Квант 2017, №2 · Страницы

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2451 – М2453 предлагались на XXXVIII Турнире городов. Задачи Ф2457–Ф2460 предлагались в 2016 году на Санкт-Петербургской городской открытой олимпиаде школьников по физике.

Задачи М2450–М2453, Ф2457–Ф2460

M2450. Дан треугольник ABC. На луче AB отметили такую точку $C_{1}$, что $AC_{1} = =$ AC, на луче BC – такую $A_{1}$, что $BA_{1} = =$ BA, на луче CA – такую $B_{1}$, что $CB_{1} = CB$; на луче BA отметили такую точку $C_{2}$, что $BC_{2} = BC$, на луче CB – такую $A_{2}$, что $CA_{2} = CA$, на луче AC – такую $B_{2}$, что $AB_{2} = AB$ (рис.1). Докажите, что пло-

по линиям квадратной сетки. Он проверил, что его можно разрезать по границам клеток и на 2 равных многоугольника, и на 25 равных многоугольников. Обязательно ли тогда его можно разрезать по границам клеток и на 50 равных многоугольников? Е.Бакаев

M2452. Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на две части и покрыть ими какой-нибудь круг диаметра больше 1? А.Шаповалов

M2453. На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы? Б.Френкин

Рис. 1

щадь треугольника ABC равна полусумме площадей треугольников $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A_{2} B_{2} C_{2}$. П.Кучерявый M2451. Петя нарисовал многоугольник площадью 100 клеток, проводя границы

Ф2457. У танкера, перевозящего топливо, закончилось горючее, когда до порта осталось L = 100 км. Чтобы доплыть до пункта назначения, капитан решил использовать груз в качестве топлива для танкера. Какое наименьшее количество тонн топлива придется потратить, чтобы добраться до порта по прямой? Скорость танкера зави-

23

ЗАДАЧНИК

статьи. Мы же приведем следующее геометрическое рассуждение, из которого можно вывести сохранение площади. Рассмотрим криволинейную трапецию – «чешуйку» ширины t, ограниченную вертикальными прямыми, находящимися на расстоянии t друг от друга, и параболами $y = x^{2} + b, y = x^{2} + b + s$, где s > 0 (рис.5). Тогда площадь чешуйки равна ts.

Рис. 5

Упражнение 5. Докажите это. Указание. Разрежьте горизонталями чешуйку на части, переложив которые можно получить прямоугольник $t \times s$.

При параболическом повороте любая вертикальная прямая сдвигается на k по горизонтали, значит, наша чешуйка перейдет в новую чешуйку той же ширины t, зажатую между теми же параболами. Как видим, площадь новой чешуйки тоже равна ts. Итак, площади чешуек, зажатых между вертикальными прямыми и параболами вида $y = x^{2} + c$, сохраняются. Можно создать мелкую «криволинейную» сетку из таких чешуек (рис.6) и приближать заданную

(Начало см. на с. 9) В ранней Вселенной имели место грандиозные фазовые переходы, распад вакуума и рождение из него новых и новых частиц. Эволюция Вселенной является неравновесным и необратимым процессом. Первым физиком, всерьез обратившим на это внимание, был Георгий Гамов, которому, вместе с учениками, удалось вывести соотношение между количествами легких элементов системы Менделеева во Вселенной, предсказать существование реликтового излучения и правильно оценить его температуру. Но это отдельная история…

«КВАНТА»

Рис. 6

фигуру набором чешуек (подобно тому, как при определении площадей сложных фигур фигура приближается набором ячеек мелкой квадратной сетки) – и вывести из сохранения площадей для чешуек сохранение площадей для любых фигур. Итак, все три ключевых момента для решения готовы, теперь дело за малым.

Упражнения

6. Сформулируйте аналог упражнения 2, докажите его и завершите решение задачи о параболах. 7. Сформулируйте и докажите факт про середину отрезка, аналогичный упражнению 3.

