Квант 2008, №1 · Страницы

3

О

КИКОИНЕ,

ЕДИНИЦАХ

килограммы, а сантиметры на метры. Третья единица, используемая в статье, была секунда, но она секунда и в СИ, и в СГС. Тем не менее, я осмелился сказать, что такая замена может не понравиться автору, потому что в космологии не принято использовать в научных текстах метры, более привычно использовать сантиметры или уж парсеки. – Я сейчас позвоню Зельдовичу, – произнес ИКК и набрал его номер. – Яша, – сказал ИКК в трубку, – ты написал замечательную статью, и мы ее к твоему дню рождения в «Кванте» напечатаем. Но надо единицы СГС (см, г, с) заменить на единицы СИ (м, кг, с). Что ответил Зельдович, я не знаю, но на лице ИКК опять обозначилась буря. Положив телефонную трубку, он сидел некоторое время молча, а потом сказал мне:

«ВОТ КВАНТ, КОТОРЫЙ ПОСТРОИЛ ИСААК…»

А.САВИН

Вот Квант, который построил Исаак, А вот ученица, Которая изредка любит хвалиться, Что все понимает на целой странице В Кванте, который построил Исаак.

Вот автор статьи – знаменитый ученый, Который писал ее так увлеченно Для этой без меры серьезной девицы, Которая изредка любит хвалиться, Что все понимает на целой странице В Кванте, который построил Исаак.

А вот рецензент – давний член редсовета, Который прочел сочинение это, Представив себя симпатичной девицей, Которая тщетно мурыжит страницу, Пытаясь понять то, о чем говорится В Кванте, который построил Исаак.

А это редактор, статью эту правивший, Лишь автора имя на месте оставивший, Чтоб даже тупейшая в мире девица Смогла хоть единожды в год похвалиться, Что все понимает на целой странице В Кванте, который построил Исаак.

А это художник в глубокой прострации Пытается выдумать те иллюстрации, Которые так очаруют девицу, Что сходу она прочитает страницу В Кванте, который построил Исаак.

Это стихотворение взято из специального номера журнала «Квант», выпущенного в единственном экземпляре к 75-летию И.К.Кикоина.

СИ

И

СТАНДАРТАХ

– Яша говорит, что если он будет писать в единицах СИ, то над ним все смеяться будут. – И что же будем делать? – спросил я. – Ничего, – сказал ИКК, – оставим в статье единицы СГС. Но в скобках напишем еще и единицы СИ. После этого он, наконец, улыбнулся, и я понял, что бури не будет. Может быть, этот эпизод и не заслуживает столь длинного изложения. Но мне кажется важным еще раз подчеркнуть, что ИКК абсолютно все понимал. Он вовсе не был упрямым, но был дисциплинированным. То, что полагалось требовать от других, он старался выполнять и сам. И еще. Я.Б.Зельдович и К.К.Кикоин были людьми очень ответственными, они не могли отдать в печать статью, которая в каком-либо смысле выглядела бы «сырой». Такая вот история.

Вот главный редактор – большой академик, Он правит (за это не требуя денег), Чтоб делалось все только так и вот так, Поскольку он есть этот самый Исаак, Который по уши влюбился в девицу, Которая пальчиком тычет в страницу, Пытаясь понять то, о чем говорится В Кванте, который построил Исаак.

4

КВАНТ 2008/№1

К

100-ЛЕТИЮ

И.К.КИКОИНА

Ударные волны и детонация

Л.БЕЛОПУХОВ

ВСТАТЬЕ «ВЗРЫВ» ГОВОРИЛОСЬ О ТОМ, ЧТО всякий взрыв обязательно сопровождается образованием ударных волн в пространстве и что ударная волна есть непременный элемент детонационного взрывного процесса во взрывающейся газовой (или пылевоздушной) среде и в конденсированном взрывчатом веществе.

Немного о газовой динамике

Ударные волны – это очень интересное явление природы. Их существование было предсказано многими учеными, в частности знаменитым математиком Риманом. Его имя связано прежде всего с развитием идей своего учителя Гаусса в области геометрии. В 1854 году 28-летний Риман дал общую идею математического пространства, а затем подробно разработал одну из неевклидовых геометрий, с тех пор носящую его имя. Но Риман внес вклад во многие области математики. Так, в работах по теории дифференциальных уравнений он обнаружил (на бумаге) возможность ударных волн. Именно по этому поводу возникло крылатое изречение – «явление возникло на кончике пера теоретика». Дифференциальные уравнения, которые исследовал Риман, представляют собой математический аппарат науки, которая называется газовой динамикой. Она изучает, как следует из названия, движение воздушных масс, в частности бури и ураганы, течение газа по трубам, движение газа в турбинах и соплах ракетных двигателей и многое другое. Основным газодинамическим уравнением является закон Ньютона, примененный к элементу газовой среды (в этом случае оно называется уравнением Эйлера). Но поскольку элемент газа при движении изменяет свою плотность, а часто и температуру, то кроме силовых необходимо использовать и энергетические (термодинамические) уравнения. Одним из простых следствий решений системы уравнений газовой динамики является волновое уравнение, в котором скорость волны для идеального газа зависит только от температуры. Это – звуковые волны, т.е. продольные колебания элемента газа. Скорость звука равна v =

$\gamma RT, Μ$

Продолжение. Начало – статью «Взрыв» – см. в «Кванте» №6 за 2007 год.

