Квант 2016, №5-06 · Страницы

Активные материалы – адаптивные и защищающие

Л.АШКИНАЗИ

Постановки задачи Поводом для написания этой статьи послужила загадочная фраза в книге Германа Хубера «Альпинизм сегодня». Рассказывая о снаряжении, он пишет: «Пух “дышит”, и ему необходимо дать дышать. Пуховики очень гигроскопичны, впитывают влагу (испарения тела) и выделяют ее при проветривании. Под действием тепла, выделяемого телом, пух разбухает и удерживает до 50% этого тепла – лучше любой другой теплой одежды из искусственного волокна». С точки зрения физики, фраза не точна, но какова идея – материал, который сам реагирует на ситуацию и изменяется так, чтобы защитить человека от воздействия! Заметим, что книга это довольно старая (1980 г.), но гусиный пух попрежнему стоит между человеком и минус $40 \infty C$ при 10 м/c. Последнее – это скорость ветра, которую аккуратно называют «неблагоприятной», потому что в горах бывает и в разы больше. Человека приходится защищать от воздействия многих факторов окружающей среды – от жары и холода, от повышенной и пониженной влажности, от электромагнитного излучения (в том числе – от света), от радиации и механических воздействий. Сами по себе способы защиты от всех этих неприятностей известны и детально изучены. Первое желание – создать материал, который по основному параметру, т.е. по степени защиты, лучше других. Например, мы хотим защитить человека от электромагнитного излучения, в частности от света. Скажем, космонавта – дабы он не перегрелся, подкрадываясь к Солнцу (хочется же проверить 6000 К). Полированные металлы отражают большую часть излучения, но не все. Можно попробовать оптимизировать интерференционное покрытие так, чтобы интегрированное по реальному спектру поглощение было меньше, а сброс тепла собственным излучением, происходящий в другом диапазоне, был бы больше. Белое по всему спектру не уменьшит нагрев – такое покрытие и излучать станет меньше. Покрытие должно быть еще и «черным» в той части

спектра, в которой надо излучать, а в далеком инфракрасном – чтобы побольше излучать. Конкретно границу «желательно белого» и «желательно черного» можно выбрать, если знать, какую температуру наружной поверхности скафандра мы собираемся поддерживать. Например, если мы хотим приблизиться к именно нашему Солнцу и нам нравится наша же комнатная температура, граница будет лежать в инфракрасной части спектра, в районе единиц микронов. Для других звезд и других биологий оценка может быть другой. Еще эффективнее было бы иметь большой плоский черный радиатор, расположенный так, чтобы солнечное излучение падало на него под малыми углами, тогда перехватываемая мощность была бы мала, а излучаемая – велика. Правда, по мере приближения к Солнцу углы падения все равно будут расти, и в итоге может стать эффективнее бело-черное решение: белым к Солнцу, черным – от него. Защиту от радиации, теплозащиту и вообще любую защиту также можно совершенствовать и совершенствовать – например, просто применяя ее многократно, последовательно, делая стенку толще, толще и толще. Улучшать основной параметр можно до бесконечности, но это сопряжено с ухудшением других параметров – веса, стоимости, надежности, срока службы, ремонтопригодности, красоты. Соответственно, решая задачу оптимизации, мы можем создать материал, который лучше не по основному параметру, а по весу, по стоимости или по чему-то еще либо по комбинации параметров. И, значит, в каких-то случаях он будет предпочтительнее. Появляется интересная возможность: материал может реализовать свои замечательные свойства, за которые так дорого заплачено, не всегда и не везде, а только там и в тот момент, когда вредный фактор встал на его пороге. Для этого материал должен откуда-то узнать, что пришла пора браться за работу. Это может произойти двумя способами. Так, некий чувствительный элемент, датчик или сенсор может почуять угрозу и передать этот сигнал чему-то, что влияет на материал.

7

АКТИВНЫЕ

МАТЕРИАЛЫ

–

Например, датчик задымления подает сигнал системе, которая поливает помещение (где нет открытого электрооборудования) водой, одновременно и гася огонь, и делая материалы влажными, т.е. малогорючими. Или датчик температуры включает нагреватель, который подогревает материал сидений в автомобиле, защищая водителя и пассажира от холода – снизу и сзади. Но в качестве и сенсора, и приемника сигнала может выступить, в принципе, сам материал. Можно представить себе материал, уменьшающий теплопроводность или увеличивающий толщину при увеличении перепада температур. Правда, провести границу между материалом и устройством не всегда возможно. Предположим, что мы сделали столь маленькие сенсоры и столь тщательно распределили их в материале, что потребитель об этом не знает – он будет воспринимать это мелкодисперсное нечто как материал. Хотя принцип управления будет все-таки иным, но не определения главное. Важнее принцип работы – каким параметром материала мы управляем и как это делаем.

Управляемые материалы

Выражение «управляемый материал», такое естественное и простое, используется поразительно редко. Неудачное выражение «умные материалы» повторяют СМИ, близким по смыслу является выражение «активные материалы», но оно применяется в трех разных смыслах. Во-первых – вместо слов «материалы, определяющие основные параметры». Например, в формулировке «активные материалы трансформатора – это ферромагнитный материал, из которого изготовлен магнитопровод, и проводник, из которого изготовлены обмотки». Во-вторых – касательно материалов и веществ, сильно влияющих на конкретные процессы. Например, в выражениях «биологически активные вещества», «поверхностно-активные вещества», «сорбционно-активные материалы». Эти два смысла близки и определены нечетко. Так, при некоторых условиях параметры трансформатора сильно зависят не только от железа и меди, но и от изоляции – и в магнитопроводе, и в обмотке, и даже между выводами. Третий смысл выражения «активные материалы» может быть определен более строго и отчасти противоположен первым двум, хотя конкретный материал может быть активным во всех трех смыслах. Это материалы, изменяющие свои свойства под действием факторов окружающей среды. Вот это именно то, что стоило бы назвать «управляемые материалы». Если вести измерения с достаточной точностью, то все зависит от всего, но степень зависимости –

АДАПТИВНЫЕ

И

ЗАЩИЩАЮЩИЕ

с точки зрения физики и техники – может быть различной. Некоторые изменения не учитывает никто и никогда, например – изменения веса продукта на рынке в зависимости от погоды (как минимум по двум причинам, подумайте – по каким?). Заметим, что вес мешка развесного сахара в советское время мог существенно увеличиться, если продавец «чисто случайно» ставил рядом с мешком ведро воды. Некоторые изменения учитывают всегда, например – зависимость теплозащитных свойств одежки от ее влажности. Попробуй ее не учти… Некоторые зависимости не учитывали да не учитывали, а однажды пришлось – и теперь это делают, и будут делать всегда. Например – зависимость хода времени от гравитации и ускорения согласно теории относительности, без этого глобальное позиционирование, GPS, не будет работать. Когда говорят об активных материалах, имеется в виду не хоть какая-то зависимость абы какихто параметров, а достаточно сильная, причем таких параметров, что это можно эффективно использовать. Тут на минутку вернемся к определениям, поскольку под самым часто употребляемым выражением «оптически активные» подразумевается два типа веществ, сред и материалов. Во-первых, те, которые что-то делают с излучением, а во-вторых – те, которые изменяют свои свойства под действием внешних факторов. Хотя учтите – во многих случаях интересным «управляемым свойством» является именно свойство «делать что-то с излучением». Так, скипидар или раствор сахара в воде поворачивает плоскость поляризации света, и этот поворот зависит от самого раствора, точнее – от его концентрации. А есть вещества, которые тоже поворачивают плоскость поляризации, и это вращение зависит от внешних факторов, например от магнитного поля (эффект Фарадея). Ситуацию дополнительно немного запутывает то, что не за всякое «делание чего-то» с излучением материал удостаивается бирочки «активный». Например, любой оптический материал посредством коэффициента преломления влияет на скорость распространения и на поглощение излучения и поэтому может влиять на его распространение (линза, призма). Коэффициент преломления зависит от электрического поля (эффект Керра), но вещества, в которых он значителен и используется, оптически активными обычно не называют. Хотя на его основе делают и оптические затворы, и модуляторы, а предлагались и экзотические устройства – например, линзы с электрически управляемым фокусным расстоянием. Посмотрим, можно ли все-таки воспользоваться для управления самим светом.

8

КВАНТ 2016/№5-6

Управление светом

Первый, причем общеизвестный, пример – фотохромные стекла, темнеющие под воздействием света. На фотографии на рисунке 1 показано стекло (диаметр 7 см, толщина 2 мм), на которое светили синей (405 нм, 10 мВт) лазерной

Рис. 2

Рис. 1

указкой с расстояния 10 см, при этом пятно пересекло диаметр за 1 и 5 секунд. О фотохромных стеклах много разговоров в интернете, но прежде чем читать то, что пишут на сайтах фирм, полезно освежить в памяти школьный курс физики. Для создания фотохромных стекол используются вполне определенные и немногие фотохимические реакции. Но возможно, если не ограничиваться стеклами, что для управления оптическими свойствами могут быть использованы и другие фотохимические реакции. Многое сделали в этом направлении текстильщики. В частности, они создали ткани, которые обратимо меняют цвет на свету. Вот что пишет об этом Г.Е.Кричевский (http:/www.nanonewsnet.ru/articles/2011/ umnye-krasiteli-pigmenty-ikh-primenenie-po- novomu-naznacheniyu-khromiya-sposobnost-obr): «В основном это спиропираны и их производные, спирооксазины, диарилэтаны, триарилметановые красители, стильены, хиноны. Приведем пример фотоинициированных фотохромных превращений спиропирана, как наиболее изученного фотохрома. В основе фотохромизма спиропиранов и их производных лежат обратимые реакции: разрыв ковалентных связей в молекуле под действием ультрафиолета и восстановления их под действием лучей квантов видимой части спектра или за счет нагрева. На рисунке 〈2〉 показана схема фотохромных превращений спиропиранов и их производных. Как можно видеть, исходная форма спиропирана не имеет сопряженной систе- мы двойных связей и, соответственно, эти соединения бесцветны. Фотовозбуждение инициирует разрыв слабой спиро- (С-О) связи, в результате новые две формы (циси транс-) производных цианина приобретают конъюгированную систему двойных связей и, соответственно, окраску». Второй, гипотетический и фантастический, пример – электронная светоуправляемая бумага. Что это такое, мы знаем по электронной книге. В ней есть белые и черные заряженные противоположными зарядам шарики, причем электрическое поле нужного направления перемещает к поверхности частички нужного цвета. Осталась «мелочь» – сделать соответствующим образом, чтобы при попадании света на покрытие его материал в результате фотоэмиссии электризовался так, чтобы возникало электрическое поле, достаточное для правильной ориентации шариков. Третий, тоже гипотетический, но зато менее фантастический, вариант – через тепло. Существуют так называемые термохромные краски, изменяющие свой цвет при нагреве, обратимо или необратимо. Если это изменение, например, от черного к белому, то краска как раз и будет защищать. Минимальные управляющая мощность и время срабатывания зависят от толщины слоя краски, перехватывающего большую часть излучения. Для обычных красок это величина порядка 0,03 мм. Слой такой толщины потребует для нагрева на $10 \infty C$, чтобы надежно сменить цвет, около 100 Дж $м^{2}$, т.е. обычный солнечный свет днем при безоблачном небе сработает за 0,1 с – величина, вполне представляющая практический интерес. Правда, при этом краска должна быть нанесена на теплоизолирующую основу, иначе поглощенное тепло частично утечет вглубь материала и время реакции окажется больше. Просто покрыть объект светоотражающей краской нельзя потому, что в некоторых случаях до момента роста мощности нам вовсе и не нужно ее отражать. Как при малой освещенности нам вовсе не нужно иметь потемневшие стекла в окнах и очках. Но раз уж мы заговорили о нагреве…

Противопожарное Применение покрытий, изменяющих свои свойства при нагреве, – классика огнезащиты. Существуют краски и покрытия, выделяющие при

9

АКТИВНЫЕ

МАТЕРИАЛЫ

–

нагреве вещества, подавляющие горение. Но важнее то, что они вспучиваются, образуя в десятки и сотни раз более толстый (а значит, рыхлый и с пониженной теплопроводностью) слой. Такие слои способны защищать конструкции от обычного пожара в течение часа и более. Причем с самого начала покрыть таким слоем нельзя – он увеличивает габариты и портит внешний вид. Люди даже придумали прозрачные наполнители для офисных дверей, которые при пожаре вспениваются и становятся термостойкой теплоизоляцией. На фотографии на рисунке 3 вверху – прозрачный слой (видны кирпичи – стенка печи) с наклеенными датчиками температуры, ниже – этот же слой, но гель вспучился и стал термостойкой теплоизоляцией. Естественно, непрозрачной – но при пожаре делается не до икебаны.

