Квант 2009, №4 · Страницы

1

ИЮЛЬ

АВГУСТ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2009

©

Ю

№4

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора)

2 7 8 14

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

18

20 21

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2139–М2145, Ф2145–Ф2152 Решения задач М2116–М2123, Ф2130–Ф2137

К М Ш

30 34 34

36

32

37 42

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2009, РАН, Фонд Осипьяна, журнал «Квант»

Задачи Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» Об одной хорошо забытой старой задаче. В.Доценко, К.Шрамов Победители конкурса имени А.П.Савина «Математика 6–8» 2008/09 учебного года

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Под данным углом

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Движения плоскости и теорема Шаля. В.Бугаенко Загадочные круги и движения плоскости. С.Дориченко, С.Шашков, А.Шень

43

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА» Опыты с компакт-диском. Н.Ростовцев, А.Седов

46

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Модуль суммы и сумма модулей. А.Егоров

49 50

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

Арифметика многогранников. Г.Панина Рассказы о современной механике (продолжение). Г.Чёрный

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ Математики и программисты. А.Шень

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

НАНОТЕХНОЛОГИИ Линейка длиной в один нанометр. И.Яминский Почему углеродные трубки прочнее стали?

52 55 56

57 59

ОЛИМПИАДЫ XXX Турнир городов Избранные задачи LXXII Московской математической олимпиады Избранные задачи Московской физической олимпиады XIII Международный турнир «Компьютерная физика» Всероссийская студенческая олимпиада по физике

ИНФОРМАЦИЯ Избранные задачи собеседований в 9 класс 57 школы Ответы, указания, решения Нам пишут (30)

НА ОБЛОЖКЕ

I II III IV

Иллюстрация к рубрике «Нанотехнологии» Кванты Интернета Шахматная страничка Прогулки с физикой

В издании журнала «Квант» финансовое участие принимает ОАО «ТЕХСНАБЭКСПОРТ»

2

КВАНТ 2009/№4

НАНОТЕХНОЛОГИИ

Линейка длиной в один нанометр

И.ЯМИНСКИЙ

Девочке Нана и мальчику Ноно объясняют, что такое нанометр. Сообразительная Нана улыбается. Ей все понятно. Нанометр – это одна миллиардная часть метра. В Ноно видно напряжение. С некоторой задержкой он спрашивает: а что такое метр? И тут большой педагогический такт проявляет третий персонаж – умудренный опытом профессор. Он не раздражается, не возмущается, а просто подходит к Ноно и показывает ему, что метр это примерно расстояние от пола до подбородка Ноно. Мальчик радуется, что он сам больше метра. Он все понял и уже готов бежать играть в футбол… Так начинается тайваньский мультфильм «Фантастическое путешествие Нана и Ноно», который посвящен популярному рассказу о нанотехнологиях. И такое начало мультфильма не случайно. Нанотехнологии опираются на измерения, в которых нанометр играет ключевую роль. Именно о нанометре и будет рассказано в статье.

Немного истории

Введение

Всем известно, что метр – это основная единица длины. Он был введен во Франции в XVIII веке и определялся как одна сорокамиллионная часть длины Парижского медиана. В 1799 году из сплава платины и иридия был изготовлен первый эталон метра. При выборе метра в качестве единицы длины руководствовались, в частности, такими важными соображениями, как удобство использо-

В Токио перед огромным выставочным залом, где ежегодно проходит международное шоу по нанотехнологиям, сооружена сорокаметровая пила, наполовину вкопанная в землю. Это памятник большой труженице обычных технологий. Нанотехнологии же призваны конструировать новые устройства и материалы, собирая их, как в конструкторе, из атомов и молекул.

Эта статья опубликована в рамках договора с ГК «РОСНАНОТЕХ».

Когда метрология была без приставки «нано»

Издревле большинство мер длины строились исходя из удобства их использования. Например, старорусская сажень, или прямая сажень, была равна расстоянию от конца пальцев одной вытянутой по горизонтали руки до конца пальцев другой вытянутой руки. По указу Николая I, в 1835 году были приведены в соответствие русские и английские меры длины. Он положил, что одна сажень должна равняться семи английским футам (от английского foot – ступня). При переводе в метры получается, что 1 прямая сажень равна 2,1336 метра. Косая сажень — еще одна старорусская единица длины, равная 2,48 метра. Первоначально косая сажень определялась как расстояние от пальцев левой ноги до кончиков пальцев вытянутой по диагонали правой руки. Это были удобные в применении меры. Однако, используя их, получали … различные длины. О необходимости и важности аккуратных и точных измерений хорошо понимал Дмитрий Иванович Менделеев, который был первопроходцем не только в создании периодической системы элементов. Ему было очевидно, что в обществе с растущим промышленным производством вопрос измерений и метрологии принимает ключевое значение. Развитие железнодорожного транспорта, становление заводов и фабрик, вхождение России в мировую экономику требовали решения задач единства измерений. Необ-

3

ЛИНЕЙКА

ходимы были серьезные усилия, чтобы килограммы, граммы, метры, сантиметры, миллиметры и дюймы везде были одинаковыми. С 1892 года и до конца своей жизни Д.И.Менделеев возглавлял первое научное метрологическое учреждение России – Главную палату мер и весов. Ее задачей было обеспечение единства мер и создание надежных методов измерений и их эталонов, а также обеспечение единообразия и верности применяемых мер и измерительных приборов. Теперь это Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии, носящий имя Д.И. Менделеева. Палата, а ныне институт расположены в Санкт-Петербурге. Благодаря усилиям Д.И.Менделеева, в 1900 году в Москве при Московском окружном пробирном управлении была создана Поверочная палатка торговых мер и весов №3. Сейчас это Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы (предприятие федерального значения). Его эмблема – буква М (первая буква в слове МЕТРОЛОГИЯ), опоясывающая земной шар и одновременно опирающаяся на него. Хорошая символика для того, чтобы показать, насколько важна метрология для всех нас.

Легенда об овсе и не только…

«Если вы в Санкт-Петербурге купили два пуда овса, а потом на санях привезли в Москву и там взвесили овес и обнаружили, что весы показывают всего полтора пуда, вот будет горе. Но если вы – предприимчивый торговец, то горе поправимо. Покупаете в Москве 100 пудов овса, а в Санкт- Петербурге продаете их как 133 с небольшим пуда. Чтобы быть предприимчивым торговцем, вам придется еще посмотреть на разницу в цене на овес в Москве и Санкт-Петербурге. Посчитать, сколько надо будет взять овса, чтобы прокормить лошадь. Оценить стоимость собственного труда. И не забыть про амортизацию оборудования – износ подков лошади и полозьев саней».

