Квант 2018, №8 · Страницы

3

ИТЭР

–

ЗЕМНАЯ

сил, действующих между нуклонами – протонами и нейтронами. В атомном ядре действуют электрические силы отталкивания между протонами (кулоновские силы) и особые силы притяжения между нуклонами, получившие название ядерных сил. В современной физике соответствующие ядерным силам взаимодействия предпочитают называть сильными взаимодействиями. Они не имеют отношения к электрическому заряду частиц. Сильным взаимодействием обладают объекты, наделенные особым свойством – барионным зарядом. Он одинаков и для протонов, и для нейтронов и считается для них равным единице. Тем самым, суммарный барионный заряд ядра равен числу нуклонов в нем. Именно эта величина указывается в ядерных реакциях вверху перед символом элемента. Закон сохранения барионного заряда (числа ядерных частиц) наряду с законом сохранения электрического заряда определяют результат ядерной реакции. Очень важной особенностью сильных взаимодействий является их близкодействие. На расстояниях, меньших $10^{-} 15$ м, они проявляют себя как силы притяжения, примерно в 100 раз большие по величине, чем силы электрического отталкивания на таком расстоянии. Вот почему в ядрах необходимы нейтроны, и общие силы притяжения нуклонов уравновешивают электрическое отталкивание протонов. Два ядра, которым удалось преодолеть их взаимное отталкивание (преодолеть кулоновский барьер) и сблизиться на расстояние $10^{-} 15$ м, попадают в поле действия ядерных сил притяжения, устремляются друг к другу, сливаясь в одно целое. Образовавшийся комплекс сложен, это не просто несколько слипшихся шариков, а капля первозданного вещества Вселенной – кварко-глюоновой плазмы. Образовавшиеся в результате слияния объекты, например ядро атома гелия и нейтрон, обладают суммарной кинетической энергией большей, чем та энергия, которая была затрачена на преодоление кулоновского барьера. Налицо – выигрыш энергии. Никакого нарушения законов сохранения при этом нет, поскольку масса

ЗВЕЗДА

Макет термоядерного реактора (сечение) покоя ядра гелия и нейтрона в сумме меньше, чем сумма масс ядер двух первоначальных изотопов водорода. Какую же среднюю кинетическую энергию нужно придать ядрам изотопов водорода для того, чтобы они смогли преодолеть кулоновский барьер? Простой расчет – приравнивание потенциальной энергии электрического отталкивания начальной средней кинетической энергии частиц – дает температуру порядка $10^{9} K.$ Тот факт, что при этом некоторая часть частиц имеет кинетическую энергию значительно большую, чем средняя, и наличие квантового туннельного эффекта делают возможным сближение водородных ядер при более низкой температуре – «всего лишь» при 20 миллионах градусов. Казалось, что на Земле создать такую температуру нельзя. Но все изменилось ранним утром 16 июля 1945 года, когда в США на полигоне Аламогордо в штате Нью-Мексико состоялось испытание первого ядерного (уранового) взрывного устройства. Вспыхнувший на мгновение ослепительный свет был «ярче тысячи Солнц», по образному выражению Роберта Оппен-

4

КВАНТ 2018/№8

геймера – американского физика, одного из создателей американского ядерного оружия. Спектральные измерения подтвердили предсказания теоретиков, что в момент взрыва бомбы температура будет порядка 20 миллионов градусов. Почти одновременно в странах, где создавалось ядерное оружие (США, СССР и Великобритания), возникли проекты водородной бомбы – резервуара с изотопом водорода, внутри которого находилась урановая или плутониевая бомба. Вначале такие устройства были столь громоздкими, что их нельзя было использовать как бомбы. Но 22 ноября 1955 года водородная бомба с тротиловым эквивалентом 1,6 мегатонн была сброшена с самолета и взорвалась на высоте 1000 м над Семипалатинским ядерным полигоном в СССР. Вскоре аналогичные бомбы были сделаны и в США. И началась огромная по своим масштабам и страшная по своим возможным последствиям гонка вооружений между СССР и США. Кульминацией этой гонки стало испытание 30 октября 1961 года, когда на Новоземельском полигоне в СССР была взорвана «царь-бомба» с тротиловым эквивалентом 58 мегатонн.

Управляемый синтез

Практически одновременно с созданием водородной бомбы встала задача осуществления на Земле контролируемого, «при-

Игорь Евгеньевич Тамм

Олег Лаврентьев рученного» процесса термоядерного синтеза без ядерного взрыва. Был выдвинут ряд идей создания сверхвысокой начальной температуры – использование концентрации многих лазерных лучей или электронных пучков. Одно время даже обсуждалась идея «холодного» термоядерного синтеза. Но наиболее серьезные исследования были связаны с возможностью создания сверхвысокой температуры с помощью мощного электрического разряда в водородной плазме. Одна из первых идей была выдвинута в 1950 году в СССР военнослужащим, сержантом Олегом Лаврентьевым (1926– 2011). Он не имел в это время даже законченного среднего образования, но его мечтой было стать физиком. На свои скудные сержантские средства он выписывал научные и научно-популярные журналы и покупал учебники по физике. Лаврентьев послал в адрес правительства и Академии наук письма с изложением сво-

Андрей Дмитриевич Сахаров

5

ИТЭР

–

ЗЕМНАЯ

Лев Андреевич Арцимович ей идеи получения термоядерной энергии. Эта идея заключалась в создании кругового электрического разряда в водороде, термоизоляция которого обеспечивалась бы электрическими силами отталкивания. Письма О.Лаврентьева были переданы в организации, занимавшиеся ядерными взрывами, и в конце концов попали к И.Е.Тамму и А.Д.Сахарову, которые в это время работали над созданием водородной бомбы. Они организовали демобилизацию О.Лаврентьева и его приезд в Москву, получение им среднего образования и поступление на физический факультет МГУ. Но сама идея Лавренть-

ЗВЕЗДА

ева оказалась несостоятельной. Электрические поля не могли обеспечить устойчивое состояние кругового разряда. Лаврентьев и сам убедился в этом. Впоследствии, получив физическое образование, он работал в научных институтах, занимаясь ядерной физикой. Тамм и Сахаров использовали рациональное зерно лаврентьевской идеи. В водородной плазме электрический ток действительно должен быть кольцевым, а сама плазма должна представлять собой тор (баранку). Но удерживать круговой ток в пространстве могло только магнитное поле особой конфигурации – линии индукции этого поля должны как бы обвивать плазменный тор. Ученые назвали такое поле тороидальным. Воплощение в жизнь этой идеи было связано с решением многих научных и инженерных задач. И в уже далеком 1951 году в созданном главным научным руководителем урановой проблемы в СССР И.В.Курчатовым секретном научном институте, называвшемся тогда Лаборатория №2 АН СССР или Лаборатория измерительных приборов, а попросту ЛИПАН или «двойка», появилось подразделение, которое начало воплощать в жизнь идею Тамма и Сахарова. Сегодня «двойка» превратилась в огромный Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт», а подразделение, в котором начались работы по термояду, стало проектным центром ИТЭР, входящим в национальное агентство России по ИТЭР и в госкорпорацию «Росатом». В 1951 году руководителями работ по осуществлению лабораторного термоядерного синтеза стали сотрудники И.В.Курчатова Л.А.Арцимович и И.Н.Головин – один из главных координаторов «мозгового штурма» проблемы. С 1973 года руководителем работы стал Б.Б.Кадомцев, а с 1975 года – Е.П.Велихов.

Токамак

Игорь Николаевич Головин

Для создаваемого устройства И.Н.Головин придумал название – токамак (ТОроидальная КАмера с МАгнитными Катушками). Токамак-1 (Т-1) и Токамак-2 (Т-2)

7

ИТЭР

–

ЗЕМНАЯ

ЗВЕЗДА

мый реактор мог и не дать ожидаемого результата.

Будущее мировой энергетики

Евгений Павлович Велихов росом становилась и защита внутренних стенок реакционной камеры от случайных выбросов плазмы с ее многомиллионной температурой, и защита этих стенок от разрушающего действия быстрых нейтронов, и десятки других трудностей, которые нужно было преодолевать. Мечта о 5–10 годах для решения проблемы «приручения» термоядерной реакции так и осталась мечтой. В 1985 году были построены Токамак-15 и Токамак-16. Это были совместные разработки СССР–Китай и СССР–Япония, поскольку в Советском Союзе уже не было возможности затратить на эти работы миллионы долларов. Зато научными руководителями проектов были российские ученые – академики Б.Б.Кадомцев и Е.П.Велихов (Е.П. даже был награжден японским «Орденом восходящего солнца»). Длительность устойчивого состояния плазмы в этих реакторах уже превышала секунду. Но главное, стало ясно, что для длительного устойчивого состояния плазмы необходимы реакторы значительно больших размеров – примерно в 10 раз больших, чем Токамак-16. Стоимость сооружения такого реактора оценивалась уже в несколько миллиардов долларов. И ни одна страна в мире (включая и США) не могла себе позволить такой научный эксперимент. Тем более, что предполагае-

