Квант 2009, №5 · Страницы

1

СЕНТЯБРЬ

ОКТЯБРЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2009

©

Ю№5

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

2 7 13

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

11

НАНОТЕХНОЛОГИИ Космический нанолифт. К.Богданов

19 20

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2146–М2153, Ф2153–Ф2159 Решения задач М2124–М2130, Ф2138–Ф2144

28 29 29

К М Ш Задачи Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» Летний турнир имени А.П.Савина

32

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Наклонная плоскость

34 36

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Загадки магнитной стрелки (продолжение). И.Леенсон Ионосфера и шум цунами. А.Стасенко

38

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ Об одной неточности Исаака Ньютона. Б.Кондратьев

42 43

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Снова о теореме Морлея. Л.Штейнгарц Еще два доказательства теоремы Морлея

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного

Прямая Сильвестра. С.Табачников, В.Тиморин Многоликий протон. И.Иванов Задача Эрдеша – Секереша: продолжение истории. В.Кошелев, А.Райгородский редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

45

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

52

А.Н.Колмогоров

57

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2009, РАН, Фонд Осипьяна, журнал «Квант»

48 49

58

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Сохранение полной энергии в задачах термодинамики. А.Черноуцан

ОЛИМПИАДЫ Математическая олимпиада имени Леонарда Эйлера Заключительный этап XXXV Всероссийской олимпиады школьников по математике Заключительный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по физике Московская студенческая олимпиада по физике 2009 года

Ответы, указания, решения Информация (12) Вниманию наших читателей (27)

НА ОБЛОЖКЕ

I II III IV

Иллюстрация к статье И.Иванова Коллекция головоломок Шахматная страничка Прогулки с физикой

В издании журнала «Квант» финансовое участие принимает ОАО «ТЕХСНАБЭКСПОРТ»

7

Многоликий протон

И.ИВАНОВ

ИЗУЧАЯ СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА, ФИЗИКИ УЗНА- ли, из чего сделаны атомы, добрались до атом ного ядра и расщепили его на протоны и нейтроны. Все эти шаги давались довольно легко – надо было лишь разогнать частицы до нужной энергии, столкнуть их друг с другом, и тогда они сами разваливались на составные части. А вот с протонами и нейтронами такой трюк уже не прошел. Хотя они и являются составными частицами, их не удается «разломать на части» ни в каком даже самом сильном столкновении. Поэтому физикам потребовались десятилетия для того, чтобы придумать разные способы заглянуть внутрь протона, увидеть его устройство и форму. В наши дни изучение структуры протона – одна из самых активных областей физики элементарных частиц.

Природа дает намеки

История изучения структуры протонов и нейтронов берет свое начало с 1930-х годов. Когда в дополнение к протонам были открыты нейтроны (1932), то, измерив их массу, физики с удивлением обнаружили, что она очень близка к массе протона. Более того, оказалось, что протоны и нейтроны «чувствуют» ядерное взаимодействие совершенно одинаковым образом. Настолько одинаковым, что, с точки зрения ядерных сил, протон и нейтрон можно считать как бы двумя проявлениями одной и той же частицы – нуклона: протон – это электрически заряженный нуклон, а нейтрон – нейтральный нуклон. Поменяйте протоны на нейтроны – и ядерные силы (почти) ничего не заметят. Физики это свойство природы выражают как симметрию – ядерное взаимодействие симметрично относительно замены протонов на нейтроны, подобно тому как бабочка симметрична относительно замены левого на правое. Эта симметрия, кроме того что она сыграла важную роль в ядерной физике, была на самом деле первым намеком на то, что у нуклонов имеется интересное внутреннее строение. Правда тогда, в 30-е годы, физики этот намек не осознали. Понимание пришло позже. Началось с того, что в 1940-50-е годы в реакциях столкновения протонов с ядрами различных элементов ученые с удивлением обнаруживали все новые и новые частицы. Не протоны, не нейтроны, не открытые к тому времени пимезоны, которые удерживают нуклоны в ядрах, а какие-то совсем новые частицы. При всем своем разнообразии эти новые частицы обладали двумя общими свойствами. Во-первых, они, так же как и нуклоны, очень охотно участвовали в ядерных взаимодействиях – сейчас такие частицы называют адронами. А во-

вторых, они были исключительно нестабильными. Самые неустойчивые из них распадались на другие частицы всего за триллионную долю наносекунды, не успев пролететь даже на размер атомного ядра! Долгое время «зоопарк» адронов представлял из себя полную мешанину. В конце 1950-х годов физики узнали уже достаточно много разных видов адронов, начали сравнивать их друг с другом и вдруг увидели некую общую симметричность, даже периодичность их свойств. Была высказана догадка, что внутри всех адронов (в том числе и нуклонов) сидят некие простые объекты, которые получили название «кварки». Комбинируя кварки разными способами, можно получать разные адроны, причем именно такого типа и с такими свойствами, которые обнаруживались в эксперименте.

Что делает протон протоном?

После того как физики открыли кварковое устройство адронов и узнали, что кварки бывают нескольких разных сортов, стало понятно, что из кварков можно сконструировать много различных частиц. Так что уже никого не удивляло, когда последующие эксперименты продолжали один за другим находить новые адроны. Но среди всех адронов обнаружилось целое семейство частиц, состоящих, точно так же как и протон, только из двух u-кварков и одного d-кварка. Этакие «собратья» протона. И вот тут физиков подстерегал сюрприз. Давайте сначала сделаем одно простое наблюдение. Если у нас есть несколько предметов, состоящих из одинаковых «кирпичиков», то более тяжелые предметы содержат больше «кирпичиков», а более легкие – меньше. Это очень естественный принцип, который можно называть принципом комбинирования или принципом надстройки, и он прекрасно выполняется как в повседневной жизни, так и в физике. Он проявляется даже в устройстве атомных ядер – ведь более тяжелые ядра просто состоят из большего числа протонов и нейтронов. Однако на уровне кварков этот принцип совершенно не работает, и, надо признаться, физики еще не до конца разобрались, почему. Оказывается, тяжелые собратья протона тоже состоят из тех же самых кварков, что и протон, хотя они в полтора, а то и в два раза тяжелее протона. Они отличаются от протона (и различаются между собой) не составом, а взаимным расположением кварков, тем, в каком состоянии относительно друг друга эти кварки находятся. Достаточно изменить взаимное положение кварков – и мы из протона получим другую, заметно более тяжелую частицу. А что будет, если все-таки взять и собрать вместе больше трех кварков? Получится ли новая тяжелая

8

КВАНТ 2009/№5

частица? Удивительно, но не получится – кварки разобьются по трое и превратятся в несколько разрозненных частиц. Почему-то природа «не любит» объединять много кварков в одно целое! Лишь совсем недавно, буквально в последние годы, стали появляться намеки на то, что некоторые многокварковые частицы все же существуют, но это лишь подчеркивает, насколько природа их не любит. Из этой комбинаторики следует очень важный и глубокий вывод – масса адронов вовсе не складывается из массы кварков. Но если массу адрона можно увеличить или уменьшить простым перекомбинированием составляющих его кирпичиков, значит, вовсе не сами кварки ответственны за массу адронов. И действительно, в последующих экспериментах удалось узнать, что масса самих кварков составляет лишь около двух процентов от массы протона, а вся остальная тяжесть возникает за счет силового поля (ему отвечают специальные частицы – глюоны), связывающего кварки вместе. Изменяя взаимное расположение кварков, например отодвигая их подальше друг от друга, мы тем самым изменяем глюонное облако, делаем его более массивным, из-за чего и возрастает масса адрона (рис.1).

