Квант 2014, №1 · Страницы

Удивительные свойства электронов

А.СЕРГЕЕВ

Им главное – название придумать. Пока не придумал – смотреть на него жалко, дурак дураком. Ну а как придумал какой-нибудь гравиконцентрат – тут ему словно все понятно становится, и сразу ему жить легче. Аркадий и Борис Стругацкие. Пикник на обочине

НЕСКОЛЬКО ЛЕТ НАЗАД ФИЗИКАМИ-ТЕОРЕТИ- ками было предсказано существование необычных веществ – топологических изоляторов. Чуть позже они были обнаружены экспериментально. Эти материалы обладают целым набором удивительных свойств, подробный рассказ о которых занял бы не один десяток страниц. Поэтому сегодня мы поговорим лишь об одном, но в каком-то смысле главном, свойстве, ставшем визитной карточкой топологических изоляторов: в толще вещества топологический изолятор является диэлектриком, а его поверхность проводит электрический ток. Другими словами, по поверхности диэлектрика электроны движутся так же свободно, как в металле. Причиной столь странного поведения электронов является запрет отражения назад. У этого запрета, в свою очередь, есть глубокие математические предпосылки (откуда берутся сами математические предпосылки, лучше не задумываться). В этой статье мы попробуем разобраться, почему электрон, скользящий по поверхности топологического изолятора, встретившись с препятствием, не может отскочить в обратном направлении. Для этого рассмотрим несколько слабо связанных друг с другом сюжетов из разных областей физики и математики. Присмотритесь внимательно к каждому кусочку этой головоломки, и вы увидите, как они складываются друг с другом и образуют цельную картину. Для экспериментов – куда же без них? – вам понадобятся лист бумаги, ножницы, карандаш, глобус без подставки, кружка с водой и воображаемый воздушный шарик.

Маятник Фуко (Недорогой эксперимент глобального масштаба)

Начнем издалека. Возможно, вам приходилось видеть маятник Фуко. Тяжелый шар, подвешенный на тросе, уходящем куда-то ввысь, неспешно и устрашающе раскачивается, с каждым взмахом проходя все ближе к деревянной дощечке, звук падения которой на мраморный пол становится для зрителей осязаемым

доказательством вращения Земли. Но доказательство отнюдь не очевидной связи между поворотом плоскости колебаний маятника с вращением планеты, как правило, остается за кулисами эффектного опыта. Как и тот факт, что не в любой точке земного шара плоскость колебаний маятника Фуко будет поворачиваться – на экваторе, например, этого не произойдет. А на полюсах скорость поворота плоскости колебаний будет самой большой – за сутки она повернется на 360 градусов. Хотите узнать, как без единой формулы объяснить поворот плоскости колебаний маятника Фуко и, более того, изучить угловую зависимость скорости этого поворота от географической широты? Тогда вырежьте из бумаги круг и нарисуйте по его краю ряд параллельных векторов, как показано на рисунке 1 слева.

Рис.1

Затем сделайте надрез по радиусу и загните некоторый сектор круга. Теперь сомкните края пустого сектора – у вас получится конус, по краю которого идут параллельные векторы. Впрочем, нет, теперь они не такие уж и параллельные! При обходе вдоль основания конуса вектор поворачивается. Нетрудно видеть, что угол поворота равен углу пустого сектора развертки конуса. Теперь, если лист бумаги был достаточно большим или если ваш глобус достаточно мал, можете надеть конус на глобус так, чтобы он коснулся земного шара по некоторой параллели (см. рис. 1 справа). Угол поворота вектора, нарисованного на конусе, будет равен (за вычетом $2\pi )$ углу, на который повернется за сутки плоскость расположенного на этой параллели маятника Фуко. На другой параллели угол при вершине касательного конуса будет другим, значит, изменится и угол поворота. В этом можно легко убедиться, изменяя величину угла пустого сектора развертки. Например, если конус касается глобуса по

8

КВАНТ 2014/№1

параллели, соответствующей $30^\circ$ северной широты, то вектор развернется на $\pi$ радиан. Мы только что проиллюстрировали математическое понятие параллельного переноса вектора на искривленной поверхности. Суть его состоит в том, чтобы перемещать вектор «как можно параллельнее самому себе» при условии, что вектор все время должен лежать в касательной плоскости к поверхности, на которой он живет. Другими словами, если подойти к искривленной поверхности так близко, что она покажется плоской, векторы должны быть параллельны в обычном смысле слова. Что мы и видим, развернув конус на плоскости. В точке, лежащей на параллели – на той окружности, по которой конус касается сферы, – у конуса и сферы общая касательная плоскость. А это значит, что параллельный перенос вектора по данной окружности на сфере можно исследовать с помощью конуса. Но, казалось бы, какая связь между векторами на конусе и маятником Фуко? Для ответа нужно вспомнить о моменте импульса и законе его сохранения. Допустим, у нас есть гироскоп в кардановом подвесе, позволяющем ему свободно изменять направление оси. Направим его ось на некоторую удаленную звезду (Полярная звезда нам не подойдет) и раскрутим диск. Тогда вектор момента импульса, перпендикулярный плоскости диска, постоянно будет направлен на эту звезду, в силу соответствующего закона сохранения. Это означает, что в лабораторной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, ось гироскопа будет поворачиваться вслед за направлением на выбранную звезду. Теперь применим закон сохранения момента импульса к маятнику Фуко. Вектор момента импульса будет направлен перпендикулярно плоскости колебаний маятника. Но, в отличие от гироскопа, момент импульса маятника не может быть постоянно направлен на одну звезду, поскольку маятник колеблется под действием силы тяжести, направленной к центру масс Земли. Получается, что вектор момента импульса должен быть направлен по касательной к земной поверхности и при этом перемещаться «как можно параллельнее самому себе», что является следствием закона сохранения импульса с учетом наложенных ограничений. Таким образом, для вектора момента импульса маятника Фуко, переносимого вращением Земли по поверхности сферы, выполняется условие параллельного переноса. Действительно, по закону сохранения момента импульса маятник «хочет» колебаться все время в одной плоскости. Однако, из-за того что сила тяжести направлена к центру Земли, вектор нормали к плоскости колебаний всегда должен быть направлен по касательной к земной поверхности. Иными словами, речь идет о параллельном переносе вектора на сфере. Из этого следует, что бумажный конус с нарисованными векторами не является «упрощенной моделью» или «подгоном под ответ»: кривизна поверхности Земли и есть непосредственная причина поворота плоскости, в которой колеблется маятник Фуко. В квантовой механике поворот вектора при параллельном переносе называется фазой Берри, по имени

первооткрывателя сэра Майкла Берри, который изучал волновые функции в гильбертовом пространстве и в некотором смысле обнаружил, что «Земля круглая». С фазой Берри мы еще встретимся.

Топология (Как определить форму планеты)

Знаете ли вы, в чем принципиальная разница между булочкой и бубликом? Когда вы съедаете булочку, не остается ничего, а когда съедаете бублик, от него остается дырка. Подобного рода отличиями и занимается топология. Говоря чуть более строго, топология – часть математики, изучающая свойства геометрических объектов, которые не изменяются при плавных деформациях. Другими словами, объект можно гнуть, мять, изгибать, но нельзя разрезать и склеивать разные части. Казалось бы, если взять любой геометрический чертеж и позволить себе мысленно изогнуть все эти отрезки, окружности, прямые – что останется от геометрии? Окружность перестанет быть окружностью, прямая станет кривой, нарушатся все возможные теоремы. Тем не менее, существуют свойства фигур, которые сохранятся после этих разрушительных преобразований. И в шутке про дырку от бублика – лишь доля шутки. Чтобы в этом убедиться, вам понадобится воображаемый воздушный шарик. Представьте, что вы сжимаете его с диаметрально противоположных точек, сдавливая двумя пальцами (рис.2). В какой-то момент

Рис.2

пальцы встретятся. Вообразите, что соединенные кусочки шарика склеились и вы тут же прорезали в центре отверстие. В топологии так делать, конечно, запрещено, но закройте на это глаза. Открыв глаза снова, вы обнаружите, что теперь у вас в руках уже не воздушный шарик, а отличная велосипедная камера. С точки зрения топологии, воздушный шарик представляет собой сферу, а поверхность бублика – тор. Только что мы совершили «склеивательно-разрывное» преобразование, которое привело к изменению топологического инварианта – числа отверстий: у сферы нет отверстий, а у тора оно одно. Чему равно число отверстий у промежуточной фигуры, получившейся в результате склеивания двух противолежащих точек сферы, топология сказать не может. Максимум, что можно сделать, это дать нашей фигуре какое-нибудь название. Скажем, «НИТОНИСЁИД». Одним из краеугольных вопросов топологии является следующий: как отличить один объект от другого? Сделать это не так просто, как кажется на первый взгляд. Чтобы визуально отличить сферу от тора, нужно находиться на некотором расстоянии от них.

11

УДИВИТЕЛЬНЫЕ

СВОЙСТВА

Топологические изоляторы (Вы все еще кипятите?)

Вы еще не забыли, чему посвящена эта статья? Совершенно верно, топологическим изоляторам. Осталось последнее усилие, чтобы сложить все части рассказа воедино. Или, может быть, они уже сложились в вашем сознании? Если нет, тогда еще немного внимания. Можно сказать, что топологический изолятор отличается от обычного диэлектрика формой планеты в импульсном пространстве, на которой живет электрон. Давайте условно изобразим ее в виде сферы для любого обычного диэлектрика (вакуума в том числе) и в виде тора – для топологического изолятора (рис.7).

Рис.7

При этом, зная кривизну этой планеты в каждой точке, мы можем вычислить топологический инвариант, так называемый индекс Черна n, очень похожий на род поверхности – число отверстий. Для топологического изолятора индекс Черна отличен от нуля, в нашем примере n = 1, в то время как для обычного диэлектрика n = 0. Посмотрим теперь на границу между обычным диэлектриком и вакуумом. На ней планета электрона должна иметь на нашем условном рисунке промежуточную форму между своей сферой и сферой другого радиуса, т.е. быть сферой. Но на границе между вакуумом и топологическим изолятором должно произойти нечто ужасное. Планета электрона должна быть чем-то средним между сферой и тором, т.е., как вы уже поняли, нитонисёидом! Это так же неизбежно, как и тот факт, что непрерывная функция, принимающая отрицательное значение на левом конце отрезка и положительное на правом, обязана где-то на этом отрезке обратиться в ноль. Итак, мы видим, что электрон, скользящий по границе между топологическим изолятором и вакуумом (или любым другим обычным диэлектриком – воздухом, например), живет в импульсном пространстве на поверхности нитонисёида. Теперь представим, что такой электрон столкнулся с препятствием. Чтобы отскочить назад, он должен поменять направление импульса на противоположное. Но это означает, что он должен переместиться по поверхности нитонисёида в точку, противолежащую той, в которой он сейчас находится.

ЭЛЕКТРОНОВ

Поскольку нитонисёид искривлен, в ходе этого перемещения электрон приобретет фазу Берри (вспомните маятник Фуко). Она будет равна по модулю $\pi$. Знак фазы Берри будет зависеть от пути, который выберет электрон, – ведь попасть в противолежащую точку можно двумя путями, как и на земном шаре. Одна траектория будет соответствовать развороту импульса по часовой стрелке, а другая – против. Какой же вариант выберет электрон? Правильно, оба. Это значит, что импульс одной части электрона развернется на $180^\circ$, а импульс другой на $- 180 ^\circ$. Другими словами, чтобы получить одну часть электрона из другой, нужно развернуть ее импульс на все $360^\circ$. Отметим, что направление спина электрона в данном случае жестко связано с направлением импульса, поэтому спин будет разворачиваться схожим образом. А при таком развороте спина, как вы помните, волна электрона поменяет знак, т.е. сложившись, две части электрона дадут в сумме ноль. Следовательно, электрон, живущий на границе между топологическим изолятором и вакуумом, не может отразиться назад после встречи с препятствием, что и требовалось пояснить. Как видите, мир топологических изоляторов прекрасен и удивителен. Возможно, ученые, предсказавшие их существование, прислушались к словам Дирака, произнесенным им на лекции 6 февраля 1939 года: «Тенденция к объединению математики и физики дает физику-теоретику новый мощный метод изучения природы интересующего его объекта, метод, который не был пока что успешно применен на практике, но, я уверен, в будущем еще докажет свою значимость. Метод состоит в том, чтобы начать с выбора той области математики, которая, предположительно, ляжет в основу новой теории. В этом выборе ученый должен существенным образом руководствоваться соображениями математической красоты».

Поправка В предыдущем номере журнала на 4-й странице обложки журнала по вине редакции приведен неправильный заголовок и текст под ним. Должно быть так:

Как стекло сделать прочным?

Можно, например, с помощью полировки убрать микротрещины на поверхности стекла. Но это не самый эффективный способ повышения его прочности…

(Продолжение – на странице 47 внутри журнала)

НОВОСТИ НАУКИ

Премия теоретикам за эксперимент

Л.БЕЛОПУХОВ

ВОСЬМОГО ОКТЯБРЯ 2013 ГОДА НОБЕЛЕВСКИЙ КОМИ- тет объявил о присуждении Нобелевской премии по физике профессору Брюссельского свободного университета Франсуа Энглеру и профессору Эдинбургского университета Питеру Хиггсу «за теоретическое открытие механизма, который помог нашему пониманию происхождения массы субатомных частиц и который недавно был подтвержден

Франсуа Энглер и Питер Хиггс открытием предсказанной фундаментальной частицы экспериментами ATLAS и CMS на Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе». Формулировка необычно длинная – 31 слово, если же раскрыть три аббревиатуры, то даже 43 слова, хотя средняя длина таких формулировок (по физике) – 11 слов, а есть даже и формулировка из 3 слов: «за открытие нейтрона». Еще одна особенность нынешней премии в том, что она присуждена не экспериментаторам, а теоретикам, которые 49 (!) лет назад разработали и опубликовали свои работы. Справедливости ради, нужно отметить, что в те годы не только Энглер и Хиггс выдвинули новую гипотезу. Еще несколько физиков-теоретиков работали в этом же направлении (и почти все независимо друг от друга). Однако Нобелевская премия присуждается только тем ученым, которые дожили до момента обсуждения о награждении. (Единственное исключение – премия 2001 года по физиологии или медицине, присужденная Ральфу Стаймену, о кончине которого за неделю до обсуждения Нобелевский комитет не успел узнать и решение не было отменено.) Работы Энглера, Хиггса и других ученых в том, уже далеком по меркам развития науки, времени казались полуфантастическими. Физические журналы некоторое время отказывались от их публикации. Но примерно через 15 лет физикам-теоретикам без этих работ стало как-то неуютно, и они с нетерпением стали ждать экспериментального подтверждения теоретического предсказания. По различным, не

очень существенным, причинам это предсказание получило условное название «бозона Хиггса». Долгое время это словосочетание знали только те, кто занимался физикой частиц. Но несколько лет назад о бозоне Хиггса узнали очень многие. Это случилось, когда был запущен Большой адронный коллайдер (БАК), одной из главных целей работы которого было объявлено обнаружение этой гипотетической частицы. В средствах массовой информации, используя неосторожные высказывания некоторых ученых, бозон Хиггса стали называть дьявольской частицей, божественной частицей и даже частицей Бога. Так что же это за таинственный объект? Журнал «Квант» рассказывал о нем в прекрасной статье академика В.Рубакова «К открытию бозона Хиггса» («Квант» №5–6 за 2012 г.). В этой статье научная точность удачно сочетается с популярностью изложения. Остановимся все же на двух моментах – на расшифровке значения теоретического открытия и на его подтверждении. К концу прошлого века более чем 50-летняя история физики частиц ознаменовалась созданием теории «почти всего», как писали сами физики-теоретики, ее создавшие. Были выделены и классифицированы самые основные (фундаментальные) «кирпичики», из которых состоят атомные ядра, атомы, молекулы, вещества, биологические объекты, люди, планеты, звезды и галактики, а также определены законы взаимодействия между этими «кирпичиками». Теория получила название Стандартной модели. Возможно, что происхождение такого («неуклюжего», как пишет В.Рубаков) названия связано с тем, что она, как и технологические стандарты, включает все ингредиенты, необходимые для создания объекта, и все выполняемые производственные операции. В нашем случае ингредиенты – это «кирпичики», производственные операции – законы взаимодействия, а объект – вся Вселенная. Ингредиенты Стандартной модели – это 6 кварков, 6 лептонов и 5 частиц-переносчиков взаимодействий кварков и лептонов между $собой.^{1}$ Может возникнуть недоуменный вопрос – а где наши привычные протоны, нейтроны и электроны? Все они есть в Стандартной модели: и протон, и нейтрон состоит из трех кварков двух видов, а электрон – один из лептонов. Другие лептоны в огромном количестве «гуляют» по всей Вселенной. Это – нейтрино (и антинейтрино), которые очень редко взаимодействуют с другими частицами, но зато несут ценнейшую информацию о процессах внутри звезд, где они рождаются. А кварки в подходящих условиях, группируясь, могут создавать не только протоны и нейтроны, но и множество (несколько сотен) различных короткоживущих частиц. Бытовал даже термин «зоопарк» частиц. С появлением кварковых представлений все они оказались не фундаментальными, не основными «кирпичиками» мира. Пять частиц-переносчиков иногда называют «клеями». Одна из них так прямо и называется – глюон (от англ. glue – клей). Самый известный «клей» – это фотон. На его примере понятно, что о частицах-переносчиках можно говорить как о квантах полей. Поле – это объект, содержащий возможные (виртуальные) частицы-переносчики. При каком-либо воздействии на поле такая частицы как бы рождается из него, становясь реальной частицей. Так, например, происходит процесс появления фотона при переходе атомного электрона из одного энергетического состояния в другое.

1 У всех кварков и лептонов могут существовать античастицы, отличающиеся противоположным знаком заряда – электрического, барионного или лептонного.

17

НОВОСТИ

Есть и иная терминология, связанная с полями и виртуальными частицами. При рождении из поля квантов-переносчиков энергия поля уменьшается. Нулевой она не может быть из-за квантового соотношения неопределенностей. Состояние с минимальной энергией поля называют физическим вакуумом. Видов этого вакуума столько, сколько есть видов «клеев». Отметим, что все «клеи» являются бозонами, а все остальные частицы – фермионы. Что это означает? Формальное различие связано с величиной внутренней квантовой характеристики – так называемого спина (от англ. spin – вертеться, кружиться). Частицы имеют собственное вращательное движение. Поэтому, например, все электрически заряженные частицы – это маленькие магнитики. Интенсивность этого вращения не зависит ни от каких внешних причин, это собственная характеристика частицы. Момент импульса этого вращения (его часто называют угловым моментом), а точнее – проекция этого момента на направление внешнего воздействия, как и другие характеристики частицы, фиксирован (квантован). Он равен sℏ $, где^{ℏ}$ – постоянная Планка, а s – так называемое спиновое квантовое число. У всех кварков и лептонов s = 1/2, а у частиц-переносчиков s = 1. Такое различие в спинах приводит к кардинальному различию в поведении частиц. Когда некоторое количество кварков или лептонов находится в одном квантовом ансамбле («коллективе»), подчиняясь воздействию определенного поля, например электрического, они не могут быть совершенно одинаковыми. Каждая частица должна иметь свою характеристику вероятностного поведения – волновую функцию или набор квантовых чисел. Вероятностная функция для энергии частиц называется распределением Ферми– Дирака, и таким частицам присвоено наименование фермионов. Образно можно сказать, что фермионы – «индивидуалисты». Электроны принадлежат к фермионам, и именно поэтому электроны одного атома или одной молекулы должны быть различными (иметь разные наборы квантовых чисел). В конечном счете это приводит к огромному разнообразию молекул, веществ и биологических объектов. А вот частицы-переносчики в коллективе могут быть совершенно одинаковыми (например, фотоны в лазерном луче). Они – «коллективисты». Их вероятностная энергетическая характеристика имеет несколько другой вид, чем у фермионов, и называется распределением Бозе–Эйнштейна. Таким частицам присвоили наименование бозонов. К сожалению, невозможно «на пальцах», т.е. не прибегая к математическому аппарату квантовой науки, объяснить, почему такая, казалось бы, незначительная разница в величине собственного углового момента частицы приводит к принципиальному различию в поведении частиц. Важную роль в Стандартной модели играют принципы симметрии, понимаемой гораздо более широко, чем привычные нам зеркальная симметрия или симметрия кристаллических форм. Суть этих симметрий – повторяемость (неизменность) «картинки» при определенном геометрическом преобразовании. В физике понятие симметрии распространяется на любые преобразования (координат, времени, внутренних характеристик объекта). Законы физики не меняют своей сути при этих преобразованиях, а соответствующие уравнения не меняют своего вида. Оказалось, что каждому виду симметрии соответствует некоторый закон сохранения (Эмми Нётер, 1918 г.) Например, пространственным (координатным) симметриям соответствуют закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, временнуй симметрии – закон сохранения механической энергии. Но есть и другие законы сохранения – например, законы сохранения электрического, бари-

НАУКИ

онного или лептонного заряда. Особые симметрии, связанные с такими внутренними характеристиками квантового объекта, получили специальное название – «калибровочная инвариантность». Это особый теоретический прием, пригодный для всех видов полей. Калибровочная инвариантность позволяет предсказывать и рассчитывать свойства элементарных частиц – массу, средние времена их жизни, варианты распадов и др. Все предсказанные теорией свойства были подтверждены в экспериментах на ускорителях, все предсказанные частицы были открыты. Но у Стандартной модели имелось некоторое затруднение. В квантовой электродинамике, т.е. в разделе Стандартной модели, где рассматриваются электромагнитные взаимодействия, экспериментальный факт отсутствия массы у фотонов – переносчиков этого взаимодействия – имел теоретическое обоснование. Оно было тесно связано с внутренней симметрией электродинамики, которая приводит к сохранению электрического заряда. Спин (спиновое число) фотона при этом должен быть равен 1. Аналогичная картина наблюдается и в квантовой хромодинамике – той части модели, которая имеет дело с сильными взаимодействиями кварков. Как выше упоминалось, частицы-переносчики этого взаимодействия называются глюонами. Они, как и фотоны, не имеют массы. Но хуже обстояло дело со слабыми взаимодействиями, точнее с электрослабыми, поскольку создание Стандартной модели обычно связывают с разработкой объединенной теории электрических и слабых взаимодействий (Нобелевская премия 1979 г. Ш.Глэшоу, А.Саламу и С.Вайнбергу). Для переносчиков этих взаимодействий не придумали специальных терминов. Их называют, несколько по-казенному, векторными $W^{\pm}$ -бозонами и Z-бозонами. По всем канонам калибровочной инвариантности, имея спин, равный 1, они должны были быть безмассовыми. Но эксперименты (Нобелевская премия 1984 г. К.Руббиа и С. ван дер Меру) неопровержимо показали наличие масс у этих бозонов. И не маленьких по меркам микромира массы – а в 80–90 раз больше, чем у протона. Это означает, что какие-то симметрии в мире элементарных частиц могут нарушаться. И тогда создатели Стандартной модели вспомнили гипотезу Энглера, Хиггса и других физиков об особом поле, которое может нарушить одну из симметрий калибровочной инвариантности так, что частицы во взаимодействии с ним должны получить массу. Это поле не должно иметь выделенных направлений, т.е. должно быть скалярным, а не векторным. А это, в свою очередь, означает, что квант этого поля – бозон Хиггса – должен не иметь спина. В теории были предсказаны и другие свойства бозона Хиггса. Для полного торжества Стандартной модели оставалось только экспериментально зафиксировать наличие этого бозона в природе и подтвердить теоретические предсказания его свойств. Но это оказалось непростой задачей. Теория предсказывала столь большую массу бозона Хиггса, что для его обнаружения не хватало мощности существовавших ускорителей. Часть физиков предлагали даже отказаться от Стандартной модели и искать новые теории частиц. Вот тогда и объявили бозон Хиггса божественной частицей, которую невозможно познать. Но в научном мире победила вера в Стандартную модель, ученые убедили правительства нескольких стран в том, что не надо жалеть денег на строительство новых ускорителей. Поскольку это были немалые деньги, то первыми преуспели США. На новом ускорителе, протон-антипротонном коллайдере, запущенном в 1983 году и рассчитанном на энергию 1000 ГэВ, искали бозон Хиггса. В 2002 году даже показалось, что его обнаружили. Но тщательная проверка обнаружила, что это не так.

18

КВАНТ 2014/№1

Старый Свет (Европа) решил обогнать Новый Свет (США). Европейские страны объединили свои усилия, был запроектирован и построен БАК – Большой адронный коллайдер, значительно превосходящий по своей мощности американский ускоритель. И хотя окончательно на проектную величину энергии частиц БАК выйдет только к 2015 году, уже сейчас, проработав немногим больше года на половинной мощности, БАК дал возможность получить целый ряд важных результатов, главным из которых и является доказательство существования бозона Хиггса.

Участок Большого адронного коллайдера в ЦЕРНе

Четвертого июля 2012 года в ЦЕРНе было объявлено об открытии бозона Хиггса. Масса бозона оказалась (с надежностью 99%) равной $125,3 \pm 0,6$ ГэВ, спиновое число бозона равно нулю, время жизни прядка 1,6 ◊ $10^{-} 22$ с, различные пути распада на пары и четверки частиц и античастиц – все эти и другие характеристики полностью подтвердили теоретические предсказания. Отныне все сомнения в справедливости Стандартной модели отпали. Она заняла свое место теории, лежащей в основе современной физики. А что же дальше? А дальше – целый ряд задач, решение которых, возможно, переведет физику на более высокую ступень познания. Среди близких задач – уточнение Стандартной модели, получение новых сведений о кварках и глюонах и, вследствие этого, о первых мгновениях существования Вселенной. Но есть задачи и еще более важные – выяснить, что такое темная материя и темная энергия, существуют ли суперматерия и суперчастицы, каково состояние материи в черных дырах. Много нового ожидает наука от работы БАКа в ближайшие 10–20 лет. Продолжится и благотворное соревнование Старого и Нового Света. В США запроектировано строительство электроннопозитронного коллайдера, по своим возможностям на порядок превышающего БАК. Недаром свою статью академик В.Рубаков год назад закончил словами: «Так что следите за новостями!» В заключение остановимся на некоторых характеристиках БАКа – настоящего чуда света XXI столетия. На границе Франции и Швейцарии в толще горных пород на глубине порядка 120 м от поверхности земли расположен туннель почти круговой формы длиной 26,7 км с диаметром основного сечения 12 м. Кроме главного туннеля имеется еще ряд колец меньшего размера, где протоны постепенно набирают энергию на участках с разгоняющим электрическим полем и разделяются на два встречных пучка. В главном туннеле по двум трубам два потока протонов движутся в противоположных направлениях. Скорость движения протонов почти равна скорости света. При такой

скорости за одну секунду протоны 10000 раз описывают окружность 27-километрового кольца. Суть метода встречных пучков (коллайдера) заключается в том, что при столкновении относительная энергия увеличивается не в 2 раза, как это происходит при малых энергиях, а в несколько сотен раз. Это и нарушает спокойствие (симметрию) вакуумных полей, в результате чего появляются (рождаются) новые частицы. Каждую секунду в месте столкновения протонов происходит около миллиарда таких событий. Часть из них надежно отождествлена с рождениями бозонов Хиггса. В туннелях поддерживается очень сильное разрежение. Остаточное давление не превышает $10^{-} 8$ Па, что в сто миллиардов раз меньше атмосферного давления. При этом в $1 см^{3}$ еще остается 200 миллионов молекул, но их воздействием на летящие протоны уже можно пренебречь. Для поддерживания необходимого разрежения должна непрерывно работать целая «армия» откачивающих насосов. Но главной задачей, конечно, является обеспечение кругового движения протонов. Это может сделать только магнитное поле. При огромных скоростях протонов даже для такой большой окружности индукция магнитного поля должна составлять 15 Тл. На трассе полета расположены 1624 соленоида, создающих главное магнитное поле, обеспечивающее круговую траекторию частиц, а также поля для коррекции и фокусировки протонов. Протоны летят не непрерывным потоком, а в виде сгустков, в каждом из которых содержится 100 миллионов частиц. Такой сгусток имеет вид иголки длиной около 5 см и толщиной сотые доли миллиметра. В отдельных точках траектории продолжается ускорение сгустков быстропеременным электрическим полем. На трассе полета одновременно находятся 2808 сгустков. Для того чтобы создать магнитное поле необходимой интенсивности, ток в обмотках соленоидов должен иметь величину 11000 А. При таком токе в обычных условиях любой проводник почти мгновенно расплавляется и испаряется. Чтобы этого не происходило, сопротивление обмоток соленоидов должно быть не просто маленьким, а строго нулевым, т.е. обмотки должны находиться в сверхпроводящем состоянии. Это может быть только при очень низких температурах. Поэтому температуры обмоток и всего туннеля не превышают 1,9 К. Поддерживание такой температуры достигается трехступенчатым охлаждением – сначала жидким аргоном, потом жидким азотом и, наконец, жидким гелием. Поскольку тепло Земли стремится проникнуть в туннель, нужно по охлаждающим цилиндрам все время прокачивать жидкие газы-охладители. В сутки БАК потребляет 30000 л жидкого азота (несколько большегрузных цистерн) и 3000 л жидкого гелия (цистерна среднего размера). Немаловажное значение имеет точность подгонки всех металлических деталей конструкции. Она должна не превышать нескольких тысячных долей миллиметра, ибо «место встречи» протонов «изменить нельзя», а встречающиеся иголочки уж очень тоненькие. Интересно, что при этом необходимо учитывать даже такое необычное обстоятельство, как приливная волна в земной коре. В полнолуние амплитуда этой волны там, где находится БАК, составляет 25 см. И хотя приливная волна очень плавная, она немного деформирует туннель, и это нужно учитывать. Требуется непрерывный приборный контроль за трассой полета частиц и ее корректировка. На трассе полета предусмотрены 4 места встречи протонных пучков, 4 измерительных лаборатории. Каждая из них – это огромная (размером с многоэтажный дом) «пе-

19

НОВОСТИ

щера», набитая электромагнитами и детекторами частиц. Детекторами являются, главным образом, искусственно выращенные прозрачные монокристаллы, словно вспыхивающие при проходе сквозь них быстрой частицы (эффект Вавилова–Черенкова). Вспышка улавливается фотоумножителем, преобразуясь в нем в электронный сигнал. Сигнал поступает в электронную схему и становится цифровой информацией. Информация по оптоволоконным кабелям поступает в компьютерный цех. Иначе и не назовешь это помещение, где находится несколько тысяч многогигабайтных процессоров. Первой задачей компьютеров является отсев информации об известных и изученных событиях. И только отжатая информация (меньше 0,001 доли от поступившей) передается дальше. По специальной информационной международной сети информация передается в лаборатории 25 стран мира. Для страховки передача этой информации производится не только обычным путем через космические

Лаборатория ATLAS сети передачи, но и по оптоволоконным сетям, специально проложенным для этой цели, в том числе и по дну морей и океанов. В формулировке Нобелевской премии отмечены две БА- Ковские лаборатории – ATLAS и CMS.

НАУКИ

ApparatuS). Он представляет собой цилиндрическую пещеру длиной 44 м и диаметром 25 м. Внутри такой пещеры может свободно разместиться хороший пятиэтажный дом. Огромные сверхпроводящие соленоиды искривляют пути разлета образующихся при столкновении частиц и направляют их к датчикам, регистрирующим энергию частиц. Масса магнитов и других устройств составляет 7000 т. Лабораторию проектировали, участвовали в ее сооружении и теперь наблюдают за ее работой 2900 ученых и инженеров из 37 стран мира, в том числе 200 ученых из России и стран СНГ. Это – основное участие России в сооружении и работе $БАКа.^{2}$ Вторая лаборатория БАКа, принимавшая участие в экспериментах по бозону Хиггса, сокращенно называется CMS (от англ. Compact Muon Solenoid). В принципе эта лаборатория похожа на ATLAS. Она немного меньше, «компактнее», хотя тоже имеет внушительные размеры – цилиндр длиной 22 м и диаметром 15 м. Магнитное поле этого соленоида имеет величину 4 Тл. Лаборатория предназначена для идентификации многих частиц, в том числе и бозонов Хиггса, точнее, продуктов его распада – мюонов и антимюонов, поэтому слово «мюон» и входит в ее название. Для этой лаборатории харьковский завод в Украине выращивал кристаллические детекторы (иодиды натрия и цезия, активированные таллием), а московский завод контролировал их качество. Что же сейчас происходит на БАКе? В феврале 2013 года он остановлен для того, чтобы произвести подготовительные работы для запуска на полную энергию частиц – 14000 ГэВ. Более сильные магнитные поля, необходимые для удержания на траектории ускоренных частиц, требуют большей надежности всех механических соединений. Сейчас на всем 27-километровом кольце работают сотни инженеров и техников, устанавливающих новые крепежные детали электромагнитов. Работа продлится еще год. По плану включение БАКа на полную мощность должно произойти в конце 2014 года. А во всех научных учреждениях, куда поступили результаты уже проведенных экспериментов, идет работа по обработке этих результатов. Огромные заслуги создателей БАКа не остались без вознаграждения. Фонд российского миллиардера Юрия Мильмана «Премии по фундаментальной физике» еще в марте 2013 года наградил этой премией (три миллиона евро) коллектив из 7 человек, руководителей проекта. Поэтому Нобелевскому комитету осталось отметить только теоретиков-физиков.

2 Отметим, что в число участников проекта Большого адронного коллайдера Россия не вошла. В 90-е годы прошлого века, когда развернулись основные работы, нашей стране было не до того. С большим трудом Объединенный институт ядерных исследований в Дубне смог тогда получить небольшие средства для поездки нескольких ученых в ЦЕРН. Участниками проекта являются 20 европейских стран. Главными спонсорами проекта (2/3 от общей стоимости, т.е. около 7 миллиардов евро) являются Германия, Франция, Великобритания, Италия и Испания.

CMS-лаборатория

Главные результаты по бозону Хиггса были получены именно на «приборе» ATLAS (от англ. A Toroidal LHC

23

ИЗ

ИСТОРИИ

Но вернемся к сверхпроводимости. В конце XIX века в связи с развитием мировой системы телеграфной связи увеличение проводимости металлов стало важной технической задачей. Физическая теория не давала ответа на этот вопрос, ибо был неизвестен механизм электропроводности. После открытия электрона начала развиваться электронная теория проводимости. Начало ей дает в 1900 году немецкий физик Пауль Друде. Замечательно, что и сегодня теория Друде входит в учебные курсы физики как классическая теория электропроводности металлов. В современной версии этой теории, развитой тоже немецким физиком Арнольдом Зоммерфельдом в 1928 году, уже после создания квантовой механики, электроны рассматриваются как квантово вырожденный идеальный газ, заполняющий кристаллическую решетку, в узлах которой находятся ионы атомов металла и, изредка, примеси. «Квантовое вырождение» этого газа, в частности, означает, что, в отличие от газа классического, его частицы – электроны – даже при абсолютном нуле пребывают в постоянном хаотическом движении с огромными скоростями, исчисляемыми процентами от скорости света. Приложение электрического поля приводит к наложению на этот хаос некоторого упорядоченного дрейфа – так в летний вечер ветер сносит облако снующей туда-сюда мошкары над озером. Удивительно, что при нулевой температуре электроны в своем сложном хаотически направленном движении благодаря причудам квантовой механики умудряются «обходить» ионы решетки. Рассеиваются же они либо на заменяющих ионы примесях, о местоположении которых электронам неведомо (это происходит и при Т = 0), либо на отклоняющихся благодаря температурным колебаниям (имеющим место при отличной от нуля температуре) от своих положений равновесия ионах. Понятно, что в 1900 году всего этого Друде знать не мог – оставалось еще шесть лет до создания «модели пудинга», тринадцать лет до боровских постулатов и более четверти века до создания квантовой теории и изучения на ее основе свойств вырожденного газа электронов и поведения квантовой частицы в периодическом потенциале решетки. Однако оказалось, что модель классического идеального газа электронов, помещенных во внешнее электрическое поле, позволила получить замечательную формулу для проводимости, связывающую плотность тока с напряженностью электрического поля. Следуя в то время уже хорошо известной молекулярной теории, Друде предположил, что при своем движении электроны, подобно совокупности молекул идеального газа, сталкиваются и в процессах столкновений хаотично меняют направление своего импульса. Величина проводимости металла оказалась пропорциональной времени между такими столкновениями. При этом природа столкновений для справедливости полученного результата оставалась не очень существенной – это могли быть, как и в идеальном газе, столкновения между самими электронами, а могли быть и столкновения с другими объектами. Сам Друде предполагал, что электроны отталкиваются от сердцевин непроницаемых ионов. Как уже было сказано, строгая теория электропроводности металлов будет создана еще через четверть века, а пока ученые спорили о зависимости времени рассеяния, а следовательно и проводимости, от температуры. Имелись три точки зрения. В 1907 году Эйнштейн для объяснения поведения теплоемкости твердых тел при низких температурах предлагает рассматривать частицы, образующие решетку, как осцилляторы, испытывающие температурные колебания. Поэтому первая теория, основываясь на модели Эйнштейна и учитывая, что при абсолютном нуле температур движение осцилляторов замирает, утверждала, что проводи-

НАУКИ

мость металла при сверхнизких температурах должна стремиться к бесконечности. Вторая теория, наоборот, утверждала, что при понижении температуры замирает также и движение электронов, поэтому проводимость металла должна стремиться к нулю. Наконец, учет наличия примесей, на которых электроны могли бы рассеиваться и в отсутствие теплового движения, приводил к выводу, что в таком металле проводимость остается конечной и при нулевой температуре. При этом в отсутствие примесей электронам сталкиваться оказывается не с кем, и проводимость чистого металла должна стремиться к бесконечности – его сопротивление переносу заряда должно исчезнуть. Камерлинг-Оннес принимает участие в этой дискуссии и находится среди тех, кто верит, что при приближении температуры к абсолютному нулю сопротивление чистого металла стремится к нулю (т.е. его проводимость – величина, обратная сопротивлению, – стремится к бесконечности). В отличие от теоретиков, он является «монополистом» в экспериментальном исследовании сверхнизких, по тем временам, температур. Совершенствуя предложенный ранее Дюаром каскадный метод сжижения $газов,^{2}$ Камерлинг- Оннес в 1906 году сжижает гелий – последний из элементов таблицы Менделеева, остававшийся при нормальном давлении газообразным вплоть до температуры 4,2 К (почти $- 269 ^\circ C ).$ Именно Камерлинг-Оннес в результате тщательных и долгих измерений определяет температуру кипения гелия. Продвигаясь далее в область неисследованного, в 1908 году он обнаруживает и описывает удивительное явление – при температуре около 2 К бурно кипящая поверхность жидкого гелия вдруг успокаивается, наступает штиль. Почти через тридцать лет, в 1937 году, свойства этого необычного состояния жидкого гелия исследовал советский физик Петр Капица. Он обнаружил, что при температуре 2,18 К вязкость жидкого гелия скачком падает до нуля, во всяком случае, учитывая точность измерений, убывает в сотни тысяч раз. Вскоре советский теоретик Лев Ландау дает объяснение наблюдавшемуся Камерлинг-Оннесом «квантовому штилю» – жидкий гелий в этой точке переходит в новое состояние, миллиарды его атомов начинают жить как один организм, они описываются единой волновой функцией и своим поведением напоминают электрон на боровской орбите в атоме. Итак, научившись работать с жидким гелием и имея в своем распоряжении температуры, всего лишь на градусы отличающиеся от абсолютного нуля, Камерлинг-Оннес приступает к изучению поведения в этой области температур чистых металлов. И начинает он с металлов благородных – золота, платины, серебра, прекрасных проводников электрического тока. Однако, изучая температурные зависимости сопротивления золотых, серебряных и платиновых образцов, Камерлинг-Оннес обнаруживает, что все они, убывая линейно с уменьшением температуры вдали от абсолютного нуля, «выходят на насыщение», т.е. достигают некоторого фиксированного значения, при доступных ему низких температурах. Искомого нуля сопротивления он не находит. Следующей на очереди была ртуть, возможно потому, что ртуть – металл, остающийся жидким даже при комнатных

2 Каскадный метод сжижения газов основан на простой идее. При откачке парообразной фазы вещества, соприкасающейся с его жидкой фазой, вырывающиеся из жидкости быстрые молекулы уносятся насосом из объема сосуществования обеих фаз. В результате средняя кинетическая энергия, а следовательно, и температура жидкости понижаются. Правильно подобрав набор газов с последовательно убывающими температурами кипения и заставляя их откачкой кипеть по очереди, можно достигнуть температур вплоть до 1 К.

27

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Ф2339. В вакуумированный сосуд емкостью V = 1,5 л с жесткими и не проводящими тепло стенками впрыснули m = 1,1 г жидкой тяжелой воды $T_{2} O$ при температуре $0 \infty C$ и герметизировали сосуд. Период полураспада ядер трития $\tau = 12,33$ года. При распаде одного моля ядер трития выделяется E = 1,79 ГДж энергии. Молярная теплоемкость тяжелой воды такая же, как и молярная теплоемкость обычной воды, т.е. 75,6 Дж ( моль ◊ К ). Теплота испарения тоже такая же, как и для обычной воды, т.е. L = 40 кДж/моль. Какая температура и какое давление будут внутри сосуда через время t = 2 ч после начала эксперимента? Н.Уклонов

Ответ: всегда. Упорядочим камни по возрастанию весов. Затем переклеим этикетки «по кругу»: на 1-й камень – этикетку со 2-го, на 2-й – с 3-го, …, на 100-й – с 1-го. Теперь на каждом камне, кроме первого, указан больший вес. Если в набор А камней 1-й камень не входит, то сумма весов, указанных на его этикетках, больше веса набора А. Если же 1-й камень в набор А входит, то сумма весов на его этикетках меньше веса набора А, поскольку вес дополнительного набора B (составленного из всех камней, не входящих в А) больше суммы весов на этикетках из B. Л.Медников, А.Семенов, И.Рубанов, А.Шаповалов

Решения задач М2309–М2315, Ф2315–Ф2322

М2311. Внутри единичного куба летает муха. Какой наименьший путь она должна пролететь, чтобы побывать на всех гранях куба и возвратиться в начальную точку?

М2309. На доске 8 ¥ 8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдается этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.

