Квант 2017, №7 · Страницы

4

КВАНТ 2017/№7

Для чего мы изучаем математику?

Что об этом думают сами математики

В.АРНОЛЬД

ДЛЯ ЧЕГО НАДО ИЗУЧАТЬ МАТЕМАТИ- ку? В 1267 году на этот вопрос уже ответил английский философ Роджер Бэкон: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». Собственно, на этом можно было бы и закончить лекцию, но люди думают, что, может быть, что-то изменилось за семь веков… Послушаем более современное свидетельство – один из создателей квантовой механики, Поль Дирак, утверждает, что при построении физической теории «следует не доверять всем физическим концепциям». А чему же доверять? «Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой». Действительно, все чисто физические концепции начала века физикой отброшены, а математические модели, взятые физиками на вооружение, постепенно обретают физическое содержание. И в этом проявилась устойчивость математики. Итак, математическое моделирование – продуктивный метод познания в естествознании. Мы подойдем к математическим моделям с другой стороны, рассматривая проблемы математического образования.

С лекцией на эту тему академик Владимир Игоревич Арнольд выступил 16 апреля 1992 года в Республиканском институте повышения квалификации работников образования (Москва). Запись лекции нам предоставил доцент Ю.Фоминых (Пермь). Впервые эта статья была опубликована в «Кванте» №1/2 за 1993 год.

В нашем математическом образовании (и среднем, и высшем) мы идем в фарватере европейской системы, основанной на «бурбакизации» математики. Группа молодых французских математиков, выступавшая под псевдонимом Никола Бурбаки, начиная с 1939 года опубликовала несколько книг, в которых формально (т.е. с помощью аксиоматического метода) излагались основные разделы современной математики на основе теории множеств. Формализация математики приводит и к определенной формализации ее преподавания. В этом и проявляются издержки «бурбакизации» математического образования. Характерный пример. Ученикам второго класса во французской школе задают вопрос: – Сколько будет два плюс три? Ответ: – Так как сложение коммутативно, то будет три плюс два. Замечательный ответ! Он совершенно правильный, но ученику и в голову не приходит сложить эти два числа, потому что при обучении упор делается на свойства операций. В Европе уже осознали недостатки такого подхода к образованию, и начался откат от «бурбакизации». В нашей стране в последние годы происходит американизация математического образования. В ее основе лежит принцип: учить тому, что нужно для практики. А если кто-то считает, что ему математика не нужна, то он может не изучать ее совсем. В старших классах американских коллед-

5

ДЛЯ

ЧЕГО

МЫ

ИЗУЧАЕМ

жей курс математики факультативен: третья часть старшеклассников, например, не изучает алгебру. К чему это приводит, показывает следующий пример. В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80%. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно 30% опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает. Вторая особенность американского подхода к преподаванию математики – его компьютеризация. Само по себе увлечение компьютерами не способствует развитию мышления. Вот еще пример из американского теста: в классе 26 учеников. С ними нужно провести экскурсию на автомобилях. В одной машине могут ехать один родитель и 4 школьника. Сколько родителей нужно попросить помочь? Типичный ответ: 65 родителей. Компьютер выдает: 26: 4 = 6,5. Ну а школьник уже знает, что если в решении должны быть целые числа, то с десятичной запятой надо что-то сделать, например отбросить. А вот пример из официального американского экзамена 1992 года для студентов: «Что из нижеследующего больше всего походит на соотношение между углом и градусом: а) время и час, б) молоко и кварта, в) площадь и квадратный дюйм (и т.д.)». Ответ: площадь и квадратный дюйм, так как градус – минимальная единица угла, а квадратный дюйм – площади, в то время как час делится еще и на минуты. Составители этой задачи явно обучены по американской $системе.^{1}$ Боюсь, что и мы придем к этому уровню.

1 Нью-Йоркский профессор Джо Бирман объяснил мне, что для него как американца «правильное» решение этой задачи совершенно очевидно. «Дело в том, – сказал он, – что я точно представляю себе степень идиотизма составителей этих задач».

МАТЕМАТИКУ?

Можно только удивляться, что в США так много замечательных математиков и физиков (правда, многие из них иммигранты; лучшие студенты в американских университетах сегодня – китайцы). Сейчас наше математическое образование медленно поворачивается от европейской системы к американской. Как всегда, мы опаздываем, отстаем от Европы лет на 30, и надо быть готовыми к тому, чтобы через 30 лет спасать ситуацию и выходить из этого тупика, в который нас приведет американизация образования с ее прагматичностью, факультативностью, повальной компьютеризацией. Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет назад в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим. Рассмотрим, например, задачи: 1. Имеется 3 яблока, 1 взяли. Сколько осталось? 2. Сколько нужно сделать распилов, чтобы бревно распалось на 3 части? 3. У меня сестер на 3 больше, чем братьев. На сколько в нашей семье сестер больше, чем братьев? С точки зрения арифметики это все разные задачи – у них разное содержание. Интеллектуальные усилия, нужные для решения этих задач, совершенно разные, хотя алгебраическая модель одна: 3 – 1 = 2. В математике прежде всего поражает удивительная универсальность ее моделей и их непостижимая эффективность в приложениях. Вспомним В.В.Маяковского: «Человек, впервые сформулировавший, что «два и два четыре», – великий математик, если даже он получил эту истину из складывания двух окурков с двумя окурками. Все дальнейшие люди, хотя бы они складывали неизмеримо бульшие вещи, например паровоз с паровозом, – не математики».

6

КВАНТ 2017/№7

Считать паровозы – это и есть американский путь математического образования. Это гибель. Пример с развитием физики показывает, что «паровозная» математика в начале нашего века оказалась хуже «окурочной»: прикладная математика не успевала за физикой, а в теоретической нашлось все, что необходимо было для дальнейшего развития физики. «Паровозная» математика не может успеть за практикой: пока мы учим считать на счетах, появляются компьютеры. Надо учить думать, а не тому, как нажимать на кнопки. Правда, математическая модель не всегда дает немедленную практическую отдачу. Бывает, что она окажется полезной только через две тысячи лет. Примером тому – конические сечения, они были открыты в Древней Греции и описаны Аполлонием Пергским (ок. 260 – ок. 170 до н.э.) в 8-томном трактате. А понадобилась эта теория Иоганну Кеплеру в XVI веке, когда он выводил законы движения планет. Его учитель Тихо Браге в обсерватории «Ураниборг» в течение 20 лет скрупулезно измерял положения планет Солнечной системы. После смерти учителя Кеплер взялся за математическую обработку результатов этих наблюдений и обнаружил, что, например, траектория движения Марса – эллипс. Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянна. Тот факт, что сечение конуса плоскостью, достаточно сильно наклоненной к его оси, является эллипсом, – замечательная геометрическая теорема, к сожалению, не доказываемая в школе. Доказательство ее очень простое (рис. 1). Вписанные в конус и касающиеся плоскости (в фокусах Е и F эллипса) сферы, на рассмотрении которых основано доказательство, называются сферами Данделена. Чтобы понять рассуждения Кеплера, нам потребуются некоторые простые факты из геометрии эллипса. Длина большой полуоси эллипса ОK (рис. 2), обычно обозначаемая через а, равна длине

Рис. 1. Эллипс с фокусами F и E и сферы Данделена

гипотенузы EL треугольника с катетами b = |OL| (малая полуось) и с = |EO|. Отношение c a характеризует форму эллипса и называется эксцентриситетом, так

Рис. 2. Фокусы, полуоси и эксцентриситет эллипса

как пропорционально смещению фокусов от центра эллипса. Эксцентриситет обычно обозначается буквой е. По теореме Пифагора отношение длин полуосей эллипса есть $b a 1 e^{2} z$

$z 1 e^{2} 2$ при малых e. Отсюда видно, что эллипс с малым эксцентриситетом практически неотличим от окружности. Например, если е = 0,1, то малая ось короче большой всего на 1 200. Для эллипса с длиной большой оси 1 метр малая ось короче большой всего на полсантиметра, так что на глаз отличие

7

ДЛЯ

ЧЕГО

МЫ

ИЗУЧАЕМ

такого эллипса от окружности вообще незаметно. Фокусы же смещены от центра на 5 сантиметров, что очень заметно.

Формула $b a 1 e^{2} z 1 e^{2} 2$ (означающая, что больший катет вытянутого прямоугольного треугольника практически столь же длинен, как и гипотенуза, и дающая с очень хорошим приближением разность их длин) – один из самых замечательных общематематических фактов (к сожалению, в школе этому не учат). Например, предположим, что вы возвращаетесь домой по синусоиде. На сколько ваш путь длиннее, чем если бы вы шли прямо (рис. 3)? Первое впечатление

Рис. 3. На сколько синусоида длиннее прямой?

(что вдвое), конечно, преувеличивает длину. Все же кажется, что путь по синусоиде длиннее раза в полтора. На самом деле всего примерно на 20%. Причина в том, что большая часть синусоиды слабо наклонена к оси, поэтому соответствующие гипотенузы практически не длиннее катетов. Вот еще одно применение той же формулы. Реактивные струи первых реактивных двигателей, установленные на крыльях самолета вблизи фюзеляжа, представляли опасность для хвостового оперения. Конструкторы, знавшие и чувствовавшие обсуждаемую формулу, повернули двигатели на небольшой угол A (рис. 4).

