Квант 2018, №2 · Страницы

5

ВЫХОД

В

ПРОСТРАНСТВО-2

Рис. 21

мерный мир из любой точки четырехмерного пространства. Назовем эту точку Q. Из этой точки мы увидим все внутренности любого объекта, даже внутренние органы человека! В самом деле, прямая, соединяющая точку Q с любой точкой M нашего трехмерного пространства, не будет иметь с ним других общих точек (поскольку прямая, на лежащая в трехмерной плоскости, пересекает ее не более чем в одной точке). Следовательно, QM не пересечет никаких границ, а значит, M будет видна из точки Q. Вернемся к двумерным существам, которые смотрят на квадратную коробку. Если мы чуть согнем эту коробку, сделав ее неплоской, то для двумерного наблюдателя она исчезнет! В рассказе американского ученого и фантаста Мартина Гарднера «Нульсторонний профессор» человек показывал фокус, складывая определенным образом лист бумаги так, что в один момент лист исчезал. Секрет был в том, что сложенная поверхность была «нульсторонней», что невозможно в трехмерном пространстве, поэтому она уходила в другие измерения. Нульсторонних поверхностей не существует, но фокус с исчезновением теоретически возможен, если согнуть лист так, что он перестанет лежать в трехмерном пространстве, подобно тому, что мы сделали с нашей двумерной коробкой. В рассказе так потом сложили одного нехорошего профессора, и он исчез.

Упражнения

14. У четырехмерного симплекса – пять вершин. Две из них покрасили в белый цвет, остальные три – в красный. Докажите, что середины всех отрезков с разноцветными кон-

цами лежат в одной трехмерной плоскости. Какой трехмерный многогранник получается в сечении? 15. Докажите, что диагональ четырехмерного куба образует с каждым его ребром угол $30^{o}$. (Диагональ соединяет противоположные вершины куба.) 16. Какие углы могут образовывать между собой диагонали четырехмерного куба? 17. Как известно, в сечении правильного тетраэдра плоскостью можно получить квадрат (что это, кстати, за сечение?). А можно ли в сечении симплекса трехмерной плоскостью получить куб? Указание. Постарайтесь определить, сколько вершин может быть у сечения симплекса. 18. Сколько кругов диаметра 1 поместится без пересечений в квадрате со стороной 2? Конечно, четыре! Нужно разбить квадрат на четыре единичных квадрата и в каждый вписать по кругу. А сколько шаров радиуса 1 поместится в куб со стороной 2? Восемь. Разбиваем куб на восемь единичных кубов и в каждый вписываем по шару. А каков ответ для четырехмерного куба со стороной 2? Шестнадцать? Оказывается, нет – семнадцать! Где расположится дополнительный шар?

Выходим в четвертое измерение

Теперь мы можем решить задачи 1 и 2, поставленные в самом начале статьи. Ответ в каждой – «да, но с выходом в четырехмерное пространство». Решение задачи 1. Вы, конечно, уже поняли, как решать. У четырехмерного симплекса 10 ребер и 10 двумерных граней-треугольников, значит, надо составить симплекс из 10 спичек. Сначала составляем из 6 спичек тетраэдр, а затем выходим в четырехмерное пространство, где берем точку, удаленную от всех вершин нашего тетраэдра на расстояние, равное спичке (см. построение симплекса в предыдущем разделе). Соединив ее спичками со всеми четырьмя вершинами тетраэдра, получаем симплекс. Обратимся к рисунку 1,в, где мы составили две пирамиды, после чего у нас оставалась одна спичка, которой нужно было соединить вершины A и C. Сделать этого нельзя, поскольку расстояние AC больше длины спички. А в четырехмерном

6

КВАН T 2018/№2

пространстве длину отрезка AC можно менять, сделав равной длине спички. Фигура из двух пирамид не является жесткой в $R^{4}$, подобно тому как фигура из двух треугольников на рисунке 1,б, будучи жесткой на плоскости, становится подвижной в пространстве. Решение задачи 2. Прямоугольный лист бумаги можно свернуть в тор, если выйти в четырехмерное пространство (в трехмерном нельзя). Для того чтобы это сделать, рассмотрим сначала отображение отрезка > 0; 2S @ на единичную окружность: каждой точке x отрезка ставим в соответствие точку M x плоскости с координатами cos x; sin x (рис.22). Когда x пробегает

Это отображение каждую образующую цилиндра (отрезок > 0; 2S @ для переменной y) свернуло в единичную окружность. Таким образом, весь цилиндр свернулся в тор, причем изометрично! Если бы мы проделали такое построение, то наш цилиндр исчез бы подобно «нульстороннему» профессору. Точнее, перестал бы быть нам виден, поскольку вышел бы из трехмерного пространства.

Упражнение 19. В пространстве даны два сцепленных круглых кольца. Расцепите их с помощью выхода в четырехмерное пространство.

Для каждого из следующих упражнений найдите как решение с выходом в четырехмерное пространство, так и обычное «трехмерное» решение.

Упражнения

Рис. 22

отрезок, M x пробегает окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Это – изометрия: любой промежуток, являющийся частью отрезка > 0; 2S @, переходит в дугу окружности той же длины. Поднимемся на размерность выше и свернем квадратный лист в цилиндр с помощью отображения $x ; y^{֏}$ cos x; sin x, y. Каждой точке квадрата > 0; 2 S @ u > 0; 2 S @ ставится в соответствие точка пространства с координатами cos x; sin x, y. Она пробегает цилиндр когда точка x; y пробегает квадрат (рис.23). А теперь поднимемся еще на размерность выше и свернем квадратный лист в тор с помощью отображения

$x ; y^{֏}$ cos x; sin x; cos y; sin y.

Рис. 23

20. У двух тетраэдров $A_{1}$ … $A_{4}$ и $B_{1}$ … $B_{4}$ четыре $прямые_{1}^{A} B_{1},^{…},_{4}^{A} B_{4}$ пересекаются в одной точке. Докажите, что шесть точек пересечения соответствующих сторон и две точки пересечения соответствующих диагоналей или их продолжений лежат в одной плоскости (предполагается, что среди этих прямых нет параллельных). 21. В пространстве даны четыре различных непересекающихся шара. Докажите, что если у каждой пары шаров отметить вершину, то все шесть вершин лежат в одной плоскости. 22. В пространстве даны два непересекающихся шара, а также дано число k > 0. Найдите геометрическое место точек, отношение длин касательных из которых к этим шарам равно k. 23. Три плоскости в пространстве пересекаются по одной прямой. Три трехгранных угла расположены так, что их вершины лежат на этой прямой, а ребра лежат в данных плоскостях. Докажите, что три точки пересечения соответствующих граней этих углов лежат на одной прямой. Комментарий. Эта задача – одно из возможных обобщений теоремы Дезарга на трехмерное пространство. Ее решение с помощью выхода в четвертое измерение придумал И.Ф.Шарыгин. Ее можно также решить и не покидая трехмерного пространства.

Рекордные механические параметры

Л.АШКИНАЗИ

Если не будет прочности…

На вопрос, зачем нужна прочность, каждый скажет – чтобы дома не падали. Но прелесть ситуации в том, что даже при отсутствии гравитации прочность нужна. При ее отсутствии мы не сможем что-либо перемещать – второй закон Ньютона! Основой определения механических параметров является следующая ситуация. Берем стержень известного сечения и, аккуратно держа его за концы – так, чтобы механические напряжения распределились по сечению равномерно, тянем. Пока он удлиняется пропорционально нагрузке и при снятии нагрузки возвращается к исходному размеру, его относительное удлинение обратно пропорционально величи-

не, которая называется модулем Юнга. Иными словами, чем модуль Юнга больше, тем материал жестче. Линейную зависимость деформации от усилий называют законом Гука и обычно добавляют, что он нарушается при больших напряжениях. В более серьезных источниках говорится, что он нарушается при больших скоростях деформации – это называется «упругий гистерезис»; но и при малых усилиях он соблюдается не вполне точно. Аналогичный модулю Юнга, или модулю упругости, параметр для кручения стержня называется модулем сдвига. При удлинении материала обычно уменьшается поперечное сечение образца, причем относительное уменьшение сечения

8

КВАН T 2018/№2

меньше относительного увеличения длины, т.е. объем растет. Отношение относительного уменьшения поперечного размера, например диаметра, к относительному увеличению длины называется коэффициентом Пуассона. При дальнейшем удлинении образец рвется – при напряжениях, которые называются временнуй прочностью. Важное примечание: при вычислении и предела упругости, и временнуй прочности силу делят на исходное сечение, а не на то – меньшее! – которое образец обретает при соответствующей нагрузке. То, насколько удлинился стержень до разрыва, характеризует пластичность материала. Хрупкие материалы могут быть весьма прочными – они разрушаются при больших напряжениях, но не удлиняясь. А почему говорят «временнбя прочность», мы скоро узнаем.