В завершение предлагаем читателю придумать аналогичные пространственные задачи об эллипсоидах, гиперболоидах, параболоидах и объемах, отсекаемых касательными плоскостями.

Литература

1. Письма и рукописи А.Фридмана в архиве П.Эренфеста (www.lorentz.leidenuniv.nl/ history/Friedmann_archive/) 2. А.А.Фридман. Мир как пространство и время (5-е изд.) (М.: Либроком, 2009) 3. Номер журнала «Успехи физических наук», посвященный 75-летию Фридмана (т.80, в.3, 1963) 4. Э.А.Тропп, В.Я.Френкель, А.Д.Чернин. Александр Александрович Фридман: Жизнь и деятельность (2-е изд.) (М.: КомКнига, 2006) 5. А.Беленький. «Воды, в которые я вступаю, не пересекал еще никто». Александр Фридман и истоки современной космологии (электронный журнал «Наука из первых рук», № 5(47), 2012) 6. В.О.Соловьев. Как Фридман Эйнштейна подковал (журнал «Наукоград», №4(6), 2015) 7. М.В.Сажин. Современная космология в популярном изложении (М.: УРСС, 2002) 8. А.Д.Долгов. Космология: от Померанчука до наших дней (УФН, т.184, 2014)

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Термодинамика и мотоЦИКЛ

А.СТАСЕНКО

«Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата…» Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на Divgrad… Как три вектора один детерминант в нуль обратили (из книги «Физики продолжают шутить»)

ОДНАЖДЫ В МОСКОВСКОМ ФИЗИКО - техническом институте шла конференция школьников в рамках программы «Старт в науку». Члены жюри внимательно слушали доклад девятиклассника о мотоциклах. В головах опытных слушателей возникали привычные термодинамические образы, начиная с простейших газовых процессов. Например, на рисунке 1 показаны три из них в координатах давление – объем (p, V), давление – температура (p, T), а также в трехмерном пространстве (p, T, V). С этих частных ситуаций и начиналась термодинамика около двухсот лет тому назад. Кому же теперь не известны законы Гей-Люссака, Бойля–Мариотта, Шарля, Менделеева–Клапейрона! А вот процесс посложнее (для описания) – адиабатический, т.е. происходящий без обмена теплотой с окружающими телами. На рисунке 2 он отмечен цифрой 4. Сравним его с изотермическим процессом 1. Видно, что при расширении рабочего тела (газа) от объема $V_{min}$ до $V_{max}$ для поддержания постоянной температуры в процессе 1 необходимо подвести энергию извне, а в адиабатическом процессе 4 теплообмена нет и газу приходится тратить часть собственной энергии на такое же увеличение объема. Поэтому его температура и давление уменьшаются. Тому, кто понимает, ясно, что в этом случае параметры состояния связаны соотношениями

$\gamma$

$p \sim V^{-\gamma} \sim T^{\gamma -} 1$,

Рис. 1. Частные случаи газовых процессов на плоскости и в трехмерном пространстве: 1 – изотерма, 2 – изобара, 3 – изохора

Рис. 2. Те же изопроцессы и адиабата

где $\gamma = C_{p} C_{V}$ – отношение молярных теплоемкостей газа в изобарическом и изохорном процессах (указаны соответствующие индексы p и V). Но существует еще более крутая зависимость давления от температуры – экспоненциальная. В этом случае речь идет о состоянии насыщенного пара, т.е. пара, находящегося в равновесии со своей жидкостью. Вспомним барометрическую формулу: давление p атмосферы падает с высотой h по

Инверсоры

В XIX веке перед инженерами-механиками встала важная задача: создать прямило – механизм, переводящий движение по окружности в движение по прямой. Предполагалось, что решение будет плоским шарнирным механизмом – системой плоских звеньев разной длины, сцепленных на концах шарнирами. Великий российский математик Пафнутий Львович Чебышёв смог придумать лишь приближенное прямило, переводящее движение по окружности одного шарнира в движение другого шарнира рядом с отрезком прямой, но не в точности вдоль него (рис.1).

