Квант 2015, №4 · Страницы

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Нарисуйте девятиугольник, который можно разрезать на три треугольника. П.Кожевников

Сто одинаковых шкатулок расположены в ряд, в одной находится бриллиант. На каждой шкатулке сделана надпись: «Бриллиант лежит в соседней шкатулке». Известно, что ровно одна надпись из ста правдивая, а остальные – ложные. Как, открыв всего лишь одну шкатулку, узнать, где лежит бриллиант? Г.Гальперин

В круглом парке проложены две параллельные дорожки, соединенные перпендикулярной им перемычкой, как показано на рисунке. Один пешеход прошел по маршруту ABEF, а второй – по маршруту CBED. Чей путь был длиннее? Г.Гальперин

Иллюстрации Д.Гришуковой

– Однажды, – рассказывал барон Мюнхгаузен, – я встретил 15 детей и заметил, что у любых трех из них вместе ровно 10 монет. Тогда я тут же сообразил, сколько всего монет у этих 15 детей. А вы можете ответить, сколько всего монет было у детей? Не напутал ли чего Мюнхгаузен? П.Кожевников

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов.

Даны 5 карточек, на них написаны дроби 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6. Можно использовать некоторые (или все) карточки, знаки арифметических действий и скобки. Получите таким способом все целые числа от 0 до 20. Д.Шноль

24

КВАНТ 2015/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Однажды на уроке математики Толик Втулкин написал слева направо в строку по возрастанию все натуральные числа от 1 до 11. Он заметил, что начиная с числа 2 и до конца строки в ней всего 10 чисел – ровно в 5 раз больше, чем само число 2. А начиная с числа 3 и до конца строки в ней всего 9 чисел – ровно в 3 раза больше, чем само число 3. Наконец, начиная с числа 4 и до конца строки в ней всего 8 чисел – ровно в 2 раза больше, чем само число 4. Толик назвал числа 5, 3, 2 умножителями и написал их во второй строке под числами 2, 3, 4:

1

2 3 4 5 6 5 3 2

7 8 9

10 11

Развивая теорию умножителей, Толик написал в строку по возрастанию все натуральные числа от 1 до n, а под некоторыми из них – их умножители. Во второй строке у него оказались числа 11, 9, 7, 5, 4, 3, 2. Найдите наименьшее возможное значение n. С.Дворянинов

2. Имеется квадратная клетчатая доска размером $2n \times 2n$ клеток (n – натуральное), у которой первоначально все клетки – белые. Закрасим некоторые из них в черный цвет. Назовем раскраску изящной, если в каждой горизонтали и каждой вертикали закрашено ровно по n клеток (например, обычная раскраска шахматной доски – изящная).

Возьмем две произвольные изящные раскраски. Петя уверен, что если разрешить менять местами любые две горизонтали или любые две вертикали, то за несколько таких операций можно из первой раскраски получить вторую. Коля считает, что это не так. Для каких n прав Петя, а для каких – Коля? И.Акулич

3. На плоскости расположены два равных треугольника, не имеющих общих точек (ни внутри, ни на границах). Прямая $П_{1}$ делит площадь каждого из них пополам, а прямая $П_{2}$ делит пополам их периметры. Могут ли прямые $П_{1}$ и $П_{2}$ быть взаимно перпендикулярны? И.Акулич

4. Дети изготовили 45 двусторонних карточек, на каждой на разных сторонах написаны две различные цифры, причем каждая пара цифр встречается ровно на одной карточке. Учитель выкладывает эти карточки на стол. Сможет ли он сделать это так, чтобы дети сумели определить хотя бы про одну карточку, какая цифра написана на ее обратной стороне? И.Богданов

5. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна h. Каково наименьшее возможное значение длины средней линии такой трапеции? С.Дворянинов

Деревянная лошадка и сила трения

С.ДВОРЯНИНОВ

ВДЕТСТВЕ У БУРАТИНО БЫЛО НЕМАЛО ИГРУШЕК, и почти все они были самодельные – их делал Папа Карло. Но он был настоящим мастером, и все игрушки были прекрасные. Буратино знал, что к предстоящему дню рождения он получит от Папы Карло очередную новую игрушку. И вот как-то Папа Карло сказал: «Не буду таить, я хочу подарить тебе лошадку!» С этими словами он принялся за работу, а Буратино устроился рядом и стал наблюдать, как из-под резца появились сначала голова лошади, потом грациозный корпус и, наконец, четыре ноги, по которым сразу был видно, какая это резвая лошадка. – Так, промолвил Папа Карло, – сейчас мы поставим лошадку на постамент. – Он взял подходящую прямоугольную дощечку и укрепил на ней свое творение. – Ура! – воскликнул Буратино. – У меня есть новая

26

КВАНТ 2015/№4

Внешнее кольцо подшипника катится по шарикам (или роликам), которые катятся по внутреннему кольцу подшипника. Правда, в настоя- щих подшипниках есть еще одна деталь – называется сепаратор.

Рис. 4

– Сепаратор? Это я знаю, – воодушевился Буратино. – Когда я был у Мальвины на

ее дне рождения, она угощала гостей клубникой со сливками. Она брала молоко, пропускала его через сепаратор, и получались сливки. Сепаратор отделяет сливки от молока. А зачем сепаратор в подшипнике? – Слово «сепаратор» может употребляться в разных случаях. Сепаратор в шарикоподшипнике – это своеобразная решетка, которая отделяет один шарик (или ролик) от другого и направляет их движение, – ответил Папа Карло.

– Вот теперь мне все ясно! – весело воскликнул Буратино.

С этажа на этаж

И.АКУЛИЧ

КАК ТОЛЬКО ЧЕЛОВЕЧЕСТВО НАЧАЛО СТРОИТЬ многоэтажные дома, появились и многочисленные весьма разнообразные задачи про них. Пожалуй, самую эффектную предложил в 1914 году судебным врачам незабвенный Йозеф $Швейк^{1}$: – Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше – два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка? Задача производит сильное впечатление, и, возможно, именно поэтому ее до сих пор никто не решил. Мы, правда, такие задачи рассматривать не будем – ограничимся теми, которые можно одолеть, используя обычный школьный курс математики. Например, такая (автор – М.Ролова): На первом этаже большого дома у лифта встретились пятеро друзей. Женя сказал: «Если считать отсюда, то я живу выше, чем ты, Вова, в два раза, выше Пети в три раза, выше Андрея в четыре раза и выше Тани в шесть раз». «Ты это здорово подметил, – отозвался Андрей, – а ты, Петя, потише стучи своими гантелями у меня над головой». На каком этаже живет Андрей? Прикинем, на сколько этажей выше первого может жить Женя. Это число (разумеется, натуральное) должно одновременно делиться на 2, 3, 4 и 6, а следовательно – на их наименьшее общее кратное, равное 12. Поэтому номер этажа, на котором живет Женя, можно записать как 12k + 1, где k – некоторое натуральное число. Отсюда легко выяснить, что Вова живет на (6k + 1)-м этаже, Петя – на (4k + 1)-м, Андрей – на (3k + 1)-м и Таня – на (2k + 1)-м. Как-то многовато получается возможностей, но здесь спасают упомянутые в условии гантели. Из условия следует, что Петя живет непосредственно над Андреем – т.е. на 1 этаж выше. А поскольку (4k + 1) – – (3k + 1) = k, то k = 1. Итак, Женя живет на 13-м этаже, Вова – на 7-м, Петя – на 5-м, Андрей – на 4-м и Таня – на 3-м этаже. В следующей задаче лифт не просто упоминается, но и активно используется (автор – А.Спивак):

1 Ярослав Гашек. «Похождения бравого солдата Швейка во время мировой войны». Часть первая, глава III.

В 100-этажном доме испорчен лифт. Он может либо подниматься при нажатии одной кнопки на 79 этажей вверх, либо при нажатии другой – опускаться на 21 этаж вниз. Когда сверху меньше 79 этажей, лифт вверх не пойдет, аналогично – вниз. Лифт отправляется с первого этажа. Какое наименьшее количество раз надо нажать кнопки, чтобы лифт вернулся на первый этаж? Оценим снизу число нажатий. Пусть пришлось m раз нажать кнопку подъема на 79 этажей и n раз нажать кнопку спуска на 21 этаж. Всего, таким образом лифт поднялся по сравнению с первоначальным положением на 79m – 21n этажей. Но лифт в итоге вернулся на тот же 1-й этаж! Поэтому 79m – 21n = 0, и 79m = 21n. Так как числа 79 и 21 взаимно просты, то m делится на 21, а n делится на 79. Следовательно, их сумма не меньше 79 + + 21 = 100. Значит, кнопку надо нажать как минимум 100 раз. В силу того что 79 + 21 = 100, нет ни одного этажа, на который можно приехать и сверху, и снизу, и нет ни одного этажа, с которого можно уехать и вверх, и вниз. Значит, на каком бы этаже мы ни находились, можно точно сказать, какой этаж был предыдущим и какой будет следующим. Поэтому для пассажира задача решается автоматически, и не надо даже отслеживать, на какой этаж попал лифт после очередного нажатия. Требуется лишь нажимать кнопки как попало (ровно одна из двух всякий раз сработает) и отсчитывать количество передвижений. Докажем, что после сотого передвижения можно выходить – цель будет достигнута. Рассуждаем, используя метод «от противного». Предположим обратное – что, стартовав с 1-го этажа и выполнив 100 переездов, мы оказались не на 1-м этаже. Мы уже доказали, что не могли оказаться на 1-м этаже и раньше 100-го перемещения, поэтому среди этажей, на которых побывал лифт после каждого из ста перемещений, 1-го этажа нет. Но тогда лифт как минимум дважды побывал на каком-то из остальных этажей (их-то всего 99, а перемещений – больше!). Выберем тот момент, когда лифт впервые повторно попал на какой-то этаж. Предыдущий этаж, с которого приехал лифт, однозначно определен, а значит, и на нем лифт побывал дважды. Противоречие – ведь мы выбрали момент, когда повторное попадание произошло впервые. Значит, предположение

27

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

было неверным, и после 100-го перемещения лифт окажется именно на 1-м этаже, что и требовалось доказать. Из нашего рассуждения видно, что в ходе перемещений к заданной цели (т.е. исходному положению) лифт побывает на всех этажах дома. Это, кстати, позволяет сделать вывод, что независимо от исходного этажа можно ровно за 100 перемещений лифта вернуться туда же. Помимо этажей, в задачах про многоэтажные дома фигурируют также подъезды и квартиры. При этом по умолчанию принимается, что этажи нумеруются снизу вверх, начиная с $единицы.^{2}$ Подъезды тоже нумеруются по порядку. Все лестничные площадки (если в тексте специально не указано иное) по умолчанию предполагаются одинаково устроенными (с одинаковым же количеством квартир на этаже), и квартиры нумеруются подряд, начиная с первой: сначала в первом подъезде на первом этаже, потом на втором, третьем, и так далее до последнего этажа, затем нумерация продолжается с первого этажа второго подъезда и далее вверх… Впрочем, мы все это хорошо знаем по себе: ведь многие из нас живут в многоэтажках! Именно такая стандартная общепринятая схема позволяет не упоминать лишние детали, что позволяет делать условие более компактным. Например: Семиклассник Петя переехал в новый пятиэтажный дом, у которого 1-й и 2-й этажи во 2-м и 3-м подъездах заняты под склад. На каждой лестничной площадке не более четырех квартир. Номер квартиры Пети – 31. На каком этаже живет Петя? Задача была придумана еще в семидесятые годы прошлого века, когда такие дома строили направо и $налево.^{3}$ Но суть не в этом. Смущают слова «…не более четырех квартир». А сколько именно? Неизвестно. Ничего не поделаешь, придется рассматривать все варианты. Что ж, нарисуем схематично пятиэтажный дом и расставим в нем номера квартир, «захватив» при этом 31-ю квартиру – ведь что там дальше, нас не интересует (при этом места, занимаемые злополучным складом, просто закрасим черным цветом и при нумерации пропустим). Итак, если на каждом этаже одна квартира, то все это выглядит так:

2 За рубежом в некоторых странах – с нуля, но мы такие

возможности рассматривать не $будем.^{3}$ Ничего удивительного нет: по строительным нормам в домах не выше пяти этажей не требуется лифт – очевидная экономия!

ШКОЛЬНИКОВ

Как видно, если квартир на этажах по одной, то 31-я квартира – на пятом этаже. А если квартир 2, 3 или 4, то соответственно имеем:

Удивительно, но факт: во всех случаях 31-я квартира находится на пятом этаже. Так что ответ однозначен, несмотря на некую расплывчатость условия. Что, не понравилось использование перебора? Конечно, метод не слишком привлекательный, но ничем не хуже других. Впрочем, он требуется далеко не всегда. Например, такая задача (автор – А.Ковальджи): Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в 10-м подъезде в квартире 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? Ключ к решению – оценка возможного числа квартир на этаже. Если на этаже не более трех квартир, то всего их в десяти подъездах не более $3 \cdot 9 \cdot 10 = 270$, т.е. в 10-м подъезде 330-й квартиры не будет. Если же квартир не меньше пяти, то уже в девяти первых подъездах будет не менее $5 \cdot 9 \cdot 9 = 405$ квартир, так что опять 333-я квартира в 10-й подъезд не попадает. Значит, никуда не денешься – на каждом этаже 4 квартиры. Тогда в первых девяти подъездах 4 ◊ 9 ◊ 9 = 324 квартиры, и в 10-м подъезде номера квартир начинаются с 325-й. А отсюда уже элементарно определяется, что Пете нужно подняться на третий этаж. А вот задача, для решения которой главное – подобрать правильный подход (автор – А.Хамитдулин): Коля и Витя живут в одном доме. На каждом из этажей во всех подъездах их дома расположено по четыре квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире №83, а Витя – на третьем этаже в квартире №169. Сколько этажей в их доме? Пусть в доме Э этажей. Обозначим количество подъездов от первого до того, в котором живет Коля (не считая того подъезда, в котором он живет), через К. Тогда во всех предыдущих Колиных подъездах всего 4ЭК квартир. Добавим сюда и квартиры Колиного подъезда вплоть до квартиры самого Коли включительно. На четырех этажах под ним всего $4 \cdot 4 = 16$ квартир. А на Колином этаже сколько? Нетрудно сообразить, что наибольший номер квартиры на каждом этаже делится на 4. Поэтому наи-

28

КВАНТ 2015/№4

больший номер квартиры на предыдущем, четвертом, этаже равен 80, так что Колин этаж дает добавку еще в 3 квартиры. Итого получаем: 4ЭК + 16 + 3 = 83, откуда ЭК = 16. Обозначив для Вити аналогичное количество подъездов через В, такими же рассуждениями получим: 4ЭВ + 8 + 1 = 169, откуда ЭВ = 40. Итак, искомое значение Э является делителем чисел 16 и 40. У них есть четыре общих делителя: 1, 2, 4 и 8. Но поскольку Коля живет на пятом этаже, то Э заведомо не меньше 5. Поэтому остается единственная возможность: Э = 8, т.е. в доме 8 этажей. Над созданием следующей задачи трудился целый авторский коллектив (Т.Голенищева-Кутузова, В.Гуровиц, П.Кожевников, И.Ященко): Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать еще 2 подъезда и добавить еще 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? Что ж, пусть согласно исходному проекту в доме было П подъездов, Э этажей и по К квартир на каждой площадке. Тогда из условия следуют два утверждения: ( П $- 2 ) \cdot ($ Э $+ 3 ) \cdot$ К > ПЭК,

( П $- 4 ) \cdot ($ Э $+ 6 ) \cdot$ К < ПЭК. Из первого неравенства 3П – 2Э > 6, а из второго 3П – 2Э < 12. Итак, осталось подобрать (если это возможно) такие значения П и Э, что 6 < 3П – 2Э < 12. Это не составляет труда – например, П = 5 и Э = 4, так что если в исходном проекте было 5 подъездов и 4 этажа,

то описанная ситуация могла произойти. При этом число квартир на площадке совершенно не играет роли, так как сокращается при преобразованиях. Надеемся, читатель вошел во вкус, рассматривая решения представленных задач. Самое время предложить парочку аналогичных задач для самостоятельного решения. Правда, у них есть одна особенность: для пущего читательского удовольствия в каждую задачу вставлена маленькая ловушка, которая может натолкнуть на ложный след. Так что будьте бдительны! Первая задача. Жильцы всех квартир, выходящих на одну лестничную площадку, решили прикрепить на двери новые номера и обратились в кооператив с просьбой изготовить необходимые для этого 7 цифр. Оказалось, что кооператоры берут за изготовление каждой цифры столько рублей, каково значение этой цифры (например, двойки производят по 2 рубля за штуку, а нули – вообще бесплатно). Жильцы собрали с каждой квартиры по 3 рубля, и этого им хватило. Сколько и каких цифр было заказано? Вторая задача. У лифта на первом этаже 18-этажного дома собрались 17 школьников, которым надо подняться вверх, причем всем на разные этажи. Лифтер же согласен сделать лишь один рейс на любой этаж, а дальше пусть они идут пешком (лифт достаточно велик и способен вместить всех). Известно, что все школьники с одинаковым неудовольствием спускаются пешком на один этаж и с двойным неудовольствием поднимаются пешком на один этаж. Какой этаж им надо выбрать, чтобы суммарное неудовольствие было наименьшим?

XXI Турнир математических боев имени А.П.Савина

С 26 июня по 2 июля 2015 года на базе отдыха «Берендеевы поляны» (Судиславль, Костромская обл.) прошел ежегодный турнир математических боев. Сроки и место проведения турнира давно стали традиционными. Прошедший турнир собрал 36 команд школьников, окончивших 5–9 классы, из Москвы, Санкт-Петербурга, Ижевска, Ленского края (республика Саха) и Ярославля. В день открытия турнира проводилась разминочная игра «Математический квадрат», а на следующий день прошла устная командная олимпиада. По ее результатам и с учетом возраста школьников участников раздели на шесть лиг для проведения математических боев: высшая и первая лиги 6 классов, лиги 7, 8 и 9 классов, а также лига 7–8 классов. Впервые за много лет в числе победителей турнира оказались только команды из Москвы: в высшей лиге 6 – команды ФМШ 2007 (руководитель – Н.Волкова) и гимназии 1514 (руководитель – Л.Бычкова), в первой лиге 6 – еще одна команда гимназии 1514 (руководитель – Д.Шаинская), в лиге 7 – команда школы 9 (руководитель – К.Скопцов), в лигах 8 и 7–8 – команды гимназии 1543 (руководители – О.Орел и А.Заславский), в лиге 9 – команда ФМШ 2007 (руководитель – Е.Лысенок). В рамках турнира также традиционно проводилась личная устная олимпиада в каждой параллели. Основные организаторы турнира – «Фонд математического образования и просвещения» и Образовательная программа

«Большая перемена» (председатель оргкомитета – C.И.Комаров). Отбором задач и составлением вариантов занимается методическая комиссия. В этом году в ее составе работали Э.Акопян, М.Артемьев, В.Арутюнов, Е.Бакаев, А.Банникова, А.Блинков (председатель), Ю.Блинков, Е.Горская, А.Заславский, О.Заславский, Ю.Котельникова, Н.Наконечный, И.Раскина, А.Хачатурян, П.Чулков, А.Юрков. В состав жюри турнира входили и все желающие руководители команд школьников. Приведем некоторые задачи турнира (в скобках после номера задачи указано, для каких классов она предлагалась).

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ

1 (6–7). На каждой клетке доски стоит по гному – лжецу или рыцарю (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Соседями считаются гномы в клетках с общей стороной. Какое наибольшее количество гномов на шахматной доске могли бы сказать фразу «Среди моих соседей лжецов больше, чем рыцарей»? А.Шаповалов

2 (7). Летняя школа проходила 11 дней. Каждый день кормили комаров 10% ее участников. Для любых

Затем смотри: сохраняет ли луч свою прямизну, которую он имеет снаружи, проходя через воду, заключенную между сосудами, или нет? Леонардо да Винчи

Ученейший Декарт предложил закон преломления, который, как считают, согласуется с опытом… Пьер Ферма

…идея о глубокой взаимосвязи двух великих принципов Геометрической оптики и Динамики могла бы стать ценным руководством для реализации синтеза волн и квантов. Луи де Бройль

…существует некий предел, за которым всякое уточнение бессмысленно, потому что приближение геометрической оптики перестает работать! Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

оптика и геометрия

Законы прямолинейного распространения и отражения света, о которых шла речь в прошлом выпуске «Калейдоскопа», практически были известны с глубокой древности. Затем они многократно проверялись и подтверждались и в опытах и расчетами. А вот история поиска закона преломления света оказалась и более длительной, и несравненно драматичней. Если физикам в их выводах не хватало порой геометрических соображений, то математики зачастую увлекались исключительно формальной стороной вопроса, не обращая внимания на физическую неопределенность вводимых ими понятий. Случалось, что, споря друг с другом, ученые умудрялись доказать то, что надеялись опровергнуть. Однако взаимодействие наук и в этих спорах приносило весьма ощутимые плоды. Так, установленный в XVII веке Пьером Ферма оптический принцип привел к разработке метода решения экстремальных задач, на нем фактически базировались все дальнейшее развитие лучевой – геометрической – оптики и построение оптики волновой. Достижение Ферма стало родоначальником целого семейства так называемых вариационных принципов в физике. Не менее удивительные практические результаты принес XX век. Предсказанные, а затем и открытые свойства новых оптических сред – метаматериалов – заставили изменить многие привычные представления. Сегодня физики, инженеры и математики в творческом сотрудничестве создают, манипулируя этими свойствами, новую оптику для микроэлектроники, вычислительных устройств, средств связи, кино-, фотои видеотехники. Попробуем и мы оснастить себя «оптическим инструментарием» для подключения к этой увлекательной работе.

Вопросы и задачи

1. Два наблюдателя одновременно определяют на глаз высоту солнца над горизонтом. Один из них находится на берегу реки, другой – под водой. Для кого из них солнце будет казаться выше? 2. Если на сосуд с водой, в который брошено несколько кусочков сахара (без размешивания), упадет узкий луч света, например от лазера, то он искривится. Почему? 3. На дно сосуда с водой положили небольшое тело и накрыли его воронкой, горлышко которой закрыли пальцем. Почему тело не видно, если смотреть сверху, и становится видным, когда вода войдет внутрь воронки? 4. Два концентрических полушара изготовлены из стекол с различными показателями преломления и расположены, как показано на рисунке 1. Постройте дальнейший ход луча АВ, если отношение радиусов шаров равно отношению их показателей преломления. 5. Как построить $изображение_{Рис.} 1$ предмета в плоскопараллельной пластинке с показателем преломления, равным –1? 6. Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобедренного треугольника. Одна из равных граней посеребрена. Луч света падает нормально на другую, непосеребренную грань и после двух отражений выходит через основание призмы перпендикулярно ему. Найдите углы призмы. 7. На рисунке 2 показаны положения фокусов тонкой линзы и ход луча после ее прохождения. Построите ход этого луча до линзы.

Рис. 2

Рис. 3

8. Луч света проходит через точку А, преломляется в линзе и проходит через точку В, показанные на рисунке 3. Восстановите ход луча. 9. Покажите с помощью построения, как будет распространяться после линзы луч АВ, изображенный на рисунке 4. 10. На рисунке 5 показаны положения светящихся точек А и В относительно главной оптической оси

Рис. 4

Рис. 5

линзы. Где и как следует расположить экран, чтобы одновременно получить на нем четкие изображения обеих точек? 11. Центр квадрата АВСD с длиной стороны F находится на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F на расстоянии 2F от нее. Стороны АВ и СD параллельны оси. Постройте изображение квадрата. 12. Рассеивающую линзу с известным расположением фокальных плоскостей распилили по диаметру. Половинки раздвинули по вертикали на небольшое расстояние. Постройте изображения точки S, лежащей на оси симметрии системы. 13. Оптическая система дает действительное изображение предмета. Можно ли построением найти такое положение рассеивающей линзы, при котором изображение останется действительным и станет в три раза больше?

Рис. 6

Микроопыт Убедитесь, что карандаш, погруженный вертикально в стеклянный цилиндрический стакан с водой, имеет вид, показанный на рисунке 6. Объясните явление.

Любопытно, что… …впервые подробно преломление света описано древнегреческим ученым Клеомедом в I веке новой эры. Ему было известно об изменении угла при переходе луча из более плотной среды в менее плотную и обратно. …проведение Птолемеем во II веке новой эры опытов по определению величины преломления света при переходе из воздуха в воду, из воздуха в стекло и из воды в стекло – один из чрезвычайно редких примеров, когда ученые древности не удовлетворялись лишь наблюдениями, а прибегали к экспериментам. …хотя ко времени публикации в 1611 году кеплеровской «Диоптрики» закон преломления света еще не был точно сформулирован, автору этого труда удалось описать свойства различных линз. Впервые было разъяснено, как следует строить изображение, используя ход двух световых лучей и отыскивая пересечение этих лучей или их продолжений. …в бумагах умершего в 1626 году голландского математика Снеллиуса был найден оптический трактат, содержащий формулировку закона преломления света. В 1637 году появилась первая печатная публикация этого закона в современной форме, принадлежащая французскому ученому Рене Декарту. Французский математик Пьер Ферма свел проблему отыскания закона к решению чисто геометрической задачи. Гораздо более простой вывод закона, использующий, правда, выдвинутый Ферма принцип, дал автор волновой теории света Христиан Гюйгенс. …сложность вычислений Ферма оказалась связана с отсутствием в то время одного из важнейших математических понятий – производных. Опирающийся на их применение вывод закона Снеллиуса, вошедший в классические учебники, был найден выдающимся немецким ученым Лейбницем в 1684 году. …сразу после открытия закона преломления света стали предприниматься попытки детального расчета линзовых систем. Так, итальянец Бонавентура Кавальери нашел в 1647 году зависимость фокусного расстояния линзы от кривизны ограничивающих ее поверхностей. Положения изображений в тонких линзах для произвольного положения предмета были геометрически найдены в 1669 году учителем Ньютона Исааком Барроу. А в 1693 году английским исследователем Эдмундом Галлеем была получена алгебраическая формула тонкой линзы. …еще Леонардо да Винчи в своем «Кодексе о глазе» выдвинул идею о контактных линзах. Применить ее на практике смог только в XVIII веке один из создателей волновой оптики Томас Юнг. Он нанес на глаз английского астронома Джона Гершеля слой прозрачного геля, который позволил устранить у того дефект зрения. …в развитие геометрической оптики внесли свой вклад такие замечательные математики, как Леонард Эйлер, нашедший в 1766 году связь между показателем преломления вещества призмы, ее преломляющим углом и отклонением светового луча при ее прохождении, и Карл Гаусс, разработавший теорию изображений в параксиальных лучах света – тонких пучках, мало отклоняющихся от оптической оси системы. …прогресс, достигнутый в материаловедении и приведший к появлению сред с отрицательными преломлением света, позволяет создавать так называемые суперпризмы, способные формировать изображения деталей, более мелких, чем длина волны используемого света, что невозможно для линз с положительным преломлением. …в отличие от обычной собирающей линзы, в гравитационной линзе, образуемой массивными космическими объектами, сильнее преломляются лучи, проходящие ближе к оси наблюдения, т.е. к притягивающему центру. Недавно галактика, оказавшаяся на пути излучения, испускаемого окружающим черную дыру веществом, усилила это излучение, превратив в четыре источника. Их анализ дал возможность измерить скорость вращения черной дыры, удаленной от нас на шесть миллиардов световых лет.

Что читать в «Кванте» о преломлении света (публикации последних лет)

1. «Нулевые «линзы» – 2009, №3, с.41; 2. «Увеличительная линейка» – 2010, №5, с.42; 3. «Оптика колбы» – 2011, №1, с.38; 4. «Свет в неоднородной среде» – 2011, №4, с.43; 5. «Решение задач на тонкие линзы» – 2011, №5–6, с.41; 6. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с.112; 7. «Геометрия световых лучей» – 2013, №1, с.55; 8. «Лазерный резонатор» – 2013, №2, с.2.

Материал подготовил А.Леонович

44

КВАНТ 2015/№4

обоих направлениях до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные — в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих. Фольклор, предложил Г.Гальперин

7. (10) Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император в каком хочет порядке задает каждому волшебнику по вопросу (требующему ответа «да» или «нет») и слушает ответ, а после всех ответов одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнает, добрый он был или злой. После этого император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго. И.Митрофанов

10–11 классы

1. а) (2) См. задачу 3,а для 8–9 классов. б) (3) См. задачу 3,б для 8–9 классов.

2 (5). См. задачу М2391 «Задачника «Кванта».

3. а) (2) См. задачу М2392,а «Задачника «Кванта». б) (6) См. задачу М2392,б «Задачника «Кванта».

4 (8). См. задачу 6 для 8–9 классов.

5 (10). Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но при этом у их произведения модули всех коэффициентов не больше 1? А.Канель-Белов

6 (10). См. задачу М2394 «Задачника «Кванта».

7 (10). См. задачу М2395 «Задачника «Кванта».

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

1. См. задачу М2390 «Задачника «Кванта».

2. Треугольники ABC и ADE таковы, что E лежит на луче AB, а D лежит на луче AC. Оказалось, что биссектрисы BX и DY этих треугольников перпендикулярны. Докажите, что XY параллельно EC. В.Мокин 3. Изначально в бизнес-центре базировались $2^{n}$ фирм, каждая занимала некоторую площадь, все площади были различны. Каждый год фирмы объединялись в пары, и в каждой паре фирма с меньшей площадью присоединялась к фирме с большей. При этом ни в какой момент времени не было двух фирм с одинаковой площадью. Через n лет осталась одна фирма. Какое наименьшее место по площади (считая от меньшей к большей) эта фирма могла занимать вначале? Б.Френкин 4. См. задачу М2393 «Задачника «Кванта».

3. В кубическую коробку поместили 3 одинаковых шара. Докажите, что в точно такую же пустую коробку можно поместить 4 таких же шара. М.Евдокимов 6. Два дворца спорта набрали школьников в секции. В каждой секции первого дворца не меньше чем по n детей, а в каждой секции второго – не меньше чем по k детей. Оказалось, что каждый школьник посещает столько же секций в первом дворце, сколько и во втором. Кроме того, в любых двух секциях из разных дворцов есть не более одного общего школьника. Докажите, что в первый дворец попало не меньше nk детей. Н.Верещагин, А.Ромащенко Публикацию подготовили И.Богданов, С.Дориченко, Л.Медников, И.Рубанов, А.Семенов, Б.Френкин, А.Шаповалов

Избранные задачи LXXVIII Московской математической олимпиады

1 (6 класс). Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нем картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рисунок) Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.) Т.Голенищева-Кутузова

2 (7 класс). Имеется набор из двух карточек: 1 и 2. За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение — целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке.

(Например, имея карточки 3, 5 и 7, можно составить выражение 7 5 /3 и получить карточку 25 или составить выражение 3 5 и получить карточку 35 .) Как получить карточку с числом 2015: а) за 4 операции; б) за 3 операции? И.Ященко

3 (7 класс). Петя записал 25 чисел в клетки квадрата $5 \times 5$. Известно, что их сумма равна 500. Вася может попросить его назвать сумму чисел в любой клетке и всех ее соседях по стороне. Может ли Вася за несколько таких вопросов узнать, какое число записано в центральной клетке? Е.Бакаев

4 (8 класс). Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре различные цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При

47

ОЛИМПИАДЫ

4. Туристы развели костер и поставили кипятиться воду в котелке с плоским дном и вертикальными стенками, заполнив котелок на n = 3/4 его объема. Когда вода закипела, котелок не сняли с костра, и спустя $t_{1} = 10$ мин после начала кипения количество воды в котелке уменьшилось на $\eta_{1} = =$ 34%. В этот момент начался дождь, но туристы продолжали поддерживать костер, поскольку группа людей с продуктами задерживалась. За следующие $t_{2} = 8$ мин количество воды в котелке уменьшилось еще на $\eta_{2} =$ 8% от своего первоначального значения. Известно, что пустой котелок, поставленный вертикально на землю, наполнился бы под дождем доверху за время $t_{3} = 64$ мин. Определите температуру дождевых капель до их попадания в котелок. Удельная теплоемкость воды c = 4200 Дж ( кг $\cdot ^\circ$ С ), удельная теплота парообразования воды $r = 2,2 \cdot 10^{6}$ Дж кг. Считайте, что подводимая к воде в котелке тепловая мощность все время поддерживается постоянной и интенсивность дождя не меняется. М.Ромашка

9 класс

1. Мячик бросают с начальной скоростью v с поверхности земли под углом $\alpha$ к горизонту. В момент нахождения мячика на максимальной высоте из той же точки на поверхности земли бросают камень под углом $\beta$ к горизонту. Размеры мячика и камня малы, сопротивлением воздуха можно пренебречь. 1) Определите, с какой начальной скоростью u бросили камень, если он столкнулся с мячиком во время его полета. 2) Найдите время движения камня от момента его броска до момента столкновения с мячиком. Л.Арзамасский 2. На горизонтальном глинистом дне водоема стоит кубик с длиной ребра a и плотностью $\rho$. Высота уровня воды над верхней гранью кубика равна H. В начальный момент времени воды под кубиком нет. Вода начинает очень медленно подтекать под кубик. Чему будет равна площадь S части нижней грани, которая останется сухой к моменту, когда кубик начнет всплывать? Плотность воды $\rho_{в}$, кубик легче воды. Е.Мажник 3. Для изготовления нагревательной спирали кипятильника взяли проволоку длиной $l_{1}$. После подключения этого кипятильника к источнику напряжения с малым внутренним сопротивлением на нагревание некоторой массы воды в калориметре на $50 ^\circ C$ было затрачено время $\tau_{1} = 2$ мин. Затем проволоку, из которой была сделана спираль кипятильника, расплавили и изготовили из расплава новую проволоку длиной $l_{2} = 2 l_{1}$. Из новой проволоки сделали другую спираль для кипятильника, опустили его в другой калориметр с другим количеством воды и подключили кипятильник к тому же источнику напряжения. На нагревание воды на $50 ^\circ C$ во втором калориметре было потрачено время $\tau_{2} = 12$ мин. Во сколько раз масса воды во втором калориметре отличается от массы воды в первом калориметре? Считайте, что потерь тепла при нагревании воды не происходит, теплоемкости калориметров пренебрежимо малы, а плотность и проводимость металла после переплавки остаются прежними. Е.Якута

2. Участок AB электрической цепи, схема которого показана на рисунке 3, состоит из одинаковых резисторов и проводов, сопротивление которых пренебрежимо мало. Сопротивление этого участка цепи равно $R_{1} = 730$ Ом. После того как школьник Вася перерезал один из проводов, сопро-

Рис. 3

тивление участка АВ стало равным $R_{2} = 1360$ Ом. В каких точках Вася мог перерезать провод? Укажите две такие точки. Ответ обоснуйте. М.Ромашка

10 класс

1. По спокойной поверхности озера плывет маленький катер, траектория которого параллельна прямой линии берега и лежит от него на расстоянии L (рис.4). Стоящий в точке A наблюдатель увидел, что первая волна от катера достигла точки A спустя время t после того, как катер пересек прямую AB, перпендикулярную берегу. После этого волны ударяли о берег в этом месте с периодом T. Расстояние между соседними греб- Рис. 4 нями волн равно $\lambda$. Найдите скорость катера, считая, что волны, возбуждаемые катером на поверхности воды, близки к гармоническим. М.Ромашка

2. В вертикальной плоскости закреплено круглое кольцо радиусом R, на которое в верхней точке надета бусинка массой m. После небольшого толчка бусинка начинает соскальзывать вниз по кольцу под действием силы тяжести. Всеми силами трения можно пренебречь. 1) С какой силой бусинка давит на кольцо в точке, лежащей на его горизонтальном диаметре? 2) Чему равен модуль импульса бусинки в момент, когда она не давит на кольцо? М.Семенов

3. На водопроводном смесителе установлены два крана – холодный и горячий. Краны одинаковы по своей конструкции – она такова, что количество воды, протекающее через каждый кран за одну секунду, пропорционально углу поворота крана при его открывании. Если повернуть холодный кран на угол $\alpha_{1} = 180 ^\circ$, а горячий кран на угол $\beta_{1} = 60 ^\circ$, из смесительного крана потечет вода c температурой $t_{1} = 36 ^\circ C$. Если же повернуть холодный кран на угол $\alpha_{2} = 120 ^\circ$, а горячий кран на угол $\beta_{2} = 90 ^\circ$, то из смесительного крана потечет вода с температурой $t_{2} = 48 ^\circ C$. Найдите температуру воды, текущей из смесительного крана, когда холодный кран повернут на угол $\alpha_{3} = 160 ^\circ$, а горячий на угол $\beta_{3} = 80 ^\circ$. Потерями тепла в смесителе пренебречь. М.Ромашка

