Квант 2010, №1 · Страницы

1

ЯНВАРЬ

ФЕВРАЛЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2010

©

Ю№1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

2 8

Многогранный Делоне. Н.Долбилин Что такое ЯМР-томография? А.Варламов, А.Ригамонти

12

НАНОТЕХНОЛОГИИ Как управлять светом с помощью магнитного поля. В.Белотелов

17

НОВОСТИ НАУКИ Нобелевская премия за «школьную» физику

19

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР Интервью с Н.Н.Константиновым

24 25

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2161–М2168, Ф2168–Ф2174 Решения задач М2139–М2145, Ф2153–Ф2159

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

32

К М Ш

34 35 35 37

Задачи Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» Иррациональность корней из 2, 3, 5 и 6. А.Спивак Подвиг юного Бертольда. А.Котова

39

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Красное небо, синяя луна. А.Стасенко редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

41

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ Две простые, но не вполне тривиальные формулы. М.Каганов

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Описанные четырехугольники и ломаные. Н.Белухов, П.Кожевников

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

50

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Динамика движения по окружности. А.Черноуцан

54

ОЛИМПИАДЫ XXXI Турнир городов

55 56 57 57 58

ИНФОРМАЦИЯ Современная механика и робототехника для школьников Заочная школа МИФИ Конкурс «Свободный полет» Заочное отделение Малого мехмата МГУ Заочная школа «Юный математик»

60

Ответы, указания, решения

I-III IV

«Кванту» – 40 лет Прогулки с физикой

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2010, РАН, Фонд Осипьяна, журнал «Квант»

Нано…

НА ОБЛОЖКЕ

2

КВАНТ 2010/№1

Многогранный Делоне

Н.ДОЛБИЛИН

Вместо предисловия

Красивая горная вершина, примыкающая к Белухе, высочайшей вершине Алтая, названа пиком Делоне в честь Бориса Николаевича Делоне – выдающегося математика и удивительного человека Борис Николаевич Делоне был крупным математиком, и математическое творчество является безусловно самой яркой гранью этого замечательного ученого. Но показать лишь эту грань многосторонне одаренной

15 марта 2010 года исполняется 120 лет со дня рождения Бориса Николаевича Делоне. К этой дате приурочена наша статья, которая является существенно переработанным и дополненным вариантом статьи «Пик Делоне», опубликованной в «Кванте», № 3 за 1986 год.

личности – все равно что из сложного полифонического произведения выделить его основную тему в отрыве от других тем. В этом смысле жизнь Б.Н.Делоне, а прожил он 90 лет, можно сравнить с цельным произведением искусства. Эта жизнь была чрезвычайно насыщена. Если бы мы попытались перечислить яркие моменты и факты из его биографии, то хронологически одним из первых шел бы 1897 год – семилетний мальчик читает в подлиннике «Фауста» Гете, знает наизусть отдельные главы поэмы, пишет маслом первые пейзажи. Где-то в конце списка был бы отмечен 1975 год – 6 июля Борис Николаевич на 86-м году жизни проводит ночь на Тянь-Шане при 25-градусном морозе на высоте 4200 метров на леднике под семитысячником Хан-Тенгри. Утром на вертолете он спуска-

3

МНОГОГРАННЫЙ

ДЕЛОНЕ

ется к озеру Иссык-Куль, откуда тут же перелетает во Фрунзе, ныне Бишкек, где стоит 40-градусная жара. Проведя несколько часов в очереди в аэропорту у касс, Борис Николаевич не без помощи академического удостоверения добывает билет на самолет и поздно вечером того же дня оказывается в подмосковном аэропорту, откуда ему предстоит добраться до дачи, расположенной в окрестностях подмосковного Абрамцева. Прибыв на ближайшую станцию последней электричкой глубокой ночью, Борис Николаевич с тяжелым рюкзаком идет к даче через лес, сбивается с пути. Проплутав в ночном лесу, он сбрасывает в укромном месте рюкзак и налегке к рассвету находит свой дом. Эти биографические детали показывают, что, с одной стороны, разностороннее дарование у Б.Н.Делоне проявилось в очень раннем возрасте. С другой стороны, до преклонных лет он сохранил юношеский темперамент, а незаурядное физическое здоровье позволяло ему заниматься с полной отдачей не только научной работой, но и серьезным туризмом. Геометрия чисел, математическая кристаллография, дискретная геометрия – в этих областях Борисом Николаевичем были написаны работы, когда ему было уже за восемьдесят. Алтай и Кавказ, Карпаты и Тянь- Шань – такова география путешествий, совершенных им в преклонном возрасте.

Чудо-ребенок

Борис Николаевич Делоне родился 15 марта 1890 года в Санкт-Петербурге в семье известного профессора математики и механики, автора очень хороших университетских учебников Николая Борисовича Делоне. Род Делоне происходил из Франции. Прадед Б.Н. Делоне, Пьер Делоне (Pierre Delaunay), был доктором в наполеоновской армии, пленен во время войны 1812 года. После освобождения вернулся во Францию, но, влюбленный в прекрасную девушку из знатного российского рода, вернулся в Россию, женился и остался здесь $навсегда...^{1}$ Борис был многосторонне одаренным ребенком и получил, как говорили тогда, прекрасное воспитание. Его занятия музыкой были весьма основательны: он играл многие пьесы Баха и Моцарта, все сонаты Бетховена, много сочинял сам. Учитель музыки видел в нем музыкальную одаренность и рекомендовал непременно поступать в консерваторию по классу композиции. Но не меньше оснований было и у преподавателя рисования, когда он настаивал на том, чтобы Борис поступал в художественную академию. Его занятия рисованием, живописью были пронизаны талантом и серьезным отношением, портреты близких, выполненные в карандаше, поражают сходством. Пока учителя и родители размышляют о будущем Бориса, мальчик не теряет времени. Он путешествует

1 То, что Б.Н.Делоне якобы был праправнуком коменданта Бастилии маркиза Делоне (Delaunay) – первой жертвы французской революции 1789 года, впоследствии не подтвердилось: согласно исследованиям, проведенным А.С.Шаровым, известным астрономом и зятем Б.Н.Делоне, предки Бориса Николаевича происходили из другого рода Делоне.

Б.Н.Делоне собирается в лыжный поход (начало 1970-х годов) в горы и пишет пейзажи, занимается музыкой и играет в футбол, воспроизводит в карандаше «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи и лазает по деревьям (с младшей сестрой на плечах для нагрузки), наблюдает за звездным небом и ставит физические опыты. Свою комнату он превратил в физическую лабораторию, в которой немало устройств было сделано им самим. Много лет спустя Делоне часто с чувством гордости вспоминал о маленьких хитростях, которые позволили ему получить с помощью лейденской банки «в-о-о-о-т такую искру» (это «в-о-о-о-т» сопровождалось красноречивым жестом). Увлекаясь астрономией, он построил телескоп, зеркало для которого шлифовал сам. Рассказывая об этом, Борис Николаевич никогда не забывал добавлять: «шлифовать зеркало из бронзы было глупо – и трудоемко, и быстро тускнело». Нельзя не упомянуть еще об одном увлечении Б.Н.Делоне в школьные годы. Его отец Николай Борисович был дружен со знаменитым ученым Николаем Егоровичем Жуковским, «отцом русской авиации». Под его влиянием Николай Борисович Делоне в 1907 году (он тогда работал профессором в Киевском политехническом институте) организовал в Киеве первый в России планерный кружок. Семнадцатилетний Борис стал одним из членов кружка и в течение следующих двух лет построил один за другим пять планеров, постоянно совершенствуя их. Последний, пятый, планер был наиболее удачным. Однажды кинематографисты, при-

4

КВАНТ 2010/№1

Крайний слева – Б.Н.Делоне, крайняя справа – его жена М.Г.Делоне, в центре – известный математик академик Я.В.Успенский, его жена и сестра (1924 год) ехавшие снять материал о кружке, уговорили Бориса, несмотря на сильный ветер, показать полет. Порыв ветра опрокидывает планер, и авиатор падает примерно с 15-метровой высоты, к счастью, на глубоко вспаханное поле. С точки зрения современных представлений об авиации, достижения кружка кажутся наивными: полеты на несколько десятков метров, запуски летом при помощи лошади, жгута, велосипеда, а зимой – при помощи санок. Но, заметим, это было время зарождения авиации, и деятельность кружка носила пионерский характер. Работа кружка оказала влияние на развитие отечественного авиастроения. Одним из кружковцев был Игорь Сикорский, который впоследствии, получив необходимые средства, построил огромный по тем временам 4-моторный самолет, знаменитый в истории российского самолетостроения под названием «Илья Муромец». После октябрьской революции И.Сикорский эмигрировал в США, где со временем стал знаменитым конструктором вертолетов. Один из вертолетов Сикорского совершил трансатлантический перелет. Отметим также еще один любопытный эпизод, связанный с кружком. Крупнейший наш авиаконструктор Андрей Николаевич Туполев, рассказывая в своих мемуарах об огромном значении, которое имело для него знакомство с Жуковским, отмечал, что познакомил его, тогда еще студента, с Жуковским именно Б.Н.Делоне. Прежде чем обсудить место, которое занимала математика в жизни Бориса Делоне в его детские годы, следует отметить еще одно увлечение, которое продолжалось всю жизнь. Это увлечение – альпинизм – впервые проявилось у Бориса Николаевича в возрасте 12–15 лет в Швейцарских Альпах, куда в начале 1900-х годов семья Делоне выезжала на летние каникулы. Позже Делоне рассказывал о своих восхождениях и походах в окрестностях вершин Монте-Роза и Маттерхорн над Церматом в Валлийских Альпах. Математическое дарование Делоне проявилось весьма рано. В 12 лет он был знаком с основами математи-

ческого анализа, чуть позднее приступил к изучению алгебры, теории чисел. Обстановка в семье способствовала развитию математического таланта. Отец, к примеру, в 1904 году взял сына на Международный конгресс математиков в Гейдельберг, где 14-летний Борис видел Гильберта и Минковского, присутствовал на их лекциях. Для будущей научной работы Бориса Николаевича оказалось важным, что в начале 1900-х годов его отец работал профессором Варшавского $университета^{2}$ одновременно с выдающимся математиком Георгием Феодосьевичем Вороным. Г.Ф.Вороной (1868–1908) был одним из самых блестящих представителей знаменитой Петербургской школы теории чисел. Николай Борисович подружился с выдающимся математиком, и Вороной стал частым гостем в доме Делоне. Борис Николаевич вспоминал, что когда беседы между отцом и Вороным затягивались допоздна, то он, мальчик, уже «находясь в кровати в своей комнате, прислушивался к их разговору через полуприкрытую дверь, ведущую в залу». Кстати, Г.Ф.Вороной тоже участвовал в работе конгресса в Гейдельберге, много общался с Минковским. Результатом общения двух создателей нового направления в математике – геометрии чисел – стала грандиозная программа, которую наметил себе на последующие годы Вороной. И хотя, к огромному сожалению, судьба отпустила ему только четыре года, Георгий Феодосьевич успел написать несколько фундаментальных работ по геометрии положительных квадратичных форм и теории параллелоэдров, в которых были решены принципиальные задачи из теории покрытий, упаковок и разбиений. Эти работы определили направление исследований на столетие вперед.

Киевский университет, семинар Граве

Хотя впоследствии работы Вороного оказали серьезное влияние на исследования Делоне, прямых научных контактов у Бориса-гимназиста с маститым ученым не было. Вороной умер неожиданно в возрасте 40 лет в том самом 1908 году, когда Борис Делоне поступил на физико-математический факультет Киевского университета. На этот факультет примерно в одно время поступили учиться несколько исключительно талантливых и амбициозных молодых людей, среди них Отто Шмидт и Николай Чеботарев. Николай Григорьевич Чеботарев (1894–1947) стал выдающимся алгебраистом мирового уровня, член-корреспондентом АН СССР. Академик Отто Юльевич Шмидт (1891–1956) – многогранно талантливый человек невероятной энергии. В истории российской математики Шмидт известен не только как крупный алгебраист, автор хорошо известной книги «Абстрактная теория групп», но и как основатель знаменитой московской алгебраической школы. В 1934 году имя Героя Советского Союза Шмидта стало легендарным: он был начальником знаменитой полярной экспедиции на ледоколе «Челюскин», а после гибели ледокола организовал зимовку на льдине и в

2 В то время Польша была частью Российской Империи.

5

МНОГОГРАННЫЙ

течение нескольких месяцев полярной ночи, вплоть до благополучной эвакуации экспедиции, как руководитель сделал все, чтобы все люди остались живы. Борис Делоне, Отто Шмидт, Николай Чеботарев, Александр Островский, Абрам Безикович составили ядро семинара, возглавляемого известным математиком профессором Дмитрием Граве. Этот семинар, существовавший в Киевском университете на рубеже 1910-х годов и вошедший в историю отечественной математики как воспитавший плеяду математиков экстракласса, предопределил направление исследований Делоне на многие годы. Студенческая работа Бориса Делоне «Связь между теорией идеалов и теорией Галуа» была удостоена Большой золотой медали университета, и Борис был оставлен «для подготовки к профессорскому званию», или, говоря по-нынешнему, в аспирантуру. Первая опубликованная работа Делоне «Об определении алгебраической области посредством конгруэнтности» была посвящена новому доказательству знаменитой теоремы Кронекера об абсолютно абелевых полях.