щие вне окружности, и наоборот по правилу AO ◊ OA ¢ $= R^{2}$ (рис.2). Инверсия обладает многими интересными и полезными свойствами (многие из них, вместе с доказательствами, можно найти в брошюре И.Д.Жижилкина «Инверсия»). Для нас наиболее интересно следующее свойство: дуга окружности, проходящей через центр инверсии, переходит в отрезок (рис.3).

Рис. 3

Рис. 1

Уклонение шатунной кривой от прямой линии можно уменьшать, изменяя параметры механизма. При этом будет уменьшаться и длина хода ведомого шарнира, но это происходит медленнее, чем уменьшение отклонения от прямой. Поэтому для практических целей можно подобрать удовлетворительные параметры, однако с теоретической точки зрения задача остается нерешенной. Создать точное прямило помогает инверсия – преобразование плоскости (без одной точки), переводящее внутренние точки круга, за исключением центра, в точки, лежа-

Это свойство инверсии испльзуется в инверсоре Поселье–Липкина, первом плоском шарнирном механизме, переводящем движение по окружности в движение по прямой. Он был придуман в 1860-х годах независимо офицером инженерного корпуса французской армии Шарлем Николя Поселье (1823–1913) и студентом П.Л.Чебышёва Липманом Липкиным (1846–1876). Инверсор Поселье–Липкина основан на следующем соображении. Пусть APA ¢ Q – ромб со стороной a, а точка O такова, что OP = OQ = b, причем b > a. Вычислим произведение OA ◊ OA ¢. Для этого заметим, что точки О, A и A¢ всегда лежат на одной прямой, проведем в ромбе диагонали – пусть они пересекаются в точке X – и несколько раз применим теорему Пифагора: OA ◊ OA ¢ = ( OX - XA ) ◊ ( OX + XA ) =

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 = OX - XA = b - PX - a - PX =

Рис. 2

$= b^{2} - a^{2}$.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Птолемеева ось треугольника что точка Жергонна треугольника – это точка пересечения трех отрезков, соединяющих вершины треугольника и точки касания противоположных сторон с вписанной окружностью (рис.2,а), а точка Нагеля – точка пересечения трех отрезков, соединяющих

К.КОЗЕРЕНКО, П.ФАКАНОВ

НАРИСУЕМ ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИШЕМ В него окружность $\omega$ и опишем около него окружность Ω. Если теперь сотрем треугольник, то мы его уже не сможем восстановить: существует бесконечное семейство треугольников, «зажатых» между данными окружностями (рис.1). Это частный случай знаменитой теоремы Понселе (см. например,

Рис. 2

Рис. 1

статью В. Протасова в «Кванте» №5–6 за 2014 г.), поэтому условимся называть треугольники из этого семейства треугольниками Понселе (для пары окружностей Ω и $\omega ).$ Интересно следить за движением замечательных точек треугольника, когда треугольник Понселе «вращается» между двух данных окружностей. «Квант» уже не раз обращался к этой теме. В замечательной статье В.Дубровского и В.Сендерова «Ловушка для треугольника» («Квант» №3 за 1999 г.) были указаны траектории ортоцентра, центра масс (точки пересечения медиан) и центра окружности девяти точек треугольников Понселе. В статье А.Заславского, Д. Косова и М. Музафарова «Траектории замечательных точек треугольника Понселе» («Квант» №2 за 2003 г.), кроме того, были найдены траектории точек Нагеля и Жергонна. Напомним, вершины треугольника и точки касания противоположных сторон с вневписанными окружностями $(рис.2,б).^{1}$ Все траектории упомянутых замечательных точек являются окружностями, центры которых лежат на линии центров окружностей Ω и $\omega$. Здесь имеется некоторая аналогия с геоцентрической системой Птолемея (все планеты вращаются по окружностям, центры которых в свою очередь лежат на окружности), эта аналогия дала название «птолемеева ось». В этой статье мы снова обратим основное внимание на точки Жергонна и Нагеля треугольников Понселе и дадим описание окружностей, по котором они движутся. Но в отличие от статьи А.Заславского, Д.Косова и М.Музафарова, где основным инструментом являлись алгебраические преобразования и барицентрические координаты, мы дадим геометрические доказательства.