Ладья A бьет всего 15 клеток (на рисунке – розовые) – в своей вертикали и своей горизонтали. Рассмотрим другую клетку C в той же горизонтали, в которой находится A. Ее бьет еще ровно одна ладья B, находящаяся с ней в одной вертикали. Эта же ладья бьет одну клетку D, находящуюся в одной вертикали c A. Тогда A, B, C, D – угловые клетки клетчатого прямоугольника. Если этот прямоугольник – квадрат, ладьям A и B достанется по половине от клеток C и D. Если же он не квадрат, то одна из клеток C и D достанется ладье A, а другая – ладье B. Отсюда ясно, что ладье A из 15 розовых клеток всего достанется 8 клеток: та, на которой она стоит, и половина от оставшихся 14 клеток (остальные ладьи «заберут» по одной из оставшихся 7 розовых клеток). Аналогично, во владении каждой ладьи окажется 8 клеток. Л.Медников, А.Семенов, И.Рубанов, А.Шаповалов

М2310. Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?

Ответ: 2 3. Поместим начало координат в одну из вершин куба и направим оси по его ребрам. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда траектория мухи – замкнутая n-звенная ломаная. Пусть $( x_{i}, y_{i}, z_{i} ), i = 1, 2,$ …, n, – координаты векторов, задающих ребра ломаной, тогда $d_{i} = x_{i}^{2} + y_{i}^{2} + z_{i}^{2}$ – длина i-го ребра и $D = d_{1} + d_{2} +^{…} + d_{n}$ – длина ломаной. Положим $X = x_{1} +^{…} + x_{n}$ (это путь проекции мухи на ось Ox), аналогично, $Y = y_{1} +^{…} + y_{n}, Z = z_{1} +^{…} + z_{n}$. Можно считать, что муха вначале находилась в плоскости x = 0 (плоскости одной из граней), побывала в плоскости x = 1 противоположной грани и вернулась назад. Это означает, что $X \ge 2$. Аналогично, $Y \ge 2$ и $Z \ge 2$. Сумма векторов с координатами $( x_{i}, y_{i}, z_{i} )$ равна вектору (X, Y, Z). Так как сумма длин этих векторов не меньше длины их суммы, имеем

$d_{1} + d_{2} +^{…} + d_{n} \ge$

$X^{2} + Y^{2} + Z^{2} \ge 2 3. 1$

Примером траектории с длиной 2 3 является большая диагональ куба, пройденная дважды. Замкнутая траектория такой же длины получится, если муха начнет движение из любой точки внутри куба с вектором скорости, параллельным большой диагонали куба, а далее будет «упруго отражаться» от каждой из граней куба (докажите!). В заключение отметим, что ответ на аналогичный (гораздо более трудный!) вопрос про правильный тетраэдр рассматривался в задаче М1400 (решение см. в «Кванте» №2 за 1994 г.). А. Канель-Белов

М2312. В квадратной таблице 10 ¥ 10 записаны сто положительных чисел. Сумма чисел в каждой строке равна 100. Коле разрешается переставить числа внутри каждой из строк (но не между строками).

1 Читатель может подумать о том, как выкладки в приведен-

ном решении заменить более геометричным рассуждением с использованием отражения траектории относительно плоскостей граней.

Никто не может сказать, почему тело, приведенное в движение, где-нибудь остановится, ибо почему оно скорее остановится здесь, а не там. Аристотель

Если… я удалю какую-то массу достаточно далеко от всех других масс Вселенной, ее инерция упадет до нуля. Альберт Эйнштейн

Каждая материальная частица в отдельности стремится продолжать дальнейшее движение не по кривой, а исключительно по прямой… Рене Декарт

…инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Ричард Фейнман

От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Исаак Ньютон

…свет, обладая инертной массой, теряет энергию на преодоление гравитационного притяжения… Джей Орир

…проявление инерции в высшей степени отлично от того, которое свойственно обычным силам. Леонард Эйлер

…закон инерции – один из величайших, самых глубоких и самых безумных законов физики. Марк Азбель

А так ли хорошо знакома вам

?

инерция

Даже странно, отчего это понятие, обозначающее одно из основных свойств материи, до сих пор не стало главным героем наших выпусков. Восстановим справедливость и дадим ей право на «сольное выступление». Инерция удивительным образом сочетает в себе очевидную простоту и замысловатую сложность. Проявляется она и в природе, и в творениях наших рук. Порой бывает помехой, но зачастую безусловно полезна. Так, например, хорошо знакомые всем волчок и юла, оказывается, ведут себя подобно хитроумным гироскопическим приборам, служащим для стабилизации движения и ориентации в пространстве множества транспортных средств. Водители нередко прибегают к вождению «накатом», разогнавшись и затем долго расходуя накопленную энергию, в обиходе – «инерцию». Детские машинки с маховичком и фонарики-жуки, светящие благодаря нажатиям на рукоятку, – прообразы накопителей энергии, использующих инерцию вращения. Казалось бы, что общего между собакой, стряхивающей с себя воду, и инерционным термоядерным синтезом? Или между элементарным падением камня на землю и фундаментальными свойствами пространства и времени? Это все она – инерция… Добавим же в копилку наших представлений о ней еще несколько сюжетов в надежде, что нам удастся внести поправки в прямой перевод латинского слова «inertia», означающего «вялость, неподвижность, бездействие».

Вопросы и задачи

1. Почему молотком можно разбить кирпич на ладони, не ощущая боли от удара? 2. Зачем, желая стряхнуть ртуть в медицинском термометре, мы делаем рукой резкое движение вниз и тотчас останавливаем руку?

2. Почему линейка, подвешенная на бумажных кольцах, при сильном ударе по ней переламывается, а кольца остаются целыми? 4. У какого из автомобилей, груженого или порожнего, больше тормозной путь при одной и той же скорости движения? Считайте коэффициент трения одинаковым; сопротивлением воздуха можно пренебречь. 5. Почему в момент, когда электровоз резко трогается с места, иногда происходит разрыв сцепок вагонов поезда? В какой части поезда скорее всего может произойти разрыв? Как его избежать? 6. Тяжелое тело подвешено на пружине к потолку кабины лифта. Каким будет движение тела относительно кабины, если она внезапно начнет свободно падать под действием силы тяжести? 7. а) Однородный брусок висит на нити, и нить в какой-то момент перерезают. б) Тот же брусок лежит на горизонтальной подставке, и подставку внезапно убирают. Определите в обоих случаях, какие частицы бруска будут иметь большее ускорение в начальный момент времени: находящиеся в верхнем сечении бруска или в нижнем. 8. Система из трех одинаковых шаров, связанных одинаковыми пружинами, подвешена на нити, как показано на рисунке. Нить пережигают. Найдите ускорения шаров сразу после пережигания нити. 9. Зависит ли инертность тела от того, в каком направлении оно движется? 10. На правые или на левые рессоры оседает автомобиль при левом повороте? 11. Самолет делает «мертвую петлю». Куда будет направлен подвешенный в нем отвес при прохождении верхней точки траектории?

12. Сохранилось бы вращение Земли вокруг своей оси, если бы вдруг исчезло притяжение Солнца? 13. Кто из людей и где более всего приближался к центру Земли? 14. На широте Москвы в землю вертикально вбивают металлический рельс. Какого знака разность потенциалов возникает между его концами? 15. Как изменится момент инерции точки, если уменьшить вдвое ее массу, но удвоить расстояние от точки до оси вращения? 16. Почему момент инерции сплошного диска меньше момента инерции кольца той же массы и того же радиуса? 17. При каком расположении оси вращения, перпендикулярной однородному стержню, его момент инерции будет наименьшим? 18. Для чего внутри ствола винтовок и пушек делают винтовые нарезки? 19. Известно, как отличить сырое яйцо от вареного: их нужно закрутить на столе. Вареное яйцо легко и устойчиво вращается «стоя», сырое – нет. Почему? Как еще можно различить вареное и сырое яйца? 20. Нужен ли маховик машине, работающей на космическом корабле в условиях невесомости?

Микроопыт Разрежьте яблоко пополам, но не до самого конца, и оставьте его висеть на ноже. Затем ударьте тупой стороной ножа с висящим на нем яблоком по чемулибо твердому, например молотку. Что произойдет? Почему? Где вы сталкивались с похожей ситуацией?

Любопытно, что… …древние греки различали два вида движения – естественное и насильственное. Сегодня под естественным движением, происходящим без приложения сил, подразумевается инерционное движение по прямой. Однако античные ученые считали, что такое движение должно быть вечным и неизменным только в «надлунном мире», т.е. круговым и равномерным движением небесных светил. …Ньютон, называвший инерцию «врожденной силой материи», растолковывает этот термин только как «свойство», не мысля ее в качестве реальной физической силы. Внешнюю, приложенную к телу силу он именует «другой силой». Разъяснение потребовалось из-за неопределенности понятия о силе в XVII и XVIII веках, когда ее значения порой не имели ничего общего с современным, введенным именно Ньютоном, пониманием силы. …Генрих Герц, неудовлетворенный построениями Галилея и Ньютона, создал свою, так называемую бессиловую механику, правда, не принятую научным сообществом. Из нее вытекало, например, что закон инерции справедлив в случае его приложения ко Вселенной в целом, что существует «мировой эфир», обладающий свойствами обычной инертной материи, и что движение планет вокруг Солнца можно объяснить инерцией без привлечения действия сил. …понятие момента инерции, отвечающего за инертность тела при вращении, было введено в начале XVIII века при разработке теории маятника такими знаменитостями, как Якоб Бернулли и Христиан Гюйгенс.

…изменение периода колебаний маятника при перемещении по земной поверхности Христиан Гюйгенс объяснил вращением Земли, приводящим к ее сплюснутости у полюсов и вздутиям у экватора. Для подтверждения он привел в быстрое вращение шар из мягкой глины, надетый на ось, и наблюдал его сплющивание. Этот опыт, кстати, заметно повлиял на космогонические взгляды Иммануила Канта и Пьера Лапласа, разрабатывавших гипотезы происхождения Солнечной системы. …очень быстрое вращение Юпитера – один оборот за 10 часов – приводит к сильной его сплюснутости у полюсов. Луна, совершая один оборот вокруг своей оси за целый месяц, напротив, практически не сплюснута. …самый древний на Земле маховик, обнаруженный при археологических раскопках, был изготовлен пять с половиной тысяч лет назад. Это был гончарный круг – массивный диск из обожженной глины диаметром около метра и с круглым отверстием в центре. После раскрутки диск некоторое время вращался, расходуя накопленную энергию, т.е. исполнял роль маховика. …еще в 1791 году русский механик Иван Кулибин изобрел «самокатку» с маховиком, сглаживающим неравномерность ее движения. А в 1860 году русским инженером Карлом Шуберским был разработан «маховоз», представлявший собой железнодорожную платформу с громадными маховиками в сотни пудов. Разгоняясь на горизонтальных участках и спусках, вращающиеся маховики потом помогали своей инерцией поезду преодолевать достаточно крутые подъемы. …две роли массы – как меры инертности и «гравитационного заряда» – изучал еще Ньютон, проводя опыты с маятниками. Период маятника, по его данным, не зависел от веса груза, как и должно было быть в случае равенства инертной и гравитационной масс тел. Тождественность понятий инерции и тяготения была затем возведена в ранг фундаментального принципа физики и легла в основу общей теории относительности Эйнштейна. …примерно сто лет назад была выполнена серия экспериментов по выявлению носителей заряда в металлах. При внезапной остановке проводника свободные заряды в нем короткое время двигались по инерции, создавая импульс тока. Его направление и показало, что переносчиками заряда являются электроны. …фотоны, не имея массы покоя, обладают инерцией. Так, они притягиваются к другим телам: пролетая мимо Солнца и звезд, поворачивают, создавая космические миражи, или, летя к Земле, увеличивают свою энергию, что сказывается на изменении их частоты. Но остановить, замедлить либо ускорить фотоны, увы, нельзя.

Что читать в «Кванте» об инерции

(публикации последних лет)

1. «Физика внутри автобуса» – 2006, №1, с.27; 2. «Физика в «Рассказах о животных» – 2008, №4, с. 31; 3. «Обтекание вращающихся тел» – 2010, №2, с.49; 4. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с.11, 16,126; 5. «Мог ли Галилей открыть закон всемирного тяготения» – 2013, №2, с.16; 6. «Прекрасные моменты физики» – 2013, №5-6, с.31.

Материал подготовил А.Леонович

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Дана дробь 2/3. Разрешается много раз в любом порядке выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5? К.Кохась

4. Сумасшедший конструктор создал часы с 150

В ящике у Гарри Поттера 100 шариков – красных, белых и зеленых. Три из них – волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех). Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше, чем белых, а белых больше, чем зеленых. Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых, а белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз? Д.Максимов стрелками. Первая стрелка крутится со скоростью один оборот в час, вторая делает 2 оборота в час,…, 150-я стрелка делает 150 оборотов в час. Часы запустили из положения, когда все стрелки смотрели строго вверх. Когда в процессе работы часов встречаются две стрелки или более, эти стрелки немедленно отваливаются. Через какое время после запуска отвалится стрелка, вращающаяся со скоростью 74 оборота в час? К.Кохась

Иллюстрации Д.Гришуковой

Джентльмены всегда говорят правду знакомым и лгут незнакомым. Собрались как-то 50 джентльменов, и каждый сказал каждому из остальных какую-то из фраз: У меня четное число знакомых в этой компании или У меня нечетное число знакомых в этой компании. Может ли так быть, что первая фраза была произнесена ровно 2013 раз? А.Солынин

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на районном туре LXXX Cанкт- Петербургской олимпиады школьников по математике.

а) Разрежьте клетчатый прямоугольник размером 9 ¥ 10 клеток на несколько квадратов так, чтобы среди них было ровно два квадрата с нечетной стороной. Разрезы должны идти по сторонам клеток. б) Клетчатый прямоугольник размером 19 ¥ 20 клеток разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по сторонам клеток). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться среди них? К.Сухов

37

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

6 класс

1. Докажите, что в любом натуральном шестизначном числе, делящемся на 101, можно поменять местами две цифры так, чтобы получилось шестизначное число, также делящееся на 101. 2. Имеется 20 последовательных натуральных чисел. Могло ли оказаться так, что первое число делится на 1, второе – на 2, третье – на 3, …, девятнадцатое – на 19, а двадцатое – на 400? 3. В натуральном числе, не оканчивающемся на цифру 0, вычеркнули два нуля подряд. В результате этого число уменьшилось в k раз, где k – натуральное число. Найдите наибольшее возможное значение k. 4. Можно ли окрасить каждое натуральное число в синий, зеленый или красный цвет так, чтобы все три цвета присутствовали и цвет суммы любых двух разноцветных чисел не совпадал с цветами слагаемых? 5. В Министерстве Пропаганды работали честные сотрудники (которые всегда говорили правду) и патологические лжецы (которые всегда лгали). Каждый сотрудник знал про любого другого, честный тот или лжец. Вновь назначенный Министр Пропаганды у каждого подчиненного спросил про какого-то другого подчиненного, честный тот или лжец. При этом ни про какого подчиненного Министр не спрашивал дважды. После опроса Министр выгнал из Министерства всех сотрудников, которые были названы честными. Могло ли у Министра остаться ровно 2013 подчиненных? 6. В доисторические времена на побережье круглого острова было 2013 деревень и каждые две соседние деревни были соединены двумя разными дорогами с односторонним движением разного направления. Вождь-строитель может между любыми двумя деревнями проложить новую дорогу с односторонним движением, а также посредине любой дороги построить новую деревню. Докажите, что в любой момент времени найдется циклический маршрут по четному числу деревень, который через каждую деревню проходит не более одного раза. 7. Шахматный конь (обозначенный на рисунке буквой K) может совершать ходы в восьми направлениях. Назовем ходы на клетки, обозначенные цифрой 1, казанскими, а на клетки, обозначенные цифрой 2 – вятскими. Может ли конь обойти шахматную доску $8\times 8,$ побывав на каждой ее клетке ровно по одному разу и последним ходом вернувшись в исходную клетку так, чтобы казанские и вятские ходы чередовались? 8. На плоскости проведено 100 прямых. Оказалось, что среди любых четырех из них найдутся две параллельные. Докажите, что среди любых семи из них найдутся три параллельные. 9. Внутри квадрата со стороной 20 проведено несколько отрезков суммарной длины 160, которые разбивают его на несколько прямоугольников. При этом концы каждого проведенного отрезка принадлежат

ШКОЛЬНИКОВ

другим отрезкам или сторонам квадрата и никакие два отрезка не имеют больше одной общей точки. Докажите, что хотя бы у одного прямоугольника периметр не меньше площади. 10. Десять школьников посылали в течение вечера sms-ки друг другу. Каждый послал sms-ки ровно пяти другим школьникам. Какое наибольшее число школьников могло не получить ни одной sms-ки?

7 класс

1. Для любых попарно различных целых чисел x, y и z докажите неравенство

$( x - y )^{3} + ( y - z )^{3} + ( z - x )^{3} \ge 6$.

