Квант 2010, №4 · Страницы

1

2010

©

ИЮЛЬ

ЮАВГУСТ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

№4

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

4 11

Учредитель — Российская академия наук Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

В.В.Козлов

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

19 20

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, П.А.Кожевников, С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2184–М2190, Ф2190–Ф2197 Решения задач М2161–М2168, Ф2177–Ф2181

27 28 28 30

К М Ш Задачи Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» Веревка из паутины. Д.Багров Победители конкурса имени А.П.Савина «Математика 6–8» 2009/10 учебного года

31

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Замечательные точки треугольника и тригонометрия. Г.Филипповский

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

Два занятия школьного кружка при МГУ. В.Арнольд Метеорологические наблюдения: распределенные в пространстве и во времени (продолжение). В.Гордин

32

36

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Квадрирование квадрата

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА» О плавании одномерных объектов. М.Давлетшин, В.Соловьев, Ф.Стрельников, Е.Юносов редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

39

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Долгий путь короля. Н.Белухов

42

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Задачи на уравнение моментов сил. А.Черноуцан

47 48 51

ОЛИМПИАДЫ XXXI Турнир городов LXXIII Московская математическая олимпиада Избранные задачи Московской физической олимпиады

55

Ответы, указания, решения

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

Памяти В.И.Арнольда (2)

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

НА ОБЛОЖКЕ

I II III IV

Рисунок П.И.Чернуского Коллекция головоломок Шахматная страничка Прогулки с физикой

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2010, РАН, журнал «Квант»

3

последователем оказался третьекурсник Арнольд. И в апреле 1957 года на стол Колмогорова легла ученическая тетрадочка в клетку, на которой было написано, что это – курсовая работа студента третьего курса В.Арнольда. В этой курсовой работе была решена тринадцатая проблема Гильберта. Это была первая работа Арнольда, сделавшая его имя известным всему математическому миру. А затем началась череда открытий, само перечисление которых заняло бы несколько страниц. В своей дипломной работе Арнольд далеко развил один колмогоровский метод в теории динамических систем. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах выдающегося математика Юргена Мозера. Теория, построенная этими тремя математиками, получила название «КАМ-теории» – теории Колмогорова–Арнольда–Мозера. Она нашла многочисленные приложения к математике, механике, космологии и физике. Арнольдом были преобразованы целые математические области. Например – «теория особенностей». В философии с давних времен высказывалась идея о том, что «при переходе количества в качество» эволюционные процессы нередко совершают скачки. На этом во многом строилась «теория революций». Процессы со скачками стали интенсивно изучаться в первой трети двадцатого века. Один из основоположников нового направления – французский математик Рене Том – предложил для него название «теория катастроф». В работах Арнольда эта теория получила выдающееся развитие. Всегда избегающий неоправданной рекламы, В.И.Арнольд называет это направление «теорией особенностей». Арнольд далеко продвинул особый раздел современной геометрии, так называемую симплектическую геометрию, и заложил новое направление в топологии, получившее фундаментальное развитие, – симплектическую топологию. Значителен вклад Арнольда в алгебраическую геометрию. Им были установлены связи шестнадцатой проблемы Гильберта об овалах вещественных алгебраических кривых с четырехмерной топологией, связь алгебраической геометрии и теории кос. Владимир Игоревич был выдающимся геометром, он занимался алгеброй и теорией чисел, комбинаторикой, логикой и основаниями математики, словом, его творчество охватило почти все разделы современной математики. Велики его достижения в естествознании – в гидродинамике, космологии, теории потенциала. Он имел плодотворные контакты с крупнейшими физиками своего времени – Н.Н.Боголюбовым, В.Л.Гинзбургом, Я.Б.Зельдовичем. С увлечением и убежденностью В.И.Арнольд развивал и пропагандировал идеи Пуанкаре о том, что математика – это часть естествознания. Арнольд служил своей профессии и просвещению на всех возможных поприщах. Он основал выдающуюся математическую научную школу, написал множество замечательных учебников (его учебник по классической механике сравнивают с величайшим произведением научной литературы – «Математическими началами натуральной философии» Ньютона), монографий и обзорных статей, посвященных проблемам математики. Начиная с руководства знаменитым школьным математическим кружком в пятидесятые годы (о том, что происходило на возглавлявшейся им секции этого кружка, можно прочитать в статье Арнольда, публикуемой в этом номере журнала), В.И.Арнольд очень много внимания уделял непосредственной работе со школьниками. В 1963 году он участвует в работе первой летней математической школы, а последние десять лет ежегодно проводил на