Рис. 4. Как спасти хвостовое оперение

МАТЕМАТИКУ?

Хвостовое оперение было спасено (отклонение струи пропорционально A ), а результирующая сила тяги практически не изменилась (потеря $z A^{2} 2$, где A – угол в радианах; для угла в 3o теряется всего порядка 1 800 мощности). Вернемся к Кеплеру. Сначала Кеплер думал, что орбита Марса – окружность. Однако Солнце оказалось не в центре, а сдвинутым примерно на 1 10 часть радиуса. Но Кеплер не остановился на этом (уже замечательном) результате – потому что он знал теорию конических сечений. Кеплер знал, что эллипс с малым эксцентриситетом очень похож на окружность, и проверил, как ведет себя то небольшое отклонение орбиты от окружности, которое еще оставалось. Интересно, что сделать это можно было только благодаря исключительной точности наблюдений Тихо Браге, сделанных невооруженным глазом. В те времена астрономы не очень доверяли телескопам, и еще в конце XVII века приходилось доказывать, что телескопические наблюдения могут достигать столь же большой точности, как наблюдения невооруженным глазом. Новая физика часто начинается с уточнения последней значащей цифры предыдущей теории – если бы Кеплер удовлетворился своей эксцентрической круговой орбитой или если бы наблюдения Тихо Браге были менее точны, развитие небесной механики (а возможно, и всей теоретической физики) могло бы задержаться – может быть, даже на века. Орбита Марса оказалась слегка сплюснутой в направлении, перпендикулярном диаметру, на котором лежит Солнце, – примерно на полпроцента, т.е. на $e^{2} 2$. Так Кеплер пришел к мысли об эллиптических орбитах планет. Если бы теория конических сечений не была заранее разработана математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты, не возникла бы современная наука и технология, а наша цивилизация оставалась бы на средневековом уровне – или, по меньшей мере, пути истории были бы совсем иными.

8

КВАНТ 2017/№7

Кеплер открыл закон движения планет, но тот факт, что они движутся по эллипсам, доказал Исаак Ньютон в своей книге «Математические начала натуральной философии» (1687 г.), которая послужила основой всей современной теоретической физики. Он получил эллиптичность планетных траекторий как следствие закона всемирного тяготения. Заметим, что до Ньютона этой проблемой занимался его современник Роберт Гук. Он изучал закон движения тела в поле тяготения, считая, что притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния. Приближенно проинтегрировав уравнение движения, Гук нарисовал орбиты и увидел, что они похожи на эллипсы. Назвать их эллипсами ему не позволила научная честность, а доказать эллиптичность он не мог. Поэтому Гук назвал траекторию эллиптоидом и предложил Ньютону доказать, что первый закон Кеплера (планеты движутся по эллипсам) следует из закона обратных квадратов. Ньютон, хорошо знавший древнюю теорию конических сечений, справился с этой задачей при помощи хитроумных элементарно-геометрических построений. Впоследствии кривые второго порядка стали все чаще появляться в естественнонаучных исследованиях. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в частности, модель сечения конуса описывает движения планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон видел в этом доказательство существования Бога: «Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа… Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель Вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель». Современные исследователи космоса, проектируя запуск искусственных спутников, тоже используют свойства конических сечений. Таким образом база со-

временной физики и научно-технической революции закладывалась и классическим произведением Аполлония. Тогда как он, исследуя конические сечения, думал лишь о красоте данной математической модели. Другой пример – история создания ЭВМ. Задолго до появления первых ЭВМ в математике были заготовлены два их основных математических компонента: математическая логика (алгебру логики разработал Джордж Буль, 1815–1864) и принципиальная схема устройства вычислительной машины. Первую суммирующую машину сконструировал в 1641 году французский математик Блез Паскаль. Третий пример – разработка волновой механики Э.Шредингером. К моменту, когда Шредингер обратился к колебательной задаче, уже был известен матричный вариант квантовой механики В.Гейзенберга. Встал вопрос: как получить из теории волн во всем пространстве дискретный, а не непрерывный спектр? Шредингеру помог известный немецкий математик Герман Beйль. Без его результатов по спектральной теории на неограниченном интервале мы бы никогда не узнали о знаменитом уравнении Шредингера. Опять та же история: нашелся математик, у которого уже была готова теория – граничные условия на бесконечности, – оставалось ее использовать.

(Продолжение следует)

Сверхпроводимость:

история, современные представления, последние успехи

А.АБРИКОСОВ

ПРИ УМЕНЬШЕНИИ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ вихри расходятся и в поле $B_{кр1}$ исчезают из сверхпроводника совсем. Фактически поле $B_{кр1}$ – это то поле, при котором один вихрь еще может существовать в сверхпроводнике. Область между полями $B_{кр1}$ и $B_{кр2}$ называется смешанным состоянием. В этом состоянии сверхпроводник пронизан вихревыми нитями – миниатюрными соленоидами, расположенными в правильном порядке. В поперечном срезе они образуют треугольную решетку. Каждый вихрь имеет сердцевину, размер которой равен размеру куперовской пары; эту сердцевину можно считать областью нормального металла. Очень существенным оказывается то обстоятельство, что, увеличивая концентрацию дефектов, можно увеличивать критическое поле B кр2, вплоть до которого по образцу может течь сверхпроводящий ток. Это дает возможность применять сверхпроводники второго рода для создания сверхпроводящих магнитов. Действительно, в сверхпроводящем кольце ток может циркулировать вечно. Можно сделать соленоид и замкнуть его накоротко. Это и будет сверхпроводящий постоянный магнит. Отличие от обычного электромагнита заключается в том, что в обычном магните энергия тока в конечном итоге тратится на разогрев обмотки. Из-за этого приходится делать громоздкую и дорогостоящую систему охлаждения. Именно это обстоятельство ограничивает возможности электромагнитов с полями до 5–6 Тл. А с помощью сверхпроводящих магнитов уже се-

Окончание. Начало – в предыдущем номере журнала.

годня можно получать поля до 10–12 Тл (Nb – Zr – Ti) и даже до 23 Тл $( Nb_{3} Sn ).$ В настоящее время сверхпроводящие магниты используются в генераторах, для создания магнитной подушки в поездеэкспрессе, в ускорителях элементарных частиц, в токамаках – приборах термоядерного синтеза, в магнитогидродинамических генераторах. Кроме того, сверхпроводящая катушка с током может служить накопителем энергии. Однако надо иметь в виду, что это дело не такое простое. Чем выше верхнее кри-

Фотография структуры вихрей в сверхпроводнике второго рода. Вихри образуют периодическую структуру, аналогичную кристаллической решетке

10

КВАНТ 2017/№7

тическое поле $B_{кр2}$, тем ниже нижнее $B_{кр1}$. Значит, в проволоке сверхпроводящего соленоида с током наверняка имеются вихри. Под действием силы Лоренца вихри могут прийти в движение, а это немедленно приведет к диссипации энергии, т.е. к появлению сопротивления. Выход из этого положения – как-то закрепить, пришпилить вихревую решетку, чтобы она не двигалась. Это называется «пиннингом» (от английского pin – булавка). В этом случае сверхпроводящий ток легко огибает нормальные сердцевины вихрей. Я не буду останавливаться на этом очень интересном вопросе и перейду теперь к рассказу о «слабой» сверхпроводимости. Из квантовой механики известен так называемый туннельный эффект – возможность частицам проникать через потенциальный барьер, даже если высота этого барьера выше энергии частиц. Конечно, реально ширина барьера должна быть очень малой. Туннельный эффект был использован И.Гиэвером в 1960 году для создания туннельного контакта: два металлических электрода разделены слоем изолятора (обычно в качестве изолятора берется пленка окиси на поверхности одного из металлов). Благодаря туннельному эффекту, через такой контакт может идти ток. Если один из этих металлов является сверхпроводником, то электроны в нем объединены в пары. Но для целой пары проникновение через барьер очень маловероятно. Поэтому нужно, чтобы электрическое поле расщепило пару, и тогда уже электроны поодиночке пройдут через контакт. Минимальная энергия на один электрон при этом равна, и, следовательно, при Т = 0 протекание тока начинается лишь тогда, когда разность потенциалов между электродами достигнет такого значения U, что eU. Таким способом измерили энергию. Можно использовать и туннельный контакт из двух сверхпроводников. Однако в последнем случае возникает и некоторое новое явление. Если диэлектрическая прослойка достаточно тонкая, куперовские пары могут образовываться из электронов, принадлежащих к разным электро-

