Квант 2017, №10 · Страницы

4

КВАНТ 2017/№10

вается эквидистантой, что значит «линия равных расстояний». Как и в случае с движением по орициклу, к ситуации с неособой h можно перейти с помощью подходящей симметрии (рис.24).

Рис. 24

Для краткости назовем движение по семейству эквидистант скольжением. Как мы знаем, скольжение вдоль прямой h есть композиция симметрий относительно двух прямых (a и b), перпендикулярных h. Понятие скольжения мы будем использовать и в двух других геометриях. В евклидовом случае скольжение есть параллельный перенос вдоль прямой h (рис.25);

Рис. 25

роль эквидистант играют прямые, параллельные h. На сфере же скольжение оказывается поворотом. Это удобно представлять себе в «географических» терминах: если h считать экватором, то прямые a и b будут меридианами, а композиция $S_{a} o S_{b}$ – поворотом вокруг северного (или, что то же самое, южного) полюса (рис.26). Роль эквидистант играют параллели (рис.27).

Рис. 26

Рис. 27

Итак, на плоскости Лобачевского композиция двух симметрий – это либо поворот, либо сдвиг по семейству орициклов, либо скольжение. В евклидовом случае остаются только поворот и скольжение, а в сферическом и эти два случая совпадают и остается только поворот. Заметим, что в каждом из трех случаев движение можно представить в виде композиции двух симметрий не единственным образом. Действительно, поворот $R_{A}^{J}$ равен $S_{a} o S_{b}$ для любых двух прямых a и b, пересекающихся в точке A под углом J 2 (напомним, что угол считается со знаком: важно, в каком порядке взяты его стороны). Следовательно, в качестве прямой a можно взять произвольную прямую, проходящую через точку A. Вторая прямая при этом определяется однозначно. То же самое происходит и в случаях (2) и (3). Для (2), перейдя с помощью сопряжения к особому случаю, мы можем взять в качестве a любую особую прямую, тогда b будет особой прямой на данном расстоянии от a. Для (3) в качестве a можно взять любую прямую, перпендикулярную h. Для единообразия назовем то множество, из которого мы можем выбирать прямую a, пучком прямых. В случае (1) пучок состоит из прямых, проходящих через данную точку; в случае (2) – из параллельных прямых; наконец, в случае (3) – из прямых, перпендикулярных данной прямой h. Для евклидовой плоскости случаи (2) и (3) совпадают: пучок параллельных прямых и есть пучок прямых, перпендикулярных данной. На сфере же возможен только случай (1). Таким образом, во всех трех геометриях верно следующее утверждение. Лемма о замене симметрий: Композицию $S_{a} o S_{b}$ можно записать также в виде $S_{a} 1 o S_{b} 1$, где одна из прямых $a_{1}$ и $b_{1}$ выбирается произвольно из пучка, содержащего прямые a и b (другая прямая определяется однозначно). Эта лемма пригодится нам для вычисления композиции трех симметрий, $S_{a} o S_{b} o S_{c}$. Постараемся провести рассуждения единообразно для всех трех геометрий: мы будем пользоваться только

Принцип 80: 20 в биологии

А.МИНЕЕВ

ПРИНЦИП 80:20 ШИРОКО ИЗВЕСТЕН и «работает» в самых разных областях человеческой деятельности, хотя и носит оттенок таинственности, загадки и парадокса. Другое его название – принцип Парето, по имени итальянского социолога и экономиста. В самом конце XIX века, обрабатывая статистические данные, он обнаружил, что 20% населения владеют 80% всех материальных ресурсов. Соответственно, 80% населения принадлежат оставшиеся 20% ресурсов. Дальше – больше. Выяснилось, что 20% покупателей приносят 80% прибыли, 80% пользователей посещают 20% сайтов и так далее и тому подобное. В попытках использования этого принципа дошли до того, что крупнейшие производители программного обеспечения (IBM, Apple, Microsoft, Lotus), обнаружив в свое время, что 80% времени затрачивается на обработку 20% команд, решились на существенную переделку своего программного обеспечения. Обратив особое внимание на скорость обработки 20% наиболее используемых ко-

манд, они повысили общую производительность (так называемые RISC-процессоры). А за счет упрощения обработки оставшихся 80 % команд сделали компьютеры более дешевыми и простыми в обращении. Классическое правило 80:20 гласит: «80% работы выполняют 20% сотрудников и наоборот». К этому шутливому высказыванию есть и соответствующее дополнение: «80% считают, что они входят в те самые 20% наиболее ценных». Наверное, что-то и в этом есть, но такую тему развивать не решимся, к физике и биологии она имеет малое отношение… Проявления подобного принципа (в чуть иной пропорции) обнаружились и «в мировом масштабе» – как вырвавшись во вселенские просторы, так и спрятавшись в глубь генома. При этом и в попытках познать структуру Вселенной, и при расшифровке генома человека было обнаружено нечто совсем загадочное и бросающее вызов, столкнувшись даже не с 80:20, а с подавляющим 95:5.

7

ПРИНЦИП

80:20

Так, для согласования картины строения и эволюции Вселенной в настоящее время принимается, что на обычное вещество (включая звезды и планеты) приходится всего 5% массы Вселенной, а остальные 95% заняты неизвестно чем. Название этому «нечто» уже придумали: темная материя (около 20–25% массы) и темная энергия (остальные 75–70%), но в понимании далеко не продвинулись. Не лучше ситуация и с расшифрованным геномом. Сама расшифровка стала огромным достижением ученых, однако оказалось, что 95% длины ДНК в геноме тоже занято непонятно чем. И тут также придумали подходящее название: «мусорная» или «некодирующая» ДНК. Была высказана надежда, что это нечто – «темное», «мусорное», иными словами, «некодирующее» – поможет объяснить чтото очень важное и в макро-, и в живом мире, а именно эволюцию, соответственно, Вселенной и живых организмов. Немного озадачив читателя, перейдем к расшифровке названия заглавия и смысла нашей статьи, сосредоточимся на необычном биологическом примере проявления правила 20:80 и связанного с этим правилом парадокса.

