Квант 2017, №3 · Страницы

4

КВАНТ 2017/№3

частицами, причем нам важно только, чтобы материал не разрушался. Дать здесь какие-либо общие рекомендации трудно – уж очень разнообразны условия работы. Ориентировочно можно считать, что к разрушению потоками ионов более устойчивы следующие элементы: C, B, Be, Al, Ti, V, Zr, Nb, Ta, Mo, W, Fe, а также их сплавы и соединения. Третья ситуация – когда мы можем выбирать материал и структуру части прибора, разрушаемой ионами или иными частицами, причем нам важно, и чтобы материал не разрушался, и какие именно продукты его разрушения попадают в прибор. Это ситуация Токамака – реактора для получения управляемого термоядерного синтеза, причем там эта проблема столь важна, что она получила имя собственное: «Проблема первой стенки». Дело в том, что для его работы очень вредны примеси тяжелых ионов в плазме. Это немедленно сокращает список подходящих элементов до C, B, Be, Al, Ti, V, их сплавов и соединений. После множества исследований для строящегося во Франции по международному проекту Токамака выбран бериллий. Эта история настолько важна и интересна, что о ней стоит рассказать немного подробнее. Требования, предъявленные к материалу первой стенки Токамака, открыли новую страницу в материаловедении. Записи на этой странице лишь начаты. Поэтому пока ограничимся перечнем основных процессов, происходящих при таких воздействиях. Во-первых, распыление потоками ионов. Во-вторых, распыление под действием потоков нейтронов. В-третьих, при нейтронной бомбардировке из поверхности стенки вылетают «куски» примерно по $10 мкм^{3}$ – так называемые «чанги». Вчетвертых, вколоченные в материал атомы гелия и водорода собираются в пузыри, и в результате материал «распухает» – такой процесс называется «свеллинг». Если пузырь образуется близко к поверхности, она вспучивается – такой процесс называется «блистеринг». В-пятых, шелушение поверхности – верхняя корка на этом пузыре отваливается, этот процесс назы-

вается «флекинг». Получающаяся в результате блистеринга пористая, губчатая поверхность тормозит флекинг, и после разрушения материала на некоторую глубину процесс замедляется. Предложено и целенаправленное применение этого эффекта – использование поверхности с губчатой, игольчатой (щетка) и сотовой структурой. В последнем случае замедляется и распыление, так как часть материала перепыляется со стенки на стенку, не вылетая в объем. И, наконец, в-шестых, радиационная сегрегация – под действием облучения ионами меняется состав сплавов, т. е. облучение вызывает диффузию. Ни про один из этих процессов нельзя сказать, что он достаточно изучен и понят. Рассмотрим наиболее изученный из них – ионное распыление. Коэффициент распыления, т.е. отношение количества распыленных атомов к числу попавших на поверхность ионов, увеличивается с увеличением массы иона и с уменьшением энергии испарения (энергии, необходимой для испарения атома) материала мишени. С увеличением энергии падающих ионов до величин порядка 10 кэВ коэффициент распыления сначала растет, потом начинает убывать. Однако строгой теории катодного распыления, которая могла бы надежно предсказать экспериментальные данные до их получения, нет. Впрочем, для физики поверхности эта ситуация не нова. Многочисленные существующие теории катодного распыления можно разбить на две группы: тепловые и механические. Тепловые объясняют распыление нагревом поверхности в месте удара иона и испарением; механические – столкновением иона с атомами мишени, в результате которого атомы мишени (соударяясь и друг с другом) получают импульс, направленный к поверхности мишени, и вылетают в вакуум. Механические теории отличаются одна от другой гипотезами о конкретном механизме взаимодействия иона с атомами и дают разные результаты, согласующиеся с теми или иными экспериментальными данными. Понятно, почему при больших энергиях коэффи-

5

МАССОПЕРЕНОС

циент распыления невелик: падающий ион слишком глубоко забирается в глубь материала и выбитые им со своих мест атомы не добираются до поверхности. Понятно, почему коэффициент распыления мал при малых энергиях. Но гораздо большее количество фактов непонятно или понятно не совсем. Например, при ионной бомбардировке на поверхности может появиться рельеф, причем довольно сложный. А возможна и полировка, сглаживание поверхности при бомбардировке ионами малых энергий. Это связано, видимо, с тем, что атомы, находящиеся на выступах, имеют меньшую энергию связи (их нужно оторвать от меньшего количества атомов) и поэтому можно так выбрать энергию ионов, что эти атомы будут распыляться сильно, а остальные – слабо. При высокой плотности потока ионов, бомбардирующих электрод, концентрация внедренных в него атомов и возникших в нем дефектов решетки достигает таких значений, что кристаллическая решетка полностью разрушается и материал переходит в аморфное состояние. При этом исчезает четко выраженная температура плавления, и эта непонятная смесь металла и газа начинает ползти, оплывать (как свеча) под действием силы тяжести. Но то, что происходит при катодном распылении многокомпонентных соединений, устроено еще сложнее. Можно еще догадаться, почему примесь одного металла к другому иногда вызывает образование рельефа при распылении: слабо распыляющаяся примесь, если ее атомы сосредоточены на каких-то участках, защищает от распыления находящийся под ней материал. Но почему добавка нескольких процентов висмута к меди увеличивает коэффициент распыления наполовину или почему добавление нескольких процентов алюминия к золоту снижает распыление в десять раз – неизвестно. Для распыления сплавов существует несколько теорий, иногда то одна, то другая способна правильно предсказать результаты отдельных экспериментов.

Массоперенос при протекании тока

Самое очевидное – это массоперенос при электролизе расплава. Он тем больше, чем больше масса ионов и меньше их заряд, и тем меньше, чем ионы легче, а заряд больше. В первом случае наше внимание привлекает CsI, он плавится примерно при $630 \infty C$, во втором – BN, он плавится при $3000 \infty C$. При этих температурах они уже прилично проводят ток, но вообще-то для массопереноса при ионной проводимости расплав не обязателен. В твердой фазе массоперенос происходить тоже будет – числу Фарадея безразлично, о каком состоянии идет речь. А если говорить не о расплавах, а о растворах, то массоперенос будет только больше за счет сольватации (электростатического взаимодействия между частицами растворенного вещества и растворителя) – каждый ион будет волочить за собой оболочку из молекул растворителя. Правда, у BN плохо с растворимостью, так что придется ограничиться LiF. Теперь посмотрим на электронные проводники. При самом обычном токе в проводе переносится не только заряд, но и масса, хотя отношение массы к заряду – это отношение массы электрона к его заряду, т.е. примерно 5,7 ◊ $10^{-} 12$ кг Кл. Ровно то же происходит при протекании электронного тока в вакууме, а при протекании ионного тока в вакууме перенос массы будет того же порядка, что и в электролите. Сложнее ситуация в плазме, где текут одновременно и электронный ток, и ионный. Если длины свободного пробега и энергии ионов и электронов примерно равны, то (попробуйте показать это расчетом) добавка к тепловой скорости, которую приобретают частицы под действием электрического поля, обратно пропорциональна корню из массы, а «поток массы», соответственно, просто пропорционален корню из массы. Ток в такой плазме – это преимущественно ток электронный, но массу переносят в основном ионы. В неравновесной плазме, когда энергия электронов может превосходить энергию ионов, например на два порядка, тепловые скорости электронов оказываются больше, вре-

7

МАССОПЕРЕНОС

потому что аморфное твердое тело и жидкость это почти одно и то же. Например, коэффициент диффузии воды в глицерине равен $0,008 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ с. Но может он быть и относительно велик – например, коэффициент диффузии иода в уксусной кислоте равен $3,6 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ с. Теперь – обещанное «D на пальцах». Среднее расстояние, которое проходит диффундирующая частица за время t, или характерное расстояние диффузии, равно Dt. Поэтому мы всегда можем пересчитать D в расстояние, которое будет охвачено процессом за время t. Например, для газов при D от $0,016 \cdot 10^{-} 4 м^{2}$ с до $1,6 \cdot 10^{-} 4 м^{2}$ с и времени процесса t = 10 с расстояние составит 4–40 мм, а для жидкостей при D от $0,008 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ с до $3,6 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ с и времени процесса t = = 100 с расстояние составит 0,03–0,6 мм. Если, конечно, не взбалтывать…

Жизнь в твердом теле

Прежде всего, возможны сложности на границе: процессы на границе объекта или материала могут влиять на диффузию. Например, помните цилиндр из свинца и цилиндр из золота – их прижимали для того, чтобы был хороший контакт. Именно для увеличения площади контакта брали мягкие металлы и прижимали их друг к другу. Правда, тут есть еще проблема, и не одна. На поверхности свинца в воздухе образуется слой оксида, который может тормозить переход атомов из одного металла в другой. Но и это не все – для диффузии атому надо как-то перемещаться внутри решетки своего или чужого металла, а для перехода в чужой металл атому надо оторваться от своей решетки и втиснуться в чужую. Любой из этих процессов – отрыв от своих, внедрение в чужие, внедрение в оксид, диффузия в оксиде, отрыв от оксида

– может оказаться ограничивающим диффузию. Причем все эти процессы по-разному зависят от температуры, а собственно диффузия (до нее мы еще не добрались!) с ними не советуется и зависит от температуры по-своему. Поэтому может прекраснейшим образом оказаться, что при одних температурах доминирует один процесс, а при других – другой. Теперь обратимся к собственно диффузии внутри твердого тела. Существует много механизмов диффузии. Если это не монокристалл или аморфное вещество, то твердое тело состоит из отдельных маленьких кристалликов, а у них есть грани, границы. Так вот, по этим граням-границам и может в глубь монолитного, казалось бы, материала идти диффузия – сначала вдоль граней, а потом и внутрь кристалликов. Причем миграция по границам преобладает при низких температурах, примерно до половины температуры плавления (естественно, в кельвинах). В этом случае говорить о конкретных значениях коэффициента диффузии придется с оговоркой – для материала с кристаллами такого-то размера. А еще кроме граней есть ребра, и некоторые работы отмечают ускоренную диффузию именно вдоль ребер. В твердом теле, даже если не обращать внимания на грани и ребра, тоже есть несколько механизмов диффузии. Атом может просто протискиваться между дру-

9

МАССОПЕРЕНОС

тать над металлом, чтобы оказаться диффундирующим в металле. По дороге он должен побывать на поверхности металла, в зале прилета аэропорта. Что может там с ним произойти?

