Квант 2017, №5 · Страницы

3

ДЕНЬ–

СУМЕРКИ

Рис. 2

убывает, и яркость свечения тумана становится тем меньше, чем дальше от фонаря проходит линия, вдоль которой направлен взгляд наблюдателя. Если рассеяние достаточно слабое, т.е. туман не слишком густой, то вблизи источника света малых размеров яркость свечения тумана убывает обратно пропорционально величине «прицельного расстояния» взгляда наблюдателя. Если прямые лучи Солнца падают на препятствия в воздухе, то в области тени воздух рассеивает излучение, ранее рассеянное другими участками воздуха (т.е. происходит вторичное рассеяние лучей). Интенсивность свечения этого участка воздуха существенно уменьшается. Например, если смотреть вдоль области тени, созданной инверсным следом самолета, летевшего по прямой, то в воздухе виден темный луч (рис.3).

Рис. 3

–

НОЧЬ

…

Параллельные пучки света, пронизывающие воздух там, где препятствий нет, заставляют воздух светиться, и эти светящиеся области хорошо видны на фоне слабо светящегося воздуха, находящегося в тени препятствий (рис.4). Интенсивность света, рассеянного определенным количеством воздуха (например, одним молем частиц), зависит как от длины волны световых лучей, так и от угла, который составляют друг с другом направление распространения прямых лучей Солнца и направление распространения рассеянного света. Области поглощения молекул, из которых в основном состоит воздух, приходятся на диапазон ультрафиолетовых лучей, поэтому в видимом диапазоне воздух прозрачен. В молекулах воздуха, находящихся в электромагнитном поле световых лучей, происходит поляризация электрических зарядов, и при этом дипольный электрический момент молекул пропорционален напряженности электрического поля $E_{0}$ cos $\omega t$ световой волны. Атомы и молекулы массивны, а электроны внешних оболочек легкие, поэтому можно считать, что дипольный момент связан со смещением легких электронов по отношению к тяжелому остатку молекулы. Вынужденные движения электронов, имеющих заряд q и массу m, в атомах под действием внешнего переменного электрического поля $E_{0}$ cos $\omega t$ можно описывать так же, как и колебания механической системы, состоящей из груза массой m,

Рис. 4

Магия комплексных чисел

А.КАНУННИКОВ

ОКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ НАПИСАНО невероятное число научно-популярных статей и учебных пособий, были публикации [4, 5, 6] и в журнале «Квант». В чем секрет такой популярности и зачем написана еще одна статья? Главный аспект – научный: комплексные числа вездесущи, они прочно вошли в самые разные области математики и физики. Мощь аппарата комплексных чисел, красоту и богатство их применений может оценить уже школьник на примере задач элементарной математики. Также полезно и увлекательно изучать историю вопроса: как комплексные числа появились и развивались, как даже великие умы в них поначалу не верили, но со временем привыкали, восторгаясь их удивительной силой. Очень часто выводы, к которым приходили ученые, опережали строгие доказательства, иногда – на века… От этого комплексные числа только подтверждали свою репутацию таинственных и мистических, но в то же время это ускоряло построение математического фундамента и развитие новых научных теорий. Главную цель статьи раскрывает ее название. Мы хотим поразить вас, уважаемый читатель, показав несколько красивых сюжетов о комплексных числах, имеющих вместе с тем и важное научное значение. Чем меньше вы знаете о комплексных числах, тем удивительнее будут для вас результаты, тем сильнее будет эффект неожиданности. Представьте, что вы пришли на представление иллюзиониста, и усаживайтесь поудобнее – кролики, спрятанные в шляпах, с нетерпением ждут своего появления и ваших аплодисментов! На первых порах достаточно иметь самые начальные представления о комплексных числах:

i это «числа» (выражения, записи) вида a + bi, где $a, b \in^{R}, i$ – так называемая мнимая единица, удовлетворяющая соотношению $i^{2} = - 1 ; i$ число a + bi можно считать точкой ( a, b ) на координатной плоскости $R^{2} ; i$ комплексные числа складываются и умножаются по обычным правилам, при раскрытии скобок ( a + bi )( c + di ) пользуемся определением числа i и получаем $ac - bd + ( ad + bc ) i ; i$ для числа z = a + bi определены: действительная часть Re z = a, мнимая часть Im z = b, сопряженное число

$z = a - bi$ и модуль $z = a^{2} + b^{2}$ (рис. 1).

Рис. 1

Более подробно и систематично мы расскажем о комплексных числах в этом же номере журнала (с.28).

§1. Сумма квадратов раскладывается! С далеко идущими последствиями…

Когда я впервые увидел формулы сокращенного умножения, мне бросилось в глаза, что они все разбиты на пары… все, кроме одной:

22

КВАНТ 2017/№5

Рулетка и ребро жесткости

С.ДВОРЯНИНОВ

ПРЕДСТАВИМ, ЧТО ВЫ ЗАХОТЕЛИ ЗАСТЕК- лить свой балкон. Звоните в фирму. Чтобы оценить необходимые для выполнения этой работы денежные затраты, вас просят сообщить длину, ширину и высоту балкона. Как их измерить? Если бы измеряемые отрезки были короткими, то вполне сгодилась бы обычная школьная линейка. А длина балкона – больше трех метров. Это сколько же раз придется прикладывать к перилами линейку длиной 25 сантиметров и складывать 25 + 25 + 25 + …? Со счета можно сбиться. Нет, линейка явно не годится. Есть еще один инструмент для измерения расстояний – портняжный метр. Да, его можно использовать. Но все-таки для каждого дела нужны свои инструменты. Ведь мерным метром для чистых тканей не гоже размечать на земле клумбу для цветов. В столярном, слесарном и строительном деле для измерений используют рулетку. У этого слова есть по крайней мере два распространенных значения. Рулетка – это азартная игра. Название происходит от французского roulette, что означает маленькое колесо. В этой игре действительно крутится колесо, по которому катается шарик. В русском языке о колесе напоминает и слово рулон, например рулон бумаги. Нас же сейчас интересует рулетка как инструмент для измерения длины. Она должна быть в каждом доме. Мало ли что придется измерить! А рулетка занимает совсем мало места. Иногда брелок для ключей совмещают с рулеткой, чтобы этот полезный инструмент всегда был под рукой. Рулетка это тот же портняжный метр, только сделанный из прочного материала – из стальной или полимерной ленты с делениями. С одного края ленты – деления в миллиметрах, с другого – в дюймах.