Сверхпроводящий туннельный контакт. На стеклянную подложку (3) наносят пленку сверхпроводника (1). Затем ее окисляют – на поверхности сверхпроводника создается слой диэлектрика (2) толщиной порядка десяти ангстрем. Сверху наносят еще одну пленку (1) сверхпроводника. Для удобства измерений сверхпроводящие пленки «укладывают» на подложку в виде креста. С некоторой вероятностью электроны из одной пленки могут проникать в другую через диэлектрическую прослойку – это называют туннельным эффектом дам. При этом создается возможность протекания через контакт не просто тока, а сверхпроводящего тока. Этот эффект был предсказан английским физиком Б.Джозефсоном в 1962 году и после экспериментального подтверждения был назван его именем. Критический ток Джозефсона очень маленький, плотность его не более $10^{2} 10^{3}$ А $см^{2}$. Эту величину следует сравнить с токами в магнитах – порядка $10^{5} 10^{6}$ А $см^{2}$ или с «теоретическим пределом» для развала пар в сверхпроводнике – порядка $10^{8}$ А $см^{2}$. Однако эффект Джозефсона получил новое, очень перспективное применение. Дело в том, что величина джозефсоновского критического тока оказалась необыкновенно чувствительной к внешнему магнитному полю. Это позволило создать особые сверхпроводящие устройства – джозефсоновские интерферометры, или сквиды, которые дают возможность измерить магнитные поля до $10^{14}$ Тл (магнитное поле Земли составляет 0,5 – $10^{4}$ Тл), а затем использовать это поле для измерения токов вплоть до $10^{14}$ А и разностей потенциалов до $10^{15}$ В. Сквиды уже применяются в биологии и медицине, ибо они дают гораздо более точные данные, чем электрокардиоили энцефалографы, и превосходят даже рентгеновские и ЯМР-томографы. Кроме того, джозефсоновские контакты могут быть использованы как для регистрации очень слабых электромагнитных излуче-

11

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ…

ний, так и для генерации электромагнитных волн большой частоты. Эффект Джозефсона – это большая область применений сверхпроводимости. Трудно даже вообразить, сколько разных применений получили бы сверхпроводники, если бы не одно печальное обстоятельство. Все сверхпроводящие устройства, применяемые до сих пор, нуждаются в охлаждении жидким гелием. Стоимость одного литра этого хладагента – 10 рублей (напомним, что статья была опубликована в 1988 году – прим. ред.), и это очень удорожает использование сверхпроводников. Однако в последнее время появились так называемые сверхпроводящие окислы, или керамики, с критической температурой в районе 95 К. Это уже заметно выше, чем точка кипения жидкого азота (77 К), стоимость которого – 10 копеек за литр. Не исключено, что будут найдены и более высокотемпературные материалы. (В начале 1988 года стало известно об обнаружении сверхпроводников Bi–Sr– Са–Сu–О и Тl–Ва–Са–Сu–О с критической температурой 105–125 К.) А теперь я остановлюсь на истории открытия и свойствах таких сверхпроводящих керамик. С 1973 года и до середины 1986 года рекорд максимальной критической температуры принадлежал пленкам из $Nb_{3} Ge$, сохранявшим сверхпроводимость вплоть до 23 К. Однако осенью 1986 года появилось сообщение физиков Г.Беднорца и А.Мюллера (Швейцария) об открытии сверхпроводимости соединения La – Ва – Си – О с критической температурой в районе 30 К. Эти авторы не сразу подошли к своему открытию. Дело в том, что еще до них был известен сверхпроводящий окисел Ва – Pb – Bi – О с критической температурой 14 К. Странным в этом соединении было то, что плотность свободных электронов, переносящих ток, у него была $10^{21} см^{3}$, что на порядок меньше, чем у обычных металлов. В то же время, согласно теории Бардина–Купера–Шриффера (БКШ), значение критической температуры растет с увеличением числа свободных электронов. Ясно, что уменьшение числа электронов должно вести к умень- шению $T_{кр}$. А 14 К – это была относительно высокая критическая температура. Далее внимание Беднорца и Мюллера привлекли окислы, содержащие медь в состоянии с промежуточной валентностью: часть Cu, а часть Cu. Такие окислы изучались французскими физиками. В качестве элемента структуры в них входил редкоземельный элемент лантан. Если взять соединение $La_{2} CuO_{4}$, то медь в нем только двухвалентная, и это вещество ведет себя как изолятор. Мюллер и Беднорц стали заменять трехвалентный лантан двухвалентными элементами, чтобы отнять часть электронов у меди и тем самым частично перевести медь в трехвалентное состояние. В результате был получен первый высокотемпературный сверхпроводник $La_{2} x Ba_{x} CuO_{4}$, где x = = 0,1– 0,2. Сначала Беднорцу и Мюллеру никто не поверил, и их статью отказался печатать ведущий американский физический журнал «Physical Review Letters». Тогда они отослали ее в немецкий журнал «Zeitschrift fur Physik», где она и вышла осенью 1986 года. Первоначально статья не вызвала интереса. Но потом японские специалисты решили проверить сообщение и убедились, что Мюллер и Беднорц не ошиблись. После этого указанные соединения исследовали американские физики, и с начала 1987 года разразился настоящий «сверхпроводящий бум». Сейчас имеется уже несколько тысяч статей на эту тему. Я не могу рассказать о всех деталях этой гонки, но отмечу основные моменты. Естественно было попытаться повысить критическую температуру путем замены элементов их химическими аналогами. Замена Ва на Sr привела к $T_{кр} = 45$ К. Американская группа из Хьюстона во главе с П.Чу подвергла эти образцы сжатию и обнаружила, что критическая температура быстро растет при сжатии, хотя в обычных сверхпроводниках в подобных условиях T кр, как правило, слабо убывает. Тогда они решили попытаться устроить «химическое» сжатие, заменив атомы лантана на атомы иттрия, имеющие меньший размер. В результате было получено соединение с фантастически высокой по тем,

12

КВАНТ 2017/№7

еще недавним, временам критической температурой $T_{кр} \sim 93$ К. Идея о «химическом сжатии» помогла сделать открытие, но в конце концов оказалась неправильной. Очень тщательное исследование показало, что высокотемпературным сверхпроводником является фаза «1– 2 – 3»: $Y Ba_{2} Cu_{3} O_{7} x$, где х меньше единицы. Последующие попытки замены Y другими элементами показали, что сверхпроводимость с $T_{кр} \sim 93$ К наблюдается у соединений со структурой «1 – 2 – 3», где вместо иттрия может стоять осмий и почти все редкие земли, включая лантан. Теперь я расскажу о некоторых особенностях этих соединений и о попытках теоретического объяснения высоких критических температур. Прежде всего – о

Структура кристаллической решетки соединения Y–Ba–Cu–O

структуре. В обоих типических соединениях La – Ва – Си – О и Y – Ва – Си – О она соответствует так называемым слоистым перовскитам. Характерной их особенностью является слоистость (периоды по двум направлениям порядка 2,8 Е, а по третьему 12 Е ). В медных «слоях» каждый атом меди окружен октаэдром атомов кислорода. Расчеты показывают, что основная проводимость происходит по слоям медь – кислород в результате перекрытия d-оболочек меди с р-оболочками кислорода. Атомы редкой земли роли, по-видимому, не играют: «свободные» электроны туда просто не заходят. Далее, оба вещества имеют в принципе две модификации: тетрагональную и орторомбическую. В первой элементарная ячейка имеет вид правильной четырехгранной призмы, а во второй – прямоугольного параллелепипеда с произвольными длинами ребер. Но отличие от тетрагональности небольшое. Интересно отметить, что чистый $La_{2} CuO_{4}$ при низких температурах является орторомбическим, но добавление Ва подавляет этот переход, и вещество остается тетрагональным. Наоборот, иттриевое соединение «1 – 2 – 3» при низких температурах является орторомбическим. В принципе его можно получить и в тетрагональной модификации, изгнав из него часть кислорода путем нагрева, но эта модификация – не сверхпроводник. Что касается поведения в магнитном поле, то новые вещества являются экстремальными сверхпроводниками второго рода, ибо нижнее поле $B_{кр1}$ в них порядка $10^{2}$ Тл, а верхнее поле $B_{кр2}$ при низких температурах оценивается как $10^{2}$ Тл. Надо заметить, что эти вещества хрупкие, и не так просто сделать из них проволоку для сверхпроводящего магнита. Другим отрицательным свойством является то, что критическая плотность тока в них порядка $10^{2} 10^{3} A см^{2}$. Более того, это значение очень быстро падает при помещении веществ во внешнее магнитное поле. Согласно последним исследованиям, это связано с тем, что новые вещества состоят из сверхпроводящих зерен, разделенных изо-

13

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ…

лирующими прослойками. Через эти прослойки возможен небольшой джозефсоновский ток, который легко подавляется магнитным полем. Правда, в пленках, состоящих из ориентированных кристаллитов, получена критическая плотность тока до $10^{6} A см^{2}$ при температуре кипения жидкого азота (Т = 77 К), но пленки не могут служить обмотками для сверхпроводящих магнитов. В настоящее время усилия многих лабораторий мира сосредоточены на попытках получить монокристаллы новых сверхпроводников. Удалось сделать пластинки со стороной до 1 см и толщиной до 3 мм. Исследование таких образцов подтверждает, что эти вещества слоистые: сопротивление поперек слоев в десятки раз превышает сопротивление вдоль них. Кстати, отмечу, что в нормальном состоянии это плохие проводники: удельное сопротивление раз в 100 больше, чем у меди. Что касается теоретических объяснений, то здесь больше вопросов, чем ответов. Например, по теории Бардина–Купера– Шриффера получается соотношение

2 0

T кр

= 3,5.