где Т – абсолютная температура, М – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная, $\gamma$ – показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянной температуре. Для воздуха при температурах меньше 1000 К показатель адиабаты равен 1, 4. Скорость звука при этом равна v = 20 T ( м с ), что дает для стандартных условий 342 м/с. Если же учитывать неидеальность газа, возможность высоких температур, при которых показатель адиабаты непостоянен и выражается сложной функцией параметров состояния, то система газотермодинамических уравнений становится довольно сложной. Поскольку газовая динамика не интересуется отдельными атомами или молекулами, а рассматривает элемент газа, который в теории может быть бесконечно малой величиной, то в дифференциальных уравнениях газовой динамики и в их решениях все параметры состояния – непрерывные функции координат и времени. Но в 1860-е годы Риман показал, что существует особое решение системы газотермодинамических уравнений. Не общее решение, методы получения которого он разрабатывал, и не частные решения, которые вытекают из общего решения при использовании начальных и граничных условий, а именно особое решение, которое нельзя получить стандартными математическими методами. Это особое решение представляет собой разрыв функций давления, плотности и скорости движения среды, т.е. мгновенный, не имеющий ширины скачок параметров. Этот скачок и получил название ударной волны. Слово «волна» не совсем точно передает характер явления, поскольку в обычном понимании волна характеризуется периодичностью, частотой, а скачок – это однократное резкое изменение. Правильнее было бы назвать явление ударным импульсом.

Возникновение ударной волны

Образование ударной волны проще всего представить на примере плоского движения газа в трубе, в которую вдвигается ускоряющийся поршень. Когда поршень приходит в движение и начинает перемещать и сжимать прилегающий к нему слой газа, известие об этом событии (повышении давления и плотности) распространяется в газе со скоростью звука. В газе возникает «кусок» волны сжатия (четверть волны) с

8

КВАНТ 2008/№1

Так, для разрушения большого строения иногда достаточно небольшого заряда, заложенного непосредственно внутрь (или рядом) с опорной конструкцией. А поражение людей производится либо оболочкой взрывного устройства (граната «лимонка»), либо специально заложенными в устройство мелкими металлическими предметами. При ядерных взрывах к действию ударной волны добавляются и такие поражающие факторы, как тепловой (излучение огненного шара) и радиационный. Ударные волны возникают не только в воздухе. При очень больших давлениях способность твердого тела сохранять свою форму теряется, и вещество «течет» подобно газу. Но, конечно, другое соотношение между давлением и плотностью приводит к другому уравнению ударного сжатия, нежели адиабата Гюгонио для газа. Наибольшее давление, которое может создать химический взрыв в контакте с твердым телом, порядка 3 Ч $10^{8}$ Па (или 300000 атм). Если окружить твердотельный шар взрывчатым веществом, при его взрыве в твердом теле возникнет сферическая сходящаяся ударная волна, которая, отразившись «сама от себя», даст рекордное давление в веществе – до $10^{12}$ Па (или 10 млн атм). При этом, правда, возрастает и температура, что затрудняет научное исследование вещества при таких сверхвысоких параметрах. Сжатие твердого тела сходящейся волной используется в конструкциях ядерных бомб, которые могут найти (и находят) применение в мирных целях, а не в целях уничтожения культуры.

Детонация и ее возникновение

Детонация – это особое волновое (точнее, импульсное) явление, когда химическая реакция распространяется по веществу со сверхзвуковой скоростью. Например, скорость детонационной волны в тротиле составляет 7 км/с, а в не менее печально известном в наше время гексогене – около 9 км/с. Есть взрывчатые вещества со скоростью детонации 13 км/с. А скорость звука в веществах такого типа (точнее, скорость распространения продольных упругих колебаний) – порядка 3 км/с. Как объяснить такие большие скорости распространения химических реакций? В газовых смесях возникает быстрое горение. При этом перенос температуры от горючей смеси к еще не воспламенившейся происходит за счет теплопроводности и за счет диффузии активных центров реакции – свободных радикалов. Скорости переноса частиц и температуры много меньше скорости звука, поэтому скорость горения в газах порядка 20 м/с, а скорость горения твердых смесей (порохов) порядка 100 м/с. Большая скорость детонации объясняется другими причинами. Детонация – явление не только химическое, но в большой степени и газодинамическое. Она объясняется распространением ударных волн. В ударной волне, где повышаются давление и температура, резко возрастает скорость химической реакции. Выделяющаяся при этом энергия (скорость движения час-

тиц) играет роль поршня, сжимающего еще не прореагировавшее вещество ударным (а не обычным адиабатическим) способом. Таким образом детонационная волна сама себя поддерживает. Интересны процессы возникновения детонации в конденсированных средах. У многих взрывчатых веществ она начинается только при определенных и достаточно сильных воздействиях. Тротиловые шашки (кирпичики, похожие на мыло) можно поджечь, и они будут гореть, чадя, как плохие дрова (партизаны частенько использовали их для растопки в сырую погоду). Для того чтобы тротил сдетонировал, нужно применить ударное воздействие – произвести взрыв сначала в капсюле-детонаторе. Ударная волна этого «провокатора» в свою очередь заставит сдетонировать тротиловую шашку. А в капсюле-детонаторе содержится другое, гораздо более чувствительное взрывчатое вещество, которое может сдетонировать при небольшом ударе (гремучая ртуть). Сейчас чаще применяют электродетонаторы, в которых находится специалное вещество – азид свинца, легко детонирующее от нагрева (от проволочки, по которой пропускается ток). Очень многое в детонационных процессах еще остается загадочным и ждет своих исследователей.

Взрыв-спаситель

Ударные волны и детонационные процессы играют важную роль и при ядерных взрывах. Эти взрывные явления станут темой следующей статьи из «взрывной» серии. Я уверен, что когда-нибудь настанет пора глобализаци большинства земных государств и навсегда исчезнет опасность ядерной войны, а ядерные взрывы вновь с успехом будут применяться в самых разнообразных мирных целях. Может быть, именно ядерные взрывы спасут человечество от глобальной катастрофы – столкновения нашей планеты с астероидом или кометой. Специалисты Центра космических полетов имени Маршалла, входящего в состав NASA, уже разработали модель аппарата, предназначенного для этой цели. Корабль-перехватчик будет иметь до шести ядерных боеголовок, которые, поочередно взрываясь на поверхности астероида, придадут импульсы, переводящие его на другую траекторию, безопасную для Земли. Одной из первых целей кораблей-перехватчиков может стать астероид Апофис, который по предварительным расчетам в 2029 году пролетит мимо Земли на расстоянии около 37000 км, что примерно соответствует высоте геостационарной орбиты. При последующем «визите» он сможет под действием земного тяготения и упасть на Землю. Диаметр этого астероида около 400 км, масса порядка 2 Ч $10^{20}$ кг. Это побольше, чем весь австралийский материк. Масштабы катастрофы невозможно даже представить – вряд ли после этого сможет сохраниться жизнь на Земле. Так что взрыв-воитель, который бывает и взрывомработником, может стать и взрывом-спасителем.

(Продолжение следует)

НАШ КАЛЕНДАРЬ

Лев Давидович Ландау

22 января 2008 года исполнилось бы сто лет величайшему физику-теоретику XX века Льву Давидовичу Ландау. Предлагаем вниманию читателей отрывок из книги М.И.Каганова «Школа Ландау: что я о ней думаю» (книга выпущена издательством «Тровант» в 1998 году). Автор книги принимал самое непосредственное участие в жизни этой Школы.

Льва Давидовича никогда не привлекали модные увлечения читательской аудитории: снежный человек, телепатия, летающие тарелки и т.п. Большинство подобных увлечений он считал интеллигентским суеверием и остро высмеивал. Я неоднократно рассказывал об ироническом отношении Дау к «таинственным» явлениям, и часто слушатели обижались за «таинственное» явление, высказывали удивление, иногда даже подозревали Льва Давидовича в ограниченности. Дело, конечно, не в ограниченности. Повышенный интерес к таинственным, загадочным проблемам, как правило, связан с тем, что обычные, ежедневные проблемы скучнеют, теряют свежесть что ли. В Ландау поражал неослабевающий с годами интерес к реальным (большим и малым) задачам, которые ставит и решает физика. Он разговаривал о науке с сотнями физиков. Они рассказывали ему самые различные работы, отличающиеся по трудности, по глубине, по значительности, работы, относящиеся к самым разным объектам – к твердым телам и к элементарным частицам, к звездам и к газам. Работа выслушивалась Дау, выслушивалась и занимала место в его фантастической памяти в том и только в том случае, если она удовлетворяла простому принципу: работа должна разъяснить что-то непонятное. Бесконечно разъясняющимся и бесконечно ставящим новые загадки – таким видел и ощущал мир Дау. Острый интерес к решению реальных задач не оставлял места для задач надуманных, хотя, быть может, и весьма увлекательных. И еще: Ландау всегда требовал профессионального отношения к науке, не любил дилетантов. Его раздражали болтовня и верхоглядство, которые, как правило, сопровождали попытки решения «таинственных» проблем. Говоря о Ландау, часто упоминают о гениальной интуиции, о «даре божьем». Дар божий, конечно, был, но была и ежедневная, нет, ежечасная титаническая работа, утомляющая, требующая отдачи всего себя. Я встречался с Дау вечерами, после рабочего дня, когда усталость, усугубленная невозможностью отключиться, была видна невооруженным глазом. Он задумывался, выпадал из разговора. Однако всегда брал себя в руки и включался в беседу. При этом очень помогали стандартные темы – о счастье, о любви, о том, каковы должны быть женские прически и женские платья.

Л.Д.Ландау за работой (1959 г.)

Я не хочу, чтобы подумали, будто разговоры о счастье, любви были для Ландау способом отвлечься от работы. Это, по-моему, совершенно не так. Он понастоящему глубоко, я бы сказал выстраданно, интересовался «вечными темами». Его высказывания были нестандартны. Многих отпугивала «теорфизическая» ясность, с которой Дау пытался (и часто не без успеха) решать сложные задачи человеческих взаимоотношений. Он был глубоко убежден, что в большинстве случаев сложность взаимоотношений надуманна (он всегда строго различал слова «сложно» и «трудно»), и пытался добраться до материалистической сущности конфликта, если таковой был. По своему темпераменту Дау был просветителем, и не только в науке, но и в жизни. Он считал, что людей надо учить жить. И учил… Ландау прожил трудную, но, по сути, счастливую жизнь. Он был окружен преданными учениками, признание и слава достались ему при жизни. Ему казалось естественным – человек должен быть счастливым. Если ты несчастлив, то, поняв это, тщательно проанализировав, что мешает тебе жить и, главное, получать от жизни удовольствие, ты обязан (именно обязан) добиваться своего счастья, бороться за него.