юношеских школах в Дубне. Прочитанный Владимиром Игоревичем курс для первых выпускников ФМШ (ныне СУНЦ им. А.Н.Колмогорова), стал педагогическим шедевром. По инициативе В.И.Арнольда были созданы Московский центр непрерывного математического образования и Независимый Московский университет. Влияние В.И.Арнольда на весь математический мир было огромно. В.И.Арнольд был удостоен множества званий, докторских степеней и наград. Среди премий – премия Московского математического общества (1958 г., которой Владимир Игоревич особенно гордился), Ленинская премия (1965, вместе с А.Н.Колмогоровым), Крафоордская премия Шведской академии наук (1982), Харвиевская премия Техниона (1994), премия Вольфа (2001), премия Жунь Жуньшоу (2005) (ее называют Нобелевской премией Востока), Государственная премия Российской Федерации (2008). Общая одаренность его личности проявлялась в самых разнообразных его реакциях и увлечениях. Он был необычайно ярким экскурсоводом по Парижу. Он совершал длительные (где-то около ста километров) велосипедные прогулки по Подмосковью и по окрестностям Парижа. При этом он и здесь вел топографические съемки, фиксируя места, где находились поляны с грибами, щавелем или земляникой или кустарники с малиной. И когда наступало время, он отправлялся километров за сорок от дома в избранные некогда места с рюкзаком, который заполнялся «дарами леса». Зимой Арнольд совершал лыжные прогулки, порой до ста километров. Он также любил дальние плавания, ходил в походы, в том числе в горы. Он необыкновенно много читал и массу из прочитанного помнил в деталях, что делало его необычайно интересным собеседником, а среди его собеседников были крупнейшие ученые нашего времени. По ходу дела им совершались и гуманитарные открытия (вызвало всеобщий восторг его открытие связи эпиграфа к пушкинскому «Евгению Онегину» с текстом из «Опасных связей» Ш. де Лакло). Арнольд оставил множество замечательных автобиографических заметок, которые, думается, составляют лишь малую долю того, что могло бы быть им сказано. Им написаны прекрасные воспоминания о Колмогорове, Зельдовиче, Боголюбове. Замечательную, на все времена характеристику дал Арнольду его учитель – Андрей Николаевич Колмогоров в приветствии своему ученику к его пятидесятилетию. В ту пору, когда Арнольд не имел крупных академических званий, Колмогоров выразил «свое убеждение в том, что происходит чествование первого советского математика, не только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий». Послание учителя ученику удивительным образом характеризует обоих: и Владимира Игоревича, личность и творчество которого получили столь восторженную и проницательную оценку, и самого Андрея Николаевича, стоявшего на пороге смерти, но сохранившего запас душевной щедрости и способности восхищаться. Это послание не воспринимается как прощание. Это благословение! Владимир Игоревич Арнольд начал свой путь в бессмертие. Все связанное с ним – необыкновенная одаренность личности, творчество, служение человечеству – делает его образ незабываемым для всех, кому посчастливилось соприкоснуться с ним на своем жизненном пути. В.Тихомиров

18

КВАНТ 2010/№4

Рис.11. Анизотропия поля январских температур. Ориентация отрезка показывает направление наибольшей корреляции поля температуры в зависимости от широты и высоты (осреднение по долготе). Горизонтальное расположение отрезка означает, что корреляция сильнее вдоль параллели, вертикальное – вдоль меридиана. Чем длиннее отрезок, тем больше у корреляционной функции анизотропия a. Как видно, максимум а лежит в тропической стратосфере

ся во много раз меньше, чем для определения функции K, зависящей от двух векторных аргументов. Изотропность можно предполагать только по горизонтальным переменным. Простая статистическая гипотеза об однородности и изотропности по горизонтали использовалась в метеорологии около полувека. Однако накопление архивов метеоизмерений, рост вычислительных возможностей и разработка новых вычислительных алгоритмов привели к ее пересмотру. Оказалось, что и по горизонтальным переменным анизотропия, например температур, существенно проявляется в тропической зоне (рис.11). Алгоритм статистической интерполяции, учитывающий анизотропию интерполируемого поля, несколько сложнее изотропной версии.

Заключение

Пошли хлеб свой по водам, ибо спустя много дней ты найдешь его. Экклезиаст

Большие объемы метеорологической информации требуют адекватных вычислительных алгоритмов усвоения. Качество продукции определяется качеством собственно алгоритмов и точностью, ассортиментом и объемом измерений, а также мощностью компьютеров. В результате улучшается и численный прогноз погоды, и наше представление о климате планеты. В свою

очередь, знание полей средних и корреляционных функций метеорологических полей позволяет отлаживать численные климатические модели, довольно популярные в последние десятилетия. Пока корреляционные функции, генерируемые этими моделями, не окажутся близки к истинным корреляционным функциям, оцененным по архивам наблюдений, верить таким моделям не стоит. В этой статье не было возможности объяснить, как именно используются данные ежедневных наблюдений$^{24}$ для прогноза погоды: какие эволюционные дифференциальные уравнения гидродинамического типа решаются, какие физические процессы они описывают, какие вычислительные алгоритмы используются. Для этого нужна отдельная книга и хорошая математическая подготовка читателя. Первый численный прогноз погоды произвел шотландец Л.Ричардсон около века назад. Штат вычислителей был вооружен логарифмическими линейками. Вычислительная работа по прогнозу погоды на 6 часов для Европы продолжалась несколько лет и привела к чудовищно ошибочному прогнозу. Еще четверть века потребовала «работа над ошибками Ричардсона», в которой принимали участие и математики (Р.Курант, К.Фридрихс, Г.Леви), и «математики с метеорологическим уклоном» (Г.Россби, И.А.Кибель). Когда в Лос-Аламосе после изготовления атомной бомбы появилось немного свободного времени у ученых (и у их компьютеров), они занялись задачей прогноза погоды. Последние шестьдесят лет качество прогнозов неуклонно росло. Человечество начало пользоваться плодами своих многовековых вложений в метеорологию. Но это уже другая история…

