Квант 2017, №1 · Страницы

14

КВАНТ 2017/№1

Рис. 7

могло бы случиться, скажем, для преобразования ( x, y ) ֏ ( 2 x ,2 y ), но $наше^{A}$ отображает решетку $Z^{2}$ на себя взаимно однозначно: $x, y \in Z \Leftrightarrow y \Leftrightarrow y, x - qy \in Z$ при любом целом q. Итак, $параллелограмм^{A} ( P )$ тоже элементарный, как и P. Что касается равенства площадей $P и^{A} ( P )$, то оно легко проверяется по формуле из теоремы 2. Лемма, а с ней и теорема 1 доказаны.

Задачи

2. Несложно построить элементарный треугольник со сколь угодно большим периметром. Например, таков треугольник с вершинами ( 0,0 ), ( 1,0 ) и ( n ,1 ). Постройте элементарный треугольник со сколь угодно длинными всеми тремя сторонами. 3. Для заданных целых чисел a, b, c, d с условием $ad \ne bc$ сосчитайте число узлов сетки, лежащих: а) на границе; б) внутри параллелограмма, построенного на векторах ( a, b ) и ( c, d ).

4. Докажите аналоги теорем 1 и 2 для параллелепипедов с вершинами в узлах трехмерной решетки $Z^{3}$. (На самом деле они верны и для n-мерной решетки $Z^{n}$; для доказательства надо построить теорию систем линейных уравнений и определителей, чем занимаются на первом курсе математических факультетов. Но случай n = 3 полезно разобрать самостоятельно в школьные годы.) Отметим, что трехмерного аналога формулы Пика не существует; см. [2, с.58].

Литература 1. В.И.Арнольд. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2001. 2. В.В.Вавилов, А.В.Устинов. Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006. 3. Н.Б.Васильев. Вокруг формулы Пика. – «Квант», 1974, №12. 4. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. – М.: МЦНМО, 2011. 5. Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. – ОНТИ, 1936. 6. А.Лопшиц. Площади ориентированных фигур. – «Квант», 1978, №3.

Вниманию наших читателей

Как вы, наверное, заметили, в нынешнем году наш журнал выходит в новом формате. И это не единственное изменение. Теперь мы будем выпускать 12 номеров в год, но без приложений. В остальном же «Квант» остается тем же, что и был, – научно-популярным журналом по физике и математике для школьников и всех, кому это интересно. Подписаться на наш журнал можно в любом почтовом отделении связи. Наш подписной индекс в каталоге агентства «Пресса России» – 90964.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2446 – М2449 предлагались на XXXVIII Турнире городов.

Задачи М2446–М2449, Ф2453–Ф2456

M2446. а) Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин? Н.Чернятьев б) Тот же вопрос, если ребят 100 и одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных. Жюри Турнира городов

M2447. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ортоцентр треугольника, образованного точками касания сторон с вписанной окружностью, лежит на высоте, проведенной из прямого угла (рис.1). А.Заславский

Рис. 1

M2448. На прямой отмечены 100 точек, и еще одна точка отмечена вне прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами в этих точках. Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными? Е.Бакаев

M2449 *. На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причем лягушки по-прежнему должны находиться в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать n ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать n ходов было бы столько же. Ф.Петров

Ф2453. Один моль золота нагрели от 0 К до 336 К, при этом внутренняя энергия золота увеличилась на 5,2 кДж. Известно, что при температурах ниже так называемой температуры Дебая $T_{D}$ молярная теплоемкость С твердых тел растет с температурой по закону $C = \alpha T^{3}$, а при температурах выше $T_{D}$ для твердых тел справедлив закон Дюлонга и Пти: C = 3R (где R = 8,31 Дж ( моль ◊ К ) – универсальная

…не следует ребячески пренебрегать исследованием даже самых незначительных животных, ибо в каждом произведении природы найдется нечто, достойное удивления. Аристотель

Достигнуть чрезвычайной величины животные могли бы только в том случае, если бы кости их изменились, существенно увеличившись в толщину, отчего животные по строению

и виду производили бы впечатление чрезвычайной толщины. Галилео Галилей

Из того, что мы до сих пор узнали и исследовали, можно… с достаточным основанием заключить, что животным присуще электричество… Луиджи Гальвани

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+фауна

С давних времен ученые пытались объяснить явления не только «косной», мертвой природы, но и живой материи. Физика не осталась в стороне от стремления проникнуть в сопредельные науки, в том числе в биологию. Возникло немало направлений на стыке наук, например биофизика, что привело к множеству открытий и изменило наши представления об устройстве и функционировании окружающих нас организмов. Сегодня наш разговор пойдет о том, что нового узнали мы благодаря физике о мире животных – фауне.