их друг к другу, теперь являются самостоятельными партонами и наряду с кварками несут «вещество» и энергию быстро летящего протона. Опыты показали, что примерно половина энергии запасена в кварках, а половина – в глюонах. Партоны удобнее всего изучать в столкновении протонов с электронами. Дело в том, что, в отличие от протона, электрон не участвует в сильных ядерных взаимодействиях и его столкновение с протоном выглядит весьма просто: электрон на очень короткое время испускает виртуальный фотон, который врезается в заряженный партон и порождает в конце концов большое число частиц (рис.2). Можно сказать, что электрон является отличным скальпелем для «вскрытия» протона и разделения его на отдельные части – правда,

Рис.2. При столкновении протона с электроном между ними «проскакивает» квант электромагнитного поля – фотон. Сталкиваясь с одним из партонов в протоне, он порождает много вторичных адронов, например мезонов

Рис.1. Условное изображение протона и нескольких его «собратьев». Цветные точки – это кварки, которые связаны друг с другом глюонным полем (голубое облачко). Несмотря на то, что все эти частицы составлены из одних и тех же кварков, у них разные массы и разные времена жизни. Массы частиц выражены в энергетических единицах – мегаэлектронвольтах (МэВ)

Что творится внутри быстро летящего протона?

Все описанное выше касается неподвижного протона, на языке физиков – это устройство протона в его системе покоя. Однако в эксперименте структура протона была впервые обнаружена в других условиях – внутри быстро летящего протона. В конце 1960-х годов в экспериментах по столкновению частиц на ускорителях было замечено, что летящие с околосветовой скоростью протоны вели себя так, словно энергия внутри них не распределена равномерно, а сконцентрирована в отдельных компактных объектах. Эти сгустки вещества внутри протонов знаменитый физик Ричард Фейнман предложил называть партонами (от английского part – часть). В последующих экспериментах были изучены многие свойства партонов – например, их электрический заряд, их количество и доля энергии протона, которую каждый из них несет. Оказывается, заряженные партоны – это кварки, а нейтральные партоны – это глюоны. Да-да, те самые глюоны, которые в системе покоя протона просто «прислуживали» кваркам, притягивая лишь на очень короткое время. Зная, как часто происходят такие процессы на ускорителе, можно измерить количество партонов внутри протона и их заряды.

Кто такие партоны на самом деле?

И здесь мы подходим к еще одному поразительному открытию, которое сделали физики, изучая столкновения элементарных частиц при высоких энергиях. В обычных условиях вопрос о том, из чего состоит тот или иной предмет, имеет универсальный ответ для всех систем отсчета. Например, молекула воды состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода – и не важно, смотрим ли мы на неподвижную или на движущуюся молекулу. Однако это правило – казалось бы, такое естественное! – нарушается, если речь идет об элементарных частицах, движущихся со скоростями, близкими к скорости света. В одной системе отсчета сложная частица может состоять из одного набора субчастиц, а в другой системе отсчета – из другого. Получается, что состав – понятие относительное! Как такое может быть? Ключевым здесь является одно важное свойство: количество частиц в нашем мире не фиксировано – частицы могут рождаться и исчезать. Например, если столкнуть вместе два электрона с достаточно большой энергией, то вдобавок к этим двум электронам может родиться либо фотон, либо электрон-позитронная пара, либо еще какие-нибудь части-

9

МНОГОЛИКИЙ

цы. Все это разрешено квантовыми законами, именно так и происходит в реальных экспериментах. Но этот «закон несохранения» частиц работает при столкновениях частиц. А как же получается, что один и тот же протон с разных точек зрения выглядит состоящим из разного набора частиц? Дело в том, что протон – это не просто три кварка, сложенные вместе. Между кварками существует силовое глюонное поле. Вообще, силовое поле (как, например, гравитационное или электрическое поле) – это некая материальная «сущность», которая пронизывает пространство и позволяет частицам оказывать силовое влияние друг на друга. В квантовой теории поле тоже состоит из частиц, правда из особенных – виртуальных. Количество этих частиц не фиксировано, они постоянно «отпочковываются» от кварков и поглощаются другими кварками. Покоящийся протон действительно можно представить себе как три кварка, между которыми перескакивают глюоны. Но если взглянуть на тот же протон из другой системы отсчета, словно из окна проезжающего мимо «релятивистского поезда», то мы увидим совсем иную картину. Те виртуальные глюоны, которые склеивали кварки вместе, покажутся уже менее виртуальными, «более настоящими» частицами. Они, конечно, по-прежнему рождаются и поглощаются кварками, но при этом какое-то время живут сами по себе, летят рядом с кварками, словно настоящие частицы. То, что выглядит простым силовым полем в одной системе отсчета, превращается в другой системе в поток частиц! Заметьте, сам протон мы при этом не трогаем, а только смотрим на него из другой системы отсчета. Дальше – больше. Чем ближе скорость нашего «релятивистского поезда» к скорости света, тем более удивительную картину внутри протона мы увидим. По мере приближения к скорости света мы заметим, что глюонов внутри протона становится все больше и больше. Более того, они иногда расщепляются на кварк-антикварковые пары, которые тоже летят рядом и тоже считаются партонами. В результате ультрарелятивистский протон, т.е. протон, движущийся относительно нас со скоростью, очень близкой к скорости света, предстает в виде взаимопроникающих облачков кварков, антикварков и глюонов, которые летят вместе и как бы поддерживают друг друга (рис.3). Читатель, знакомый с теорией относительности, может забеспокоиться. Вся физика основана на том принципе, что любой процесс протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчета. А тут получает-

ПРОТОН

ся, что состав протона зависит от системы отсчета, из которой мы его наблюдаем?! Да, именно так, но это никак не нарушает принцип относительности. Результаты физических процессов – например, какие частицы и сколько рождаются в результате столкновения – действительно оказываются инвариантными, хотя состав протона зависит от системы отсчета. Эта необычная на первый взгляд, но удовлетворяющая всем законам физики ситуация схематично проиллюстрирована на рисунке 4. Здесь показано, как столкновение двух протонов с большой энергией выглядит

Рис.4 Схематичное изображение столкновения двух протонов при очень большой энергии: в системе покоя второго протона (а), в системе центра масс (б), в системе покоя первого протона (в). Во всех трех случаях взаимодействие протонов осуществляется через обмен «глюонного дерева», но к кому именно его относить (к первому или ко второму протону или же считать отдельным взаимодействием) – зависит от системы отсчета

в разных системах отсчета: в системе покоя одного протона, в системе центра масс, в системе покоя другого протона. Взаимодействие между протонами осуществляется через каскад расщепляющихся глюонов, но только в одном случае этот каскад считается «внутренностью» одного протона, в другом случае –

Рис.3. Схематичное изображение протона в разных системах отсчета. Медленно движущийся протон (а) можно представлять в виде трех кварков (сплошные линии), которые связаны друг с другом глюонами (штриховые линии). В быстро движущемся протоне (б) глюоны уже иногда летят рядом с кварками. При скорости протона, очень близкой к скорости света (в), и глюоны, и порожденными ими кварк-антикварковые пары становятся полноправными партонами – составляющими частями протона

10

КВАНТ 2009/№5

частью другого протона, а в третьем – это просто некий объект, которым обмениваются два протона. Этот каскад существует, он реален, но к какой части процесса его надо относить – зависит от системы отсчета.