Литература

1. О.А.Алдухов, В.А.Гордин. Трехмерные корреляционные функции основных аэрологических величин. – «Известия РАН», серия «Физика атмосферы и океана», 2001, 37(1). 2. О.А.Алдухов, В.А.Гордин. Оценки анизотропии корреляционной структуры полей метеорологических величин по наблюдениям глобальной аэрологической сети. – «Известия РАН», серия «Физика атмосферы и океана», 2005, 41(3). 3. А.И.Бедрицкий, Е.П.Борисенков, А.С.Коровченко, В.М.Пасецкий. Очерки по истории Гидрометеорологической службы в России, т.1. – С-П.: Гидрометеоиздат, 1997. 4. В.А.Гордин. «Кулоновский» алгоритм выбора влияющих станций. – «Метеорология и гидрология», 2003, №12. 5. В.А.Гордин Как это посчитать? Обработка метеорологической информации на компьютере. – М.: МЦНМО, 2005. 6. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. – М.: Физматлит, 2010. 7. А.Х.Хргиан. Очерки развития метеорологии. – Л.: Гидрометеоиздат, 1959.

24 Нужны не только собственно метеорологические наблюдения, но также наблюдения за альбедо поверхности, за океаном и реками, за свойствами листьев и корней растений, которые, как и почва, испаряют и поглощают влагу. Иначе не получится более точных прогнозов. «Чем дальше в лес, тем больше дров…»

19

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 ноября 2010 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №4–2010» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2184» или «Ф2190». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2184–М2186, М2188–М2190 предлагались на XXXI Турнире городов. Задача Ф2195 предлагалась на заключительном этапе XLIV Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2184–М2190, Ф2190–Ф2197

M2184. Про функцию f ( x ) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком y = f ( x ) столько же общих точек, сколько с параболой $y = x^{2}$. Докажите, что функция f ( x ) тождественно равна $x^{2}$. А.Шаповалов

M2185. Дано натуральное число $n \ge 5$. Про пирамиду $SA_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ известно, что ее основание $A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ – правильный n-угольник, а все боковые грани – равнобедренные треугольники (не обязательно с вершиной S). Обязательно ли эта пирамида правильная? Г.Гальперин

M2186. Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P ( x ) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P ( 2 ) и P ( P ( 2 ) ). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон? С.Маркелов

M2187. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$, пересекающиеся в точке H. Прямые $A_{1} C_{1}$ и AC пересекаются в точке D. Докажите, что прямая DH перпендикулярна медиане, проведенной из вершины B. С.Ильясов (ученик 8 класса, Алматы)

M2188. На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на $45^\circ$ вокруг любого из ее концов. Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того,

чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом ее концы поменялись местами? А.Грибалко

M2189. Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга? А.Клячко, Е.Френкель

M2190. Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций. А.Толпыго

Ф2190. Камень брошен с начальной скоростью $v_{0} = = 40$ м/с под углом $\alpha = 30 ^\circ$ к горизонту. Найдите максимальную угловую скорость вращения вектора скорости камня в процессе свободного полета. А.Камнев

Ф2191. На гладком горизонтальном столе находится легкий стержень, к концам которого привязаны короткие, нерастяжимые куски легкой нити (рис.1). К свободным

Рис. 1

27

КМШ

Задачи

1

. Барон Мюнхгаузен утверждает, что найдутся три натуральных числа a, b, c, обладающие таким свойством: ни a, ни b не делятся на c, но ab делится на $c^{2}$. Не ошибается ли барон? Фольклор

Васей еще через минуту? (Каждый из ребят бежит с постоянной скоростью.) С.Дориченко

4

. Однажды в мебельном магазине между клиентом (К) и продавцами (П1), (П2) произошел следующий диалог: (К) Сколько стоит этот диван? (П1) 60000 рублей. (К) Почему так дорого? (П2) Не удивляйтесь, этот продавец все числа завышает в 3 раза! (К) Ага, значит диван стоит гораздо дешевле? (П1) Это сказал мой напарник? Так ведь он все числа занижает в 12 раз!

2

. Восемнадцать спичек лежат на плоскости, образуя девять не перекрывающихся равносторонних треугольников. Можно ли переложить спички так, чтобы получилось десять не перекрывающихся равносторонних треугольников (не обязательно одинаковых)? Н.Авилов

Сколько же на самом деле стоит диван, если продавцы, когда называют числа, изменяют их каждый в свое число раз, а в остальном говорят правду? И.Иванов

5

Иллюстрации Д.Гришуковой

3

. В парке на расстоянии трех метров друг от друга проходят две параллельные прямые дорожки. Петя и Вася одновременно побежали, каждый по своей дорожке, в одну и ту же сторону. Сначала расстояние между ребятами было три метра, а через минуту стало семь метров. Какое расстояние будет между Петей и

. На плане изображено шоссе, от которого отходят несколько дорог к селам. Где на шоссе нужно расположить автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от нее до всех сел (по дорогам и шоссе) было наименьшим? А.Анджанс

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

28

КВАНТ 2010/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Найдутся ли 10 разных натуральных чисел, ни одно из которых не является квадратом целого числа, со свойством: а) произведение любых двух из этих чисел является квадратом целого числа; б) произведение любых трех из этих чисел является квадратом целого числа? С.Дориченко

2. Фигура «соты» представляет собой объединение трех равных правильных шестиугольников. Разрежьте эту фигуру на три одинаковые части и сложите из них один правильный шестиугольник. Н.Авилов

3. Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как обычная шахматная ладья. Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в ее цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на черную доску размером $8 \times 8$ клеток. Сможет ли он раскрасить ее в шахматном порядке? Фольклор