Вопросы и задачи

1. Утка при ходьбе переваливается с боку на бок, а курица – нет. Почему? 2. Изменяется ли положение плавников рыбы при ее движении в воде? 3. Почему у глубоководных рыб, если их извлечь из воды, плавательный пузырь выходит через рот наружу? 4. Падая на землю с большой высоты, мелкие насекомые остаются невредимыми, а крупные животные ломают кости и могут даже погибнуть. Как это объяснить? 5. Отчего на суше нет животных крупнее слона? Почему самые крупные животные сохранились в море? 6. Что произойдет с уткой или иной водоплавающей птицей, если она сядет на воду, в которую попало много мыла или иных моющих средств?

2. Рабочая пчела, вылетевшая из улья за взятком, делает в среднем 180 взмахов крыльями в секунду. При возвращении с грузом это число возрастает до 280. Как мы можем это заметить? 8. Зачем в сухие и жаркие дни пчелы «развешивают» в улье капельки воды? 9. Почему в холодную погоду собаки и кошки сворачиваются в клубок, а в жару, наоборот, стремятся раскинуться? 10. Отчего не встречаются млекопитающие размером с муху? 11. Почему некоторые рыбы могут охотиться ночью и в совершенно мутной воде? 12. Как электрическому угрю, вырабатывающему напряжение до 600 вольт и убивающему мелкую живность электрическими разрядами, удается не поражать током самого себя? 13. Инфракрасное облучение зерна уничтожает жучков-вредителей. Почему жучки погибают, а зерно – нет? 14. Личинку перистоусого комара не видно в воде, но глаза заметны в виде черных точек. Почему? Останутся ли личинки невидимы в воздухе?

Микроопыт

Понаблюдайте за водомерками, свободно скользящими по поверхности воды. Что их удерживает? А почему мелкие насекомые, попав под воду, не могут из нее выбраться?

Любопытно, что…

…блохи, размер которых составляет несколько миллиметров, способны прыгать на расстояние, в 200 раз большее. Ученые выяснили, что блохи отталкиваются от земли преимущественно когтями задних конечностей, срабатывающими как пружины. …рекорд скорости среди животных, измеряемый в единицах длин тела за одну секунду, принадлежит американскому клещу. Передвигая ноги с частотой 135 герц, он преодолевает за секунду 322 длины своего тела. Скорость человека, бегущего с подобной скоростью, составила бы 2000 километров в час. …инженеры создали компьютерную модель, имитирующую таранные удары кашалотов, пробивающих головой обшивку судов, и выяснили, что поглощают нагрузку от ударов и предохраняют череп кашалотов от разрывов специальные соединительные ткани особых мешочков, вырабатывающих жир. …в одном из музеев Англии выставлен обшитый медью кусок дуба, который проколот насквозь кинжалом меч-рыбы. Для нанесения такого удара ей нужно было развить скорость около 100 километров в час. …осьминог, наделенный неплохим зрением, развитым мозгом и способностью менять окраску под цвет окружающей среды, еще и ловко передвигается. Удается ему это за счет радиальной симметрии конечностей. Упираясь щупальцем в дно или скалу, осьминог затем растягивает его и перемещается в противоположную сторону, обеспечивая движение в любом направлении. …основной механизм биологических часов находится внутри живой клетки. Это периодический процесс, колебания которого преобразуются в околосуточные ритмы. Пчелы и птицы согласуют его с движением Солнца или вращающегося звездного неба. …продвинуться в изучении биоэлектричества ученым удалось за счет использования в опытах гигантских аксонов – отростков клеток, проводящих нервные им- пульсы, – «заимствованных» у головоногих моллюсков. …хамелеоны быстро меняют цвет не только за счет пигментации, но и, как обнаружили биофизики, с помощью фотонных кристаллов, выложенных в виде четко структурированной решетки в верхнем слое кожи. Изменяя расстояние между кристаллами, можно влиять на длину волны отраженного света. …пользуясь природным ультразвуковым радаром – сонаром, летучая мышь может затратить на отлов одного летающего насекомого, например комара, менее секунды. …эволюция способствовала совершенствованию органа зрения у животных. Так, у дождевого червя светочувствительные клетки расположены по всей коже, у моллюсков глаз напоминает камеру-обскуру, у улитки он уже содержит линзу, а у теплокровных позвоночных – хрусталик с переменным фокусным расстоянием и диафрагмой. …Ученые выяснили, как бабочкам-монархам удается лететь строго на юго-запад при миграции из Канады в Мексику, преодолевая около двух тысяч километров. В этом им помогают большие сложно устроенные глаза, позволяющие постоянно следить за положением солнца на небосклоне. Такой «компас» не дает им сбиться с верной траектории, при отклонении от которой указывает направление для возвращения на «заданный курс».