«История» с дюймом

С нанометрами надо вести себя аккуратно. А то могут произойти всякие истории, какие имели место с метром. Впрочем, даже не с метром, а с дюймом. Кстати сказать, почему-то нанодюйм не так популярен, как нанометр. Наверное, потому, что нанодюйм почти в 40 раз меньше, чем нанометр, и на порядок меньше размера атома. Но вернемся к обещанной истории с дюймом. Происходило это во времена большой космической гонки между СССР и США. Обе сверхдержавы спешили быть первыми. Возможно, для ускорения процесса создания космической ракеты американцы две половинки ракеты делали в разных местах. Когда две половинки оказались в одном месте

ДЛИНОЙ

В

ОДИН

НАНОМЕТР

вания и применения. В наше время, в ХХI веке, многие исследования ведутся на масштабе нано. Способ производства, когда материалы и устройства конструируются и собираются из отдельных атомов и молекул, принято называть нанотехнологиями. Для нанотехнологий

Палата мер и весов – НИИ метрологии им. Д.И.Менделеева метр слишком большая единица измерения длины. Подходящей величиной здесь может служить нанометр. С точки зрения математики, все очевидно: 1 нм $= 10^{-} 9$ м, и, казалось бы, нет ничего проще. Однако на практике возникают сложные вопросы. И первый из них – как изготовить линейку с расстояниями между рисками длиной в один нанометр. Действительно, метр является универсальной первичной единицей для измерения длин и имеет свой эталон. Нанометр появляется как производная от метра единица длины. А как сделать вторичный эталон – для нанометра? Этот вопрос относится к области нанометрологии и имеет принципиальное значение для нанотехнологий. «Хочешь создавать – научись мерить», – это слова знаменитого русского ученого Дмитрия Ивановича Менделеева, внесшего огромный вклад в создание метрологической службы в России. В полной мере его слова справедливы и для нанотехнологий. Итак, дальнейший рассказ будет о том, как сделать линейку для измерений длин в нанодиапазоне.

Как поделить метр на миллиард нанометров?

Нанотехнологии – это искусство создавать новую продукцию, размеры которой находятся в области нанометрового диапазона. Если серьезно заниматься производством таких изделий, то нужно очень хорошо научиться измерять эти самые нанометры. Для этого необходим не только удобный, но и однозначный эталон длины. Вроде бы, все просто: чтобы получить нанометр, надо распилить один эталонный метр на один миллиард равных частей. Если потом миллиард человек получат по одному нанометру, разойдутся по разным частям света, а затем, спустя много времени, вновь соберутся в одном месте, приложат все свои нанометры друг к другу и убедятся, что их нанометры одинаковой длины, – вот будет здорово. И означать это «здорово» будет многое. Во-первых, что вначале метр порезали точно на равные части. Во-вторых, что во время странствий нанометр не поизносился, не поистерся и не растянулся. В-третьих, что такие нанометры можно использовать как меру длины и что два человека, измеряющие один и тот же предмет «разными» нанометрами, получат одни и те же результаты. Однако осуществить такое не удастся,

5

ЛИНЕЙКА

Вирус картофеля может доставить очень много неприятностей табаку, помидорам и другим растениям. Растения, как и мы, подвержены вирусным заболеваниям. К нашему счастью, вирусы растений не представляют никакой опасности человеку. По крайней мере, можно констатировать, что обратное никто никогда не демонстрировал. Поэтому, например, мы можем спокойно съесть картофель, пораженный Х вирусом картофеля. Буква Х здесь обозначает тип вируса. Есть также А вирус картофеля и В вирус картофеля. Х вирус картофеля, как и вирус табачной мозаики, имеет, нитевидную форму, только он поуже и подлиннее: 14 нм в диаметре при длине 1 микрон. Кстати, было высказано предложение использовать вирус табачной мозаики как эталон 18 нанометров, а Х вирус картофеля – как эталон 14 нанометров.

Современные системы навигации

Современные системы навигации GPS и ГЛОНАСС работают с точностью измерения частоты и, соответственно, промежутка времени с относительной погрешностью $1 \cdot 10^{-} 13$. GPS – сокращение английских слов Global Positioning System, т.е. глобальная система позиционирования. Полное название этой спутниковой системы навигации – NAVSTAR GPS (NAVigation Satellites providing Time And Range— навигационные спутники, обеспечивающие измерение времени и расстояния; глобальная система позиционирования). Эта система создана Министерством обороны США для точного определения координат и скорости объектов. Российская спутниковая система навигации – ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система, или сокращенно ГЛОНАСС. Если у вас дома есть GPS-приемник, то вы можете подумать о привязке одного миллиметра к метру с помощью этого общедоступного эталона частоты и о проверке расположения насечек на домашней линейке с

ДЛИНОЙ

В

ОДИН

НАНОМЕТР

Правило обратного пьезоэффекта очень простое – изменение размеров пьезопластиники $\Delta D$ прямо пропорционально приложенному напряжению $\Delta U : \Delta D = d_{33} \Delta U$, где коэффициент пропорциональности $d_{33}$ – пьезоэлектрический модуль. Использование двух цифр в индексе модуля показывает, что напряжение в общем случае мы можем прикладывать по одному из трех направлений (вдоль осей координат X, Y или Z), а изменение размеров – наблюдать по любому другому направлению. В нашем случае направление электрического поля совпадает с направлением перемещения, поэтому используются две одинаковые цифры 3. Как легко подсчитать, всего у пьезоэлектрического модуля 9 компонентов: $d_{11}, d_{12}, d_{13}$, … $, d_{33}$. (Такие физические величины называются тензорами второго порядка.) Возьмем керамику с пьезоэлектрическим модулем $d_{33} = = 200 \cdot 10^{-} 12$ Кл Н $= 200 \cdot 10^{-} 12$ м В. Если мы приложим к электродам напряжение 5 В, то изменение размеров пластинки составит 1 нм. Заметьте, что изменение размеров пьезопластинки не зависит от толщины самой пластинки. И это очень хорошо, ибо, создавая эталон длины, мы не должны думать о длине самого эталона. Таким образом, для нашего нанометра мы уже можем сформулировать главный тезис: нанометр – это расстояние, на которое изменяется размер пластинки, изготовленной из пьезокерамики с пьезоэлектрическим модулем $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Кл Н $= 200 \cdot 10^{-} 12$ м В, при приложении к ее электродам напряжения 5 В. В нашем эталоне мы использовали именно такие пьезопластинку и батарейку. Если у батарейки напряжение больше 5 В, то нам понадобятся два электрических сопротивления, с помощью которых мы сделаем делитель напряжения с выходом 5 В. А если мы найдем пьезокерамику с другим значением пьезоэлектрического модуля, то, подбирая на делителе нужное напряжение, мы сможем и для этого случая выполнить условие $\Delta D = 1$ нм.

Маленькие хитрости есть в каждом деле В изготовлении нашего нанометра есть свои «хитрости». Вот первая. Если мы используем пьезопластинку, изготовленную из пьезокерамики с пьезоэлектрическим модулем $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Кл Н, то после каждого приложения напряжения 5 В размер пластинки будет изменяться на 1 нм. Между приложениями напряжений очень важно не забывать обкладки пластинки замыкать проводником. Пьезокерамика – очень хороший изолятор: будучи приложенным к обкладкам единожды, напряжение будет держаться на них достаточно долго. Это может длиться и часы, и сутки, все зависит от влажности воздуха и чистоты поверхности пластинки. Замыкая электроды пластинки проводником, мы позволяем отрицательному заряду стечь по проводнику на противоположную обкладку таким образом, чтобы напряжение на пластинке стало равным нулю и пластинка вернулась к исходным размерам. И еще одна важная «мелочь». Электрическое напряжение можно прикладывать так, чтобы пьезопластинка становилась толще, или так, чтобы пластинка становилась тоньше. Иными словами, батарейку можно подключать плюсом на верхний электрод, а можно – плюсом на нижний электрод. В обоих случаях пластинка будет менять свой размер на 1 нм. Есть ли разница в том, как прикладывать напряжение? Чтобы ответить на этот вопрос, надо рассказать, как изготавливают пьезокерамику. Пьезокерамику делают из порошка, который спекают при высокой температуре и лучше при высоком давлении. При этом получается твердый материал, который на микроскопическом масштабе состоит