4. В прямоугольном треугольнике вписанная окружность касается одной из средних линий. Докажите, что длины сторон этого треугольника относятся друг к другу как 3:4:5. Р.Гордин

5. В числе, являющемся натуральной степенью двойки, переставили цифры. Может ли полученное число оказаться большей натуральной степенью двойки? Фольклор

Веревка из паутины

Д.БАГРОВ

КАЖДЫЙ МОЖЕТ ЛЕГКО СМАХНУТЬ ПАУТИНУ, ВИСЯ- щую между ветками дерева или под потолком в дальнем углу комнаты. Но мало кто знает, что если бы паутина имела диаметр 1 мм, то она могла бы выдержать груз массой приблизительно 200 кг. Стальная проволока того же диаметра выдерживает существенно меньше: 30–100 кг, в зависимости от типа стали. Почему же паутина обладает такими исключительными свойствами? Некоторые пауки прядут до семи типов нитей, каждая из которых имеет собственное назначение. Нити могут использоваться не только для ловли добычи, но и для строительства коконов и парашютирования (взлетая на ветру, пауки могут уходить от внезапной угрозы, а молодые пауки таким способом расселяются на новые территории). Каждый из типов паутины производится специальными железами. Паутина, используемая для ловли добычи, состоит из нескольких типов нитей (рис.1): каркасной, радиальной, ловчей и вспомогательной. Наибольший интерес ученых вызывает каркасная нить: она имеет одновременно высокую прочность и высокую эластичность – именно это сочетание свойств является уникальным. Предельное напряжение на разрыв каркасной нити паука Araneus diadematus составляет 1,1–2,7 ГПа. Для сравнения: предел

29

К

Рис.1. Различные нити в составе паутины: каркасная нить самая прочная, она держит всю паутину в целом; радиальная нить тонкая и не липкая, она поддерживает липкую ловчую нить; вспомогательная спираль помогает расположить ловчую нить

прочности стали 0,4–1,5 ГПа, человеческого волоса $\sim 0,25$ ГПа. В то же время каркасная нить способна растягиваться на 30–35%, а большинство металлов выдерживают деформацию не более 10–20%. Представим себе летящее насекомое, которое ударяется в натянутую паутину. При этом нить паутины должна растянуться так, чтобы кинетическая энергия летящего насекомого превратилась в тепло. Если бы паутина запасала полученную энергию в виде энергии упругой деформации, то насекомое отскочило бы от паутины, как от батута. Важное свойство паутины состоит в том, что она выделяет очень большое количество теплоты при быстром растяжении и последующем сокращении: энергия, выделяемая в единице объема, составляет более 150 МДж $м^{3}$ (сталь выделяет $\sim 6$ МДж $м^{3} ).$ Это позволяет паутине эффективно рассеивать энергию удара и не слишком сильно растягиваться, когда в нее попадает жертва. Паутина или полимеры, обладающие аналогичными свойствами, могли бы стать идеальными материалами для легких бронежилетов. В народной медицине есть такой рецепт: на рану или ссадину, чтобы остановить кровь, можно приложить паутину, аккуратно очистив ее от застрявших в ней насекомых и мелких веточек. Оказывается, паутина обладает кровеостанавливающим действием и ускоряет заживление поврежденной кожи. Хирурги и трансплантологи могли бы использовать ее в качестве материала для наложения швов, укрепления имплантантов и даже как заготовки для искусственных органов. С помощью паутины можно существенно улучшить механические свойства множества материалов, которые в настоящее время применяются в медицине. Итак, паутина – необычный и очень перспективный материал. Какие же молекулярные механизмы отвечают за ее исключительные свойства? Мы привыкли к тому, что молекулы – чрезвычайно маленькие объекты. Однако это не всегда так: вокруг нас широко распространены полимеры, которые имеют длинные молекулы, состоящие из одинаковых или похожих друг на друга звеньев. Все знают, что генетическая информация живого организма записана в длинных молекулах ДНК. Все держали в руках полиэтиленовые пакеты, состоящие из длинных переплетенных молекул полиэтилена. Молекулы полимеров могут достигать огромных размеров.

М

Ш

Например, масса одной молекулы ДНК человека порядка $1,9 \cdot 10^{12}$ а.е.м. (однако это приблизительно в сто миллиардов раз больше, чем масса молекулы воды), длина каждой молекулы составляет несколько сантиметров, а общая длина всех молекул ДНК человека достигает $10^{11}$ км. Важнейшим классом природных полимеров являются белки, они состоят из звеньев, которые называются аминокислотами. Разные белки выполняют в живых организмах чрезвычайно разные функции: управляют химическими реакциями, используются в качестве строительного материала, для защиты и т.д. Каркасная нить паутины состоит из двух белков, которые получили названия спидроинов 1 и 2 (от английского spider – паук). Спидроины – это длинные молекулы с массой от 120000 до 720000 а.е.м. У разных пауков аминокислотные последовательности спидроинов могут отличаться друг от друга, но все спидроины имеют общие черты. Если мысленно вытянуть длинную молекулу спидроина в прямую линию и посмотреть на последовательность аминокислот, то окажется, что она состоит из повторяющихся участков, похожих друг на друга (рис.2). В молекуле чередуются два типа участков: относительно гидрофильные (те, которым энергетически выгодно контактировать с молекулами воды) и относительно гидрофобные (те, которые избегают контакта с водой). На концах каждой молекулы присутствуют два неповторяющихся гидрофильных участка, а гидрофобные участки состоят из множества повторов аминокислоты, называемой аланином. Длинная молекула (например, белок, ДНК, синтетический полимер) может быть представлена как скомканная запутанная веревка. Растянуть ее не составляет труда, потому что петли внутри молекулы могут расправляться, требуя сравнительно небольшого усилия. Некоторые полимеры (например, резина) могут растягиваться на 500% своей начальной длины. Так что способность паутины (материала, состоящего из длинных молекул) деформироваться больше, чем металлы, не вызывает удивления. Откуда же берется прочность паутины? Чтобы понять это, важно проследить за процессом формирования нити. Внутри железы паука спидроины накапливаются в виде концентрированного раствора. Когда происходит формирование нити, этот раствор выходит из железы по узкому каналу, это способствует вытягиванию молекул и ориентации их вдоль направления вытяжки, а соответствующие химические изменения вызывают слипание молекул. Фрагменты молекул, состоящие из аланинов, соединяются вместе и образуют упорядоченную структуру, похожую на