1 По этой теме см. также проект, предложенный на Летней конференции Турнира городов в 2014 г.: http://www.turgor.ru/lktg/2014/6/ index.htm

42

КВАНТ 2017/№2

Рис. 4. Прозрачные стаканчики со встроенным светодиодом

Рис. 2. Сдвоенные стаканчики

сила Магнуса, поверить в такое движение невозможно! Чтобы сделать явной эту закрутку, мы взяли пару прозрачных стаканчиков, прикрепили к ним светодиод с батарейкой и в темноте с большой выдержкой сняли их полет – фотография представлена на рисунке 4. Можно заметить, что из-за сопротивления воздуха угловая скорость вращения стаканчиков падает и вместе ней уменьшается сила Магнуса, действующая на стаканчики. Сила Магнуса во многом похожа на подъемную силу, действующую на крыло самолета. Подъемная сила тоже перпендикулярна направлению движения самолета, и бумажные самолетики, на которые она действует, тоже делают петли в воздухе. Как рассчитать

Рис. 3. Стаканчики в полете

траекторию летательного аппарата, на который действует подъемная сила, было рассказано в «Кванте» в статье «Планер Жуковского и движение в скрещенных полях» (2016 г., №1). Тот же самый метод можно применить и для расчета траектории летающих стаканчиков, на которые действует сила Магнуса. Летающие стаканчики мы впервые увидели на замечательном yutube-канале Home- Made Science with Bruce Yeany. Там лежит замечательный ролик Cup Flyers, с демонстрацией полетов. Обязательно посмотрите его и сами научитесь запускать эти стаканчики. Пилотируемая полоска и Большой Рот. Мы уже говорили, что сила трения замедляет вращение стаканчиков и сила Магнуса перестает поддерживать их в полете. Но существуют летательные объекты, способные самостоятельно сохранять скорость своего вращения – авторотировать. Простейший из них – прямоугольная полоска бумаги. Свободно отпущенная, она при определенных условиях самостоятельно демонстрирует вращательное движение вокруг своей длинной оси. Н.Е.Жуковский заметил, что на такую полоску в полете действует сила Магнуса. Недавно появившиеся игрушки – Пилотируемая полоска и Большой Рот (рис.5) – обладают улучшенными летными качествами. Пилотируемая полоска представляет со-

43

ЛАБОРАТОРИЯ

Рис. 5. Пилотируемая полоска и Большой Рот

бой прямоугольник из тонкой бумаги, снабженный четырьмя крылышками, а Большой Рот просто склеен из двух бумажных полосок. Их траектории изображены на рисунке 6. Видно, что они устойчиво авторотируют, а их полет поддерживается силой Магнуса. Эти игрушки можно пилотировать, т.е. заставить их летать неограниченное время и при этом совершать повороты и изменять высоту полета. Подробности – в «Кванте» в статьях «Пилотируемая полоска» (2013 г., №4) и «Большой Рот в полете» (2016 г., №2). Поющая линейка. На этот раз для демонстрации эффекта Магнуса мы предлагаем

«КВАНТА»

использовать обычную деревянную линейку длиной 30 сантиметров. Такая линейка тоже способна авторотировать – самостоятельно закручиваться под действием набегающего потока воздуха. На одном из концов линейки нужно будет проделать дырку, продеть туда прочную нитку и завязать, а потом раскрутить линейку перед собой. Линейка перейдет в режим авторотации и начнет вращаться вокруг своей оси – это можно увидеть по траектории светодиода, прикрепленного к концу линейки. Значит, на линейку будет действовать сила Магнуса, которая выведет ее из вертикальной плоскости и заставит двигаться по поверхности некоторого конуса. При изменении направления авторотации на противоположное сила Магнуса тоже поменяет свое направление, и конус окажется расположенным по другую сторону вертикальной плоскости. Эти два конуса хорошо видны на рисунке 7. Обращение авторотации происходит само собой – из-за периодически возрастающей закрутки нити. При вращении линейка издает низкий вибрирующий звук, и на этом принципе устроено множество архаичных музыкальных инструментов, принадлежащих разным эпохам и народам. Сейчас эти инструменты объединены общим названием «bullroarer», а самый древний из найденных датируется 17 веком до н.э. Так что музыканты верхнего