Прочность и жесткость

Вопрос прочности интересовал людей всегда – начиная с первого каменного топора. Если говорить о материалах, реально выпускающихся и применяющихся в промышленных масштабах, причем только о массивных материалах, не пленках и не волокнах, то на первое место будут претендовать стали с максимальным пределом текучести 1,6 ГПа, чуть большей (1,7 ГПа) временнуй прочностью и модулем Юнга 200 ГПа. Конкретные цифры сильно зависят не только от состава, но и от сложной термомеханической обработки – последовательности нагревов, деформаций и охлаждений. Таких же значений прочности, но при вдвое меньшем модуле Юнга удается достигать для сплавов титана Ti с молибденом Mo, хромом Cr и алюминием Al. Эти сплавы вдвое легче ( 4,5 г $см^{3}$ против 8 г $см^{3} ),$ однако технология их изготовления еще сложнее и «строже» и они существенно дороже. Поэтому то, что стоит на земле, из них не делают почти никогда, а делают лишь то, что летает, плавает под водой или что человек носит на себе. У сталей есть конкурент – сплав алюминия Al, дюралюминий, или, как его фамильярно называют, дюраль. У этого сплава втрое меньше

прочность и модуль Юнга, чем у лучших сталей, но и втрое меньше удельная плотность ( 2,7 г $см^{3} ).$ Правда, у них свои проблемы, например меньшая устойчивость к коррозии. Существуют еще так называемые твердые сплавы (видели такие пластиночки на

Твердосплавные пластиночки, надеваемые на резцы и сверла резцах и сверлах?). Так это не сплавы, а композиты из порошков карбидов WC, TaC, TiC и кобальта Co. Смесь порошков прессуется и спекается, и то, что получается, имеет прочность 2,5 ГПа. Обрабатывать их весьма трудно, так что прессуют и спекают сразу то, что хотят получить.

«Последний штурм этой проблемы предприняли пару лет назад ушлые ребята из Арнорского центра высоких технологий, получившие под это дело специальный грант от Ангмарской аэрокосмической корпорации. Кончилось все опять пшиком: представили заказчику двухмиллиметровой толщины пластину из некого вещества (86,12 % серебра, 11,96 % никеля и далее по списку) – якобы это и есть самый настоящий мифрил, а все остальное не более чем легенды; ну и, как водится, потребовали новых денег на изучение этого своего творения. Главарь ракетчиков не моргнувши глазом извлек из-под стола заряженный музейный арбалет, навел его на руководителя проекта и предложил тому прикрыться своей пластиною: выдержит – получишь требуемые деньги, нет – они тебе все равно ни к чему. Проект, ясное дело, накрылся медным тазом…» (К.Еськов. Последний Кольценосец).

На практике требования по прочности и жесткости ставятся отдельно. Например, от стального троса требуется прочность, а с жесткостью особых проблем нет. Проти-

9

РЕКОРДНЫЕ

МЕХАНИЧЕСКИЕ

воположный пример – крыло самолета или лыжная палка. Они пустые внутри, а если сделать их сплошными и несколько более меньшего внешнего размера – так, чтобы сохранилась жесткость, то прочность станет намного больше, чем нужно, и во много раз больше станет вес. При решении вопроса о применимости материалов приходится, как и всегда, учитывать не какой-то один параметр и не дватри, а все. Точнее – все те, которые надо учесть, и тут нет инструкции, а есть знание физики, опыт и чутье инженера. У химиков есть близкое по смыслу выражение – «чувство вещества». Вот один, близкий мне, пример – альпинистские карабины. Сейчас их делают в основном из алюминиевых сплавов, раньше были стальные, позже появились титановые. Сейчас про

Альпинистский карабин из титана стальные пишут, что они тяжелые; конечно, их можно было бы делать втрое меньшего сечения, но из «рекордных» сталей их делать не будут – себе дороже, а из обычных, действительно, получаются вдвое тяжелее. Про титан обычно пишут, что он хрупок, но странно: для корпуса подводной лодки и деталей самолета не хрупок, а для карабина хрупок. Заметим, что велосипедисты-рекордсмены, которые катаются на велосипедах с титановыми рамами, говорят, что они или ломаются в первый же год или служат вечно. Вот и ответ – строгость технологии. Если что-то сделано не так, то ломается, а дюраль не так строг и в реальных условиях производства оказывается надежнее. Есть и еще одна совершенно специфическая причина: у титана

ПАРАМЕТРЫ

низкая теплопроводность, а у алюминия – высокая. И при быстром скольжении веревки по титановому карабину он может нагреться и испортить веревку. Это все – о компактных материалах, но есть еще волокна и «усы». Волокна – это что-то длинное и тонкое, причем либо имеющее отличную от массивного материала структуру, либо состоящее из материала, который может быть только волокном. Интерес для нас оно представляет, если оказывается существенно прочнее «массивных» рекордсменов. Но поскольку оно тонкое, оно оказывается гибким. Поэтому волокна с особо высокой прочностью или с особо высоким модулем Юнга могут применяться либо когда не нужна жесткость, либо как компонент композиционного материала. Известно несколько высокопрочных и высокомодульных волокон, но конкретные данные имеют большой разброс, ибо сильно зависят от технологии. В общем можно считать, что на титул самых прочных могут претендовать: стекловолокно – прочность 4,7 ГПа, модуль Юнга 90 ГПа; кевлар и сверхвысокомолекулярный полиэтилен (СВМП) – прочность 5 ГПа, модуль 180 ГПа; углеродное волокно – прочность 3,6 ГПа, модуль 600 ГПа (в литературе встречаются и большие значения). При этом надо учесть, что довольно часто волокна предельно высокой прочности имеют меньший модуль Юнга. Утверждение, противоположное обратному, также правильно (как вы его сформулируете?) «Усы» – это нечто еще более тонкое, но если волокна могут иметь неограниченную длину, то монокристаллические усы пока что удается получать только очень короткие. Их прочность для $Al_{2} O_{3}$ и углерода C достигает 20 ГПа при модуле Юнга 400 ГПа и 700 ГПа соответственно; для BN и SiC – 40 ГПа при модуле 1000 ГПа; для углеродных нанотрубок (по сути, тоже усов) – 150 ГПа при модуле 1000 ГПа. Если бы такую прочность удалось получить для массивных материалов, то на канцелярской скрепочке можно было бы подвесить большой лифт с пассажирами. Но пока что эту задачу решить не удалось,

10

КВАН T 2018/№2

и конца-края не видать. Возможных решений несколько. Например, усы могут в процессе роста срастаться, образовывать плетенку, сеть, которая потом пропитывается каким-либо материалом, образующим матрицу. И можно попытаться обеспечить сращение уже готовых усов, инициировав таковое нагревом или примесью, ускоряющей спекание. Но в обоих случаях возможно возникновение дефектов поверхности, ослабляющих ус.

Про плотность

Во многих случаях прочность и жесткость важны не сами по себе, а вместе с весом, точнее – с плотностью. Посмотрим, в каких пределах она может изменяться у твердых веществ. На одном конце шкалы – осмий и иридий с плотностью 22,6 - 22,5 г $см^{3}$; шансов получить материал с большей плотностью нет. Это при нормальном давлении, т.е. $10^{5}$ Па, при бульших давлениях плотность выше, но даже на дне Марианской впадины, при давлении 1000 атмосфер, или $10^{8}$ Па, плотность возрастает не более чем на десятые доли процента. Из не слишком дорогих и не слишком радиоактивных элементов высокую плотность имеют вольфрам: 19,2 г $см^{3}$ и уран: 18,9 г $см^{3}$. Их и используют, когда нужна именно максимальная плотность. Насчет малой плотности ситуация сложна. Среди элементов самый легкий – литий, его плотность 0,5 г $см^{3}$. В таких случаях обычно пишут «он бы плавал в воде» – но он делал бы это не очень долго. Определить самое легкое соединение невозможно, скорее всего, это кто-то из «супрамолекулярных соединений» с относительно рыхлой структурой. Они весьма разнообразны, характерные значения их плотности 0,7 - 0,9 г $см^{3}$. Еще легче – двухфазные структуры, когда одна из фаз это воздух. Природный рекордсмен – бальсовое дерево с плотностью 0,11 - 0,14 г $см^{3}$ (вообще-то для многофазных материалов было бы правильнее говорить не «плотность», а «средняя плотность»). Среди искусственных двухфазных структур рекордсмен – аэрогель с