В то же время, к концу двадцатого столетия стало отчетливо ясно, что человечество стоит перед угрозой всемирного энергетического голода. Тогда, двадцать лет назад, 80% мировой электроэнергии производилось на тепловых электростанциях, использующих в качестве источника энергии каменный уголь и природный газ, 15% приходилось на гидроэнергию, 10% – на ядерные (урановые) электростанции. Энергия солнечного излучения, ветра, морских приливов и тепла земных недр составляла в общем энергетическом балансе лишь сотые доли процента. Работы ряда международных организаций позволили оценить мировые запасы природных источников электроэнергии и темпы нарастания ее потребления. По самым оптимистическим прогнозам, природного газа должно хватить на 100 лет, каменного угля – на 300 лет, урана – на 500 лет. Значительно расширить производство гидроэнергии не представляется возможным по экологическим соображениям. Мощные гидростанции требуют создания огромных водохранилищ, а это может нанести непоправимый вред природе. Так, например, при постройке крупнейшей в мире гидростанции «Три ущелья» на реке Янцзы (мощностью 22,5 ГВт) созданное искусственное озеро площадью в $630 км^{2}$ потребовало переселения трех миллионов человек. А в несколько раз меньшие по мощности российские гидростанции Братская и Усть-Илимская «снабжены» водохранилищами площадью $5400 км^{2}$ и $1830 км^{2}$. Это уже не озера, а целые моря. Мы специально ничего не говорим о нефти, запасы которой, как известно, наиболее ограничены (максимум на 60–80 лет). В получении электроэнергии сама нефть не играет заметной роли. Она используется для транспорта – авиационного, автомобильного, водного и железнодорожного. Часть транспорта, конечно, можно будет перевести на электри-

8

КВАНТ 2018/№8

ческие двигатели, как уже это сделано для железнодорожного транспорта. Но, во-первых, это даст еще большую нагрузку на сжигание газа и каменного угля и, во-вторых, довольно трудно представить авиацию на «электрической тяге». А главное, прекратить использование нефти в качестве топлива придется довольно скоро, ведь нефть – невосполнимый источник многих химических технологий. Перефразируя Д.И.Менделеева, скоро можно будет сказать, что дешевле сжигать в автомобилях ассигнации, чем бензин. Что произошло в мировой энергетике за прошедшие 20 лет? Главное изменение – это значительное увеличение доли используемого в качестве источника энергии природного газа. Она увеличилась с 5 до 15%. Соответственно, доля каменного угля уменьшилась до 50%. Гидроэнергия обеспечивает 20%, а ядерная энергия – 12%. По-прежнему крайне незначительна роль в энергетическом балансе энергии солнечного излучения и ветровой энергии. Увеличение доли природного газа в знергобалансе безусловно снижает экологический вред от сжигания каменного угля, в продуктах горения которого содержится целый ряд вредных газов и микрочастиц тяжелых металлов. Улавливание этих примесей перед выбросом газов в атмосферу обходится очень дорого. Это смогли себе позволить США, где сжигание каменного угля дает 60% энергии. А вот экологическая обстановка в густонаселенных районах Китая катастрофически ухудшается. В этой стране, почти лишенной природного газа, 75% электроэнергии производится за счет сжигания каменного угля. Россия в этом отношении – благополучная страна. Уже только 20% электроэнергии производится на угольных электростанциях, а 55% дает природный газ. Суммарная доля использования гидроэнергии и ядерной энергии примерно соответствует среднемировому показателю – 32%.

Атомная эра

По использованию в качестве источника энергии урана в мире существует резкая дифференциация. Всего сейчас работает

191 ядерная электростанция с 451 ядерным реактором (еще 60 реакторов находятся в стадии строительства). Из этого числа 100 реакторов построены в США и дают этой стране 20% электроэнергии. В России 36 реакторов дают почти пятую часть электроэнергии. Есть страны, в которых ядерная энергия – это треть энергии в ее общем балансе (Южная Корея, Финляндия). Имеются страны, где эта доля – почти половина всей энергии (Словакия, Украина). А вот в Китае и Индии доля ядерной энергии в общем балансе меньше 5%. Совсем не используется ядерная энергия в Австралии, в большинстве стран Южной и Центральной Америки и в многочисленных мелких государствах Океании. Опережает все страны по этому показателю Франция, в которой 58 ее ядерных реакторов производят 77% всей вырабатываемой в стране электроэнергии. Неслучайно статья в Википедии об экономике Франции начинается словами: «Франция – высокоразвитая страна, ядерная и космическая держава». Отчасти это объясняется тем обстоятельством, что во Франции еще в 30-е годы прошлого века начали развиваться работы по ядерной физике. Ирен и Фредерик Жолио-Кюри (как и Энрико Ферми в Италии) стали нобелевскими лауреатами за получение новых изотопов («меченых атомов»). Но они не поняли, что в их опытах наблюдалась также реакция деления урана. Об этом догадались немецкие радиохимики и физики О.Ган, Ф.Штрассманн, Л.Мейтнер. Началась атомная эра. Энрико Ферми продолжал работы с ураном уже в США. Он изобрел и построил ядерный реактор, где в ноябре 1942 года впервые в мире была осуществлена цепная ядерная реакция деления урана. Но целью создания первых реакторов было не выработка электроэнергии, а получение плутония, искусственного трансуранового элемента, способного, как и уран, к взрывному осуществлению реакции деления. После окончания войны и ужасных августовских событий 1945 года в Хиросиме и Нагасаки интересы многих физиков-ядерщиков сосредоточились на мирном ис-

9

ИТЭР

–

ЗЕМНАЯ

пользовании энергии деления. Их вдохновлял и запуск в 1954 году первой в мире ядерной электростанции в СССР. В реакторостроении Франция вскоре стала мировым лидером. Возможно, в этом немалую роль сыграли и почти полное отсутствие во Франции секретности ядерных исследований, и большой интерес к этим исследованиям французского правительства. На юге Франции, в маленьком городке Кадараш в 60 километрах от Марселя был создан мощный научный центр ядерной физики. И именно там, неподалеку от Кадараша, в 2006 году было намечено построить ИТЭР – международный термоядерный экспериментальный реактор. Огромную строительную площадку размером с 400 футбольных полей было решено создать в лесном массиве, поскольку вся безлесная сельскохозяйственная округа была арендована частными владельцами. Первое дерево было срублено 29 января 2007 года. Но перед этим несколько лет уточнялись научные предпосылки строительства реактора и почти пять лет разрабатывался технический проект сооружения. Много времени ушло и на организацию финансирования проекта и создание управляющих органов. Первоначально планировалось запустить реактор в 2022 году и затратить 5 миллиардов долларов. Но в 2012 году проект был пересмотрен, сроком окончания строительства был намечен 2025 год, а предполагаемая сумма затрат возросла до 20 миллиардов долларов. Сейчас пройдена половина дистанции, и панорама строительства поражает воображение. Кто же затеял и осуществил проект этой грандиозной стройки, поистине «стройки ХХI века»? Как возникла система финансирования и изготовления многочисленных узлов и агрегатов будущего реактора?

История проекта ИТЭР

Как уже было сказано, в 80-е годы прошлого столетия ученые разных стран, занимавшиеся проблемой «приручения» термоядерной энергии, пришли к единому мнению: необходима постройка экспериментальной установки такой мощности и таких размеров, что это недоступно от-

ЗВЕЗДА

дельной стране, и поэтому необходима международная кооперация. Некоторый опыт международного научного содружества в Европе уже был. В 1954 году был создан ЦЕРН (русское произношение международной аббревиатуры СЕRN, от Conseil Europйen pour la Recherche Nuclйaire – Европейский совет по ядерным исследованиям). Сегодня это крупнейшая коллаборация по физике высоких энергий, в которой принимают участие ученые 20 стран. Только на постоянной работе в ЦЕРНе заняты 2500 человек. За прошедшие годы там сооружено несколько ускорителей, в том числе крупнейший в мире Большой адронный коллайдер (БАК). На них совершено 11 крупных открытий в физике элементарных частиц. ЦЕРН награжден Большой золотой медалью ЮНЕСКО. Не менее важно и то, что именно в ЦЕРНе родилась «всемирная паутина», вначале как компьютерная сеть для распространения научной информации. Но в 1993 году эта сеть была открыта для всех пользователей – так родился интернет. Идея создания ЦЕРНа была высказана в 1949 году Луи де Бройлем в Лозанне (Швейцария) на европейской конференции по культуре. Идея была горячо поддержана физиками, а энергия и авторитет Нильса Бора помогли претворить ее в жизнь. В разгаре холодной войны советские физики не могли участвовать в создании и работе ЦЕРНа – почти все исследования в ядерной физике тогда были строго засекречены. Россия и сейчас не является страной-участницей этой организации. Но уже в строительстве БАКа и в его работе финансовый вклад России составил 5%, а научный вклад – заметно больше. Мечта физиков зажечь на Земле звездную реакцию синтеза совпала с крутым изменением политической обстановки в России в 1985 году. Генеральный секретарь ЦК КПСС М.С.Горбачев обозначил целью своей деятельности прекращение холодной войны («разрядку»), полное запрещение всех ядерных испытаний и начало решительного сокращения страшных арсеналов термоядерного оружия, накоп-

