Квант 2007, №4 · Страницы

4

КВАНТ 2007/№4

Рис. 18. Оптоэлектроника с использованием лазерных УКИ: а) оптоэлектронный ключ; б) принцип электрооптического стробирования электрического сигнала; в) оптоэлектронный осциллограф

Основная идея заключается в том, что один УКИ запускает электронную схему, а с помощью второго УКИ, задержанного на определенный интервал времени, измеряется электрический сигнал в нужной точке схемы. Существенной деталью является оптоэлектронный ключ, с помощью которого запускается исследуемая схема. Основой служит пластинка из полупроводника с высоким удельным сопротивлением, на которой нанесены проводящие металлические полоски – электроды (рис.18,а). Верхняя полоска имеет разрез в виде щели, которая разрывает электрическую цепь. К концам электродов можно подключить источник напряжения. При освещении полупроводника через щель лазерным излучением в виде УКИ с определенной длиной волны в поверхностном слое полупроводника за время действия облучения возникает большое число носителей тока (электронно-дырочных пар), и полупроводник становится проводящим. Таким образом осуществляется быстрое, равное длительности УКИ, замыкание электрической цепи. В отсутствие света происходит самопроизвольное и достаточно быстрое уничтожение носителей (рекомбинация электронов и дырок), а значит, и восстановление высокого сопротивления за время, меньшее 1 пс. Получается, что можно быстро включить и выключить напряжение, т.е. сформировать ультракороткий электрический импульс, запускающий интегральную схему. Регистрация электрических импульсов проводится методом электрооптического стробирования с помощью электрооптического пробника (рис.18,б). Этот

пробник основан на эффекте двойного лучепреломления в электрооптическом кристалле при приложении к нему электрического поля. Если такой кристалл помещен между скрещенными поляризаторами, то пропускание света через них будет зависеть от напряженности электрического поля. При прохождении по цепи электрического импульса вокруг проводника возникает быстро изменяющееся электрическое поле. Оно проникает в близко расположенный кристалл, и по пропусканию света через скрещенные поляризаторы можно определить величину электрического поля. Если это свет в виде УКИ, то электрическое поле регистрируется лишь в момент прохождения УКИ через кристалл. Изменяя величину задержки между запуском исследуемой электронной схемы и сигналом наведенного двойного лучепреломления, можно измерить величину электрического сигнала в зависимости от времени задержки. Таким образом получается осциллограмма электрического сигнала, распространяющегося в интегральной схеме. На основе такого принципа был создан стробоскопический оптоэлектронный осциллограф. Его принципиальная схема изображена на рисунке 18,в. Использовался очень маленький электрооптический кристалл, на нижнюю грань которого нанесено диэлектрическое отражающее покрытие. Так как запуск исследуемой схемы и регистрация сигнала осуществляются одним и тем же лазерным УКИ, исключается «дрожание» сигнала относительно запуска. Это позволяет достаточно точно регистрировать электрические сигналы.

6

КВАНТ 2007/№4

волн, необходимо измерять их частоты, т.е. сопоставлять их с эталоном секунды. Но в оптике, в отличие от радиофизики и электроники, не существует прямых методов измерения частоты, там измеряют длины волн. Казалось бы, нет проблемы определить частоту, зная длину волны, поскольку $\nu = c \lambda$, но скорость света c сама должна быть измерена с соответствующей точностью. Проблема точного измерения времени как раз и связана со стремлением более точного измерения с. Лазеры фемтосекундных импульсов дали замечательный способ сопоставления частоты лазерной сверхузкой линии с частотой цезиевого стандарта. Обсудим сущность этого способа на примере лазера, работающего в непрерывном режиме, т.е. испускающего периодическую последовательность импульсов (рис. 20,а). Как было показано, эта последовательность получается в результате сложения множества волн с одинаковыми интервалами частот между ними. Иными словами, спектр такого излучения представляет «гребенку» эквидистантно расположенных дискретных частот (рис.20,б). Ширина всего спектра гребенки $\Delta \nu$ определяется длительностью импульса: $\Delta \nu_{:} 1 \tau$, а ин-

Рис.20. Временн á я (а) и спектральная (б) характеристики фемтосекундного лазера непрерывного действия

тервал между «зубьями» гребенки $\delta \nu$ – их периодом в последовательности: $\delta \nu = 1 T$. Как мы видели, этот период задается расстоянием между зеркалами резонатора, поэтому путем перемещения одного из зеркал можно регулировать и стабилизировать частотный интервал гребенки. Частота этого интервала лежит в области долей и единиц гигагерца, и ее можно сопоставить с частотой эталона секунды. Таким образом, излучение фемтосекундного лазера непрерывного действия дает своеобразную «линейку» оптических частот с «делениями», значения которых можно точно определить по отношению к стандарту частоты.

