Квант 2007, №2 · Страницы

7

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

можно встретить «неп» или «нп»): 1 Нп $= ln ( F_{1} F_{2} )$ при $F_{1} F_{2} = e$, где $F_{1}$ и $F_{2}$ – физические величины одной и той же размерности, а e » 2,718 – основание натуральных логарифмов. Разумеется, эта единица названа в честь шотландского математика, изобретателя логарифмов Джона Непера (1550–1617). В его же честь и число e называют неперовым числом. Правда, на практике применяют неперы нечасто, в основном в электротехнике – при измерениях затухания электрических сигналов в линиях связи.

Громкость и высота звука – белы, децибелы, октавы В шкале обычных десятичных логарифмов единица измерения называется «бел» – в честь американского изобретателя телефона Александера Белла (1847– 1922). Чаще применяется ее десятая часть – децибел. Обе единицы в основном используются в акустике для измерения уровня интенсивности звука и звукового давления, а также в электротехнике. Разность уровней в 1 дБ означает отношение в $10^{0,1} = =$ 1,2589… раз. Три децибела почти точно означают удвоение. В акустике за ноль принимают еле слышимый звук (давление около 2 Ч $10^{-} 5$ Н $м^{2} ),$ так что уровень громкости в 90 дБ означает миллиарднократное превышение интенсивности звука над едва уловимым шепотом. Однако у единиц «бел» и «децибел» есть особенность, затрудняющая их применение за пределами акустики и электротехники. Дело в том, что эти логарифмические шкалы определяются по-разному для разных физических величин. Введенное выше определение $( lg ( I_{1} I_{2} ) )$ используется только для энергетических величин, к которым относятся мощность, энергия, поток энергии и т.д. А для силовых величин – напряжение, сила тока, давление, напряженность поля,… – используется иное определение: 1 Б $= 2 lg ( p_{1} p_{2} )$ и

1 дБ $= 20 lg ( p_{1} p_{2} )$,

На этой фотографии, сделанной иранским любителем астрономии Б.Тафреши, мы видим весь диапазон звезд, доступных невооруженному глазу человека. Участок неба охватывает созвездия Ориона (вверху справа), Единорога (вверху слева) и Большого Пса (левее центра). Самая яркая звезда здесь – Сириус (альфа Б. Пса), ярчайшая звезда нашего небосвода; она имеет звездную величину –1,5. А самые слабые звезды на снимке имеют величину 6,5; поток света от них в 1600 раз слабее, чем от Сириуса.

ШКАЛЫ

поскольку, к примеру, интенсивность звука (поток энергии) и звуковое давление связаны соотношением $I : p^{2}$. Иногда это приводит к путанице: если в акустике 1 дБ = 0,2303 Нп, то в электротехнике 1 дБ = 0,1151 Нп. Неоднозначность белов и децибелов делает более удобной единицу «dex», которая все чаще применяется в математике, астрономии и многих областях физики. Если амплитуду звуковой волны мы воспринимаем как громкость, то ее частота характеризует высоту звука. И в этом случае справедлив закон Вебера– Фехнера: разные звуки воспринимаются нами как равноотстоящие по высоте, если равны отношения их частот. Для измерения интервалов высоты звука применяются логарифмические единицы. Основная среди них – октава, ограниченная частотами, отношение которых равно двум. Понятие октавы становится все более популярным за пределами музыкальной сферы, поскольку числа вида $2^{n}$ широко используются в импульсной электронике, в частности в вычислительной технике. Правда, в этих областях слово «октава»

9

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

ШКАЛЫ

Таблица 2

Сейсмическая шкала Меркалли

(в джоулях) логарифмически: 5 M = - 2,5 + lg E. 8

Например, катастрофическое 9-бальное землетрясение 1948 года, разрушившее город Ашхабад, имело магнитуду M = 7. Следовательно, в очаге этого землетрясения (на глубине около 20 км) выделилась энергия порядка $10^{15}$ Дж, что эквивалентно взрыву 250-килотонной бомбы. Сильнейшие из зарегистрированных землетрясений имели магнитуду 8,9. Таких землетрясений с начала инструментальных наблюдений зарегистрировано два, оба под океаном. Одно произошло в 1933 году у берегов Японии, другое – в 1906 году у берегов Эквадора. Как видим, балл землетрясения практически изменяется как десятичный логарифм его энергии (1 балл ~: 0,94 lg E ). Разность уровней в 1 балл по сейсмической шкале весьма близка к 1 белу. Если сравнить это с основанием шкалы звездных величин (2,512) или громкости звука в децибелах (1,259), то можно заключить, что у шкалы нашего вестибулярного чувства весьма грубый шаг (10).