Трехмерный портрет протона

Все результаты, про которые мы только что рассказали, базировались на экспериментах, выполненных довольно давно – в 60-70-х годах прошлого века. Казалось бы, с тех пор все уже должно быть изучено и все вопросы должны найти свои ответы. Но нет – устройство протона по-прежнему остается одной из самых интересных тем в физике элементарных частиц. Более того, в последние годы интерес к ней снова возрос, потому что физики поняли, как получить «трехмерный» портрет быстро движущегося протона, который оказался гораздо сложнее портрета неподвижного протона. Классические эксперименты по столкновению протонов рассказывают лишь о количестве партонов и их распределении по энергии. В таких экспериментах партоны участвуют как независимые объекты, а значит, из них нельзя узнать, как партоны расположены друг относительно друга, как именно они складываются в протон. Можно сказать, что долгое время физикам был доступен лишь «одномерный» портрет быстро летящего протона. Для того чтобы построить настоящий, трехмерный портрет протона и узнать распределение партонов в пространстве, требуются гораздо более тонкие эксперименты, чем те, которые были возможны 40 лет назад. Такие эксперименты физики научились ставить совсем недавно, буквально в последнее десятилетие. Они поняли, что среди огромного количества разных реакций, которые происходят при столкновении электрона с протоном, есть одна особенная реакция – глубоковиртуальное комптоновское рассеяние, – которая и сможет рассказать о трехмерной структуре протона. Вообще, комптоновским рассеянием, или эффектом Комптона, называют упругое столкновение фотона с какой-нибудь частицей, например с протоном. Выглядит оно так: прилетает фотон, поглощается протоном, который на короткое время переходит в возбужденное состояние, а потом возвращается в исходное состояние, испуская фотон в каком-нибудь направлении. Комптоновское рассеяние обычных световых фотонов не приводит ни к чему интересному – это простое отражение света от протона. Для того чтобы «вступила в игру» внутренняя структура протона и «почувствовались» распределения кварков, надо использовать фотоны очень большой энергии – в миллиарды раз больше, чем в обычном свете. А как раз такие фотоны – правда, виртуальные – легко порождает налетающий электрон. Если теперь объединить одно с другим, то и получится глубоко-виртуальное комптоновское рассеяние (рис.5). Главная особенность этой реакции состоит в том, что она не разрушает протон. Налетающий фотон не просто бьет по протону, а как бы тщательно его ощупывает и затем улетает прочь. То, в какую сторону он улетает

Рис.5. Схема глубоко-виртуального комптоновского рассеяния. Налетающий электрон испускает виртуальный фотон, который и рассеивается на протоне наподобие эффекта Комптона

и какую часть энергии у него отбирает протон, зависит от устройства протона, от взаимного расположения партонов внутри него. Именно поэтому, изучая этот процесс, можно восстановить трехмерный облик протона, как бы «вылепить его скульптуру». Правда, для физика-экспериментатора сделать это очень непросто. Нужный процесс происходит довольно редко, и зарегистрировать его трудно. Первые экспериментальные данные об этой реакции были получены лишь в 2001 году на ускорителе HERA в немецком ускорительном комплексе DESY в Гамбурге; новая серия данных сейчас обрабатывается экспериментаторами. Впрочем, уже сегодня, на основании первых данных, теоретики рисуют трехмерные распределения кварков и глюонов в протоне. Физическая величина, про которую физики раньше строили лишь предположения, наконец стала «проступать» из эксперимента. Ждут ли нас какие-нибудь неожиданные открытия в этой области? Вполне вероятно, что да. В качестве иллюстрации скажем, что в ноябре 2008 года появилась интересная теоретическая статья, в которой утверждается, что быстро летящий протон должен иметь вид не плоского диска, а двояковогнутой линзы. Так получается потому, что партоны, сидящие в центральной области протона, сильнее сжимаются в продольном направлении, чем партоны, сидящие на краях. Было бы очень интересно проверить эти теоретические предсказания экспериментально!

Почему все это интересно физикам?

Зачем вообще физикам надо знать, как именно распределено вещество внутри протонов и нейтронов? Во-первых, этого требует сама логика развития физики. В мире есть много поразительно сложных систем, с которыми современная теоретическая физика пока не может полностью совладать. Адроны – одна из таких систем. Разбираясь с устройством адронов, мы оттачиваем способности теоретической физики, которые вполне могут оказаться универсальными и, возможно, помогут в чем-то совсем ином, например при изучении сверхпроводников или других материалов с необычными свойствами. Во-вторых, тут есть непосредственная польза для ядерной физики. Несмотря на почти вековую историю изучения атомных ядер, теоретики до сих пор не знают точный закон взаимодействия протонов и нейтронов.

13

Задача Эрдеша – Секереша: продолжение истории

В.КОШЕЛЕВ, А.РАЙГОРОДСКИЙ

Снова в путь

В «Кванте» №2 за этот год была опубликована наша статья «Задача Эрдеша – Секереша о выпуклых многоугольниках» [1]. Там мы рассказывали удивительную (а местами даже романтическую) историю одной из самых красивых и популярных проблем комбинаторной геометрии – историю, которая началась 75 лет назад и которая весьма далека от своего завершения. Читателю, желающему как следует понять истоки того, о чем мы поведем речь в нынешней статье, необходимо, конечно, вооружиться вышеупомянутой статьей, ведь здесь мы лишь напомним краткое содержание «предыдущих серий», а после двинемся в принципиально новые для нас, до сих пор неизведанные области. Итак, основными объектами нашего исследования были множества точек общего положения на плоскости. Напомним, что таковы все множества, никакие три элемента которых не лежат на одной прямой. Нашей целью было отыскание для каждого натурального числа n значения функции g ( n ), которую мы полагали равной наименьшему g такому, что в любом множестве общего положения на плоскости, имеющем мощность g, обязательно есть n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника. Сперва мы обсудили вопрос о поведении функции g ( n ) при $n \in { 3,4,5,6 }$ и выяснили, что всякий раз $g ( n ) = 2^{n} -^{2} + 1$. Затем мы убедились в том, что вообще при всех $n \ge 3$ величина g ( n ) конечна и что, более того, $g ( n ) \le 4^{n}$, точнее $g ( n ) \le C_{2} nn --_{5}^{2} + 1$ при $n \ge 5$. Наконец, мы показали, что опять-таки при любом $n g ( n ) \ge 2^{n} -^{2} + 1$. Вот, в сущности, и все. Оказывается, однако, что это лишь начало пути. И дело не только в том, что точный вид функции g ( n ) по-прежнему неизвестен (мы лишь можем верить вслед за авторами проблемы, что $g ( n ) = 2^{n} -^{2} + 1 );$ дело еще и в том, что исходная задача допускает ряд весьма естественных, ничуть не менее красивых обобщений и, как принято говорить в науке, модификаций. Именно о них мы теперь и поговорим.

Выпуклые и пустые многоугольники

Модификация задачи Эрдеша – Секереша

Спустя без малого полвека с момента выхода в свет замечательной статьи [2], а точнее в 1978 году, П.Эрдеш предложил слегка видоизменить условие исходной проблемы, которая к тому времени стала классической.

Он задался вопросом: что если мы будем искать в том или ином $множестве^{X}$ общего положения на плоскости не просто вершины выпуклых многоугольников, но вершины таких выпуклых многоугольников, внутри которых нет других точек $множества^{X}$? Такие многоугольники естественно называть пустыми или дырами. На рисунке 1 показан пример дыры и пример не дыры. Введем величину h ( n ), которая послужит аналогом величины g ( n ) в рамках но- Рис 1. Пример дыры и не дыры вой задачи. Что это значит? По идее, все очень просто. Допустим, для данного натурального $n \ge 3$ мы нашли такое число h, что в любом множестве общего положения на плоскости, имеющем мощность h, есть пустой n-угольник и найдется множество общего положения на плоскости, имеющее размер h – 1 и дыр на n вершинах не содержащее. Вот и положим тогда h ( n ) = h. Просто? Не совсем. Дело в том, что сходу не вполне понятно, почему наличие пустых многоугольников в произвольном h-точечном множестве гарантирует нам их присутствие в каждом множестве размера h + 1. Возникает проблема с соблюдением условия пустоты, которого раньше (т.е. при определении величины g ( n ) ) вовсе не было. Иными словами, если прежде мы спокойно говорили о пограничной величине g ( n ), начиная с которой всякое множество соответствующего размера содержало выпуклый многоугольник, то отныне такое спокойствие еще нужно заслужить. По счастью, проблема легко устранима. Утверждение 1. Пусть при некотором h любое множество общего положения на плоскости, имеющее мощность h, содержит выпуклый и пустой n-угольник. Тогда то же самое верно и для каждого множества общего положения размера h + 1. Доказательство. Рассмотрим произвольное множество X мощности $h + 1. Пусть^{H}$ – многоугольник, являющийся его выпуклой оболочкой (см. [1]). Удалим $из^{X}$ любую вершину этого многоугольника. Останется множество размера h, в котором, по нашему предположению, есть выпуклый и пустой n-угольник. Очевидно, выкинутая нами вершина находится вне этого n-угольника. Значит, X содержит выпуклый и пустой n-угольник. Утверждение доказано. Если каждому h, для которого существует множество

19

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 января 2010 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №5–2009» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2146» или «Ф2153». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2149 и М2150 предлагались на Математической олимпиаде имени Леонарда Эйлера.

