Квант 2009, №1 · Страницы

1

ЯНВАРЬ

ФЕВРАЛЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2009

©

Ю

№1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

2 8 13 15

На пути к квантовому компьютеру. А.Варламов, Ю.Гальперин Аффинная геометрия. А.Заславский «Электроны, фононы, магноны». М.Каганов Метод интерпретаций. А.Анджанс, Д.Бонка

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН

19

НОВОСТИ НАУКИ Премия за нарушения

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

20 24

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР Самозаклинивающиеся структуры. А.Белов Интервью с А.Кузнецовым

25 26

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2116–М2123, Ф2123–Ф2129 Решения задач М2096–М2100, Ф2108–Ф2117

32

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Частицы и поля

34 35 35 36 38

К М Ш Задачи Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» Математическая сказка Абу-л-Вафа и циркуль постоянного раствора. Г.Филипповский Несколько рифмованных физических задач. В.Акимов

40 41 43

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Метод эквивалентных деформаций. В.Эпштейн От точки росы до точки кипения. В.Птушенко, А.Пятаков Легенда об искажении сигнала. С.Дворянинов

44

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Парадоксы командных соревнований. Л.Ильков

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

47

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

50 53

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Силы сопротивления в задачах динамики. В.Лосев, В.Плис Параллельное проектирование в задачах. В.Мирошин

56

ОЛИМПИАДЫ XXX Турнир городов

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Бюро

Квантум

© 2009, РАН, Фонд Осипьяна, «Квант»

01_24.p65

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА» Отражение от тонких цилиндрических зеркал. А.Андреев, А.Панов

57 59

ИНФОРМАЦИЯ Заочное отделение Малого мехмата МГУ Ответы, указания, решения Вниманию наших читателей (46, 55)

НА ОБЛОЖКЕ

I II III IV

Иллюстрация к статье А.Белова Математические этюды Шахматная страничка Прогулки с физикой

В издании журнала «Квант» финансовое участие принимает ОАО «ТЕХСНАБЭКСПОРТ»

3

НА

ПУТИ

К

КВАНТОВОМУ

первый полупроводниковый транзистор (за что в 1956 году удостаиваются Нобелевской премии по физике). Он был создан с помощью точечного контакта на полупроводниковой подложке и имел размеры порядка сантиметра. Вскоре такие транзисторы начинают активно использоваться в электронике в качестве усилителей электрических сигналов или управляемых электрическими сигналами прерывателей и практически повсеместно вытесняют вакуумные лампы. В 1958 году Джек Кирби создает первый полупроводниковый чип (микросхему), состоящий всего из двух транзисторов. Проходит совсем немного времени, и появляются микросхемы, объединяющие на общей подложке уже десятки и сотни транзисторов. Одновременно с прогрессом в создании на основе полупроводниковой электроники процессоров для переработки данных развиваются также и способы их хранения. В качестве таких запоминающих устройств начинают использоваться магнитные сердечники и барабаны, далекие предки современных жестких дисков. Наряду с бурным развитием материальных элементов вычислительных машин существенно меняются и логические решения при проведении вычислений, а также архитектура используемых программ. Выдающийся математик Джон фон Нейман в 1946 году представляет работу «Предварительное рассмотрение логической конструкции электронно-вычислительного устройства», в которой не только описывает саму электронно-вычислительную машину, но также подробно обсуждает и используемую в ее работе логику, обосновывает использование двоичной системы для представления данных в ЭВМ. С этого момента компьютеры становятся объектом научного исследования, и даже сегодня некоторые ученые продолжают называть компьютер «машиной фон Неймана». Все эти фундаментальные открытия и изобретения знаменуют начало второго периода компьютерной эры (1955–1964). На основе интегральных схем создаются компьютеры третьего поколения (1965–1974). Массивные магнитные накопители информации заменяются более миниатюрными и в то же время более емкими полупроводниковыми запоминающими устройствами. Они и сегодня используются в персональных компьютерах в качестве оперативных запоминающих устройств. Достигнутые в последней трети XX века успехи теоретической кибернетики, физики и технологии способствовали быстрому развитию компьютерной техники, ее миниатюризации и резкому удешевлению. Все это сделало компьютер доступным широкой публике. С середины 70-х годов компьютеры становятся важным элементом каждодневной жизни. Неслыханный прогресс в технологии позволяет сегодня на той же площади в 3 квадратных сантиметра, которую использовал Кирби, размещать в больших интегральных схемах десятки миллионов транзисторов. Так, современные элементы памяти позволяют хранить содержимое всей коллекции одной из крупнейших библиотек мира – библиотеки Конгресса США (а это 150 миллионов книг и документов) – в одном ноутбуке. Широко известный

01_24.p65

КОМПЬЮТЕРУ

закон Мура (эмпирическое наблюдение, сделанное в 1965 году Гордоном Муром) в одной из своих формулировок устанавливает экспоненциальный рост со временем емкости новых элементов памяти и числа транзисторов в процессоре. Его «действие» на протяжении тридцати лет представлено на рисунке 3.

Рис.3. Иллюстрация закона Мура: рост числа транзисторов в микропроцессоре с годами (время удвоения – 2 года)

Больше транзисторов на квадратный сантиметр, более высокая тактовая частота (характеризующая быстродействие компьютера) – эти требования стали навязчивой идеей производителей. В 2004 году интеловский процессор Prescott, выполненный по 90-нанометровой технологии (это означает, в частности, что на одном квадратном сантиметре его площади было расположено несколько миллионов транзисторов), содержал в себе 150 миллионов транзисторов и работал с тактовой частотой 3,4 ГГц. В 2007–2008 году производители уже перешли на 45-нанометровую технологию, а к 2013 году ожидается переход на 25-нанометровую. Тем не менее, этот прямой путь повышения быстродействия и объема памяти компьютеров рано или поздно исчерпывается. Например, одним из очевидных ограничений на пути дальнейшей миниатюризации является конечность скорости распространения электромагнитного сигнала в цепи: ее конкретная величина зависит от специфики технической реализации процессора, однако определенно не может превысить скорость света с = 300000 км/с. Хотя эта величина представляется недостижимо большой, давайте всетаки сделаем простую оценку. Тактовая частота $\nu = = 3,4$ ГГц означает, что интервал времени между двумя последовательными операциями оказывается порядка $t = 1 \nu$ » 3 Ч $10^{-} 10 c,$ т.е. элементы процессора, в которых проводятся две последовательные операции, не могут находиться на расстоянии, превышающем L = ct » 10 см. И это, заметьте, даже в идеальном случае, когда сигнал распространяется со скоростью света в вакууме! Таким образом, неизбежным условием увеличения тактовой частоты (а следовательно, и увеличении числа транзисторов в процессоре) является дальнейшая миниатюризация. И инженеры уже давно идут по этому пути. Однако недалек тот момент, когда миниатюризация вступит в конфликт с фундаментальными физически-

4

КВАНТ 2009/№1

ми свойствами базовых элементов процессора (во всяком случае, сегодняшних). Главным бедствием является перегрев процессора из-за возрастающей плотности выделения джоулева тепла – даже если токи, протекающие в сотнях миллионов транзисторов, и чрезвычайно малы. Другим существенным ограничением на миниатюризацию является рост величины электрического поля в изолирующем оксидном слое между электродами транзистора: в слишком тонкой прослойке может случиться электрический пробой. Третье ограничение накладывается характерным масштабом флуктуации в плотности распределения примесей – а именно, эти флуктуации должны успевать самоусредняться на размере самых малых элементов процессора. Таким образом, чем миниатюрнее процессор, тем более слабые токи должны в нем протекать. Однако уменьшать напряжение совсем до нуля тоже нельзя: начиная с некоторого предела полезные токи (сигналы) оказываются столь малыми, что просто теряются на фоне различного рода шумов, всегда присутствующих в электрических схемах. Поэтому проектировщики новых процессоров вовсе не заинтересованы специально понижать напряжение, однако они вынуждены это делать при дальнейшей миниатюризации. Таким образом, мы видим, что не за горами то время, когда концепция дальнейшего увеличения быстродействия процессора за счет миниатюризации и роста числа транзисторов в нем будет исчерпана.

уже сами законы классической физики, явно или неявно используемые при разработке новых процессоров. Вот почему на протяжении последнего десятилетия ученые пытаются разработать принципиально новые идеи создания вычислительной техники, основанные на иной, по сравнению с Тюрингом и фон Нейманом, логике и новой элементной базе. Это и развитие новых так называемых квантовых алгоритмов вычисления (квантовый компьютинг), и создание новых размером в нанометры приборов (нанофизика, нанотехнология). Ниже мы попытаемся дать читателю представление о некоторых идеях, стоящих за этими словами.

Где лежат границы между макрои микромирами?

Как уже говорилось, ближайшим технологическим новшеством в компьютерных технологиях ожидается переход на 25-нанометровую технологию. Много это или мало по сравнению с масштабами квантового мира? Для того чтобы дать ответ на этот вопрос, давайте взглянем на рисунок 4, где представлены характерные масштабы нанофизики.

XXI век: в поисках новой парадигмы

Ввиду указанных трудностей, возникших на пути прямого увеличения тактовой частоты традиционного процессора, два ведущих производителя Intel и AMD с 2005 года были фактически вынуждены перейти к реализации принципиально новой архитектуры «мозга компьютера» – многоядерному процессору. Сначала это были двухядерные процессоры, а теперь на подходе процессоры с четырьмя и более ядрами. Такие устройства объединяют два и более независимых процессоров, имеющих при этом общую сверхоперативную память и ее контроллер. Такая архитектура позволяет существенно увеличивать быстродействие компьютера без увеличения тактовой частоты и, следовательно, избегать перечисленных выше проблем. Однако не следует думать, что с двумя ядрами быстродействие просто возрастает вдвое. Ситуация оказывается гораздо более сложной: производительность многоядерного процессора существенно зависит от типа решаемой задачи, от программного обеспечения, основанного на новых (использующих преимущества параллелизма) алгоритмах. В некоторых случаях быстродействие действительно возрастает почти вдвое, в других задачах – это не так. Хотя развитие многоядерных технологий – эффективное инженерное решение, оно остается полумерой, не является качественно новым направлением дальнейшего развития компьютерной техники. Нужно ясно осознавать, что, оставаясь в рамках старой парадигмы, современная технология вплотную приближается к пределам макромира, где становятся неприменимыми

01_24.p65

Рис.4. Характерные масштабы нанофизики (1 нм $= 10^{–9}$ м)

Первой микроскопической длиной, которую следует иметь в виду при миниатюризации элементарных блоков процессора, является длина свободного пробега электронов $l_{e}$ при их движении внутри металлических слоев. Напомним, что закон Ома основан на предположении о диффузном характере движения, в процессе которого электрон, двигаясь по проводнику, испытывает многократные рассеяния на примесях или других дефектах. При этом становится несущественным конкретное расположение дефектов – транспортные свойства определяются длиной свободного пробега электронов $l_{e}$, усредненной по положению примесей. Поэтому металлические мостики между элементарными транзисторами в микросхеме можно считать обычными резисторами, подчиняющимися закону Ома лишь до тех пор, пока их размеры L остаются гораздо большими длины свободного пробега электронов: $L_{?} l_{e}$ (в используемых в микросхемах напыленных металлических пленках $l_{e}$ оказывается порядка нанометров). В противоположном пределе, $L_{=} l_{e}$, движение электрона имеет баллистический характер, т.е. электроны вместо диффузии с постоянной средней скоростью просто ускоряются электрическим полем на протяжении всего проводника. Понятно, что свойства таких «нанопроводов» будут существенно отличаться от свойств обычных омических элементов электрических цепей. Следующим важным масштабом, указывающим на

7

НАША

Таким образом, мы приходим к выводу, что при значении напряжения на затворе U = Ne C состояния квантовой точки с N и N + 1 электронами разделены энергетической щелью $e^{2} ( 2 C )$, и, следовательно, закон сохранения энергии как бы блокирует перенос электронов между источником и стоком – квантовая точка оказывается «запертой». Наоборот, при напряжении U = ( N + 1 2 ) e C электроны можно переносить на квантовую точку «бесплатно», так как состояниям с N и N + 1 электронами соответствует одно и то же значение энергии – квантовая точка оказывается «открытой». Итак, мы видим, что металлическая капля размером порядка десяти ангстрем может работать как эффективный транзистор – то пропуская ток, то запираясь. При низких температурах, $kT_{=} e^{2} ( 2 C )$, ток, протекающий сквозь такой, «одноэлектронный транзистор», чрезвычайно мал при всех напряжениях на затворе, кроме особых значений U ( N ) = ( N + 1 2 ) e C. Вблизи этих значений в проводимости должны наблюдаться резкие всплески. Вы можете их увидеть на экспериментально измеренной зависимости дифференциальной

Рис.9. Экспериментально измеренная зависимость дифференциальной проводимости квантовой точки от напряжения на затворе

ОБЛОЖКА

проводимости квантовой точки g от напряжения на затворе U, представленной на рисунке 9. Можно надеяться, что одноэлектронные транзисторы позволят в скором будущем создать логические схемы, работающие со слабейшими из возможных токов и, соответственно, в которых энергия будет рассеиваться минимально.