Что читать в «Кванте» по теме «Физика+фауна»

(публикации последних лет )

1. «Синицы и…физика» – 2010, №2, с.44; 2. «Физика невыеденного яйца» – 2011, №1, с.29; 3. «Перо птицы и воздушный полет» – 2012, №1, с.14; 4. «Хищник и жертва: уравнения сосуществования» – 2014, №5/6, с.13; 5. «Физик в гостях у биолога» – 2015, Приложение №1; 6. «Кошачья экономия» – 2015, №2, с.31.

Материал подготовил А.Леонович

30

КВАНТ 2017/№1

Птичка вылетает!

РАССМОТРИМ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ, предлагавшихся на кружках Малого мехмата для 6 класса. В каждой задаче для обоснования ответа нужно привести пример, удовлетворяющий условию, и доказать, что этот пример нельзя улучшить. Задача 1. В фотоателье залетели 50 птиц – 18 скворцов, 17 трясогузок и 15 дятлов. Каждый раз, как только фотограф щелкнет затвором фотоаппарата, какая-то одна из птичек улетит (насовсем). Какое наибольшее число кадров сможет сделать фотограф, чтобы быть уверенным: у него в ателье останутся птицы всех трех видов? Эта задача простая: если фотограф сделает 15 кадров, то может случиться, что улетят все дятлы и останутся только скворцы и трясогузки. Если же кадров всего 14, то птиц любого вида не может улететь больше 14 – значит, хотя бы по одной останется. Ответ: 14. Мы здесь решили двойственную задачу: какого наименьшего количества кадров достаточно птицам, чтобы «обыграть» фотографа (сделать так, чтобы его условие не выполнялось). Если кадров хотя бы 15, то у коварных птиц есть «стратегия» (улетают вседятлы), если 14 или меньше – стратегии нет. Взглянем с этой точки зрения на более сложную задачу. Задача 2. В фотоателье залетели 50 птиц – 18 скворцов, 17 трясогузок и 15 дятлов. Каждый раз, как только фотограф щелкнет затвором фотоаппарата, какая-то одна из птичек улетит (насовсем). Какое наибольшее число кадров сможет сделать фотограф, чтобы быть уверенным: в ате-

лье останется не меньше 10 птиц какого-то одного вида? Птицам здесь нужно сделать численность каждого вида меньше 10. Для этого должны улететь хотя бы 9 скворцов, хотя бы 8 трясогузок и хотя бы 6 дятлов – всего не менее 23 птиц. Значит, если кадров 22, то стратегии нет, и фотограф может быть уверен, что его условие не нарушится. Если же кадров хотя бы 23, то уверенности уже нет. Ответ: 22. И, наконец, еще одна вариация. Задача 3. В тех же условиях определите, какое наибольшее число кадров может сделать фотограф, чтобы быть уверенным: в ателье останется не меньше 11 птиц какого-то одного вида и не меньше 10 – какогото другого. Здесь фотограф «гонится за двумя зайцами» (хочет, чтобы сразу выполнялись два условия), и птицам, чтобы обыграть его, достаточно «убить» хотя бы одного из них. Переводя с заячьего языка на птичий – либо сделать так, чтобы птиц каждого вида было не больше 10, либо разрешить, чтобы птиц какого-то вида было сколько угодно, но тогда каждого из остальных видов должно быть не больше 9. Посмотрим, какая из стратегий экономнее с точки зрения количества улетевших птиц. В первом случае должны улететь «лишние» 8 скворцов, 7 трясогузок и 5 дятлов – всего 20 птиц. Во втором случае нам нужно выбрать тот вид, на который мы не накладываем ограничений по численности. Ясно, что это должны быть скворцы – их больше всего. Тогда должны улететь как минимум 8 трясогузок и 6 дятлов – всего

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Задачи

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Желаем успеха!

11. В правильный шестиугольник площади 96 вписан равносторонний треугольник так, как показано на рисунке. Найдите площадь этого треугольника. С.Кузнецов

12. а) Найдутся ли 3 натуральных числа, которые все различны и куб каждого из них делится на произведение остальных чисел? б) А найдутся ли 4 таких числа? П.Кожевников

13. Куб 10 ¥ 10 ¥ 10 составлен из 1000 кубиков, каждый из которых черный или белый. Рассмотрим 300 рядов, каждый из которых параллелен какому-то ребру куба (в каждом таком ряду по 10 кубиков). Может ли оказаться, что в каких-то 200 из этих рядов имеется по 8 черных кубиков,

Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

а в остальных 100 рядах – по 5 черных кубиков? И.Богданов

14. В выпуклом четырехугольнике ABCD – $A = 30 \infty$, периметр треугольника BCD равен длине диагонали AC. Найдите – C. Е.Бакаев, В.Расторгуев