плотностью 0,03 - 0,3 г $см^{3}$. Это структура на основе оксида кремния $SiO_{2}$ или алюминия $Al_{2} O_{3}$, но с пористостью 90–99 %. Чем больше пустоты в материале, тем у него меньше плотность и тем меньше вес при взвешивании на воздухе, несмотря на то что при этом пустоты заполнены воздухом. Если же сделать материал с «закрытыми порами» и при изготовлении откачать из них воздух (или изготовить материал в вакууме), то сами сообразите, что сделает с таким материалом атмосферное давление. (А что сделает вакуум с материалом, содержащим воздух в закрытых порах?) Для суперпористых материалов предельно малая величина плотности материала определяется необходимой прочностью, и в принципе она может быть сколь угодно малой. Если это материал с закрытыми порами, то прочность должна обеспечить поддержание формы при наличии разности давлений между порами и окружающей материал средой. Если эта разность – обычное атмосферное давление, то простой расчет (попробуйте его сделать) показывает, что если «собственно материал» этого материала имеет прочность от 5 до 150 ГПа, то достижимая средняя плотность составит 0,2 - 0,007 г $см^{3}$ соответственно. Иными словами, побить рекорд природы ( 0,11 г $см^{3} )$ в принципе можно, но сделать это будет сложно. А вот создать материал «легче воздуха» ( 0,001 г $см^{3} )$ – похоже, нельзя в принципе. Среди газов и жидкостей ситуация такова. Самый легкий газ – водород, его плотность при нормальных условиях 0,09 г/л. Еще легче был бы атомарный водород, но для заметной диссоциации водород надо нагреть: например, при $4000 ^\circ$ С он диссоциирует на 60%, при $6000 ^\circ$ С на – 99%. Самый тяжелый газ при нормальных условиях – гексафторид вольфрама $WF_{6}$, его плотность 12,6 г/л. Самая легкая жидкость – жидкий водород, его плотность 70 г/л, но это при очень холодной погоде. При нормальных условиях самые легкие жидкости – наверное, пентаборан $B_{5} H_{9}$ и неопентан $C_{5} H_{12}$ с плотностями 0,62–0,61 г/л, а самая тяжелая – ртуть Hg, ее плотность 13,5 кг/л.

11

РЕКОРДНЫЕ

МЕХАНИЧЕСКИЕ

Пластичность и ее братец Пуассон

Пластичность металлов и сплавов обычно составляет единицы процентов, и она интересует в основном технологов – именно за счет нее производятся гибка, вытягивание, штамповка и тому подобное. Но есть такое чудо – сверхпластичность, когда металлический стержень спокойно удлиняется в несколько раз, но не рвется. Например, цинк Zn удлиняется в 10 раз, сплавы алюминия Al с медью Cu или тем же цинком Zn – в 6 раз. Причем такое поведение бывает двух типов. Первый – когда металл состоит из сверхмелких (микрон и менее) кристалликов и вязких прослоек между ними, по которым и скользят кристаллики. Второй – когда металл деформируют при температуре, при которой в нем происходит фазовый переход и атомы легко, не создавая вакансий, занимают новые места в решетке. Скажем, так ведут себя некоторые стали (c марганцем Mn, кобальтом Co и ванадием V) в области $900 \infty C$. Когда это явление было открыто, журналисты кинулись расписывать, как завтра изменится вся промышленность, прессы пойдут на свалку и так далее. Увы, быстро выяснилось, что явление имеет место только у некоторых металлов и сплавов, а промышленность использует сотни других и совершенно не готова от них отказываться. Кроме того, требуется нагрев до определенных температур, а возможная скорость деформации мала, и промышленность опять же это не очень устраивает. Так что метод применяется, но ограниченно; революции не произошло. Вообще, если промышленность освоила применение какого-либо материала, она неохотно переходит на другой, а упрощением технологии ее легко не сманить – преимущества должны быть уж очень большими. Что касается коэффициента Пуассона, который характеризует относительное изменение поперечных размеров при растяжении, тут нас ждут сильные неожиданности. Обычно пишут, что он должен находиться в пределах от 0 до 0,5. Значение 0 – растягиваем, а материал не сжимается,

ПАРАМЕТРЫ

это свойство пробки. (Кстати, не используется ли это свойство на практике?) В некоторых источниках пишут, что значение 0 свойственно хрупким материалам – так это неверно. Значение 0,5 – это сохранение объема при деформации, так ведут себя некоторые каучуки. У большинства изотропных материалов этот коэффициент принимает значение от 0,2 до 0,5, у металлов – от 0,23 для урана U до 0,45 для свинца Pb. Исключение – бериллий Be с коэффициентом 0,024–0,034 в зависимости от технологии, причем иногда указывают и более широкие пределы. Но это все для изотропных материалов, поликристаллов. Существуют материалы c коэффициентом Пуассона более 1, т.е. уменьшающие объем при растягивании, и с коэффициентом отрицательным, т.е. при растягивании распухающие. И похоже, что для некоторых монокристаллов, причем при деформации вдоль определенных направлений, могут достигаться значения –3 и +4. Это страшно себе представить – мы растягиваем материал на 1%, а он увеличивается в диаметре на 3% или сжимается на 4%! (Кстати, на сколько процентов при этом изменяется объем?) А для искусственно полученных пористых материалов сжатие может быть и еще больше.

Условия жизни

Рассуждая о параметрах, мы ни разу не упомянули, однократно или многократно прикладываются к нашему многострадальному образцу-стержню усилия, делается это медленно или быстро и при каких внешних условиях (например, при какой температуре). Параметры, которые обычно приводятся в справочниках, относятся к однократному нагружению – взяли покрепче, потянули… потянули… потянули… порвали! Записали все параметры и ставим следующий образец. В реальной жизни бывает и так, и не так. Если это предохранительный клапан, который должен сработать один раз, а потом будет заменен, или если это мембрана в топливном баке ракеты, которая изгибается или разрывается раз в ее

12

КВАН T 2018/№2

жизни, – то действительно важны параметры при однократном нагружении. Или если вообще это нормально работающее устройство, но нас интересует его устойчивость при чем-то однократном, катастрофическом: зданий – при землетрясении, антенны – при экстремальном порыве ветра. Но если это рессоры автомобилей, непрерывный поток которых идет по мосту, то ситуация иная. С временем нагружения ситуация такова. Обычные данные относятся к обычным условиям – вставили образец, нагрузили, порвали, записали, вставили, нагрузили… Короче говоря, характерные времена – это секунды и часы. Если речь идет о существенно более коротких временах, тысячных долях секунды и менее, это называется ударом. Способность работать в таких условиях естественно назвать ударопрочностью. Если же речь идет о существенно больших временах – о часах, годах и веках, мы сможем заметить изменение размеров многострадального стержня при постоянной нагрузке. Этот эффект называется крипом или ползучестью. Естественно, для того чтобы его избежать, надо уменьшать нагрузки – и мы пришли к понятию долговременной прочности. Еще одно условие – это температура: если хорошо нагреть, то вопрос о механических параметрах существенно изменяет смысл. Все плавится – как бы не ступить в лужу! С ростом температуры изменяются все характеристики веществ, причем во множестве случаев это изменение определяет работоспособность устройств. Максимальный КПД тепловых машин и тяга двигателей растут с температурой, поэтому техника все время пытается продвигаться в область высоких температур. Но множество физических процессов (химические реакции, диффузия) требуют наличия у взаимодействующих частиц определенной энергии, а доля частиц, имеющих эту энергию, экспоненциально растет с температурой. Поэтому с продвижением в область высоких температур ускоряется взаимодействие материалов и ухудшаются их механические параметры, т.е., попросту говоря, все корродирует, горит, ползет

и разваливается. Поэтому для материалов, если это важно, отдельно оговариваются жаропрочность, высокотемпературная прочность и прочие высокотемпературные параметры. Более того, иногда отдельно оговариваются жаропрочность и жаростойкость: жароПрочность – это способность сохранять прочность при высокой температуре, т.е. работать при нагреве, а жаро- Стойкость – это способность выстоять при этой температуре без нагрузки, а работать с нагрузкой потом, после охлаждения. Например, сталь не будет окисляться при нагреве, если ее легировать Cr, Al, Si, которые создадут на поверхности защитные оксидные пленки, а для жаропрочности ее надо легировать Cr, V и Nb. Характеризовать жаропрочность или жаростойкость каким-либо точным числом нельзя – жаропрочность невозможно описать каким-либо одним параметром; впрочем, даже для жаростойкости это невозможно, поскольку в разных средах жаростойкость будет разной. Про жаропрочность и говорить нечего, пока не определен критерий. Но сравнивать материалы людям надо, и ситуация оказалась привязана к практике, т.е. к доминирующему реальному применению. Таковым оказались элементы двигателей, в частности турбин самолетных двигателей, где сочетаются высокая рабочая температура, большие механические нагрузки и большой срок службы. А критерием оказалось сохранение формы, т.е. сочетание прочности, низкой ползучести и низкой скорости окисления при высокой температуре и в среде продуктов сгорания топлива. По этому не вполне четкому комбинированному критерию наиболее жаростойкими оказались сплавы на основе никеля Ni и хрома Cr c разнообразными добавками: алюминий Al, титан Ti, молибден Mo, вольфрам W, ниобий Nb, тантал Ta, гафний Hf, рений Re. Многие из этих легирующих элементов применяются одновременно, а если учесть, что режим термической и механической обработки тоже варьируется, то можно (а вам, наверное, и нельзя) себе представить, работа какого объема была проделана физиками и инженерами,

13

РЕКОРДНЫЕ

МЕХАНИЧЕСКИЕ

чтобы поднять жаростойкость этих сплавов для $1000 - 1100 \infty C$. И эти сплавы при нагрузках 0,85–0,9 ГПа способны работать тысячи часов. Правда, тут возникает естественный вопрос, не забыли ли мы про вольфрам W и его младших братьев молибден Mo, рений Re и тантал Ta – они способны выдержать много больше! Да, но эти замечательные металлы прекрасно окисляются, и их надо защищать какими-то специальными покрытиями, а это усложняет технологию, причем покрытия в этих условиях не долговечны.

