Квант 2010, №3 · Страницы

1

МАЙ

ИЮНЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2010

©

Ю№3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

9

Метеорологические наблюдения: распределенные в пространстве и во времени. В.Гордин О сумме телесных углов многогранника. И.Богданов

15

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР 105 лет академику С.М.Никольскому

17

НАНОТЕХНОЛОГИИ Квантовые и волновые явления в наномире. В.Тимошенко

2

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

23

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ По страницам сочинения Герона Александрийского «О диоптре». А.Жуков

26 27 35

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2176–М2183, Ф2183–Ф2189 Решения задач М2154–М2158, М2160, Ф2168–Ф2174 Еще раз об окружностях, вписанных в криволинейные фигуры

32

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Постоянные магниты

36 37

К М Ш Задачи Хорошо темперированный клавир. И.Гельфанд, А.Шень

40 42

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Сверхзвуковые самолеты и конус Маха. Е.Соколов Обжегшись на молоке, на воду дуют… А.Стасенко

44

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК О пользе графиков. М.Горелов

48

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА» Каустики на плоскости и в пространстве. А.Андреев, А.Панов

50

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Неравенство Коши в задачах по физике. В.Гребень

54

ИНФОРМАЦИЯ Заочная школа СУНЦ НГУ редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2010, РАН, Фонд Осипьяна, журнал «Квант»

56

59

ОЛИМПИАДЫ XVIII Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон»

Ответы, указания, решения Памяти М.Гарднера (25)

НА ОБЛОЖКЕ

I II III IV

Иллюстрация к статье «Метеорологические наблюдения» Коллекция головоломок Шахматная страничка Прогулки с физикой

2

КВАНТ 2010/№3

Метеорологические наблюдения:

распределенные в пространстве и во времени

В.ГОРДИН

Введение

Зачем крутится ветр в овраге, Подъемлет лист и пыль несет, Когда корабль в недвижной влаге Его дыханья жадно ждет? А.С.Пушкин. Египетские ночи

Александр Сергеевич на этот вопрос отвечает так: «Затем, что ветру и орлу // И сердцу девы нет закона». Однако ученые люди и до и после написания этих замечательных стихов тщились эти законы отыскать. Ведь интересно, красиво, а возможно, и полезно будет. Член Парижской академии наук Л.М.А.Навье предложил уравнения, описывающие динамику вязкой жидкости, за несколько лет до издания «Египетских ночей». Конечно, от этих уравнений до практического прогноза погоды была дистанция порядочная…

Какие бывают метеонаблюдения

Обсервации метеорологические отправлял с 1729 года, через которые не без великого беспрестанного старания и труда много нового мною изобретено, что надлежит до состояния погод здешнего климата, и еще все можно усмотреть из поданных мною в Академию надлежащих писем. Г.Крафт

Уточним, что такое метеонаблюдение. Например, смотрим в окно – пешеходы идут с зонтиками. Или в шубах. Можно сделать кое-какие выводы. Летчику на подлете к аэродрому сообщают: видимость сейчас плохая, но, судя по радару, приближается небольшое окно в облаках. Через три минуты будет понятно, садиться ли или идти на запасной аэродром. Это – наблюдения, которые используются сразу. Разнообразных метеонаблюдений, поступающих в базу данных Гидрометцентра России, около $10^{6}$. И, видимо, будет больше. Современные технологии прогноза погоды позволяют давать его на несколько суток с довольно высокой точностью. Эти технологии – результат многовекового прогресса.

Количество осадков за весну измеряли левиты в Храме в Иерушалаиме. Если суммарный уровень осадков превышал 7 ладоней (около 56 см), то ожидали хороший урожай летом. В Египте измеряли подъем уровня $Нила.^{1}$ Причины подъема были загадочны. Две с половиной тысячи лет назад Геродот сообщил в своей «Истории» несколько версий – уже тогда они были старинными. Обыкновенные для нас приборы – барометр, термометр – появились несколько веков назад. В 1597 году Г.Галилей изготовил термоскоп: стеклянный шар с водой и погруженная в него трубка. Уровень воды характеризовал температуру (лат. temperature – надлежащее смешение, нормальное состояние; темперамент – однокоренное слово). Позднее Сагредо, ученик Галилея, нанес на трубку деления – измерения получили количественный $характер.^{2}$ Вода – непростая жидкость, ее объем не растет монотонно с температурой, минимум достигается при $4^{o} C.^{3}$ Поэтому в качестве рабочей жидкости ее использовать неудобно. В 1641 году во Франции уже имелись довольно совершенные спиртовые термометры (этот термин появился в 1636 г.). В 1715 году житель города Данцига Д.Фаренгейт наладил произ-

1 Воду отводили в пруд и определяли уровень стоячей воды по высеченной на камне шкале в локтях и пальцах. Важнейшим был водомер на острове Рауда. Каждый день его смотритель докладывал правительству. Если подъем Нила был выше 12 локтей, глашатай возвещал об этом по всему $Каиру.^{2}$ Это изобретение немедленно получило медицинское применение: венецианский врач Санторио в 1612 году опубликовал работу о повышении температуры тела при $лихорадке.^{3}$ Вот почему лед плавает на поверхности воды, а не тонет. Галилей в 1611 году на торжественном обеде (в честь кардиналов Барберини и Гонзаго) у великого герцога Тосканского Козимо II экспериментально опроверг мнение коллег по Пизанскому университету, утверждавших, что это следствие формы льда, а не его относительной (к воде) легкости. Следствия этого диспута: трактат «Рассуждение о телах, пребывающих на поверхности воды в покое и тех, которые в ней движутся» и враги Галилея среди профессоров Пизы.