КМШ

Задачи

Даны 6 легких и 6 тяжелых монет. По внешнему виду они неразличимы. За одно взвешивание про любое множество монет можно узнать, сколько в нем тяжелых монет. Как за два взвешивания найти две монеты, одна из которых легкая, а другая тяжелая? А.Шаповалов

Для каких натуральных чисел х и у выполняется равенство $1 + 2^{1} + 2^{2} +_{K} + 2^{x} = 3^{y}$? В.Сендеров

Вася задумал три натуральных числа. Для каждой пары чисел он нашел разность между их произведением и суммой. Оказалось, что одна из этих разностей отрицательна, а другая положительна. Каков знак третьей разности? Б.Френкин

В стране, каждый житель которой либо рыцарь, либо лжец (рыцари, как известно, всегда говорят правду, а лжецы – врут), за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба его соседа – лжецы. Разразился скандал, в результате которого часть компании покинула застолье. После этого каждый из оставшихся с удовлетворением объявил, что теперь оба его соседа – рыцари. – И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца, – согласился с ними последний из покидавших компанию. Тем временем «отщепенцы» организовали новое собрание и вновь за круглым столом. Каждый из сидящих за этим столом произнес, что среди его соседей ровно один рыцарь. Сколько человек остались сидеть на своих местах после раскола компании? В.Лецко

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрация Д.Гришуковой

В прямоугольном треугольнике один катет вдвое длиннее другого. Разрежьте его на 5 одинаковых треугольников. Р.Сарбаш

26

КВАНТ 2008/№1

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы завершаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

16. При каких натуральных n > 2 можно записать в одну строку числа от 1 до n так, чтобы среди любых трех чисел, записанных подряд, одно из них было не меньше суммы двух других? И.Акулич

19. Числовая последовательность $f_{0}, f_{1}, f_{2}$, … строится следующим образом:

20. Найдите все натуральные степени простых чисел, представимые в виде суммы двух кубов натуральных чисел. В.Сендеров

Докажите, что все числа этой последовательности – целые. В.Лецко

18. Точку D, лежащую внутри остроугольного треугольника АВС, отразили симметрично относительно трех его сторон АВ, ВС, СА. Оказалось, что соответствующие три новые точки $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ лежат на окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Затем на чертеже оставили точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$, а все остальное стерли. Восстановите треугольник АВС по этим трем точкам. С.Дворянинов

$f 0 =^{0}, f_{n} +_{1} =$

$3 f_{n} + 5 f_{n}^{2} + 4$

2

, n = 0, 1, 2, …

20. Натуральные числа х и у таковы, что ху + 1 является квадратом целого числа. Докажите, что найдется натуральное число z такое, что числа yz + 1, zx + 1, а также число xy + yz + zx + 1 являются квадратами целых чисел. В.Произволов

Призрак Леонардо

И.АКУЛИЧ

Пусть тот, кто не математик, не читает меня.

Леонардо да Винчи. Научная проза

ПОЛТЫСЯЧЕЛЕТИЯ ОТДЕЛЯЕТ НАС ОТ ВЕЛИКОГО ЛЕОНАР- до да Винчи, но человечество и по сей день неустанно ищет ответ на вопрос: кто же он был такой? Художник? Изобретатель? Философ? Гений, намного опередивший свое время, или вообще посланник инопланетного разума? Свидетельствами неувядающего интереса к этому титану эпохи Возрождения являются наделавшая много шума книга (а затем и фильм) «Код да Винчи», а также увлекательная компьютерная $игра^{1}$. Она прямо-

1 Cм., например, www.1980-games.com/us/reflexion-games/ reflexion-others/026.php или www.1980-games.com/us/reflexion- games/reflexion-others/debout.php таки насыщена задачами, головоломками и прочими затруднениями, что делает ее чрезвычайно трудной, но и весьма интересной. Одна из задач этой игры и явилась отправной точкой истории, которую мы сейчас изложим. Итак, дан клетчатый квадрат размером 5 ѣ 5 клеток, каждая клетка которого может быть либо белой, либо черной (первоначально все клетки белые, хотя это и несущественно). Разрешается выбрать любую клетку и одновременно перекрасить в противоположный цвет ее саму и все клетки, имеющие с ней общую сторону (мы их будем называть соседями). Требуется за несколько таких операций перекрасить все клетки квадрата в противоположный цвет. Трудно сказать, приложил ли руку к этой задаче сам Леонардо да Винчи, но вполне возможно, что да. Во