Задачи М2146–М2153, Ф2153–Ф2159

M2146. На координатной плоскости нарисовали 2008 графиков квадратных трехчленов. Может ли оказаться, что для каждого из них существует прямая, имеющая общие точки с любым графиком, кроме него? Н.Агаханов, И.Богданов

M2147. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано действительное число так, что все бесконечные в обе стороны горизонтальные и вертикальные последовательности чисел периодические. Докажите, что найдется бесконечно много горизонтальных последовательностей с различными наименьшими периодами тогда и только тогда, когда найдется бесконечно много вертикальных последовательностей с различными наименьшими периодами. Е.Знак

M2148. По кругу выписаны числа 1, 2, 3, …, 100 в некотором порядке. Петя вычислил 100 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшую из этих сумм. Какое наибольшее число могло быть написано на доске? П.Кожевников

M2149. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника такова, что $\angle$ ADC $= 2 \angle$ ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до внешней биссектрисы угла ADC равно AD + DC. С.Берлов

M2150. В стране Леонардии все дороги – с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число

жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго. Н.Гравин

M2151. Числовой треугольник 1

1

1 2

1 3

1 2

1

1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1

… составлен по следующему правилу. В первой строке одно число, равное 1. В k-й строке (k = 2, 3, …) записывается 2k – 1 чисел, каждое из которых равно сумме трех чисел: числа, стоящего над ним, и двух его соседей в предыдущей строке (если некоторых из таких трех чисел нет, то они считаются равными 0). Докажите, что в среднем столбце не встретится чисел, дающих остаток 2 при делении на 3. К.Каибханов

$M2152^{*}$. Пара ( p, q ) различных простых чисел называется особой, если существует a, представимое в виде $a = x^{p} + y^{p} = z^{q} + t^{q}$ для некоторых натуральных x, y, z, t, но не представимое в виде $u^{pq} + v^{pq}$, где u и v – натуральные числа. Докажите, что любое простое число p входит в бесконечное число особых пар. В.Сендеров

$M2153^{*}$. Сумма телесных углов при вершинах выпуклого многогранника равна $\pi$. Докажите, что существует замкнутый маршрут по его ребрам, проходящий

28

КМШ

КВАНТ 2009/№5

Задачи

Петя и Вася едут в соседних вагонах поезда. Вагон, в котором едет Петя, – пятый от «головы» поезда, а вагон, в котором едет Вася, – седьмой с «хвоста». Сколько вагонов в поезде? М.Ахмеджанова

грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые червяки переползут из плохих грибов в хорошие? А.Канель

Для двух разных шариков легко сделать колечко, которое можно плотно надеть на каждый шарик (чтобы не было щелей). А если взять две разные картофелины? Всегда ли удастся изготовить проволочное кольцо, возможно изогнутое и не плоское, которое можно будет плотно надеть на каждую из картофелин? Г.Гальперин

На рисунке изображена фигура, все углы между ее соседними отрезками прямые. Как с помощью только карандаша и линейки без делений провести прямую, которая отсекала бы от фигуры кусок, по площади равный половине площади фигуры? В.Крюков

Иллюстрации Д.Гришуковой

Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червяков. Если же в грибе меньше 10 червяков, он считается хорошим. В лукошке 90 плохих и 10 хороших

По коридору идет толпа. Перед развилкой коридора стоит разделитель. Он направляет одного человека налево, а другого направо, так что поток делится на две одинаковые части. При помощи нескольких таких разделителей можно отделить четверть потока или три восьмых его. А можно ли отделить треть потока? В.Арнольд

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

29

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. На новом сайте «Разговоры.ru» зарегистрировались 2000 человек. Каждый из них пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться? А.Эвнин

7. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны? Н.Авилов

8. Двести гирек массой 1 г, 2 г, …, 200 г разложили на две чаши весов так, что любые две гири с разницей

масс 100 г попали на разные чаши и любые две гири с суммой масс 201 г тоже попали на разные чаши. При этом весы оказались в равновесии. Затем с каждой чаши убрали все гири четной массы. Докажите, что весы снова будут в равновесии. В.Произволов

9. Найдутся ли такие натуральные числа a, b, c, d, что $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = 100 100$? М.Мурашкин

10. На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP = CQ. Докажите, что центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба. В.Произволов

Летний турнир имени А.П.Савина

Каждый год в конце июня увлеченные математикой школьники собираются в красивом месте Костромской области, чтобы соревноваться в решении задач. Турнир носит имя Анатолия Павловича Савина, основателя конкурса «Математика 6–8» журнала «Квант». Благодаря конкурсу в 1993 году и возник этот турнир математических боев. Организаторы турнира – журнал «Квант» и образовательная программа «Большая перемена» (руководитель Г.В. Кондаков). Этим летом команды съехались на 7 дней (с 26 июня по 2 июля 2009 года) под город Судиславль на живописную базу отдыха «Берендеевы Поляны». Многие ребята приехали сюда гораздо раньше – они учились в летней математической школе, которая началась 11 июня, после которой решили остаться на турнир. В нынешнем году друг с другом играли команды 6–8 классов: 8 команд 6 классов, 12 команд 7 классов и 8 команд 8 классов. Школьники приехали из Москвы, Санкт-Петербурга, Иванова, Костромы, Тамбова и Черноголовки. Команда Тамбова была приглашена на турнир как победитель конкурса «Математика 6–8» журнала «Квант». В день заезда (25 июня) сразу была проведена оживленная математическая игра «Магический квадрат». Победителями стали команды «Фрактал» (6 класс, Санкт-Петербург), «Интеллектуал» (7 класс, Москва) и «218-Б» (8 класс, Москва). На следующий день прошла устная командная олимпиада, по результатам которой команды были разделены на лиги по классам, при этом 7 класс был разбит на две лиги. Далее в каждой лиге проходили математические бои. Последний день турнира – финальные бои, которые определили победителей в каждой лиге. В лиге 8 классов первое место заняла команда «Москва-Юг». Ее собрала Т.П. Зорина в июньской летней математической школе 2008 года. За год с небольшим ребята выиграли разные турниры, включая этот турнир в прошлом году. В высшей лиге 7 классов лучшей стала команда кружка МЦНМО под руководством А.В. Спивака. Лучшие шестиклассники – ребята из кружка «Фрактал» Санкт-Петербурга, их преимущество оказалось ощутимым и во время боев, и во время командной олимпиады. Лучшей во второй лиге 7 классов стала команда школы 82 из Черноголовки Московской области. Ниже в таблице приведен список всех команд-призеров турнира. В один из дней турнира участники отдохнули от боев – прошла личная олимпиада. В каждой параллели проводилось свое состязание со своими задачами. В 6 классе за решение всех задач «гран-при» получил Андрей Волгин (команда МЦНМО), а диплом I степени выиграл костромич Иван Петренко. Лучшим семиклассником стал Никита Сопенко (команда Тамбова), лучшим восьмиклассником – Михаил Артемьев (гимназия 1543, Москва). Обладателями дипломов II степени стали: Семен Верченко (8 класс, гимназия 1543), Мария Сандрикова (8 класс, ЦО 218),

30

КВАНТ 2009/№5

Лига

Диплом

Команда

Капитан

Руководитель

Высшая 8 Высшая 8 Высшая 8 Высшая 8 Высшая 8 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 6 Высшая 6 Высшая 6 Высшая 6 Высшая 6 Первая 7 Первая 7

I степени II степени II степени III степени III степени I степени II степени II степени III степени III степени I степени II степени II степени III степени III степени I степени II степени