2. На доске записано 100 подряд идущих натуральных чисел. Вася перемножил 50 чисел: 25 самых больших и 25 самых маленьких. Потом он перемножил 50 оставшихся чисел. Могла ли сумма полученных произведений равняться 100! (т.е. $1 \cdot 2 \cdot$ … $\cdot$ 100)? 3. На доске написано натуральное число. Каждую минуту к нему прибавляют удвоенное количество его натуральных делителей (считая 1 и само число) и записывают полученное число на доску вместо исходного. Какое наибольшее количество точных квадратов может оказаться на доске за сутки? 4. На тропинке между домом Винни-Пуха и домом Пятачка на середине пути поселилась Сова, и еще гдето поселился Тигра. Проходя мимо дома Совы, под впечатлением от увиденного, Винни-Пух уменьшает скорость по сравнению со своей обычной скоростью на 20%. Проходя мимо дома Тигры, под впечатлением от увиденного, Винни-Пух увеличивает скорость по сравнению со своей обычной скоростью на 20%. Оказалось, что появление новых соседей никак не изменило время, необходимое Винни-Пуху, чтобы дойти до Пятачка и вернуться домой. Где мог поселиться Тигра? От дома Пятачка Винни-Пух идет с той же скоростью, с которой к нему подошел. 5. Диего хочет покрыть квадрат $6\times 6$ восемнадцатью фигурками домино $1\times 2.$ Может ли он так разместить в квадрате три фигурки (без наложений), чтобы оставшуюся часть квадрата можно было покрыть оставшимися фигурками единственным способом? 6. При каких натуральных k можно разрезать какойнибудь треугольник на k четырехугольников равной площади? 7. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BD. В треугольнике ADB проведена высота DE, а в треугольнике BCD – медиана DF. Оказалось, что BC + FD = 2BE. Найдите угол DFC. 8. На шахматной доске отмечены 32 клетки. Какое наибольшее количество коней можно гарантировано поставить на эти клетки так, чтобы они не били друг друга? 9. В летний лагерь приехали 300 школьников. Оказалось, что количество троек попарно знакомых школьников больше, чем количество пар знакомых школьников. Докажите, что найдется школьник, знакомый хотя бы с пятью другими. 10. В первый класс простоквашинской средней шко-

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Пусть касательные, проведенные в точках А и В к окружности $\omega$, пересекают прямую $A_{1} B_{1}$ в точках X и Y соответственно и пересекаются в точке Z (рис.5). Докажем важную для дальнейшего лемму.

КРУЖОК

Упомянутые соображения являются мощным инструментом. Скажем, из утверждений 3, 4, 5 вытекает, что треугольник, образованный касательными, проведенными к $\omega$ в точках A, B, C, и ортотреугольник гомотетичны, причем прямая OH (она соединяет центры вписанных окружностей этих треугольников) проходит через центр гомотетии. Используя вспомогательные утверждения и лемму 1, можно решить, например, следующую непростую задачу.

Упражнение 4 (Ю.Блинков, Турнир математических боев имени А.П.Савина, 2008). Прямые MH, $A_{1} B_{1}$ и $ZC_{1}$ пересекаются в одной точке $( C_{1}$ – основание высоты из вершины С.) Докажите это.

Рис. 5

Лемма 1. М – центр вписанной окружности треугольника XYZ. Доказательство. 1) Так как ZA = ZB, то ZM – биссектриса угла XZY (см. рис.5). 2) Заметим, что $MA = MB_{1}$, т.е. М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB_{1}$. Из касания угол XAC равен углу B, но из утверждения 3 угол $XB_{1} A$ также равен углу B. Значит, треугольник $XAB_{1}$ равнобедренный, и точка X тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB_{1}$, который является биссектрисой $\angle AXB_{1}$. Итак, M лежит на биссектрисе $\angle AXB_{1}$, что и требовалось.

Ну, а что же точка Р? Оказывается, она имеет к данной конструкции самое непосредственное отношение. Задача 5 (Ю.Зайцева, Московская устная олимпиада по геометрии, 2012). Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются в точке Р. Для решения этой трудной задачи нам опять потребуется вспомнить еще два факта и доказать лемму. Утверждение 6. Точки $H_{a}, H_{b}$ и $H_{c}$, симметричные ортоцентру относительно соответствующих сторон треугольника АВС, лежат на его описанной окружности и образуют треугольник, гомотетичный ортотреугольнику. Утверждение 7 (основное свойство симедианы). Треугольник AВС вписан в окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках А и В, пересекаются в точке Z. Тогда прямая CZ содержит симедиану (прямую, симметричную медиане CM относительно биссектрисы угла C) треугольника АВС. Лемма 2. Точки Z, P и $H_{c}$ лежат на одной прямой. Доказательство. Согласно основному свойству симедианы, PZ – симедиана треугольника РАB. Остается понять, что $H_{c}$ также лежит на симедиане. Ясно, что точка $H '$ из утверждения 1 (симметричная H относительно M) симметрична точке $H_{c}$ относительно серединного перпендикуляра к AB (рис.6). Тогда дуги $AH '$ и $BH_{c}$ равны, поэтому прямые $PH '$ (медиана) и $PH_{c}$ симметричны относительно биссектрисы угла APB. Лемма доказана.

Упражнение 3 (Ю.Блинков, Турнир математических боев имени А.П.Савина, 2011). Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AMA_{1}$ и $BMB_{1}$, проходят через точки X и $Y соответственно.^{6}$

Далее мы неоднократно встретим треугольники с соответственно параллельными сторонами. Два таких треугольника гомотетичны (т.е. существует центр гомотетии, переводящей один из треугольников в другой), или же существует параллельный перенос, переводящий один из треугольников в другой. Прямые, соединяющие соответствующие вершины двух гомотетичных треугольников, пересекаются в центре гомотетии. Более того, верно следующее: Утверждение 5. Прямые, соединяющие соответствующие точки (например, точки пересечения высот, биссектрис, медиан и т.д.) двух гомотетичных треугольников, пересекаются в центре гомотетии.

6 Можно вначале, используя счет углов, решить упражнение 3 и вывести из него лемму 1.

Рис. 6

НАШИ ОБЛОЖКИ

Зимние причуды солнечных лучей

(Начало см. на 4-й странице обложки)

…Известно, что радуга – это следствие преломления и внутреннего отражения солнечных лучей в мельчайших капельках воды, парящих в воздухе после дождя. Холодной зимой в воздухе вместо капелек появляются кристаллики льда, которых становится особенно много сразу после резкого похолодания. Эти кристалики имеют, как правило, форму гексагональных плоских пластинок или призм. Все знают, как падает лист бумаги. Его падение – это чередующиеся парения и соскальзывания вниз (рис.1), но

пути становится небольшой. Почти всегда разглядеть гало и одновременно сделать снимок, направляя фотокамеру на Солнце, представляется невозможным. Тогда можно закрыть Солнце каким-нибудь предметом, например рукой. В ветреную погоду ориентация плоскости кристалликов беспорядочная. Это приводит к тому, что яркость всех участков гало становится одинаковой. В тихую же погоду кристаллики льда парят над землей так, что их плоскости составляют с горизонталью очень малые уголы. Поэтому участки гало на горизонтальной прямой, проходящей через Солнце, становятся очень яркими. Народы Арктики, где эти две боковые вспышки гало особенно часто можно было наблюдать, назвали их солнечными собаками – за длинные хвосты, идущие в стороны (рис.3).

Рис. 1

бульшую часть времени плоскость листа ориентируется горизонтально. Все плоские легкие предметы ведут себя аналогичным образом, и шестиугольные кристаллики льда тоже – они медленно падают, минимизируя угол между своей плоскостью и горизонталью. Когда свет от Солнца на пути к нам проходит через пространство, заполненное кристалликами льда, можно наблюдать красивое оптическое явление, называемое солнечным гало (рис.2). Бульшая часть солнечных лучей, пре-

Рис. 3

Отражение от парящих кристалликов, плоскость которых составляет с горизонталью слегка различные углы, приводит к тому, что мы видим солнечный столб (рис.4). По механизму возникновения это явление очень похоже на солнечную дорожку на слегка волнующейся поверхности моря.

Рис. 2

Рис. 4

ломляясь в призмах ледяных кристалликов, отклоняется на угол около $22^\circ$. Поэтому, смотря на Солнце, мы видим его окруженным белым кольцом с угловым диаметром $44 ^\circ$. Легче всего разглядеть гало на рассвете, когда высота Солнца невелика. В этом случае солнечные лучи проходят значительную часть своего пути через облако кристалликов льда. При высоком положении Солнца длина этого

Почему кристаллы льда отклоняют солнечные лучи на $22^\circ$? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим ход солнечного луча через кристалл (рис.5). Очевидно, что отклоняться от первоначального направления будут только лучи, попавшие после преломления на грань LM. Поэтому для простоты вычислений можно заменить шестиугольную призму кристаллика льда треугольной призмой с отклоняю-