Рулетка как измерительная лента

Для домашних нужд достаточно рулетки длиной 3–5 метров или даже 1 метр. Лента намотана на катушку, находящуюся в корпусе рулетки. Вытягивают ленту наружу за крючок на ее конце. Внутрь ленту сматывают с помощью рукоятки, укрепленной на корпусе. Если же лента не длинная, то и рукоятки никакой нет – лента сматывается внутрь автоматически при помощи находящейся внутри возвратной пружины. Рулетка с пружиной обычно имеет стопор, который исключает самопроизвольное сматывание рулетки. Некоторые современные рулетки имеют даже жидкокристаллические дисплеи, отображающие показания измерений. Использовать рулетку следует с осторожностью. У новой рулетки пружина сматывает ленту внутрь очень быстро, почти мгновенно. А края ленты тонкие и жесткие и могут поранить руку. Интересно следующее. Если присмотреться к рулетке, то можно заметить, что ее стальная лента не плоская, а имеет форму желоба. Для чего же мерной ленте рулетки придают такую форму? Однажды Колумб рассказывал о том, как он открывал Америку. Согласно легенде, один из слушающих сказал: «Что

23

ФИЗИКА

–

«Колумб и яйцо». Иоганн Гайер, 1847 может быть проще, чем открыть новую землю?» В ответ Колумб предложил ему простую задачу: поставить куриное яйцо вертикально. Когда никто сделать этого не смог, Колумб взял яйцо, разбил его с одного конца и поставил на стол. Это действительно просто. Раздосадованные наблюдатели заявили, что так сделать могли бы и они. «Вы могли бы, а я сделал это на самом деле», – заключил Колумб. В наши дни крылатое выражение колумбово яйцо означает простой, но неожи-

ИНЖЕНЕРАМ

данный и парадоксальный выход из затруднительного положения. Например, возьмем полоску бумаги. Можно ли ее поставить на стол вертикально? Это кажется невозможным? Нет, возможно! Достаточно лишь согнуть ее вдоль всей длины в форме желоба. Линия сгиба становится так называемым ребром жесткости. Школьные учебники геометрии отмечают, что треугольник – это жесткая фигура, а квадрат, прямоугольник, параллелограмм – нет. Если к квадрату добавить диагональ, то получится жесткая фигура. В технике конструктивные элементы, которые придают конструкции жесткость, называют ребрами жесткости. Если лист бумаги свернуть в трубку, то эта трубка окажется достаточно прочной и сможет выдержать немалую нагрузку. Свернутая в желоб полоска бумаги тоже становится жесткой. Ею можно размахивать в воздухе, подобно дирижерской палочке. Так и в рулетке вытянутый кусок ленты, имеющий форму желоба, оказывается жестким и не сворачивается в рулон. Это позволяет направлять ленту даже вертикально вверх.

ФИЗИКА – ИНЖЕНЕРАМ

Геомолоток и тайна полезного удара

А.ФРИДРИХСОН

ЧАСТО СТАРШЕКЛАССНИКИ, С ИЗВЕСТ- ными способностями к физике, отказываются от научной карьеры, говоря: «Какой смысл идти в науку, где все главное уже открыто? Времена Ньютона, Гука и даже Эйнштейна прошли, а переписывать чужие диссертации за мизерную зарплату не интересно». О, как вы ошибаетесь, молодые и талантливые. Не в зарплате – в открытости всего главного. Уверяю вас, что нераскрытых тайн, непонятых явлений, неосмысленных парадоксов даже в классической физике на ваш век хватит. Более того, физика такая наука, знание которой может влиять на все сферы нашей жизни – от малого бизнеса до большой политики, от нравственных законов внутри нас до звезд над нами. Но поскольку в этой науке не приняты бездоказательные утверждения, попытаемся обосновать вышесказанное нижеприведенным. Оказывается, такое эмоциональное понятие, как удар, в физике имеет вполне рациональное описание. Если не применять заумных формул, то удар – это быстрое (высокоскоростное – по-научному) приложение силы к телу или системе тел. Впрочем, высокая

24

КВАНТ 2017/№5

скорость – понятие относительное. Поэтому, говоря строже, ударом можно назвать такое приложение силы, при котором время воздействия соизмеримо или меньше периода собственных колебаний тела или системы тел. Любопытно, что соразмерность – причина некоторых малоизученных, а иногда и парадоксальных «ударных» явлений. Можно начать экскурс с моста, который разрушила рота солдат, ритмично печатая шаг с частотой собственных колебаний мостовой конструкции. Впрочем, резонанс, т.е. совпадение частоты внешнего воздействия с собственной частотой колебаний тела или системы тел, явление достаточно изученное. А вот пример совпадения времени воздействия с периодом собственных колебаний, который мы условно назовем ударом геологического молотка по образцу породы, не так прост, как кажется, и являет собой пример весьма полезного (не только для геологии) удара о твердое тело. Опытный геолог колет образец на двечасти навесу, как бы смягчая удар. Даже не как бы, а именно смягчая – что неопытному наблюдателю покажется странным. И напрасно. Даже не разбираясь в тонкостях теории упругости, или физики твердого тела, опытный геолог знает: чтобы расколоть образец аккуратно пополам, надо придать молотку достаточно высокую, но постоянную скорость так, чтобы ускорение в момент удара было минимальным. В идеале – равным нулю. Парадокс? Кажущийся. Потому

что квазинулевое ускорение в момент контакта геомолотка с породой дает полезное выполнение закона сохранения энергии, когда вся кинетическая энергия молотка переходит во внутреннюю энергии образца. Причем не в тепловую, а в упругую энергию. Ибо при свободном (без ускорения) контакте с породой молоток взаимодействует с образцом ровно то время, которое определяется собственными упругими свойствами. А значит, время взаимодействия молотка с породой определяется не внешним усилием геолога, а собственным периодом колебаний исследуемого им образца. При таких параметрах взаимодействия энергия геомолотка, за счет так называемой ударной вязкости, максимально полно перейдет в энергию упругой деформации образца. А вот ударная волна в породе, которая лишь раскрошит образец (за счет минимального ускорения), будет минимальной. Как же происходит сам процесс раскола пополам? Как правило, легко. В результате деформации сжатия по направлению удара образец одновременно расширяется в перпендикулярной плоскости. И когда эта поперечная деформация превысит критическую деформацию данной горной породы на растяжение (лучше сказать – на разрыв), образец расколется по самой слабой из вертикальных плоскостей образца, т.е. пополам, чтобы показать свою текстуру, состав и много иных геологических подробностей образца. Что и требовалось умелому геологу. Причем за счет длинной ручки своего молотка геолог может не только дотянуться до нужного куска породы в полевых условиях, но и регулировать «аналитический удар» таким образом, чтобы раскалывать на две части самые разные образцы как по форме, так и по составу. Более того, зная приблизительную скорость молотка, при которой образец исследуемой породы расколется пополам, можно предварительно определить так называемые критические напряжения на разрыв, а это весьма важная характеристика породы. Кстати сказать, эту характеристику используют коллеги геологов – горняки. В карьерах, которые