15. Петя нарисовал таблицу 10 ¥ 10 и заполнил все ее клетки плюсами. Затем он сделал несколько действий по следующему правилу. Каждым действием он наугад выбирал ряд (строку или столбец) и менял каждый из 10 его знаков на противоположный (плюс на минус, минус на плюс). Когда после этого Петя вышел, хулиган Вася часть знаков стер – осталось только N знаков. Для какого наименьшего N может оказаться, что получившуюся у Пети таблицу можно однозначно восстановить по оставшимся данным? Е.Бакаев

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Движение автомобилей и живых существ – и теорема о кинетической энергии

А.РЫБАКОВ

НАЧНЕМ С ЦИТАТЫ ИЗ ОДНОЙ ЗАМЕЧА- тельной книги, написанной более века назад: «Когда система состоит из большого числа частей, то полное изучение ее движения может оказаться очень сложным и даже невыполнимым. В таких случаях полезно, ранее подробного исследования движения частей системы, получить некоторое понятие об общем движении всей системы в совокупности». Именно об этом и пойдет разговор – о принципиальных моментах динамики некоторых систем, которые мы видим вокруг нас. Во множестве учебников – от базового учебника физики для 9 класса до серьезнейших курсов теоретической механики – есть теорема о кинетической энергии. И формулировки этой теоремы в разных учебниках практически одинаковы. Вот как она формулируется: изменение кинетической энергии тела равно работе всех действующих на него сил, или

$E_{кин2} - E_{кин1} = A_{12}$.

Некоторые авторы вместо тела в условии теоремы говорят о материальной точке. В 9 классе доказательство этой теоремы проводится в предположении, что сила, действующая на тело, постоянна, в вузовском учебнике для работы силы будет выписан соответствующий интеграл, но сути дела это не

меняет. Более того, утверждение теоремы кажется нам вполне естественным и понятным даже и без доказательства. Между тем, для большинства тел, движение которых мы наблюдаем, теорема очевидным образом несправедлива! «Автор ниспровергает законы механики?!» – ужаснется читатель. Да нет, конечно. Автор только напоминает, что и в жизни и, тем более, в точных науках обычно «дьявол прячется в деталях». Вот эти-то детали и предлагается обсудить. Какие бы тела нам выбрать для применения к ним сформулированной выше теоремы? Выглянем в окно: вот – едет автомобиль, вот – человек идет, вот – бежит кошка, а вот еще какой-то жук ползет по карнизу. Их-то мы и выберем. А начнем с автомобиля. Только в одном случае – в случае буксировки на тросе – применение этой теоремы к движению автомобиля не вызывает никаких затруднений. Но обычный-то режим движения автомобилей не таков…

Какая сила ускоряет автомобиль?

В каком-то старом учебнике механики я увидел такое название одного из разделов: «Самодвижущиеся экипажи». Замечательное название! И у нас речь в первую очередь пойдет о самодвижущихся экипажах на колесном ходу (или на гусеничном) с традиционным для таких устройств принципом движения. Последнее замечание исключает из нашего рассмотрения такие специфические устройства, как аэросани, парусники или автомобили с ракетным двигателем (специально конструируемые для установки рекордов скорости). Обсудим некоторые принципиальные моменты механики самодвижущихся экипажей, т.е. те моменты, которые не связаны с конкретным устройством двигателя, трансмиссии и прочих вещей, милых сердцу каждого автомобилиста. Будем для удобства говорить об автомобиле, но все сказанное будет в равной мере применимо к тепловозу, танку, велосипеду и даже – к детскому заводному автомобильчику. Главный вопрос, конечно, такой: какая сила ускоряет автомобиль? Упоминание в

37

ФИЗИЧЕСКИЙ

ответе на этот вопрос какой-то «силы тяги», заметим, ничего не объясняет. Надо конкретно указать взаимодействующие тела и описать свойства силы. Для наших целей лучше поставить два разных вопроса. Можно спросить: действие какой силы приводит к изменению импульса автомобиля? А можно спросить: откуда берется кинетическая энергия автомобиля? Как ни странно, ниже мы убедимся, что это действительно разные вопросы. Будем вести речь о нормальном режиме движения, когда колеса не проскальзывают относительно дороги. Для ответа на первый вопрос необходимо указать конкретную внешнюю силу (внутренние силы изменить движения центра масс системы не могут). И такая сила легко находится. Действительно, к ведущему колесу от двигателя передается крутящий момент, под действием которого колесо стремится провернуться относительно дороги, но возникающая между колесом и дорогой сила трения мешает ему это сделать. Ясно, что сила трения, приложенная к колесу, направлена противоположно возможному проскальзыванию, т.е. вперед, по направлению движения автомобиля. Вот действие этой силы и приводит к увеличению импульса автомобиля, можно сказать – заставляет автомобиль двигаться.