4. В нижней части вертикального цилиндрического сосуда, разделенного подвижным легким поршнем, находится аргон. Верхняя часть сосуда полностью заполнена водой массой m = 1 кг и открыта в атмосферу. При температуре $t_{1} = 27 ^\circ C$ поршень расположен на высоте, составляющей 1/4 высоты сосуда. После нагревания всей системы до температуры $t_{2} = 127 ^\circ C$ равновесие достигается при расположении поршня на 1/2 высоты сосуда. Найдите площадь S

50

КВАНТ 2015/№4

Примечание. Центр масс однородного треугольника расположен на пересечении его медиан. С.Варламов

3. По счастливой случайности отличнику Руслану и первой красавице Людмиле выпало вместе делать простейшую лабораторную работу по физике «Определение удельной теплоты плавления неизвестного вещества». Руслан включил печь, установив некоторую определенную мощность нагревания, поместил в капсулу кусочек исследуемого вещества и ровно в 10:00 по московскому времени начал измерения. Когда Руслан отошел к учителю, скучающая Людмила тайком переключила тумблер установки мощности печи в другое положение (которое, естественно, не запомнила) и более его не меняла. К великому удивлению Руслана, результат работы был совершенно неверным, и тогда, под угрозой двойки, Людмила созналась в содеянном. Учитель пожалел ребят и, сообщив им справочные данные, попросил определить: 1) установленную Людмилой мощность печи; 2) точное московское время переключения Людмилой тумблера установки мощности. Используя полученный Русланом при «помощи» Людмилы график зависимости температуры t вещества от времени $\tau$ (рис.10), помогите школьникам справиться с заданием учителя.

Рис. 10

Справочные данные. Удельная теплоемкость исследуемого вещества в жидком состоянии $c_{ж} = 260$ Дж ( кг $\cdot ^\circ$ С ), удельная теплота плавления этого вещества $\lambda = 60$ кДж кг, масса кусочка вещества m = 50 г, мощность печи, первоначально установленная Русланом, $P_{1} = 6$ Вт. Е.Вишнякова

4. В «черном ящике» находится схема, состоящая из последовательно соединенных идеальной батарейки с напряжением $U_{0} = 3,3$ В и резистора сопротивлением $R_{0} = = 1500$ Ом (рис.11, слева). При попытке изготовить второй такой же «черный ящик» оказалось, что батареек с нужным

Рис. 11

напряжением 3,3 В в лаборатории больше нет, зато есть другая идеальная батарейка с напряжением $U_{1} = 5$ В. По этой причине решили собрать схему, состоящую из имеющейся батарейки и двух резисторов, соединив эти элементы так, как изображено на рисунке 11 справа. Найдите, какими должны быть сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ для того, чтобы два этих «черных ящика» оказались эквивалентными друг другу. Д.Харабадзе

10 класс

1. Система, показанная на рисунке 12, состоит из трех блоков, трех одинаковых грузов, двух длинных нитей (первая нить показана на рисунке синей линией, вторая – красной) и короткой веревочки. К концу первой нити, перекинутой через средний и левый блоки, прикреплен первый груз массой m. К концу второй нити, перекинутой через правый и средний блоки, прикреплен второй груз массой m. Третий груз с такой же массой подвешен на веревочке к оси правого блока. Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Все блоки и нити можно считать невесомыми, нити и веревочку нерастяжимыми, а силы трения Рис. 12 пренебрежимо малыми. При вращении среднего блока первая и вторая нити не мешают друг другу. Найдите модули ускорений грузов. А.Коваленко

2. Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось ее симметрии вертикальна (рис.13). На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой m, удерживая ее у одного из краев проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусинка будет давить на проволоку, находясь в $самой^{Рис.} 13$ нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры L и H, указанные на рисунке, известны. А.Якута

3. Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе 1–2–3–1 тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру $T_{1}$ и объем $V_{1}$. Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое – политропические. Показатель политропы процесса 2–3 на единицу больше показателя политропы процесса 3–1 и на единицу меньше показателя политропы процесса 1–2. В процессе 1–2 объем газа увеличивается в k раз. Один из процессов цикла – изотермический, причем в этом процессе объем газа изменяет свое значение в максимально широких пределах в этом цикле. 1) Определите объем и температуру газа в состоянии 3. 2) Изобразите на pV – диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов его показатель политропы. Справка. Политропическим называется процесс, в течение которого теплоемкость газа не изменяется: C = const. Уравнение такого процесса имеет вид $pV^{n} =$ const, или $p_{1} V_{1}^{n} = p_{2} V_{2}^{n}$. Величину n называют показателем политропы. Е.Вишнякова

4. Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в участке ACDEFB цепи, подключенном в точках A и B к батарее с ЭДС E = 5 В и внутренним сопротивлением r = 1,04 Ом (рис.14). Сопротивления резисторов указаны в омах, сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь. Провода соединены только в местах, обозначенных точками. Е.Мажник