6

КВАНТ 2009/№4

из отдельных зерен. В каждом зерне положительные заряды слегка смещены относительно отрицательных (в целом зерна электрически нейтральны), и это смещение зарядов приводит к тому, что у зерна появляется дипольный момент. Попадая в электрическое поле, такое зерно будет растягиваться или сжиматься. В свежеиспеченной пьезокерамике дипольные моменты отдельных зерен имеют случайные направления, обратный пьезоэффект наблюдается для каждого зерна в отдельности, а направленное перемещение пластины в целом отсутствует. В постоянном электрическом поле часть зерен растянется, а часть сожмется в направлении поля, но в целом размер пьезокерамического образца не изменится. Чтобы вызвать направленное перемещение, все дипольные моменты отдельных зерен нужно сориентировать одинаковым образом. Для этого пьезокерамику помещают в электрическое поле напряженностью 1000 В/мм и более и нагревают до температуры около $300 ^\circ$ С. Этот процесс называется поляризацией керамики. Перегревать керамику нельзя, потому что при некоторой температуре (точка Кюри) пьезоэффект пропадает. Если поляризация проведена успешно, то все зерна имеют дипольные моменты, направленные в одну сторону, при этом поляризующее поле растягивает керамику. Если же приложить электрическое поле противоположного направления, то будет происходить процесс деполяризации, сжимающий керамику. Вот здесь и кроется ответ на наш вопрос, как надо прикладывать напряжение в эталоне нанометра – чтобы керамика растягивалась или сжималась. Правильный ответ такой. Если мы хотим избежать возможной деполяризации керамики, то напряжение надо прикладывать таким образом, чтобы всегда происходило только удлинение пластинки.

Поверяем нанометр и становимся нанометрологами

У пьезокерамики есть ряд недостатков – нелинейность, гистерезис, крип. Нелинейность проявляется в отклонении от простой формулы $\Delta D = d_{33} \Delta U$. Гистерезис обусловлен «памятью» материала к предыстории прикладываемого напряжения, в результате чего может оказаться, что при одном и том же приложенном напряжении удлинения пластинки будут разными. Вследствие крипа, или ползучести, удлинение пьезокерамики может отставать во времени от приложенного напряжения. Будут ли эти эффекты снижать точность нашего эталона нанометра? Практически нет, если к электродам эталона строго периодически прикладывать только два значения электрического напряжения: 5 В и 0 В. Все недостатки пьезокерамики – нелинейность, гистерезис, крип – присутствовать будут, но их вклад будет все время одним и тем же. А если так, то, аккуратно выбирая напряжение, мы можем добиться удлинения пьезопластинки точно на один нанометр. Завершая наш рассказ, отметим, что если вы не сумели изготовить свой собственный эталон нанометра, но все поняли в данной статье, то можно считать, что вы уже состоявшийся нанометролог. (Ведь не каждый же нанометролог пользуется самостоятельно изготовленным наноэталоном.) Если же вы потрудились, нашли пьезопластинку и соорудили свой нанометр, то можно сказать, что вы самый передовой нанометролог. За рамками статьи остался очень важный вопрос: как убедиться, что наша пластинка удлиняется точно на один нанометр? Другими словами, каким образом осуществить привязку созданного нанометра к первичному эталону метра? К сожалению, эту процедуру в домашних условиях сделать нельзя. Надо обратиться в метрологическую службу, и там с помощью интерферометра смогут точно определить перемещение пластинки. Как это делается – тема для другой статьи.

точностью чуть лучше чем 1%. До нанометра с помощью системы GPS пока приблизиться не удается.

Экономика изготовления нанометра

Возможно, у вас остается пока нерешенным вопрос, где найти пьезокерамичекую пластинку. На самом деле, такие пластинки буквально окружают нас в нашей повседневной жизни. Звонки в часах, мобильных телефонах и компьютерах часто изготавливают именно из пьезокермаческих пластин. Правда, в них есть одна особенность. Там пьезопластинки приклеивают к упругой металлической пластинке. В результате этого при изменении размеров пьезопластинки такая клееная конструкция совершает дополнительный изгиб и центр конструкции перемещается на гораздо большее расстояние, чем свободная пластинка. Поэтому если мы хотим получить перемещение в 1 нм, то лучше использовать просто пьезокерамическую пластинку – иначе прикладываемое напряжение должно быть существенно меньше да и стабильность такой системы гораздо меньше. Кроме того, за счет разницы температурных коэффициентов пьезокерамики и металла клееная конструкция будет дополнительно изгибаться при изменении температуры окружающей среды. Где же найти правильную пьезопластинку? Оказывается, они продаются в магазинах электронных аксессуаров. Стоимость одной пластинки – около 10 рублей. Тогда можно подсчитать бюджет нашей разработки эталона нанометра: батарейка – 40 руб., провода – 8 руб., пьезопластинка – 10 руб., поиск и заказ пластинки в Интернете (оплата трафика) – 35 руб., доставка пьезопластинки (если вы не поедете сами) – 150 руб., собственный труд – оцените сами. Вот такая экономика изготовления эталона в один нанометр.

Любопытно, что…

…если вы взгляните на себя в зеркало, то за это время каждый волосок вашей шевелюры удлинится на один нанометр. …если водой из озера Байкал заполнить половину объема железнодорожной цистерны, то уровень воды в озере упадет почти на один нанометр. …монету достоинством в 1 копейку бросили в бассейн, при этом уровень воды повысился на 1 нм. Каковы размеры бассейна? …ученые научились делать золотые нити толщиной в один атом. При этом на длине 1 нанометр целиком укладываются 3 атома золота.

9

АРИФМЕТИКА

Пример 1. Сумма Минковского двух непараллельных отрезков – параллелограмм (рис.1).

Рис. 1

Пример 2. Сумма Минковского двух параллельных отрезков – отрезок суммарной длины. Пример 3. Сумма Минковского треугольника и отрезка, параллельного одной из сторон, – трапеция (рис.2).

i Отложим все векторы от начала координат. Получится так называемый общий букет векторов для обоих многоугольников. i Может оказаться, что два вектора из букета имеют общее направление. Тогда эту пару векторов нужно заменить на их сумму. i Двигаясь по часовой стрелке, берем по очереди векторы из букета и откладываем один за другим (первый вектор – от произвольно выбранной точки на плоскости, каждый следующий вектор – от конца предыдущего). Получается ломаная линия. i Ломаная замкнется. Она ограничивает сумму Минковского многоугольников K и L.

Задача 1. Пусть K – выпуклый многоугольник. Убедитесь, что K + K есть многоугольник K, растянутый гомотетией в 2 раза.

Рис. 2

Пример 4. Еще один пример – сумма пятиугольника и треугольника (рис.3). В данном случае это семи-

Рис. 3

угольник. Однако если чуть повернуть треугольник (а пятиугольник оставить прежним), то суммой будет восьмиугольник, так как параллельные стороны пятиугольника и треугольника перестанут быть параллельными. Поглядев на приведенные примеры, можно подметить, что ломаная, ограничивающая суммарный многоугольник K + L, составлена из ребер многоугольников K и L. Говоря точнее, сумму Минковского многоугольников можно вычислить, следуя такому алгоритму (рис.4):

Рис. 4

i Превратим каждое ребро многоугольников K и L в вектор, нарисовав на нем стрелку. Полученные векторы должны обходить многоугольники по часовой стрелке.

МНОГОГРАННИКОВ

Вычитаем многоугольники

– Пойду-ка я к Королеве навстречу, – сказала Алиса. Конечно, ей интересно было поболтать с цветами, но разве их сравнишь с настоящей Королевой! – Навстречу? – переспросила Роза. – Так ты ее никогда не встретишь! Я бы тебе посоветовала идти в обратную сторону!