Рис.21. Схема измерения частоты лазерной линии путем пересчета делений «линейки» оптических частот

Рис.22. Шкала времен

7

ЛАЗЕР

–

ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ

С помощью такой линейки можно измерить частоту узкой лазерной линии $\nu_{лаз}$. Пусть эта частота попадает на красный край гребенки, а ее 2-я гармоника – на фиолетовый край, как показано на рисунке 21. Тогда при соответствующей настройке длины резонатора фемтосекундного лазера выполняется соотношение $2 \nu_{лаз} - \nu_{лаз} = \nu_{лаз} = N \delta \nu$, и измерение лазерной частоты сводится к подсчету числа «зубьев» гребенки. Этот принцип, который, как было указано ранее, отмечен Нобелевской премией, лежит в основе создания сверхточных оптических часов.

Подводя итоги, отметим, что с помощью лазеров можно исследовать исключительно малые промежутки времени и измерять текущее время с чрезвычайно высокой точностью. Согласно современным воззрениям, возраст нашей Вселенной около 20 миллиардов лет. Если бы сверхточные оптические часы, которые создаются в настоящее время, были запущены в момент «рождения» Вселенной, показания их расходились бы не более чем на несколько секунд. Отметим, что сверхточные часы (с точностью порядка $10^{-} 14$ – $10^{-} 16 )$ являются необходимой частью

ДОСТИЖЕНИЕ

XX

ВЕКА

навигационной системы ГЛОНАСС, которая позволяет определять координаты с точностью до долей метра. На рисунке 22 показана шкала времен, на которой отмечены характерные события и указана область, измерения в которой проводятся с помощью лазеров.

Заключение

Работа по лазерам и их применениям интенсивно развивается. Важнейшей частью этой работы является стремление усовершенствовать сами лазеры, сделать их более эффективными и доступными. Это, в свою очередь, будет способствовать развитию различных научных и технических применений. В области фундаментальной науки рассматриваются такие амбициозные проекты, как обнаружение гравитационных волн или выяснение того, не изменяются ли мировые физические константы с течением времени (гипотеза Дирака). Любознательные читатели, желающие посвятить себя науке и технике, имеют шанс принять участие в этой увлекательной и перспективной деятельности.

КВАНТ + DVD

Мы рады сообщить нашим читателям, что вышел в свет электронный архив журнала «Квант» с 1970 по 2006 год. Материалы, опубликованные в журнале «Квант» за многие годы его существования, бесценны. И это не пустые слова. Не одно поколение «прошедших» через «Квант» молодых людей, как из числа занявших сегодня достойное место в мировой науке, так и пополнивших лучшие ряды сегодняшнего учительства, с благодарностью вспоминают журнал «Квант», который в их жизни сыграл роль путеводной звезды, определил выбор в пользу фундаментальных знаний. Сегодня в нашем обществе явно прослеживается тенденция возрождения истинных ценностей, витает в воздухе потребность в восстановлении реальных приоритетов в образовании, пробуждается интерес к фундаментальным знаниям. Поэтому мы решили на базе громадного позитивного опыта, накопленного творческим коллективом журнала «Квант», создать адекватный современному состоянию и тенденциям развития информационных технологий научно-образовательный продукт. Мы уверены, что он, во-первых, откроет всем желающим путь к уникальному архиву журнала «Квант», а во-вторых, для кого-то сыграет решающую роль в выборе будущей профессии.

Диск можно приобрести в редакции журнала «Квант».

Наши координаты – на последней странице журнала.

Пишите, звоните. Мы вас ждем.