Рис. 3

Другой подозрительный по части тепловой активности материал – термобелье. Однако оно не является активным материалом, его преимущество в другом. Оно сохраняет теплоизолирующие свойства, даже если человек потеет, потому что, как утверждают изготовители, отводит влагу от тела, но само намокает мало. Заметим, впрочем, что если нет испарения с наружной поверхности, то все равно оно будет намокать и терять теплоизолирующие свойства. Так что «импортное термобелье от лучших производителей», конечно, греет душу, но чтобы оно реально работало, надо еще озаботиться тем, что надето поверх него. Сам по себе нагрев вызывает, как правило (хотя и не всегда), расширение твердого или жидкого вещества. Однако это расширение с бытовой точки зрения ничтожно мало – оно и на глаз незаметно, и теплового сопротивления не увеличит. Газы расширяются при нагреве сильнее, и нагрев на $30 \infty C$ вызывает увеличение объема на 10% – но это при постоянном давлении, количе-

АДАПТИВНЫЕ

И

ЗАЩИЩАЮЩИЕ

стве и составе газа, т.е. при нагреве в мягкой и непроницаемой оболочке. Опять же маловато и, кроме того, пуховик не является непроницаемым – водяной пар, а значит, и газы проникают через оболочку. Это соображение попутно исключает еще один механизм – рост количества газа внутри пуховика в результате испарения влаги, так или иначе уже имеющейся в пухе. Тем не менее, один механизм заподозрить можно; причем для его действия как раз полезна влага, которую организм спортсмена поставляет в пуховик. Пух состоит – с точки зрения механики и теплотехники – из отдельных упругих тонких элементов. Когда мы деформируем (сминаем) одежду, содержащую пух, элементы перемещаются друг относительно друга, скользят и останавливаются в новом положении благодаря трению и упругости – упругость прижимает их друг к другу, а трение не дает скользить. Это же происходит, когда мы мнем ткань или бумагу. Трение покоя больше трения движения при малых скоростях, поэтому если при последующем нагреве из-за теплового расширения элементы страгиваются с места, то они уж продолжают это делать. Пух распрямляется, и пуховик распушается. Возможно, что испарившаяся из человека вода, пробираясь через пуховик, частично конденсируется и заодно работает жидкой смазкой. Ну а ставший толстым пуховик, очевидно, становится и лучшим теплоизолятором. Впрочем, так ли это очевидно? Есть ведь оптимальное распухание – подумайте, от чего оно зависит?

Немного о мрачном Радиационные параметры материалов – это, как легко догадаться, описание взаимодействия материалов с радиацией. Радиация – в общепринятом понимании – это $\alpha -$ и $\beta$ -частицы, нейтроны (n) и $\gamma$ -кванты, т.е. то, что излучают реакторы, бомбы, рентгеновские аппараты, радиоактивные изотопы, ну и плюс естественный фон. Сюда можно добавить ионы и нейтралы того же происхождения, а еще так называемые «горячие частицы», которые не частицы, а пылинки с $\alpha$ -активным изотопом (о них чуть позже). Кроме скорости, связанной с энергией, у частиц есть и другие параметры. Например, $\gamma$ -кванты – это электромагнитные волны, значит, у них есть поляризация. Однако при взаимодействии с материалом она редко проявляется. Механизмов взаимодействия всего того, что летит, с атомами и молекулами среды несколько. Но для внешнего наблюдателя важен итог: отражение, прохождение и поглощение, причем отражение и прохождение – с какой-то потерей энергии. Есть и четвертый вид взаимодействия –

10

КВАНТ 2016/№5-6

возбуждение нового излучения. Собственно, такое есть и для электромагнитных волн – это люминесценция, но там происходит преобразование электромагнитного излучения в электромагнитное же. А теперь у нас несколько видов частиц и одни, поглощаясь веществом, могут вызвать генерацию других. Вдобавок это вторичное излучение может возникать и прекращаться не сразу, а длиться какое-то время – это означает появление «наведенной активности», т.е. первичное излучение создало в материале радиоактивные изотопы, которые теперь будут, сами понимаете, что делать. Кстати, а если поток частиц летит вообще в пустоте, может меняться их количество? Теперь про «горячие частицы», которые вовсе не частицы, а пылинки с $\alpha$ -активным изотопом. Пробег $\alpha$ -частиц в воздухе – несколько сантиметров, в конденсированных средах – микроны или десятки микрон, они задерживаются рубашкой или поверхностным ороговевшим слоем клеток кожи. Поэтому они, казалось бы, не опасны. Но если они попадают с пылинками внутрь легких и оседают на стенках или если $\alpha$ -активный изотоп, $например^{210} Po$, ввести в состав какого-либо растворимого в воде соединения и выпить, то можно отправиться на тот свет. Так что не пейте чай с чужими! Заметим, что случаи отравления этим способом обсуждаются в интернете, но никто не спрашивает, кто тот безвестный гений, который придумал решение. Физиков, инженеров и вообще людей интересует взаимодействие излучений с веществом именно потому, что оно может быть опасно для человека. Возникает же оно при работе многих устройств и при проведении технологических процессов, необходимых для их работы. Устройств таких много: атомный реактор, ускоритель, бомба, рентгеновский аппарат, гамма-дефектоскоп и многие другие. Да и процессы многообразны – это и исследования, и разработка материалов и конструкций, и испытания, и утилизация отходов, и аварии, и устранение их последствий. Разные виды излучения обладают различной проникающей способностью. Пробег $\alpha$ -частицы в воздухе не превышает нескольких сантиметров; $\beta$ -частицы могут пройти в воздухе несколько метров, в конденсированных средах – миллиметры и сантиметры; $\gamma$ -кванты и нейтроны – десятки и сотни метров в воздухе (их может задержать лишь относительно толстый слой металла или, например, более толстый слой бетона). Процессов взаимодействия частиц с веществом много, для каждого вида излучения и в зависимости от энергии они комбинируются по-разному, и вдобавок они разнятся для разных изотопов. Поэтому если какой-то изотоп и рекордсмен, то на практи-

ке применить сие не удается – в природном материале его может быть ничтожно мало, а выделение будет стоить слишком дорого. Поэтому можно привести только очень общие, очень приближенные данные. Как уже сказано, $\alpha$ -излучение поглощается микронными слоями вещества, $\beta$ -излучение обладает большей проникающей способностью, а остальные – еще большей. Поэтому, если надо измерить именно $\alpha$ -излучение, возникает дилемма – либо датчик прибора должен быть «открытый», ничем не отделенный от источника излучения, либо «стенка» должна быть микронной толщины и из материалов с малой удельной плотностью, которые лучше пропускают излучение. Первый вариант – это полупроводниковые датчики с «голым» p–n-переходом. Обычно p–n-переход упрятан в толщу транзистора, торчать открыто и ждать $\alpha$ -частицу ему, наверное, очень непривычно. Второй вариант – это счетчик Гейгера, но вот тут нужно «окошко», ибо внутри вовсе не атмосфера. Нужен материал с малой плотностью, из которого можно сделать тонкую-тонкую пленку, причем выдерживающую атмосферное давление и вакуумно плотную. Самый легкий металл – литий – в конкурсе участия не принимает (почему?), и в итоге по сумме баллов побеждают слюда (фотография на рисунке 4; на окошко положена кнопка, чтобы было понятно, что там «чтото есть»), бериллий, алюминий, полимерные пленки. Поскольку пропускание материалом $\alpha -, \beta -$ и $\gamma -излуче-_{Рис.} 4$ ний, в общем, зависит сильнее всего от плотности материала, то наилучшую защиту от излучения должны были бы создавать металлы с самой большой плотностью. Но они гораздо дороже свинца Pb, а разница в эффективности невелика. Поэтому там, где важен объем, а количество невелико, он и применяется – помните, когда вам делали рентгеновский снимок… А там, где нужно «много» и проблем с объемом нет, например при защите реакторов, используют бетон – дешево и сердито, т.е. толстые метровые стены. Причем бетон используется не простой, а с добавками, увеличивающими защиту, например с железной рудой. Содержит он и связанную воду, о важности

11

АКТИВНЫЕ

МАТЕРИАЛЫ

–

которой мы сейчас узнаем. Особый случай – уран U, он плотнее свинца Pb лишь в два раза, но пробег $\gamma$ -излучения в нем меньше в десять раз, однако делать из него защиту было бы слишком дорого. С нейтронами ситуация противоположная – их лучше тормозят элементы с самыми легкими ядрами, т.е. водород: легким ядрам они передают энергию при столкновениях. Правда, использовать жидкий или твердый водород трудно и дорого, но есть вода, парафин, полиэтилен, причем углерод тоже вносит свой вклад. Однако медленно движущиеся нейтроны хорошо захватываются ядрами, а лучше всего – кадмием Cd или менее дорогим бором B. И все бы хорошо, но при этом возникает вторичное $\gamma$ -излучение («наведенная активность»), от которого тоже надо бы защититься. Поэтому защита бывает многослойной, и лучше из разных материалов. Итак, защита зависит более всего от атомного состава, а покрытия не умеют его изменять. Так что материал, управляющий проходящей сквозь него радиацией, создать будет затруднительно – разве что сделать микроперемещающиеся жалюзи. Но у техники не возникло задачи управлять пропусканием излучения к человеку. Вот когда возникнет, сделаем жалюзи – и не микро-, а нано- – и выложим их ядрами золота, которыми Резерфорд отражал альфа-частицы век с небольшим назад.

Поговорим о механике

Нам осталось обсудить некоторые проблемы механики. Казалось бы, в чем проблема – бронежилет придает мужчине уверенность в том, что он настоящий мужчина. Но нам интересны материалы, которые разумно реагируют на нагрузку и деформацию. Иными словами, которые позволяют сделать мягкое и не мешающее грациозно двигаться до момента воздействия покрытие, становящееся жестким только тогда, когда надо. Прежде всего заметим, что в технике есть примеры систем, которые при нарушении целостности оболочки сами заделывают повреждения. Это автомобильные шины, которые сами «залечиваются» при проколе покрышки, топливные баки самолетов (Сикорский, 1914 г.), в 2009 году сообщалось о разработке аналогичных покрытий для космических кораблей (сама идея содержалась в произведениях Стругацких на пятьдесят лет раньше). Все они основаны на том, что в прокол поступает изнутри нечто, что его заделывает. Поэтому все это не совсем материалы, это отчасти «устройства». Кроме того, разрабатываются «самозалечивающиеся» материалы и покрытия – восстанавливающие микроповреждения:

АДАПТИВНЫЕ

И

ЗАЩИЩАЮЩИЕ

трещины, царапины. Это модное направление, но, похоже, что кроме обычных разговоров про нанотехнологии, инновации и «неповторимый вид вашего автомобиля» там есть и интересные идеи и направления. В том числе опирающиеся на идеи, реализованные в человеке, который, как известно, снабжен самозалечивающимся покрытием, да и внутри постоянно идет процесс обновления. Но самозалечивающиеся покрытия – это защита техники, а не человека. Хотя, если человек находится внутри этой техники, то защита и человека тоже. К сожалению, о самоштопающихся носках, непротирающихся штанах и нервущихся колготках пока не слышно. Но, может быть, вам удастся их создать. А как насчет именно механических свойств, изменяющихся при ударе и в месте удара? Возможны ли материалы, способные поставить агрессору так называемый «жесткий блок»? Удар – с точки зрения физики – это большие и быстро нарастающие напряжения. Соответственно, возможно, будут эффективны два класса материалов – твердеющие под нагрузкой и твердеющие при попытке деформировать быстро. Что касается вторых, то хорошо известны тиксотропные среды, «разжижающиеся» при ударе. Именно таковы и этим-то и опасны болота. Однако известно и обратное явление, которое называется, естественно, антитиксотропией. Казалось бы, оно решает задачу, но наблюдается это явление весьма редко и пока только в жидкостях. Примерно такова же ситуация с жидкостями, вязкость которых возрастает с ростом механических напряжений. Это явление получило название далатансии, и оно характерно для суспензий и расплавов некоторых полимеров. Возможно, что жидкость в таких материалах располагается между твердыми частицами, и – как смазка – уменьшает трение между ними. При значительных скоростях сдвига происходит нарушение структуры, как бы выдавливание смазки, и возрастание трения. Но опять же это пока только жидкости. Хотя бронежилет с ячейками, заполненными вязкой жидкостью, возможен, разработка таких материалов ведется. Но главную задачу – создание непротирающихся штанов и защищающих от агрессора рубашек – материаловедение еще не решило. И до решения, похоже, далеко. Так что попробуйте получить хорошее образование – и вам всегда будет чем заняться.

16

КВАНТ 2016/№5-6

кает следующее обобщение. Пусть гомотетия с центром $T_{1}$ переводит окружность $\omega_{1}$ в окружность $\omega$, а гомотетия с центром $T_{2}$ переводит окружность $\omega$ в окружность $\omega_{2}$. Пусть композиция этих гомотетий переводит некоторую точку $X_{1} \in \omega_{1}$ в точку $X_{2} \in \omega_{2}$. Тогда прямые $X_{1} T_{1}$ и $X_{2} T_{2}$ пересекаются на окружно-

Рис. 4

сти $\omega$. Для этого общего факта существует много вариантов расположения точек и окружностей (см., например, рис.4). П.Кожевников

M2424. На плоскости дано несколько прямых, имеющих общую точку O. Докажите, что каждую из этих прямых можно раскрасить красным или синим так, чтобы на плоскости нашлась точка, отличная от O, сумма расстояний от которой до всех красных прямых была равна сумме расстояний от нее до всех синих прямых.