Разность Минковского определить невозможно, если ограничить себя только выпуклыми многоугольниками. Действительно, при сложении многоугольники не становятся меньше (точнее говоря, сумма K и L содержит параллельный перенос каждого из слагаемых – это хорошо видно на рисунке 3). Поэтому вычесть из маленького многоугольника большой невозможно: в этом случае маленький многоугольник содержал бы параллельный перенос большого. Как же разумно расширить класс выпуклых многоугольников так, чтобы сделать возможным вычитание? Если взять определение суммы и попробовать помудрить с ним, приспособив для вычитания, то ничего хорошего не выйдет (попробуйте!). Имеется универсальный алгебраический прием: разностью двух многоугольников K и L будем называть формальное выражение (K – L), не придавая последнему никакого геометрического смысла. Два таких выражения (K– L) и (M – N) будем считать равными, как только K + N = M + L. Несложно проверить, что такие формальные выражения можно складывать (по правилу (K – L) + (M – N) = ((K + M) – (L + N)), и у каждого (K – L) есть обратный элемент (L – K). Этот прием вам уже встречался раньше на уроках математики – при переходе от положительных чисел к отрицательным или от целых чисел к рациональным дробям. Однако нам хочется иметь дело не с формальными разностями, а с геометрическими объектами. Почему так? Дело в том, что многоугольник (или многогранник в пространстве) имеет богатую геометрическую структуру: у него есть ребра, вершины, понятие площади и т.д. Хотелось бы иметь все это богатство и для разностей Минковского. С этой точки зрения, плодотворным оказалось при-

13

АРИФМЕТИКА

i Как и прежде, нужно взять результат наложения этих графов. i Как и прежде, значение стресса на ребрах наследуется от $( G_{1}, f_{1} )$ и $( G_{2}, f_{2} ). i$ Однако на этом процедура сложения не заканчивается. Следующий шаг – удаление лишних ребер и вершин. Может случиться так, что стресс суммы $( G_{1}, f_{1} ) + ( G_{2}, f_{2} )$ на некотором ребре окажется равным нулю. Тогда такое ребро надо удалить. i После удаления всех ребер с нулевым стрессом может случиться так, что к одной вершине примыкают ровно два ребра (это означает, что эти ребра образуют угол $\pi$, и стрессы на этих ребрах равны). Тогда эту вершину надо удалить, а два ребра объединить в одно. Вершины, к которым не примыкают ребра, тоже нужно удалить. В результате мы получим некоторый граф на сфере с ненулевым стрессом. Теперь ясно, как вычитать графы со стрессами. Обратным графом к графу ( G, f ), очевидно, является граф $( G, - f )$. (Убедитесь, что $( G, f ) + ( G, - f )$ – пустой граф!) Поэтому взять разность графов $( G_{1}, f_{1} )$ и $( G_{2}, f_{2} )$ означает взять сумму графов $( G_{1}, f_{1} )$ и $( G_{2}, - f_{2} )$.

Задача 7. Покажите, что любой пружинный граф на сфере можно представить в виде разности двух графов с положительными стрессами.

Теперь попробуем по графу с всюду ненулевым (но теперь не обязательно положительным) стрессом ( G, f ) построить геометрический объект P ( G, f ). Алгоритм в точности повторяет алгоритм построения P ( G, f ) для графа с положительным стрессом. Опять, как и у Алисы, у нас нет другого выбора. i Пусть 1, …, k – силы, создаваемые пружинками в вершине i графа ( G, f ). Теперь это векторы, идущие либо в направлении ребра, либо в противоположном направлении, в зависимости от знака стресса. Мы считаем, что их нумерация соответствует порядку обхода ребер графа по часовой стрелке. Поскольку стресс может быть знакопеременный, сами векторы $f_{1},^{…}, f_{k}$ могут идти совсем в другом порядке. i Как и прежде, для вершины i рассмотрим касательную к сфере S плоскость. В этой плоскости построим замкнутую ломаную, руководствуясь старым правилом. Выберем точку в плоскости и будем откладывать один за другим векторы $f_{1},^{…}, f_{k}$, повернутые на угол $\pi 2$ по часовой стрелке. Здесь важно, что мы берем векторы согласно порядку ребер, а не порядку векторов. Полезно убедиться, что эта процедура в точности описывает построение разности Минковского выпуклых многоугольников. i Аналогично поступим со всеми остальными вершинами графа. Для каждой вершины мы получим невыпуклый многоугольник (замкнутую плоскую ломаную, возможно с самопересечениями) i Важно, что для этих многоугольников остается выполненным главное свойство, позволяющее собрать их воедино, – у многоугольников, соответствующих

МНОГОГРАННИКОВ

соседним вершинам графа, есть параллельные отрезки одинаковой длины. Поэтому из таких многоугольников, перенося их параллельно, можно собрать некий объект P ( G, f ), определяемый такой конструкцией с точностью до параллельного переноса. P ( G, f ) называется виртуальным многогранником. Теперь ясно, что нужно сделать для построения разности Минковского двух многогранников K и L: i Превратить многогранники в пружинные графы. i Взять разность пружинных графов. i Построить виртуальный многогранник P ( G, f ), соответствующий разности графов.

Дадим пояснение для продвинутых читателей. Дело в том, что при суммировании по Минковскому параллельные грани многогранников складываются. Поэтому естественно ожидать, что гранями разности Минковского K – L должны служить разности Минковского граней многогранников K и L. Именно это явление закодировано в конструкцию виртуального многогранника.

Пример 10. На рисунке 12,а) представлен граф со стрессом. Граф трехвалентен, следовательно, виртуальный многогранник ( G, f ) (рис.12,б) склеен из треугольников.

а) б)

Рис.12. Пример графа со знакопеременным стрессом и соответствующий ему виртуальный многогранник

Литература 1. А.Пухликов, А.Хованский. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. (Алгебра и анализ, т.4 (1992), вып. 2, с. 161–185.) 2. Cайт, посвященный гиперболическим виртуальным многогранникам: club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbo- licpolytopes.html

14

КВАНТ 2009/№4

Рассказы о современной механике (продолжение)

Г.ЧЁРНЫЙ

Исследование вулканических извержений методами механики

Изучение вулканов и их активности всегда было делом специалистов – вулканологов, геологов и представителей других наук. Механика долгое время не вмешивалась в этот вопрос. Были отдельные попытки рассмотрения гейзеров и других подобных образований. Но собственно вулканами ученые-механики занялись лишь в последнее время, и сразу же произошел прорыв в этой области. Для изучения и прогнозирования деятельности вулканов были применены традиционные для механики методы математического моделирования. На нынешнем этапе исследований уже получены интересные и обнадеживающие результаты. Построены модели различных типов извержений, методами механики описан ряд прошлых извержений (в хорошем согласии с имеющимися данными). В наши дни, благодаря работе ученых из Института механики МГУ, появилась возможность задним числом провести расчет происходивших в свое время извержений, о которых было многое известно, но, как оказалось, многое становится известным лишь сейчас. Вулканическое извержение – один из наиболее разрушительных видов природных катастроф. Достаточно сказать, что за последние три века в результате вулканических извержений погибли более 220 тысяч человек. Для надежного прогноза последствий вулканических извержений необходимо научиться правильно интерпретировать различные сигналы, получаемые от вулкана, – микроземлетрясения, деформации построек, рост температуры в термальных источниках и состав выделяемых газов. Связать эти непрямые разрозненные наблюдения под силу лишь математическим моделям, основывающимся на фундаментальных законах механики. Рассмотрим, например, подробнее, что произошло в 79 году нашей эры во время извержения вулкана Везувий, когда погибли города Помпеи и Геркуланум. Как известно из многочленных источников, после кратковременного всплеска извержение быстро пошло на убыль. Жители Помпей, хотя и изрядно напуганные, решили, что вулкан успокоился, и не собирались покидать свои дома. Внезапно извержение снова усилилось, и на город обрушились потоки раскаленных камней. Практически мгновенно город был погребен под их многометровым слоем. Объяснить это не мог никто, а механики – объяснили.