Сила ветра – шкала Бофорта

Ветер интересует не только моряков и летчиков, он также весьма сильно влияет на качество астрономичес-

ких наблюдений. Его интенсивность воспринимается сразу несколькими органами чувств – глазами, кожей, ушами, а также объективно измеряется анемометром как скорость воздушного потока (которую метеорологи предпочитают называть силой ветра). Для визуальной оценки силы ветра существует особая 13-бальная шкала, разработанная английским адмиралом Ф.Бофортом в 1806 году. Балл Бофорта имеет словесное определение силы ветра – штиль, свежий ветер, шторм, ураган и т.п. и визуальное, описательное проявление его действия на суше и на море – характер качания деревьев, характер и высота волн. Сначала эта шкала применялась только самим ее автором. Но в 1874 году Постоянный комитет Первого метеорологического конгресса принял шкалу Бофорта для использования в международной синоптической практике. Позже шкала менялась и уточнялась, а в 1963 году была принята Всемирной метеорологической организацией в том виде, как она приведена в таблице 3 (на стандартной высоте 10 м над открытой ровной поверхностью). Легко видеть, что баллы по шкале Бофорта – назовем их ББ – функционально связаны со скоростью ветра (v). Но вот что любопытно – математическая зависимость оказалась не логарифмической, а степеннóй: ББ » $1,25 v^{5} 8$,

10

КВАНТ 2007/№2

Таблица 3

Сила ветра у земной поверхности по шкале Бофорта

где скорость выражена в м/с. Интересно было бы понять причину этого исключения. Почему весьма общий закон Вебера–Фехнера не проявил себя в этом случае? Можно предположить, что рецепторы человека прямо не участвуют в определении силы ветра, что это оценка скорее эмоциональная, чем

физиологическая. Действительно, оценивая силу ветра, мы обычно думаем об ущербе, который он может причинить. Однако, как мы увидим далее, наши эмоции также – и это поистине удивительно! – подчиняются психофизическому закону.

11

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

ШКАЛЫ

Таблица 4

Туринская шкала опасности столкновения Земли с астероидами и кометами

Восприятие психических явлений – шкала эмоций

На нескольких примерах мы убедимся, что не только физиологические, но и психические шкалы, определяющие силу наших эмоций, также имеют логарифмический характер – для своих субъективных оценок произведенного на нас впечатления мы подсознательно выбираем «ступеньки» в виде геометрической прогрессии. В качестве общеизвестного примера начнем со шкалы Ландау, по которой знаменитый физик оценивал заслуги своих коллег. Вот как об этом вспоминает академик В.Л.Гинзбург: «… Ландау имел “шкалу заслуг” в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн, к классу 1 относились Бор, Дирак, Гейзенберг и ряд других…» Другие источники рассказывают о шкале Ландау немного иначе: «Ландау присваивал великим ученым-физикам всего мира “звездные” номера. Вы знаете, что звезда первой величины – это очень яркая звезда, звезда второй величины – менее яркая и т. д. Эйнштейну, Бору и Ньютону Ландау присвоил половинную величину – 0,5. Дирак, Гейзенберг – это звезды первой величины. Себе он присваивал вторую величину». Остается неясным, логарифм по какому основанию – 10 или 2,512 – использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности физиков-теоретиков. Несомненно лишь одно: для этих сугубо эмоциональных,

субъективных оценок он использовал логарифмическую шкалу. Уже отмечалось, что в быту мы тоже нередко используем шкалу логарифмов. Примеры можно было бы продолжать долго. Так, богатых людей мы делим на миллионеров и миллиардеров. Города делим по населению на миллионные и стотысячные. Покупая продукты в магазине, стараемся экономить рубли, а задумываясь о покупке нового холодильника или телевизора, обращаем внимание лишь на сотни рублей. Как и в случае физиологических шкал, в бытовых эмоциональных вопросах мы воспринимаем не абсолютное, а относительное различие. При этом оно становится для нас заметным и значимым, когда превышает несколько процентов от измеряемой величины. Похоже, что чувствительность нашего «измерителя эмоций» близка к чувствительности глаза, уха и прочих физиологических рецепторов. Рассмотрим примеры нескольких эмоциональных шкал, предложенных в последние годы.