Рис.2. Молекула спидроина и модель ее укладки в волокне

30

КВАНТ 2010/№4

Рис.3. Рекомбинантный белок паутины, способный образовывать особые структуры – тончайшие нити диаметром 3-5 нм

кристалл (рис.3). Внутри такой структуры фрагменты уложены параллельно друг другу и сцеплены между собой водородными связями. Именно эти участки, сцепленные между собой, и обеспечивают прочность волокна. Типичный размер таких плотно упакованных участков молекул составляет несколько нанометров. Расположенные вокруг них гидрофильные участки оказываются неупорядоченно свернутыми, похожими на скомканные веревки, они могут расправляться и этим обеспечивать растяжение паутины. Многие композиционные материалы, например армированные пластмассы, устроены по тому же принципу, что и каркасная нить: в относительно мягком и подвижном матриксе, который дает возможность деформации, находятся малые по размерам твердые области, которые делают материал прочным. Хотя материаловеды давно работают с подобными системами, созданные человеком композиты только начинают приближаться к паутине по своим свойствам. Любопытно, что, когда паутина намокает, она сильно сокращается (это явление получило название суперконтрак-

ции). Это происходит потому, что молекулы воды проникают в волокно и делают неупорядоченные гидрофильные участки более подвижными. Если паутина растянулась и провисла от попадания насекомых, то во влажный или дождливый день она сокращается и при этом восстанавливает свою форму. Отметим также интересную особенность формирования нити. Паук вытягивает паутину под действием собственного веса, но полученная паутина (диаметр нити приблизительно 1–10 мкм) обычно позволяет выдержать массу, в шесть раз большую массы самого паука. Если же увеличить вес паука, вращая его в центрифуге, он начинает выделять более толстую и более прочную, но менее жесткую паутину. Когда заходит речь о применении паутины, возникает вопрос о том, как ее получать в промышленных количествах. В мире существуют установки для «доения» пауков, которые вытягивают нити и наматывают их на специальные катушки. Однако такой способ неэффективен: чтобы накопить 500 г паутины, необходимо 27 тысяч средних пауков. И тут на помощь исследователям приходит биоинженерия. Современные технологии позволяют внедрить гены, кодирующие белки паутины, в различные живые организмы, например в бактерии или дрожжи. Эти генетически модифицированные организмы становятся источниками искусственной паутины. Белки, полученные методами генной инженерии, называются рекомбинантными. Отметим, что обычно рекомбинантные спидроины гораздо меньше природных, но структура молекулы (чередование гидрофильных и гидрофобных участков) остается неизменной. Есть уверенность, что искусственная паутина по своим свойствам не будет уступать природной и найдет свое практическое применение как прочный и экологически чистый материал. В России исследованиями свойств паутины совместно занимаются несколько научных групп из различных институтов. Получение рекомбинантной паутины осуществляют в Государственном научно-исследовательском институте генетики и селекции промышленных микроорганизмов, физические и химические свойства белков исследуют на кафедре биоинженерии биологического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова, изделия из белков паутины формируют в Институте биоорганической химии РАН, их медицинскими применениями занимаются в Иституте трансплантологии и искусственных органов.

Победители конкурса имени А.П.Савина «Математика 6-8» 2009/10 учебного года

Лучших результатов в конкурсе добились школьник Дэниэл Линг, Беэр-Шева (Израиль) и кружки: лицея 14, Тамбов, руководитель А.В.Бурмистрова, «Сигнум», Москва, руководитель С.А.Иванов.

Жюри конкурса отмечает также хорошие работы школьников: Никиты Александрова, Набережные Челны, гимназия 26, Бакина Михаила, Челябинск, гимназия 93 и кружков: лицея 130, Новосибирск, руководитель Л.Н.Чусовитина, Центра дополнительного математического образования, Курган, руководители Е.Г.Пушкарева, О.И.Южаков, «Эврика», Харьков, руководители Е.Л.Аринкина, А.Л.Бернштейн.

Победители конкурса награждаются DVD-дисками – электронным архивом журнала «Квант» с 1970 по 2008 год.