Для каждой прямой одну из двух полуплоскостей, на которые она разбивает плоскость, назовем положительной, а другую – отрицательной. Определим ориентированное расстояние от точки до прямой как расстояние, взятое со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, в положительной или отрицательной полуплоскости находится точка. Для каждой точки X определим f ( X ) как сумму ориентированных расстояний от точки X до всех прямых. Если X и Y – две точки, симметричные относительно O, то очевидно, $f ( X ) = - f ( Y )$. Пройдем от точки X до Y по полуокружности с центром O. В силу непрерывности функции f на полуокружности найдется точка Z, для которой f ( Z ) = 0. Точка Z будет искомой, если покрасить красным все прямые, относительно которых Z лежит в положительной полуплоскости, а синим – все оставшиеся прямые. На самом деле, f ( X ) – линейная функция (это верно и для данных прямых произвольного расположения). Поэтому если найдется хотя бы одна точка, в которой f обращается в 0, то существует целая прямая, все точки которой обладают этим свойством. Приведем еще одно решение, в котором нужная точка указывается явно (см. рисунок). Проведем окружность с цент-

ром в точке O. Для каждой из данных прямых отметим одну из двух точек пересечения с окружностью. Эти точки обозначим $A_{1}, A_{2}$, … $, A_{n}$. Поместим в точки $A_{i}$ единичные точечные массы, через M обозначим центр масс этой системы. Пусть прямая l проходит через точки O и M (если M совпадает с O, то l – произвольная прямая, проходящая через O). Прямая l разделит множество точечных масс на два подмножества; пусть, скажем, по одну сторону от прямой l лежат точки $A_{1}$, … $, A_{k}$, а по другую – точки $A_{k} +_{1}$, … $, A_{n}$. Момент системы масс относительно прямой l равен нулю, откуда (учитывая, что массы равны), сумма расстояний от точек $A_{1}$, … $, A_{k}$ до прямой l равна сумме расстояний от точек $A_{k} +_{1}$, … $, A_{n}$ до той же прямой. Пусть N – точка пересечения прямой l с окружностью. Очевидно, расстояние от $A_{i}$ до прямой l равно расстоянию от N до прямой $OA_{i}$. Тогда достаточно прямые $OA_{1}$, … $, OA_{k}$ покрасить красным, а прямые $OA_{k} +_{1}$, … $, OA_{n}$ – синим: сумма расстояний от точки N до красных прямых будет равна сумме расстояний от N до синих прямых. В заключение приведем еще такую механическую интерпретацию сюжета из второго решения. Представим, что наша окружность – это невесомое колесо с закрепленной осью (O), которое может свободно вращаться в вертикальной плоскости. Отрезки $OA_{i}$ – это невесомые спицы колеса, на концах которых находятся единичные массы. На массы действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Нетрудно заметить, что расстояние от точки $A_{i}$ до вертикальной прямой, проходящей через O, пропорционально моменту силы относительно оси вращения. Тем самым, утверждение задачи связано с существованием положения статического равновесия. И.Вайнштейн, П.Кожевников

M2425. Прямоугольный параллелепипед 2 ¥ 2 ¥ 100 нужно разбить на кирпичи 1 ¥ 1 ¥ 2. Докажите, что количество способов сделать это является точным квадратом. (При подсчете параллелепипед не вращаем и не переворачиваем.)

Пусть в основании прямоугольного параллелепипеда $2 \times 2 \times n$ лежит квадрат $2 \times 2$, а n – его высота. Пусть $T_{n}$ – количество разбиений «дома» $2 \times 2 \times n$ на кирпичи, состоящие из двух единичных кубиков (положим также $T_{0} =$ 1). В решении мы найдем формулу для $T_{n}$ и установим, что для четных n число $T_{n}$ является точным квадратом. Имеем $T_{1} = 2$ (рис.1), $T_{2} = 9$ (рис.2). Разбиения на рисунке 2,б нельзя разделить горизонтальной плоскостью на две части, не разрезав ни одного кирпича, такие $разбиения_{Рис.} 1$ будем называть фундаментальными. На рисунке 2,а «слои» немного раздвинуты, здесь можно разделить параллелепипед горизонтальной плоскостью на две части, не разрезая ни одного кирпича. Количество фундаментальных разбиений дома $2 \times 2 \times n$ обозначим через $F_{n}$. Таким образом,

23

ЗАДАЧНИК

как на рисунке 4, и каждая область будет задаваться своим упорядочением величин x, y, z, t. Интересно объединить области, в которых x минимально среди всех расстояний x, y, z, t; в результате получим так называемую область Вороного узла X. (О разбиениях Вороного можно прочитать, например, в статье Н.Долбилина «Многогранный Делоне» в «Кванте» №1 и №2 за 2010 г.)

Упражнения 1. На сколько частей могут делить плоскость серединные перпендикуляры к сторонам и диагоналям параллелограмма? Ответ: 16 или 8. 2. Существует ли на рисунке 4 область, отвечающая упорядочению y < t < x < z? Пометьте на рисунке 4 каждую область своим упорядочением, выделите области Вороного. 3. а) Пусть на плоскости даны 4 точки, не являющиеся вершинами параллелограмма или трапеции и такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что шесть серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим пары данных точек, делят плоскость на 18 областей. б*) Попробуйте найти формулу для количества областей в аналогичной задаче про n точек и серединные перпендикуляры к отрезкам, соединяющим всевозможные пары данных точек. Ответ в пункте б): $C_{n}^{2} C_{n}^{2} + 1 2 + 1 - C_{n}^{3}$, где $C_{n}^{k}$ – число сочетаний, т.е. количество способов выбрать k объектов из данных n объектов. Указание. N прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны) делят плоскость на N ( N + 1 ) 2 + 1 областей. Каждая «тройная» точка пересечения уменьшает количество областей на 1. 4. На плоскости даны n точек. Серединные перпендикуляры к отрезкам, соединяющим пары данных точек, делят плоскость на области. Докажите, что у каждой из областей не более n – 1 соседних областей (соседними здесь считаем области, имеющие общий отрезок границы). Указание. Посмотрите, как изменится упорядочение переменных x, y, … при переходе в соседнюю область.

(

«КВАНТА»

это количество возможных упорядочений четырех расстояний x, y, z, t. Наоборот, для двух точек из одной области упорядочение расстояний x, y, z, t одно и то же, поскольку эти точки лежат в одном полупространстве относительно каждого из серединных перпендикуляров. Докажем теперь, что областей ровно 24. Для этого достаточно показать, что для каждого конкретного упорядочения расстояний x, y, z, t найдется точка в пространстве именно с таким упорядочением. Рассмотрим для определенности упорядочение t < x < y < z. Возьмем в плоскости треугольника XYZ точку L, для которой x < y < z, и проведем через L перпендикуляр l к плоскости XYZ. Для точек прямой l выполнено x < y < z. Пусть K – проекция точки T на прямую l (рис.5). На продолжении отрезка LK за точку K и

)

Вопрос, аналогичный упражнению 3 для четырех точек в пространстве, – это задача из «Задачника «Кванта»: Задача (М2420). Дан тетраэдр. Для каждого его ребра возьмем плоскость, перпендикулярную этому ребру и проходящую через его середину. На сколько областей разобьют пространство шесть таких плоскостей? Геометрическую картину происходящего представить себе не так просто, особенно если учесть, что бывают тетраэдры, для которых центр описанной сферы (через который проходят все указанные плоскости) лежит вне самого тетраэдра. Применим соображения из доказательства Рубанова. Каждая из областей, на которые делят пространство шесть данных плоскостей, задает свое упорядочение расстояний x, y, z, t до вершин тетраэдра (вершины тетраэдра будем обозначать соответственно X, Y, Z, T). Для точек, лежащих в разных областях, упорядочения разные, так как эти точки находятся по разные стороны от какого-то из серединных перпендикуляров. Это уже означает, что количество областей не превышает 24 –

Рис. 5

будем искать нужную нам точку M, для которой t < x. Покажем, как подбирать нужное значение MK = d. Имеем

2

$t^{2} = d^{2} + TK^{2}, x^{2} = ( d + LK ) + XL^{2}$,

(

)

$x^{2} - t^{2} = 2$ dLK $+ LK^{2} + XL^{2} - TK^{2}$.

Как видим, при достаточно больших d разность $x^{2} - t^{2}$ положительна, что нам и нужно. Задача М2420 решена «комбинаторно-алгебраически»! Отметим, что ответ в этой задаче (24) намного меньше, чем количество областей, на которые разбивают пространство шесть плоскостей общего положения (42).

Конечно, существуют и наглядно-геометрические решения задачи М2420. Рассуждать можно, например, так. Каждая из данных шести плоскостей проходит через центр описанной около тетраэдра сферы и высекает на этой сфере большую окружность. Достаточно посчитать количество областей, на которые делят сферу эти большие окружности.

Упражнения 5. На сколько частей делят сферу n больших окружностей, никакие три из которых не проходят через одну точку? Ответ: $n^{2} - n + 2$. Указание. Если проводить окружности одну за другой, то k-я проводимая окружность добавляет $2 ( k - 1 )$ к количеству областей. 6. Закончите наглядно-геометрическое решение задачи М2420. 7*. Попробуйте решить аналоги задачи М2420 для правильной четырехугольной пирамиды, правильного октаэдра, куба и т.д.

24

КВАНТ 2016/№5-6

Что будет получаться, если рассматривать в нашей интерпретации (x, y – расстояния до двух точек плоскости X и Y) другие линейные уравнения? Рассмотрим, например, уравнение y = 2x. На прямой XY есть две точки, для которых выполнено y = 2x, назовем эти точки U и V так, что U лежит на отрезке XY, а V – на его продолжении. Пусть A – произвольная точка, для которой выполнено y = 2x, т.е. AY = 2AX (рис.6).

Рис. 8

Рис. 6

Поскольку AY AX = UY UX = 2, получаем, что AU – биссектриса угла XAY. Аналогично, исходя из свойств внешней биссектрисы, AV – внешняя биссектриса угла XAY. Так как $AU \perp AV$, то A лежит на окружности с диаметром UV. Проведя рассуждения в обратную сторону, можно показать, что эта окружность и является множеством решений уравнения y = 2x. Аналогично, решением уравнения y = kx, где k > 0 и $k \ne 1$, также является окружность. Она называется окружностью Аполлония.

Упражнение 8*. На плоскости дан треугольник XYZ. Докажите, что центры окружностей Аполлония y = 2x, z = = 2y и z = 4x лежат на одной прямой. Указание. В общем случае окружности y = kx, z = ly и z = ( kl ) x имеют общую радикальную ось. Если первые две из них пересекаются в двух точках, то и третья проходит через эти точки.

Рис. 9

перпендикулярных прямых – биссектрис двух пар вертикальных углов. Множества, задающие неравенства y < x и y > x, – пары вертикальных прямых углов (рис.9). Биссектрисы треугольника делят его на области, каждая из которых задается своей системой неравенств от переменных x, y, z, обозначающих расстояния до прямых, содержащих стороны треугольника. Если раскрасить всю плоскость, расчерченную внутренними и внешними биссектрисами, в соответствии с упорядочениями переменных x, y, z, получается красивый «калейдоскоп» (рис.10).

Далее, уравнение x + y = c, где c – постоянная величина, c > XY, задает эллипс (рис.7,а), уравнение

Рис. 7

x – y = c, где $c \ne 0$, |c| < XY, задает ветвь гиперболы (рис.7,б). Линейное уравнение произвольного вида может задавать и более сложную кривую.

Расстояния до прямых или плоскостей Давайте возьмем произвольный угол и через x и y будем обозначать расстояния от точки до прямых, содержащих стороны угла. Если ограничиться внутренностью угла, то равенство y = x задает множество точек, равноудаленных от сторон угла, т.е. биссектрису (рис.8). Теперь продлим стороны угла (т.е. рассмотрим две пересекающиеся прямые). Тогда уравнение y = x задает (на всей плоскости) объединение двух

Рис. 10

Упражнение 9. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, двумя способами: с помощью транзитивности равенства и «методом Рубанова».

Если вместо расстояний до прямых брать ориентированные расстояния (т.е. расстояния, взятые со знаком «+» или «–», в зависимости от того, в какой полуплоскости расположена точка относительно прямой), то все

25

ЗАДАЧНИК

будет почти так же, как в методе координат, с которого мы начали разговор: уравнение y = x будет задавать прямую, а неравенства y < x и y > x – полуплоскоcти.

Упражнение 10. Пусть x и y обозначают ориентированные расстояния до двух пересекающихся прямых. Докажите, что любое линейное уравнение задает прямую, а линейное неравенство задает полуплоскость.

Выйдем теперь снова в трехмерное пространство. Рассмотрим двугранный угол и для точки, лежащей внутри него, через x и y будем обозначать расстояния до плоскостей его граней. Тогда равенство y = x задает биссекторную плоскость. У трехгранного угла можно провести три биссекторные плоскости между парами граней, которые разделят его на шесть областей (трехгранных углов), каждая из которых задается своим упорядочением переменных x, y, z, где x, y, z – расстояния от точки, лежащей внутри трехгранного угла до плоскостей его граней.

Упражнение 11. Докажите, что биссекторные плоскости делят трехгранный угол ровно на шесть областей.

