Квант 2009, №3 · Страницы

1

МАЙ

ИЮНЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2009

©

Ю№3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

2 8 15

Рассказы о современной механике. Г.Чёрный Теорема Хелли и вокруг нее. В.Протасов Плазма и… немного биологии. А.Минеев

18

НАШИ ИНТЕРВЬЮ Интервью с А.Б.Сосинским

25 26

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2131–М2138, Ф2138–Ф2144 Решения задач М2111–М2115, Ф2123–Ф2129

32

Потоки

С.С.Кротов

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

К М Ш

34 35

Задачи Стабильные браки. В.Уфнаровский

37 39 41

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Гравитационное «отталкивание». В.Воронов Загадки магнитной стрелки. И.Леенсон «Нулевые» линзы. В.Дроздов

42 44

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК О лемнискате Бернулли. А.Акопян Формула крюков. А.Спивак

48

ЕСТЬ ИДЕЯ?! Упругость, текучесть, трение… А.Стасенко

50

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ Из плоскости – в пространство

51

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Поток магнитной индукции. К.Рыб

54

ОЛИМПИАДЫ XVII Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон»

58

ИНФОРМАЦИЯ Заочное школа СУНЦ НГУ

60

Ответы, указания, решения

I II III IV

Иллюстрация к статье Г.Чёрного Кванты Интернета Шахматная страничка Прогулки с физикой

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Бюро

Квантум

© 2009, РАН, Фонд Осипьяна, «Квант»

НА ОБЛОЖКЕ

В издании журнала «Квант» финансовое участие принимает ОАО «ТЕХСНАБЭКСПОРТ»

3

РАССКАЗЫ

О

СОВРЕМЕННОЙ

мосты весьма ненадежны при сильном ветре. Одной из крупнейших в истории мостостроения катастроф стало обрушение моста через реку Такома (США) 7 ноября 1940 года. Строительство этого моста (рис.1) было закончено летом 1940 года. Пролет – третий в мире по длине – имел длину 854 м. Большого движения не ожидалось, и мост был построен очень узким – шириной 11,9 м. Проезжая часть была рассчитана на 2 ряда автомобилей. Полотно дороги было подвешено на двух стальных канатах со стрелой провеса 70,7 м. Сразу после постройки была обнаружена большая чувствительность моста к действию ветра – амплитуды (размахи) колебаний моста достигали 1,5 м. Было сделано несколько попыток устранить эти большие колебания путем введения дополнительных связей и установки гидравлических демпферов (амортизаторов) на пилонах – так называются столбы, поддерживающие основные (несущие) тросы в висячих мостах. Но это не предотвратило катастрофы. Начиная с 8 часов утра 7 ноября наблюдались не очень сильные вертикальные многоузловые (в форме нескольких волн) изгибные колебания с частотой 0,8 Гц. Примечательно, что ветер имел не очень большую скорость – около 17 м/с, тогда как до этого были случаи, когда мост выдерживал более сильный ветер. Около 10 часов утра скорость ветра несколько возросла (до 18,7 м/с), и установились одноузловые (в форме одной волны) изгибно-крутильные колебания со значительно меньшей частотой (0,2 Гц) и весьма большими амплитудами. Когда закрутка достигала максимума, проезжая часть наклонялась к горизонту под углом 45 градусов. Резкое изменение частоты колебаний произошло, по-видимому, вследствие обрыва каких-то важных связей в конструкции. Мост выдерживал эти колебания около часа, после чего большой участок проезжей части полотна отломился и упал в воду. Весь процесс был заснят на кинопленку, что явилось ценным материалом для исследования причин обрушения. Катастрофа привлекла огромное внимание исследований. Уже через две недели после свершившегося известный механик Т.фон Карман дал объяснение причин катастрофы и даже указал скорость ветра, при которой это может случиться. Разрушение произошло при скорости ветра порядка 18–19 м/с, а Карман расчетом получил 22,2 м/с. Так что даже это можно назвать успехом механики. Какие выводы отсюда сделали механики? Сейчас через реку Такома построен другой мост. Его ширина увеличена более чем в 1,5 раза и составляет 18 м, изменено также сечение проезжей части. Кроме того, сплошные балки заменены сквозными фермами, что значительно уменьшает силу давления ветра. Современные висячие мосты – это легкие конструкции, подвешенные на стальных канатах, называемых вантами. Они выдерживают большие ветры и прочие нагрузки и нормально функционирует уже много лет. Известно, что таких катастроф, какая была с Такомским мостом, здесь произойти не может. Механики сумели понять, что может произойти и как это предотвратить.

МЕХАНИКЕ

Рис.1. Мост через реку Такома (США)

По прогнозам специалистов, XXI век – это век жестоких техногенных катастроф, стихийных и экологических бедствий. Все чаще приходится слышать сообщения о падении ракет, самолетов, о взрывах на экологически опасных промышленных объектах, об обрушениях зданий. Среди прочих причин трагедий называются ошибки проектирования, связанные с недостаточным знанием законов механики, с использованием неверных математических моделей. Яркий пример – обрушение в Московском аквапарке. В первоначальных заключениях следственных комиссий обнаруживались и следы терроризма, и плохое качество цемента, и нехватка поддерживающих крышу колонн. И только после обрушения второго здания, спроектированного тем же авторским коллективом (здания Басманного рынка), причины трагедии стали очевидными для всех. Последнюю черту под расследованиями подвело телезаявление руководителя проектов Н.Канчелли, в котором, в частности, говорилось, что во всем виновата компьютерная программа, с помощью которой выполнялись расчеты прочности. Вообще, надо заметить, что достижения механики в строительстве не всегда освещаются в средствах массовой информации. Например, немногие знают, что самый большой в мире мост Мийо во Франции имеет 7 опор высотой 343 м, длину 2460 м, массу 400000 т (из них 350000 т бетона и 40000 т стали), а в его строительстве стоимостью 500 миллионов долларов участвовали 7 европейских стран. Или, что еще одним примером успешного научного и инженерного решения проблемы взаимодействии конструкций с ветровыми нагрузками является Останкинская телебашня.

Шагающие роботы

Одной из важных разновидностей роботов являются шагающие роботы, предназначенные для перемещения по труднопроходимой местности. В отличие от колесных и гусеничных машин, шагающий аппарат при движении использует для опоры лишь некоторые участки поверхности. Поэтому он существенно меньше повреждает почвенный покров, что может оказаться

4

КВАНТ 2009/№3

важным для экологии некоторых районов (например, тундры). Однако указанные преимущества шагающего аппарата определяют его высокую сложность и большое энергопотребление. Аппарат имеет большое число управляемых степеней свободы, т.е. количество углов, определяющих положения звеньев всех ног. А это приводит к сложным конструкциям, использованию высокоэффективных приводов, специальному строению стоп, рассеивающих энергию удара, и т.д. Система управления должна обеспечить обработку информации о местности, принятие решений о характере движения, контроль за их выполнением. Именно создание системы управления аппаратом – центральная проблема шагающего робота. Существующие виды приводов по своим качествам все еще уступают двигательным аппаратам животных и человека. Для одного из первых в мире шагающих аппаратов, созданных в Институте механики МГУ в 70-е годы прошлого столетия, была выбрана схема «шестиножки» (рис.2). В качестве биологического аналога робота

Рис.2. Робот-шестиножка «МаШа» с расположенным на штативе «глазом» (системой технического зрения)

использовался рыжий таракан (пруссак). Ноги таракана – это универсальный биологический объект изучения для создания шагающей машины. Бег таракана можно проследить с помощью кинокамеры. Для этого таракана помещают в стеклянную пробирку и, закрепив ее, снимают бегающего таракана кинокамерой. Основным типом походки таракана является походка 3–3 (трешками). Он идет так, что всегда опирается на три ноги, образующие опорный треугольник, внутри которого располагается центр тяжести его тела. Это существенно облегчает проблему устойчивости, так как опор аппарата на три ноги оказывается устойчивым. Каждая конечность робота имеет три степени свободы и приводится в движение с помощью трех двигателей с редукторами. На конечностях установлены позиционные датчики, измеряющие углы поворота звеньев ноги друг относительно друга. Система управления двигателями шагающего аппарата построена по иерархическому принципу. Она создает управляющие сигна-

лы, обеспечивающие движение аппарата с автоматической приспосабливаемостью к малым неровностям поверхности по командам оператора (или верхнего уровня), задающего основные характеристики ходьбы и движения корпуса аппарата (например, ходьба вперед, назад, вбок, разворот на месте и т.п.). После появления «шестиножки» в Институте механики МГУ, которая получила имя «МаШа» (МАшина ШАгающая), началось своего рода соревнование между США и СССР, что было нормально для того времени. В ответ на «МаШу» американцы предложили свою версию шестиногого робота. Позже стали появляться и другие шестиногие роботы, например построенные в Германии. «МаШа» содержала много пионерских научных решений, опередивших свое время, и дала начало созданию умных роботов с иерархической системой управления. Она может действовать самостоятельно, выбирая себе путь по пересеченной местности. Оказалось, что без информации о силах и моментах сил, возникающих между ногами и подстилающей поверхностью, организовать «гладкое» управление ходьбой практически невозможно. С этой целью была разработана система так называемых тактильных датчиков, которые снимают информацию о возникающих силах и посылают ее в систему управления робота. Только благодаря этому можно организовать плавное, а не толчками, движение робота. Американцы официально объявили, что к 2050 году в их действующих войсках не будет людей. В 2005 году в США был создан четырехногий робот «БигДог» (Большая собака) (рис.3). Этот робот может ходить, бегать и прыгать, преодолевать пересеченную местность, он прекрасно перемещается и по снегу, и по камням, и по грязи. За счет хорошо организованной системы управления он очень устойчив: если его толкнуть, то он, подобно человеку или животному, переставит ноги и не упадет. Энергию роботу дает бензиновый мотор, приводящий в действие гидравлическую систему. Ноги робота в точности скопированы с конечностей животных. В их конструкцию включены амортизато-

Рис.3. Навьюченный четырехногий робот «БигДог»

15

Плазма и… немного биологии

А.МИНЕЕВ

КАЗАЛОСЬ БЫ, ЧТО ОБЩЕГО МЕЖДУ ФИЗИ- кой плазмы (а именно с ней связала профессиональная деятельность автора статьи – прим. ред.) и биологией? Однако, если присмотреться повнимательнее, поражает множество сходных в обеих науках идей и возникающих аналогий.

Плазма

Слово «плазма» часто встречается в нашей жизни. Плазменные панели телевизоров и осветительные приборы – в быту, разряды молнии и полярные сияния – в природе. Излучение Солнца, обеспечивающее нам жизнь, также обязано реакциям, происходящим в плазме. Если взглянуть немного шире, за пределы Земли, то в состоянии плазмы находится более 90% вещества во Вселенной. Там это естественное состояние. Любое вещество переходит в состояние плазмы, если его нагреть до ионизованного состояния, когда атомы распадаются на составляющие – электроны и ионы. Температура, при которой это происходит, может составлять тысячи градусов – тогда речь идет о низкотемпературной плазме или многие миллионы градусов – в случае высокотемпературной плазмы. Так, характерная температура в центре звезд (типа Солнца) – десятки миллионов градусов, при этом происходит интенсивное протекание реакций синтеза легких ядер. А вот несколько терминов из биологии, близких плазме по написанию: g плазма крови (желтоватая полупрозрачная составляющая крови, без эритроцитов, лейкоцитов и тромбоцитов), g протоплазма (жидкое содержимое живой клетки), g плазматическая мембрана (клеточная мембрана, окружающая протоплазму), g плазмодии (это, простите, паразиты, обитающие в эритроцитах млекопитающих). Как можно видеть, смысл биологических «плазменных» словообразований совсем другой. К тому же и диапазоны температур существования биологических объектов и плазмы совершенно различны. Однако рассмотрим поподробнее ряд более общих аналогий между биологией и физикой плазмы.

Похожие зависимости

При нагревании твердого тела оно претерпевает ряд фазовых переходов: твердое тело ® жидкость ® газ ® плазма, что качественно изображено на рисунке 1.

Рис.1. Характерная зависимость температуры вещества от подводимой энергии (количества теплоты)

Из рисунка следует, что в ходе фазового перехода температура тела остается постоянной (вся подводимая энергия тратится на перевод вещества в новое фазовое состояние), а между фазовыми переходами сохраняется монотонная зависимость температуры от подводимой энергии. Приведем пример подобной зависимости из физики плазмы. Как известно, материальными стенками (из обычного вещества) длительно удерживать плазму невозможно. За пределами Земли (в звездах) плазма удерживается силами гравитации, а на Земле уменьшить уход энергии горячей плазмы на стенки можно только при использовании магнитного поля. Наибольшие успехи в нагреве и удержании горячей плазмы достигнуты на тороидальных магнитных установках типа ТОКАМАК, идея которых была предложена в начале 1950-х годов И.Е.Таммом и А.Д.Сахаровым. (Более подробно об особенностях таких систем можно прочитать в книге Г.С.Воронова «Штурм термоядерной крепости» – М.: Наука, серия «Библиотечка «Квант», выпуск 37.) В нашей стране были построены и первые токамаки, после впечатляющих результатов на которых установки такого типа стали строить во всем мире. А недавно, в 2006 году, принято решение о сооружении первого международного экспериментального реактора типа токамака – ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) с участием России, Европы, США, Китая, Индии и Южной Кореи. Казалось бы, с момента появления идеи токамаков прошло уже около 60 лет, а исследования по удержанию и нагреву горячей плазмы продвигаются очень медленно. Однако это впечатление обманчиво. На рисунке 2 приведена эволюция так называемого интегрального параметра токамаков $n \tau_{E} T$ (здесь n и Т – концентрация и температура плазмы, в единицах

18

КВАНТ 2009/№3

единицах $10^{20} м^{-} 3$. Как правило, дебаевский радиус довольно мал (так, для плазмы реактора ITER с Т = = 10 кэВ и $n = 10^{20} м^{-} 3$ величина $\lambda_{D}$ составляет около 100 микрон) и существенно меньше размера самой плазменной области.

Ограничения на предельные возможности теплоотвода

В живых организмах, обитающих на Земле, уровень интенсивности циркулирующих тепловых потоков задается Солнцем. От Солнца до поверхности Земли доходит тепловой поток порядка 1 кВт $м^{2}$, из которых поглощается около 300 Вт $м^{2}$. В случае высоких деревьев этот поток тепла запускает главный механизм подъема воды по стволу дерева наверх (при испарении воды через устьица). При этом оказывается, что, хотя площадь, занимаемая устьицами, составляет всего около 1% площади листа, испарение через них происходит примерно с той же скоростью, как и с открытой поверхности. (О природе этого парадокса рассказано в статье А.Минеева «Листья улыбаются» в «Кванте» №4 за 2006 г. – Прим. ред.) Величина удельного теплового потока, отводимого через кожу животных при испарении, в целом того же порядка. Так, для человека в спокойном состоянии она составляет примерно 50 Вт $м^{2}$. При максимальных физических нагрузках, например, рекордсмена-спринтера отношение выделяемой при беге тепловой мощности к площади поверхности тела бегуна может достичь 2 кВт $м^{2}$. Такую величину теплового потока человеческое тело уже не успевает отвести

(через кожу отводится до 1 кВт $м^{2} ),$ и в ходе бега температура тела такого рекордсмена-спринтера должна расти. А каких величин могут достигать тепловые потоки в плазменных устройствах? В энергетическом реакторе плазму нужно догреть до температуры порядка 100 млн градусов с помощью ввода извне определенной мощности нагрева через специальные окна ввода. Достигнутые удельные тепловые потоки составляют при этом $10^{-} 50$ МВт $м^{2}$ (в виде пучков частиц или электромагнитных волн). Основная часть энергии синтеза приходится на нейтроны (например, в реакции $D^{+} + T^{+}$ ® $He^{+} + + n$ нейтрон уносит энергию: 14 МэВ ), для них удельный тепловой поток на окружающие плазму стенки составляет 1 - 3 МВт $м^{2}$. Следует отметить, что параллельно с термоядерной установкой в реакторе ITER будет создаваться специальный стенд для испытания материалов под действием термоядерных нейтронов. Этот стенд представляет собой большой ускоритель, пучок дейтронов из которого попадает на литиевую мишень. В мишени по реакции $D +^{6} Li ®^{8} Be + n$ образуются нейтроны со спектром, близким к термоядерному. Для того чтобы достичь требуемой для испытания материалов нейтронной нагрузки порядка $1^{-} 2$ МВт $м^{2}$, нужно, чтобы поток тепла от атомов дейтерия на литиевую мишень достигал 1000 МВт $м^{2}$! Такие величины удельных тепловых потоков можно отвести только при использовании струи жидкого лития, движущейся по транспортеру специальной конструкции с большой скоростью (: 20 м c ).

НАШИ ИНТЕРВЬЮ

Интервью с А.Б.Сосинским

Алексей Брониславович Сосинский – известный математик, автор научных и научно-популярных книг и статей, среди которых монография (совместная с В.В.Прасоловым) «Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия», научно-популярная книга (переведенная на 6 языков) «Узлы. Хронология одной математической теории». Много лет Алексей Брониславович был редактором отдела математики «Кванта». Он – один из постоянных авторов нашего журнала, выдающийся лектор и преподаватель. На сайте mathnet.ru можно посмотреть его фильм-лекцию «Теорема Гёделя». Советуем вам также познакомиться с докладом «Математика жонглирования», прочитанным Жаном-Кристофом Новелли и Флораном Ивером, в котором А.Б.Сосинский выступил в роли переводчика (см. сайт mccme.ru). Это не случайно: Алексей Брониславович с детства говорит по-французски и по-английски. Многие российские математики учились писать научные статьи на английском языке по книге А.Б.Сосинского «Как написать математическую статью по-английски». Алексей Брониславович – человек интересной судьбы, и мы рады представить нашим читателям его рассказ о себе, о математиках и математике.

– Может быть, вы расскажете сначала о вашей семье, кто ваши родители…

– Совсем коротко о моей родословной. Отец – из безземельных дворян (его отец, мой дед, был очень известным железнодорожным инженером), воевал против большевиков, после окончания гражданской войны эмигрировал и на долгие годы осел в Париже. Там он познакомился с моей мамой, Ариадной Черновой, дочкой Виктора Михайловича Чернова, лидера и главного теоретика партии социалистов-революционеров, председателя Учредительного Собрания до его разгона большевиками. О жизни родителей и о моем детстве рассказывать читателям «Кванта», я думаю, нет смысла. Давайте я начну сразу с того момента, когда я оказался на мехмате МГУ. Я был принят на мехмат в девятнадцатилетнем возрасте сразу на второй курс. До этого я жил и учился за границей. Родился я во Франции, а уже первую университетскую степень получил в Штатах в 1957 году —степень бакалавра Нью-Йоркского университета. Тогда же мне было предложено поступить в аспирантуру Математического института Куранта, но я отказался, понимая, что в тот момент, т.е. в середине 50-х годов, Москва (и в частности, Московский государственный университет) являлась одним из ведущих – если не самым сильным – математическим центром в мире.

– А сейчас это так? – К сожалению, нет. Все знают, что большое количество очень сильных российских математиков уехали за границу. Можно сказать, что почти все звездные российские математики либо

19

НАШИ

постоянно находятся за границей, либо работают за границей и только изредка появляются в России. Кроме того, что касается механико-математического факультета, то его уровень тоже очень упал по сравнению с тем, что было, скажем, в 60-е годы.

– Сейчас многие уезжают, а уж в 50-е годы немало людей в России мечтало о том, как бы уехать на преуспевающий Запад. А вы чуть ли не единственный человек, которого я знаю, кто приехал. Вы не жалеете об этом? Все двигались в одну сторону (по крайней мере мечтали), а вы – в другую? – Я прекрасно понимал, что я еду «не в ту сторону». Но совершенно не жалею о том, что приехал, хотя дальнейшие события разворачивались не так, как я тогда наивно думал. Я тогда предполагал, что скоро уберут Хрущева и вместо него будет либеральный, умный правитель, появится в России «социализм с человеческим лицом», а получилось все ровно наоборот. Но несмотря на это, я никогда не жалел о своем приезде: в то время механико-математический факультет был абсолютно уникальным оазисом, где находились люди самого высокого профессионального уровня, а также самого высокого уровня культуры.

– Вы помните свою школу? Ваши учителя повлияли на ваш выбор профессии? – Я учился во французской средней школе, у меня первые учителя математики были довольно слабые, но как только у нас появилась «алгебра с буковками» вместо арифметики и появилась геометрия, я страшно увлекся. Тогда мне было 13 лет, и я считал, что понимаю гораздо больше, чем мои педагоги. Поэтому повлияла сама математика, а не учитель. Однако уже в выпускных классах французского лицея, у меня был великолепный учитель математики, а перед этим, в другом лицее, в течение полугода был уникальный, оригинальный и сильный преподаватель этого предмета. Безусловно, они очень повлияли на мой окончательный выбор. Потому что то увлечение, которое у меня возникло в 13 лет, могло бы исчезнуть, если бы не эти замечательные учителя.

– Значит, в 12 лет вы были еще, что называется, обычным ребенком, не вундеркиндом? О вас не говорили лет в шесть, что у вас выдающиеся математические способности? – На самом деле я действительно был несколько вундеркиндистый, но настоящий интерес к математике у меня возник лет в 13. Я был на год моложе своих одноклассников, проскочив один класс средней школы.

– Во сколько лет вы пошли в школу? – Видимо, с шести; но в военные годы я находился на оккупированной территории Франции, там школы иногда функционировали, а иногда нет. Я временами ходил в начальные приготовительные классы.

– Значит не было домашнего обучения? – Нет, было домашнее обучение, конечно. Притом очень серьезное. Но мои родители к точным наукам, к арифметике меня не приучали, и обучение было гуманитарным. Где-то начиная с четырехлетнего возраста я уже умел писать по-русски, а по-французски писать научился несколько позже, уже в школе. Мои родители, люди очень образованные, сумели заинтересовать меня русской литературой и поэзией.

– Как они этого добились? Как сделать, чтобы ребенок стал умным? – Ну, я думаю, что тут в большей степени влияет генетика, а не обучение. Когда я был совсем маленький, мы жили очень большой дружной семьей. Это был своебразный матриархат – моя бабушка, ее три дочки, их мужья, если они там присутствовали, потому что во время войны не все они были с нами, и много

ИНТЕРВЬЮ

детей. В нашей семье принято было читать вслух. При этом не было никакого принуждения, никто меня не заставлял слушать, когда читали. Иногда мама специально для меня читала, и мне всегда было это интересно. А интерес к литературе, к культуре, к живописи впитывался сам сабой, через воздух.

– В семье говорили на двух языках? – Нет, в семье говорили только по-русски. А французский язык я освоил, как только я смог выйти во двор, я себя не помню не знающим французского языка. Где-то в дватри года я уже говорил на двух языках.

– А английский уже потом? – Английский позже. Я оказался в Штатах в десятилетнем возрасте и тогда очень быстро освоил английский язык. Родители сразу послали меня в американскую школу, я два года там учился, но новых знаний не получил. Известно, что американская школа – и тогда, и сейчас – находится на катастрофически низком уровне. Но зато я выучил язык и приспособился к американской жизни. После этого родители перевели меня во французский лицей в Нью-Йорке.

– Были ли в то время, когда вы учились, математические олимпиады? – Олимпиады во Франции до сих пор не существует. В Америке, когда я был студентом, уже проводился конкурс Патнама (Putnam contest), и я в нем участвовал. Что касается французской традиции, там есть так называемый Concours General (буквально – генеральный конкурс), который учредил Наполеон. Этот конкурс состоит из решения трудных задач по продвинутым разделам школьной программы, а не из «олимпиадных» задач на сообразительность; впрочем, в нем я как раз не участвовал.

– Когда вы поняли, что будете ученым? – Примерно в 14 лет.

– Уже? И так уверенно? – Да, уверенно. Могу рассказать следующую историю. Когда мне было 14 лет, я размышлял о геометрии и пришел к выводу, что евклидова геометрия противоречива. И что правильная геометрия устроена так, что если линии продолжать, то они в итоге замыкаются.

– Выходит, вы придумали проективную геометрию? – Скорее, сферическую. То, что эта геометрия неориентируема, я не очень четко понимал. И я написал каллиграфическим почерком свое первое математическое сочинение, где я привел некий софизм, «доказывающий» противоречивость евклидовой геометрии. И немножко там объяснял, как устроена «настоящая» геометрия. Ну, например, что сумма углов больше, чем 180 градусов, я понимал. В целом это было совсем глупое сочинение.

– Какой был софизм? – Он был связан с гиперболой. Элемент проективного мыш-

20

КВАНТ 2009/№3

ления. Я считал, что асимптоты естественно должны соединиться. Не в этом был софизм, но я написал какие-то формулы, я уже знал, что гипербола имеет вид «единица, деленная на икс»; из этих формул «следовало», что асимптоты должны замкнуться, и кривая станет овалом. Текст я положил в конверт и запечатал. Тогда под влиянием Сент-Экзюпери я считал, что взрослые все равно не в состоянии понять важное и глубокое. По крайней мере моя учительница не в состоянии понять мои «новаторские» мысли. И я решил, что когда я вырасту, я распечатаю конверт и скажу, что вот когда-то я все это обнаружил. А дальнейшее развитие сюжета такое. Мне подарили замечательную книжку Кагана про Лобачевского на русском языке. Из нее я узнал, как обстоит дело на самом деле, мне стало очень стыдно, я порвал свое первое математическое сочинение и выбросил его. Вот такая у меня была смешная история.

– Информацию вы тогда получали в основном от учителей или из книг? – Только от учителей. У меня никаких математических книг, кроме учебников, не было. Первая математическая книга – это книга Кагана о Лобачевском. До поступления в университет я не прочитал ни одной математической книги, кроме учебников. И Кагана. А широко читать про математику я стал позже, уже будучи студентом Нью-Йоркского университета.

– И что же вы читали? – Во «взрослой» математике меня впервые заинтересовала проективная геометрия. Видимо, это было как-то связано с моими детскими увлечениями. И я прочитал какие-то книжки по проективной геометрии, и у меня даже были собственные изыскания по этому поводу, которые закончились следующим образом. Когда меня рекомендовали в аспирантуру в институт Куранта, меня пригласили на собеседование с Липманом Берсом (известным классиком многомерного комплексного анализа). На собеседовании он спросил, какие курсы я слушал, стал мне задавать разные вопросы по геометрии и по анализу. Я быстро и точно отвечал и явно Берсу понравился. И тогда он спросил, не занимаюсь ли я вообще чем-нибудь вне контекста обязательных курсов. И я, скромно потупившись, сказал, что – да, я немножко интересовался некоторыми вопросами комплексной проективной геометрии – и собирался сказать, чем я занимался. Берс развел руками и сказал: «Как же вы не понимаете, проективная геометрия давно умерла. После работ Веблена там ничего не осталось, там нету нерешенных задач, это мертвая наука, нельзя этим заниматься!» Я очень смутился и больше не занимался проективной геометрией. Насколько я был неправ, я понял, когда, будучи топологом и аспирантом в МГУ, познакомился с Семеном Гиндикиным и Геннадием Хенкиным, которые вслед за Роджером Пенроузом сделали гениальные работы именно по комплексной проективной геометрии, которая мне была указана как мертвая наука.

– Не могли бы вы вкратце объяснить школьникам, что такое топология? – Топологию можно многими способами охарактеризовать. Например, таким образом. В евклидовой геометрии главное – это расстояние между точками. В аффинной геометрии главное – это отношение расстояний между точками. В проективной геометрии главное – это так называемое двойное отношение четырех точек на прямой. В евклидовой геометрии при движениях не меняется расстояние. А в топологии такого простого инварианта, как расстояние, нет. Можно себе представить, что вы изучаете геометрическую фигуру, сделанную из резины. Вы можете ее растягивать, вы можете ее сжимать, вы можете ее деформировать. И топология изучает самые глубокие свойства геометрических фигур, а именно те, которые не меняются при таких деформациях. А какие бывают

инварианты в топологии? Самый простой и известный многим читателям «Кванта» – это эйлерова характеристика. Если вы возьмете бублик, то как вы его ни будете деформировать, в нем будет оставаться дырка. Наличие этой дырки является инвариантом, а этот инвариант (количество дырок называют родом поверхности) можно описать алгебраически. Это и делается в алгебраической топологии, но как именно – в двухтрех фразах не скажешь.

– Бывают ли мертвые науки? – Очень трудно выносить той или иной ветви науки смертный приговор, однако иногда это делается. В моем поколении мы, топологи, вынесли смертный приговор общей, или теоретикомножественной, топологии. Мы дружно все объявили, что это мертвая наука. Но нельзя гарантировать, что она не воскреснет.

– Смертный приговор все еще действует? – Сейчас бывшие общие топологи переключились на более алгебраическое изучение основ топологии, связанных не с конкретными геометрическими объектами, а с очень общими абстрактными пространствами. Классическая абстрактная топология школы Павла Сергеевича Александрова в Москве, расцвет которой пришелся на сороковые годы, сейчас вышла из моды. В мире есть лишь небольшая горстка исследователей, которые продолжают работать в этом направлении. Но я бы был осторожен. Потому что никогда не известно, что в математике может пригодиться. Может вдруг оказаться, что общая топология будет востребована.

– А скажем, теория множеств? – Теория множеств сейчас продолжает быть в центре оснований математики, безусловно. Она играет очень важную роль, как ни странно, в вопросах, связанных с компьютерами, потому что факты из так называемой дескриптивной теории множеств постепенно переработались в замечательные теоремы теории алгоритмов. Так, теорема Гёделя имеет глубокие приложения к компьютерной науке: из нее следует, что ряд задач никакой компьютер не может решить в принципе. Кроме того, ряд конструкций теории множеств, полученных в первой половине XX века, сейчас нашел неожиданное применение в теории динамических систем, в частности, в связи с так называемыми странными аттракторами. Так что вряд ли можно считать теорию множеств мертвой наукой.

– Как вы считаете, должна ли математика иметь приложения? Как соотносятся прикладная и так называемая чистая математика? – По этому поводу мне просто хочется привести точку зрения Андрея Николаевича Колмогорова. Когда я ему задал этот вопрос, он мне сказал следующее. Не бывает ни чистой математики, ни прикладной. Математика бывает хорошая и плохая. Хорошая математика может взяться прямо с кончика пера, из головы математика, который развивает математику ради самой математики, просто из чистого любопытства. Но если то, что он сделает, содержательное, интересное и хорошее, это рано или поздно найдет серьезное приложение. А если это плохая математика, об этом все через поколение забудут. Что же касается тех результатов, которые возникают при решении практической прикладной задачи, то здесь тоже нужно различать сильный результат от рядового. Если, решая какую-то прикладную задачу, математик копнул очень глубоко и придумал принципиально новый метод решения, то из него затем возникнет теория. И это будет такая же значительная математическая теория, как наилучшие абстрактные теории, которые взялись из умозрительных рассуждений математиков. Так что мне кажется, что очень важно не отделять математику прикладную и практическую от так называемой чистой математики. И это, кстати, очень хорошая черта рус-

21

НАШИ

ской математической школы. Все крупнейшие русские математики не вдавались ни в одну, ни в другую крайность. Из работающих сегодня математиков достаточно назвать Владимира Игоревича Арнольда. Работы Арнольда бывают абсолютно чисто математические, как, например, его недавние результаты по теории чисел. С другой стороны, у него есть работы, и очень много, по динамическим системам, по теории бифуркаций, которые нельзя назвать прикладными, они не решают конкретные практические задачи, но их полезность для решения конкретных задач безусловна и очевидна.

– А Ю.И.Манин? – Манин сейчас и последние 20 лет занимается в первую очередь теоретической физикой. Уже этот факт говорит о том, что он перестал быть «чистым» математиком. Но то, что наилучшая часть его творчества, как по «чистой» математике, так и по теорфизике, вероятно, останется, и даже что-то будет иметь вполне конкретные приложения, вполне ожидаемо. Как и то, что что-то другое, наоборот, отомрет, как временное и ненужное.

– А физика вам нравится? – Я всю жизнь очень любил физику, но мне не повезло с учителями. У меня никогда не было хороших учителей физики. Никогда: ни в школе, ни в Нью-Йоркском университете, ни когда я учился на мехмате. Лекции, которые читали мне профессора с физфака, были просто очень плохие. И я изучал теоретическую физику у математиков. Кроме того, теория узлов, которой я занимаюсь много лет, оказалась востребованной именно физиками.

– В.И.Арнольд говорит, что математика – это часть физики. Вы согласны с этим? – Арнольд говорит не только, что математика часть физики, он добавляет, что это та часть физики, где эксперименты стоят очень дешево. Это очень важное добавление. Сам Арнольд, особенно в последние годы, очень любит демонстрировать, что математика – это экспериментальная наука, а математик – это человек, который экспериментирует. Про себя он говорит: я экспериментирую руками, считаю, провожу эксперименты и потом из этих экспериментов делаю выводы. Но можно проводить эксперименты и на компьютере. Деятельность математика как раз и связана с проведением таких недорогостоящих экспериментов. Однако Арнольд своим словам придает более глубокий, я бы сказал, философский смысл. И в этом отношении он себя позиционирует как ученик Андрея Николаевича Колмогорова. Арнольд верит в реальность того, что изучают математики. Он считает, что математика – это в какой-то мере наука про окружающий мир. В 1990 году я брал интервью у Владимира Игоревича (интервью опубликовано в «Кванте» №7 за 1990 году), и задал ему такой вопрос: «Когда вы доказываете теорему, вы ее создаете или вы ее открываете?» Он ответил следующей цитатой из А.К.Толстого:

Тщетно, художник, ты мнишь, что творений своих ты создатель! Вечно носились они над землею, незримые оку… Много в пространстве невидимых форм и неслышимых звуков, Много чудесных в нем есть сочетаний и слова и света.

– Можете ли вы объяснить школьникам, какие бывают практические приложения у современной математики – не математики Ньютона и Эйлера, а той, что была создана в последние десятилетия? Есть ли такие примеры? – Таких примеров много, нетрудно перечислить некоторые из них, однако понятно объяснить школьникам суть дела – совсем не просто. Я назову, не вдаваясь в подробности, три примера, в надежде на то, что «Квант» найдет авторов, которые сумеют доходчиво объяснить основы соответствующих математических

ИНТЕРВЬЮ

теорий и понятно описать, как эти теории работают на практике. Первый пример – алгебраическая геометрия над конечным полем и криптография. Математическую теорию можно описать как геометрию эллиптических кривых в многомерном пространстве, но рассматриваемых не над полем вещественных или комплексных чисел, а над конечными полями. Эта теория позволяет строить то, что по-английски называется «one-way functions» – основу так называемой «шифровки с открытым кодом». Этот способ шифровки используется в обыкновенных банковских картах. Жулик, даже знающий способ шифровки вашей карты, не сможет расшифровать информацию, необходимую для снятия денег. Второй пример – операторные методы (и связанные с ними теория лагранжевых многообразий и индекс Маслова) и предсказания цунами и торнадо. Здесь речь идет о работах Виктора Павловича Маслова и его школы, изначально относящихся к теоретическому исследованию уравнений в частных производных. Эти работы позволили построить достаточно точные модели распространения таких явлений, как циклон, торнадо и цунами. Ученик Маслова Сергей Доброхотов сумел найти, используя теорию, разработанную в последнее десятилетие, очень эффектную и реалистичную модель торнадо. Интересно, что лаборатория Института проблем механики, в которой работает Доброхотов, называется Лабораторией механики природных катастроф. Я бы не взялся объяснить школьникам, даже очень продвинутым, ни теорию, ни математическое описание модели торнадо. Однако можно рассказать, что такое индекс Маслова, благо для этого инварианта Арнольд придумал эквивалентное достаточно наглядное геометрическое определение. Третий пример – бесконтекстные грамматики Хомского и языки программирования. Американский математический лингвист Наум Хомский придумал класс формальных языков, которые он назвал бесконтекстными. Эти языки – формальные математические объекты, основанные на формальных грамматиках, ныне носящих имя Хомского. Именно их использование совершило революцию в программировании – переход от программирования в кодах к языкам высокого уровня. В связи с этим примером стоит отметить, что еще раньше, когда только создавались первые цифровые электронные машины, исходной точкой их архитектуры послужила идея универсальной машины Тьюринга, придуманная английским математиком Аланом Тьюрингом (во время второй мировой войны он работал, кажется, в шпионском ведомстве MI-5).

– Что такое профессия математика? – Все знают, что бывают физики-теоретики. Все знают, что бывают ученые-биологи. Но, как ни странно, большинство людей, даже многие школьные учителя математики, не знают, что существует профессия «математик-исследователь». Многие думают, что математика – это большой корпус знаний, который развивался особенно бурно в семнадцатом-восемнадцатом-девятнадцатом веке, а теперь представляет из себя устоявшийся массив знаний, очень полезный для практики. Однако это совершенно неверная точка зрения, потому что математика, так же как и теоретическая физика, продолжает интенсивно развиваться. И развивают ее люди, которых и называют математиками-исследователями. Как устроена их жизнь? Часть математиков-исследователей работает при университетах, и тогда они преподают. Деньги им платят именно за преподавание. Но они это рассматривают как отнюдь не главную часть своей работы, а главной работой своей они считают доказательство новых теорем, придумывание новых теорий, решение старых, но до сих пор не решенных задач. Кроме того, сейчас в мире имеется несколько институтов, где математикам платят деньги просто затем, чтобы они развивали математику.

22

КВАНТ 2009/№3

Профессия эта тяжелая. Зарплаты сравнительно маленькие, а в России пока ничтожные. Конечно, человек, сильный в математике, будет зарабатывать гораздо больше денег, если он поступит в какую-нибудь крупную финансовую компанию в качестве финансового консультанта.

– Посоветуете ли вы нашим молодым читателям идти в эту профессию? – Я решительно советую им туда не идти. А те, кто захотят, – они все равно пойдут. Не послушают моего совета.

– Вы часто читаете лекции. На одной из них у вас выступал жонглер. – Да, был такой случай лет пять тому назад. В это время я заведовал франко-русской математической лабораторией, и в этой лаборатории по моему приглашению работали два молодых французских математика, специалисты по комбинаторике и по теории представлений. И оказалось, что один из них очень хороший жонглер. Вместе со своим коллегой – они дружили и вместе у нас работали – они изучили теорию жонглирования с точки зрения математики. И прочитали абсолютно изумительную лекцию. Теорию излагал один из них, я переводил на русский язык, а другой демонстрировал те способы жонглирования, которые были изложены теоретически. Там доказывалась некая теорема классификации жонглирования разных типов с разным количеством объектов. Я еще хочу сказать, что очень известный специалист по комбинаторике, крупный американский математик Рон Грэхем, – тоже был очень сильный жонглер. Он мог жонглировать шестью мячами. Это близко к пределу человеческих возможностей. (Интервью с Роном Грэхемом опубликовано в «Кванте» № 4 за 1988 год.)

– Вы работали с А.Н. Колмогоровым в ФМШ. – Да, Андрей Николаевич меня пригласил в ФМШ уже со второго года ее существования, и я там проработал около шести или семи лет очень интенсивно. Сначала я вел упражнения за лекциями Андрея Николаевича, а потом с какого-то момента стал возглавлять очередной поток. Там были двухгодичные и одногодичные потоки, и я с огромным удовольствием работал в интернате в первые годы.

– Расскажите что-нибудь интересное о том времени. – Изначальный подбор людей, преподающих математику, осуществлялся Андреем Николаевичем. И он подбирал только таких математиков, у которых, кроме математических познаний, умения преподавать и интереса к работе со школьниками, был бы какой-нибудь еще один талант. Мы все со своими школьниками своим талантом делились. Был, скажем, такой преподаватель, как Дима Гордеев, который был серьезным художником. Женя Гайдуков прекрасно играл на скрипке. Андрей Николаевич проводил замечательные музыкальные вечера, где он ставил пластинки классической музыки. Был замечательный литератор Николай Иванович Герасимов, который вел настолько интересные занятия по литературе, что я всегда договаривался с диспетчером, чтобы мне устраивали расписание таким образом, чтобы где-то у меня было окно, во время которого я бы мог ходить на его занятия. Основную славу ФМШ в те времена составлял Юлий Ким, знаменитый бард. Он устраивал прекрасные театральные представления, сейчас мы бы сказали – мюзиклы, силами школьников, чрезвычайно удачно. Они были немножечко рисковые. Очень трудно было тогдашнему директору интерната. Директором была замечательная женщина, Раиса Аркадьевна Острая, фронтовик, окончившая ИФЛИ, человек глубокой гуманитарной культуры. И у нее было очень трудное положение, потому что надо было, чтобы все было чинно с точки зрения советской власти, в то время как молодые математики и другие преподаватели

тяготели к либеральным ценностям, не апробированным в те времена коммунистическим начальством. Власти очень внимательно следили за происходящим. Что касается моего собственного преподавания в интернате, оно кончилось тем, что партийное бюро мехмата мне запретило этим заниматься. Та же самая участь постигла нескольких других преподавателей, и примерно лет через десять после открытия интерната по тем или иным причинам почти все преподаватели, которых привел Андрей Николаевич, уже больше там не работали. А позже я ушел и из университета, и с 1975 года работал в «Кванте», вновь по приглашению Колмогорова. Параллельно я занимался переводами.

– Вы написали книгу «Как написать математическую статью по-английски» – Это произошло в самом начале перестройки. Дело в том, что я свободно владею английским языком и много в своей жизни читал математических текстов по-английски. Я понимал, что в начале перестройки, когда открылись границы, наши математики оказались в чрезвычайно невыгодном положении. Практически никто из ведущих математиков международного уровня не мог сделать доклад по математике и тем более написать статью. Очень часто статьи возвращались с рецензиями такого содержания, что, возможно, это очень интересная работа, но она так плохо написана по-английски, что понять там ничего не возможно и нужно, чтобы эту работу отредактировал естественный носитель языка. И я счел, что моя роль состоит в том, чтобы помочь людям, т.е. моим коллегам, русскоязычным математикам, преодолеть этот барьер. И написал эту книжку. Это оказалось очень успешным экспериментом, я до сих пор встречаю людей, которые говорят: «А, Вы тот самый Сосинский, который написал эту книжку!» Люди, которые меня не знают по моим математическим работам, знают меня как автора этой книжки.

– Кстати, почему сейчас гораздо меньше переводится книжек по математике? – На русский язык? Понятно, почему: во-первых, профессиональные математики все сейчас читают по-английски, им все равно, что по-русски, что по-английски. Это раз. Второе. В советское время мы находились в полной изоляции. Никто к нам не приезжал, после того как на мехмат перестали брать абитуриентов еврейской национальности, мировая общественность возмутилась, и в Россию западные математики почти совсем не приезжали. А за границу нас не пускали. Поэтому люди английский язык не знали. Но когда границы открылись, попрежнему осмысленно было переводить книжки, доступные студентам, а монографии уже почти никто не переводит. Хотя некоторые издательства переводят, например издательство МЦНМО. Вообще-то это западные издательства должны переводить наши научно-популярные книжки, мы в этом плане, как в песне поется, шагаем впереди планеты всей…

– На планете правда нет книг, которые надо перевести? – Нет, есть, сколько угодно, и понемножку это делается. Но я замечу, что сейчас имеются замечательные популяризаторы науки в Америке: Сергей Табачников, Дмитрий Фукс, Григорий Гальперин, Александр Сойфер… Там есть и свои, но их меньше.

– Ну, все-таки еще есть Гарднер. – Гарднер – великий человек, спору нет, но его-то почти все книжки переведены.

– Может быть, мы просто замкнуты в своем кругу: знаем того же Фукса, Гальперина и поэтому считаем, что мы лучше всех? – Нет, нет. Сейчас все-таки Россия очень открытая страна, и во всяком случае о том, что касается математики – как науки, так и научно-популярной ее части, – мы в общем неплохо осведомлены. Я бы сказал так: если сравнивать рос-

23

НАШИ

сийских математиков с французскими, то мы значительно больше знаем о том, что делается за границей, чем французы – вне Франции.

– Но почему тогда первое место на международной олимпиаде получает Китай, причем все время? Или это явление имеет совсем другие причины? – Во-первых, не все время, иногда мы тоже. Прошлым летом, например. Но я хочу сказать следующее: результаты на олимпиадах совершенно не коррелируют с уровнем популяризации математики в данной стране. И вообще, с моей точки зрения, международные олимпиады испортились, и очень давно. Произошло это вот почему. Ведущие страны, т.е. те страны, которые занимали традиционно высокие места на международных олимпиадах, выработали чрезвычайно эффективную систему тренировки школьников для выступления в олимпиадах. Олимпиады стали политическим действием. Когда американцы победили на олимпиаде, их пригласили в Белый дом, им пожимал руку президент. То же самое у нас. Это стало очень важным политическим актом. И ведущие страны научились тренировать олимпиадников. Особенно преуспели в этом в Китае. Выбор огромный, китайцы очень трудолюбивы, очень толковы, очень способные к математике. Но при этом руководители этих делегаций – т.е. те, кто отбирают задачи на олимпиаду, – стали действовать, исходя из целесообразности, т.е. отбирать те задачи, по которым они были уверены, что их школьники сумеют их решить. И поэтому сейчас отдается предпочтение технически сложным задачам, которые используют уже известные хитрые математические приемы и про которые руководители знают, что их школьники точно их решат. А когда вдруг появляется простенькая с виду задача, для решения которой требуются новые идеи, они боятся: а вдруг наши не сообразят?

– Комбинаторика – это наука? – Израиль Моисеевич Гельфанд лет 25 тому назад, выступая на своем семинаре, сказал, что математическая наука состоит из следующих частей: анализа, алгебры, геометрии и комбинаторики, и самая главная из этих наук – это комбинаторика, но ее пока еще нет.

– И это остается справедливым? – Нет, комбинаторикой занимается очень много людей в мире, притом ведущие математики. Например, если взять последний конгресс в Мадриде, то две из четырех филдсовских медалей были получены математиками, которые очень сильно опираются на комбинаторику или фактически занимаются комбинаторикой. Это выдающийся американский математик китайского происхождения Теренс Тао и наш Андрей Окуньков. В их работах происходит удивительный симбиоз между комбинаторикой и другими науками. Например, у Тао, может быть, комбинаторика на первом месте, но сам он себя считает специалистом по гармоническому анализу и в сильной степени использует теорию вероятностей для того, чтобы доказывать элементарно формулируемые теоремы из теории чисел! Его основной результат – о существовании сколь угодно длинных арифметических прогрессий, составленных из простых чисел, – понятен любому читателю «Кванта», а в доказательстве используется чрезвычайно разнообразный и сложный арсенал математических понятий и, в частности, в нем почти центральную роль играет комбинаторика. Кстати, вот еще тема для публикации в «Кванте».

– Не могли бы вы что-то пояснить про гипотезу Пуанкаре? – Можно объяснить школьнику, что это такое. Сферы бывают разной размерности. Одномерная сфера – это окружность. Двумерная сфера – это то, что вы и называете сферой. Трехмерная сфера – уже труднее представить себе, что это такое, но можно объяснить с помощью системы координат: она задается

ИНТЕРВЬЮ

2

2

2

2

уравнением x + y + z + u = 1 в четырехмерном пространстве, это трехмерный объект, она как бы толстая, но в четырехмерном пространстве она худая. Гипотеза Пуанкаре связана с характеризацией сферы. Как можно охарактеризовать двумерную сферу? Если мы нарисуем любой замкнутый путь на двумерной сфере, то его можно стянуть непрерывно в точку. Пуанкаре высказал гипотезу, что связное компактное пространство, локально устроенное как трехмерное евклидово пространство, будет трехмерной сферой тогда и только тогда, когда оно обладает тем же свойством – что любая замкнутая кривая стягивается в точку. Эта гипотеза на самом деле не так уж значительна, но она приобрела огромный интерес у математиков, потому что ее пытались доказать многие великие математики и долго никак не могли это сделать. Ситуация, аналогичная ситуации с теоремой Ферма. Теорема Ферма, собственно говоря, является совершенно несущественным мелким утверждением из теории чисел, никакого большого математического значения она не имеет, однако она приобрела огромное историческое значение, потому что куча гениальных людей пытались это доказать, но до английского математика Эндрю Уайлса никто не преуспел. Возвращаясь к гипотезе Пуанкаре, отмечу, что американский математик Уильям Тёрстон придумал некоторую другую гипотезу, которая называется гипотезой геометризации. Заодно Тёрстон доказал, что из гипотезы геометризации следует гипотеза Пуанкаре. А уже гипотеза геометризации имеет огромное концептуальное значение для всей математики. Она утверждает, что некоторая совокупность трехмерных объектов имеет геометрическую структуру. Эти объекты задаются топологически и тем не менее они имеют геометрическую структуру. Именно гипотезу геометризации и доказал Григорий Перельман. Это действительно исключительная работа, гениальная работа, в которой используется анализ, топология, геометрия. Перельман опубликовал последовательно три статьи, но в интернете, а не в журналах. Тексты этих работ были достаточно короткими. Поначалу не нашлось в мире ни одного специалиста, который мог бы проверить все. И некоторые говорили, что там не все доказано, не до конца сделано, но когда стали разбираться, постепенно пришли к выводу, что это не так. Отсутствуют лишь детали. Детали в каждом конкретном месте специалист из данной области может восстановить. А кстати, я знаю, что Гриша Перельман решал задачи из «Задачника «Кванта».

– Значит, Перельман – уникальный математик, знающий самые разные области науки. Таких людей сейчас, наверное, очень мало. – Ну вот Тао и Окуньков тоже такие люди. Кстати, Окуньков не решал задач из «Задачника «Кванта», не участвовал в олимпиадах, Окуньков сначала служил в армии. Это для российской ситуации очень редкое явление. Когда он поступил на мехмат, его однокурсники, закончившие всякие там элитные школы, смотрели на него свысока и фыркали, – этот Окуньков вот, значит, глупый, из армии пришел…

– Правда ли, что математики делятся на два типа: те, которые любят решать конкретные задачи, и те, которые любят разрабатывать теории, или это очень условно? – В какой-то мере это так, т.е. бывают и решатели, и построители теорий, но если посмотреть на крупных математиков, они чаще всего проявляли себя в обеих ипостасях. Более верно будет сказать, что большинство математиков тяготеет к тому или другому, но пример самых крупных математиков показывает, что есть обе стороны. Единственное яркое исключение – это Эрдеш, который ни одной теории не создал и всю жизнь занимался решением задач. В этом плане он, по-моему, стоит особняком.

24

КВАНТ 2009/№3

– Математика как-то все время расширяется, появляются, разные теории, миллионы статей выходят в год. Чем все это кончится? Математики перестанут понимать друг друга окончательно? – Сейчас уже математики друг друга плохо понимают, и почти нет математиков-универсалов, которые были бы в курсе всего. Но удивительным образом, несмотря на огромное расширение, разветвление, количество статей по математике – лучшие, выдающиеся математики нашего времени не являются узкими специалистами. Они одновременно в своих работах используют много разных кусков математики и как бы демонстрируют, что математика – единая наука. Если взять последних четырех филдсовских лауреатов, то Тао и Окуньков абсолютно разносторонние математики, непонятно, к какому разделу математики относятся их работы. Что касается Перельмана, то он решает топологическую задачу, и, казалось бы, он тополог, но основная идея его доказательства идет из теории дифференциальных уравнений. Он использует и анализ, и топологию, и геометрию, и замечательные работы А.Д.Александрова по геометрии. И наконец, Вендолин Вернер – впервые специалист по теории вероятностей получил филдсовскую медаль – но он не узкий специалист, он и комплексный анализ очень сильно использует, и комбинаторику, т.е. его работу нельзя отнести только к теории вероятности.Но конечно, количество статей, которые публикуются по математике, становится чудовищным. Например, меня считают специалистом по теории узлов. Я сейчас не успеваю прочитать и десятую часть тех статей, которые по этой теме выходят. Имеется специализированный журнал, выходящий раз в два месяца, в котором имеется по двадцать статей по теории узлов. А кроме этого, в ведущих журналах по топологии и других математических журналах тоже выходят статьи по теории узлов и ее приложениям, о связи этой теории с физикой. Даже специалисты не успевают следить за тем, что происходит в их собственной области. Это приводит к разным казусам, когда теоремы переоткрываются по многу раз, и, конечно, это создает большие практические трудности. Но тем не менее, как это ни удивительно, математика в своих лучших проявлениях усиленно демонстрирует свое единство.

– Не могли бы вы привести список из нерешенных задач – вроде того, что сделал Гильберт сто с небольшим лет назад? Есть ли сейчас подобный список? – Сейчас существует в Америке благотворительный математический институт, он называется институтом Клея. Его создал миллиардер, который в юности занимался математикой, а потом перешел в бизнес. В конце жизни ему захотелось ностальгически вернуться к своим первым занятиям. Этот институт собрал лучших математиков мира и предложил им отобрать семь основных современных проблем математики. Это и было сделано. За решение каждой из этих проблем институт Клея обещает заплатить миллион долларов. Среди этих проблем гипотеза Пуанкаре, о которой мы только что говорили.

– Но институт Клея почему-то не платит пока этот миллион Перельману. – Дело в том, что заплатить эти деньги сейчас нельзя, потому что по правилам нужно, чтобы прошло два года после публикации, и есть проблема с публикацией, ибо текст, сброшенный в интернет, публикацией не считается. Получается, что у Перельмана вообще нет журнальных публикаций по этой теме.

– А он не хочет печататься? – Он не собирается печатать свою работу в журналах. Перельмана замучили недобросовестные журналисты, которые ради сенсации или по некомпетенции перепутали медаль Филдса с премией Клея, они писали, что Перельман отказался от миллиона долларов. Он не отказывался – никто ему миллиона

долларов не давал. Отказался же Перельман от медали Филдса, и как он себя поведет, если – когда – ему этот миллион предложат, я не знаю.

– Когда я задавал вопрос, я имел в виду несколько другое. Хотелось бы рассказать читателям «Кванта» о нерешенных задачах из списка института Клея. – Среди этих задач большинство нельзя сформулировать для читателей «Кванта», потому что они требуют слишком большой подготовки. Есть, однако, одна, которая, собственно говоря, относится не столько к математике, сколько к теоретической информатике, и формулируется очень коротко: N № NP, и смысл этой формулы можно объяснить читателям «Кванта». Кроме того, в список задач Клея не вошла, пожалуй, самая знаменитая задача из теории чисел – гипотеза Гольдбаха (о том, что любое четное число, большее двух, – сумма двух простых чисел), которую легко объяснить любому школьнику, не только читателям «Кванта».

– А какие еще нерешенные задачи, не обязательно старые, вы бы могли назвать? – Попробую сформулировать еще пару таких задач. Первая – такая: пусть в пространстве имеется механизм, состоящий из стержней, соединенных шарнирами. Например – каркас тетраэдра или куба. Нужно найти необходимые и достаточные условия жесткости такого механизма. (Так, тетраэдр – жесткий, куб – нет, он изгибается в параллелепипед.) Задача эта – очень трудная, и поэтому даже частичные продвижения к ее решению представляют интерес. А вот и вторая: придумать «нормальную форму» для узлов вместе с непрерывным изгибанием, приводящим каждый узел к своей нормальной форме. Здесь тоже частичные решения представляют интерес. Частный случай тривиальных узлов (задача о распутывании) уже весьма труден, возможно, какие-то частные результаты можно получить с помощью так называемой «энергии узлов» (о ней тоже можно было бы написать и для «Кванта»).

– Приведите, пожалуйста, примеры одной-двух красивых элементарных задач, которые вам нравятся. – Пожалуйста, сколько угодно. Во-первых, я назову задачу для первого класса. Задача такая. У Маши на восемь яблок больше, чем у Саши. Маша отдала Саше одно яблоко. На сколько теперь у нее яблок больше? Из любимых задач – имеется река или озеро с прямолинейным берегом, всадник в пункте А. Он должен из пункта А попасть в пункт В и по дороге напоить лошадь. Каким должен быть его кратчайший путь? Еще один пример: из шести спичек сложить граф с шестью ребрами, в котором содержатся четыре треугольника.

– Есть ли у вас любимая квантовская статья? – Моя любимая статья в журнале «Квант», как ни странно, – крохотная. Это статья Володи Дубровского по поводу того, как строить поверхности отрицательной кривизны с помощью некоторого конструктора. Совершенно замечательная статья (см.«Квант» №7 за 1979 г.). Это раз. Очень люблю статью Николая Борисовича Васильева по поводу алгебраических кривых, «Гексаграммы Паскаля и кубические кривые» («Квант» №8 за 1987 г.).

– Как вы относитесь к ЕГЭ? – Резко отрицательно. Конечно, исходная идея – иметь объективную инстанцию для определения уровня выпускников школы – совсем неплохая, но реализована она безобразно. Во-первых, катастрофически плохо, если по математике даются вопросы с множественными ответами. Я думаю, что насколько это глупо и вредно для обучения математике, нет необходимости объяснять читателям «Кванта». Второе, что я бы

(Окончание см. на с. 31)

25

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 сентября 2009 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №3–2009» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2131» или «Ф2138». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2131–М2134, М2136 и М2138 предлагались на весеннем туре XXX Турнира городов. Задачи Ф2138–Ф2141 предлагались на заключительном этапе XLIII Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2131–М2138, Ф2138–Ф2144

Щ

M2131. Пусть a b обозначает число $a^{b}$. В выражении $7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7$ надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок). Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число? А.Толпыго

M2132. На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает четное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит четное число отрезков. И.Богданов, Г.Гальперин

M2133. Замок обнесен круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причем каждый рыцарь движется все время либо по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей. М.Мурашкин

M2134. Три плоскости разрезают параллелепипед на восемь шестигранников, все грани которых – четырехугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не

пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу. В.Произволов

M2135. Натуральное число называется хорошим, если из него можно получить полный квадрат, приписав к его десятичной записи слева некоторое число, оканчивающееся ровно на 2009 нулей. Для каких n существует n-значное хорошее число, которое не является полным квадратом? Н.Агаханов

M2136. Пусть $C_{n}^{k}$ обозначает количество способов выбрать k предметов из n различных предметов (способы, отличающиеся только порядком выбора предметов, считаются одинаковыми). Докажите, что если натуральные числа k и l меньше n, то числа $C_{n}^{k}$ и $C_{n}^{l}$ имеют общий делитель, больший 1. Фольклор

M2137. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, в котором точка H – точка пересечения высот, точки I и O – центры вписанной и описанной окружностей. Известно, что точки A, O, I, H лежат на одной окружности $\omega$. Докажите, что окружность $\omega$ проходит через одну из вершин B и C. П.Кожевников

$M2138^{*}$. В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Дока-

32

В среде, в которой распространяется волна, появляется в направлении ее распространения давящая сила, которая во всякой точке численно равна количеству находящейся там энергии, отнесенной к единице объема. Джеймс Клерк Максвелл

Насколько движение энергии и движение сжимаемого вещества обусловливаются законом их сохранения, настолько мы имеем право уподоблять движение энергии движению подвижного и сжимаемого вещества. Николай Умов

Имеется общий закон переноса энергии, согласно которому энергия в любой точке движется перпендикулярно к плоскости, содержащей линии электрических и магнитных

сил… Направление же потока совпадает с направлением движения правого винта. Джон Генри Пойнтинг

…если магнитный поток, проходящий через петлю, …меняется со временем, то ЭДС равна скорости изменения потока. Мы будем в дальнейшем называть это «правилом потока». Ричард Фейнман

…свойства света лучше всего выявляются в предельных условиях развития явления или его исследования: при изучении предельно слабых световых потоков… Сергей Вавилов

А так ли хорошо знакомы вам

?

потоки

Конечно, если ограничить себя поверхностным пролистыванием школьных учебников, то не сразу и обнаружишь, где там встречается понятие потока. Да, есть поток магнитной индукции, еще есть плотность потока электромагнитной энергии. И все? Разумеется, нет. Понятие потока пронизывает практически все разделы физики, в большинстве случаев скромно оставаясь в тени. Например, при рассмотрении движения жидкостей и газов прежде всего бросается в глаза перенос вещества, но с ним связано, хотя и не столь очевидное, течение импульса и энергии. При протекании электрического тока в первую очередь мы следим за переносом заряда, не всегда догадываясь, за счет чего нагревается проводник. А как распространяется энергия в процессе теплопроводности, как распределяется она в потоках волн различной природы? Продолжив более внимательное путешествие по главам курса физики, мы найдем в нем еще немало любопытных проявлений универсального понятия потока. Кроме того, с ним приходится многократно сталкиваться и далеко за рамками учебников: массои теплоперенос в химических реакторах; потоки вырывающихся из двигателей реактивных струй; перекачка по трубопроводам нефти и газа; потоки заряженных частиц, искусственно созданных в ускорителях или летящих к нам из космоса; потоки света от Солнца, звезд и осветительных приборов; океанические течения и циркуляция атмосфер Земли и других планет… Однако, довольно примеров. Пора понятию потока выйти на авансцену нашего «Калейдоскопа» – мы рассчитываем, что вам будет интересно не только распознать участие понятия потока в разнообразных проблемных ситуациях, но и разрешить их с его помощью.

Вопросы и задачи 1. В сквозных проемах под высокими зданиями, в арках и подворотнях скорость ветра порой достигает такой величины, что его напор может сбить человека с ног. Чем это вызвано? 2. Если через горизонтальную трубку продувать воздух, как показано на рисунке, то при некоторой его скорости в правой вертикальной трубке начнет подниматься вода, а из левой будут выходить пузырьки воздуха. Почему? 3. Если два корабля идут параллельными курсами на близком расстоянии друг от друга, то они начинают сближаться. Как это объяснить? 4. Идеальная, т.е. несжимаемая и лишенная вязкости, жидкость обтекает шар. Покажите, что сила, с которой жидкость действует на шар, равна нулю. 5. Почему тонкая медная проволока плавится в пламени свечи, а толстый медный стержень даже не нагревается до красного каления? 6. Будет ли кипеть вода в маленькой кастрюле, которая плавает в большой кастрюле с кипящей водой? А если воду в большой кастрюле предварительно прокипятить? 7. Какие термосы выгоднее при одной и той же высоте и вместимости: круглого или квадратного сечения? 8. Вода в сосуде нагревается на электрической плитке постоянной мощности. Что требует большего времени: нагревание от 10 до 20 °С или от 80 до 90 °С? 9. В раствор медного купороса опущены два угольных стержня, на одном из которых в процессе электролиза осаждается медь. Почему наиболее толстый слой меди получается на той части его поверхности, которая обращена к другому стержню? 10. Будет ли в рамке ABCD возникать индукционный ток, если рамку: а) вращать относительно неподвижного проводника с током OO ¢, как показано на рисунке; б) вращать вокруг стороны АВ; в) вращать вокруг стороны ВС; г) двигать поступательно в вертикальном направлении; д) двигать поступательно в горизонтальном направлении? 11. Вращающийся медный диск связан с неподвижным проводником ABCD при помощи скользящих контактов А и D, как изображено на рисунке. Диск и

33

проводник находятся в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости чертежа. Изменяется ли при вращении диска магнитный поток через контур ABCDA? Течет ли по проводнику ABCD ток? 12. В накоротко замкнутую катушку вдвигают магнит: один раз быстро, а другой – медленно. В каком случае в катушке выделяется больше тепла? А в каком случае через катушку проходит больший заряд? 13. Сверхпроводящее кольцо с током перекручивают, превращая его в «восьмерку» из двух одинаковых колец. Затем «восьмерку» складывают так, что получается одно двойное кольцо. Как изменится индукция магнитного поля в центре кольца по сравнению с первоначальной? 14. Во сколько раз над увеличить частоту колебаний электромагнитной волны, чтобы при удалении от источника на расстояние, вдвое большее первоначального, интенсивность волны не изменилась? 15. Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в 2 раза требует увеличения мощности передатчика в 4 раза, а увеличение дальности радиолокации в 2 раза требует увеличения мощности передатчика в 16 раз? Поглощением энергии средой пренебречь. 16. На круглое отверстие в непрозрачном экране падает параллельный пучок электромагнитного излучения. Почему при увеличении радиуса отверстия в некоторой точке на оси отверстия может наблюдаться уменьшение интенсивности излучения, хотя его поток через отверстие при этом возрастает? 17. М.В.Ломоносов утверждал, что телескоп не только увеличивает видимые размеры далеких предметов, но и усиливает воспринимаемое глазом количество света, испускаемого источником. Как это можно объяснить? 18. Как следует разместить электрическую лампу, вогнутое зеркало и собирающую линзу, чтобы получить наиболее интенсивный световой поток?

Микроопыт

Наполните горячей водой ванну и стакан. Проследите с помощью термометра и часов, где вода охладится быстрее. Объясните ваше наблюдение.

– насущная задача, поскольку срыв потока может сопровождаться резким снижением подъемной силы крыла, увеличением его сопротивления, что порой приводит к катастрофическим последствиям. …в своих исследованиях по электричеству Ом вдохновлялся работой Фурье «Аналитическая теория тепла». Ому пришла мысль, что механизм теплового потока, о котором шла речь в этом труде, можно уподобить току в проводнике, и в одной из формулировок своего закона он ввел понятие плотности тока, иначе говоря, плотности потока электрического заряда. …защита в 1874 году докторской диссертации российским ученым Умовым сопровождалась шестичасовым диспутом. Критику оппонентов вызвали предложенные Умовым новые понятия скорости и направления движения энергии, потока энергии и ее плотности в данной точке среды. Через 10 лет английский физик Пойнтинг ввел вектор плотности потока электромагнитной энергии. Сегодня этот вектор известен как вектор Умова–Пойнтинга. …интенсивность видимого излучения стоваттной лампочки на расстоянии 3 м равна примерно 2 Ч $10^{-} 6$ Вт $см^{2}$. Для сравнения, среднее значение так называемой солнечной постоянной – интенсивности потока солнечного света вблизи земной поверхности – немногим выше 0, 1 Вт $см^{2}$, а при фокусировке луча от непрерывно генерирующего лазера можно достичь интенсивности $10^{10}$ Вт $см^{2}$. Используемые в экспериментах по термоядерному синтезу титан-сапфировые лазеры способны производить ультракороткие импульсы с интенсивностью до $10^{18}$ Вт $см^{2}$. …минимальная интенсивность звукового потока, которую может еще почувствовать ухо человека, составляет около $10^{-16}$ Вт $см^{2}$ при частоте звука 3 кГц. Порог чувствительности глаза примерно такой же – глаз способен реагировать на потоки световой энергии порядка 3 Ч $10^{-} 17$ Вт $см^{2}$. А современные радиоприемники могут «услышать» станцию, интенсивность волн которой в месте приема достигает лишь $10^{-18}$ Вт $см^{2}$. …«звездные величины» и «блеск» – характеристики небесных объектов, используемые в астрономии, – представляют собой ни что иное как разновидности определения энергии потоков излучения, т.е. их интенсивности. Возникли они еще до появления понятий «световой поток» и «освещенность».

Что читать в «Кванте» о потоках

Любопытно, что…

(публикации последних лет)

…Даниил Бернулли, которому впервые удалось описать движение идеальной жидкости, черпал разнообразие гидродинамических задач в том числе и в физиологии. В молодости, изучая медицину, он интересовался вопросами определения скорости потоков крови в сосудах и влияния величины кровяного давления на характер этого движения. …сущность так называемого парадокса Д’Аламбера – Эйлера заключена в том, что поток лишенного внутреннего трения газа (идеальной «жидкости») действует на тело любой формы с силами, сумма которых равна нулю. В воздухе, утратившем вязкость, не смогли бы взлететь ни самолет, ни вертолет, поскольку подъемная сила крыла и сила тяги воздушного винта оказались бы нулевыми. …одно из фундаментальных явлений механики жидкости и газа – это отрыв потока, когда среда вблизи обтекаемых тел, например крыльев летательных и плавательных аппаратов, перестает двигаться вдоль их поверхности и отходит от нее. Научиться управлять этим явлением

1. «Откуда течет энергия: открытие за открытием» – 2003, №5, с.31; 2. «Калейдоскоп «Кванта» – 2004, №3, с.32; 2005, №5, с.32; 2007, №5, с.32; 2008, №1, с.32; №3, с.32; №5, с.32; 3. «Магнитный поток сверхпроводника» – 2004, Приложение №4, с.38; 4. «Как в землю казан закопали» – 2004, Приложение №4, с.72; 5. «Этот ужасный космический холод» – 2005, Приложение №6, с.180; 6. «Закон электромагнитной индукции» – 2006, №5, с.36; 7. «Радиоволны переносят энергию и импульс» – 2007, Приложение №1, с.22; 8. «Магнитная сила и закон электромагнитной индукции» – 2008, №5, с.38; 9. «Лазер – новый источник света» – 2009, Приложение №2; 10. «Поток магнитной индукции» – 2009, №3, с.51.

Материал подготовил А.Леонович

34

КМШ

КВАНТ 2009/№3

Задачи

Вдоль дороги длиной 60 км стоят несколько пеньков (больше одного). Первый турист идет по дороге со скоростью 5 км/ч и возле каждого пенька отдыхает одно и то же целое число часов. Второй турист едет на велосипеде со скоростью 12 км/ч и на каждом пеньке отдыхает в два раза дольше первого туриста. Вышли и пришли туристы одновременно. Сколько пеньков у дороги? О.Иванова, К.Кохась

В деревне живут 250 хоббитов. Каждый хоббит живет в отдельном домике. По вечерам они ходят друг к другу в гости. За один вечер каждый хоббит, если он идет в гости, посещает всех, кого можно застать дома, причем у себя дома в этот вечер уже не появляется. За какое наименьшее число вечеров может случиться так, что среди любых двух жителей деревни хотя бы один побывал в гостях у другого? А.Эвнин

Опустив в кружку с водой чайный пакетик, приподнимите его за ниточку над кружкой – пакетик начнет вращаться. Почему это происходит? А.Ковальджи

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы равны. Известно, что AB = 2, CD = 5, DE = 7, EF = 1. Найдите BC и AF. Фольклор

Иллюстрации Д.Гришуковой

Есть 1 золотая, 3 серебряных и 5 бронзовых медалей. Известно, что одна из них фальшивая: легче настоящей. Настоящие медали из одного металла весят одинаково (а из разных – не одинаково). Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую медаль? А.Шаповалов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

35

К

М

Ш

Стабильные браки

В.УФНАРОВСКИЙ

–С

ЕГОДНЯ СТАРТОВАЛ НАШ ДОЛГИЙ КОСМИЧЕС- кий полет, – так начал свою речь капитан первого межзвездного корабля «Земля – Андромеда». – Нас здесь, как вы знаете, 50 мужчин и 50 женщин, а лететь нам 50 лет. Так что всем следует завести семьи. Каждый из вас не женат и должен вступить в брак здесь: таково было условие приема в экспедиционный корпус. – Мы помним, и многие из нас будут рады жениться уже сегодня. Мы знаем друг друга не меньше года. – Хорошо. Но я думаю, что жениться должны все, причем так, чтобы на этом корабле не было никаких супружеских измен. Все рассмеялись от души. – Капитан, вы идеалист, – сказал кто-то. – Я вполне реалистичен, – улыбнулся капитан. – Это невозможно на Земле, но мы вполне можем осуществить это здесь. – Как это? – все продолжали смеяться. – Могу я спросить, – капитан был несгибаем, – почему это женатый мужчина А изменяет своей жене с замужней леди О? – Что же здесь непонятного, капитан? Потому что они нравятся друг другу больше, чем их собственные супруги. – И А запросто находит красотку О, которая предпочтет его собственному мужу? – Проще некуда! – некоторые уже просто покатывались от хохота. – Но это на Земле! – Капитан строго осмотрел на команду, и смех сам собой пропал. – А я намерен женить нас так, чтобы никакому мужчине А не удалось найти такую женщину О, которая бы нравилась ему больше собственной жены и которая предпочла бы его собственному супругу. – Вы имеете в виду, капитан, что каждой такой женщине, которая нравится А больше, чем его половина, сам А не нравится? По крайней мере не больше собственного мужа. – Именно. И наоборот, А предпочитает свою жену всем тем, которые с радостью сменили бы своих партнеров на него. – Хорошая идея, капитан! Если вам это удастся, вы решите вековую проблему стабильности в браке. Но нам все равно кажется, что это невозможно. – Но могу я попробовать? – спросил капитан вкрадчиво. – Отчего же нет, это будет забавно! – Прекрасно! Тогда начнем немедленно. Сегодня каждый мужчина должен выбрать ту женщину, которая ему нравится больше всех, и написать ей письмо: попросить ее руки. – Но тогда все выберут Диану. – Диана Браун была

признанной красавицей. Многие были влюблены в нее, но мало кто надеялся стать ее мужем. – Во-первых, не все. Например, не я. Кроме того, это не играет никакой роли. Вы должны посвататься, даже если у вас нет никакого шанса. Выберите ту женщину, о которой мечтаете. Однако это – только начало. Мы продолжим завтра. А сейчас вы должны написать свое первое письмо. И не думайте о возможном отказе. Только выберите самую желанную женщину. И помните: это – приказ. Каждый должен выбрать и посвататься! Не много мужчин смогли уснуть в эту ночь. Выбрать женщину своей мечты. Не так-то это просто! К тому же она может и отказать. Пожалуй, хорошо, что это был приказ, многие иначе и не осмелились бы посвататься. И многие выбрали Диану. Капитану тоже не спалось. Мэри, в которую он тайно был влюблен, давно уже предпочитала другого. – Но я должен написать Мэри, – тяжело вздохнул капитан и начал свое письмо. На следующее утро после завтрака все собрались в зале. Многие женщины были тихи и печальны. – Вижу, далеко не все получили письма, – заметил капитан. Несколько вздохов были ему ответом. – А ктото получил больше одного письма. – Некоторые женщины радостно кивнули. Краем глаза он увидел, что и Мэри кивнула тоже. – Теперь ваш черед выбирать! Каждая женщина, которая получила больше чем одно письмо, должна выбрать только одного мужчину. – И выйти за него замуж? – Нет, этого я не говорил. Но вот что вы должны сделать, так это ответить всем остальным, что вы никогда не сможете выйти за них. Я думаю, это естественно. Они должны знать, что есть кто-то, кто вам нравится больше. – Только это? – Только это. И ждать завтрашнего дня. – Тогда Диане придется писать много писем! – пошутил кто-то в зале. Но самой ей, похоже, было не до шуток. – А можно я всем отвечу? – спросила она. «Видать, не получила она того письма, которого ждала», – подумал капитан, а вслух сказал: – Нет, ты должна ответить всем, кроме лучшего из них. Это только начало. Мы всего лишь отметаем заведомо нестабильные браки, – попытался он утешить красавицу. Только в последнюю секунду он осмелился поднять взгляд на Мэри. Она сочувственно улыбнулась ему, и он понял, что завтра получит от нее письмо. Мало кому удалось легко уснуть и в эту ночь. Женщины, которым было из чего выбирать, размышляли. Те, кому вообще выбирать было не из чего,

36

КВАНТ 2009/№3

плакали. А мужчины… Мужчины ждали и тоже не могли уснуть. На следующее утро больше половины из них получили письма, и б ó льшую часть – от Дианы. Письма были вежливые, но безнадежные. Капитан также получил свое письмо от Мэри. После завтрака все собрались, и капитан сказал: – Сегодня многие из нас получили письмо. Это означает, что мы, – капитан бросил печальный взгляд на Мэри, – не имеем никаких шансов на стабильный брак с нашими избранницами. И я считаю, что лучше узнать это сейчас, чем после женитьбы. – Вы правы, капитан! – большинство были согласны. – А знаете ли вы, что нам делать теперь? – Нет, не знаем. – Во-первых, забыть эту женщину. Вы никогда не женитесь на ней. Во-вторых, выбрать самую лучшую женщину из оставшихся и посвататься к ней! – Значит, мы можем получить новое письмо? – спросили женщины с радостью в голосе. – Да. И, может быть, не одно. – И те, что уже получили письма, тоже могут? – Конечно! С одним лишь исключением: вы не получите писем от тех, кому отказали. Но вряд ли вам нужны эти письма. – Капитан, вы умнее, чем мы думали! Новые надежды – новые радости. Женщины были возбуждены. – А если мужчине не отказали, значит ли это, что он уже может заказывать кольца? – спросил довольный молодой человек. Многие подозревали, что он был единственным, кто написал Диане и не получил никакого письма в ответ. – Нет, этого капитан не имел в виду. Ты просто имеешь хороший шанс, но надо еще подождать, – ответила Диана ко всеобщему изумлению. – Совершенно верно, – подтвердил капитан. – Но если хочешь, ты можешь написать той же женщине. – Я так и сделаю! Новый выбор – новая надежда. Но на этот раз многие спали хорошо. Только некоторые из тех, кто получил отказ, не могли уснуть. Среди них был и капитан. – И зачем я это начал? – спрашивал он себя. – Сам же убил свою надежду… Однако в любом случае я должен выбрать новую женщину. И получить еще одно письмо. Потому что я должен быть честным: Диана – лучше всех, если я должен позабыть про Мэри. – И он написал и отослал письмо Диане. На следующее утро большинство женщин были веселы, а Диана просто светилась от радости. – «Наверное, она получила то письмо, на которое надеялась», – подумал капитан, а вслух сказал: – Девушки, те из вас, кто получил больше чем одно письмо, знают, что надо делать? – Выбрать лучшего и ответить остальным. – Умницы! – Но капитан, как долго мы будем писать и выбирать? – До тех пор, пока каждая из вас не получит хотя бы одно письмо. И тогда лучшее письмо будет от вашего будущего мужа. И это будет стабильный брак. Подумайте, почему. – Капитан, – сказала Мэри,– кажется, я поняла,

наконец, твою идею. Ты имеешь в виду, что мы, женщины, не будем неверны мужьям по той простой причине, что те, с кем мы могли бы это, возможно, сделать, не любят нас: они не прислали нам письма, у них есть кто-то лучше. А если ни одна женщина не будет неверна, то не будет и неверных мужей. – Прекрасное рассуждение! – Можно спросить? – сказала Диана. – Означает ли это, что я буду замужем за тем единственным человеком, которого люблю, если он уже написал мне? – Ты можешь быть уверена в этом! Всем остальным ты все равно откажешь. – Зачем же мне тогда ждать? – Только для того, чтобы все остальные тоже получили свое письмо. – Но могу я уже сейчас сказать моему будущему спутнику жизни, что я выбрала его до конца своих дней? – Я думаю, ты должна это сказать и другим: они не будут тогда к тебе свататься и найдут свою пару быстрее. – Тогда не хочу я больше писать никаких писем! – сказала Диана и нежно поцеловала оторопевшего капитана.

Хочется верить, что читатель понял ту математическую проблему, которая лежит в основе этой сказки. Мы надеемся, читатель согласится, что это – красивое решение, и спросит себя: как его можно использовать? И как решать похожие проблемы? Например, что будет, если женщин больше, чем мужчин, или если есть мужчины, которые скорее умрут, чем женятся? А если женщины будут писать первыми, будет ли решение тем же самым? Если же читатель задумается: «Правда ли это? Могу ли я, например, доказать, что все найдут себе супруга?» – значит, он начал думать как математик. А тогда несколько задач должны быть приятным дополнением к сказке. 1. Сформулируйте задачу строго математически. Это может оказаться сложнее, чем ожидалось. Не отступайте! Начните так: даны две квадратные таблицы размером $n \times n.$ В каждой строке каждой из таблиц стоят все числа от 1 до n в какомто порядке… 2. Напишите четкий алгоритм, который соответствует решению в сказке, и покажите, что он всегда работает. 3. Покажите, что бывают случаи, когда задача имеет несколько решений. 4. Предположим теперь, что таблицы бесконечные, занумерованы натуральными числами и что в каждой строке есть все натуральные числа. Можно ли тогда доказать существование решения, если предполагать, что в каждой строке кандидаты расположены в порядке убывания предпочтения (в частности, на первом месте каждой строки стоит номер самого лучшего кандидата)? 5. А если порядок противоположный? 6. Рассмотрите еще и такой алгоритм для исходной (конечной) задачи. Разрешим разводы. Выстроим всех мужчин в очередь. Первый в очереди сватается ко всем женщинам по очереди в порядке своего предпочтения (независимо от того, замужем очередная кандидатура или нет) до тех пор, пока кто-то не согласится. Они женятся, и если женщина была замужем, то она сначала разводится, а ее бывший супруг становится в конец очереди. Верно ли что: а) такая женщина всегда найдется; б) процесс закончится; в) получившиеся браки будут стабильными? Годится ли такой подход для бесконечных случаев?

39

ШКОЛА

Загадки магнитной стрелки

И.ЛЕЕНСОН

ТРУДНО НАЙТИ ЧЕЛОВЕКА, НИ РАЗУ НЕ ВИДЕВШЕГО компас. Этот простенький прибор необходим и путешественнику, и охотнику, и даже грибнику, идущему за грибами в незнакомый лес. Какие же тайны может скрывать в себе такой прибор? Синий конец стрелки компаса показывает на север, красный показывает на юг – казалось бы, вот и весь секрет. Оказывается, не все так просто, и с этого лишь начинается наша серия загадок про магнитную стрелку. Загадка первая. Всегда ли синий конец стрелки компаса показывает на север? Далее. Многие видели подковообразные или полосовые магниты. Если полосового магнита нет, но есть сильный подковообразный, с его помощью легко намагнитить стальную полоску (или просто длинную иголку), сделав из нее полосовой магнит. Концы магнита, где обнаруживаются наиболее сильные магнитные действия, называют полюсами магнита. Слово «полюс» происходит от греческого pólos – ось, поэтому в дальнейшем вместо «конец стрелки» или «конец магнита» будем говорить «полюс». У каждого магнита, как и у земного шара, есть два полюса: северный и южный, только эти полюса называются магнитными. По традиции, ту половину магнитной стрелки, которая показывает на север, окрашивают в синий цвет и ее конец называют северным полюсом магнита; его обозначают буквой N. Ту же половину магнитной стрелки, которая показывает на юг, окрашивают в красный цвет и ее конец называют южным полюсом магнита; его обозначают буквой S. Так же окрашивают и обозначают любые постоянные магниты. Такое обозначение пришло в русский язык из голландского во времена правления Петра I. А при чем тут голландцы? Дело в том, что когда-то Голландия была владычицей морей и соперничала с Англией. Так, 21 августа 1673 года около голландского острова Тексель состоялось морское сражение между голландским и объединенным англо-французским флотами; в это время шла уже третья англо-голландская война (1672–1674). В бою, длившемся весь день, голландцы одержали победу, хотя численный перевес был на стороне противника. Голландия захватила в те времена обширные колонии, особенно в Юго-Восточной Азии. До сих пор в государстве Суринам в Южной Америке голландский – это официальный язык. Если у вас есть два магнита или один магнит и компас (его стрелка – тот же магнит, только маленький и легкий), то легко убедиться в том, что синий полюс одного магнита притягивает красный полюс другого, а одинаково раскрашенные полюса друг от друга отталкиваются. Если подвесить полосовой магнит точно за его середину на нитке подальше от железных предметов, нитку к чему-нибудь привязать и подождать, пока магнит перестанет раскачиваться, то мы увидим, что полоска повернулась так же, как и стрелка компаса. Иными словами, одним концом она будет

В

«КВАНТЕ»

показывать на север, другим – на юг. Значит, наша намагниченная полоска – тоже компас, только большой и неудобный. Теперь – следующая загадка. Загадка вторая. Что будет, если намагниченную полоску разрезать пополам точно посередине? И еще одна загадка. Загадка третья. Можно ли намагнитить шар? Если есть загадки, должны быть и разгадки. Действительно, откуда стрелка компаса знает, где у Земли север, а где юг? Оказывается, Земля – тот же магнит, только шарообразный. Пришли к такому пониманию люди далеко не сразу (как и не сразу догадались, что наша Земля не плоская, а шарообразная). Вот как это произошло. Древнегреческий философ Фалес в VI веке до новой эры описал удивительное явление, известное людям, вероятно, задолго до этого. Это явление – магнетизм. По одной из легенд, такое название оно получило от греческого города Магнезия (ныне он называется Манисса и находится в Турции), где был найден минерал, способный притягивать железо. Сейчас этот минерал называется магнетитом, или магнитным железняком; он представляет собой соединение железа и кислорода. А вот кто и когда изобрел компас, неизвестно, хотя это изобретение – одно из величайших открытий человека. Возможно, кто-то случайно обнаружил, что если кусок магнетита вытянутой формы подвесить на нитке или пустить плавать на деревянной дощечке, то один его конец всегда будет показывать на север, а другой – на юг, как бы мы ни крутили нитку или дощечку. Раньше считали, что компас изобрели китайцы чуть ли не пять тысяч лет назад, однако первый китайский документ, в котором упоминается компас, датирован XI веком новой эры. Во всяком случае, еще в Средние века этим старинным открытием широко пользовались мореплаватели, определяя по примитивному компасу свой путь в открытом море. Со временем обнаружилось, что кусок магнетита может передавать свое «волшебное» свойство стальным предметам – например, иголке, и из нее получится более удобный компас. В 1269 году француз Пьер де Мерикур, по прозванию Перегрин, написал книжку «Письма о магните», в которой собрал различные сведения о магните – как известные ранее, так и открытые им лично. Именно Перегрин, экспериментируя с магнитами, обнаружил, что у них есть два особых конца – два полюса. Поскольку они показывали на север и на юг, их так и назвали северным и южным полюсами магнита. Когда Перегрин подвесил на нитках близко друг к другу две магнитные стрелки, оказалось, что их одноименные полюса отталкиваются, а разноименные притягиваются. Перегрин обнаружил еще одно важнейшее свойство магнитов: если

Старинный китайский компас

40

КВАНТ 2009/№3

Уильям Гильберт разломить постоянный магнит на две части, получатся два новых магнита с двумя полюсами – северным и южным – у каждого. Получить какой-нибудь один полюс не удалось ни Перегрину, ни кому-либо после него. Это и есть ответ на вторую загадку. Почему так получается, будет рассмотрено во второй части статьи. А теперь – ответ на третью загадку: намагнитить шар можно, и это обнаружил английский физик и врач Уильям Гильберт. В 1600 году он опубликовал книгу «О магните, магнитных телах и о большом магните – Земле». В ней он рассказал о своих экспериментах с магнитами. Вот что он обнаружил: Магнит обладает в различных частях различной притягательной силой; на полюсах эта сила наиболее заметна. Магнит имеет два полюса: северный и южный, они различны по своим свойствам; разноименные полюса притягиваются, одноименные отталкиваются. Магнит, подвешенный на нитке, располагается определенным образом в пространстве, указывая север и юг. Невозможно получить магнит с одним полюсом: сколько ни разламывай магнит, каждый вновь полученный кусочек всегда будет иметь два полюса. Земной шар – большой магнит. При сильном нагревании магнитные свойства у природных и искусственных магнитов исчезают. Магниты оказывают свое действие через стекло, кожу и воду. Но самый замечательный опыт Гильберт провел с намагниченным шаром, выточенным из минерала магнетита. У него тоже оказались два полюса – северный и южный, и, находясь около этого шара, стрелка компаса всегда показывала на эти полюса, т.е. вела себя так же, как в отношении Земли. Поэтому Гильберт назвал свой шар «тереллой», т.е. маленькой землей. Слово это происходит от латинского terra – земля; в русском языке немало слов с этим корнем: территория, терраса (уступ на склоне горы), террариум (помещение для земноводных), террикон (куча земли и пустой породы), терракота (обожженная глина), терренкур (размеченные дорожки для лечебной ходьбы, обычно в гористой местности), а также терра инкогнита – неведомая земля. Гильберт впервые догадался, что земной шар – тоже магнит, поэтому намагниченная стрелка компаса и показывает на полюса этого гигантского магнита. А всегда ли стрелка компаса одним концом показывает на север, а другим – на юг? Оказывается – и это ответ на первую загадку, – не всегда. Если идти (ехать, плыть, лететь) к северному или южному географическому полюсу, то пока

путешественник от него далеко, со стрелкой компаса обычно никаких неожиданностей не происходит. Но при приближении к полюсу стрелка начинает понемногу «сходить с ума». И моряки давно это заметили. В начале XVI века, когда была открыта Америка и корабли начали заплывать далеко на север, обнаружилось странное явление. Моряки знали, что в ясную ночь никакой компас им не нужен: направление на север показывает Полярная звезда. Но когда они сравнили это направление с показанием компаса, обнаружилось удивительное явление: чем дальше они заплывали на север, тем сильнее синяя стрелка компаса отклонялась от севера! Угол между осью стрелки компаса и точным направлением на полюс (оно совпадает с географическим меридианом) назвали магнитным склонением. Это склонение различно в разных точках земного шара. Что же происходит с компасом на Северном полюсе? Оказывается, синяя часть стрелки показывает в сторону северной части Канады. Там, на некоторой глубине, и находится в настоящее время один из магнитных полюсов Земли; другой же магнитный полюс расположен в Антарктике. Почему так происходит, в точности неизвестно. Более того, установлено, что магнитные полюса Земли медленно передвигаются. Так, в Париже в 1580 году наблюдалось максимальное магнитное склонение к востоку от меридиана, оно составляло $9,5 ^\circ$. А через 230 лет, в 1810 году, было зафиксировано уже максимальное склонение в другую сторону – к западу от меридиана, и составило оно целых $22,3 ^\circ$. Значит, магнитные полюса Земли «гуляют», перемещаясь с места на место. Более того, очень редко – раз в тысячи лет – они меняются местами. Ученые не исключают, что в ближайшие сто-двести лет такое может вновь произойти. И трудно предсказать, как это отразится на живых существах. Магнитное склонение часто имеет и местные отклонения – иногда очень сильные; их называют девиацией (от латинского deviatio – уклонение от пути). Например, знаменитая Курская магнитная аномалия вызвана залежами магнитной руды, которая действует на стрелку. Маленькие «магнитные аномалии» легко обнаружить и у себя дома, если неподалеку от компаса будут находиться железные предметы. Можно только представить, сколько неприятностей и даже несчастий приносили мореплавателям такие «местные аномалии». Ведь даже на деревянных парусных судах всегда было много железных предметов: пушки, ядра, якоря. Положение усугубилось после того, как на смену парусным судам пришли железные пароходы. В 1854 году страшное несчастье потрясло Великобританию: на восточном берегу Ирландии разбилось судно «Тэйлор» водоизмещением 2000 тонн с несколькими сотнями эмигрантов, направлявшихся в Америку. Бóльшая часть пассажиров и команды погибла. А ведь это было новое судно, легко выдержавшее двухдневный шторм в начале плавания. Расследование показало, что виной всему – неправильное показание компаса, вызванное девиацией. Надо сказать, что современные компасы имеют специальные приспособления для уничтожения девиации. А вот и последняя загадка. Если синий полюс магнита называют северным, а красный – южным, то синий конец стрелки компаса должен показывать не на север, а на юг: ведь притягиваются только разноименные полюса! Почему же синяя половинка стрелки компаса показывает не на юг, а на север? Если синий конец стрелки показывает на север, следовательно, там находится южный магнитный полюс Земного шара, а в южном полушарии – северный магнитный полюс!? Загадка четвертая. Какой же магнитный полюс находится на севере земного шара?

(Продолжение следует)

50

КВАНТ 2009/№3

нений поверхности. Эта сила связана с так называемой адгезией (от лат. adhaesio – прилипание). Именно для описания этого явления Кулон «подправил» закон Амонтона и ввел дополнительное слагаемое, связанное не с прижимающей силой, а с взаимодействием приповерхностных атомов и молекул (см. статью А.Стасенко «Не пренебрежем трением качения…» в Кванте №1 за 2008 г. – Прим. ред.). Здесь мы не будем рассматривать эту нежную добавку, а вернемся к нашей таблице. В последнем столбце таблицы приведены значения $\mu$, рассчитанные по предлагаемой формуле. При этом брались крайние левые или крайние правые значения из интервалов для E, G и $\sigma_{т}$ (т.е. принималось, что более жесткие тела обладают и более высоким пределом текучести). Таким

образом, предлагаемая простая связь между макроскопическими физико-механическими характеристиками материалов, несмотря на громадный разброс табличных данных, дает правдоподобное значение коэффициента трения между двумя телами (по крайней мере, из одного и того же материала). В одном американском учебнике по физике говорится: «… учет трения – это, в сущности, бухгалтерский учет: если какая-то часть энергии уходит в бесполезной для нас форме, то мы можем назвать это трением». Конечно, это не означает, что окончательно разобраться с трением можно после месячных бухгалтерских курсов. Пожалуй, для этого неплохо поступить в Московский физико-технический институт, чего вам и желаем.

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

Из плоскости – в пространство

Может быть, вы уже писали ЕГЭ, а может, еще нет, но в любом случае следует знать, что это тяжелая работа. Скажем, по физике за 3,5 часа нужно решить 36 задач. Факти- взглядом на розовый бланк ответов ЕГЭ (рис.1). Посмотрел туда, где расположены квадратики, в которых нужно отмечать номера правильных ответов. Мне показалось, что бланк приобрел глубину – сантиметра 2–3, не меньше. Позже, уже после экзамена, я понял, что это было проявлением стереоскопического эффекта. Вот в чем тут дело (рис.2). Если мы смотрим обоими глазами на один и тот же квадрат, то угол между лучами зрения велик. Если же мы

Рис. 1

чески невозможно проработать такой большой отрезок времени без передышки, без вольных или невольных отвлечений. В один из таких моментов я и посмотрел рассеянным смотрим на два соседних квадрата – левым глазом на левый и правым на правый, то угол между лучами зрения становится меньше. И если все-таки нам удастся убедить себя, что оба глаза видят один и тот же квадрат, то этот квадрат будет казаться более удаленным. Существуют определенные методики достижения такого самообмана. Вот одна из них. Приблизьте рисунок 1 к себе и расслабьте глаза – расфокусируйте свое зрение, не пытаясь разглядеть какие-либо мелкие детали рисунка. Теперь начните медленно удалять рисунок, все так же не пытаясь сфокусировать зрение. В некоторый момент должна возникнуть иллюзия объема. Надеемся, вы лишний раз убедились в том, что глубину можно искать везде – даже там, где ее нет. А.Панов

Рис. 2