8

КВАНТ 2007/№4

Гипотеза Каталана

В.СЕНДЕРОВ, Б.ФРЕНКИН являющиеся степенями (бóльшими первой) натуральных чисел. Получается последовательность: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, … Числа 8 и 9 выделены не случайно – это соседние натуральные числа. Возникает вопрос: существуют ли еще соседние степени натуральных чисел? Впервые этот вопрос поставил бельгийский математик Э.Каталан: в 1844 году он высказал предположение, что уравнение

$x^{y} - z^{t} = 1$

(1) имеет единственное решение х = 3, у = 2, z = 2, t = 3 в натуральных числах, больших единицы. Эта гипотеза продержалась почти 160 лет, хотя многие известные математики пытались найти подходы к ее доказательству. В 2003 году румынский математик П.Михайлеску доказал справедливость гипотезы Каталана. Доказа-

тельство Михайлеску весьма сложно и неэлементарно и потому не может быть изложено на страницах нашего журнала. Однако сам результат связан со многими математическими фактами и задачами, которые могут быть изучены в рамках элементарной математики. Например, из доказанной Михайлеску теоремы немедленно получается ответ на вопрос пункта а) задачи М2032 («Квант» №1 за 2007 г.; решение опубликовано в этом номере журнала).

История вопроса

Еще в XIV веке Леви бен Гершон, известный также как Лео Гебракус, доказал, что уравнение $3^{x} - 2^{y} = \pm 1$ имеет единственное решение х = 2, у = 3 в натуральных числах, больших 1. В 1657 году Френикль де Бесси решил в натуральных числах уравнение

$x^{2} - p^{y} = 1$, где у > 1, а р – простое число.

В 1738 году Л.Эйлер доказал, что уравнение

Иллюстрация В.Иванюка

ВЫПИШЕМ ПОДРЯД НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ЯВ-

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

Ян Гевелий

А.ВАСИЛЬЕВ

ВРЯДУ БЛИСТАТЕЛЬНЫХ ОСНОВОПОЛОЖНИ - ков европейской астрономической школы важное место принадлежит Яну Гевелию (28.01.1611– 28.01.1687), потомственному пивовару и канцлеру славного ганзейского порта Гданьск (впоследствии Данциг, а затем снова Гданьск). Еще в гимназии Ян приобрел навыки картографии и конструирования астрономических инструментов, а кругозор расширил в беседах с Пьером Гассенди, Мареном Мерсенном и Атанасием Кирхером, которых он посетил во время своего первого европейского турне. Из путешествия Ян вернулся в 1634 году с тем, чтобы унаследовать пивоварню от своего отца Авраама Гевелия и жениться на владелице двух соседних домов Катарине Ребешке. Это обстоятельство – наличие трех стоящих стена к стене домов, а тем самым, и общей крыши – сыграло решающую роль в дальнейшей судьбе молодого польского астронома. Как известно, первые телескопы Галилея, сконструированные им еще в начале XVII века, имели в длину немногим более метра. Эти телескопы страдали хроматической аберрацией, преодолеть которую в то время можно было лишь за счет увеличения размеров подзорной трубы. Хроматическая аберрация обусловлена дисперсией света, проходящего через линзу, т.е. зависимостью показателя преломления вещества линзы от длины волны света. В результате белый свет разлагается на составляющие его цветные лучи. Коэффициент преломления синих лучей больше, чем красных, поэтому их фокус расположен ближе к задней главной точке линзы, чем фокус красных лучей. Отсюда следует, что для луча белого света единого фокусного расстояния не существует, а есть совокупность фокусных расстояний лучей всех цветов. Поэтому на экране, расположенном в области формирования изображения, вместо одной светлой точки наблюдается совокупность цветных кружков. Свою первую обсерваторию Гевелий создал в 1641 году, использовав пространство на крыше. Через несколько лет он построил телескоп длиной около 4 метров, который увеличивал удаленные предметы более чем в 50 раз. При конструировании астрономических инструментов Гевелий опирался на глубокое понимание принципов лучепреломления в линзах. Чем более плоскими являются линзы, тем большим фокусным расстоянием они обладают. Длиннофокусные линзы дают более четкие изображения, чем короткофокусные, однако объектив и окуляр в таких телескопах нужно располагать на больших расстояниях друг от друга. Развиваясь в этом направлении, Гевелий построил вначале 20-метровую подзорную трубу, а затем и главное свое достижение – 50-метровый телескоп. Этот прибор подвешивался на высоком столбе при помощи системы канатов и блоков. Управление телескопом осуще-

ствляла команда из отставных матросов, знакомых с обслуживанием такелажа. Конструкция Гевелия – так называемый воздушный телескоп – представляла собой инструмент без трубы и без жесткой связи объектива и окуляра. Гигантский телескоп подрагивал при малейшем дуновении ветра с Балтики, деревянные опоры и пеньковые канаты прогибались и натягивались с изменением температуры и влажности. В этих условиях настройка объектива и окуляра на единую оптическую ось представляла почти непреодолимые трудности. Тем не менее, и это признак настоящего ученого, Гевелий в совершенстве овладел своими инструментами и провел целую серию блестящих астрономических наблюдений. Кроме того, Гевелий был непревзойденным наблюдателем, невооруженным глазом наблюдая звезды седьмой величины. С помощью секстанта, сделанного им самим, Гевелий составил каталог положений 1564 звезд с точностью до угловой минуты. Эти наблюдения он провел без использования оптики, полагая, что линзы могут внести погрешности в измерения. Первым научным трудом Гевелия была «Селенография, или описание Луны», изданная в 1647 году в Гданьске. В ней содержалось детальное описание видимой поверхности Луны. Работа, отпечатанная в собственной типографии автора, содержала 133 гравюры, изображавшие 60 участков лунной поверхности и общий вид Луны в различных фазах. Гевелий предложил названия для различных объектов на поверхности Луны, некоторые из которых сохранились до нашего времени, правильно оценил высоту лунных гор, открыл явление оптической либрации (наблюдаемые периодические маятникообразные колебания Луны относительно ее центра масс, в результате чего прямым наблюдениям доступно 0,59 всей лунной поверхности). В дальнейшем Гевелий проводил самые разнообразные наблюдения, и ему принадлежат астрономические открытия в разных областях. Он продолжил заниматься вопросами лунного движения и оценил расстояние от Земли до Луны, период обращения Луны, период собственного вращения Солнца. Занимался наблюдениями двойных и переменных звезд, определил периоды обращения галилеевских спутников Юпитера. Гевелий открыл 4 кометы и опубликовал в 1668 году труд «Кометография», где изложил историю наблюдений всех известных в то время комет и показал, что некоторые кометы движутся по параболическим орбитам. Именно Гевелий познакомил европейцев с главным трудом Улугбека – так называемыми «Новыми астрономическими таблицами». Гевелий был одним из наиболее уважаемых астрономов своего времени. В 1664 году его избрали членом Лондонского Королевского общества, а в 1666 году ему был

26

КВАНТ 2007/№4

Задачи

Обозначим П(n) произведение цифр натурального числа n, причем если число n само является цифрой, то П(n) = n. Например: П(5) = 5, П(25) = 10. Последовательно записаны, такие числа:

1 + П(1), 2 + П(2), 3 + П(3), …

Могут ли в этой последовательности 2007 подряд идущих чисел оказаться последовательными натуральными числами? С.Дворянинов

Петя на каждом листе тетради из 96 листов нарисовал веселую рожицу (в анфас) либо с одной, либо с другой стороны листа, так что если положить закрытую тетрадь на стол, то некоторые рожицы будут «смотреть» на него, а остальные – от него. Верно ли, что можно раскрыть тетрадь (или вообще не раскрывать) в таком месте, чтобы на Петю и от него «смотрело» одинаковое количество рожиц? И.Акулич

На острове проживают аборигены, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Как-то встретились три аборигена: Ах, Ох и Ух. Один из них сказал: «Ах и Ох – оба лжецы», другой сказал: «Ах и Ух – оба лжецы» (но кто именно что сказал – неизвестно). Сколько всего лжецов среди этих трех аборигенов? Е.Барабанов

Профессор Мумбум-Плюмбум мечтает подобрать десять различных натуральных чисел таких, чтобы их наибольший общий делитель совпал с их средним арифметическим. Удастся ли ему это сделать? А.Жуков

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрация Д.Гришуковой

Правильный восьмиугольник разрезан на части, которые закрашены в четыре цвета. Докажите, что каждым цветом закрашена одна и та же площадь. В.Произволов

27

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. В этом номере мы собрали задачи авторов из разных стран мира: США, Израиля, Румынии, России, Белоруссии. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Нумизмат выложил 100 монет разных стран в одну линию. Оказалось, что любые две соседние монеты весят почти одинаково, а именно, разница их масс строго меньше 0,01 грамма. Всегда ли удастся эти монеты так перегруппировать, а потом расположить по кругу, чтобы массы любых двух соседних монет на окружности отличались менее чем на 0,02 грамма? Г.Гальперин