Свойства этой силы

Итак, речь идет о силе трения между ведущими колесами и дорогой. Автомобилисты называют ее силой сцепления с дорогой. И обладает она удивительными свойствами. Впрочем, мы можем столкнуться со свойствами этой силы, решая обыкновенные учебные задачи и не думая об автомобиле. Вот, например, известная задача, которую нельзя обойти при изучении динамики вращательного движения, – задача о скатывании цилиндра с наклонной плоскости без проскальзывания. Очень полезно решить ее несколькими разными способами. Заметим, что именно сила трения о плоскость закручивает цилиндр (см. рисунок). И когда вы будете решать эту задачу, записывая закон сохранения энергии для цилиндра, перед вами неизбежно встанет воп-

ФАКУЛЬТАТИВ

рос о величине работы этой силы. Оказывается, работа силы трения в этом случае равна нулю. Если читатель впервые сталкивается с такой мыслью, он скажет: «Что за чепуха? Сила есть, перемещение есть, а работы нет?!» Да, именно так. Дело в том, что эта сила – сила трения покоя, она приложена к точке касания цилиндра с плоскостью, мгновенная скорость которой относительно плоскости равна нулю. Есть перемещение цилиндра, но нет перемещения точки приложения силы. Ничего нового или оригинального в высказанных сейчас соображениях, конечно, нет. И все это без всяких изменений переносится на взаимодействие автомобильного колеса с дорогой. Итак, сила сцепления колеса с дорогой работы не совершает. Но ведь и в школьных задачниках, и в серьезных руководствах по механике автомобиля можно видеть, что авторы записывают работу силы тяги как произведение Fs, где F – сила тяги, а s – пройденный автомобилем путь. Не могут же они все ошибаться! И почему их ошибки не проявляются тотчас же на практике? Этот вопрос подробно рассматривался в «Кванте» в статье А.Черноуцана «Кое-что о силе тяги» («Квант» №5 за 1992 г.). И ответ оказался удивительным и парадоксальным. Какую часть израсходованной на движение энергии можно считать полезной? Разумеется, ту, которая пошла на увеличение кинетической и потенциальной энергии автомобиля и на преодоление сопротивления движению. В упомянутой статье показывается, что эту энергию, израсходованную на пути s, при некоторых разумных предположениях всегда можно записать в виде произведения Fs. И, соответственно, мощность, расходуемая на движение, может быть записана как произведение Fv. Ниже мы укажем совсем простой путь получения этого результата.

40

КВАНТ 2017/№1

тригонометрические функции и векторы) изложены в [2]. Мы приведем другое доказательство, являющееся в некотором роде развитием приведенного выше доказательства теоремы Помпею. Доказательство. Построим внутрь окружности правильный n-угольник $MA_{1} B_{2} B_{3}^{…}$ … $B_{n} -_{1}$ со стороной $A_{1} M$ (рис.4). Вершины нового многоугольника лежат на отрезках

Мы приведем несколько способов завершить доказательство, но в них всех построенный нами вспомогательный n-угольник будет играть ключевую роль. Первый способ. Внутренние отрезки разбиваются на пары равных, так как это диагонали нового могоугольника. А правильный многоугольник с нечетным количеством сторон имеет ось симметрии, относительно которой его диагонали, проведенные из точки M, будут симметричны друг другу (рис.6).

Рис. 4

$MA_{2}, MA_{3}$, … $, MA_{n} -_{1}$, потому что все стороны исходного многоугольника видны из точки M под одним и тем же углом $180 ^\circ n$, так как она лежит на его описанной окружности. Под тем же углом стороны нового многоугольника видны из его вершины M, ведь она лежит и на описанной окружности нового многоугольника. Будем называть части отрезков $MA_{1}, MA_{2}$, … $, MA_{n}$, ограниченные новым многоугольником (рис.5), внутренними отрезками, а лежащие вне него – внешними отрезками.

Рис. 5

Рис. 6

Причем в каждой такой паре один из отрезков будет вести из точки M к вершине исходного многоугольника, имеющей нечетный номер, а другой – к имеющей четный номер. Покажем теперь, что внешние отрезки также разбиваются на пары равных (рис.7). Тогда утверждение задачи будет доказано. Рассмотрим одну из таких пар отрезков $A_{k} B_{k}$ и $A_{m} B_{m} (k + m = n +$ 2) и докажем их равенство (рис.8). Треугольники $A_{1} A_{k} A_{m}$ и

Рис. 7

41

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Рис. 8

$A_{1} B_{k} B_{m}$ – подобные равнобедренные, так как их вершины – соответствующие при подобии двух правильных n-угольников. Значит, треугольники $A_{1} A_{k} B_{k}$ и $A_{1} A_{m} B_{m}$ равны по двум сторонам и углу между ними, и отрезки $A_{k} B_{k}$ и $A_{m} B_{m}$ равны как их соответствующие элементы. Заметим, что равенство этих отрезков можно было доказать иначе, сославшись на факт 1 из [5]. Второй способ. Проведем в новом n-угольнике его ось симметрии, проходящую через середину стороны $A_{1} M$. Отразим все внутренние отрезки относительно этой оси. Теперь вершина $A_{1}$ соединена двузвенными ломаными с остальными вершинами исходного многоугольника (рис.9).