Создали модель, расчеты по которой восстановили хронологию событий. На рисунке 1 приведен график рассчитанной зависимости интенсивности извержения от времени. Оказывается, возле Везувия в земле имеется достаточно мощный водоносный слой. И вот,

Рис.1. Интенсивность извержения Везувия (79 г.)

когда произошел спад извержения, в месте контакта с этим слоем давление внутри канала вулкана сильно упало, и туда устремилась вода, которая практически мгновенно превратилась в пар и произвела выстрел, выбросивший громадное число камней, пепла и тому подобное. В настоящее время методы механики активно используются для анализа и прогноза вулканических извержений. В Институте механики МГУ созданы модели течения магмы (расплавленной лавы) в канале вулкана для различных типов извержений. Эти модели позволяют связать наблюдаемые на поверхности величины, например расход магмы и ее температуру, с процессами, происходящими в земной коре. Для ряда вулканов их история известна, описана методами механики, и, таким образом, становится возможеным прогноз. Например, взяв параметры извержения для Везувия приблизительно те же, что были в начале нашей эры, ученые рассчитали лавовые потоки, которые могут возникнуть сегодня. Они установили, в частности, что на город Неаполь в течение 15 минут могут обрушиться огромные потоки раскаленной магмы. Население и местные органы власти призадумались, и сейчас разрабатываются планы эвакуации населения на этот случай.

15

РАССКАЗЫ

О

СОВРЕМЕННОЙ

Механическая модель образования суперконтинентов Еще один, действительно ошеломляющий, пример применения механики в огромном по масштабу промежутке времени от начала возникновения Земли и до наших дней – это образование континентов. Известно, что континенты и составляющие их плиты движутся. И вот, по данным геологов, за последние три с половиной миллиарда лет эти плиты несколько раз собирались в

Рис.2. Суперконтиненты в геологической истории Земли

некий общий материк (рис.2). Геологи умеют определять возраст пород. На ныне существующих континентах есть области, где породы очень старые – по три миллиарда лет и больше, а в других местах обнаружены так называемые ювенильные породы, т.е. породы, возникшие намного (на миллиард, на два миллиарда лет) позже. Но почему все это происходит – неясно. Для объяснения была предложена конвекционная теория динамики земной коры. Внутреннее строение Земли выбиралось очень простым – в центре находится горячее расплавленное ядро, которое является источником тепла, дальше располагается мантия, которая разделена на два слоя – верхний и нижний (это – данные сейсмологии). Слои – толстые, верхний слой имеет толщину примерно 650 километров. Эти слои отличаются друг от друга по своему внутреннему строению. Граница между слоями – это поверхность фазового перехода вещества мантии с поглощением тепла, т.е. при переходе через эту поверхность одни химические связи преобразуются в другие и это сопровождается поглощением тепла. Так вот, была построена такая упрощенная модель: есть сферически симметричная Земля, затем ей дают небольшое возмущение, отклонение от сферически симметричной формы,

МЕХАНИКЕ

и отслеживают, что происходит при дальнейшей эволюции. При решении этой задачи используется метод математического моделирования. Оказывается, что развивающиеся (увеличивающиеся) возмущения приводят к глобальным движениям мантии Земли. Возникают так называемые тепловые конвективные потоки, и в двухслойной мантии наблюдается интереснейшее явление. В некоторые периоды, достаточно короткие по сравнению с общим временем эволюции, верхний, более холодный, слой мантии почти целиком сливается одной гигантской струей вглубь Земли, обволакивая ее ядро. Взамен этого происходит всплытие на поверхность части вещества нижнего, более горячего, слоя. Всплытие происходит тремя-пятью менее мощными струями, чем струя, идущая вниз. Всплывающий материал и образует новые, ювенильные породы. Заметим, что наиболее неожиданным открытием оказалась так называемая «глобальная самоорганизация» течения, которая заключается в коллективном, т.е. одной мощной струей, погружении вещества. Следствием этого и является сборка (над местом погружения) суперконтинента из отдельных континентов, а также повышенная скорость погружения вещества. Описываемая теорией картина не только качественно согласуется с геологической историей нашей планеты, но и позволяет делать некоторые выводы (авторы работы – московские ученые-механики). Поскольку теория имеет некоторую свободу (свободные параметры, которые можно задавать), временной масштаб подгоняется под масштаб действительных новых образований, которые геологи определяют по распаду радиоактивных элементов. На рисунке 3 приведен

Рис.3. Средняя скорость движения мантии

16

КВАНТ 2009/№4

Рис.4. Геологические данные по возрасту ювенильных пород

график рассчитанной средней скорости движения мантии. Он имеет довольно острые пики, когда скорость сильно возрастает, продолжительность пиков невелика по сравнению с общим временем эволюции. Во время этих пиков и происходит интенсивное образование пород. Полученная картина хорошо согласуется с имеющимися геологическими данными по возрасту ювенильных пород (рис.4). После того как периоды подогнаны, получается очень похожая картина.

Механика и арктические исследования

В нашей стране разработаны (чего нет больше нигде в мире) глубоководные, до 6 километров глубины погружения, самоходные или управляемые извне самодвижущиеся аппараты – обитаемый «Мир» и необитаемый «Клавесин». Они принципиально отличаются от имеющихся в ряде стран так называемых батискафов, которые просто опускают на канате, внизу они сбрасывают балласт и всплывают. Но 6 километров глубины – это давление 600 атмосфер, которое должно выдержать достаточно сложное устройство аппарата. И здесь нужна механика материалов, механика их поведения в таких сложных условиях. Новость, которая в газетах освещалась очень широко, – недавняя экспедиция к Северному полюсу на атомных ледоколах «Россия» и «Академик Федоров» и установка Российского флага на дно Северного Ледовитого океана. На атомных ледоколах есть атомные реакторы, которые представляют собой почти чисто механические устройства. Возможность создания прочных судов – это тоже механика. Но еще раньше на Северном полюсе побывали подводные лодки, которые всплыли точно в точке полюса. Кто их туда привел? Радио? Оно не работает под водой. Эхолокация? Хотя она и работает, но на очень малых расстояниях. А привели лодки инерциальные гироскопические системы навигации поразительной точности – еще одно чудо, выдающееся достижение механики и прошлого и совсем недавнего времени. Навигация – это наука и искусство, находясь на перемещающемся аппарате (машине, морском или воз-

душном судне, космическом или воздушном корабле), определять местоположение и ориентацию этого аппарата. В старину моряки для навигации использовали компас, Солнце и звездное небо. Потом на помощь пришло радио. Новая эпоха началась с появлением инерциальных систем навигации, которые не используют никаких внешних сигналов или наблюдений. Самые первые такие системы, до сих пор остающиеся традиционными, – гироскопические. В их основе лежит чисто механическое устройство – гироскоп. (Простейшее представление о гироскопе дает быстро вращающийся волчок, который, вопреки силе тяжести, не падает, и при этом его ось вращения прецессирует, т.е. медленно описывает конус.) Гироскопические системы навигации прошли колоссальную эволюцию за последние десятилетия и особенно в наши дни. В нашей стране созданы гироскопические системы навигации поразительной точности. На эти приборы имеется огромный спрос во всем мире, каждые два года проводятся посвященные им международные конференции. Хотя эти приборы и электронные, но принцип их действия и принцип ипользования – чисто механические. Кстати сказать, акустическая локация и связь – тоже дело механиков. Ведь акустика – наука, отпочковавшаяся от механики, как и давно выделившаяся динамическая метеорология (и значительная часть океанологии). В совокупности эти две науки изучают движения в воздушной оболочке Земли – атмосфере и движения в мировом океане, а также их взаимодействие. Среди ряда новейших достижений этих наук можно отметить теорию «рингов» Гольфстрима и теорию торошения льдов в Арктике. Последняя сродни теории столкновения материковых плит, но, конечно, относится к явлениям гораздо меньшего масштаба по пространству и времени и к более простой среде.