• • • Мы дали очень короткий и поверхностный обзор всего лишь нескольких вопросов увлекательной области современной науки. По-английски она называется nanoscience (нано-наука), по-русски мы говорим о нанофизике, нанохимии и других нанодисциплинах. Назовем еще несколько других возможных «кандидатов» в строительные блоки наноприборов, исследование свойств которых сегодня находится на переднем крае науки. Среди них графен – монослой графита, в котором электроны образуют двумерный газ с релятивистским спектром (т.е. движутся подобно квантам света); углеродные и неуглеродные нанотрубки; наноэлектромеханические системы; гибридные приборы для квантовых вычислений, основанные на сверхпроводящих и нормальных элементах; так называемые спинтронные приборы, действие которых основано на манипуляциях с отдельными электронными и атомными спинами; наносверхпроводники, наномагниты и многие другие. Для полного понимания свойств этих систем необходимо решить целый ряд фундаментальных и прикладных проблем. Главные из них связаны с особенностями квантового транспорта, влияния на него процессов рассеяния на дефектах, фононах, а также электрон-электронного взаимодействия, учета роли контактов и окружающей наноприбор электромагнитной среды. Все эти задачи еще далеки от завершения. Поэтому исследованию каждой из этих систем посвящено много научных работ, формирующих передний край современной науки и техники.

НАША ОБЛОЖКА

Сколько лучей у солнечного блика?

(См. 4-ю с. обложки)

Оптические приборы (кинои фотоаппараты, телескопы, микроскопы и т.п.) всегда искажают изображаемые ими объекты. Например, на фотографиях ярких ламп, вспышек электросварки или солнечных бликов эти яркие объекты часто окружены симметрично расходящимися лучами. Если на фотографии таких объектов несколько, то число расходящихся лучей и их ориентация одинаковы. Причиной появления на фото лучей вокруг ярких объектов является дифракция света – способность электромагнитных волн огибать границы препятствий и проникать в область геометрической тени. В оптических приборах дифракция происходит, как правило, на краях диафрагмы, используемой для изменения освещенности и глубины резкости изображений.

01_24.p65

Рис.1. Объектив фотоаппарата с ирисовой диафрагмой из семи (слева) или шести (справа) лепестков

Чаще всего диафрагма состоит из нескольких заходящих друг за друга тонких непрозрачных серповидных пластинок-лепестков, образующих отверстие в виде пра-

(Продолжение см. на с. 12)

8

КВАНТ 2009/№1

Аффинная геометрия

А.ЗАСЛАВСКИЙ

ХОТЯ ВСЕ ШКОЛЬНИКИ ПРОХОДЯТ ГЕОМЕТ- рию, мало кто может четко сформулировать, что именно они при этом изучают. Задавая школьникам этот вопрос, я обычно получал в ответ чтонибудь вроде: «Геометрия изучает геометрические свойства фигур». При этом на следующий вопрос: «А какие именно свойства фигур являются геометрическими?» – ответа получить уже не удавалось. На самом деле, объектом изучения традиционной школьной геометрии являются те свойства фигур, которые не меняются при преобразованиях подобия. Например, два правильных треугольника, один из которых нарисован мелом на доске, а другой карандашом в тетради, с точки зрения геометрии одинаковы. Однако часто интерес представляют более глубокие

ся параллельными), в результате чего на стене возникает изображение этого чертежа. Если плоскости стекла и стены параллельны, изображение в точности повторяет чертеж, но в противном случае оно может подвергаться значительным искажениям. Например, равные отрезки могут перейти в неравные, не сохраняются величины углов и т.д. Однако нетрудно видеть, что следующие свойства чертежа сохраняются и на изображении. 1. Любой прямой чертежа соответствует прямая на изображении, причем параллельным прямым соответствуют параллельные. 2. Сохраняются отношения длин параллельных отрезков. 3. Отношение площади любой фигуры к площади ее образа постоянно для всех фигур. Отметим еще одно важное свойство параллельной проекции. Утверждение 1. Любой треугольник можно параллельной проекцией перевести в правильный. Доказательство. Пусть дан треугольник ABC, лежащий в плоскости $\pi$. Возьмем плоскость $\pi ¢$, пересекающую $\pi$ по прямой AB, и расположенный в ней правильный треугольник ABC¢. Очевидно, что проекция $\pi$ на $\pi ¢$ параллельно прямой CC¢ – искомая.

Упражнение. Докажите, что любой треугольник можно перевести в любой другой композицией (последовательным применением) нескольких параллельных проекций. Указание. Покажите, что композицией двух проекций можно перевести один правильный треугольник в другой.

свойства, которые сохраняются не только при подобиях, но и при других преобразованиях. В первую очередь это относится к так называемым аффинным преобразованиям, с которыми приходится иметь дело даже в обычной школьной программе. Например, делая чертеж куба, мы не пытаемся, да и не смогли бы изобразить все его грани квадратами, но рисуем их в виде параллелограммов, т.е. существенным свойством для нас является не равенство или перпендикулярность ребер куба, а их параллельность.

Параллельная проекция и ее свойства

Предположим, что некоторый чертеж, сделанный на стекле, освещается солнцем (солнечные лучи считают-

01_24.p65

Из утверждения 1 вытекает, что любое свойство треугольника, которое относится только к отношениям длин параллельных отрезков или площадей, достаточно доказать для треугольника специального вида, например, правильного. Аналогичное утверждение верно для параллелограммов, так как можно разрезать каждый параллелограмм диагональю на два равных треугольника и спроецировать «половину» одного параллелограмма в «половину» другого. В частности, совершенно очевидной становится теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят друг друга в отношении 2: 1 – поскольку в ней говорится лишь об отношениях отрезков, лежащих на одной прямой, а эти отношения при параллельной проекции не меняются, достаточно доказать ее для правильного треугольника. Рассмотрим несколько задач. Задача 1. Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Решение. Пусть боковые стороны трапеции AB и CD

11

АФФИННАЯ

Сжатием относительно прямой можно считать применяемую в черчении ортогональную проекцию. Если две не перпендикулярные плоскости $\pi$ и $\pi ¢$ пересекаются по прямой l, то отношение расстояний до l от любой точки X плоскости $\pi$ и ее проекции X¢ на $\pi ¢$ постоянно. Кроме того, проекции X и X¢ на l, очевидно, совпадают. Поэтому, если считать $\pi$ и $\pi ¢$ двумя экземплярами одной плоскости, то ортогональная проекция будет сжатием относительно l с коэффициентом, равным косинусу угла между плоскостями. Оказывается, однако, что сжатием относительно прямой в определенном смысле является любое аффинное преобразование. Точнее, верна следующая теорема. Теорема 2. Любое аффинное преобразование можно представить как композицию сжатия относительно прямой и подобия. Доказательство. Возьмем на плоскости произвольную квадратную решетку. Данное аффинное преобразование переводит ее в решетку из параллелограммов. Если эти параллелограммы являются прямоугольниками, утверждение теоремы очевидно. В противном случае рассмотрим некоторый квадрат решетки OACB. Пусть в соответствующем параллелограмме O ¢ A ¢ C ¢ B ¢ угол A ¢ O ¢ B ¢ острый. Будем поворачивать квадратную решетку вокруг точки O. Параллелограмм O ¢ A ¢ C ¢ B ¢ при этом будет поворачиваться вокруг O¢, меняя свою форму. Когда квадратная решетка повернется на прямой угол, точка A¢ перейдет в B¢, а B¢ в вершину параллелограмма, смежного с O ¢ A ¢ C ¢ B ¢, при этом угол A ¢ O ¢ B ¢ станет тупым (рис.6). Поэтому существует

Рис. 6

промежуточное значение угла поворота, при котором этот угол прямой. Соответствующая этому углу квадратная решетка переходит в прямоугольную, что и доказывает теорему. Отметим, что сжатие относительно прямой легко реализовать с помощью рассмотренного в начале статьи параллельного проецирования. Действительно, если направление проецирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей стекла и стены, результатом проецирования будет сжатие относительно этой линии. Изменяя угол между плоскостями и направление проецирования, можно добиться, чтобы коэффициент сжатия принял любое заданное значение. Таким образом, параллельное проецирование можно считать универсальным примером аффинного преобразования. Следующая задача легко решается применением теоремы 2.

01_24.p65

ГЕОМЕТРИЯ

Задача 8. Докажите, что аффинное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, является подобием. Решение. Опишем вокруг данной окружности квадрат и повернем его так, чтобы данное преобразование переводило его в прямоугольник. Окружность, являющаяся образом данной, будет вписана в этот прямоугольник. Но в прямоугольник, отличный от квадрата, вписать окружность нельзя. Поэтому данное преобразование переводит квадратную решетку в квадратную и, значит, является подобием. Приведем еще два интересных примера аффинных преобразований. Выберем на плоскости систему координат и рассмотрим преобразование, переводящее точку с координатами ( x, y ) в точку ( x ¢, y ¢ ), где x ¢ = kx, y ¢ = y k, k > 0. Это преобразование является аффинным, так как его можно представить в виде композиции двух сжатий к осям координат. Кроме того, очевидно, что xy = x ¢ y ¢. Это означает, что любая гипербола с уравнением xy = c переходит в себя, причем, выбирая значение параметра k, можно перевести любую точку гиперболы в любую другую ее точку (рис.7). Таким образом, под действием данного преобразования каждая такая гипербола как бы скользит сама по себе подобно тому, как скользят сами по себе под действием поворота вокруг начала координат $окруж-^{Рис.} 7$ ности с уравнениями $x^{2} + y^{2} = R^{2}$. Поэтому такое преобразование называется гиперболическим поворотом. Задача 9. Касательная к гиперболе пересекает оси координат в точках X, Y. Докажите, что площадь треугольника OXY не зависит от точки касания. Указание. Докажите, что гиперболический поворот сохраняет площади. Задача 10. Прямая пересекает гиперболу в точках A, B, а оси координат в точках X и Y. Докажите, что AX = BY. Решение. Гиперболическим поворотом переведем точки A, B в точки A¢, B¢, симметричные относительно биссектрисы угла XOY. Затем симметрией относительно биссектрисы поменяем точки A¢, B¢ местами и обратным гиперболическим поворотом переведем их в точки B, A. В результате отрезки AX и BY перейдут друг в друга, а их отношение сохранится, что возможно только при AX = BY. Рассмотрев вырожденный случай этой задачи, когда прямая касается гиперболы, получим, что точка касания делит отрезок XY пополам. Рассмотрим теперь преобразование, переводящее точку ( x, y ) в точку ( x ¢, y ¢ ), где x ¢ = x + v 2, y ¢ = vx +

$+ y + v^{2} 4$. Непосредственно проверяется, что это преобразование переводит прямые в прямые, причем y ¢ $- x ¢^{2} = y - x^{2}$. Следовательно, данное преобразование сохраняет параболы с уравнениями $y = x^{2} + c$.

13

«Электроны, фононы, магноны»

(неопубликованное предисловие ко второму изданию книги)

М.КАГАНОВ

ПЕРЕЧИТЫВАЯ $КНИГУ^{1}$, НАПИСАННУЮ МНОЮ приблизительно 30 лет назад, я испытывал несколько странное чувство. С одной стороны, книгу, несомненно, написал я. Узнаю свои мысли, свое отношение к тому или другому явлению, открытию. Так безошибочно узнаешь себя, глядя на старую фотографию, хотя в зеркале видишь совсем другое лицо. С другой стороны,благодаря прошедшим годам возникает некая отчужденность, позволяющая оценивать прочитанное объективно или почти объективно. Это разрешает мне сказать: «Электроны, фононы, магноны» – хорошая книга, она мне понравилась при перечитывании. Если бы это было не так, не дал бы согласия на ее переиздание. Конечно, в квантовой теории твердого тела, популярному изложению которой посвящена книга, за прошедшие годы произошло много событий. Но мне кажется, происходившее правильно назвать развитием. Основы квантовой теории твердых тел не были пересмотрены. Без знания того, о чем говорится в книге, нельзя понять, в частности, и тех изменений, которые произошли за годы, прошедшие между первым и вторым изданиями. Квантовые свойства разных твердых тел все более активно используются в технике. Писалась бы книга теперь, с большой вероятностью встречались бы в ней упоминания наноструктур, высокотемпературных сверхпроводников и многих интереснейших открытий, сделанных сравнительно недавно. Признаюсь, я задумывался, не стоит ли сделать вставки или подстрочные примечания с подобными упоминаниями, и пришел к выводу, что делать этого не надо. Сколько-нибудь серьезно рассказать о том, чего не знали в 70-е годы прошлого века, в рамках этой книги невозможно, а знаний, которые можно почерпнуть, прочитав «Электроны, фононы, магноны», будет достаточно для того, чтобы воспользоваться информацией, заполняющей публикации в научно-популярных журналах, в Интернете и в других доступных источниках.