КРУЖОК

Рис. 10

потому что у них равны один внешний угол и один внутренний, так как эти углы вписаны в описанные окружности n-угольников. Раз все эти треугольники подобны, то, если для каждого из них двузвенную ломаную заменить на третью сторону(рис.11),

Рис. 11

Рис. 9

Докажем, что суммарная длина красных ломаных равна суммарной длине зеленых ломаных. Дополним эти ломаные до треугольников (рис.10). Они будут подобны между собой, суммарная длина изменится одинаково (уменьшится в одинаковое число раз). Таким образом, вместо сравнения суммарных длин ломаных можно сравнивать суммарные длины третьих сторон треугольников. А они являются диагоналями исходного многоугольника, поэтому разбиваются на пары равных. Третий способ. Построим не только правильный n-угольник со стороной $A_{1} M$ – будем называть его первым, но и еще один правильный n-угольник со стороной $A_{n} M$ – будем называть его вторым (рис.12). Вершины второго многоугольника лежат на отрезках $MA_{2}, MA_{3}$, … $, MA_{n} -_{1}$ по той же причине, по какой на них лежат вершины первого. Оказывается, что внешние отрезки соответ-

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

Кривая, перевернутая вверх ногами го юмора «Физики продолжают шутить» приведен один анекдот про выдающегося физика-теоретика Якова Ильича Френкеля: «О Я.И.Френкеле рассказывают, что якобы в ФТИ в 30-е годы его изловил в коридоре некий экспериментатор и показал полученную на опыте кривую. Подумав минуту, Я.И. дал объяснение хода этой кривой. Однако выяснилось, что кривая случайно была перевернута вверх ногами. Кривую водворили на место, и, немного поразмыслив, Я.И. объяснил и это поведение кривой». Как ни смешно, но такие «анекдоты» на самом деле встречается нам на каждом шагу. Нет, не то, что «теоретики могут объяснить, что угодно». А кажущиеся противоречащими друг другу явления, которые, однако, требуют своего объяснения. Далеко ходить не надо. Представьте себе, что вы идете на лыжах и встречаете картину, запечатленную на рисунке 1. Вроде бы, ничего удивительного:

проехал автомобиль, промял в весеннем снегу колею, и снег в этой колее растаял – чуть быстрее, чем он тает вокруг. Но вот вы проходите еще несколько километров и вдруг видите нечто противоположное. На рисунке 2 явно видны автомобильные следы, но они не тают – все вокруг тает, а они нет! Сразу предупредим, что никакого розыгрыша здесь нет: эти фотографии действительно сняты в один и тот же день, всего в нескольких километрах друг от друга. Время года, климат, погодные условия – все здесь одно и то же. И событие тоже, вроде бы, одно и то же: проехал по снегу автомобиль. Вот только результаты прямо противоположные. Что же, вспомним с уважением Френкеля и попробуем объяснить эти явления? Прежде всего признаемся, что явление, изображенное на рисунке 1, гораздо более редкое (во всяком случае, если дело происходит в лесу или на поле, а не вблизи какогонибудь карьера), но объяснить его проще. Уточним, что «объяснить» – это значит назвать то физическое явление, которое лежит в основе наблюдаемой нами картины, описать условия, при которых это явление проявляется, и понять, почему именно такие условия здесь возникли. Третий этап, правда, часто выходит за пределы чисто физической задачи. Но – обо всем по порядку. Попробуем пройти через все этапы. Какое физическое явление могло бы оказаться в основе быстрого таяния снега в