10

КВАНТ 2018/№8

ленного двумя мировыми державами. Российские руководители программы мирного использования термоядерной энергии академики Б.Б.Кадомцев и Е.П.Велихов в 1986 году встретились с М.С.Горбачевым и увлекли его своей идеей мирового сотрудничества в этой области. М.С.Горбачев понял важность проблемы и включил этот вопрос в программы своих встреч с лидерами ведущих стран мира. Е.П.Велихов стал его советником по этому вопросу и принимал участие в международных встречах. Решающую роль сыграла встреча М.С.Горбачева с президентом США Дональдом Рейганом в конце 1986 года в Рейкьявике (Исландия), на полдороге между Москвой и Вашингтоном. Рейган был незаурядным политиком. Бывший знаменитый киноактер, он был образованным человеком и имел хороших советников. В одном из интервью на журналистский вопрос о том, чем он руководствуется в своей внешней и внутренней политике, Рейган ответил: «Принципом дополнительности Нильса Бора». И разъяснил журналистам этот принцип, основанный на квантовом соотношении неопределенностей. Неизвестно, поняли ли Рейгана журналисты, но одним из результатов встречи руководителей двух стран стало создание под эгидой МАГАТЭ (Международного агентства по атомной энергии) группы ученых, разрабатывающих возможность создания нового крупного научного международного содружества. Большое участие в этом принял и президент Франции Франсуа Миттеран. В 1987 году эта группа стала Международным консультативным комитетом проекта ИТЭР, а возглавил этот комитет академик Б.Б.Кадомцев. Международный консультативный комитет подготовил заключение в Вашингтоне в июле 1992 года международного четырехстороннего соглашения о разработке инженерного проекта ИТЭР. Участниками этого соглашения были Россия, США, Япония и ЕС (Европейское содружество). Очень сложным вопросом было финансирование разработки проекта. Острой необходимостью стало создание полномочной международной организации по руковод-

Бернард Биго ству всей этой работой. Необходим был международный договор. Трудно переоценить участие Е.П.Велихова в подготовке этого договора. Его личные контакты со всеми ведущими физиками-реакторщиками, его бесспорный научный авторитет в этой области обеспечили успешное, хоть и не очень быстрое решение проблемы. Наконец, в мае 2006 года в Брюсселе состоялось соглашение о создании Международной организации по реализации проекта, которая будет обладать правами юридического лица, способного заключать договоры с государствами и международными организациями. В июне 2006 года в Москве первые шесть стран-участниц этого соглашения определили место сооружения реактора. В сентябре 2006 года правительство России приняло решение поддержать это соглашение, тем самым Россия стала страной-участницей. В декабре этого года уже было заключено несколько десятков контрактов с конкретными исполнителями проекта. Был создан управляющий орган – совет ИТЭР. Его генеральными директорами вначале были японские физики-реакторщики – ведь именно в Японии был создан самый продвинутый реактор Токамак-16. Российский ученый, академик Е.П.Велихов стал главным научным руководителем проекта. В 2015 году генеральным директором совета ИТЭР был избран 65-летний

11

ИТЭР

–

ЗЕМНАЯ

французский физик Бернард Биго, а 80- летний Е.П.Велихов стал почетным консультантом совета, он и сейчас продолжает принимать активное участие в его работе. Во всех странах-участницах были созданы национальные агентства ИТЭР. В России такое агентство входит в государственную корпорацию «Росатом». Одной из важнейших задач совета ИТЭР является определение плана работ и сметы строительства на каждый год и, что особенно важно, распределение между странамиучастницами работ по созданию отдельных узлов и агрегатов реактора. Полный расчетный объем финансирования составляет на 2018 год около 2 миллиардов евро. Он разделен на 11 частей, или паев. По одному паю имеют Россия, США, Китай, Южная Корея и Индия, 2 пая имеет Япония, Европейский Союз имеет 4 пая, которые уже сам распределяет по отдельным странам Европы (в общей сложности в проекте принимают участие 26 стран). Участие этих стран заключается не только в финансировании работ по самому строительству реактора. Они финансируют также научные разработки, инженерные проекты и изготовление по этим проектам тех элементов конструкции, которые советом ИТЭР и национальными агентствами ИТЭР им поручено выполнить и доставить на строительную площадку. Почему мы выделили отдельно вопрос доставки? Вот небольшой штрих, характеризующий грандиозные масштабы стройки. Отдельные детали и установки имеют массу в десятки и сотни тонн. Так, некоторые детали, изготовленные в России, имели массу по 50 тонн. Морем они доставлялись в немецкий порт Киль, а оттуда по автобанам на многотонных трейлерах – на юг Франции. Но были и будут «детали», имеющие массу по 300 тонн и более. Как их доставить? В 2017 году в Южной Корее были изготовлены газгольдеры для хранения охлажденного гелия. Масса каждого газгольдера 300 тонн, диаметр 6 метров, высота 30 метров. С Дальнего Востока они были доставлены морем во внутренний порт Средиземного моря около Канн и погружены на специальные платформы-

ЗВЕЗДА

трейлеры. Но чтобы выдерживать такую массу, трейлеру нужно иметь 354 колеса! По модернизированной 100-километровой дороге трейлеры со скоростью 5 километров в час передвигались в сопровождении конвоя по ночам, когда останавливалось все движение. Теперь эти газгольдеры, установленные огромными кранами, гордо красуются на предназначенных им по проекту местах. И краны, и платформытрейлеры были изготовлены во Франции специально для этой стройки. На строительстве сейчас занято свыше 2000 инженеров, техников и рабочих, а в штабе стройки и в научном руководстве задействовано больше 400 сотрудников. Есть небольшой жилой поселок, общежития гостиничного типа, медицинские и детские учреждения. Предусмотрен транспорт для детей школьного возраста в город Кадараш. Общее число всех, кто занят в проекте ИТЭР в 26 странах мира, оценивается в 200000 человек. Невероятно трудно координировать работу этого грандиозного коллектива. Очень важно соблюдение сроков выполнения отдельных узлов для обеспечения непрерывности работы на стройке. Нынешний генеральный директор совета ИТЭР Бернард Биго регулярно посещает все страны-участницы, наблюдая и контролируя работы в них. В России национальное агентство по ИТЭР привлекло к работе 10 научноисследовательских и конструкторских центров, 5 крупных заводов с общим числом работников порядка 20000 человек. Генеральный директор совета ИТЭР на недавном заседании назвал российское участие в проекте самым надежным и по срокам, и по качеству выполнения работ. Чтобы составить представление о том, что же там, во Франции, строится, нужно немного подробнее остановиться на принципах работы и конструкции этого термоядерного реактора. Но об этом – в следующий раз.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Автор задач Ф2529–Ф2532 – С.Крюков.

Задачи М2522–М2525, Ф2529–Ф2532

M2522. Найдите все натуральные числа n, для которых существует перестановка $a_{1}$, … $, a_{n}$ чисел 1, …, n такая, что все числа $a_{1} - 1, a_{2} - 2$, …, $a_{n} - n$ попарно различны. Фольклор

M2523. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) точка M – середина высоты CH (рис.1). Прямая, проходящая

y Œ R выполнено равенство f ( xy ) = ( f ( x ) ) ay

$( f ( y ) )^{bx}$.

Я.Алиев

M2525. Даны натуральные числа m, n, k, a, b, c. Прямоугольный параллелепипед m ¥ n ¥ k удалось разрезать на несколько «кирпичей» трех видов: a ¥ 1 ¥ 1, 1 ¥ b ¥ 1 и 1 ¥ 1 ¥ c. (Размеры указаны в заданном порядке – длина, ширина, высота; например, 1 ¥ 1 ¥ 2 и 1 ¥ 2 ¥ 1 – кирпичи разного вида.) Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: m делится на a; n делится на b; k делится на c. Т.Зиманов (Казахстан) через C и перпендикулярная прямой AC, пересекает прямую, проходящую через A и параллельную прямой BC, в точке P. Докажите, что точки B, M и P лежат на одной прямой. Д.Пашуткин

Ф2529. В аквариум в форме куба с длиной ребра 2R «вписан» конус (ширина аквариума равна диаметру основания конуса, высота конуса равна высоте аквариума). Аквариум с находящимся в нем конусом полностью залит водой. Определите минимальную работу, которую следует совершить, чтобы «осушить» конус (вынуть его из воды). Плотность воды $U_{0}$, плотность материала конуса U.

M2524. Для каждой пары различных действительных чисел a, b найдите все функции $f : R Æ R_{+}$ (т.е. функции, определенные на множестве всех действительных чисел и принимающие положительные значения) такие, что при всех x Œ R,

Ф2530. На дне пустого колодца лежит груз массой m, к которому привязан невесомый упругий шнур длиной L, а второй конец шнура привязан к барабану на уровне его оси (рис.2). На шнуре на высоте 9 10 L от дна колодца находится «метка».

Рис. 1

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШК О ЛЬНИК О В

Задачи

Сидор – сын брата жены Петра. Кем приходится Петр Сидору?

На рисунке показан фрагмент мозаики, сложенной из одинаковых деталей. Как может выглядеть одна такая деталь?

Какую операцию нужно добавить, чтобы схему на рисунке можно было правильно заполнить числами, поставив в закрашенную клетку любое положительное число?

Иллюстрации Д.Гришуковой

Дима узнал способ выкладывать цифры спичками (см. рисунок). Какое наибольшее число он может составить, используя 17 спичек?

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на Международном математическом конкурсе-игре «Кенгуру» в 2018 году.