5

МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЕ

Рис.3. Скорость ветра, который дует на разных высотах, определяется наблюдателем по смещению зонда. На рисунке изображены положения двух зондов, запущенных с интервалом времени 12 часов, относительно точки запуска в километрах (направления осей – долгота и широта), а числа означают минуты полета. Видно, что на разных высотах ветер дует в разные стороны. За 12 часов, как следует из сравнения черных и белых кружков, направление ветра существенно поменялось

– ни у какой державы на это не хватило бы ни денег, ни пилотов. А если запускать воздушный шар поменьше и без людей? Изготовить автоматически работающие метеорологические приборы в девятнадцатом веке было бы сложно, но все же возможно. А сколько времени понадобится, чтобы этот самый зонд потом найти?! Информация (если мы хотим использовать ее для прогноза, скажем, на сутки) уже устареет. Можно использовать воздушных змеев – но нужен большой (а значит, сложный и дорогой) змей, чтобы мог поднять приборы. Да и не при всяком ветре он полетит. И не слишком высоко его можно $запустить.^{9}$ Ситуация улучшилась с изобретением радио и прогрессом в радиотехнике. Передатчик уменьшался в размерах и весе – уменьшались и сами метеоприборы. К тридцатым годам прошлого века такой измерительнопередающий комплекс, достаточно надежный и недорогой, чтобы его использовать для сравнительно массовых измерений, был изготовлен в разных странах. Затем последовала вторая мировая война. Военные аспекты метеорологии вышли на первый план. Информация стала секретной, и об ее свободном обмене речь уже не шла. Прилагались огромные усилия, чтобы засекретить свою погоду и узнать погоду на территории противника. Эпизоды этой смертельной борьбы описаны в книге З.М.Каневского «Цена прогноза» (Л.: Гидрометеоиздат, 1976). В борьбе участвовали подводные лодки и большие надводные корабли, разведывательные группы и самолеты. Один из руководителей разведки Третьего рейха В.Шелленберг в своих мемуарах пишет,

9 В России такие запуски регулярно проводились под Москвой в Кучино (поместье Д.А.Рябушинского), где под руководством Н.Е.Жуковского был организован аэродинамический институт, а при нем аэрологическая обсерватория. Владелец поместья в работе принимал участие, и не только финансовое. Современный рекорд подъема змея составляет 9740 м.

НАБЛЮДЕНИЯ

что в дни, предшествовавшие немецкой оккупации Норвегии, основная секретная информация немецких агентов была метеорологической. Последовавшая «холодная война» обмену информацией также не способствовала. Архивы сохранили, например, докладную записку управляющего делами ЦК ВКП(б) Д.В.Крупина секретарю ЦК ВКП(б) М.А.Суслову от 7.4.1948 о разглашении важных в военном отношении сведений в книге «Климатические области и районы $СССР».^{10}$ Справка замначальника Генштаба подтверждала: да, действительно, имело место разглашение потенциальному противнику важных сведений, особенно про Советскую Арктику. Дело тогда закончилось тихо: автора – профессора Б.П.Алисова – даже не посадили, книгу, правда, пустили под нож… А данные о климате наших северных морей и сейчас, спустя шестьдесят с лишним лет, содержат лакуны. Однако в те же годы появилась Всемирная метеорологическая организация – агентство ООН по метеорологии. И результаты ее работы не стыдно предъявить человечеству. В настоящее время основным источником информации для Гидрометцентра России являются поступающие два раза в сутки (или чаще) телеграммы, их сейчас около 6500 за каждое поступление, характеризующие состояние атмосферы у земной $поверхности.^{11}$ Это так называемые $синоптические^{12}$ данные, из которых около 2000 приходят с морских $буев^{13}$ и с морских судов. К ним добавляются примерно 650 аэрологических теле-

10 Организатор и первый руководитель Единой гидрометеорологической службы СССР А.Ф.Вангенгейм в 1934 году был сослан в Соловки, а в 1937 году расстрелян (реабилитирован в 1956 г.). Вообще, повышенный интерес российских правоохранительных органов к метеорологии имеет давнюю традицию. Первые метеонаблюдения стали записывать по указу Алексея Михайловича в 1650 году. Поручено это было Приказу тайных $дел.^{11}$ Автоматические метеостанции используются в малонаселенных районах, где трудно найти наблюдателей. Их применение ограничено досадной склонностью некоторых людей ломать найденную аппаратуру. При производстве таких станций нужно обеспечивать их максимальную $маскировку.^{12}$ В переводе с греческого $\Sigma$ YNO $\Pi$ TIKO $\Sigma$ означает «способный видеть все», однако радиозонды, радары и спутники много добавляют к этому «все». Времена меняются, и технологии меняются вместе с $ними.^{13}$ Здесь речь идет о буях, которые плавают на поверхности океана и передают информацию с границы двух сред: воздуха и воды. В последние несколько лет появилась сеть глубоководных буев (так называемая система ARGO) – настоящее чудо современной техники. Такой буй дрейфует на заданной ему глубине под водой. Раз в 10 суток включается программа, согласно которой он меняет свою общую плотность и начинает двигаться по вертикали, проходя глубины от 2 км до поверхности и измеряя температуру и соленость воды с частотой в несколько метров. Оказавшись на поверхности, буй передает накопленную информацию на спутник, причем передает несколько раз, чтобы избежать случайной потери информации. Через несколько часов он погружается на свою штатную глубину. Таких буев сейчас более 3 тысяч, и они довольно равномерно покрывают Мировой океан за исключением полярных морей. Обычно на температуру воздуха непосредственно влияет только температура поверхности воды, но в сильный шторм происходит перемешивание приповерхностных слоев воды, которые включаются в теплообмен.