38

КВАНТ 2010/№4

Затем стоит только увеличить плотность воды чуть больше чем на 0,02 %, как палочка перевернется в горизонтальное положение. Вспомним, что плотность морской воды равна 1,03 г $см^{3}$, что на 3% больше плотности пресной воды. Значит, достичь увеличения плотности воды всего на несколько сотых долей процента не представляется трудной задачей – воду нужно просто подсолить! Этот эффект уверенно наблюдается, и вы легко можете его повторить. Теперь опишем собственно эксперимент. В качестве сосуда используем поллитровую стеклянную банку, а в качестве жидкости – водопроводную воду. Палочку мы уже изготовили, ее средняя плотность максимально близка к плотности пресной воды. Центр тяжести палочки смещен к одному из концов так, чтобы ее положение равновесия в пресной воде было вертикальным. Теперь аккуратно вдоль стенки сосуда высыпаем в воду столовую ложку мелкой поваренной соли. Примерно через минуту со дна сосуда начинает медленно подниматься белое облако. Через пол-

минуты оно достигает поверхности воды и через несколько секунд бесследно рассеивается. Еще через 1–3 минуты палочка начинает поворачиваться из своего вертикального положения и спустя 10–20 секунд занимает горизонтальное положение. Внимание! Возможен артефакт (от лат. artefactum – искусственно сделанное). Дело в том, что причиной переворачивания палочки может оказаться белое облако – в нем содержится множество пузырьков воздуха, которые, прилипнув к палочке и таким образом облегчив ее, приведут к эффекту переворачивания. Этот побочный эффект уверенно наблюдается, если в воду насыпать сразу много соли. Убедиться в этом очень легко. Достаточно сбить прилипшие к палочке пузырьки, пополоскав ее в той же воде, – и она вновь будет плавать вертикально. Но через некоторое время, когда вследствие диффузии плотность верхних слоев воды достигнет критического значения, палочка обязательно перевернется.

НАША ОБЛОЖКА

Влажные пятна от воды

(Начало см. на 4-й странице обложки)

Чтобы ответить на поставленный вопрос, проведем простой опыт. Положим сухую бумажную салфетку на книгу, а потом смочим часть салфетки чистой водой (рис.1). Мы увидим, что влажная салфетка станет полупрозрачной и сквозь нее можно будет прочесть ранее невидимый текст на обложке книги и рассмотреть узор ткани, на которой лежит книга. Объяснить увиденное можно, например, следующим образом. Вода проникает внутрь салфетки и пропитывает ее с помощью капиллярных сил. При этом волокна, из которых состоит салфетка, удлиняются (как это происходит, напри-

Рис. 2

мер, в волосяном гигрометре) и отодвигаются друг от друга. В результате салфетка становится почти прозрачной. В этом можно убедиться, если посмотреть, как наша салфетка пропускает свет (рис.2). На фотографии видно, что пятна от воды на салфетке более светлые, чем сухие ее части. Это значит, что пятна от воды лучше пропускают свет, чем отражают. Вот почему в отраженном свете пятна воды будут казаться более темными. Такие же темные пятна могут оставлять и другие бесцветные прозрачные жидкости, например глицерин. Возможно также, что причиной просветления является образование своеобразных световодов, по которым свет активно проходит сквозь салфетку. Не исключены и другие причины. Интересно, а что по этому поводу думаете вы?

К.Богданов

Рис. 1

39

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Долгий путь короля

Н.БЕЛУХОВ (БОЛГАРИЯ)

«белой» доски Уэлча на «черную» или наоборот. Поэтому любой маршрут короля представляется как путь хромой ладьи по двум доскам Уэлча, прыгающей с одной доски на другую, когда король делает короткий ход. Число прыжков равно числу коротких ходов короля. Поскольку наша цель – наименьшее количество таких ходов, будем искать маршрут хромой ладьи по одной доске Уэлча, который состоит из наименьшего числа непрерывных участков. Покрасим доску Уэлча в шахматном порядке, как показано на рисунке 2. На любом участке пути нашей ладьи белые

Посвящается Евгению Гику

В«КВАНТЕ» №3 ЗА 2000 ГОД БЫЛА НАПЕЧАТАНА НЕБОЛЬ- шая заметка И.Акулича «Прогулки короля». В ней автор поставил несколько интересных открытых вопросов, в том числе и такой: Какова наибольшая возможная длина замкнутого пути короля, обошедшего шахматную доску $8 \times 8$? Более точно, пусть король обошел шахматную доску, побывав на каждой клетке по разу, и последним ходом вернулся в исходную клетку. Если соединить отрезками центры полей, которые он последовательно проходил, получится замкнутая ломаная (скорее всего, самопересекающаяся). Какова наибольшая возможная длина этой ломаной? Ясно, что ломаная стоит из отрезков двух типов – коротких (длины 1) и длинных (длины 2 ). Поэтому достаточно найти минимальное возможное количество коротких ходов короля. Этим мы и займемся. Фактически мы решим задачу в общем случае – для досок $2 n \times 2 n$ (задача для досок с нечетной длиной стороны решается, как мы скоро увидим, совсем просто). Рассмотрим шахматную доску $2 n \times 2 n$ и построим вспомогательную доску, которая называется доской Уэлча. Для этого уберем на исходной доске все клетки одного цвета, а каждую клетку другого цвета заменим на квадрат с длиной стороны в 2 раз больше, который повернут на $45^\circ$ вокруг центра клетки (рис.1).