Туринская и палермская шкалы астероидной опасности

В 1999 году на конференции ООН по мирному использованию космического пространства Международный астрономический союз представил систему оценки угрозы возможных столкновений Земли с астероидами и кометами. Степень угрозы указывается по 11-бальной шкале, разработанной американским астрономом Ричардом Бинзелом. Поскольку автор впервые представил эту шкалу своим коллегам на

Задачи

Три человека со стиральной машиной хотят переправиться через реку. Катер вмещает либо двух человек и стиральную машину, либо трех человек. Беда в том, что стиральная машина тяжелая, поэтому погрузить ее в катер или вытащить из него можно только втроем. Смогут ли они переправиться? А.Шаповалов

«… Cтарший военный врач Бауце из aabbb граждан выловил abccc симулянтов и поймал бы на удочку последнего, если бы этого счастливчика не хватил удар в тот самый момент, когда доктор на него заорал: ”Кругом!”…» В этом отрывке из «Похождений бравого солдата Швейка» мы заменили все цифры латинскими буквами (одинаковые – одинаковыми, разные – разными). Сумеете определить, сколько симулянтов разоблачил бдительный доктор Бауце? И.Акулич

Щит короля Артура имеет форму восьмиугольника, который образовался из квадрата после отрезания одинаковых равнобедренных треугольников. Красный цвет, символ мужества, занимает на щите ту же площадь, что и синий – символ справедливости. Как это показать, не прибегая к вычислениям? В. Произволов

Клетчатая $таблица^{3} ѣ^{3}$ называется магическим квадратом, если все числа в ней различны и суммы чисел во всех строках, во всех столбцах, а также в диагоналях одинаковы (например, так, как показано на рисунке). Существует ли магический квадрат, заполненный числами, обратными натуральным? А.Шаповалов

В 8А классе учатся 27 школьников. Им предложили посещать кружки по пению, свистению и чтению стихов. Каждый хочет посещать один или несколько из этих кружков. Оказалось, что в каждый кружок желает ходить более трети класса. Можно ли составить такие списки кружков, что каждый будет ходить ровно в один кружок, в который хочет, и во всех кружках будет поровну школьников? Д.Калинин

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрация Д.Гришуковой

22

КВАНТ 2007/№2

Заключительный этап конкурса имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

База отдыха «Берендеевы поляны» под Судиславлем Костромской области уже стала традиционным местом проведения финальных соревнований конкурса имени А.П.Савина. Летом 2006 года здесь состоялся XII финальный летний турнир математических боев, который в очередной раз побил рекорд по количеству команд-участниц: тридцать шесть. На турнире присутствовали школьники из пятнадцати городов. Приехали отдельные команды из Иванова, Кирова, Костромы, Магнитогорска, Перми, Троицка, Харькова. Ну и, конечно же, больше всего команд представила Москва. Примечательная особенность последних турниров – соревнования стали привлекательными для девятиклассников. В организации турнира, кроме журнала «Квант», приняли участие Московский городской дворец детского (юношеского) творчества (председатель оргкомитета турнира Г.Кондаков), образовательная программа «Большая перемена» (руководитель программы депутат областной думы и председатель Федерации профсоюзов Костромской области М.А.Батин), Департамент общего и профессионального образования администрации Костромской области, Фонд математического образования и просвещения. Спонсорскую помощь командам оказали также некоторые организации на местах. Так, школьники Черноголовки выражают свою благодарность Объединенной профсоюзной организации Научного центра «Черноголовка» РАН (зам. председателя Л.А.Ковалева). Работу методической комиссии возглавил А.Шаповалов. В составе комиссии работали опытные члены жюри, не раз принимавшие участие в подобного рода мероприятиях: А.Акопян, М.Берштейн, А.Блинков (зам. председателя оргкомитета), Ю.Блинков, А.Горская, В.Гуровиц, А.Жуков, Д.Калинин, Т.Караваева, И.Раскина, В.Сендеров, А. Скопенков, А.Спивак, С.Токарев (организатор первых летних турниров), В.Трушков, Б.Френкин, Е.Чернышева, В.Шарич. Руководители команд также принимали активное участие в работе жюри:

помогали судить отдельные бои, организовывать и проводить дополнительные интеллектуальные игры («Математическая регата», «Завалинка»). С лекциями перед школьниками выступили А.Скопенков («Найди количество раскрасок»), Н.Нетрусова («Узлы и косы»), А.Шаповалов («Принцип узких мест»). Турнир проводился по традиционной схеме: командная олимпиада в первый день, по результатам которой команды были ранжированы по лигам, затем ежедневные математические бои, между которыми в один из дней прошла личная устная олимпиада.

Призеры личной олимпиады:

6 класс Кадец Борис – Харьков, УВК 45 «Академическая гимназия», Матвеевский Дмитрий – Харьков, ФМЛ 27 (5 класс), Лисичкин Сергей – Харьков, гимназия 47, Коротов Денис – Москва, школа 936;

7 класс Ивлев Федор – Москва, гимназия 1543, Деревицкий Иван – Магнитогорск, школа 5, Малых Софья – Киров, ФМЛ, Николаев Семен – Москва, школа 1189, Садовников Сергей – Волгореченск, школа 2, Южанин Денис – Киров, ФМЛ, Артемьева Галина – Москва, гимназия 1543, Баева Светлана – Киров, ФМЛ, Голицын Владимир – Харьков, ФМЛ 27, Дудкин Александр – Харьков, ФМЛ 27, Криволапов Владислав – Иваново, лицей 67, Макаров Николай – Москва, школа 179, Ноздрин Михаил – Магнитогорск, школа 5, Панфилов Данила – Москва, ФМШ 2007, Пожарский Богдан – Харьков, ФМЛ 27, Редёга Владимир – Москва, гимназия 1543, Тарасов Артем – Киров, ФМЛ, Троицкий Алексей – Москва, школа 1189;

8 класс Соболев Евгений – Харьков, гимназия 47, Маянцев Кирилл – Волгореченск, школа 3, Бочкарев Михаил – Пермь, школа 9 им. А.С. Пушкина, Ефремов Дмитрий – Магнитогорск, школа 5, Таранникова Екатерина – Москва, ФМШ 2007, Турбина Наталья – Ангарск, школа 10, Паламарчук Игорь – Москва, лицей «Вторая школа», Акопян Эмма – Москва, гимназия 1543, Соболев Дмитрий – Харьков, гимназия 47, Смирнова Алена – Москва, лицей «Вторая школа», Гавричев Егор – Москва, лицей «Вторая школа»;

9 класс Андреев Михаил – Москва, школа 57, Кисловская Анна – Кострома, лицей 32,

23

К

М

Ш

Подробные итоги турнира представлены на сайте www.lmsh.ru

Некоторые задачи турнира

(цифры в скобках указывают классы, для которых предлагалась соответствующая задача) 1 (6–7). Кеша вырезал из бумаги треугольник АВС с наибольшей стороной АВ и перегнул его по прямой так, что вершина С попала на сторону АВ и образовался четырехугольник. Укажите множество точек на стороне АВ, куда могла попасть вершина С. А.Шаповалов, В.Гуровиц

Ромаскевич Елена – Москва, гимназия 1543, Бакаев Егор – Кострома, лицей 32, Погребнов Алексей – Москва, гимназия 1543, Марченко Евгений – Москва, гимназия 1543.

Команды-призеры 7 класс гимназия 1543, 7 Б кл., Москва (руководитель М.М.Букина), гимназия 1543, 7 А кл., Москва (руководитель Б.П.Гейдман), «Квантик», Москва (руководитель И.А.Николаева), ФМШ 2007, 7 кл., Москва (руководитель В.В.Ховрина), школа 936, Москва (руководитель Т.П.Зорина);

7–8 классы школа 17, Москва (руководитель Д.А.Коробицын), ФМЛ, 7 кл., Киров (руководитель Л.А.Смирнова), «Большая перемена», 7 кл., Кострома (руководитель Д.А.Калинин), школа 5, Магнитогорск (руководители Н.С.Никифорова, А.В.Устинов), «Эврика», 7 кл., Харьков (руководители Е.Л.Аринкина, А.Л.Берштейн );