24

КВАН T 2018/№8

XXIV Турнир математических боев имени А.П. Савина

XXIV Турнир математических боев имени А.П.Савина прошел с 26 июня по 2 июля 2018 года в Костромской области на базе отдыха «Берендеевы Поляны». В турнире приняли участие 34 команды школьников, окончивших 5–9 классы, из Москвы, Санкт- Петербурга, Ярославля, Иванова, Вологды и Жуковского. Задачи были составлены и подобраны жюри под руководством А.Грибалко и старших по лигам: М.Хачатурян – 5 классы, Е.Бакаева – 6 классы, А.Пешнина – 7 классы, М.Артемьева – 8 классы. По результатам командной олимпиады команды шестых классов были разбиты на две лиги: высшую и первую. Победителями и призерами турнира стали следующие команды (в скобках указан руководитель команды на турнире). Лига 5 классов диплом I степени: Вологодский математический лицей-1 (А.Чегодаев), диплом II степени: Москва-1543-5-1 (И.Раскина), диплом III степени: Москва-1543-5-2 (И.Раскина). Высшая лига 6 классов диплом I степени: Москва-ЦДО-6Б (К.Скопцов), дипломы II степени: Москва-2007-6-1 (Р.Христолюбов) и Жуковский-5-6 (И.Иванов-Погодаев), дипломы III степени: Жуковский-6 (Е.Рудакова) и Москва-1514-6-2 (О.Морозова). Первая лига 6 классов диплом I степени: Ярославль-6 (И.Преображенский), диплом II степени: Москва-1514-6-1 (О.Морозова), диплом III степени: Москва-Новая школа-6 (Н.Мартынова). Лига 7 классов диплом I степени: Ярославль-7 (И.Преображенский), диплом II степени: Москва-1329-7 (Е.Бакаев), диплом III степени: Москва-2007-7-1 (О.Агаханова). Лига 8 классов диплом I степени: Москва-2007-8 (О.Деркач), диплом II степени: Ярославль-8 (И.Преображенский), дипломы III степени: Санкт-Петербург-30 (А.Садовников) и Москва-1543-8 (О.Заславский).

Победителями личной олимпиады 5 класса стали Бурмистров Владислав (Москва, школа 444) и Мордакин Антон (Москва, школа 1543). Абсолютные победители (школьники, набравшие наибольшее количество баллов) олимпиады 6 класса: Або Полина (Санкт-Петербург, школа 369), Кондаков Илья (Москва, школа 1514), Тихонов Григорий (Москва, школа 1543). В 7 классе победителем стала Кобышева Екатерина (Москва, школа 1329), а в 8 классе – Дюдин Тимофей (Москва, школа 2007). Подробную информацию о турнире можно найти на сайте tursavin.ru

Избранные задачи Назовем натуральное число суперпростым, если сумма его цифр – простое число. Назовем натуральное число суперпуперпростым, если сумма его цифр – суперпростое число. Какое наибольшее количество суперпуперпростых чисел могут стоять подряд в натуральном ряду? Д.Шноль 2. (8) На доске размером 100 ¥ 100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга. Для каждой из них подсчитали, какой наименьший суммарный путь должны пройти остальные ладьи, чтобы попасть на ту клетку, где находится эта ладья. Докажите, что если для каких-то двух ладей полученные величины равны, то центры клеток, в которых стоят эти ладьи, равноудалены от центра доски. А.Грибалко 3. (6–8) Трус, Балбес и Бывалый раздобыли три бутыли самогона. Они знают, что в какой-то из бутылей его крепость равна 45%, в какой-то – 65%, а в какой-то – 70%. Они могут отмерять любое количество самогона. Выпив стакан, каждый самогонщик роняет его в том и только в том случае, если его содержимое было крепче

$1. (8)^{1}$

1 В

скобках после номера задачи указан класс, в котором она предлагалась.

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШК О ЛЬНИК О В

в ожерелье? (Ожерелье сцеплено в кольцо.) Е.Горская

60%. Как всем троим наполнить стаканы и, выпив их одновременно, определить крепость в каждой бутыли? С.Токарев

4. (8) Все натуральные числа от 1 до $n^{2}$ требуется расставить в таблице размером n ¥ n так, чтобы в каждом «уголке» из трех клеток сумма чисел не делилась на 3. При каких n это возможно? А.Грибалко

5. (8) Из шестнадцати монет две фальшивые, более легкие. Если на чашечные весы положить фальшивую и настоящую монеты, то весы останутся в равновесии, но две настоящие монеты перевешивают две фальшивые. Можно ли найти обе фальшивые монеты, сделав не более шести взвешиваний? А.Заславский, К.Кноп

6. (8) Петя и Вася играют в игру на полоске 1 ¥ N клеток. Первым ходит Петя, ставя фишку на любую клетку. Далее Вася передвигает ее на 3 или на 4 клетки в любую сторону, затем таким же образом фишку двигает Петя и так далее. Дважды ставить фишку на одно и то же поле нельзя. Тот, кто не сможет сделать ход, проигрывает. Кто из игроков сможет гарантировать себе победу вне зависимости от ходов противника? Е.Бакаев

7. (8) У шаха есть N камней массой 1, 2,…, N карат (N > 2). Он хочет сделать из некоторых из них ожерелье так, чтобы массы любых двух соседних камней в ожерелье отличались хотя бы вдвое. Какое наибольшее количество камней может быть

8. (7–8) В угловой клетке доски размером 100 ¥ 100 клеток стоит шахматный король. Петя и Вася по очереди делают им ходы так, чтобы расстояние от центра начальной клетки до центра той, в которой находится король, после каждого хода увеличивалось. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто сможет выиграть, независимо от ходов соперника? А.Грибалко

9. (8) В волейбольном турнире меньше всех очков набрала команда с положительной разностью выигранных и проигранных партий. Какое наименьшее количество команд могло участвовать в этом турнире? (Каждая команда сыграла с каждой один матч, который состоит из нескольких партий до трех побед одной из команд. Если счет партий 3: 0 или 3: 1, то за победу дается 3 очка, за поражение – 0; если счет партий 3: 2, за победу – 2 очка, за поражение – 1 очко.) А.Заславский

10. (7–8) Назовем семиугольник прямоугольным, если у него есть четыре прямых угла. Докажите, что любой прямоугольный семиугольник можно разрезать на семь прямоугольных семиугольников. А.Пешнин

11. Дан прямоугольник ABCD. На стороне BC отмечена точка K, а на стороне CD – точка L так, что CK = DL и – DAL = – LAK.

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Потенциальная яма и принцип чайной ложечки

С.ДВОРЯНИНОВ

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА – ЭТО, КОНЕЧНО, выражение образное. Вспомним подобные выражения: не вешать носа, развесить уши, дать прикурить, говорить под руку, искать ветра в поле. Ясно, что повесить нос можно только в переносном смысле, а вот загрустить, впасть в уныние – это бывает. Вводя понятие потенциальной ямы, в учебниках физики обычно рисуют шарик, который катается по кривой, представляющей собой график функции, имеющей две точки минимума и точку максимума между ними (рис.1). Функция выражает значение потен-

Потенциальную яму каждый из нас наблюдает чуть ли не ежедневно. Представьте, например, что на столе стоит стакан чая с чайной ложечкой внутри и блюдце. Размешав чай, вы хотите положить ложечку на блюдце. Для этого надо совершить работу – поднять ложечку выше стакана, преодолеть потенциальный барьер. Положение ложечки и в стакане, и на блюдце – устойчиво. Если чаепитие происходит, скажем, в вагоне движущегося поезда, то небольшие толчки или сотрясения оставят ложечку на месте и в стакане, и на блюдце. В этой простейшей ситуации дно стакана и блюдце – это две потенциальные ямы, а ложечка – перекатываемый из одной ямы в другую шарик. Оказывается, подобная абстрактная «ложечка» присутствует во многих окружающих нас конструкциях, где вместо потенциальной энергии гравитационного взаимодействия с Землей надо рассматривать потенциальную энергию деформируемой пружины. Электрический выключатель. На рисунке 2 изображена схема электрического вык-

Рис. 1

циальной энергии шарика. Точке минимума соответствует потенциальная яма, точке максимума – потенциальный барьер. Таким образом, потенциальной ямой физики называют состояние рассматриваемой системы с минимумом ее потенциальной энергии. Сам по себе из одной ямы в другую шарик перекатиться не может. Для его перемещения требуется приложить внешнюю силу и совершить достаточную для преодоления потенциального барьера работу. (Правда, имеются ситуации, когда частица, не макроскопический шарик, с некоторой вероятностью может преодолеть такой барьер без всякой «внешней» помощи. Этим объясняется, например, явление альфа-распада тяжелых ядер.)