27

всяком случае, похоже на то. Уж очень… но об этом позже. Безусловно, многие пользователи компьютерной игры решали головоломку «методом тыка», щелкая мышью по различным клеткам по велению души. Но мы постараемся подойти к делу научно. Для начала назовем перекрашивание какой-либо клетки (и одновременно всех ее соседей по стороне) ходом в эту клетку. Пусть мы сделали какое-то количество ходов в какие-то клетки и добились своего, перекрасив все клетки квадрата в противоположный цвет. Рассмотрим любую клетку. При каждом ходе в нее саму или в любую соседнюю с ней клетку она меняет цвет. Следовательно, если в итоге клетка получила противоположный цвет, суммарное число ходов в эту клетку и все соседние с ней клетки должно быть нечетным. При этом очередность ходов, очевидно, не имеет никакого значения – от перестановки слагаемых сумма (а тем более четность) не меняется. Поразмыслив, можно сделать еще один, не менее важный вывод: если в какую-либо клетку было сделано не меньше двух ходов, то, уменьшив количество ходов в эту клетку на 2, мы придем к такому же результату. Закон четности проявляется и здесь. Но если так, то, уменьшая число ходов в каждую клетку на 2 до тех пор, пока это возможно, мы доведем количество ходов в каждую клетку до одного или вообще до ни одного. Другими словами, если возможно с помощью некоторого набора ходов в некоторые клетки достичь желаемого результата, то того же можно добиться, сделав в каждую клетку не более одного хода. Такой вывод позволяет нам разделить клетки на две категории: в которые был сделан ход (единственный!) и в которые не было сделано хода. Посему давайте отметим клетки, в которые надо сделать ход, и подумаем, каким условиям должна удовлетворять полученная конфигурация. Заметим, что с каждой отмеченной клеткой обязано соседствовать четное число отмеченных клеток (т.е. или ни одной, или две, или четыре), а с каждой неотмеченной клеткой – нечетное число отмеченных клеток (т.е. или одна, или три). Несомненно, большинство читателей согласятся с этим без колебаний, а для тех, кто сомневается, поясним подробнее. Рассмотрим любую неотмеченную клетку А. С ней соседствует нечетное число отмеченных клеток. Так как при ходе в любую такую соседнюю клетку клетка А поменяет цвет, то после всех ходов она поменяет цвет

М

Ш

Иллюстрация В.Иванюка

К

нечетное число раз, и в итоге ее цвет станет противоположным исходному. Теперь рассмотрим любую отмеченную клетку В. С ней соседствует четное число отмеченных клеток. Так как при ходе в любую такую соседнюю клетку клетка В поменяет цвет, то после всех ходов в соседние отмеченные клетки она поменяет цвет четное число раз. Плюс к тому же она один раз поменяет цвет при ходе в саму клетку В. Таким образом, в итоге ее цвет станет противоположным исходному. Что ж, нам удалось преобразовать «динамическую» задачу (где клетки то и дело меняют цвет) в «статический» вариант, где нужно всего лишь отметить некоторые клетки доски определенным образом: чтобы с каждой отмеченной клеткой соседствовало четное число отмеченных клеток, а с каждой неотмеченной – нечетное число отмеченных клеток. Приступим. Для квадрата 5 ѣ 5 решение имеется (рис.1, отмеченные клетки окрашены в красный цвет). С помощью поворотов и отражений можно получить еще три решения, но самое интересное, что других решений нет! Уже это позволяет предположить, что великий Леонардо мог быть причастен к такой задаче – ведь интуитивно кажется, что решение должно быть «более симметричным», ну хотя бы относительно вертикальной и горизонтальной осей. Разумеется, мы не станем ограничиваться квадратом 5 ѣ 5, а «потрогаем» квадраты n ѣ n и для других n.

28

КВАНТ 2008/№1

Рис. 1

При небольших n это можно сделать без особого труда. Проще всего получить ответ для n = 1 – это просто единственная отмеченная клетка. При n = 2 имеем четыре закрашенные клетки, и решение тоже единственное. Значение n = 3 дает красивую конфигурацию, опять-таки единственную (рис.2).

Рис. 2

Неожиданную россыпь различных конфигураций порождает n = 4. Существует пять принципиально различных способов отметить клетки (рис.3).

Рис. 3

Первые два из них с помощью поворотов и отражений «раздваиваются», а остальные три «расчетверяются». Итого, получается 16 способов. Весьма «выпадающий» результат на фоне остальных уже рассмотренных n. Далее решения вплоть до n = 8 еще удалось подобрать вручную (отметим, кстати, что задача для квадрата 8 ѣ 8, т.е. собственно шахматной доски, была предложена в конкурсе «Математика 6–8» текущего учебного года (задача 5) – так что заодно мы решили и ее). При этом были обнаружены весьма симпатичные, обладающие высокой степенью симметрии конфигурации (рис.4). Уже на этом этапе, несмотря на достигнутые успехи, появились смутные мрачные предчувствия. Во-первых, не удалось нащупать никаких «общих» способов отметить клетки требуемым способом. Неудачной оказались и попытки использовать найденные результаты для меньших n при поиске решений для бóльших n. Правда, конфигурация для n = 8, как легко заметить, получается как бы дополнением «каймы» к конфигу-