Для новых сверхпроводников разные измерения дают для этой величины значения от 3 до 12. Далее, эти вещества обладают целым рядом специфических особенностей, но не очень ясно, какие именно из них имеют принципиальное значение. Например: какую роль играет слоистость кристаллов; существенны ли атомы лантана или иттрия в механизме сверхпроводимости или они играют роль просто механической фермы, которая скрепляет кристаллическую решетку? Какова роль кислорода? Известно, что в иттриевом соединении есть слои, состоящие из цепочек Сu – О – Сu – О, а есть плоскости, в которых на атом меди приходится по два атома кислорода. При удалении кислорода он прежде всего уходит из цепочек, и вещество теряет сверхпроводимость. Но в лантановом соединении таких цепочек нет.

Итак, не очень понятно, за что зацепиться. Экспериментально установлено, что и в новых сверхпроводниках электроны объединены в куперовские пары. Но каков механизм притяжения? Механизм передачи фононов – квантов колебаний решетки – влечет за собой изотопический эффект, т.е. изменение T кр с переходом к другому изотопу. Были сделаны измерения на образцах с заменой изотопа $O^{16}$ на $O^{18}$. У лантанового соединения эффект наблюдался, хотя и меньше, чем предсказывала теория БКШ. Но у иттриевого 90-градусного сверхпроводника, так же как и у такого же вещества с европием вместо иттрия, этого эффекта практически нет. Отсюда делается вывод, что помимо давно известного фононного механизма существует другой механизм передачи взаимодействия между электронами. В принципе, в веществе могут существовать квазичастицы и иных типов – например, связанные с возбуждением электронов, удаленных от проводящих слоев. Они называются плазмонами. Есть и другая идея: вещество может находиться близко к переходу в магнитоупорядоченное состояние. В этом состоянии есть свои квазичастицы – магноны. Но даже если нет настоящего упорядочения, то оно может возникать в виде флуктуации и создавать взаимодействие электронов. Появились теории, использующие это обстоятельство. Я не могу перечислить всех теорий – их очень много. Отмечу еще только очень интересную концепцию двухэлектронных центров. Известно, что кислород очень легко уходит из новых сверхпроводников, в то время как в обычных окислах он связан очень прочно. Есть концепция, согласно которой два электрона могут сразу уйти с атомов кислорода на медь; это делает кислород нейтральным и тем самым облегчает его выход из решетки. А то обстоятельство, что электроны то находятся в коллективизированном металлическом состоянии, то оказываются попарно локализированными на кислороде, приводит к их притяжению.

(Продолжение см. на с. 19)

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

2. На подоконнике сидели три мухи.

Вспугнутые хозяйкой, они взлетели. Какова вероятность, что ровно через минуту они окажутся в одной плоскости?

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши –

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 1 и 2 взяты из книги «Математический винегрет» И.Ф.Шарыгина, задачи 3 и 4 – из книги «Задачи для детей от 5 до 15 лет» В.И.Арнольда.

одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег все равно не хватило. Сколько стоил букварь?

4. Найдите многогранник, имеющий такой вид сверху и такой вид спереди, как показано на картинке. Нарисуйте вид сбоку (невидимые ребра многогранника изобразите пунктиром).

Иллюстрации Д.Гришуковой

Бумеранг можно бросить так, что он вернется обратно, не коснувшись никакой твердой поверхности. А можно ли так бросить теннисный мяч?

22

КВАНТ 2017/№7

времена в таких кулечках, свернутых из газеты, старушки продавали семечки. Да и в крупных гастрономах до изобретения полиэтиленовых пакетов в кулечках развешивали пряники, конфеты, макароны и другие продукты. Теперь давайте два одинаковых конуса склеим основаниями и полученное тело будем использовать как колесную пару, располагая ось конуса перпендикулярно рельсам (рис. 3). При этом фактически

Рис. 5

леи предполагалась постоянной. Пусть теперь рельсы расходятся, колея становится шире и шире и вначале колесо находится на ее узкой части (рис.6). Если

Рис. 3

получается не одна пара колес, а бесконечно много пар разного радиуса. Действительно, пусть на плоскости есть две пары рельсов – с узкой и с широкой колеей. Поставим наше колесо на одни рельсы, а потом на другие (рис.4). Разумеется, между рельсами должна быть впадина, ложбина, канал (сродни тем, которые

Рис. 4

есть в метро). В эту ложбину сможет погружаться часть нашего колеса. Если колея узкая, то по ней катятся колеса большего радиуса R, а если широкая – то меньшего радиуса r. Посмотрим теперь на наше колесо сбоку (рис.5). Центр колес находится на высоте H над узкой колеей и на высоте h над широкой, и при этом H > h. До сих пор ширина горизонтальной ко-

Рис. 6

такое колесо отпустить, то оно покатится в сторону широкой части. При этом центр тяжести колеса будет опускаться. Это обстоятельство используют при демонстрации популярного механического парадокса. В случае, показанном на рисунке 6, рельсы справа (в широкой части колеи) можно чуть приподнять, но так, чтобы колесо по-прежнему скатывалось слева направо. При этом стороннему наблюдателю будет казаться, что колесо катится вверх вопреки всем законам механики! Ясно, что никакого противоречия здесь нет – центр тяжести колеса попрежнему опускается и колесо катится вниз по двум рельсам, каждый из которых идет вверх. В заключение – вопрос. Пусть рельсы окрашивают наше колесо, которое по ним катится. Если ширина колеи постоянна, то на поверхности двух конусов мы получим две окружности. А каким будет след, если ширина колеи меняется?

27

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

т.е. существует плоскость, принадлежащая каждой из гиперплоскостей. 3. Если прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней общую точку, то существует единственная гиперплоскость, содержащая эту прямую и эту плоскость. Из этих аксиом непосредственно следует. что четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, определяют гиперплоскость; точно так же три прямые, не принадлежащие одной плоскости, но имеющие общую точку, или две различные плоскости, имеющие общую прямую, определяют гиперплоскость. Мы не будем доказывать эти утверждения; попытайтесь сделать это самостоятельно. Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующий факт, справедливый в четырехмерном пространстве: три различные гиперплоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую. В самом деле, по аксиоме 2 любые две из трех гиперплоскостей имеют общую плоскость. Возьмем две плоскости, по которым пересекается какая-то из трех гиперплоскостей с двумя другими. Эти две плоскости, принадлежащие одной гиперплоскости – трехмерному многообразию, имеют общую точку и, значит, пересекаются по прямой или совпадают.

В заключение мне бы хотелось предостеречь читателя: не следует чрезмерно доверять своей «трехмерной интуиции», когда речь идет о четырехмерном пространстве. Как вы думаете, сколько вершин может иметь выпуклый многогранник, для которого каждый отрезок, соединяющий любые две его вершины, является ребром? На плоскости таким свойством обладает только треугольник, в пространстве – тетраэдр. В четырехмерном же пространстве су-

Перейдем теперь к доказательству нашего утверждения. Если бы три плоскости, о которых говорится в условии, были расположены в четырехмерном пространстве, то утверждение было бы очевидным. Действительно, каждый трехгранный угол определяет гиперплоскость. Две гиперплоскости пересекаются по плоскости. Эта плоскость не принадлежит третьей гиперплоскости (по условию, эти гиперплоскости пересекают одну из данных плоскостей по трем прямым, не проходящим через одну точку) и, следовательно, пересекается с ними по прямой линии. Любые три соответствующие грани трехгранных углов лежат в одной гиперплоскости, определяемой двумя плоскостями, на которых расположены соответствующие ребра, и поэтому каждая тройка соответствующих граней имеет общую точку. Три эти точки принадлежат трем гиперплоскостям, определяемым трехгранными углами и, как было доказано, лежат на одной прямой. Теперь для завершения доказательства достаточно «увидеть» в данном условии задачи проекцию соответствующей четырехмерной конфигурации плоскостей и трехгранных углов.

1. По четырем прямым плоскости с постоянными скоростями идут четыре пешехода А, В, С, D. Известно, что пешеходы А, В и С встречаются друг с другом, пешеход D встречается с А и В. Докажите, что пешеходы С и D встречаются. 2. На плоскости даны три непересекающиеся окружности. Рассмотрим шесть точек, каждая из которых является точкой пересечения общих внутренних или общих внешних касательных к какимто двум из данных окружностей. Докажите, что эти шесть точек лежат на четырех прямых, по три на каждой. 3. Даны три параллельные прямые и три точки на плоскости. Постройте треугольник, вершины которого лежат на данных прямых, а стороны проходят через данные точки. 4. Три точки А, В и С лежат на одной прямой. Возьмем произвольную окружность, проходящую через А и В, и проведем к ней из С две касательные – СМ и СМ. Докажите, что точка пересечения прямых MN и АВ постоянна. 5. Пусть А – данная точка внутри данной окружности, ВС – произвольная хорда, проходящая через А. Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке М. Найдите геометрическое место точек М. 6. Покажите, что в четырехмерном пространстве две плоскости могут пересекаться в одной точке.