Москва-Юг Гимназия 1514, Москва Лицей 14, Тамбов ЦО 218, Москва Гимназия 1543, Москва МЦНМО, Москва Сборная Костромы Интеллектуал, Москва Гимназия 1543, Москва Гимназия 1514, Москва Фрактал, Санкт-Петербург Воробьевы Горы, Москва ЦО 218, Москва Квантик, Москва Горные Воробьи, Москва Школа 82, Черноголовка Школа 179, Москва

Ф.Лященко А.Понфиленко Н.Сопенко М.Сандрикова М.Артемьев Т.Левинсон Р.Цветников Ю.Гребенникова Ю.Котельникова Т.Степанов Е.Цейтина И.Гущенко-Чеверда А.Зерцалов В.Волков А.Мельник А.Потапов И.Пантелеева

Т.П.Зорина О.Р.Горская А.В.Бурмистрова А.Д.Блинков А.В.Хачатурян А.В.Спивак Д.А.Калинин Н.М.Нетрусова И.В.Раскина Т.В.Житникова А.П.Погода Т.П.Зорина Ю.А.Блинков И.А.Николаева Т.П.Зорина Л.Н.Головко А.Ю.Юрков

Юлия Гребенникова (7 класс, «Интеллектуал»), Максим Хабаров (7 класс, школа 30, Санкт-Петербург), Алексей Быстров (6 класс, Кострома), Степан Каргальцев (6 класс, ЦО 218), Никита Уваров (6 класс, гимназия 1543) и Михаил Ягудин (6 класс, команда МММФ). Дипломами III степени награждены Алексей Виноградов (8 класс, гимназия 1514), Анна Добровольская (8 класс, гимназия 1514), Лев Синяков (8 класс, «Москва-Юг»), Петр Мельниченко (7 класс, ЦО 218), Богдан Славов (7 класс, школа 179), Марина Хачатурян (7 класс, гимназия 1543), Иван Буренев (6 класс, «Фрактал»), Андрей Зерцалов (6 класс, ЦО 218), Дарья Лебедева (6 класс, «Фрактал»), Сергей Полевой (6 класс, «Москва-Юг») и Павел Шевчук (6 класс, «Горные Воробьи»). Помимо этого, многие ребята были поощрены дипломами за успешное участие и похвальными грамотами. В часы, свободные от основных соревнований, участники олимпиады слушали лекции по математике, которые читали А.В.Спивак, С.И.Токарев, А.Б.Скопенков, А.В.Шаповалов, А.А.Заславский, С.Г.Волченков. Но развлечения были не только математические. Никогда не пустовали футбольное поле и волейбольная площадка. По вечерам проходили интеллектуальные игры, которые проводили Н.М.Нетрусова и А.В.Хачатурян. Очень интересные путешествия-экскурсии организовывала Т.П.Зорина, которая давно увлекается историей Судиславля и окрестных земель и теперь стала, наверное, самым лучшим экскурсоводом по этому древнему городу. Более подробную информацию о результатах турнира и фотографии можно посмотреть на сайте http://kostroma-open.info/20090626.html Отбором задач и составлением вариантов занималась методическая комиссия под руководством Александра Васильевича Шаповалова. В нее вошли А.Д.Блинков, Ю.А.Блинков, Н.Т.Гребеник, Е.С.Горская, С.А.Дориченко, А.А.Заславский, Д.А.Калинин, Т.В.Караваева, П.В.Мартынов, К.А.Матвеев, Д.В.Прокопенко, И.В.Раскина, А.Б.Скопенков, К.А.Скопцов, С.И.Токарев, А.В.Шаповалов. Существенный вклад в работу комиссии внесли руководители команд. Книги и другие призы для победителей предоставили журнал «Квант», компания «Яндекс» и Фонд математического образования и просвещения (директор С.И.Комаров). По традиции, идущей еще от первых турниров, в турнире было заявлено много новых авторских задач. Из них мы постарались выбрать такие, где из условий следует чуть-чуть больше, чем можно ожидать, или в решении есть неожиданный поворот и краткость. После номера каждой задачи указано, для каких классов она наиболее подходит.

Избранные задачи турнира

1 (7–8). У трех братьев Антона, Бори и Васи дни рождения совпадают. Оказалось, что когда Aнтону исполнится 12 лет, сумма возрастов двух других братьев разделится на 12 без остатка. То же самое случится, когда 12 лет исполнится Боре. Докажите, что так же будет, когда 12 лет исполнится Васе. А.Шаповалов

2 (7). В равнобедренном треугольнике ABC (AB = = AC) проведена биссектриса BD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно BD, пересекает сторону BC в точке K. Докажите, что BK = 2CD. Фольклор

3 (7–8). Три сталкера дошли до Каменной Аномалии. Оттуда к кладу ведет тропа длиной 100 м. Сталкеры знают, что первый пошедший по тропе окаменеет в произвольном месте и что такая же участь ждет и второго. Оба оживут в тот момент, когда третий будет идти по тропе и суммарное расстояние от него до двух окаменевших спутников будет в точности равно 100 м. Могут ли сталкеры добраться до клада без риска окаменеть навсегда? А.Блинков, И.Раскина

4 (8). Три окружности проходят через точку Р и попарно пересекаются в точках А, В и С. Известно, что центр одной окружности лежит на прямой АР, а центр другой – на прямой ВР. Докажите, что центр третьей окружности лежит на прямой СР. Б.Френкин

5 (8). Можно ли разбить все натуральные числа от 1 до 2009 на две группы так, чтобы сумма чисел в одной группе равнялась произведению чисел в другой группе? А.Шаповалов

6 (8). На клетчатой бумаге нарисован 222-угольник со сторонами по границам клеток. Из какого наименьшего числа клеток может состоять этот многоугольник? А.Шаповалов

33

12. Математический маятник укреплен на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости. Найдите положение равновесия маятника. 13. Левый клин медленно вдвигают под правый, отношение катетов в котором представлено на рисунке. Каким должен быть угол $\alpha$, чтобы правый клин перевернулся? 14. При каком условии винт может служить для крепления деталей? 15. С вершины сортировочной горки поочередно скатывают два вагона: один пустой, другой груженый. Какой вагон проедет дальше по прямолинейному участку после скатывания с горки? 16. Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то его скорость движения уменьшается. Почему? 17. Цилиндр, диаметр которого равен его высоте, один раз соскальзывает с наклонной плоскости вдоль своей образующей, а другой раз скатывается с той же точки плоскости. Сравните поступательные скорости цилиндра у основания наклонной плоскости, считая коэффициент трения скольжения между цилиндром и плоскостью очень малым. 18. В кузове грузовика находятся три одинаковых гладких бревна, расположенных, как показано на рисунке. На какой угол $\alpha$ может накрениться кузов, чтобы верхнее бревно не скатилось на борт?

Микроопыт

Склейте цилиндр из плотной бумаги (можно взять картонную втулку от рулона туалетной бумаги) и закрепите на его внутренней стороне кусок пластилина. Такой цилиндр может катиться вверх по наклонной плоскости. Как этого добиться?