Рис. 4

рации для n = 6, но этот успех слишком скромен (и выявлен он был, честно сказать, задним числом). Что делать? Пришлось поставить на службу достижения современной вычислительной техники и поручить компьютеру поискать, для каких еще n можно отметить клетки (а заодно подсчитать количество способов это сделать для каждого n). Бодро стартовав, компьютер добрался только до n = 28, поскольку с дальнейшим ростом n он начинает думать безбожно долго. Тем не менее, анализ результатов оказался настолько поразительным, что предположение о причастности да Винчи к рассматриваемой задаче только укрепилось. Посудите сами. Во-первых, компьютер подтвердил единственность решения для n = 6, 7 и 8. Более того, выяснилось, что решение существует для всех рассмотренных n, причем для n = 10, 12, 13, 15, 18, 20, 21, 22, 25, 26, 27 и 28 оно единственно. Следовательно, оно обладает симметрией относительно всех осей симметрии самой доски (иначе появились бы дополнительные решения, полученные поворотами и отражениями). Далее, для n = 17 (как и для известного нам n = 5) имеется 4 решения, для n = 14 и 24 имеется 16 решений, для n = 11 число решений достигает 64, для n = 9 и 16 оно равно 256. А дальше – прямо-таки потрясающий взлет: при n = 23 число решений резко «прыгает» до 16384, а для n = 19 – до 65536. Отметим, что каждое из фигурирующих здесь чисел (1, 4, 16, 64, 256, 16384 и 65536) является целой неотрицательной степенью четверки. При этом на свет уже появляются и конфигурации, не обладающие ни осевой, ни поворотной симметрией (хотя отдельные их фрагменты могут быть симметричны). Например, вот как выглядит один их возможных результатов для доски 19 ѣ 19 (рис.5). Фантасмагория какая-то! Такого рода результаты просто ошарашивают, и начинает казаться, что где-то рядом неслышной тенью проходит восставший из глубины веков призрак Леонардо. Неужели он предчувствовал нечто подобное (отсутствие компьютера гению, как известно, не помеха)? Так или иначе, но то,

Рис. 5

32

…я исследовал остроумно найденную…формулу для количества, или градуса, теплоты в жидких смесях… Георг Рихман

С покойным проф. Рихманом делал физико-химические опыты для исследования градуса теплоты, который на себя вода принимает от погашенных в ней минералов, прежде раскаленных. Михаил Ломоносов

Ничего не зная о природе теплоты, можно построить полную систему термометрии, если смешивать горячую и холодную воду и в качестве термоскопа пользоваться нашими тепловыми ощущениями. Уильям Томсон (Кельвин)

…даже без помощи термометров мы можем уловить стремление теплоты передаваться от какого-либо более горячего тела к более холодным окружающим телам до тех пор, пока она не будет распределена между ними так, что ни одно из них не будет более склонно забирать теплоту от остальных. Джозеф Блэк

Внешнее воздействие, выводящее систему из термодинамического равновесия, вызывает в ней процессы, стремящиеся ослабить результаты этого воздействия. Анри Ле Шателье

А так ли хорошо знакомо вам

?

тепловое равновесие

Разумеется, хорошо! Ведь тепловые явления начинают изучаться в школе одними из первых. И за помещенными здесь фрагментами из научных трудов сразу угадываются задачи на использование уравнения теплового баланса или лабораторные работы по нахождению температуры смешиваемых жидкостей. Да и в обиходе мы постоянно сталкиваемся либо с определением температуры нашего тела с помощью градусника, либо с приготовлением ванны комфортной температуры – для чего мешаем горячую воду с холодной, либо с добавлением в обжигающий чай или кофе молока – не дожидаясь их остывания. В общем, тепловое равновесие – это так наглядно и просто! Однако уже в старших классах, при знакомстве с законами термодинамики, эта простота перестает казаться столь очевидной. Как вы отнесетесь, например, к идее «тепловой смерти Вселенной», к которой должно было бы привести всеобщее стремление к выравниванию температуры? Оказывается, все попытки объяснить, почему этого не произошло за невообразимо долгую историю нашего мироздания, были тщетными до создания общей теории относительности. Еще одним примером нетривиальности понятия термодинамического равновесия и его глубокой связи с другими разделами науки служит приведенный в эпиграфе принцип Ле Шателье. С иной его формулировкой вы встретитесь, например, при изучении электромагнитной индукции или химических процессов, что подтвердит его справедливость и за рамками тепловых явлений. Нельзя обойти вниманием и проблемы, возникшие у классической термодинамики при переходе к исследованию открытых систем и неравновесных процессов, протекающих как в живой, так и в неживой природе. Ведь возникновение разнообразнейших структур, их «самоорганизация», в конечном счете само появление жизни не согласуются с устоявшимися представлениями о разрушении всего стройного и упорядоченного при эволюции к равновесным, хаотическим состояниям. Вот как далеко могут привести нас размышления над вроде бы нехитрыми вопросами. Поэтому, обдумывая их, не упустите за внешней незамысловатостью глубокого их содержания.