Рис. 1

Пока король делает длинные, т.е. диагональные, ходы, он остается на клетках одного цвета. Более того, такие ходы короля соответствуют движению «хромой» ладьи по доске Уэлча (хромая ладья ходит как обычная, но за ход сдвигается только на соседние клетки). Если считать, что есть две доски Уэлча – по одной для белых и черных клеток исходной доски, то каждый короткий ход короля можно понимать как прыжок ладьи с

Рис. 2

и черные клетки чередуются, поэтому разница между количествами одних и других на любом участке не превосходит 1. Если исходная шахматная доска имеет размеры $( 2 n + 1 ) \times ( 2 n + 1 )$, то на одной из раскрашенных досок Уэлча клеток одного цвета будет больше, чем другого, причем не меньше чем на 2n + 1. Это означает, что потребуется не меньше 2n + 1 непрерывных кусков пути, чтобы посетить все клетки одной доски. Следовательно, будет не меньше 4n + 2 прыжков с одной доски на другую (по два прыжка на каждый кусок пути). Итак, если у шахматной доски нечетный размер, то король, обойдя доску по замкнутому пути, сделает не меньше 4n + 2 коротких ходов. Это достаточно большое число, и построить соответствующий пример пути не очень сложно.

Упражнение. Сделайте это.

Если же шахматная доска четного размера, то каждая из досок Уэлча содержит поровну белых и черных клеток. Но их расположение даст нам ключ к решению. Пусть при движении по доске Уэлча ладья оставляет след – линию, соединяющую центры клеток, которые ладья последовательно посещает. Когда ладья прыгает (на другую доску), линия прерывается, зато потом начнется новая. Если ладья посетила все клетки, то несколько таких линий «покрывают» всю доску. Мысленно разрежем доску, изображенную на рисунке 2, на две одинаковые части по отрезку AB. Этот отрезок делит некоторые линии на части. Заметим, что нижняя половина доски содержит на n черных клеток больше, чем белых. Это означает, что есть не меньше n линий или их частей, которые начинаются и заканчиваются в черной клетке. Аналогично, рассматривая верхнюю половину, получим, что есть не меньше n линий или их частей, которые начинаются и заканчиваются в белой клетке. Всего получается не меньше 2n линий или их частей. Но склеивание частей линий по отрезку AB уменьшит их количество не больше чем на n (ведь есть только n возможных мест склейки).

47

ОЛИМПИАДЫ

XXXI Турнир городов

ЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

Базовый вариант

грани – равносторонние треугольники, в каждой вершине сходятся 4 грани.) Н.Авилов

8–9 классы

4 (5). См. задачу М2186 «Задачника «Кванта».

$1 (3)^{1}$. В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31. М.Мурашкин, А.Шаповалов

5 (6). См. задачу М2188 «Задачника «Кванта».

2 (3). Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нем точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдает меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать? М.Мурашкин

3. Нарисован угол, и еще имеется только циркуль. а) (2) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым? б) (2) Как определить, равен ли данный угол $31^\circ$ (разрешается проводить сколько угодно окружностей)? Г.Фельдман, Д.Баранов

4 (5). Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из четного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями. Фольклор (предложил А.Шаповалов)

5 (5). На доске записано 101 число: $1^{2},2^{2}$, … $,101^{2}$. За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности. Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций? М.Малкин

10–11 классы

1 (3). Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы.Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31. М.Мурашкин, А.Шаповалов

2 (4). См. задачу М2184 «Задачника «Кванта».

3 (5). Можно ли поверхность правильного октаэдра оклеить несколькими правильными шестиугольниками без наложений и пробелов? (В правильном октаэдре 6 вершин, все

1 Здесь и далее в скобках после номера задачи указано максимальное количество баллов, присуждавшихся за ее решение.

Сложный вариант

8–9 классы

1 (3). Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число $a \ne 1$ и разрезать этот кусок в отношении 1: a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса? А.Шаповалов

2 (4). В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO = BP. Найдите отношение OM: PC. М.Волчкевич

3. На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или –1, причем не все числа одинаковые. Возьмем все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их. а) (3) Какая наименьшая сумма может получиться? б) (3) А какая наибольшая? А.Толпыго

4 (6). Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр числа $n^{3}$ равняться $100^{3}$? А.Канель-Белов

5. а) (3) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга? б) (5) А если богатырей десять? А.Клячко, Е.Френкель

6 (8). На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые из них, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться? А.Толпыго

7 (11). На некоторых клетках доски $10 \times 10$ сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причем каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырех направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске? М.Мурашкин

48

КВАНТ 2010/№4

10 – 11 классы

1 (3). Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары перпендикулярных прямых так, чтобы каждая прямая входила ровно в одну пару? А.Шаповалов

2. а) (2) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать иррациональное a > 0 и разрезать этот кусок в отношении 1: a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса? б) (2) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное $a \ne 1$. А.Шаповалов

3 (6). Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.) С.Маркелов

4 (6). На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждают фильм, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.) И.Митрофанов

5 (7). См. задачу М2189 «Задачника «Кванта».

6 (8). Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что IM/AB = IN/CD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм. Н.Белухов, А.Заславский

7 (9). См. задачу М2190 «Задачника «Кванта».

Устный тур для 11 класса

1. См. задачу М2185 «Задачника «Кванта».