1 М.И.Каганов. «Электроны, фононы, магноны». Издание 2-е. (М.: Издательство ЛКИ, 2008.) Первое издание книги вышло в Главной редакции физико-математической литературы издательства «Наука» в 1979 году. По неизвестным автору причинам специально написанное для второго издания предисловие в книгу не вошло.

01_24.p65

Вот на что стоит обратить внимание. В книге нередко упоминается время, прошедшее после какого-либо научного события, или говорится в «настоящее время», «теперь» и т.п. Надо помнить, что от момента написания книги до того, как она попала к вам, прошло много лет. Надо в уме произвести сложение, либо мысленно перенестись лет на 30 назад. Такие «выкладки», читая, делал и я.

• • • За прошедшие годы изменилась не только физика твердого тела. Углубилось и изменилось представление о Мире, о его структурных единицах – элементарных частицах, претерпели изменение даже представления о структуре Вселенной, о ее рождении и судьбе. Вот один пример из далекой от физики твердого тела области – из физики элементарных частиц: в книге ни разу не упоминаются кварки. В те годы, когда книга писалась, кварки были модной темой; много спорили, реальны ли кварки или это только удобный способ описания многих частиц и, главное, обнаруженных нестандартных свойств симметрии. Давно завершились споры. Кварки всеми признаны. Кварки – элементарные частицы, из которых состоят нуклоны и некоторые из мезонов. При этом возникло понимание того, что кварки не существуют как свободные частицы в вакууме, вне барионов. Несомненно, это событие огромного значения. Оно, возможно, изменит наше мировоззрение. Если дальнейшее дробление частиц невозможно и именно кварки – истинно элементарные частицы, то человечество, наконец, обнаружило то, из чего состоит все. И все же, повторю, кварки в книге не встречаются, хотя нуклоны (и протоны, и нейтроны) в книге упоминаются многократно. Но что нужно знать об этих частицах физике твердого тела? Их массу, заряд и магнитный момент. Пожалуй, все. Их внутренняя структура, существенная не только при изучении взаимодействий между частицами, но и для понимания структуры мироздания, непосредственно в физике твердого тела роли не играет (возможно, пока). Одна из черт окружающего нас Мира и, как следствие, науки о Мире – своеобразная иерархичность. О ней упомянуто в книге. Строительной механике от

14

КВАНТ 2009/№1

физики твердого тела необходимо получить справочные сведения о прочностных и упругих характеристиках строительных материалов в разных условиях. Электротехнике – электрические характеристики используемых проводников и изоляторов. При исследовании конденсированных тел физики (теоретики и экспериментаторы) пользуются результатами атомной физики и не могут без них обойтись. Недостаточно знать, что тело построено из атомов или молекул. Для понимания природы свойств макроскопических тел и явлений, происходящих в них, необходимо знать устройство тех «кирпичиков», из которых они построены. Но о частицах – строительном материале молекул и атомов, об электронах, протонах и нейтронах – достаточно знать то, что можно почерпнуть из любого справочника. Более того, я думаю, что даже для объяснения феномена жизни этого знания вполне достаточно. Понятно, это не означает, что уже сейчас мы можем ответить на все вопросы, которые ставит молекулярная биология. Предстоят многие годы интенсивных исследований. И, главное, нужно ждать появления новых идей. За последние десятилетия у молекулярной биологии, которая впитала в себя многое из физики твердого тела, есть блестящие достижения. Физических знаний о структуре молекул, из которых построены все живые организмы, пока совершенно достаточно. Думаю, хотя и не все имеют такое мнение, что какого-то специального углубления в физику элементарных частиц для развития молекулярной биологии не потребуется никогда. По-прежнему молекулярным биологам, как и физикам, занятым твердыми телами, достаточно будет знать об электронах, протонах и нейтронах то, что прекрасно известно сегодня.

• • • Читая книгу, не мог не вспоминать. Во введении к первому изданию книги я не без удовольствия вспомнил, как зародилась мысль написать «Электроны, фононы, магноны». А теперь я с неменьшим удовольствием вспоминаю, как книга писалась. Большая часть была написана в Пущино, где я проводил отпуск, который совпал с перерывом в чтении лекций в МГУ. В Пущино – уютном городе на берегу Оки – была удобная гостиница. Но главное, в Пущино жил друг моей юности Иосиф Захарович Гольденберг, или Графчик, как называют его все друзья. Обаятельный человек, поэт и прекрасный педагог, он работал в библиотеке Института белка АН СССР и имел возможность помочь в бронировании номера в гостинице. В те годы это было ох, как непросто! Друзья пользовались помощью Графчика. Удобство проживания сопровождалось изоляцией от московской суеты, роскошью человеческого общения и прогулками по берегу Оки, по березовой роще… В Пущино я написал многое из того, что вошло в книгу, и придумал нестандартное расположение материала, за которое меня попрекали, но, и перечитывая, я не разочаровался в своем замысле. Может быть, он возник из разговоров с Иосифом Захаровичем о романе

01_24.p65

Хулио Кортасара «Игра в классики», но, откровенно говоря, я этого уже не помню. И еще одно воспоминание. Очень важное. В том же 1979 году, когда вышла книга «Электроны, фононы, магноны», в журнале «Успехи физических наук» был опубликован обзор «Электронная теория металлов и геометрия» – последняя совместная публикация с моим учителем академиком Ильей Михайловичем Лифшицем. Он ушел из жизни в 1982 году безвременно рано – ему было 65 лет. Многие годы я работал под руководством Ильи Михайловича. Невозможно переоценить, что дало мне его руководство. Думая о написанных мною и в соавторстве с И.М.Лифшицем научно-популярных статьях и книгах, я чувствую, сколь важна была роль Ильи Михаловича в формировании моего физического мировоззрения. Перечитывая некоторые абзацы, я слышал голос своего учителя. А воспроизведенный здесь рисунок (4) из книги, важный для понимания места физики твердого тела среди наук, я впервые увидел нарисованным на доске

Каждая из механик имеет свою область применения, которую удобно изобразить в виде диаграммы. На этой диаграмме по вертикали откладывается отношение скорости частицы v к скорости света в вакууме с. По горизонтали откладывается отношение постоянной Планка h к удвоенному действию частицы S. Действие – некоторая физическая величина, имеющая размерность постоянной Планка. Оценить действие можно, перемножив характерный путь, проходимый частицей при заданном движении, и характерный импульс частицы. Пунктирные линии на рисунке – условные границы между механиками

Ильей Михайловичем при чтении им научно-популярной лекции в Харьковском лектории. Потом рисунок появился в нашей статье, которая так и называлась «Физика твердого тела на карте науки». Опубликована она была в сборнике «Будущее науки». Серию сборников под таким названием выпускало общество «Знание». Вспоминать можно до бесконечности. И, казалось бы, есть вполне законный повод – переиздание книги, вышедшей из печати много лет назад. Но, предаваясь воспоминаниям, не следует все же забывать, что написанное в ней не устарело. И сегодня книга «Электроны, фононы, магноны» может быть весьма полезной для понимания природы процессов и явлений, происходящих в твердых телах.

19

НОВОСТИ НАУКИ

ПРЕМИЯ ЗА НАРУШЕНИЯ

Нобелевская премия по физике в 2008 году присуждена за фундаментальные теоретические исследования по нарушению глобальных симметрий в мире элементарных частиц. Сама премия также несимметрична. Половину премии получил 87-летний американский физик японского происхождения Йоичиро Намбу (Институт Энрико Ферми Чикагского университета, США). Свою главную работу он выполнил более 50 лет назад (совместно с итальянским физиком Джованни Йона-Лазиньо) в университете города Осака (Япония). Формулировка награждения – «за пионерские идеи о возможности спонтанного нарушения киральной симметрии». Вторую половину премии разделили два японских физика – Макото Кобаяши (Исследовательский центр ускорителя высоких энергий, Цукуба, Япония) и Тошихидэ Маскава (Институт теоретической физики Киотского университета, Япония) – «за открытие природы нарушенной симметрии, которое предсказывает существование в природе по крайней мере трех семейств кварков». Нелегко разобраться в этих формулировках. Казалось бы, в проблеме нарушения симметрии само понятие «симметрия» не так уж сложно. Однако речь идет при этом не о тривиальных пространственных симметриях, например в кристаллах. Еще в 1927 году создатель геохимии, естествоиспытатель и философ В.И.Вернадский писал: «Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности». Современное понятие симметрии включает: а) объект или явление, симметрия которого рассматривается; б) преобразования, по отношению к которым рассматривается симметрия; в) инвариантность (неизменность, сохранение) каких-то свойств объекта, выражающую рассматриваемую симметрию. Такое понятие симметрии шире понятия «законы природы». Можно сказать, что симметрия создает законы, лежит в их основе. Например, симметрии параллельного переноса в пространстве (иначе говоря, однородности пространства) соответствует закон сохранения импульса, симметрии переноса начала времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии. Гораздо более сложные и не совсем очевидные симметрии удается обнаружить в мире элементарных частиц. Киральная (в химии это правоили левовинтовая) симметрия в случае субатомных частиц – это инвариантность уравнений, описывающих их поведение, относительно изменения так называемой скрытой винтообразности частиц.

Макото Кобаяши

01_24.p65

Тошихидэ Маскава

Согласно гипотезе Намбу, из-за взаимодействия частиц с физическим вакуумом эта внутренняя симметрия с конечной вероятностью может самопроизвольно нарушиться. Объектами преобразованных свойств в модели Намбу были гипотетические очень мелкие частицы, из которых в случае нарушения симметрии могли «образоваться» мезоны, барионы и гипероны. Последних к тому времени наоткрывали на ускорителях уже многие десятки, а вскоре их число перевалило за три сотни – появился целый «зоопарк», как тогда шутили физики. Работа Намбу и Йона-Лазиньо была первой попыткой навести порядок в этом «зоопарке», выявить наиболее фундаментальные «кирпичики бытия». Она подготовила появление через 10 лет (1964 г.) кварковой модели адронов. Работа Кобаяши и Маскава связана с нарушением двух других симметрий в мире элементарных частиц – пространственной и зарядовой. Пространственная симметрия в этом случае связана с зеркальным отображением. В обыденной жизни мы привыкли к тому, что в зеркале левое меняется на правое и наоборот. Про микрообъекты современной физики, которые после преобразования отражения превращаются в своих «антиподов», говорят, что они нечетные (их «четность» равна –1). В мире элементарных частиц есть как четные, так и нечетные. Правила, связанные с сохранением четности в процессах микромира, рассматриваются как проявление Р-симметрии (от английского parity – четность). Под зарядовой симметрией понимают сохранение суммарных зарядов, каждого по отдельности – электрического, барионного и лептонного, в процессах взаимодействия объектов между собой. У частиц и античастиц эти заряды имеют противоположные знаки. Зарядовая симметрия обозначается как С-симметрия (charge – заряд). В 1956 году было обнаружено нарушение четности – оказалось, что правило сохранения четности не является законом. Тогда в 1957 году был сформулирована гипотеза сохранения «комбинированной четности», так называемая СР-инвариантность – если меняется четность, то вместе с ней должны измениться знаки зарядов, т.е. частицы должны замениться на античастицы (Л.Ландау, Т.Ли. А.Салам и Ч.Янг). Незамедлительно последовало экспериментальное подтверждение (талантливая физик-экспериментатор Ц.Ву). Гипотеза стала законом. Когда в 1964 году появилась 3-кварковая гипотеза Гелл- Мана и Цвейга, она учитывала этот закон. И вдруг в это же время был обнаружен случай нарушения СР-инвариантности (в экспериментах по изучению распадов нейтрального Кмезона). Казалось, что кварковая гипотеза опровергнута. Но именно тогда Кобаяши и Маскава выдвинули свою гипотезу о возможности самопроизвольного (спонтанного) нарушения этой симметрии. Для этого им пришлось предположить, что в природе существуют не три кварка, а шесть – три пары кварков. Сегодня физики говорят о трех «семействах» кварков и о соответствующих им трех «семействам» лептонов. В этом заключается сущность современной так называемой стандартной модели микромира. Итак, три физика, две работы, обе – предшественницы будущих открытий и обе связаны с нарушениями симметрии. Нобелевская «награда за нарушения», пусть и спустя много лет, нашла своих героев.

Йоичиро Намбу

Л.Белопухов

22

КВАНТ 2009/№1

Рис. 6

Заметим, что октаэдр и додекаэдр (рис.6) также имеют правильные шестиугольные сечения, так что получаются аналогичные конструкции из октаэдров и додекаэдров (рис.7, 8).

Рис. 11

Рис. 7

Рис. 8

Теперь рассмотрим расположение правильных десятиугольников, как показано на рисунке 9. Заметим, что икосаэдр, додекаэдр, а также усеченный икосаэдр (форма молекулы фулерена $C_{60} )$ имеют правильное десятиуголь- ное сечение. Получается кладка из самозаклинивающихся икосаэдров (рис.10), новая кладка из додекаэдров (рис. 11) и кладка из усеченных икосаэдров (рис.12). Мы несколько раз, казалось бы, немного изменяли описание конструкций. Однако всякий раз такое изменение приводило к новым результатам. Язык стрелок, позволяющий описывать наклоны граней, привел к появлению конструкции из кубов, описание самозаклиненной кладки из кубов через шестиугольное сечение позволило Рис. 12 обобщить конструкцию, построить системы из октаэдров и додекаэдров, а затем – и других тел. Рассуждения с движением сторон сечения позволяют строить самозаклиненные конструкции регулярным образом. Наличие языка очень важно в математике, и точные слова, несмотря на кажущуюся «незначительность» переформулировок, приводят к новым результатам. Довольно хорошо известен арочный эффект, когда из камней без цемента еще в древности складывали арку (рис.13). Однако теоретически возможно создать не только классическую выпуклую, но и вогнутую арку!

Упражнение 7. Придумайте конструкцию вогнутой арки. Указание. Рассмотрите слой между двумя концентрическими сферами. В малом он устроен как слой между двумя плоскостями, и его можно сделать заклиненным в обе

Рис. 9

01_24.p65

Рис. 10

24

КВАНТ 2009/№1

ИНТЕРВЬЮ С А.КУЗНЕЦОВЫМ

14 июля 2008 года в Амстердаме на Европейском математическом конгрессе наш соотечественник, сотрудник Математического института им. В.А.Стеклова РАН Александр Геннадьевич Кузнецов получил премию Европейского математического общества (ЕМО) для молодых математиков. Предлагаем вашему вниманию беседу Александра Геннадьевича с членом редколлегии нашего журнала Николаем Петровичем Долбилиным.

1. Расскажите об истории премии ЕМО для молодых ученых. Кто из наших ученых ее удостаивался? Премия Европейского математического общества является аналогом самой престижной международной математической премии – медали Филдса (как известно, Нобелевская премия математикам не вручается), поэтому естественно было бы вначале сказать пару слов о ней. Начиная с 1897 года раз в каждые четыре года проводится Международный конгресс математиков, на котором специально выбранная комиссия, состоящая из самых известных математиков, выбирает четырех лауреатов (иногда их может быть и меньше), которым и вручаются медали. Критерий выбора очень простой – награды удостаиваются ученые, работы которых внесли наиболее значимый вклад в развитие математики. При этом есть ограничение на возраст – рассматриваются только математики моложе 40 лет. Шестнадцать лет назад по образу и подобию Международного математического союза было создано Европейское математическое общество, которое, естественно, учредило свой аналог медали Филдса. Однако между этими двумя наградами есть существенные различия. Во-первых, премия ЕМО вручается математикам не старше 35 лет. Во-вторых, претенденты должны являться европейцами (в довольно мягком смысле – либо по рождению, либо по гражданству, либо по месту работы). Наконец, премий ЕМО значительно больше – на каждом конгрессе (которые тоже проходят раз в четыре года, в точности посередине между международными конгрессами) присуждается 10 премий. Поскольку премия ЕМО вручается относительно недавно, а ограничение по возрасту довольно жесткое, фамилии лауреатов не слишком на слуху. Пожалуй, наиболее известен Максим Концевич, получивший премию в 1992 году.

2. Какие Ваши работы были удостоены этой премии? Можно ли рассказать читателям «Кванта» о них и, вообще, о Ваших научных интересах? Я занимаюсь алгебраической геометрией. Это область математики, находящаяся на стыке алгебры и геометрии (что следует из названия), но при этом имеющая очень тесные связи с другими математическими дисциплинами и даже с физикой. Алгебраическая геометрия изучает свойства алгебраических многообразий, т.е. тел (геометрия!), которые можно задать полиномиальными уравнениями (алгебра!). Простейшие алгебраические многообразия изучаются еще в школе – это точка, прямая, плоскость, трехмерное пространство. Можно также рассматривать пространства более высоких размерностей. Окружность, эллипс, гипербола и парабола также являются алгебраическими многообразиями (так как задаются на плоскости квадратичными уравнениями). Более сложные многообразия получаются рассмотрением большего числа уравнений более высокой степени в пространствах более высокой размерности (например – пересечение эллипсоида и гиперболического параболоида в трехмерном пространстве). Оказывается, многие геометрические свойства алгебраических многообразий можно выражать

01_24.p65

Александр Кузнецов читает лекцию в Независимом московском университете через разные связанные с ними алгебраические структуры. Одной из таких структур является производная категория когерентных пучков – основной объект изучения в моих работах.

3. Как Вы стали математиком? Какова роль семьи, школы, возможно, математических олимпиад, дополнительной литературы, «Кванта»? Кто из математиковпрофессионалов оказал на Вас решающее влияние? Как правило, математиком становятся в результате обучения на математическом отделении какого-либо университета или института (случается, правда, что математиками становились люди, получившие, скажем, физическое образование). В моем случае таковым стал механико-математический факультет МГУ. Но, конечно, все началось со школы. Первые семь лет я учился в обычной школе (в 5 минутах от дома), затем перешел в математическую школу № 57, где провел три замечательных года (в то время в школе учились 10 лет, а не 11, как сейчас). То, что я стану математиком, я понял довольно рано. Может, я и не чувствовал поначалу к математике особого интереса (трудно испытывать интерес к науке, если совершенно не понимаешь, в чем она состоит), но, по крайней мере, математика мне всегда очень легко давалась. Например, в последний год перед школой я много болел (постоянно простужался) и поэтому подолгу сидел дома. Мне в руки попался учебник математики для первого класса, и я его почти весь прорешал. К задачам у меня было отношение как к интересным головоломкам. Через пару лет после этого (учась во втором классе) я нашел задачник по физике, который меня очень удивил тем, что там я совершенно никаких задач решить не мог. Там было много непонятных слов («параллельно», «перпендикулярно» и т.п.). Я помню, меня это очень задело, и я в течение нескольких следующих лет регулярно его доставал и смотрел, стало ли мне чтонибудь понятнее. Когда же я начал понимать (кажется, это было уже в 6 классе), мне это очень понравилось, и я, наверное в течение года, перечитал весь школьный курс физики. Конечно, учебники 9 и 10 класса были непонятны (там встречались совершенно загадочные для меня на тот момент понятия производной, а также дифференциальные уравнения), но я к тому моменту научился, пропуская непонятное, получать тем не менее удовольствие от такого чтения. В тот момент я был почти уверен, что стану физиком. Перелом в моей жизни произошел довольно случайно. Однажды (я учился в тот момент в 7 классе) я уже собирался

(Продолжение см. на с. 31)

25

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 мая 2009 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2009» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2116» или «Ф2123». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи M2118 и М2121 предлагалась на IV Всероссийской олимпиаде по геометрии имени И.Ф.Шарыгина, задачи М2119, М2120 и М2123 – на XXX Турнире городов.

Задачи М2116–М2123, Ф2123–Ф2129

M2116. Полный набор домино выкладывается на столе в замкнутую цепь, и для всех пар соседних доминошек вычисляется модуль разности очков на клетках, которыми они соприкасаются. Обозначим через S сумму всех таких модулей разностей. Ясно, что наименьшее значение S равно 0 (это происходит в том случае, когда замкнутая цепь выложена по правилам домино). А какое наибольшее значение может принимать сумма S? А.Грибалко

M2117. Существует ли арифметическая прогрессия из 2008 различных натуральных чисел, произведение которых равно точной 2009-й степени натурального числа? Г.Гальперин

M2118. Докажите, что в треугольнике ABC с углом A, равным $120^\circ,$ расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения высот равно AB + AC. В.Протасов

M2119. В бесконечной последовательности $a_{1}, a_{2}, a_{3},^{K}$ число $a_{1}$ равно 1, а каждое следующее число $a_{n}$ строится из предыдущего $a_{n} -_{1}$ по правилу: если у числа n наибольший нечетный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то $a_{n} = a_{n} -_{1} + 1$, если же остаток равен 3, то $a_{n} = a_{n} -_{1} - 1$. Докажите, что в этой последовательности все числа положительны, причем каждое натуральное число встречается в ней бесконечно много раз. А.Заславский

M2120. Многочлен P ( x ) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P ( m ) + P ( n ) = 0 имеет

бесконечно много решений в целых числах m и n. Докажите, что график функции y = P ( x ) имеет центр симметрии. А.Шаповалов

M2121. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовем его «высотами» векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны, перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его «высот» равна нулевому вектору. А.Заславский

M2122. а) Докажите, что любое натуральное число n, большее 17, можно разложить в сумму трех натуральных попарно взаимно простых слагаемых, каждое из которых больше 1. б*) Выясните, конечно или бесконечно множество натуральных чисел, не представимых в виде суммы трех взаимно простых в совокупности натуральных слагаемых, любые два из которых не взаимно просты. В.Лецко

M2123. Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть 2 варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)? В.Клепцын

32

Так как катодные лучи несут заряд отрицательного электричества, они отклоняются электростатической силой, как если бы они были отрицательно наэлектризованы, и на них действует магнитная сила таким образом, как эта сила действовала бы на отрицательно наэлектризованное тело, движущееся по траектории этих лучей. Джозеф Джон Томсон

…ко мне пришел страшно возбужденный Гейгер и сказал: «Нам удалось наблюдать $\alpha$ -частицы, возвращающиеся назад». Это было самым невероятным событием, которое мне пришлось пережить. Эрнест Резерфорд

На снимках обнаруживались время от времени прямые пути частиц неизвестного происхождения, почти не отклоняемые магнитным полем, но по своему ионизирующему действию не отличающиеся сколько-нибудь от быстрых $\beta$ -лучей. Дмитрий Скобельцын

Такие устройства, как циклотрон и синхротрон, ускоряют частицу до высоких энергий, заставляя ее многократно проходить через сильное электрическое поле. А на своей орбите частицу удерживает магнитное поле. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

частицы и поля

Практически всякий раз фрагменты из работ выдающихся ученых, предваряющие очередной выпуск нашей рубрики, выстраиваются в своеобразный «краткий курс» истории того или иного физического направления. Нынешняя же тема оказалась настолько обширна и необъятна, что на нее нанизываются почти все ответвления современной физики, хронологическим рубежом которой называют самый конец XIX века, когда одно за другим последовали блестящие достижения – такие, как открытия электрона и радиоактивности. Можно сказать, что обнаружение элементарных заряженных частиц – мельчащих структурных составляющих материи – словно подхлестнуло исследователей к дальнейшим поискам, сулившим совершенно новое представление об окружающем нас мире. Но не только: для изучения и управления микроскопическими «невидимками» потребовались такие хитрые сочетания полей, такая аппаратура, такие технологии, которые буквально на глазах стали менять производство и быт, энергетику и средства связи – одним словом, привели к промышленной и информационной революции, плоды которой мы пожинаем до сих пор. Вот и сегодня, накануне запуска в Швейцарии самого крупного и самого мощного ускорителя элементарных частиц, когда-либо созданного разумом руками человека, мы ожидаем беспрецедентных открытий, развивающих, а, может быть, и переворачивающих наши знания о строении вещества и об устройстве Вселенной. В расчете на то, что и на вашу долю достанется еще немало сложных и интересных проблем, касающихся частиц и полей, начнем с более простых, но не менее увлекательных задач.

Вопросы и задачи 1. Почему в комнатных условиях, даже при всех мерах предосторожности, электроскоп обязательно разрядится? 2. Металлический незаряженный диск приводится в быстрое вращение. Электрометр, присоединенный с помощью контактов к центру и к периферии диска, показывает, что между ними возникла разность потенциалов. Каков ее знак?

3. Какую траекторию опишет электрон, пролетая между пластинами плоского конденсатора, на которые подано: а) постоянное напряжение; б) переменное напряжение достаточно высокой частоты? 4. Две пересекающиеся плоскости равномерно заряжены отрицательным зарядом. В некоторой точке между плоскостями помещен радиоактивный источник. Что представляют собой траектории движения положительно и отрицательно заряженных частиц, испускаемых источником? 5. При отсутствии внешнего электрического поля электроны, вылетающие из катода вакуумного диода, не рассеиваются в окружающем пространстве, а большей частью возвращаются на поверхность катода. Чем это можно объяснить? 6. Скорость движения электронов между электродами вакуумного диода достигает тысяч километров в секунду, а в металлических проводниках анодной цепи – миллиметров в секунду. Одинаковы ли силы тока в диоде и в проводниках? 7. Коллимированный пучок заряженных частиц, т.е. пучок, в котором все частицы имеют одно и то же направление скорости, под влиянием кулоновских сил постепенно расходится. Как зависит этот эффект от скорости частиц? 8. От каких характеристик частицы зависит форма ее траектории при движении в гравитационном поле, электрическом поле, магнитном поле? 9. Как будет изменяться радиус траектории заряженной частицы, движущейся по окружности в однородном магнитном поле, с увеличением ее удельного заряда? 10. По длинному прямому металлическому проводу течет электрический ток. Можно ли избавиться от его магнитного поля, устремившись вдоль провода со скоростью, равной средней скорости упорядоченного движения электронов в нем? 11. Почему частица, обращающаяся в неоднородном магнитном поле, «отражается» от области, где индукция этого поля увеличивается? 12. Можно ли считать дугой окружности траекторию движения заряженных частиц, влетевших в камеру

33

Вильсона перпендикулярно линиям однородного магнитного поля? 13. На рисунке представлены следы электрона и позитрона, полученные в камере Вильсона, находившейся в магнитном поле, направленном от читателя перпендикулярно рисунку. Какой из следов принадлежит электрону, а какой – позитрону? Какая частица имеет бóльшую кинетическую энергию? 14. Увеличение скорости заряженных частиц в циклотроне осуществляется исключительно за счет воздействия на частицы электрического поля. Зачем же утяжеляют и удорожают эти установки, заботясь о действии на частицы еще и магнитного поля? 15. Как действует изображенный на рисунке «фильтр скоростей»? Внутри прибора созданы однородные электрическое и магнитное поля, направленные перпендикулярно друг к другу и к начальной скорости частиц. 16. Почему в Канаде северные сияния бывают чаще, чем в Сибири, расположенной на той же географической широте? 17. Для инициирования ядерных реакций деления чаще всего используется бомбардировка ядер нейтронами. А почему для этой цели менее пригодны, скажем, протоны или электроны?

Микроопыт

Наклейте на обычную осветительную лампу полоску металлической фольги и присоедините ее проводком к электроскопу. Зарядите электроскоп положительно и включите ток в лампе. Повторите опыт, зарядив электроскоп отрицательно. Чем объяснить, что в первом случае при включении тока листки электроскопа спадают, а во втором – нет?

Любопытно, что… …знаменитым опытам Дж.Дж.Томсона с катодными лучами предшествовала почти сорокалетняя работа физиков разных стран по изучению электрического разряда в разреженных газах. Считалось, что эти лучи – либо поток молекул, зарядившихся отрицательно при столкновении с катодом, либо новый вид электромагнитных волн, отклоняющихся, в отличие от обычного света, магнитным полем. Лишь Томсону в длинной серии экспериментов удалось добыть к 1897 году решающие доказательства того, что катодные лучи состоят из электронов. Так была открыта первая элементарная частица. …задача по определению заряда и массы $\alpha -$ и $\beta -$ частиц, возникшая сразу после обнаружения радиоактивности, привела со временем к созданию масс-спектрографов – приборов, использующих электрическое и магнитное поля для измерения масс мельчайших ионов. Первый из них был построен в 1919 году Фрэнсисом Астоном, учеником Дж.Дж.Томсона, открывшего за семь лет до этого события существование изотопов. …вращение заряженных частиц в магнитном поле открыл еще в 1895 году английский физик Джозеф Лармор. В дальнейшем идея удержания частиц с помощью этого поля была очень хорошо отработана при создании ускорителей – в них частицы совершают миллионы оборотов по круговой орбите и могут жить на ней многие часы. А вот проблему магнитного удержания – изоляции – высокотемпературной плазмы в термоядерных реакторах не удалось еще окончательно решить. …применение магнитных полей с определенными сложными конфигурациями в опытах на ускорителях позволяет фокусировать пучки частиц подобно тому, как оптические линзы фокусируют световые лучи. …открытые в 1910 году космические лучи стали интенсивно изучаться в том числе и с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле. Именно она позволила наблюдать аномальные следы, приведшие к обнаружению в 1932 году позитрона – «электрона с положительным зарядом». …в отличие от переменных потоков солнечных космических лучей, галактические и метагалактические лучи – это мало изменяющиеся во времени потоки атомных ядер. Самая важная их особенность – энергия частиц, достигающая $10^{21}$ эВ, что на несколько порядков выше энергий, получаемых на рукотворных установках. Таким образом, Вселенная оказываеся как бы гигантским ускорителем атомных ядер. …в 1985 году с острова Керселен в Индийском океане стартовала геофизическая ракета с небольшим ускорителем частиц. На определенной высоте он испустил поток электронов, в дальнейшем двигавшихся вдоль линии земного магнитного поля и вызвавших искусственное полярное сияние над Архангельской областью. Эти эксперименты предназначались для изучения механизма возникновения северных сияний, структуры магнитного поля Земли, процессов в ее ионосфере и их влияния на погоду. …о масштабах современных исследований в физике элементарных частиц можно судить по параметрам Большого адронного коллайдера, готовящегося к пуску в Женеве. Периметр его кругового туннеля, залегающего на глубине примерно 100 метров под землей, составляет 27 километров; сверхпроводящие магниты разгонят протоны до энергии 7 ТэВ и затем будут сталкивать их друг с друг с частотой 800 миллионов раз в секунду; в планировании и финансировании строительства коллайдера приняли участие более двух десятков стран, в числе которых и Россия.

Что читать в «Кванте»о частицах и полях

(публикации последних лет)

1. «Следы в камере» – 2003, № 3, с. 40; 2. «Магнитное поле» – 2004, № 4, с. 47; 3. «Калейдоскоп «Кванта» – 2005, № 1, с. 32; 4. «Заряженные частицы в магнитном поле» – 2006, № 4, с. 40; 5. «Движение заряда в магнитном поле» – 2007, № 5, с. 42; 6. «Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия» – 2008, № 5, с. 47.

Материал подготовил А.Леонович

34

КМШ

КВАНТ 2009/№1

Задачи

Назовем кирпичом прямоугольный параллелепипед, у которого длина, ширина и высота различны. Можно ли поверхность какого-нибудь кирпича оклеить без перекрытий пятью бумажными квадратами? (Квадраты разрешается перегибать через ребра, размеры их не обязательно одинаковы.) А.Шаповалов

место (а другие при этом останутся неподвижными) так, что снова получится та же самая фигура (только, возможно, по-другому расположенная). Как такое может быть? Фольклор

В кинотеатре «Будь здоров!» 20 рядов по 25 мест в каждом и все места заняты. В кинотеатре принято правило: если зритель чихнет во время сеанса, то он должен отдать каждому из своих соседей по рублю. Вначале у всех было одинаковое количество денег. Дима чихнул и расплатился. Какое наименьшее число раз должны еще чихнуть зрители, чтобы у всех снова стало поровну денег? (Соседями считаются сидящие спереди, сзади, слева и справа, у каждого зрителя может быть от двух до четырех соседей.) Д.Калинин

Может ли быть верным равенство Р ѣ Е ѣ Ш ѣ И = С ѣ А ѣ М, если в нем каждая буква заменяет некоторую цифру, причем разные буквы заменяют разные цифры? Ю.Эвнин

Десять точечных кузнечиков сидят на столе, образуя некоторую фигуру. Известно, что каждый из кузнечиков может отдельно от остальных перепрыгнуть из начального положения на некоторое новое

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

зеркало: в нем отражались и наручные, и настенные часы, но показывали они в зеркале разное время и ни одно не совпадало с реальным. Как такое могло быть? А.Толпыго

Иллюстрации Д.Гришуковой

У меня есть двое электронных часов – наручные и настенные, идут они всегда правильно (время показывают цифрами). Стоя у зеркала, я взглянул на наручные часы – было 12:05. Я перевел взгляд на

38

КВАНТ 2009/№1

Несколько рифмованных физических задач

В.АКИМОВ

Условия задач

1. Кораблик на реке По реке плывет кораблик, Он плывет издалека. Вдруг порывом ветра сдуло Бескозырку с моряка.

Четверть часа пролетело, Пока в том разобрались И с такой же быстротою За фуражкой погнались.

Где догнать ее сумели? Вот вопрос для знатока, Если на четыре мили Утекает в час река.

2. Спичка в руках Разломишь спичку пополам, Часть ты сломай опять. Скажи же, почему трудней Второй-то раз ломать?

6. Карандаш в графине В графин с водою уронила Карандаш Мальвина. Карандаш не утонул, Заметил Буратино.

Погрузился карандашик На три четверти всего. А теперь скажи, какая Была плотность у него?

7. Ручной бегемот Дело было в Африке, рассказывал мне кто-то. Может, где сейчас Тунис, а может… где Лесото? Собирал прежадный вождь подати с народа С помощью священного ручного бегемота.

Приплывал на лодке он с весами и солдатом. Народ уравновешивал бегемота златом. Раскормил животное, и весы сломались. Над жадностью правителя люди посмеялись.

3. Сизифов труд Сизиф свой камень в гору тащит Испокон, как водится. Для него ведь никогда Не будет безработицы.

Тут взбесился вождь. Обязал солдата, Чтоб отмерил дань воин до заката! На сложное задание хватило простоты. А как же в этом случае поступил бы ты?

Под камень он рычаг подсунул: Часть четвертую его. Выиграл в три раза в силе. Это вроде ничего!

8. Клад в кувшине Плакал в лодке рыбак, что удачи все нет, Бросил на воду взгляд свой сконфуженный. Вдруг увидел на волнах какой-то предмет Почти полностью в воду погруженный.

С каким выигрышем будет, Одолеет ли «врага», Если он теперь возьмется За второй край рычага?

4. Клоун на канате Ходит клоун по канату. В руках держит полбревна. Для артиста что важнее – Вес бревна или длина?

В реку бросился он, весь промок и продрог. Скоро в лодку поднял из пучины С печатью сургучной на пробке кувшин Трехлитровый, старинный, из глины.

5. Мячик на горке В горку мы катнули мячик. Не поймем до сей поры: Куда двигался он дольше – В гору иль опять с горы?

Распечатав кувшин, наш герой обомлел, Душа пела как тысяча дудок – «Золотые» катились. Отныне семья Не уснет на голодный желудок.

39

К

Вот уж деньги в мешке, кувшин тронулся в путь, Лишь на треть из воды выступая. Не завидуя парню, вам надо смекнуть – У денежек масса какая?

9. Диск в кружке Давайте опыт проведем (Мысленный, конечно) – Фанерный в кружку диск кладем, Водою заливаем спешно.

Весьма нетрудно предсказать, Где будет диск потом. А если опыт повторять Со ртутью и стеклом?

10. Шуба в жару В Египет чукча прилетел, Жара под сорок пять. Зачем же шубу он надел? Попробуй угадать.

11. Цунами на суше В океане цунами Не ощущаются нами. Почему же у суши Они так непослушны?

12. Чайник для заварки Чайник для заварки чая Выполнен весьма хитро: Из фарфора, в форме шара, Совсем белое нутро.

Сбоку ручка, крышка с дыркой, Носик с решетом внутри. Ты все эти «заковырки» По науке рассмотри!

Решения задач

1. В системе отсчета, связанной с водой, скорость кораблика постоянна по величине, поэтому до бескозырки он доплывет за четверть часа. Значит, время нахождения бескозырки в воде составляет полчаса. Перейдем теперь в систему отсчета, связанную с берегом. Поскольку время в обеих системах течет одинаково, бескозырка за полчаса уплывет на две мили. 2. При повторном разламывании рычаг становится короче, следовательно, требуется бóльшая сила. 3. В первом случае выигрыш в силе получился не в четыре, а только в три раза. Это означает, что сам рычаг – весомый. Записав условие равновесия рычага, найдем, что масса рычага в шесть раз меньше массы камня. Тогда во втором случае выигрыш в силе получится в 1,2 раза. 4. Шест нужен канатоходцу для сохранения равновесия. То, что шест должен быть тяжелым, это очевидно, и с этим никто не спорит. Однако если распо-

М

Ш

ложить шест не поперек каната, а вдоль него, то уравновешивающее свойство шеста исчезает. Значит, важны и его геометрические размеры. При этом оказывается, что для сохранения устойчивости длина шеста играет большую роль, нежели его вес. 5. Когда мячик поднимается в горку, его скорость уменьшают две силы: сила тяжести и сила трения. Когда же мячик спускается с горки, его движению препятствует только сила трения. Это означает, что скатываться с горки мячик будет дольше. 6. Ясно, что плотность карандаша составляет три четверти от плотности воды, т.е. $750 кг/м^{3}. 7.$ Нужно поставить бегемота в лодку и отметить глубину ее погружения. Затем надо убрать бегемота и нагружать лодку золотом до тех пор, пока глубина погружения не станет прежней. В таком случае масса груза будет равна массе бегемота. 8. В первом случае выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести кувшина и силу тяжести золота. Во втором случае выталкивающая сила, уменьшившаяся на одну треть, уравновешивает только силу тяжести кувшина. Отсюда получается, что масса золота составляет 1 кг. 9. Вода, смачивая фанеру, подтечет под диск, появится выталкивающая сила, и фанерный диск всплывет. Ртуть же стекло не смачивает, поэтому она не будет подтекать под стеклянный диск, архимедовой силы не появится, и стеклянный диск останется лежать на дне. 10. Если температура на улице выше температуры человеческого тела, то имеет смысл носить одежду, не пропускающую тепло. Тогда под одеждой температура будет не 45 градусов, а только 36,6. 11. Когда в океане на большой глубине происходит землетрясение, большая масса воды начинает двигаться с небольшой скоростью – как в широкой трубе. У берега – мелководье, «труба» сужается, но объем воды, протекающий через поперечное сечение, должен оставаться неизменным, поэтому скорость движения воды возрастает, со всеми вытекающими отсюда последствиями. 12. Рассмотрим все вопросы по порядку. Для того чтобы чай заварился, в чайнике должна сохраняться высокая температура достаточно продолжительное время – вот почему чайник сделан из вещества с плохой теплопроводностью (фарфор). Чем меньше площадь поверхности тела (при прочих равных условиях), тем оно медленнее остывает, а наименьшая площадь поверхности – у шара. Белый цвет внутренней поверхности чайника предотвращает потери тепла за счет излучения. Ручка нужна для удобства переноски горячего чайника. Если крышка чайника плотно прилегает к корпусу, то при выливании чая внутри чайника образуется объем воздуха с пониженным давлением и заварка перестает вытекать – во избежание этого и делают в крышке отверстие. И наконец, решето в носике мешает попаданию чаинок в чашку.

41

ШКОЛА

В

«КВАНТЕ»

Работа при этом выполняется такая же, что и в первом случае (при перемещении сосуда). Отличие условий первой части задачи от второй сводится, таким образом, всего лишь к порядку действий. Нарушения закона сохранения энергии не обнаруживается. Задача 4. Сосуд наполовину заполнен водой, в которой плавает кусок льда. Поверх льда наливают керосин, верхний уровень которого устанавливается на высоте h от дна сосуда. Как изменится эта высота, когда лед растает? Эта задача была опубликована в «Задачнике «Кванта» (Ф113) в 1971 году. В журнале приведено строгое математическое решение этой (не очень сложной) задачи. Можно, однако, обойтись и без расчетов. В случае, когда лед оказывается под поверхностью керосина, ответ очевиден: вода, полученная после плавления льда, занимает меньший объем, значит, верхний уровень керосина понизится. Интерес представляет анализ ситуации, когда лед выступает над поверхностью керосина. Идея эквивалентных деформаций порождает соблазн деформировать лед так, чтобы его вершина оказалась под поверхностью керосина. Таким образом, казалось бы, можно свести рассматриваемую задачу к предыдущей. Однако этот «фокус» не проходит: погружение выступающей части льда в керосин сопровождается повышением уровня жидкости, а после плавления уровень понижается – следовательно, конечный результат не будет очевидным. Итак, деформация оказывается неэквивалентной. Но если эквивалентная деформация льда не проходит, не стоит ли двинуться в противоположном направлении: оставить лед в покое, а «деформировать» жидкости? Попробуем.

Для этого слой керосина толщиной $H_{1}$ заменим таким слоем воды, который сохраняет положение льда неизменным (рис.4). Поскольку плотность воды больше плотности керосина, высота этого слоя $H_{2} < H_{1}$. При плавлении льда уровень воды (как было замечено выше) не меняется. Если теперь осу- Рис. 4 ществить обратную замену и вернуть на место керосин (для этого следует оставить след поверхности льда, как показано на рисунке 5), то выяснится, что слой керосина над поверхностью, которую ранее образовывала вода, растекается по большей площади и уровень керосина понижается (по сравнению с исходным). Итак, уровень керосина Рис. 5 понижается независимо от того, покрывает керосин ледяную глыбу полностью или частично. Несмотря на то, что эквивалентную деформацию льда осуществить не удалось, сама идея метода оказалась плодотворной.

От точки росы до точки кипения рый, наверное, без труда ответит любой читатель, таит в себе если и не загадки, то уж подвохи точно. Вот ему мы и посвятим нашу статью. Итак, с чего же все-таки начинается история росинки? С конденсации, конечно, это всем известно. Поэтому уточним вопрос: а когда и при каких условиях начинается конденсация? Давайте обсудим все по порядку. У воды, как у всякого вещества, есть три агрегатных состояния – твердое, жидкое и газообразное. Логично ожидать, что между тремя состояниями имеются две температурные границы: температура плавления и температура кипения. А теперь задумаемся: при какой температуре газообразная вода превращается в жидкую? Если горячий водяной пар, взятый при температуре выше $100 ^\circ$ С, начать охлаждать, то первые росинки (жидкость) появятся в нем…, ну конечно, в точке росы – недаром же эта температура так называется! Постойте, а что же тогда такое точка кипения? Почему же не в ней – в этой пограничной точке между жидким состоянием и газообразным – происходит превращение газа в жидкость? В каком же тогда смысле она является границей? Прежде чем ответить на эти вопросы, подумаем: а при какой температуре вода как жидкость превращается в пар? Да при любой! И из чашки с горячим чаем поднимается пар, и из блюдца с холодной водой, которое вы оставили для котенка, вода рано или поздно испарится. Даже мокрая простыня на морозном зимнем ветру успевает высохнуть быстрее, чем замерзнуть и «превратиться в камень». В чем же тогда особенность температуры кипения? Ответ хорошо известен: при температуре кипения происходит не просто испарение, а именно кипение, т.е. интенсивное испарение по всему объему жидкости.

В.ПТУШЕНКО, А.ПЯТАКОВ

Есть разница меж них. И есть единство. И.Бродский

РАЗНООБРАЗНЫМ НЕОБЫЧНЫМ (ДА И САМЫМ ОБЫЧ- ным тоже) свойствам воды и водяного пара в «Кванте» было посвящено много статей – от сугубо практических, например о заваривании чая, о русской бане или сохранении урожая в поле в холодные осенние ночи, до почти романтической «истории одной $росинки».^{1}$ А с чего начинается история росинки? Этот нехитрый вопрос, на кото-

1 См. статьи И.Мазина «Приглашение в парную» («Квант» №8 за 1985 г.), А.Варламова и А.Шапиро «Пока чайник не закипел …» («Квант» №8 за 1987 г.), А.Абрикосова (мл.) «История росинки» («Квант» №7 за 1988 г.), А.Стасенко «Костры в поле и русская баня» («Квант» №1 за 2002 г.).

42

КВАНТ 2009/№1

Это короткое формальное определение, подобно сказочному ларцу, внутри содержит гораздо больше, чем можно предположить, глядя снаружи. Внутри этого «ларца» прячется одно из основных представлений физики – понятие равновесия. Чтобы жидкость могла долгое время просуществовать, она должна находиться в равновесии со своим окружением. Но разных видов равновесия может быть много – столько же, сколько существует разных видов «движения», т.е. любого изменения системы жидкость–газ. Например, есть механическое равновесие между всеми силами, действующими на жидкость изнутри и снаружи. Есть тепловое равновесие, стремясь к которому, горячий чай остывает до комнатной температуры. А еще есть физикохимическое равновесие с кислородом, который из воздуха стремится проникнуть в воду и раствориться в ней, давая жизнь вашим аквариумным рыбкам… Так какие же виды равновесия важны в данном случае? Давайте посмотрим на жидкость под микроскопом: мы увидим в ней мельчайшие пузырьки воздуха. Водяной пар норовит заполнить собой эти пузырьки и «взорвать» жидкость изнутри. Сделать это ему не позволяют водяной пар вместе с воздухом, находящиеся снаружи, над поверхностью жидкости: они «сдавливают» жидкость, это давление передается внутрь от одного слоя к другому, «ощущается» в каждом уголке заполненного жидкостью объема и сдерживает рост пузырьков. Кроме опасности быть взорванной изнутри, жидкости грозит еще одна опасность – улетучиться, молекула за молекулой, через открытую поверхность в окружающее пространство. Но этому может помешать водяной пар, который уже заполняет это пространство над поверхностью жидкости. Молекула за молекулой, он может возвращаться обратно в жидкость, т.е. конденсироваться, компенсируя испарение. Такое фазовое равновесие наступает, например, в банке, накрытой крышкой, в которой находится вода, а над ней – влажный воздух с насыщенным водяным паром. Роль крышки могут играть также неподвижные воздушные массы при соответствующих атмосферных условиях, и тогда на земле долго не высыхают лужи, а белье на веревках остается влажным, нарушая все планы хозяек. А что же происходит при кипении? При температуре кипения давление насыщенного пара становится слишком большим – вырастает до атмосферного, пузырьки растут неудержимо, из-под крышки вырывается пар. Нарушаются оба типа равновесия жидкости. Крышка подпрыгивает и позвякивает, напоминая об этом. Можно, конечно, крышку «укрепить», чтобы не прыгала, – тогда получится скороварка$^{2}$, оба равновесия восстановятся, но только давление под крышкой будет уже больше атмосферного. Обратите внимание: для поддержания фазового равновесия жидкости с открытой поверхностью важен только ее собственный пар, его парциальное давление, а какие еще газы есть в атмосфере и в каком количестве – совершенно не важно. А вот для сохранения равновесия пузырьков, для того чтобы не происходило кипения, необходимо над поверхностью жидкости иметь еще какой-нибудь газ, кроме самого водяного пара. Если вы ухитритесь из-под закрытой крышки откачать весь сухой воздух, оставив там только водяной пар, то жидкость вскипит. Ничего удивительного: вы понизили внешнее давление до величины, создаваемой лишь одним насыщенным водяным паром, т.е. как раз создали условия кипения.

Вот здесь-то и кроется подвох, который часто мешает пониманию процессов кипения и испарения. При их объяснении главную роль играют парциальное давление водяного пара и полное (атмосферное) давление. Полное внешнее давление, как правило, считается неизменной величиной, в то время как парциальное давление водяного пара, наоборот, может изменяться по мере испарения воды. И действительно, в кухне, где долго кипит чайник, вы можете вполне явственно ощутить повышение влажности, в то время как имеющийся в кухне барометр показывает все то же атмосферное давление. Почему же это давление не повышается? В обычных условиях потому, что уменьшаются остальные слагаемые: водяной пар, заполняя кухню, частично вытесняет из нее азот и кислород, их парциальные давления падают, и суммарное давление остается неизменным. А в необычных условиях – например, в уже упоминавшейся нами скороварке, в подземных камерах гейзеров и т.п. – рост парциального давления водяного пара вполне может приводить и к росту суммарного давления, так что оно уже перестает быть постоянным и изменяется, например с температурой. Теперь мы можем вернуться к вопросам, с которых начали статью. Только сделаем последний шажок – чтобы наглядней сопоставить определения точек росы и кипения, слегка переформулируем одно из них. (Переформулировать классические определения – неблагодарное дело. Но, надеемся, читатель оценит методический смысл этого приема и простит нам эту «фамильярность» по отношению к классике.) Как известно, точка росы – это температура, при которой водяной пар, содержащийся в атмосфере (наряду с азотом, кислорода и пр.), будет насыщенным. А точку кипения определим как температуру, при которой был бы насыщенным водяной пар, целиком «единолично» образующий атмосферу. Отсюда сразу понятно, что точка кипения – это верхняя граница для точки росы и граница для существования жидкости (при заданном внешнем давлении, как правило атмосферном). Поэтому, охлаждая горячий влажный воздух, вы можете обнаружить первые капли жидкости при любой температуре, но только ниже точки кипения: если влаги в воздухе немного, то заставить молекулы воды «собраться вместе» удастся, лишь сильно понизив температуру. Если почти весь объем воздуха заполнен паром, то точка росы может оказаться довольно близко к точке кипения (вспомните, как выходящий из кипящего чайника пар покрывает капельками даже очень горячие на ощупь крышку или носик). Подведем итог сказанному. Процессы испарения и кипения жидкости определяются двумя разными факторами: взаимодействием жидкости с ее собственным паром и с атмосферой в целом. Суммарное атмосферное давление газа над жидкостью определяет равновесие между жидкостью и образующимися внутри нее пузырьками, т.е. возможность ее вскипания. А парциальное давление пара определяет равновесие жидкости с окружающим паром, т.е., в частности, возможность ее полного испарения или, наоборот, начала конденсации в точке росы. Будем надеяться, что наша статья поможет читателю увереннее ориентироваться в этих, хотя и очень привычных, однако все же не всегда простых для понимания вопросах. Но если она породит новые вопросы – будет еще лучше!

Авторы благодарны Георгию Евгеньевичу Пустовалову за исключительную поддержку и внимание к данной работе.

2 Подробнее о принципе работы скороварки см. в упомянутой статье А.Варламова и А.Шапиро.

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

транзитивностью. Им обладают и наши «идеальные» игроки, если сравнивать их рейтинги. Но оказывается, что транзитивность в групповых играх выполняется далеко не всегда. Ниже указаны три команды по три игрока в каждой (даны рейтинги игроков): A: 5 2 2 B: 4 4 1 C: 3 3 3

Эти команды при любом способе проведения соревнований обыгрывают друг друга циклически. Действительно, в I случае результаты игр таковы: A: B = B: C = C: A = 2: 1. Во II случае A: B = 5: 4, B: C = C: A = 6: 3. Между тем, существуют тройки команд, обладающие транзитивностью только для одного способа проведения соревнований. Так, команды A: 6 3 3 2 B: 5 5 3 1 C: 4 4 3 3 обыгрывают друг друга циклически, соревнуясь I способом: A > B, B > C, C > A. При II способе цикличности нет, но и транзитивности тоже нет: А = B, B > C, C > A. Если из этих команд убрать игроков третьей доски (у них одинаковый рейтинг 3), то соотношение команд в I случае, конечно, не изменится, а во II случае тоже появится цикличность: A > B, B > C, C > A. Этот пример показывает, что цикличность – «крайний» случай нарушения транзитивности: отсутствие транзитивности не обязательно сопровождается цикличностью. Команды A: 5 2 2 B: 4 3 1 C: 3 3 2 обладают цикличностью во II случае: A > B, B > C, C > A. В I случае нет ни цикличности, ни транзитивности: A > B, B = C, C = A. В соревнованиях команд, состоящих из двух игроков, цикличность невозможна, хотя нарушения транзитивности наблюдаются. Задача 2. Докажите, что для команд из двух игроков цикличность невозможна.

Парадокс 3

Существуют тройки команд с разнонаправленной для разных типов соревнований цикличностью.

Этот парадокс как бы объединяет в себе парадоксы 1 и 2. Пример – команды

A: 11 9 6 3 1 B: 10 7 5 5 4 C: 8 7 7 5 2. В соревнованиях I типа A > B, B > C, C > A; в соревнованиях же II типа – A < B, B < C, C < A. Везде преимущество минимальное – 1 очко. Задача 3. Найдите еще один или более примеров этого парадокса для команд из пяти игроков. Примечание. Решение должно существенно отличаться от приведенного примера. Легко построить «новое» решение из приведенного, лишь изменив рейтинги игроков так, чтобы ни один результат личных встреч не изменился. Это достигается, например, сдвигом рейтингов или умножением их на некоторый коэффициент. Поэтому вводится дополнительное условие: все рейтинги – целые положительные числа и занимают без пропусков некоторый диапазон целых чисел 1: k (в примере – 1: 11).

КРУЖОК

Для решения этой задачи можно составить компьютерную программу; без компьютера задача кажется трудной. С помощью такой программы было установлено, что в соревнованиях команд, состоящих из трех игроков, цикличность возможна, если количество различных рейтингов игроков k ³ 5. Для команд из четырех игроков уже при k = 4 возможна цикличность, но только в соревнованиях II типа. При k £ 3 цикличность невозможна для команд любого размера. Проблема 1. Доказать, что в соревнованиях команд из трех игроков при количестве различных рейтингов игроков k £ 4 цикличность невозможна. Проблема 2. Доказать, что в соревнованиях II типа команд из четырех игроков при количестве различных рейтингов игроков k £ 4 цикличность невозможна. Проблема 3. Доказать, что при количестве различных рейтингов игроков k £ 3 цикличность невозможна в соревнованиях команд любого размера.

«Волшебные» кубики (игральные кости)

Представьте себе, что у вас есть три кубика. Обычные шестигранные кубики, на каждой грани которых написаны некоторые числа. Вы предлагаете своему партнеру взять любой кубик, который ему больше понравился, а себе выбираете один из двух оставшихся кубиков. Далее вы начинаете играть: каждый бросает свой кубик, и выигрывает тот, на чьем кубике выпадет большее число. Так вот, кубики могут быть такими, что при большом числе бросаний в среднем вы будете в выигрыше, то есть будете чаще выигрывать у партнера. Даже если партнер поменяет кубик, например, возьмет кубик, которым играли вы, то он все равно будет проигрывать, если вы воспользуетесь правом выбрать себе кубик из двух оставшихся. Может ли такое быть? Оказывается, может. Весь секрет в числах, которые расставлены на гранях кубиков. Задача заключается в том, чтобы найти эти числа и расставить их на гранях трех кубиков так, чтобы кубики обладали описанным выше «волшебным» свойством. Интересно, что решением этой задачи может служить частный случай цикличности в командных соревнованиях. Действительно, возьмем три команды по шесть игроков, циклически обыгрывающие соперников в соревнованиях II типа. Это легко сделать, например, «удвоив» игроков в первом примере парадокса 2: A: 5 5 2 2 2 2 B: 4 4 4 4 1 1 C: 3 3 3 3 3 3 Далее возьмем три кубика, используемые в азартных играх, и вместо цифр 1 – 6 нанесем на их грани рейтинги трех команд. Теперь кубики стали «волшебными» – они обладают описанным выше свойством, помогающим их обладателю выигрывать у партнера. Какой бы кубик ни выбрал ваш партнер, среди двух оставшихся всегда имеется один, который дает вам больше шансов выиграть, чем партнеру. Для этого вам нужно выбирать кубик, чья «команда» сильнее «команды» партнера. Действительно, одновременное бросание двух кубиков – это выбор одной из 36 партий соревнования II типа. Если «ваша команда» обыгрывает «команду партнера» со счетом m: n, где m > n, m + n = 36, то из 36 возможных исходов бросания вы выигрываете в m случаях, а партнер – в n случаях. Вероятность вашего выигрыша P = m/36, P > > 1/2. Результаты «командных игр» для наших кубиков следующие: A: B = 20: 16, B: C = C: A = 24: 12.

46

КВАНТ 2009/№1

Таким образом, в наихудшем случае, когда ваш партнер выбирает кубик B, а вы – кубик A, вероятность вашего выигрыша P = 20/36 = 5/9. В остальных случаях эта вероятность будет больше. Проблема 4. Какую наибольшую вероятность выигрыша (в случае использования самой «плохой» пары) может обеспечить владельцу наилучший набор из трех волшебных кубиков? Примечание. Конечно, можно с помощью компьютерной программы перебрать все варианты (так как имеется всего конечное число существенно различных вариантов – смотрите предыдущее примечание). Интересно, однако, определить эту вероятность или хотя бы получить для нее оценки снизу и сверху чисто математически. Задача 4. Сконструируйте тройку «волшебных кубиков» так, чтобы на всех гранях кубиков фигурировали только четыре числа 1, 2, 3, 4 (разумеется, с повторениями). (Выше приведен пример «волшебных кубиков» с числами 1, 2, 3, 4, 5. Четыре числа, согласно утверждению проблемы 3, – это минимальный набор). Задача 5. Сконструируйте тройку «волшебных кубиков» так, чтобы на всех 18 гранях были различные числа.

(на любой доске). Здесь команда является как бы набором игроков, играющих в разные игры, и игроки в командах упорядочиваются по названиям «игр» (вкус, цвет, запах). Это только облегчает построение примеров нетранзитивности. Мы можем сделать следующие выводы: 1. Наличие нетранзитивных троек в таблице «правильных» оценок группы сложных многофакторных объектов вполне закономерно и определяется внутренними свойствами этих объектов. 2. «Степень нелогичности» таблицы оценок таких объектов ни в коей мере не может служить мерилом компетентности эксперта, поскольку она зависит еще и от свойств самих объектов. Судить о компетентности эксперта по «степени нелогичности» таблицы его оценок можно лишь в том случае, если оценивалась группа простых однофакторных объектов, единственная характеристика которых допускает «одномерную» оценку. Задача 6. Постройте нетранзитивную тройку объектов с двумя характеристиками (дайте рейтинги характеристик каждого объекта).

О логичных и нелогичных турнирах

Мы рассмотрели упрощенную модель соревнований. Результат партии между «идеальными» игроками полностью определяется их рейтингами. В турнирной таблице таких игроков не может быть нетранзитивных троек. Реальный мир сложнее и интереснее. Рейтинги реальных игроков влияют лишь на вероятность исхода партии и определяют статистику результатов в достаточно большой серии встреч. И отличие не только в этом. Реальный игрок является сложным «объектом», на игру которого влияют несколько независимых факторов (в шахматах это, например, дебютная подготовка, умение вести позиционную борьбу, умение комбинировать, знание эндшпилей, способность играть в цейтноте и прочее). Поэтому даже статистика партий между двумя отдельными игроками не всегда соответствует их рейтингам, поскольку рейтинг отражает среднюю силу игрока в полной совокупности всех его противников, а из-за особенностей «многофакторных» качеств игрока у него появляются «удобные» и «неудобные» противники. Автор благодарит В.К.Титова, который с помощью волшебных кубиков заинтересовал его тематикой статьи и активно участвовал в ее написании.

В 1997 году в журнале «Квант» (№5) была опубликована статья А.Заславского с таким названием. В статье изучаются некоторые свойства таблиц соревнований, проводящихся по круговой системе, когда каждый участник соревнований встречается со всеми остальными участниками. Вводится величина – степень нелогичности турнира, равная количеству нетранзитивных троек в таблице результатов, и выводятся формулы для вычисления этой величины через результаты участников. В конце статьи указывается, что величина степени нелогичности используется в теории экспертных оценок для определения компетентности экспертов, оценивающих качество каких-либо объектов. Эксперту предлагается оценить группу однотипных объектов путем их полного попарного сравнения. Чем больше степень нелогичности таблицы оценок (т.е., чем больше в таблице нетранзитивных троек), тем менее компетентным признается эксперт. Напрашивается следующая мысль: при такой оценке компетентности эксперта считается, что правильная оценка объектов любого типа должна быть транзитивной, а любая нетранзитивная тройка в таблице – следствие ошибки эксперта. В действительности все не так просто. Предположим, что объекты имеют несколько независимых характеристик (например, вкус, цвет, запах и тому подобное). При сравнении пары объектов лучшим будем считать тот из них, который имеет большее количество лучших характеристик. Таким образом мы сводим сравнение пары объектов к командному соревнованию I типа, где объекты становятся командами, а игроками являются характеристики этих объектов. Мы видели, что в таких соревнованиях транзитивность не соблюдается, и следовательно, такая оценка объектов не является транзитивной. Ситуация не изменится, если считать, что характеристики не равнозначны, и суммировать «победы» с некоторыми весами. В этом случае в нашей модели нужно считать, что в «команде» есть несколько «игроков» каждого типа (равной «силы»), и их количество пропорционально весу соответствующей характеристики. Исследуя соревнования I типа, мы всегда упорядочивали игроков в команде по рейтингу. Здесь это не требуется, и, более того, это невозможно. Ранее предполагалось, что каждый игрок может, в принципе, сыграть на любом месте

Заключение

Вниманию наших читателей!

Поправка

В «Кванте» №6 за 2008 год в статье «Новый прием в школы-интернаты при университетах» во вступительном задании по математике для поступающих в 11 класс в задаче 2 допущена опечатка. Приводим правильное условие задачи.

2. Четырехугольник АВСD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Найдите площадь четырехугольника, если углы BAO и DAC равны, а диагонали АС и ВD равны m и n соответственно.

47

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Отражение от тонких цилиндрических зеркал

А.АНДРЕЕВ, А.ПАНОВ

ВОБЫДЕННОЙ ЖИЗНИ МЫ ЧАЩЕ ВСЕГО ИМЕЕМ ДЕЛО С плоскими зеркалами, в оптических приборах используются сферические и параболические зеркала, а вот с цилиндрическими зеркалами мы сталкиваемся редко. Разве что в аттракционе под названием «комната смеха» или в анаморфоскопах – приборах для рассматривания специально искаженных (анаморфных) изображений (рис.1). В то же время, большое количество предметов вокруг нас имеют именно цилиндрическую форму – это всевозможные цилиндрические емкости, трубы, ветки деревьев, троллейбусные провода и многое другое. Некоторые из них являются хорошими отражателями. Тонкие цилиндрические зеркала. Проще всего исследовать отражение от тонкого цилиндрического зеркала, радиус поперечного сечения которого достаточно мал по сравнению с расстоянием до наблюдателя. Хорошим примером таких зеркал могут служить троллейбусные провода, освещенные автомобильными фарами или уличными фонарями. Рассмотрим простейший случай, когда на тонкое цилиндрическое зеркало падает тонкий пучок параллельных лучей, полностью перекрывающий зеркало по диаметру. Оказывается, что отраженные световые лучи образуют конус, осью которого является зеркало, а одной из образующих – продолжение падающего светового пучка. Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться принципом Ферма. А вот и экспериментальное подтверждение – оно представлено на рисунке 2. Тонким цилиндрическим зеркалом здесь служит обычная иголка, на которую падает лазерный луч.

Рис.1. Использование цилиндрического зеркала в качестве анаморфоскопа

Пересечением конуса отраженных лучей с плоским экраном может быть любое коническое сечение – эллипс, парабола или гипербола, все зависит от расположения экрана. Если же падающий луч перпендикулярен зеркалу, то отраженный конус превращается в плоскость (рис.3).

Опишем несколько простых ситуаций, где используется высказанное нами утверждение. Легко представить себе, что происходит, когда все протяженное тонкое цилиндрическое зеркало освещено пучком параллельных лучей. В этом случае все пространство окажется заполненным одинаковыми конусами, состоящими из отраженных лучей, а цилиндрическое зеркало будет общей осью этих конусов. Если же зеркало освещается точечным источником, то мы тоже получим систему соосных конусов, только они уже не будут одинаковыми. В ближайшей к источнику точке зеркала конус будет представлять собой плоскость, т.е. иметь угол раствора $180^\circ.$ По мере удаления вершины конуса от источника угол раствора конуса будет уменьшаться до $0^\circ.$ Если цилиндрическое зеркало – это отрезок тонкого провода, то провод можно изогнуть, и при отражении от такого изогнутого цилиндрического зеркала мы опять получим систему конусов. Но они уже не будут соосными, а осью каждого отраженного конуса будет служить касательная к зеркалу – прямая, которая вместе с точкой отражения содержит и маленький отрезок провода.

Светящиеся круги из веток. Мокрые оголенные ветки многих пород деревьев являются хорошими отражателями. Если посмотреть через крону такого дерева на уличный фонарь, то можно обнаружить, что отражающие участки веток образуют узор, складывающийся в систему концентри-

Рис.2. Тонкое цилиндрическое зеркало – иголка: слева на экране эллипс, справа – гипербола

Рис.3. Когда падающий луч перпендикулярен зеркалу, отраженные лучи заполняют целую плоскость

48

КВАНТ 2009/№1

Рис.4. Отражающие участки веток формируют узор из концентрических окружностей

Рис.5. Слева – «крона» дерева, справа – отражающие участки «ветвей»

ческих окружностей (рис.4). Одно из объяснений этого факта содержится в известной книге М.Миннарта «Свет и цвет в природе». Мы приведем здесь другое рассуждение, основанное на том, что каждую ветку в отдельности можно считать тонким цилиндрическим зеркалом. Компьютерная модель. Смоделируем крону дерева случайным набором тонких цилиндрических зеркал – отрезков единичной длины, расположенных между точечным источником и наблюдателем. Каждая точка такого отрезка после отражения излучает конус. Мы хотим найти на этом отрезке такую точку, чтобы одна из образующих соответствующего конуса попала в глаз наблюдателя. На самом деле, из-за протяженности источника нужное нам отражение будет происходить не только от этой точки, но и от небольшого участка ветки, содержащего эту точку. На рисунке 5 слева изображена крона, представленная набором случайных единичных отрезков, ось источник-наблюдатель перпендикулярна плоскости рисунка. Справа оставлены небольшие (длиной 1/10) участки отрезков, отражающие лучи в глаз наблюдателя. В целом эти участки действительно складываются в узор, сходный с тем, что изображен на рисунке 4. Отметим еще, что в «кроне» имеются отдельные отрезки, которые не укладываются вдоль концентрических окружностей. Но все они имеют небольшую длину, а это значит, что они почти что параллельны оси источник-наблюдатель. Модель из булавок. Вот если бы все ветки лежали в плоскости, перпендикулярной указанной оси, то их участки, которые отражают в глаз наблюдателя, были бы касательны-

ми к концентрическим окружностям. Это следует из того, что в точке отражения, откуда световой луч приходит к наблюдателю, падающий луч перпендикулярен к ветке и отраженный конус представляет собой плоскость, перпендикулярную ветке. Вот еще одна модель, на этот раз физическая, которая подтверждает этот факт (рис.6). Здесь в качестве отражателей использованы обычные булавки, лежащие на стекле. Царапины на стекле. К слову сказать, и булавки вовсе не обязательны, можно обойтись одним лишь куском стекла – отражать будут имеющиеся на нем царапины (рис.7). Этот пример тоже описан в книге Миннарта, и автор добавляет, что царапины на стекле уже достаточно тонки, чтобы при взаимодействии с ними свет мог проявить свои волновые свойства. Свет дифрагирует на них, и мы видим их окрашенными в цвета спектра. Взгляд сквозь моток проволоки. Наконец, последняя модель. Мы уже говорили, что цилиндрическое зеркало можно изогнуть. Возьмем на этот раз в качестве отражателя целый моток запутанной проволоки и посмотрим через него на источник света (рис.8). Мы видим те же самые кольцевые узоры и убеждаемся, что моток проволоки точно так же успешно моделирует отражающие свойства кроны дерева. Проволока, используемая нами в эксперименте, достаточно тонка – ее диаметр составляет всего 0,2 мм. Поэтому и здесь возникает соответствующая дифракционная картина. Чтобы увидеть ее, нужно аккомодировать глаз (или настроить объектив фотоаппарата) на бесконечность. Мы не будем входить в детали (этот эксперимент подробно обсуждается в

Рис.6. В качестве отражателей здесь использованы булавки

Рис. 7. Светящиеся кольца из царапин на стекле

64

КВАНТ 2009/№1

Рассмотрим теперь отдельный прямоугольник, разбитый на 4 клетки. Пусть длины его сторон x (по горизонтали) и y (по вертикали). Ясно, что у одной из белых клеток длина горизонтальной стороны не меньше x/2. Пусть для определенности эта клетка верхняя левая. Горизонтальную прямую, разделяющую прямоугольник, можно тогда передвигать вниз до тех пор, пока отношение площади левой верхней клетки (белой) к левой нижней (черной) не станет равно 2. При этом условие задачи (о том, что площадь любой белой клетки не больше удвоенной площади любой черной клетки) по-прежнему будет выполнено, а суммарная площадь белых клеток только увеличится (или не изменится). Дальше прямую двигать нельзя (нарушится условие задачи). Аналогично, после этого можно двигать вправо вертикальную прямую (пока площадь верхней левой клетки не станет в 2 раза больше площади верхней правой). Стороны верхней левой клетки будут тогда равны 2x/3 и 2y/3, площадь белых клеток будет равна 4xy/9 + xy/9 = 5xy/9, а площадь черных будет равна xy – 5xy/9 = 4xy/9. Получили, что отношение площади белых клеток к площади черных равно 5/4 и больше быть не может. Осталось привести пример, когда в каждом из 16 прямоугольников нужное отношение равно 5/4. Разделим доску так, чтобы наши 16 прямоугольников были одинаковыми квадратами, в каждом из них левая верхняя клетка была квадратной, причем ее стороны в 2 раза длиннее сторон правой нижней клетки. Ясно, что так разделить доску можно, и получится искомый пример. 2. Не обязательно. Приведем один из примеров, который нетрудно описать. Будем считать, что в пространстве заданы три направления: вверх-вниз, вправо-влево, вперед-назад. Сначала заполним все пространство кубиками обычным образом. Выберем теперь один из кубиков. К нему примыкают такие шесть бесконечных столбиков толщиной в один кубик: два параллельных столбика соответственно слева и справа, направленные вверхвниз, два других – спереди и сзади, направленные влевовправо, и еще два – снизу и сверху, направленные вперед-назад. Сдвинем каждый столбик вдоль его направления на половину длины ребра кубика (первые два сдвинем вверх, следующие два – влево, следующие два – вперед). Все пространство по-прежнему будет заполнено, но выбранный кубик ни с одним другим не будет граничить по целой грани. 3. Всегда может выиграть второй игрок. Разберем два случая. Пусть N > 2 нечетно. Докажем, что второй может каждым своим очередным ходом объединять две наибольшие имеющиеся кучки. Сначала первый обязательно сделает кучку из двух орехов, после чего второй сделает кучку из трех орехов, и ситуация после хода второго будет такая: в наибольшей куче нечетное число орехов, а в каждой из остальных кучек по одному ореху. В такой ситуации у первого есть две возможности. Либо он сделает кучку из двух орехов – и тогда второй присоединит ее к наибольшей куче. Либо он увеличит наибольшую кучку на один орех – тогда в ней будет четное число орехов, и так как N нечетно, то останется еще хотя бы одна кучка из одного ореха, и второй сможет присоединить один орех к наибольшей кучке. В итоге снова получается описанная ситуация. Мы видим, что у второго всегда есть ход. Кучи со временем кончатся, и первый проиграет. Пусть N > 2 четно. Заметим, что после хода любого игрока число куч уменьшается на одну. Следовательно, перед ходом второго игрока число куч всегда нечетно. Пусть второй действует так же, как и в

случае нечетного N, до тех пор, пока перед его ходом не останутся три кучи. Если в двух «маленьких» кучах по одному ореху, он просто объединяет «маленькие» кучи и оставляет первому две кучи с четным числом орехов – и тот проиграл; если в «маленьких» кучах один и два ореха, то добавляет один орех в наибольшую кучу (и снова первый проиграл). 4. Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как четырехугольник $A_{1}$ BCD вписан в окружность, имеем BO Ч $OD = A_{1} O$ Ч OC (из подобия треугольников $BOA_{1}$ и COD). Аналогично, BO Ч OD = AO Ч $OC_{1}, AO$ Ч OC = = BO Ч $OD_{1}$ и AO Ч $OC = B_{1} O$ Ч OD. Из первых двух равенств получаем, что $OC AO = OC_{1} A_{1} O$, из двух других получаем, что $BO OD = B_{1} O OD_{1}$. Заметим, что условие параллельности сторон BC и AD трапеции ABCD можно записать в виде BO/OD = OC/AO (из подобия треугольников BOC и DOA). Но тогда (из предыдущего) $BO_{1} OD_{1} = OC_{1} A_{1} O$, т.е. стороны $B_{1} C_{1}$ и $A_{1} D_{1}$ параллельны. Аналогично проверяем, что непараллельность сторон AB и CD влечет непараллельность сторон $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$. Значит, $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ – трапеция, что и требовалось доказать. 7. См. решение задачи М2123 «Задачника «Кванта» в одном из следующих номеров журнала.

©

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

C.А.Дориченко, А.А.Егоров, С.П.Коновалов, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИ

Д.Н.Гришукова, В.В.Иванюк, А.Е.Пацхверия, М.В.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

Е.А.Митченко, Л.В.Калиничева

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФ по печати. Рег. св-во №0110473

Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» Тел.: 930-56-48 Е-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Сайт: kvant.info

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени «Чеховский полиграфический комбинат» 142300 г.Чехов Московской области, Сайт: www.chpk.ru E-mail: [email protected] Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00 Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59