чисел внутри каждого многоугольника была одной и той же и превышала М. И.Хейфец

2. а) Нарисуйте три круга, при пересечении которых образуются шесть областей, обладающих следующим свойством: в них можно расставить числа от 1 до 6 так, чтобы сумма чисел внутри каждого круга была одной и той же и максимально возможной. б) Нарисуйте три круга, при пересечении которых образуются шесть областей, для которых невозможна расстановка чисел от 1 до 6 так, чтобы суммы чисел внутри всех кругов были одинаковы. в) Обозначим максимальную сумму, полученную в решении задачи а), через М. Нарисуйте три многоугольника, при пересечении которых образуются шесть областей, обладающих следующим свойством: в них можно расставить числа от 1 до 6 так, чтобы сумма

$+ 201 \le$ 2mnpqr. В.Кириак

3. Докажите, что любые попарно различные нечетные натуральные числа m, n, p, q, r удовлетворяют неравенству mnpq + mnpr + mnqr + mpqr + npqr +

4. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон четырехугольника, разрезал его диагональ пополам. Докажите, что четырехугольник является трапецией или параллелограммом. В.Произволов

5. За один ход разрешается одновременно перекрасить в противоположный цвет любую клетку шахматной доски, а также все клетки, имеющие с ней общую сторону. Можно ли за несколько ходов перекрасить в противоположный цвет все клетки доски? И.Акулич

Победители конкурса имени А.П. Савина «Математика 6-8» 2006/07 учебного года

Лучших результатов в конкурсе добились следующие школьники:

Кагаловский Таль – Беэр-Шева (Израиль), школа «Эшель-Ханаси», 8 кл., Лисичкин Сергей – Харьков, гимназия 47, 7 кл., Габидулина Надежда – Севастополь, 8 кл., Кадец Борис – Харьков, «Академическая гимназия» 45, 7 кл., Дудкин Александр – Харьков, ФМЛ 27, 8 кл., Родионов Георгий – Харьков, ФМЛ 27, 7 кл., Гулин Всеволод – Харьков, «Академическая гимназия» 45, 7 кл., Ибраимова Айжана – Бишкек, ФМШЛ 61, 8 кл., Рубаненко Мария – Харьков, школа 106, 7 кл.,

Хрущёв Тимур – Харьков, ФМЛ 27, 7 кл., Теплова Даша – Харьков, ФМЛ 27, 7 кл., Мищенко Николай – Краснодар, школа 93, 6 кл.

и кружки: Математического клуба при университете им. Д.Бен- Гуриона в Негеве (Израиль), руководители П.Самовол, Й.Хейфец, «Эврика» при ФМЛ 27, Харьков, руководители А.Л.Берштейн, Е.Л.Аринкина, школы 146, Пермь, руководители О.Н.Чичагова, А.М.Бурштейн, Центра дополнительного математического образования, Курган, руководитель О.И.Южаков, Малого университета при Харьковском национальном