Рис. 1

Рис. 2

В.ПТУШЕНКО

ВЛЕГЕНДАРНОМ СБОРНИКЕ НАУЧНО-

44

КВАНТ 2017/№1

следе автомобильного колеса? Переберем варианты, от чего в принципе могла бы зависеть скорость таяния (плавления) вещества: от его теплоемкости, теплопроводности, интенсивности отвода тепла и его поглощения извне… Стоп, кажется, что-то правдоподобное в этом списке прозвучало, а именно – поглощение тепла. Откуда снег получает тепло? От тех объектов или сред, с которыми он взаимодействует путем непосредственного (можно сказать «контактного») теплообмена или излучения: это земля, воздух, вода (в виде дождя или полых вод), солнце. Земля действительно может играть существенную роль в таянии снега по осени. Многие, возможно, замечали, как плохо ранний снег ложится на еще не остывшую землю – даже если его много и если холодно, он все равно подтаивает внизу и цепляется за лыжи, если вы решили на них встать, не дожидаясь настоящей, глубокой зимы. Но к концу зимы (а на наших фотографиях – конец зимы) земля все-таки успевает остыть – если только ее не прогревает солнце там, где она свободна от снега. Теплый воздух тоже может сыграть роль в таянии снега – однако его температура не настолько сильно меняется на протяжении нескольких метров вдоль поверхности земли и, главное, не способна надолго сохранить эти различия (воздух ведь быстро перемешивается), чтобы вызвать такое неравномерное таяние. Вода – а что, вполне могла бы помочь. Если колеса проторили русло для воды в снегу и по этому снегу понеслись первые потоки талых вод, то они могли бы ускорить таяние ближайшего к руслу снега. На всякий случай, запомним эту версию, хотя некоторые ее недостатки уже можно заметить: никаких следов воды, а тем более мощных потоков воды в протаявших колеях не заметно. Мощный поток размыл бы дно, и оно выглядело бы немного иначе. Кроме того, следы идут во всех направлениях и все одинаково хорошо протаяли – вряд ли ручьи одинаково легко разбегались бы во все стороны, независимо от уклона. Конечно, основным подозреваемым ока-

жется все-таки солнце. Колеса могли нанести грязь на снег, местами могли даже протереть в рыхлом снежном покрове дырку до земли. И там, где исчез или оказался запятнан прекрасно отражающий свет слой снега, темные участки начали активно поглощать солнечную энергию. Насколько сильно влияет это различие в отражающей способности на скорость таяния, можно наблюдать по «втаявшим» в весенний снег веточкам (рис.3): каждая тоненькая былинка протапливает

Рис. 3

под собой снег и погружается в него, как горячий нож в масло. Итак, с «негативом» – черные следы на белом снегу – понятно. Физическое явление, которое его объясняет, это различие в поглощении солнечного излучения более темными и более светлыми участками поверхности земли. Условие, при которых оно проявилось, это появление темных участков после проезда колеса – грязи или обнаженной земли. А почему именно здесь проезд автомобиля привел к такому эффекту – вопрос более сложный и требующий знания местности, автотехники да и просто конкретных обстоятельств события, о которых мы можем только догадываться. Ну, а что же с «позитивом», т.е. белыми следами на темной земле? Как могла остаться белая ледяная дорога посреди протаявшего поля? А вот, кстати, прозвучало ключевое слово: ледяная. На фотографии (см. рис. 2) это не слишком хорошо заметно, но если приглядеться к настоящей белой дорожке да еще пощупать ее, то станет

45

НАШИ

НАБЛЮДЕНИЯ

очевидно, что это не просто снег. Не то чтобы лед, но, во всяком случае, хорошо спрессованный снег, а отнюдь не рыхлый. И спрессованный многими проехавшими по нему колесами. Интересно, а почему здесь колеса не испачкали снег, а лишь утрамбовали его? Можно предположить, что эта дорога появилась еще глубокой зимой. Зимнего солнечного света не хватает, чтобы растапливать снег даже «с помощью» темных пятен, а протаявшие внутрь снега ветки – типично мартовское явление, в январе такого не встретишь. И тогда испачкают колеса снег или нет, не важно: все равно не растает. Да и свежим снегом заметет: не успеешь оглянуться, а кругом снова белымбело. Итак, здесь все необходимые компоненты объяснения тоже есть. Хотя, нет, не все. Про самую-то главную, самую «физическую» часть мы и забыли: а что здесь за физическое явление? Почему утрамбованный снег или лед тает медленнее? Казалось бы, тут все просто: и в утрамбованном снегу, и во льду меньше воздуха, меньше пустот, вот и сложнее растопить его. Погодите, но «пустоты», воздух – это же отличная теплоизоляция! «Снеговое одеяло», «снег предохраняет землю от промерзания» – подобные фразы мы слышим с детства. Изза своей пористой структуры рыхлому снегу как раз проще, чем льду, «не пустить» солнечное тепло внутрь себя – его теплопроводность ниже. Хорошо, но из-за этой пористой структуры в снегу просто меньше той замерзшей воды, которую надо топить. Поэтому и тепла ему требуется меньше, чтобы растаять. Однако… Попробуйте провести эксперимент – растопите на солнце блоки рыхлого и спрессованного снега, и вы убедитесь, что даже при одинаковых массах рыхлый снег все равно тает быстрее. Нет, эффект в чем-то другом. Давайте посмотрим внимательно на тающий весенний снег. Нетрудно убедиться в том, что внутри, под снегом, вода. Снег пропитан водой, образующейся из него же, он лежит буквально в луже этой воды. Так может быть, это тающая вода, стекая по пористой снежной массе вниз, разносит по

