Квант 2008, №5 · Страницы

10

КВАНТ 2008/№5

ния в 1919 году, что вызвало огромный интерес к теории относительности. Атом в поле Земли. При подъеме тела над Землей его потенциальная энергия растет пропорционально его массе. Поэтому разность энергий двух уровней атомного ядра должна быть тем больше, чем выше этаж дома, на котором ядро находится. Энергия фотона сохраняется. С другой стороны, частота $\omega$ фотона, летящего в статическом гравитационном поле, а следовательно, и его полная энергия $e = h \omega$ не должны меняться. В результате фотон, испущенный на нижнем этаже дома при переходе между двумя уровнями ядра, не сможет вызвать обратного перехода в том же ядре на верхнем этаже. Это теоретическое предсказание было подтверждено в 1960-х годах после открытия эффекта Мёссбауэра, позволяющего измерять ничтожно малые смещения ядерных уровней. Но длина волны меняется. Фотон, летящий в статическом гравитационном поле, подобно летящему камню, сохраняет свою полную энергию е и частоту $\omega$. Но его импульс, а следовательно, и его длина волны меняются с изменением расстоянии до гравитирующего тела. Показатель преломления. При удалении фотона от источника гравитационного поля его скорость возрастает, стремясь к с, а при приближении к источнику – падает. Гравитационное поле, как прозрачная среда, имеет коэффициент преломления. Это наглядно объясняет отклонение света в поле Солнца и в гравитационных линзах галактик. Уменьшение скорости фотона вблизи Солнца было обнаружено в опытах по измерению запаздывания радарного эха от планет. Часы или секундомеры. Пусть на первом этаже рядом находятся синхронно идущие часы А и В. Если поднять на второй этаж сначала часы А, а, скажем, назавтра – В, то часы А будут впереди В. Но в качестве синхронизованных секундомеров они будут одинаково хороши. Когда каждую точку в пространстве снабжают своими собственными часами, то по существу говорят не о часах, а о секундомерах. Если теперь с помощью локальных секундомеров измерять частоту света, то она была бы тем меньше, чем выше этаж.

Эпистемика и лингвистика

Эпистемика. Эпистемика или, как принято было говорить раньше, эпистемология – это теория знания и познания. Очевидно, что обсуждаемые в этой статье вопросы относятся не только к физике, но и к эпистемике. Физика и семантика. Но какое отношение к физике имеет наука о языке – лингвистика и ее раздел семантика – наука о словах и символах? Тут уместно вспомнить высказывание Фока, упомянутое в начале доклада. «Склееные понятия». В «Началах» Ньютона «склеены» понятия массы и материи (вещества): «масса пропорциональна плотности и объему». В статьях Эйнштейна масса «склеена» с инерцией и гравитацией

(инертная и гравитационная массы). А энергия «склеена» с материей. Архетип. Согласно словарям, архетип – это исторически исходная форма (протоформа), исходное понятие, слово или исходный тип (прототип). Понятием архетипа очень интересовался Паули, опубликовавший в 1952 году статью о влиянии архетипических представлений на создание естественно-научных теорий Кеплером. Возможно, понятие массы является именно таким архетипическим понятием, которое «склеило» в себе понятия вещества, инерции и тяжести. Атом и архетип. «Atom and Archetype» – под этим заглавием была переведена с немецкого на английский язык книга, содержащая переписку Вольфганга Паули и ведущего немецкого психоаналитика Карла Юнга, длившаяся с 1932 по 1958 год. Они обсуждали, в частности, материальную природу времени и возможность общаться с людьми, жившими века и тысячелетия тому назад. Широко известно, что Паули серьезно относился к эффекту, носящему его имя: когда он входил в экспериментальную лабораторию, приборы в ней ломались. Поэты о терминах. Д.Самойлов о словах: «Их протирают, как стекло. И в этом наше ремесло». В.Маяковский: «Улица корчится безъязыкая. Ей нечем кричать и разговаривать». Нехватка точных терминов и неумение пользоваться ими восполняется многими авторами обильным использованием слов-паразитов типа «масса покоя», придающих текстам гладкость и «энергетику», подобно тому как в обычной современной речи это делают слова типа «блин». Как преподавать физику. Надо «протирать» и «расклеивать» термины. «Пуповина», соединявшая современную физическую теорию с предшествующей «материнской» теорией, должна бережно обрезаться при преподавании. (В случае теории относительности «матерью» был «кентавр», состоявший из теории поля Максвелла и механики Ньютона, а «пуповина» – релятивистская масса.) Вспомним название знаменитой книги Ф.Клейна «Элементарная математика с высшей точки зрения». На ландшафт современной физики надо смотреть не из оврага истории, а с вершины принципов симметрии. Мне представляется, что недопустимо выдавать зависимость массы от скорости за экспериментальный факт, скрывая от студента, что она является интерпретационным «фактоидом». (Согласно словарям, фактоид похож на факт, но считается достоверным только потому, что встречается в печатных текстах.)

Заключение

О заглавии. Мой хороший друг и большой эксперт по теории относительности, прочитав слайды этого доклада, посоветовал мне укоротить его название, выбросив вторую половину. Если бы мне пришлось сокращать название, я бы скорей выбросил первую половину: ведь рассмотрения прямоугольных треугольников без извлечения квадратного корня я в литературе по теории относительности не встречал.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 января 2009 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №5–2008» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2101» или «Ф2108». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2101, М2102 предлагались на IV этапе, а задачи М2103 – М2110 – на V этапе XXXIV Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2101–М2110, Ф2108–Ф2117

2

M2101. Дан квадратный трехчлен f ( x ) = x + ax + b. Известно, что для любого действительного числа x найдется такое действительное число y, что f ( y ) = f ( x ) + y. Найдите наибольшее возможное значение a. Д.Терёшин

M2102. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседей, а каждое синее – полусумме соседей. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю. И.Богданов

M2103. Дана таблица n ѣ n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, 2, …, n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток? К.Чувилин

M2104. Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008- угольника $A_{1} A_{2} K A_{2008}$, находящегося за ширмой. За один вопрос он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008- угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указан-

ном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника. Н.Агаханов

M2105. Окружность $\omega$ с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что $AQ \perp OP$. Прямая OP пересекает окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, описанные около треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что OM = ON. А.Акопян

M2106. При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные $b_{1}, K, b_{n}$ (не все из которых равны), что при всех натуральных k число $( b_{1} + k )( b_{2} + k ) K ) K ( b_{n} + k )$ является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть всегда больше 1.) В.Произволов, В.Сендеров

M2107. В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведенными прямыми, лежит на прямой MH. Л.Емельянов

M2108. Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдется натуральное число x такое, что оно представляется в виде $x = a^{p} + b^{p}$ (с натуральны-

28

КМШ

КВАНТ 2008/№5

Задачи

Можно ли расставить числа от 1 до 15 в клетках таблицы $3 \times 5$ так, чтобы во всех строках суммы чисел были одинаковы, и во всех столбцах суммы чисел были одинаковы? В.Доценко

Можно ли отпилить от кубика $10 \times 10 \times 10$ уголок так, чтобы срез имел форму треугольника со сторонами 2, 3, 4? А.Шень

За круглым столом сидят 31 человек. Часть из них – рыцари, которые всегда говорят правду, а остальные – лжецы, которые всегда лгут, причем лжецов не менее одного. Каждого спросили: «Сколько среди твоих соседей лжецов?» (имеются в виду сосед слева и сосед справа). Все дали одинаковые ответы. Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться за столом? Д.Калинин

К некоторому натуральному числу прибавили 2008, затем к результату снова прибавили 2008, и так далее. Обязательно ли в какой-то момент получится число, начинающееся на 1? С.Дориченко

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Имеются шесть гирь, массы которых равны 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г и 6 г. На каждой гире надписана масса в граммах, но надписи возможно перепутаны. Как за два взвешивания на чашечных весах выяснить, есть ли среди надписей неправильные (не важно, какие именно)? С.Токарев

29

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. Имеются 11 гирь, массы которых равны 1 г, 2 г, 4 г,… …, 1024 г. На каждой гире надписана масса в граммах, но надписи возможно перепутаны. Как за 10 взвешиваний на чашечных весах выяснить, есть ли среди надписей неправильные (не важно, какие именно)? Удастся ли сделать это за 9 взвешиваний? К.Шрамов

7. В «неправильной» пятиконечной звезде биссектрисы углов при вершинах пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектрисы углов внутреннего пятиугольника пересекаются в одной точке. Фольклор

8. Назовем натуральное число a хорошим, если найдется прямоугольный треугольник с целыми сторонами, одна из сторон которого равна a. Найдите все хорошие числа. Е.Поршнев

9. Докажите, что через точку пересечения медиан треугольника нельзя провести прямую, которая делила бы его площадь в отношении 2:1. В.Доценко

10. Концами пятидесяти отрезков на числовой прямой являются все натуральные числа от 1 до 100. Длина каждого отрезка кратна пяти, а сумма всех длин равна 2500. Докажите, что отрезки можно разбить на пять десятков так, что в каждом десятке сумма длин отрезков будет равна 500. В.Произволов

Летний турнир имени А.П.Савина «Математика 6-8»

В выпуклом многоугольнике сумма тупых углов равна $2008^\circ.$ Сколько сторон у этого многоугольника? А.Шаповалов

С 26 июня по 2 июля 2008 года под городом Судиславлем Костромской области состоялся летний турнир математических боев имени А.П.Савина. Это уже 14-й такой турнир, и популярность его растет с каждым годом. Организаторами турнира выступили образовательная программа «Большая перемена» (директор Г.В.Кондаков) и база отдыха «Берендеевы поляны». Лишь размеры базы вынудили организаторов ограничиться 32 командами 6–9 классов. Кроме москвичей, составивших львиную долю команд, в турнире приняли участие команды из Иванова, Кирова, Костромы, Ленинградской области, Магнитогорска, Харькова и Черноголовки. Команды были разделены на 5 лиг: четыре основные лиги по классам и еще одна лига, объединившая четыре оставшиеся команды 6 и 7 классов.

В первый день для разминки была проведена новая математическая игра $«Абака»^{1}$, вызвавшая большой интерес у школьников. Во второй день у старших школьников начались круговые турниры матбоев (5 туров), у младших прошла устная командная олимпиада для разделения на лиги, а 4 тура матбоев начались со следующего дня. В лиге 9 классов интрига сохранялась до последнего: сборные Магнитогорска (руководитель Н.С.Никифорова), Костромы (руководитель Д.А.Калинин) и «Квантик-1» из Москвы (руководитель И.А.Николаева) выиграли друг у друга по кругу и победили остальные 3 команды. Блиц-бой вывел на первое место Кострому, на 2-е – «Квантик-1», оставив Магнитогорск на 3-м месте. В лиге 8 классов борьба была менее острой: с заметным отрывом, выиграв все бои, победила команда «Эврика» из Харькова (руководитель А.Л.Берштейн), 2-е и 3-е места – у московских

1См. об этом статью К.Кнопа «Абака для математиков» в газете «Математика» («Первое сентября») № 16/2008.

30

КВАНТ 2008/№5

команд «Л2Ш» (т.е. лицей «Вторая школа», руководитель А.Г.Кондакова) и гимназии 1514 (руководитель Л.О.Бычкова). В лиге 7 классов диплом I степени достался команде «Москва-Юг» (руководитель Т.П.Зорина), дипломы II степени – командам Кирова (руководитель Н.Н.Франчески) и «2007-Б» из Москвы (руководитель Д.В.Прокопенко), дипломы III степени – командам Ленинградской области (руководитель С.П.Павлов) и «2007-А» из Москвы (руководитель О.Е.Данченко). В лиге 6 классов диплом I степени выиграла команда Кирова (руководитель М.А.Прокашева), дипломы II степени – команды «Кострома 6-6-6» (руководитель Н.Л.Чернятьев) и «Интеллектуал» из Москвы (руководитель Н.М.Нетрусова), дипломы III степени – команды «Эврика-1» и «Эврика-2» из Харькова (руководитель Е.Л.Аринкина). Один из дней в середине турнира был отдан под личную устную олимпиаду. Участнику выдавался листочек с тремя задачами. Решив одну, участник получал второй листочек с еще тремя задачами. Решив задачу из второго листочка, участник получал последний, третий листочек с еще тремя задачами. Ученики 6–7 классов решали одни и те же задачи, но с раздельным зачетом. Аналогично проходила личная олимпиада и для учеников 8 и 9 классов.

Призеры личной олимпиады

Гран-при завоевали семиклассник Всеволод Гулин («Эврика», Харьков), опередивший всех в олимпиаде для старших на 2 задачи и разделивший первое место в олимпиаде для младших, и шестиклассница Юлия Гребенникова («Интеллектуал», Москва), опередившая своих сверстников на одну задачу.

Дипломы I степени получили Глухов Евгений – Кострома, 9 кл., Николаев Семен – Москва, «Квантик-1», 9 кл., Бурова Ольга – Москва, «Л2Ш», 8 кл., Лисичкин Сергей – Харьков, «Эврика», 8 кл., Сандрикова Мария – Москва, школа 218, 7 кл., Синяков Лев – Москва, «Москва-Юг», 7 кл., Любчик Евгений – Харьков, «Эврика-2», 6 кл., Зверев Иван – Москва, «Москва-Юг», 6 кл.

Дипломы II степени получили Зиборов Артем – Москва, школа 218, 9 кл., Ноздрин Михаил – Магнитогорск, 9кл., Пастух Денис – Москва, школа 218, 9 кл., Яцкевич Максим – Москва, гимназия 1514, 9 кл., Вилкул Даниил – Москва, «Л2Ш», 8 кл., Матвеевский Дмитрий – Харьков, «Эврика», 7 и 8 кл., Логвинов Сергей – Москва, «Москва-Юг», 7 кл., Баев Будимир – Москва, «Фрактал», 6 кл., Бакунов Никита – Харьков, «Эврика-2», 6 кл., Горбунов Дмитрий – Москва, «Интеллектуал», 6 кл.

Дипломы III степени получили Абрамян Левон – Магнитогорск, 9 кл., Деревицкий Иван – Магнитогорск, 9кл., Ланина Наталья – Москва,«Квантик-1», 9 кл., Яцкевич Максим – Москва, гимназия 1514, 9 кл.,

Топеха Артур – Москва, «Квантик-2», 9 кл., Завадский Дмитрий – Ленинградская область, 8 кл., Циглер Александр – Магнитогорск, 8 кл., Шолохов Александр – Иваново, 8 кл., Виноградов Алексей – Москва, гимназия 1514, 7 кл., Котельникова Дарья – Киров, 7 кл., Мирский Алексей – Москва, «Интеллектуал», 7 кл., Рахматулин Ян – Киров, 7 кл., Жабрёв Илья – Ленинградская область, 6 кл., Калашников Вадим – Харьков, «Эврика-1», 6 кл., Князева Алиса – Харьков, «Эврика-2», 6 кл., Корякин Данил – Киров, 6 кл., Малыгин Виталий – Киров, 6 кл., Мизюк Соломия – Москва, школа 2007, 6 кл., Сиротина Анастасия – Москва, школа 2007, 6 кл.

Поощрительными дипломами отмечены семиклассники: кировчане Никита Козицын и Роман Маракулин, москвичи Ирина Булушева, Артем Закиров и Сергей Рафаэлов (все из школы 2007), Денис Булейко (гимназия 1514), Наталья Остроухова (школа 218) и Мария Щербакова («Фрактал»). Книги и другие призы для победителей предоставили редакция журнала «Квант», компания «Яндекс» и Фонд математического образования и просвещения. Отбором задач и составлением вариантов занималась методическая комиссия турнира: А.Л.Берштейн, М.А.Берштейн, А.Д.Блинков, Ю.А.Блинков, А.С.Горская, Н.Гребеник, С.А.Дориченко, А.Ефремов, Д.А.Калинин, П.Мартынов, К.Матвеев, Д.В.Прокопенко, В.А.Сендеров, А.Б.Скопенков, К.Скопцов, С.И.Токарев, А.В.Шаповалов.

Избранные задачи турнира

По традиции, идущей еще от первых турниров, большинство задач турнира были новыми и авторскими. Из них мы постарались выбрать такие, где есть пусть маленькое, но чудо: из условий следует чуть-чуть больше, чем можно ожидать, или в решении есть неожиданный поворот и краткость. У каждой задачи указано, для каких классов она наиболее подходит и кто ее автор. Звездочками отмечены трудные задачи, двумя звездочками – особо трудные.

1 (6–7). На поверхности кубика Рубика 3 ѣ 3 ѣ 3 отмечены несколько точек так, что в каждом из 54 квадратиков, включая его границу, отмечена ровно одна точка. Какое наименьшее число точек может быть отмечено? А.Шаповалов

2 (6–7). Дано натуральное число, у которого все цифры, кроме одной, нечетные. Может ли оно делиться на 2008? С.Токарев

3 (6–8). В однокруговом волейбольном турнире участвовали 14 команд. Интересной назовем команду, выигравшую нечетное число матчей, а особенной

31

К

М

Ш

11 (7–8). Даны два равных прямоугольника ABCD и AEFG (AB = AE, AD = AG ) таких, что точка G лежит на отрезке BC. Точка P – пересечение отрезков FG и CD. Докажите, что отрезки PB и PE равны. Д.Калинин

12 (7–9). За круглым столом сидят 2000 рыцарей, которые представляют 999 рыцарских орденов, причем каждый орден кем-нибудь представлен. Среди любых 1000 подряд сидящих рыцарей есть представители не более чем 500 орденов. Сколько рыцарей первого ордена присутствует за круглым столом? Найдите все возможные ответы и покажите, что других нет. К.Матвеев

– команду, выигравшую нечетное число матчей у интересных. Докажите, что число особенных команд четно. С.Токарев

13 (7–9). Существуют ли ненулевые целые числа $x_{1}, x_{2}, K, x_{2008}$ такие, что x 1 x 2 K x 2008 = ( x 1 + x 2 )( x 2 + x 3 ) K ( x 2008 + x 1 )? С. Токарев, В. Сендеров

4 (6–8). Двум игрокам выдано по карточке с числами a и b из набора, где 1, 2,…, 10 встречаются по разу. Каждый видит только свое число. Игроки Первый и Второй по очереди называют числа, каждое должно быть больше предыдущего и заведомо (для называющего) делить НОК(a, b). Кто не смог сделать ход – проиграл. Есть ли такая карточка, получив которую Первый может быть уверен в выигрыше? А.Шаповалов

14 (7–9). Дан клетчатый квадрат n ѣ n, в котором стерли все клетки выше главной диагонали. В каждой клетке оставшейся фигуры записывают 0 или 1, при этом если в какой-то клетке написана единица, то и в соседних с ней по стороне слева и сверху также должна стоять единица. Сколькими способами это можно сделать? А.Горская

5 (6–9). Какое наименьшее число слонов можно расставить на доске 2 N ѣ 2 N так, чтобы каждое свободное поле было побито ровно один раз? А.Шаповалов

6 (6–9). На шахматную доску по одной выставляются ладьи так, чтобы каждая выставленная побила (на момент выставления) четное число пустых полей. Какое наибольшее число ладей можно выставить? А.Шаповалов

$7^{**}$ (6–9). Можно ли поверхность куба оклеить без перекрытий тремя одинаковыми пятиугольниками? С.Токарев

$8^{*}$ (7–8). В четырехугольнике ABCD $\angle A = 85^\circ, \angle B = 115^\circ, AD =$ BC. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке M. Найдите $\angle MAB.$ А.Шаповалов

9 (7–8). Натуральное число n можно заменить на одно из следующих 6 чисел: 3n, 3n + 1, 3n + 2, n/3, (n + 1)/3, (n + 2)/3 при условии, что получающееся число – целое. Докажите, что с помощью таких операций из любого натурального числа можно получить любое. Л.Смирнова

10 (7–8). Корень n-й степени из n-значного числа равен сумме цифр этого числа (n > 1). Найдите все значения, которые может принимать этот корень. C.Шестаков

15 (7–9). Диаметром треугольника назовем длину его наибольшей стороны. Докажите, что любой треугольник можно разбить на два треугольника одинакового диаметра. А.Шаповалов

16 (7–9). Дана таблица из 40 строк и 20 столбцов. В первом столбце закрашена самая нижняя клетка, во втором столбце закрашены 3 нижние клетки и т. д.; в 20-м столбце закрашены 39 нижних клеток. Два игрока по очереди ставят ладьи в закрашенные клетки так, чтобы ладьи не били друг друга. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может выигрывать, как бы ни играл соперник? К.Матвеев

$17^{*}$ (7–9). Натуральное число N равно произведению первых l простых чисел. Докажите, что любое натуральное число, меньшее N, может быть представлено как сумма нескольких различных натуральных делителей N. К.Матвеев

$18^{*}$ (7–9). В системе коридоров, показанной на рисунке, расстояние между каждыми двумя соседними развилками одно и то же. По коридорам бегает мышка, способная развивать скорость до 7 м/c. За мышкой согласо-

(Продолжение см. на с. 34)

Переходы тел в свет и света в тела подчиняются законам Природы, которая, как кажется, забавляется этими превращениями. Исаак Ньютон

Тихого океана и замечательные красные зори в конце 1883 и в начале 1884 года, наблюдавшиеся по всей земле. Владимир Обручев

Свет, падающий на тело, разделяется на две части, из которых одна отражается от его поверхности (рассеивается)… Джон Тиндаль

Если значение слова «свет» понимать более широко (а есть все основания подразумевать под ним также все разнообразные виды излучений…), тогда свет можно рассматривать как мощное средство передачи из одного места вселенной в другое… энергии… Уильям Генри Брэгг

Интенсивность рассеянного света пропорциональна четвертой степени частоты световой волны или обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. Джон Уильям Рэлей

Этот пепел, долго плавающий в атмосфере, обусловил синеватый цвет солнца и луны в Африке и на островах

…голубой свет рассеивается значительно интенсивнее, чем красный свет. И, взглянув на небо, мы видим только изумительную синеву! Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомо вам

?

распространение света

Во-первых, как и было обещано в предыдущем выпуске «Калейдоскопа», мы продолжим обсуждение волновых явлений. Во-вторых, следуя Брэггу, мы распространим понятие «свет» на всевозможные электромагнитные волны, хотя, безусловно, главенствующую роль оставим за видимым светом. Втретьих, аналогично прошлому разу, сосредоточимся прежде всего на процессах рассеяния и поглощения. Оказывается, даже при таком ограничении рамки нашей рубрики не способны вместить и малую толику из всего многообразия вопросов, связанных с всеволновой оптикой. Действительно, мы соприкасаемся с ними в быту и на отдыхе, в медицине и искусстве, в науке и технике. Рассеиваясь и поглощаясь, световые волны пронизывают вокруг все и вся – подбираем ли мы краски для ремонта или для написания картин, пытаемся ли объяснить атмосферные или астрономические явления, выбираем ли посуду для приготовления пищи, ищем ли способы исследования вещества или решаем проблемы передачи информации. Тем не менее, найденные учеными общие закономерности волновых явлений позволяют успешно справиться как с повседневными бытовыми затруднениями, так и с фундаментальными научными препятствиями. А в награду за их преодоление оптика дарит порой такое эстетическое наслаждение и такой эмоциональный подъем, что скрыть их не в силах и выдающиеся рациональные умы. Ну что ж, попробуем рассеянных обратить в тех, кто будет поглощен этой темой.

Вопросы и задачи 1. Почему грязный, в частности покрытый копотью, снег тает быстрее, чем чистый?

2. Для чего внутренние стенки оптических приборов покрывают черной краской? 3. Почему блестит начищенный кожаный сапог? 4. Зачем картины, написанные масляными красками, часто покрывают слоем лака? 5. Что лучше рассеивает свет – наждачная или чертежная бумага? 6. Если на лист белой бумаги попадет растительное масло, то она становится прозрачной, так что через нее можно даже прочесть текст, напечатанный с другой стороны листа. Как это объяснить? 7. Почему почва, бумага, дерево, песок кажутся более темными, если они смочены водой? 8. Радиоволны отражаются от металлической крыши зеркально, а свет при отражении от этой же крыши сильно рассеивается. Отчего? 9. Для чего врачи-рентгенологи пользуются при работе перчатками, фартуками и очками, в которые введены соли свинца? 10. Почему электрические лампочки накаливания зачастую окружают матовым плафоном? 11. Как объяснить тот факт, что раскаленная нить накала лампочки имеет красный оттенок при наблюдении через матовую поверхность плафона? 12. Отчего в отсутствие облаков предметы в тени солнца, например на белом снегу, или при наступлении сумерек приобретают голубоватый цвет? 13. Снег белый и непрозрачный, хотя состоит из мелких бесцветных кристалликов льда, а чистая вода прозрачна, однако туман и облака, представляющие собой мелкие капли воды, непрозрачны. Почему? 14. Отчего в мелких местах морская вода нередко приобретает зеленый цвет? 15. Почему на фоне деревьев дым костра кажется

синим, а над верхушками деревьев (на фоне светлого неба) он выглядит желтовато-красным? 16. В парниках температура заметно выше, чем у окружающего воздуха, даже в отсутствие отопления и удобрений. Как это объяснить? 17. Почему в микроволновой печи можно жарить мясо? 18. Какой цвет имеет Земля при наблюдении из космоса и почему? 19. Отчего на Луне небо черное, а на Марсе имеет красноватый оттенок? 20. Почему по мере подъема звезды над горизонтом она становится ярче? 21. Наблюдаются ли сумерки на Луне? 22. На фотографиях Луны рядом с Землей, полученных с борта межпланетных станций, Земля выглядит очень яркой, а Луна – довольно темной. Почему? 23. Отчего радиоастрономы могут проводить наблюдения ночью и днем, а астрономы-оптики – только ночью?

Микроопыт Разотрите несколько кристалликов медного купороса в мелкий порошок. Что произойдет с цветом кристалликов? Почему?

Любопытно, что… …для объяснения голубизны неба уже сотни лет назад выдвигалось немало гипотез. Например, ее трактовали как смешение в определенных долях «света и тьмы», допускали, что частицы воздуха окрашены в голубой цвет либо они люминесцируют под действием солнечного света. Великий поэт Гёте, проявлявший интерес к теории возникновения цветов, раскритиковал Ньютона за то, что и он не дал ответа на этот вопрос. …Тиндаль, обнаружив поглощение инфракрасных лучей углекислым газом, поставил опыт, в котором пропускал эти лучи через трубку, заполняемую выдыхаемым воздухом. Наблюдаемое и в этом случае поглощение стало убедительным оптическим доказательством известного теперь всем факта, что человек выдыхает углекислый газ. …с легкой руки Рэлея долгое время считалось, что рассеяние солнечных лучей происходит на молекулах газов, и только в 1940 году академик Л.И.Мандельштам преодолел это заблуждение, показав, что в действительности рассеивателями являются неоднородности плотности воздуха. …даже сажа и платиновая чернь – наиболее черные из известных красок – не поглощают полностью все падающее на них излучение, рассеивая из него около 1–2%. Самые же лучшие белила рассевают 91% падающего на них света, а свежевыпавший снег – лишь 80%. …при вулканических извержениях и крупных лесных пожарах атмосфера насыщается аэрозолями, состоящими из частиц таких размеров, что на них свет длинноволновой части спектра рассеивается сильнее, чем коротковолновой. При наблюдении сквозь такой аэрозоль Луна и Солнце становятся синими, что и зафиксировал русский геолог В.А.Обручев после катастрофического извержения вулкана Кракатау. …одно из важнейших преимуществ оптоволоконной связи заключается в столь ничтожном затухании сигнала, что расстояние между ретрансляторами может достигать 100–200 километров – многократно больше, чем в обычных проводных линиях. Успехи в технологии изготовления волокон позволили вплотную подойти к теоретическому пределу потерь, обусловленную не дефектами вещества, а рэлеевским рассеянием и поглощением света атомами, из которых состоит волокно. …несколько Нобелевских премий по физике в начале XX века были присуждены за разработку метода рентгеноструктурного анализа, благодаря которому, например, удалось расшифровать строение сложных кристаллов. Сегодня, исследуя рассеянное и поглощенное образцами рентгеновское излучение, можно детально установить химический состав вещества или наблюдать за динамическими изменениями структуры белков. …попытки использовать связь между оптическими и акустическими явлениями предпринимались еще в XIX веке и привели к тому, что в 1880 году независимо в трех разных лабораториях – Белом, Тиндалем и Рентгеном – был открыт фотоакустический эффект, заключавшийся в преобразовании модулированного светового потока в звук. …благодаря лазерам с перестраиваемой частотой стало возможным преобразовывать слабые инфракрасные сигналы в видимый диапазон. Это нашло применение при наблюдении за астрономическими объектами, поскольку чувствительность используемых там фотоприемников в оптическом диапазоне на несколько порядков превышает ее же в инфракрасном диапазоне. …мелкая космическая пыль не только ослабляет доходящий до нас свет звезд, но и меняет их цвет. Сильнее всего пылью поглощаются синие лучи, что приводит к покраснению света, прошедшего через межзвездную среду.

Что читать в «Кванте» о распространении света

(публикации последних лет)

1. «Небо синее, Солнце красное» – 2003, № 1, с. 37; 2. «Угол падения равен…» – 2005, № 1, с. 31; 3. «Калейдоскоп «Кванта» – 2005, № 5, с. 32; 4. «Прогулки с физикой» – 2006, Приложение № 6, с. 117, 177; 5. «Радиоволны на земле и в космосе» – 2007, Приложение № 1, с. 61, 127; 6. «Лазер – замечательное достижение XX века» – 2007, № 3, с. 8; 2007, №4, с.2; 7. «Сюрпризы зеленого стекла» – 2007, № 5, с. 10.

Материал подготовил А.Леонович

54

КВАНТ 2008/№5

Дипломы III степени

по 9 классам получили Ерохин Станислав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Меньщиков Андрей – Курган, школа 38, Николаев Семен – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Мифтахов Азат – Нижнекамск, лицей-интернат 24, Горбачева Ирина – Краснодар, школа 64, Голова Анна – Краснодар, школа 74, Калиниченко Иван – Москва, лицей «Вторая школа», Климовицкий Иосиф – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Лысенко Николай – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Малясова Виктория – Ростов-на-Дону, Экономический лицей 14, Хараджиев Олег – Набережные Челны, гимназия 26, Бояров Игорь – Тольятти, лицей 51, Горбань Степан – Оренбург, гимназия 1, Ивлев Федор – Москва, Московская гимназия на Юго- Западе 1543, Сербина Дарья – Курган, гимназия 47, Балицкий Алексей – Железногорск Курганской обл., школа 11, Козачинский Александр – Москва, лицей «Вторая школа», Максимова Марина – Краснодар, школа 42, Павленко Роман – Набережные Челны, гимназия 26, Печина Анна – Долгопрудный, ФМШ 5, Степанов Борис – Екатеринбург, гимназия 9; по 10 классам – Новожилов Игорь – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Куприянов Александр – Ярославль, школа 33, Лукьянец Евгений – Санкт-Петербург, ФМЛ 239,

Соколов Вячеслав – Санкт-Петербург, гимназия 261, Аксенов Виталий – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Гильман Михаил – Санкт-Петербург, лицей 533, Дедовик Юлия – Королев, лицей 4, Кондакова Елизавета – Москва, лицей «Воробьевы горы» 1525, Орлов Олег – Пермь, школа 146, Адуенко Александр – Брянск, гимназия 1, Сочнев Сергей – Майкоп, гимназия 22; по 11 классам – Архипов Дмитрий – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса, Салихов Камиль – Казань, гимназия 102, Калачев Глеб – Москва, лицей «Вторая школа», Котельский Артем – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Мазурик Александр – Анапа, школа 7, Милованов Алексей – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Селищев Виталий – Барнаул, школа 100, Атласова Мария – Якутск, РЛИ, Екимов Александр – Ижевск, ИЕГЛ «Школа-30», Кац Дмитрий – Красноярск, ОУГ 13, Леонтьева Любовь – Уфа, гимназия 93, Титов Иван – Екатеринбург, гимназия 9, Филькин Евгений – Майкоп, гимназия 22, Кузнецов Тимофей – Новосибирск, лицей 130 им. академика М.А.Лаврентьева, Палецких Алексей – Санкт-Петербург, лицей 533, Сластенин Александр – Санкт-Петербург, школа 627, Харитонов Михаил – п. Удельная Московской обл., Удельнинская гимназия.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский, Д.Терёшин

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике

С 21 по 27 апреля 2008 года в Академгородке на базе Новосибирского государственного университета (НГУ) прошел заключительный этап Всероссийской физической олимпиады школьников. На него были приглашены призеры окружного этапа олимпиады текущего года и дипломанты трех степеней заключительного этапа олимпиады прошлого года. Всего в заключительном этапе олимпиады приняли участие 218 школьников. Как обычно, олимпиада проходила в два тура – теоретический и экспериментальный. Задачи теоретического тура были разработаны Центральной методической комиссией, а задания экспериментального тура подготовили преподаватели и сотрудники НГУ. Ниже приводятся условия задач и список призеров заключительного этапа олимпиады.

Теоретический тур

9 класс

Задача 1. График скорости частицы На рисунке 1 изображена зависимость скорости v частицы от времени t. Масштабы по осям заданы в условных едини-

Рис. 1

цах. Известно, что площадь заштрихованного на рисунке прямоугольника равна 12 м, а ускорение частицы в точке А равно $a_{A} = 1, 5 м/с^{2}$. Определите из этих данных: 1) масштабы по осям; 2) скорость частицы $v_{A}$ в точке А; 3) путь, пройденный частицей от начала движения до достижения скорости $v_{А}$. С.Козел

57

ОЛИМПИАДЫ

ний банок при скатывании по наклонной доске. Проверьте, зависит ли это отношение от наклона доски. Оборудование: пустая стеклянная банка и банка с жидкостью, портновский сантиметр, скотч, доска, бруски для изменения наклона доски и ловли банок. Примечание: на доске разрешается сделать разметку карандашом.