Любопытно, что…

…наиболее гениальным изобретением Архимеда был водоподъемный винт. По оценке Галилея, это устройство «не только великолепно, но просто чудесно, поскольку мы видим, что вода поднимается в винте, беспрерывно опускаясь». Архимедов винт использовался, например, в Египте как для подъема воды на возвышенности (на высоту до 4 метров), которых обычно разлив Нила не достигал, так и для осушения низменных местностей. …со времен последователей Архимеда – Герона и Паппа – механику стали считать наукой о простых машинах: вороте, рычаге, блоке, клине и винте. Два последних основаны на свойствах наклонной плоскости, закон действия которой, правда, самому Архимеду известен не был. …изучая равновесие замкнутой цепочки, наброшенной на две наклонные плоскости, голландский ученый Симон Стевин в своей работе «Начала статики» доказал, что сила, скатывающая груз, во столько же раз меньше его веса, во сколько раз высота плоскости меньше ее длины. …в трактате, составленном в период чтения им публичных лекций в 1597–1598 годах, Галилей, не зная еще закона разложения сил, рассматривал сначала рычаг, затем сводил к рычагу клин, к клину – наклонную плоскость, а к наклонной плоскости – винт. …законы свободного падения тел Галилей устанавливал с помощью наклонной плоскости – желоба, оклеенного изнутри полированным пергаментом, применяя ее для «уменьшения» ускорения свободного падения в заданное число раз… …разбирая движение по плоскости, которая «ни вниз не опускается, ни вверх не поднимается», Галилей выявил свойство тел сохранять свою скорость, хотя еще не нашел полной и точной формулировки закона инерции, что предстояло сделать Ньютону. …исследуя перекатывание шара «с горки на горку», Галилей предположил, что, говоря современным языком, приобретаемая при спуске скорость не зависит от формы пути, по которому движется тело. Галилей, естественно, не знал, что такое положение вытекает из закона сохранения энергии, однако он этот закон предчувствовал и применял в простейших случаях падения тела или движения по наклонной плоскости и в опытах с маятником. …Галилей геометрическим методом построил теорию движения по наклонной плоскости и движения по хордам круга, показав, что по дуге круга, которая меньше или равна четверти окружности, тело соскальзывает быстрее, чем по стягивающей хорде. Этим он предвосхитил постановку задачи о поиске линии быстрейшего спуска – брахистохроны, задачи, решенной в 1697 году Иоганном Бернулли. Уравнение этой кривой, оказавшейся циклоидой, используется, кстати, при проектировании санных трасс и «американских» горок. …при завинчивании болта с шагом резьбы в 1 миллиметр с помощью гаечного ключа длиной 30 сантиметров мы выигрываем в силе в две тысячи раз, что либо позволяет надежно скреплять детали, либо легким усилием передвигать большие тяжести. …чтобы автомобили не вылетали на поворотах, дороги в этих местах делают наклонными. Правильный угол наклона соответствует радиусу поворота и определенной скорости движения, на которую необходимо устанавливать ограничение. А вот велосипедные треки имеют на поворотах переменный наклон – в расчете на различные скорости, достигаемые спортсменами.

Что читать в «Кванте» о наклонной плоскости

(публикации последних лет)

1. «Комбинированные задачи по механике» – 2003, Приложение №6, с. 92; 2. «О динамике криволинейного движения» – 2005, №2, с. 30; 3. «Центр масс механической системы» – 2006, №2, с. 25; 4. «Какая горка самая быстрая»?» – 2006, Приложение №6, с. 68; 5. «И тележка в гору едет…» – 2008, №5, с. 35; 6. «Подводные камни» силы Архимеда» – 2009, №2, с. 46.

Материал подготовил А.Леонович

40

КВАНТ 2009/№5

Куда смотрит Луна?

Наблюдения свидетельствуют: лунный шар всегда обращен к Земле преимущественно одной стороной. Но почему, каким образом возникла столь яркая особенность в движении Луны? Знаменитый механик и математик Лагранж первым приблизился к ответу на этот трудный вопрос. Еще в 1764 году он установил, что «форма Луны должна быть эллипсоидом с наибольшей осью, направленной к Земле < мы же уточняем, что, строго говоря, эта ось направлена не на Землю, а совершает небольшие колебания относительно точки второго фокуса >. И если даже первоначально период вращения Луны не совпадал с периодом обращения вокруг Земли, все равно через некоторое время два этих периода должны были сравняться из-за влияния притяжения Земли и связанной с ним приливной диссипацией энергии вращения нашего спутника». В своих «Началах» Ньютон пишет: «…Вследствие этого… происходит, что с Земли наблюдается одна и та же сторона Луны; в другом положении тело Луны не могло бы находиться в покое, а постоянно возвращалось бы к этому положению, совершая колебания. Но эти колебания, вследствие малости действующих сил, происходили бы весьма медленно, так что та сторона, которая должна бы быть постоянно обращена к Земле, могла бы быть обращена и к другому фокусу лунной орбиты… без того, чтобы немедленно быть оттянутой и повернутой к Земле». Определенно, Ньютон говорит здесь о весьма тонком эффекте: из-за оптической либрации немного вытянутая фигура Луны должна совершать еще и очень малые крутильные колебания, но уже не кажущиеся, а действительно происходящие относительно ее центра масс. Это – первое предсказание физической либрации Луны. Но при этом само явление оптической либрации Ньютон описывает слишком расплывчато и даже двусмысленно. Действительно, из его фразы, выделенной выше курсивом, нельзя понять, как сторона Луны, которая должна бы быть постоянно обращена к Земле, могла бы быть обращена и к другому фокусу лунной орбиты. Ведь расстояние между обоими фокусами орбиты Луны достигает значения 42207 км, что составляет 3,3 поперечника Земли – не так уж мало. Поэтому указанные слова Ньютона больше озадачивают, чем проясняют суть дела. В другом месте «Начал» читаем: «Так как для Луны, при равномерном ее обращении вокруг оси, сутки равны нашему месяцу, то к нижнему фокусу ее орбиты будет всегда обращена почти постоянно одна и та же сторона …» «К нижнему» значит ко второму фокусу орбиты. У эллипса, как известно, есть два фокуса: в одном находится центр Земли (точнее, системы Земля-Луна), а на другой, по высказанному здесь мнению Ньютона (выделено курсивом), будет всегда обращена почти постоянно одна и та же сторона Луны. Однако никакой определенности к первому утверждению эта фраза Ньютона не добавляет. Как может выделенный радиус Луны почти постоянно быть направленным в одну и ту же точку внешнего пространства? Ведь процесс оптической либрации происходит непрерывно. И как сейчас мы убедимся, на самом деле все наоборот: выделенный радиус Луны почти постоянно не направлен (!) в точку второго фокуса, а совершает колебания относительно направления на него. Конечно, на основании сказанного вряд ли можно гово-

рить об ошибке Ньютона, тем не менее, недопонимание сути дела в вопросе о действительном направлении выделенного радиуса Луны в ходе оптической либрации по долготе проявляется у Ньютона совершенно определенно. Не чувствуется чеканной ясности, характерной для этого великого ученого, авторитет которого и сейчас необычайно высок. Неудивительно, что некоторая неясность в описании данного явления встречается и в научно-популярной литературе. Замечательный популяризатор науки Я.И.Перельман в книге «Занимательная астрономия» сначала пишет: «… когда Луна оказывается в E, радиус Луны, обращенный к Земле в точке A, опишет дугу в $90^\circ$ и будет направлен … к точке … неподалеку от другого фокуса лунной орбиты». А ниже читаем: «…Луна неизменно обращена одной и той же стороной не к Земле, а к другому фокусу своей орбиты….». Здесь первая фраза (верная!) вступает в противоречие со второй. Известный российский астроном В.И.Бронштэн в содержательной книге «Как движется Луна» приводит без какихлибо комментариев указанный выше взгляд Ньютона на характер движения Луны. И даже крупный ученый, специалист по вращению Луны Моутсулас в известной коллективной монографии «Физика и астрономия Луны» (в переводе с английского языка), говоря о предсказании Ньютоном физической либрации, приводит его слова также, к сожалению, без каких-либо критических комментариев.

Тайная роль второго фокуса

Любой эллипс, не вырожденный в окружность, имеет два фокуса. В астрономии первый закон Кеплера утверждает: в одном из фокусов находится притягивающий центр – для планет это Солнце, для Луны Земля и т.д. Точка же второго фокуса для планет не играет никакой физической роли и представляет собой просто геометрическую точку. Другая ситуация складывается при описании синхронного движения Луны. Здесь второй фокус кинематически выделяется именно тем, что вокруг направления на него главная ось Луны совершает небольшие колебания. Такова же роль второго фокуса и для других спутников с синхронным вращением в Солнечной системе. Однако особого физического смысла для четырех галилеевских спутников Юпитера этот второй фокус не имеет, так как находится глубоко внутри самого Юпитера. А вот система Земля-Луна уникальна тем, что только здесь точка второго фокуса лежит далеко за пределами Земли (более трех ее диаметров), и не считаться с этим фактом в современной небесной механике уже нельзя.