Кое-что о роли диффузии в жизни

Мы не обсуждали роль электропроводности и теплопроводности в жизни – потому, что она, хоть отчасти, но очевидна. Ток идет – лампочка светится, лифт едет, монитор показывает картинки. Тепло распространяется – нам делается холодно или тепло. С диффузией дело обстоит сложнее – распространение запаха духов и окраски жидкости в стакане – некорректные примеры, а корректные – не очевидны. Диффузия играет важную роль в различных областях науки и техники, во многих процессах, происходящих в живой и неживой природе. Например, она влияет на протекание многих химических реакций и процессов, на испарение, конденсацию, кристаллизацию, растворение, набухание, сушку, горение. Диффузия влияет на работу атомных реакторов, электронных ламп и полупроводниковых приборов, батареек и аккумуляторов. И даже на работу конструкций – ползучесть металлов, изменение размеров деталей под нагрузкой это тоже диффузия. На диффузии основаны многие технологические операции – спекание порошков, многие процессы обработки металлов (азотирование и цементация сталей, гомогенизация сплавов, сварка, очистка от некоторых примесей), дубление кожи, крашение волокон и тканей. Именно диффузия водорода через палладий используется для получения особо чистого водорода. Диффузия газов в металлах и диэлектриках важна для работы вакуумных приборов, причем по двум причинам. Вопервых, растворенные в материалах газы при работе прибора диффундируют к поверхности деталей, десорбируются с нее, попадают в вакуумный объем и начинают плохо себя там вести: взаимодействовать с материалами других деталей, а при большой концентрации – попросту рассеивать электронный поток. Во-вторых, диффузия газов из атмосферы, в первую очередь натекание гелия через стекло и водорода через металлы, вполне способна повлиять на работу прибора. Диффузия, которая во многих случаях определяет срок службы материала и изделия, ускоряется при воздействии на материал потоков частиц. Поэтому понятен интерес к ней со стороны разработчиков атомных и термоядерных реакторов. Облучение потоками частиц используют как инструмент и химики – в этом случае тоже немедленно возникает вопрос о воздействии этого облучения на материалы, из которых сделано оборудование. Куда ни кинь – везде или клин, или диффузия (причем последняя – чаще). Закономерностям диффузии подчиняются процессы миграции элементов в недрах планет и звезд (о Земле уж не говорим), а также внутри вас, уважаемый читатель. Внутри вас идут многие тысячи процессов диффузии, без некоторых мы не прожили бы и нескольких минут. Как вы думаете, почему?

16

КВАНТ 2017/№3

Рис. 5

ным графом, на каждом ребре которого написана вероятность перехода из одного состояния в другое. Например, задача о Чебураторе на коротком столе может быть описана таким графом (рис.5). Состояниям 0, 1, 2 и 3 соответствуют состояния Чебуратора «чебурахнулся налево», «стоит на левом краю стола», «стоит на правом краю стола» и «чебурахнулся направо». Заметим, что сумма вероятностей на стрелках, исходящих из какого-то состояния, всегда равна единице. Ключевым свойством цепи Маркова является то, что на каждом шаге мы полностью забываем «прошлое». Иначе говоря, «будущее» не зависит от «прошлого» при известном «настоящем». Цепи Маркова оказались удобной и очень востребованной моделью. Например, ранжирование веб-страниц, используемое поисковыми системами, основано на цепях Маркова. С помощью цепей Маркова создаются алгоритмы для автоматического

Место встречи изменить нельзя

(Начало см. на 2-й странице обложки)

Предлагаем вам четыре новых варианта исходной задачи (рис. 3). В них осталось неизменным начальное положение черных брусочков, положение зафиксированных брусочков,

Рис. 3

а также квадратная форма пустого пространства. Цель в каждой новой головоломке та же: собрать черные брусочки в левом нижнем углу (см. рис.2). Интересно, что новые задачи довольно сильно отличаются по сложности: минимальное число ходов в них составляет 40, 51,

написания музыки. Есть важные приложения в физике, химии, биологии, лингвистике, экономике. Про цепи Маркова можно почитать в популярной книжке [2]. Затронутая нами тема случайных блужданий рассматривается более подробно в популярных книгах и статьях [3], [4], [5], [6]; последняя статья основана на интересной физической интерпретации случайных блужданий.

Список литературы

1. А.Кудрявцев. Санкт-Петербургский парадокс и его значение для экономической теории. – «Вестник Санкт-Петербургского университета», 3 (2013). 2. Е.Дынкин, В.Успенский. Математические беседы. – М.: Физматлит, 2004. 3. А.Колмогоров, И.Журбенко, А.Прохоров. Введение в теорию вероятностей. – Библиотечка «Квант», вып. 23 и 135. 4. Ф.Мостеллер. 50 занимательных вероятностных задач с решениями. – М.: Наука, 1975. 5. С.Соболев. О случайных блужданиях. – «Квант», №5, 1987. 6. М.Скопенков, В.Смыкалов, А.Устинов. Случайные блуждания и электрические цепи. – «Математическое просвещение», сер. 3, 16 (2012).

60 и 70 (в порядке слева направо на рисунке 3). В исходной головоломке Михаила Тулузаса минимальное решение требовало 67 ходов. На рисунке 4 предложен еще один вариант, в котором пустое место разбито на две части. В этом случае в минимальном решении уже 102 хода.

Рис. 4

Попробуйте поэкспериментировать – вдруг у вас получится найти еще более трудоемкий вариант? Желаем успеха в решении и составлении новых головоломок! В.Журавлев

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2454–М2457 предлагались на региональном этапе XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2461–Ф2464 предлагались на Олимпиаде имени Я.Б.Зельдовича в городе Сарове.

Задачи М2454–М2457, Ф2461–Ф2464

M2454. Изначально на доске записаны несколько (больше одного) натуральных чисел. Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} ).$ Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей. И.Богданов, П.Кожевников

M2455. Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг

Рис. 1

окружности $\omega$. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается $\omega$ (рис.1). Окружность $Ω_{b}$ с центром P проходит через B, а окружность $Ω_{c}$ с центром Q проходит через C. Докажите, что окружности Ω $, Ω_{b}$ и $Ω_{c}$ имеют общую точку. А.Акопян, П.Кожевников

M2456. Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны. А.Грибалко

M2457. Существует ли треугольник со сторонами x, y и z такой, что $x^{3} + y^{3} + z^{3} = = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )$? В.Сендеров

Ф2461. В цилиндрический стакан с площадью основания $S = 400 см^{2}$ налита вода, в которую погружен кубик льда со стороной а = 2 см (рис.2). В стакан наливают такое количество керосина, что верхняя грань кубика совпадает с поверхностью керосина. Кубик вынимают из стака- Рис. 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Переключения рядов

Е.БАКАЕВ

Начнем с такой задачи которую разумно рассматривать, это $2 \times 2$. Выясним, какие ее заполнения из каких можно получить. Всего существует $2^{4} = 16$ способов заполнить клетки таблицы $2 \times 2$ плюсами и минусами. Можно все их рассмотреть и составить схему (граф). Два заполнения будем соединять линией (ребром), если одно можно получить из другого одним переключением ряда (рис.2).

Задача 1. Все клетки таблицы $8 \times 8$ заполнены плюсами и минусами (по одному знаку в клетке). Одной операцией разрешается выбрать любой ряд (строку или столбец) и в каждой из его клеток поменять знак на противоположный. Сначала все знаки были плюсами. Может ли после нескольких таких операций оказаться, что в таблице ровно один минус? На рисунке 1 показан пример проведения такой операции.

Рис. 1

Мы не только решим эту задачу, но и вообще разберемся, какие таблицы из каких можно получить с помощью этих операций. Строки и столбцы будем называть рядами. Операцию, описанную в задаче 1, будем называть переключением ряда.

Таблица $2 \times 2$

Вместо того чтобы решать задачу про таблицу $8 \times 8$, разберемся сначала с таблицей маленького размера, для которой все возможные варианты перекрашивания можно перебрать вручную. Наименьшая таблица,

К задачам в статье даны решения, но стоит самостоятельно подумать над задачей перед тем, как читать ее решение, – это принесет больше пользы. Также в статье даны упражнения, они зачастую проще задач, их тоже стоит решать, это может помочь разобраться с последующим материалом. Ответы и указания к упражнениям даны в конце номера.

Рис. 2

Видно, что все заполнения разбились на две группы (две компоненты связности графа): заполнения одной группы нельзя получить из заполнений другой. Что общего у заполнений каждой группы? Чем отличаются заполнения разных групп? Можно заметить, что в заполнениях одной группы четное количество плюсов, а в заполнениях другой – нечетное. Это можно доказать и не перебирая все варианты заполнений. Действительно, каждым ходом мы меняем два знака, т.е. либо 2 плюса меняем на 2 минуса, либо 2 минуса меняем на 2 плюса, либо количество плюсов и минусов не меняется. Значит, количество плюсов при переключениях рядов сохраняет свою четность.

Упражнение 1. На столе стоят 5 стаканов донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые 2 стакана. Можно ли, повто-

40

КВАНТ 2017/№3

ряя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

Четность количества плюсов

С таблицами $2 \times 2$ полностью разобрались. Аналогичные соображения помогут в решении задачи 1. Действительно, и в этом случае четность количества плюсов во всей таблице не будет меняться. Докажем это. Пусть в каком-то ряду x плюсов, тогда после его переключения в этом ряду станет 8 – x плюсов, а во всей остальной таблице плюсы останутся на месте. Но числа x и 8 – x одной четности. Значит, четность количества плюсов во всей таблице не поменяется – она является инвариантом. (Инвариантом называют свойство, которое не меняется при заданных преобразованиях.) Итак, сначала в таблице было 64 плюса, значит, их количество всегда будет четным и не сможет стать равным 63. Задача 1 решена.

ных клетках – плюсы. Можно ли с помощью переключений рядов добиться того, чтобы все знаки стали плюсами? Работает ли для них решение, аналогичное решению первой задачи? Нет: в задаче 2 каждый раз меняется 3 знака, значит, четность количества плюсов каждый раз меняется и может оказаться любой. В задаче 3 четность количества плюсов действительно является инвариантом, но это не дает противоречия – в начальном и конечном положениях их четность одинаковая. Как же решать задачу 2? Посмотрим на начальное и конечное положения (рис.3). Предположим, что из одного можно получить другое.

Рис. 3

Упражнения

2. На столе стоят 15 стаканов донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любое четное количество стаканов. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно? 3. Из таблицы А переключениями рядов получили таблицу Б. Докажите, что из таблицы Б переключениями рядов можно получить таблицу А. 4. Таблицу $8 \times 8$ заполнили плюсами и минусами, после чего сделали несколько переключений рядов. а) Может ли оказаться, что конечное заполнение таблицы знаками отличается от начального ровно в одной клетке? б) Могут ли конечное и начальное заполнения отличаться во всех клетках? в) Можно ли из заполнения одними плюсами получить «шахматную раскраску», т.е. такое заполнение, в котором любые два соседних по стороне знака различны?

Рассмотрим еще две задачи, похожие на первую. Задача 2. В таблице $3 \times 3$ в одной угловой клетке стоит минус, а в остальных стоят плюсы. Можно ли с помощью переключений рядов добиться того, чтобы все знаки стали плюсами? Задача 3. В таблице $8 \times 8$ в четырех угловых клетках стоят минусы, в осталь-

Рассмотрим левую верхнюю клетку. В ней был минус, а должен оказаться плюс. Значит, ее надо поменять нечетное количество раз. Знак меняется, когда переключается один из двух рядов, на пересечении которых он находится, поэтому один из рядов должен быть изменен нечетное количество раз, а другой – четное. Благодаря симметричности ситуации можно считать, что нечетное количество раз переключали строку, а четное количество раз – столбец (рис.4,а).

Рис. 4

Рассмотрим теперь средний знак в верхнем ряду. Он был плюсом и должен им и остаться. Значит, его надо поменять четное количество раз. Но первая строка меняется нечетное количество раз, а значит, второй столбец – тоже нечетное количество раз. Рассуждая аналогично, но рассмотрев теперь среднюю клетку первого столбца, можно сделать вывод, что вторая строка изменяется четное количество раз (рис.4,б).

41

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Но тогда средний столбец и средняя строка изменятся в совокупности нечетное количество раз, значит, центральный знак таблицы поменяется нечетное количество раз и станет минусом, а не плюсом (рис.4,в). Получили противоречие – из одного положения нельзя получить другое переключениями рядов. Задача 2 решена. Заметим, что для получения противоречия нам достаточно было рассмотреть 4 знака, образующих квадрат $2 \times 2$, а знаки в остальных клетках для решения были не важны. Вспомним, что при переключениях рядов в квадрате $2 \times 2$ четность количества плюсов в нем не меняется, потому что каждый раз меняется по 2 знака. Но это верно и для квадрата $2 \times 2$, выделенного внутри большего квадрата! Соответственно, решение задачи 2 можно изложить короче, рассмотрев квадрат $2 \times 2$ (см. рис.4,в) и заметив, что четность количества плюсов в нем является инвариантом.

Упражнение 5. Убедитесь в том, что задача 3 решается аналогично.

Некоторые задачи решаются с помощью такого же, казалось бы, незамысловатого инварианта, как в задачах 2 и 3 (четность количества плюсов), но догадаться, для какой именно области (в нашем случае это был некоторый квадрат $2 \times 2 )$ такой инвариант работает, бывает непросто. Такие задачи можно найти в статье Ю.Ионина, Л.Курляндчика «Поиск инварианта» в «Кванте» №2 за 1976 год, смотрите также дополнительные задачи 2 и 3 в конце этой статьи.

Упражнения

6. В таблице $8 \times 8$ изначально все знаки были плюсами. Затем сделали несколько переключений рядов. Сколько плюсов может оказаться на главной диагонали после нечетного количества операций? 7. В таблице $8 \times 8$ изначально все знаки были плюсами. Затем сделали несколько переключений рядов, после чего часть знаков скрыли. а) Некоторые знаки известны (рис.5,а). Найдите знаки, отмеченные знаками вопроса. б) Аналогичный вопрос для таблицы на рисунке 5,б. в) Некоторые знаки известны (рис.5,в). Можно ли по этой информации выяснить, четное или нечетное количество операций было сделано? г) Некоторые знаки известны (рис.5,г). Найдите знак, отмеченный знаком вопроса.

КРУЖОК

Рис. 5

Количество действий

Как мы уже выяснили, знак в клетке поменяется, только если операций, содержащих эту клетку, было сделано нечетное количество. Отсюда следует, во-первых, что порядок операций не влияет на результат. Во-вторых, имеет значение только четность количества таких операций, т.е. результат не поменяется, например, если менять ряд не 13 раз, а 1 раз. Значит, можно считать, что каждый ряд можно либо вообще не переключать, либо переключить один раз, а переключать его большее количество раз бессмысленно. Получается, что если какое-то заполнение таблицы $n \times n$ возможно получить из другого, то это можно сделать не более чем за 2n операций (так как всего рядов 2n). Но верна и более сильная оценка. Задача 4 (А.Канель-Белов, XXXIII Турнир городов, 2012 г.). В клетках таблицы $n \times n$ стоят плюсы и минусы. За один ход разрешается в произвольной строке или в произвольном столбце поменять все знаки на противоположные. Известно, что из начальной расстановки можно получить такую, при которой во всех ячейках стоят плюсы. Докажите, что этого можно добиться не более чем за n ходов. Мы уже показали, что всегда можно уложиться в 2n ходов. Но когда нам может понадобиться ровно 2n ходов? Когда мы переключили каждый ряд по одному разу. Но тогда каждый знак поменяется 2 раза, ведь менялись его строчка и его столбец. А значит, заполнение таблицы останется прежним, поэтому его можно было получить быстрее – не делая ни одного хода! Таким

42

КВАНТ 2017/№3

образом, мы доказали, что 2n ходов делать излишне. Идем дальше. Когда может понадобиться ровно 2n – 1 ходов? Когда переключали все ряды, кроме одного. Тогда знаки этого ряда поменяются по 1 разу, а остальные знаки – по 2 раза. Опять же, такое заполнение можно было получить быстрее – достаточно переключить только один ряд, который мы не переключали. Но то же можно сделать и в других случаях! Предположим, что мы переключили какие-то x рядов. Если переключать не эти ряды, а все остальные, то ходов станет 2n – x, а результат не поменяется (если знак менялся 2 раза, то теперь не будет меняться; если не менялся, то он будет меняться 2 раза; если знак менялся 1 раз, то он и сейчас поменяется 1 раз). Соответственно, если ходов было больше n, то после такой «инверсии» наших действий мы получим тот же результат меньше чем за n действий. Задача 4 решена.

Упражнение 8. Можно ли усилить оценку в задаче 4? Иными словами, всегда ли желаемого можно добиться не более чем за n – 1 ходов?

Критерий реализуемости

Вернемся к вопросу, какие заполнения из каких можно получить. Будем называть заполнение реализуемым, если его можно получить с помощью переключений рядов из заполнения, в котором все знаки – плюсы. При решении задачи 2 мы уже выяснили, что если в заполнении есть квадрат $2 \times 2$, в котором нечетное количество плюсов, то оно не реализуемое. Вместо квадрата $2 \times 2$ можно рассматривать любые 4 клетки, являющиеся вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам таблицы (пример таких четырех клеток – на рисунке 5,а). В таких четырех клетках четность количества плюсов также не меняется, так что если изначально они все были плюсами, то среди них всегда будет четное количество плюсов. Значит, если найдутся такие 4 клетки, в которых стоит нечетное количество плюсов, то заполнение не реализуемое. Но если они не найдутся, значит ли это, что оно реализуемое? Да, оказывается, что верен следующий критерий реализумости. Равносильны та-

кие три свойства заполнения (т.е. если одно из этих свойств выполняется, то выполняются и два других): 1) оно реализуемо; 2) в любом квадрате $2 \times 2$ четное количество плюсов; 3) в любых 4 клетках, являющихся вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам таблицы, четное количество плюсов. Второе свойство прямо следует из третьего, ведь квадрат $2 \times 2$ – частный случай такого прямоугольника. Как из первого свойства следуют второе и третье, мы уже показали. Для завершения доказательства равносильности трех свойств покажем, как из второго следует первое. Рассмотрим произвольное заполнение, для которого выполняется второе свойство: в нем в любом квадрате $2 \times 2$ четное количество плюсов. Докажем, что оно реализуемо, т.е. покажем, что переключениями рядов его можно привести к ситуации, когда все знаки – плюсы. Сделаем такие пере- Рис. 6 ключения рядов, чтобы все знаки первого столбца и первой строки стали плюсами. Смотрите пример на рисунке 6.

Упражнение 9. Докажите, что такие переключения всегда можно сделать.

Теперь докажем, что после таких переключений и все остальные знаки таблицы стали плюсами. В любом квадрате $2 \times 2$ по-прежнему четное количество плюсов, так как переключения рядов не нарушают этого свойства. Теперь рассмотрим левый верхний квадрат $2 \times 2$ (рис.7,а). Три его знака – плюсы,

Рис. 7

значит и четвертый – плюс. Рассмотрим следующий квадрат $2 \times 2$, сдвинувшись на клетку вправо (рис.7,б), для него ситуация аналогична. Рассматривая последовательно все такие квадраты, получим, что все знаки таблицы – плюсы.

43

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Упражнения

10. Равносильность второго и третьего свойств можно доказать, не используя ни первое свойство, ни переключения знаков вообще. Попробуйте это сделать. 11. В одной из строк реализуемого заполнения таблицы $8 \times 8$ стоит x плюсов. Докажите, что в каждой строке этого заполнения x или 8 – x плюсов. 12. Рассмотрим некоторое реализуемое заполнение таблицы $8 \times 8$. Пусть в одной из его строк x минусов, а в одном из столбцов – y минусов, причем на их пересечении стоит плюс. Сколько всего минусов в этом заполнении? 13. Существует ли реализуемое заполнение таблицы $8 \times 8$, в котором ровно 6 плюсов?

Количество реализуемых заполнений

Заполним первую строку и первый столбец таблицы $m \times n$ произвольным образом. Тогда: во-первых, оставшиеся клетки можно заполнить так, чтобы заполнение было реализуемым; во-вторых, это можно сделать единственным образом.

Упражнение 14. Докажите эти утверждения. Указание. Используйте критерий реализуемости и результат упражнения 9.

Таким образом, количество способов заполнить таблицу плюсами и минусами так, чтобы заполнение было реализуемым, равно количеству способов заполнить произвольным образом ее первую строку и первый столбец. В первой строке и первом столбце таблицы $m \times n$ в совокупности m + n – 1 клеток, значит, реализуемых заполнений такой таблицы существует $2 m + n - 1$.

Графы заполнений

В разделе про таблицу $2 \times 2$ мы строили граф, в котором ребром соединялись вершины, соответствующие таким заполнениям таблицы, которые можно получить друг из друга одним переключением ряда. Можно рассмотреть такой же граф, но для таблицы $m \times n$ (в нем $2^{mn}$ вершин). Каждое заполнение принадлежит какойто компоненте связности этого графа. Два заполнения относятся к одной компоненте, если одно можно получить из другого переключениями рядов.

КРУЖОК

Упражнения

15. Сколько заполнений в компоненте связности, в которой находится заполнение, где все знаки – плюсы? 16. Сколько в этом графе компонент связности и сколько в каждой из них заполнений? Указание. Любое заполнение можно привести переключениями рядов к заполнению, в котором в первой строке и первом столбце все знаки – плюсы. При этом не поменяется четность количества плюсов в любых 4 клетках, являющихся вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам таблицы.

Нахождение количества реализуемых заполнений составляет пункт б) задачи М665 «Задачника «Кванта». Ее решения смотрите в «Кванте» №9 за 1981 год.

Вспомогательные переключения знаков

В условии следующей задачи ничего не говорится об операциях, меняющих знаки, тем не менее можно рассмотреть такие операции, и тогда задачу поможет решить критерий реализуемости. Задача 5 (Е.Бакаев, XXXIV Турнир городов, 2012 г., М2289). В некоторых клетках квадрата $11 \times 11$ стоят плюсы, причем всего плюсов четное количество. В каждом квадратике $2 \times 2$ тоже четное число плюсов. Докажите, что четно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата. Для таблицы из этой задачи выполняется второе свойство, а значит, ее заполнение реализуемо. Тогда можно рассмотреть последовательность переключений рядов, которые позволяют получить данное заполнение из заполнения одними плюсами. Рассмотрим количество плюсов во всей таблице. Каждое переключение ряда меняет 11 знаков, а значит, меняет четность количества плюсов во всей таблице. Раз по условию плюсов во всей таблице четное количество, а изначально число плюсов $11^{2} = 121$ – нечетно, то операций было нечетное количество. Каждая операция меняет один знак на диагонали и, тем самым, меняет четность числа плюсов на диагонали. Раз плюсов изначально было 11, а операций было нечетное количество, то на диагонали будет четное количество плюсов.

Упражнение 17. Решите задачу 5 по-другому, не рассматривая операции смены знаков.

44

КВАНТ 2017/№3

Попробуйте решить с помощью вспомогательного переключения рядов следующую задачу.

Упражнение 18 (В.Произволов, XXIII Всесоюзная олимпиада, М1181). На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что на черных полях расположено четное число ладей.

Стертые знаки

Как мы уже выяснили, по m + n – 1 знакам таблицы можно восстановить остальные, если известно, что заполнение реализуемо. Например, это можно сделать по знакам одной строки и одного столбца. Но m + n – 1 знаков, по которым можно восстановить реализуемое заполнение, могут быть расположены иначе, в чем можно убедиться, решив упражнение 19.