ются подряд, начиная с единицы). Группа школьников побывала на утреннем сеансе в первом зале, а на дневном сеансе – во втором, оба раза заняв все места. Известно, что в первом зале есть ряд из 10 мест, а во втором – нет. Докажите, что найдутся два школьника, которые на одном из сеансов сидели в одном ряду, а на другом – имели одинаковый номер места. А.Буфетов

3. На плоскости дана окружность $\omega_{1}$ радиуса 1. На одной из ее хорд как на диаметре построена окружность $\omega_{2}$. На одной из хорд $\omega_{2}$ как на диаметре построена окружность $\omega_{3}$, и т.д. Найдите наибольшее возможное расстояние между двумя точками, одна из которых принадлежит $\omega_{1}$, а другая принадлежит $\omega_{1000000}$. М.Мурашкин

4. Ладья прошлась по шахматной доске $8 \times 8$, не проходя дважды через одну и ту же клетку и не перепрыгивая через клетки. При этом все повороты направо делались в черных клетках, а налево – в белых. Какое наибольшее число клеток могло быть пройдено? А.Шаповалов

5. Саша и Люда играют в игру. Саша должен построить описанный 13-угольник с одной заданной стороной, а Люда хочет ему помешать. Сначала Саша называет номер стороны – число k от 1 до 13. Затем Люда задает длину этой стороны – действительное положительное число s. Саша выиграет, если опишет теперь вокруг единичного круга 13-угольник, где длина k-й по величине стороны равна s. Может ли Люда ему помешать? (Сторона k-я по величине, если найдутся k – 1 сторон не короче нее и при этом остальные 13 – k сторон не длиннее нее.) А.Шаповалов

6. Обозначим через $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ произведение всевозможных попарных разностей $a_{i} - a_{j}$, где $1 \le i < j \le n$. Докажите, что для любых натуральных $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ число $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ делится на [ 1,2, … ,n ]. М.Берштейн

Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников, А.Шаповалов

2. В кинотеатре два зала с одинаковым числом мест. В каждом зале несколько рядов (места в любом ряду нумеру-

LXXIII Московская математическая олимпиада

ЗАДАЧИ

6 класс

1. На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по желтым – 7 кусков, а если по зеленым – 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трех цветов? А.Шаповалов

2. В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про свое золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали: А: Все мое золото я украл у Дракона. Б: Ты лжешь. Определите, эльфом или гномом является каждый из них. И.Раскина

49

ОЛИМПИАДЫ

3. Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы. А.Шаповалов

4. В обменном пункте совершаются операции двух типов: 1) дай 2 евро – получи 3 доллара и конфету в подарок; 2) дай 5 долларов – получи 3 евро и конфету в подарок. Когда богатенький Буратино пришел в обменник, у него были только доллары. Когда ушел – долларов стало поменьше, евро так и не появились, зато он получил 50 конфет. В сколько долларов обошелся Буратино такой «подарок»? И.Раскина

5. Саша разрезал шахматную доску $8 \times 8$ по границам клеток на 30 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами (рис.1). Попытайтесь улучшить его достижение, разрезав доску на большее число прямоугольников с соблюдением того же условия. А.Шаповалов

Рис. 1

6. На краю круглого вращающегося стола через равные промежутки стояли 30 чашек с чаем. Мартовский Заяц и Соня сели за стол и стали пить чай из каких-то двух чашек (не обязательно соседних). Когда они допили чай, Заяц повернул стол так, что перед каждым опять оказалось по полной чашке. Когда и эти чашки опустели, Заяц снова повернул стол (возможно, на другой угол), и снова перед каждым оказалась полная чашка. И так продолжалось до тех пор, пока весь чай не был выпит. Докажите, что если бы Заяц всегда поворачивал стол так, чтобы его новая чашка стояла через одну от предыдущей, то им бы тоже удалось выпить весь чай (т.е. тоже каждый раз обе чашки оказывались бы полными). И.Раскина

7 класс

1. У Юры есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11? Т.Голенищева-Кутузова

2. На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на рисунке 2,а. После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке 2,б. Могло ли колес быть: а) три; б) два? Т.Голенищева-Кутузова, В.Клепцын, И.Ященко

4. В конкурсе пения участвовали Петух, Ворона и Кукушка. Каждый член жюри проголосовал за одного из трех исполнителей. Дятел подсчитал, что в жюри было 59 судей, причем за Петуха и Ворону было в сумме подано 15 голосов, за Ворону и Кукушку – 18 голосов, за Кукушку и Петуха – 20 голосов. Дятел считает плохо, но каждое из четырех названных им чисел отличается от правильного не более чем на 13. Сколько судей проголосовали за Ворону? И.Раскина

5. а) Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы. б) А может ли Наф-Наф добиться, чтобы при этом каждые два квадрата граничили друг с другом? А.Шаповалов

6. Легко разместить комплект кораблей для игры в «Морской бой» на доске $10 \times 10$ (рис.3). А на какой наименьшей квадратной доске можно разместить этот комплект? (Напомним, что согласно правилам корабли не должны соприкасаться даже углами.) А.Блинков

Рис. 3

8 класс

1. КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР – трехзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.) А.Хачатурян

2. На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.4). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10 г. Найдите суммарную массу всех 18 монет на границе треугольника. А.Шаповалов

Рис. 4

3. В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО = = ВР. Найдите отношение ОМ: РС. М.Волчкевич

4. См. задачу М2189 «Задачника «Кванта».

5. В треугольнике АВС точка I – центр вписанной окружности. Точки М и N – середины сторон ВС и АС соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол BIM также прямой.

Рис. 2

3. Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 7 конфет меньше, чем все остальные вместе, но все же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено? А.Шаповалов

4. В некоторых клетках квадрата $20 \times 20$ стоит стрелочка в одном из четырех направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (рис.5). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направ-

Рис. 5