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20180803

Рис. 2

лючателя, когда электрическая цепь разомкнута. При повороте пластмассового рычажка АВ вокруг точки О против часовой стрелки пружина из положения KA переходит в положение KA c и замыкает цепь. На этом пути пружина сначала сжимается (ее потенциальная энергия увеличивается), потом разжимается. Почему? Да потому, что в треугольнике АОK сумма длин двух сторон АО и АK больше длины стороны KО. Когда пружина и отрезок АО располагаются на отрезке KО, пружина неизбежно оказывается сжатой. Крайние положения пружины – это потенциальные ямы. Оба эти положения пружины (и рычажка АВ) устойчивы. Проведем простой эксперимент. Если слегка нажать на клавишу настенного включателя и затем отпустить ее, то клавиша, щелк-

29

ШКОЛА

покой в этом случае неустойчивы. Другой пример – карточный домик. Если же при отклонении системы от положения равновесия появляется сила, возвращающая систему в исходное состояние, то это положение равновесия называют устойчивым. Примером служит шарик, находящийся в ямке (или ложбине). Для сжатия или растяжения пружины требуется совершить некоторую работу. Эта работа приводит к увеличению потенциальной энергии, накопленной пружиной. Деформированная пружина стремится вернуться в исходное недеформированное состояние, которому соответствует минимум потенциальной энергии. Недеформированное состояние пружины является устойчивым потому, что ее растяжение или сжатие вызывает появление силы упругости, которая стремится вернуть пружину (и связанную с ней систему) в исходное состояние. Где еще применяют такие пружины. Существует очень много механических реализаций рассмотренных принципиальных схем и их модификаций. Даже на фотоаппарате, которым были сделаны снимки, представленные далее на рисунках 5 – 7, прикрывающая контакты крышка в положениях открыто/закрыто фиксируется подобным запирающим устройством. Так, в трамвае крышка аварийного люка находится в состоянии устойчивого покоя (см. рис. 5). Для того чтобы в случае опасности открыть люк, пружину следует сжать и провести ее через состояние неустойчивого равновесия. Отметим, что при растяжении пружина всегда остается прямолинейной, а вот сжатие длинной пружины иногда приво-

Рис. 5

В

«КВАНТЕ»

дит к ее «выпучиванию». Во избежание этого пружину, работающую на сжатие, помещают внутрь обоймы или патрона. Механизм, удерживающий форточку в трамвае в состоянии открыто/закрыто (см. рис.6), фактически описан в статье.

Рис. 6

Рис. 7

А теперь – конструкторская задача. На рисунке 7 показаны две банки для чая. Их замки действуют согласно изложенному в нашей статье принципу. А где же здесь пружина? Оказывается, роль пружины выполняет эластичная резиновая прокладка, укрепленная по периметру крышки (одновременно эта прокладка обеспечивает герметичность банки). При закрывании банки крышка вначале прижимается к ней, а потом чуть-чуть (примерно на миллиметр) поднимается вверх. Оба рычага столь жесткие, что практически не деформируются. Прокладка, будучи деформированной и потом освобожденной от внешнего воздействия, легко приподнимает крышку. Если удалить прокладку, система перестает действовать.

… на небе имеется материя того же сорта, что и в подлунных предметах, поскольку множественность никогда не следует полагать без необходимости… Уильям Оккам Своеобразный тусклый свет, наблюдаемый на Луне, в особенности когда она серпообразна, вызван отражением света Солнца от поверхности земли и моря… Галилео Галилей

Сходство между Марсом и Землей, быть может, наибольшее сравнительно со всеми другими членами Солнечной системы. Уильям Гершель

Если на темной стороне Луны воздух затвердевает, то почти весь воздух должен перейти от светлой стороны в темную и там также замерзнуть. Орест Хвольсон

Одни и те же законы господствуют как в великих небесных светилах и в планетных системах, так и в мельчайших молекулах… Владимир Вернадский

А так ли хорошо знакома вам

?

физика планет

Сначала человек научился отличать планеты от звезд, затем открыл законы их движения, а вот что они представляют собой, насколько схожи или отличны от Земли, до XX века он мог лишь строить догадки. Каких только смелых предположений и буйных фантазий не появилось, пока, наконец, талант ученых и инженеров не позволил создать невероятно сложные средства доставки и сами приборы, способные передать нам из окрестностей планет, а то и непосредственно с их поверхности достоверную информацию. Физика планет – часть целого комплекса наук, называемого планетологией, – совершила гигантский скачок в последние десятилетия, многократно обогатив багаж наших знаний о Солнечной системе. Вооружившись этими знаниями, люди уже смогли побывать на Луне, готовятся к пилотируемому полету на Марс, оценивают возможности освоения спутников планет и астероидов. Но более всего надеются обнаружить наличие какихлибо форм жизни на ближайших к нам планетах. А, быть может, и на экзопланетах, обращающихся вокруг иных, кроме Солнца, звезд… Пока же отправимся в мини-экскурсию по планетам, рассчитывая, что она послужит еще одним вступлением в курс астрономии, который ждет вас в новом учебном году.

Вопросы и задачи

1. Чем вызваны резкие перепады температуры лунной поверхности в дневное и ночное время? 2. Можно ли наблюдать на Луне солнечные затмения, метеоры, кометы, полярные сияния, радугу, серебристые облака, искусственные спутники? 3. Из-за наличия молекул, движущихся со скоростями, большими скорости «убегания», все планеты теряют свои атмосферы. Почему же все-таки атмосферы существуют? У всех ли планет они есть? 4. На Меркурии существуют области, где постоянно лежит лед. Как это согласуется с высокой температурой этой планеты? 5. Какое явление доказывает, что Венера, Меркурий и другие планеты, подобно Луне, лишь отражают солнечный свет, а сами – сравнительно холодные тела? 6. Как, наблюдая за покрытием звезд Венерой и Марсом, доказать, что эти планеты имеют атмосферы? 7. Может ли на поверхности Венеры существовать жидкая вода? 8. Что произойдет с водой, помещенной в открытом сосуде на поверхность Марса? 9. На Венере столь плотная облачность, что с ее поверхности никогда не видны звезды и Солнце. Как же там отличить день от ночи?

10. На какой планете и почему Солнце восходит на западе и заходит на востоке? Направления сторон горизонта считать такими же, как на Земле. 11. Происходит ли смена времен года на Марсе? 12. На каких планетах и почему нет смены времен года? 13. Отчего Сатурн при меньшей скорости вращения вокруг своей оси более сжат у полюсов, чем Юпитер? 14. Известно, что средняя плотность планет-гигантов Сатурна и Юпитера мала – от 687 до 1326 кг $м^{3}$. Что можно сказать о химическом составе этих планет? 15. Наблюдая за покрытием Ураном звезды, астрономы обнаружили, что она несколько раз «исчезала» до и после этого события. Как это объяснить? 16. В чем причина синего цвета Нептуна?

Микроопыт

Рядом с молодым (или очень старым) месяцем вы можете увидеть неосвещенную Солнцем часть лунного диска – так называемый пепельный свет Луны. Как доказать, что он вызван солнечным излучением, отраженным от Земли? Когда этот свет особенно ярок?

Любопытно, что…

…древнегреческий ученый Анаксагор, основавший около 460 года до новой эры первую школу естественных наук, верно угадал природу крупнейших небесных светил: Солнце – раскаленный шар, а Луна – холодный шар, освещенный Солнцем. …семь планет, а в древности к ним причисляли Луну и Солнце, считались божествами, и эта идея проходила красной нитью через всю средневековую астрологию. Благодаря им, число семь получило священный характер в Библии, в алхимии было семь основных металлов, в октаве – семь нот, в спектре – семь цветов. …у древних греков для Венеры существовало не одно, а два имени; с одним они связывали планету, демонстрирующую утреннюю видимость, с другим – вечернюю. …можно считать, что Леонардо да Винчи был предшественником изобретателей зрительных труб, поскольку интересовался, как применить очки для того, чтобы «видеть

Луну большой». Но и без оптических приборов он первым догадался, что пепельный свет Луны – отраженный свет, идущий от Земли. …первый научно-фантастический рассказ с изображением поверхности Луны был написан Иоганном Кеплером. А знаменитый фантаст Герберт Уэллс в романе «Первые люди на Луне» допускал наличие на ней атмосферы, замерзавшей ночью, а днем таявшей и испарявшейся. …первые детали на поверхности Марса различил еще Христиан Гюйгенс в 1660-е годы. Первая полная карта светлых областей («пустынь») и темных («морей») была составлена в 1830-е годы, а в 1870-е годы итальянский астроном Джованни Скиапарелли добавил в нее «каналы», оказавшиеся впоследствии оптической иллюзией. …на сегодня известен состав не только планетных атмосфер, например Марса и Венеры, состоящих почти из чистого углекислого газа, но и спутников планет – например, спутника Сатурна Титана, окруженного плотной атмосферой из азота со следами метана и водорода…. Юпитер – единственная планета Солнечной системы, магнитосфера которой была обнаружена до полетов космических аппаратов. «Выдало» ее излучение электронов, движущихся по спиральным траекториям вдоль линий магнитного поля планеты…. расчеты планетологов показали, что будь Земля на 5% ближе к Солнцу, испарение океанов вызвало бы сильнейший парниковый эффект, который привел бы к полному исчезновению всей воды на планете. Возможно, так оно и произошло на Венере.

Что читать в «Кванте» о физике планет

(публикации последних лет)

1. «Тайна лунных недр» – 2014, №1, с.39; 2. «Астрономия вернулась в школу» – 2017, №12, с.2; 2018, №1, с.2; 3. «Астрофизика в ЕГЭ по физике» – 2018, №1, с.42; 4. Калейдоскоп «Кванта» – 2018, №2, с.32; 5. «Будут ли на Марсе яблони цвести» – 2018, №4, с.27; 6. «Через тернии к звездам» – 2018, №6, с. 34. Материал подготовил А.Леонович

35

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Рис. 5

Лемма 2. Если в каждом разряде двоичной записи $чисел^{a,} b$ и c суммарно содержится четное количество единиц, то выполняется $соотношение^{c} F a, b$. Например, в двоичной записи тройки чисел 3, 9, 10 суммарно в каждом отдельном разряде количество единиц равно 0 или 2, т.е. четно (рис.6). Тогда, согласно лемме 2, выполняется соотношение 10 F 3, 9.