6

КВАНТ 2010/№3

грамм, приходящих с тех метеорологических станций, на которых осуществляются запуски радиозондов. Аэрологическая информация, если пользоваться метеорологическим жаргоном, «освещает» атмосферу над планетой – радиозонд долетает и сообщает сведения о метеорологических полях до высоты 30 км и более. Измерения, которые производит радиозонд в полете, часто приписывают одному моменту времени – его называют стандартным сроком наблюдения. Имеется международная договоренность, какие сроки считать стандартными, чтобы эти измерения во всех странах производить одновременно (мы обсудим ниже, почему такая одновременность удобна для расчетов). Однако зонд поднимается на максимальную высоту отнюдь не мгновенно – обычно это занимает около полутора $часов.^{14}$ Следовательно, пренебрежение этим временем приводит к ошибке в интерпретации измерений. Для того чтобы оценить эту погрешность, нужно умножить характерную производную $\partial_{t} f$ измеряемой величины f (температуры, давления, влажности, ветра) по времени t на $\Delta t \approx 1,5$ часа. В грубой модели такой ошибкой $\delta_{f} = \Delta t \cdot \partial_{t} f$ можно пренебречь, а в хорошей современной модели лучше произвести надлежащие поправки. Стоит учесть и нарастающее со временем подъема смещение зонда по горизонтали. Южное полушарие Земли «освещено» данными значительно хуже, чем северное. Многие метеорологические центры, расположенные далеко к северу от экватора, когда-то не принимали во внимание этот плохо «освещенный» район и ограничивали область своего прогноза северным полушарием, а иногда и его частью. Другой причиной такого ограничения была недостаточная производительность компьютера. Конечно, атмосферные процессы, происходящие в южном полушарии, влияют на состояние атмосферы в северном, и такое вынужденное ограничение приводит к появлению ошибки, возрастающей со временем и распространяющейся от экватора к северу. «Смягчающим вину обстоятельством» служили сравнительно небольшие значения $меридиональной^{15}$ составляющей ветра. Синоптические и особенно аэрологические данные «освещают» северное (и тем более южное) полушарие неравномерно. Более половины его площади занимает океан, а радиозонды там запускают лишь несколько островных метеорологических станций и несколько судов погоды, стоящих на якорях. Наиболее густая сеть станций – в Европе, Восточной Азии и Северной Америке. Предположим, что все 650 аэрологических станций находятся в северном полушарии и распределены равномерно, и оценим густоту такой сети. Радиус Земли $R_{З} \approx 6400$ км, площадь поверхности северного

14 Вот почему во многих странах запуск начинают за 30 минут до синоптического срока – чтобы в соответствующий стандартный момент времени зонд был поближе к середине $траектории.^{15}$ Иными словами, проекции вектора скорости ветра в данной точке на меридиан, проходящий через эту точку в экваториальной зоне: полушария как бы разделены марлевой занавеской, которую из-за недостаточной мощности компьютера и ограниченности исходной информации вынужденно представляли каменной стеной.

Рис.4. Левая граница дождя очерчена четко. Для оценки масштаба можно использовать шоссе. Граница дождя изогнута – это следствие геометрии воздушных потоков в зоне. Кроме того, они и по горизонтали закручены. Описать явления вокруг одного облака (с горизонтальным размером в несколько километров) в глобальной модели атмосферы Земли затруднительно

полушария $S_{N} = 2 \pi R_{З}^{2} \approx 2,6 \cdot 10^{8} км^{2}$. Таким образом, одна аэрологическая станция приходится в среднем на площадь $S_{1} \approx S_{N} 650 \approx 4 \cdot 10^{5} км^{2}$. Такую площадь имеет квадрат со стороной, равной расстоянию от Москвы до Санкт-Петербурга (~ 600 км). Если вместо аэрологической сети рассмотреть синоптическую, то сторона квадрата уменьшится примерно до 300 км. Эта оценка дает примерное представление о минимальном горизонтальном масштабе тех явлений, которые мы имеем шансы предсказать. Действительно, прежде чем вычислять эволюцию метеорологических полей, мы уже должны предположить, что в начальный момент времени значения метеорологических элементов в Бологом суть средние арифметические значения этих же элементов в Москве и Санкт-Петербурге. Предположение грубоватое, особенно если учесть, что выпадение дождя в одном районе Москвы может наблюдаться при ясной погоде в другом, так что резкую границу выпадения дождя иногда можно увидеть даже на асфальте (рис.4). Из нашей оценки также следует, что для прогноза с мелким шагом порядка 10 км необходимо количество метеорологических станций увеличить примерно в тысячу раз, что нереально с экономической точки зрения. Прогресс возможен лишь при переходе к качественно иным методам измерений: например, если будет найден метод повышения точности и расширения области зондирования радаров, с помощью которых в настоящее время производят измерения в районе аэропортов, или метод повышения точности и разрешающей способности метеорологических спутников (рис. 5, 6). В ближайшее время растущая $точность^{16}$ спутников, видимо, сравняется с точностью метеозондов, и это

16 Увеличивается количество частот, на которых спутник измеряет уходящее в космос излучение атмосферы, улучшаются вычислительные алгоритмы решения так называемой обратной задачи: определения профиля температуры T(z) по измеренному распределению излучаемой энергии по частотам.

7

МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЕ

НАБЛЮДЕНИЯ

Рис.5. Профайлеры, измеряющие ветер одновременно на всех (до высоты в несколько километров) высотах, эксплуатируются сравнительно недавно. Это оборудование дорогое, но зато каждое отдельное измерение стоит намного дешевле, чем запуск радиозонда. На рисунке видно, как происходит изменение направления ветра со временем – на разных высотах отнюдь не одновременно. Типичный угол наклона фронта порядка $1 1 ^\circ$. Направление стрелки указывает направление ветра. Если она смотрит вверх, то ветер южный, а если направо – западный. Оперение описывает силу ветра. Длинное перо отвечает скорости 5 м/c, а короткое – вдвое меньшей

изменение количества информации, в свою очередь, существенно повлияет и уже влияет сейчас на методы усвоения оперативной метеорологической информации (т.е. регулярно поступающей в установленное время суток и в установленной форме). А если отказаться от равномерного распределения метеорологических станций? Расположим десяток их в районе Москвы, и уж тогда для Москвы дадим точный прогноз. Не получится. Сами уравнения, описывающие динамику атмосферы, позволяют оценить скорость распространения влияния из одной точки в другую – около 300 м/с. Да и скорость ветра в 50 м/с на высоте нескольких километров вполне обыкновенна. Даже если ориентироваться на эту меньшую скорость, нужно признать, что за час частицы воздуха могут преодолеть 180 км. Следовательно, даже при прогнозе на одни сутки ареал влияния на погоду в Москве значительно превосходит Московскую область, и поэтому необходимо иметь информацию извне области. Так что при прогнозе погоды более чем на сутки даже в такой большой стране, как Россия, необходимы данные из-за границы. Уже упоминалось, что прогноз в Гидрометцентре России считают один-два раза в сутки (для усвоения данных считают на небольшой срок, но зато чаще: четыре раза в сутки). При этом нужно либо вовсе отказываться от результатов измерений, производимых не в то время (не в основные сроки измерений), либо слабо учитывать эти данные, причем тем слабее, чем больше различаются срок измерения t изм и основной срок наблюдения t 0, начиная с которого мы