«Потерянные» 80%

Этот парадокс «спрятан» совсем рядом, и каждый сталкивается с ним на бытовом уровне. Представьте себе человека средней упитанности, массой 70–80 кг, малоподвижного и потребляющего в день с пищей 1800 ккал энергии. Посадим его в кресло и оставим в состоянии покоя и температурного комфорта. В этом состоянии его организм потребляет с пищей и, соответственно, выделяет в окружающую среду около 80 Вт мощности. На что указанная мощность расходуется? Человек живет, дышит, его сердце перекачивает кровь: в условиях покоя через сердце проходит 300 литров крови за час. За это же время легкие пропускают 500 литров воздуха… Однако процитируем содержащее уникальный накопленный материал многотомное издание К.П.Иванова «Основы энергетики организма»:

В

БИОЛОГИИ

«…при полном мышечном покое человека сердце потребляет не более 8–9 %, а дыхательные мышцы – не более 3–4% энергетического бюджета, т.е. в сумме 11–13%. Добавим к этой сумме постоянные энергорасходы почек, которые потребляют примерно 7% бюджета и работают непрерывно. В сумме это 20%. На какие нужды расходуются остальные 80%?» Итак, снова сталкиваемся с принципом 80:20. Удастся ли разрешить его природу в этом случае? Без этого в жизнедеятельности человека, как и в случае загадки строения Вселенной, появляется «темная энергия». Ее разгадка на первый взгляд сама несет в себе оттенок парадокса: основную часть энергии в состоянии покоя организм тратит на «переборку» самого себя, иначе говоря, на обновление основных структур клеток. Хотя нить ответа, возможно, нащупать уже удалось: 80 % энергии тратится на, казалось бы, совершенно бесполезное дело – постоянное разрушение и одновременно воссоздание одних и тех же живых структур. Как говорится в быту, ломать – не строить. А тут организм сам себя непрерывно и ломает, и тут же строит, более того, тратит на это основную часть энергии. Зачем? Пройдемся по страницам упомянутой книги с ручкой и калькулятором, делая попутно некоторые комментарии.

Время жизни клеток в организме (данные измерений)

Для начала приведем таблицу (см. таблицу 1), касающуюся измеренной продолжительности жизни клеток органов человека. Отметим, что «в среднем» наше тело полностью обновляется за 5–10 лет, в течение которых место старых клеток занимают новые. В то же время часть структур организма обновляется существенно быстрее. Видно, что лейкоциты, а также клетки эпителия желудка, тонкого кишечника и легких обновляются довольно быстро (грубо – в пределах недели). Альвеолы, расположенные на концах бронхов, обновляются раз в год, а клетки на поверх-

8

КВАНТ 2017/№10

Таблица 1

Продолжительности жизни клеток различных структур организма человека ности легких (воспринимающие вредные вещества, поступающие с дыханием) – 1–2 раза в месяц. Приблизительно с такой же скоростью обновляется и поверхность кожи. Примерно полугодичный срок нужен для обновления клеток печени и эритроцитов. Долгожителями являются клетки мозга, отвечающие за процессы зрения, – обновляются один раз за жизнь, клетки сердца – один-два раза за жизнь, а также клетки мышц, основной структуры кишечника и позвоночника, «живущие» 10–15 лет. Несколько лет могут «выдержать» и волосы. Похоже, что именно на такое непрерывное обновление организма и тратятся те самые недостающие 80% энергии.

Оценка времени обновления материала типичной клетки

Начнем с оценки минимального времени обновления нормально работающей клетки. Для этого воспользуемся значениями некоторых параметров типичной клетки (см. таблицу 2). Заметим, что указанная мощность относится к так называемой «клетке в пробирке» (in vitro), вне живого организма. Поделив энергию клетки Е на мощность метаболизма Р, получим оценку характерного времени преобразования материала клетки T:

$T \sim$

$E_{\sim} 6$ ◊ $10^{5} c_{\sim} 7$ суток. P

Таблица 2

Некоторые параметры типичной клетки организма человека

Вернемся к загадке смысла довольно быстрого обновления различных структур организма. Зачем это нужно? Оказывается, что в клетках, которые «в среднем» сохраняют постоянный состав, все время происходят процессы как создания новых структур, так и их разрушения. Иначе как клетке избавиться от отходов жизнедеятельности? Или синтезировать новые молекулы белков, жиров и углеводов? Или осуществить транспорт веществ внутри клетки? Или даже предохранить клетку от разрушения? Ведь процессы создания и разрушения структур протекают не вполне точно. Так, в книге К.П.Иванова приведены данные о том, что синтез белков из аминокислот происходит с ошибками и сбоями (в среднем частота ошибок составляет 3 ◊ $10^{-} 4 ).$ К сбоям в построении структур приводит также фон космической и земной радиации. Наконец, тепловое движение молекул тоже ведет к медленному разрушению слабых связей в молекулах, удерживающих их в неизменном состоянии. Характерный уровень энергии этих слабых связей несложно оценить.

Уровень энергии слабых связей

Будем отталкиваться от одной эмпирической закономерности для животных и птиц: при повышении температуры тела на $10 \infty C$ скорость метаболизма (иначе – обменных реакций в организме) увеличивается вдвое. Как эту информацию использовать? Примем, что скорость метаболизма v ( T ) экспоненциально зависит от отношения

10

КВАНТ 2017/№10

ет длинной цепочки превращений с участием ферментов, в то время как АТФ является конечным продуктом, «готовым к употреблению». В каждый данный момент времени его содержание в организме чрезвычайно мало (см. сравнительную таблицу 4). Однако

Таблица 4

Уровень содержания в организме

«производительность» АТФ колоссальна. Подсчитано, что за день в реакциях с высвобождением энергии расщепляется до уровня АДФ около 40 кг АТФ (половина массы тела человека!). Правда, столько же и ресинтезируется обратно. В итоге можно сказать, что АТФ «крутится» тудасюда, как белка в колесе.

Теорема Шаля в трех лицах

(Начало см. на с. 2)

(особый и неособый случай соответственно), скользящая симметрия сферы – иначе говоря, композиция поворота и симметриирии относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота, – на рисунке 33.

Рис. 33

Скользящую симметрию евклидовой плоскости мы рассмотрели в первой части статьи (см. рис.4).

Аналогия с белкой в колесе просматривается и с другой стороны: АТФ, будучи довольно большой молекулой, не может «просочиться» сквозь мембраны и поэтому заперта в клетке. В результате свой набор «квантов» АТФ имеется в каждой клетке, и располагаются они в мембранах митохондрий. АТФ обладает необычайно высокой скоростью обновления. Если принять, что в организме человека в каждый момент времени присутствует 20 г АТФ, и учесть, что за сутки расщепляется 40 кг АТФ, то выходит, что каждая молекула АТФ примерно 2000 раз расщепляется и затем вновь синтезируется, так что продолжительность ее жизни менее 1 мин! Такое быстрое обновление АТФ чрезвычайно важно для живого организма. И в состоянии покоя 80% мощности метаболизма организм тратит с пользой – на «ремонт» клеток и на транспортировку веществ внутри них.

Итак, мы перечислили все виды движений для каждой из трех геометрий, т.е. доказали следующую теорему. Теорема Шаля в трех $лицах:_{i}$ Всякое движение сферы есть поворот или скользящая $симметрия._{i}$ Всякое движение евклидовой плоскости есть поворот, параллельный перенос или скользящая $симметрия._{i}$ Всякое движение плоскости Лобачевского есть поворот, сдвиг по семейству орициклов, скольжение (сдвиг по эквидистантам данной прямой) или скользящая симметрия.

Статья написана по материалам лекций, прочитанных автором на Малом мехмате МГУ (Москва) и в ЮМШ (Санкт-Петербург) в 2015–2016 годах. Автор благодарит всех своих слушателей, прежде всего А.Зеленцову, И.Моторина и И.Токареву. Автор благодарен также А.Л.Канунникову и в особенности В.О.Бугаенко за ценные комментарии, позволившие значительно упростить и улучшить доказательство.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2482–М2484 предлагались на II Международной олимпиаде Мегаполисов, задача М2485а предлагалась на VIII Международной олимпиаде Romanian Master in Mathematics. Задачи Ф2489–Ф2492 предлагались на Всесибирской олимпиаде 2015 года.

Задачи М2482–М2485, Ф2489–Ф2492

M2482. Дан параллелограмм ABCD с тупым углом B, в котором AD > AB (рис. 1).

другой можно долететь, совершив четное число перелетов. При каком наименьшем натуральном d из любого города можно гарантированно долететь в любой другой, совершив четное число перелетов, не превосходящее d? (Разрешается посещать один и тот же город или совершать один и тот же перелет более одного раза.) И.Богданов

M2484. Натуральные числа x и y таковы, что [ x + 2, y + 2 ] - [ x + 1, y + 1 ] =

Рис. 1

На диагонали AC выбраны такие точки K и L, что – ABK = – ADL (точки A, K, L, C различны, причем K лежит между A и L). Прямая BK пересекает окружность W, описанную около треугольника ABC, в точках B и E, а прямая EL пересекает W в точках E и F. Докажите, что BF P AC. Б.Обухов

M2483. В стране между некоторыми парами городов осуществляются двусторонние беспосадочные авиарейсы. Известно, что из любого города в любой другой можно долететь, совершив не более 100 перелетов. Кроме того, из любого города в любой

= [ x + 1, y + 1 ] - [ x, y ]. Докажите, что одно из чисел x и y делится на другое. (Здесь через [a, b] обозначается наименьшее общее кратное чисел a и b.) Д.Джукич (Сербия)

M2485. а) Зафиксируем натуральное $n \ge 2$. Назовем n-ситом клетчатый квадрат n ¥ n, из которого удалили n клеток так, что из каждого столбца и из каждой строки удалена ровно одна клетка. Назовем полосками клетчатые прямоугольники 1 ¥ k и k ¥ 1 для всех натуральных k. Для любого n-сита A обозначим через m ( A ) наименьшее количество полосок, на которое его можно разрезать. Найдите все

17

ЗАДАЧНИК

пар противоположных сторон будет равен $90\infty$, 3) угол между изображениями диагоналей четырехугольника также будет равен $90\infty$. Установим, в каких случаях выполняются эти условия. Пусть есть тонкая собирающая линза и два непараллельных отрезка. Построим их изображения и поймем, когда эти изображения будут параллельными. Для построения возьмем лучи, идущие вдоль самих отрезков. Тогда каждый из таких лучей проходит и через один конец отрезка, и через другой и, следовательно, изображения отрезков будут лежать на этих лучах после их прохождения линзы. Но чтобы два луча после прохождения собирающей линзы были параллельны, до линзы они должны пересекаться в ее фокальной плоскости. Это значит, что точки пересечения лучей, которым принадлежат противоположные стороны четырехугольника, – точки А и В на рисунке 2 – лежат в фокальной плоскости линзы (показана точечной линией), а сама линза находится справа от

«КВАНТА»

принадлежащей полуокружности, проходящей через точки А и В. На рисунке 3 полуокружность показана пунктиром, а главная оптическая ось линзы – штрих-

Рис. 3

пунктирной линией, отмечены также фокусы F линзы. Таким образом, изображение четырехугольника в линзе, изображенной на рисунке 3, будет прямоугольником, причем таких положений линз будет очень много – ее центр может располагаться в любой точке пунктирной окружности. А можно ли подобрать такое расположение линзы, чтобы изображение четырехугольника было квадратом? Можно, причем для этого надо, чтобы изображения диагоналей четырехугольника были перпендикулярны друг другу. А это будет в том случае, если угол между лучами, вышедшими из точек C и D (рис.4) и проходящими через центр линзы, будет прямым. Для этого центр линзы

Рис. 2

прямой АВ в любом месте. В качестве примера на рисунке 2 показано одно из возможных расположений линзы, причем ее фокусное расстояние должно равняться расстоянию от линзы до прямой АВ. Итак, после прохождения линзы изображение четырехугольника будет параллелограммом. Установим теперь, когда это изображение будет прямоугольником. Очевидно, это случится, когда лучи, вышедшие из точек А и В и проходящие через центр линзы, будут перпендикулярны друг другу. Действительно, эти лучи не преломляются, все остальные лучи, проходящие через точки А и В, после прохождения линзы будут им параллельны. Поэтому центр линзы может лежать в любой точке,

Рис. 4

должен лежать на полуокружности, проходящей через точки C и D. Поскольку все построения проводились в правильном масштабе, рисунок 4 можно использовать для оценки фокусного расстояния линзы. Из рисунка находим, что

18

КВАНТ 2017/№10

расстояние от линзы до ее фокальной плоскости составляет около двух диагоналей одной клетки, т.е. $F \sim 3$ см. На рисунке 5 приведено окончательное

Рис. 5

Решетки четырехугольников

Н.БЕЛУХОВ

Эта статья посвящена истории трудной геометрической задачи, опубликованной в «Задачнике «Кванта» под номером М2473 (см. №7). Мы расскажем о том, как эта задача появилась, приведем ее решение и поговорим о том, как она связана с другими задачами и теоремами. Наша история начинается с такой задачи. Задача 1. Диагонали (выпуклого) описанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. На лучах PA, PB, PC, PD отметили соответственно точки A a, B a, C a, D a так, что PA – PA a PB – PB a PC – PC a PD – PD a

Рис. 1

построение изображения четырехугольника в найденной линзе, выполненное по правилам геометрической оптики. И, как видно из рисунка, изображение действительно похоже на квадрат, к которому, однако, нужно относиться несколько условно. Во-первых, потому, что небольшие ошибки в построении лучей могут достаточно сильно нарушить перпендикулярность изображений противоположных сторон, а во-вторых, потому, что законы геометрической оптики хорошо работают для лучей, наклоненных к главной оптической оси линзы под небольшими углами. Здесь же пришлось пользоваться лучами, наклоненными к главной оптической оси под большими углами.

$(рис.1).^{1}$ Докажите, что четырехугольник A a B a C a D a также является описанным. Эта задача является шагом в авторском решении задачи M1495 («Задачник «Кванта» №6 за $1995 г.).^{2}$ Сначала найдем углы четырехугольника A a B a C a D a. Из подобия треугольников PAB и PA a B a, PBC и PB a C a и т.д. имеем  A a  B a A a P  PA a D a

=  ABP  PDA 180 o  A. Аналогично,  B a 180 o  B и т.д. Значит, соответственные углы четырехугольников A a B a C a D a и ABCD дают в сумме 180o. Построим вне четырехугольника ABCD четырехугольник ABXY, подобный четырехугольнику A a B a C a D a (рис. 2). Так как  BXY 180 o  BCD, то CD P XY, т.е. CDYX – трапеция (или параллелограмм). Иными словами, мы «отмасштабировали» четырехугольник A a B a C a D a и склеили подобную копию четырехугольника A a B a C a D a с четырехугольником ABCD по

1 Иными словами, ABCD переходит в A a B a C a D a при инверсии с центром P. Об инверсии можно прочесть, например, в статье В.Уроева («Квант» №5 за $1984 г.).^{2}$ Автор задачи М1495 – И.Вайнштейн, авторское решение во многом опиралось на вычисления.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

1. Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на четыре части одинакового периметра так, чтобы среди этих частей не было равных. Т.Казицина

В семье Бесфамильных принято подсчитывать возраст семьи, т.е. сумму возрастов (число полных лет) папы, мамы и всех детей. Каждый год 31 декабря Бесфамильные празднуют день рождения своей семьи. В год, когда родился младший ребенок Вася, семье был 101 год. Через несколько лет Бесфамильные праздновали свое

Иллюстрации Д.Гришуковой

Состоялся матч по футболу 10 на 10 игроков между командой лжецов (которые всегда лгут) и командой правдолюбов (которые всегда говорят правду). После матча каждого игрока спросили: «Сколько голов ты забил?» Некоторые участники матча ответили «один», Миша сказал «два», некоторые ответили «три», а остальные сказали «пять». Лжет ли Миша, если правдолюбы победили со счетом 20:17? М.Евдокимов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на XL Турнире имени М.В.Ломоносова.

150-летие. Сколько детей в семье Бесфамильных? Д.Шноль

4. Леша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что «замыкающий» пятый треугольник – равнобедренный (см. рисунок; равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лешиного треугольника. Т.Казицина

28

КВАНТ 2017/№10

Как Бусенька проиграла кулинарный конкурс

К.КОХАСЬ

–Т

АКИМ ОБРАЗОМ, УЧАСТНИК, СТРОГО следуя рецепту, должен «всего лишь» сварить кашу, – мышь Огрыза внимательно посмотрела на зрителей. – В этом ведь и состоит истинное кулинарное мастерство! Вроде бы все делают одно и то же, но почему-то у одних это весьма неплохо получается, другие же только переводят продукты. А теперь я представлю вам участников конкурса: экстракулинар Бусенька! – раздались дружные аплодисменты, – стряпчий дятел Спятел!! – аплодисменты оказались чуть пожиже, – и мегабосс-повар… Злобнопотам!!! – зрители беспокойно заерзали и стали осматриваться, чтобы в случае чего знать, где находится кратчайший путь к выходу. – Для зачтения рецепта приглашается ведущий кулинарный эксперт… Ушася! – Внимание, рецепт! – произнес ведущий эксперт, глядя на зрителей. – Для изготовления каши требуется 100 граммов

овсяной крупы, щепотка соли, чайная ложка сахарного песка и немного воды. Овсянку положить в кастрюлю, добавить сахара, соли и воды, после чего варить 15 минут. – Хрюкси-кукси-букси, – ни с того ни сего вдруг сказал Ушася, повернувшись к участникам. Эту мантру он произносил всегда, когда пытался кого-нибудь загипнотизировать. – Постарайтесь обойтись наименьшим количество воды. Слишком жидкая овсяная каша отвратительна на вкус. – Прошу участников подойти к кухонным столам, – объявила Огрыза, – в вашем распоряжении 20 минут. Старт! Таинство приготовления каши началось. Больше всех суетился Злобнопотам. Он придирчиво осматривал плошки с ингредиентами, нервно принюхивался, тщательно измерял уровень воды в стакане и при этом непрерывно щелкал колючками и выпускал из ушей колечки розового дыма. Бусенька тоже была поглощена процессом. Неизвестно откуда она достала портативный гидравлический пресс, какие-то насосы и реторты, скорее уместные в химической лаборатории, чем на кухне. Полной противоположностью этим участникам являлся дятел Спятел, он, казалось, вообще ничего не делал, безмятежно расположившись в кресле. Время конкурса неумолимо подходило к концу. – Стоп! – объявила Огрыза. – Творческая фаза конкурса завершена. Переходим к дегустационной части. Мы пригласили в жюри тонких ценителей вкуса, прошу их подойти к столам, это – монстропитек Горгулий, таракан Кузька и уже знакомый вам уж Ушася. Теперь участники по очереди представят нам результаты своей дея-

30

КВАНТ 2017/№10

– Похоже, что эксперты «Кашб Деликатесьон» очень любят запеченные мюсли. Но тем не менее мы все считаем, что эта каша несъедобна. Однако, учитывая смягчающие обстоятельства – дух задания и все такое, – мы ставим за это блюдо щедрую и весьма неплохую оценку: 1 балл! Дятел Спятел с недовольством посмотрел на жюри, но спорить не стал. – Теперь жюри оценит работу последнего участника, – объявила Огрыза. – Бусенька! Жюри уже стояло возле стола Бусеньки и разглядывало результат. Результатом кулинарного творчества был обуглившийся коричневый диск, состоящий из какого-то вонючего спекшегося порошка. Ни с какой точки зрения это не было похоже на съедобное блюдо. Если при оценке творчества Злобнопотама доминирующими эмоциями жюри было подозрение и отвращение, а возле стола дятла Спятла – недоумение и отвращение, то теперь лидирующим было ощущение когнитивного диссонанса, а впрочем, и отвращения тоже. – Мне кажется, кто-то из нас спятил, – пробормотал Кузька. – Нам, домашним насекомым, часто случается иметь дело с крошками и прочими засохшими кусочками пищи, но это… это… – Я строго следовала заданию, – возразила Бусенька. – Дело в том, что хотя представленная крупа и казалась совершенно сухой, при помощи этого прекрасного пресса и вот этого не менее замечательного выпаривателя мне удалось выжать из нее почти 8 миллилитров воды. Таким образом, я не добавляла воду в кашу, а наоборот, извлекла из нее лишнюю воду, т. е., образно говоря, я сумела добавить в эту крупу отрицательное количество воды! Гениально, правда ведь? – Но это же совершенно несъедобно, – грустно сказал Горгулий, – абсолютно, вообще, ни при каких обстоятельствах! – Зато это совершенно идеально соответствует формуле. Значение, которое принимает твоя функция при W = 200 – это всего лишь локальный максимум, он

не является наибольшим значением функции, потому что у функции имеется еще один локальный максимум – отрицательный. Наибольшего значения вкусность достигает при W = –10 и равна 5,18 объеденинга. Но я сумела получить только W = –8, при этом вкусность равна 5,17 объеденинга, что все равно больше, чем у дятла Спятла. Вот как выглядит ваш график, если его продолжить еще немного влево:

Если бы мне дали повыпаривать из крупы воду в течение еще пары часов, а не 15 минут, я бы как раз и добыла еще 2 миллилитра воды! Вкуснотища!! Жюри, разинув рты, смотрело на Бусеньку. – Прошу жюри огласить оценку участницы, – поторопила Огрыза. Друзья долго совещались и, наконец, Ушася объявил: – Поскольку для оценок используется пятибалльная шкала, мы оцениваем кулинарные достижения Бусеньки в –5 баллов!!

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Трансформатор Тесла – что это такое в высоту (примерно высота 16-этажного здания!) и с выходным напряжением от 12 до 20 мегавольт, создающим разряды длиной в 30 метров. Трансформатор Тесла состоит из таких частей (рис.2):

В.УНУКОВИЧ

СИМЕНЕМ НИКОЛЫ ТЕСЛЫ СВЯЗАНО много великолепных изобретений и мистических историй. Так, после успехов Герца в проверке электромагнитной теории Максвелла Тесле пришла идея разработать высокочастотный генератор высокого напряжения. Его творение получило название «трансформатор Тесла» или же «катушка Тесла» и использовалось для проведения беспроводных экспериментов по передаче энергии на небольшие расстояния. Наиболее известным трансформатором является magnifying transmitter – усиливающий передатчик (рис.1), построенный Теслой в 1899 году. Устройство было поистине грандиозно: 15,5 метров в диаметре, 51 метр

Рис. 1

Рис. 2

i линейного фильтра Лф, служащего для выделения сигналов из определенного диапазона частот или для подавления нежелательных частот – шума; i повышающего трансформатора T; i разрядника Р, представляющего собой два контакта, между которыми находится воздух; i конденсатора $C_{1} ; i$ первичной и вторичной обмоток (катушек индуктивности) $L_{1}$ и $L_{2} ; i$ тора или шара (именно он виден в верхней части рисунка 1), присоединенного ко вторичной обмотке. Отметим важную вещь: обмотки не намотаны на сердечник, а расположены таким образом, что вторичная обмотка содержится в первичной, поскольку при протекании высокочастотных токов в контуре сердечник попросту плавится из-за больших токов Фуко. Сначала выделяют ток определенной частоты с помощью линейного фильтра, а после прохождения через повышающий трансформатор на выходе получают ток с большей амплитудой и той же частоты. За счет протекания этого тока заряжается конденсатор $C_{1}$, и когда разность потенциалов становится достаточно большой, то в разряднике происходит пробой (напряженность поля там настолько велика, что электроны проносятся через воздушный промежуток, будто он проводник). Сопротивление разрядника резко падает, и происходит замыкание цепи, состоящей из разрядника, конденсатора $C_{1}$ и первичной обмотки $L_{1}$. Данная цепь представляет собой колебательный контур, для

(Продолжение см. на с. 34)

От животных мы путем подражания научились важнейшим делам, … мы ученики ласточек в построении жилищ… Демокрит

Если бы оптик принес мне столь несовершенный инструмент, как человеческий глаз, я бы тотчас выбросил его за дверь. Герман Гельмгольц

… птица – это инструмент, действующий по законам математики. Леонардо да Винчи

В целом ряде актов, сопровождаемых сознанием и вызываемых внешним миром, живая материя может быть заменена автоматом. Николай Умов

Было бы, вероятно, полезно составить объектив зрительной трубы из различных сред, как это устроено в глазу природой, которая ничего не делает зря. Дэвид Грегори

… в живых существах нет ничего, что не могло бы быть понято с той точки зрения, что они состоят из атомов, действующих по законам физики. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакома вам

?

бионика

Этот термин отсутствует в приведенных в эпиграфе высказываниях, он родился лишь немногим более полувека назад, когда было выделено новое научное направление. Получив название «бионика», оно объединило подходы многих дисциплин, не в последнюю очередь – и физики. Целью было осмыслить строение и функционирование живых организмов для выявления наилучших возможностей создания уже рукотворных систем, механизмов и конструкций. Ведь природа в ходе миллиарднолетней эволюции «научилась» решать многие проблемы надежнее и экономичнее, чем это удается ученым и инженерам. Это и накопление и обработка информации; и задачи коммуникации и навигации; и преобразование одних видов энергии в другие… Однако размышлениям профессиональных исследователей предшествовали неисчислимые попытки наших далеких предков подсмотреть и позаимствовать у природы чтолибо удобное, практичное и полезное. Добавим к их пытливости и упорству наши знания, прежде всего по физике, чтобы справиться с сегодняшними не совсем обычными заданиями. Ведь они потребуют от вас наблюдательности, умения проводить аналогии, искать сходство между естественным и искусственным.

Вопросы и задачи

1. Яйцо выдерживает тяжесть курицы-наседки, но легко разрушается под ударами клювика слабого птенчика изнутри. Почему? 2. Чем может помочь внешний вид обитателей животного мира конструкторам морских и воздушных судов, а также автомобилей? 3. Велосипедисты в командных гонках вытягиваются друг за другом в цепочку, а истребители в групповом полете выстраиваются клином. Зачем? 4. Как движутся лапки водоплавающих птиц? Кто заимствует такой способ передвижения? 5. Кенгуру начинают двигаться с места, низко пригнувшись к земле, что помогает им быстрее достичь высокой скорости. Кому могло пригодиться подобное наблюдение? 6. Авиастроители долгое время не могли найти способ борьбы с флаттером – вредными колебаниями крыла самолета в полете, пока не догадались на конце крыла делать утяжеление. А как природа решает проблему гашения таких колебаний? 7. Кальмар совершает броски, засасывая воду внутрь имеющейся в его теле полости и «выстреливая» ею сквозь узкую воронку, причем та может поворачиваться, изменяя направление его движения. Такой метод весьма экономичен и позволяет животному дости-

гать скорости под 100 км/ч. Где схожий принцип используется в технике? 8. Почему такое эффективное изобретение, как колесо, природа обошла вниманием? 9. Рыба-прилипала обладает присоской, занимающей почти всю длину ее головы, и присасывается к другим рыбам, камням, лодкам так прочно, что ее легче разорвать, чем отцепить. Как действует присоска и где это может быть полезно? 10. Некоторые змеи, например щитомордники, обладают особыми органами, расположенными в ямках между их ноздрями и глазами. Благодаря им змеи восприимчивы к инфракрасному излучению. Где может пригодиться изучение таких термолокаторов? 11. Почему летучие мыши даже в полной темноте не налетают на препятствия? В чем могут помочь нам такие их способности? 12. Рыбка периофтальмус, зарываясь в ил, выставляет наружу глаза. Какие устройства, изобретенные человеком, это напоминает? 13. Тонкие и острые кремниевые иголочки морских губок, как выяснилось, способны проводить свет вдоль своей длины. В чем здесь природа опередила изобретателей?

Микроопыт

Наверняка во время прогулок на природе к вашей одежде или обуви прилипали колючки лопуха-репейника. Попробуйте найти в вашем гардеробе примеры использования этих особенностей растения.

Любопытно, что…

… яйца птиц и земноводных, скорлупа орехов, панцири черепах и крабов, раковины моллюсков – примеры прочных и легких природных оболочек, издревле изучаемых строителями и архитекторами и используемых ими, например, при сооружении арочных сводов. … исследованию полета птиц в надежде создать летательный аппарат для человека Леонардо да Винчи отдал почти четверть века, за что многие современники сочли его магом и даже сумасшедшим. … автомобильные дизайнеры поначалу добивались чисто внешнего сходства своих машин с быстроходными обитателями морских глубин – скатами и акулами. Но в дальнейшем инженерами концерна «Мерседес» совместно с биологами удалось создать истинно бионический автомобиль (Bionic Сar), опираясь на особенности строения рыбкикоробочки, а именно сделать его более обтекаемым, на 40% жестче и на треть легче, чем близкие по размерам прежние модели. … способность ящериц-гекконов взбираться по гладким стенам и бегать даже по потолкам не дает покоя конструкторам роботов. Исследуя строение лапок геккона, уже удалось разобраться во взаимодействии покрывающих их микроволосков с поверхностями – это электростатистическое притяжение молекул. Применяя искусственные нановолокна, канадские инженеры сделали робота-танкетку, ползающую вверх по стене, правда с еще небольшой скоростью. … насекомые, привлекаемые ярко окрашенными листьями-кувшинчиками растенияхищника непентеса, несмотря ни на какие ухищрения срываются с них. Такое природное устройство побудило материаловедов к созданию поверхностей, отталкивающих самые различные вещества. … как выяснили японские ученые, представители одного из видов пиявок выдерживают в течение суток температуру минус 196 градусов по Цельсию, а минус 90 переносили целых 32 месяца. Разгадка этого феномена поможет сохранять человеческие клетки или органы для трансплантации. …природа предоставляет примеры пока недостижимой многими нашими приборами и машинами эффективности. Например, при фотосинтезе КПД приближается к 75%, бактерии переводят в свет до 90% химических реакций, а у светлячков он достигает 100%!

Что читать к «Кванте» о бионике

(публикации последних лет)

1. «Перо птицы и воздушный полет» – 2012, №1, с.14; 2. «Дедал, Икар и центробежная сила» – 2014, №5–6, с.42; 3. «Физик в гостях у биолога» – 2015, Приложение №1; 4. «О махолете электрически» – 2016, №5-6, с.45; 5. «Движение автомобилей и живых существ…» – 2017, №1, с.36; 6. Калейдоскоп «Кванта» – 2017, №1, 4, 7.

Материал подготовил А.Леонович

42

КВАНТ 2017/№10

Занятия с командой проводили преподаватели сборов: педагог ФМЛ № 239 г. Санкт- Петербурга, к.ф.-м.н. С.Л.Берлов; профессор МФТИ, д.ф.-м.н. В.Л.Дольников; доцент МФТИ, к.ф.-м.н. П.А.Кожевников; старший научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН Ф.В.Петров; директор, педагог ФМЛ № 239 г. Санкт-Петербурга, к.ф.-м.н. М.Я.Пратусевич; педагог ФМЛ № 239 г. Санкт-Петербурга К.А.Сухов; доцент МФТИ, к.п.н. Д.А.Терёшин; программист Г.Р.Челноков. В подготовке команды помогали математики С.А.Дориченко, К.А.Кноп. Руководители команды благодарят Дмитрия Юрьевича Дойхена, который много лет поддерживает команду России в международных математических соревнованиях.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. Для произвольного целого $a_{0} 1$ определим последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2},^{…}$ следующим образом:

«® a, если $a_{n}$ – целое число, $a n 1 ¬^{n}$ ®­ $a_{n} 3$ в противном случае для всех n r 0. Найдите все значения $a_{0}$, при которых существует число А такое, что $a_{n} =$ А для бесконечно многих значений n. ЮАР

2. Пусть R множество всех вещественных чисел. Найдите все функции f: R m R такие, что для всех вещественных х и у выполнено равенство f f x f y f x y f xy.

Албания

3. Охотник и невидимый кролик играют в следующую игру на плоскости. Стартовая точка $A_{0}$ кролика и стартовая точка $B_{0}$ охотника совпадают. Пусть после n – 1 раунда игры кролик находится в точке $A_{n} 1$, а охотник – в точке $B_{n} 1$. Тогда в n-м раунде игры последовательно выполняются следующие три действия: (i) Кролик, оставаясь невидимым, перемещается в точку $A_{n}$ такую, что расстояние между $A_{n} 1$ и $A_{n}$ в точности равно 1. (ii) Следящее устройство сообщает охотнику некоторую точку $P_{n}$. При этом следящее устройство гарантирует только то, что

расстояние между точками $P_{n}$ и $A_{n}$ не больше 1. (iii) Охотник, оставаясь видимым, перемещается в точку $B_{n}$ такую, что расстояние между $B_{n} 1$ и $B_{n}$ в точности равно 1. Всегда ли возможно охотнику, при любых перемещениях кролика и любых сообщаемых следящим устройствам точках, выбирать свои перемещения так, чтобы после $10^{9}$ раундов он мог гарантировать, что расстояние между ним и кроликом не больше 100? Австрия

4. Пусть R и S – две различные точки на окружности 7 такие, что RS не является диаметром. Пусть l – касательная к 7 в точке R. Точка Т выбрана так, что S является серединой отрезка RT. Точка J выбрана на меньшей дуге RS окружности 7 так, что окружность Г, описанная около треугольника JST, пересекает l в двух различных точках. Пусть А – та из общих точек Г и l, которая находится ближе к точке R. Прямая AJ вторично пересекает 7 в точке K. Докажите, что прямая KТ касается Г. Люксембург

5. См. задачу М2481 «Задачника «Кванта».

Россия

6. Упорядоченная пара x, y целых чисел называется примитивной точкой, если наибольший общий делитель чисел х и у равен 1. Дано конечное множество S примитивных точек. Докажите, что существуют натуральное n и целые $a_{0}, a_{1},^{…}, a_{n}$ такие, что для каждой примитивной точки x, y из S выполнено равенство

$a_{0} x^{n}$

$a_{1} x^{n} 1 y$

$a_{2} x^{n} 2 y^{2}$

…

…

$a_{n} 1 xy^{n} 1$

$a_{n} y^{n} 1$. США

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, М.Пратусевич, К.Сухов, Д.Терёшин

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

ФИЗИКА

Профильный экзамен

В 2017 году профильный экзамен (дополнительное вступительное испытание) по физике в МГУ и в его Севастопольском филиале проводился в письменной форме. Типовое задание для абитуриента охватывало все основные разделы программы по физике для поступающих в МГУ: 1) механику, 2) молекулярную физику и термодинамику, 3) электродинамику, 4) оптику. По каждому разделу программы абитуриенту предлагались краткий вопрос по теории и дополняющая его задача. На выполнение всего задания отводилось четыре астрономических часа. Ниже приводятся примеры заданий профильного экзамена 2017 года.

МЕХАНИКА

1. Сформулируйте законы сухого трения. Дайте определение коэффициента трения. Задача. На гладкой горизонтальной поверхности лежит брус массой $m_{1} = 2$ кг и длиной l = 1 м (рис.1). Сверху на брус

Задача. По гладкому горизонтальному льду замерзшего озера скользит доска массой M = 20 кг со скоростью, модуль которой равен $v_{0} 2$ м с. Скорость доски параллельна ее длинной стороне. В некоторый момент времени стоящий на льду человек аккуратно опустил на эту доску брусок массой m = 1 кг так, что его центр масс оказался на прямой, проходящей через центр масс доски параллельно ее длинной стороне. Определите коэффициент трения M бруска о доску, если брусок перестал скользить по доске, переместившись относительно нее на расстояние l = 95 см. Считайте, что модуль ускорения свободного падения равен g 10 м $с^{2}$. Ответ округлите до двух знаков после запятой. 3. Дайте определение момента силы относительно оси вращения. Сформулируйте правило моментов. Задача. Тонкая однородная пластина П опирается одним ребром на гладкую горизонтальную поверхность, а другим – на шероховатую наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол A 45 o (рис.2).

Рис. 1

положили однородную доску такой же длины, масса которой $m_{2} = 1$ кг. Через время $t_{0} = 1$ с после того, как за привязанную к брусу веревку начали тянуть в горизонтальном направлении с силой F = 8 Н, левый конец доски стал опускаться вниз. Определите коэффициент трения M между доской и брусом. Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}. 2.$ Приведите формулы для зависимости от времени координаты и скорости материальной точки, совершающей прямолинейное равнопеременное движение.

Рис. 2

Модуль действующей на пластину силы тяжести равен P = 10 Н. К середине верхнего ребра пластины прикреплена гладкая невесомая нить, переброшенная через блок. На другом конце нити подвешен груз. Отрезок нити между пластиной и блоком параллелен наклонной плоскости, а между грузом и блоком – вертикален. Определите вес груза Q, при котором рассмотренная система будет находиться в равновесии, если коэффи-

45

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

Рис. 5

сферу. Электрическая постоянная равна

$E_{0} 8,85$ – $10^{12}$ Ф м. 3. Сформулируйте закон Ома для участка цепи. Чему равны сопротивления последовательно и параллельно соединенных проводников? Задача. Резистор сопротивлением R = 8 Ом подключен к источнику постоянного тока с внутренним сопротивлением r = 4 Ом. Резистор с каким сопротивлением $R_{x}$ надо подсоединить параллельно резистору сопротивлением R, чтобы мощность, выделяющаяся во внешней цепи, не изменилась?

ОПТИКА

1. Дайте определения фокусного расстояния и оптической силы тонкой линзы. Задача. В отверстие в вертикальной стенке аквариума плотно заделана тонкая плосковыпуклая линза с фокусным расстоянием F = 20 см (рис.6). На выпуклую поверх-

Рис. 6

ность линзы падает параллельно ее главной оптической оси узкий пучок света, который фокусируется внутри первоначально пустого аквариума. Если аквариум заполнить некоторой жидкостью, то точка, в которой фокусируются лучи, сместится на расстояние l 4 см. Определите показатель преломления жидкости n. Углы падения и преломления лучей считайте малыми. Учтите, что для малых значений аргумента x,

МАТЕРИАЛЫ

заданного в радианах, справедливы приближенные формулы sin x tg x x. 2. Сформулируйте законы преломления света. Дайте определения абсолютного и относительного показателей преломления. Задача. На сферическую поверхность прозрачного полушара радиусом R = 10 см c показателем преломления n = 1,5 падает луч света, параллельный оси, перпендикулярной основанию полушара и проходящей через его центр (рис.7). Точка паде-

Рис. 7

ния луча находится на расстоянии a = 1 см от этой оси. Какой угол G образует луч, вышедший из полушара, с нормалью к его основанию? При расчетах учтите, что a ≪ R, а для малых значений аргумента x, заданного в радианах, справедливо приближенное равенство sin x x. 3. Какие линзы называют тонкими? Запишите формулу тонкой линзы и поясните смысл входящих в нее величин. Задача. На расстоянии f = 15 м от объектива проекционного аппарата расположен экран размером 2 s 3 м. На экране получено четкое изображение диапозитива, имеющего размер 24 s 36 мм. При этом изображение занимает половину площади экрана. Рассчитайте оптическую силу D тонкой линзы, которую следует вплотную приставить к объективу проекционного аппарата, не меняя его положения, чтобы четкое изображение точно уложилось в размеры экрана. Объектив проекционного аппарата считайте тонкой линзой. Ответ приведите в диоптриях, округлив до одного знака после запятой. Публикацию подготовил С.Чесноков

46

КВАНТ 2017/№10

Новосибирский государственный университет

ФИЗИКА

Открытая межвузовская олимпиада школьников «Будущее Сибири»

Первый (отборочный) этап

8 класс

1. Машина проехала из пункта A в пункт B и обратно. Весь путь из A в B и половину обратного пути машина ехала с постоянной скоростью, а затем из-за поломки снизила скорость и проехала остаток обратного пути с постоянной, но меньшей скоростью. Во сколько раз машина снизила скорость, если известно, что ее средняя скорость на пути из A в B была втрое больше, чем на обратном пути? 2. Прямоугольный аквариум с размерами прямоугольного дна a s b наполнен водой плотностью $R_{0}$ до уровня на высоту h ниже края аквариума (рис.1). Какой объем воды

Рис. 1

выльется из аквариума, если опустить в него деревянный брусок плотностью R и объемом $V_{0}$? Брусок после погружения плавает в воде. 3. Легкая линейка длиной l лежит на двух опорах так, что они поделили ее на три равные части. На противоположных концах линейки лежат грузы разной массы. Конструкция находится в равновесии. Левый груз начали аккуратно двигать вправо так, что линейка оставалась неподвижной. Когда груз был сдвинут на $l_{1}$ (рис.2), конструкция потеряла равновесие и разрушилась. Конструкцию восстановили в ее начальном виде и

Рис. 2

повторили эксперимент, только теперь стали двигать правый груз влево. На какое максимальное расстояние $l_{2}$ можно сдвинуть груз до того, как разрушится конструкция? 4. В прямоугольном теплоизолированном сосуде, дно которого имеет форму квадрата со стороной 10 см, находятся в тепловом равновесии лед и вода (рис.3). Надо льдом закреплена сетка, препятствующая его всплыванию. В сосуд Рис. 3 налили 0,9 л горячей воды, имеющей температуру 80 o C, так, что она полностью покрыла лед. На сколько изменится уровень воды в сосуде, после того как наступит тепловое равновесие, если известно, что при этом часть льда растает? Теплоемкость воды 4,2 кДж кг – К, ее плотность 1000 кг $м^{3}$, теплота плавления льда 336 кДж кг, его плотность 900 кг $м^{3}$.

9 класс 1. Иван Царевич отправился в путь за путеводным клубком, подаренным ему Бабой Ягой. Первую треть пути, пролегавшему по полю, клубок катился с постоянной скоростью 5 км/ч, а затем углубился в лес, где его скорость упала вдвое. Иван Царевич шел с непостоянной скоростью вдоль разматывающейся нити по траектории клубка, стараясь не отставать от него. Чему равна средняя скорость Ивана Царевича на всем пути, если в начале пути он находился рядом с клубком, а конечной точки они достигли одновременно? 2. На столе лежат три одинаковые монеты. Одну из монет, возле края которой в точке А

48

КВАНТ 2017/№10

ном участках. Влиянием воздуха пренебречь. 4. По клину массой M, стоящему на шероховатом полу, соскальзывает брусок массой m (рис.9). Определите, при каком мини-

3. Два кусочка мела запустили по движущейся ленте транспортера, придав им одинаковую начальную скорость относительно неподвижного наблюдателя (рис.11). При этом

Рис. 9

мальном коэффициенте трения между столом и клином клин будет покоиться. Угол наклона клина A. Трением между бруском и клином, а также влиянием воздуха пренебречь.

11 класс

1. Мальчик стоял на берегу озера у самой воды и бросал камни в озеро под углом 15o к горизонту. Он заметил, что водяные круги достигают его ног через время T после падения камня. К мальчику подошел отец и тоже бросил камень в озеро, но под углом 45o и с вдвое большей начальной скоростью, чем это делал мальчик. Через какое время после падения камня, который бросил отец, водяные круги достигнут его ног? Считать, что круги по воде распространяются с постоянной скоростью. Ростом мальчика и его отца, а также влиянием воздуха пренебречь. 2. Герметичный цилиндрический сосуд массой m, высотой H и сечением S, наполненный воздухом, плавает в вертикальном положении в жидкости (рис.10). В нижней

Рис. 11

первый кусочек запустили по направлению движения ленты, а второй – против. Когда мелки остановились на ленте, оказалось, что след, прочерченный вторым мелком, в N раз длиннее, чем след, оставленный первым. Во сколько раз скорость, сообщаемая мелкам, больше по величине скорости ленты? 4. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого равно d, подключен к источнику напряжения (рис.12). Заряд конденсатора равен $q_{0}$. Внутрь кон-

Рис. 12

денсатора параллельно его обкладкам на расстоянии a (a < d) от одной из них вставили тонкую пластину, равномерно заряженную зарядом Q. Определите заряд конденсатора q после вставки пластины.

Второй (заключительный) этап

Рис. 10

части сосуда возникла течь, в результате чего сосуд занял новое положение равновесия, опустившись на высоту h. Найдите начальное давление воздуха в сосуде. Атмосферное давление равно $p_{a}$, ускорение свободного падения равно g. Температура постоянна.

8 класс 1. Велосипедист, двигаясь вдоль проспекта, заметил, что трамваи, движущиеся ему навстречу, встречаются вдвое чаще, чем обгоняющие его попутные трамваи. Автомобилист, двигаясь по тому же проспекту, также заметил, что встречные трамваи он видит вдвое чаще попутных, которые он периодически обгоняет. Считая скорости велосипеда, автомобиля и трамваев постоянными, а интервалы движения трамваев в обе стороны одинаковыми, определите, во сколько раз автомобиль двигается быстрее велосипеда. 2. Маленький переносной холодильник представляет собой закрытую сумку, стенки