Рис. 9

ществуют такие многогранники со сколь угодно большим числом вершин (см., например, рис.9).

Упражнения

…когда из пушки вылетело ядро, я вскочил на него верхом и лихо понесся вперед… Мимо меня пролетало встречное ядро… Я пересел на него и, как ни в чем не бывало, помчался обратно. Рудольф Эрих Распе. Приключения барона Мюнхгаузена

Как ни удивительны электрические явления неорганической материи, они не идут ни в какое сравнение с теми, которые связаны с деятельностью нервной системы и жизненными процессами. Майкл Фарадей

Посредством глаза, а не глазом Смотреть на мир умеет разум.

Уильям Блейк

…именно биология помогла физике открыть закон сохранения энергии; ведь Майер установил этот закон при изучении количества тепла, выделяемого и поглощаемого живым организмом. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакома вам

?

физика человека

Из огромной сферы исследований на стыке биологии и физики выделяется важнейшая область – физика человека. После прошлых выпусков «Калейдоскопа», где шла речь о роли физики в изучении мира животных и мира растений, пора обратиться и к человеку. Ведь мы – такие же физические тела, как и все окружающие нас, и в нас так же обнаруживают себя механические, тепловые, электрические и оптические явления. Познавая себя, мы оказываемся в роли наблюдателей, исследователей, а порой … и измерительных приборов. Так что физика не только вне, но и внутри нас! Конечно, сейчас перед вами лишь горстка незамысловатых, кажущихся обыденными вопросов и фактов. Однако надеемся, что они дадут представление о кроющемся за ними необозримом массиве накопленных знаний и нерешенных проблем в том, что сегодня называют наукой о жизни – а значит, и о нас с вами.

Вопросы и задачи

1. Почему в летящем самолете, глядя в иллюминатор на безоблачное небо, мы не испытываем ощущения полета? 2. Купаясь в речке с илистым дном, можно заметить, что ноги больше вязнут в иле на мелких местах, чем на глубоких. Как это объяснить? 3. Отчего невозможна ситуация, описанная в эпиграфе бароном Мюнхгаузеном?

2. Почему пловцы, бросаясь в воду, выставляют вперед сложенные вместе вытянутые руки? 5. Отчего высоко в горах действие суставов человека нарушается: конечности плохо «слушаются», подвергаются вывихам? 6. Почему, когда мы пьем, касающаяся губ вода поднимается вверх? 7. Нормальная температура человека близка к $37 \infty C$. Отчего же нам не холодно при температуре воздуха $25 \infty C$ и очень жарко при $37 \infty C$? 8. Почему почти одним и тем же движением губ при выдохе можно согреть руки и остудить чай? 9. Отчего дети мерзнут сильнее взрослых? 10. Почему нам не холодно, когда мы выходим из реки во время теплого летнего дождя? 11. Отчего при растягивании суставов трещат пальцы? 12. Если поднести руку к заряженной бумажной гильзе, подвешенной на шелковой нити, то гильза станет притягиваться к руке. Почему? 13. Елочная гирлянда спаяна из соединенных последовательно лампочек для карманного фонаря. При включении гирлянды в сеть на каждую из лампочек приходится напряжение 3 вольта. Отчего же опасно, выкрутив одну из лампочек, сунуть в патрон палец? 14. Когда прислушиваются к отдаленному шуму, то невольно раскрывают рот. Для чего?

15. Почему женский голос обычно выше мужского? 16. Если в театре встать за колонну, то актера на сцене не видно, а голос его слышен. Как это объяснить? 17. Диаметр зрачка человеческого глаза может меняться от 2 до 8 миллиметров. Отчего же максимальная острота зрения достигается при диаметре 3–4 миллиметра? 18. Как изменяется оптическая сила хрусталика глаза при переводе взгляда со страницы книги на облака за окном?

Микроопыт

Если вы слегка (!) нажмете пальцем на глаз, то увидите удвоенное изображение предметов. Чем это можно объяснить?

Любопытно, что…

…исследования последних лет показывают, что дети имеют врожденные представления о физике. Так, уже в возрасте двух месяцев они понимают, что предметы падают, если их не держат, и не исчезают, если их прячут, а в пять месяцев осознают, что вода и песок – не твердые вещества. …в разных частях тела человека можно обнаружить действие простых механизмов. Например, все наши кости, имеющие некоторую свободу движения, являются рычагами – это кости конечностей, нижняя челюсть, фаланги пальцев и череп, опирающийся на первый позвонок. …люди при ходьбе переставляют ноги с так называемой резонансной частотой, определяемой габаритами их тела, – это выгодно с точки зрения экономии сил. Поэтому если требуется идти быстрее, то прежде всего увеличивают ширину шага, а не темп ходьбы. …при резком изменении давления воздуха способность человека слышать ухудшается. Это особенно заметно в самолете при наборе высоты или при снижении. …на человеческий организм оказывают воздействие не воспринимаемые ухом звуки частотой ниже 16 герц – инфразвуки. Они могут входить в резонанс с внутренними органами, сильно смещая и даже деформируя их. …заслуга Юлиуса Майера в открытии закона сохранения энергии заключалась в обнаружении разницы в цветах венозной крови человека в северных и южных странах. На юге яркий алый ее цвет определялся избытком возвращаемого в вены кислорода, что свидетельствовало о меньшем потреблении энергии человеком. …при тяжелой физической работе человек за день теряет до 10 литров пота. Если бы тело не охлаждалось за счет испарения, оно нагрелось бы до $100 \infty C$! …электрическую структуру нервного волокна в принципе угадал еще Луиджи Гальвани в XVII веке. Однако долгое время не было ясности с носителем информации, передаваемой от головного мозга к мышцам, и только в XX веке экспериментально было показано, что это – электрические сигналы. …огромный вклад в изучение механизма зрения внес Леонардо да Винчи, производя анатомирование глаза. Ему удалось выявить его основные части, сравнить его работу с действием оптических приборов и обнаружить тот факт, что два глаза видят различные изображения тел. …зрение человека ограничено очень узким диапазоном электромагнитного спектра. Однако если бы наш глаз чувствовал, к примеру, инфракрасное излучение, то ощущал бы огромные помехи – ведь тело человека само излучает в этой области интенсивнее, чем большинство окружающих нас предметов. …вышедшая в 1944 году книга выдающегося физика-теоретика Эрвина Шредингера «Что такое жизнь с точки зрения физика?» послужила толчком к штурму проблемы передачи наследственной информации. Через несколько лет блестящим триумфом взаимодействия физики и биологии стала расшифровка основной «живой» молекулы – ДНК.

Что читать в «Кванте» о физике человека

(публикации последних лет) 1. «Физики в тумане» – 2010, №2, с.42; 2. «Зачем «близоруко щуриться»?» – 2014, №1, с.41; 3. «Вакуумный насос, наши легкие и камера «Мирабель» – 2014, №5/6, с.54; 4. «Физик в гостях у биолога» – 2015, Приложение №1; 5. «Буратино и его качели» – 2016, №3, с.27; 6. «Движение автомобилей и живых существ – и теорема о кинетической энергии» – 2017, №1, с.36. Материал подготовил А.Леонович

ОЛИМПИАДЫ

Геометрическая олимпиада имени И.Ф.Шарыгина

Игорь Федорович Шарыгин был непревзойденным композитором геометрических задач. Его задачи регулярно появлялись в «Кванте» и в «Математике в школе», предлагались на Международных, Всесоюзных и Всероссийских, Московских, Соросовских олимпиадах и еще на десятке олимпиад рангом ниже. Он задал весьма жесткие стандарты при отборе задач на любую олимпиаду. Задача должна быть: а) новой, содержащей свежие идеи; б) нестандартной, разбивающей стереотипы; в) имеющей геометрическое, а не «счетное» решение; г) наконец, задача должна просто быть красивой! Для этого ее автор обязан иметь хороший геометрический вкус. Предпочтение всегда отдавалось задачам, пришедшим из высокой науки, а не специально придуманным. После ухода Игоря Федоровича у его друзей, коллег и учеников родилась идея организовать олимпиаду его имени, которая (по мере сил) должна была соответствовать этим высоким стандартам. Олимпиада проходит ежегодно, начиная с 2005 года, и содержит только геометрические задачи. Однако в ней нет «однобокости», чего опасались скептики. Темы задач, кроме классической геометрии, включают комбинаторную геометрию, экстремальные задачи, задачи «из жизни», задачи с элементами математического анализа. Геометрия оказалась богаче и разнообразнее, чем нам пред-

ставлялось ранее. Целью олимпиады является популяризация геометрии как отдельной науки, а также выявление геометрически одаренных ребят. Среди победителей часто встречаются дети, которые никогда до этого не добивались больших успехов на других, общематематических олимпиадах. Форма проведения олимпиады также соответствует ее геометрической направленности. Первый тур – заочный, где школьникам дается несколько месяцев на неторопливое обдумывание сложных задач. Вариант заочного тура из 20–25 задач (для каждой задачи указываются классы, которым она предназначается) в начале года публикуется на интернет-портале www.geometry.ru. Варианты публикуются на русском и английском языках. Решения можно присылать до начала апреля. Победителей заочного тура приглашают на финальный тур, проходящий в Дубне (Московская область) в конце июля. На финальный тур приглашаются также победители устных геометрических олимпиад, которые проводятся в ряде городов России. Всего в финальном туре принимают участие около 100 школьников 8– 10 классов из более чем 10 стран. Финальный тур проводится в два дня. Каждый день участники решают по 4 задачи. Решение каждой задачи школьник должен защитить сам, объясняя его (устно) членам жюри. Во время финального тура для ребят и их родителей (или учителей) организуются популярные лекции по геометрии, культурная и спортивная программы. В жюри олимпиады входят профессиональные математики, школьные учителя, студенты – победители и призеры олимпиад прошлых лет из России, Украины, Казахстана, Болгарии, Ирана и других стран. Условия и решения задач заочных и финальных туров можно найти на сайте www.geometry.ru. Материалы первых десяти олимпиад были опубликованы в 113 и 134 выпусках «Библиотечки Квант».