Возьмем трехгранный угол, все плоские углы которого равны $90^\circ$, и рассмотрим декартову систему координат, связанную с ним (так, что трехгранный угол совпадает с первым октантом). Тогда биссекторные плоскости двугранных углов задаются уравнениями x = y, y = z, z = x. Они разбивают наш трехгранный угол (первый октант) на шесть областей (трехгранных углов), которые задаются в координатах знакомыми неравенствами x < y < z, x < z < y, y < x < z, y < z < < x, z < x < y, z < y < x. В силу равноправия переменных, эти области являются равными фигурами. Отрежем от первого октанта единичный куб (который в координатах задается неравенствами $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$. Плоскости x = y, y = z, z = x разбивают наш куб на шесть равных фигур (равных – опять-таки из-за равноправия переменных). Эти фигуры – равные тетраэдры. Итак, мы получили красивое разбиение куба на шесть равных тетраэдров. Если на куб посмотреть в направлении его большой диагонали, то он будет выглядеть как на рисунке 11, плоскости x = y, y = z, z = x показаны красным пунктиром.

Рис. 11

«КВАНТА»

Упражнения 12. Разбейте куб на три равные четырехугольные пирамиды. 13. На сколько частей разобьют тетраэдр биссекторные плоскости шести его граней? Ответ: 24.

Отметим, что последнее упражнение и задача М2420 весьма близки. Действительно, пусть тетраэдр T вписан в сферу. Проведя в его вершинах касательные плоскости к сфере, получим новый тетраэдр $T '$, для которого данная сфера будет являться вписанной или вневписанной. Тогда плоскости – серединные перпендикуляры к ребрам тетраэдра T – будут являться биссекторными плоскостями (внутренними или внешними) двугранных углов тетраэдра $T '$.

Упражнения 14. На сколько частей делят пространство биссекторные плоскости двугранных углов, образованных всеми парами смежных граней куба? Ответ: 24. 15. Пусть x, y, z – расстояния от точки, лежащей внутри куба ABCDA $' B ' C ' D '$, до ребер AB, AC, $AA '$. Что представляют собой области x < y < z, x < z < y и т.п.?

Расстояние до произвольных множеств

В первой части статьи мы занимались расстояниями до точек, во второй части – расстояниями до прямых и плоскостей. Более общая постановка: пусть X, Y, … – произвольные множества, а x, y, … – расстояния от произвольной точки до множеств X, Y, … соответственно. Здесь под расстоянием от точки M до множества X мы понимаем $минимум^{2}$ из расстояний MN, где $N \in X$. Если X и Y – не слишком экзотические фигуры на плоскости, то в качестве множества решений уравнения y = x мы, как правило, будем получать некоторую кривую или несколько кривых, а решения неравенств y > x и y < x – это области, на которые кривые делят плоскость (рис.12). Множества y > x и y < x можно назвать обобщенными областями Вороного, или, следуя упомянутой выше статье Н.Долбилина, «областями влияния» множеств X и Y. Замечательная интерпретация дана А.Савиным (см. Рис. 12 «Калейдоскоп «Кванта» №4 за 1994 г.): пусть X и Y – территории двух стран, между которыми распределена вся территория суши (таким образом, все, что не принадлежит ни X, ни Y, – это море), и требуется справедливым образом провести морскую границу между странами X и Y.

2 Лучше сказать не «минимум», а «точная нижняя грань», так как минимум не всегда достигается, например, если X представляет собой круг или многоугольник без границы.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Шарик и Матроскин надоили 10 литров молока, разлили его по двум ведрам и понесли домой. Шарик устал и перелил часть молока из своего ведра в ведро Матроскина. От этого у Шарика молока стало втрое меньше, а у Матроскина – втрое больше. Сколько молока стало у Матроскина? Жюри Турнира Ломоносова

Мальвина всю неделю учила Буратино писать. Она изобразила на диаграмме, сколько букв написал Буратино за каждый из семи дней. Черта на диаграмме показывает среднее число букв (оно равно 9). Буратино оторвал кусок диаграммы, как показано на рисунке. Сколько букв он написал в воскресенье? И.Высоцкий, И.Раскина

Замените буквы на рисунке цифрами (все цифры должны быть различными) так, чтобы получилось верное равенство. А.Антропов, Т.Казицына

Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части. Е.Бакаев

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на XXXIX Турнире Ломоносова.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Легко оклеить поверхность куба шестью ромбами, а именно шестью квадратами. А можно ли оклеить поверхность куба (без щелей и наложений) менее чем шестью ромбами (не обязательно одинаковыми)? А.Шаповалов

30

КВАНТ 2016/№5-6

Всего было съедено 1000 петухов. Сколько съели кур? Признав поражение, я попросил отсрочки до завтрашнего дня и вечером занялся задачей в спокойной обстановке. Сначала попробовал, хотя бы примерно, изобразить куриное «генеалогическое древо» – и ужаснулся обилию возможных вариантов уже в первых поколениях. В самом деле, из десятка яиц, снесенных «исходной» (т.е. купленной на рынке) курицей, могло вывестись от нуля до десяти кур (впрочем, ноль – это невозможно, ведь тогда на этом род куриный и оборвался бы, и откуда было бы взяться тысяче петухов?). Во втором поколении разброс вариантов еще шире… в общем, мрак! Тем не менее, для очистки совести я нарисовал некое «среднетипичное» начало описанного в задаче процесса, обозначив кур жирными точками, а переходы к следующим поколениям – отрезками, направленными веером вниз (при этом от каждой курицы проводится ровно 10 отрезков). Стало быть, отрезки, просто обрывающиеся, без продолжения – это те самые петухи, окончившие свой бренный путь в чужом желудке. Получилось примерно то, что нарисовано на схеме. Неужели искомое число съеденных кур (при неизменной тысяче петухов) не зависит от вида древа? Ну-ка, возьмем какой-нибудь кусок древа, начиная от любой курицы (и далее вниз), и перецепим его к любому свободному концу (не важно, в каком поколении). При этом мы как бы поменяем местами одного из петухов с какой-то курицей. В результате суммарное число и петухов, и кур не изменится, а древо станет другим, но с соблюдением всех требований условия! Перецепим еще раз – получим новое древо с теми же числовыми характеристиками. Может быть, такими перецепками удастся получить какое-нибудь древо попроще и подсчитать число кур в нем напрямую? Например, древо, где в каждом поколении, кроме последнего, ровно

одна курица. Для этого можно каждый раз выбирать произвольное поколение, где есть хотя бы две курицы, и любую из этих кур (вместе со всем идущим из нее куском) перецеплять… ну конечно – в самый низ древа (к любому свободному концу в самом нижнем поколении). Тогда число поколений после каждой перецепки будет увеличиваться. Но оно не может увеличиваться бесконечно – ведь мы просто переставляем куски в конечном древе. Значит, процесс перецепок завершится, а именно в тот момент, когда в каждом поколении, кроме начального и последнего, будет ровно одна курица и 9 петухов. Что же получается? Даже ничего не рисуя, можно без особого труда определить, что суммарно во всех поколениях, кроме начального (исходной курицы) и последнего («десятипетухового»), вывелось 1000 –10 = 990 петухов, и потому таких поколений было 990: 9 = 110, а вместе с последним поколением получается 110 + 1 = 111. Но каждое такое поколение порождается одной курицей, так что и кур было именно столько же, т.е. 111 голов. Все! На следующий день я с гордостью выдал этот ответ своему знакомому. – Правильно, – сказал он. – А как ты решал? Я объяснил, предвкушая похвалу за хитроумное решение трудной задачи. – Это слишком сложно, – огорошил он меня. – Решать надо по-другому. Подсчитаем двумя способами число снесенных яиц. Пусть всего было х кур. С одной стороны, каждая курица снесла по 10 яиц, а так как кур было х, то яиц было 10х. С другой стороны, все куры, кроме самой первой (купленной на рынке), вылупились из яиц, снесенных этими же курами. Поэтому для «производства» кур потребовалось х – 1 яиц. Ну а все 1000 съеденных петухов тоже вылупились из яиц. Итого получается, что было снесено (х – 1) + + 1000 = х + 999 яиц. Вот мы и определили двумя способами количество снесенных яиц. Так как это одно и то же значение, то 10х = х + 999. Отсюда х = 111, как и у тебя. Мне пришлось признать, что так действительно получается наглядней и проще. Но кто же догадается до такого? Через несколько дней я не удержался и предложил эту же задачу другому своему знакомому, заранее надеясь посмеяться над его неуклюжими потугами. И что же? Он ответил почти сразу, причем начал вроде бы точно так же: – Пусть кур было х, – заявил он, но затем неожиданно сменил музыку. – Так как каждая курица породила 10 других птиц и 1000 из них были петухами, всего на свет появились из яиц

31

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

10х – 1000 кур. Да еще добавим первую курицу – ее-то принесли извне. Так что можно записать двумя способами количество кур, что дает уравнение х = 10х – 1000 + 1. Поэтому х = 111. Ага, подумал я, значит, можно было и кур считать! Тогда, может быть, есть шанс найти решение и «через петухов», подсчитав их двумя способами? Убедитесь самостоятельно, что и этот путь приводит к успеху. Как говорится, что в лоб, что по лбу – задача допускает различные подходы к ее решению. Ну а читателям предлагается поискать ответ на такие два вопроса: 1. Каков будет ответ в общем случае – если каждая курица снесла m яиц и всего было съедено n петухов? 2. А если в условии дано, сколько съели кур – можно ли однозначно определить, сколько съели петухов?

ШКОЛЬНИКОВ

Задачи для самостоятельного решения

1. В пруду 30 щук. Щука сыта, если она съела трех других щук. Какое наибольшее число щук может насытиться? 2. В шкатулке 10 меньших шкатулок. Любая из них либо пуста, либо в ней 10 еще меньших шкатулок и т.д. Сколько всего шкатулок, если известно, что пустых из них 100? 3. Туристическая фирма провела акцию: «Купи путевку в Египет, приведи четырех друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно». За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?

Евгений Яковлевич Гик (10.05.1943–24.10.2016 )

24 октября 2016 года ушел из жизни Евгений Яковлевич Гик – математик, шахматист и шахматный литератор, многолетний автор и ведущий «Шахматной странички» нашего журнала. К моменту окончания механико-математического факультета МГУ Евгений Яковлевич был уже известным шахматистом, участником чемпионата СССР. Пересечение в одном человеке двух замечательных миров, в которых он был профессионалом, дополненное литературными способностями, сделало его одним из самых известных шахматных литераторов и журналистов. До сих пор многие помнят написанный Евгением Яковлевичем совместно с драматургом Леонидом Зориным захватывающий рассказ о партии Лутиков–Тайманов из последнего тура чемпионата СССР 1969 года. Партии, не только решавшей судьбу одной из путевок в межзональный турнир, но и феерической, как называл ее сам Евгений Яковлевич. «Шахматная страничка» появилась как постоянный раздел журнала «Квант» в 1980 году. На протяжении 36 лет Евгений Яковлевич в каждом номере журнала рассказывал об интересных событиях на «шахматно-математической доске» и делился с читателями чисто спортивными шахматными новостями. Причем это были новости «из первых рук», поскольку он был лично знаком с большинством выдающихся современных игроков, а как журналист присутствовал на всех исторических матчах и турнирах. В 2015 это творческое долголетие в постоянном и непрерывном сотрудничестве Евгения Яковлевича с журналом «Квант» было отмечено специальным сертификатом Международного агентства регистрации рекордов Interrecord. Всего «Шахматная страничка» вышла 291 раз. Евгений Яковлевич Гик был человеком деятельным и увлеченным, общее число выпущенных им книг приблизилось к 200. Для читателей и сотрудников журнала «Кванта» он был неутомимым, ярким и авторитетным гидом в том мире, про который Михаил Таль когда-то сказал: «Шахматный вирус заразителен!»

35

ШКОЛА

В

$u_{2} = u_{1}$, а нормальная компонента изменит направление, сохранив модуль: $v_{2} = - v_{1} = - V_{1}$ cos $\theta$. Так что после соударения в точке М с полярным углом $\theta$ яблоко отскочит с прежним по модулю вектором скорости $V_{2} = V_{1} = u_{1}^{2} + v_{1}^{2}$, повернутым на угол $2\theta$ по отношению к первоначальному (зеркальное отражение). А в каком месте яблоко упадет на землю? Если задан рост Джентльмена H, то проблема сводится к простой школьной задаче о траектории тела, брошенного под углом к горизонту, равным $\pi 2 - 2 \theta$. Те яблоки, которые имеют прицельное расстояние x = = r + R, слегка скользнув по бомбардируемому шару, продолжают падать вертикально. А что будет с теми, которые летят строго вдоль вертикали x = 0? Очевидно, они также строго отразятся вертикально вверх и (ведь потерь энергии нет) повторят падение в точку x = 0. И это будет продолжаться вечно. Но, как сказал бы математик, «мощность» множества таких яблок равно нулю, ибо им соответствует только одно значение угла $\theta : \theta = = 0$ из промежутка $- \pi 2 < \theta < \pi 2$. Понятно, что если яблоко не вращалось до столкновения, то оно в принятых предположениях не приобретет угловой скорости и после столкновения. На рисунке 2 приведены результаты падения яблок с высоты h = 0,5 м. Сопротивлением воздуха пренебрегалось.