Задача 2. Найти невидимое У термометра открыта шкала в диапазоне от 30 до $50^{о}$ С. Нагрейте его в стакане с горячей водой до температуры чуть выше $50^{о}$ С, вытащите и вытрите. Положите его на салфетку. Проведите необходимые измерения так, чтобы установить зависимость скорости изменения показаний $\Delta T \Delta t$ термометра от его показаний, т.е. от температуры T. Постройте график зависимости $\Delta T \Delta t$ от T. Определите температуру воздуха в аудитории (обоснуйте способ и найдите значение). Оборудование: термометр с частично заклееной шкалой, стакан, источник горячей воды в аудитории, салфетки, секундомер.

11 класс

Задача 1. Лампа накаливания На цоколе лампы от карманного фонарика указаны номинальные значения напряжения $U_{н}$ и тока $I_{н}$. Рассчитайте по ним ее номинальное сопротивление $R_{н}$. Переключив мультиметр в режим измерения сопротивления, непосредственно определите сопротивление лампы $R_{0}$. Найдите отношение сопротивлений $R_{н} R_{0}$ и объясните, почему они так заметно отличаются. Переключите один мультиметр в режим измерения тока, а другой – в режим измерения напряжения и снимите вольт-

амперную характеристику лампы (зависимость тока I через лампу от поданного на нее напряжения U) с помощью предлагаемого оборудования. Определите силу тока при $U = U_{н}$ и сопротивление лампы. Определите сопротивление $R_{min}$ лампы при предельно малой силе тока и сравните его с $R_{0}$. Если они отличаются друг от друга, то объясните, в чем причина этого различия. Постройте график зависимости мощности лампы Р от ее сопротивления R. При температуре T, много большей комнатной температуры $T_{к}$ (по шкале Кельвина), сопротивление нити накала R » $R_{к} T T_{к}$, где $R_{к}$ – сопротивление при комнатной температуре. Оцените, исходя из измерений, температуру нити накала при номинальном напряжении. Найдите мощность лампы при этой температуре и при температуре, меньшей на 30%. Оборудование: лампочка от карманного фонарика, батарейка, два мультиметра, переменное сопротивление, соединительные провода, миллиметровая бумага.

Задача 2. Толщина стекла Стеклянный брусок с приклеенной на одну грань фольгой находится в оболочке, исключающей прямое измерение толщины. Противоположная грань покрыта полупрозрачным скотчем, в котором имеется небольшое отверстие. Используя предложенное оборудование, определите толщину стекла и его показатель преломления. Оцените погрешности. Оборудование: стеклянный брусок в оболочке, лазерная указка, карандаш, миллиметровая бумага, измерительный циркуль, скотч. Примечание: у лазерных указок ограничен срок непрерывной работы, поэтому включайте их лишь на время измерений.

Призеры олимпиады

Дипломы I степени по 9 классам получили Антоненко Даниил – Ростов-на-Дону, лицей 11, Лавров Петр – Пермь, школа 3, Горностаев Дмитрий – с. Шокша (Республика Мордовия), Шокшинская школа, Тарасов Артем – Киров, ФМЛ, Стройнов Евгений – Рязань, лицей 52; по 10 классам – Бычин Андрей – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Бычина Ольга – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Дорошенко Андрей – Омск, школа 92, Дубов Александр – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Кравчук Петр – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Мосунова Дарья – Саров, лицей 15, Старков Григорий – Ноябрьск, школа 7, Трегубов Дмитрий – Киров, ФМЛ; по 11 классам – Толстикова Александра – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Ефимов Сергей – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Самойлов Леонид – Саратов, ФТЛ 1, Мельников Игорь – Челябинск, лицей 39, Зеленеев Андрей – Киров, ФМЛ, Пошакинский Александр – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ».

Дипломы II степени по 9 классам получили Смирнов Михаил – Саров, лицей 3,

Кононов Яков – Улан-Удэ, Российская гимназия 59, Матвеев Филипп – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Сергеев Александр – Москва, лицей «Вторая школа», Коновалов Александр – Долгопрудный, школа 5, Артамонов Дмитрий – Саров, лицей 15, Давыдов Иван – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Карелина Любовь – Екатеринбург, гимназия 9, Николаев Егор – Йошкар-Ола, Политехнический лицейинтернат, Усов Роман – Москва, лицей «Вторая школа»; по 10 классам – Григорьевых Данил – Ижевск, лицей 29, Костарев Илья – Санкт-Петербург, лицей 533, Кудряшова Нина – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Землянов Владислав – Урай, гимназия, Крупин Илья – Кирово-Чепецк, гимназия 1, Усманова Динара – Миасс, лицей 6, Берсенев Никита – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Власюк Александр – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Корольков Андрей – Химки, лицей 11, Левдик Павел – Озёрск Челябинской обл., лицей 39, Либерзон Даниил – Киров, ФМЛ, Матросов Михаил – Нововоронежск, школа 2, Сафошкин Алексей – Рязань, гимназия 2; по 11 классам – Матвеев Харитон – Москва, лицей 1581, Кусков Дмитрий – Владимир, гимназия 23, Макарова Мария – Москва, лицей 1557, Фейзханов Рустем – Москва, лицей 1557,