36

КВАНТ 2017/№7

15. Дана трапеция ABCD с основанием AD. Центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой BD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABD лежит на прямой AC. XIII-З-8–9, Е.Бакаев

16. На плоскости отмечено несколько точек, причем не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками? XIII-З-8–11, А.Толесников каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки A, B и C (известно, что точка X ни разу не попала на сторону треугольника)? XII-Ф-8, В.Протасов

17. В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY? XII-Ф-9, В.Калашников

18. Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник. XII-Ф-9, А.Заславский

19. Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек [ i, j, k ], где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник $A_{1} A_{2}$ … $A_{100}$ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников $A_{i} A_{j} A_{k}$. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться? XII-Ф-10, Н.Белухов (Болгария)

20. Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ и $D_{0}$ соответственно. Докажите, что отрезки $A_{0} C_{0}$ и $B_{0} D_{0}$ равны. XIII-З-8, Л.Штейнгарц

21. В треугольнике ABC провели чевианы AA a, BB a и CC a, которые пересекаются в точке P. Описанная окружность треугольника PA a B a пересекает прямые AC и BC в точках M и N соответственно, а описанные окружности треугольников PC a B a и PA a C a повторно пересекают AC и BC соответственно в точках K и L. Проведем через середины отрезков MN и KL прямую c. Прямые a и b определяются аналогично. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке. XIII-З-10–11, Д.Прокопенко

22. Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим $y_{b}$ как образ прямой y при симметрии относительно XB, а $y_{c}$ – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть $y_{b}$ и $y_{c}$ пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих $y_{b}$ и $y_{c} ).$ XIII-З-10–11, В.Лучкин, М.Фадин

23. На диагонали AC вписанного четырехугольника ABCD взяли произвольную точку P и из нее опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML. XIII-З-10–11, М.Панов

Публикацию подготовил А.Заславский

37

ОЛИМПИАДЫ

Заключительный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап Всероссийской математической олимпиады школьников прошел в городе Калининграде с 24 по 30 апреля 2017 года. В олимпиаде приняли участие 364 юных математика из более 60 регионов России. Кроме того, традиционно в олимпиаде участвовали гости – команды Китая и Болгарии. Туры олимпиады, а также церемонии открытия и закрытия проводились в здании очень большой, но в то же время уютной и гостеприимной Гимназии №40 имени Ю.А.Гагарина. На олимпиаде работала большая команда волонтеров, которые вместе с оргкомитетом организовали знакомство участников как с памятными местами Калининграда, так и с его живописными окрестностями. Несмотря на то что задания олимпиады этого года были непростыми, в 9 и в 11 классах нашлись участники, сумевшие решить все задачи: девятиклассник Петр Мишура (Санкт- Петербург, ранее – Новосибирск), получивший специальный приз за абсолютный результат, и одиннадцатиклассник Никита Добронравов (Новосибирск), получивший специальный приз за решение самой сложной задачи олимпиады. После туров олимпиады было проведено голосование, в котором участники указали наиболее понравившиеся задачи. В 9 классе тройка лучших по мнению школьников задач это задачи 8 (I место), 3 (II место), 6 (III место); в 10 классе – 7 (I место), 4 (II место), 3 (III место); в 11 классе – 4 (I место), 7 (II место), 3 (III место). По окончании Всероссийской олимпиады была определена команда России на Международную математическую олимпиаду 2017 года, которая пройдет в Рио-де-Жанейро (Бразилия). В нашу сборную вошли пятеро выпускников: Никита Добронравов (Новосибирск),

Георгий Вепрев (Ярославль), Тимофей Зайцев (Москва), Михаил Иванов (Санкт-Петербург) и Кирилл Тыщук (Санкт-Петербург), а также десятиклассник Вадим Ретинский (Москва, ранее – город Ливны Орловской области). Ниже публикуем условия задач и список победителей заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Условия задач

9 класс 1. В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город A доступен для города B, если из B можно долететь в A, возможно с пересадками. Известно, что для любых двух городов P и Q существует город R, для которого и P, и Q доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что из города можно долететь до него самого.) В.Дольников

2. См. задачу М2466 «Задачника «Кванта».

3. Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, …, 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъемностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Могут ли все гномы переправиться на правый берег? А.Шаповалов, С.Усов

38

КВАНТ 2017/№7

4. Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, … натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трех различных членов последовательности? С.Берлов 5. На доске написаны n > 3 различных натуральных чисел, меньших чем n 1! 1 – 2 – … – n 1. Для каждой пары этих чисел Сережа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он получил бы 100 14 – 7 2 и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных. С.Берлов

5. Верно ли, что для любых трех различных натуральных чисел a, b и c найдется квадратный трехчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения $a^{3}, b^{3}$ и $c^{3}$? А.Храбров

6. Неравнобедренный треугольник ABC, в котором  ABC 60 o, вписан в окружность 7. На биссектрисе угла BAC выбрана точка A a, а на биссектрисе угла ABC – точка B a так, что AB a P BC и BA a P AC. Прямая A a B a пересекает 7 в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный. А.Кузнецов 8. См. задачу М2468 «Задачника «Кванта».

10 класс 1. На координатной плоскости нарисованы графики двух приведенных квадратных трехчленов и две непараллельные прямые $l_{1}$ и $l_{2}$. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на $l_{1}$, равны и отрезки, высекаемые графиками на $l_{2}$, также равны. Докажите, что графики трехчленов совпадают. А.Голованов

2. Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром в точке O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B a и C a соответственно. Через точку C a проведе-

на прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая l касается окружности, описанной около треугольника B a OC. А.Кузнецов

3. Изначально на столе лежат три кучки из 100, 101 и 102 камней соответственно. Илья и Костя играют в следующую игру. За один ход каждый из них может взять себе один камень из любой кучки, кроме той, из которой он брал камень на своем предыдущем ходе (на своем первом ходе каждый игрок может брать камень из любой кучки). Ходы игроки делают по очереди, начинает Илья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник? Д.Белов, И.Богданов, К.Кноп

4. См. задачу М2469 «Задачника «Кванта».

5. На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m. (Собственными делителями натурального числа a > 1 называются все его натуральные делители, отличные от a и от 1.) А.Храбров

6. См. задачу М2467,б) «Задачника «Кванта».

7. См. задачу 8 для 9 класса.

8. Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O и описан около окружности с центром I. Точка B a, симметричная точке B относительно прямой OI, лежит внутри угла ABI. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника BB a I, проведенные в точках B a и I, пересекаются на прямой AC. А.Кузнецов

11 класс

1. Число x таково, что обе суммы S sin 64 x sin 65 x и C cos 64 x cos 65 x – рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны. Н.Агаханов

40

КВАНТ 2017/№7

Заключительный этап LI Всероссийской олимпиады школьников по физике

ствии с положением об олимпиаде) направили на олимпиаду по одному представителю «по квоте». Для исправления этой ситуации Центральная предметно-методическая комиссия (ЦПМК) по физике совместно с фондом «Талант и успех» в марте 2017 года организовали в Образовательном центре «Сириус» подготовку к заключительному этапу олимпиады учащихся из «нетоповых» регионов (200 человек). Ниже приводятся задачи теоретического тура и список победителей заключительного этапа олимпиады.

