Квант 2016, №3 · Страницы

3

МАТЕМАТИКА

И

КОМПЬЮТЕРЫ:

положительные числа, и число p называется простым, если у него нет делителей, кроме 1 и p. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 и так далее – простые, а у чисел 14, 15 и 100 есть делители, отличные от единицы и их самих, так что эти числа составные. Простые числа – это «кирпичики», из которых собраны все целые числа: всякое целое положительное число единственным образом представляется в виде произведения неубывающей последовательности простых. А сколько всего простых чисел? Бесконечно много. Часто говорят, что в идеальном математическом докладе должно содержаться ровно одно доказательство и ровно одна шутка. Итак, вот знаменитое доказательство, принадлежащее, возможно, Евклиду: если существует лишь конечное число простых $p_{1}$, … $, p_{n}$, то надо посмотреть на число N, равное произведению всех этих $p_{1},^{…}, p_{n}$ плюс единица. По основной теореме арифметики, N – произведение простых чисел, но так как N не делится ни на одно из чисел $p_{1}$, … $, p_{n}$, оно должно делиться на новое простое число, и получаем противоречие. Надо думать, все это доказательство видели. Но большинство слушателей, вероятно, не знакомы с другим результатом, малоизвестным, являющимся предшественником этого результата Евклида, а именно, с тем, что количество составных чисел тоже бесконечно. Доказательство такое: пусть числа $c_{1}$, … $, c_{k}$ составные, берете их произведение, единицу не прибавляете. (В зале смех.) Эта шутка, кстати, принадлежит Хендрику Ленстре. Наибольшее из известных на сегодняшний день простых чисел равно 2 в степени 57 миллионов с чем-то минус единица. В его десятичной записи 17 миллионов цифр; оно получило премию как первое простое число, содержащее более 10 миллионов десятичных знаков. Его открыли в прошлом году в рамках проекта «Поиск простых чисел Мерсенна». Участники этого проекта устанавливали на свои компьютеры специальную программу, и она в фоновом режиме проверяла различные показатели. Вы знаете, что показатель в этом примере (57885161) является простым числом, это одно из простых чисел Мерсенна, и что для того чтобы $2^{p} - 1$ было простым числом, само p должно быть простым числом; при проверке этой простоты работало около 32 миллионов процессов; для проверки каждого показателя нужен примерно час. Electronic Frontier Foundation предложило премию в 150 тысяч долларов за первое простое число, в котором будет более ста миллионов десятичных знаков. Вот в этой области компьютеры точно могут кое-что сделать; дальше мы увидим, зачем люди интересуются простыми числами.

ПРОБЛЕМЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

Ну хорошо, вернемся к простым числам. Если на них внимательно посмотреть, то можно увидеть, что, похоже, все четные числа, большие 2, являются суммой двух простых, причем видно, что чем число больше, тем больше способов его в таком виде представить. Имеется гипотеза, сформулированная в 1742 году, согласно которой всякое четное число, большее 2, является суммой двух простых. Компьютеры могут в некотором роде заняться этой проблемой; с их помощью гипотеза была проверена для четных чисел, меньших $10^{18}$, – выглядит неплохо! Одно британское издательство (Faber & Faber) предложило премию в миллион долларов тому, кто докажет эту гипотезу Гольдбаха к определенному сроку. Но оно наложило дополнительные условия: претендент на премию должен был быть гражданином США или Великобритании в возрасте не ниже 18 лет. Я бы сказал, что если кто-то, кому еще нет восемнадцати, такое докажет, то он заслуживает еще большей премии, но так или иначе эта премия никому не досталась, и довольно об этом. Более 40 лет назад китайский математик Чэнь Цзинжунь доказал, что всякое достаточно большое четное число можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых простое, а другое разлагается в произведение не более двух простых. Ближе к нашим дням, в 2013 году Хелфготт показал, что всякое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых. Я подчеркиваю: не «достаточно большое», а любое! Предыдущей границей было 2 ◊ $10^{1346}$, так что он ее основательно снизил! И в его доказательстве использовались некоторые компьютерные вычисления. Посмотрим на простые числа еще раз. Можно заметить, что в начале их последовательности очень часто встречаются пары простых чисел, отличающиеся на 2. Такие простые числа называются близнецами, и существует проблема: доказать, что число пар простых чисел-близнецов

Чжан Итан

4

КВАНТ 2016/№3

бесконечно. Наибольшая известная пара близнецов содержит порядка 200000 десятичных знаков (а именно, это 3756801695685 ◊ $2^{666669} \pm 1 ),$ и опять она была найдена с помощью компьютеров: существуют критерии, с помощью которых проверяют, является ли число простым. В 2013 году Чжан Итан, который работал преподавателем в Нью- Хемпшире, доказал теорему, согласно которой существует такое число N, меньшее 70000000, что бесконечно много пар простых чисел отличаются меньше чем на N. Это было серьезное достижение, использующее новые идеи. Кстати, после этого результата Чжана повысили в должности с ассистента до профессора, так что доказательство пошло ему на пользу. После этого развернулась борьба за то, чтоб это число уменьшить. Ее успехи отмечаются на специальном сайте. Например, несколько недель назад это число удалось снизить с семидесяти миллионов до 246. Я не думаю, что так удастся добраться до разности 2, но по крайней мере доказано, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся не более чем на 246. Основная теорема арифметики гласит, что всякое число можно представить в виде произведения простых, но тогда возникает вопрос, как конкретно это можно сделать. Например, 11 – простое число, 111 разлагается как 3 ◊ 37, а как обстоят дела с числом 1111 – оно простое? Нет, оно равно 11 ◊ 101. Ну а если мы выпишем пять единиц подряд? Давайте посмотрим. На три не делится, на пять тоже. На семь?.. В итоге оказывается, что оно равно 41 ◊ 271. Как видите, чем число больше, тем труднее разложить его на простые множители. Например, если взять шесть единиц подряд. Это простое число? Нет, оно в высшей степени составное, и теперь разлагать числа уже труднее. Существует очень симпатичное приложение для айфона, которое достаточно быстро разлагает на простые множители любое не более чем тридцатипятизначное число. Но вот возьмем число, записываемое 71 единицей. Оно простое? А если нет, как его разложить? Оказывается, это число является произведением двух простых (обычно множителей бывает больше). На эту тему была опубликована статья в «USA today», лет тридцать тому назад. Разложение было найдено на компьютере Cray в Лос-Аламосской лаборатории. Если внимательно посмотреть на эту статью, то можно заметить, что последняя цифра одного из множителей равна 8, что вызывает определенные подозрения. Так что когда читаете газеты, будьте начеку. Но с какой же целью люди интересуются разложением больших чисел на простые множители? Дело в том, что возникло новое направление

Вырезка из газеты «USA today»

в криптографии – шифрование с открытым ключом, надежность которого основывается на том, что, как считается, разлагать большие числа в произведение простых трудно. На фото рядом – Рон Ривест, фамилия которого входит в аббревиатуру RSA, являющуюся названием для одной из систем шифрования с открытым ключом. Один из способов раскрыть такой шифр – разложить на простые множители большое число. Ривест опубликовал 129-значное число и предложил всем желающим разложить его на множители. Он был уверен, что при использовании известных в то время методов для этого потребуется около 4 ◊ $10^{16}$ лет. Это число было опубликовано в статье в газете «Таймс» около 20 лет тому назад. На самом деле разложение нашли примерно за 20 лет, так что оценка в $10^{16}$ оказалась, скажем так, излишне пессимистической. В наши дни в очень многих ситуациях, когда требуется соблюсти конфиденциальность (например, при работе с банковскими картами), надежность шифрования зависит от трудности разложения больших чисел. Если обнаружится эффективный способ находить такие разложения, то очень многое изменится. Оказывается, что число, записываемое 1031 последовательной единицей, является простым. Последнее ли это простое число такого вида? Пол Эрдёш сказал бы, что всякий широко мыслящий человек знает, что простых чисел такого вида бесконечно много, только он не может это доказать. Похоже, что число, записанное 270343 последовательными единицами, может быть простым: это пока не доказано, но оно очень похоже себя ведет, оно удовлетворяет многим необходимым условиям простоты.

8

КВАНТ 2016/№3

ческое число равно четырем (рис.5): трех красок недостаточно. А как обстоят дела с графом на рисунке 6?

Рис. 2

На рисунке 3 – три графа, которые выглядят поразному, но на самом деле все они одинаковы: это

Рис. 6

Рис. 3

три разных способа изобразить граф Петерсена. В теории графов неважно, как вы изображаете граф, важно только, кто с кем соединен. Если можно пометить вершины на двух изображениях графов так, чтобы одни и те же пары вершин были соединены, то графы называются изоморфными. Имеется вычислительная задача, решение которой неизвестно: даны два изображения графов, требуется выяснить, изоморфны ли они. Неизвестно, является ли эта задача NP-полной, и эффективный алгоритм для ее решения тоже неизвестен. Будем говорить, что отображение множества вершин в множество из r цветов является r- раскраской, если соседние вершины всегда окрашены в разные цвета. Эта проблема возникла при изготовлении географических карт: если две страны граничат, они должны быть раскрашены в разные цвета, чтобы их можно было различить. Число $\chi ( G )$, называемое хроматическим числом графа G – это наименьшее r, для которого существует r-раскраска графа. Можно каждую вершину покрасить в свой цвет, но, возможно, это слишком расточительно: может быть, можно обойтись меньшим количеством цветов? Например, хроматическое число графа Петерсена равно трем: можно раскрасить его в три цвета (рис.4), но не в два. Для графа Мозера хромати-

Рис. 4

Рис. 5

Я не знаю, это сложный вопрос. Хроматическое число не превосходит двух, если в графе нет цикла нечетной длины. А когда оно равно трем? Никто не знает алгоритма, работающего за полиномиальное время и дающего ответ на этот вопрос. Кажется, на данный момент непонятно, как за такую задачу взяться. Итак, мы переходим к computer science, или информатике. Граф называется планарным, если его можно изобразить на плоскости так, чтобы ребра не пересекались. Например, граф Мозера планарен: если растянуть нижнее ребро, то пересечения остальных ребер пропадут (рис.7).

Рис. 7

А вот граф Петерсена не планарен: как его ни рисуй, какие-то ребра пересекутся. Гипотеза о четырех красках, выдвинутая в 1852 году, гласит, что для раскраски вершин планарного графа всегда достаточно четырех красок. Ее доказали в конце XIX века, но через 12 лет в ее доказательстве нашли ошибку, это доказательство было опровергнуто. И только в более недавнее время, в 1976 году, Аппель и Хакен доказали гипотезу о четырех красках, она стала теоремой о четырех красках. Не все знают, как это доказательство устроено. На самом деле это не одна статья, а две. С помощью красивой идеи доказательство было сведено к конечному перебору, потребовавшему 15 тысяч часов машинного времени на самых мощных из тогдашних больших компьютеров. Без них бы в этом доказательстве ничего не

9

МАТЕМАТИКА

И

КОМПЬЮТЕРЫ:

получилось. Теперь возникает вопрос: можно ли найти более алгебраическое доказательство, в котором все эти вычисления не нужны? Робертсон, Сандерс, Симур и Томас начали в свое время проект, целью которого было передоказать теорему о четырех красках, не используя компьютеров, но воспользоваться компьютерами им все равно пришлось. Им понадобилось три с половиной часа на компьютере Sparc-20, это миллиарды вычислительных операций. Так что теорема о четырех красках по-прежнему верна, но, может быть, у нее можно найти доказательство, которое человек сможет прочесть? Вот Хакен в такое не верит. Он верит в то, что теорема верна, поскольку она проверена для ста миллиардов частных случаев. У проблемы четырех красок есть частный случай – гипотеза Хадвигера. Эта гипотеза утверждает следующее. Будем говорить, что граф H минор графа G (обозначение: G > H), если H можно получить из G с помощью последовательности удалений вершин или ребер и стягиваний ребер. На рисунке 8 видно, как из графа M

Рис. 8

получается его минор $K_{4}$: сначала мы стягиваем ребро, затем соединяем в одно возникающие двойные ребра, затем убираем возникающую лишнюю вершину. Так вот, гипотеза Хадвигера утверждает, что если хроматическое число графа равно k, то этот граф обязан содержать в качестве минора полный граф с k вершинами (если такой минор есть, то хроматическое число не может быть меньше чем k – это свидетельство в пользу гипотезы). Такую гипотезу конкретно для хроматического числа k обозначают H ( k ). Эта гипотеза оставалась открытым вопросом в течение длительного времени – может быть, 70 лет. Что же известно? Гипотеза H ( 5 ) равносильна теореме о четырех красках. Симур, Робертсон и Томас доказали гипотезу H ( 6 ), но дальше у них дело не пошло. Я хотел бы дожить до доказательства гипотезы H ( k ) для произвольного k, но вы все-таки поторопитесь, ждать двадцатьтридцать лет мне неохота! В применении компьютеров к математике есть одна пугающая тенденция. Именно, в связном графе (это граф, в котором любые две вершины можно соединить путем) можно определить расстояние между вершинами – это просто количе-

ПРОБЛЕМЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

ство ребер в соединяющем их кратчайшем пути. Например, в графе Петерсена расстояние между вершинами u и v равно d ( u, v ) = 2, потому что есть соединяющий их путь длины 2, а более короткого нету. Можно также определить среднее расстояние между вершинами в графе G, оно обозначается d ( G ) =

$1 Â d_{G} ( x, y )$: мы скла- $n^{2} x, y$ дываем все попарные расстояния между вершинами и делим на квадрат числа вершин. Для графа Петерсена это число равно 1,5. Другая численная характеристика графа – это его число независимости, которое обозначается ind ( G ). Это наибольшее количество вершин, которое можно выбрать так, чтоб никакие две не были соединены ребром. Например, для графа Петерсена это число равно четырем. Существует красивая гипотеза, принадлежащая Graffiti, согласно которой для всякого связного графа его число независимости не меньше среднего расстояния: если среднее расстояние большое, то должно найтись много независимых точек. Эта гипотеза доказана моим любимым соавтором Фань Чун. Так вот, это доказательство непростое, но интересно тут то, что Graffiti – это не человек, а компьютерная программа, созданная Симеоном Файтовичем из Хьюстонского университета. Эта программа сформулировала около 6000 гипотез в теории графов и геометрии. Создатель этой программы – специалист в области искусственного интеллекта. По его словам, самое сложное в этих гипотезах, сгенерированных компьютером, – понять, интересна ли та или иная гипотеза. Он взял 50–60 различных инвариантов графа (ну, например: собственные числа матрицы инцидентности), и дальше он с помощью компьютерной программы ищет соотношения между этими инвариантами. Он их проверяет на различных графах, на графах, которые считаются особенно трудными, и если при этих проверках не находится контрпримера, он формулирует гипотезу. Многие из этих гипотез были изучены. Некоторые оказались ложными – был найден «большой» контрпример, некоторые были доказаны или оказались тривиальными, но про многие мы не знаем, верны они или нет. Так что, хотя компьютеры плохо умеют доказывать теоремы, они хорошо умеют формулировать гипотезы. Угонимся ли мы когда-нибудь за ними?

(Окончание следует)

14

КВАНТ 2016/№3

Рис. 15. Два конуса и пространство Александра

выглядит более темным (еще раз посмотрите на рисунок 11).

Упражнение 7. Оцените угловую ширину темного пространства Александра в градусах.

Сделаем небольшое дополнение. Судя по рисунку 9, вершина конуса с углом полураствора $42\infty$ лежит вблизи задней поверхности капли. А рисунок 14 показывает, что вершина конуса с углом полураствора $51\infty$ находится вблизи передней поверхности капли. Это приводит к тому, что вблизи капли больший конус расположен внутри меньшего конуса, что также подтверждается рисунком 15. Эксперимент с колбой. Мы почти что закончили с теорией Декарта. Попытаемся еще воспроизвести его эксперимент. «Каплей» послужит круглодонная колба объемом 250 мл. На компьютере нарисован белый круг на черном фоне – изображение солнца, и это изображение запускается через проектор. Для наблюдения радуги в качестве экрана использовался лист ватмана с круговым отверстием посередине. На рисунке 16 видны колба и экран, а проектор, вместе с компьютером, находится за экраном и через отверстие освещает колбу. Колба – это, конечно, не сферический сосуд, у нее есть горло, так что водой была заполнена только ее сферическая часть. Поэтому круговые дуги на рисунке 16 видны лишь частично, при этом нижняя и верхняя части изображения на экране формируются горизонтальной поверхностью воды в колбе. Где здесь первая дуга, а где вторая? Вот признаки, по которым мы можем их отличить. Вторая – менее яркая, за счет того что формирующие ее лучи испытывают внутри капли дополнительное отражение. Кроме того, в первой дуге цвета изнутри снаружи идут от фиолетового к красно-

Рис. 16. Эксперимент с колбой, вторая дуга внутри первой

му, а во второй – в обратном порядке. Судя по этим признакам, внутри находится вторая дуга. И это соответствует теории Декарта, с помощью которой был построен рисунок 15. Дуги обращены друг к другу фиолетовыми сторонами, и пространство между ними заполнено фиолетовым цветом. Это пространство, расположенное вблизи капли, по аналогии можно назвать фиолетовым пространством Александра. Судя по рисунку 15, стандартное взаимное расположение дуг, когда первая лежит внутри второй, восстанавливается, если расстояние от капли до экрана будет больше десяти радиусов капли. И, конечно, при наблюдении обычной природной радуги расстояние от капель дождя до глаза наблюдателя многократно превышает этот предел.

(Окончание следует)

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №3–2016» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2421» или «Ф2428». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2421, М2422а, М2426, М2427, М2428а,б предлагались на XXXVII Турнире городов, задача М2423 предлагалась на V Европейской математической олимпиаде для девушек, задача Ф2432 – на Московской физической олимпиаде 2016 года.

Задачи М2421–М2428, Ф2428–Ф2434

M2421. Фирма записала свои расходы в рублях по 100 статьям бюджета, получив список из 100 чисел (у каждого числа не более двух знаков после запятой). Каждый счетовод взял копию списка и находит приближенную сумму расходов, действуя следующим образом. Вначале он выбирает из списка любые два числа, складывает их, отбрасывает у суммы знаки после запятой (если они есть) и записывает результат вместо выбранных двух чисел. С полученным списком из 99 чисел он делает то же самое и так далее, пока в списке не останется одно целое число. Оказалось, что в итоге все счетоводы получили разные результаты. Какое наибольшее число счетоводов могло работать в фирме? М.Евдокимов

M2422. Прямоугольник p ¥ q, где p, q – натуральные взаимно простые числа, p < q, разбит на единичные квадратики. Из левого нижнего угла прямоугольника в его правый верхний угол проведена диагональ. Она отсекает треугольники от некоторых квадратиков. Найдите: а) суммарный периметр; б) суммарную площадь всех этих треугольников. А.Толпыго

M2423. Окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ одинакового радиуса пересекаются в точках $X_{1}$ и $X_{2}$ (рис. 1). Окружность $\omega$ касается окружности $\omega_{1}$ внешним образом в точке $T_{1}$ и окружности $\omega_{2}$ внутренним образом в точке $T_{2}$. Докажите, что прямые $X_{1} T_{1}$ и $X_{2} T_{2}$ пересекаются на окружности $\omega$. Ч.Лейтем (Люксембург)

M2424. На плоскости дано несколько прямых, имеющих общую точку O. Докажите, что каждую из этих

Рис. 1

прямых можно раскрасить красным или синим так, чтобы на плоскости нашлась точка, отличная от O, сумма расстояний от которой до всех красных прямых была равна сумме расстояний от нее до всех синих прямых. И.Вайнштейн

M2425. Прямоугольный параллелепипед 2 ¥ 2 ¥ 100 нужно разбить на кирпичи 1 ¥ 1 ¥ 2. Докажите, что количество способов сделать это является точным квадратом. (При подсчете параллелипипед не вращаем и не переворачиваем.) В.Расторгуев

M2426. В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Мы можем выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос, есть ли дорога между ними. Мы хотим узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов. К.Кноп

16

КВАНТ 2016/№3

M2427. На доске написано N чисел, все они различны, и одно из них равно 0. Можно взять любой многочлен, каждый коэффициент которого равен одному из написанных чисел (среди коэффициентов могут быть равные), и дописать на доску все корни этого многочлена. За несколько таких операций на доске оказались все целые числа от –2016 до 2016 (и, возможно, еще какието числа). Найдите наименьшее возможное значение N. Г.Жуков

M2428. На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. (Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки.) Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов: а) при N = 3; б) при N = 4? в*) Может ли при некотором N суммарная длина поездов быть больше 1000? А.Бердников

Ф2428. Группа из трех туристов должна перебраться из пункта А в пункт В по дороге длиной s = 45 км. Стартуют все одновременно. На всю группу туристов есть только два велосипеда, причем если на велосипеде едут двое, то их скорость равна 3v, а если на велосипеде едет один человек, то его скорость равна 4v. Если же турист идет пешком, то его скорость равна v = = 5 км/ч. За какое минимальное время все туристы могут оказаться в пункте назначения? В.Сергеев

Ф2429. Ковбой привязал мячик для бейсбола, $m_{м} = = 150$ г и D = 7,3 см, к суровой (нерастяжимой и легкой) нитке длиной L = 1 м, которая другим концом была закреплена на круглой горизонтальной перекладине диаметром d = 6 см. Затем он отошел на 10 шагов в направлении, перпендикулярном перекладине, и выстрелил из кольта по мячу. Мяч стал быстро двигаться, накручивая нитку на перекладину, а потом оторвался. При осмотре оказалось, что пуля застряла в мяче, а нитка обернулась вокруг перекладины n = 2 раза. Оцените, какой была скорость пули перед столкновением с мячом, если масса пули $m_{п} = 10$ г, а нитка выдерживает груз массой не больше $m_{гр} = 10$ кг. Д.Бограчев

Ф2430. Вася решил взвесить с помощью железных гирь найденный им недалеко от озера Чебаркуль небольшой кусок челябинского метеорита. Для этого он использовал симметричные равноплечные весы, сделанные из железа. В воздухе взвешивание дало результат M = 2,1 кг. Когда весы были полностью погружены в воду озера, результат был другим – для уравновешивания весов потребовалось положить на них гири, суммарная масса которых оказалась равной m = 1,8 кг. При этом и взвешиваемое вещество, и гири также были полностью погружены в воду. Чему

равна плотность материала метеорита? Плотность железа $\rho_{ж} = 7,9$ г $см^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1,0$ г $см^{3}$. В.Статиков

Ф2431. Три конденсатора с электрическими емкостями С, 2С и 3С соединены в замкнутую цепочку последовательно друг за другом. С помощью специального прибора, подключенного к трем местам соединений конденсаторов, этим самым местам были сообщены (переданы) электрические заряды +Q, +Q и –2Q. Прибор отключили. Какая максимальная (минимальная) энергия может быть запасена в системе заряженных конденсаторов? С.Варламов

Ф2432. Бесконечная сетка с ромбовидными ячейками, показанная на рисунке 2, состоит из одинаковых рези-

Рис. 2

сторов сопротивлением r. Найдите сопротивление между точками А и В. А.Бычков

Ф2433. В электрической схеме, изображенной на рисунке 3, все элементы идеальные, ток в катушке индуктивностью L равен нулю. Ключ замыкают, а размыкают его через промежуток времени $t_{0}$, когда скорость изменения энергии, запасаемой в катушке индуктивности, $достигает^{Рис.} 3$ максимума. Известно, что $t_{0} = 2 ln 2$ ◊ ( L R ). Найдите: 1) мощность P, которую развивал источник тока в момент размыкания ключа; 2) количество теплоты $Q_{1}$, которое выделилось в схеме после размыкания ключа; 3) количество теплоты $Q_{2}$, которое выделилось в схеме при замкнутом ключе. А.Шеронов

Ф2434. Над плоской горизонтальной поверхностью на высоте H = 10 м находится точечный изотропный источник света интенсивностью $W_{0} = 1000$ К. (тысяча кандел). В ближайшей к источнику света точке поверхности установлен маленький плоский датчик освещенности, его плоскость перпендикулярна лучам света. Площадь чувствительного элемента датчика $S = 0,1 см^{2}$. Какую освещенность $E_{1}$ (в люксах) регистрирует датчик? Затем прямо под источником света на

17

ЗАДАЧНИК

поверхность поставили вертикальную цилиндрическую трубу с внутренним диаметром d = 10 см. Высота трубы равна H. Источник света и датчик освещенности находятся на оси симметрии трубы. Внутренние стенки трубы гладкие, зеркальные и отражают 100% света. Какую теперь освещенность $E_{2}$ регистрирует датчик? Что покажет датчик, если стенки при любом угле падения света отражают 99% падающего света? (Численные расчеты можно провести с помощью компьютера.) М.Светлов

Решения задач М2405–М2413, Ф2413–Ф2419

M2405. Прямая, соединяющая центры описанной и вписанной окружностей треугольника, пересекает одну из его сторон в основании высоты, а другую – в точке ее касания с соответствующей вневписанной окружностью. Найдите угол между этими сторонами треугольника.

Решение см. в статье А.Заславского «О двух классах треугольников, или Откуда берутся задачи» в этом номере журнала.

M2406. Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если: а) k = 9; б) k = 8?

а) Ответ. Необязательно. Удалим числа 1, 2,…, 9. Тогда сумма даже девяти наименьших из оставшихся чисел (10 + 11 +… + 18 = = 126) больше 100. б) Ответ. Обязательно. Рассмотрим 12 пар чисел, дающих в сумме 25: (1, 24), (2, 23),…, (12, 13). После удаления 8 чисел останется не меньше четырех нетронутых пар. Они и дадут в сумме 100. А.Шаповалов

M2407. Все коэффициенты некоторого многочлена целые и по модулю не превосходят 2015. Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем 1/2016.

Решение см. в статье С.Дориченко, П.Кожевникова «От подстановки корня до трансцедентного числа» в этом номере журнала.

M2408. В треугольнике ABC медианы $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ пересекаются в точке M. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ и точка M лежат на одной окружности.

Пусть $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ – центры описанных окружностей треугольников $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ соответственно. Проведем рассуждения для расположения точек, показанного на рисунке (для других случаев расположения центров рассуждения аналогичны; чтобы избежать разбора случаев, можно считать все углы ориентированными).

«КВАНТА»

Докажем, что $O_{4}$ лежит на окружности $( MO_{1} O_{3} ).$ Прямая $O_{1} O_{3}$ – серединный перпендикуляр к $MA_{0}$. Угол $MO_{1} O_{3}$ равен половине центрального угла $MO_{1} A_{0}$ окружности $( MA_{0} B_{0} ),$ т.е. вписанному в нее углу $MB_{0} A_{0}$. Прямая $O_{4} O_{3}$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MC_{0}$, поэтому угол между прямыми $MO_{4}$ и $MO_{3}$ равен половине центрального угла $MO_{4} C_{0}$ окружности $( MBC_{0} ),$ т.е. вписанному в нее углу $MBC_{0}$. А углы $MB_{0} A_{0}$ и $MBC_{0}$ равны из параллельности $B_{0} A_{0}$ и $BC_{0}$. Поэтому – $MO_{1} O_{3} +$ – $MO_{4} O_{3} = 180 \infty$, т.е. $O_{4}$ лежит на окружности $( MO_{1} O_{3} ).$ Аналогично, $O_{2}$ лежит на окружности $( MO_{1} O_{3} ).$ П.Кожевников

M2409. Из спичек сложен клетчатый квадрат 9 ¥ 9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1 ¥ 1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Ответ. Вася. Заметим, что перед Васиным ходом всегда будет оставаться нечетное число спичек. Понятно, что выиграет тот, кому достанется позиция, когда квадратиков один или два смежных (по стороне). Поэтому Васе достаточно не оставлять после себя такой позиции, и тогда он выиграет, поскольку ничья невозможна. Покажем, как он может делать это в разных случаях. 1) Осталось больше трех квадратиков. Он возьмет крайнюю спичку, испортив не более одного квадратика. 2) Осталось три квадратика. Он возьмет спичку не из них, а если таких спичек нет, то из-за нечетности числа спичек ясно, что два квадратика смежны, а третий несмежен с ними, тогда он испортит один из смежных квадратиков. 3) Осталось два квадратика и они несмежны. Из-за нечетности есть спичка, в них не входящая, которую и возьмет Вася. Все позиции рассмотрены. А.Шаповалов

M2410. Дан вписанный четырехугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть K и N – середины диагоналей. Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна $180\infty$.

Пусть точки расположены так, как на рисунке. Треугольники ACP и BDP подобны, поскольку у них углы C и D опираются на одну дугу, а угол P общий. Поэтому соответственные медианы в них отсекают

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

У Незнайки есть пять карточек с цифрами: 1, 2, 3, 4 и 5. Помогите ему составить из этих карточек два числа – трехзначное и двузначное – так, чтобы первое число делилось на второе. А.Шаповалов

Один угол треугольника равен $60\infty$, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника. Докажите, что этот треугольник равносторонний. М.Волчкевич

По поверхности планеты, имеющей форму бублика, проползли, оставляя за собой следы, две улитки: одна по красной линии, а другая по синей (как на рисунке). На сколько частей разделили поверхность планеты следы улиток? С.Смирнов, И.Ященко

Аня захотела вписать в каждую клетку таблицы

5 ¥ 8 по одной цифре так, чтобы каждая цифра встречалась ровно в четырех рядах. (Рядами мы считаем как столбцы, так и строчки таблицы.) Докажите, что у нее ничего не получится. Е.Бакаев

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на XXVII Математическом празднике.

Иллюстрации Д.Гришуковой

На конкурсе «А ну-ка, чудища!» стоят в ряд 15 драконов. У соседей число голов отличается на 1. Если у дракона больше голов, чем у обоих его соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у обоих соседей, – сильным, а остальных (в том числе стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно четыре хитрых дракона – с 4, 6, 7 и 7 головами и ровно три сильных – с 3, 3 и 6 головами. У первого и последнего драконов голов поровну. а) Приведите пример того, как такое могло быть. б) Докажите, что число голов у первого дракона во всех примерах одно и то же. А.Шаповалов, И.Ященко

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Коровы Исаака Ньютона

И.АКУЛИЧ

КАК ПИШЕТ Я.И.ПЕРЕЛЬМАН В КНИГЕ «ЗА- нимательная алгебра» (глава II, статья «Коровы на лугу»), по некоторым сведениям, эту сельскохозяйственную задачу предложил сам Исаак Ньютон или, по крайней мере, кто-то из его современников: Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров – в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней? Прямой и с виду естественный подход наталкивается на непреодолимые трудности. В самом деле, 96 дней больше, чем 24 дня, ровно в 4 раза. Поэтому если 70 коров съедят траву в 24 дня, то, чтобы трапеза продолжалась вчетверо дольше, количество коров надо во столько же раз уменьшить, и оно становится равным 70: 4 = 17,5. При таком ответе сразу вспоминаются знаменитые полтора землекопа Виктора $Перестукина^{1}$, но это еще полбеды. Хуже другое: если опираться на другие данные условия, а именно не на 70 коров, а на 30, слопавших траву за 60 дней, то 96: 60 = = 1,6, и потому потребное число коров становится равным 30: 1,6 = 18,75. В результате возникает мрачное ощущение безысходности, слегка смягченное надеждой, что условие просто-напросто содержит ошибку, а значит, и браться за такую задачу не имеет смысла. Между тем, ошибок в задаче нет, и более внимательные сразу обратят внимание на первое предложение – о растущей траве. Вот где зарыта $собака^{2}$ – оказывается, пока коровы едят, трава успевает подрасти, и запас кормов на лугу увеличивается (хотя и не может обеспечить животным бесконечно долгое питание). Как же решать такую задачу? Возможный подход предлагает сам Я.И.Перельман в той же книге. Процитируем его рассуждения. Введем вспомогательное неизвестное, которое будет обозначать суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. В одни сутки прирастает y, в 24 дня – 24y; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают 1 + 24y. В сутки

1 См. сказочную повесть Л.Б.Гераскиной «В стране невыученных $уроков».^{2}$ В данном случае верней было бы сказать «зарыта корова».

27

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Буратино и его качели

С.ДВОРЯНИНОВ

–Т

ЕБЕ, НАВЕРНОЕ, ТРУДНАЯ ЗАДАЧА ПО- палась? – обратился к Буратино с вопросом Папа Карло, оторвавшись от своего верстака. – Почему ты так решил? – удивился Буратино. – Да все очень просто. Перед тобой книга, но ты уже давно ее не перелистываешь и не открываешь новую страницу. Так бывает, когда ты обдумываешь сложную математическую задачу. Моя книга вовсе не по математике, я читаю про приключения барона Мюнхгаузена. А задумался я вот над чем. Однажды этот барон будто бы сам себя за волосы вытащил из болота. Каждому понятно, что это невозможно по всем законам физики и что так никогда не бывает. Но я вот что вспомнил. Когда я был совсем маленьким, ты качал меня на качелях. Я усаживался в креслице, и ты время от времени в такт его подталкивал. Я еще тебя просил: « Сильнее! Выше! Еще выше!» Тут все понятно – не мог же я сам себя толкнуть. Но вот вчера мы с ребятами качались на качелях, и тут ситуация была совсем другая. Заскочил я на качели и потом сам, без какой-либо помощи, раскачался очень даже сильно. Если бы ты в это время был рядом, то наверняка попросил бы меня быть осторожнее. Но дело не в этом. Мне кажется, что это раскачивание сродни вытаскиванию самого себя из болота. Но последнее никто не может сделать, а вот на качелях каждый может раскачаться. Почему так?

Наверное, тут скрыто какое-то противоречие и есть какая-то тайна. Мне хочется разобраться с этим вопросом. И это так интересно, что я готов прервать чтение увлекательной книжки о приключениях Мюнхгаузена. Так как же мы раскачиваемся на качелях? – Что ж, будем разбираться, – Папа Карло стряхнул стружки с фартука и подсел к столу. – Давай бумагу. Вначале мы должны вспомнить про энергию. А именно, энергию механическую. Такая энергия бывает двух видов… – Да, знаю, – уверенно подхватил Буратино. Энергия бывает кинетическая и потенциальная. Когда я разгоняюсь на самокате, то совершаю работу. И самокат, и я на нем движемся с нарастающей скоростью. Чем больше скорость, тем больше кинетическая энергия. Потом какое-то время я по инерции могу катиться с постоянной скоростью. Если при этом моя дорога пойдет вверх, то за счет накопленной кинетической энергии я могу и на горку закатиться. При движении вверх скорость уменьшается, кинетическая энергия тоже уменьшается. В конце концов я остановлюсь, кинетическая энергия станет равной нулю. Но энергия не исчезнет, она перейдет в энергию потенциальную. Эта энергия связана с высотой. Я же оказался на горке, и потому обладаю потенциальной энергией. Теперь я могу развернуться и покатиться вниз. При этом потенциальная энергия будет убывать – она будет переходить в кинетическую энергию движения. – Ну что ж, я вижу, ты хорошо знаешь физику и тебе понятно, что так же меняется и твоя энергия, когда ты качаешься на качелях. Оказался ты на самом верху и на миг остановился – твоя потенциальная энергия самая большая, кинетическая же равна нулю. В самой нижней точке твоей траектории потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая оказывается самой большой. Важно, что при таких твоих колебаниях – так называют качания маятника, а твои качели это тот же маятник – выполняется закон сохранения энергии К + П = С, где К – это кинетическая энергия, П – потенциальная энергия, С – постоянная величина для колебаний с данной амплитудой. Да, поясню: амплитуда – это размах колебаний.

28

КВАНТ 2016/№3

– Следовательно, если хочу раскачиваться все сильнее и сильнее, т.е. подниматься все выше и выше, я должен увеличивать значение этой константы С. А этого можно добиться, увеличив либо значение К, либо значение П. Ясно! Когда ты раньше подталкивал мои детские качели, то ты увеличивал мою кинетическую энергию. Так же теперь могут действовать мои товарищи, если они рядом. Но даже если их и нет, я сам, один, могу раскачиваться все сильнее и сильнее. Как же это достигается? Вот это и есть мой главный вопрос! – с воодушевлением произнес Буратино. – Давай выясним: какую энергию – кинетическую или потенциальную – ты можешь увеличить, находясь на качающихся качелях. Подтолкнуть сам себя ты не можешь, стало быть, вся надежда остается на увеличение потенциальной энергии. А вот увеличить ее действительно можно. И что ты для этого делаешь, находясь на качелях?.. А?.. Вспомнил?.. – Да, – обрадовался Буратино. Вспомнил! Стоя на дощечке, я попеременно то сгибаю ноги в коленях, то их распрямляю, т.е. по очереди приседаю и распрямляюсь. И когда я распрямляюсь, т.е. встаю в полный рост, то я совершаю работу по подъему своего центра масс (или центра тяжести), и эта работа переходит в потенциальную энергию качелей. Но потом, когда я приседаю, потенциальная энергия, – тут Буратино замолчал и на его лице появилось выражение разочарования. – Так что там потенциальная энергия делает? – подбодрил его Папа Карло. – Потенциальная энергия убывает, и, стало быть, никакого прироста полная энергия рассматриваемой механической системы не получает. Раскачаться сильнее не получается, – заключил Буратино с разочарованием. – Давай не будем торопиться, а будем внимательными. Ведь эксперименты, т.е. твой опыт, говорят, что раскачивание происходит! Не опускай руки и не унывай, ищи теоретическое объяснение этого явления. – Это грибы в лесу ищут, а объяснение где искать? – приуныл Буратино. – Как где? В твоих рассуждениях! Бывает, что решил ты уравнение, сверил ответ и видишь, что ошибся. Начинаешь решать заново, аккуратно проводя все выкладки. Так и сейчас. Вот я тебе немного подскажу. Начнем с самого начала. Качаешься ты на качелях туда-сюда с постоянной амплитудой на согнутых в коленях ногах. И вот в самой нижней точке ты мгновенно встал в полный рост. Как ты думаешь, после этого амплитуда (т.е. размах) увеличится?

– Конечно. Я ведь поднял себя, совершил работу, увеличил потенциальную энергию, а значит, и общую энергию системы. – Итак, есть способ увеличить потенциальную энергию. Может быть, и не на много, но увеличить. Хочется этот прием повторить. Верно? Иными словами, желательно опять встать в полный рост. Но сейчас ты уже стоишь и повторить этот прием невозможно. Как же быть?.. – Встать в полный рост можно только из состояния, в котором ноги согнуты в коленях. И поэтому теперь я должен присесть, – согласился Буратино. Самое главное – выбрать момент, когда это следует сделать. Если согнуть ноги в коленях в самой нижней точке траектории, то убыль потенциальной энергии будет такой же, каким был перед этим ее прирост. Суммарный эффект от двух действий будет нулевым, мы вернемся на исходный режим колебания. Лучше всего присесть… Подумай, когда. А чтобы дать правильный ответ, посмотри на две одинаковые лестницы. Только одна из них стоит вертикально (как пожарная лестница у дома), а другая – наклонно. Если по каждой лестнице подняться, скажем, на 10 ступенек, то в каком случае ты поднимешься на бульшую высоту – по вертикальной лестнице или по наклонной? Здесь уместно вспомнить, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы. Все мне ясно! – весело произнес Буратино. Оказавшись в самой верхней точке траектории, я должен мгновенно присесть, согнуть ноги в коленях. При этом мое смещение по вертикали окажется меньше моего подъема по вертикали, который был в нижней точке траектории. Поэтому убыль потенциальной энергии будет меньше ее прироста. В результате двух действий – распрямление в нижней точке и приседание в верхней точке – качели получат прирост энергии, амплитуда колебаний увеличится. Можно такие действия повторять, накачивая, тем самым, энергию в нашу механическую систему. При этом наши качели оказываются маятником переменной длины. Согнули ноги в коленях – получили длинный маятник длиной L, встали в полный рост – получили короткий маятник длиной l. – Ну что же, с физикой разобрались. Ты можешь продолжить свое чтение, а я – свою работу. Но надо заметить, что мы дали простейшее объяснение того, как раскачиваются качели. Мы не учли всех обстоятельств. Но это уже тема для другого разговора.

В правой руке я держал… сосуд, другою же рукой пробовал извлечь искры из наэлектризованного ствола. Вдруг моя правая рука была поражена с такой силой, что все тело содрогнулось как от удара молнии… я думал, что пришел конец. Питер ван Мушенбрук

При проведении экспериментов лейденская банка, покрытая станиолем, соединялась с проводом, через который наэлектризовывались полусферы… Генри Кавендиш

Моя первая попытка отклонить пучок катодных лучей состояла в пропускании его между двумя металлическими пластинками… и в создании электрического поля между пластинками. Джозеф Джон Томсон

…разность потенциалов двух проводников пропорциональна их зарядам …коэффициент пропорциональности назвали емкостью, а систему двух проводников – конденсатором. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знаком вам

?

конденсатор

Не слишком ли много чести одному прибору в рубрике, традиционно посвященной фундаментальным законам, явлениям и понятиям? Во-первых, уже более двух с половиной столетий он – непременный участник множества важнейших исследований. Открытие «лейденской банки» просто произвело революцию в опытах с электричеством, а в дальнейшем конденсаторы применялись во всех решающих экспериментах, в которых рождалась современная наука, вплоть до подтверждения теории относительности. Во-вторых, конденсаторы до сих пор крайне важны для практики. Разрядка конденсатора в лампе-вспышке, возбуждение лазеров и люминесцентных ламп, действие дефибрилляторов, возвращающих пациента к жизни пропусканием через сердце импульсов тока, – лишь немногие области их применения. А что говорить о телевизорах и радиоприемниках, карманных калькуляторах и больших вычислительных машинах, микрофонах и телефонах и о многих других средстввах коммуникации! Везде, где используются интегральные схемы, можно найти конденсаторы. Правда, они уже ничем не напоминают первые устройства для накопления зарядов – миниатюризация литровой «лейденской банки» позволила бы уместить ее в элементе, еле различимом на булавочной головке. Ну, и в-третьих, вы не раз столкнетесь с конденсаторами в школьном курсе физики. Какое поле в них образуется, какие возможны варианты их соединения, как они накапливают и отдают энергию, как ведут себя в цепях постоянного или переменного тока, как пролетают через них заряженные частицы, как с их помощью принимают и передают информацию – вот вопросы, на которые надо уметь отвечать. Надеемся, этот выпуск «Калейдоскопа» поможет вам с ними справиться.

Вопросы и задачи

1. Можно ли зарядить «лейденскую банку», не заземляя одну из ее $обкладок?^{2.}$ Как изменится напряженность поля между обкладками уединенного плоского конденсатора, если на одной из обкладок заряд будет увеличен в два раза?

2. В каком случае сила взаимодействия между обкладками помещенного в жидкий диэлектрик заряженного конденсатора: а) прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды; б) обратно пропорциональна $ей?^{4.}$ Плоский воздушный конденсатор, пластины которого расположены горизонтально, наполовину залит жидким диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Какую часть конденсатора надо залить этим же диэлектриком при вертикальном расположении пластин, чтобы емкости в обоих случаях были $одинаковы?^{5.}$ Найдите емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке 1, если емкость каждого конденсатора равна $С.^{6.}$ Чему равна емкость $C_{x}$, если общая емкость представленной на рисунке 2 схемы равна 2С?

Рис. 1

Рис. 2

7. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковых расстояниях друг от друга и соединены проводником, как указано на рисунке 3. Определите емкость такой системы, если емкость каждой отдельно взятой пары пластин равна $C_{0}.^{8.}$ Заряженный конденсатор подключили параллельно к такому же, но незаряженному. Во сколько раз изменилась энергия поля первого $конденсатора?^{9.}$ В заряженный конденсатор вставляют край пластины из диэлектрика. $Что^{Рис.} 3$

ОЛИМПИАДЫ

XXXVII Турнир городов

ЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

БАЗОВЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

$1 (3)^{1}$. По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребенок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребенок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков? Е.Бакаев

2 (4). В остроугольном треугольнике ABC угол C равен $60^\circ$. Пусть H – точка пересечения высот этого треугольника. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что AN и BM параллельны (или совпадают). Е.Бакаев

3 (5). Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 2016? Фольклор, предложил М.Евдокимов

4 (5). В квадрате $10 \times 10$ все клетки левого верхнего квадрата $5 \times 5$ закрашены черным цветом, а остальные клетки – белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике черных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.) Е.Бакаев

5 (5). На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нем красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами? М.Евдокимов

10–11 классы

1 (4). Точку внутри выпуклого четырехугольника соединили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах (по одной на стороне). Четырехугольник оказался разделен на восемь треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. Докажите, что исходный четырехугольник – вписанный. Е.Бакаев

2 (4). См. задачу 3 для 8–9 классов.

3 (4). См. задачу 4 для 8–9 классов.

4 (6). См. задачу М2421 «Задачника «Кванта».

5. На каждом из 12 ребер куба отметили его середину. Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки, если известно, что она проходит:

1 В скобках после номера задачи указано максимальное число баллов, присуждавшихся за ее решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.

а) (3) через какие-то 6 из отмеченных точек; б) (3) через какие-то 7 из отмеченных точек? М.Евдокимов

СЛОЖНЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

1. На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до миллиона включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа. А.Толпыго

2. Существуют ли такие целые числа a и b, что: a) (2) уравнение $x^{2} + ax + b = 0$ не имеет корней, а уравнение $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + ax + b = 0 имеет? б) (3) уравнение $x^{2} + 2 ax + b = 0$ не имеет корней, а уравнение $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + 2 ax + b = 0 имеет? (Знаком [k] обозначается целая часть числа k, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее k.) А.Храбров

3 (6). Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырехугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра 3. И.Богданов

4 (8). Художник-абстракционист взял деревянный куб

$5 \times 5 \times 5$, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трех цветов – черный, белый или красный – так, что нет соседних по стороне квадратов одного цвета. Какое наименьшее число черных квадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющие общую сторону, считаются соседними и в случае, если они лежат на одной грани куба, и в случае, если они лежат на разных гранях куба.) М.Евдокимов

5 (8). Пусть p – простое число, большее $10^{k}$. Взяли число, делящееся на p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, делящееся на p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался делящимся на p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр. И.Богданов

6 (9). Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения? И.Вайнштейн

7. а) (5) Есть 2n + 1 батареек (n > 2). Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе – хорошие. За какое наименьшее число таких

51

ОЛИМПИАДЫ

стержня C, находящемуся на расстоянии $l_{2} = 110$ см от точки O, чтобы алюминиевый шарик снова оказался погруженным на половину своего объема? Плотности алюминия, машинного масла и воды равны $\rho_{a} = 2700$ кг $м^{3}, \rho_{м} = 800$ кг $м^{3}$ и $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$ соответственно. Перед погружением шарика в воду его тщательно протерли от масла. Е.Якута

8 класс

1. Автомобиль часть пути ехал с постоянной скоростью $v_{1}$ по грунтовой дороге, а затем, выехав на хороший асфальт, поехал быстрее с другой постоянной скоростью $v_{2}$. На рисунке 13 приведен график зависимости средней скорости

Рис. 13

$v_{cp}$ автомобиля от пройденного им пути s. К сожалению, большая часть графика от времени выцвела, и на нем остались лишь отдельные фрагменты. Определите значения скоростей $v_{1}$ и $v_{2}$. Сколько времени длилось движение по грунтовой дороге? Какого значения достигла средняя скорость автомобиля к сотому километру пути? М.Замятнин

2. К правому концу A стержня, масса которого пренебрежимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик (см. рис.12). Стержень положили на край сосуда с водой, а к точке B, находящейся на расстоянии $l_{1} = 50$ см слева от точки опоры O, подвесили груз такой массой m, что шарик оказался погруженным в воду на половину своего объема. На какую часть своего объема окажется погруженным в воду этот шарик, если груз перевесить из точки B в точку C, находящуюся на расстоянии $l_{2} = 60$ см слева от точки O? Плотность алюминия $\rho_{a} = 2700$ кг $м^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$. Е.Якута

3. См. задачу Ф2422 «Задачника «Кванта».

4. Папа решил взять с собой Васю на зимнюю рыбалку. В инвентаре папы оказались два лишних свинцовых грузила с одинаковой массой. Первое представляло собой кубик, а второе – цилиндр, высота которого равна длине ребра кубика. К середине одной из граней кубика и к центру одного из оснований цилиндра были прикреплены маленькие крючки. В какой-то момент Васе стало скучно, и он начал экспериментировать с этими грузилами. Вася привязал к крючкам нитки, подвесил грузила за эти нитки и заклеил верхние и нижние поверхности грузил изоляционной лентой, которая плохо проводит тепло. После этого Вася нагрел на походной газовой горелке воду в миске, опустил в нее свинцовый кубик, дождался его полного прогревания до $80 ^\circ$ С и после этого погрузил кубик в прорубь. Оказалось, что кубик охладился до температуры $36,6 ^\circ$ С за 30 секунд. Затем Вася нагрел тем же способом до той же температуры цилиндрическое грузило и тоже

погрузил его в прорубь. За какое время оно охладится до температуры $36,6 ^\circ$ С? Справка: объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. А.Бычков

9 класс

1. На планете системы звезды Шедар один из пунктов зарядки роботов-исполнителей обслуживает по одному роботу со скоростью 60 роботов в час (р/ч). В один из дней роботы приходили на пункт в течение 8 часов. Первый час они приходили со скоростью 70 р/ч. В течение второго часа скорость поступления роботов равномерно увеличивалась, составив к его концу 80 р/ч. Потом в течение третьего часа скорость поступления роботов равномерно уменьшалась и упала к его концу обратно до 70 р/ч. На четвертом часу скорость прихода роботов равномерно падала, составив к концу часа 20 р/ч и потом оставалась такой в течение пятого и шестого часов. На седьмом часу опять был равномерный подъем скорости поступления роботов – до 100 р/ч в конце часа, а на восьмом часу наблюдалось равномерное убывание скорости поступления до 60 р/ч. Роботы строго соблюдают очередность, а после зарядки сразу покидают пункт. 1) Сколько времени работал пункт в этот день, если были заряжены все роботы? 2) Какова наибольшая продолжительность пребывания робота на пункте зарядки (в очереди и на самой зарядке) в этот день? А.Фролов

2. См. задачу Ф2423 «Задачника «Кванта».

3. Клин массой М = 5 кг с углом при основании $\alpha = 45 ^\circ$ расположен на гладком горизонтальном столе (рис.14). На наклонной поверхности клина лежит брусок массой m = 1 кг. На брусок начинает действовать сила, направленная горизонтально в сторону клина. Модуль этой силы возрастает с течением времени t по закону $F = \delta t$, где коэффициент пропорциональности $\delta = 1$ Н с. Коэффициент трения между клином и бруском $\mu = 1,2$. Рис. 14 Найдите модуль силы трения, действующей со стороны клина на брусок через время T = 12 с после начала действия силы, если клин к этому моменту еще не начал опрокидываться. Ускорение свободного падения можно считать равным g = 10 м $с^{2}$. А.Бычков

4. Алиса и Василиса играют в игру «Постоянный ток». Они соединили последовательно два реостата и идеальный амперметр и подключили полученную цепь к источнику напряжения. Амперметр показал ток $I_{0} = 100$ мА. Школьницы «ходят» по очереди. Одна двигает ползунок своего реостата, и показания амперметра меняются. Другая должна тоже подвинуть ползунок своего реостата, как можно быстрее вернув ток к прежнему значению. После этого «ход» переходит к ней. Реостаты у девушек разные, но на каждом из них ползунок перемещается прямолинейно и в начале игры находится в среднем положении. У Алисы расстояние между крайними возможными положениями ползунка равно $L_{A} = 36$ см, а у Василисы – $L_{B} = 40$ см. 1) Первой «ходит» Алиса. Она сдвинула свой ползунок на 4 см вправо, и амперметр стал показывать ток $I_{1} = 90$ мА.