25

ФИЗИКА

–

разрабатываются взрывом, заряд во взрывных скважинах, а также расстояние между взрывными скважинами рассчитываются, исходя из прочностных характеристик породы. Внимательный читатель, посмотрев на приведенную здесь таблицу, наверняка обратит внимание на две подробности: 1) временное сопротивление разрыву (растяжению) на порядок меньше, чем на сжатие и даже на изгиб; 2) изученность пород по этому параметру (сопротивление разрыву) заметно отстает, что, очевидно, связано с более трудоемким процессом исследования. В отличие от геологов, горнякам нужно взрывом расколоть породу как можно мельче, чтобы легче было грузить на автотранспорт, а в дальнейшем перерабатывать, например в щебенку. Ударная волна, порожденная как раз высоким ускорением породы при взрыве, в отличие от деликатного геоло-

ИНЖЕНЕРАМ

гического удара, крошит породу в зонах, соразмерных с диаметром взрывной скважины. Но за счет резкого падения энергии ударной волны с расстоянием на удалении уже в несколько метров от скважины порода раскалывается «по принципу геомолотка» – на ослабленных микротрещинами плоскостях, когда породу разрушают вышеописанные деформации растяжения. В этом контексте малая изученность (как видим из таблицы) пород на критические деформации растяжения не позволяет горным инженерам более точно рассчитывать энергию взрыва. Ведь для нужд горной промышленности разбитая в пыль ударной волной порода нужна гораздо меньше, чем оптимально расколотая на фрагменты. Однако что известно точно, так это обратная зависимость фрагментации от энергии взрыва (как и от механического удара): чем

26

КВАНТ 2017/№5

больше энергия, тем мельче фрагментация разрушенной породы. Однако следует заметить, что в некоторых случаях справедливо и обратное: чем мельче фрагментация до разрушения, тем большая энергия требуется для дальнейшего дробления. Ведь чем больше трещин в породе до взрыва, тем больше естественных препятствий для дробящей ударной волны. И тем большая часть энергии взрыва затратится не на дробление, а на перемещение в пределах трещин свободных кусков породы. Опытные горные инженеры учитывают и эту, в общем мало изученную, тонкость взрывного дела. В любом случае для точного расчета энергии взрыва помимо прочностных свойств породы они учитывают и ее «блочность» – средний размер куска породы между трещинами на данном участка карьера. Геофизики ту же характеристику называют «трещиноватость» и учитывают ее для расчета энергии опытного удара (обычно ударом сброшенным с определенной высоты грузом по поверхности земли). Если сейсмическая волна возбуждается с помощью взрыва, также учитывают и трещиноватость скального массива. Однако в большей степени на эффективность опытного взрыва, а главное – на меньший ущерба экологии, влияет такой близкий к геомолотку показатель, как бризантность, т.е. быстродействие взрывчатого вещества. Точно так же, как опытный геолог стремится опустить свой молоток на породу с минимальным ускорением, опытные геофизики выбирают для возбуждения сейсмических колебаний взрывчатое вещество с минимальной бризантностью – чтобы большая часть энергии взрыва уходила не в ударную волну (период которой меньше периода собственных колебаний породы), а в упругую, т.е. собственно сейсмическую волну (период которой и есть период собственных колебаний геомассива). Другими словами, чем меньше разрушение ударного воздействия, тем больше научной информации можно получить по его результатам – например, о массиве горных пород. Решаема и обратная, как говорят геофизики, задача: если известны прочностные характеристики породы, то по количеству расколотых при ударе частей можно определить исходную энергию этого самого удара. Аналогично, по размеру среднего куска породы

после взрыва (например, в карьерах известняков, песчаников или гранитов для производства важнейшей составляющей дорожного строительства – щебня) можно определить энергию самого взрыва. Закон сохранения энергии – универсален и симметричен во времени и в пространстве. Поэтому степень разрушения (а следовательно, и фрагментации) любого материала зависит от исходной энергии разрушения и наоборот. И даже в важнейшем расследовании катастрофы под Донецком можно было бы применить эту зависимость. В данном случае – зависимость энергии взрыва от среднего размера фрагментов разрушенного корпуса. Многие специалисты обратили внимание на весьма малую фрагментацию обломков на месте крушения малазийского Боинга, исходя из которой можно, хоть и приблизительно, рассчитать энергию исходного взрыва. Простейший расчет показывает, что при такой фрагментации энергия исходного взрыва окажется в пределах $10^{12}$ джоулей. Это колоссальная энергия, соразмеряемая с энергией массового взрыва на большом карьере или с энергией небольшого землетрясения с магнитудой 1. Энергия же взрыва пресловутой ракеты БУК-М (даже если бы она взорвалась не вне самолета, а внутри) минимум в сто раз меньше. Единственный энергоисточник, эквивалентный приведенным цифрам, это взрыв (мгновенная детонация) всех топливных баков Боинга при условии, что они полны. Также следует заметить, что одновременную детонацию топлива могло вызвать не столько внешнее, сколько внутреннее специально подготовленное воздействие – проще говоря, инициирующий взрыв-детонатор близ самих топливных баков. Что же стало причиной столь мощного разрушения, тысячекратно превышающего возможности ракет любого класса, вопрос уже не научного свойства. Но поставлен он надежным экспертом – законом сохранения энергии. Действенную помощь этого закона автор испытал и в своей полевой практике. Дело было на Светлогорском карьере гранитов в Карелии (карьер разрабатывал взрывом самую крепкую породу, дабы превратить ее в самую крепкую щебенку для отсыпки дорожных покрытий по всей стране). Рассчитать так называемую взрывную сетку, т.е.