Рис. 6. Пилотируемая полоска и Большой Рот в полете

44

КВАНТ 2017/№2

Рис. 7. Два конуса авторотирующей линейки

палеолита наверняка тоже были знакомы с эффектом Магнуса. Эту музыку вы сможете услышать, когда закрутите линейку и она начнет авторотировать, а увидеть эту музыку можно прямо сейчас. Мы записывали звук, расположив вблизи траектории светодиода микрофон, как на рисунке 7, но можно воспользоваться и мобильным телефоном. На рисунке 8 в координатах время-громкость изображена 32-х секундная звуковая запись и два ее фрагмента – один с 16,6 до 20,2 секунды, другой с 18,12 до 18,42 секунды. На записи четко выделяются восемь звуковых групп, каждая продолжительностью 4 секунды. Они соответствуют вращению линейки вдоль одного или другого конуса. Обратите внимание на амплитуды звука в соседних группах – большие чередуются с малыми. Это потому, что один конус был расположен ближе к микрофону мобильника. Далее на рисунке представлен временной интервал 16,6–20,2 секунды, вмещающий в себя пятую группу. Высокие пики соответствуют прохождению линейки вблизи микрофона. Видно, что период обращения линейки вдоль конуса составляет чуть

Рис. 8. Звуковая запись и ее фрагменты

меньше 0,3 секунды. Еще мы выделили интервал 18,12–18,42 секунды, вмещающий шестой пик из пятой группы. Составляющие его узкие пички следуют с интервалом порядка 0,005 секунды, что соответствует удвоенной частоте вращения линейки вокруг своей длинной оси.

Под конец добавим еще несколько видео, на которых ученые увлекательно рассказывают об эффекте Магнуса. • What Is The Magnus Force? на канале Veritasium https://www.youtube.com/ watch?v=23fjvGUWJs • Surprising Applications of the Magnus Effect на канале Veritasium https://www.youtube.com/watch?v= 2OSrvzNW9FE • Coanda, Bernoulli and Magnus Effects на канале Fizzics.org https://www.fizzics.org/physics-notes-and- video-lessons/free-physics- video-lessons/fluid- flow-video-lessons

ОЛИМПИАДЫ

XXXVIII Турнир городов

Задачи осеннего тура (2016 год)

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (4)^{1}$

Взяли пять натуральных чисел и для каждых двух записали их сумму. Могло ли оказаться, что все 10 получившихся сумм оканчиваются разными цифрами? М.Евдокимов

2. (4) На прямой отмечены четыре точки и еще одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках. Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными? Е.Бакаев

3. На окружности отмечены 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке. а) (2) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечетными. б) (2) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были четными? П.Кожевников

4. (5) Даны параллелограмм ABCD и такая точка K, что AK = BD. Точка M – середина CK. Докажите, что $\angle$ BMD $= 90 ^\circ$. Е.Бакаев

5. (5) Сто медвежат нашли в лесу ягоды. Самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды и так далее, а самому старшему

1 В скобках после номера задачи указано максимальное количество баллов, присуждавшихся за решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.

досталось $2^{99}$ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды «по справедливости». Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса ее съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наименьшее количество ягод может оставить медвежатам лиса? Е.Бакаев

10–11 классы

1. (4) Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трехчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q? Н.Седракян

2. (5) См. задачу М2448 «Задачника «Кванта». 3. (5) См. задачу 5 для 8–9 классов с вопросом: «Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?» 4. (5) См. задачу М2451 «Задачника «Кванта». 5. (6) См. задачу М2447 «Задачника «Кванта».

Сложный вариант

8–9 классы

1. (5) См. задачу М2446,а «Задачника «Кванта».

2. (5) В каждой клетке доски 8 ¥ 8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32? Н.Чернятьев

3. (6) Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на

53

ОЛИМПИАДЫ

б) (6) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа. И.Митрофанов, А.Канель-Белов

10–11 классы

1. (5) См. задачу М2446,б «Задачника «Кванта».

рисунке). Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности. Е.Бакаев

4. (8) Квадратная коробка конфет разбита на 49 равных квадратных ячеек. В каждой ячейке лежит шоколадная конфета – либо черная, либо белая. За один присест Саша может съесть две конфеты, если они одного цвета и лежат в соседних по стороне или по углу ячейках. Какое наибольшее количество конфет гарантированно может съесть Саша, как бы ни лежали конфеты в коробке? А.Кузнецов

5. (8) На трех красных и трех синих карточках написаны шесть положительных чисел, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то трех чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же трех чисел. Всегда ли можно гарантированно определить эти три числа? Б.Френкин

6. (9) Дан правильный 2n-угольник

$A_{1} A_{2}^{…} A_{2n}$ с центром O, причем $n \ge 5$. Диагонали $A_{2} A_{n} -_{1}$ и $A_{3} A_{n}$ пересекаются в точке F, а $A_{1} A_{3}$ и $A_{2} A_{2} n_{-} 2$ – в точке P. Докажите, что PF = PO.

М.Тимохин

7. а) (5) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможны два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?

8. (5) См. задачу 2 для 8 – 9 классов.

9. (7) Четырехугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причем O не лежит на диагоналях четырехугольника. Описанная окружность $Ω_{1}$ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность $Ω_{2}$ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

А.Заславский

4. (8) См. задачу М2453 «Задачника «Кванта».

5. (9) См. задачу М2452 «Задачника «Кванта».

6. (9) Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P ( x ) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он еще не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P ( x ) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть? А.Мудгал

7. (12) См. задачу М2449 «Задачника «Кванта». Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников

54

КВАНТ 2017/№2

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике

В Московской области муниципальный этап олимпиады прошел 18 декабря 2016 года. В нем приняли участие 4270 школьников 7–11 классов.

Задачи олимпиады

7 класс

Задача 1. Астрофизика В телескоп наблюдаются два космических объекта. Известно, что один из них расположен на расстоянии 18,0 тысяч световых лет от Земли, а другой находится на расстоянии 5,50 килопарсек. Угол между видимыми направлениями на объекты 60 градусов, а расстояние между ними 1,14 млрд астрономических единиц (а.е.). Сколько световых лет содержится в 1 парсеке? Известно, что расстояние в 1 а.е. свет проходит за 500 секунд, а 1 световой год – это расстояние, которое свет проходит за 1 год.

Задача 2. Нелинейная плотность Исследуя плотность неизвестной жидкости, экспериментатор Глюк провел серию измерений. Поставив мерный стакан с жидкостью на весы, он сфотографировал уста-

новку, а затем, долив еще немного жидкости, сделал второй снимок (рис.1). Через несколько дней Глюк понял, что из-за поломки в день эксперимента показания весов были завышенными ровно на 10%. Помогите экспериментатору определить плотность неизвестной жидкости и массу пустого мерного стакана.

Задача 3. Время относительно Поезд проехал мост длиной l = 450 м за $t_{1} = 45$ с. Охранник, стоящий на мосту, заметил, что поезд двигался мимо него в течение $t_{2} = 30$ с. Какое время ехал по мосту пассажир, сидящий в вагоне поезда? Найдите длину поезда и скорость его движения и определите, во сколько раз длина поезда больше длины моста.

Задача 4. Туда-сюда На графике (рис.2) приведена зависимость координаты тела, движущегося вдоль оси x, от времени. Определите максималь-

Рис. 2

ную скорость движения тела; путь, пройденный телом за 30 с; среднюю скорость тела в интервале времени от 5 с до 20 с.

8 класс

Рис. 1

Задача 1. Эх, дороги Внедорожник «Нива» может проехать расстояние l = 39 км от Дубны до Орудьева,

55

ОЛИМПИАДЫ

имея скорость на асфальте $v_{1} = 100$ км/ч, а на грунтовом участке $v_{2} = 25$ км/ч. Автомобиль BMW на той же дороге по асфальту разгоняется до $v_{3} = 160$ км/ч, но по грунтовке едет только со скоростью $v_{4} = 10$ км/ч. При какой длине грунтового участка время движения машин окажется одинаковым?

Задача 2. Бодибилдинг Один спортсмен решил привести свое тело в соответствие с пропорциями статуи Давида творения великого Микеланджело и сел на диету. Но что-то пошло не так. Если все горизонтальные размеры спортсмена оказались ровно вдвое меньше, чем у Давида, то рост остался всего лишь h = 170 см, тогда как высота статуи H = 500 см. Определите массу спортсмена, если масса мраморной статуи m = 3200 кг. Плотность мрамора $\rho = 2700$ кг $м^{3}$, средняя плотность человеческого тела $\rho_{0} = 1000$ кг $м^{3}$.

Задача 3. Фарфоровый чайник В пустой фарфоровый чайник, имеющий комнатную температуру $t_{0} = 20 \infty C$, налили m = 500 г горячей воды при температуре $t_{1} = 80 \infty C$. В результате теплообмена температура чайника и его содержимого стала равной $t_{2} = 70 \infty C$. Затем чайник включили в сеть, и через $\tau = 2$ мин вода в нем закипела. Определите мощность нагревателя чайника. Тепловыми потерями в окружающую среду пренебречь. Удельная теплоемкость воды c = 4200 Дж ( кг ◊ $\infty$ С ).

Задача 4. Уравновесим К легкой нити, перекинутой через блок, с одной стороны прикреплен однородный рычаг, а с другой – груз, касающийся рычага и имеющий массу m = 6 кг (рис.3). Определите, при какой массе рычага M система останется в равновесии. С какой силой при этом груз будет давить на рычаг? Трения в оси

Рис. 3

блока нет. Все необходимые расстояния можно взять из рисунка. Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$.

9 класс

Задача 1. Вторая половина Тележка, двигаясь из состояния покоя с постоянным ускорением, проходит расстояние s и приобретает скорость v = 10 м/с. Затем, продолжая двигаться равномерно со скоростью v, она проходит еще такое же расстояние s. Определите среднюю скорость тележки за вторую половину всего времени движения.

Задача 2. Фляжка Металлическая фляжка имеет форму параллелепипеда. Масса заполненной водой фляжки равна М. Если фляжку положить на стол самой большой гранью, то она будет оказывать давление $p_{1}$. Если ее положить на среднюю грань, то давление будет равно $p_{2}$. Если фляжку поставить на самую маленькую грань, то давление окажется равным $p_{3}$. Чему равны масса m пустой фляжки и длины ее ребер а, b и c? Толщина стенок фляжки пренебрежимо мала по сравнению с длинами ее ребер. Плотность воды равна $\rho$. Примечание. Для определенности длину короткого ребра фляжки обозначьте а, длину среднего ребра – b, длинного ребра – с.

Задача 3. Жидкое равновесие На легком рычаге уравновешены два цилиндра, имеющие одинаковые размеры. При первом взвешивании точка опоры делит рычаг в отношении 1: 2, а цилиндры погружены в жидкость плотностью $\rho$ на треть объема (рис. 4,а). Если глубину погружения увеличить вдвое, то для сохранения равновесия придется перенести точку опоры рычага влево так, что она поделит рычаг в отношении 1: 3 (рис.4,б). Определите плотности цилиндров $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$.

Рис. 4