Рис.3. Большой эллипс – орбита Луны М (для наглядности сжатие преувеличено), П и А – точки перигея и апогея, $f_{1}$ и $f_{2}$ – фокусы эллипса, центр масс Земля-Луна находится в первом фокусе. Малый эллипс изображает фигуру Луны

51

ОЛИМПИАДЫ

Дипломанты олимпиады

Диплом победителя по 9 классам получили Пахарев Алексей – Ульяновск, гимназия 79, Малясова Виктория – Ростов-на-Дону, Экономический лицей 14, Егоров Дмитрий – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Крачун Дмитрий – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Мукосеева Екатерина – Санкт-Петербург, ФМЛ 30;

по 10 классам – Бондаренко Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Ерохин Станислав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Кушнир Андрей – Иркутск, лицей 2, Климовицкий Иосиф – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Попов Максим – Нижнекамск, лицей-интернат 24;

по 11 классам – Ненашев Глеб – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Омельяненко Виктор – Белгород, лицей 38, Гусев Даниил – Дзержинск, школа 2 с углубленным изучением предметов физико-математического цикла, Иванова Алина – Казань, лицей им. Н.И.Лобачевского при КГУ, Брагин Владимир – Снежинск, гимназия 127.

Диплом призера по 9 классам получили Бурова Ольга – Москва, лицей «Вторая школа», Сергиенко Ярослав – Краснодар, НОУ ВПО «Институт современных технологий и экономики», Заводов Алексей – Долгопрудный, ФМЛ 5, Янушковский Владимир – Москва, лицей «Вторая школа», Косинов Никита – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Титов Дмитрий – Усть-Лабинск, школа 2, Кунявский Павел – Саратов, ФТЛ 1, Цыбышев Алексей – Самара, гимназия 1;

по 10 классам – Бернштейн Антон – Новосибирск, гимназия 1, Горбачева Ирина – Краснодар, лицей 64, Мокин Василий – Саратов, ФТЛ 1, Исаак Евгений – Курган, школа 38, Балицкий Алексей – Железногорск, школа 11 с углубленным изучением отдельных предметов, Горбань Степан – Москва, СУНЦ МГУ, Козачинский Александр – Москва, лицей «Вторая школа», Бердников Александр – Новосибирск, гимназия 1, Бояров Игорь – Тольятти, лицей 51, Решетников Иван – Долгопрудный, ФМЛ 5, Меньщиков Андрей – Курган, школа 38, Пологова Анна – Ижевск, ИЕГЛ «Школа-30», Степанов Борис – Екатеринбург, гимназия 9, Вотяков Александр – Ижевск, ЭМЛ 29, Мифтахов Азат – Нижнекамск, лицей-интернат 24, Стручкова Анна – Якутск, лицей-интернат «Республиканский лицей», Ивлев Федор – Москва, СУНЦ МГУ, Куприянов Александр – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики, Медведь Никита – Москва, лицей «Вторая школа», Сербина Дарья – Курган, гимназия 47, Баглай Михаил – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Глухов Евгений –Кострома, лицей 17,

Голова Анна – Москва, СУНЦ МГУ, Николаев Семен – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Печина Анна – Долгопрудный, ФМЛ 5, Самолюк Сергей – Томск, школа 41, Ламтюгин Алексей – Ульяновск, школа 21, Лысенко Николай – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа»;

по 11 классам – Соколов Вячеслав – Санкт-Петербург, гимназия 261, Савенков Кирилл – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Матдинов Марсель – Москва, СУНЦ МГУ, Погорелов Дмитрий – Нижний Новгород, лицей 165 имени 65-летия ГАЗ, Тыщук Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Царьков Олег – Москва, лицей «Вторая школа», Нечаев Станислав – Иркутск, гимназия 25, Шабалин Филипп – Киров, КФМЛ, Бершадский Ефим – Москва, СУНЦ МГУ, Аксенов Виталий – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Янушевич Леонид – Москва, центр образования «Технологии обучения», Антропов Александр – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики, Гусев Антон – Омск, лицей 64, Кувшинов Алексей – Ижевск, ЭМЛ 29, Сиволобов Виталий – Томск, лицей при Томском политехническом университете, Ярославцев Иван – Москва, СУНЦ МГУ, Глюз Борис – Майкоп, гимназия 22, Калашник Анна – Москва, СУНЦ МГУ, Круль Ярослав – Уфа, школа 42 с углубленным изучением отдельных предметов, Нижибицкий Евгений – Краснодар, школа 73, Устинов Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Кондакова Елизавета – Москва, лицей «Воробьевы горы», Черкашин Данила – Санкт-Петербург, лицей 533, Адуенко Александр – Брянск, гимназия 1, Краснов Дмитрий – Курганская обл., п. Заозерный, гимназия 19, Лобастов Степан – Киров, ФМЛ, Лукьянец Евгений – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Орлов Олег – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики, Попов Леонид – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики, Сунгоркин Максим – Чебоксары, лицей 3, Гильман Михаил – Санкт-Петербург, лицей 533, Духов Кирилл – Жуковский, гимназия 1, Маянцев Кирилл – Волгореченск, школа 3, Никифоров Дьулустан – Якутск, лицей-интернат «Республиканский лицей», Плосконосов Андрей – Калуга, школа 6 им. А.С.Пушкина, Рогуленко Сергей – Саратов, ФТЛ 1, Сочнев Сергей – Майкоп, гимназия 22, Шершнев Алексей – Гатчина, лицей 3, Кокурин Михаил – Йошкар-Ола, школа 20, Кольцов Иван – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский, Д.Терёшин

56

КВАНТ 2009/№5

Григорьевых Данил – Ижевск, Экономико-математический лицей 29, Алюшин Алексей – Москва, СУНГ МГУ, Толмачев Лев – Москва, школа 192, Кудряшова Нина – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Соболев Антон – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Землянов Владислав – Урай, гимназия.

Диплом призера по 9 классам получили

Шуранов Дмитрий – Уфа, гимназия 3 им. А.М.Горького, Чурилов Антон – Ефремов, Ефремовский физико-математический лицей, Заночкин Андрей – Саров, лицей 15, Акиньщиков Алексей – Великий Новгород, школа 23, Никитенков Павел – Смоленск, гимназия им. Н.М.Пржевальского, Бубис Антон – Татарстан, ФМЛ 131, Шель Егор – Тюмень, школа 29, Головешкин Александр – Москва, лицей 1303, Прокофьев Вадим – Рязань, школа 3, Дехтяренко Ярослав – Брянск, школа 41, Лучников Илья – Киров, школа 21, Гамов Артемий – Саров, лицей 15, Богданов Святослав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Шумаков Антон – Омск, гимназия 117, Цыбров Федор – Республика Коми, гимназия, Ионов Андрей – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа»;

по 10 классам – Николаев Егор – Республика Марий Эл, Политехнический лицей-интернат, Алексеев Алексей – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Стройнов Евгений – Москва, СУНЦ МГУ, Байнев Виталий – Саранск, лицей 43, Качалов Вячеслав – Москва, школа-интернат «Интеллектуал», Коновалов Александр – Долгопрудный, лицей 5 «Физмат», Лавров Петр – Пермь, школа 146, Анаскин Виктор – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Казеев Никита – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Давыдов Иван – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Старичков Никита – Калуга, школа 46, Артамонов Дмитрий – Саров, лицей 15, Садков Виктор – Саратов, ФТЛ 1, Светогоров Александр – Калуга, гимназия,

Разумов Дмитрий – Нижний Новгород, лицей 40, Костин Петр – Белгород, лицей 38, Офенгейм Дмитрий – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Курочкин Никита – Чебоксары, лицей 3, Попов Федор – Пермь, школа 146, Ким Александр – Республика Саха (Якутия), Республиканский лицей, Рыков Андрей – Снежинск, гимназия 127, Шустикова Анна – Заречный, лицей 230, Маргаритов Артемий – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса, Бебех Илья – Республика Коми, Республиканский физико-математический лицей-интернат, Перевощиков Денис – Киров, школа 21, Томас Павел – Новосибирск, лицей 130 им. М.А.Лаврентьева, Белянчиков Михаил – Междуреченск, гимназия 20, Смирнов Николай – Новосибирск, гимназия 3, Комендатян Андрей – Самара, ФМШ;