Упражнения

19. Докажите, что все неизвестные знаки заполнения на рисунке 5,г восстанавливаются однозначно. 20. По любым ли 50 знакам таблицы $8 \times 8$ заполнение восстанавливается однозначно?

Итак, при некоторых расположениях m + n – 1 известных знаков по ним можно однозначно восстановить остальные знаки. Но верно ли, что это наименьшее необходимое количество знаков? Да, верно, и именно об этом была задача 15 Конкурса имени А.П.Савина (см. «Квант» №1 за 2017 г.). Задача 6. Петя нарисовал таблицу $10 \times 10$ и заполнил все ее клетки плюсами. Затем он сделал несколько действий по следующему правилу. Каждым действием он наугад выбирал ряд (строку или столбец) и менял каждый из 10 его знаков на противоположный (плюс на минус, минус на плюс). Когда после этого Петя вышел, хулиган Вася часть знаков стер – осталось только N знаков. Для какого наименьшего N может оказаться, что получившуюся у Пети таблицу можно однозначно восстановить по оставшимся данным? Приведем решение более общего случая – для таблицы $m \times n$. Ответ: m + n – 1 (соответственно, для таблицы $10 \times 10$ ответ: 19). Итак, осталось доказать, что если известно меньше m + n – 1 знаков, то заполнение нельзя однозначно восстановить.

Рассмотрим граф, в котором вершины соответствуют рядам (всего m + n вершин) и две вершины соединены ребром в том и только в том случае, когда на пересечении этих двух рядов стоит известный знак. В этом графе m + n вершин, а ребер столько же, сколько известных знаков, значит, их меньше m + n – 1. Из такого соотношения количества вершин и ребер можно сделать вывод, что граф несвязный. Рассмотрим одну из компонент связности, назовем все ее вершины (и все соответствующие им ряды) красными, а все остальные вершины (и их ряды) – синими. Предположим, что по известным знакам получилось однозначно восстановить все заполнение. Рассмотрим его. Последовательно переключим знаки в каждом из красных рядов. Каждый известный знак стоит либо на пересечении двух синих рядов, либо двух красных, значит, при такой последовательности действий каждый известный знак либо не поменяется вообще, либо поменяется 2 раза, в любом случае он останется прежним. При этом заполнение не осталось прежним, так как каждый знак, стоящий на пересечении красного и синего рядов, поменялся. Таким образом, мы получили другое заполнение, в котором известные знаки точно такие же. Значит, заполнение нельзя однозначно восстановить по известным знакам. Разным задачам с такой идеей решения (рассмотрение вспомогательного графа и использование его связности или несвязности) посвящена статья П.Кожевникова, А.Шаповалова «Свяжитесь с графом» в «Кванте» №4 за 2014 год. Рассмотрим теперь похожую задачу М112 «Задачника «Кванта». Задача 7. В таблице размером $m \times n$ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стерли, но по оставшимся можно восстановить стертые. Докажите, что осталось не менее (n + m – 1) чисел. В задаче 6 речь шла о реализуемом заполнении, а значит, в нем во всех таких же четверках клеток, стоящих на пересечении 2 строк и 2 столбцов, количество плюсов четно. Здесь же не идет речь о перекрашивани-

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ях или о плюсах и минусах, но снова накладывается условие на все такие четверки клеток. Попробуем решить эту задачу аналогично. Рассмотрим такой же несвязный граф. Снова назовем вершины одной компоненты красными, а все остальные синими. В предыдущей задаче речь шла о переключениах рядов, здесь же ни о каких операциях в условии не сказано, но мы сами можем ввести некоторые вспомогательные операции с рядами. Что мы хотим от этих операций? Хотим, чтобы числа в клетках на пересечении одноцветных рядов не поменялись, а на пересечении разноцветных – поменялись. При этом операция не должна нарушать то свойство, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Например, подойдет такая операция: для столбца – все числа в столбце увеличиваем на 1, а для строки – все числа в строке уменьшаем на 1. Несложно проверить, что эта операция удовлетворяет необходимым требованиям. Следовательно, проведя по одной такой операции с каждым красным рядом, получим таблицу, в которой известные знаки те же, а некоторые неизвестные поменялись. Значит, таблицу нельзя восстановить однозначно, зная менее n + m – 1 чисел. Эта задача – о единственности решения системы линейных уравнений. Другое решение этой задачи, как раз использующее линейную алгебру, приведено в «Кванте» №8 за 1972 год. Предыдущая задача – это, по сути, та же задача, но вместо привычных линейных уравнений – сравнения по модулю 2. Этому подходу (рассмотрению задач про переключение знаков с точки зрения линейной алгебры) посвящена статья В.Дорофеева, А.Спивака «Раскраски графов и линейные уравнения» в «Кванте» №4 за 2011 год. Рекомендуем ее для дальнейшего изучения вопроса.

Дополнительные задачи

1. 30 пятаков лежат гербом вверх. Разрешено за раз перевернуть любые 29 из них. Можно ли добиться, чтобы все пятаки лежали гербом вниз? 2 (IX Турнир городов, 1987 г.). Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными

КРУЖОК

его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников черный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми? 3 (Е.Бакаев, Турнир матбоев памяти А.П.Савина, 2015 г.). Дан клетчатый квадрат: а) $5 \times 5$; б) $8 \times 8$. Одной операцией можно выбрать любой квадрат $3 \times 3$, или любую строку, или любой столбец и поменять цвета всех клеток этой области на противоположные. С помощью таких операций из полностью белого квадрата получили квадрат, в котором ровно одна черная клетка. Где может оказаться эта клетка? Укажите все варианты. 4. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы $10 \times 10$ в черный и белый цвета так, чтобы в любом квадрате $3 \times 3$ было четное число черных клеток? 5 (А.Зелевинский, Московская олимпиада, 1970 г., М32). Во всех клетках таблицы размером $100 \times 100$ стоят плюсы. Разрешено одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или во всех клетках одного столбца. Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно 1970 минусов? 6 (В.Алексеев, Московская олимпиада, 2007 г.). В таблице размером $n \times n$ клеток две противоположные угловые клетки черные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в черный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными все клетки таблицы? 7 (А.Быстриков, XXV Турнир городов, 2003 г.). В таблице $m \times n$ расставлены плюсы и минусы. За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат $4 \times 4$, который тоже не приводится.