Очень коротко и очень долго

«Очень коротко» – это ударопрочность, т.е. способность материала выдерживать нагрузки, которые приложены на очень малое время, короче – держать удар. Измеряют эту способность, грубо говоря, так. По бруску из испытуемого материала наносится определенным образом удар, который его разрушает, и вычисляется, какая часть энергии ударившего тела израсходовалась на разрушение. Отношение этой энергии к сечению разрушаемого бруска называется ударной вязкостью. Ее наименьшие значения мало кого интересуют, разве что в ситуациях, когда нам надо сделать какой-то механический предохранитель или разрушаемую перегородку, чтобы смешались какие-то два вещества. Сказать, у кого самая малая ударная вязкость, т.е. какой материал легче всего разрушить ударом, трудно – скорее всего, это стекло ( 0,2 кДж $м^{2} ).$ Конструкторов по понятным причинам интересуют максимальные значения. У лучших по этому параметру сталей ударная вязкость 3 МДж $м^{2}$, у композитов на основе кевлара – 0,75 МДж $м^{2}$, но они в 6 раз легче стали. По некоторым данным, сверхвысокомолекулярный полиэтилен, СВМП, слегка превосходит кевлар, и в литературе есть данные о разработке композиционных волокон с еще более высокими параметрами. Что касается многократных нагрузок, то классические примеры – нагрузки при колебаниях, например, крыльев самолета, или при вибрации всего на свете. А ось

ПАРАМЕТРЫ

колесной пары по пути из Москвы во Владивосток изгибается туда-сюда 3 миллиона раз. (Как вы думаете, а сколько раз она изгибается на обратном пути?) При многократном циклическом нагружении прочность меньше, чем при однократном, причем чем циклов больше, тем прочность меньше (есть несколько сплавов, которые при первых деформациях упрочняются, но такие ситуации редки, они называются циклическим упрочнением). Принято разделять две ситуации – малоцикловый режим, когда нагрузки превосходят предел текучести и разрушение происходит обычно менее чем за 1–10 тыс. циклов, и многоцикловый, когда нагрузки не превосходят предела текучести и образец выдерживает более 10–100 тыс. циклов. Пределы режимов в разных источниках указываются по-разному, а во многих говорится о существовании «переходной» зоны или промежуточного режима. Данных по работе материалов в таких режимах много, но в единую картину они не складываются по стандартной причине – слишком много переменных (например, важна скорость нагружения) и слишком много одновременно идущих процессов. Ориентировочно можно считать, что при симметричном цикле нагружения, когда максимальные нагрузки имеют разные знаки, но одинаковую амплитуду, предельные нагрузки при многоцикловом (10– 100 млн циклов) нагружении уменьшаются в 2–2,5 раза для сталей и в 2–4 раза для цветных металлов. Причем для самых прочных сталей и сплавов это отношение может быть и больше, т.е. увеличивая прочность при однократном нагружении, мы не увеличиваем во столько же раз многоцикловую прочность. А жаль.

Размер тоже бывает важен

Размер – это тоже механический параметр, и часто он важен. Например, многометровые зеркала телескопов должны сохранять свои размеры с точностью около 1/20 длины волны излучения, с которым они работают. Так, для оптического диапазона точность должна быть около 20 нм. Хорошо хоть размеры изменяют-

14

КВАН T 2018/№2

Галогеновая лампа «в разрезе»

ся при изменении температуры не экспоненциально, а приблизительно линейно. Изменение относительного размера при изменении температуры на один градус называется коэффициентом линейного расширения. Понятно, что есть и коэф-

Влияние циклического нагрева 50 – 550 – – $50 \infty$ С на стержень из урана (U): 1 – исходный стержень, 2 – он же после 1300 циклов; 3 – исходный, 4 – он же после 3000 циклов фициент объемного расширения, он важен для жидкостных термометров. Не используется в технике и даже не вводится понятие коэффициента «площадного» расширения (хотя он мог бы быть полезен при точном учете площади съеденных блинов). С линейным расширением связаны интересные странности – например, некоторые кристаллы при нагреве (правда, лишь в узком температурном интервале и вдоль некоторых двух осей) не расширяются, а совсем наоборот, сжимаются (гипс, кальцит, изумруд). В широком диапазоне температур сжимаются при нагреве $BaTiO_{3}, PbTiO_{3}$ и некоторые другие. Сжимается графит в направлении, параллельном плоскостям, при температурах до $427 \infty C$ и, соответственно, сжимаются нанотрубки – и вдоль оси, и по диаметру. Но при этом вдоль третьей оси гипс, кальцит и

Влияние 200 циклов нагрева в окрестности фазового перехода $668 \infty$ С: 1 – от 580 до $630 \infty$ С, 2 – от 630 до $680 \infty$ С, 3 – от 680 до $730 \infty$ С изумруд при нагреве расширяются так, что объем увеличивается. Однако есть вещества, которые при нагреве уменьшаются и в объеме, например оксиды меди CuO и $Cu_{2} O$ и иодид серебра AgI при низких температурах, кварцевое стекло и алмаз конкретно в области отрицательных температур (менее – 80 и – $40 \infty C$ соответственно), а плутоний Pu – в диапазоне $320 - 440 \infty C$. Что касается максимального расширения, то на него претендует фторопласт-4, он же тефлон, с коэффициентом теплового расширения 0,0001–0,0002 – примерно в 15 раз больше, чем у стали.

Влияние циклического нагрева, охватывающего два фазовых перехода $668 \infty$ С и $775 \infty$ С: 1 – исходный образец, 2 – после 50 циклов, 3 – 100 циклов, 4 – 187 циклов, 5 – 250 циклов

Для техники представляют наибольший интерес две задачи – получение низких коэффициентов расширения для метал-

(Продолжение см. на с. 20)

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

Андрей Анатольевич Зализняк

А.ПИПЕРСКИ

Лингвистические задачи В 1963 году Зализняк опубликовал статью под названием «Лингвистические задачи». В ней он продемонстрировал, что можно анализировать факты неизвестных языков, опираясь на строгую логику в сочетании с самыми базовыми представлениями о том, как устроены тексты на человеческом языке. Так, мы вправе ожидать, что порядок слов в языке не случаен, а подчиняется каким-то закономерностям: например, определение всегда стоит после определяемого слова или всегда перед ним, связанные друг с другом слова располагаются рядом, а не раскиданы в разные концы предложения и т.п. – и тогда применение логических операций позволит нам понять, что есть что в непонятном тексте. Специальных знаний не нужно: например, в статье Зализняка приводится задача, в которой даются 14 фраз на баскском с переводами на венгерский, а дальше читателю предлагается самому перевести три фразы с венгерского на баскский. Автор специально подчеркивает, что это задача для тех, кто не знает ни того, ни другого языка и, таким образом, даже не понимает, что эти фразы значат. Тем не менее, после тщательного анализа примеров задача оказывается разрешимой. Чтобы продемонстрировать, как работает логика в лингвистических задачах, приведем одну из задач Зализняка (1968). Задача 1. Даны три словосочетания таджикского языка с русскими переводами: а) ду–сти хуби x,амсояи шумо – хороший друг вашего соседа; б) x,амсояи ду–сти хуби шумо – сосед вашего хорошего друга;

Окончание. Начало – в предыдущем номере журнала.