Диофантовы уравнения третьей степени

В это же время Б.Н.Делоне начал исследования по теории диофантовых уравнений третьей степени с двумя неизвестными. Цикл работ по теории кубических диофантовых уравнений оказался, по собственному признанию Бориса Николаевича, лучшим достижением во всей его математической карьере. Диофантово уравнение – это уравнение вида

$p ( x_{1}$, … $, x_{n} ) = 0$,

(1) где $p ( x_{1}$, … $, x_{n} )$ – многочлен с целыми коэффициентами, для которого нужно найти целые, иногда рациональные, решения. Так, известное уравнение $x^{2} + y^{2} = z^{2}$, в котором нужно найти все целые решения, есть пример уравнения 2-й степени с тремя неизвестными. Оно имеет бесконечно много целых решений, хорошо известных под названием пифагоровы тройки, потому что они соответствуют прямоугольным треугольникам с целыми сторонами: (3,4,5), (5,12,13) и $т.д.^{3}$ В одной из 23 знаменитых проблем, а именно в 10-й проблеме, Гильберт поставил вопрос: существует ли алгоритм, позволяющий определить по коэффициентам уравнения (1), существует или нет решение этого уравнения? Сейчас, после работы Ю.В.Матиясевича, решившего 10-ю проблему Гильберта (1970), точно известно, что такого алгоритма не существует. Надо сказать, что специалисты по диофантовым уравнениям, которые прекрасно знали, с каким трудом давался каждый шаг в этой области, всегда сомневались в существовании такого алгоритма. Простейший вид диофантова уравнения – это линейное уравнение с двумя неизвестными:

ax + by = 1, где a и b – целые. Впервые это уравнение было

3 Подробнее см., например, «Квант» №1 за 1986 год, с.11.

ДЕЛОНЕ

исследовано индийским математиком Ариабхатой еще в V–VI веках. Диофантовы уравнения 2-й степени оказались гораздо труднее. Они были полностью изучены великими математиками Леонардом Эйлером (полная теория квадратных уравнений Пелля $ax^{2} + y^{2} = 1$, где a не равен квадрату целого числа), а также Ж.Лагранжем, К.Гауссом. Что касается диофантовых уравнений степени 3 и выше, глубокий и неожиданный результат был получен норвежским математиком Акселем Туэ в 1908 году. Туэ доказал, что диофантово уравнение вида f ( x, y ) = c, где f ( x, y ) – однородный многочлен степени 3 или выше, может иметь лишь конечное число целых решений. Здесь предполагается, что многочлен f ( x, y ) не раскладывается в произведение многочленов степени 2 и ниже. В этом случае решение уравнения высокой степени можно свести к решению квадратного диофантового уравнения. А квадратные уравнения, например квадратное уравнение Пелля, имеют бесконечное число решений. Напомним, что многочлен называется однородным (или формой), если все входящие в него одночлены имеют одну и ту же степень. Однако нужно заметить, что теорема Туэ не давала никаких средств для нахождения решений. Из нее нельзя было получить никакой верхней оценки для значений решений, что давало бы возможность найти целые решения хотя бы путем грубого перебора. Журнала с работой Туэ в Киеве в то время никто не видел. Борис Николаевич решил исследовать давно стоявшую проблему решения неопределенных кубических уравнений. Как оказалось в дальнейшем, работы Делоне обозначили едва ли не первый после Эйлера и Лагранжа серьезный прогресс в направлении конкретного исследования диофантовых уравнений более высокого порядка, а именно, уравнений вида

$ax^{3} + bx^{2} y + cxy^{2} + dy^{3} = 1$,

(2) где слева – форма 3-й степени с целыми коэффициентами и с отрицательным дискриминантом. «Отрицательность дискриминанта» означает, что кубическое уравнение $at^{3} + bt^{2} + ct + d = 0$ имеет единственный вещественный корень. Сначала Б.Н.Делоне приступил к важному частному случаю кубических уравнений с отрицательным дискриминантом – кубическому аналогу уравнения Пелля:

$x^{3} q + y^{3} = 1$,

(3) где q – целое, но не куб целого. (Если q является кубом целого, то форма была бы разложимой:

(

) (

)

$x^{3} q + y^{3} = x^{3} q + y x^{2} 3 q^{2} - x^{3} qy + y^{2}$, и проблема свелась бы к решению диофантовых уравнений степеней 1 и 2.) Уравнение (3) в целых числах всегда имеет тривиальное решение (0; 1). Задача – найти остальные решения, если такие, конечно, имеются. Делоне ввел в

7

МНОГОГРАННЫЙ

Несмотря на то, что в каждом рассмотренном уравнении этот «алгоритм» срабатывал, уверенность в том, что получены все решения, возникала лишь тогда, когда у уравнения уже найдены 3 решения. Верхняя же оценка для решений уравнения через коэффициенты формы при условии, что степень не меньше 3, была получена лишь в 1960-е годы А.Бейкером. За свою работу Бейкер был удостоен Филдсовской медали. После классических результатов Эйлера, Лагранжа, Гаусса по диофантовым уравнениям второй степени работы Делоне представляли серьезный прорыв в теории кубических уравнений и оставались непревзойденными вплоть до 1960 годов (А.Бейкер). Как писал член-корреспондент АН СССР Д.К.Фаддеев, «по конкретности анализа, простоте и ясности цикл работ Б.Н.Делоне, посвященных неопределенным уравнениям, является исключительным в математике ХХ века с ее часто громоздким аппаратом и абстрактными построениями. По своему стилю этот цикл близок к лучшим образцам классических работ Гаусса и Чебышева».

Жизнь в Киеве, переезд в Санкт-Петербург (Ленинград)

Успех явился результатом, как говорил Делоне, нескольких тысяч часов интенсивной работы. Борис Николаевич любил добавлять, что решение трудной математической проблемы отличается от решения олимпиадной задачи тем, что «олимпиадная задача требует 5 часов, а проблема – 5 тысяч часов». Следует отметить, что ему удалось добиться крупного успеха в теории диофантовых уравнений, несмотря на чрезвычайно тяжелые политические и жизненные условия, существовавшие в Киеве в то время. В годы первой мировой войны Киев был оккупирован немецкими войсками, и вместе со многими другими университетскими профессорами семья Делоне в 1915–1916 годах выезжала в Саратов. Туда же приехал из Киева и Николай Чеботарев, который был на четыре года младше. Именно в Саратове его общение с Б.Н.Делоне оказалось для Чеботарева определяющим. Когда Делоне вернулись в Киев, наступила революция и кровопролитная гражданская война. Киев оказался в центре этих жестоких событий. Одна власть сменяла другую непрерывно. Немецкие войска были выбиты из Киева Красной Армией. Красные, в свою очередь, уступали город белым, белые вытеснялись опять красными, красные – жовтоблакитными, те – зелеными, белополяками и т.д. Политическая карусель в Киеве, сопровождавшаяся террором, продолжалась несколько лет. Делоне часто рассказывал не без юмора об одном эпизоде из его жизни в те годы. Его младший брат Александр – в семье его называли Алик – был офицером в деникинской армии. Однажды, когда белые скоропалительно сдали город красным, Алик, переодевшись в гражданское платье, вынужден был бежать из Киева. Форма белого офицера осталась в доме отца, где жил также и Борис. Ночью

ДЕЛОНЕ

в квартиру пришел для проверки краснофлотский патруль. Во время обыска командир патруля подошел к двухстворчатому гардеробу, где за левой дверью висел мундир Алика, и резко отворил… правую. Неожиданно с верхней полки упала на пол огромная кукла и начала плакать. Привезенная из Парижа плачущая кукла, а в то время это казалось настоящим чудом, настолько поразила матросов, что они забыли открыть другую дверь шкафа… А ведь время было жестоким и беспощадным, расстрел, что называется, на месте был делом обычным. В тот период Борис Николаевич работал учителем математики в гимназии и доцентом в Киевском политехническом институте. В 1920 году он написал большую работу по кубическим диофантовым уравнениям и прекрасно оформленную рукопись отослал в качестве докторской диссертации в Санкт-Петербургский, тогда Петроградский университет. Комиссия под руководством $А.А.Маркова^{4}$ высоко оценила диссертацию, и в 1922 году Б.Н.Делоне был приглашен в Петроградский университет в качестве профессора. Это было действительно очень почетно, так как университет был «домом» знаменитой Санкт-Петербургской школы теории чисел, семена которой были посеяны еще Эйлером и которая расцвела во второй половине XIX века под руководством П.Л.Чебышева. Во времена Чебышева ядро этой школы составляли А.А.Марков, А.Н.Коркин, Е.И.Золотарев, А.А.Ляпунов. В то время, в соответствии с традициями знаменитой теоретико-числовой школы, ее выдающийся представитель Георгий Вороной «одел» свою исключительно геометрическую по идее работу о параллелоэдрах в «аналитические одежды». В противоположность этой традиции, Делоне, обладая несомненным геометрическим даром, в течение многих лет занимался геометризацией нескольких важных алгебраических работ, включая алгоритм Вороного для вычисления основной единицы в кольце, соответствующей кубической форме отрицательного дискриминанта. В этой и других работах он интерпретировал кольцо кубических иррациональностей как целочисленную решетку с естественным правилом умножения. Здесь мы завершаем обзор исследований алгебраических вопросов геометрическими методами, чтобы рассказать об одной простой, но важной теории, которую Борис Николаевич начал еще в начале 1920-х годов, – о так называемом методе пустого шара и связанном с ним разбиении пространства на специальные многогранники. Где-то в 1980-е годы, уже после смерти Б.Н.Делоне, эти разбиения получили название «триангуляции Делоне».

(Окончание следует)

4 Академик Андрей Андреевич Марков (1856–1922) – выдающийся русский математик, внес крупный вклад в теорию чисел и особенно в теорию вероятностей («марковские цепи и процессы»).

10

КВАНТ 2010/№1

годы, прежде чем существование этого замечательного явления было бы подтверждено экспериментально. С этого момента техника ЯМР стала бурно развиваться. Она получила широкое применение в научных исследованиях в областях физики конденсированного состояния, химии, биологии, метрологии и медицины. Наиболее известным применением стало получение с помощью ЯМР изображения внутренних органов.

Как осуществляется визуализация внутренних органов посредством ЯМР

До сих пор мы неявно предполагали, что, в пренебрежении влиянием слабых электронных токов в катушках, магнитное поле, в которое помещаются ядра, однородно, т.е. имеет одну и ту же величину во всех точках. В 1973 году Пол Латербур предложил проводить ЯМР-исследования, помещая образец в магнитное поле, меняющееся от точки к точке. Понятно, что в этом случае и резонансная частота для исследуемых ядер изменяется от точки к точке, что позволяет судить об их пространственном расположении. А поскольку интенсивность сигнала от определенной области пространства пропорциональна числу атомов водорода в этой области, мы получаем информацию о распределении плотности вещества по пространству. Собственно, в этом и заключается принцип техники ЯМР-исследования. Как видите, принцип прост, хотя для получения реальных изображений внутренних органов на практике следовало получить в распоряжение мощные компьютеры для управления радиочастотными импульсами и еще долго совершенствовать методологию создания необходимых профилей магнитного поля и обработки сигналов ЯМР, получаемых с катушек. Представим себе, что вдоль оси x расположены маленькие заполненные водой сферы (рис.3). Если магнитное поле не зависит от x, то возникает одиночный сигнал (см. рис.3,а). Далее предположим, что посредством дополнительных катушек (по отношению к той, которая создает основное, направленное по оси z, магнитное поле) мы создаем дополнительное, меняющееся вдоль оси x, магнитное поле $B_{0}$, причем его величина возрастает слева направо. При этом понятно, что для сфер с различными координатами сигнал ЯМР теперь будет соответствовать различным частотам и измеряемый спектр будет содержать в себе пять характерных пиков (см. рис.3,б). Высота этих пиков будет пропорциональна количеству сфер (т.е. массе воды), имеющих соответствующую координату, и, таким образом, в рассматриваемом случае интенсивности пиков будут относиться как 3:1:3:1:1. Зная величину градиента магнитного поля (т.е. скорость его изменения вдоль оси x), можно представить измеряемый частотный спектр в виде зависимости плотности атомов водорода от координаты x. При этом можно будет сказать, что там где пики выше, число атомов водорода больше: в нашем примере числа атомов водорода, соответствующих положениям сфер, действительно соотносятся как 3:1:3:1:1. Расположим теперь в постоянном магнитном поле $B_{0}$ некоторую более сложную конфигурацию маленьких

Рис.3. В случае однородного магнитного поля имеется единственный ЯМР-сигнал (а). В случае же меняющегося в пространстве поля сигналы, соответствующие ядрам, расположенным в разных точках, имеют несколько отличающиеся частоты, и спектр позволяет определить их координаты (б)

заполненных водой сфер и наложим дополнительное магнитное поле, изменяющееся вдоль всех трех осей координат. Измеряя радиочастотные спектры ЯМР и зная величины градиентов магнитного поля вдоль координат, можно создать трехмерную карту распределения сфер (а следовательно, и плотности водорода) в исследуемой конфигурации. Сделать это гораздо сложнее, чем в рассмотренном выше одномерном случае, однако интуитивно понятно, в чем этот процесс заключается. Техника восстановления образов, сходная c той, которую мы описали, и осуществляется при ЯМРтомографии. Закончив накопление данных, компьютер посредством весьма быстрых алгоритмов начинает «обработку» сигналов и устанавливает связь между интенсивностью измеренных сигналов при определенной частоте и плотностью резонирующих атомов в данной точке тела. В конце этой процедуры компьютер визуализирует на своем экране двумерное (или даже трехмерное) «изображение» определенного органа или части тела пациента.