Рис.6. Можно попытаться разделить средний ветер и ветер локальный. На верхнем квадрате $25 \times 25$ км с разрешением 0,5 км приведено поле отклонения ветра от среднего по этому же квадрату на высоте 1 км (где уже на ветер слабо влияют особенности земной орографии, дома и т.п.). Измерения проводились совместно двумя радарами в Оклахоме в 14 ч 38 мин по Гринвичу 27 июля 1977 года. Вектор среднего потока (точнее, 1/2 $v_{ср} )$ приведен в верхнем правом углу и составляет 14,8 м/с. Видно, что отклонения меньше среднего потока на порядок (но не более!). И у них есть своя повторяющаяся структура – вихри с характерным размером 4 км. На нижнем рисунке приведены измерения ветра, проведенные при тех же условиях, что и на верхнем, но спустя примерно 3,5 мин. Средний ветер практически не изменился, а мелкомасштабная структура отклонений от него изменилась. Основное изменение (хотя не все сводится к нему) – перенос вдоль основного потока в восточном направлении. Можно оценить, что вся начальная картинка «уйдет» из рассматриваемого квадрата примерно за 28 мин – для посадки или взлета самолета вполне достаточно

считаем прогноз. 17 При такой организации отказываться приходится от большого объема информации

17 Фактически прогноз начинается через несколько часов после $t_{0}$: данные измерений в закодированном (для прохождения по каналам) виде поступают в компьютер, где раскодируются по специальной программе. Так что сначала прогноз, вычисленный компьютером, догоняет реальное время, а потом обгоняет.

8

КВАНТ 2010/№3

(напомним, что некоторые метеорологические станции запускают зонды четыре раза в сутки, а спутники производят измерения практически непрерывно). Для того чтобы использовать эту асинхронную информацию, можно применять следующую процедуру. Стартуя с момента $( t_{0}$, дать прогноз на небольшой срок $\delta t$, затем, используя полученный результат в качестве первого приближения, «подкачать» данные, относящиеся к интервалу времени $( t_{0}, t_{0} + \delta t )$, потом уточненный прогноз на момент $t_{0} + \delta t$ использовать как начальное условие для прогноза на период $( t_{0} + \delta t, t_{0} + 2 \delta t )$ и т.д. Поскольку для практики нужен прогноз погоды с заблаговременностью $T^{≫} \delta t$, то время от времени нужно считать и прогноз на срок T, но при этом в начальные данные для такого прогноза входят и более ранние данные из интервала $( t_{0} - k \delta t, t_{0} )$, где k – число «подкачек» информации. Мы как бы делаем прыжок с непрерывно движущейся ленты эскалатора, а не с неподвижной Земли. После того как посчитан новый прогноз, можно уже его использовать в качестве первого приближения и вводить поправки, чтобы следующий прогноз был еще ближе к наблюдениям. Разумеется, для реализации такой весьма непростой процедуры «непрерывного», его еще называют четырехмерным, усвоения данных нужно производить большее количество вычислений, чем для решения динамической задачи с фиксированным начальным полем, а следовательно, иметь более мощный компьютер. Другой вариант усвоения называется вариационным. Всевозможные поля температуры, давления, влажности и ветра в атмосфере, т.е. несколько функций трехмерного аргумента, образуют бесконечномерное про-

странство. Динамика погоды – траектория в этом пространстве. И ее оценка составляет задачу прогноза погоды. Реальный компьютер имеет ограниченные память и быстродействие и не может рассчитывать динамику системы с бесконечным числом степеней свободы. Современные дискретные модели прогноза погоды имеют число степеней свободы в диапазоне $N = = 10^{7} - 10^{8}$. Вместо расчета «истинной траектории» строят ломаную с шагом в несколько минут. Для модели нужна стартовая точка в этом N-мерном пространстве. Измерение несет информацию об одной из координат траектории в N-мерном пространстве в момент измерения. Если всего за период усвоения единиц информации больше N (а на практике так и происходит), то траектории, в точности соответствующей всем измерениям, не существует. Сама модель приближенная, да и измерения производятся с какимито погрешностями. Переформулируем постановку задачи: найдем такую траекторию, что сумма квадратов отклонений траектории от измеренных значений будет минимальна. Самый простой аналог такой задачи (решаемый методом наименьших квадратов) – когда на плоскости имеется m точек и требуется провести прямую так, чтобы сумма квадратов m отклонений точек от прямой была минимальной. Наша задача имеет три отличия: все происходит не на двумерной плоскости, а в N-мерном пространстве; траектории не прямые, а весьма сложные кривые; мы знаем не полностью точки, а лишь некоторые их координаты.

(Продолжение следует)

НАША ОБЛОЖКА

Что такое пена?

(Начало см. на 4-й странице обложки)

Почему жидкая пена белая? Хаотично ориентированные пузырьки отражают падающий свет в разные стороны, т.е. рассеивают его. А тонкая пленка любой жидкости (шампуни, газированные напитки и т.п.), окружающая газовые пузырьки, практически бесцветна на просвет и почти не влияет на цвет пены. Поэтому цвет у пены самых различных жидкостей один и тот же – цвет падающего на нее света. Чтобы увидеть пену, например, красного цвета, достаточно поднести ночью стакан с пеной к красному фонарю стоп-сигнала автомобиля. А чтобы увидеть черную пену, можно поместить ее на черную бумагу и осветить пучком параллельных лучей света, например прошедшего через узкую щель. Если посмотреть на освещенную пену через увеличительное стекло, то она будет казаться черной за исключением нескольких ячеек, дающих блики в сторону наблюдателя. Пена на земле и в космосе. Природные материалы часто имеют структуру пены. Это дерево, пробка, губка или кораллы. Многие искусственные материалы тоже похожи на пену – например, взбитые сливки, хлеб, пенопласт, монтажная пена. Пену можно изготовить и из расплавленного металла, пропуская через него пузырьки газа. Охлаждаясь, металлическая пена превращается в твердое пористое тело, свойства которого зависят от процентного содержания газа в пене. Например, плотность алюминиевой пены, содержащей 94% воздуха (по объему), в 6 раз меньше плотности воды, а теплопроводность в 100 раз меньше, чем у обычного алюминия. Изменяя процентное содержание воздуха, можно получать пену с различными физическими свойствами. Изготовление материалов с заданными свойствами открывает широкие возможности в биомедицине. Так, при лечении переломов часто используют имплантанты – искусственные элементы, заменяющие утерянные части кости. Однако если модули Юнга кости и имплантанта различаются, то последний в конце концов просто отторгается. А вот твердая пена из титана с модулем упругости, равным модулю упругости костной ткани, представляет собой идеальный материал для имплантанта в данном случае. Получить стабильную жидкую пену с одинаковыми характеристиками по всему объему образца мешает гравитация. Со временем мелкие газовые пузырьки сливаются в крупные, а жидкость скапливается внизу сосуда. Этот процесс называют старением пены. Если старение пены происходит быстро, то изучать ее очень сложно. Поэтому лучше всего исследовать пенообразование в невесомости. Эта тема действительно включена в научную программу межпланетных космических станций. К.Богданов

12

К

Так что же такое квинта – отношение частот

( 2 )

7

или 3: 2?! В некотором смысле оба ответа правильны. Сейчас мы попробуем объяснить, что имеется в виду. Если вы услышите одну ноту, а через минуту другую, то не почувствуете гармонии или дисгармонии. Но если сыграть ноты одну за другой или даже обе сразу, то станет слышно, хорошо ли они звучат вместе. Скрипач, настроив одну из струн по камертону (на практике обычно по роялю аккомпаниатора или гобою в оркестре), затем настраивает вторую так: ведя смычком по обеим струнам, он регулирует натяжение второй струны, пока они не будут хорошо («чисто») звучать вместе. В каком случае две ноты образуют гармоничный интервал? Оказывается, это бывает, когда их частоты относятся друг к другу как небольшие целые числа. Почему так получается, мы говорить не будем – для этого нужно знать немного тригонометрии. Вместо этого перечислим некоторые интервалы и их названия (см. табл.1).

Таблица 1

Задача 18. Вторая нота восходящей мелодии образует с первой октаву, а третья со второй – квинту. Как относятся друг к другу частоты третьей и первой нот? Ответ. 3: 1. Задача 19. Тот же вопрос, если третья нота образует со второй большую терцию. Такие «чистые» интервалы получаются при игре на скрипке или других инструментах, где можно непрерывно менять высоту звука. На рояле чистых интервалов не получается, поскольку все отношения частот являются степенями числа $q =^{12} 2$ (см. табл.2).

Таблица 2

М

Ш

39

более далекими от чистых и красивая мелодия, начатая с другой ноты, может звучать ужасно. До XVIII столетия рояли (точнее, клавесины и органы – современный рояль появился позже) настраивали, стараясь сделать некоторые интервалы чистыми. При этом одни тональности звучали красиво, а другие (как правило, с большим числом черных клавиш) – ужасно, и композиторы старались их избегать, считая, что все равно нормальный органист в них играть не сможет. Традиция делить тональности на «хорошие» и «плохие» и писать музыку только в хороших была поколеблена великим Бахом, который написал «Хорошо темперированный клавир» – сборник прелюдий и фуг. Он состоит из двух частей. В каждой части – 24 прелюдии и фуги, по одной в каждой мажорной и минорной тональности. Неизвестно, как в точности Бах настраивал свой клавесин – была ли это равномерная темперация, когда хроматическая гамма образует геометрическую прогрессию, или какая-то не вполне равномерная. Но современные исполнители играют его на равномерно темперированных роялях, на которых все интервалы (за исключением октавы) звучат не совсем чисто – но зато одинаково во всех тональностях. Задача 20. Достаньте запись «Хорошо темперированного клавира» и послушайте. В заключение обсудим вот какой вопрос: а почему, собственно, в октаве именно 12 нот (полутонов)? Что мешает изготовить рояль с 13 или 7 клавишами в каждой октаве? В этом случае отношение частот со- седних нот было $бы^{13} 2 или^{7} 2$. Оказывается, что тогда основные интервалы (3: 2, 4: 3 и так далее) будут значительно менее чистыми. Задача 21. Найдите отношения частот, если в октаве 7 (равноотстоящих) нот. Есть ли среди отношений сколько-нибудь близкие к 3/2 или 4/3? Сравните с приведенной выше таблицей для 12 нот. Если вы проделаете аналогичные вычисления для других чисел нот в октаве, то убедитесь, что 12 является исключительно удачным выбором – при других (не слишком больших) числах приближения заметно хуже. Замечательно, что музыканты использовали 12-тоновую систему, ничего не зная о геометрических прогрессиях и не делая никаких вычислений – подобно тому, как пчелы делали аккуратные шестигранные соты задолго до того, как люди установили, что именно такая форма оптимальна.

Конечно, можно попросить настройщика настраивать рояль иначе – так, чтобы некоторые интервалы были чистыми. Тогда другие интервалы станут еще

39

15

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР

105 лет академику С. М. Никольскому

30 апреля 2010 года исполнилось 105 лет выдающемуся российскому математику и педагогу, академику РАН Сергею Михайловичу Никольскому. С.М.Никольский – признанный глава научной школы теории функций и ее приложений, автор свыше двухсот научных публикаций, в том числе трех монографий, двух учебников для вузов и семи – для школ. Многие из его книг вошли в золотой фонд отечественной и мировой литературы по математике благодаря высокому научному уровню и доступности изложения. Его учебники по математическому анализу переведены на многие языки мира. Как ученый, С.М.Никольский имеет немало последователей, более сорока его учеников защитили кандидатские диссертации, одиннадцать стали докторами физико-математических наук. Неоценимый вклад С.М.Никольский внес в совершенствование системы образования в нашей стране. С.М.Никольский – трижды лауреат Государственной премии, лауреат премии Правительства РФ, премии МГУ имени М.В.Ломоносова «За выдающийся вклад в развитие образования». В 2005 году удостоен звания «Легенда века». Награжден орденами Трудового Красного Знамени, Ленина, Октябрьской Революции и медалями ряда академий. Поздравляем Сергея Михайловича с юбилеем, желаем здоровья, радости от общения с родными и близкими, успехов во всех делах!