в) x,амсояи хуби ду–сти шумо – хороший сосед вашего друга. Задание. Определите, какому русскому слову соответствует по значению каждое из четырех встречающихся здесь таджикских слов. Решение. Прежде всего замечаем, что различие между русскими именительным и родительным падежами (например: сосед и соседа, хороший и хорошего) не отражается в таджикском тексте каким-либо различием в формах слов (поскольку каждое из четырех таджикских слов выступает везде в одной и той же форме). Сравним словосочетания а) и в). Русские переводы здесь имеют вид хороший Z вашего Y-а и различаются только тем, что существительные ‘друг’ и ‘сосед’ поменялись синтаксическими ролями. В таджикском же языке различие только в том, что поменялись местами слова ду–сти и x,амсояи. Отсюда можно заключить, что эти два таджикских слова соответствуют русским существительным. Сравним теперь б) и в). Русские переводы различаются здесь только тем, к какому из двух существительных относится определение ‘хороший’: Z вашего хорошего Y-а и хороший Z вашего Y-а. Опишем переход от б) к в) так: слово ‘хороший’ изменило свое место, из-за чего другие слова автоматически переехали (‘сосед’ – с первого на второе место, ‘вашего’ – со второго на третье). В таджикском же тексте изменение коснулось только слов ду–сти и хуби. Нам надо определить, как описать этот переход: сказать ли, что переставилось слово ду–сти (и это автоматически повлекло за собой передвижение слова хуби), или наоборот. Мы должны передвинуть аналог слова ‘хороший’, но мы уже знаем, что ду–сти – существительное; следовательно, изменение порядка cлов вызвано перемещением слова хуби, которое и значит ‘хороший’; тогда шумо – ‘ваш’. Остается установить значение существительных. Возможны две гипотезы. Проверим первую из них: пусть ду–сти – ‘друг’, а x,амсояи – ‘сосед’. Тогда таджикские словосочетания устроены так: а) друг хороший соседа вашего, б) сосед

17

ИЗ

ИСТОРИИ

стоятельное, «настоящее») ударение, которое могло падать на любой слог слова, и автоматическое («ненастоящее»). Автоматическое ударение – это и есть то самое усиление на первом слоге. Условно будем обозначать автономное ударение в древнерусских словах привычным способом (ры ’ - ли), а автоматическое – черточкой перед словом ( -были). Возьмем три тройки существительных (возможно, с предлогом), которые до наших дней сохранили древнерусское ударение: грэша – грэшу – за грэшу, женб – женэ – за женэ и ногб – нугу – зб ногу. Вспоминается что-то знакомое: ударение всегда на основе, ударение всегда на окончании и подвижное ударение – это те же самые схемы, которые мы уже видели в работах Зализняка про современный русский язык. В своей книге «От праславянской акцентуации к русской» (1985) он наглядно объяснил, откуда и как эти схемы произошли. Припишем каждой морфеме (корню, окончанию и т.п., а также предлогам, союзам и частицам) одну из трех маркировок: p, o или –. Договоримся, что ударение определяется самой левой стрелкой. Если это p, то автономное («настоящее») ударение падает на отмеченный ею слог; если это o, то автономное («настоящее») ударение падает на слог правее нее; если же стрелок в слове нет, а есть только минусы, слово имеет автоматическое («ненастоящее») ударение. Для того чтобы описать все приведенные выше примеры, достаточно разметить морфемы так: за –, груш p, жен o, ног –, а p, у –. После этого получаем все реально наблюдаемые ударения:

Этот простой алгоритм (с некоторыми добавлениями, которые, разумеется, изложены в работах Зализняка) позволяет полностью описать древнерусское ударение. А что-

НАУКИ

бы потренироваться, сделайте небольшое упражнение.

Упражнение 1. Даны пять глаголов в двух формах прошедшего времени: моглб, моглъ; мы ’ ла, мы ’ ли; жилб, жъли; вы ’ мыла, вы ’ мыли; вы ’ жила, вы ’ жили. Известно, что место современного ударения во всех этих формах совпадает с древнерусским. Задание. Для каждой морфемы, содержащей хотя бы один гласный (приставка вы-; корни -мог-, -мы-, -жи-; окончания -а, -и), укажите ее древнерусскую маркировку ( p, o или –) так, чтобы получить правильное ударение во всех формах. Примечание. Поскольку суффикс прошедшего времени -лне содержит гласного, ему можно не приписывать маркировку или приписать маркировку –.

Как определить ударение по рукописи

Схема, представленная выше, описывает древнерусскую ситуацию, которая затем заметно изменилась. Мы и сами это замечаем: например, сейчас вполне можно сказать за нугу. В своих работах Зализняк очень подробно описал, как изменялось древнерусское ударение. Для этого он проанализировал 89 старинных рукописей и печатных книг с проставленными ударениями. Ударения ставились в текстах далеко не всегда – но иногда получить информацию об ударении можно даже в случае, если ударение не проставлено. Возьмем, например, такую фразу из «Золотого теленка» Ильи Ильфа и Евгения Петрова: На заходе солнца Остап роздал обещанные гостинцы. С каким ударением в ней читается глагол? Ответ следует из знания правил русской орфографии: руздал, потому что иначе было бы написано раздал. Похожую задачу на материале одной древнерусской рукописи и решил Зализняк – только, конечно, гораздо сложнее, потому что правила ему пришлось сначала открыть. Сделаем небольшой экскурс в историю русского языка. Наряду с «обычными» гласными, в древнерусском языке около 1000 года встречались два «особых» сверхкратких гласных: ъ (как ы, но короче) и ь (как и, но короче). Например, слова столъ, годъ и мъхъ ‘мох’ были двусложными (сто-лъ,

18

КВАН T 2018/№2

го-дъ, мъ-хъ), слова голубь, нужьно ‘нужно’, польза, тьмьно ‘темно’, шьвьць ‘швец’ – трехсложными (го-лу-бь, ну-жь-но, по-льза, ть-мь-но, шь-вь-ць). В XI–XIV веках с ъ и ь происходило изменение, которое можно описать $так:^{4}$ 1) в конце слова гласные ъ и ь выпадают;$^{5}$ 2) далее движемся по слову справа налево; если мы находим ъ или ь, то смотрим на ближайший гласный справа от него: а) если это выпавший ъ или ь, то рассматриваемый на данном шаге ъ или ь проясняется, т.е. превращается в о или е соответственно;

б) в любом другом случае (т.е. если справа стоит «обычный» гласный или прояснившийся ъ или ь) ъ и ь выпадают. В таблице 6 продемонстрировано, как эти правила работают (каждую строку следует читать справа налево). 6 Видно, что в результате этого процесса появилось много слогов, которые оканчиваются на согласный: мох, первый слог в польза и т.п.

Упражнение 2. Проверьте себя: какие слова (не обязательно в начальной форме) получились из древнерусских слов дьнь, львъ, сънъ, пьшено, лъжька, почьсть, льстимъ, льсть, чьтьць, Смольньску?

Таблица 6

4 Эта закономерность была открыта еще до Зализняка и часто называется законом Гавлика в честь чешского лингвиста Антонина Гавлика $(1855–1925).^{5}$ ъ продолжает сохраняться на письме до 1918 года, а ь во многих случаях и до сих пор, обозначая мягкость согласного.

А теперь, после этого экскурса, перенесемся в XIV век. Именно тогда была написана

6 Согласный, который стоял перед выпавшим ь, иногда сохраняет мягкость (голубь, польза), а иногда нет (нужно, темно, швец). Для нашего изложения этот вопрос несущественен.

20

КВАН T 2018/№2

свободенъ (свободьнъ), свободнwму (свободьному), золото (золото), мwрьскую (морьскую), погребенw (погребено), свитокъ (съвитъкъ), полезно (пользьно), золъ (зълъ). Указание. Помните, что ко времени написания «Мерила праведного» буквы ъ и ь уже не читаются как гласные и о них при определении ударения думать не надо. Подсказка 1. Ровно для пяти из данных слов вы точно можете определить древнерусское ударение (т.е. доказать, что все варианты ударения, кроме одного, невозможны). Подсказка 2. Ровно про три из данных слов вы точно можете сказать, что место ударения в них не такое же, как в современном русском языке.

• • • Вот уже почти десять лет я бережно храню один листок бумаги. В 2008/09 году Зализняк читал в МГУ имени М.В.Ломоносова курс по истории русского ударения и дал на дом задание – то, что я только что предложил вам как задачу 3. Проверив мою работу, он исправил одну опечатку и написал:

Рекордные механические параметры жения. Но они почему-то не возникают… (Почему?) Материалы с низким тепловым расширением нужны для метрологии (штангенциркули, микрометры, мерные проволоки) и для других ситуаций – скажем, для маятников часов. Причем кварц для этих целей неудобен. Такие сплавы есть – например, инвар (Fe 64%, Ni 36%). Но размер зависит не только и не просто от температуры. Детали из некоторых материалов при термоциклировании – нагрев-охлаждение-нагрев и т.д. – делают нечто чудовищное. А именно, они изменяют свои размеры, и как (см. рисунки на с.14)! Изучено это явление не слишком хорошо, надежно известно лишь, что для возникновения этих страстей нужно, чтобы либо нагрев, либо охлаждение были быстрыми или же чтобы диапазон изменения температуры захватывал точку фазового перехода. Подробно происходящее при этом рассмотрено, например, в книге В.Коваленко «Теплофизические процессы и электровакуумные приборы» (она есть в Сети). Прочтите эту книгу.

(Начало см. на с. 7) лов и получение вполне определенных значений. Второе важно, если мы соединяем, например, стекло с металлом – а такое соединение есть в любой лампе (и накаливания, и газоразрядной). Это повлекло в свое время разработку стекол и сплавов металлов, имеющих одинаковые или близкие коэффициенты расширения. Для галогеновой лампы это вообще проблема, ибо у нее баллон кварцевый, а расширение кварца на порядок меньше, чем у металлов, которые нам хочется с ним спаять (например, у молибдена Mo). Решается эта проблема так – то место, где ввод спаян с кварцем, сделано из тонкой фольги. В этом случае спай не разрушается при изменении температуры на $1000 \infty C$ – при охлаждении от температуры затвердевания кварца до комнатной, хотя при этом должны были бы возникать большие механические напря-

С тех пор, читая книги и статьи самого Андрея Анатольевича и слушая его лекции, я всегда думал и продолжаю думать, что эти слова в первую очередь характеризуют не мое домашнее задание, а его самого и все то, что он делал. Превосходно. Безукоризненно.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2498–М2501, Ф2505–Ф2508

M2498. На доске написаны 100 попарно различных положительных чисел. Для каждой пары написанных чисел вычислили их сумму. У какого наибольшего количества пар эта сумма может найтись среди написанных на доске чисел? Фольклор (по мотивам олимпиад Чехии и Словакии)

M2499. Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся равнобокой трапецией? В.Лецко

$M2500^{*}$. Клетки таблицы n ¥ n нумеруются (в произвольном порядке) числами 1, 2, …, $n^{2}$. Найдите наименьшее натуральное число k со следующим свойством: для любой нумерации найдутся две соседние по стороне клетки, номера которых отличаются не более чем на k. Н.Седракян

M2501. Пусть даны натуральные числа $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$, удовлетворяющие условию: для любых 1 £ i < j £ n число j – i делится на НОД $a_{i}, a_{j}$. Докажите, что найдется натуральное N такое, что N + i делится на $a_{i}$ для всех i = 1, 2, …, n. П.Кожевников, А.Толпыго

(

)

Ф2505. На рисунке 1 изображена висящая неподвижно однородная цепочка длиной L = 3 м. Один ее конец закреплен на стене,

Рис. 1

а на другой конец действует сила F = = 50 Н. Нижняя точка цепочки находится ниже места крепления к стене на h = 1 м и ниже второго конца цепочки на h/2 = = 0,5 м. Какова масса цепочки? С какой силой натянута цепочка в самой нижней точке? Ц.Почкин

Ф2506. По поверхности стоящего неподвижно небольшого школьного глобуса радиусом R = 9 см бежит маленький таракан с постоянной по величине скоростью v = = 3 см/с. По отношению к разметке глобуса его скорость все время направлена на северо-восток. Каково по величине ускорение таракана в тот момент, когда он наступает на кружочек, соответствующий положению Санкт-Петербурга $( M = 60 \infty$ северной широты)? Т.Глобусов

Ф2507. На три одинаковых сердечника намотали одинаковое количество витков провода 4N, которые по-разному распределены между первичными и вторичными

29

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШК О ЛЬНИК О В

Многогранники из трубочек

Д.ПАНОВ, А.ПУШКАРЬ, Д.ЧЕБАСОВ

ВЭТОЙ СТАТЬЕ РАССКАЗЫВАЕТСЯ, КАК трубочки и маленькие резиновые колечки можно использовать для геометрических построений. Подходящие для наших экспериментов трубочки продаются в магазине «Веселая затея» и называются там палочками для воздушных шаров. Они достаточно длинные – 37,5 см и при этом одновременно жесткие и упругие. Маленькие резиновые колечки для плетения продаются практически в любом магазине. Сначала мы взяли три трубочки и попарно скрепили их концы резиновыми колечками. Получился равносторонний треугольник (рис.1). А почему бы не собрать из тех же трубочек квадрат? И вот тут нас ожидал сюрприз. Мы соединили как надо четыре одинаковые трубочки, но это был не совсем квадрат или даже совсем не квадрат. Если положить эту конструкцию на стол, она мгновенно превращается в ромб, а если приподнять за вершину, то и вовсе перестает быть плоской фигурой (рис.2). Мы назвали этот

Рис. 2. Непослушный квадрат

квадрат или этот четырехугольник непослушным квадратом. Математики называют фигуры, которые легко меняют свою форму, изгибаемыми. Так вот, треугольник, состоящий из трех отрезков, жесткий – неизгибаемый, а квадрат и любой другой четырехугольник, и пятиугольник, и шестиугольник и т.д. – изгибаемы. Это хорошо известный факт, и мы смогли убедиться в нем с помощью трубочек и резиночек. А почему бы теперь не собрать чтонибудь пространственное? И мы легко собрали из трубочек самый простой многогранник – треугольную пирамиду (рис.3).

Рис. 1. Равносторонний треугольник

Эта статья (с небольшими изменениями) перепечатана из журнала «Квантик» №3 за 2018 год. Там она называется «Брызгалки и многогранники».

Рис. 3. Каркас пирамиды

30

КВАН T 2018/№2

Рис. 4. Настоящая пирамида

Правда, в математике многогранником называют другой объект – каркас вместе с гранями-многоугольниками (рис.4). При этом общие отрезки соседних граней называются ребрами – они соответствуют нашим трубочкам. А точки, где сходятся несколько ребер, называются вершинами – можно сказать, что это наши резиночки. Вот еще два замечательных многогранника: из 12 трубочек собирается октаэдр, у него 8 граней, а из 30 трубочек – икосаэдр, у него 20 граней (рис.5). У всех трех собранных многогранников все грани треугольные, и эти многогранники неизгибаемые. Теперь попробуем собрать из трубочек куб. Посмотрите на рисунок 6: этот куб совсем не держит форму – он изгибаем, и изгибаем совершенно чудовищным образом. Мы назвали его «разболтанным» кубом. А если без шуток, то тут возникает

Рис. 5. Трубчатые октаэдр и икосаэдр

Рис. 6. «Разболтанный» куб

серьезный математический вопрос: какие многогранники, собранные из трубочек, изгибаемы, а какие нет? Конечно, трубочки и резиночки могут что-то подсказать, но различных многогранников слишком много, чтобы без строгого доказательства доверять этим подсказкам. У нас появились кое-какие предположения, но мы не были уверены в них. К счастью, сейчас в интернете есть места, где на трудный математический вопрос можно получить квалифицированный ответ. Самое известное из них – блог профессиональных математиков MathOverflow. Там обсуждаются многие вопросы, связанные с современными математическими исследованиями, а также нерешенные математические проблемы, но совсем не приветствуются вопросы непрофессиональные или вопросы типа домашних заданий. Поэтому мы с опаской обратились туда. Мы спросили: если взять выпуклый многогранник, т.е. многогранник без впадин (рис.7), и убрать из него все грани, а оставить только ребра (тогда как раз получится что-то вроде нашего многогранника из

31

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШК О ЛЬНИК О В

Рис. 7. Выпуклый многогранник – без впадин, а у невыпуклого впадины имеются

трубочек), то в каком случае он будет изгибаемым, в каком – нет? Нас порадовало, что ответ был получен, и довольно быстро. Как мы и предполагали, если в многограннике есть хоть одна не треугольная грань, он будет изгибаемым, а если все грани треугольные, он – жесткий. Обсуждение нашего вопроса на MathOverflow было очень $интересным.^{1}$ В самом начале было сказано, что из теоремы Коши следует неизгибаемость трубчатого выпуклого многогранника. После этого $Дж.О’Рурк^{2}$ привел пример многогранника с квадратной гранью, который, как он считал, неизгибаем (рис.8). Мы собрали этот многогранник из трубочек (рис.9),

Рис. 8. Многогранник О’Рурка

1 Если вы знаете английский, можете посмот- реть это обсуждение, набрав в Google: «Rigidity of convex polyhedron in R3 with faces $removed».^{2}$ В MathOverflow каждому участнику добавляют очки за популярные вопросы и популярные ответы. Среди 64000 участников О’Рурк по популярности идет на третьем месте, у него 80000 баллов.

Рис. 9. Многогранник О’Рурка изгибаем

и оказалось, что О’Рурк ошибся – многогранник прекрасно изгибался. А затем А.Петрунин привел простое доказательство изгибаемости трубчатого многогранника, у которого есть хотя бы одна не треугольная грань. В своем доказательстве он использовал теорему А.Д.Александрова. Вот так был получен ответ на наш вопрос. Упомянутые здесь теоремы Коши и Александрова – самые знаменитые в теории многогранников. Их формулировки достаточно просты, а доказательства доступны старшим школьникам. Советуем почитать книжку Н.П.Долбилина «Жемчужины теории многогранников» (М.: МЦНМО, 2012), посвященную доказательствам этих теорем и рассчитанную на школьников. Несколько слов в заключение. Важным классическим вопросом является вопрос о жесткости и изгибаемости настоящих многогранников – многогранников с гранями. Здесь есть красивая теория с большой историей и с неожиданными открытиями, частично доступная школьникам. Советуем прежде всего посмотреть в интернете популярную лекцию «Изгибаемые многогранники и кузнечные мехи», год назад прочитанную А.Гайфуллиным на XXVIII Математическом празднике в Москве.

Облако – туман в высоте.

Владимир Даль

…то, что мы видим, есть не свет, а бесчисленные частицы пыли или тумана, отражающие небольшую часть света… Джон Гершель

Тяжесть не оказывает никакого влияния на распределение температуры в столбце воздуха. Джеймс Максвелл

Все земное вещество – под влиянием свойственных воде частных сил, ее парообразного состояния, ее вездесущности в верхней части планеты – ею проникнуто и охвачено. Владимир Вернадский

…метеорология снабжена приборами благодаря развитию экспериментальной физики… Иное дело теория метеорологии, она никогда не была удовлетворительно разработана никем из физиков. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакома вам

?

физика атмосферы

Следующий наш шаг по пути к небесным – астрономическим – сферам проходит через воздушную оболочку Земли. Ее изучает метеорология, главное содержание которой и представляет физика атмосферы. Стоит ли говорить о постоянном интересе человечества к атмосферным явлениям, о колоссальной зависимости от происходящих в атмосфере процессах? Грозы, ветра и ураганы – как уберечься от них? Засухи или нескончаемые дожди – как они отразятся на урожаях? Что происходит с климатом, угрожает ли нам глобальное потепление? Эти и множество иных вопросов жизненно важны и требуют от нас активных действий, осмыслить которые способна наука. За несколько последних столетий были созданы точнейшие приборы, с помощью которых отслеживаются параметры атмосферы – давление, температура, влажность, количество осадков, скорость и направление ветра. Вслед за этим Землю усеяла обширная сеть синоптических станций, собирающая данные с огромных площадей. А сегодня действует целая «эскадра» кружащихся вокруг планеты метеорологических спутников. Получаемые ими сведения обрабатывают мощнейшие компьютеры и ежеминутно выдают нам прогноз погоды. Легче нам от этого стало? Безусловно, да! Решены ли волнующие нас задачи? Разумеется, нет! Может быть, это удастся вам?

Вопросы и задачи

1. Почему дневной бриз дует с моря на сушу, а ночной, наоборот, дует с суши на море? 2. Отчего провода гудят на ветру? 3. Как объяснить, что климат островов гораздо умереннее и ровнее, чем климат больших материков? 4. Не влияют ли ветры и течения водных масс на вращение Земли, не тормозят ли его? 5. Почему в атмосфере Земли почти нет водорода, тогда как Солнце и большие планеты состоят в основном из него? 6. В горах барометр предсказывал бурю, но она так и не случилась. Отчего? 7. Обильный снегопад сопровождается заметным потеплением. Как это объяснить? 8. Иней на деревьях иногда исчезает без ветра и оттепели. С чем это связано? 9. Сосульки образуются при замерзании воды, стекающей с крыши при таянии снега. Но для того чтобы растаял снег, температура должна быть выше нуля, а чтобы замерзла вода – ниже нуля. Как это согласовать? 10. Почему обычно не бывает росы под густым деревом? 11. Отчего вечером роса бывает теплее, чем утром? 12. Может ли нам казаться теплее в сырую погоду, чем в сухую (при той же температуре воздуха)? 13. Почему капли дождя падают, а облака

– нет, хотя они тоже состоят из капелек воды? 14. Чистая вода прозрачна для света. Отчего же непрозрачен туман, представляющий собой мелкие капли воды? 15. Почему средняя равновесная температура поверхности Земли на 40 градусов выше той, которую она должна была бы иметь изза солнечной радиации? 16. Как объяснить, почему зимой редко бывают грозы? 17. Отчего молния чаще ударяет в землю в сырых местах, например у берегов рек и озер? 18. Почему особенно хорошо загорать высоко в горах? 19. В средних широтах после заката Солнца темнеет не сразу, а сначала наступают сумерки. С чем это связано?

Микроопыт

Посмотрите на небо ясной морозной ночью. Какие звезды мерцают более заметно: находящиеся высоко над горизонтом или низко?

Любопытно, что…

…понятие о климате как усреднении данных о погоде прошлого было введено еще учеными Древней Греции. Само слово «климат», означающее «наклон», свидетельствовало о том, что греки связывали климат местности со средним наклоном солнечных лучей. …ввести метеорологию в ранг точных наук пытался ученик Галилея Торричелли. Им, в том числе, была создана первая, правильная в общих чертах, теория образования ветров как следствия циркуляции атмосферных масс. …английскому физику Джону Тиндалю, изучавшему рассеяние солнечного света атмосферой, удалось объяснить голубой цвет неба. Большое значение для метеорологии имели его опыты с тепловыми лучами: сухой воздух поглощал их слабо, а водяной пар, напротив, сильно. …на больших высотах под действием ультрафиолетового излучения Солнца молекулы водяного пара распадаются на водород и кислород. Легкий водород улетучивается в космос, что приводит к убыли воды на Земле и к возрастанию содержания кислорода в атмосфере. …вся вода земного шара по массе превосхо-

324х208

360х251

дит атмосферный воздух примерно в 270 раз (подумайте, как бы вы могли провести такой расчет). …действие кориолисовых сил проявляется в движении гигантских атмосферных вихрей. Так, если смотреть из космоса, в северном полушарии циклоны вращаются против часовой стрелки, в южном – по часовой. У антициклонов эти направления меняются на противоположные. …грамм воды, налитой на дно стакана, образует поверхность в несколько квадратных сантиметров. Тот же грамм воды в виде дождевых капель обладает в десятки раз большей поверхностью. А у одного грамма капелек тумана она разрастается до нескольких сот квадратных метров. …удар молнии способен расщепить дерево, поскольку влага, находящаяся в его клетках, мгновенно закипает – и пар разрывает его ствол. …на высоте примерно 50 километров воздух, вследствие ионизации космическими лучами, становится хорошим проводником. Между этим слоем атмосферы и поверхностью Земли, как между обкладками гигантского конденсатора, имеется разность потенциалов порядка 400000 вольт. Земля при этом обладает отрицательным зарядом более 500000 кулонов. …в последнее время интенсивно развивается палеометеорология, позволяющая воссоздать климат Земли за тысячи лет назад. По ее данным, оказывается, можно предсказать, где находятся залежи полезных ископаемых.

Что читать в «Кванте» о физике атмосферы

(публикации последних лет)

1. «Вихри враждебные…» – 2013, №1, с.42; 2. «Сиреневый туман…» – 2014, №3, с.36; 3. «Что может электростатика» – 2015, Приложение №1, с.216; 4. «А что это холод на землю упал…» – 2015, №3, с.28; 5. «От точки росы до точки кипения» – 2016, Приложение №4, с.98; 6. «Июльский град» – 2017, №3, с.25; 7. «День-сумерки-ночь…» – 2017, №5, с.2; 8. «Физика града» – 2017, №5, с.34. Материал подготовил А. Леонович

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest

21. Выпишем по возрастанию все положительные несократимые дроби, меньшие 1, знаменатели которых меняются от 2 до 2018. Чему равно среднее арифметическое этих дробей? Г.Гальперин

22. Дан произвольный остроугольный треугольник. а) Покажите, как разрезать его на шесть треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. б) Докажите, что есть несколько способов это сделать. Е.Бакаев

23. Треугольным называют число, равное сумме всех натуральных чисел от 1 до какого-то натурального числа включительно. Вот первые несколько треугольных чисел: 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + + 3 + 4 = 10 и т.д. Петя, исследуя их свойства, сформулировал две теоремы: I. Если сумма двух треугольных чисел

Вниманию наших читателей! Начиная с 2018 года математическое отделение ВЗМШ открывает прием пятиклассников. Обучение будет проходить на электронной платформе. Дополняем список задач вступительной работы задачами для учеников 5 класса. 13. (5) Эми, Бен и Крис выстроились в ряд. Если известно, что Эми стоит слева от Бена, а Крис справа от Эми, какое из следующих утверждений точно правдиво? 1. Бен крайний слева. 2. Крис крайний справа. 3. Эми стоит в середине. 4. Эми крайняя слева. 5. Ни одно из утверждений выше не является верным.

является степенью двойки, то и их разность является степенью двойки. II. Если разность двух треугольных чисел является степенью двойки, то и их сумма является степенью двойки. Верна ли хотя бы одна из этих теорем? А может быть, верны обе? И.Акулич

24. Поле для игры «Морской бой» представляет собой квадрат 10 ¥ 10, во всех углах которого вырезаны квадраты 2 ¥ 2. Какое наибольшее количество трехпалубных кораблей (т.е. прямоугольников из трех клеток) можно разместить на данном поле так, чтобы никакие два корабля не соприкасались даже углами? Прямоугольники разрешается размещать только по линиям сетки. С.Костин

25. (5) Мистер и миссис Смит поженились 18 лет назад. Тогда мистер Смит был в три раза старше своей жены. Но сегодня он всего в два раза старше ее. Сколько лет было миссис Смит, когда она выходила замуж? 15. (5) Альберт Эйнштейн экспериментирует с двумя необычными часами. У обоих часов 24-часовой циферблат. Одни часы идут вдвое быстрее нормальной скорости. Другие часы идут с нормальной скоростью, но назад. При этом и те, и другие показывают верное время в 13.00. В какое еще время показания этих часов совпадают?