Поразительные «образы»

Чтобы полностью оценить результаты ЯМР-исследования внутренних органов человека (например, различных сечений головного мозга, которые физикмедик сегодня может получить не дотрагиваясь до черепа!), следует прежде всего понимать, что речь идет о компьютерном воссоздании именно «образов», а не о реальных тенях, возникающих на фоточувствительной пленке при поглощении рентгеновских лучей в процессе получения рентгеновского снимка.

11

ЧТО

ТАКОЕ

ЯМР-ТОМОГРАФИЯ?

Рис.4. Изображения черепа и позвоночного столба, которые с прекрасной анатомической точностью в зависимости от контраста показывают белую или серую ткань мозга, позвоночник и спино-мозговую жидкость

Человеческий глаз является чувствительным датчиком электромагнитного излучения в видимом диапазоне. К счастью или несчастью, излучения, происходящие от внутренних органов, до наших глаз не доходят – мы видим человеческие тела только извне. В то же время, как мы только что обсуждали, в определенных условиях ядра атомов внутренних органов человеческого тела могут излучать электромагнитные волны в диапазоне радиочастот (т.е. частот, гораздо меньших, чем для видимого света), причем частота слегка меняется в зависимости от точки излучения. Глазом его не увидеть, поэтому такое излучение регистрируется с помощью сложной аппаратуры, а затем собирается в единое изображение с помощью специальной компьютерной обработки. И тем не менее, речь идет о совершенно реальном видении внутренней части предмета или человеческого тела. К такому поразительному успеху человечество пришло благодаря ряду фундаментальных достижений научной мысли: это и квантовая механика с ее теорией магнитного момента, и теория взаимодействия излучения с веществом, и цифровая электроника, и математические алгоритмы преобразования сигналов, и компьютерная техника. Преимущества ЯМР-томографии по сравнению с другими диагностическими методами многочисленны и значительны. Оператор может легко выбирать, какие сечения тела пациента просканировать, а также может подвергать исследованию одновременно несколько сечений выбранного органа. В частности, выбирая соответствующим образом градиенты магнитного поля, можно получить вертикальные сечения изображения внутренностей нашего черепа. Это может быть центральное сечение или сечения, смещенные вправо или влево. (Такие исследования практически невозможны в рамках рентгеновской радиографии.) Оператор может «сужать» поле наблюдения, визуализируя сигналы ЯМР, происходящие только от одного выбранного органа или только от одной из его частей, увеличивая таким образом разрешение изображения. Важным преимуществом ЯМР-томографии является также и воз-

можность прямого измерения локальной вязкости и направления течения крови, лимфы и других жидкостей внутри человеческого тела. Подбирая необходимое соотношение между соответствующими параметрами, например длительностью и частотой импульсов, для каждой патологии оператор может достигать оптимальных характеристик получаемого изображения, скажем повышать его контрастность (рис.4). Суммируя, можно сказать, что для каждой точки изображения (пикселя), соответствующей крошечному объему исследуемого объекта, оказывается возможным извлечь различную полезную информацию, в некоторых случаях включая и распределение концентрации тех или иных химических элементов в организме. Для повышения чувствительности измерений, т.е. увеличения отношения интенсивности сигнала к шуму, следует накапливать и суммировать большое число сигналов. В этом случае удается получить качественное изображение, адекватно передающее реальность. Именно поэтому времена проведения ЯМР-томографии оказываются довольно большими – пациент должен относительно неподвижно пребывать в камере несколько десятков минут. В 1977 году английский физик Питер Мэнсфилд придумал такую комбинацию градиентов магнитного поля, которая, не давая особенно хорошего качества изображения, тем не менее позволяет получать его чрезвычайно быстро: для соответствующего построения хватает единственного сигнала (на практике это занимает приблизительно 50 миллисекунд). С помощью такой техники – ее называют планарным эхом – сегодня можно следить за пульсациями сердца в реальном времени: в таком фильме на экране чередуются его сокращения и расширения. Можно ли было представить себе на заре создания квантовой механики, что через сто лет развитие науки приведет к возможности таких чудес? Нельзя не отметить, что в 2003 году Пол Лотербур и Питер Мэнсфилд были удостоены Нобелевской премии в области медицины «за изобретение метода магнитно-резонансной томографии».

14

КВАНТ 2010/№1

К счастью, существует и другой альтернативный подход, связанный с так называемыми оптическими наноструктурированными материалами – средами, оптические свойства которых (например, показатель преломления) изменяются в пространстве на масштабе менее нескольких сотен нанометров. Ярким примером таких материалов являются фотонные кристаллы. Фотонные кристаллы – это периодические диэлектрические или металло-диэлектрические материалы, которые воздействуют на распространяющиеся по ним световые волны таким же образом, как и периодический потенциал в кристаллах влияет на движение электронов, приводя к образованию разрешенных и запрещенных энергетических зон. Поскольку в основе идеи фотонного кристалла лежат явления дифракции и интерференции, то период структуры фотонного кристалла должен быть порядка длины волны электромагнитного излучения в веществе, т.е. около 300 нм для работы в диапазоне видимого света. Примером одномерных фотонных кристаллов служит многослойная структура из чередующихся слоев прозрачных веществ с двумя различными показателями преломления (рис.2,а). Система параллельных отверстий в диэлектрическом слое формирует двумерный фотонный кристалл (рис.2,б), а плотно упакованные наносферы

Рис.2. Одномерные (а), двумерные (б) и трехмерные (в) фотонные кристаллы

кварца представляют собой трехмерный фотонный кристалл (рис.2,в). Чем же замечательны наноструктурированные материалы и, в частности, фотонные кристаллы? Тем, что их оптические свойства – направление, интенсивность и поляризация отраженного и прошедшего света – определяются не только и даже не столько показателями преломления веществ, из которых они сделаны, а их структурой. Специально подобранная структура вещества приводит к явлениям интерференции и дифракции, существенно меняющим условия прохождения света через материал. Так, в фотонных кристаллах возникают запрещенные зоны – области частот света, при которых свет не может проникнуть внутрь фотонного кристалла и полностью отражается от него. Появление наноструктурированных материалов фактически открывает новое направление в создании оптических сред. Необходимые оптические свойства материала достигают теперь не путем подбора оптимального химического состава (как это было в старом подходе), а путем создания геометрической или фазовой структуры с характерным размером, не превышающим нескольких сотен нанометров. Поскольку наноструктурированные материалы создают искусственно, их часто называют метаматериалами.

Намагниченные фотонные кристаллы Если наноструктурированный материал содержит магнитные вещества, то можно ожидать, что в нем будут наблюдаться магнитооптические эффекты, аналогичные тем, что возникают в обычных однородных средах, но, возможно, несколько измененные. Идея использовать для управления света в фотонном кристалле магнитные вещества впервые была предложена в конце 90-х годов минувшего столетия японскими учеными. Они рассмотрели эффект Фарадея в одномерных фотонных кристаллах, представляющих собой многослойные пленки из хаотично чередующихся слоев висмут-замещенного иттриевого феррита-граната и кварца. Для определенных частот излучения при оптимально подобранных параметрах структуры было обнаружено увеличение эффекта Фарадея более чем в 300 раз по сравнению с аналогичной однородной средой. На примере одномерного случая можно выделить несколько разновидностей магнитных фотонных кристаллов. Прежде всего, это стандартные системы, состоящие из чередующихся четвертьволновых (толщина равна одной четвертой длины волны света в веществе) магнитных (например, церий-замещенный иттриевый феррит-гранат) и немагнитных (например, гадолинийгаллиевый гранат) слоев. Такие фотонные кристаллы обладают запрещенной зоной с центром на проектировочной длине волны, т.е. не пропускают свет с длиной волны в некоторой области вокруг данной. Под проектировочной длиной волны подразумевают длину волны света вне кристалла, при которой в каждом из его слоев укладывается одна четвертая длины волны. На рисунке 3,а и б показаны зависимости коэффициента пропускания и угла Фарадея для одномерного фотонного кристалла, настроенного на ближний инфракрасный диапазон (проектировочная длина волны 1,55 мкм). Кристалл состоит из 30 пар магнитного и немагнитного слоев. Усиление эффекта Фарадея возникает на границе запрещенной зоны, т.е. в районе длин волн 1,49 мкм и 1,61 мкм. Оказывается, именно на этих длинах волн резко возрастает групповая скорость света. Это приводит к тому, что возрастает эффективное время взаимодействия волны с намагниченностью материала, а значит, и увеличивается эффект Фарадея. Важной особенностью резонансов на граничных частотах является то, что максимумы прохождения и фарадеевского вращения практически совпадают. Это позволяет использовать фотонные кристаллы в качестве миниатюрных элементов, вращающих плоскость поляризации на большие углы. Оптимальный подбор магнитных материалов, их геометрических размеров и расположения позволит создать новое поколение оптических устройств, управляемых магнитными полями. При этом нужно иметь в виду не только инфракрасный, но и видимый диапазон света. В одномерных магнитных фотонных кристаллах можно создать структурные дефекты – несколько раз инвертировать порядок следования слоев и тем самым получить один или несколько слоев с удвоенной толщиной. Наличие таких дефектов приводит к появлению в

18

КВАНТ 2010/№1

Нобелевской премии, – это физика твердого тела (полупроводников) и явление внутреннего фотоэффекта. В формулировке премии есть термин «ПЗС-матрица». Это прибор с зарядовой связью, предназначенный для перемещения небольшого избыточного отрицательного заряда по цепочке одинаковых устройств, образующих линейку или сумму линеек – матрицу. Вначале Бойл и Смит разрабатывали ПЗС как оригинальное устройство компьютерной памяти. Работает оно следующим образом. Маленькая пластинка полупроводни-

Рис. 1

ка р-типа (монокристалл кремния, легированный акцепторной примесью бора) покрывается более тонким слоем диэлектрика и металлической пластиной (рис.1). Между этой пластиной и подложкой полупроводника прикладывается разность потенциалов. Таким образом образуется своеобразный двухслойный конденсатор. Толщина полупроводника порядка 10 мкм, диэлектрика – 1 мкм, а металлического слоя – еще меньше. В примесном полупроводнике р-типа концентрация основных носителей – дырок – составляет величину порядка $10^{22} м^{-} 3$, тогда как концентрация собственных носителей заряда – электронов и дырок – много меньше и при комнатной температуре равна примерно $10^{16} м^{-} 3$. В электрическом поле дырки (основные носители тока) перемещаются по направлению поля, поэтому концентрация дырок вблизи границы полупроводника с диэлектриком становится меньше. Зато в этой области увеличивается концентрация собственных (неосновных) носителей – появляется электронное облако. Если рядом будет находиться такое же устройство, то электронное облако почувствует «чужое» электрическое поле и передвинется к соседнему элементу, в котором тоже возникнет несимметрично расположенное облако электронов (рис.2,а). Если теперь выключить поле в элементе 1, то облако в элементе 2 станет симметричным (рис.2,б). Если же рядом с элементом 2 окажется элемент 3, на который подано электрическое поле, то электронные облака в этих элементах сдвинутся (рис.2,в). И если теперь выключить поле в элементе 2, то появившееся в элементе 3 облако станет снова симметричным (рис.2,г). Из таких элементов можно составить линейные цепочки и, усложнив конструкцию, создать двумерную матрицу, в которой информация о наличии заряда и о его величине будет перемещаться от места появления заряда к выходному элементу, где она может быть выражена числом в двоичной системе. Пара элементов, в которых заряд как бы переходит от одного элемента к другому, получила название пиксель. Однако выяснилось, что малая концентрация собственных электронов в полупроводнике не обеспечивает надежности передачи информации. Эту концентрацию следовало увеличить. И появилась идея – увеличить ее за счет фотоэффекта. При поглощении фотона может разорваться валентная связь электрона в кристаллической решетке, и электрон станет свободным (внутри кристалла). Такой фотоэффект называ-