ОЛИМПИАДЫ

Региональный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Региональный этап XLIII Всероссийской олимпиады поводился одновременно во всех регионах нашей страны 30 и 31 января 2017 года.

Задачи олимпиады

9 класс

1. В произведении трех натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016? Н.Агаханов, И.Богданов

2. Вася задумал 8 клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску 8 ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, четно (т.е. 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть? И.Богданов

3. См. задачу М2457 «Задачника «Кванта».

4. См. задачу М2455 «Задачника «Кванта».

5. Олег нарисовал пустую таблицу $50 \times 50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около ее строки и ее столбца («таблица сложения»). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами? О.Подлипский

6. В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если $\angle$ MAC $= 30 ^\circ$, то AK = = BC. Б.Обухов

7. См. задачу М2456 «Задачника «Кванта».

8. Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечетными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трех карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, делящимся на $2^{10000}$. Докажите, что число, делящееся на $2^{10000}$, было на одной из карточек уже через день после начала. И.Богданов

10 класс

1. В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз? Н.Агаханов, И.Богданов

2. Окружность с центром в точке I вписана в четырехугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на окружности $\omega$, описанной около треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности $\omega$. А.Кузнецов

3. Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел $a_{1}, a_{2}$, …

51

ОЛИМПИАДЫ

… $, a_{2017}$ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) $a_{1}$ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – $a_{2}$ камней, …, наконец, в оставшуюся коробку – $a_{2017}$ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов? И.Богданов

4. Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что задумал многочлен P ( x ) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит k целых чисел $n_{1}, n_{2}$, … $, n_{k}$ и отдельно сообщит значение выражения $P ( n_{1} ) P ( n_{2} )$ … $P ( n_{k} )$. По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным? Г.Жуков

5. Олег нарисовал пустую таблицу $50 \times 50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около ее строки и ее столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами? О.Подлипский

6. См. задачу М2454 «Задачника «Кванта».

7. См. задачу 7 для 9 класса.

8. Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что AC || DE. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности $\omega$ таковы, что DP P EQ. Лучи QA и PC пересекают пря- мую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что $\angle$ XBY $+ \angle$ PBQ $= 180 ^\circ$. А.Кузнецов

11 класс

1. В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз? Н.Агаханов, И.Богданов

2. См. задачу 2 для 9 класса.

3. См. задачу 4 для 10 класса.

4. Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр треугольника ABC. Окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на $\omega$. А.Акопян

5. Олег нарисовал пустую таблицу $50 \times 50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около ее строки и ее столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами? О.Подлипский

6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность $\Gamma c$ центром в точке O. Его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P, причем точка O лежит внутри треугольника BPC. На отрезке BO выбрана точка H так, что $\angle$ BHP $= 90 ^\circ$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника PHD, вторично пересекает отрезок PC в точке Q. Докажите, что AP = CQ. А.Кузнецов

7. На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые

55

ОЛИМПИАДЫ

ся. На каком этаже это произошло? Зависимость температуры двигателя от времени T ( t ) изображена на рисунке 8. Известно,

Рис. 8

что на двигатель всегда подается одно и то же напряжение; трением в подшипниках двигателя и лебедки пренебречь. Принять g = 10 м $с^{2}$, высоту одного этажа h = = 3 м, теплоемкость электродвигателя C = 4,5 кДж $^\circ$ С. И.Юдин

11 класс

Задача 1. Сообщающиеся сосуды В двух одинаковых сообщающихся вертикальных цилиндрических сосудах находит- начинает поступать жидкость плотностью $\rho$, причем скорость прироста ее уровня над поршнем составляет v = 0,2 мм/с. 1) С какой скоростью $v_{п}$ движется поверхность жидкости в правом сосуде в начале процесса? 2) С какой скоростью $v_{л}$ и в каком направлении (вверх или вниз) движется поверхность жидкости над поршнем в начале процесса? 3) На какой высоте h от дна сосуда будет находиться поверхность жидкости над поршнем: а) через 600 с; б) через 1100 с? Температуру в сосудах можно считать постоянной. Жидкость из сосудов не выливается. А.Аполонский

Задача 2. Стеклоподъемники При включении электродвигателя стеклоподъемника одной двери автомобиля стекло поднимается из нижнего в верхнее положение за время $t_{1}$. Если включить одновременно два стеклоподъемника, то стекла поднимутся за время $t_{2} ( t_{2} > t_{1} ).$ 1) За какое время $t_{3}$ поднимутся три стекла автомобиля при одновременной работе трех стеклоподъемников? 2) За какое время $t_{4}$ поднимутся все четыре стекла автомобиля при одновременной работе всех четырех стеклоподъемников? Примечание. Считайте, что сила, необходимая для подъема стекла, не зависит от скорости подъема, а сила тяги мотора стек-

Рис. 9

ся жидкость плотностью $\rho$ (рис.9). Первоначальный уровень жидкости в сосудах l = 10 см от дна. Сосуды соединены через отверстия в их дне маленькой трубочкой пренебрежимо малого объема. В левом сосуде на высоте 2l от дна имеется легкий поршень, который может свободно перемещаться без трения о стенки. Под поршнем находится воздух при атмосферном давлении $p_{0} = 2 \rho gl$. С момента времени t = 0 в левый сосуд в пространство над поршнем

«Черный ящик»