Заключительный этап Всероссийской физической олимпиады прошел с 7 по 13 апреля 2017 года в городе Казани (Татарстан) на базе Приволжского федерального университета. В нем приняли участие 273 школьника. Что касается уровня подготовки школьников к олимпиаде по физике, то он остается стабильно высоким. Об этом свидетельствует тот факт, что при все возрастающем уровне сложности задач заключительного этапа большинство ребят с ними успешно справляется. Однако стоит отметить, что в целом по стране наблюдается резкая дифференциация уровня подготовки учащихся по физике. Так, треть участников заключительного этапа – школьники Москвы. Достаточно широко представлены учащиеся из Санкт-Петербурга (15,4%), Мордовии (7,3%), Московской области (5,1%), Татарстана (4,4%), Вологодской области (3,3%), Свердловской, Новосибирской и Челябинской областей (по 2,5%). С другой стороны, учащиеся из 18 регионов не смогли набрать даже 50% от максимального числа баллов и на финале не были представлены вовсе, а учащиеся из 32 регионов Российской Федерации, хотя и набрали более 50% баллов от максимума, но не сумели преодолеть границу для прохода на финал и (в соответ-

9 класс Задача 1. Тише едешь… В безветренную погоду на озере была проведена серия испытаний радиоуправляемой модели катера с бензиновым двигателем, в ходе которых выяснилось, что при скорости $v_{1} = 5,00$ км/ч линейный расход топлива составляет $L_{1} = 20,0$ г/км, а при скорости $v_{2} = 15,0$ км/ч расход равен $L_{2} = 40,0$ г/км. Запас топлива на борту модели M = 100 г. i Выведите зависимость линейного расхода топлива L от скорости v.

Подготовка эксперимента

Идет эксперимент

Теоретический тур

41

ОЛИМПИАДЫ

i Какое максимальное время $T_{x}$ может работать двигатель у неподвижной модели? i При какой скорости модели $v_{0}$ линейный расход топлива минимален и каково его значение $L_{0}$? Полученные результаты должны быть найдены с погрешностью, не превышающей 1%. i На какое максимальное расстояние $L_{0}$ и за какое время $T_{0}$ сможет уплыть модель? i Какие значения $T_{1}$ может принимать время прохождения моделью расстояния $L_{1} = 3$ км? Примечание. Считайте, что при работе двигателя массовый расход топлива $M_{0}$ (г/с) линейно зависит от мощности силы сопротивления, а сила сопротивления пропорциональна скорости модели относительно воды. Модель движется равномерно и при любой скорости ее осадка не меняется. М.Замятнин Задача 2. С дымком При проведении аэрофотосъемки местности была получена фотография, на которой видны два шлейфа дыма от паровозов (рис. 1). Одной клетке на фотографии соответствует 50 м на местности. Известно, что один паровоз двигался равномерно по кольцевой ветке железной дороги, а другой с такой же скоростью двигался по прямой. Определите: i направление скорости ветра; i радиус R кольцевой железной дороги; i отношение скорости паровоза v к скорости ветра u; i направление прямой железнодорожной ветки (выполните построения с помощью циркуля и линейки). М.Замятнин

Рис. 1

Задумался

Задача 3. Нелинейная спираль Сопротивление R спирали зависит от температуры по закону $R R_{0} A t t_{0}$, где t – температура спирали, $R_{0} = 10$ Ом, A 40,0 – $10^{3}$ Ом o С $, t_{0} 20 o C$. На спираль подается напряжение U = 220 В, и за время $T_{1} = 100$ мкс она нагревается от $t_{0}$ до $t_{1} 80 o C. i$ До какой температуры $t_{2}$ нагреется система за время $T_{2} = 334$ мкс от момента включения нагревателя? i Определите теплоемкость С спирали. А.Бычков

Задача 4. Два нелинейных элемента Электрическая цепь состоит из двух одинаковых нелинейных элементов X, потенциометра, сопротивление между неподвижными контактами которого R = 100 Ом, и идеальной батарейки с напряжением $U_{0} = = 10,0$ В (рис.2,а). Вольт-амперная характеристика элемента Х приведена на рисунке 2,б. Определите: i суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах при крайних положениях движка потенциометра; i суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах при положении движка потенциометра на его середине;

Рис. 2

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

КАКОЙ БЫВАЕТ КОЛЕЯ

ЗАДАЧИ

При движении колеса по колее переменной ширины след от каждого рельса представляет собой винтовую линию на поверхности конуса.

(см. «Квант» №6)

1. Антон Борисов, Вася Васильев, Гриша Григорьев, Боря Антонов. Посмотрим, как ребята сидели за столом во второй раз. Напротив Антона – не Антонов (так как они уже сидели напротив ранее), не Борисов (так как напротив него сидит Гриша) и не Васильев (так как он сидит рядом с Антоном), значит, это Григорьев. Антон не может быть Антоновым (они сидели напротив), рядом с ним сидит Васильев, а напротив него сидит Григорьев, значит, Антон – Борисов. Напротив Борисова – Гриша, значит, Гриша – Григорьев. Васильев и Боря – разные люди, и рядом с Васильевым сидят Антон и Гриша, значит, Васильев – Вася. Тогда Антонов – Боря. 2. Подходят все имена, начинающиеся на «Ми» и оканчивающиеся на «я», например Митя. 3. Пронумеруем места, на которых написаны знаки. Вите надо сделать так, чтобы на четных местах остались знаки одного типа, а на нечетных – другого. Посмотрим на пятнадцать нечетных мест, каких-то знаков там больше, допустим плюсов, т.е. их минимум 8. Тогда на четных местах минусов больше, т.е. минимум 8. Если Витя исправит знаки так, чтобы на нечетных местах стояли плюсы, а на четных минусы, то ему придется исправить не больше 7 + 7 = 14 знаков. 4. Если мы найдем гирьки с суммарной массой 6 граммов, то добьемся цели. Если мы найдем 4 гирьки с суммарной массой 4 или 8 граммов, то поймем, какая гирька сколько весит, после чего тоже легко добьемся цели. Взвесим 4 гирьки, их масса может быть от 4 до 8 граммов. Случаи 4, 6 и 8 граммов разобраны выше. Если они весят 5 граммов, то оставшиеся 4 гирьки весят 7 граммов и наоборот. Масса в 5 граммов может быть набрана только одним способом: 1, 1, 1 и 2 грамма, назовем эти гирьки группой А, и в 7 граммов – тоже одним способом: 1, 2, 2, 2 грамма – группа Б. Вторым действием взвесим 2 гирьки из группы А и 2 гирьки из группы Б. Случаи, когда их масса 4, 6 или 8 граммов, разобраны выше. Если их масса 5 граммов, то из группы А попались гирьки 1 и 1 граммов, из группы Б – 1 и 2 грамма. Значит, можно взять эти гирьки группы А и не участвовавшие во взвешивании гирьки группы Б. Их суммарная масса – 6 граммов. Случай, когда их масса 7 граммов, разбирается аналогично.

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. Нет тела отсчета, относительно которого происходит движение. 2. На глубоких местах в большей степени проявляется действие выталкивающей силы, ослабляющей давление на дно. 3. При пересадке с ядра на ядро барон испытал бы огромное ускорение. Организм человека не в состоянии перенести перегрузки, вызываемые столь быстрым изменением скорости. 4. Для лучшей обтекаемости тела и уменьшения силы сопротивления. 5. С уменьшением атмосферного давления при подъеме в горы суставы менее плотно прилегают друг к другу, из-за чего действие конечностей «разлаживается» и становятся возможными различные травмы. 6. На поверхность воды действует атмосферное давление, мы же в полости рта давление воздуха уменьшаем. За счет разности давлений вода и поднимается вверх. 7. При температуре воздуха, близкой к $37 \infty C$, замедляется процесс передачи воздуху непрерывно выделяемого человеком тепла, и в теле образуется избыточная внутренняя энергия. 8. Скорость воздуха, выдуваемого тонкой струйкой, велика, и давление в струе меньше атмосферного. К поверхности чая «подается» захватываемый струей холодный воздух, не насыщенный водяными парами, что способствует испарению и охлаждению жидкости. В другом случае выдыхается теплый, насыщенный парами воздух, скорость которого мала. Он-то и греет руки. 9. При уменьшении размеров тела возрастает отношение площади его поверхности к объему. Теплоотдача, определяемая именно площадью поверхности, растет и потеря тепла происходит интенсивнее. 10. Во время дождя вода не испаряется с нашей кожи и не охлаждает нас. 11. При растягивании суставов падает давление в суставной сумке, и находящаяся там жидкость как бы закипает. В ней появляются пузырьки газа, которые при сильном растяжении с треском лопаются. 12. В поле заряженной гильзы кисть руки, вследствие электростатической индукции, электризу-

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

угольника, образованного полицейскими. Таким образом, степень точки X относительно описанной окружности образованного полицейскими треугольника каждый вечер уменьшается, следовательно, полицейские не могут вернуться в исходные точки.

11. 1: 2. Первое решение. Пусть $I_{a}, I_{b}, I_{c}$ – центры вневписанных окружностей треугольника ABC (рис. 5). Тогда для треугольника $I_{a} I_{b} I_{c}$ тре-

Рис. 5

угольник ABC является ортотреугольником, а его описанная окружность – окружностью девяти точек. Поэтому центр описанной окружности треугольника $I_{a} I_{b} I_{c}$ находится в точке, симметричной I относительно O, а ее радиус равен удвоенному радиусу описанной окружности ABC. В эту же окружность вписан треугольник A a B a C a, полученный из ABC гомотетией с центром I и коэффициентом 2. Прямая l, проходящая через I перпендикулярно OI, высекает в этой окружности хорду с серединой в I, также через I проходят хорды $I_{a} Aa$ и $I_{b} Ba$. По теореме о бабочке прямые $I_{a} I_{b}$ и A a B a пересекают l в точках, симметричных относительно I, следовательно, IX: IY = 1: 2. Второе решение. Рассмотрим ГМТ, для которых сумма ориентированных расстояний до сторон треугольника ABC равна 3r, где r – радиус вписанной окружности треугольника. Так как ориентированное расстояние является линейной функцией координат точки, этим ГМТ будет проходящая через I прямая. Поскольку сумма проекций вектора OI на ориентированные прямые AB, BC, CA равна нулю, то эта прямая перпендикулярна OI. Так как точка Y лежит на внешней биссектрисе угла C, сумма расстояний от нее до прямых AC и BC равна нулю. Значит, расстояние от Y до AB равно 3r, т.е. YX = 3IX.