Начало

(По воспоминаниям С.М.Никольского из книги «Как я стал математиком»)

Я родился 30 апреля 1905 года в Пермской губернии, в 100 км от Тюмени, в поселке Завод Талица. В этом поселке была Лесная школа, в которой преподавал мой отец, помощник лесничего. Отец закончил в 1896 году Петербургский лесной институт имени Александра III. Через год после моего рождения он получил должность лесничего и назначение работать на крайний запад, на границу с Германией. Теперь эта территория принадлежит Польше. Там я провел детство в лесной деревне, в играх с местными деревенскими польскими мальчишками. Грамоту и счет я одолел походя, легко. Некоторое обучение я получил со стороны матери – она до замужества была сельской учительницей. Науки давались мне довольно легко. Полчаса перед обедом мать учила арифметике, чтению, молитве. Но главный интерес к точным наукам привил отец. Он проходил в институте высшую математику и умел очень интересно рассказывать. В восемь лет меня приняли в подготовительный класс. Оказалось, что все, чему меня там учили, я

Сергей Михайлович Никольский уже знал. Через год был экзамен в 1-й класс. Учитель математики с университетским значком спросил меня, сколько будет 10 помножить на 11. Хотя это не входило в программу поступления в 1-й класс, но я быстро ответил. Тогда он спросил, сколько будет 11 помножить на 12. Я тоже ответил. Тогда он оживился и стал спрашивать, сколько будет 13 на 14, 15 на 17, 16 на 17 и так почти до тысячи. После некоторых раздумий я давал правильные ответы. Он поставил мне «пять». Так я держал первый экзамен по арифметике. Летом 1914 года началась мировая война, а мы жили в 20 км от германской границы. Отец послал семью на восток, в тыл, а сам остался в лесничестве. Так мы оказались в Чернигове. Здесь я поступил в классическую Черниговскую гимназию имени Александра I Благословенного. В связи с войной переводные экзамены из класса в класс были отменены. Первые два года обучение происходило нормально. Фронт был далеко. Я успел хорошо освоить арифметику – по Киселеву. В 3–4-м классах гимназии изучалась алгебра. По математике мне обыкновенно ставили «пятерки». Я любил решать задачи.

32

…прыгают в медных сосудах самофракийские кольца с железа опилками вместе, бурно бушуя, когда под сосудом камень магнитный… Тит Лукреций Кар

Янтарь не притягивает к себе соломинку, когда что-либо их разделяет, притяжение железа к магниту не испытывает аналогичных помех. Джероламо Кардано

…в конце концов мне удалось намагнитить и наэлектризовать луч света и осветить магнитную силовую линию. Майкл Фарадей

И вот тогда я задал сам себе вопрос – а что будет, если среда, в которой распространяется волна, будет иметь одновременно отрицательные значения и электрической, и магнитной проницаемости? Виктор Веселаго

…наша хваленая современная физика – сплошное надувательство: начали мы с магнитного железняка и янтаря, а закончили тем, что не понимаем достаточно хорошо ни того, ни другого. Зато в процессе изучения мы узнали огромное количество удивительных и очень полезных для практики вещей! Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

постоянные магниты

А как же! Взглянем вокруг – вот они на дверце холодильника в прилипших к ней игрушках, на столах в «ловушках» скрепок, булавок и кнопок, в магнитных лентах пластиковых карт или хотя бы в тех же компасах, которые вставляют уже и в школьные ранцы, и в ремешки часов. Чуть подумав, вспомним, что без магнитов не обходятся магнитофоны, микрофоны, телефоны – это нам подсказывают не успевающие за временем учебники. А чем начиняют сегодня разного рода аппаратуру? Магнитов в классическом понимании там может уже и не содержаться, но это не значит, что в устройствах, которыми мы повседневно пользуемся, перестали применять магнитные материалы. Просто они неузнаваемо изменились, порой став практически невидимыми, но главное – приобретя совершенно новые, особенные качества. Однако в перекличке времен, возникшей в эпиграфах, пожалуй, заметно и нечто общее – неизменное повышенное внимание к этому удивительному явлению природы. Размышления о магнитах можно найти и у древних философов, и у средневековых естествоиспытателей, и у наших современников-исследователей. Когда-то в магнит умудрились вдохнуть «душу» и уподобляли его живым организмам; сегодня пытаются раскрыть загадку магнитного монополя и объяснить необычные свойства создаваемых в лабораториях магнитных материалов. В какой-то мере этот «Калейдоскоп» – продолжение предыдущего выпуска «Нано…» И так же, как в прошлый раз, мы попробуем перекинуть мостик от, казалось бы, бесхитростных ситуаций и задач, где мы встречаемся с нашими персонажами-магнитами, к тем зачастую ошеломляющим технологическим новинкам, где они продолжают играть заметную, если не определяющую роль, меняя облик окружающего нас мира.

Вопросы и задачи

1. Может ли стальной стержень иметь на обоих концах одинаковые магнитные полюса? Может ли постоянный магнит иметь четное число магнитных полюсов? А нечетное число?