«КВАНТЕ»

Рис. 3. При абсолютно упругом соударении сфероида с массивным телом нормальная компонента скорости уменьшается по величине вследствие потерь энергии на вращательное движение

дольным d P и поперечным $d_{\perp}$ (рис.3; в математике привычнее употреблять не эти габариты, а полуоси a и b). И то – если их считать эллипсоидами вращения (вытянутыми или удлиненными сфероидами). Но при описании вращения придется ввести новое понятие – момент инерции, аналогичное массе при описании поступательного движения. Тут обычно вспоминают фигуристку на льду: когда она прижимает руки к телу – скорость вращения растет, когда разбрасывает руки в стороны – скорость уменьшается. Напрашивается аналогия с яблоком и огурцом: при одинаковой массе огурец должен вращаться медленнее. Можно, глядя на рисунок 3, написать систему уравнений для нормального и тангенциального импульсов сфероида, а также для его вращательного импульса (момента импульса) и решить эту систему относительно компонент линейной и угловой скоростей.

Но достаточно будет, если мы поймем, что в случае огурца даже после абсолютно упругого удара нормальная компонента скорости $уменьшится,_{r}$ в отличие от случая с яблоком, поскольку вектор $V_{2}$ уже не проходит через центр масс. Таким образом, огурец, изображенный на рисунке 3 справа, приобретет вращательный импульс, заставляющий его вращаться по часовой стрелке. А если огурец заменить патиссоном (сплюснутым сфероидом), малая ось которого теперь является осью симметрии? Коснувшись головы Джентельмена в той же точке М, патиссон приобретет вращательный импульс противоположного знака.

Рис. 2. Траектории яблок, падающих на голову Джентльмена и отразившихся от нее

Да простит нас уважаемый Читатель, если проблему со сферическими яблоками он найдет слишком тривиальной. Поэтому сделаем шаг вперед в усложнении формы падающих тел. Возьмем, например, огурцы или патиссоны. Но огурцы – это вам не яблоки. Тут дело сложнее. Их форма характеризуется уже двумя размерами – про-

Однако не будем утомлять читателя сложными математическими выкладками. Чтобы узнать, как все это сделать, нужно поступить в Московский физико-технический институт или в Московский государственный университет.

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

О махолете электрически

С.ГЕРАСИМОВ

ДАВНЫМ-ДАВНО, В САМОМ НАЧАЛЕ XX ВЕКА ВРАЧ

Николай Федорович Аренд продувал замороженных птиц в аэродинамической трубе. Его заключение было неожиданным: аппараты с птичьими крыльями летать не должны. После этого продували макеты, чучела и даже живых птиц, и получалось, что и они летать не должны. А они, наперекор всем таким утверждениям, летали и летают. В 1960 году издательство ДОСААФ выпустило книгу «Модели с машущими крыльями» известного энтузиаста машущего полета Г.Васильева, а в 1986 году механическая модель птерозавра стоимостью 700 тысяч долларов, построенная известным авиаконструктором П.Маккриди, была запущена при помощи лебедки, но разбилась о бетон взлетно-посадочной полосы. Тем временем, махолеты еще одного энтузиаста В.Торопова летали, причем достаточно успешно. Впрочем, взлетать они могли только в двух случаях: при вертикальном положении корпуса и горизонтальном махании крыльев или при почти горизонтальном расположении корпуса с почти вертикальным маханием крыльев, т.е. после продолжительного разгона. Что-то подобное совершает конвертоплан, у которого для вертикального взлета осуществляется поворот воздушных винтов. Построенный в 1998 году в канадском университете Торонто, орнитоптер C-GPTR с пилотом на борту после разгона продержался в воздухе несколько секунд и уткнулся носом в бетонное покрытие… Несмотря на бесчисленные неудачи, машущий полет и сегодня привлекает большое число любителей. Его кажущаяся легкость побуждает энтузиастов строить модели и подавать проекты веря, что именно им известен секрет, который позволит, наконец, человеку совершить машущий полет. Потом наступает разочарование: шагнуть дальше летающих моделей и осуществить вертикальный взлет пока не удалось никому. Между тем, насекомые могут не только взмывать с места без разгона, но и надолго зависать в воздухе. К идее махолета почти все, увы, относятся с иронией. Можно быть уверенным, в настоящее время ни один солидный авиационный институт, ни одна аэрокосмическая организация, ни одно авиационное предприятие не интересуется идеей машущего полета; ни один научный фонд не готов поддержать грант на создание действующей модели орнитоптера, осуществляющей не только горизонтальный полет, но и вертикальный взлет. Наверное, это правильно и вполне объяснимо. Значит, это – дело любителей, энтузиастов и дилетантов. Заметим, что в последнем слове нет ничего оскорбительного. Хотя в последнее время понятие «дилетант» обросло разными значениями, чаще всего пренебрежительными, такими

как «невежда» и «верхогляд», но на самом деле это слово происходит от итальянского «дилетто», означающее удовольствие. И в большей степени оно относится к человеку, которому работа в смежной области доставляет радость и который занимается ею не ради престижа и денег, а просто так, ради интереса, в свое удовольствие. Разве это плохо, если начинающий специалист, студент или учащийся попытается самостоятельно разобраться с загадкой машущего полета и при этом не только приобретет опыт и знания, но и получит настоящее, а не сомнительное удовольствие? А кто еще может позволить себе ненадолго отрешиться от рабочих проблем и погрузиться в решение задачи, совершенно зря объявленной не актуальной? Маловероятно, что это экспериментальное исследование будет завершено, но попробовать стоит. Для эксперимента нужна действующая модель махолета. Ее можно изготовить, воспользовавшись рекомендациями, изложенными в книге Г.Васильева, вот только резиновый или бензиново-моторный привод в схеме Д.Ильина лучше заменить электрическим. Придется менять частоту маханий крыльев, а это проще всего сделать, изменяя напряжение питания электродвигателя. Конечно, для начала надо убедиться, что махолет действительно летает, а не просто машет крыльями. Закрепите его к потолку лаборатории или комнаты при помощи длинной нити, включите двигатель и получите истинное удовольствия, глядя на такой конический маятник (рис.1).

Рис. 1. Махолет на привязи, но в полете

Но конический маятник совершает круговые движения за счет горизонтальной силы, нас же занимает вертикальный взлет, т.е. вертикальная составляющая силы. То, что она имеет право на существование, сомнений не вызывает. При движении несимметричного крыла птицы или деформируемого крыла махолета вверх сила аэродинамического сопротивления меньше, чем при опускании крыла. Значит, должно иметь место так называемое вибрационное перемещение, которое, формально говоря, происходит под действием силы сопротивления среды. А если учесть, что крыло не невесомо, то такое перемещение может стать достаточно эффективным, поскольку при прочих равных условиях опускать тело легче, чем поднимать. Чем-то эта проблема напоминает желание взвесить постоянно прыгающую лягушку, ну не убивать же ее! Обычные весы не помогут – лягушка ускачет, а чашки весов – помеха махолету. И потом, что покажут такие весы – непонятно. Но есть же другие весы – пружинные,

46

КВАНТ 2016/№5-6

а простейшая электроника в наше время позволяет сделать такое, что первым разработчикам махолетов и не снилось. По существу, это простейший трансформатор, первичной обмоткой которого служит катушка К, а вторичной обмоткой – пружина П с махолетом М, частично находящаяся внутри первичной обмотки (рис.2). Пружина растянулась – индуктивность уменьшилась, уменьшилось и выходное напряжение, и наоборот. Входное

Рис. 3. Калибровка

Рис. 2. Махолет М, пружина П, катушка К, генератор Г и осциллограф О

переменное напряжение лучше всего получать от генератора низкой частоты Г. Конечно, можно его взять и из бытовой электросети, но предупреждаем – это небезопасно. Если все же кто-то отважится, то электрический ток следует подавать в катушку, например, через лампу накаливания. Измерять выходное напряжение лучше всего при помощи двухканального электронного осциллографа О. В этом нынче нет проблемы: например, электронный осциллограф МастерКит ВМ8020 вполне доступен не только учебной лаборатории вуза, но и радиолюбительскому бюджету. Современные научные исследования объединяют, как правило, несколько областей. И здесь дилетант перестает быть самоучкой: занимаясь вроде как альтернативной авиацией, он знакомится не только с устройством простейшего трансформатора с переменным коэффициентом усиления, но и с основами обработки слабых электрических сигналов. Электронный осциллограф очень просто подключается к компьютеру, а процедура обнаружения слабых периодических сигналов – не та задача, которой стоит бояться. Второй канал осциллографа нужен, если интерес представляет не только подъемная сила, но и потери энергии, затрачиваемые на ее создание. Первое, что обязательно надо сделать, это произвести калибровку, т.е. установить связь между средним весом колеблющегося и покоящегося тела (не махолета, конечно же) и падением напряжения на пружине. То, что она не линейна – не страшно; при необходимости ее можно даже откалибровать (аппроксимировать) (рис.3). Она

Рис. 4. Подъемная сила при нулевом угле атаки

важна, но в общем-то в ней нет ничего необычного или неожиданного. Другое дело – зависимость подъемной силы от частоты маханий крыльев (рис.4). Здесь нового – хоть отбавляй, а значит, есть, над чем поразмышлять. Да, подъемная сила мала, но мала и частота, а с возрастанием частоты сила все-таки возрастает. Эта экспериментальная зависимость чем-то напоминает квадратичную (сплошная линия на рисунке 4), характерную, например, для того же вертолета, если под частотой понимать частоту вращения винта. Но почему при трех с половиной герцах подъемная сила почти обнуляется – повод для дальнейшей деятельности. Сразу же хочется не только просто повторить измерения, но при этом и изменить какой-нибудь параметр такого далеко не примитивного летательного аппарата. Подъемная сила практически любого летательного аппарата тяжелее воздуха характеризуется так называемым углом атаки. Эта конструкция махолета тоже позволяет его изменить. Достаточно обратить внимание на то, что над креплением середины деформируемого крыла (см. рис.2) установлен лонжерон, позволяющий изменять положение центра тяжести по отношению к пружине. При пяти градусах угла атаки ситуация почти повторяется (рис.5), но смысл такого повторения вполне понятен. Теперь никак невозможно провал в подъемной силе, происходящий при трех с половиной герцах частоты, списать на ошибки измерений. Скорее всего, виной такого провала является резонанс. Когда частота деформаций

52

КВАНТ 2016/№5-6

В отличие от задачи 19, в данном случае не говорится о движении с малой скоростью. Поэтому обязательно возникает центростремительное ускорение. А вот какая сила его вызывает? Эта сила должна быть направлена к центру окружности. Но помимо силы тяги и силы трения других сил в горизонтальной плоскости нет. Приходим к выводу, что сила тяги направлена под некоторым углом $\alpha$ к касательной к окружности так, чтобы ее параллельная составляющая $F_{P} = F$ cos $\alpha$ была по модулю равна силе трения, а перпендикулярная составляющая $F_{\perp} = F$ sin $\alpha$ создавала центростремительное ускорение. Как видим, непосредственно на ответ приведенное уточнение не влияет, но глубина понимания условия задачи становится иной. Задача 21 (ЕГЭ). Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника 0,5 с. Каким будет период колебаний другого маятника, если и масса груза маятника, и жесткость его пружины в 4 раза больше, чем у первого? Решение. При беглом прочтении условия можно не заметить, что задан не привычный период колебаний пружинного маятника, а период колебаний его потенциальной энергии. Зато требуется определить просто период колебаний другого пружинного маятника. Напомним, что и потенциальная и кинетическая энергии пружинного (и математического тоже!) маятника изменяются вдвое чаще, чем меняются его координата, скорость и ускорение. Итак, если мы заметили хитрости составителей задачи, то дальнейшее решение не вызовет затруднений. Поскольку период колебаний потенциальной энергии первого маятника равен $T_{пэ1} = 0,5$ с, то период его колебаний будет вдвое больше: $T_{1} = T_{пэ1} = 1 c$. Из формулы периода колебаний пружинного маятника

$T = 2 \pi$

a = 2g.

Неожиданный ответ, не правда ли?

Иногда случается так, что условие старается как бы увести решающего с верного пути. Например, с помощью избыточных данных. Рассмотрим показательный в этом смысле пример. Задача 24 (ЕГЭ). На фотографии (рис.16) представлена установка для изучения равномерного движения бруска (1) массой 0,1 кг, на котором находится груз (2) m k следует, что при одновременном увеличении массы m груза маятника и жесткости k его пружины в 4 раза период колебаний не изменится. Таким образом,

$T_{2} = T_{1} = 1 c$.

Задача 22 (ЕГЭ). С аэростата, зависшего над землей, упал груз. Через 10 с он достиг поверхности земли. На какой высоте находился аэростат? Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Решение. Это совсем простая, но не случайная для данной статьи задача. В условии задачи оговорены все детали: аэростат завис – начальная скорость груза равна нулю, сопротивление воздуха пренебрежимо мало – ускорение груза равно g. Тогда искомая высота равна h =

Если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то ответ в задаче очевиден: ускорение мяча как до, так и после отскока равно g. Однако, поскольку мяч падает с большой высоты, сопротивление воздуха должно оказывать существенное влияние на его движение. Не слишком тяжелый теннисный мяч через некоторое время с начала полета перестанет ускоряться – сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости мяча. Тогда за мгновение до удара сила сопротивления будет равна по модулю силе тяжести и противоположна ей по направлению. Сразу после абсолютно упругого отскока модуль скорости мяча останется тем же, значит, сила сопротивления сохранит свою величину, изменив только направление на противоположное. Таким образом, в этот момент равнодействующая сил, приложенных к мячу, равна 2mg, а его ускорение равно

$gt^{2} = 500$ м. 2

Задача 23. Теннисный мяч падает с большой высоты на землю. Определите его ускорение сразу после абсолютно упругого отскока. Решение. Обратите внимание, что обязательная в подобных задачах присказка «сопротивлением воздуха пренебречь» в условии отсутствует. Что это – небрежность составителей, забывших указать очевидную поправку, или сознательное ее исключение?