Рис. 6

Перед доказательством леммы 2 напомним, что если три $числа^{a,} b$ и c связаны соотношением$^{c}$ F a, b, то состоянию a, b, c в игре Ним с 3 кучками приписывается знак «–». Таким образом, эта лемма даст ключ к нахождению «минусовых» состояний, т.е. выигрышной стратегии, в игре Ним. Состоянию 0, 0, 0 приписан знак «–», и в каждом двоичном разряде нуля содержится нулевое (четное) количество единиц. Пусть $числа^{a,} b$ и c таковы, что для каждого разряда их двоичных записей суммарное количество единиц четно. Тогда если из состояния $a, b,^{c}$ в игре Ним сделать ход, то уменьшится ровно одно число из трех. Не исключая общности, считаем, что уменьши-

КР У ЖОК

лось $число^{a.}$ Тогда хотя бы в одном из разрядов его двоичной записи единица сменится нулем. В этом-то разряде у $чисел^{a,} b$ и c количество единиц и станет нечетным. Осталось доказать, что если хотя бы в одном из разрядов двоичных записей $чисел^{a,} b$ и c суммарное количество единиц нечетно, то уменьшением одного из этих трех чисел можно добиться того, чтобы в каждом двоичном разряде суммарно у трех чисел количество единиц стало четным. Рассмотрим самый старший двоичный разряд, в котором суммарное количество единиц у $чисел^{a,} b$ и c нечетно. Хотя бы у одного из трех чисел в этом разряде двоичной записи стоит цифра 1. Пусть, для определенности, рассматриваемый разряд имеет номер k и двоичная запись $числа^{a}$ в k-м разряде содержит 1. Уменьшим $число^{a.}$ Двоичные разряды старше k-го в записи $числа^{a}$ оставим без изменения, в k-м разряде заменим 1 на 0. В разрядах, младших k-го, цифру в двоичной записи $числа^{a}$ выберем таким образом, чтобы вместе с соответствующими цифрами в двоичной $записи^{b}$ и c получилось четное число единиц. Доказательство леммы 2 завершено. Лемма 2 позволяет находить $число^{c} F a, b$ по двум произвольным $числам^{a} и^{b.}$ Для нахождения двоичной записи числа c следует сложить поразрядно двоичные записи $чисел^{a} и^{b.}$ Если единиц в разряде $у^{a} и^{b}$ вместе окажется 0 или 2, то в соответствующем разряде числа c ставим цифру 0, а если единица всего одна, то ставим цифру 1. Например, складывая указанным способом двоичные записи чисел 11 и 23 (в двоичной системе 1101 и 10111), получаем двоичную запись числа 26 (в двоичной системе 11010), как показано на рисунке 7.

Рис.7

Лемма 1 и лемма 2 дают удобный алгоритм для определения минусовых состояний в игре Ним с 3 кучками камней. Операцию получения числа c F a, b по $числам^{a} и^{b}$ будем называть Ним-суммированием и обо-

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

Вода в Америке не та

М.СТАРШОВ

МНОГО ЛЕТ ПОЛЬЗУЮСЬ ПРЕКРАСНОЙ книгой американского физика, нобелевского лауреата Леона Купера «Физика для всех» (М.: Мир, 1973), слово «пользуюсь» даже не подходит для выражения моего отношения к ней. Но, как говорит старая пословица, и на старуху бывает проруха. Как умные профессионалы пишут книги? Легко! А вот с иллюстрациями почти у всех возникают проблемы. Тогда на сцене появляется художник. Автор дает указания: надо нарисовать так и так. А уж этот специалист свое дело знает! И на странице 107 первого тома упомянутой замечательной книги мы видим дивный рисунок (рис.1). При этом читаем абсолютно правильный текст: «Когда мы опускаем весло в воду, мы видим его надломленным. Наши глаза и мозг предпочитают видеть его надломленным, нежели допустить, что свет в этом случае не распространяется по прямой». (К сожалению, этот же рисунок повторяется в книге и на странице 213.) Вот такая таинственная «Мария Целеста», (Mary Celeste, «Мария Небесная», бывшая «Амазонка») с пропавшим бесследно экипажем. А возможно, художник представил себе челнок Гекльберри Финна после мощной ночной грозы на Миссисипи. Все красиво, но вот весло… немного сломано, и отчасти не туда. Что делать, такая вода в Америке! Совсем иначе видит эту физическую проблему фотоаппарат в модельном опыте с нашей водой (рис.2). Конечно, это шутка – на фотографии всего лишь игрушечка, физика тут вообще не причем. Хотя для школьника это

Рис. 1

Рис. 2

может быть полезно; по крайней мере, приучает читать и смотреть внимательно. Чтонибудь интересное и полезное может многие годы мозолить глаза многим профессионалам, и никто в упор не видит ничего странного. Правда, надо признаться, что в другом учебнике физики из той же Америки («Фи-

38

КВАН T 2018/№8

Рис. 3

зика». Перевод с английского под редакцией А.С.Ахматова. Часть II. – М.: Наука, 1973, с. 9 и 10) можно найти точный рисунок, очень похожий на фотографию (рис. 3). В тексте на странице 9 говорится: «На рисунке показана масштабная линейка, один конец которой погружен в чистую воду. Кажущийся излом линейки в месте пересечения поверхности воды может объясняться только тем, что здесь что-то происходит со светом, идущим от линейки в фотоаппарат». Но зато там, в Америке, вода имеет другую странность: она заметно, процентов на двадцать, увеличивает монету, лежащую на дне (рис.4). Вызывает удивление и соответствующий текст на странице 10: «Справа сфотографирована монета, лежащая на дне пустого стакана. Слева мы видим фотоснимок такой же монеты, лежащей на дне сосуда, запол-

ненного водой. Обе монеты были сфотографированы одновременно на одной пластинке в фотоаппарате. Монета, покрытая водой, выглядит более крупной и более близкой к фотоаппарату, чем другая монета. Это кажущееся “всплывание” монеты, так же, как и иллюзия “перелома” линейки, объясняется изменением направления распространения света из одной среды в другую». Трюк с монетами понять невозможно, особенно приглядываясь к цифрам 30 и 40 на изломанной водой линейке. Правда, отметка 40 несколько ближе к фотокаме-

Рис. 4

ре и потому кажется чуточку больше, чем отметка 30. Между нами, эффект сломанной палки озадачивал людей еще в глубокой древности, а правильное построение хода лучей вызывает сложности до сих пор.

НАМ П ИШ У Т

Еще о квадратах из спичек

Напомним задачу из «Кванта» №12 за 2017 год. На рисунке 1 – число 73, выложенное

Рис. 3

Рис. 1

Рис. 2

спичками. Предлагалось переложить две спички так, чтобы получился квадрат.

Рис. 4

На рисунках 2 и 3 изображены два способа, которые мы уже приводили ранее. Автор задачи Сергей Костин сообщил нам еще один способ, который он придумал со своими учениками (рис.4). Вот такими разными бывают квадраты!

42

КВ А НT 2018/№8

Заключительный этап LII Всероссийской олимпиады школьников по физике

В этом году заключительный этап Всероссийской физической олимпиады проходил с 9 по 14 апреля 2018 года в городе Тюмени. В олимпиаде приняли участие 286 школьников (93 девятиклассника, 105 десятиклассников и 88 одиннадцатиклассников). Олимпиада состояла из двух туров: первый – экспериментальный, второй – теоретический. Продолжительность каждого тура составляла 5 астрономических часов. Олимпиада проводилась для каждой из возрастных параллелей 9-х, 10-х и 11-х классов. На экспериментальном туре в каждом классе предлагалось выполнить 2 задания, а на теоретическом – решить 5 задач. Задания экспериментального тура олимпиады охватывали основные разделы школьной программы по физике: механика, термодинамика и молекулярная физика, электродинамика, колебания и волны. В этом же порядке формировались и задачи теоретического тура олимпиады. Традиционно сложными оказались экспериментальные задачи для 10 и 11 классов. Но в целом участники олимпиады успешно справились со всеми заданиями. Перед аппеляцией для участников олимпиады был проведен разбор заданий и были уточнены критерии оценивания заданий. В итоге Жюри приняло решение наградить дипломами Победителя олимпиады 22 участника и дипломами Призера – 104 участника (9 класс – 8 Победителей и 34 Призера, 10 класс – 6 Победителей и 39 Призеров, 11 класс – 8 Победителей и 31 Призер). По результатам олимпиады была сформирована группа кандидатов Российской Федерации для участия в Международной олимпиаде по физике в 2019 году и группа кандидатов Российской Федерации для участия в Международной естественно-научной олимпиаде юниоров в 2018 году. Ниже приводятся задачи теоретического тура заключительного этапа и список Победителей LII Всероссийской физической олимпиады.