2. Два одинаковых прямолинейных магнита соединили одни раз так, как показано на рисунке а), другой раз – как показано на рисунке б). Изобразите линии индукции магнитного поля в каждом случае. 3. Будет ли действовать магнит на магнитную стрелку, если между ними поместить руку? А если алюминиевый лист? 4. На лист бумаги равномерно насыпают металлические опилки. Этот лист помещают в магнитное поле. Если слегка постукивать по листу, то опилки расположатся в цепочки по направлению магнитных линий. Для чего необходимо постукивать по листу? Почему опилки выстраиваются в цепочки? 5. Имеются два одинаковых стальных стержня, один из которых намагничен сильнее другого. Как найти этот стержень? 6. Полосовой магнит распилили на несколько кусков одинаковой длины. Какой из получившихся кусков окажется намагниченным сильнее: который находился ближе к концам или ближе к середине магнита? 7. Полосовой магнит разделили на две равные части и получили два магнита. Будут ли эти магниты оказывать такое же действие, как и целый магнит? 8. Зачем при хранении дугообразного магнита его концы соединяют железным бруском (якорем)? 9. Сильный дугообразный магнит способен удерживать стальной шарик. Почему шарик не удерживается на прежнем месте, если магнит замкнуть якорем? 10. Сильный магнит может удерживать на весу гирлянду из нескольких железных цилиндров. Что будет происходить, если снизу приближать к гирлянде такой

33

же магнит, обращенный к верхнему одноименным полюсом? А если противоположным? 11. Три совершенно одинаковые магнитные стрелки расположены в вершинах равностороннего треугольника, сторона которого много больше длины стрелки. Стрелки могут вращаться вокруг осей, перпендикулярных плоскости треугольника. Каково положение равновесия стрелок, если всеми влияниями, а также магнитным полем Земли можно пренебречь? 12. Почему ударами молотка можно размагнитить стальной магнит, а легким постукиванием по стальному стержню можно, наоборот, способствовать его намагничиванию? 13. Отчего обыкновенные магнитные компасы вблизи полюсов Земли работают очень плохо? 14. Уравновешенные весы со стальным коромыслом располагаются вдоль земного меридиана. Сохранится ли равновесие, если коромысло намагнитить вдоль всей его длины? 15. Можно ли на Луне ориентироваться с помощью магнитного компаса? 16. Многие вещества сохраняют свои магнитные свойства и после испарения. А почему атомы железа в парообразном состоянии теряют ферромагнитные свойства? 17. Намагниченная стальная пластинка, опущенная в сосуд с соляной кислотой, растворилась. Куда девалась магнитная энергия пластинки?

Микроопыт Возьмите большую магнитную стрелку на подставке и поднесите ее сначала к нижнему, а затем к верхнему концу школьного лабораторного штатива (варианты: к железному ведру, к железной ручке двери). Одинаково ли будет вести себя стрелка у разных концов штатива? Почему?

Любопытно, что… …древнейшие сведения об использовании железа в качестве компаса содержатся в китайских летописях, составленных более трех тысячелетий назад. Название же «магнит», как свидетельствует древнегреческий философ Платон, ввел почти за пятьсот лет до новой эры автор знаменитых трагедий Еврипид. …столетиями от поколения к поколению передавались фантастические небылицы о свойствах магнита. Так, связывая необычайную для неживой природы силу магнита с происками дьявола, считали, что он помогает ворам, открывая запоры и замки, что магнит ночью «спит» и потому бездействует, что влияние магнита прекратится, если натереть его чесноком, а если он потеряет свою силу, следует смочить его козлиной кровью. …в своем фундаментальном туре «О магните…» Гильберт впервые высказал утверждение о том, что Земля – большой магнит. …подковообразную форму придал магнитам Даниил Бернулли; связь ударов молний с перемагничиванием судовых компасов, а также влияние магнитных бурь на полярные сияния установил Доминик Араго; научную программу по изучению магнитных явлений, которой фактически следовали ученые XIX века, разработал, но, увы, не опубликовал Генри Кавендиш.

…пытаясь найти взаимосвязь между различными областями физики, Фарадей обнаружил вращение плоскости колебаний линейно поляризованного света, распространяющегося в веществе вдоль постоянного магнитного поля. Магнитооптический эффект Фарадея, реализуемый сегодня в тонких пленках, оказался незаменим при изучении свойств магнитных доменов, при проверке подлинности видеои аудиозаписей, а также при расшифровке «черных ящиков». …гипотеза о существовании в ферромагнетиках областей самопроизвольной намагниченности – доменов – была выдвинута французским физиком Пьером Вейссом в 1907 году и получила подтверждение 12 лет спустя в эффектном опыте. Перемагничивание доменов микронных размеров с помощью изобретенного к тому времени электронного усилителя сигналов удалось преобразовать в щелчки, слышимые по всей лаборатории. А уже в 1932 году магнитные домены наблюдались непосредственно в микроскоп. …хотя полюса магнитов неразделимы, гипотеза о существовании магнитных монополей не противоречит теории, очень многие их свойства исследованы «на бумаге», а поиски монополей не прекращаются как в космосе, так и в земных экспериментах. …Нобелевская премия по физике 2007 года была присуждена за разработку технологии, значительно увеличившей плотность хранения информации на жестких дисках. В ее основе – открытие гигантского магнитосопротивления в так называемых «сэндвичах», состоящих из двух слоев ферромагнитного материала, разделенных тончайшей прослойкой немагнитного материала. Этот эффект стал первым практическим применением нанотехнологии в современной электронной промышленности. …в последние годы физикам удалось создать «суперлинзы», собирающие световые лучи в гораздо более узкий пучок, чем это разрешается законами оптической дифракции, что позволило различать точки, расположенные всего в нескольких десятках нанометров друг от друга. Метаматериалы, применяемые при изготовлении «суперлинз», имеют отрицательный показатель преломления, т.е. представляют собой «левые» оптические среды, в которых диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость отрицательны.