8 класс, первая лига школа 5, Магнитогорск (руководители А.В.Христева, А.С.Великих), гимназия 1543, 8 А, Москва (руководитель Т.С.Гейдер);

8 класс, высшая лига «Эврика», 8 кл., Харьков (руководитель Е.Л.Аринкина), Московский городской дворец детского (юношеского) творчества (руководитель С.Е.Дубов), школа 82, 8 кл., Черноголовка (руководитель Л.Н.Головко), школа 9 им. А.С.Пушкина, Пермь (руководитель О.Н.Вязьмина), гимназия 1543, 8 Б кл., Москва (руководитель А.В.Спивак);

9 класс гимназия 1543, 9 кл., 9-3, Москва (руководитель А.В.Спивак), гимназия 1543, 9 кл., 9-1, Москва (руководитель И.В.Раскина), гимназия 1543, 9 кл., 9-2, Москва (руководитель А.В.Спивак), «Большая перемена», 9 кл., Кострома (руководитель Д.А.Калинин).

Все победители награждены дипломами и призами, предоставленными журналом «Квант», а также Фондом математического образования и просвещения.

2 (8). Бумажный треугольник со сторонами a, b, c перегнули по прямой так, что вершина, противолежащая стороне c, попала на эту сторону. Известно, что в получившемся четырехугольнике равны два угла, примыкающих к линии сгиба. Найдите длины отрезков, на которые делит сторону c попавшая туда вершина. А.Шаповалов

3 (7–8). На клетчатой бумаге закрасили многоугольник, периметр которого проходит по линиям сетки. Всегда ли можно вырезать по линиям сетки содержащий его прямоугольник того же периметра? В.Сендеров

4 (7–9). Художник-абстракционист хочет раскрасить клетки доски 8 ѣ 8 в m > 1 цветов так, чтобы выполнялось условие: если одинаково окрашенные клетки A и B граничат с клеткой C, то с C граничат еще две клетки, окрашенные одинаково, причем в цвет, отличный от цветов A и B. (Граничащими называем клетки, имеющие общую сторону.) При каких m он сможет это сделать? Е.Барабанов, И.Акулич

5 (7–8). На числовой прямой отмечены все целые точки. Точки x и y соединяются дугой, если |x – y| простое число. В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все целые точки, чтобы любые две соединенные точки были разного цвета? В.Гуровиц

6 (7–8). Найдите все тройки простых чисел, удовлетворяющие равенству

$x^{3} + y^{3} = 2 z^{3}$.

В.Сендеров

7 (7–9). В однокруговом футбольном турнире участвовало 20 команд. Оказалось, что если какие-то две команды сыграли между собой вничью, то хотя бы одна из них завершила вничью не больше трех игр. Каково наибольшее возможное число ничьих в таком турнире? И.Акулич

8 (8). Некоторые из сторон и диагоналей выпуклого n угольника (n > 3), никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке, покрасили в красный или синий цвет. Известно, что синие отрезки не пересекаются и между любыми вершинами есть единственный синий путь. То же верно для красных отрезков.

26

КВАНТ 2007/№2

сумма равна нулю, и ответ на вопросы а), б) отрицательный. Более того, из проведенного рассуждения следует, что ответ на вопрос в) положительный. Напротив, в пункте г) ответ отрицательный: если один игрок проиграл все встречи, а остальные сыграли между собой вничью, то коэффициент последнего игрока отрицателен, а все остальные равны нулю.

