Квант 2009, №6 · Страницы

5

ИЗМЕРЯЕМ

ПРОЧНОСТЬ

ТЕЛ

ОТ

НАНО

ДО

МЕГА

От нано к мега

Вот такие интересные последствия удается наблюдать при простом растяжении полимерных пленок с тонкими нанометровыми покрытиями. Но неужели только в них могут происходить описанные явления? Трудно представить, что это так. Существует немало физических объектов, построенных по принципу «твердое покрытие на податливом основании». Не исключено, что деформация (сжатие и растяжение) полимерных пленок с тонкими покрытиями моделирует многие процессы в окружающем нас мире. В природе очень часто имеют место ситуации, когда подобные системы подвергаются разного рода деформациям. Как следствие, возникают многочисленные регулярные структуры. Потеря устойчивости в условиях плоскостного сжатия приводит к появлению удивительно красивых рельефов – таких, например, которые образуются при высыхании капли краски. Системы «твердое покрытие на податливом основании» подвергаются и деформации плоскостного растяжения. Его результаты видел каждый, кто замечал на почве сухие, в трещинах, корки. Когда высыхает влажная земля, образовавшаяся на ее поверхности твердая корка стремится сжаться, но этому препятствует лежащее под ней мягкое, почти несжимаемое основание – слой грязи. В результате корка оказывается в условиях плоскостного растяжения. За счет испарения жидкости из почвы растягивающие напряжения усиливаются, и появляется сетка трещин на жесткой поверхности. Трещины образуются и распространяются по строгим законам, присущим все тем же системам «твердое покрытие на податливом основании». Аналогичные картины возникают и при остывании магматических расплавов – так называемых вулканических бомб. При медленном остывании расплава граница между жестким слоем и еще не остывшей жидкой сердцевиной движется вглубь. Твердая фаза, непрерывно сосуществующая вместе с жидкой, постоянно подвергается деформации плоскостного растяже-

Рис.3. Столбчатые структуры Мостовой гигантов в Северной Ирландии

ния. Когда этот процесс замедлен, фрагментация происходит настолько регулярно, что кажется делом человеческих рук. Именно этот механизм лежит в основе возникновения удивительного природного объекта – базальтовых пальцев. Одно из таких образований находится в Северной Ирландии и известно как Мостовая гигантов (рис.3). А разве наша Земля не похожа на типичную систему «твердое покрытие на податливом основании»? По современным представлениям, относительно тонкая (5–50 км) твердая наружная оболочка нашей планеты (литосфера) покоится на относительно податливой и толстой (2900 км) оболочке – верхней мантии. Ее вязкое, текучее вещество находится в состоянии неустойчивости из-за вертикального теплового градиента. Полагают, что именно поэтому в мантии генерируются гигантские конвекционные потоки (ячейки). За счет конвекции возникает механическое напряжение в земной коре, которое ответственно за такие геодинамические процессы, как дрейф континентов, формирование

(Продолжение см. на с. 9)

Рис.4. Электронная микрофотография образца натурального каучука с тонким (10 нм) золотым покрытием, растянутого на 50% (а); карта рельефа дна Тихого океана в районе Восточно-Тихоокеанского поднятия (б) и положение соответствующего участка в Тихом океане (в)

7

ПРЯМАЯ

непосредственное). Пусть дано конечное множество точек в пространстве, не все на одной плоскости. Верно ли, что есть плоскость, содержащая ровно три точки нашего множества (возможно, коллинеарные)? Ответ на этот вопрос тоже отрицательный, а контрпример получается простой модификацией примера, приведенного выше.

Приведенный выше контрпример был построен Моцкиным в 1951 году [9]. Он же доказал следующее (более правильное) обобщение теоремы Сильвестра– Галлаи. Теорема 4. Если не все точки конечного множества М лежат в одной плоскости, то найдется такая, плоскость (будем называть ее плоскостью Моцкина), пересечение которой с М состоит из нескольких (по меньшей мере, двух) коллинеарных точек и еще одной точки, не коллинеарной с ними.

Окружности

Теорема Моцкина может быть использована для переноса теоремы Сильвестра–Галлаи на случай окружностей. Рассмотрим конечное множество точек на сфере. Всякая плоскость, проходящая через 3 различные точки сферы, высекает на сфере некоторую окружность. Допустим, что не все точки множества М лежат на одной окружности (или, что эквивалентно, не все точки лежат в одной плоскости). Тогда найдется плоскость Моцкина, пересечение которой с М состоит из ряда коллинеарных точек и еще одной единственной точки, не коллинеарной этому ряду. Заметим, однако, что ряд коллинеарных точек на сфере не может содержать больше двух точек. Следовательно, плоскость Моцкина содержит ровно три точки множества M, и эти точки с необходимостью не коллинеарны. В частности, эти три точки лежат на окружности, которая не содержит других точек множества М. Таким образом, мы получаем следующее утверждение. Теорема 5. Для конечного множества точек М на сфере, не все из которых лежат на одной окружности, найдется такая окружность (аналог прямой Сильвестра), которая содержит ровно три точки множества M. Рассмотрим стереографическую проекцию сферы на плоскость. Напомним, что стереографическая проекция определяется таким образом. Центр проекции – точка A на сфере. Проекция точки B на сфере (отличной от точки A) – эта такая точка C на выбранной нами плоскости, что A, B и C коллинеарны (рис.7). Известный факт состоит в том, что стереографическая проекция окружности на сфере – это окружность или

прямая на плоскости (прямая получается в том случае, когда исходная окружность проходит через точку A). Наоборот, кривая, проецирующаяся в окружность или прямую на плоскости, обязательно является окружностью на сфере. Если этот факт неизвестен читателю, то было бы очень полезно его доказать самостоятельно. При помощи стереографической проекции мы получаем следующую теорему. Теорема 6. Пусть дано конечное множество точек на плоскости. Допустим, что не все точки этого множества лежат на одной прямой и не все точки лежат на одной окружности. Тогда найдется прямая или окружность, содержащая ровно три точки нашего множества. На самом деле, можно доказать более сильное утверждение, и при этом даже не нужно использовать теорему Моцкина. Теорема 7. Пусть дано конечное множество M точек на плоскости. Допустим, что не все точки множества M лежат на одной прямой, и не все лежат на одной окружности. Тогда для всякой точки A из M найдется прямая или окружность, содержащая A и еще ровно две точки множества M. Доказательство. Ясно, что достаточно доказать следующее утверждение для сферы (оно получается из только что сформулированной теоремы стереографической проекцией). Пусть дано конечное множество точек $M '$ на сфере, не лежащее на одной окружности. Тогда, для всякой точки $A '$ из множества $M '$ найдется окружность на сфере, содержащая точку $A '$ и еще ровно две точки множества $M '$. Чтобы доказать это утверждение, сделаем еще одну стереографическую проекцию, на этот раз с центром в точке $A '$. При этой проекции самой точке $A '$ не соответствует никакая точка плоскости (неформально говоря, ей соответствует бесконечно удаленная точка). Все окружности, содержащие точку $A '$, переходят в прямые. В результате нашей новой стереографической проекции мы получаем новое множество $M ''$ точек на плоскости, не лежащее на одной прямой (поскольку множество $M '$ не лежало на одной окружности). Но тогда для него существует прямая Сильвестра! Спроецируем эту прямую обратно на сферу и получим окружность, содержащую, помимо точки $A '$, еще ровно две точки множества $M '$. Теорема доказана.

Дополнение: $коники^{1}$

Естественно попытаться обобщить задачу Сильвестра на алгебраические кривые данной степени: ведь прямые и окружности – это естественные примеры кривых первой и второй степени. Для степени 2 речь идет о кониках – плоских кривых, заданных квадратичными уравнениями на координаты. Квадратичное уравнение – это уравнение, скажем относительно координат х и у, содержащее члены 1, х, у, $x^{2}, y^{2}$, ху с некоторыми коэффициентами. Тем самым, общая ко-

1Это дополнение требует несколько большего запаса математических навыков, чем остальные разделы. В любом случае, читателю может быть интересна формулировка основной теоремы.

Рис. 7

СИЛЬВЕСТРА

8

КВАНТ 2009/№6

ника на плоскости задается таким уравнением:

2

2

$a_{0} + a_{1} x + a_{2} y + a_{3} x + a_{4} xy + a_{5} y = 0$.

Здесь $a_{0},^{…}, a_{5}$ – некоторые постоянные коэффициенты (действительные числа). Мы предполагаем, что коэффициенты $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ не равны одновременно нулю; иначе получится не коника, а прямая. Даже если квадратичные члены присутствуют, коника может оказаться вырожденной, т.е. объединением двух прямых (возможно, совпадающих) или точкой. Бывают квадратичные уравнения, которым не удовлетворяет ни одна точка плоскости (например, $x^{2} + y^{2} + 1 = 0 ),$ но мы такие уравнения рассматривать не будем. Невырожденные коники – это эллипсы, параболы и гиперболы. Заметим, что если уравнение коники умножить на число, отличное от нуля, то сама коника от этого не изменится. Всего в уравнении фигурирует 6 коэффициентов, но, как мы только что видели, существенными параметрами могут быть только отношения коэффициентов, но не сами коэффициенты. Нетрудно показать, что коника в самом деле существенным образом зависит от 5 параметров. Например, через любые 5 точек проходит коника, и, как правило, только одна.

Упражнения 18. Докажите, что через любые 5 точек на плоскости проходит некоторая коника. 19. Пусть точки A и B лежат на конике K. Тогда пересечение коники K с прямой АВ состоит либо из двух точек А и В, либо из всей прямой АВ.

Вайзман и Вильсон [10] доказали в 1988 году такую теорему. Теорема 8. Рассмотрим конечное множество точек М на плоскости. Допустим, что не все точки множества М принадлежат одной конике. Тогда найдется коника, содержащая ровно 5 точек из M и определяющаяся этими точками (т.е. нет никакой другой коники, проходящей через те же 5 точек). Мы представим в виде ряда упражнений новое доказательство теоремы Вайзмана–Вильсона. Оно более элементарно, чем оригинальное доказательство. Большинство упражнений являются скорее тестами на понимание, чем содержательными задачами, – читателю просто рекомендуется прочесть внимательно условия всех упражнений и понять, почему они очевидны. Отдельные упражнения покрывают отдельные шаги в доказательстве.

Упражнения 20. Рассмотрим три точки А, В и С на плоскости, не лежащие на одной прямой. Другими словами, мы имеем дело с вершинами треугольника ABC. Поместим массы 1, u, v в точки A, B, C соответственно. Обозначим через X ( u, v ) центр масс трех рассматриваемых точек. Пару чисел ( u, v ) можно считать координатами точки X ( u, v ). Таким образом, мы ввели другую систему координат на плоскости. (Заметим, что центр масс можно определить даже в том случае, когда u и/или v равны нулю или даже меньше нуля; проблема возникает только в том случае, когда сумма всех трех масс равна нулю, т.е. 1 + и + v = 0.) Докажите, что в новой системе координат любая коника тоже представляется квадратичным уравнением.

21. Рассмотрим конику, проходящую через все три вершины треугольника ABC. В этом случае уравнение коники имеет специальный вид. А именно, некоторые коэффициенты обращаются в ноль. Запишем сначала уравнение коники в общем виде:

$b_{0} + b_{1} u + b_{2} v + b_{3} u^{2} + b_{4} uv + b_{5} v^{2} = 0$.

Теперь попробуем понять, какое ограничение на коэффициенты накладывает тот факт, что наша коника проходит через точку A. Точка A имеет координаты (0, 0) (т.е. u = = v = 0). Значит, при u = v = 0 уравнение должно быть верным. Это произойдет только в том случае, когда $b_{0} = 0$. Точки В и С накладывают следующие соотношения на коэффициенты: $b_{3} = b_{5} = 0$. Докажите это (рассуждение сложнее, чем для точки А, поскольку точки В и С не соответствуют никаким конечным значениям координат (u, v) – для рассмотрения этих точек придется поместить в точку А нулевую массу). Уравнение коники, описанной вокруг треугольника ABC, тем самым сведется к такому:

au + bv + cuv = 0

(мы здесь переобозначили коэффициенты). 22. Рассмотрим теперь все коники, описанные вокруг треугольника ABC, и докажем аналог теоремы Сильвестра– Галлаи для таких коник. Заметим (проверьте это утверждение!), что через любые две точки, не лежащие на прямых АВ, ВС и АС, можно провести конику, описанную вокруг треугольника АВС, притом только одну. (На самом деле, как мы уже упоминали, конику можно провести всегда; однако, если обе точки лежат на прямой, содержащей сторону треугольника ABC, то единственность нарушается.) Рассмотрим теперь некоторое конечное множество точек на плоскости, не принадлежащих прямым AB, BC и AC и удовлетворяющих следующему условию: на конике, описанной вокруг треугольника ABC и содержащей две точки нашего множества, лежит еще по крайней мере одна точка нашего множества. В этом случае все точки нашего множества лежат на одной и той же конике, описанной вокруг треугольника ABC. Указание. Рассмотрите систему координат (u, v), связанную с треугольником ABC и описанную выше. Уравнение любой коники, описанной вокруг треугольника ABC, имеет вид au + bv + cuv = 0. Поделим это уравнение на uv, мы получим $av^{-} 1 + bu^{-} 1 + c = 0$. Значит, если вместо координат u и v ввести координаты 1/v и 1/u, то в новых координатах уравнения коник, описанных вокруг треугольника ABC, будут линейными. Это значит, что на плоскости с координатами 1/v и 1/u такие коники изобразятся прямыми. Примените к этим прямым классическую теорему Сильвеcтра– Галлаи.

Скажем, что пятерка точек на плоскости определяет конику, если есть только одна коника, содержащая эти пять точек.

Упражнение 23. Пусть дано конечное множество М точек на плоскости. Допустим, что для каждых пяти точек множества М, определяющих конику, найдется некоторая шестая точка множества М на той же конике. Мы хотим доказать теорему Вайзмана–Вильсона, которая говорит, что в этом случае все точки множества М лежат на одной и той же конике. Докажите пока следующее утверждение: для любой тройки точек A, B и C множества M, не лежащих на одной прямой, все множество М содержится в объединении прямых AB, BC, AC и некоторой коники, описанной вокруг треугольника ABC.

Рассмотрим конечное множество М точек на плоскости такое, как в предыдущем упражнении. Если все

9

ЗАДАЧА

точки множества М лежат на одной и той же прямой, то теорема Вайзмана–Вильсона доказана (прямая всегда является частью вырожденной коники). Допустим, что это не так. Тогда найдутся три точки А, В и С множества М, не лежащие на одной прямой. Согласно приведенному выше упражнению все точки множества М содержатся в объединении прямых AB, BC, AC и некоторой коники K, описанной вокруг треугольника ABC.

Упражнения 24. Предположим сначала, что найдется точка D из множества М, не лежащая в объединении прямых AB, BC и AC. Точка D, следовательно, обязана принадлежать конике K. Если все точки множества M принадлежат конике K, то теорема доказана. Допустим, что некоторые точки принадлежат объединению трех прямых АВ, ВС и АС, но не конике K. Например, пусть множество М содержит точку $C_{1}$, лежащую на прямой АВ, но отличную от точек A и B. Докажите, что пять точек $A, B, C, C_{1}, D$ определяют конику. Эта коника вырожденная; она совпадает с объединением прямых AB и CD. 25. Если в объединении прямых АВ и CD нет других точек множества М, кроме точек А, В, С, $C_{1}, D,$ то теорема доказана. Допустим, что есть какая-то шестая точка $C_{2}$. Эта точка обязана принадлежать прямой АВ. 26. Либо $C_{1}$, либо $C_{2}$ не принадлежит прямой CD. Допустим, что это $C_{1}$. Мы знаем, что все точки множества М лежат в объединении прямых, содержащих стороны треугольника ADC, и некоторой коники $K_{1}$, описанной вокруг треугольника ADC. В частности, точки B и $C_{1}$ должны принадлежать конике $K_{1}$. Отсюда следует, что коника $K_{1}$ сводится к объединению прямых AB и CD. Таким образом, все точки множества M принадлежат объединению прямых AB, CD и AC (прямые AD и DC не могут иметь общих точек с коникой K, отличных от вершин треугольника ADC). Другими словами, все точки множества лежат в объединении прямых, содержащих стороны некоторого невырожденного треугольника.

Измеряем прочность тел от нано до мега

(Начало см. на с. 3) рельефа, открытие и закрытие океанов, извержения вулканов, землетрясения и т.п. Как видим, строение верхних оболочек нашей Земли полностью соответствует структуре систем «твердое покрытие на податливом основании». Неудивительно поэтому, что рельеф колоссального по размерам участка океанического дна в районе Восточно-Тихоокеанского поднятия поразительно похож на рельеф, образующийся при растяжении армированных полимерных пленок (рис.4). Многим, по-видимому, покажется фантастической идея родственности процессов, вызывающих регулярность разрушения твердого покрытия на податливой полимерной подложке, и событий, происходящих в земной коре. Но такая аналогия все же вполне правомерна. К настоящему времени первым автором статьи использованы уравнения, полученные для полимерных пленок с тонкими твердыми покрытиями,

СИЛЬВЕСТРА

27. Теперь достаточно рассмотреть случай, когда все точки множества M принадлежат объединению прямых AB, BC, AC. Поскольку M не может содержаться в объединении двух прямых, найдутся точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ на прямых ВС, АС, АВ соответственно, не совпадающие с вершинами треугольника АВС. Предположим, что точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ не лежат на одной прямой. Тогда, согласно доказанному выше, все точки множества M лежат в объединении прямых $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} A_{1}$ и некоторой коники, описанной вокруг треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$. Покажите, однако, что никакая коника, описанная вокруг треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$, не может содержать точки А, В и С одновременно. Противоречие. 28. Таким образом, точки $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ коллинеарны. Более того, множество M состоит только из шести точек $A, B, C, A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$. (В самом деле, если бы была еще одна точка в множестве M, то можно было бы заменить $A_{1}, B_{1}$ или $C_{1}$ на эту точку и получить невырожденный треугольник.) Но в этом случае пять точек А, В, $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ определяют вырожденную конику, которая не содержит никаких других точек множества М.

Мы, таким образом, завершили доказательство теоремы Вайзмана–Вильсона.

Список литературы 8. P.Borwein. On Sylvester’s problem and Haar spaces. – Pacific J. of Math., Vol 109 (1983), №2. 9. T.Motzkin. The lines and planes connecting the points of a finite set. – Trans. Amer. Math. Soc., 70 (1951), 451–464. 10. J.A.Wiseman, P.R.Wilson. A Sylvester theorem for conic sections. – Discrete and Comput. Geom., 3 (1988), 295–305. 11. L.Bouttier, M.Zaidenberg. Le probleme de Sylvester. – Quadrature, Janvier–Mars 2008. 12. Г.С.М.Кокстер. Действительная проективная плоскость. – М.: Физматгиз, 1959. 13. Г.С.М.Кокстер. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966. 14. G.D.Chakerian. Sylvester’s problem on collinear points and a relative. – Amer. Math. Monthly, 77 (1970), 164–167.

для расчетов напряжения прочности океанической коры. Мало того, рассмотренный подход можно применить в планетологии для грубой оценки структуры космических объектов. Так, по анализу особенностей рельефа поверхности Венеры, полученному с помощью радарной съемки с ее искусственного спутника, с использованием такого подхода уже сделаны некоторые заключения относительно прошлого этой планеты. Нет ничего удивительного в том, что зачастую одни и те же физические законы действуют в самых разнообразных системах. В нашем случае диапазон родственных явлений простирается от наноразмерного уровня до макроскопического и даже планетарного. Итак, благодаря общности законов можно получать информацию о свойствах материалов, явлениях и процессах, например оценивать прочность материалов в нанослоях или судить об образовании рельефа на поверхности планет, происходящих в окружающем мире, обратившись к лабораторным моделям и взяв за аналог простой и хорошо изученный физический объект, такой как полимерная пленка с жестким нанометровым покрытием.

10

КВАНТ 2009/№6

ПАМЯТИ ИЗРАИЛЯ МОИСЕЕВИЧА ГЕЛЬФАНДА

Не стало Израиля Моисеевича Гельфанда, одного из самых выдающихся математиков прошедшего века. И.М.Гельфанд – поразительно разносторонний ученый. Нелегко назвать какую-либо из фундаментальных отраслей математики, в которой Гельфанд не имел бы основополагающих результатов. Он был всемирно признанным мировым лидером в функциональном анализе, теории групп Ли и теории представлений, и невозможно не отметить его вклада в алгебру, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, теорию дифференциальных уравнений, математическую физику, численный анализ, приложения к нефизическим наукам. И.М.Гельфанд был воспитанником московской математической школы, учеником А.Н.Колмогорова. Он замыкает список учеников Лузина и первого поколения его выдающихся «внуков». Ими были Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин, П.С.Александров, П.С.Урысон, Л.А.Люстерник, М.А.Лаврентьев, П.С.Новиков, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров, Л.В.Келдыш, Л.Г.Шнирельман, С.М.Никольский, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин, А.И.Мальцев, А.А.Ляпунов, М.В.Келдыш, И.М.Гельфанд. В трудные двадцатые годы ему не довелось закончить школу. Он не получил высшего образования. С девятнадцати лет Израиль Моисеевич стал посещать семинары Московского университета и поступил в аспирантуру к Андрею Николаевичу Колмогорову. Кандидатскую диссертацию И.М.Гельфанд защитил в 1935 году и стал работать доцентом механико-математического факультета МГУ. Вскоре им были заложены основания теории нормированных колец (именуемых теперь банаховыми алгебрами). Эти исследования, послужившие основой его докторской диссертации, защищенной в 1940 году, сразу выдвинули его в число ведущих математиков своего времени. Гельфанд прочитал на механико-математическом факультете множество курсов: линейной алгебры, теории уравнений с частными производными, вариационного исчисления, интегральных уравнений. Он был блистательным лектором – многие называют его лучшим лектором среди тех, кого им доводилось слышать. Его перу принадлежит множество книг, по которым учились и продолжают учиться математики всего мира. Это учебник по линейной алгебре и написанные в соавторстве с коллегами учебник по вариационному исчислению и серия монографий по теории обобщенных функций. В течение полувека действовал знаменитый семинар Гельфанда, посвященный «всей математике», который послужил школой для многих поколений математиков. Долгое время Гельфанд работал в Отделении прикладной математики Математического института им.В.А.Стеклова, где выполнял работы большой государственной важности: он возглавлял группу ученых, которые проводили расчеты, связанные с созданием водородной бомбы. С шестидесятых годов Гельфанд заведовал лабораторией при Московском университете, где основное внимание уделялось проблемам медицины и биологии. Гельфанд был основателем и в течение многих лет главным редактором журнала «Функциональный анализ и его приложения». В годы,

Израиль Моисеевич Гельфанд (2.09.1913–5.10.2009) когда И.М.Гельфанд был президентом Московского математического общества, это общество достигло высшей степени своего развития. Велики заслуги Израиля Моисеевича в области математического просвещения в нашей стране. Он был среди основателей школьных математических кружков при Московском университете, принимал активнейшее участие в проведении первых Московских математических олимпиад, основал Заочную математическую школу, был среди основателей знаменитой московской второй школы. Он был инициатором издания и основным соавтором многих замечательных брошюр, обращенных к школьникам. И.М.Гельфанд был другом нашего журнала. В первом номере «Кванта» за 1989 год опубликовано замечательное интервью с академиком И.М. Гельфандом. И еще об одном нельзя не сказать: очень многим Израиль Моисеевич оказывал существеннейшую помощь в трудные минуты их жизни. Поразительной особенностью его жизни в науке явилось невероятное творческое долголетие: его путь в науке на уровне высших достижений длился семьдесят пять лет. Сравнить его просто не с кем за всю историю науки. В 2003 году в США состоялась конференция «Единство математики», приуроченная к девяностолетию И.М.Гельфанда. На конференции выступили с докладами крупнейшие математики нашего времени. На этой конференции 2 сентября, в день своего девяностолетия, выступил с докладом и сам юбиляр. Его доклад назывался «Математика как адекватный язык». В докладе были отражены суперсовременные проблемы алгебры, теории чисел, геометрии, анализа и прикладной математики. В начале доклада Израиль Моисеевич произнес такие слова: «Я не ощущаю себя пророком. Я лишь ученик. (I do not consider myself a prophet. I am simply a student.) Всю жизнь я учился у великих математиков, таких как Эйлер или Гаусс, у моих старших и младших коллег, у моих друзей и сотрудников, но более всего – у моих учеников». Имя Гельфанда навсегда останется в истории науки.

11

Вероятностные доказательства

А.ШЕНЬ

Неравенства и оценки Начнем с совсем простой задачи. 1. На доске написаны 10 чисел. Сумма любых двух из них не меньше 5. Докажите, что сумма всех чисел не меньше 25. ⊳ Тут даже и доказывать-то особо нечего: разобьем числа на пять пар. В каждой паре сумма не меньше 5, всего получается 25. ⊲

Теперь немного более сложная задача. 2. На доске написаны 9 чисел. Сумма любых двух из них не меньше 5. Докажите, что сумма всех чисел не меньше 22,5. (Если все числа равны 2,5, то и получится 22,5.) ⊳ Рассуждая аналогично предыдущей задаче, можно выбрать четыре пары, и одно число останется. В каждой паре сумма не меньше 5, всего 20. Если бы мы знали, что оставшееся без пары число не меньше 2,5, то мы получили бы требуемое. Но гарантировать это мы не можем. Скажем, если одно из чисел равно нулю, а остальные равны 5, то сумма любых двух будет не меньше 5 (а именно, 5 или 10). При этом непарным может оказаться ноль. Наверное, вы уже сообразили, как завершить рассуждение. Разбиение на пары в наших руках, и мы можем оставить непарным любое из чисел. В любой паре хотя бы одно из чисел равно 2,5 или больше. Нам

в каждой из которых сумма не меньше 5. Всего получается как минимум 3 ◊ 5 + ( 5 3 ) = 50 3. ⊲

В двух предыдущих задачах оставалось одно число. А что будет, если останется два? 4. На доске написаны 11 чисел. Сумма любых трех из них не меньше 5. Докажите, что сумма всех чисел не меньше 55/3. Можно решить эту задачу аналогично предыдущим (см. задачу 14 и указание к ней). Но мы приведем другое решение, которое обобщается на любые количества. ⊳ Обозначим наши числа $a_{1}$, … $, a_{11}$ и запишем их по кругу. Сумма любой тройки соседей не меньше 5 (по условию):

$a_{1} + a_{2} + a_{3} \ge 5,$

$a_{2} + a_{3} + a_{4} \ge 5,$

… $a_{9} + a_{10} + a_{11} \ge 5,$

$a_{10} + a_{11} + a_{1} \ge 5, a_{11} + a_{1} + a_{2} \ge 5.$

Сложим эти одиннадцать неравенств. Каждое число встречается три раза (входит в три тройки), поэтому получится

$3 ( a_{1} + a_{2} +^{…} + a_{11} ) \ge 55$, откуда и следует требуемое. ⊲

Вероятности и ожидания достаточно знать, что хотя бы одно из чисел таково – можно оставить непарным именно это число, и все получится. ⊲ Усложним задачу еще немного. 3. На доске написаны 10 чисел. Сумма любых трех из них не меньше 5. Докажите, что сумма всех чисел не меньше 50/3. ⊳ Используем тот же прием: в любой тройке чисел большее равно 5/3 или больше (иначе все три числа меньше 5/3, и сумма меньше 5). Возьмем одно из таких чисел (не меньших 5/3), останутся три тройки,

Сейчас мы рассмотрим другое решение последней задачи – на языке теории вероятностей. Пусть в ящике (или, как любят говорить в теории вероятностей, в урне) лежат 11 шаров, на которых написаны числа $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{11}$. Мы вынимаем один из шаров не глядя, и нам дают столько рублей, сколько на нем написано. Сколько мы будем выигрывать в среднем за игру, если играть много раз? Мы имеем в виду, что каждый раз вынутый шар возвращают в урну и ее содержимое перемешивают. Несложно сообразить, что ответ тут –

13

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ

образом. При большом количестве испытаний доля случаев, когда вершина A попадает в пятно (вероятность события «A черная») равна 1/10, поскольку вершина A равномерно распределена по всей сфере. По тем же причинам вершина B оказывается черной в 10% случаев, и то же самое можно сказать про любую из 8 вершин. Значит, остается как минимум 20% = 100% – 80% случаев, в которых все вершины белые (может быть больше за счет случаев, когда несколько вершин черные). Поэтому куб можно вписать требуемым способом. ⊲ На самом деле тут мы уже серьезно жульничаем и заметаем под ковер основную часть рассуждения: почему слова «случайно вписанный куб» имеют смысл и почему вершина равномерно распределена по сфере. Интуитивно это выглядит правдоподобно и действительно может быть строго обосновано (хотя я не знаю никакого решения этой задачи в рамках школьной программы).

Случайные раскраски

Рассмотрим произвольный граф – несколько точек (вершин), соединенных линиями (ребрами). Раскрасим вершины графа в два цвета (скажем, черный и белый). Ребро назовем разноцветным, если оно (как вы уже догадались) соединяет вершины разных цветов. Количество разноцветных ребер зависит от раскраски. Если мы хотим сделать это число минимальным, нет ничего проще – достаточно покрасить все вершины в один и тот же цвет. А что будет, если мы хотим сделать его максимальным (для данного графа)? Ответ зависит от графа, но оказывается, что всегда можно гарантировать как минимум половину разноцветных ребер. 8. Докажите, что в произвольном графе можно раскрасить вершины в два цвета таким образом, чтобы как минимум половина ребер оказались разноцветными. ⊳ Будем раскрашивать вершины случайным образом (для графа с n вершинами возможно $2^{n}$ раскрасок, и мы считаем все их равновероятными). Для каждой раскраски посчитаем, сколько ребер окажутся разноцветными. Это, как говорят, «случайная величина» – она зависит от выбора раскраски. Каково ее математическое ожидание (среднее значение при большом числе испытаний)? Другими словами, пусть в каждой вершине графа бросают монету (независимо от других вершин, так что все комбинации равновероятны), а на каждом ребре дежурит игрок, который получает рубль, если ребро окажется разноцветным (монеты в его концах выпадут по-разному). Сколько в среднем будут зарабатывать игроки за игру? Каждый игрок в среднем выигрывает в половине игр (есть четыре варианта комбинации цветов на концах ребра, и в двух из них оно разноцветное). Значит, каждый игрок в среднем выигрывает полтинник за игру, а вся команда в среднем выигрывает V/2 рублей, где V – число ребер.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Отсюда очевидно следует, что есть раскраски, когда не менее половины ребер разноцветные (иначе бы в каждой игре команда выигрывала меньше V/2, и среднее тоже было бы меньше V/2). ⊲ На самом деле это утверждение имеет простое конструктивное доказательство (см. задачу 19).

Случайные проекции

В этом разделе мы применим вероятностные соображения для решения такой задачи. 9. На плоскости нарисована выпуклая фигура, ограниченная кривой длины L. Докажите, что ее диаметр, т.е. максимальное расстояние между двумя ее точками, не меньше $L \pi$. Появление здесь числа $\pi$ не случайно: неравенство задачи обращается в равенство для случая окружности диаметра $D = L \pi$. ⊳ Мы докажем более сильное утверждение: средняя длина проекции нашей фигуры на случайное направление равна $L \pi$. (Мы проводим прямую в случайно выбранном направлении, и потом из каждой точки фигуры опускаем перпендикуляр на эту прямую. Получается отрезок – проекция фигуры на прямую.) Из этого утверждения следует, что найдется направление, проекция на которое имеет длину не меньше $L \pi$ (среднее значение не может быть больше всех). А тогда и точки фигуры, которые попадают в концы проекции, находятся на таком же или большем расстоянии (наклонная длиннее перпендикуляра). Как же доказать обещанное? Рассмотрим кривую, ограничивающую фигуру. Проекция фигуры – это все равно что проекция ее границы. Разобьем эту кривую на множество очень маленьких частей – настолько маленьких, что каждую из них можно считать отрезком. Пусть все эти отрезки будут равной длины. Проекция всей границы складывается из проекций этих отрезков. Точнее, удвоенная проекция всей границы равна сумме проекций отрезков (так как они покрывают ее два раза – туда и обратно). Это верно для любого направления проектирования – значит, и удвоенная средняя длина проекции фигуры равна сумме средних длин проекций каждого из отрезков, составляющих ее границу. Но отрезки эти равной длины, и потому средние длины их проекций одинаковы (поскольку мы проектируем на случайное направление, то направление самого отрезка роли не играет). Значит, средняя длина проекции

14

КВАНТ 2009/№6

кривой зависит только от числа этих отрезков, т.е. пропорциональна длине кривой, и коэффициент пропорциональности можно вычислять на примере окружности. ⊲

Две коробки

10. В московском метро можно провозить коробки, у которых сумма измерений (длины, ширины и высоты) не превосходит некоторой границы. Возникает вопрос: можно ли перехитрить правила, поместив одну коробку внутрь другой? Другими словами, пусть один прямоугольный параллелепипед целиком содержится внутри другого. Может ли сумма измерений внутреннего быть больше суммы измерений внешнего? ⊳ Оказывается, что нет, но доказать это не так просто. Есть несколько красивых доказательств, и одно из них использует вероятностные соображения (примерно такие же, как в предыдущем разделе). Будем проектировать коробку на прямую случайно выбранного направления (в пространстве). Из картинки видно, что проекция коробки складывается из проекции трех отрезков, идущих по ее высоте, длине и ширине. Следовательно, средняя длина проекции (математическое ожидание) равно сумме средних длин проекций этих отрезков. А средняя длина проекции отрезка пропорциональна его собственной длине (с каким-то коэффициентом, нам сейчас не важно – с каким). Поэтому средняя длина проекции коробки пропорциональна сумме ее измерений. Теперь представим себе две коробки, одну внутри другой. На какую прямую их ни проектируй, проекция внутренней коробки всегда находится внутри проекции внешней и потому имеет меньшую или равную длину. Значит, и средние длины проекций находятся в том же соотношении, а они пропорциональны сумме измерений. ⊲

Случайные блуждания

11. На листке из тетрадки в клеточку нарисован лабиринт и в нем робот, который по командам «вверх», «вниз», «влево» и «вправо» ходит из клетки в клетку. Стены лабиринта идут по сторонам клеток, выхода из лабиринта нет. Если, начав двигаться по команде, робот упирается в стену, то он остается на месте. Мы не знаем, какой лабиринт нарисован, но знаем размер листка, измеренный в клеточках. Докажите, что можно составить последовательность команд, которая гарантирует, что робот побывает во всех клетках доступной ему части лабиринта. ⊳ Сразу же признаемся, что не только наше рассуждение будет чистым доказательством существования (без предъявления способа построения такой последовательности), но и длина такой последовательности будет астрономической. Будем давать роботу случайные команды и смотреть,

с какой вероятностью он обойдет лабиринт. Пусть в лабиринте есть замкнутый обход из не более чем N шагов. Тогда при любом начальном положении робота есть некоторая вероятность, что при подаче ему N случайных команд он пойдет как раз по этому пути и обойдет лабиринт. Она не меньше $4^{-} N$, а вероятность

(

) не обойти лабиринт не больше $1 - 4^{-} N$. Процесс можно повторять: если мы дадим 2N случайных команд, то вероятность не обойти лабиринт не больше

$( 1 - 4 )$ (неудача на первом этапе происходит в доле $( 1 - 4 )$ случаев или меньше, и в каждом из них

$- N^{2}$

$- N$ вероятность сокращается во столько же раз за счет второго этапа). Вообще, после Nk случайных команд вероятность неудачи (в данном лабиринте с данным начальным

(

) k положением) не больше $1 - 4^{-} N$. Хотя основание степени и близко к единице, но все равно это число можно сделать сколь угодно малым, увеличивая k. Заметим, что для всех лабиринтов на доске данного размера можно выбрать одно общее N.

(

) k

После этого возьмем k таким, чтобы $1 - 4^{-} N$ стало меньше 1/M, где M – число разных способов нарисовать лабиринт и робота внутри него (на листке бумаги данного размера их конечное число). Тогда для каждого из M вариантов расположения вероятность неудачи меньше 1/M, и потому с положительной вероятностью последовательность команд длины Nk окажется удачной для всех вариантов. Значит, такая удачная последовательность существует, что и требовалось доказать. ⊲

Несравнимые множества

В этом разделе мы предполагаем знакомство с элементами комбинаторики (множества, подмножества, число сочетаний). 12. Пусть A – множество из 2n элементов. Мы хотим выбрать несколько подмножеств множества A, причем требуется, чтобы они были несравнимы: ни одно из них не должно быть подмножеством другого. Какое максимальное число подмножеств можно выбрать? ⊳ Заметим, что требование выполняется, если все выбранные подмножества одного размера (и разные). Чтобы их число было максимальным, надо взять размер n, поскольку число сочетаний $C_{2} kn$ при данном n

25

ИНФОРМАЦИЯ

логическому анализу, результаты размышлений сверить с фактами или с аналогами из других концепций. Самостоятельное мышление – это не только понимание сути и основ теории и сферы ее применимости, умение выводить в ее рамках следствия для частных случаев и т.п. Необходимо еще понимать, что всякая теория имеет альтернативы, допускать эти альтернативы, быть готовым в любой момент отказаться от привычных концепций, если новые факты укладываются в их рамки «со скрипом» (тем более, когда выходят за эти рамки). Разумеется, существуют понятия, в основательности которых трудно усомниться. Например, окружающая нас реальность со всеми происходящими в ней процессами сплошь и рядом демонстрирует незыблемость и всеобщность следующих трех свойств: экономичность, симметричность и относительность (два последних в какой-то мере являются частными случаями первого). Возможно, этот список не является исчерпывающим и нуждается в дополнении (в будущем, скорее всего, так и случится). Но как бы то ни было, можно перечислить ряд положений, которые нельзя включать в этот список всеобщих понятий несмотря на то, что они считаются фундаментальными. Например, нельзя принять на веру, что электрон на земле и электрон на расстояниях в миллиарды световых лет от нее имеют в точности одну и ту же массу покоя. Трудно считать незыблемыми физическими константами такие безразмерные величины, как, например, постоянная тонкой атомной структуры, отношения масс элементарных частиц и т.п. Еще Эйнштейн сомневался в их, так сказать, случайном характере. Или это суть математические константы (т.е. выводятся в рамках какой-то неизвестной нам теории), или они не являются константами (т.е. меняются во времени и (или) в пространстве). Трехмерность окружающего нас пространства также является одним из постулатов современной теории, но пока нет оснований считать его незыблемым. Завершим эти примеры таким утверждением: возможность чего-либо невозможно опровергнуть! Иными словами, нельзя на практике доказать, что нечто невозможно. Это один из атрибутов бесконечности, демонстрирующий ограниченность логики. Объявляя наш конкурс, мы преднамеренно не конкретизируем задания для его участников. Содержательность ответа, как известно, зависит от качества вопроса. Как говорят, хороший вопрос – это половина ответа. Поэтому оцениваться будет и постановка проблемы тоже. Более того, решение может быть не самым удачным или даже неправильным, но это компенсируется качеством и актуальностью постановки вопроса. Помните, что вопросысигналы, поступающие из окружающего мира (факты, явления и т.п.), – это первооснова, сырье, которое еще предстоит в процессе изучения переработать, превратить в задачу. А затем уже надо анализировать четко поставленную задачу, определять круг описываемых явлений, область изменения и точность задания параметров, для которых решение будет корректно, и т.д. Мы специально не ограничиваем участников конкурса в выборе и формулировании вопросов. Пусть это будет что угодно, лишь бы оно имело определенный смысл. В современной науке и развивающихся технологиях есть множество проблем. В частности, это известные расходимости в квантовой теории, корректное определение тензора энергии-импульса в общей теории относительности, парадоксы в теории множеств, саморазвивающиеся компьютерные программы (включение в них случайных

выборов, учет опыта ошибок и т.п.). Да и в обыденной жизни найдется многое, что можно попытаться формализовать на языке математики (например, обнаружив определенное подобие, попробовать применить законы газовой динамики для … анализа движения машин на автостраде). Можно поставить задачу из серии «что было бы, если бы …» Или придумать новый вид взаимодействия. Или выяснить, какова была бы реальность, если бы, например, постоянная Планка оказалась заметно больше (или меньше) той, которая нам известна. Не так уж гипотетична задача, в которой какие-либо мировые константы можно было бы считать нестационарными. Например, красное смещение можно объяснить не только разбеганием галактик, но и тем, что со временем меняются масса электрона или постоянная Планка. Итак, мы не ждем от вас открытий. Нас особенно не интересует и ваша эрудиция, поэтому не бойтесь прослыть невежественными. Скорее всего, то, что мы от вас ждем (а вы нам пришлете), не принял бы ни один серьезный научный журнал. Наверное, серьезные ученые скорее всего отправляют подобное «творчество» в корзину, так же как следователь отбрасывает не оправдавшие себя версии. Но кто знает, может когда-нибудь среди такой «отработки» найдется то, что раньше упустили. Например, кто-то, роясь в этой общей корзине, наткнется на необычные идеи, которые послужат толчком для новых открытий. Но даже если все будет не так, мы надеемся достичь своей главной цели: помочь реализовать себя людям, способным к самостоятельному нестандартному мышлению и поиску. Так рождаются инновации. Сомневайтесь! Опровергайте! Предлагайте!

Условия проведения конкурса

Каждый участник представляет на рассмотрение жюри свой проект, содержащий сформулированную задачу и ее решение. (В отдельных случаях жюри готово рассматривать задачи с незавершенными решениями.) Общий объем отчета по проекту должен быть не более 10 машинописных страниц, при этом все громоздкие вычисления должны быть вынесены в приложения, которые являются составной частью отчета. Распечатанный вариант отчета (1 экз.) нужно прислать по почте в редакцию журнала «Квант» по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, д. 64-А, а электронный отчет отдельным файлом нужно послать на электронный адрес редакции: [email protected]. Титульный лист отчета должен содержать следующую информацию о конкурсанте: фамилия, имя, отчество; почтовый адрес, электронный адрес, телефон; данные об образовании, о наличии научной степени (если таковая имеется). Срок приема заявок на участие в конкурсе – до 15 апреля 2010 года. Итоги конкурса будут подведены в конце мая 2010 года. Работы, с согласия их авторов и заслуживающие общего внимания по мнению жюри, будут размещаться на специальном сайте фонда «Новая мысль» с указанием тех работ, которые отмечены премиями. Журнал «Квант», независимо от результатов участия работы в конкурсе, может (по согласованию с автором) опубликовать некоторые работы, подходящие по формату и идеологии журнала.

26

КМШ

КВАНТ 2009/№6

Задачи

Мистер Твистер получил в наследство несколько фабрик. За его жизнь 7 фабрик разорилось, а остальные он разделил поровну между своими семью сыновьями. Младший сын за свою жизнь пустил на ветер 6 фабрик, а остальные разделил между своими семью сыновьями. Его младший сын продал с молотка 5 фабрик, но остальные по семейной традиции разделил между своими семью сыновьями. При жизни его младшего сына разорились 4 фабрики, но когда дело дошло до наследства, делить было нечего – у прогоревшего дельца оставалась всего одна фабрика. Сколько фабрик было изначально у мистера Твистера? А.Хачатурян

Петя вышел из точки A плоской равнины и прошел 1 м на юг, 2 м – на запад, 3 м – на север, 4 м – на восток, 5 м – на юг, 6 м – на запад, 7 м – на север, 8 м – на восток и т.д. Пройдя суммарно 5 км, Петя устал и сел отдохнуть. На каком расстоянии от точки A это случилось? С.Дориченко, Т.Голенищева-Кутузова

Планета имеет форму шара. Можно ли провести на ней 2009 меридианов и 2010 параллелей так, чтобы они разделили планету на участки равной площади? Г.Гальперин

Иллюстрации Д.Гришуковой

Имеется 9 одинаковых с виду монет. Из них одна фальшивая, которая легче настоящей. Одна из монет прилипла к одной из чаш чашечных весов без гирь. Отдирать ее некогда. Как за два взвешивания найти фальшивую монету? (Она может быть и прилипшей.) А.Шаповалов

Два насоса вместе заполняют бассейн за два часа, а раздельно они заполняют его за целое, но разное число часов. За сколько часов каждый насос заполняет бассейн? Н.Конищев

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

27

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

11. Расставьте между числами в левой части равенства $7^{5} 7^{4} 7^{3} 7^{2} 7 1 = 2009$ знаки арифметических действий и скобки так, чтобы равенство стало верным. М.Мурашкин

12. Назовем натуральное число возрастающим, если в нем каждая следующая цифра больше предыдущей (например, число 23689). Докажите, что если возрастающее число умножить на 9, то сумма цифр полученного числа всегда равна в точности девяти. Фольклор (предложил Л.Штейнгарц)

13. Из пронумерованных квадратных $фишек^{1} ¥^{1}$ сложена фигура, содержащая два $квадрата^{2} ¥^{2}$, причем фишка с номером 4 – общая (рис.1). Фишки каждого квадрата 2 ¥ 2 можно поворачивать вокруг

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 2

его центра на угол, $кратный^{90\infty}$. Можно ли при помощи таких поворотов получить расположения, показанные на рисунках 2 и 3? Н.Авилов

14. Докажите $неравенство^{a} +^{b} +^{c} \ge^{3}$, если известно, что ab + bc + ca = 1 и среди чисел a, b, c хотя бы два положительны. В.Асланян

15. Докажите, что любой выпуклый четырехугольник можно разрезать на четыре части, из которых складывается прямоугольник. С.Волчёнков

Мешает ли птицам попутный ветер

Н.КОНСТАНТИНОВ

КОГДА Я УЖЕ НАУЧИЛСЯ ЧИТАТЬ, МНЕ ПОПАЛАСЬ КНИЖ- ка о путешественниках – какая именно книжка, я забыл, а запомнил из нее только один эпизод. Путешественники разбили лагерь в лесу рядом с озером, на которое села для отдыха во время перелета стая диких гусей. Наступил вечер, и охотиться было уже невозможно. – Завтра будет славная охота, – сказал один. – А ты не думаешь, что на рассвете птицы улетят? – сказал другой. – Не улетят, ведь ветер северный, для гусей попутный. Птицы не летают с попутным ветром, так как он задувает им под маховые перья крыльев.

Этот разговор показался мне странным. Я бы на месте птиц радовался попутному ветру – на нем можно лететь быстро, быстрее ветра. Но я был маленький, и все, что написано в книгах, было для меня истиной. Так что я запомнил только, что я чего-то не понял. Прошло двадцать пять лет. Я учился в аспирантуре, моим руководителем был Алексей Андреевич Ляпунов – известный математик, который в это время глубоко интересовался кибернетикой и математическими подходами к биологии. Он был связан научными интересами и личной дружбой с нашим крупным биофизиком, одним из основателей науки биофизики – Николаем Владимировичем Тимофеевым-Ресовским. По

28

КВАНТ 2009/№6

совету Алексея Андреевича я посетил семинар по биофизике, проводившийся Николаем Владимировичем на биостанции Миассово на Урале. История, рассказанная Николаем Владимировичем, заставила меня вспомнить прочитанную в детстве книжку. Оказывается, было время (и я как раз его застал), когда из статьи в статью, из книги в книгу повторялась одна и та же мысль – что попутный ветер задувает птицам под крылья. И группа биологов, в их числе Тимофеев- Ресовский, в нескольких публикациях разъяснили биологам ошибочность этой мысли и рассказали о принципе относительности Галилея. Еще один эпизод напомнил мне, что некоторые старшеклассники в наше время еще не доросли до понимания картины мира, возникшей после открытий Галилея. Стройотряд из студентов и школьников работал летом на Беломорской биостанции МГУ (я был уже учителем). Мы возвращались с одной морской экскурсии на теплоходе «Научный». Группа ребят попросила у капитана разрешения сидеть не на теплоходе, а в шлюпке, которая тянулась за теплоходом на буксире (там было куда приятнее). А за шлюпкой, на расстоянии примерно трех метров от нее, тянулся еще маленький ялик, в котором никто не сидел. И вот самый молодой из нас, Леша Кувшинов, который тогда перешел в десятый класс, захотел пересесть в ялик. А сделать это на ходу было, по-моему, невозможно. По крайней мере, очень трудно: даже если подтянуть ялик к шлюпке, то пересесть на него и не перевернуться было немыслимо. Но Леша придумал другой способ: «Я высоко подпрыгну, а пока буду опускаться, ялик окажется уже подо мной». И тут все старшеклассники (а это были все матшкольники, и с ними шутки плохи) стали наперебой объяснять Леше принцип относительности Галилея. Землю, говорили они, можно считать инерциальной системой отсчета. Это означает, что если на тело не действуют внешние силы (или, точнее, если все силы, действующие на тело, компенсируют друг друга), то оно сохраняет состояние покоя или равномерного

прямолинейного движения относительно Земли. Конечно, бывают такие ситуации, в которых систему отсчета, связанную с Землей, нельзя считать инерциальной. Наглядный пример тому – маятник Фуко. В инерциальной системе отсчета плоскость, в которой колеблется маятник, остается постоянной, а в действительности, скажем если опыт поставлен в Москве, плоскость колебаний медленно поворачивается. Другой пример – реки, текущие в северном полушарии, подмывают правый берег. А если бы система, связанная с Землей, была инерциальной, оба берега были бы равноправны. Но это все довольно тонкие эффекты, наблюдаемые либо при очень точных измерениях, либо за очень большие промежутки времени. В нашем же случае систему отсчета, связанную с Землей, вполне можно считать инерциальной. Значит, и любую другую систему отсчета, которая движется относительно Земли равномерно и прямолинейно, также можно считать инерциальной. Наша шлюпка как раз и есть такая система отсчета. И тогда, по принципу относительности Галилея, все законы физики в системе шлюпки выглядят так же, как и в системе, связанной с Землей. И подпрыгнув в шлюпке ты опустишся в ту же точку шлюпки, из которой стартовал, как это было бы и на берегу. Тут один из наших ребят возразил, что если на твердой почве, т.е. на берегу, выстрелить вертикально вверх, то снаряд не упадет в ту же точку, из которой стартовал, даже если воздух полностью неподвижен относительно Земли. Это действительно так, но это еще один случай, демонстрирующий неинерциальность земной системы отсчета. Поскольку эффект незначительный, в нашем опыте его можно не учитывать. Однако Лешу все эти объяснения не убедили. Приводили ему и рассуждения Галилея, объяснявшего своим современникам, что если дуэль на пистолетах происходит в трюме движущегося корабля, то ни один из дуэлянтов, смотрит ли он от кормы к носу корабля или наоборот, не имеет преимуществ. И напоминали, как он, Леша, едучи в поезде на Биостанцию, играл в вагоне в мяч и мяч двигался по отношению к вагону так же, как он двигался бы на неподвижной земле при тех же ударах по нему. Но все было бесполезно. Леша непременно хотел подпрыгнуть, а мы возражали, так как шлюпка в результате удара могла дать течь. Но в конце концов уступили, и Леша подпрыгнул. Он, как и должно было быть, опустился в исходную точку (а лодка так качнулась, что набрала некоторое количество воды). Леша надолго задумался. И, наверное, запомнил принцип относительности Галилея навсегда. Воспользуюсь случаем, чтобы показать на примерах, как поверхностно зачастую школьники учат уроки. Однажды один студент ехал на Беломорскую биостанцию. Он приехал на поезде в Пояконду, откуда его должны были доставить к месту на катере. Подошел к

29

ПРОГУЛКИ

берегу в три часа ночи (ночи белые), до прихода катера было еще далеко. Кругом ни души. Он положил на землю свой тяжелый рюкзак и пошел осматривать окрестности. А когда вернулся, рюкзака не было. О воровстве не могло быть и речи – поселок крохотный, и жители даже дверей не запирают. Студент сел на камень и предался тяжелым размышлениям о превратностях жизни. «А что это там в море плавает?» – подумал студент. «Нет, не плавает, а, пожалуй, стоит на месте». Пригляделся. «Да это же мой рюкзак!» – догадался студент. Благо были на нем сапоги – дошел до рюкзака по мелководью. Забыл студент, что в море бывают приливы. А ведь учил это в школе, и, возможно, даже получил пятерку за отлично вызубренный урок. Но в том-то и дело, что можно вызубрить и не задуматься. Другой случай – опять же на Белом море. Группа туристов пошла погулять, а один из них, Саша Кодряну, остался у костра, чтобы приготовить чай. Это был очень толковый школьник, только что заработавший первую премию на Всесоюзной математической олимпиаде. Он пошел к колодцу, а рядом море – вода в нем такая прозрачная и так красиво играет на солнце. И он набрал в ведро морской воды. Забыл он, что вода в море соленая, а ведь наверняка знал об этом. Но это были знания для отметки, а не для жизни. Вода (соленая) закипела как раз к возвращению уставшей группы. Получается, что школьные знания могут оказаться бесполезными. Это бывает, если они не связываются с жизненными наблюдениями. У человека должны быть две «школы» – одна на улице и дома, другая – в школе, и они должны быть связаны. Но так бывает не всегда. Вот идет человек по городу, ему пятнадцать лет, и у него стопроцентное зрение. Но он ничего не видит. Он не заметил, что голуби и вороны – это разные птицы. Не заметил, что у троллейбусов на крыше рога (они по-научному называются пантографы). Он никогда не видел радуги, не замечал, что у кучевых облаков нижние поверхности обычно ровные. Все это я не выдумал – это результаты наблюдений. Спросил я както своих кружковцев, бывает ли так, что Луна и Солнце

С

ФИЗИКОЙ

видны на небе одновременно. Один сказал, что он однажды это видел, остальные ничего такого не замечали, а некоторые вообще удивились, что Луну можно увидеть днем. Но… вернемся к птицам. Меня всегда учили, что записные книжки Леонардо да Винчи изобилуют гениальными догадками. И вот недавно я, наконец, решил почитать эти книжки, которые, разумеется, давно изданы в солидных академических издательствах. В «Избранных произведениях» Леонардо да Винчи (М.: Издательство АН СССР, 1955) есть глава «О летании и движении тел в воздухе». Это подробное исследование, в котором много интересных наблюдений и прекрасных рисунков. Но понимать его очень трудно, порой невозможно. Ведь Леонардо писал для себя, не заботясь о том, чтобы разъяснять смысл употребляемых терминов. В этой главе есть раздел «Почему перелетные птицы летают против течения ветра?» Я в этом тексте не смог разобраться, но вывод очевидно не верен. На рисунках показано, как птицы взлетают – действительно всегда против ветра. А когда они уже высоко, то не видно, куда дует ветер. Можно предположить, что это и привело к ошибке. Надо заметить, что Леонардо постоянно ссылается на законы статики, открытые еще Архимедом (Архимеда он изучал по полному собранию сочинений, которое, как известно из его записных книжек, было ему доступно). Но для изучения полета недостаточно статики. А динамики, как науки, тогда еще не было, и Леонардо там, где не хватало знаний, постоянно использовал интуитивные догадки. Так, всю жизнь он пытался создать летательный аппарат, но это ему не удалось. Потребовались четыре столетия развития науки и техники, чтобы человек поднялся, наконец, в воздух. Итак, мне кажется, я догадался, откуда у биологов возникла ошибочная мысль о том, что попутный ветер мешает птицам летать. Она возникла из трудов Леонардо да Винчи. А удерживалась эта идея в головах некоторых людей потому, что в знании физики эти люди не перевалили через эпоху Галилея. Но не будем упрекать Леонардо в том, что он не опередил следовавшего за ним гения…

ПРОГУЛКИ С ФИЗИКОЙ

Как сделать молоко прозрачным?

(Начало см. на 4-й странице обложки)

… Оказывается, что через некоторое время, когда концентрация сахара в растворе молока в воде достигнет необходимой величины, раствор опять станет прозрачным. Просветляющее действие сахара объясняется довольно просто. Тела перестают быть прозрачными, когда внутри них появляются границы раздела сред с различными показателями преломления света. В молоке это границы между капельками молочного жира (его показатель преломления n = 1,433 – 1,500) и водой (n = 1,333). На этих границах свет отражается в самых разных направлениях, т.е. рассеивает- ся. Вот почему молоко непрозрачное. Если же увеличить показатель преломления воды, доведя его до показателя преломления молочного жира, например растворив в ней сахар, то молоко можно сделать прозрачным. К.Богданов

45

ОЛИМПИАДЫ

XL Международная олимпиада школьников по физике

В этом году Международная физическая олимпиада (МФО) школьников проходила в Мексике, в городе Мерида. Из-за тревожной эпидемиологической обстановки в этой стране часть команд отказалась от участия в олимпиаде. В Мериду прибыли только 316 школьников из 69 стран (для сравнения – в прошлом году во Вьетнаме было 376 участников из 76 государств). В сборную команду России вошли: Трегубов Дмитрий – Киров, ФМЛ, учителя-наставники Канин Павел Евгеньевич, Гырдымов Михаил Владимирович, Землянов Владислав – Урай (Ханты-Мансийский автономный округ), гимназия, учитель-наставник Козловская Зоя Георгиевна, Кудряшова Нина – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, учитель-наставник Аполонский Александр Николаевич, Дорошенко Андрей – Омск, лицей 92, учитель-наставник Афанасьева Юлика Александровна, Старков Григорий – Ноябрьск (Ямало-Ненецкий автономный округ), школа 7, учитель-наставник Ткачук Игорь Викторович. Команду России возглавили профессор Московского физико-технического института (МФТИ) Станислав Миронович Козел и доцент МФТИ Валерий Павлович Слободянин. В составе российской делегации в качестве наблюдателя работал доцент МФТИ Михаил Николаевич Осин. Как и в прошлые годы, восемь кандидатов в команду России были приглашены на последние трехнедельные летние сборы, на которых отрабатывались навыки экспериментальной работы на сложном современном оборудовании и дополнительно изучались элементы специальной теории относительности, волновой оптики, ядерной физики и ряд других тем, входящих в программу МФО. Во время сборов с командой работали преподаватели кафедры общей физики МФТИ, СУНЦ МГУ, научные сотрудники институтов Российской академии наук, а также студенты Физтеха – победители Международных физических олимпиад прошлых лет.

Команда России на XL МФО. Слева направо: Г.Старков, А.Дорошенко, Н.Кудряшова, С.М.Козел, Маша – гид нашей команды, В.Землянов, Д.Трегубов

На олимпиаде участникам были предложены три теоретические задачи и два экспериментальных задания. Каждая задача и каждое задание оценивались из 10 баллов. Таким образом, максимальное количество баллов, которое мог набрать каждый из участников олимпиады, равнялось 50. Оба тура олимпиады – теоретический и экспериментальный – оказались крайне трудоемкими. Ниже приведен список из 11 лидирующих стран (согласно их рейтингу):

№ Страна

Количество медалей золото серебро бронза 1 Китай 5 2 Корея 4 1 3 Индия 4 1 4 Тайвань 3 2 5 США 4 1 6 Россия 3 2 7 Румыния 3 2 8 Сингапур 2 3 9 Таиланд 1 4 10 Индонезия 1 3 1 11 Япония 2 1 2

Сумма баллов

216 186 180 179 176 165 161 154 152 148 144

Как видно из таблицы, лидерство на олимпиаде захватили страны из Юго-Восточной Азии. Команды этих стран устойчиво добиваются высоких результатов в Международных олимпиадах и по другим предметам. Члены сборной России показали следующие результаты:

Обсерватория майя (Мексика)

Участник

Теория

Эксперимент

Сумма баллов

Медаль

Старков Григорий Землянов Владислав

21,45

14,00

35,45 золото

20,60

13,65

34,75 золото

52

КВАНТ 2009/№6

12 (8–10). Решите уравнение $1 x^{2010} +_{2010} = 1 + x^{2011}. x$

Группы «Коллективный ученик» принимаются на курсы Ф1, Ф2, Ф3 без вступительной работы. Сайт отделения физики: http://www. phys.problems.ru

Задачи

Отделение биологии

Зачисление на отделение проводится на конкурсной основе по результатам вступительной работы. В конкурсе могут принять участие школьники, которые в этом учебном году занимаются в 8 или 9 классе, независимо от места проживания. Обучение для восьмиклассников длится 3 года, для девятиклассников – 2 года. Учащимся восьмых классов необходимо решить задачи 1– 5 помещенной ниже вступительной работы, девятиклассникам – задачи 2–6. В ответах можно использовать и факты, найденные в литературе, и собственные идеи. Просим для сведений, почерпнутых из книг, приводить ссылки на источники. Вместе с работой пришлите конверт с маркой и заполненным адресом (для отправки решения приемной комиссии). Срок отправки вступительной работы – не позднее 20 мая 2010 года.

Задачи

1. Какие приспособления помогают разным живым организмам обитать в условиях дефицита воды? 2. Доверившись рекламе, можно подумать, что главное в моющих средствах – максимально эффективное удаление загрязнений, а в инсектицидах – полнота истребления вредных насекомых. Однако экологи не согласятся с подобной трактовкой и заметят, что данные препараты должны удовлетворять еще многим требованиям. Перечислите эти требования. 3. Вам поручили проверить, действительно ли лосось руководствуется запахами, возвращаясь для нереста в водоем, где он родился, или же он использует какой-либо другой способ навигации. Опишите план ваших исследований. 4. Наземные позвоночные могут иметь шерсть, перья или чешую. Каковы сравнительные преимущества и недостатки каждого из этих типов покровов? 5. Многим животным свойственен половой диморфизм – различие между самцами и самками (помимо устройства половой системы). Назовите как можно больше признаков, по которым могут отличаться самцы и самки, указав, у каких организмов такие отличия имеются. 6. Почему невозможно установить общие для всех людей нормы питания: содержание в ежедневном рационе калорий, белков, жиров, углеводов и других веществ?

Отделение физики

Обучение на отделении одно-, двухи трехгодичное. На трехгодичный поток (курс Ф3) принимаются оканчивающие в 2010 году 8 классов средней школы, на двухгодичный (курс Ф2) – оканчивающие 9 классов и на одногодичный (курс Ф1) – 10 классов. Учащиеся, оканчивающие десятый класс, могут пройти ускоренно всю программу за один год (курс Ф0). Для поступления на курс Ф3 нужно решить задачи 1– 5 приведенной ниже вступительной работы, на курс Ф2 – задачи 4–9, на курс Ф1 – задачи 5–10, на курс Ф0 – задачи 4–10. На обложке тетради следует указать фамилию, имя и отчество, код курса (Ф0, Ф1, Ф2 или Ф3), сколько классов будет закончено к 1сентября 2010 года, полный почтовый адрес (с индексом), адрес e-mail (если есть), телефон. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2010 года.

1. Два жука ползают с одинаковыми скоростями: один по треугольнику АСВ, а другой – по треугольнику АСD, составляющим квадрат АВСD. Нарисуйте, как будет выглядеть траектория одного жука в системе отсчета, связанной с другим жуком. Известно, что жуки начинают двигаться одновременно из точки А вдоль диагонали АС. 2. В калориметр, содержащий воду массой $m_{в} = 200$ г при температуре $t_{в} = 50 ^\circ$ С, кладут кусок льда при температуре $t_{л} =$ –5 $^\circ$ С, в середину которого вмерзла свинцовая дробинка, общей массой m = 110 г. Когда растаяла n = 1/10 часть льда, оставшийся кусок утонул. Найдите конечную температуру системы. Необходимые константы отыщите самостоятельно. Теплоемкостью калориметра можно пренебречь. 3. Участок электрической цепи состоит из двух последовательно соединенных резисторов. Известно, что доля n = = 1/3 всей мощности, потребляемой этим участком, рассеивается на первом резисторе. Какова будет эта доля, если к первому резистору параллельно присоединить еще один такой же резистор? 4. Часы, заведенные в полночь, ушли за 12 часов на полчаса вперед. Найдите, сколько времени минутная стрелка часов была впереди часовой за эти 12 часов. Считается, что впереди находится та стрелка, которая составляет больший угол с направлением на 12 часов, отсчитанный от этого направления по ходу движения стрелок. 5. Внутренняя поверхность цилиндрического сосуда представляет собой зеркало повсюду, кроме полосы из поглощающего материала, расположенной вдоль образующих цилиндра и занимающей n = 1/6 площади его поверхности (рис.1). В точке, диаметрально противоположной середине этой полосы, имеется маленькое отверстие. Под каким углом $\alpha$ к радиальному направлению нужно направить в отверстие лазерный луч в плоскости, $перпендику-^{Рис.} 1$ лярной оси цилиндра, чтобы он вышел из этого же отверстия наружу? Каким будет угол между вышедшим и исходным лучами? 6. Два маленьких мячика начинают одновременно падать без начальной скорости. Один из них вначале находится на высоте h над полом, а другой – на высоте h/4. Расстояние между мячиками по горизонтали L. Все удары мячиков о пол абсолютно упругие. Найдите зависимость расстояния между мячиками от времени и постройте соответствующий график. 7. Два бруска лежат на горизонтальном столе. Известно, что необходимо приложить горизонтальную силу $F_{1} = 5$ Н, чтобы сдвинуть с места один из них, и силу $F_{2} = 10$ Н, чтобы сдвинуть другой. Когда второй брусок положили на первый, то нижний оказалось возможным сдвинуть силой F = 9 Н. Какую минимальную силу нужно приложить, чтобы сдвинуть второй брусок, когда на нем сверху лежит первый? 8. Конструкция в форме прописной буквы М состоит из двух вертикальных столбиков длиной d, к которым подвешены две соединенные между собой рейки такой же длины (рис.2). $Расстоя-^{Рис.} 2$

54

КВАНТ 2009/№6

Отделение экономики

Обучение на отделении проводится по Интернету и электронной почте (также есть традиционная форма обучения с рассылкой материалов обычной почтой). Поступить на экономическое отделение могут все окончившие 7 классов, срок обучения от 1 года до 4 лет. Обучение индивидуальное или в кружке «Коллективный ученик». Программа отделения включает изучение экономической теории и знакомство с практикой экономики и бизнеса. Среди учебных курсов отделения – основы экономики, предпринимательство и менеджмент, бухгалтерский учет и финансы, мировая экономика и география, экономическая история. Учащимся 9 классов мы поможем лучше подготовиться к Государственной итоговой аттестации (ГИА-9) по русскому языку и математике. Учащиеся 10–11 классов в дополнение к курсу экономики получат необходимую подготовку по русскому языку и литературе, математике, обществознанию, что поможет лучше сдать ЕГЭ, успешно участвовать в предметных олимпиадах и поступить в лучшие вузы страны. Ученики экономического отделения смогут заочно познакомиться с преподавателями, студентами и выпускниками МГУ им. М.В.Ломоносова. Они проведут для вас мастер-классы и познакомят с замечательными профессиями в экономике, одну из которых вы, возможно, выберете для себя в будущем. Во время обучения ученики становятся участниками увлекательной бизнес-игры, которая будет вестись через Интернет или по переписке. Ниже опубликована карта страны Экония (рис.4), в городах которой участники откроют свои

полного почтового адреса и индекса, фамилии, имени и отчества (на открытках пишите, пожалуйста, ПЕЧАТНЫ- МИ БУКВАМИ). Озаглавьте открытки или электронные письма так: «Экономика, вступительное задание-2010». Обязательно укажите класс, в котором вы сейчас учитесь. Пожалуйста, укажите источник информации об ОЛ ВЗМШ – журналы «Квант» или «Наука и жизнь», афиша, другое (например, «узнал от друзей»). Срок отправки вступительной работы – до 15 мая 2010 года. Наш адрес в Интернете: www.vzmsh.ru/page/econ

Отделение «Нравственность, право, закон» (право и граждановедение)

Школьникам 8–11 классов и группам «Коллективный ученик» предлагаются два курса. 1) Годовой курс «Беседы о правах человека, нравственности, праве, законе и государстве». В курсе даются современные представления об основных понятиях, связанных с правом, законом и государством, рассказывается об основах российского законодательства, правах человека. Разбираются примеры судебных процессов, приводятся общекультурные примеры, связанные с направленностью курса. 2) Полуторагодовой курс «Беседы об основах демократии». Мы предлагаем проходить курсы именно в таком порядке. И только старшеклассники, если они не успевают пройти оба курса подряд, но обязательно хотят пройти именно второй курс, могут начинать прямо с него. Желающие учиться должны сообщить свой полный почтовый адрес, адрес электронной почты (если есть), фамилию, имя и отчество, сколько классов закончено. При оценке вступительной работы, вопросы которой приведены ниже, мы учитываем возраст (базовое образование) поступающего. В письмо обязательно вложите обычный конверт с маркой и вашим адресом (чтобы мы могли вам ответить) и ответы на приведенные ниже вопросы. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2010 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы».

Вопросы

Рис. 4

фирмы на время Игры. Города Эконии названы в честь выдающихся экономистов.

Внимание: задание

В честь каких экономистов названы города Эконии? Постарайтесь разгадать как можно больше имен! Найти ответ на наш вопрос вам помогут Интернет, учебники и справочники, научно-популярные журналы (например, «Наука и жизнь»), друзья и учителя. Ответы с именами экономистов присылайте по электронной почте: [email protected] ИЛИ на открытках с указанием

1. Управляя машиной, гражданин нарушил правила дорожного движения. Данное деяние является: a) преступлением; б) проступком. 2. Для того чтобы человек чувствовал себя свободным, необходимо ли демократическое устройства жизни общества? 3. Назовите трех-четырех известных российских дореволюционных юристов. 4. Кому принадлежит фраза «Когда осядет пыль веков… о нас тоже будут вспоминать не за наши победы или поражения на поле битвы или в политике, а за то, что мы сделали для духовного развития человека»? а) Дж. Кеннеди; б) Наполеону; в) Сталину; г) Бисмарку. 5. В приведенную цитату вставьте одно из слов, приведенных ниже. В цитате оно заменено многоточием: «… – это организованная, централизованная и авторитарная демократия». а) Капитализм; б) фашизм; в) монархия; г) социализм.

56

КВАНТ 2009/№6

Федеральная заочная физико-техническая школа при МФТИ

Федеральная заочная физико-техническая школа (ФЗФТШ) при Московском физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учащихся общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т. п.), расположенных на территории Российской Федерации, на 2010/11 учебный год. ФЗФТШ при МФТИ как государственное образовательное учреждение профильного дополнительного образования детей работает с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 80 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее выпускник. Финансирует школу Федеральное агентство по образованию. Обучение для учащихся, проживающих в Российской Федерации, – бесплатное. Научно-методическое руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт (государственный университет). Цель нашей школы – помочь учащимся 8–11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся физикой и математикой, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2010/11 учебный год проводится на заочное, очно-заочное и очное отделения.

Заочное отделение (индивидуальное обучение) Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: zftsh@ mail.mipt.ru Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения приведенного ниже вступительного задания по физике и математике. Полная программа обучения рассчитана на 4 года, т.е. на 8–11 классы, но поступать можно в любой из указанных классов. В течение учебного года, в соответствии с программой ФЗФТШ, ученик будет получать по каждой учебной теме задания по физике и математике (5 заданий по каждому предмету для 8 класса, 6–7 заданий по каждому предмету для 9, 10 и 11 классов), а затем рекомендуемые авторские решения этих заданий вместе с проверенной работой. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и 8–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики и высшей математики МФТИ, а также выпускники МФТИ. Работы учащихся-заочников проверяют студенты, аспиранты и выпускники МФТИ (из них 80% – выпускники нашей школы). Срок отправления решения вступительного задания – не позднее 1 марта 2010 года. Проверенные вступительные работы обратно поступающему не высылаются. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 2010 года. Вне конкурса в ФЗФТШ принимаются победители областных, краевых, республиканских, всероссийских олимпиад по физике и математике 2009/10 учебного года. Им необходимо до 15 мая 2010 года выслать в ФЗФТШ выполненную вступительную работу по физике и математике вместе с копиями дипломов, подтверждающих участие в перечисленных выше олимпиадах. Тетрадь с выполненными заданиями (по физике и математике) высылайте по адресу: 141700 Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9, ФЗФТШ при МФТИ.

Вступительное задание по физике и математике ученик выполняет самостоятельно в одной школьной тетради на русском языке, сохраняя тот же порядок задач, что и в задании. Тетрадь нужно выслать в конверте простой бандеролью (только не сворачивайте в трубку). На внутреннюю сторону обложки тетради наклейте справку из школы, в которой учитесь, с указанием класса. На лицевую сторону обложки наклейте лист бумаги, четко заполненный по приведенному ниже образцу.

Образец

1. Республика, край, область 2. Фамилия, имя, отчество

2. Класс, в котором учитесь 4. Номер школы 5. Вид школы (обычная, лицей, гимназия, с углубленным изучением предмета) 6. Подробный домашний адрес (с указанием индекса), телефон, e-mail

3. Место работы и должность родителей: отец мать 8. Адрес школы и телефон, факс, e-mail 9. Фамилия, имя, отчество преподавателей: по физике по математике

Кемеровская область Чистова Галина Сергеевна восьмой 35 лицей

654041 г. Новокузнецк, ул. Волжская, д.74, кв.3, e-mail: [email protected] доцент врач 654041 г. Новокузнецк, ул. Циолковского, д. 65

Григорьева Алена Михайловна Горшенина Нина Анатольевна

10. Каким образом к вам попало это объявление?

На конкурс ежегодно приходит более 3 тысяч вступительных работ. Пожалуйста, обратите внимание на правильность заполнения анкеты! Пишите аккуратно, лучше печатными буквами. Для получения ответа на вступительное задание и для отправки вам первых заданий обязательно вложите в тетрадь два одинаковых бандерольных конверта размером $160 \times 230$ мм. На конвертах четко напишите свой домашний адрес.

Очно-заочное отделение (обучение в факультативных группах) Тел./факс: (498) 744-63-51, е-mail: [email protected] Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении двумя преподавателями – физики и математики, в отдельных случаях разрешается обучение по одному предмету. Руководители факультатива принимают в них учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ФЗФТШ.