44

КВАНТ 2018/№2

ли середину дистанции и какое максимальное расстояние было между ними во время движения. $(6,2)^{1}$ М.Замятнин

ней границы столбиков жидкости в термометрах. Поясните, как получены ваши ответы. (1,7) М.Замятнин

Задача 2. Куб с лункой Если в кубе массой $m_{0} = 1,6$ кг сделать лунку в форме кубика, то он будет иметь массу $m_{1} = 1,2$ кг (рис.1). А если эту лунку

Задача 4. Из полного в порожнее-1 В прямоугольном поддоне со сторонами а = 30 см, b = 20 см и высотой бортика $h_{0} = 10$ см стоят цилиндрические сосуды с площадью основания $S 100 см^{2}$ каждый (рис.3). Высота первого сосуда $h_{0}$, а второго $5h_{0}$. В высокий сосуд через отверстие в стенке вставлена тонкая трубка с краном K,

Рис. 1

заполнить водой, то масса куба станет равна $m_{2} = 1,7$ кг. Определите плотность U материала, из которого изготовлен куб. Плотность воды $U_{в} 1,0$ г $см^{3}$. (8,5) В.Слободянин

Задача 3. Быстрые термометры На рисунке 2 изображены шкалы четырех термометров. Определите, у какого их них

Рис. 3

Рис. 2

наибольшая цена деления и чему она равна. Какой термометр сейчас показывает наибольшую температуру и чему она равна? Термометры внесли в комнату. Через час температура в ней стала медленно увеличиваться, причем за равные промежутки времени на одинаковую величину. Определите, во сколько раз будут отличаться максимальная и минимальная скорости движения верх-

1 В скобках после условия задачи указан средний балл решивших эту задачу. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.

второй конец которой лежит на стенке низкого сосуда. В этом положении трубка горизонтальна. Благодаря наличию устройства У, при открытом кране уровень воды в высоком сосуде понижается с постоянной скоростью v = 1,0 мм/с. Первоначально в низком сосуде и поддоне воды нет, а уровень воды в высоком сосуде равен $5h_{0}$. В момент времени t = 0 кран открывают. Постройте график зависимости уровня воды z в поддоне от времени t после открытия крана. Отметьте на осях графика величины z и t в характерных точках (точках излома, точках максимума или минимума). (1,9) С.Кармазин

8 класс

Задача 1. Средняя деревенская На перемещение из города в деревню с постоянной скоростью автомобиль затратил время t. На обратном пути водитель ехал быстрее и добрался до города за вдвое мень-

45

ОЛИМПИАДЫ

шее время. За какое время доехала бы машина от города до деревни, если бы водитель поддерживал скорость, равную средней скорости своего движения за поездку туда и обратно? (7,6) М.Замятнин

Задача 2. Зимой и летом… Экспериментатор Глюк обратил внимание, что в начале зимы показания двух уличных термометров (один проградуирован в градусах Цельсия, а другой в градусах Фаренгейта), совпадая по модулю, имеют разные знаки: 11,5 q C и 11,5 q F. Когда наступили суровые морозы, показания термометров опять совпали, но теперь уже и по знаку: 40 q C и 40 q F. Определите, какую температуру показывает термометр в градусах Цельсия, когда показания второго равны 40 q F. (5,0) М.Замятнин

Задача 3. Шариковая смесь В лаборатории калориметрии провели серию экспериментов по нагреванию стальных шариков двух различных масс. В таблице 1

Таблица 1 приведены значения изменений температуры шариков ’ t в зависимости от подведенного к ним количества теплоты Q. К сожалению, по неопытности лаборант занес в одну таблицу данные для разных шариков. Построив график, определите, во сколько раз отличались массы шариков, и найдите, какой из результатов явно надо отбросить как промах экспериментатора. (7,1) М.Замятнин

Задача 4. Из полного в порожнее-2 См. условие задачи 4 для 7 класса, а задание и дополнительное условие другие: Постройте график зависимости давления p, оказываемого низким сосудом на дно поддона, от времени t после открытия крана. Отметьте на осях графика величины p и t в

характерных точках – излома, максимума или минимума. Дно поддона шероховатое. (2,4)

9 класс

Задача 1. Мост Поезд въезжает на мост со скоростью $v_{0}$. Если он будет на мосту разгоняться с ускорением а, то проедет мост за время $t_{1} = 30$ с, если с таким же ускорением он будет тормозить, то проедет мост за время $t_{2} = 60$ с. За какое время $t_{3}$ поезд проедет мост при равномерном движении со скоростью $v_{0}$? (6,3) М.Замятнин

Задача 2. Равновесие-1 Система состоит из нескольких грузов, подвешенных на невесомых нитях, перекинутых через невесомые и один массивный (выделен цветом) блоки (рис.4). Масса m = 1 кг. Определите, при каких значениях масс $m_{1}$ и $m_{2}$ система будет находиться в равновесии. Трения в осях блоков нет. (3,9) М.Замятнин

Задача 3. Два в одном В калориметр, частично заполненный водой при температуре $t_{0} 10 q C$, опустили кубик 1, имеющий $начальную_{Рис.} 4$ температуру t 70 q C. После прекращения теплообмена температура содержимого калориметра достигла $t_{1} 25 q C$. Если бы вместо кубика 1 в калориметр опустили кубик 2, нагретый до такой же температуры t, то после прекращения теплообмена температура содержимого калориметра достигла бы $t_{2} 35 q C$. До какой температуры $t_{3}$ увеличится температура содержимого калориметра, если в него опустить сразу оба кубика, нагретые до температуры t? Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Вода из калориметра не выливается. (4,8) М.Замятнин

Задача 4. Выделение нелинейности В лаборатории линейной электродинамики экспериментатор Глюк исследовал вольт-

47

ОЛИМПИАДЫ

давлений $D p_{2} p_{1}$ от времени t после открывания крана $( p_{1}$ – давление низкого сосуда на дно поддона, $p_{2}$ – давление высокого сосуда на дно поддона). Отметьте на осях графика величины D и t в характерных точках – излома, максимума или минимума. Днища сосудов и поддона тщательно отполированы, так что вода под сосуды не подтекает. (3,4)

пературы $T_{0}$ до температуры $2T_{0}$, в результате чего он полностью диссоциирует на атомы. При этом степень диссоциации газа (доля распавшихся молекул) в указанном диапазоне прямо пропорциональна его температуре. Изобразите этот процесс в осях p–V, V–T и Q p, где p, V, T и Q – давление, объем, температура и количество вещества соответственно. (1,9) М.Замятнин

11 класс

Задача 4. Куб в магнитном поле Проволочный каркас в форме куба помещен в однородное магнитное поле, модуль индукции которого изменяется со временем по закону $B_{м} kt$, где k > 0. Сопротивления всех ребер одинаковы и равны R каждое. Длина ребра a. Определите направление и величину силы тока, протекающего через каждое из ребер. Рассмотрите случаи, когда вектор индукции магнитного поля: а) парал-

Задача 1. Перепутанные шарики В баллистической лаборатории исследовались зависимости значений скорости v шарика, выпущенного вертикально вверх из небольшой катапульты, стоящей на столе, от высоты h его подъема над уровнем стола. К сожалению, в спешке в таблицу 4 с резуль-

Таблица 4 татами измерений попали данные для двух разных шариков. Определите, какие данные относятся к одному, а какие к другому шарику. Для этого постройте график с результатами измерений в таких координатах, в которых он должен быть линейным. Рассчитайте, во сколько раз отличаются максимальные высоты подъема шариков над столом. Определите времена полета шариков. Ускорение свободного падения g 9,8 м $с^{2}$. (2,8) М.Замятнин

Задача 2. Равновесие-3 См. задачу 2 для 9 класса, а рисунок не 4, а 7. (5,3)

Рис. 7

Задача 3. Диссоциация Идеальный двухатомный газ, находящийся в герметичном сосуде объемом $V_{0}$, нагревают от тем-

Рис. 8

лелен ребру AE (рис.8,a); б) параллелен малой диагонали AC (рис.8,б). (2,1) И.Иоголевич

Задача 5. Из полного в порожнее-5 См. условие задачи 4 для 7 класса, а задание и дополнительное условие другие: Постройте график зависимости отношения давлений $D_{2} p_{2} p_{1}$ от времени после открывания крана $( p_{1}$ – давление низкого сосуда, а $p_{2}$ – давление высокого сосуда на дно поддона). Отметьте на осях графика значения величин D и t в характерных точках – излома, максимума или минимума. Дно поддона шероховатое. (3,6) Публикацию подготовил В.Слободянин