Производство электроэнергии на атомных электростанциях

Хорошим примером использования механики в технике может служить атомная энергетика – одна из быстро развившихся в последние десятилетия технологий. Ныне атомные реакторы используются не только в энергетике, но и для транспорта. Принципиальная схема атомной электростанции – АЭС – изображена на рисунке 5. Помимо атомного реактора она включает двухконтурную систему теплоносителя (первый контур – радиоактивный, он располагается внутри корпуса реактора, а второй, уже с малой радиоактивностью, находится вне реакторного корпуса), паровые турбины, которые вращают электрогенераторы, сами электрогенераторы, системы передачи электроэнергии, систему охлаждения, насосы. Сердцем АЭС является атомный реактор – совместное детище физиков и механиков. Топливо (уран) загружают в реактор в виде тепловыделяющих элементов, которые представляют собой трубочки, набитые этим топливом. Атомную реакцию уменьшают или усиливают, перемещая вверх или вниз эти тепловыделяющие элементы, т.е. выдвигая их из реактора или задвигая в него.

17

РАССКАЗЫ

О

СОВРЕМЕННОЙ

МЕХАНИКЕ

Рис.5. Схема устройства АЭС

Тепловыделяющие элементы – это далеко не самая сложная часть станции, но даже их технология изготовления разрабатывается учеными-механиками совместно с инженерами завода-изготовителя. Вся загружаемая в реактор конструкция в сборе привозится с завода на нескольких большегрузных автомашинах. На этом роль физиков заканчивается. Корпус реактора рассчитывается методами механики, и, между прочим, не методами ХIX века, а непрерывно совершенствующимися методами последних лет. Все остальное тысячетонное сложнейшее оборудование АЭС также рассчитывается, создается и монтируется инженерно-техническим персоналом на основе новейших достижений механики. Правда, это требует электротехнических и теплотехнических расчетов (включая расчет движения жидкости и пара в системах теплоносителя и охлаждения), которые относятся к области физики. Но можно сказать, что теплотехника – это небольшая часть механики. Механика, вобрав в себя тепловые процессы, вообще говоря, давно занимается теплотехническими проблемами более сложными, чем те, которые решает сама теплотехника. На этом примере хотелось бы обосновать следующий тезис. Для того чтобы достижения ряда других наук, включая физику, сделать полезными человеку, без механики не обойтись. Механика является основой. Так, физики открыли и изучили реакцию деления урана с выделением энергии. Механики на основе этого открытия создали сооружения, дающие людям тепловую и электрическую энергию. Другие открытия в физике (лазеры или иные источники излучения), в химии, в науке о материалах и даже в биологии, для того чтобы стать полезными людям, требуют использования новейших достижений механики. Например, все, что говорилось выше об АЭС, остается верным и для всех новых химических технологий. Здесь сердце – химический реактор – опять совместное детище химиков и механиков, причем, учитывая, что желаемое ускорение химических процессов требует во многих случаях создания все более быстропроточных химичес-

ких реакторов, роль методов механики в их расчете становится все большей. Развитие современных технологий спутниковой связи, создание в будущем космических систем, использующих солнечную энергию для передачи ее на Землю, – все это абсолютно невозможно без механики, без уже существующих и новых, требующих развития, ее методов.

Заключение. Сэр Исаак Ньютон и вечно новая механика

Современный этап развития науки и прогресс научного знания в целом в значительной мере определяются проникновением в различные области науки методов математического моделирования, которые основаны на построении и использовании тех или иных математических моделей. Не нужно забывать, что метод математического моделирования возник в ньютоновской механике (знаменитые законы Ньютона) и был с успехом использован самим Ньютоном при решении ряда серьезных задач. Впоследствии искусство построения сложных математических моделей было создано именно механиками и затем применено последовательно физиками, геофизиками, химиками, биологами, лингвистами, а в последнее время – социологами и экономистами. Модели механики необычайно наглядны. Неслучайно ряд знаменитых физиков прошлого утверждали, что ни одно физическое явление не может считаться до конца понятым, пока оно не сформулировано в терминах механики. Замечательный механик и математик, академик Алексей Николаевич Крылов писал в предисловии к его русскому переводу «Математических начал натуральной философии» Ньютона: «Начала …» Ньютона составляют незыблемое основание механики, теоретической астрономии и физики». Лагранж назвал это сочинение «величайшим из произведений человеческого ума». Ньютоновская механика – действительно непревзойденное достижение физики (натуральной философии), всей истории человеческой цивилизации. Она вечна.

21

ЗАДАЧНИК

Ф2145. Суточный спутник Земли вращается по круговой орбите, лежащей в экваториальной плоскости. В результате кратковременного включения тормозного двигателя скорость спутника уменьшается по величине на 1 м/с, а направление скорости не меняется. Найдите изменение периода обращения спутника. А.Повторов

Ф2146. По прямой бежит кролик, его скорость все время равна $v_{0} = 5$ м с. В точке, отстоящей на $L_{0} = 100$ м от этой прямой, сидит лиса. Она замечает кролика и бросается в погоню, когда тот находится на минимальном расстоянии от упомянутой точки. Лиса бежит с такой же по величине скоростью, вектор скорости лисы направлен в любой момент в точку, где находится кролик. Найдите максимальное ускорение лисы в процессе погони. Лису и кролика считать материальными точками. А.Старов

Ф2147. У Пети и Васи в кухне на даче имеется небольшой автоматический подогреватель воды. Он представляет собой пятилитровую емкость с хорошей теплоизоляцией и электрическим двухкиловаттным нагревателем. Емкость всегда соединена с водопроводной трубой, по которой в нее может поступать холодная вода, а внизу есть краник, через который можно отбирать горячую воду. Нагреватель снабжен реле с регулятором, позволяющим установить желаемую температуру воды. Подогреватель используется в основном для мытья посуды, а поскольку ночью посуду никто не моет, его на ночь отключают. И тут у братьев зашел спор. Петя считал, что они поступают экономно, отключая электропитание прибора на ночь. Вася же полагал, что разницы никакой нет – ведь за ночь вода сильно остывает, и утром нагреватель включается на более длительное время, а если оставлять электропитание, то за ночь нагреватель будет включаться много раз, зато на небольшое время, поддерживая заданную температуру воды. Чтобы решить спор, братья проделали эксперимент. Они установили регулятор температуры на $46 ^\circ$ С. Оказалось, что за 9 ночных часов вода остыла до $30 ^\circ$ С. Температура воздуха ночью в кухне была 16 °С. Достаточно ли этих данных, чтобы оценить, сколько придется платить в месяц, если отключать или не отключать питание подогревателя воды на ночь? Стоимость киловатт-часа принять равной 3 рублям. И.Леенсон

Ф2148. Давление насыщенных паров воды при +20 °С составляет 1000 Па, а при температуре +20,5 °С оно возрастает до 1020 Па. Определите по этим данным молярную теплоту испарения воды при +20 °С. З.Рафаилов