27

ФИЗИКА

–

расстояние между взрывными скважинами, можно, как уже знают наши читатели, лишь зная такую характеристику скального массива, как трещиноватость. Для решения этой задачи в нашем распоряжении был сейсмометрический комплекс каротажа (для скважинных и межскважинных исследований): сейсмотприемник и источник упругих колебаний. Если первый элемент представлял из себя корпус весом несколько сот граммов, то источник колебаний весил полсотни килограммов. Но главная проблема была даже не в весе: после опускания этого агрегата в скважину и закрепления на стенках скважины сверху по нему наносился удар специальной сейсмометрической кувалдой весом заметно большим, чем геологический молоток. Удар этот посредством механических переходников транслировался на стенки скважины и таким образом создавал те самые упругие колебания, которые мы должны были улавливать сейсмоприемником в соседней скважине. По скорости их прохождения можно было судить о степени трещиноватости – чем меньше скорость, тем больше трещиноватость и наоборот. Вроде бы простая задача. Однако после трех-четырех ударов наш скважинный источник заклинивало так, что поднять эту тяжеленную металлоконструкцию на поверхность было уже большой проблемой. В результате производительность наших каротажных исследований резко упала, и встал вопрос, что делать (а кто виноват, мы уже знали, ибо сами не продумали всех технических деталей). В результате мозгового штурма было предложено применить… обычные воздушные шарики, опускаемые на шланге с воздушного ресивера нашей экспедиционной машины ГАЗ-66 в скважину – для последующего «лопания» в ее полости. Конечно, были сомнения: энергии воздуха даже под давлением 1–2 атмосферы могло быть недостаточно, чтобы «пробить», или, точнее говоря, «прозвучить» скальный массив на 10–20 метров до соседней скважины, где «прохлаждался» наш компактный сейсмоприемник в тщетном ожидании эффективной работы. Каково же было удивление неверующих в успех, когда на сейсмограмме мы получили не просто сигнал, а многократно превосходящий тот, что мы получали до того посред-

ИНЖЕНЕРАМ

ством «кувалдометра». Все дело было в энергоемкости нашего изобретенного пневмоисточника. Когда автомобильные атмосферы распирали сжатый стенками скважины резиновый шарик, окружающий массив гранитов воспринимал эту энергию «медленно, но верно», по сути без потерь – деформируясь микрон за микроном несколько секунд. Когда же замечательное резиновое изделие лопалось, возникал «обратный» динамический удар. Каковой возникает, например, при отбрасывании отработанных ступеней ракеты или при разгрузке очага землетрясения. Мы намеренно приводим такие макропримеры, потому что наш гранитный эксперимент 1984 года показал: этот принцип работает на всех масштабах от очага землетрясения до воздушного шарика. Итак, проблема была успешно решена и дальнейшая работа пошла-полетела, как по маслу, точнее – как по воздуху. Удар сброшенным давлением, как оказалось, применялся в истории науки и техники неоднократно, но для возбуждения упругих колебаний в скважине – впервые. И по возвращении из экспедиции мы оформили «патент на способ», каковой успешно применяли в дальнейших своих экспедициях неоднократно – и не только на гранитах, но и на песчаниках, известняках, доломитах. Впрочем, ничего невероятного в том, что воздушный шарик заменил многокилограмовый «кувалдометр», нет. Все очевидно: одна атмосфера, умноженная на одну десятую кубометра (так считается энергия, которую надуваемый шарик транслировал через стенки скважины в геомассив), составляет 10000 джоулей. С учетом высокого КПД можно сопоставить такой пневмоисточник обратного динамического удара с прямым ударом груза массой 100 килограммов, упавшего с высоты 10 метров (это без учета значительных энергетических потерь при таком прямом воздействии – на мелкодисперсное дробление породы, неупругую ударную волну и тепловую энергию, которая, куда ж без нее, выделилась в окружающее пространство). В источнике описанного типа этих потерь нет. Так глобальный закон сохранения энергии помог решить техническую головоломку и частную геофизическую задачу.

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Алгебра и геометрия комплексных чисел

А.КАНУННИКОВ

Эту статью мы рекомендуем читать после статьи «Магия комплексных чисел» (с. 5) или параллельно с ней. Сюжеты той статьи зачастую проходили по одному сценарию: для решения алгебраической задачи «за кадром» применялись геометрические методы, и готовый результат появлялся словно кролик из шляпы. С какими задачами о комплексных числах все же справляется чистая алгебра и где границы ее применения? В каких задачах помогают геометрические методы, и как комплексные числа и геометрия обогащают друг друга? Обо все этом мы расскажем в статье. Но главная наша цель – уж коль скоро это рубрика «Школа в «Кванте» – научить вас, уважаемый читатель, приемам работы с комплексными числами, алгебраическим и геометрическим методам решения задач, которые бы опирались на твердую теоретическую основу. Не стремитесь понять все и сразу. Работайте над статьей вдумчиво, не торопясь, возвращайтесь к «Магии комплексных чисел» (секреты открываются?). Обсуждайте материал с учителями и товарищами, а главное – решайте задачи, к большинству из них приведены ответы и указания (с. 51).

Алгебра комплексных чисел

§1. Определение и свойства в вопросах и ответах

Мы не будем вновь определять начальные понятия, ожидая, что вы ознакомились с ними (см. с. 5). Еще лучше почитайте более подробные введения в комплексные числа из разных источников, например [2–5]. Мы, право, не видим смысла их

повторять. Лучше ответим на наиболее распространенные вопросы из серии «Что вы хотели узнать (уточнить), но боялись спросить». В процессе обсуждения мы придем к разумному определению комплексных чисел. Q: Почему мнимая единица обозначается буквой i? Почему нельзя писать просто $- 1$? А: Это первая буква в латинском слове imaginarius (мнимый). Ее предложил Эйлер в 1777 году. Вместо i неправильно писать $- 1$, так как это обозначение для множества корней уравнения $x^{2} = - 1$, которое, помимо i, имеет еще один корень –i: $x^{2} + 1 = ( x - i )( x + i )$. Кстати, именно на этом неудачном обозначении основаны примитивные ошибки типа

1 = 1 =

$( - 1 )^{2} =$

2

$- 1 = - 1$.

Q: Почему в литературе комплексные числа часто определяются как пары действительных? Это выглядит немного странным, особенно когда вводят умножение по формуле $( a, b )( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc )$. Почему сразу не написать a + bi? А: Подход с парами – дань формализму, не более того. Потом все равно переходят на понятную запись a + bi вместо ( a, b ). Просто так удобнее без лишних слов дать определение: пары и все. Но вы правы, умножение пар выглядит дико, и в хороших книгах оно обязательно мотивируется. Если сразу написать a + bi, то возникнет вопрос, что это за плюс и что за умножение b на i. Все-таки сначала надо определить комплексные числа как объекты и только после этого вводить операции. Q: Неужели нельзя дать определение и строго, и понятно? А: Можно. Давайте рассматривать комплексные числа как векторы на плоскости: $C = R^{2}$. Векторы – те же пары, причем мы умеем их складывать и умножать на действительные числа (покоординатно). Отождествим вектор ( 1, 0 ) с числом 1, а вектор ( 0, 1 ) обозначим буквой i. Тогда ( a, b ) = a ( 1, 0 ) + b ( 0, 1 ) = a + bi

– разложение вектора по базису 1, i. Осталось определить умножение базисных векто-

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Периодическим замощением плоскости называется покрытие плоскости неперекрывающимися фигурами, для которого существуют такие два непараллельных вектора, что сдвиг на любой из них переводит покрытие в себя. Если периодическое покрытие образовано копиями одного и того же многоугольника, то его называют паркетом. Только три правильных многоугольника — треугольник, квадрат и шестиугольник— являются паркетными. У остальных правильных n-угольников угол при вершине не является делителем 360. Паркеты из выпуклых неправильных многоугольников устроены гораздо сложнее. Очевидно, что паркет можно сложить, копируя любой треугольник или любой четырехугольник. Но ни из какого выпуклого n-угольника с n > 7 составить паркет нельзя. При n = 6 найдено три типа выпуклых паркетных шестиугольников и доказано, что других не существует (для шестиугольника ABCDEF эти типы характеризуются набором соотношений для углов и сторон, на неупомянутые углы и стороны никаких ограничений не накладывается).

многоугольников, параллельными переносами которого можно получить весь паркет. Первые пять типов нашел К. Рейнхардт (K. Reinhardt) в 1918 году, а последний из известных, 15-й, нашли К. Манн, Дж. Маклеод, Д. Вон Дерау (C. Mann, J. McLoud, D. Von Derau) в 2015 году. Типы 14 и 15 заданы жестко (с точностью до подобия). Остальные типы имеют степени свободы (например, у типа 1 их пять), при изменении которых внешний вид паркета может меняться довольно сильно. Более того, некоторые типы пятиугольников в своем общем виде допускают несколько замощений. Но бывает и иначе — у данного типа есть подтип (без степеней свободы или с меньшим их числом, чем у основного типа), которым можно замостить плоскость несколькими способами. Задание типов паркетных многоугольников через соотношения для сторон и углов наиболее компактное и традиционное. Проанализировав его, можно привести более наглядное построение каждого класса, выявляющее геометрию свободных параметров. Заинтересовавшийся читатель может установить бесплатную программу-энциклопедию

При n = 5 задача полностью не решена. Обнаружены 15 типов выпуклых пятиугольников, образующих паркет, но существуют ли другие и если да, то какие — неизвестно. Найденные типы паркетных пятиугольников ABCDE с характеризующими соотношениями представлены на правой странице «Калейдоскопа». Ярко отмечена (выбранная по соображениям симметрии) фундаментальная область— набор из минимально возможного количества http://www.jaapsch.net/tilings. В ней ее автор — Я. Схерфэйс (J. Scherphuis) — собрал все ныне известные периодические замощения (не только выпуклыми, но и невыпуклыми) многоугольниками. Про замощения невыпуклыми многоугольниками и другие задачи этой тематики рассказывалось в «Калейдоскопе «Кванта» №2 за 2009 год. Материал подготовили Н. Андреев, М. Панов

34

КВАНТ 2017/№5

(Начало см. на с. 28)

нить, что именно решение кубических уравнений привело к открытию комплексных чисел (см. с. 9). Что теперь? Неужели «пора открывать» формулу Кардано? В любом случае непонятно, как быть с корнями любых степеней… Вот мы и подошли к той черте, когда чисто алгебраических средств уже недостаточно. Нужны принципиально новые идеи, новое видение комплексных чисел.

Физика града

В.ДРОЗДОВ

ИЮЛЬ 2008 ГОДА ВЫДАЛСЯ В РЯЗАНСкой области суровым: ливни, грозы и даже $град^{1}$. Так, 18 июля примерно в 6 часов вечера я едва успел укрыться от града на близкой к Рязани железнодорожной станции «208 км». Форма града была близка к сферической с диаметром примерно 1 сантиметр, шел он три минуты. Приехав домой, перечитал в известном в начале XX века учебнике физики К.Д.Краевича статью о граде. Этот текст заслуживает цитирования:

1 Красивые фотографии июльского града можно найти в «Кванте» №3 за 2017 год (см. 4-ю с. обложки и с. 25 внутри журнала).

Список литературы

1. В.И.Арнольд. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. – М.: МЦНМО, 2002. 2. С.Дориченко. Комплексные числа. – «Квант», 2008, №5. 3. Я.П.Понарин. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. – М.: МЦНМО, 2004. 4. В.В.Прасолов, В.М.Тихомиров. Геометрия. – М.: МЦНМО, 2007. 5. Ю.Соловьев. Комплексные числа. – «Квант», 1991, №7.

(Продолжение следует)

«Если в мощном восходящем движении столба воздуха ожижение водяного пара наступает уже при температуре выше нуля, то образовавшиеся капельки уносятся выше в те слои, где господствуют отрицательные температуры; там они, оставаясь жидкими, охлаждаются ниже нуля, т.е. переохлаждаются. Если в таком состоянии капельки переохлажденной воды встретят носящиеся в воздухе ледяные кристаллы, то сразу наступает замерзание и образовавшийся ледяной шарик при падении вниз среди переохлажденных капель быстро облепляется льдом, увеличивается в своем объеме и достигает поверхности земли в виде куска льда часто неправильной формы. Осадки такого вида называются градом. Градины обыкновенно бывают величиною с кедровый орех, а иногда с голубиное и даже с куриное яйцо; они имеют неправильную форму. Средина градины часто состоит из снежного ядра, покрытого ледяною прочною оболочкою. Граду часто предшествует проливной дождь, обычно град сопровождается сильными грозами. Он обыкновенно бывает среди лета и чаще днем, нежели ночью. Выпадение града продолжается несколько минут, редко четверть часа. Этот вид осадков производит сильные опустошения, уничтожает хлебные посевы, и если крупен, то бывает гибелен даже для людей и животных».

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Поляра

Д.ШВЕЦОВ

ДАВАЙТЕ НАЧНЕМ С СОВСЕМ ПРОСТО- го вопроса: как построить касательную из точки P к данной окружности $\omega$? Напомним, что стандартное построение тут таково: находим центр окружности O (как?), затем строим окружность $\omega_{1}$ с диаметром OP, теперь точки пересечения окружностей $\omega, \omega_{1}$ и задают касательные (рис.1).

произвольные секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D соответственно. Пусть прямые AC и BD пересекаются в точке E, а прямые BC и AD – в точке Q (рис.2). Теперь, наконец, пусть прямая QE пересекает окружность $\omega$ в точках $P_{1}$ и $P_{2}$, тогда оказывается, что прямые $PP_{1}$ и $PP_{2}$ являются касательными! Так можно построить касательные из точки P к окружности $\omega$, используя лишь одну линейку. Заметим, что и секущие на первом шаге выбирались абсолютно произвольно, а в итоге, тем не менее, получились касательные, т.е. положение точек $P_{1}$ и $P_{2}$ не зависит от выбора четырехугольника ABCD. Получаем, что точки пересечения диагоналей всех таких четырехугольников лежат на одной прямой (рис.3).

Рис. 1

В основе этого построения лежит базовое свойство-признак касательной – радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому построение, скорее всего, не выглядит удивительным. А вот если отказаться от использования циркуля, то все становится куда интересней. Итак, давайте через произвольную точку P вне данной окружности $\omega$ проведем две

Рис. 3

Все эти наблюдения можно сформулировать в виде теоремы, элементарному доказательству которой и посвящена эта статья.$^{1}$ Основная теорема. Пусть продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность $\omega$, пересекаются в точке P, продолжения сторон BС и AD – в точке Q, диагонали AC, BD – в точке E. Пусть касательные, проведенные из P к окружности $\omega$, касаются ее в точках $P_{1}$ и

1 Одно из самых естественных доказательств

Рис. 2

основной теоремы использует проективную геометрию.

37

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Рис. 4

КРУЖОК

Рис. 6

$P_{2}$. Тогда точки $P_{1}, P_{2}, E, Q$ лежат на одной прямой (рис.4).

Задача Шарыгина

В уже далеком 1985 году участникам XXVI Международной математической олимпиады предлагалась следующая задача, автор которой – выдающийся геометр Игорь Федорович Шарыгин (1937–2004). Задача. Пусть описанные окружности треугольников PAD, PBC пересекаются вторично в точке M, как показано на рисунке 5. Тогда $\angle$ PMO $= 90 ^\circ$, где O – зом, нам достаточно доказать, что четырехугольник PMYX вписанный. Заметим, что $\angle$ MDP $= \angle$ MAP как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MP, и, аналогично, $\angle$ MCP $= \angle$ MBP (рис.7). Из равенства пар углов следует подобие треугольников MDC и MAB. Отрезки MX и

Рис. 7

Рис. 5

центр описанной окружности $\omega$ четырехугольника ABCD. Докажите это. Решение. Утверждение задачи равносильно тому, что точка M лежит на окружности с диаметром OP. С другой стороны, окружность с диаметром OP проходит через середины X, Y отрезков AB и CD, так как $OX \perp AB$ и $OY \perp CD$ (рис.6). Таким обра-

MY являются медианами в подобных треугольниках, поэтому подобны и треугольники MYC и MXB. Из последнего подобия следует равенство углов: $\angle$ MYP $= \angle$ MXP, откуда и вытекает вписанность четырехугольника PMYX. Тем самым утверждение задачи доказано.

Радикальные оси и доказательство основной теоремы

Давайте еще проанализируем конструкцию из задачи Шарыгина, учитывая, что для трех окружностей их радикальные оси

39

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

QE совпадает с прямой $P_{1} P_{2}$. Но точки $P_{1}$ и $P_{2}$, очевидно, симметричны относительно прямой PO, откуда $P_{1} P_{2} \perp PO$. Тем самым, $QE \perp PO$. Аналогично, $PE \perp QO$. Следовательно, точка E является точкой пересечения высот треугольника POQ (иначе говоря, четверка P, Q, E, O ортоцентрическая, т.е. каждая из этих точек является ортоцентром треугольника с вершинами в оставшихся трех точках). В частности, $OE \perp PQ$ (рис.10).

Рис. 10

Перпендикулярность прямых OE и PQ носит название теоремы Брокара.

Что дальше?

Конструкция основной теоремы встречается настолько часто, что некоторые ее объекты заслужили собственные имена. Так, точку P называют полюсом прямой $P_{1} P_{2}$, а саму прямую $P_{1} P_{2}$ – полярой точки P. Таким образом, с каждой точкой (полюсом) связана своя уникальная прямая (поляра), такое соответствие называют полярным. Полярное соответствие находит очень широкое применение в решениях самых трудных задач. Для быстрого и эффективного введения в тему рекомендуем подборку задач [1], в которой можно найти множество интересных примеров. Удивительным образом оказывается, что построение касательной одной линейкой проходит точно таким же образом, если мы заменим окружность на эллипс, гиперболу или параболу (рис.11). На первый взгляд может показаться, что наше доказательство бесполезно в этой ситуации, однако, на самом деле все три упомянутых случая (эллипса, гиперболы и параболы) можно свести к случаю окружнос-

Рис. 11

ти! Для этого используют так называемые проективные преобразования. О них можно прочитать, например, в обстоятельной книге [2]. Под занавес отметим, что основой для всего сюжета послужила задача Шарыгина, совершенной другой подход к которой, а также ее связи с другими жемчужинами геометрии можно найти в замечательной статье [3].

Литература

1. П.А.Кожевников. Полярное соответствие. (http://geometry.ru/persons/kozhevnikov/ polar.pdf) 2. И.Я.Яглом. Геометрические преобразования. Том 2. – М.: Наука, 1955. (http:// www.math.ru/lib/files/djvu/yaglom/ tom2.djvu) 3. В.Протасов. О двух велосипедистах и вишневой косточке. – «Квант», 2008, №3. (http: //geometry.ru/articles/protasovbycicle.pdf)

ОЛИМПИАДЫ

LXXX Московская математическая олимпиада

8 класс

1. Замените в выражении $AB^{C} = DE^{F}$ буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным, использовав каждую цифру от 1 до 6 ровно один раз. (Пояснение: $AB^{C}$ – двузначное число из цифр A и B, возведенное в степень C. Достаточно привести один способ замены.) Е.Бакаев

2. На плоскости даны треугольник ABC и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника ABC. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке. С.Маркелов

3. По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально? Б.Френкин

4. См. задачу 4 сложного варианта для 8–9 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов (опубликовано в «Кванте» №4).

5. Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдет в $37 \cdot ( 40 100 ) = 14,8$ и будет округлена до 15.) Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчетов так, чтобы у Пети

стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки). Б.Высоканов, Н.Медведь, В.Брагин

6. См. задачу М2460 «Задачника «Кванта».