Рис. 16

массой 0,1 кг. Чему равна работа равнодействующей всех сил, действующих на брусок c грузом, при перемещении на 20 см? Решение. В этой задаче все числовые данные не играют никакой роли. Для решения достаточно обратить внимание на две вещи: во-первых, движение бруска равномерное; во-вторых, нужно найти работу равнодействующей всех сил, действующих на брусок c грузом. Теперь все предельно ясно: при равномерном движении ускорение равно нулю, значит, равнодействующая всех сил (которую показывает диаметр 3) тоже равна нулю. Тогда равна нулю и ее работа.

В заключение – обещанная таблица «скрытого смысла». В ней дается возможное толкование отдельных фраз, встречающихся в задачах механики. Эта таблица далеко не полная. На наш взгляд, было бы полезно продолжить ее. При желании читатель может справиться с этим самостоятельно.

Упражнения

1 (ЕГЭ). Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А (рис.17). В точке В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность гори-

53

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

Таблица «скрытого смысла»

Рис. 17

зонтальной трубы радиусом R. Если в точке А скорость шайбы превосходит $v_{0} = 4$ м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости АВ = L = 1 м, угол $\alpha = 30 ^\circ$. Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой $\mu = 0,2.$ Найдите внешний радиус трубы R. 2 (ЕГЭ). Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна 500 м/с. В точке максимального подъема снаряд разорвался на два осколка. Первый упал на землю вблизи точки выстрела, имея скорость в 2 раза больше начальной скорости снаряда, а второй оказался в этом же месте через 100 с после разрыва. Чему равно отношение массы первого осколка к массе второго осколка? Сопротивлением воздуха пренебречь. 3 (МФТИ, 1978). Тонкая пластинка массой $m_{1}$, движущаяся со скоростью $v_{0}$, ударяется о неподвижную тонкую пластинку массой $m_{2}$, расположенную параллельно первой (см. рис.9). Скорость $v_{0}$ составляет угол $\phi$ с плоскостью пластинок. Удар абсолютно упругий, трения между пластинками нет. С какими скоростями будут двигаться пластинки после удара? 4. Шарику, висящему на легкой нерастяжимой нити длиной 1,6 м, сообщают горизонтальную скорость 8 м/с. На какую максимальную высоту поднимется шарик? 5. На тележке массой М = 400 г, которая может катиться без трения по горизонтальной плоскости, имеется легкий кронштейн, на котором подвешен на нити маленький шарик массой m = 200 г. На тележку по горизонтали налетает и абсолютно неупруго сталкивается с ней шар массой М (рис.18).

Рис. 18

После столкновения, в тот момент когда нить, на которой подвешен шарик, отклонилась на максимальный угол от вертикали, скорость тележки была v = 4 м/с. Какова была скорость шара $v_{0}$ до столкновения? Длительность столкновения шара с тележкой считать очень малой. 6 (Олимпиада «Ломоносов», 2015). Достаточно длинная доска массой M движется поступательно вдоль своей длинной стороны со скоростью $v_{0}$. В центр доски аккуратно кладут груз массой m. Коэффициент трения между грузом и доской $\mu$. Определите максимальное смещение груза относительно доски.

ОЛИМПИАДЫ

LVII Международная математическая олимпиада

С 6 по 16 июля 2016 года в Гонконге (КНР) проводилась LVII Международная математическая олимпиада (ММО). Гонконг – один из немногих городов мира, которому выпала честь дважды принимать ММО (первый раз – в 1994 году). Участники олимпиады проживали в студенческом городке, расположенном ярусами на горе, с которой открывался красивый вид на один из многочисленных заливов Южно-Китайского моря. ММО является одним из самых крупных интеллектуальных соревнований школьников. В 2016 году в олимпиаде приняли участие 602 победителя национальных олимпиад из 109 стран мира. В этом году команду России составили выпускники школы Павел Губкин (Санкт-Петербург), москвичи Руслан Салимов, Иван Фролов и Григорий Юргин, а также десятиклассники Георгий Вепрев (Рыбинск, Ярославская обл.) и Никита Карагодин (Санкт-Петербург). Ведущие позиции российской олимпиадной математической школы были подтверждены включением в варианты ММО сразу двух задач из числа предложенных нашей страной. При этом задача 5 (авторы Н.Агаханов, И.Богданов) была признана международным жюри лучшей задачей по алгебре в шорт-листе (списке из 30 задач, отобранных задачным комитетом для олимпиады), а задача 3 (автор А.Гайфуллин, абсолютный победитель ММО в 2000 году) – и самой сложной, и самой красивой задачей олимпиады. Российская сборная выступила на олимпиаде достаточно успешно, уступив по числу завоеванных золотых медалей только команде США. А Григорий Юргин оказался в числе 14 участников олимпиады, сумевших решить задачу 3. Завершающий этап подготовки команды к ММО – летние учебно-тренировочные сборы – как и в прошлом году, проходил в Образовательном центре «Сириус» (Сочи). Занятия с командой проводили преподаватели сборов: доцент МФТИ, к.ф.-м.н. И.И.Богданов, педагог ФМЛ 239 Санкт-Петербурга, к.ф.-м.н. С.Л.Берлов, преподаватель мехмата МГУ им. М.В.Ломоносова, к.ф.-м.н. А.А.Глазырин, педагог дополнительного образования Санкт-Петербурга А.С.Голованов, профессор МФТИ, д.ф.-м.н. В.Л.Дольников, доцент МФТИ, к.ф.-м.н. П.А.Кожевников, старший научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института им. Стеклова РАН Ф.В.Петров, директор и педагог ФМЛ 239 Санкт-Петербурга, к.ф.-м.н. М.Я.Пратусевич, педагог ФМЛ 239 Санкт-Петербурга К.А.Сухов, доцент МФТИ, к.п.н. Д.А.Терешин, программист Г.Р.Челноков. Руководители команды благодарят Дмитрия Юрьевича Дойхена, который много лет поддерживает команду России в международных математических соревнованиях.

Здесь приведена таблица с результатами выступления нашей сборной (каждая задача оценивалась из 7 баллов) и командные результаты лучших 20 команд. Полная информация о результатах на международных математических олимпиадах имеется на официальном сайте олимпиады: www.imo- official.org

Задачи олимпиады

1. Дан треугольник BCF с прямым углом при вершине B. Точка A на прямой CF такова, что FA = FB и F лежит между A и C. Точка D выбрана так, что DA = DC и AC – биссектриса угла DAB. Точка E выбрана так, что EA = ED и AD – биссектриса угла EAC. Точка M – середина отрезка CF. Пусть точка X такова, что AMXE – параллелограмм (в котором AM P EX и AE P MX ). Докажите, что прямые BD, FX и ME пересекаются в одной точке.

Бельгия

2. Найдите все положительные целые n, для которых в каждую клетку таблицы $n \times n$ можно записать ровно одну из букв I, M или O так, что: i в каждой строке и в каждом столбце ровно треть составляют буквы I, ровно треть составляют буквы M и ровно треть составляют буквы O; а также i на каждой из диагоналей, количество клеток которой кратно трем, ровно треть составляют буквы I, ровно треть составляют буквы M и ровно треть составляют буквы O. Примечание. Если строки и столбцы таблицы $n \times n$ занумерованы числами от 1 до n в обычном порядке, то каждой

55

ОЛИМПИАДЫ

лых чисел, хрупким, если оно состоит не менее чем из двух элементов и каждый его элемент имеет общий простой делитель хотя бы с одним из остальных элементов этого множества. Пусть $P ( n ) = n^{2} + n + 1$. Найдите наименьшее положительное целое b, для которого найдется неотрицательное целое a такое, что множество

{ P ( a + 1 ), P ( a + 2 ), …, P ( a + b ) } является хрупким.

Люксембург

5. См. задачу М2444 «Задачника «Кванта».

Австралия

6. На плоскости расположено $n \ge 2$ отрезков так, что любые два из них пересекаются по внутренней точке, а никакие три из них не имеют общей точки. Иван выбирает один из концов каждого отрезка и сажает в него лягушку лицом к другому концу этого отрезка. Затем он n – 1 раз хлопает в ладоши. При каждом хлопке каждая из лягушек немедленно прыгает вперед в следующую точку пересечения на ее отрезке. Лягушки никогда не меняют направления своих прыжков. Иван хочет изначально рассадить лягушек так, чтобы никакие две из них никогда не оказались в одной точке пересечения одновременно. a) Докажите, что Иван всегда может добиться желаемого, если n нечетно. б) Докажите, что Иван никогда не сможет достичь желаемого, если n четно.

7. Назовем множество, состоящее из положительных це-

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, М.Пратусевич, К.Сухов, Д.Терёшин

Слева направо: Г.Вепрев, Н.Карагодин, П.Губкин, Г.Юргин, И.Фролов, Р.Салимов клетке соответствует пара положительных целых чисел ( i, j ), где $1 \le i, j \le n$. Для n > 1 в таблице суммарно есть 4n – 2 диагоналей двух типов. Любая диагональ первого типа состоит из клеток ( i, j ), для которых сумма i + j постоянна, а любая диагональ второго типа состоит из клеток ( i, j ), для которых разность i – j постоянна.

3. См. задачу М2445 «Задачника «Кванта».

Чехия

XLVII Международная физическая олимпиада

Международная олимпиада школьников по физике в 2016 году проходила в Швейцарии, в городе Цюрихе. На олимпиаду приехали 450 школьников из 90 стран мира. Вместе с ними в работе олимпиады приняли участие 250 взрослых членов делегаций. Участникам олимпиады предлагались три теоретические задачи (теоретический тур) и две экспериментальные задачи (экспериментальный тур). Все задачи оценивались по 10 баллов. Таким образом, каждый участник мог набрать максимум 50 баллов. В сборную России вошли: Александр Артемьев (Киров, Кировский физико-математический лицей), Максим Елисеев (Мордовия, Республиканский лицей для одаренных детей), Илья Кочергин (Москва, лицей «Вторая школа»), Иван Утешев (Мордовия, Республиканский лицей для одаренных детей), Василий Югов (Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики). В неофициальном командном зачете наша команда, набрав 207,8 баллов, заняла четвертое место, уступив Китаю (231,3 б.), Южной Корее (225,8 б.) и Тайваню (211,6 б.). Вот результаты наших участников: А.Артемьев (46,9 б.) – золотая медаль и лучший в мире результат по решению теоретических задач, И.Кочергин (41,4 б.) – золотая медаль, В.Югов (41 б.) – золотая медаль,

Слева направо: А.А.Воронов (руководитель команды), В.Югов, А.Артемьев, М.Елисеев, И.Кочергин, И.Утешев, М.Н.Осин (руководитель команды)

И.Утешев (40 б.) – золотая медаль, М.Елисеев (38,5 б.) – серебряная медаль. Ниже приводятся условия задач теоретического тура олимпиады.

Теоретический тур

Задача 1. Две задачи по механике (10 баллов) Часть А. Спрятанный диск (3,5 балла) Рассмотрим твердый деревянный цилиндр радиусом $r_{1}$ и толщиной $h_{1}$ (рис.1). Где-то внутри деревянного цилиндра

60

КВАНТ 2016/№5-6

V Европейская математическая олимпиада для девушек

С 10 по 16 апреля 2016 года в Румынии проходила пятая по счету Европейская математическая олимпиада для девушек (European Girls Mathematical Olympiad – EGMO). Олимпиада проводилась в живописном городке Буштени, расположенном в горном районе на севере страны. Всего в олимпиаде приняли участие 147 школьниц из 38 стран. Помимо команд европейских стран в олимпиаде вне официального конкурса приняли участие сборные США, Мексики, Эквадора, Японии, Саудовской Аравии, Индии, Израиля. Уровень сложности задач олимпиады был весьма высок. У большинства участниц трудности вызвали даже наиболее простые задания (задачи 1 и 4), а самые трудные задачи олимпиады (задачи 3 и 6) вполне сопоставимы с задачами средней сложности на Международных математических олимпиадах. Россию на олимпиаде EGMO представляли: Лялина Альбина (Ижевск, лицей 29, 11 класс), Сонина Александра (Ярославль, школа 33, 11 класс), Дмитриева Мария (Москва, лицей «Вторая школа», 10 класс), Толокно Изабелла (Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 10 класс). Наши девушки показали отличный результат. Они завоевали 3 золотые и 1 серебряную медаль, заняв первое место в официальном командном зачете (набрав суммарно 122 балла). Вторыми финишировали американки (111 баллов), третье место – за девушками из Болгарии (99 баллов). Лучшей в индивидуальном рейтинге среди всех участниц олимпиады стала наша Мария Дмитриева, она решила все задачи и набрала максимально возможное количество баллов. Подробная информация об олимпиаде – на официальном сайте: www.egmo.org

Задачи олимпиады

1. Пусть n – нечетное целое положительное число, а $x_{1}, x_{2}$, … $, x_{n}$ – неотрицательные действительные числа. Докажите, что

(

) min $x_{i}^{2} + x_{i}^{2} +_{1}$ £ max $2 x_{j} x_{j} +_{1}$, i = 1, …, n где $x_{n} +_{1} = x_{1}$.

j = 1, …, n

(

)

Нидерланды

2. Диагонали AC и BD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке X. Точки $C_{1}, D_{1}$ и M – середины отрезков CX, DX и CD соответственно. Прямые $AD_{1}$ и $BC_{1}$ пересекаются в точке Y, а прямая MY пересекает диагонали AC и BD в различных точках E и F соответственно. Докажите, что прямая XY касается окружности, описанной около треугольника EFX. Белоруссия

3. Пусть m – целое положительное число. Дана таблица 4 m ¥ 4 m, состоящая из единичных клеток. Две различные клетки назовем родственными, если они находятся в одной строке или в одном столбце. Никакая клетка не является родственной для самой себя. Некоторые клетки

Слева направо: А.Лялина, М.Дмитриева, А.Сонина, И.Толокно, были окрашены в синий цвет, при этом оказалось, что у каждой клетки таблицы не менее двух родственных ей синих клеток. Найдите наименьшее возможное количество синих клеток. Мексика

4. См. задачу М2423 «Задачника «Кванта».