Рис. 2

ется внутренним, а сам полупроводник – фотодиодом. Образующиеся дырки будут перемещаться по направлению поля (на рисунке 2 – вниз), а электроны – к границе с диэлектриком, увеличивая концентрацию электронного облака. Причем концентрация будет пропорциональна числу поглощенных фотонов, т.е. освещенности. Квантовый выход (КПД) такого фотоэффекта оказывается очень высоким – до 80%. Информация от каждого пикселя побежит по строчкам матрицы к прибору, переводящему ее в «цифру». При этом включения и выключения напряжения на отдельных элементах нужно производить с такой частотой, чтобы образующиеся фотоэлектроны не успевали «найти» дырки, с которыми они могли бы рекомбинировать. На пластинке – чипе – размером $8_{¥} 15$ мм можно разместить матрицу, состоящую из пяти миллионов пикселей, т.е. получать информацию об освещенности в нескольких миллионах точек изображения. Потом в конструкцию элементов были внесены изменения. В качестве диэлектрика теперь используется пластинка из кварцевого стекла, а металлической обкладкой конденсатора является очень тонкий (не более 0,1 мкм) слой алюминия, наносимый напылением, – такой слой достаточно прозрачен. Чтобы иметь информацию о цвете, нужно поочередно подавать к пикселям свет, прошедший через различные светофильтры. Подытоживая, можно сказать, что такой чип представляет собой интегральную микросхему, состоящую из светочувствительных фотодиодов и использующую технологию приборов с зарядовой связью. Этот чип – «сердце» цифровых видеои фотокамер, которые практически вытеснили обычные (аналоговые) приборы. Л.Белопухов

19

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР

ИНТЕРВЬЮ С Н.Н. КОНСТАНТИНОВЫМ

Николай Николаевич Константинов – выдающийся организатор математического образования, один из создателей системы математических классов в Москве. Бессменный руководитель единственного в своем роде международного математического соревнования – Турнира городов, в котором принимают участие школьники со всего мира. Действительный член Московского общества испытателей природы, Московского математического общества. Представляет в Европе Всемирную федерацию национальных математических соревнований. Преподает в московской 179 школе. Награжден международной математической медалью имени Пола Эрдеша. Недавно получил премию Правительства РФ в области образования за создание Турнира Ломоносова. Мы попросили его рассказать о себе, о своей работе и о взглядах на математическое образование. Николай Николаевич охотно откликнулся на нашу просьбу. – В школе вы увлекались скорее биологией… – Увлечение биологией у меня было еще до школы. Семи лет от роду я впервые посадил землянику и пытался сделать из нее клубнику. Мне это не удалось. Я себя убедил, что ягоды стали чуть крупнее, когда я их много поливал. Я попросил в библиотеке, уже в эвакуации, т.е. в 1941 году, – я был в третьем классе, – книжку о путешествиях, и мне дали Дарвина, «Путешествие натуралиста вокруг света на корабле «Бигль». В предисловии профессора С.Л.Соболя было написано, что приобретенные признаки не передаются по наследству. Я и сейчас говорю: одно дело что-то выучить по книжке, и совсем другое – пережить эмоционально. Я-то это пережил в очень восприимчивом возрасте. Мне просто смешно, когда люди начинают обсуждать то, где они ничего не прочувствовали, и приходят к заранее намеченным выводам. Потом я занимался в станции юных натуралистов в Сокольниках, в Ботаническом саду МГУ. Там был ботаник доцент Потапов, который мной руководил. А в девятом классе я ходил в самый хороший кружок, самый сильный, нас водили по кафедрам биофака. Но это был 1947/48 учебный год, а летом 1948 года разразилась катастрофа с биологией, появился Лысенко и так далее. После этого на биофак было бесполезно идти. Не давали книги: запрещено было выдавать учебники. К тому же я увлекся математикой, и для меня это уже не было потерей. Так что увлечение математикой у меня как бы вторичное, и я вижу в этом некоторый плюс. Я все время ощущаю, что потеря математики для меня не есть потеря всего. – А что есть потеря всего? – Ну если бы еще и биология, и физика, и все остальное умерло для меня, вот тогда это была бы потеря всего. – Т.е. математика – одна из нескольких важных вещей. – Да, одна из. Допустим, в математике ничего не получается. Ну что делать, это не повод для самоубийства. – А почему вы поступили на физфак МГУ? – Конечно, я увлекся физикой – именно в 10, выпускном классе. Наверное, потому, что математика казалась мне тогда несерьезной наукой. На кружках там какие-нибудь зайчики прыгают, красные, зеленые и белые, да еще доказать надо, что красных четное число. Все эти задачи мне казались чем-то игрушечным. Странно этим заниматься. Потом-то я понял, что это, конечно, упражнения. Но думаю, что люди, которые злоупотребляют такими детскими сюжетами, не вполне понимают психологию. Детям нравится, когда их занятия выглядят взрослыми. – А в олимпиадах приходилось участвовать? – В седьмом классе учитель математики – очень популярный у нас был учитель, когда его сменили, весь класс бастовал, – он порекомендовал мне пойти на олимпиаду, но рекомендация так выглядела, что я не пошел. Он сказал, что проводится такая контрольная работа, лучшие ученики соби-

раются и соревнуются, кто лучше напишет эту контрольную работу. Я подумал: «Вот идиоты, мало им контрольных работ…» А пошел я туда через год потому, что мой сосед по парте сходил на лекцию в университет. Это была воскресная лекция на тему о четырехмерном пространстве. Он вернулся с нее совершенно сумасшедшим, глаза у него были где-то далеко, и он все время рассказывал мне что-то, чего я понять не мог. На следующую лекцию мы пошли вместе. Это была лекция Исаака Моисеевича Яглома об индукции в геометрии. Она произвела на меня потрясающее впечатление, потому что там было много неожиданного. Яглом разговаривает с теми школьниками, которые сидят непосредственно перед ним, и спрашивает: а вот есть такая-то теорема? – надо же, думаю, профессор университета – и не знает, какие есть теоремы. Куда я попал?.. Школьники, которые перед ним сидели, не дали ему вразумительного ответа. – «Ну ладно, – говорит Яглом, – какая разница. Докажем ее». Это меня совершенно потрясло. Он не знает, какие есть теоремы, и ему этого и не надо знать. Совершенно неожиданная вещь для школьника, который привык: выполнил задание – получил пятерку, и при этом ничего не узнал. – И после физфака хватило наглости преподавать у математиков? – Не только после физфака – на пятом курсе физфака я на мехмате объявил семинар по теории функций действительного переменного. Наглости у меня хватало всегда, и сейчас хватает. Занятия в университете тогда начинались в 10 часов. Естественно: не было метро. Добираться до Ленинских гор было труднее. Автобусы, длинные очереди… А так как нужно было еще аудиторию найти, мы назначили занятия на 8 утра. Занимались человек 15 студентов первого курса, которые всегда приходили к восьми. Некоторые из них стали впоследствии очень сильными математиками. Среди них были Коля Розов; Женя Голод, самый сильный; Саша Вентцель; Ира Виноградова; Леня Бокуть. Были еще люди, которых я по фамилии забыл. Семинар был достаточно сильный, он длился один семестр и кончился тем, что я дошел до предела своих знаний. Дальше мне самому надо было что-то раскапывать. Позже я собрался поступать в аспирантуру к Алексею Андреевичу Ляпунову, потому что он занимался кибернетикой, а я в это время был просто потрясен статьей Л.В.Кру-

20

КВАНТ 2010/№1

шинского про экстраполяционные рефлексы. Я к тому времени уже пять лет проработал на физфаке преподавателем математики, но когда я прочитал Крушинского, я был просто ошеломлен. Настолько это было для меня фантастически интересно. Хотя я не понимал, чем я там могу быть полезен. Но я бросил преподавание на физфаке и пошел в аспирантуру. Я преподавал вроде бы успешно, но когда почувствовал, что двойки стал ставить равнодушно, понял, что с этой работы надо уходить. Думаю, многие люди не замечают этой грани. – Работы Крушинского потрясли вас тем, что он пытался понять, как устроен мозг? – Ну, что-то совершенно новое. Я понимал, что бывают, скажем, условные рефлексы, но это что-то совершенно другое. Дело в том, что условные рефлексы – ну, например, у осьминогов – они уже появляются, но в зачаточном состоянии, очень слабенькие. У многих рыб даже вообще не обнаруживается ничего подобного. А пространственная ориентация есть раньше. Т.е. это, может быть, более фундаментальная вещь. – А как возник мультфильм, в котором ходила как живая компьютерная кошечка? – Это было в 1968-м году. В это время появилось АЦПУ. До этого была только узкая-узкая ленточка с цифрами, даже букв не было. Она шла с бешеной скоростью, и потом было целое искусство все это читать. Появилось АЦПУ-128, а 128 потому, что 128 символов в строчке – длинная строчка. И сразу появилась мода делать картины: ну, например, портрет Ленина, выбитый буквами. Понятно, что здесь компьютер ни при чем. Но раз появилась возможность делать рисунки, значит, появилась возможность делать мультфильмы. Толчком было вот что. Мой бывший студент, Валера Иванов, который кончил кафедру биофизики, делал такой кукольный фильм. Из пластмассовых шариков сделал модель молекулы ДНК и стал показывать, как она может деформироваться. Делал он это, как делают кукольные фильмы. В одном состоянии сфотографировал, потом чутьчуть повернул, снова сфотографировал, и так далее, а потом показывает фильм. А я ему и говорю, что это нужно делать на компьютере, потому что когда ты поворачиваешь руками, у тебя точность потрясающе плохая, и даже если и можно сделать фильм для показа, для научной работы его использовать совершенно невозможно. Давай сделаем фильм компьютерный. А для этого надо было подумать, как информацию организовать. Первоначально в обсуждении участвовало несколько человек, потом реально работало трое. Кроме меня, еще Владимир Пономаренко и Виктор Минахин. Удивительно, что сделано это в 1968 году, сорок лет тому назад, и на все это время все как бы забыли про эту вещь, потом вдруг $вспомнили.^{1}$ – А почему у вас возникла идея заниматься со школьниками? – Сначала, когда я еще учился на физфаке, я со школьниками не работал. Но у меня были грамоты на олимпиаде, и со мной стали носиться немножко, включили в научностуденческое общество, и так далее… Короче, на втором курсе я был зампредом городской физической олимпиады. Как-то было естественно, что я в этой области. Ну и мы с Игорем Иванчиком, это мой однокурсник, решили вести физический кружок в большой аудитории для всех желающих, каждый раз могут приходить новые люди, сто человек присутствуют… Нам предоставили возможность готовить демонстрационные эксперименты, весь кабинет физических

1 Подробно обо всем этом можно прочитать в статьях «Прибытие кошечки» и «Знает ли кошка, что она не настоящая» (журнал «Компьютерра», номер 7 за 2006 год). А сам мультфильм теперь можно найти в Интернете: http://www.etudes.ru/ru/mov/kittie/index.php

демонстраций был в нашем распоряжении. Мы могли делать любые эксперименты для себя, а потом выбирали, что мы показываем. И там были два великих человека, Сергей Иванович Усагин и второй – Валентин Семенович, забыл фамилию. Это были такие русские умельцы без всякого образования, у которых все всегда работает. Отец Сергея Ивановича был такой же, он изобрел трансформатор. Нечаянно. Это было для меня очень полезно, и, наверное, школьникам было интересно. В общем, мы довольно долго с Игорем вели такой кружок. Когда я уже окончил физфак и стал ассистентом на втором курсе, то моими студентами были мои бывшие школьники. Так оно само собой и получилось, что я стал вести кружки. Но это были физические кружки, а математические я не вел сначала, их вели мои друзья-мехматяне. Вот кто-то из них уезжает на каникулы и просит два занятия провести вместо него. Так я понемножку втянулся в математические кружки, а к пятому курсу до того обнаглел, что для студентов первого курса мехмата организовал семинар. И я понял тогда удивительную вещь, абсолютно новую для меня. Уровень взаимопонимания между преподавателем и студентом становится совершенно иным, когда преподаватель принимает задачи. Эта систематическая работа, когда я пытаюсь понять твою мысль, а ты пытаешься понять мою мысль, – это совершенно иной уровень взаимопонимания, чем тот, что бывает, когда лектор читает лекцию. А особенно сейчас – дистанционно… человек, сидя дома, может слушать лекцию в университете… там не будет этого уровня. Неизбежно получается поверхностно. Он и вопрос не может задать. Я не против дистанционного обучения, только надо понимать, что оно не всегда может что-то дать. Если не требуется глубокое взаимопроникновение, например – лекция на тему «Есть ли жизнь на Марсе», то вполне можно. Вот я пью кофе, одновременно слушаю лекцию «Есть ли жизнь на Марсе», это нормально, это не плохо. Однако в математике практически нет случаев, чтобы математик не имел руководителя. И руководитель должен быть достаточно толковым. Есть замечательное высказывание Леонардо да Винчи: «Плох тот ученик, который не превосходит своего учителя». Владимир Игоревич Арнольд тоже всегда подчеркивает это: что молодежь лучше решает задачи, чем мы, которые их учим. Иначе прогресса бы не было. – Толчком к тому, чтобы вести кружок, была именно вот эта мысль: что именно общение преподавателя с учеником, когда решаются задачи, обсуждаются – очень важно? – Да. Кружок или класс. Я просто из любопытства приходил в кружок Андрея Лемана и Андрея Леонтовича. Очень сильный был кружок, но, правда, и с некоторым элементом халтуры. Ну, например: «Как, – говорит Леман, – вы не знаете аналитической геометрии? Ну я вам сейчас расскажу. Вот уравнение прямой, вот уравнение эллипса. Все понятно?» Т.е. годовой курс – или полугодовой – за несколько минут. – Это был знаменитый кружок «Альфа»? – Нет, это был кружок Лемана и Леонтовича. В это время появилось много школьников это были люди, родившиеся после войны. И появилась мода читать для них лекции по современным разделам математики. А я подумал, что, собственно, начинающим не современная же математика нужна. Что они там поймут в современной математике, когда они не знают ничего. И вот когда ребята меня спросили, – ребята из кружка Лемана и Леонтовича, – советую ли я им пойти на какие-то лекции, то я сказал: давайте лучше я вам сам дам задачи, и вы попробуете. И я стал давать им задачи, и так возник первый вариант программы матшколы. Вот это и был кружок «Альфа». Там работало всего четыре-пять школьников. Кружок «Бета» был задуман гораздо сильнее. Мы решили со Славой Цуцковым – это был такой очень сильный

21

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

школьник, который учился в кружке у студента Арнольда, потом поступил на физфак. – У Владимира Игоревича? – Да. Слава потом погиб, это трагическая история. Он провел кружок для школьников по квантовой механике. Но он не мог никакого математического аппарата им рассказать, потому что ничего они не знают. И вот тогда мы решили сделать такой кружок, чтобы дать им тот математический аппарат, с помощью которого они смогут написать и понимать все уравнения электродинамики и квантовой механики. Это был кружок «Бета». А ребята из кружка «Альфа» были помощниками. Так как там была твердая цель, чтобы они нечто усвоили, нам пришлось ввести фашистский режим. Дисциплина была как в гестапо. Человек, который не выполнил хотя бы одно задание, исключается из кружка. Но может прийти, если задание выполнит. Семьдесят человек дошло до конца. Но по дороге погиб Цуцков. И я дальше не мог продолжать – у меня не было в голове таких знаний, чтобы провести кружок по квантовой механике. Но до электродинамики я их довел. Так вот, из всех учеников один человек продолжил ту работу, ради которой этот кружок начался. Это Александр Комеч. Кстати, из кружка «Альфа» вышел Григорий Маргулис – у него медаль Филдса. – Это очень сильный математик. – Да. Ну, он, конечно, в основном не у меня учился, а у своего отца. У меня тоже, но я не имею морального права считать его своим учеником. – А как возникла идея матшкол? – Эта идея возникла у А.С.Кронрода. Я понимал, что мне придется кружковскую деятельность свернуть. – А он стал уговаривать – давай, мол, наберем маткласс? – Да. Если, – говорит, – ты не согласишься, то я тогда свою договоренность сверну, прочту там какие-то лекции… – И так возник первый класс. – Да. Но еще раньше, чем первый класс, была просто группа. Никакого нового класса, а просто в старом классе группа, в которой велись специально какие-то дополнительные занятия. – Тогда же появилась система листков, о которой все говорят: вот, Константинов придумал систему листков? – Ну, систему листков я придумал, когда у меня был кружок «Альфа». Потому что надо было, чтобы все занятия сохранялись. Если человек пропустил, чтобы он ничего не потерял. Идея очень простая и понятная. Листки – чисто практическая вещь. У меня к этому времени – я же пять лет работал на физфаке – был реальный опыт преподавания, и я уже понял, что система преподавания, которая существует в МГУ, – лекции и семинары, – находится на пределе своих возможностей. Из нее нельзя больше ничего извлечь. У одного человека 25 студентов. Если я задал какое-то домашнее задание, то максимум, что я могу – пройти по рядам и увидеть: у людей что-то написано. Или тщательно посмотреть, как один человек работал, например. Я даже коллоквиум устраивал, чтобы проверить, что они знают. Приглашал своих друзей. Но это не было предусмотрено программой. А в кружке «Альфа» требовалось все задачи сдать – неправильно же, когда каждую десятую задачу проверил, а на остальное наплевать, – ну как на экзаменах: из 30 вопросов ты один знаешь – и слава богу, вот тебе пятерка. Смешно? А почему-то другим не смешно. – Т.е. важная идея системы листков – что человек должен решить сам много задач, а не просто прочитать что-то в учебнике. – Да, он должен прорешать, а я должен принять. Понятно, что это не единственный способ преподавания. Почему в анализе этот способ идет хорошо? Потому что в анализе очень мало теоретического материала и очень много упражнений. Фактически, если ты знаешь определение пре-

МИР

дела, то дальше море задач, и уже нечего читать, кроме как рассказывать решения этих задач. Далеко не все предметы так устроены. Бывает нужно построить архитектуру какуюто, только после этого задачи появляются. А в анализе почти нет этой архитектуры, фактически самая начальная часть анализа состоит из единственного определения. Все конструкции почти одинаковы. Нужно этим овладеть. Когда я начал преподавать на физфаке, я был потрясен тем, что никто мне не объяснял, как надо преподавать. Полная свобода. Делай что хочешь. Да, я понимал, что им придется сдать зачеты, уже какая-то программа появлялась. – Значит, одна из причин того, что был выбран анализ – то, что он подходит… – Нет, не в том, что он подходит. Я смотрю – написано в программе: определение предела – 6 часов. Я думаю: что за бред. Чтобы сформулировать определение, 6 часов не надо. А чтобы им овладеть – этого мало. Вот так листки и появились. Меня сейчас спрашивают некоторые иностранцы: вот вы начали в 1980 году Турнир городов. Но ведь тогда не было электронной почты! Как же вы работали? – Ну как – обычной почтой работали. Не было электронной, а обычная была. Надо было заранее задачи послать, вот и все. – А как же система листков, у вас же не было принтеров в 1961–1962 году? – Ну да, принтеров не было. Я 17 экземпляров папиросной бумаги закладывал в пишущую машинку. – Давайте про Турнир городов поговорим. Это ведь особая олимпиада. Например, в турнире зачет происходит по трем задачам из пяти-семи. Это отличает его сразу от всех олимпиад. Мы не стремимся к тому, чтобы человек пытался все решить, мы хотим, чтобы он выбрал то, что ему нравится. – Совершенно верно. Вот, например, недостаток Международной олимпиады в том, что там нужно быть универсалом обязательно, в то время как чтобы быть ученым, вовсе не обязательно быть универсалом. А международник должен быть всеяден. Но это скорее подготовка менеджеров фирм, чем математиков. – Еще Турнир городов – олимпиада самого высокого уровня, но принимать участие может любой. – Совершенно верно. – Еще мы стараемся давать нестандартные задачи. – Да, конечно, идея такая, что мы стараемся давать людям что-то новое, к чему они заведомо не могли специально готовиться. Вот Павел Кожевников подозревает, что американцы как раз целенаправленно готовятся к тем задачам, которые обычно бывают на международных олимпиадах. Он говорит, что если посмотреть, через какие олимпиады наши ребята пробиваются и через какие – американцы, то американцы попадают туда значительно проще. – Давайте вспомним несколько примеров ярких задач из Турнира городов. – Думаю, что яркой была задача Максима Концевича про размножение фишек, ее много раз обсуждали:

На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок). На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если в исходной позиции а) имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках; б) имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.

Было много ярких задач Агниса Анджанса.

22

КВАНТ 2010/№1

– А задача Сережи Маркелова про параллелепипед:

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между точками, с точки зрения муравья, является длина кратчайшего пути между этими точками, проходящего по поверхности параллелепипеда.)

– Это здорово, да. У Маркелова несколько таких задач. Вот еще красивая его задача:

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого — с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придется опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

Она по форме своего изложения кажется задачей на комбинаторику, а на самом деле – задача по геометрии. – Отличная задача была про карточные фокусы. – Да, безусловно:

а) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причем одну из карт кладет рубашкой вверх, а остальные - картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту. б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

Эта задача замечательна тем, что она была в ослабленной форме (пункт а) опубликована у Мартина Гарднера, а Гриша Гальперин придумал усиление, очень естественное (пункт б). Конечно, весь смысл в том, чтобы задачи были яркие. – Красивые. Или чтобы они были неожиданные. Или вот как мы обсуждали – очень здорово при обучении давать школьникам задачи, в которых напрашивается очевидный ответ, но он неверный. – Очевидный, но неверный, да. Вот задача про параллелепипед такая. Или задача про сумасшедшую старушку (это уже не из Турнира), сейчас мои кружковцы очень увлеклись:

Каждый из N пассажиров купил по билету на N-местный самолет. Первой зашла сумасшедшая старушка и села на случайное место. Далее, каждый вновь вошедший занимает свое место, если оно свободно; иначе занимает случайное. Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?

– Да, там неожиданный ответ. Пусть наши читатели порешают эти задачи. – Задача про альпинистов – ее уже один американец из тех, что к нам приезжали, в свою книжку поместил как задачу классическую, с неизвестным автором. Я сказал, что вроде я автор…

Среди ровной степи стоит гора. На вершину ведут две тропы (считаем их графиками непрерывных функций), не опускающиеся ниже уровня степи. Два альпиниста одновременно начали подъем (по разным тропам), соблюдая условие: в каждый момент времени быть на одинаковой высоте. Смогут ли они альпинисты достичь вершины, двигаясь непрерывно, если а) тропы состоят из конечного числа подъемов и спусков; б) в общем случае?

– А она возникла просто из анализа?

– Нет, она из моих занятий топологией возникла. Она во многом заменяет теорему Жордана. Я это понимал для многоугольника. С моими ребятами мы довели ее до теоремы про непрерывный образ окружности. – Что он делит плоскость на две части? – Ровно на две, не на три и не больше. Что делит – это как раз легче, а вот что ровно на две – это труднее. В общем, получилась теорема Жордана. Ну, я так и думал, что она должна получиться, потому что вроде бы альпинисты – это более сильная вещь. – И эта знаменитая ваша задача о возах тоже возникла из анализа:

Из города A в город B ведут две не пересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные веревкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвав веревки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу?

– Это задачи про одно и то же. Задачу о возах обычно новички не могут оценить, потому что они очень быстро придумывают неверное решение и успокаиваются. А Арнольду понравилось… Почему задача о возах стала всемирно известной? Благодаря книжке Арнольда. – Да, она есть в его учебнике по дифференциальным уравнениям. – Она не просто есть там, она там первая. С нее начинается. И с моей фамилией. Но он ее решает там с помощью теоремы Жордана. А у меня-то была мысль, что она как раз вместо теоремы Жордана хорошо работает. Она пробивает там, где теорема Жордана не тянет. – Как к Турниру городов относятся за рубежом наши друзья, почему они в нем участвуют? – В основном они ценят задачи. – Еще отдельная тема – турнир Ломоносова, за который в этом году вы получили премию. Это же совершенно уникальное мероприятие. Одновременно проводятся соревнования по многим предметам, в разных аудиториях: там – математика, там – физика, там – литература. – Оно отличается от Интеллектуального марафона тем, что участие во всех соревнованиях не обязательно. В марафоне есть такая идея по умолчанию, что нам нужны универсальные люди. А в турнире Ломоносова нет этой идеи. Почему, собственно, нам нужны универсальные люди? Нам нужны люди, которые в чем-то могут сделать что-то фантастически интересное. Мечта такая, что вот есть люди, мы их привлекаем, они чем-то заинтересовались, начали учиться. Идея в том, чтобы подтолкнуть людей к серьезному самообразованию – с помощью кружков или как-нибудь еще. А почему нам нужно, чтобы человек был универсальным, вовсе не обязательно, если он увлекся, скажем, физикой – ну и слава богу. Идея, что якобы нужно как-то отдельно выделять и награждать людей, которые как-то по многим предметам показали себя, – я не вижу в этом смысла. – Человек, когда растет, развивается, и просто сильный и способный человек может разбираться во всем, пока он маленький, пока не слишком сложные задачи. Но человек должен как-то себя найти. – То, что к нему прилипает, и есть его собственное, то, в чем он отличается от других. Вот что сказал Эйнштейн: специальную теорию относительности придумали бы и без меня, не один, так другой. А вот что касается общей теории относительности, – тут у меня есть подозрения, что бог специально меня послал на Землю, чтобы я придумал именно ее. Может быть, никто другой бы не придумал. Это было его родное, то, что было ему свойственно. Так что мне кажется, нужно одобрять, если человек интересуется и тем, и другим, и третьим, но культивировать это совершенно не обязательно.

23

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

– На турнире Ломоносова человек, который в школе не заинтересовался каким-либо предметом, может увидеть, что этот предмет может быть интересным. – А для этого нужно, чтобы аудитории были рядом. – Конкурсы небольшие, можно часок посидеть здесь, потом пойти туда… – Поэтому очень важно, чтобы оргкомитет состоял из единомышленников, чтобы не было такого, что каждый тянет на себя. – Как вы относитесь к ЕГЭ? – Я думаю, что ЕГЭ – это очень вредная идея, уже видно, что люди не собираются ни о чем думать, а только знают, как готовиться к тому, чтобы ответить правильно на вопросы. В пользу ЕГЭ говорит какое-то высшее упрямство. Здесь у меня такой полуоптимизм. В 1943 году Сталин придумал разделить мальчиков и девочек в школах. Это длилось десять лет. В 1953 году, как только Сталин умер, это сразу отменили. – Т.е. это не что-то естественное, это блажь каких-то людей, и возможно, она пройдет. – Блажь. Может быть, она связана с деньгами – кто-то там что-то зарабатывает, но по крайней мере это блажь. – Я хотел спросить про математику и физику. Иногда их противопоставляют, кто-то говорит – нет, математика – это часть физики, кто-то – что это только инструмент для физики. Как человек, который знает и математику, и физику, что вы могли бы сказать по этому поводу? – Во-первых, физику я не знаю. Математику тоже не знаю. Ну, конечно, прикоснулся немножко к тому и другому. Конечно, они разные. Например, есть принцип Гюйгенса – Френеля, – это как рассчитывать интерференционную картинку. То, что там два имени, и одно из них – Гюйгенс, говорит о том, что он появился в XVII веке. Он до сих пор не доказан, но это никого не волнует. Вот если собака определяет истину с помощью носа, человек – больше с помощью глаза, то математики и физики – они разными органами воспринимают. Математики считают, что все должно быть доказано. Физики считают, что нужно найти объяснение явления. У них явление, которое наблюдается, – это исходная позиция. Надо ему найти объяснение. Например, явление сверхтекучести гелия математически описал Ландау. Это считается его крупным достижением. Но это приближенное вычисление, и оценка ошибки не существует. Тем не менее физики считают, что они теперь понимают, почему это происходит. – Но, с другой стороны, математики тоже хотят разобраться в каких-то явлениях, в каких-то теоремах, ситуациях. Они же не просто жонглируют формулами. – Конечно. Но частично это есть. Ну, например, очень многие следствия аксиомы выбора – я знаю физиков, которые говорят, что это математические фантомы. Это, конечно, логическое следствие аксиом, которые они приняли, но это не имеет отношения к реальной действительности. Математические фантомы, следствия неудачно придуманных аксиом. А сейчас у математиков развивается мысль, что нужно ограничиться счетной аксиомой выбора, и тогда многие фантомы пропадают. Например, неизмеримые множества исчезают. Ну, кто его знает. Павел Сергеевич Александров говорил, что это – математическая реальность. Реально то, что из этих аксиом такие следствия получаются. Это математическая реальность, но не факт, что за ней есть какая-то физическая реальность. Физика как работает? Она создает математическую модель. Еще бывает, что вербальная модель существует сначала, то есть некоторые словесные разговоры о том, как происходит явление. Но это еще не математическая модель. Потом уже создается математическая модель, в нее входят многие вещи из математики. Например, кинематика. Там же

МИР

предполагается, что каждая точка имеет координату. Расстояние всегда можно разделить пополам. А в реальной физике, чем меньше расстояние, тем его труднее разделить пополам, и это становится совершенно нереальным, когда у нас нет способа измерить такое маленькое расстояние. Но, конечно, с помощью моделей все-таки происходит понимание. Это все загадка, тут никто не понимает, как на самом деле что происходит, а мне чисто эмоционально нравится высказывание Спинозы. Он говорит: «Свобода достигается знанием, а знание достигается духовным единением с природой». Но слово «природа» он отождествлял со словом «бог». В духовном единении с богом. Я думаю, что эта истина достаточно правильная и глубокая. Вот, например, Фарадей. Почему он знал, что существует переход из магнитного поля в электрическое? Никто же не наблюдал. А почему он знал, что существует? Я вот это понимаю как результат духовного единения с природой. – Как бы слышать музыку ангелов? – Ну что-то в этом роде. Он уже сделал несколько крупных открытий, у него была хорошо отработанная интуиция, и поэтому он мог, как бог, видеть истину прямо, не с помощью хитроумных рассуждений, а прямо. – Мы как-то обсуждали, что прямое видение истины важнее умения доказывать теоремы. – Ну да, конечно. – Это, кстати, тоже интересный вопрос. Насколько важна, скажем, математическая строгость в школе, при обучении. Если все доказывать очень строго, это же можно… – Думаю, здесь вот какой компромисс существует. Если я в каком-то месте сослался на очевидность, даже, может быть, не сослался, а умолчал, – умолчал, понимая, что ученики воспримут это как нечто естественное и не вызывающее возражений, – то это может быть честным, а может быть нечестным. Честное – в том случае, если я могу, не разрушая этой структуры, добавить точное рассмотрение, а нечестное – если нужно разрушить эту структуру, чтобы сделать ее точной. Вот, например, я хочу доказать, что множество точек отрезка несчетно. Допустим, что оно счетное. Берем отрезок длиной единица, перенумеруем эти точки, и точки покрываем интервалами – первую точку интервалом длиной одна десятая, вторую – одна сотая и так далее. Получается, что мы все точки отрезка длины единица покрыли интервалами, сумма длин которых заведомо не больше одной девятой. Это очень понятное рассуждение. Для начинающих оно потрясающе убедительное, хотя оно и нестрогое. Надо доказать еще, что сумма длин этих интервалов, покрывающих отрезок, должна быть больше, чем длина самого отрезка. Но эта неточность честная, потому что это можно доказать. Можно отдельно, на одном занятии доказать эту теорему, и все получается нормально. Нечестная игра – если ты ссылаешься на очевидность, но заменить это точным рассуждением не удается. Поэтому учебник Киселева удачный. Там, например, существование перпендикуляра доказывается перегибанием листа бумаги. – Наглядно, понятно, всем очевидно. – Да. И все равно там потом правильное доказательство есть. – В этом смысле меня удивляет очень, например, в школьном учебнике Погорелова по геометрии – нет такой аксиомы, что сумма двух сторон треугольника больше третьей. Это доказывается из некоторых других аксиом, хотя для меня это более понятная и более простая аксиома – что отрезок – это самое короткое расстояние. – И подход с аксиомой о кратчайшем расстоянии удачен педагогически, потому что все как бы заранее знают, что это так. Вопросы задавал С.Дориченко

32

Ибо наличное все непременно быть чем-нибудь должно, Будь оно иль велико, или самых ничтожных размеров… Тит Лукреций Кар

Около двух миллионов молекул водорода, положенных в ряд, заняли бы миллиметр, и около 200 миллионов миллионов миллионов их весили бы один миллиграмм. Числа эти нужно рассматривать как весьма грубые приближения; они по мере усовершенствования науки будут исправлены более разнообразными и точными опытами… Джеймс Клерк Максвелл

Эмульсия – это атмосфера в миниатюре, тяготеющая к земле. В масштабе такой атмосферы высота Альп представилась бы несколькими микронами, а отдельные холмы стали бы равны молекулам. Жан Батист Перрен

Нано (от греч. na ѣ nos – карлик) – приставка для образования наименования дольных единиц, равных одной миллиардной доле исходных единиц. Большой энциклопедический словарь

А так ли хорошо знакомо вам

?

нано…

Вообще говоря, следовало бы ответить «конечно, да, и довольно давно» – ведь даже наш далекий предок, вымазавшись в саже, уже имел дело с содержавшимися в ней наночастицами углерода. Сталкивались с подобными «крошками», причем наверняка более осознанно, и ученые, занимавшееся тонкими порошками и коллоидными растворами. Но мало кто представлял, какие поразительные изменения в физических свойствах объектов могут происходить при их уменьшении до наноразмеров. Обнаружить эти перемены удалось совсем недавно с появлением наноприборов – особых, совершенно не похожих на привычные приборов, способных новые свойства измерять и исследовать. Переход к таким масштабам повлек за собой открытие крайне нетрадиционного поведения частиц, проявляющего закономерности квантовой физики. А это, в свою очередь, породило новые отрасли знаний и технологий, построенные на принципиально иной, чем прежде, идеологии и на иных подходах, – наноэлектронику, наномедицину, нанофотонику, наноэнергетику… далее везде. Приставка с «карликовым» окрасом скрывает в себе целый кладезь огромных резервов, овладение которыми, как прогнозируют ученые, в весьма близком будущем преобразит весь окружающий нас мир и поможет человечеству справиться с множеством накопившихся цивилизацией проблем. С этими перспективами вы можете ознакомиться и в публикациях нашего журнала – их внушительный список приводится, как обычно, в конце выпуска. А пока, откликаясь на призыв Р.Фейнмана, написавшего ровно полвека назад статью «Внизу полнымполно места. Приглашение в новый мир физики», направимся на поиски нанообъектов, во множестве обитающих и вокруг нас, и, конечно же, в школьном курсе физики. Думается, их прямое или косвенное обнаружение поможет вам лучше подготовиться к постижению такой заманчивой нанонауки, таящей в себе мегавозможности.

Вопрос и задачи

1. Можно ли видеть невооруженным глазом одну десятимиллионную долю грамма (т.е. 100 нанограмм) вещества? 2. Очень точное взвешивание можно произвести с погрешностью в 10 нанограмм. Сколько атомов содержится в крупинке железа массой 10 нанограмм? 3. Как оценить размеры молекул воды и спирта? 4. Если соединить 50 миллилитров воды и 50 миллилитров спирта, то объем раствора окажется меньше 100 миллилитров. Почему? 5. Оцените, во сколько раз среднее расстояние между молекулами водорода при нормальных условиях больше поперечника самой молекулы. 6. Почему при уменьшении плотности воздуха электрический разряд происходит при более низких напряжениях? 7. Чем объяснить, что вода, находящаяся в глиняном сосуде, имеет температуру ниже температуры окружающего воздуха? При каких условиях температура воды в этом сосуде будет такой же, как и окружающего воздуха? 8. В чайнике кипит вода, и мы видим выходящий из носика чайника водяной пар. Так ли это? 9. Сосуд разделен на две секции пористой перегородкой. В одной секции находится газ, состоящий из легких молекул, в другой – из тяжелых. Давления газов в начальный момент одинаковы. Через некоторое время давление в той секции сосуда, где находились тяжелые молекулы, увеличилось. Затем, через более длительный промежуток времени, давления в обеих секциях сосуда выровнялись. Как это объяснить? 10. Почему броуновские частицы должны быть относительно малыми? 11. Чтобы разорвать кусок проволоки, требуются значительные усилия. Однако если раскалить проволоку в пламени горелки, то разорвать ее намного легче. Почему?

33

12. Слепить фигурку из сухого песка нельзя, а из мокрого можно. Почему? 13. С помощью паяльника нельзя расплавить медные или стальные провода. Отчего же тогда удается надежно соединить пайкой эти провода друг с другом? 14. Опытный стекольщик, после того как проведет алмазом по стеклу, смачивает царапину водой, а уже затем ломает лист. Для чего производится смачивание? 15. Известно, что в холодную погоду для растопки вместо дров используют обыкновенные красные кирпичи, вымоченные в бензине. На чем основан этот способ обогрева? 16. Если мыльную пленку расположить вертикально, то цветные полосы на ней будут со временем смещаться вниз, меняя свою ширину, а вскоре в верхней части пленки возникнет быстро увеличивающееся темное пятно, после чего пленка разорвется. Как это объяснить?

Микроопыт

Нагрейте в пламени спиртовки лезвие безопасной бритвы. Вы сможете увидеть на поверхности металла так называемые цвета побежалости – меняющуюся радужную окраску. В чем причина ее появления?

Любопытно, что…

…прочные сабли и клинки из дамасской стали научились делать еще в средние века. А вот тайна изготовления такой стали открылась совсем недавно, когда анализ ее структуры позволил обнаружить в ней углеродные нанотрубки – гигантские цилиндрические молекулы из атомов углерода, придающие материалам уникальные упругость и твердость. …в отличие от природных алмазов, искусственно созданные наноалмазы обладают рядом особенных свойств. Так, у их наночастиц значительно выше поверхностная активность и реакционная способность (у них больше удельная поверхность). Поэтому наноалмазы ныне используют и в биологии, и в медицине в качестве адсорбентов токсичных соединений и носителей препаратов для лечебных целей. …золото давно научились расплющивать в листки толщиной 100 нанометров, а химической обработкой доводить до толщины 10 нанометров. Однако до размеров самих атомов добраться таким образом было невозможно. И лишь с появлением электронного микроскопа с разрешением 0,12 нанометра удалось при увеличении в семь миллионов раз «увидеть» ряды атомов в кристалле золота, находящихся друг от друга на расстоянии 0,235 нанометра. …история приготовления коллоидных растворов золота, меняющих цвет от оранжевого до зеленого, или добавления в расплавленное стекло соединений золота, придающих ему яркий красный цвет («золотой рубин»), берет начало в далеком прошлом. О применении «растворимого золота» в медицине упоминал и знаменитый врач XVI века Парацельс. Однако лишь в 1857 году Фарадей доказал, что яркая окраска коллоидных растворов золота обусловлена мелкими взвешенными его частичками. Это и было нанозолото, совершенно не похожее по своим свойствам на золото обычное.

…возможно, самый острый объект, созданный природой, это жало осы – радиус закругления его острия не превышает 10 нанометров. …в своем знаменитом опыте по определению размеров молекул лорд Рэлей поступил удивительно простым способом. Капая масло в таз с водой, Рэлей бросал туда пыльцу камфоры. Зная, что на поверхности воды частички камфоры совершают беспорядочное движение, а на поверхности масла они спокойны, он подбирал массу масляной капли такой, что закрывал ею всю поверхность воды и добивался прекращения «плясок» пыльцы. Это и было свидетельством того, что масло растеклось мономолекулярным слоем, толщина которого, а значит и размер молекул масла, не превышала 1,7 нанометра. …суперинвар – сплав железа и никеля с добавкой хрома – обладает необычайно малым коэффициентом теплового расширения. Так, при повышении температуры на один градус метровый стержень из суперинвара удлиняется лишь на 30 нанометров. …электрическая емкость электролитических конденсаторов может быть очень большой за счет малого расстояния между их обкладками, определяемого химической пленкой толщиной в несколько нанометров. …мембранные технологии, применяемые для получения полупроницаемых пленок, не так давно пополнились еще одним методом. Ускоренные тяжелые ядра облучают синтетические пленки и превращают их в «сита» с аккуратными отверстиями, размер которых можно регулировать в нанодиапазоне. …так называемые живые молекулярные машины – жгутики бактерий или элементарные мышечные звенья, обеспечивающие целенаправленное движение клеток и перенос молекул через мембраны, – обладают характерными размерами в единицы или десятки нанометров. А диаметр двойной спирали молекулы ДНК составляет около двух нанометров, длина же ее вдоль контура – порядка 400 нанометров. …приставка «нано» получила столь широкое распространение, что стала использоваться для описания объектов и макроскопических масштабов. Так, в соответствии с европейской классификацией малых спутников, аппараты массой от одного до десяти килограмм получили название «наноспутники».

Что читать в «Кванте» о нано…

(публикации последних лет)

1. «Нанотехнология на службе человека» – 2005, №4, с.11; 2. «Нанотехнологии: когда размер имеет значение» – 2008, №3, с.6; 3. «На пути к квантовому компьютеру» – 2009, №1, с.2; 4. «Рассказы о современной механике» – 2009, №3, с.2; 5. «Линейка длиной в один нанометр» – 2009, №4, с.2; 6. «Почему углеродные нанотрубки прочнее стали?» – 2009, №4, с.7; 7. «Космический нанолифт» – 2009, №5, с.11; 8. «Измеряем прочность тел от нано до мега» – 2009, №6, с.3; 9. «Как управлять светом с помощью магнитного поля» – 2010, №1, с.12.

Материал подготовил А.Леонович

34

КМШ

КВАНТ 2010/№1

Задачи

По результатам опроса общественного мнения, работой президента довольны 76% опрошенных, работой премьера – 83%, работой правительства в целом – только 59%. Назовем опрошенного безнадежным, если он доволен и работой президента, и работой премьера, но недоволен работой правительства в целом. Какая наименьшая доля безнадежных могла быть среди опрошенных? М.Ахмеджанова

ей сделать это с помощью найденной волшебной палочки? Г.Гальперин

Дан равносторонний треугольник. а) Можно ли разрезать его на равносторонние треугольники двух видов – большие и маленькие – так, чтобы тех и других треугольников было поровну? б) А можно ли разрезать его на равносторонние треугольники трех видов – большие, средние и маленькие – так, чтобы треугольников каждого размера было поровну? С.Дворянинов

Имеется проволока в виде окружности. Как ее изогнуть, чтобы при проекции на одну плоскость она давала квадрат, а при проекции на другую плоскость – равносторонний треугольник? А.Жуков

Врач сообщил Змею Горынычу, что если Змей будет выкуривать по 6 сигарет в день, то помрет через 10 лет, а если – по 17, то – через 5 лет. Сколько лет проживет Змей Горыныч, если бросит курить? (Считаем, что все годы одинаковой длины, а каждая сигарета сокращает жизнь на одно и то же время.) А.Ковальджи

Иллюстрации Д.Гришуковой

Однажды Алиса нашла в Зазеркалье волшебную палочку, которая создает любой предмет по Алисиному желанию, но только в одном экземпляре. При этом, создав однажды какой-то предмет, волшебная палочка не сможет в дальнейшем создать такой же предмет вторично. Алисе нужно изготовить 10 одинаковых башмачков для своих путешествий по Зазеркалью. Как

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

38

КВАНТ 2010/№1

продолжал колдун. – И будете вы сидеть там и думать о своем поведении. Каждый вечер одного из вас будут отводить в Черную-черную комнату, где нет ничего, кроме волшебной лампы, и господин мой дракон будет обращаться к избранному лично. Сейчас лампа погашена. Хотите – внимайте ему во тьме, хотите – зажигайте лампу. Или гасите, если она будет гореть, это ваше дело. Лампа зажигается и гаснет просто – достаточно хлопнуть в ладоши. И будет так продолжаться долго, долго… – Вечно? – спросил шепотом юный Бертольд. – Может быть, и вечно, – сердито бросил старик. – Не перебивайте, молодой человек. Уж что я вам точно обещаю – все вы непременно побываете в Чернойчерной комнате, никого не пропустим. И будьте уверены, что каждого из вас будут вызывать туда снова и снова. Но, как я уже сказал, господин мой дракон милостив… Он обвел взглядом понурившихся воинов. – Я, черный маг Курундис, клянусь вам всей моей магией и именем господина моего дракона Грыора, что в тот же миг, как кто-либо из вас скажет мне, что все вы уже побывали в Черной-черной комнате, вы будете отпущены на волю – разумеется, без оружия и пешком, – если сказанное будет верно. Но бойтесь ошибиться! Ибо в случае ошибки все вы будете съедены, и, уверяю вас, господин мой дракон сделает это с большим удовольствием. Все ли вы поняли, господа драконоборцы? – Поняли, как не понять… – проворчал дядька Элвард. Маг кивнул и вышел, вслед за ним стражники. Захлопнулась дверь, загремели замки. – Сожрет… Сначала нравоучениями замучает, а потом все равно сожрет… – раздалось в зале. Юный Бертольд поднял голову. – Дядь Элвард, правду ли говорят, что драконы не лгут? – спросил он. Усатый воин кивнул. – Тогда выход обязательно есть, – сказал юноша. – Нужно только хорошенько подумать. Ведь дракон обещал. – Устами младенца глаголет истина, – веско произнес здоровенный Том из Стоунбриджа. – Давайте, братья, поразмыслим. – Мечом-то проще, – проворчал кто-то. И в зале повисла глубокая тишина. С непривычки думалось медленно и тяжко. – Н у, что ты изобрел для наших пленников? – спросил Грыор за завтраком. Курундис объяснил. – Эй, маг, я же сказал, что не хочу воспитывать их лично! – Сэр, вам не нужно трудиться, я сохранил запись вашей прошлогодней речи. Помните, вы наставляли того барона, как бишь его звали… Магический кристалл воспроизведет каждое слово без изъяна. – А, тогда ладно… И все же ты неправ, маг. Зачем было клятвенно обещать, что я их непременно съем сам, да еще и с удовольствием? Вдруг придется? Знаешь ведь, терпеть не могу человечины…

– О, сэр, не волнуйтесь. Я верю, что настоящая опасность способна научить думать даже драконоборцев. – Посмотрим, посмотрим, – хмыкнул Грыор. – Хуже всего, если они так и не рискнут дать тебе ответ. Сколько их? Двадцать? Двадцать камер заняты, неизвестно на сколько лет, а могут же еще явиться… ээээ… соискатели. – Сэр, готов поспорить, – они справятся! – На что спорим? – оживился дракон. – На щелбаны? Двадцать щелбанов, по числу пленников – идет? Если через пять лет они все еще будут здесь, – я выиграл! – Идет, – согласился маг. Ударили по рукам. В ремя шло. Иногда Грыор вспоминал о своих узниках, спрашивал, как у них дела. – По-прежнему, – отвечал Курундис. – Ведем воспитательную работу. Некоторые уже выслушали вашу речь по четыре раза, сэр. – И как? – интересовался Грыор. – О, кто как, сэр. Некоторые бранятся. Некоторые рыдают. Один поклялся, если спасется, уйти в монастырь. – Ну-ну, – хмыкал Грыор. – Будем надеяться, ему это удастся. О днажды утром маг вбежал в тронный зал драконьего замка, слегка подпрыгивая. – Я же говорил! – воскликнул он. – Сегодня этот мальчишка, который из Рокслея, заявил мне, что все уже побывали в Черной-черной комнате. – И это действительно так? – спросил дракон. – Да, сэр! – отвечал маг. – Так отпустим или вы еще скажете им пару слов? – Пусть катятся на все четыре стороны, – фыркнул Грыор. – Наконец-то я от них избавлюсь. – Да, сэр, – кивнул маг. – Пойду распоряжусь. А вы пока готовьте лоб. – Что? – недоуменно повел хвостом дракон. – Двадцать щелбанов, сэр, – поклонился маг. – Только не делайте вид, будто вы забыли. Драконы никогда ничего не забывают. – Тьфу, – проворчал дракон. – Действительно. Ничего не поделаешь, проиграл – так проиграл… …Д раконоборцы вышли на свет, спотыкаясь с непривычки. – Воистину, это был великий подвиг, о Бертольд из Рокслея, – сказал Элвард, усы которого за время заключения стали длиннее втрое. – Не сомневаюсь, ты заслужил рыцарские шпоры, а в будущем станешь великим воином, и все драконы склонятся перед тобой… – Ну уж нет, – покачал головой Бертольд, – драконами я теперь сыт по горло. Поеду лучше в университет, учить латынь и арифметику. Ручаюсь, ни один профессор не может быть таким занудой, как Грыор Большой Хвост…

А вы поняли, сэры, как юному Бертольду удалось совершить сей подвиг?

47

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

i) внутренним образом тогда и только тогда, когда

AB + CD = BC + DA;

(1) ii) (AC)-внешним образом тогда и только тогда, когда она не центральная и

AB + DA = BC + CD;

(2) iii) (BD)-внешним образом тогда и только тогда, когда она не центральная и

AB + BC = CD + DA.

(3)

Подробного доказательства этой теоремы мы здесь не приводим, ограничиваясь следующими замечаниями. Из того, что 4-ломаная описанная, нетрудно получить одно из соотношений (1), (2), (3), используя равенства отрезков касательных (аналогично тому, как это было проделано в решении задачи 2). Доказать же то, что ломаная описана, исходя из соотношений, труднее. Это можно сделать аналогично доказательству критерия ( ∗ ), рассмотрев разные случаи расположения 4-ломаной. Идея геометрического доказательства, основанного на свойствах коник, описана в последней части этой статьи.

Упражнение 5. Докажите, что: а) существует не более двух окружностей, вписанных в 4-ломаную; б) в 4-ломаную можно вписать две окружности тогда и только тогда, когда она не центральная и имеет ось симметрии.

Теорема транзитивности

Теперь схему решения задачи 2 можно описать так: происходит перенос (или транзит) условия существования вписанной окружности с двух 4-ломаных (BD|AC) и (BD|CR) на третью 4-ломаную (BD|RA). Та же схема работает и в такой более общей ситуации. Теорема 2 (теорема транзитивности). Пусть даны 4-ломаные (AB|XY), (AB|YZ) и (AB|ZX). Тогда i) если для двух из них существуют окружности, вписанные внутренним образом, то и для третьей – тоже; ii) если для (AB|XY) и (AB|YZ) существуют окружности, вписанные соответственно (XY)-внешним и (YZ)- внешним образом, и 4-ломаная (AB|ZX) не центральная, то для нее существует окружность, вписанная (ZX)-внешним образом; iii) если для (AB|XY) и (AB|YZ) существуют окружности, вписанные (AB)-внешним образом, то для (AB|ZX) существует окружность, вписанная внутренним образом; iii’) если для (AB|XY) существует окружность, вписанная (AB)-внешним образом, для (AB|ZX) существует окружность, вписанная внутренним образом, и 4-ломаная (AB|YZ) не центральная, то для нее существует окружность, вписанная (AB)-внешним образом. Доказательство. Докажем, например, утверждение (ii). Если в ломаные (AB|XY) и (AB|YZ) можно вписать окружности соответственно (XY)-внешним и (YZ)-внешним образом, то по теореме 1 имеем

AX + BX = AY + BY, AY + BY = AZ + BZ. Отсюда AX + BX = AZ + BZ, и получаем (снова по теореме 1), что в ломаную (AB|ZX) можно вписать окружность (ZX)-внешним образом.

Упражнение 6. Докажите другие утверждения теоремы 2.

КРУЖОК

Следующая задача, как и предыдущие, оказывается следствием теоремы 2. Задача 5 (M1025). Две прямые, проходящие через точки пересечения пар противоположных сторон выпуклого четырехугольника, делят его на четыре меньших четырехугольника. Докажите, что если два меньших четырехугольника, не имеющих общей стороны, описанные, то и исходный четырехугольник описанный. Решение. Возможны два случая расположения четырехугольников, про которые известно, что они описанные (рис.5 и 6).

Рис. 6

Рис. 5

В первом случае 4-ломаные (PQ|BR) и (PQ|RD) являются описанными соответственно (BR)-внешним и (RD)-внешним образом, значит, по теореме 2, 4-ломаная (PQ|DB) является описанной (DB)-внешним образом, т.е. четырехугольник ABCD описанный. Во втором случае 4-ломаные (PQ|AR) и (PQ|RC) являются описанными внутренним образом, следовательно, 4-ломаная (PQ|CA) также является описанной внутренним образом, откуда следует требуемое.

Упражнения

7. а) Сформулируйте и докажите аналоги утверждений задачи 4 в том случае, когда треугольник XYZ не обязательно содержит окружности. б) Сформулируйте аналогичную задачу для точки X на внешней касательной и точек Y и Z на внутренней. 8. Сформулируйте и докажите еще одну теорему транзитивности про три 4-ломаные (AB|CD), (AC|BD) и (AD|BC). В частности, получите решение такой задачи: На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты соответственно точки A¢, B¢, C¢ так, что отрезки AA¢, BB¢, CC¢ пересекаются в одной точке D. Докажите, что если два из четырехугольников AB ¢ DC ¢, BC ¢ DA ¢, CA ¢ DB ¢ описанные, то третий также является описанным.

Описанные ломаные с вершиной… на бесконечности

Если вершина D 4-ломаной (AC|BD) расположена далеко от остальных, то лучи AD и CD «почти сонаправленные». А что если в самом деле сделать их сонаправленными? Итак, давайте называть $4_{\infty}$ -ломаной $( BD_{\infty} AC )$ объединение отрезков AB, BC и сонаправленных, но не лежащих на одной прямой, лучей $AD '$ и $CD ''$ (точки A, B, C предполагаются различными; рис.7). Окружность, вписанная в $4_{\infty}$ -ломаную $( BD_{\infty} AC ),$ должна одновременно касаться прямых AB и BC и быть вписанной в полосу между параллельными $пря-_{Рис.} 7$

49

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

Рис. 9

$( 1 ' )$ (соответственно $( 2 ' ))$ означает, что точки A и C лежат на одной параболе с фокусом B и осью, противоположно направленной (для $( 2 ' )$ – сонаправленной) лучу $AD '$. С помощью этих соображений и свойств коник можно доказать существование вписанной окружности в теоремах 1 и $1 '$. Возьмем, например, утверждение (ii) теоремы 1. Точки A и C лежат на одном эллипсе с фокусами B и D. По условию, 4-ломаная (AC|BD) не центральная, поэтому точки A и C – не диаметрально противоположные точки эллипса. Касательные к эллипсу, проведенные в точках A и C, пересекаются в некоторой точке I. Оказывается, что I равноудалена от прямых AB, BC, CD, DA, т.е. 4-ломаная (AC|BD) описана вокруг окружности с центром I. Действительно, в силу оптического свойства эллипса (см., например, [3]), I лежит на внешних биссектрисах углов BAD и BCD и, кроме того (см. например, задачу 1.4 из книги [1]), прямая BI – биссектриса угла ABC. Похожие рассуждения можно провести с использованием гиперболы и параболы – всякий раз центр искомой окружности находится на пересечении соответствующих касательных к конике (см. рис.9). Ситуацию, происходящую в теоремах транзитивности 2 и $2 '$, теперь можно трактовать таким образом: в утверждении (i) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на одной ветви гиперболы с фокусами A, B или на серединном перпендикуляре к отрезку AB;

в утверждении (ii) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на одном эллипсе с фокусами A, B; в утверждении (iii) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на одной гиперболе с фокусами A, B, причем две из них – на одной ветви, а одна – на другой; в теореме $2 '$ точки X, Y, Z лежат на одной параболе с фокусом A и осью, противоположно направленной – в случае (i) или сонаправленной – в случае (ii), с лучом $XB '$.

Упражнения

12. Дана $4_{\infty}$ -ломаная $( AC BD_{\infty} ),$ в которой $AB \ne BC$. Докажите, что она описана тогда и только тогда, когда $AD'$ параллельна одной из асимптот гиперболы с фокусами A и C, проходящей через B. 13. Докажите, что центр окружности, вписанной в вырожденную 4-ломаную или вырожденную $4_{\infty}$ -ломаную, лежит на директрисе (определение директрисы см., например, в [2]) соответствующей коники.

Список литературы

1. Акопян А.В., Заславский А.А. Геометрические свойства кривых второго порядка. – М.: МЦНМО, 2007. 2. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые (издание 6-е, стереотипное). – M.: МЦНМО, 2006. 3. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. – М.: МЦНМО, 2005.

56

КВАНТ 2010/№1

слушателей. Лекции часто имеют междисциплинарный характер и посвящены вопросам, далеким от традиционных областей общей механики и робототехники. Например, были представлены такие темы: явление кавитации; математические модели систем управления объектами национальной значимости; вулканические извержения; свойства зрения живых существ и их использование при создании систем технического зрения; различные аспекты биомеханики (т.е. науки, стоящей на стыке механики и биологии) – тренажеры для космонавтов, современные материалы и их использование при протезировании костей, а также разработанная только недавно теория, удовлетворительно объясняющая измерение артериального давления крови с помощью простого прибора, состоящего из резиновой надувной манжеты, груши и манометра. Организуются экскурсии на уникальные экспериментальные установки Института механики МГУ (гидродинамическая труба, аэродинамическая труба, гидроканал и т.п.). Ознакомление с современной механикой и робототехникой важно не только для школьников, но и для учителей средней школы. Поэтому в рамках нашей Программы проводятся курсы повышения квалификации учителей. Важное направление Программы – создание списка научно-исследовательских задач, предлагаемых школьникам. В настоящее время он включает более 30 заданий. Так, ежегодно объявляется конкурс на постановку и проведение эксперимента по исследованию свойств сухого трения. Со списком задач и объявлением о конкурсе можно познакомиться на сайте, указанном в конце статьи.

Для подготовки видеокурса лекций ведется их видеозапись и создается видеотека – основа для дистанционного обучения (включая работу со школами для детей с ограниченными возможностями). Все перечисленные выше мероприятия Программы для школьников и учителей, осуществляемые на традиционных площадках, проводятся на бесплатной основе. Однако, по согласованию, возможно также проведение выездных лекций и семинаров, кружков, осуществление других форм сотрудничества. Принять участие в любом мероприятии Программы (прослушивание лекций, участие в конкурсе, решение задач) может любой желающий школьник. Обращаем внимание на то, что по многим направлениям (конкурсы, научноисследовательская работа и т.п.) возможно дистанционное участие. Регулярно обновляемая информация обо всех мероприятиях Программы представлена на сайте Института механики http://www.imec.msu.ru/school Наш электронный адрес: [email protected] Почтовый адрес для переписки: 119192 Москва, Мичуринский проспект, д.1, Институт механики МГУ, Научнообразовательная программа по механике. Приглашаем всех заинтересованных лиц и организации принять участие в нашей Программе! Публикацию подготовили С.Довбыш, Б.Локшин, М.Салмина

64

КВАНТ 2010/№1

Пусть K, L, M – середины сторон BC, DE, FA соответственно, P – середина EI. Тогда $S_{KLM} > S_{MPB} > S_{ABI} = S_{XYZ}$.

Оба неравенства следуют из следующего очевидного утверждения: Пусть TUVW – параллелограмм, точка R и отрезок VW лежат по разные стороны от прямой TU. Тогда

Рис. 7

$S_{RVW} > S_{RTU}$.

(В первом неравенстве используется параллелограмм BKLP, во втором – AIPM.) Замечание. В этой задаче есть досадный второй случай, который не учитывает приведенное решение: когда шестиугольник и треугольник, данные в условии, ориентированы по-разному (т.е. шестиугольник при чтении букв – названий вершин – обходится по часовой стрелке, а треугольник – против). В этом случае, если достраивать на одной из сторон шестиугольника наш треугольник, он будет торчать наружу! Вот набросок решения для этого случая. Он сводится к первому следующей перестройкой шестиугольника (рис.8). Здесь

но выше, мы сможем помешать Али-Бабе уравнять все цифры на отмеченных местах. Алгоритм выигрыша Али-Бабы для $2^{k}$ мест будем строить индуктивно. База для k = 1 очевидна. Пусть у нас есть алгоритм $A_{m}$ для m мест. Построим $A_{2m}$. Начнем с частных случаев. Разобьем круг на m пар противоположных мест и установим соответствие между парами для 2m и местами для m. 1) Пусть мы знаем, что в каждой паре цифры равны. Применим алгоритм $A_{m}$, заменяя места целыми парами. Ясно, что когда замок открылся там, он откроется и тут. 2) Пусть мы знаем, что четность суммы в каждой паре одинакова. Применим $A_{m}$ для пар. Если не открылось, то все суммы были нечетны. Но меняя оба числа пары, мы не меняем четности. Значит, все суммы остались нечетными. Изменим m цифр подряд (назовем эту операцию D). Теперь все суммы четны. Еще раз применив $A_{m}$ для пар, откроем замок. Назовем алгоритм для этого случая B. 3) Применим теперь $A_{m}$ для пар другим способом: цель – сделать суммы в парах одной четности. По-прежнему на каждом шагу мы выбираем набор пар согласно $A_{m}$, но меняем в каждой выбранной паре только по одной цифре. Назовем алгоритм C. Он гарантирует, что на каком-то шагу (мы не знаем, на каком) четности сумм совпадут. Дверь это, понятно, не откроет. Но мы схитрим: после каждого шага C применим B, а затем D. При совпадении сумм четностей B откроет дверь, а иначе BD не изменит четностей сумм.

©

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

C.А.Дориченко, А.А.Егоров, Е.М.Епифанов, С.П.Коновалов, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

Рис. 8

$AC_{1} = CB, C_{1} D_{1} = EF, BF_{1} = FA, F_{1} E_{1} = DC$. Отсюда легко следует, что $K_{1} L_{1} = LK, K_{1} M_{1} = MK, L_{1} M_{1} = ML$, т.е. серединный треугольник не изменился. 7. При $N = 2^{k}, k = 0, 1, 2,$ … Заменим бочонки на нули и единицы, стоящие по кругу. Пусть $N \ne 2^{k}, k = 0, 1, 2,$ … Покажем, что при невезении Али-Баба никогда не откроет пещеру. Можно считать, что мы играем против Али-Бабы, вращая круг, и что он заранее говорит нам, на каких местах он будет менять цифры на каждом (в том числе и на первом) ходу. Рассмотрим сначала случай, когда N нечетно. Расставим на круге нули и единицы так, чтобы Али-Баба не выиграл первым своим (известным нам) ходом (т.е. чтобы после его хода на круге были как нули, так и единицы). Пусть Али-Баба на очередном ходу выбрал для замены определенные k мест. Он выиграет, только если эти k мест совпадут либо со множеством всех нулей, либо со множеством всех единиц. Но число нулей не равно числу единиц (сумма чисел нечетна!). Значит, каких-то цифр – не k штук. Загнав поворотом такую цифру на одно из выбранных k мест, мы не дадим Али-Бабе выиграть следующим ходом. Случай, когда N четно, но имеет нечетный делитель m, сводится к разобранному. Отметим на большом круге m равноотстоящих мест и забудем про остальные. Действуя, как описа-

НОМЕР ОФОРМИЛИ

Д.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, В.М.Хлебникова, П.И.Чернуский

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

Е.А.Митченко, Л.В.Калиничева

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФ по печати. Рег. св-во №0110473

Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» Тел.: 930-56-48 Е-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Сайт: kvant.info

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени «Чеховский полиграфический комбинат» 142300 г.Чехов Московской области, Сайт: www.chpk.ru E-mail: [email protected] Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00 Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59