Вопросы и задачи

1. Почему калориметры делают из металла, а не из стекла? 2. Верно ли, что при теплообмене энергия всегда переходит от тел с большей внутренней энергией к телам с меньшей внутренней энергией? 3. Нормальная температура человеческого тела около $37^{o} C$. Отчего же нам не холодно при температуре воздуха $25^{o} C$ и очень жарко при $37^{o} C$? 4. Почему в очень жаркую погоду нет смысла обмахиваться веером? 5. Как влияет ветер на показания термометра в морозный день? Рассмотрите два случая: а) термометр находится в тени; б) термометр освещен солнечными лучами. 6. Если у вас имеются два непроградуированных термометра, то как определить, какой из них нагрет больше? 7. В жаркую погоду в тени один термометр кладут в лужу, а другой кладут на скамейку и поливают водой из той же лужи. Какой из термометров показывает более высокую температуру? 8. Можно ли довести воду до кипения, подогревая ее стоградусным паром при нормальном атмосферном давлении? 9. Большой сосуд с кипяченой водой, в котором плавает стакан с сырой водой, ставят на нагреватель. Через некоторое время вода в стакане закипает раньше, чем в сосуде. Как это объяснить? 10. Можно ли вскипятить воду в бумажном стаканчике? 11. Откуда берется энергия, поддерживающая кипение воды в чайнике в течение нескольких секунд после снятия чайника с газовой плиты? 12. На одинаковые плитки поставили две одинаковые кастрюли с равными количествами воды при одной и той же температуре. Через некоторое время в первую кастрюлю долили немного воды из кипящего чайника. В какой из кастрюль вода закипит быстрее? 13. В холодную воду опускают нагретый в кипящей воде

металлический брусок. В каком случае вода нагреется больше: если брусок алюминиевый или свинцовый? Объемы брусков одинаковы. 14. Медный кубик А имеет температуру $200^{o} C$, такие же медные кубики В и С имеют температуру $0^{o} C$. Путем теплообмена между ними нужно охладить кубик А до температуры $50^{o} C$ и нагреть за счет этого кубики В и С до температуры $75^{o} C$. Возможно ли это? Теплообменом между кубиками и воздухом пренебречь. 15. Почему лед дольше не тает, если его завернуть в мокрую газету? 16. Зачем в погребах в холодную погоду рядом с овощами ставят большие емкости с водой? 17. Если в воду при температуре $0^{o} C$ бросить кусок льда при температуре $- 22^{o} C$, произойдет заметное увеличение массы льда. Кристаллизация воды сопровождается выделением значительного количества теплоты, почему же при этом вода не нагревается? 18. При помещении в переохлажденную воду небольшого кристаллика льда вода немедленно начинает замерзать. Какую температуру должна была бы иметь переохлажденная вода, чтобы целиком превратиться в лед? Теплоемкость воды считать не зависящей от температуры. 19. В сосуде находятся в тепловом равновесии лед и вода одной и той же массы. Через сосуд пропускают пар при температуре $100^{o} C$ и в том же количестве. Какая установится конечная температура? Потерями тепла пренебречь.

Микроопыт

Поставьте рядом три вместительных сосуда: с горячей водой – слева, с холодной водой – справа и со смесью горячей и холодной воды – в центре. Подержав правую и левую руки в соответствующих емкостях несколько минут, одновременно опустите их в центральный сосуд. Опишите ваши ощущения и постарайтесь их объяснить.

Любопытно, что…

…теплом Платон считал то, что остается от огня в накаленных телах, когда пламя потушено; Бэкон полагал теплоту «расширяющимся движением»; по мнению Гассенди, тепло и холод – разные материи, причем холод состоит из «острых» атомов в форме тетраэдра; Галилей же учил, что холод не является «положительным качеством», а есть всего лишь отсутствие тепла. …эксперимент, описанный в «Микроопыте», был проведен еще в XVII веке английским философом Джоном Локком для доказательства субъективности человеческих ощущений. Но, помимо философского значения, опыт навсегда закрыл возможность использовать наше тело в качестве термометрического прибора и дать с его помощью определение температуры. …работа Рихмана «Размышление о количестве теплоты, которое должно получаться при смешивании жидкостей, имеющих определенные градусы теплоты», доложенная им в 1744 году в Петербургской Академии наук, положила начало точным количественным расчетам в области теплотехники. Хотя сам Рихман не разграничивал понятия «температура» и «теплота», ему удалось вывести формулу для определения температуры смеси однородных жидкостей и экспериментально исследовать влияние на теплообмен температуры, формы и поверхности тел, а также скорости движения охлаждающей среды. …опыты Рихмана повторил в 1772 году шведский физик Иоганн Вильке, введший затем единицу измерения количества теплоты. Она легла в основу современного опреде- ления калории, правда это название возникло лишь в 1852 году во Франции. С появлением джоуля калория стала вытесняться из научного употребления, однако она до сих пор в ходу, например, при оценке энергетической ценности продуктов питания. …несмотря на долгую путаницу в определении тепловых понятий и использование мифической материальной сущности – теплорода, к XIX веку был заложен фундамент термометрии – раздела физики, изучающего способы измерения температуры, и калориметрии – суммы методов измерения различных тепловых эффектов. …давно известные тепловые явления длительное время представали областью, совершенно обособленной от явлений механических. Неудивительны поэтому попытки ученых найти связь теплоты с механикой, трактуя, скажем, температуру как аналог давления в сплошной среде. Подобно тому как механическое равновесие в такой среде образуется при выравнивании давлений, тепловое равновесие требует равенства температур. …понятие теплового равновесия, через которое в физике приходят к понятию температуры, можно характеризовать как динамическое равновесие, когда процессы молекулярного масштаба идут весьма интенсивно, но все макроскопические процессы прекращаются. …первым примером процесса установления теплового равновесия, когда тепло передается от более хаотической системы к более упорядоченной, было броуновское движение. Маленькие частицы примеси в жидкости образуют систему, схожую с идеальным газом частиц, хотя и не взаимодействующих между собой, но испытывающих действие молекул жидкости, в которой они плавают. …в нагретой плазме в одном месте могут быть две температуры. Каждая из входящих в состав плазмы систем – электроны и ионы – находится сама по себе в тепловом равновесии. Поток тепла между ионами и электронами тем не менее существует, но он очень слаб, и температуры выравниваются сравнительно медленно. …опытная проверка первого закона термодинамики не один раз проводилась в специальных калориметрах, где измерялась теплота, выделяемая в процессах жизнедеятельности различными существами – от мыши до человека. Как оказалось, она полностью соответствовала энергии, поглощенной вместе с питательными веществами. Это отрицало идею о том, что организмы могут являться независимыми источниками какого-либо нового вида энергии, а в конечном итоге привело к представлению о живых организмах как об открытых термодинамических системах, далеких от состояния равновесия.