Теоретический тур

9 класс

Задача 1. Паровоз При проведении аэрофотосъемки местности в кадр попал шлейф дыма от паровоза, начавшего свое движение из состояния покоя с постоянным ускорением a 0,05 м $с^{2}$ по прямому участку железной дороги. На фотографии (рис.1) виден весь шлейф от

Рис. 1

самого начала движения. Одной клетке соответствует расстояние 200 м. Считая скорость ветра постоянной, определите: 1) В каком направлении двигался паровоз? 2) Под каким углом D к железной дороге дул ветер? 3) Скорость ветра $v_{0}$. 4) Минимальную скорость ветра $v_{min}$ относительно паровоза. 5) Время движения паровоза W от начала движения до момента съемки. 6) Расстояние s, которое прошел паровоз от начала движения до момента съемки. М.Замятин

Задача 2. Блоки и цилиндры В двух сообщающихся сосудах, площади сечения которых $S_{1}$ и $S_{2}$, находится жид-

43

ОЛИМПИАДЫ

кость плотностью U (рис.2). Сосуды герметично закрыты поршнями, которые могут перемещаться под действием системы блоков и нерастяжимых нитей, связанных с рыча-

Рис. 2

гом Р. Вначале нити не натянуты и не провисают, а поршни соприкасаются с жидкостью. Рычаг медленно смещают вверх на небольшое расстояние h так, что он остается горизонтальным, а нити остаются вертикальными. 1) В предположении, что $S_{1}$! $S_{2}$, определите, в каких направлениях и на какие расстояния сместятся поршни. Какую силу $F_{1}$ необходимо прикладывать к рычагу, чтобы удерживать его после смещения на расстояние h? 2) Какая сила $F_{2}$ потребуется для перемещения рычага вверх на расстояние h при $S_{2} 2 S_{1}$? Массами рычага, блоков, нитей и поршней можно пренебречь. Трения нет. Сосуды от подставки не отрываются. Давление паров жидкости гораздо меньше атмосферного давления $p_{0}$. Ускорение свободного падения равно g. А.Аполонский Задача 3. Прилетевший пластилин Кусок пластилина массой m, упав без начальной скорости с некоторой высоты, прилип к бруску такой же массы, движущемуся по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $v_{0} 4$ м с под действием постоянной горизонтальной силы. Коэффициент трения между бруском и поверхно-

стью P 0,2. Определите скорость $v_{1}$ бруска через время $t_{1} = 1$ с после начала падения пластилина. Постройте график зависимости скорости бруска v от времени t после начала падения пластилина: а) с высоты $h_{1} = 10$ м; б) с высоты $h_{2} = 25$ м, указав на нем координаты характерных точек. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь. М.Замятнин

Задача 4. Струйное нагревание В пустой теплоизолированный сосуд наливают воду при температуре $t_{0} 20 q C$ струйкой с массовым расходом P 2,0 г с. Когда в сосуде оказывается m = 100 г воды, в нем включается нагреватель мощностью N = = 200 Вт. Температура содержимого сосуда измеряется помещенным в него ртутным термометром. Через какое время $W_{1}$ с момента включения нагревателя температура воды в сосуде увеличится до $t_{1} 30 q C$? До какой максимальной температуры $t_{max}$ сможет нагреться содержимое сосуда? Выведите зависимость скорости v подъема столбика ртути термометра от времени W с момента включения нагревателя, если на его шкале расстояние между отметками $t_{0}$ и $t_{1}$ равно l = = 2,0 см. Определите скорость подъема столбика при температуре $t_{1}$. Удельная теплоемкость воды c 4200 Дж к㠘 q С. Процессы теплообмена происходят быстро, теплоемкости термометра и сосуда малы. Г.Зикрацкий

Задача 5. Что покажет омметр? При подключении омметра к нелинейному элементу Z, вольт-амперная характеристика которого представлена на рисунке 3, он показывает сопротивление $R_{Z} = 0,8$ кОм. Если параллельно к нелинейному элементу Z подключить резистор сопротивлением R = = 1 кОм, то показания омметра будут $R_{1} = = 0,4$ кОм. Определите ЭДС $U_{0}$ источника омметра и его внутреннее сопротивление r. Каковы будут показания омметра $R_{2}$ при подключении к нему последовательного соединения нелинейного элемента Z и резистора сопротивлением R? Примечание. Считайте, что омметр состоит из соединенных последовательно идеального источника постоянного напряжения $U_{0}$, резистора сопротивлением r и идеального амперметра (рис. 4). При подключении к

44

КВ А НT 2018/№8

стенки. Какую скорость u приобретет большая шайба после всех столкновений, если массы шайб одинаковы? Трения в системе нет, столкновения шайб друг с другом и со стенкой абсолютно упругие. И.Воробьев

Рис. 3

Рис. 4

омметру резистора сопротивлением $R_{x}$ показания амперметра, встроенного в омметр, автоматически пересчитываются так, что на цифровом табло прибора отражается значение сопротивления подключенного резистора. А.Киреев

10 класс

Задача 1. Шайбы и стенка Две шайбы находятся на гладкой горизонтальной поверхности (рис.5). Малая шайба радиусом r движется со скоростью v вдоль вертикальной стенки при малом зазоре с ней. Большая шайба радиусом R = 7r касается

Рис. 5

Задача 2. Автомобиль на конвейере Автомобиль движется по горизонтальному неподвижному конвейеру со скоростью $v_{0} 20$ м с в безветренную погоду. При этом половина мощности двигателя затрачивается на преодоление сопротивления воздуха, другая половина – на преодоление трения качения. 1) Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0} 20$ м с (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен? 2) В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0} 20$ м с в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? Примечание 1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату относительной скорости, сила трения качения постоянна. Примечание 2. Во всех случаях проскальзывания колес не возникает. Примечание 3. Уравнение третьей степени можно решить методом подбора. В.Петров

Задача 3. Трубка на центрифуге На центрифуге, которая может вращаться только вокруг вертикальной оси, закреплен в горизонтальном положении герметичный легкий цилиндр (рис.6). Ось ци-

Рис. 6

46

КВ А НT 2018/№8

газа. Лорд Кельвин проводил с ним два процесса и изобразил их на pV-диаграмме. Чернила, разумеется, выцвели. От первого процесса уцелела часть графика – отрезок прямой, а от графика второго процесса, как обычно, сохранилась единственная точка A (рис.10). Из поясняющих записей сле-

Рис. 11

Рис. 10

довало, что в этих процессах при равных температурах теплоемкости совпадали. Восстановите график зависимости давления p от объема V для второго процесса. И.Воробьев

Задача 3. В пузыре В далеком космосе есть планета, состоящая полностью из воды. Известно, что глубоководные обитатели изнутри могут обозревать все пространство вокруг тогда и только тогда, когда находятся на расстоянии не более чем x = 3000 км от центра планеты. Местные жители решили запустить спутник. С какой скоростью он должен двигаться на самой низкой возможной орбите? Показатель преломления воды n 4 3, плотность воды U 1000 кг $м^{3}$, гравитационная посто- ми вертикальными стенками $W_{1}$ и $W_{2}$, находящимися на расстоянии D друг от друга. К рельсам через ключ K последовательно подключены заряженный до напряжения $U_{0}$ конденсатор емкостью C и резистор сопротивлением R. Перпендикулярно плоскости рельсов включено вертикальное однородное магнитное поле с индукцией B такое, что m! $B^{2} l^{2} C$ и DBl ≫ $RCU_{0}$. В момент, когда ключ замкнули, перемычка покоилась посередине между стенками. Определите: 1) с какой стенкой произойдет первое столкновение перемычки; 2) скорость $v_{1}$ перед первым столкновением; 3) скорость $v_{n}$ перед n-м столкновением. Все столкновения перемычки со стенками абсолютно упругие. А.Аполонский

Задача 5. Уронили в речку шарик Из точки O на поверхности воды в реку бросают одинаковые маленькие металлические шарики (рис.12). Отпущенный без начальной скорости шарик упал на дно в точке янная G 6,67 ˜ $10^{11}$ Н ˜ $м^{2} кг^{2}$. Планета не вращается вокруг своей оси, волн на ее поверхности не бывает, воду можно считать несжимаемой. К.Кутелев

Задача 4. Столкновения в магнитном поле По двум горизонтальным проводящим рельсам может скользить без трения металлическая перемычка массой m (рис.11). Расстояние между рельсами l. Движение перемычки ограничено двумя непроводящими жестки-

Рис. 12

B, а шарик, запущенный вертикально вниз с известной скоростью v, упал в точку C. Расстояние BC = L. Найдите горизонтальную составляющую скорости второго шарика $u_{x}$ при ударе о дно. Считайте, что при

50

КВ А НT 2018/№8

Задание отборочного тура состояло из тестовой части (проверялись только ответы) и творческой части (проверялись и оценивались решения).

ка во столько же раз меньше сопротивления резистора. Найдите отношение мощности, выделяемой на диоде, к мощности, выделяемой на резисторе. Ответ запишите в виде числа.