36

КВАНТ 2007/№4

щими приемами, позволяющими строго сформулировать математическую задачу, а для решения задачи нет необходимости предполагать заранее, какую черту поведения микроскопической частицы мы установим – волновую или корпускулярную. Решив задачу, мы поймем, как квантовая механика описывает движение частицы. Поймем, даже если не сможем себе представить. В данной статье строгая постановка задачи означает возможность записать уравнение Шрёдингера, установить необходимые граничные и начальные условия. Решение поставленной задачи состоит не только в нахождении $\psi$ -функции, удовлетворяющей уравнению Шрёдингера с начальными и граничными условиями, но и в вычислении интересующих нас физических величин. Будут решаться только такие задачи, где $\psi$ -функция описывает движение одной частицы под действием силы, не зависящей от времени. Однако конкретные физические результаты, которые «содержатся» в $\psi$ -функции одной частицы и которые можно сравнивать с результатами эксперимента, относятся не к одной частицы, а к ансамблю, коллективу во всем подобных частиц. Что же описывает уравнение Шрёдингера: движение одной частицы или многих частиц? Одной! Но чтобы воспользоваться полученными результатами, их нужно перевести на язык макроскопической, классической физики. Именно для этого необходим переход к ансамблю многих частиц. Переход из микромира в макромир не проходит «безнаказанно»: меняется описание причинной связи между событиями. В макромире властвует обычный механический детерминизм. Во всяком случае, когда речь идет о движении одной частицы под действием заданной силы. Зная начальные условия, мы можем проследить движение частицы во все последующие моменты. Уточним: пусть при t = 0 известны координата $x_{0}$ и скорость $v_{0}$ частицы. Решив уравнение Ньютона (сила известна), мы найдем положение частицы в любой момент времени, т.е. функцию x = x ( t ), равную $x_{0}$ при t = 0. Производная dx ( t ) dt есть скорость частицы v ( t ). Естественно, когда t = 0, то $v = v_{0}$. Именно это утверждение и носит пышное название механического детерминизма. Пусть не обманет вас слово «макромир». В макромире происходят разнообразные события, предсказать результаты которых абсолютно достоверно невозможно. Иногда это связано только с неполным знанием начальных условий. Классический пример – бросание кости. Если бы знать, но абсолютно точно(!), как бросить кубик, чтобы он выпал нужной гранью вверх, задача имела бы однозначное решение. А так надо довольствоваться оценкой вероятности того, что произойдет. Бывает, и весьма часто, иначе: точно известна сила, приводящая макротело в движение, и известно, как будет двигаться тело под действием этой силы. Но если тело движется, например, в воздухе или скользит по наклонной плоскости, то на тело, кроме известной силы, действуют также силы со стороны молекул воздуха или атомов того тела, по которому оно скользит. Конечно, описать во всех подробностях движение тела и всех частиц (воздуха, наклонной плоскости) невозможно. Обычно достаточно ограничиться усредненным описанием влияния окружающей среды с помощью силы трения или сопротивления атмосферы. Учитывая силу трения (сопротивления), описывать движение макроскопического тела можно вполне надежно, но важные черты движения при этом существенно изменяются. Так, часть энергии тела из-за трения необратимо теряется, превращаясь в тепло, – исчезает обратимость. Обратимость уравнений механики – формальное следствие того, что они

не изменяются при замене t на –t: ускорение – вторая производная от координаты – при замене t на –t не меняется. Сила же трения пропорциональна скорости тела – первой производной от координаты, которая при такой замене изменяется. Именно это обстоятельство и есть формальная причина потери обратимости. В таком описании сил трения внимательный читатель ощутит непоследовательность. Каждая молекула воздуха или наклонной плоскости подчиняется тем же законам, что и само тело (сейчас речь не идет об изменениях, вносимых квантовой механикой). Почему же появляется необратимость? Это – весьма сложный вопрос. В основе ответа на него лежит явление диссипации, обусловленной переходом энергии от небольшого числа механических степеней свободы макроскопического тела к по сути бесконечному числу степеней свободы микроскопических частиц. Движение микрочастиц столь хаотично, что вероятность возвращения энергии обратно к телу равна нулю. По этому поводу говорят о необратимом запутывании, а более строгим языком – о росте энтропии, которая служит мерой беспорядка. Вернемся к одной квантовой частице, движение которой описывается $\psi$ -функцией – решением уравнения Шрёдингера. Волновая функция – функция координат и времени. Задав начальное состояние, мы найдем вполне определенное решение $\Psi = \Psi ( x, t )$. Казалось бы, вполне детерминированный процесс. Но, задав себе простейший вопрос о том, где находится частица в момент времени t, мы вынуждены ограничиться утверждением, что нам известна лишь вероятность нахождения частицы в интервале dx вокруг точки х, и

2 вероятность эта равна $\Psi ( x, t ) dx$. Подчеркнем: несомненно, речь идет об ансамбле частиц, а не об одной частице. Без ансамбля тождественных частиц понятие вероятности теряет смысл. И дело не в неполноте знаний или во взаимодействии с большим количеством иных частиц. Вероятность – первичное понятие квантовой механики. Строгое рассмотрение показало, что добиться большей точности предсказаний нельзя, нельзя избежать использования вероятности при описании движения микроскопических частиц. Корпускулярно-волновой дуализм квантовых частиц не только делает их движение очень непохожим на движение классических тел, но заставляет рассматривать поведение ансамбля частиц даже тогда, когда, казалось бы, уравнение описывает движение одной частицы. В этом состоит еще одна психологическая трудность понимания квантовой механики.