по 11 классам –

Кравчук Петр – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Усманова Динара – Миасс, лицей 6, Светкин Михаил – Москва, СУНЦ МГУ, Костарев Илья – Санкт-Петербург, лицей 533, Цымбалов Иван – Тверь, лицей 35 ОАО «РЖД», Фадеев Алексей – Новочебоксарск, лицей 18, Старков Григорий – Ноябрьск, школа 7, Обидина Яна – Оренбург, гимназия 3, Казеев Александр – Петропавловск-Камчатский, школа 33, Берсенев Никита – Москва, Центр образования 1925, Трегубов Дмитрий – Киров, ФМЛ, Сафошкин Алексей – Рязань, гимназия 2 им. И.П.Павлова, Бычин Андрей – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Михайлова Анастасия – Оренбург, гимназия 3, Власюк Александр – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Левдик Павел – Челябинск, лицей 39, Либерзон Даниил – Киров, ФМЛ, Дорошенко Андрей – Омск, лицей 92, Дубов Александр – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Киян Сергей – Тамбов, лицей 14, Кузнецов Иван – Москва, СУНЦ МГУ, Лисицкий Дмитрий – Белорецк, Компьютерная школа, Матросов Михаил – Нововоронеж, школа 2.

Публикацию подготовили С.Козел, В.Слободянин

ПРОГУЛКИ С ФИЗИКОЙ

В горах тела весят больше или меньше?

(Начало см. на 4-й странице обложки)

… В горах плотность воздуха, а вместе с ней и сила Архимеда, может значительно уменьшаться. Довольно простые расчеты (выполните их сами) показывают, что вес тел плотностью, например, 1/3 плотности воды не падает, а растет с подъемом на высоту. Так, вес пенопласта, плотность которого около $50 кг/м^{3}$, увеличивается, когда вы поднимаетесь в горы. Конечно, для кирпича, гири и человека вывод, сделанный в большинстве учебников, остается верным. К.Богданов

57

ОЛИМПИАДЫ

Московская студенческая олимпиада по физике 2009 года

24 мая в Московском государственном техническом университете (МГТУ) им. Н.Э. Баумана прошла очередная Московская городская олимпиада по физике среди студентов технических вузов. В олимпиаде приняли участие 75 студентов из 8 вузов Москвы. По результатам командного зачета первое место заняла команда МГТУ им. Н.Э.Баумана, набравшая 155 баллов, второе место заняла команда Московского государственного института стали и сплавов (МИСиС) (129 баллов), третье место – команда Московского государственного института электронной техники (80 баллов). В личном зачете первое место завоевал И.Иванов из МГТУ им. Н.Э.Баумана, набравший 50 баллов, второе место завоевал А.Вятских (МГТУ им. Н.Э.Баумана, 46 баллов), третье место – П.Карпов (МИСиС, 31 балл).

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. Определите минимальный радиус кривизны траектории автомобиля массой m при максимально быстром повороте его на 90 градусов, если скорость до и после поворота равна v. Поворот происходит на пределе сцепляемости колес с дорогой, максимальная сила трения равна F. 2. Доска массой m своими концами опирается на цилиндр радиусом R и на катушку по внутреннему радиусу $r_{1}$, которые лежат на горизонтальной поверхности так, что оси их горизонтальны и параллельны друг другу. Оси катушки и цилиндра связаны жесткими поводками. Коэффициент трения между доской, цилиндром и катушкой равен 1, проскальзывание между катушкой, цилиндром и горизонтальной поверхностью отсутствует. Какую силу необходимо приложить к доске, чтобы сдвинуть ее с места, если внешний радиус катушки $r_{2}$ и $2R = r_{1} + r_{2}$? 3. Планетная система состоит из двух планет одинаковой массы, расстояние между которыми l, вращающихся относительно их общего центра масс. Определите радиус круговой стационарной орбиты космического аппарата в этой системе. 4. Тепловая машина работает по циклу Карно, забирая тепло от нагревателя с температурой $T_{1}$ и отдавая тепло

Сохранение полной энергии…

(Начало см. на с. 45)

Упражнения

1. В вертикальном теплоизолированном цилиндре под поршнем находится некоторое количество гелия при температуре 200 К. Над поршнем сначала удерживают груз так, что он едва касается поверхности поршня, а затем отпускают. Какой станет температура (в кельвинах) газа после установления равновесия? Масса груза равна половине массы поршня. Трением и теплообменом пренебречь, над поршнем газа нет. 2. В вертикальном теплоизолированном цилиндре под поршнем находится некоторое количество гелия. На поршне лежит груз с массой, равной массе поршня. Груз мгновенно убирают и дожидаются прихода системы к равновесию. На сколько процентов увеличится высота, на которой находится поршень? Над поршнем газа нет. Считать, что за время движения поршня газ не успевает обменяться теплом с поршнем и цилиндром. 3. В вертикальном теплоизолированном цилиндре под поршнем

холодильнику с температурой $T_{2}$. Определите работу, получаемую в каждом цикле, если приращение энтропии в каждом цикле при теплообмене $\Delta S$, а КПД машины $\eta. 5.$ Определите напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси Z c координатой z = а, если часть плоскости XY между ветвями гиперболы $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ заряжена с поверхностной плотностью электрического заряда $\sigma. 6.$ Определите поток вектора индукции магнитного поля через боковые поверхности двух одинаковых плоских контуров с током I, намотанных в виде однослойной спирали с внутренним диаметром R, внешним диаметром 2R и большим числом витков N. Контуры соосны, расстояние между ними $\delta$ ≪ R, а токи в них текут в противоположных направлениях. 7. Тонкостенный длинный цилиндр толщиной d, радиусом R и длиной L выполнен из материала с электропроводностью $\sigma$ и концентрацией электронов n и вращается вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega$ в магнитном поле. Индукция магнитного поля во всех точках перпендикулярна поверхности цилиндра и равна В. К концам цилиндра посредством скользящих контактов приложена разность потенциалов U. Определите ток вдоль оси цилиндра. 8. Тонкостенный длинный проводящий цилиндр толщиной $\delta$, радиусом R и длиной L находится в однородном электрическом поле с напряженностью Е, перпендикулярной его оси. Цилиндр вращается относительно собственной оси с угловой скоростью $\omega$. Определите момент сил, прикладываемых к цилиндру для поддержания вращения с постоянной угловой скоростью, если коэффициент электропроводимости проводника $\gamma. 9.$ В вашем распоряжении осталась только периферийная часть зонной пластинки, про которую вам больше ничего не известно. Если осветить пластинку параллельным пучком света с длиной волны $\lambda$, то пучок отклонится на угол $\alpha$ и сфокусируется в точке на расстоянии l от пластинки. Что произойдет, если осветить пластинку пучком света с длиной волны $\Lambda$? Публикацию подготовили В.Голубев, М.Яковлев находится некоторое количество гелия при температуре 200 К. Над поршнем сначала удерживают груз так, что он едва касается поверхности поршня, а затем отпускают. После установления равновесия груз мгновенно удаляют с поршня. Найдите температуру газа после того, как система снова придет в равновесие. Масса груза равна массе поршня. Трением и теплообменом пренебречь, над поршнем газа нет. 4. В вертикальном теплоизолированном цилиндре под поршнем находится некоторое количество гелия при температуре 300 К. Температуру быстро (так, что поршень не успевает сдвинуться с места) повышают до 350 К. На сколько процентов увеличится высота поршня над дном цилиндра после прихода системы к равновесию? Над поршнем газа нет. 5. В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится идеальный одноатомный газ. Вначале поршень закреплен и соединен с дном цилиндра недеформированной пружиной. После того, как поршень освободили и система пришла в равновесие, объем газа увеличился в 4 раза. Во сколько раз при этом уменьшилось его давление? Трением и теплообменом пренебречь, над поршнем газа нет.