Часть I (тестовое задание)

Часть II (творческое задание)

1 (8 баллов). Маленький мальчик катается на карусели, сидя почти неподвижно в кресле, которое вращается вокруг вертикальной оси карусели с угловой скоростью 2 рад/с по окружности радиусом 2 м. Его отец едет на велосипеде со скоростью 10 м/с по дорожке, проходящей мимо карусели. В момент, когда он проезжает точку дорожки, наиболее близкую к карусели, его сын тоже проходит наиболее близкую к дорожке точку своей траектории, при этом расстояние между ними равно 3 м и их скорости относительно земли сонаправлены. Найдите скорость отца в системе отсчета, связанной с сыном, в этот момент времени. Ответ запишите в м/с. 2 (8 баллов). Один моль гелия нагревают таким образом, что его давление растет прямо пропорционально объему, увеличиваясь в 1,3 раза. Найдите количество теплоты, подведенное к гелию в ходе этого процесса, если известно, что его начальная температура равнялась 200 К. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К). Ответ запишите в джоулях, округлив до ближайшего целого. 3 (9 баллов). В схеме, показанной на рисунке 1,а, диод не является идеальным – его вольт-амперная характеристика (зависимость силы тока от приложенного напряжения) показана на рисунке 1,б. Как видно, у диода есть некоторое пороговое напряжение, ниже которого он заперт даже при прямом включении, а при его превышении он пропускает любой ток (считаем, что это справедливо для токов, характерных для этой схемы). Известно, что величина ЭДС источника в 6 раз больше порогового напряжения диода, а внутреннее сопротивление источни-

Архивы профессора Челленджера

Отборочный этап

Рис. 1

1. Подводная оптика Однажды профессор Челленджер производил наблюдения за обитателями пруда с чистой водой. При этом он использовал плосковыпуклую тонкую линзу, фокусное расстояние которой в воздухе F = 30 см. Линза размещалась на поверхности воды (рис. 2). Профессор рассматривал мелкий

Рис. 2

объект, находившийся точно под центром линзы на глубине h = 63 см. С каким поперечным увеличением был виден объект? Известно, что показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, $n_{л} = 2$, пока- затель преломления воды n = 2 = 1,414.

2. Термомеханическое реле В одном из опытов профессора Челленджера было необходимо, чтобы при достижении в установке определенной температуры подавался сигнал. Нужный датчик удалось изготовить на основе биметаллической пластины, т.е. двух длинных тонких пластин одинаковых размеров: длина L, ширина D, толщина d, причем L ≫ D ≫ d, изготовленных из разных металлов и по всей поверхности соприкосновения прочно сваренных друг с другом (рис. 3,а). Металлы имеют

Рис. 3

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 4

вида 3k – 1, то красным. Рассмотрим квадрат размером 2 ¥ 2. В нем два цвета присутствуют по два раза, а одного цвета нет. В самом деле, если есть все три цвета, то есть и разноцветный уголок, а его быть не должно. Если один цвет присутствует трижды, то он также образует запрещенный уголок. Нетрудно заметить, что если вдоль вертикальной стороны $квадрата^{2} ¥^{2}$ клетки разного цвета, то во всей горизонтальной полосе, содержащей этот квадрат, третьего цвета нет. То же самое можно утверждать и про два разных цвета по горизонтали и соответствующую вертикальную полосу. Так как хотя бы одна из этих полос должна пересекать полосу с клетками третьего цвета, т.е. должна содержать клетки третьего цвета, то никакой $квадрат^{2} ¥^{2}$ не может быть покрашен в шахматном порядке. Пусть левый нижний квадрат 2 ¥ 2 имеет, например, горизонтальную раскраску. Тогда каждая из двух нижних строк покрашена одним цветом. Переходя к следующим строкам, легко понять, что все они являются одноцветными. Поэтому либо количество клеток каждого цвета одинаковое (и тогда количество строк кратно трем), либо найдутся такие два цвета, что количество клеток одного из них как минимум на n больше, чем количество клеток другого. В действительности же количества клеток разных цветов отличаются не более чем на 1. Как устроены примеры для n, указанные в ответе, легко понять из доказательства оценки. 5. Можно. Так как $16 = 2^{4}$, то монеты можно закодировать последовательностями из нулей и единиц длины 4. При первых четырех взвешиваниях будем

РЕШЕНИЯ

класть на левую чашу весов все монеты, у которых на соответствующих местах стоит 0, а на правую чашу – все монеты, у которых на этих местах стоит 1. Если в результате каждого такого взвешивания весы останутся в равновесии, то у фальшивых монет на всех четырех местах стоят разные цифры. Разобьем монеты на 8 пар так, чтобы в каждой паре коды монет отличались по всем разрядам. Тогда в какой-то одной паре обе монеты фальшивые. Каждую пару можно считать новой монетой, тогда задача сводится к известной: двумя взвешиваниями определить более легкую фальшивую монету из не более чем девяти монет. Если же в каком-то из первых четырех взвешиваний одна из чаш перевесит, то мы узнаем соответствующую цифру у обеих фальшивых монет. Тем самым, один или несколько разрядов фальшивых монет станут известны. Разобьем подозрительные монеты (их уже будет меньше 8) на пары так, чтобы в каждой паре неизвестные разряды были разными. Далее действуем аналогично. 6. При всех нечетных N, а также при N = 2, 4, 10 победит Петя, а в остальных случаях победит Вася. Будем нумеровать клетки числами от 1 до N слева направо. Очевидно, что при N £ 5 победит Петя. Рассмотрим N = 6. Тогда все клетки можно разбить на пары: (1; 4), (2; 5) и (3; 6). При любом ходе Пети Вася может поставить фишку на второе число из пары. Тем самым у Васи всегда будет ход, и он не проиграет. Аналогичная выигрышная стратегия для Васи работает и для N = 8, если рассматривать пары (1; 5), (2; 6), (3; 7) и (4; 8). Для четных $N \ge 12$ аналогичная стратегия также работает, так как полоску можно разбить на группы по 6 и 8 клеток и провести рассуждение по индукции. Переход от N к N + 2: если есть группа из шести клеток, то она заменяется на группу из восьми клеток, а если ее нет, то две группы по восемь клеток заменяются на три группы по шесть клеток. При N = 7, N = 9 и при нечетных N > 12 побеждает Петя, так как, поставив первым ходом фишку на последнюю клетку, он обеспечивает передачу хода и использует стратегию Васи, описанную выше. При N = 10 побеждает Петя, ставя фишку на 3. У Васи есть две возможности для ответного хода, но после следующего хода Пети ходы Васи определяются однозначно, т.е. возникают две цепочки ходов: П3 – В7 – П10 – В6 – П9 – В5 – П2 и

57

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 6

да не могла набрать больше шести очков. Действительно, если она набрала хотя бы 7 очков, а остальные пять – хотя бы по 8, то 7 + 5 ◊ 8 = = 47 > 45. Заметим, что следующие операции сохраняют количество набранных командой очков, но улучшают разность выигранных и проигранных партий: 1) замена двух поражений со счетом 2: 3 на победу 3: 2 и поражение 1: 3; 2) замена победы 3 :2 и поражения 2: 3 на победу 3: 0 и поражение 1: 3; 3) замена трех побед со счетом 3: 2 на две победы со счетом 3: 0 и поражение 1: 3. При шести набранных очках, применяя, пока возможно, эти операции, в итоге получим две победы со счетом 3: 0 и три поражения со счетом 1: 3. Следовательно, разность партий не может стать положительной. Значит, команд больше шести. 10. Заметим, что у прямоугольного семиугольника есть хотя бы два соседних прямых угла. Следовательно, от него можно отрезать прямоугольник и оставшаяся часть будет опять же прямоугольным семиугольником. Прямоугольник можно разрезать на три прямоугольника, а каждый прямоугольник разрезать на два прямоугольных семиугольника, например, как показано на рисунке 7.

Рис. 7

11. а) 45q. Пусть прямые AK и DC пересекаются в точке Е (рис.8). Из точки L опустим перпендикуляр LG на АЕ. Так как L лежит на биссектрисе угла

РЕШЕНИЯ

Рис. 8 KAD, то LG = LD = KC. Тогда в треугольнике KEL две высоты равны, поэтому этот треугольник равнобедренный с основанием KL. а) Пусть ‘ KAL ‘ DAL D, тогда ‘ KEL $90 q^{2} D$, ‘ EKL 45 q D. Так как угол EKL – внешний для треугольника KAL, то ‘ KLA 45 q. б) Так как треугольник KEL равнобедренный, то KG = LC. Тогда AD + KC = AG + KC = AK + + KG + KC = AK + LC + DL = AK + CD, т.е. в четырехугольник ADCK можно вписать окружность. Ее центр является пересечением биссектрис углов A, C и D четырехугольника ADCK, что равносильно утверждению задачи. 12. Не сможет. Пусть Олег сначала сложит «ежа» из семи кубиков: выберет центральный кубик с координатами (0; 0; 0) и к каждой его грани приклеит по кубику. Далее он будет приклеивать к этому большому многограннику по одному кубику. Если какой-то из отдельных (никуда не приклеенных) кубиков целиком покрашен, то он приклеит его на место вида (0; 0; k). Если отдельных покрашенных кубиков нет, значит, последним ходом Миша красил большой многогранник. В таком случае Олег приклеит к большому многограннику новый кубик на позицию, которая является первой не занятой в следующем списке: (1; 1; 0), (1; –1; 0), (–1; 1; 0), (–1; –1; 0), (1; 0; 1), (–1; 0; 1), (1; 0; –1), (–1; 0; –1), (1; 1; 1), (–1; 1; 1), (1; –1; 1), (–1; –1; 1), (1; 1; –1), (–1; 1; –1), (1; –1; –1), (–1; –1; –1), (0; 1; 1), (0; –1; 1), (0; 1; –1), (0; –1; –1). В этом списке каждый новый кубик, будучи приклеенным после всех предыдущих, будет иметь четное количество открытых граней, которые будут покрашены, так как рано или поздно Миша покрасит большой многогранник. Пока этого не произойдет, Олег будет приклеивать покрашенные кубики на места вида (0; 0; k); позиции такого вида не имеют общих граней с позициями из списка.