Траектория, стационарное состояние

Общее описание движения микроскопических частиц квантовой механикой убеждает нас: квантовые законы движения не похожи на классические. Но чтобы возникло ощущение чуда, появилось впечатление, что происходит нечто, чего «не может быть», необходимо рассмотреть примеры. Сделать наглядным отличие поведения квантовых микрочастиц от макроскопических тел можно, если четко представить движение классических макротел в условиях, точно совпадающих с условиями, в которых будет рассмотрено движение квантовых частиц. При описании движения классических тел и квантовых частиц мы постараемся использовать одинаковые термины – там, где это возможно. В одномерном случае как-то неудобно говорить о траектории. Классическая частица в одномерном мире, конечно, всегда движется по прямой. Исчерпывающее описание движения частицы под действием внешней, не зависящей от времени силы F = F ( x ) сводится к определению зависимости координаты частицы от времени – к нахождению функции x = x ( t ). Полная информация о движении частицы

49

ОЛИМПИАДЫ

зований, состоящих в перекрашивании всех клеток какоголибо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными все клетки этого квадрата? В.Алексеев

6. Точки A ¢, B ¢ и C¢ – середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH – его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC¢ и CHA¢ окружности проходят через точку M, отличную от H, то $\angle$ ABM $= \angle CBB'$. В.Филимонов

7. Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника через 3 шага с точностью до 0,3? О.Косухин

Публикацию подготовил Б.Френкин

Избранные задачи Московской физической олимпиады

Первый теоретический тур

7 класс

1. Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой промежуток времени повторяются противостояния Земли и Марса. Марс совершает оборот вокруг Солнца за 687 земных дней, а Земля – за 365 дней. М.Ромашка

2. На земле лежит слой снега толщиной h = 70 см. Давление снега на землю (без учета атмосферного давления) p = 630 Па. Погода морозная, и снег состоит из воздуха и льда. Определите, сколько процентов объема снега занимает лед, а сколько – воздух. Плотность льда $\rho_{л} = 0,9$ г $см^{3}$. Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$. М.Ромашка

Рис. 1

Рис. 2

3. На заводе для подъема тяжелых заготовок используется система из четырех блоков и одного троса, закрепленных на потолке, как показано на рисунке 1. С какой силой F надо тянуть вниз за конец троса, чтобы удерживать или медленно и равномерно поднимать заготовку, вес которой равен P? Участки троса, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны, весом блоков, троса и трением можно пренебречь. М.Семенов

4. Сплошной шарик подвешен в сосуде на двух легких нитях, как показано на рисунке 2. Свободные концы нитей закреплены на одной высоте. После того как сосуд заполнили водой и шарик оказался полностью погруженным в воду, натяжение нитей не изменилось. Определите плотность $\rho$ материала, из которого изготовлен шарик. Плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$. И.Горбатый

8 класс

1. В широкий сосуд с водой медленно опускают на нити цилиндрический брусок так, что ось цилиндра все время остается вертикальной. График зависимости силы натяжения нити F от глубины погружения h нижнего основания цилиндра является отрезком прямой линии, как показано на рисунке 3. Найдите площадь основания цилиндра и его массу. Плотность воды $\rho_{0} = 1$ г $см^{3}$, ускорение сво- бодного падения g = 10 м $с^{2}$. М.Ромашка

2. В сосуде находился лед при температуре $t_{л} = 0 ^\circ C.^{Рис.} 3$ Туда влили воду массой $m_{в} = 0,4$ кг, взятую при температуре $t_{в} = 60 ^\circ C$. Какая температура установилась в сосуде, если конечный объем его содержимого V = 1 л? Чему равна масса содержимого сосуда? Плотности воды и льда $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$ и $\rho_{л} = 900$ кг $м^{3}$, их удельные теплоемкости $с_{в} =$

= 4200 Дж ( кг Ч $^\circ$ С ) и $с_{л} = 2100$ Дж ( кг Ч $^\circ$ С ), удельная теплота плавления льда $\lambda = 335$ кДж кг. Теплоемкостью сосуда и потерями тепла пренебречь. М.Ромашка

3. В одном из двух одинаково длинных «черных ящиков» находится постоянный магнит, а в другом – длинная катушка из медной проволоки, подключенная к источнику постоянного тока. Как, используя только эти «черные ящики», определить, в каком из них находится постоянный магнит? Нельзя заглядывать внутрь ящиков, разбирать ящики и разрушать их. И.Горбатый

9 класс

1. «Черный ящик» представляет собой систему, изоб-

Рис. 4