«КВАНТА»

выводам цепочки подключают батарейку напряжением U = 10 В.Какое количество теплоты выделится в резисторе сопротивлением $R_{1}$? А в резисторе сопротивлением $R_{2}$? А.Зильберман

Ф2150. В схеме на рисунке резисторы (слева направо) имеют сопротивления 500 Ом, 200 Ом и 200 Ом, напряжение батарейки 6 В. Амперметры одинаковые: каждый имеет сопротивление 1 Ом, «класс точности» 1%, ток полного отклонения 50 мА. Найдите показания амперметров. А.Простов

Ф2151. Три катушки, индуктивности которых 1 Гн, 2 Гн и 4 Гн, соединены «звездой». Общая точка заземлена куском провода, параллельно этому проводу включен конденсатор емкостью 10 мкФ. В некоторый момент свободные концы катушек подключают к батарейкам, создающим в точках подключения одинаковые потенциалы +6 В. Через время 0,1 с после подключения заземляющий провод перерезают. Найдите максимальный заряд конденсатора. Элементы цепи считать идеальными. Р.Александров

Ф2152. Широкий параллельный пучок лучей падает на прозрачный однородный шар из материала с коэффициентом преломления n = 1,414. Найдите размер светлого пятна на противоположной стороне шара. А.Шаров

Решения задач М2116 – М2123, Ф2130–Ф2137

M2116. Полный набор домино выкладывается на столе в замкнутую цепь, и для всех пар соседних доминошек вычисляется модуль разности очков на клетках, которыми они соприкасаются. Обозначим через S сумму всех таких модулей разностей. Ясно, что наименьшее значение S равно 0 (это происходит в том случае, когда замкнутая цепь выложена по правилам домино). А какое наибольшее значение может принимать сумма S?

Ответ: 96. Пронумеруем доминошки по часовой стрелке числами от 1 до 28, начиная с некоторой из них. Пусть первая и вторая доминошки соприкасаются очками $a_{1}$ и $b_{1}$, вторая и третья – очками $a_{2}$ и $b_{2}$, …, двадцать восьмая и первая – $a_{28}$ и $b_{28}$, причем $a_{i} \ge b_{i}$ для всех i от 1 до 28. Тогда в наборе чисел $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$, … $, a_{28}, b_{28}$ каждое

Ф2149. Конденсаторы емкостями С = = 100 мкФ и 2С и резистор сопротивлением $R_{1} = 10$ Ом соединены последовательно, а параллельно конденсатору емкостью С подключен резистор сопротивлением $R_{2} = 100$ кОм. К

31

КМШ

Задачи

Решите ребус ДЕЦЛ = МАЛ + ДА + УДАЛ, если ДЕЦЛ должен быть как можно меньше. (Разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми – одинаковые.) М.Ахмеджанова

В углах шахматной доски стоят четыре ладьи. Ладья каждым своим ходом перемещается (по горизонтали или вертикали) до упора в другую ладью или в край доски. Соберите все ладьи в четырех центральных клетках. А.Шаповалов

Барон Мюнхгаузен говорит, что у него есть многозначное число-палиндром (оно читается одинаково слева направо и справа налево). Написав его на бумажной ленте, барон сделал несколько разрезов между цифрами и получил на кусочках ленты числа 1, 2, …, N (каждое – ровно по одному разу). Не хвастает ли барон? А.Шаповалов

Если прямоугольник с вырезанным в нем отверстием неправильной формы подвесить за вершину A, сторона AB образует с вертикалью угол $30^\circ,$ а если за вершину B – угол $60^\circ.$ Какой угол с вертикалью образует сторона AB, если прямоугольник подвесить за середину этой стороны? Е.Соколов

Иллюстрации Д.Гришуковой

До повышения цен чай с двумя пряниками стоил 1 рубль. Когда все цены выросли (на одинаковое число процентов), рубля стало хватать только на чай с одним пряником. Потом цены опять выросли, причем на столько же процентов, как и в первый раз. Хватало ли после этого рубля хотя бы на чай? И.Акулич

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

34

КВАНТ 2009/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Шахматная фигура, которая умеет ходить и как ладья, и как конь, называется канцлером, а фигура, сочетающая возможности ферзя и коня, – магараджей. Расставьте на шахматной доске $8 \times 8$ четыре канцлера и четыре магараджи так, чтобы ни одна из фигур не била никакую другую. А.Грибалко

2. Числа A и B называются дружественными, если сумма всех делителей числа A, кроме самого A, равна B, а сумма всех делителей числа B, кроме самого B, равна A. (Например, 220 и 284 – дружественные.) Взяли два дружественных числа A и B. Затем нашли сумму чисел, обратных к делителям числа A, вычли единицу и получили результат $\alpha .$ Проделав то же самое для числа B, получили результат $\beta .$ Чему равно произведение $\alpha \beta$? Г.Гальперин

3. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены автомобильной дорогой, и между любыми двумя городами есть авиационное сообщение. Известно, что из каждого города выходит нечетное число дорог. Путешественник хочет проехать по каждой дороге ровно один раз (в одном из двух направлений). Какое наименьшее число авиаперелетов ему для этого придется сделать? П.Кожевников 4. Натуральное число a назовем уютным, если одно из чисел a – 1 и a + 1 простое, а другое – составное. Докажите, что уютных чисел бесконечно много. Д.Швецов 5. В четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BCD, при этом угол BCD равен $120 ^\circ$ и угол BAD равен $30 ^\circ$. Докажите, что периметр треугольника BCD равен длине диагонали AC. В.Произволов

Об одной хорошо забытой старой задаче

В.ДОЦЕНКО, К.ШРАМОВ

Ехали медведи На велосипеде, А за ними раки На хромой собаке, А за ними кот Задом наперед… К.Чуковский Введение Весной 2005 года авторы этой статьи подбирали задачи для вступительных собеседований в 9 математический класс 57-й школы города Москвы. На одно из последних собеседований было решено выбрать несколько малоизвестных (хотя бы восьмиклассникам) довольно содержательных задач, решение каждой из которых было бы – по той или иной причине – серьезным аргументом в пользу того, что решивший ее школьник сможет учиться в математическом классе. Вот условие одной из них: Расстояние между городами А и Б равно 30 км. Три туриста хотят добраться из города А в город Б. У них есть мотоцикл, на котором каждый из них может ехать со скоростью 60 км/ч, и велосипед, на котором каждый из них может перемещаться со скоростью 15 км/ч. Пешком каждый из них может перемещаться со скоростью 6 км/ч. Любое из средств передвижения можно оставить на дороге, чтобы кто-то из оставшихся туристов им воспользовался. а) Докажите, что туристам не удастся организовать путешествие так, что прибывший последним затратит на путь менее 2,5 часов.

41

ШКОЛА

из леммы 1 (параллельные переносы) и из леммы 2 (повороты с общим центром). А во всех композициях из лемм 3–7 порядок существен – рассматриваемые в них пары движений не коммутируют. Еще один пример коммутирующих движений – это осевая симметрия и параллельный перенос на вектор, параллельный оси симметрии. Поэтому при определении скользящей симметрии неважно, в каком порядке делать составляющие ее элементарные движения.