Что читать в «Кванте» о тепловом равновесии

(публикации последних лет)

1. «Костры в поле и русская баня» – 2002, № 1, с. 31; 2. «Тепловые свойства воды» – 2002, № 3, с. 10; 3. «Обратимые и необратимые процессы в термодинамике» – 2003, Приложение № 4, с. 44; 4. «Где найти прошлогоднюю зиму?» – 2004, Приложение № 4, с. 69; 5. «Теплоемкость равновесных тепловых процессов» – 2005, № 3, с. 44; 6. «Тепло и холод: физика и биология» – 2006, Приложение № 6, с. 100; 7. «Калейдоскоп «Кванта» – 2004, № 3, с. 32; 2007, № 1, с. 32; 8. «Работа газа при переходе из начального состояния в конечное» – 2007, № 3, с. 43; 9. «Температура» – 2007, Приложение №5.

Материал подготовил А.Леонович

38

КВАНТ 2008/№1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Оригами и построения

1. Пусть заданы две точки А и В, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут на складке (рис.2). 2. Пусть заданы две точки, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдет в другую (рис.3).

А.ПЕТРУНИН

Моему сыну Никодиму

ПРЕДСТАВЬТЕ СЕБЕ, ЧТО ВЫ СИДИТЕ НА УРОКЕ И ВАМ скучно-скучно и очень хочется заняться геометрическими построениями: начертить, например, треугольник, найти в нем центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр, провести прямую Эйлера и все такое. Но вот беда: циркуль и линейка оставлены дома. Вот в такой ситуации, наверное, оказались 15 лет назад два оригамиста, итальянец Бенедетто Скимеми и японец Хамяки Худзита. (Оригамистами называют людей, увлекающихся древним японским искусством оригами – складыванием из листа бумаги различных зверушек, птичек, фонариков и т.д.) Вдруг их осеняет: «А ведь складка листа бумаги – это прямая». Например, если взять на листке отрезок и согнуть лист так, чтобы концы отрезка соединились, а потом разгладить лист аккуратненько на парте, то перегиб образует срединный перпендикуляр к исходному отрезку (рис.1,а). Обычное построение срединного перпендикуляра (рис.1,б) длиннее. Для него требуется и циркуль и линейка (одной

Рис. 2

3. Пусть заданы две прямые l и m, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдет в другую (рис.4).

Рис. 4

4. Пусть заданы прямая l и точка А, тогда лист можно сложить так, что точка попадет на складку, а прямая перейдет в себя (т.е. линия складки будет ей перпендикулярна) (рис.5).

Рис. 5

Рис. 1

линейкой не обойдешься), а тут никаких инструментов не надо. Чтобы продолжить, им пришлось придумать набор правил для этого нового типа построений. Например, при обычных построениях с помощью циркуля и линейки разрешается делать такие операции: 1. Провести прямую через две данные точки. 2. Построить окружность с данным центром и радиусом. 3. Найти точку пересечения двух данных прямых, точку пересечения прямой с окружностью или двух окружностей.$^{1}$ Что-то подобное нужно было и Бенедетто с Хамяки. Для этого они математически описали приемы, которыми давно пользовались оригамисты. Вот эти правила.

Правила складывания

Мы будем говорить, что прямая задана, если на листе имеется соответствующая складка. На рисунках далее складки показаны пунктиром.

1 Такие точки пересечения существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая точка есть, то ее «можно» найти.

Рис. 3

Рис. 6

5. Пусть заданы прямая р и две точки А и В, тогда лист $можно^{2}$ сложить так, что точка А попадет на складку, а В – на прямую р (рис.6). 6. Пусть заданы две прямые р и q и две точки А и В, тогда лист $можно^{2}$ сложить так, что точка А попадет на прямую р, а точка В попадет на прямую q (рис.7).

Рис. 7

Рис. 8

7. Пусть заданы две прямые р и q и точка А, тогда лист можно сложить так, что точка А попадет на прямую р, а прямая q прейдет в себя (т.е. линия складки будет ей перпендикулярна) (рис.8).

2 Такая складка существует не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то ее «можно» найти.