Что читать в «Кванте» о постоянных магнитах

(публикации последних лет)

1. «Калейдоскоп «Квант» – 2005, №1, с.32; 2. «Левые среды» – 2006, Приложение №2, с.62; 3. «Движение заряда в магнитном поле» – 2007, №5, с.42; 4. «Триумф фундаментальной науки» – 2008, №4, с.4; 5. «Загадки магнитной стрелки» – 2009, №3, с.39; №5, с.34; 6. «Магнитные домены» – 2009, Приложение №4, с.44; 7. «Как управлять светом с помощью магнитного поля» – 2010, №1, с.12; 8. «Постоянные магниты. Магнитные свойства вещества» – 2010, Приложение №1, с.63. Материал подготовил А.Леонович

36

КМШ

КВАНТ 2010/№3

Задачи

Вдоль реки расположены пристани А, Б, В, Г (именно в таком порядке). От В до А теплоход плывет 1 час, от В до Г – тоже 1 час, а от Б до Г – 2 часа. В какую сторону течет река – от А к Г или от Г к А? О.Иванова

называют ступенчатыми квадратами. Докажите, что число квадратиков в каждом ступенчатом квадрате равно сумме двух квадратов натуральных чисел. Н.Авилов

Барон Мюнхгаузен утверждает, что произведения

$1 1 1 1 1 1 1 1 \cdot 1 \cdot^{...} \cdot 1 \cdot 1 \cdot^{...} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$ и 1 – це- 10 11 100 101 98 99 998 999 лые числа, причем их отношение тоже целое. Не ошибается ли барон? Г.Гальперин

1

Отметьте на листе бумаги две красные, две желтые и две зеленые точки и соедините их отрезками так, чтобы получилось пять равносторонних треугольников с разноцветными вершинами. Э.Лементаренко

Все фигуры, изображенные на рисунке, составлены из нескольких квадратиков. Иногда такие фигуры

Иллюстрации Д.Гришуковой

Штаб математиков состоит из нескольких комнат, соединенных коридорами по кругу. В каждой комнате стоит доска. Шпион проник в одну из комнат, имея при себе запас мела. Как ему определить количество комнат в штабе, если он может ходить по комнатам здания, писать мелом на доске и стирать с доски? (Изначально на досках могло быть что-нибудь написано; шпион не может выносить доску из комнаты.) М.Прасолов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

37

К

М

Ш

Хорошо темперированный клавир

И.ГЕЛЬФАНД, А.ШЕНЬ

ВСЕ ЗНАЮТ, ЧТО ОДНУ И ТУ ЖЕ МЕЛОДИЮ МОЖ- но играть в разных тональностях. Но что означают слова «одну и ту же»? Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с другого: что такое мелодия? Формально говоря, мелодия – это сыгранные друг за другом звуки разной высоты. А что такое высота звука? С точки зрения физики, звук – это колебания воздуха. Высота звука определяется частотой колебаний, т.е. количеством колебаний в секунду. Камертон, колеблющийся 440 раз в секунду (физики говорят «с частотой 440 герц»; название единицы частоты дано в честь немецкого физика Генриха Герца), дает ноту ля первой октавы. На слух бульшая частота соответствует более высоким нотам. Очень низкие и очень высокие звуки становятся уже неслышимыми. Считается, что человек может услышать звуки в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц (хотя на самом деле у разных людей эти границы могут быть разными; с возрастом диапазон слышимых частот уменьшается). Звук низкой частоты, который мы не слышим, иногда называют «инфразвуком», высокой – «ультразвуком». С помощью ультразвуков разговаривают друг с другом дельфины. Частота тока в электросети – 50 герц, т.е. 50 колебаний в секунду (это относится к Европе, в Америке – 60 герц). Если из-за неисправности сетевой фон проникает в звуковой тракт магнитофона, слышно низкое гудение. Задача 1. Натягивая струну сильнее, мы изменяем частоту колебаний. Как вы думаете, увеличивается частота или уменьшается? Попробуйте сделать это с натянутой ниткой. Задача 2. Зажимая струну (например, гитары) пальцем, мы как бы уменьшаем ее длину, почти не меняя натяжения. Как вы думаете, что происходит с высотой звука? Задача 3.Пластинку на 33 оборота поставили на 45; как изменится частота всех записанных на ней звуков? Задача 4. Где в рояле более низкие ноты – слева или справа? Как это связано с формой рояля? Задача 5. Комар зудит почти как камертон. Сколько взмахов в секунду делают его крылья? Задача 6. Как вы думаете, кто издает более высокий звук – комар или большая муха?

Глава из книги: И.Гельфанд, А.Шень. Алгебра. – М.: МЦНМО, 2009.

Оказывается, что на слух в первую очередь воспринимаются отношения частот соседних звуков мелодии, а не сами частоты. Лишь немногие люди с «абсолютным слухом» (далеко не у всех музыкантов он есть) могут отличить взятую на рояле ноту ля от ноты соль. Однако почти каждый человек после небольшой практики легко отличит интервал ре—ля (квинта, отношение частот ре: ля = 2: 3) от ре—соль (кварта, отношение частот ре: соль = 3: 4). Задача 7. Найдите отношение частот соседних нот соль и ля, используя эти данные. Теперь мы можем сказать, какие мелодии звучат одинаково (отличаясь лишь «тональностью») – это те, в которых одинаковы отношения частот. Задача 8. Мелодия ля—ми—ля (нисходящая) состоит из трех нот с частотами 440, 330 и 220 герц. Какими будут частоты, если сыграть такую же (с теми же отношениями частот) мелодию, начиная с ноты ми (ее частота 330 герц)? ⊳ Согласно сказанному, нужно, чтобы

440: 330: 220 = 330: х: у.

Поскольку

440: 330: 220 = 4: 3: 2, получаем $y = 330 \cdot ( 1 2 ) = 165, x = 330 \cdot ( 3 4 ) = 247,5$. Соответствующие ноты называются ми—си—ми. ⊲ Посмотрев на клавиатуру рояля, легко заметить, что она «периодична»: одни и те же комбинации белых и черных клавиш повторяются – как говорят, в «разных октавах». Отстоящие на период (на октаву) ноты называются одинаково и отличаются по частоте ровно в 2 раза. Таким образом, ноты ля в разных октавах имеют частоты

…55, 110, 220, 440, 880, 1760, …

образующие геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Задача 9. Как много октав может быть у рояля, если все должны быть слышны? (Считайте, что слышны звуки в диапазоне от 20 до 20000 герц.) Геометрическую прогрессию образуют не только ноты ля, но и другие одноименные ноты: ноты соль образуют еще одну геометрическую прогрессию (также со знаменателем 2), ноты фа – третью и так далее. Задача 10. Глядя на клавиатуру рояля (рис.1), подсчитайте, сколько всего прогрессий получается (сколько нот в одной октаве). Ответ. 12 (7 белых клавиш и 5 черных).