Решения задач

Решение задачи 1. Из условия следует, что при повороте на угол $120^\circ$ относительно точки M вершина A переходит в B, а С в D. Значит, при этом повороте направленный отрезок AC переходит в направленный отрезок BD, поэтому их длины равны, а угол между ними равен $120 ^\circ$. Значит, угол между направленными отрезками AC и DB равен $60 ^\circ$. Рассмотрим собственное движение, переводящее направленный отрезок AC в DB. По теореме Шаля, он является поворотом, а величина угла поворота должна быть равна углу между этими направленными отрезками, т.е. $60 ^\circ$. Центр этого поворота и будет искомой точкой N. Решение задачи 2. Рассмотрим движение, переводящее треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ в $A_{2} B_{2} C_{2}$. Поскольку эти треугольники различно ориентированы, рассматриваемое движение несобственное, а значит, является скользящей симметрией. Очевидно, что середина отрезка, соединяющая любую точку с ее образом при скользящей симметрии, лежит на оси этой симметрии. Решение задачи 3. Движение, описанное в задаче, является композицией трех осевых симметрий, а следовательно, несобственным движением плоскости. По теореме Шаля это скользящая симметрия. Очевидно, что при скользящей симметрии точки, сдвигающиеся на минимальное расстояние, это в точности точки оси. Действительно, все они сдвигаются на один и тот же вектор, параллельный оси симметрии, в то время как другие точки сдвигаются кроме этого еще и в направлении, перпендикулярном оси. Осталось найти ось этой симметрии. Для этого достаточно найти две точки на ней. Воспользуемся фактом, который уже помог нам при решении предыдущей задачи: середина отрезка, соединяющего точку с ее образом при скользящей симметрии, лежит на оси этой симметрии. Поэтому, чтобы найти ось, достаточно найти середины двух отрезков, соединяющих точки с их образами. Поиск можно сильно упростить, если удачно выбрать две точки, образ которых при рассматриваемой композиции легко найти. В качестве первой точки выберем вершину A треугольника. При первых двух симметриях она останется на месте, а при третьей отразится относительно стороны BC. Искомой серединой будет основание высоты, опущенной из вершины A. В качестве второй точки возьмем точку, симметричную точке C относительно стороны AB. При первой симметрии она перейдет в C, а при двух следующих останется на месте. Значит, вторая искомая точка – основание высоты, опущенной из точки C. Ответ: искомым множеством точек будет прямая, проходящая через основания высот, опущенных из вершин A и C треугольника ABC. Случай, когда эти основания высот совпадают (а это происходит, если треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B), следует разобрать отдельно. Оставляем это читателям в качестве упражнения.

В

«КВАНТЕ»

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1 (для тех, кто знаком с понятием группы). Докажите, что множество движений образует группу относительно операции композиции. Образует ли группу множество собственных движений? А множество несобственных движений? 2. Докажите (без использования теоремы Шаля), что любое движение можно представить в виде композиции не более трех осевых симметрий. 3. Получите другое доказательство теоремы Шаля с помощью задачи 2. 4. Скользящая симметрия задается парой (ось симметрии, вектор переноса). Докажите, что скользящие симметрии, задаваемые разными парами, различны. 5. Завершите решение задачи 3, рассмотрев случай прямоугольного треугольника с прямым углом B. 6. Образами скольких точек задается движение пространства? 7. Попытайтесь дать определения ориентации, а также собственного и несобственного движений в пространстве. Образами скольких точек задается собственное движение пространства? 8. Какое движения является композицией двух центральных симметрий с различными центрами? 9. Пусть $0 < \alpha, \beta, \gamma < 180 ^\circ, \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ$. Докажите, что композиция трех поворотов на углы $2 \alpha, 2 \beta, 2\gamma$ относительно точек A, B, C соответственно является тождественным преобразованием тогда и только тогда, когда углы треугольника ABC равны $\alpha, \beta$ и $\gamma$ соответственно. (Повороты осуществляются против часовой стрелки, а треугольник ABC отрицательно ориентирован.) 10. На плоскости нарисован многоугольник с нечетным числом сторон. Точку M отражают последовательно относительно середин последовательных сторон многоугольника, в результате чего получается точка $M_{1}$. Докажите, что середина отрезка $MM_{1}$ является вершиной многоугольника. 11. На плоскости был нарисован многоугольник с нечетным количеством сторон. Затем в нем отметили середины сторон, а сам многоугольник стерли. Восстановите многоугольник по отмеченным точкам с помощью циркуля и линейки. 12. Дан треугольник ABC. Постройте точки K, L и M так, чтобы треугольники AKM, BLK и CLM были равносторонними. 13. Дан произвольный треугольник. На двух его сторонах наружу построены равносторонние треугольники. Пусть M и N – вершины этих треугольников, не совпадающие с вершинами исходного. На третьей стороне также построили равносторонний треугольник, но теперь – во внутреннюю сторону. Пусть O – его центр. Найдите углы треугольника MNO. 14. Археологи нашли старинный свиток, в котором было написано: «Встань около березы, и дойди от нее, не сворачивая, до колодца, а у колодца поверни под прямым углом налево и пройди такое же расстояние. В том месте, где ты оказался, вбей колышек в землю. Теперь опять встань у березы, и дойди от нее, не сворачивая, до дуба, поверни под прямым углом направо и пройди такое же расстояние. Вбей второй колышек в землю. Посередине между колышками зарыт клад». Оказалось, что колодец и дуб по-прежнему на месте, но березы уже нет. Смогут ли археологи найти клад? 15. На сторонах произвольного четырехугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что у четырехугольника с вершинами в центрах этих квадратов диагонали перпендикулярны и равны.

43

ШКОЛА

В

«КВАНТЕ»

Так проявляется замечательное свойство движений плоскости: сделав последовательно поворот и сдвиг, мы в итоге снова получим поворот. Другими словами, когда мы сначала повернули одну картинку, а затем сдвинули ее относительно другой, полученный результат точно такой же, как если бы мы просто повернули первую картинку вокруг другой точки. Одно из доказательств этого факта можно прочитать, например, в статье С.Дориченко «Комплексные числа» в «Кванте» № 5 за 2008 год. Кстати, можно заметить, что

Рис. 4

Рис. 5

центр окружностей смещается примерно перпендикулярно направлению сдвига: это уже следствие того, что у нас малый угол поворота. Формула, приведенная в конце раздела «Задача о неподвижной точке и преобразования плоскости» упомянутой статьи, позволяет это понять. Другое доказательство имеется в статье В.Бугаенко «Теорема Шаля и движения плоскости» в этом номере журнала.

Там рассказано о классификации движений плоскости и о решении задач с помощью теоремы Шаля. Если вы умеете работать с рисунками на компьютере, эксперимент можно провести и без бумаги. При этом можно сделать и более сложные вещи – попробуйте разобраться, например, как получились рисунки 4 и 5 (где видны эллипсы и спирали).

Почему углеродные нанотрубки прочнее стали?

Очевидно, что если одну одностенную нанотрубку вложить в другую несколько большего диаметра, то прочность такой двухстенной нанотрубки будет почти в два раза больше, чем у одностенной. Поэтому у многостенных нанотрубок прочность в несколько раз выше. У конструкций из нанотрубок большое будущее. Их уже сейчас используют на практике, например для укрепления теннисных ракеток. В планах – делать из нанотрубок тросы для космических лифтов, чтобы снабжать всем необходимым космические станции на геостационарных орбитах.

(Начало см. на с. 7)

Идеальная нанотрубка не имеет никаких дефектов и представляет собой одну молекулу, в которой атомы углерода связаны между собой довольно прочными ковалентными связями. Сталь – это поликристалл, содержащий множество внутренних дефектов, таких как границы и микротрещины. При растяжении образца из стали один из таких дефектов превращается в трещину, и образец разрушается. Наличие множества дефектов у металлического образца объясняет пластичность металла. В то же время, нанотрубка не обладает пластичностью.

К.Богданов