9 класс

1. Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру. М.Евдокимов

2. См. задачу 1 сложного варианта для 8–9 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

3. См. задачу 2 сложного варианта для 8–9 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

4. Найдите все такие пары натуральных чисел a и k, что для всякого натурального n, n взаимно простого c a, число $a^{k} +^{1} - 1$ делится на n. А.Меньщиков

5. См. задачу 4 сложного варианта для 10–11 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

6. См. задачу 5 сложного варианта для 10–11 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

10 класс

1. Квадратный трехчлен $x^{2} + bx + c$ имеет два действительных корня. Каждый из трех его коэффициентов (включая коэффициент при $x^{2} )$ увеличили на 1. Могло ли оказаться, что оба корня трехчлена также увеличились на 1? М.Евдокимов

2. Все натуральные числа, большие единицы, раскрасили в два цвета – синий и красный – так, что сумма любых двух синих (в том числе одинаковых) – синяя, а произве-

41

ОЛИМПИАДЫ

дение любых двух красных (в том числе одинаковых) – красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2017? М.Евдокимов

3. Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B. M.Евдокимов

4. У Васи был камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой? M.Евдокимов

5. При каких натуральных n для всякого натурального $k \ge n$ найдется число с суммой цифр k, кратное n? А.Кузнецов, И.Лосев

6. См. задачу 7 сложного варианта для 10–11 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

11 класс

Первый день

1. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80. А.Бегунц

2. На вписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны AC в точке S, нашлась такая точка Q, что середины отрезков AQ и QC также лежат на вписанной окружности. Докажите, что QS – биссектриса угла AQC. M.Васильев

3. Пусть $x_{0}$ – положительный корень уравнения $x^{2017} - x - 1 = 0$, а $y_{0}$ – положи-

тельный корень уравнения $y^{4034} - y = 3 x_{0}$.

а) Сравните $x_{0}$ и $y_{0}$. б) Найдите десятый знак после запятой числа $x_{0} - y_{0}$. И.Шейпак

4. Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной d метров. При каком наименьшем d фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок? О.Косухин

5. На гранях единичного куба отметили 8 точек, которые служат вершинами меньшего куба. Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба. М.Евдокимов

6. См. задачу 6 для 10 класса.

Второй день

1. Даны две непостоянные прогрессии $( a_{n} )$ и $( b_{n} )$, одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что $a_{1} = b_{1}, a_{2} : b_{2} = 2$ и $a_{4} : b_{4} = 8$. Чему может быть равно отношение $a_{3} : b_{3}$? Д.Горяшин

2. Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства? А.Бегунц

3. Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней? О.Косухин

4. Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что BD = CD, $\angle$ BDC $= 120 ^\circ$. Вне

42

КВАНТ 2017/№5

треугольника ABC взята такая точка E, что AE = CE, $\angle$ AEC $= 60 ^\circ$ и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что $\angle$ AFD $= 90 ^\circ$, где F – середина отрезка BE. О.Косухин

5. Таблица размером $2017 \times 2017$ заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со

строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится. Найдите все возможные значения числа p. А.Галатенко

Публикацию подготовил Е.Епифанов

Московская физическая олимпиада 2017 года

Второй теоретический тур

7 класс

1. В аэропорту Шереметьево в длинном переходе между двумя терминалами есть два параллельных друг другу траволатора – горизонтально расположенных эскалатора, имеющих одинаковые длины. Школьник Вася, отправляющийся на Международную физическую олимпиаду, заметил, что первый траволатор движется, а второй выключен, и, ожидая свой рейс, решил немного развлечься. Он начал бегать по траволаторам туда-сюда, каждый раз возвращаясь в исходную точку. В первый раз Вася пробежал туда по движущемуся траволатору, а назад – по неподвижному. Во второй раз он пробежал туда по неподвижному траволатору, а назад – по движущемуся. Разность времен движения Васи в первом и втором забегах составила $\Delta t_{1} = 25$ с. В третий раз Вася пробежал в обе стороны по движущемуся траволатору, а в четвертый раз – в обе стороны по неподвижному. Разность времен движения Васи в третьем и в четвертом забегах оказалась равной $\Delta t_{2} = 5$ с. Вася развивает постоянную скорость относительно траволатора, скорость движения которого также постоянна и равна u = 1 м/с. Найдите скорость v Васи относительно траволатора и определите длину траволатора. Считайте, что на ускорение, торможение и на разворот Вася тратит пренебрежимо мало времени. М.Замятнин

2. Выйдя из дома, папа с дочкой Машей и сыном Ваней бегут к автобусной остановке, расстояние до которой s = 430 м. Скорость Вани v = 2 м/с, скорость Маши 2v, а скорость папы 4v. Если папа сажает любого из детей на шею, то его скорость уменьшается до 3v. Двоих детей одновременно папа нести не может. Через какое минимальное время вся семья сможет оказаться на остановке? Можно считать, что посадка детей на папину шею, а также разгон и торможение происходят быстро. А.Бычков

3. Три одинаковых вертикальных цилиндрических сосуда сообщаются друг с другом вблизи дна при помощи узких трубок с кранами, которые первоначально перекрыты (рис.1,а). В левом и правом сосудах под горизонтальными тонкими поршнями находится вода, а средний сосуд пуст. Краны одновременно открывают и в тот же момент начинают двигать вниз оба поршня с постоянными скоростями. При этом разница уровней поршней по вертикали увеличивается со скоростью v. Пользуясь графиком зависимости высоты h уровня воды в среднем сосуде

Рис. 1

44

КВАНТ 2017/№5

зависимости $d_{12} ( t )$ изображен синей линией. Численное значение величины $d_{0}$ неизвестно, но зато известно, что $t_{1} = 30$ с и $t_{2} = 40 c.$ При определении расстояния между пловцами ширина дорожек бассейна не учитывалась и считалось, что спортсмены движутся почти вдоль одной прямой. Разворот каждого из пловцов происходит очень быстро. 1) Какое время на финише показал каждый из пловцов? 2) Продолжите (достройте) оба графика до момента времени 60 с. П.Крюков

3. Неоднородный груз массой 4m подвешен при помощи системы блоков так, как показано на рисунке 5. Нити и блоки очень

Рис. 5

легкие, свободные участки нитей вертикальны, трения в осях блоков нет. К свободному концу нити, перекинутой через блоки, прикреплен противовес массой m. Участок этой же нити, находящийся между грузом и правым блоком, проходит через небольшое отверстие в неподвижной перегородке. При скольжении нити в отверстии возникает сила трения F = 10 Н, действующая на нить со стороны стенок перегородки. 1) При каких значениях массы m противовеса система может оставаться в равновесии? 2) Где должен находиться центр масс неоднородного груза для того, чтобы равновесие было возможным? 3) Чему равен модуль силы трения $F_{1}$ и в какую сторону она направлена при $m = m_{1} = 0,7$ кг? Модуль ускорения свободного падения можно считать равным g = 10 м $с^{2}$. М.Замятнин

