходит в равновесие с межпланетной средой благодаря световому потоку от Солнца, а чтобы в камере холодильника поддерживалась температура ниже комнатной, надо включить его в сеть. Время забывания у таких (активных) систем, разумеется, тоже ограничено. Поэтому рано или поздно их поведение перестает зависеть от начальных условий. Система, как говорят, выходит на установившийся режим. Есть разные сорта установившихся режимов. Выход на стационарный режим можно наблюдать, не расставаясь с шариком. Надо его бросить в сосуд с вязкой жидкостью (например, с глицерином). Скорость, с которой шарик опускается вниз, быстро выходит на постоянное значение, определяемое равенством силы тяжести шарика и суммы двух сил: выталкивающей (архимедовой) силы и силы вязкого трения. Из-за трения при движении шарика выделяется тепло, так что жидкость, окружающая шарик, нагревается, и ее вязкость падает. От этого установившаяся скорость увеличивается, тепла выделяется больше, вязкость становится еще меньше и так далее. Возникает, как говорят, обратная связь между скоростью и вязкостью. Такая связь служит причиной неустойчивости описанного режима при определенных условиях (значениях параметров). Для стального шарика в глицерине, например, критический радиус составляет примерно 1 см, а критическая скорость – около 1 м/с. Однако наблюдение этого явления в лабораторных условиях нереально. Тепловые процессы идут медленно, неустойчивость развивается за время порядка десятков минут, так что сосуд пришлось бы делать слишком глубоким. Иное дело, например, движение пластов земной коры. Возможно, некоторые землетрясения обусловлены тепловой неустойчивос-

Людмила, Черномор и шапканевидимка

А.СТАСЕНКО

Везде всечасно замечали Ее минутные следы: То позлащенные плоды На шумных ветвях исчезали, То капли ключевой воды На луг измятый упадали… Сам карла утренней порою Однажды видел из палат,

В

«КВАНТЕ»

тью этого движения. Другой подозрительный в этом плане объект – ледник, ползущий вниз по склону горы. Стационарный режим, как и состояние равновесия, тоже можно характеризовать восприимчивостью, которая в критической области параметров должна расти. Есть надежда, что изучение низкочастотного шума сложных промышленных и природных систем позволит найти признаки, предупреждающие заранее о назревающем кризисе. Трудно поверить, что сложные химические или биологические системы имеют что-либо общее с шариком, ямками и горбиками. Тем не менее, высокая восприимчивость и обусловленная ею хаотизация в критических условиях обнаружены у всех систем, исследованных до сих пор. Обратное утверждение о том, что высокую восприимчивость можно получить только в условиях, близких к критическим, не доказано, но, повидимому, верно. Нестационарные установившиеся режимы называют автоколебаниями. Многие холодильники работают в периодическом режиме: мотор включается, когда температура в камере превысит допустимое значение, и выключается после того, как она достаточно понизилась, затем следует стадия медленного нагрева из-за теплопроводности стенок, и все повторяется. Другой пример периодического режима – ход часов. В них источником «внешнего» воздействия, мешающего прийти в равновесие, служит батарейка или сжатая пружина. До сих пор мы говорили о хаосе, который не выходит за пределы относительно узкой критической области параметров. Но есть режимы, которые после своего рождения остаются хаотическими, даже когда значения параметров уходят из критической области. Изучение такого хаоса показало, что и здесь важную роль играет соседство устойчивых и неустойчивых состояний. Именно хаос мешает делать достоверные предсказания, например правдивые прогнозы погоды. Хаос многолик, и особенно интересны различия между его проявлениями в разных случаях. Кое-что об этом уже удалось узнать, но главная работа – впереди.

Как под невидимой рукою Плескал и брызгал водопад. А.С.Пушкин

Вспомнили? Ну конечно, речь идет о Людмиле, законной супруге Руслана, похищенной нехорошим Черномором. Это она приватизировала шапку-невидимку из черноморского гардероба. Однако действительно ли Людмила могла чувствовать себя столь комфортно, а Черномор был настолько бессилен увидеть «невидимую» пленницу? В самом деле, невидимость тела означает, что оно ничего не отражает, не поглощает и не преломляет (см. по этому поводу, например, недавнюю статью В.Белонучкина «Как увидеть невидимку» в «Кванте» №4 за 2006 г.). Следовательно, хрусталик глаза, который должен фокусировать лучи на сетчатке, перестает «работать», а сетчатка, которая должна преобразовывать сфокусированную энергию в полезный сигнал, перестает что-либо поглощать. Итак, абсолютно невидимая Людмила смогла бы перемещаться только ощупью, ориентируясь лишь на звуки или запахи (что может быть тоже сомнительным – но это лежит вне темы данной статьи). А что же Черномор? Конечно, во времена князя Владимира (Красное Солнышко) и его дружинника Руслана, т.е. в X веке, не были еще сформулированы законы теплового

(Продолжение см. на с.34)

Морская вода даже при самом сильном холоде не замерзает до твердого и чистого льда. Михаил Ломоносов

Я предположил, что во время кипения теплота поглощается водой и проникает в состав пара, образующегося из нее, тем же способом, как она поглощается льдом при таянии и проникает в состав образующейся воды. Джозеф Блэк

Облако – туман в высоте.

Можно, как известно, расплавить посредством трения друг о друга в безвоздушном пространстве два куска льда; теперь делают попытки превратить воду в лед посредством неслыханно большого давления. Юлиус Роберт Майер

…чтобы наблюдать насыщенный пар выше обыкновенной точки кипения воды, приходилось кипятить ее в замкнутых котлах, под искусственной атмосферой из сжатого воздуха и пара… Александр Столетов

Владимир Даль

А так ли хорошо знакомы вам

?

лед, вода и пар

Еще как знакомы, ответят очень многие. Вода – это самое распространенное на Земле вещество. Все живое, в том числе и мы сами, в основном состоит из воды. Ее физические свойства изучены-переизучены, они даже используются в качестве эталонов. Все это так, однако вода в своих различных агрегатных состояниях и по сей день преподносит множество сюрпризов. Особенности этого вроде бы простого вещества до конца еще не поняты, и поведение воды не всегда можно прогнозировать. Смириться с таким положением дел ученые, безусловно, не желают и упорно продолжают разбираться со все более тонкими деталями строения воды и ее участия в загадочных эффектах. А стимулирует исследователей понимание исключительной важности воды для жизни на Земле. Ведь более полные знания о ней необходимы и для решения экологических проблем, и для создания новых лекарств и методов лечения, и для противостояния глобальным климатическим изменениям, и для совершенствования производственной деятельности человека… Масштабы этих задач побуждают и нас обратиться к разговору о физических свойствах одной из четырех основных стихий. Посмотрите, ведь и среди школьных вопросов и задач найдется немало таких, которые заставят вас засомневаться в простоте этого простого вещества – воды.

Вопросы и задачи 1. Останется ли целой доверху заполненная водой закупоренная стеклянная бутылка, если ее опустить в тающий лед? 2. Ко дну сосуда с водой изнутри приморожен шарик изо льда. Изменится ли уровень воды в сосуде, когда лед растает? 3. Можно ли расплавить олово в горячей воде? А заморозить воду расплавленным металлом? 4. Капельки тумана могут оставаться жидкими и при температуре –30 $^\circ$ С. Почему?

5. При первых морозах водоемы легче замерзают, если идет снег. Как это объяснить? 6. Какая физическая ошибка допущена в стихотворении о капле: «Она жила и по стеклу текла, но вдруг ее морозом оковало, и неподвижной льдинкой капля стала, а в мире поубавилось тепла»? 7. Почему превращение в воду плавающих в море льдов не приводит к наводнениям, тогда как растопление льда, покоящегося на острове Гренландия, вызвало бы катастрофический подъем уровня океана? 8. Удельная теплота плавления меди значительно меньше, чем у льда. Значит ли это, что для плавления медной пластинки в зимних условиях потребуется меньше энергии, чем для плавления льдинки той же массы? 9. Почему ожоги паром опаснее ожогов кипятком? 10. Что быстрее потушит пламя – кипяток или холодная вода? 11. В кастрюле с тяжелой крышкой вскипятили воду. Сняв кастрюлю с плиты, ей дали слегка остыть, затем в спокойную воду насыпали чайную заварку, и вода бурно закипела. Почему? 12. Желая ускорить процесс варки, хозяйка усилила огонь под кастрюлей, в которой кипела вода. Верно ли поступила хозяйка? 13. Одинаковы ли показания термометров, один из которых помещен у поверхности кипящей воды, а другой – в ее толще? 14. Стакан с небольшим количеством воды поставили под колокол воздушного насоса и стали откачивать воздух. Почему вода сначала закипела, а потом замерзла? 15. Воду вскипятили в круглодонной колбе, колбу закупорили и перевернули. Если теперь на дно колбы положить немного снега или облить ее холодной водой, то вода в колбе закипит. Как это объяснить? 16. В каком случае «точка росы» становится «точкой инея»?

17. Иногда поверхности окон запотевают. Какие это поверхности – внешние или внутренние? 18. При критической температуре удельная теплота парообразования любой жидкости, в том числе и воды, равна нулю. Почему? 19. Какого цвета водяной пар? Микроопыт Выпустите из яйца его содержимое через маленькое отверстие в остром конце. Залепите дырочку воском или пластилином, к которому прикрепите на нитке грузик. Массу грузика надо подобрать так, чтобы он удерживал скорлупу почти у дна высокой банки с водой комнатной температуры. Если вынести банку на мороз, то через некоторое время ваш «прибор» всплывет, но вскоре опустится. Если теперь внести банку в комнату, то скорлупа вновь проделает свой путь вверх-вниз. Объясните это.

Любопытно, что… …расширение воды при замерзании и ее закипание при пониженном давлении были открыты лишь в семнадцатом столетии искусным английским экспериментатором Робертом Бойлем. …из морской воды образуется исключительно прочный полярный лед. Иная точка зрения, разделявшаяся, судя по эпиграфу, Ломоносовым, «не позволила» пробиться к Северному полюсу ни одной из экспедиций XVII–XIX веков, так как парусники всякий раз застревали в мощных льдах. …способ приготовления мороженого поначалу охраняли как большой секрет. Напрасно опытные повара при многих европейских дворах пытались заморозить смесь из взбитых сливок и фруктовых соков, пользуясь льдом в обычных погребах. Оказывается, дело было в добавлении соли – перемешивая ее с колотым льдом, можно было значительно понизить температуру, вплоть до полного замерзания смеси. …одна из особенностей льда заключается в том, что температура его плавления, в отличие от большинства веществ, понижается с увеличением давления. Однако этот эффект не отвечает за появление водяной смазки под лезвием коньков, чем долгие годы пытались объяснить их легкое скольжение по льду. …знаменитый сказочник Андерсен упомянул в «Снежной королеве» десятиконечные снежинки, хотя много раньше астроном Кеплер установил их шестиконечную форму. Правда, Декарту удалось наблюдать крайне редкие двенадцатии восемнадцатиконечные кристаллики снежинок. …недавно была обнаружена пятая форма плотного аморфного льда, образующегося под действием высокого давления при температуре около –200 °С. Заметим, что все виды льдов, кроме обычного, тонут в воде. Иначе говоря, лед, получающийся при нормальных условиях, ведет себя аномально. …в годы второй мировой войны для восстановления

потерь флота английские ученые предложили морскому ведомству построить непотопляемые авианосцы изо… льда. Для этого предполагалось использовать айсберги, за которыми в Арктику была даже направлена специальная экспедиция. Проект, правда, так и не был осуществлен, однако внимание к разного рода ледяным сооружениям неизмеримо возросло. …большая теплоемкость воды объясняется тем, что ее молекулы объединяются в так называемые кластеры, (супермолекулы) и при поступлении к воде тепла заметная его часть тратится на разрыв связей между входящими в состав кластера соседками-молекулами. …на Марсе жидкой воды нет, так как при марсианском атмосферном давлении, в 160 раз меньшим, чем на Земле, вода может существовать лишь в твердом и газообразном состояниях. А на Венере вода в жидкой фазе не могла бы находиться потому, что температура поверхности этой планеты около $480 ^\circ$ С, что заметно выше критической температуры воды. Правда, исследователи не потеряли надежды обнаружить замерзшую воду на Луне, где она могла бы сохраниться на дне глубоких полярных кратеров. …как известно, в скороварке пищу можно приготовить гораздо быстрее, чем в обычной кастрюле. Однако открывать эту посуду следует очень осторожно: после разгерметизации давление падает, и жидкость оказывается заметно перегретой, что приводит к взрывному вскипанию во всем объеме кастрюли, выплескиванию горячей воды и… ожогам. …английский физик Чарльз Вильсон, предложивший в 1912 году применяемый и поныне способ регистрации заряженных частиц с помощью камеры, заполненной пересыщенным паром, до этого занимался исследованием происхождения дождей и туманов. …феномен «памяти воды», т.е. ее способность длительное время хранить информацию, так активно обсуждался в последние годы, что заставил ученых провести специальные эксперименты. Увы, результат отрицателен: вода обладает нестабильной, постоянно меняющейся структурой и, скорее, является одним из самых «забывчивых» веществ на свете.

Что читать в «Кванте» о льде, воде и паре

(публикации последних лет)

1. «Наглядный способ регистрации заряженных частиц» – 2001, №6, с.11; 2. «Водяные пары» – 2002, №2, 26; 3. «Тепловые свойства воды» – 2002, №3, с.10; 4. «Снежинки и ледяные узоры на стекле» – 2002, №5, с.29; 5. «О структуре льда» – 2002, Приложение №6, с.19; 6. «О физике на приусадебном участке» – 2003, №1, с.27; 7. «Вода внутри нас» – 2003, №2, с.2; 8. «Насыщенные и ненасыщенные водяные пары» – 2004, №2, с.23; 9. «Костры в поле и русская баня» – 2004, Приложение №4, с.60; 10. «Калейдоскоп «Кванта» – 2005, №3, с.32; 11. «Метастабильные капли и обледенение самолета» – 2005, №4, с.8; 12. «Задачи с жидкостями» – 2006, №1, с.40.

Материал подготовил А.Леонович

39

КОЛЛЕКЦИЯ

Игроки четвертой группы получили по M - ( L + 1 ) 2 очков – не больше N 2 – 1. Во второй и третьей группах результат равен ( N - 1 ) 2. Отсюда следует, что вторую группу составляют странные, первую – сильные, третью – средние, а четвертую – слабые. При этом число странных равно [ N 2 ] - L, и за счет выбора L его можно сделать любым натуральным числом в пределах от 1 до [ N 2 ] - 1. Задача 18. Докажите, что на любом турнире сильные вместе со странными составляют меньше 2/3 от общего числа игроков, и что то же верно для слабых вместе со странными. Если же на турнире нет средних, то сильные и слабые составляют более чем по трети участников турнира, а странные – менее трети. Более точно, если N имеет вид 3М, 3М + 1 или 3М + 2 (М натуральное), то число странных не превосходит, соответственно, М – 2, М – 1, М. Решение. Рассмотрим «среднеарифметического» сильного игрока (т.е. сложим очки, набранные сильными, и разделим на число таких участников). Этот условный игрок выиграл у стольких же сильных, скольким и проиграл. При этом он проиграл всем странным. Поэтому сумма очков «среднеарифметического» сильного игрока не больше, чем число средних и слабых плюс половина числа сильных. Аналогично, результат «среднеарифметического» странного игрока не меньше, чем число сильных плюс половина числа странных. Но эта сумма меньше, чем в первом случае. Как следствие, общее число средних и слабых больше, чем половина общего числа сильных и странных. А это и означает, что сильные и странные составляют менее двух третей от всего состава игроков. Утверждение о численности странных вместе со слабыми доказывается аналогично. Задача 19. Постройте пример (для произвольного N ³ 5 ), когда на турнире есть странные, нет средних, а число сильных, как и число слабых, равно наименьшему целому, большему N/3. Решение. Разделим участников турнира на три группы, причем в первые две включено по [ N 3 ] + 1 человек. Пусть игроки первой группы выиграли все матчи у игроков второй

ГОЛОВОЛОМОК

группы. Аналогично, вторая группа выиграла у третьей, а третья – у первой. Внутри каждой группы все матчи закончились вничью. Нетрудно убедиться, что третья группа состоит из странных, первая – из сильных и вторая – из слабых. Задача 20. Пусть в круговом турнире все участники набрали разное количество очков. Постройте пример, когда ничьих ровно две и имеется странный игрок. Решение. Пусть число игроков нечетно, они занумерованы от 1 до 2М + 1 и меньшие номера выиграли у больших со следующими исключениями: вничью сыграли первый с М-м и (М + 2)-й с последним, игрок с номером М + 1 выиграл у всех предыдущих и проиграл всем последующим. Нетрудно убедиться, что сумма очков убывает с ростом номера и (М + 1)-й игрок – странный. Задача 21. В круговом турнире была только одна ничья. Любые два участника набрали разное количество очков. Докажите, что странных игроков нет. Решение (найдено участниками конференции Турнира городов). Предположим, что странный игрок есть. Так как он один, то он не занимает ни первого, ни последнего места. Следовательно, первый игрок проиграл странному и, значит, набрал не более n – 2 очков, а последний выиграл у странного и, значит, набрал не менее одного очка. С другой стороны, так как в турнире была ровно одна ничья, два игрока имеют полуцелые количества очков и n – 2 игрока – целые. Таким образом, существуют игроки, набравшие 1, 2,…, п – 2 очка. Рассмотрим последнего игрока. Так как он выиграл у странного, он набрал ровно 1 очко, т.е. проиграл всем остальным. Тогда предпоследний игрок (если это не странный) выиграл у странного и у последнего и, значит, проиграл всем остальным. Повторяя это рассуждение, получаем, что ни один из слабых игроков не мог сыграть вничью. Аналогично, вничью не мог сыграть ни один из сильных игроков. Противоречие. (Окончание следует)

КОЛЛЕКЦИЯ ГОЛОВОЛОМОК

Две незнакомые головоломки из знакомых деталей

(Начало см. на 2-й с. обложки)

Винт и гайка. Очень может быть, что эта головоломка была придумана примерно в то же время, что и детали, из которых она состоит. Место ее рождения пока не удалось установить даже с точностью до континента. В Африке, Европе и Азии найдены ее варианты, состоящие из палочек с привязанными к ним колечками. У коряков, живущих на полуострове Камчатка, эта игрушка считается национальной головоломкой и известна с незапамятных времен. Задача состоит в том, чтобы переместить одно из колец на петлю с другим кольцом. В конструкции, приведенной на фотографии, требуется соединить винт и гайку. Как в большинстве хороших головоломок, задача сначала кажется неразрешимой. А решается она, можно сказать, «в лоб»! Нужно упрямо продвигать гайку по веревке до тех пор, пока она не соединится с винтом. Только не пытайтесь просунуть большую гайку через маленькое отверстие. Вмес- то этого вытягивайте через отверстие веревочный узел и продвигайте веревку по гайке, а не наоборот. Болт и шайба. Эта замечательная головоломка создана московским изобретателем Кириллом Гребневым. Чтобы оценить ее, следует иметь в виду, что придумать головоломку, внешне простую, но трудную в решении, гораздо сложнее, чем состоящую из множества деталей. Далеко не каждому изобретателю головоломок это под силу. По совокупности достоинств игрушку «Болт и шайба» можно назвать лучшей головоломкой 2006 года, причем не только в России. Она оказалась самой популярной на ежегодной октябрьской встрече голландского клуба «NKC», объединяющего более 400 любителей головоломок из 38 стран. Задача головоломки очевидна – нужно снять шайбу с болта. Чтобы это стало возможным, необходимо отцепить от шайбы удерживающий ее шнурок. Петлю, которая охватывает шайбу, можно двигать в двух направлениях, но лишь одно направление приводит к цели. Будем надеяться, что этой подсказки вам окажется достаточно. Желаю успехов! А.Калинин