РЕШЕНИЯ

12. Пусть в треугольнике ABC  A r  B r  C. Тогда высоты $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ удовлетворяют неравенству $h_{a} b h_{b} b h_{c}$ и аналогичное неравенство выполнено для биссектрис $l_{a}, l_{b}, l_{c}$. Рассмотрим два случая. 1) Пусть  B r 60 o. Тогда  A  B b  B  C, и $h_{c} l_{c}$ cos  A  $B 2 r h_{a} l_{a}$ cos  B  C 2. Аналогично, $h_{c} l_{c} h_{b} l_{b}$. Значит, из неравенства $h_{c} h_{a} h_{b}$ следует, что $l_{c} l_{a} l_{b}$. 2) Пусть  B b 60 o. Тогда, так как  A 90 o,  C 30 o. Поэтому $l_{a} r h_{a} AC$ sin  C AC 2 и $l_{b} BC 2$. Но биссектриса $l_{c}$ не превосходит соответствующей медианы, которая меньше полусуммы сторон AC и BC. Следовательно, $l_{c} l_{a} l_{b}$. Примечание. Заметим, что при разборе первого случая не использовалось условие остроугольности треугольника, а при разборе второго – то, что из высот можно сложить треугольник. Тем не менее, оба условия являются необходимыми. Пример тупоугольного треугольника, для которого из высот можно сложить треугольник, а из биссектрис нельзя, приводится в решении задачи 5 для 9 класса VII Олимпиады. 13. s = 0. Первое решение. Сначала докажем следующую лемму. Лемма. Пусть T – множество из не более чем n – 3 треугольников, вершины которых выбираются из вершин выпуклого n-угольника $P A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$. Тогда можно раскрасить вершины P в три цвета так, что вершины каждого цвета образуют непустое множество подряд идущих вершин P и множество T не содержит треугольников с разноцветными вершинами. Доказательство леммы проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение верно, так как T пусто. Пусть n > 3. Если $A_{1} A_{n}$ не является стороной никакого треугольника из T, покрасим $A_{1}$ и $A_{n}$ в два разных цвета, а остальные вершины – в третий цвет. Пусть $A_{1} A_{n}$ является стороной хотя бы одного треугольника из T. Образуем множество U, удалив из T все такие треугольники и заменив в остальных $A_{n}$ на $A_{1}$. Используя предположение индукции для многоугольника $Q A_{1} A_{2}$ … $A_{n} 1$ и множества U, раскрасим вершины Q. Теперь, раскрасив $A_{n}$ в тот же цвет, что $A_{1}$, получим искомую раскраску P. Пусть теперь Дьявол строит раскраску, соответствующую названным Человеком тройкам, и рисует выпуклый 100-угольник P площади 100, вписанный в окружность k так, что все вершины P цвета i лежат на дуге $c_{i}$ с градусной мерой Eo,

59

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

4. n = 2018. Положим k = 2017. При n = k + 1 фокус устроить легко. Фокусник и помощник нумеруют цвета числами от 1 до k. Помощник, видя цвет последней, ( k + 1 ) -й карты (пусть его номер равен a), оставляет открытой a-ю карту. Фокусник, увидев, какая по номеру карта открыта, восстанавливает цвет последней карты. Осталось показать, что при n £ k фокус не удастся. Предположим противное и рассмотрим возможные действия фокусника. Пусть, видя на i-м месте карту цвета a, он объявляет, что на j-м месте карта цвета b (тогда $i \pi j );$ будем назы- вать это инструкцией ( a, i ) Æ ( b, j ). Можно считать, что для каждой пары ( a, i ) существует только одна инструкция вида ( a, i ) Æ ( b, j ) (и фокусник при возможности всегда применяет ее – поскольку никакой информации о том, какую из таких инструкций применять, у него нет). Тогда инструкций не больше чем kn. Будем говорить, что исходная раскладка карт удовлетворяет инструкции ( a, i ) Æ ( b, j ), если в ней на i-м и j-м местах лежат карты цветов a и b соответственно. Тогда каждой инструкции удовлетворяет ровно $k^{n} -^{2}$ раскладок. С другой стороны, если фокус гарантированно удается, то каждая возможная раскладка удовлетворяет хотя бы одной инструкции – той, которую применят помощник с фокусником. Значит, общее число раскладок не может превосходить kn ◊ $k^{n} -^{2}$, т.е. $k^{n}$ £ $k^{n} -^{1} n$, откуда k £ n. Тогда k = n, и неравенство выше обращается в равенство. Это значит, что каждая раскладка удовлетворяет ровно одной инструкции, и с каждой пары ( a, i ) начинается ровно одна инструкция. Рассмотрим произвольную инструкцию ( a, i ) Æ ( b, j ); тогда есть и инструкция вида ( b, j ) Æ ( c, k ). Поскольку не существует раскладки, удовлетворяющей обеим инструкциям, должны выполняться условия i = k и $a \pi c$. С другой стороны, для любых двух инструкций ( a, i ) Æ ( b, j ) и ( c, k ) Æ ( d, l ) среди номеров i, j, k, l должны быть совпадающие – иначе опять же существует раскладка, удовлетворяющая обеим инструкциям. Рассмотрим граф с вершинами 1, 2, …, k, в котором i и j соединены ребром [i, j], если существует инструкция вида ( a, i ) Æ ( b, j ) (по доказанному выше, существу- ет также и инструкция вида ( b, j ) Æ ( a ¢, i ) ). Тогда любые два ребра в этом графе имеют общую вершину, и из каждой вершины выходит хотя бы одно ребро. Пусть для определенности [1, 2] – ребро этого графа. Из вершины 3 выходит ребро, имеющее общую вершину с первым –

РЕШЕНИЯ

пусть для определенности это [1, 3]. Тогда любое ребро из вершины k > 3 обязано иметь вид [1, k], чтобы иметь общие вершины с каждым из ребер [1, 2] и [1, 3]. Наконец, любое ребро вообще должно иметь общую вершину с каждым из ребер [1, 2], [1, 3] и [1, 4], т.е. должно содержать вершину 1. Итак, в каждой инструкции один из номеров мест равен 1. Наконец, сопоставим каждому месту i > 1 все такие цвета a, что существует инструкция вида ( c, i ) Æ ( a, 1 ). Из сказанного выше следует, что разным местам не может быть сопоставлен один и тот же цвет. Поскольку таких мест k – 1, а цветов k < 2 ( k - 1 ), какому-то месту i сопоставлен только один цвет a, т.е. имеются все k инструкций вида ( c, i ) Æ ( a, 1 ) при всевозможных c. Однако существует также инструкция вида ( a, 1 ) Æ ( c, i ) для некоторого c. Но она не может существовать вместе с инструкцией ( c, i ) Æ ( a, 1 ); противоречие. 6. 3800 фишек. Пример, содержащий 3800 фишек, получается, скажем, так. Выделим у квадрата 200 ¥ 200 «каемку» ширины 5. Эта каемка состоит из четырех угловых квадратов 5 ¥ 5 и четырех прямоугольников 5 ¥ 190. Расставим фишки в эти четыре прямоугольника: в левый и в верхний – красные, а в правый и в нижний – синие. Нетрудно видеть, что этот пример удовлетворяет всем требованиям и в нем по 1900 красных и синих фишек. Осталось доказать, что фишек не может быть больше 3800. Рассмотрим произвольную расстановку фишек, удовлетворяющую требованиям. Назовем ряд (строку или столбец) разноцветным, если в нем есть фишки обеих цветов. Сделаем сразу два полезных замечания. Во-первых, каждая фишка видит какую-то фишку другого цвета, поэтому каждая фишка лежит хотя бы в одном разноцветном ряду. Кроме того, поскольку разноцветный ряд содержит красную фишку, в нем не может быть более пяти синих фишек (иначе красная все их увидит). Аналогично, в разноцветном ряду не более пяти красных фишек, т.е. всего не более 10 фишек. Теперь нетрудно получить требуемую оценку. Если есть 191 разноцветная строка, то в них не более 191 ◊ 10 = 1910 фишек, а в оставшихся девяти строках не более 9 ◊ 200 = 1800 фишек, итого не больше 1910 + 1800 < 3800 фишек. Аналогично разбирается случай, когда есть 191 разноцветный столбец. Если же и тех и других не более чем по 190, то они содержат не более 190 ◊ 10 + 190 ◊ 10 = 3800 фишек, причем все фишки содержатся в этих рядах. Оценка доказана.