4. В Москве в районе Очаково работает мощная тепловая электрическая станция с названием «ТЭЦ-25». Максимальная электрическая мощность этой станции $W_{1} = = 1370$ МВт. Кроме выработки электроэнергии эта станция может одновременно поставлять тепло мощностью $W_{2} = = 4088$ Гкал/ч для снабжения соседних районов города горячей водой и для обогрева домов. Станция работает на природном газе метане $( CH_{4} ),$ при сгорании $m_{0} = 16$ г которого выделяется количество теплоты Q = 797 кДж. В атмосферу через трубы вместе с продуктами сгорания всегда выбрасывается 20% энергии, полученной в результате сгорания топлива. В летнем режиме, когда дома отапливать не нужно, станция работает на 80% своей максимальной электрической мощности и при этом 30% выделившего при сгорании метана количества теплоты все равно приходится отводить в атмосферу при помощи испарения воды в специальных устройствах – градирнях. Удельная теплота парообразования воды L = 2256 кДж/кг, одна калория равна примерно 4,2 Дж. 1) Каков у станции расход топлива (в кг/с) зимой? 2) Каков КПД использования тепловой энергии при ее преобразовании в электрическую зимой? 3) Какое количество воды ежесекундно превращается в пар (в л/с) в градирнях станции летом? 4) Какая мощность поставляется потребителям горячей воды в домах летом? И.Семериков, С.Варламов

9 класс

1. Ракета удаляется от горизонтальной поверхности Земли со скоростью v, направленной строго вертикально. Параллельно поверхности точно на запад летит самолет со скоростью v 3. 1) С какой наименьшей по модулю скоростью u и в каком направлении должен лететь (относительно Земли) квадрокоптер для того, чтобы относительно него ракета и самолет имели противоположные по направлению скорости? 2) Под каким углом к горизонту (относительно Земли) должна быть направлена ско-

58

КВАНТ 2017/№5

$n \ge 2$, будем разбивать на два, произведение не будет уменьшаться, поскольку $2 n \ge n + 2$. Останутся только двойки и тройки. Заменяя три двойки на две тройки, будем увеличивать произведение. В итоге получим 12 троек. Таким образом, количество банд не больше $3^{12}$.

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

1. 3. Построим следующий граф: вершины – игроки, ребра – сыгранные партии. Согласно условию, для обоих турниров этот граф один и тот же. Рассмотрим первый турнир и выберем те партии, победители которых до этого не выигрывали (например, такова первая партия). Тогда соответствующие ребра образуют путь, а остальные ребра одним концом примыкают к этому пути. В частности, если выбросить все висячие вершины, то останется только наш путь без крайних вершин. Теперь рассмотрим тот же граф как граф кубкового турнира. Если из него выбросить висячие вершины, останется граф турнира на $2^{n-} 1$ победителях первого этапа. Он, очевидно, является путем лишь при n £ 3, в противном случае победитель турнира будет иметь степень не меньше 3. Значит, n £ 3. Осталось привести пример при n = 3. Пусть участники пронумерованы от 1 до 8 и пары в кубке таковы (первым указан проигравший, вторым победитель): 1–2, 3–4, 5–6, 7–8, 2–4, 6–8, 4–8. тогда при игре навылет пары могли быть такими (победитель снова указан вторым): 1–2, 2–4, 3–4, 4–8, 7–8, 8–6, 6–5. 2. Нет. Мы покажем даже, что это неверно ни в одном из двух случаев: а) сотое ребро – ребро основания, и б) сотое ребро – боковое. a) Возьмем правильный 51-угольник $A_{1} A_{2}$ … $A_{51} c$ центром C. Пусть $\omega$ и Ω – его вписанная и описанная окружности соответственно. Рассмотрим сферу S с центром C, которая пересекает плоскость 51-угольника по окружности $\omega$, и рассмотрим конус с основанием Ω, в который вписана эта сфера. Пусть O – вершина этого конуса. Тогда у 50-угольной пирамиды $OA_{1} A_{2}$ … $A_{50}$ все боковые ребра и 49 ребер основания касаются сферы S, а ребро $A_{1} A_{50}$ – не касается. б) Построим многоугольник, сферу и конус так же, как в пункте a). Пусть теперь прямые $A_{1} A_{51}$ и $A_{49} A_{50}$ пересекаются в точке B. Тогда пирамида $OA_{1} A_{2}$ … $A_{49} B$ – искомая: все ее ребра, кроме бокового ребра OB, касаются сферы S. 4. Нет. Ясно, что строки доски можно переставлять как угодно, и столбцы тоже. Переставим все нечет-

ные столбцы влево, а все нечетные строки вниз. В итоге из исходной доски получится доска, разделенная на 4 одинаковых квадрата – два противоположных из них белые, а остальные черные. Пусть после перекраски в каждой строке и каждом столбце оказалось по 50 + k черных клеток; тогда в каждом столбце и в каждой строке перекрашено на k белых клеток больше, чем черных. Пусть в одном из черных квадратов перекрашено a клеток. По замечанию выше, в каждом из белых квадратов перекрашено по a + 50k клеток, а тогда в другом черном квадрате также перекрашено ( a + 50 k ) - 50 k = a клеток. Значит, общее число перекрашенных клеток равно 2a + + 2 ( a + 50 k ) = 4 ( a + 25 k ), т.е. оно делится на 4 и потому не может равняться 2018. 5. Пусть M – середина BC, а Y и Z – точки, симметричные X относительно прямой BC и точки M соответственно (рис.20).

Рис. 20

Тогда

– BZC = – BYC = – BXC $= 180 \infty -$ – $BA_{H} C$, откуда точки $A_{H}, B, C, Y$ и Z лежат на одной окружности Ω с центром O и радиусом R. При этом, поскольку $A_{H} A_{M} P BC$ и $A_{M} X : XM = 2$, получаем $A_{H} X : XY = A_{M} X : 2 XM = 1$, т.е. X – середина $A_{H} Y$. Пусть T – середина YZ. Тогда OTYX – прямоугольник, поэтому TX = OY = R. Из симметрии относительно BC получаем, что OB = OC = = TB = TC = R. Значит, T – центр окружности, описанной около треугольника BXC, т.е. по лемме о трезубце это середина дуги BC окружности $( A_{I} BC ).$ Пусть $K = A_{H} Y \cap BC$, YY¢ – диаметр окружности Ω, а P и S – середины KM и $A_{H} A_{M}$ соответственно. Заметим, что $YZ = 2 KM = = A_{H} A_{M} = A_{H} Y$ ¢. Значит, TX пересекает отрезки KM и $A_{H} A_{M}$ в их серединах P и S, а также P = YY ¢ $\cap BC$. Тогда BP ◊ PC = YP ◊ PY ¢ = = TP ◊ PS (последнее равенство выполнено в силу симметрии отрезков YY¢ и TS относитель-