Проигравший вылетает

Как известно, круговые турниры – не единственная существующая форма соревнований. В противоположность им, при кубковой (олимпийской) системе проигравший «вылетает», и ничьи невозможны. В таких соревнованиях роль случайности гораздо выше, но зато борьба протекает острее. Если круговому турниру отвечает полный граф (вершины – игроки, ребра – поединки, любые две вершины соединены ребром), то граф олимпийского турнира представляет собой бинарное дерево (циклов нет, и на пути, ведущем от висячей вершины к корню, в каждую промежуточную вершину входят два ребра и выходит одно). Задача 27. Турнир по боксу проходил по олимпийской системе (в каждом круге проигравшие выбывают, отдыхающих нет). Сколько боксеров участвовало в турнире, если по окончании турнира выяснилось, что 32 человека выиграли боев больше, чем проиграли? Решение. При олимпийской системе большинство боев выиграно у тех и только тех боксеров, которые вышли хотя бы в третий тур. Участники третьего тура составляют четверть от общего числа участников. Следовательно, в турнире участвовало 128 боксеров. Интересно сравнить результаты возможных турниров с одними и теми же участниками, но проводимых по разным системам. Приведем две задачи на эту тему (автор К.Фельдман, см. статью Б.Френкина «Жеребьевка для чемпиона» в «Кванте» № 5 за 2000 год). Чтобы выделить то, что зависит от формы проведения, а не от игроков, примем «предположение о стабильной игре»: в каждой паре игроков победитель всегда один и тот же. Ничьи в круговом турнире между такими игроками исключены, поскольку их не бывает в кубковом турнире. Однако мы допускаем, что один игрок выигрывает у другого, другой – у третьего, а при этом третий выигрывает у первого. Задача 28. Прошел чемпионат по круговой системе с участием $2^{N}$ игроков. Теперь тем же спортсменам предстоит разыграть кубок. Выполнено предположение о стабильной игре. Докажите, что существует жеребьевка розыгрыша кубка, при которой чемпион кругового турнира выйдет в финал. Решение. Занумеруем игроков следующим образом. В начало списка поставим тех, кто победил чемпиона, т.е. «опасных». Далее – проигравших ему, т.е.«неопасных». Последний номер дадим чемпиону. В каждом туре розыгрыша кубка составим пары по порядку номеров. Чемпион выступил не хуже «среднестатистического» участника, который выиграл столько же, сколько и проиграл. Значит, число «опасных» не больше числа «неопасных». Все «опасные» попадут в первую половину списка, тогда как чемпион – во вторую. Поэтому чемпион не встретится с «опасным» игроком раньше финала, что и требовалось. Задача 29. В условиях предыдущей задачи докажите, что существует жеребьевка, при которой чемпион кругового турнира получит кубок. Решение. Каждый из «опасных» (выигрывающих у чемпиона) проиграл в чемпионате кому-то из «неопасных» (иначе он бы выиграл больше матчей, чем чемпион, что невозможно). Составим первую пару розыгрыша кубка из «опасного» и такого «неопасного», которому он проиграл.

Следующие пары составляем таким же образом, пока это возможно. Допустим, остались «опасные», которых нельзя включить в такие пары (они проиграли в чемпионате тем «неопасным», которые уже вошли в предыдущие пары). Тогда пусть эти «опасные» играют между собой. Если один из них останется без пары, то поступим следующим образом. Общее число «опасных» не больше числа «неопасных» (поскольку чемпион выступил не хуже «среднестатистического» игрока, который выиграл и проиграл поровну). В составленных парах не больше «неопасных» игроков, чем «опасных», и еще один «опасный» остался без пары. Значит, кто-то из «неопасных» не был еще включен в пару – пусть с ним и играет оставшийся «опасный». Остальные игроки объединяются в пары произвольно. Чемпион выйдет в следующий тур, поскольку играет с «неопасным». Если в остальных турах пары строятся по тому же правилу, то чемпион получит кубок. Это заведомо возможно, если в каждом туре «опасные» составляют менее половины участников. Допустим, что вплоть до некоторого тура мы обеспечили выполнение этого условия. Покажем, что и в следующем туре можно этого добиться. Поскольку в следующий тур выходит половина участников предыдущего, то достаточно показать, что отсеивается не меньше половины «опасных». Но в матчах между ними выбывает каждый второй участник. Только один «опасный» может выиграть у «неопасного». Поэтому достаточно, чтобы в том же туре хотя бы один «опасный» проиграл «неопасному». Как мы видели, в первом туре это выполнено. В последующие туры выходили только такие «опасные», которые проигрывают кому-то из «неопасных», также вышедших в этот тур. И первая же пара составлялась из «опасного» и такого «неопасного», которому он проигрывает. Наше утверждение доказано. В заключение этого параграфа приведем задачу, в которой рассматривается еще одна форма соревнований – игра на вылет. Несмотря на простоту формулировки и решения, задача оказалась трудной для участников отбора на Российскую олимпиаду 1998 года. Задача 30. Группа школьников играет в пинг-понг на вылет. Они установили очередь, вначале играют первый и второй, а в дальнейшем каждый очередной участник играет с победителем предыдущей пары. На следующий день те же школьники снова играют на вылет, но очередь идет в обратную сторону – от последнего к первому. Докажите, что найдутся два школьника, которые играли между собой и в первый день, и во второй. Решение. Соперник последнего игрока в первый день играет со всеми, кто стоит позже него в очереди. С одним из них он играет свою первую партию во второй день.

Еще несколько задач

В приведенных ниже задачах, как правило, требуется выяснить, можно ли выбрать из данного турнира подмножество игроков, обладающее некоторым свойством. Часть этих задач не решены. Задача 31. а) Докажите, что в турнире без ничьих из n участников можно занумеровать их так, что 1-й выиграл у 2-го, 2-й у 3-го,…, (n – 1)-й у n-го и 1-й у n-го. б) Докажите, что в турнире без ничьих либо существует цикл, включающий всех участников, либо можно разбить участников на две группы так, что любой игрок из первой группы победил любого из второй. Задача 32. В круговом турнире с $2^{N}$ участниками не было ничьих. Докажите, что существует цепочка из N + 1 участника, каждый из которых победил всех последующих.

О величии Эйлера как математика можно судить хотя бы по тому, что при изучении теории чисел создается впечатление, что Эйлер в основном интересовался теорией чисел; если же изучаешь расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения, то кажется, что именно расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения были для Эйлера любимым предметом исследования, и т.д. Г.Эдвардс

Эйлер вычислял так свободно, как люди дышат, как орлы парят в воздухе. Ф.Араго

Его имя может исчезнуть только вместе с наукой.

Н.Фусс

Эйлер разведывал в математике все, что было возможно. А.Шпайзер

«ЗНАМЕНИТЕЙШИЙ УЧЕНЫЙ МУЖ»

ТАК УВАЖИТЕЛЬНО ОБРАЩАЛСЯ К СВОЕМУ БЫВ- шему ученику один из видных математиков XVIII столетия профессор Базельского университета Иоганн Бернулли. В этом почтительном обращении нет преувеличения – оно адресовалось Леонарду Эйлеру (1707–1783).

Эйлер явил пример самозабвенного служения науке. Потеряв в 1738 году один глаз, а в 1766 году ослепнув на оба глаза, он, тем не менее, продолжал продуктивно работать, диктуя результаты своих многочисленных исследований секретарям и ученикам. Половина его работ была создана именно в этот период.

Свои результаты Эйлер излагал с поразительной ясностью, раскрывая ведущие к ним пути и снабжая выкладки ценными примерами. «Читайте, читайте Эйлера, он – наш общий учитель», – советовал известный французский математик П.Лаплас. С ним солидарен другой известный математик, К.Гаусс: «Изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить».

Ученые многих стран признавали Эйлера не только «знаменитейшим», но и «сверхостроумным», «несравненным», «главой математиков». Широта научных интересов, глубина полученных результатов, а главное – неимоверная творческая продуктивность Эйлера и в наше время вызывает восхищение. Эйлер написал около 750 статей, 40 книг, а 15 его работ были подготовлены для различных конкурсов. К этому следует добавить несколько тысяч писем в различные страны

Европы, нередко представляющих собой подлинные научные труды. Список его работ охватывает все современные ему разделы математики, механики, оптики, астрономии, техники и других отраслей знания.

Статистические подсчеты показывают, что Эйлер в среднем делал одно открытие в неделю.

Вот некоторые находки Эйлера:

• В любом треугольнике точка пересечения высот Н (ортоцентр), точка пересечения медиан М и центр О описанной окружности лежат на одной прямой – прямой Эйлера. Точка М лежит между точками О и Н, при этом ОМ: МН = = 1: 2 (рис.1).

Рис. 1

• В любом треуголь- нике середины сторон (точки 1, 2, 3 на рисунке 2), основания его высот (точки 4, 5, 6) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки 7, 8, 9) лежат на Рис. 2 одной окружности – окружности Эйлера. Радиус этой окружности равен половине радиуса описанной вокруг треугольника окружности, а ее центр F совпадает с серединой отрезка, который соединяет ортоцентр Н с центром О описанной окружности.

• Центр I вписанной в треугольник окружности ра-

Рис. 3