ней тепло – гораздо быстрее, чем оно могло бы пройти само по этому пористому материалу, пользуясь «услугами» одной лишь теплопроводности? Вроде, красивая идея. Только вот как установить, правы мы или нет? Какой эксперимент мы могли бы провести, чтобы доказать правильность нашей идеи или же, наоборот, опровергнуть ее? Задача непростая. Попробуйте решить ее сами! Прежде чем расстаться с нашими «перевернутыми кривыми», взглянем в последний раз на снежный след, причем оставленный не автомобилями, а лыжниками (рис.4). Лыжный след остается в лесу еще

Рис. 4

долго после того, как растаял весь снег вокруг. Но перед тем, как это произойдет, лыжня «инвертируется» – вдавленные в снег желобки, следы двух лыж, превращаются в валики, возвышающиеся над окружающим снегом. Как будто лыжня «выворачивается наизнанку», словно «ожившая», сошедшая со страниц сборников анекдотов о физике и физиках перевернутая вверх ногами кривая.

48

КВАНТ 2017/№1

4. Прочность костей и тканей животного пропорциональна площади их сечений. Сила сопротивления воздуха при падении тел также пропорциональна этой площади, масса же животного пропорциональна его объему. С уменьшением размеров тела его объем убывает значительно быстрее, чем площадь поверхности. Таким образом, для более мелкого животного и сила торможения, и прочность костей возрастают (в расчете на единицу массы). 5. Причины указаны в ответе к предыдущей задаче – увеличение размеров животного приводило бы к непропорциональному увеличению скелета, пока тело не было бы раздавлено собственной тяжестью. В море, благодаря действию выталкивающей силы, такие животные, как, например, кит, при менее массивном скелете могут иметь значительно большие размеры, чем слон или бегемот. 6. Птица остается в воде сухой из-за того, что вода не смачивает ее перья, покрытые слоем жира. Мыло же смоет жир, вода проникнет в оперение, птица насквозь промокнет и может даже утонуть. 7. Чтобы удержать в полете возросшую массу, насекомому приходится увеличить подъемную силу, чаще отбрасывая воздух вниз крыльями. А это приводит к повышению тона испускаемого пчелой звука. 8. При испарении воды температура в улье понижается, а влажность растет. 9. Меняя площадь свободной поверхности тела, животные регулируют теплоотдачу. 10. Уменьшение размеров теплокровного животного приводит к увеличению теплоотдачи через поверхность его тела (см. задачу 4). Природа компенсирует это улучшением теплоизоляции, что, однако, имеет пределы. Вот почему нет сухопутных млекопитающих меньше мышиземлеройки, длина тела которой от 3 до 5 сантиметров, а масса – от 2 до 10 грамм. 11. Это относится к так называемым электрическим рыбам, которые создают вокруг себя электрическое поле и способны воспринимать ничтожно малые его изменения из-за появления в нем препятствия или добычи. 12. Вырабатывающие электричество клетки располагаются в угре последовательно в виде цепочек, в свою очередь соединенных параллельно друг с другом. В результате возникает суммарный ток, достаточный, чтобы оглушить или убить жертву либо врага, но слишком слабый внутри каждой клетки, чтобы повредить саму рыбу. 13. Жучки, в отличие от зерна, имеют черный

цвет, поэтому интенсивно поглощают инфракрасное излучение, перегреваются и погибают. 14. Показатель преломления тела насекомого близок к показателю преломления воды, а у его глаз – отличен (через прозрачные глаза свет проходил бы, не преломляясь и не создавая на сетчатке изображения). В воздухе личинки будут видны.

Микроопыт

Лапки водомерок не смачиваются водой, что позволяет насекомым не «проваливаться» под воду и удерживаться на ней за счет силы поверхностного натяжения. Эту же силу выпуклой пленки воды, образующейся на месте, где мелкие насекомые пытаются выбраться из-под нее наружу, они и не могут преодолеть.

КВАНТ

12+

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

Е.В.Бакаев, C.А.Дориченко, А.А.Егоров, Е.М.Епифанов, С.Л.Кузнецов, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИ

Д.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

М.Н.Грицук, Е.А.Митченко

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФ по печати. Рег. св-во ПИ №ФС77–54256 Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ № Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» Тел.: (495) 930-56-48 Е-mail: [email protected], [email protected]

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г.Тверь www.Pareto-print.ru