5. Пусть даны целые числа k и n такие, что $k \ge 2$ и k £ n £ 2 k - 1. На клетчатую доску размером n ¥ n последовательно выкладывают плитки любого из двух видов 1 ¥ k и k ¥ 1 так, что каждая плитка покрывает ровно k клеток и никакие две плитки не перекрываются. Этот процесс заканчивается, когда невозможно добавить ни одной плитки. Найдите наименьшее возможное количество выложенных плиток. Нидерланды

6. Пусть S – множество всех положительных целых чисел n таких, что число $n^{4}$ делится хотя бы на одно из чисел $n^{2} + 1, n^{2} + 2,$ …, $n^{2} +$ 2n. Докажите, что среди элементов множества S бесконечно много чисел каждого из видов 7m, 7m + 1, 7m + 2, 7m + 5, 7m + 6 и нет ни одного числа вида 7m + 3 и вида 7m + 4, где m – целое. Нидерланды

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Васильева, П.Кожевников

62

КВАНТ 2016/№5-6

Дипломанты олимпиады по младшей лиге участник Алина Гаухартас (Казахстан)

Андрей Николаев (Республика Мордовия) Андрей Целин (Республика Мордовия) Вадим Сорокин (Пензенская область) Дияр Туленов (Казахстан) Константин Дьяконов (Республика Татарстан) Станислав Цапаев (Республика Мордовия) диплом абсолютный победитель I II II III

III III

по старшей лиге участник Алексей Лужнов (Самарская область)

Азамат Калоев (Республика Северная Осетия-Алания) Петру Котруц (Румыния) Шынгыс Айтказинов (Казахстан) Анка Драгулеску (Румыния) Игорь Сивцев (Республика Саха (Якутия)) Андрей Хрестин (Республика Мордовия) диплом абсолютный победитель

I II II III III III

Публикацию подготовили А.Чудновский, Ю.Григорьев

ИНФОРМАЦИЯ

Очередной набор в ВЗМШ

Всероссийская заочная многопредметная школа (ВЗМШ), входящая в структуру московского лицея «Вторая школа» и работающая при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, в пятьдесят третий раз проводит набор учащихся. Эта школа была создана по инициативе академика И.М.Гельфанда в 1964 году. Многие годы И.М.Гельфанд возглавлял Научный совет школы. ВЗМШ – государственное учреждение дополнительного образования, доступное для всех желающих, причем не только для школьников, пополнить свои знания в одной или нескольких из следующих областей науки: математика, биология, филология, физика, история (перечисление – в хронологическом порядке открытия отделений). Сейчас ВЗМШ совместно с другими научно-педагогическими учреждениями ведет исследовательские работы по разработке новых интерактивных технологий в образовании и переводу части своих учебно-методических комплексов на язык современных телекоммуникаций. За время существования ВЗМШ удостоверения о ее окон- чании получили несколько сотен тысяч школьников и тысячи кружков – групп «Коллективный ученик ВЗМШ». Обучение в школе ЗАОЧНОЕ, т.е. начиная с сентября– октября 2017 года все поступившие будут систематически получать специально разработанные для заочного обучения материалы, содержащие изложение теоретических вопросов и методов рассуждений, разнообразные задачи для самостоятельной работы, образцы решений задач, деловые игры, контрольные и практические задания. Контрольные работы учащихся будут тщательно проверяться и рецензироваться преподавателями ВЗМШ – студентами, аспирантами, преподавателями и научными сотрудниками МГУ, а также других вузов и учреждений, где имеются филиалы школы. Многие из преподавателей в свое время сами закончили ВЗМШ и поэтому особенно хорошо понимают, как важно указать, помимо конкретных недочетов, пути ликвидации имеющихся пробелов в знаниях, порекомендовать дополнительную литературу, поругать за невнимательность и похвалить за заметный (а иногда – и за самый маленький) прогресс и трудолюбие. Поступившие в ВЗМШ смогут узнать об увлекательных вещах, часто остающихся за страницами школьного учебника, познакомиться с интересными нестандартными задачами и попробовать свои силы в их решении. Для многих станет откровением, что задачи бывают не только в математике,

63

ИНФОРМАЦИЯ

физике и химии, но и в биологии, филологии и других науках. Решение задач поможет прояснить и сделать интересными многие разделы, казавшиеся непонятными и скучными. Одна из особенностей учебных программ и пособий ВЗМШ – в том, что они созданы действующими на переднем крае науки талантливыми учеными и опытными незаурядными педагогами. Чтобы успешно заниматься в заочной школе, вам придется научиться самостоятельно и продуктивно работать с книгой, грамотно, четко, коротко и ясно излагать свои мысли, а это, как известно, умеют далеко не все. Возможно, наша заочная школа поможет вам выбрать профессию, найти свое место в окружающем мире. Все выполнившие программу ВЗМШ получают дипломы. Хотя формальных преимуществ они не дают, приемные комиссии многих вузов учитывают, что обладатели этих удостоверений в течение продолжительного времени самоотверженно трудились над приобретением знаний, научились самостоятельно творчески работать, а это значит, что из них получатся хорошие студенты и, в дальнейшем, грамотные, вдумчивые, широко образованные специалисты. Вы сможете получать наши задания как обычной, так и электронной почтой, а также принимать участие в апробации новых интерактивных учебных программ. Для поступления в ВЗМШ надо успешно выполнить вступительную контрольную работу. Приемную комиссию интересует, в первую очередь, ваше умение рассуждать, попытки (пусть поначалу не совсем удачные) самостоятельно мыслить и делать выводы. Преимуществом при поступлении пользуются проживающие в сельской местности, поселках и небольших городах, где нет крупных научных центров и учебных заведений и где получить дополнительное образование можно лишь заочно. Решения задач вступительной работы надо написать на русском языке в обычной ученической тетради в клетку. Желающие поступить сразу на несколько отделений каждую работу присылают в отдельной тетради. На обложке тетради укажите: фамилию, имя, отчество, год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю 2017 года), полный почтовый адрес (с индексом), откуда узнали о ВЗМШ (из «Кванта», от друзей, из афиш заочной школы и т.п.), на какое отделение хотите поступить. Адрес ВЗМШ: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ, на прием (укажите отделение) Телефон: (495) 939-39-30 Обо всех наших отделениях вы можете узнать на общешкольном сайте ВЗМШ: www.vzmsh.ru На ваши вопросы мы ответим по электронной почте: [email protected] Вступительные работы обратно не высылаются. Без вступительной работы, только по заявлению, принимаются на индивидуальное обучение победители областных (краевых, республиканских) туров всероссийских олимпиад по соответствующим предметам, а также участники финальных туров этих олимпиад. Учащиеся ВЗМШ частично возмещают расходы на свое обучение. По просьбе тех, кто не в состоянии внести эту плату, ВЗМШ готова обратиться в школу, в орган народного образования, к другому спонсору с ходатайством об оплате этим благотворителем соответствующих расходов. Помимо индивидуального обучения, на всех отделениях ВЗМШ, кроме биологического, имеется форма обучения «Коллективный ученик». Это группа учащихся, работающая

под руководством преподавателя (школьного учителя, преподавателя вуза, студента или другого энтузиаста), как правило, по тем же пособиям и программам, что и индивидуально. Прием в эти группы проводится до 15 октября 2017 года. Для зачисления группы требуется заявление ее руководителя (с указанием его профессии и должности, со списком учащихся и сообщением о том, в каком классе они будут учиться с сентября 2017 года); заявление должно быть подписано руководителем группы, заверено и подписано руководителем учреждения, при котором будет работать группа. Работа с группами «Коллективный ученик» может оплачиваться школами как факультативные занятия. На Северо-Западе России работает Заочная школа Ленинградского областного Министерства образования, созданная при Санкт-Петербургском государственном университете и имеющая отделения математики, биологии и химии. Желающие поступить на отделение математики, проживающие на Северо-Западе России (в Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской областях, Карельской и Коми республиках), высылают вступительные работы по адресу: 197755 Санкт- Петербург, Лисий Нос, Ново-Центральная ул., д.21/7, Северо-западная ЗМШ (на прием). Проживающие в остальных регионах России, дальнем и ближнем зарубежье высылают свои работы по математике в адрес ВЗМШ или соответствующего филиала. Адреса филиалов математического отделения ВЗМШ: 241035 г. Брянск, ул. Мало-Орловская, д. 8, тел.: (4832) 56-18-08, e-mail: [email protected] 610002 г. Киров, а/я 2039, ЦДООШ, тел.: (8332) 35-15- 03, 35-15-04, e-mail: [email protected], сайт: http:// cdoosh.kirov.ru 150000 г. Ярославль, ул. Советская, д. 14, тел.: (0852) 11- 82-03, e-mail: [email protected]

Ниже вы найдете краткие сведения о каждом отделении ВЗМШ и условия вступительных контрольных работ.

Отделение математики

Мы заочно обучаем математике школьников 6–11 классов. На индивидуальное обучение принимаем по результатам вступительной работы и высылаем пособия. Куратор руководит обучением: составляет программу, проверяет задания и отвечает на вопросы. На обучение в группе («Коллективный ученик») принимаем по заявлению руководителя группы. Высылаем пособия на всю группу. Ученики присылают на проверку в ВЗМШ одну коллективную работу по каждой теме. Принимаем учащихся на все курсы с 0 по 5 (т.е. учеников 6–11 классов). Заявление и вступительную работу присылайте по электронному адресу приема: [email protected] или на почтовый адрес школы: 119234 Москва В-234, Воробьевы горы, МГУ, математическое отделение ВЗМШ. Наш сайт: http://www.math-vzms.org/ Наш телефон: +7 495-939-39-30 Если вы хотите учиться индивидуально, выполните вступительную работу, условия задач которой расположены ниже. Решения задач, с которыми удалось справиться, нужно записать в обычной ученической тетради в клетку и выслать простой бандеролью (пожалуйста, не сворачивайте тетрадь в трубку!) вместе с заявлением о приеме в адрес школы. Вступительные работы и заявления принимаются также по электронной почте. В этом случае работа должна быть оформлена в виде файла формата .doc или .pdf, можно также отсканировать текст работы и прикрепить его к заявлению о приеме.

65

ИНФОРМАЦИЯ

«дикой» природе. Какие причины могут ограничивать распространение таких иноземных растений? Если можете, для подтверждения ваших соображений используйте конкретные примеры. 2. Объясните, являются ли генетическими клонами: а) все яблоки с одной яблони; б) все картофелины с одного куста; в) все семечки из одного арбуза. В подтверждение своей точки зрения опишите биологические процессы, обеспечивающие генетическое разнообразие (или единообразие) в каждом случае. 3. Опишите возможные механизмы действия противоядий (веществ, которые вводятся в организм, чтобы свести к минимуму негативные последствия отравления тем или иным ядом). 4. Обычный анализ крови, который вам делают при периодических обследованиях в поликлинике, включает определение стандартного набора параметров. Какие болезни и физиологические расстройства могут быть выявлены на основании этого анализа? Перечислите, для каких диагностических целей необходимо определение дополнительных характеристик состава крови. Какие параметры следует измерять в каждом из этих случаев? 5. Как вы понимаете – за что присудили Нобелевскую премию по физиологии и медицине осенью 2016 года? Изложите своими словами суть открытия и его значение для дальнейшего развития медицины. 6. От чего зависит время жизни тех или иных клеток человека или другого многоклеточного организма? Объясните, что может вызывать необходимость их гибели и когда она происходит. Постарайтесь предложить как можно больше вариантов ответа.

Отделение физики

Обучение на отделении одно-, двухи трехгодичное. На трехгодичный поток (курс Ф3) принимаются оканчивающие в 2017 году 8 классов средней школы, на двухгодичный (курс Ф2) – оканчивающие 9 классов и на одногодичный (курс Ф1) – 10 классов. Учащиеся, оканчивающие десятый класс, могут пройти ускоренно всю программу за один год (курс Ф0). Для поступления на курс Ф3 нужно решить задачи 1–5 приведенной ниже вступительной работы, на курс Ф2 – задачи 4–9, на курс Ф1 – задачи 5–10, на курс Ф0 – задачи 4–10. На обложке тетради следует указать фамилию, имя и отчество, код курса (Ф0, Ф1, Ф2 или Ф3), сколько классов будет закончено к 1 сентября 2017 года, полный почтовый адрес (с индексом), адрес e-mail (если есть), телефон. Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2017 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются на курсы Ф1, Ф2, Ф3 без вступительной работы, только по заявлению руководителя. E-mail отделения физики: [email protected] Интернет-сайт: http://phys.problems.ru

Задачи

1. Экспресс, двигаясь с постоянной скоростью, проезжает мимо светофора за время $t_{0} = 8$ с, а затем последовательно обгоняет две попутные электрички одинаковой длины, затрачивая на это время $t_{1} = 20$ с и $t_{2} = 15$ с. Сколько времени первая электричка будет обгонять вторую, если ее скорость в полтора раза больше, чем у второй? 2. В калориметр, содержащий воду массой m = 150 г, добавляют лед. Чтобы не весь лед растаял, его нужно положить не менее $m_{1} = 50$ г, а чтобы замерзла вся вода –

не менее $m_{2} = 150$ г. Сколько нужно положить льда той же температуры, чтобы после наступления теплового равновесия его масса не изменилась? 3. Два одинаковых тела двигаются по круглому гладкому желобу. В начальный момент они находятся на одном диаметре, при этом скорость одного тела в 2 раза больше скорости другого (рис.1). Найдите, в какой точке тела столкнутся в десятый раз, если все соударения абсолютно упругие. 4. Мячик отпускают без начальной скорости с высоты H = 2 м над длинной наклонной плоскостью, составляющей угол $\alpha = 30 ^\circ$ с горизонтом. Какой будет минимальная Рис. 1 скорость мячика в промежутке между вторым и третьим соударениями с плоскостью, если считать все соударения абсолютно упругими? 5. Стеклянная фигура в виде куба с вырезом установлена на горизонтальном столе (рис.2). Сечение фигуры представляет собой квадрат со стороной a c вырезом в форме квадрата со стороной a/2. Сверху стол освещен пучком параллельных лучей. Найдите ширину самой яркой и самой темной полосы на столе под фигурой. Показатель преломления стекла n = 1,5. 6. Тело скользит по столу вдоль прямой АВ под действием посто- Рис. 2 янной силы. Время прохождения гладкого участка АС вдвое меньше, чем шероховатого участка СВ. Найдите среднюю скорость тела за вторую половину пути, если известно, что в точке C скорость тела составляет $v_{C} = 15$ м/с, а в точках А и В она равна нулю. 7. Куб, нижняя половина которого сделана из одного материала, а верхняя – из другого, стоит на наклонной плоскости с углом $\alpha$ при основании. При медленном увеличении $\alpha$ до определенного значения куб переворачивается через ребро. Будет ли новое положение куба устойчивым? Считайте, что вдоль плоскости куб не проскальзывает. 8. В комнате с высотой потолка H = 2,2 м бросают сверху вниз маленький мячик со скоростью v = 9 м/с с расстояния h = 1 м от пола. Сколько произойдет ударов мячика о потолок, если при каждом ударе о пол или потолок доля $\alpha =$ 25% кинетической энергии мячика переходит в тепло? 9. Какой максимальный заряд можно сообщить алюминиевому шарику массой m = 10 г при облучении его пучком электронов, если электрический пробой наступает при напряженности поля E = 30 кВ/см? На сколько процентов при этом увеличится количество электронов в шарике? 10. Найдите КПД тепловой Рис. 3 машины, работающей по циклу 1–2–3–1, изображенному на p–T-диаграмме (рис.3), если известно, что $T_{2} = 1,5 T_{1}$.

Отделение филологии

На отделение принимаются все желающие, имеющие базовую подготовку в объеме 7 классов. Отделение предлагает на выбор 18 учебных программ. Подробно о них рассказано на нашем сайте. Сведения о

66

КВАНТ 2016/№5-6

программах и порядке обучения высылаются также вместе с извещением о решении Приемной комиссии. При оценке вступительной работы учитывается, в каком классе вы учитесь. За время существования отделения подготовлено и издано большое количество уникальных учебных пособий по русскому языку, общему языкознанию, истории и теории литературы. Вы хотите исправить грамотность? Познакомиться с любопытными проблемами теории и практики русского языка? Освоить приемы лингвистического или литературоведческого анализа? Узнать кое-что о журналистике и оценить свои творческие способности? Приобрести навыки, необходимые для успешной сдачи экзаменов в вуз? Тогда выполните и пришлите нам вступительное задание, вопросы которого приведены ниже. Внимание! На первой странице укажите следующие данные: Ф.И.О., какой класс заканчиваете, полный (с индексом!) почтовый адрес, телефон. Вместе с выполненным заданием пришлите, пожалуйста, стандартный конверт с маркой и заполненным вашим адресом (с индексом) для ответа Приемной комиссии. Срок отправки вступительной работы – до 15 мая 2017 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы. Если вопросы, предложенные нами, для вас пока сложны, но вы хотите у нас учиться, пришлите информацию о себе, и мы постараемся помочь. Наш e-mail: [email protected]

Вопросы

1. О каких явлениях русского языка свидетельствуют следующие закономерности использования предлога О/ ОБ: об арбузе – о горохе, об укропе – о дыне, об изюме – о лимоне, об узоре – о юге, об экране – о ёлке? 2. Прочитайте отрывки из пушкинского «Евгения Онегина»: Но дней минувших анекдоты От Ромула до наших дней Хранил он в памяти своей.

Евгений тотчас на свиданье Стремглав по почте поскакал…

Так точно старый инвалид Охотно клонит слух прилежный Рассказам юных усачей. Найдите слова, которые во времена Пушкина имели не такое значение, как в современном русском языке. Укажите современное и устаревшее значения этих слов. 3. Найдите басню Крылова «Стрекоза и Муравей», написанную в 1808 году, и сравните ее с переводом той же басни Лафонтена, выполненным Ю.А.Нелединским-Мелецким в том же году: Стрекоза Лето целое жужжала Стрекоза, не знав забот; А зима когда настала, Так и нечего взять в рот. Нет в запасе, нет ни крошки, Нет ни червячка, ни мошки. Что ж? К соседу муравью Вздумала идти с прошеньем. Рассказав напасть свою, Так, как должно, с умиленьем

Просит, чтоб взаймы ей дал Чем до лета прокормиться. Совестью притом божится, Что и рост, и капитал Возвратит она не дале, Как лишь августа в начале. Туго муравей ссужал: Скупость в нем порок природный. «А как в поле хлеб стоял, Что ж ты делала?» – сказал Он заемщице голодной. «Днем и ночью, без души, Пела все я цело лето». – «Пела! весело и это. Ну поди ж теперь пляши».

Расскажите об общем и о различиях, проанализировав сюжет, композицию, образы, авторскую оценку и вытекающую из нее мораль, а также стихотворную форму двух басен. 4 (10–11 классы). Вспомните любимую вами картину, на которой изображена так называемая «массовая сцена». Это может быть одна из картин Сурикова или Репина, «Масленица» Кустодиева или, например, «Танцовщицы» Дега… Представьте себя свидетелем изображенного на полотне и напишите репортаж с места события или очерк. Старайтесь не нарушать законы выбранного жанра.

Отделение истории

Обучение на историческом отделении позволит всем, в том числе жителям самых отдаленных городов и деревень, расширить свой кругозор, подготовиться к поступлению в вуз. Успешно прошедшие курс обучения получают диплом. А зачем нужно изучать историю? Во-первых, это просто интересно. Любопытно знать, как жили когда-то люди, во что одевались, чем питались, что читали, как женились и выходили замуж, за что боролись и «на что напарывались». Во-вторых, это полезно. Только зная прошлое, можно понять настоящее и прогнозировать будущее. Мы поможем вам в этом разобраться. Специально для вас опытные преподаватели пишут книжки. Последние новости из мира истории вы узнаете одним из первых! Мы будем поддерживать с вами постоянную связь. По нашим книжкам вы будете выполнять особые задания и сообщать нам, что вы раскопали. Ведь, в сущности, труд историка и состоит из этих раскопок. Историк-археолог, копая землю и песок, отыскивает крупицы ушедших времен; историк-архивариус копается в груде бумаг и достает из архивов и даже из частной переписки все, что может позволить ему понять образ времени; историк-теоретик как увлекательный роман читает археологические таблицы, сухие сводки, статистику и восстанавливает по ним живую ткань ушедшей жизни. У историка особая профессия: он в одном лице следователь, прокурор и адвокат времени. Приведенные ниже задания вступительной работы нужно выполнить на двойном листе бумаги. Срок отправки вступительной работы – до 15 июля 2017 года.

Задание

1. Отгадайте, кто это i С легкой руки Фридриха II в Европе его прозвали «русский Гамлет». i О нем сплетничали, что он внебрачный сын. i Его отец – внук Петра I по матери и внучатый племянник Карла XII по отцу.

67

ИНФОРМАЦИЯ

i Его мать – приехала в Россию 15-летней девочкой, пришла к власти в 33 года, свергнув мужа, и правила 34 года, не имея на трон законных прав. i Главная черта его правления – мелочный деспотизм. i Указом о трехдневной барщине он снискал себе ореол крестьянского царя. i Во время военных смотров мог, осерчав, отправить в Сибирь прямо с плаца за нечеткий шаг, оторвавшуюся пуговицу или плохо напудренные букли. i Отправил 22 тысячи казаков завоевывать Индию, чтобы ослабить Англию, и только его смерть вернула солдат с дороги. i Боясь заговора, этот император построил себе замок и в нем был убит. i Его старший сын мечтал о конституции для России, а дал ее Польше.

2. Опишите, не более чем в 7-ми предложениях, исторический портрет главнокомандующего русской армией в Полтавской битве.

Для старшеклассников, готовящихся сдавать ЕГЭ по обществознанию В 2007 году на отделении «История» открылся курс «Обществознание». Обществознание – это свод общественных дисциплин, изучающих все стороны деятельности чело-

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (государственного университета) (МФТИ) проводит набор в 8–11 классы учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т.п.), расположенных на территории Российской Федерации. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 95 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее бывший ученик. Научно-методическое руководство школой осуществляют советы из преподавателей профильных кафедр МФТИ. Обучение в школе ведется по четырем предметам научнотехнической направленности – физике, математике, информатике и химии. В 8 классе изучаются только физика и математика. В 9–11 классах к этим предметам добавляются предмет «Математические основы информатики и ИКТ» (информатика) и химия. Учащиеся могут по своему выбору изучать один, два, три или четыре (в 9, 10 и 11 классах) предмета. Цель нашей школы – помочь учащимся 8–11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся предметами научно-технической направленности, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2017/18 учебный год проводится на заочное, очное и очно-заочное отделения. Программы ЗФТШ являются профильными дополнительными образовательными программами и едины для всех отделений.

Заочное отделение (индивидуальное заочное обучение) Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: [email protected]

века. Некоторые преподаватели называют его винегретом. Вполне удачное сравнение. Как винегрет – составное блюдо, так и обществознание состоит из разных дисциплин. Перемешиваясь, дополняя друг друга, они создают цельную картину общества. Программа курса рассчитана на 1 год. Обучение носит заочный характер и имеет целью дать выпускникам школ – как крупных городов, так и небольших сел – глубокие знания по общественным дисциплинам, подготовить их к успешной сдаче ЕГЭ. В курс включены следующие дисциплины: философия, социология, политология, теория государства, государственное устройство России, право, экономика. Слушателям будут направляться оригинальные учебные пособия, созданные на основе многолетнего опыта работы авторов курса. Проверка знаний осуществляется с помощью общепринятой системы тестирования. Для записи на курс необходимо отправить заявление до 15 июля 2017 года. В заявлении укажите: фамилию, имя, отчество, свой полный домашний адрес (с индексом!), e-mail, класс, в котором вы будете учиться с 1 сентября 2017 года. Заявление отправьте на почтовый адрес: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ (отделение истории, обществознание) или на адрес электронной почты: [email protected]

Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительного задания по выбранным для изучения предметам. Полная программа обучения рассчитана на 4 года с 8-го по 11-й классы включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. В течение учебного года в соответствии с программой ЗФТШ ученик будет получать по каждой теме задания по физике, математике, информатике и химии, а затем – рекомендуемые авторские решения этих заданий вместе с проверенной работой. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и 8–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные. Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики и высшей математики МФТИ, а также выпускники МФТИ и другие специалисты. Примеры заданий можно посмотреть на сайте ЗФТШ: http:// www.school.mipt.ru Работы учащихся-заочников проверяют студенты, аспиранты и выпускники МФТИ (из них 80% – выпускники нашей школы). Срок отправки решения вступительного задания – не позднее 1 марта 2017 года. Проверенные вступительные работы обратно поступающему не высылаются. Решение приемной комиссии будет выслано в июле 2017 года. Тетрадь с выполненными заданиями высылайте на адрес ЗФТШ: 141700 Московская обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., д.9, ЗФТШ. Вступительные задания по выбранным предметам ученик выполняет самостоятельно в одной школьной тетради на русском языке, сохраняя тот же порядок задач, что и в задании. Тетрадь нужно выслать в конверте простой бандеролью или простым письмом. На внутреннюю сторону обложки тетради наклейте справку из школы, в которой учитесь, с указанием класса. На титульную сторону тетради наклейте заполненный бланк: