Квант 2019, №2 · Страницы

5

ОБЪЯТЬ

НЕОБЪЯТНОЕ,

ИЛИ

степенная комбинация F, M и a дает правильные значения частоты. Нас и в дальнейшем часто будет интересовать оценка по порядку величины. В простых задачах обычно неопределяемые методом размерностей коэффициенты можно считать числами порядка единицы. Это, однако, не строгое правило. Окончательный вывод о величине численного коэффициента можно сделать, конечно, после сравнения с точной формулой либо из каких-то дополнительных соображений. Мы будем обсуждать подобные вопросы позже. А сейчас стоит вернуться к задаче Рэлея и уточнить сделанные предположения. Вопервых, мы считали, что натяжение струны F приблизительно одинаково, когда струна вытянута вдоль линии AB и когда она оттянута перпендикулярно этой линии. Это предположение основано на том, что действительно существует связь между параметрами Z, F, M и a. Во-вторых, считалось, что формула, выражающая эту связь, имеет степенной вид: $Z \sim F^{x} M^{y} a^{z}$. Однако метод размерностей помогает находить функциональные зависимости между разными параметрами задачи не только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. К счастью, таких зависимостей в природе довольно много, и метод размерностей становится хорошим помощником.

Правило N – K = 1

Понятие размерности физической величины вводится тогда, когда уже выбраны некоторые основные физические величины и установлены единицы для их измерения. Величины, не включенные в число основных, называются производными величинами. Выражение единиц измерения производной физической величины через единицы измерения основных величин и означает размерность. В общем случае выбор основных величин и единиц для их измерения может производиться разными способами. Здесь, конечно, многое зависит от удобства, традиций и существующих стандартов и соглашений. В механике основными величинами являются масса, длина и время.

ЕЕ

ПРЕПОДОБИЕ

РАЗМЕРНОСТЬ

Иногда говорят, что такие системы единиц принадлежат к классу MLT. Размерность силы в этом классе определяется выражением $MLT^{2}$, размерность энергии – $ML^{2} T^{2}$ и т.д. Заменяя в этих выражениях M на кг, L на м, T на с, мы получим размерности силы и энергии в системе СИ. Если мы рассматриваем задачи, в которых фигурируют немеханические величины, например электрический заряд, ток, потенциал, то можно увеличить число основных величин и соответствующих основных единиц измерения. В системе СИ в число основных величин добавляют силу тока, которую измеряют в амперах (А). Точно так же в термодинамике в число основных величин можно включить температуру, ее единица измерения – кельвин (К). Важно отметить, что пользоваться методом размерностей можно в любой системе единиц. Каждый раз, конечно, выражения для размерностей различных величин нужно писать в одной заранее выбранной системе. Предположим, что в какой-то задаче мы отыскиваем функциональную связь между N величинами. Предполагая степенную зависимость одной из величин от других и выписывая размерности этих величин, мы можем пытаться построить интересующую нас формулу. Если все размерности выражаются через размерности K основных величин и если при этом N – K = 1, то можно утверждать, что искомая формула единственно возможная. Это правило наглядно иллюстрируется рассмотренным выше примером с колебаниями шарика на струне. Для этого случая у нас было четыре параметра: Z, T, M и a; размерности всех этих величин выражались через размерности основных величин, т.е. через кг, м, с. Другими словами, N = 4, K = 3 и N – K = = 1. То, что формула $Z \sim T^{1} 2 M^{1} 2 a^{1} 2$ – единственно возможная, следует из того, что система уравнений для определения показателей степеней x, y, z имеет единственное решение. Рассмотрим теперь еще одну поучительную задачу – о колебаниях сферической капли. Простое решение этой задачи с помощью соображений размерности обсуж-

Задачи о фокусниках и теоремы Холла и Шпернера

А.ЭВНИН

Теорема Холла

В популярной математической литературе широкую известность получила следующая задача. Задача о свадьбах. Имеется множество юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. При каких условиях можно одновременно поженить всех юношей так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке? Ответ таков: задача разрешима тогда и только тогда, когда любые k юношей из данного множества знакомы в совокупности не менее чем с k девушками. Заметим, что необходимость здесь очевидна. Действительно, если для каких-то k юношей число потенциальных невест меньше k, то уже этих k юношей одновременно поженить не удастся. Достаточность доказывается не так просто! Для того чтобы сформулировать задачу о свадьбах на математическом языке, приведем некоторые определения из теории графов [1]. Вершины графа – смежные, если они соединяются ребром. Ребра графа называются смежными, если у них есть общая вершина, и несмежными в противном случае. Попарно несмежные ребра графа образуют паросочетание. Например, в графе на рисунке 1 можно указать несколько паросочетаний из четырех ребер. Одно из них ^ $aa_{1}, bb_{1}, cc_{1}, dd_{1}$ `. Пусть $G V_{1}, V_{2}$ – двудольный граф с долями $V_{1}$ и $V_{2}$ (в этом графе любое ребро соединяет некоторую вершину из $V_{1}$ с некоторой вершиной из $V_{2} ).$ Совершенным паросочетанием из $V_{1}$ в $V_{2}$ называется паросочетание в этом графе, покрываю-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190202

Рис. 1

щее $V_{1}$ (т.е. для всякой вершины из $V_{1}$ в паросочетании найдется выходящее из нее ребро). Например, на рисунке 2 изображен граф с долями $V_{1}$ ^ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ` и

Рис. 2

$V_{2}$ ^ $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ `. Ребра $x_{1} y_{1}, x_{2} y_{2}$ и $x_{3} y_{4}$ образуют совершенное паросочетание из $V_{1}$ в $V_{2}$. Пусть G – граф с множеством вершин V, а A – подмножество V. Окружением множества A называют множество

• A

$\cup$ * v, v  A где * v – множество вершин, смежных с v.

15

ЗАДАЧИ

О

ФОКУСНИКАХ

И

ТЕОРЕМЫ

Напомним также, что мощность конечного множества – это число его элементов. Теперь решение задачи о свадьбах может быть сформулировано следующим образом. Теорема 1 (Ф.Холл, 1935 г.). Совершенное паросочетание из $V_{1}$ в $V_{2}$ в двудольном графе $G V_{1}, V_{2}$ существует тогда и только тогда, когда для любого множества A  $V_{1}$ мощность его окружения не меньше мощности A, т.е. * A t A. Четыре разных способа доказательства теоремы Холла можно найти в книге [2].

Достаточное условие

В данной статье речь пойдет об одном (простом, но малоизвестном) достаточном условии существования совершенного паросочетания в двудольном графе. Теорема 2. Пусть в непустом (т.е. имеющем хотя бы одно ребро) двудольном графе $G V_{1}, V_{2}$ степень любой вершины из доли $V_{1}$ не меньше степени любой вершины из доли $V_{2}$. Тогда в этом графе существует совершенное паросочетание из $V_{1}$ в $V_{2}$. Доказательство. Пусть q – число, которое не больше степени любой вершины из $V_{1}$ и не меньше степени любой вершины из $V_{2}$. Возьмем произвольные k вершин первой доли $b_{1}, b_{2}$, … $, b_{k}$ и смежные с ними вершины $g_{1}, g_{2}$, … $, g_{l}$ второй доли. Рассмотрим порожденный этими k + l вершинами подграф G c исходного графа (в G c входят указанные вершины и все ребра между ними, имеющиеся в исходном графе). Ясно, что в графе G c степень любой вершины из первой доли не меньше q, а из второй не больше q. Число ребер двудольного графа равно сумме степеней вершин любой из его долей. Поэтому k kq d ¦ deg $b_{i}$ i 1 l

¦ deg $g_{j} d lq$, j 1 откуда k d l. Таким образом, выполнены условия теоремы Холла о существовании совершенного паросочетания в двудольном графе.

ХОЛЛА

И

ШПЕРНЕРА

Граф называется регулярным, если степени всех его вершин равны между собой. Назовем двудольный граф полурегулярным, если в каждой доле степени всех ее вершин равны между собой. Извлечем из теоремы 2 следующие следствия. Следствие 1. В любом непустом регулярном двудольном графе существует совершенное паросочетание. Следствие 2. В непустом полурегулярном двудольном графе $G V_{1}, V_{2}$ совершенное паросочетание существует тогда и только тогда, когда в доле $V_{1}$ вершин не больше, чем в $V_{2}$. Доказательство. Необходимость очевидна. Достаточность. Пусть в $V_{1}$ и $V_{2}$ степени вершин равны a и b соответственно. Подсчитав двумя способами количество ребер в двудольном графе, получим $a V_{1} b V_{2}$. Учитывая неравенство $V_{1} d V_{2}$, отсюда получаем, что a t b. Осталось воспользоваться теоремой 2.

Задачи о фокусниках

Имеется ряд задач, которые легко решаются с помощью теоремы 2 и следствий из нее. Фабула этих задач такова. Зрители предъявляют ассистенту фокусника некоторый случайным образом выбранный объект (например, несколько игральных карт), после чего ассистент по своему выбору как-то изменяет этот объект. Далее фокусник по новому объекту восстанавливает исходный. Построим двудольный граф $G V_{1}, V_{2}$ следующим образом. Пусть вершины из $V_{1}$ – это всевозможные конфигурации, которые зрители могут предъявить ассистенту фокусника, а вершины из $V_{2}$ – те конфигурации, которые может получить ассистент. Если из конфигурации a  $V_{1}$ может быть получена конфигурация b  $V_{2}$, то в графе должно быть ребро ab; других ребер в графе нет. Если в данном графе существует совершенное паросочетание из $V_{1}$ в $V_{2}$, то фокусник с ассистентом, используя его, смогут осуществить фокус: фокусник по конфигурации b однозначно определит конфигурацию a.

17

ЗАДАЧИ

О

ФОКУСНИКАХ

И

ТЕОРЕМЫ

Задача 4. Зритель пишет на доске слева направо n цифр. Помощник фокусника закрывает одну из цифр красной карточкой, другую синей, еще одну зеленой. После этого входит фокусник и называет закрытые цифры. При каком наименьшем n такой фокус возможен? Ответ: при n = 12. Решение. Пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ – множества тех «картинок», которые могут увидеть помощник и фокусник соответственно. Рассмотрим двудольный граф $G V_{1}, V_{2}$, ребра которого описывают возможные переходы от картинок из $V_{1}$ к картинкам из $V_{2}$. Граф полурегулярный, $V_{1} 10^{n}, V_{2} n n 1 n 2$ • $10^{n} 3$. По следствию 2, для существования совершенного паросочетания из $V_{1}$ в $V_{2}$ необходимо и достаточно, чтобы в доле $V_{2}$ вершин было не меньше, чем в $V_{1}$. Отсюда $n n 1 n 2 t t 10^{3}$, что равносильно неравенству n t 12. Таким образом, наименьшее значение n равно 12. Покажем, как фокус осуществить практически при n t 12. Места, где записаны первые 12 цифр, пронумеруем слева направо: 1, 2, …, 9, 0, 11, 12 (остальные места, если они есть, не нумеруем!). Пусть S – сумма всех записанных зрителем цифр. Будем действовать за помощника следующим образом. Закроем красной карточкой место, номер которого является последней цифрой числа S, после чего мысленно удалим это место, а синей карточкой закроем место с номером, равным цифре, которая спрятана под красной карточкой. Затем зеленой карточкой закроем место, номер которого (вычисленный после «удаления» цифр, находящихся под красной и синей карточками) спрятан под синей карточкой. Теперь фокусник по положению зеленой карточки поймет, какая цифра под синей, а по положению синей карточки – какая цифра под красной. Все цифры, кроме той, которая под зеленой карточкой, уже известны фокуснику, а положение красной карточки говорит о последней цифре суммы всех цифр, записанных зрителем. Поэтому фокусник сможет определить цифру и под зеленой карточкой.

ХОЛЛА

И

ШПЕРНЕРА

Задачи для самостоятельного решения

Приведем подборку $задач^{1}$, при решении которых возможно применение теоремы Холла. Некоторые задачи совсем простые (решаются простой ссылкой, например, на следствие 1; нужно лишь увидеть соответствующий двудольный граф!), некоторые предлагались на школьных и студенческих олимпиадах различного уровня. Задачи 11–15 посвящены доказательству и применениям теоремы Шпернера.

1. Имеется бесконечное множество юношей и бесконечное множество девушек. Для любого натурального числа k верно, что любые k юношей знакомы в совокупности не менее чем с k девушками. Верно ли, что всех юношей удастся одновременно поженить на знакомых им девушках? Другими словами, справедлива ли теорема Холла в случае бесконечного графа? 2. Решите задачу 1 в предположении счетности$^{2}$ множеств юношей и девушек. 3. В некотором районе, состоящем из нескольких деревень, число женихов равно числу невест. В каждой деревне общее число женихов и невест не больше половины общего их числа. Докажите, что можно всех переженить так, чтобы в каждой паре жених и невеста были из разных деревень. 4. Однокруговой волейбольный турнир 2n команд продолжался 2n – 1 дней. Каждый день проходило n игр, каждая команда в один день проводила ровно одну игру. По окончании турнира организаторы решили наградить тортами некоторые команды: за каждый игровой

1 Задача 3 предлагалась на III этапе Россий- ской олимпиады школьников 1995 года, задача 4 – на Putnam Competition 2012 года, задача 14 – на Московской олимпиаде 2017 года, задача 15 – на Открытой олимпиаде ФМЛ 239 в 2004 году. Остальные задачи взяты из сборников [3, $4].^{2}$ Множество называется счетным, если существует взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел (другими словами, элементы данного бесконечного множества можно пронумеровать натуральными числами). Счетными являются множества натуральных чисел, неотрицательных целых чисел, целых чисел, рациональных чисел.

22

КВАН T 2019/№2

га ровно одна клетка у M лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в черный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в черный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали M по описанным правилам.

Вместо клеток будем рассматривать их центры, которые назовем узлами. Таким образом, у нас есть конечное множество изначально черных узлов и шаблон – множество центров клеток бумажного многоугольника M. В задаче происходит следующий процесс: если удается положить шаблон так, что из его узлов ровно один узел белый, то этот узел мы можем перекрасить в черный цвет. Зафиксируем некоторое положение шаблона $K_{0}$ и проведем вертикальную прямую через самой левый узел, принадлежащий $K_{0}$ (рис.1). (Поскольку мы не знаем,

Рис. 1

черные или белые узлы попали в $K_{0}$, на рисунке 1 они изображены третьим цветом – красным.) Если эта прямая не содержит других узлов шаблона, то будем поворачивать прямую по часовой стрелке до тех пор, пока на нее не попадет еще один узел, принадлежащий $K_{0}$. Мы нашли для нашего шаблона так называемую опорную прямую l, содержащую не менее двух узлов шаблона, такую, что все узлы шаблона лежат в одной полуплоскости L относительно прямой l. Теперь перенесем параллельно прямую l вместе с полуплоскостью L так, чтобы полуплоскость накрыла все изначально

Рис. 2

черные узлы (рис.2). При этом прямая l перешла в некоторую прямую m, параллельную прямой l. Докажем, что все изначально белые узлы, лежащие в противоположной полуплоскости относительно m, всегда будут оставаться белыми. Предположим противное и рассмотрим момент, когда первый такой узел A стал черным. Значит, он накрыт сдвигом K нашего шаблона. Проведем через A прямую a, параллельную прямой l. По одну сторону от a все узлы по-прежнему белые (так как A – единственный перекрашиваемый узел), значит, a – опорная прямая для K. Но тогда сдвиг, переводящий K в $K_{0}$, переводит прямую a в l, следовательно, на прямой а помимо A лежит еще хотя бы один узел, принадлежащий K. Как мы видим, в момент перекраски узла A шаблон K накрывает хотя бы два белых узла. Получаем противоречие, завершающее решение задачи. Замечание. Как видим из решения, шаблон может быть произвольным, поэтому связность многоугольника M из условия задачи не важна. Также из решения задачи несложно вывести, что если шаблон не помещается ни в горизонтальный, ни в вертикальный ряд, то процесс перекраски будет конечным (т.е. в итоге на плоскости будет конечное число клеток). Отметим, что задача имеет естественное обобщение на пространственную решетку (в аналогичном процессе разрешается перекрасить два белых узла) или решетку конечномерного пространства. Д.Захаров

$M2537^{*}$. На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными коор-

23

ЗАДАЧНИК

динатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нем точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное R, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса R, то на каждой дуге колеса величиной в 1q будет след хотя бы одной отмеченной точки.

Разделим окружность колеса на n = 720 дуг величиной 0,5q и покрасим каждую дугу в свой цвет (концы дуг не красим). Прокатим колесо по прямой так, чтобы ноль соответствовал границе между 1-м и n-м цветами. Считаем, что каждая точка прямой окрашивается в цвет дуги, которая по точке проезжает. Тогда прямая разобьется на интервалы n разных цветов, соответствующих дугам. Нам надо найти такой радиус R, или такую длину колеса S 2 S R, чтобы для каждого из n цветов нашлась отмеченная точка этого цвета. Допустим, мы уже подобрали такое S, что для некоторого k < n выполнено следующее k-условие: для 1-го, 2-го, …, k-го цветов имеется отмеченная точка этого цвета. Для выполнения 1-условия возьмем такое достаточно большое S, чтобы первый отрезок 1-го цвета покрыл отмеченную точку. Покажем, что, сохраняя k-условие, можно немного изменить длину колеса так, чтобы некоторая отмеченная точка оказалась окрашенной в k 1 -й цвет, т.е. чтобы стало выполнено k 1 -условие. Повторяя эту процедуру, мы в конце концов добьемся выполнения n-условия, что нам и требуется. Итак, пусть для некоторой длины колеса S выполнено k-условие при некотором k < n. Зафиксируем по отмеченной точке каждого из цветов 1, 2, …, k. Небольшое изменение длины колеса соответствует гомотетии прямой с центром в точке 0 и коэффициентом, близким к 1. Понятно, что можно выбрать коэффициент гомотетии настолько близким к 1, что картина для наших зафиксированных k отмеченных точек не изменится: все они останутся внутри «растянутых» интервалов того же цвета. Итак,

«КВАНТА»

найдется такое H! 0, что при длине колеса, принадлежащей интервалу S; S 1 H для 1-го, 2-го, …, k-го цветов, по-прежнему найдется отмеченная точка этого цвета. Теперь рассмотрим «достаточно далекую» отмеченную точку Z, нам будет подходить Z! S 1 H H. Рассмотрим раскраску прямой после того, как прокатили колесо длины S. На интервале Z S; Z колесо сделало полный круг, поэтому на нем обязательно найдется точка T k 1 -го цвета. Теперь увеличим длину колеса в Z T раз. Если прокатить колесо новой длины ZS T, то точка Z станет k 1 -го цвета. Поскольку

1 Z T Z Z S

1 S Z S 1 H, k-условие сохранится. Этим завершается решение. Замечание. Как видно из решения, условие, что отмеченные точки имеют натуральные координаты, может быть ослаблено. Достаточно лишь, чтобы множество отмеченных точек было неограниченным сверху. И.Митрофанов, П.Кожевников

Ф2541. С вершины горизонтального цилиндра без начальной скорости скатывается небольшой обруч (отношение радиуса обруча к радиусу цилиндра – малая величина). Коэффициент трения между поверхностями цилиндра и обруча P = 1. При каком угле между вертикалью и линией, проходящей через центр обруча и ось цилиндра (рис.1), начнется проскаль- Рис. 1 зывание обруча по цилиндру? При каком угле между теми же линиями произойдет отрыв обруча от цилиндра?

Движение обруча разделяется на два этапа: без проскальзывания и с проскальзыванием, когда вращение обруча отстает от поступательного движения центра масс. Рассмотрим сначала первый этап движе-

Если построенный архитектором дом развалится и при этом погибнет его владелец, архитектор подлежит смертной казни. Закон вавилонского царя Хаммурапи (18 в. до н.э.)

Именно на стеблях узнали мы целый ряд поразительных фактов, доказывающих, что они построены по всем правилам строительного искусства. Климент Тимирязев

…любая линейка или призма, ширина которой больше ее толщины, окажет большее сопротивление излому, когда она поставлена на ребро, чем когда она лежит плашмя… Галилео Галилей

Хотя от древних остались гигантские по размерам и изумительные по красоте и пропорциональности здания и сооружения, но совершенно не известно, каким образом они разрабатывали проекты этих сооружений… Алексей Крылов

…тело птицы непропорционально легче, чем у человека или у любого четвероногого…, так как кости у птиц пористые, полые с истонченной до предела стенкой. Джованни Борелли

…знание, широкое, полное знание физики для инженера не роскошь, а необходимость… Леонид Мандельштам

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+техника

Одна из самых востребованных сегодня профессий – инженер. Причем инженер инновационный, специалист особой формации, вооруженный знаниями XXI века, разбирающийся в новой технике и создающий технику завтрашнего дня. Что необходимо для его выучки, что он должен получить в школе? Конечно, прежде всего – базовую подготовку по точным наукам, где, естественно, не последнее место занимает физика. Вот о связи этой науки с техникой и пойдет речь в ближайших выпусках «Калейдоскопа». Наивно думать, что нам удастся затронуть хотя бы малую часть огромного и разнообразного мира их контактов. Но как раз школьный курс физики подсказывает, на что именно стоит обратить внимание, какие темы дают возможность выбрать интересные и полезные сюжеты, отражающие их взаимодействие. Сейчас мы сосредоточимся на СТРОИТЕЛЬСТВЕ – одной из древнейших областей технической деятельности человека. Разумеется, явное влияние науки на зодчество стало заметным лишь в последние несколько веков. До этого тысячелетиями люди накапливали знания, развивали техническую сметку и проявляли изобретательность, опираясь на опыт предков и собственную интуицию. Однако нам, даже получившим доступ к гигантским объемам современной информации, не стоит пренебрегать этим «золотым фондом». Ведь зачастую мы только удивляемся тому, насколько и сегодня работоспособны давнишние технические находки. Например, простые механизмы или инструменты для обустройства и ремонта наших жилищ.

Вопросы и задачи

1. Почему подъемный кран не опрокидывается в сторону поднимаемого груза? Почему без груза кран не опрокидывается в сторону $противовеса?^{2.}$ Рычаг изогнут так, как показано на рисунке. Ось рычага находится в точке B, AB = BC = CD. Перпендикулярно плечу AB приложена сила F. Какую минимальную силу, нужно приложить в точке D, чтобы рычаг был в равновесии? Массой рычага $пренебречь.^{3.}$ Рабочие иногда применяют неподвижный блок, поднимая сами себя по веревке. Получается ли при этом выигрыш в $силе?^{4.}$ Предложите вариант соединения идеальных подвижных и неподвижных блоков, чтобы удерживать груз массой 40 кг силой 50 Н.

5. Можно ли забить гвоздь в дерево легкими постукиваниями $молотка?^{6.}$ Почему при вбивании гвоздя в деревянную доску его шляпка нагревается слабо, а когда гвоздь уже вбит, то достаточно нескольких ударов, чтобы сильно нагреть $шляпку?^{7.}$ Почему стенки шлюзов, плотин, резервуаров для хранения топлива делают более толстыми в нижней $части?^{8.}$ Известные с глубокой древности арочные конструкции до сих пор активно используются в строительстве. В чем их достоинство?$^{9.}$ Спичку или соломинку довольно трудно разорвать, растягивая их вдоль оси, и очень легко сломать, изогнув их. $Почему?^{10.}$ Каковы конструктивные особенности стебля злака и трубы? Какие они дают преимущества?$^{11.}$ Прав ли Галилей (см. эпиграф), или когда и почему доска выдержит большую нагрузку: если ее положить плашмя или на $ребро?^{12.}$ Для чего в строительстве используют такие пористые материалы, как пенопласт, поролон, керамзит, а также кирпичи с внутренними $пустотами?^{13.}$ Почему фундаменты зданий должны быть отделены от стен слоем водонепроницаемой $изоляции?^{14.}$ Подземные кабели, по которым подается электричество в жилые дома, не разрешают прокладывать вблизи газовых, водопроводных и теплофикационных труб. С чем это связано?

Микроопыт

Положите тетрадный листок краями на две стопки книг. Заметьте его прогиб. Затем тот же листок сверните трубкой и обмотайте ниткой, чтобы он не развертывался, и вновь положите на книги. Как теперь он себя поведет?

для пирамид, увлажняя песок. Вода связывает отдельные песчинки, образуя жесткую корку, по которой даже тяжело нагруженные полозья относительно легко передвигаются, не поднимая клубов пыли. … в сочинении 3 века до новой эры «Механические проблемы», приписываемом Аристотелю, исследовались простые механизмы, действие которых сводилось к свойствам рычага. Использование же блоков в Ассирии датируется 7 веком до новой эры. …по-видимому, древние строители знали об опасностях деформаций, возникающих в нагруженных колоннах, поскольку и в Египте и в Греции они возводились высотой не более девяти диаметров. …самое раннее упоминание о подъемном кране встречается в книге римского архитектора и инженера Витрувия в 1 веке до новой эры. Кран представлял собой поддерживаемое канатами бревно с блоком на конце, через который перебрасывался прочный трос. …быстрое развитие железнодорожного строительства в середине XIX века выдвинуло на первый план сооружение мостов. Для замены в них опасных деформаций изгиба на деформации растяжения-сжатия большепролетные мосты стали делать из относительно легких металлических стержней, соединенных системой шарниров, – из строительных ферм. Когда же в практику стал внедряться железобетон, изделия из которого работали в основном на изгиб, то с 30-х годов XX века вместо ферм вновь появились арки. …обращение к физическим идеям, касающимся распространения волн, привело к созданию домов, «невидимых» для землетрясений. Окружая жилой квартал чередующимися цилиндрическими ямами, инженеры сумели на практике добиться рассеяния значительной доли энергии сейсмических волн.

Что читать в «Кванте» о строительстве

Любопытно, что…

(публикации последних лет)

…многовековой опыт строителей позволил найти верную форму высокого сооружения. Так, уже в 18 веке до новой эры древнеегипетский жрец и зодчий Имхотеп воздвиг первую ступенчатую пирамиду в Саккаре. …древние египтяне, как недавно было показано с помощью физических экспериментов, могли перевозить гигантские камни

1. «Удивительная конструкция, или Рассказ о гофре» – 2013, №3, с.31; 2. «Какие бывают рычаги» – 2014, №2, с.30; 3. «Висячие мосты» – 2016, №1, с.29; 4. «Мосты и парашюты» – 2016, Приложение №2, с.58; 5. «Какие бывают опоры» – 2017, №3, с.28.

Материал подготовил А.Леонович

36

КВАН T 2019/№2

Проверка делением уголком подтверждает правильность нашего решения. Ответ: остаток равен 1. Чтобы приступить к дальнейшему изложению, давайте познакомимся с признаками делимости из книги А.П.Рязановского «Математика. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ» (М.: Русский фонд содействия образованию и науке, 2015). Если число n < 1000, то удобно использовать следующий признак делимости числа n = 10a + b на 7 и 13, где число а получено отбрасыванием последней цифры числа n: Число n = 10a + b делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма 3a + b делится на 7. Число n = 10a + b делится на 13 тогда и только тогда, когда разность 3a – b делится на 13. Доказательство каждого из указанных признаков следует из тождеств n = 10a + b = 7a + (3a + b) =

= 13a – (3a – b). Для чисел n > 1000 удобно использовать такой признак: Число n = 1000a + b делится на 7 (на 13) тогда и только тогда, когда разность между числом а, представляющим число n без последних трех цифр, и числом b, записанным последними тремя цифрами числа n (в том же порядке), делится на 7 (соответственно, на 13). Доказательство основано на том, что 1001 делится на 7, на 11, на 13, и на тождестве n = 1000a + b = 1001a – (a – b).

Пример 3. Поместите вместо х такую цифру, чтобы число 1234 x 5 делилось на 7. Решение. Составим разность a – b: 123 – 4 x 5 = 123 – 405 – 10x =

= – 282 – 10x.

Далее запишем:

282 + 10x = (280 + 7x) + (2 + 3x).

Число в первой скобке делится на 7 при любом х. Число во второй скобке делится на 7 только при х = 4. Итак, искомое число 123445. А теперь посмотрите решение по предлагаемому алгоритму с использованием «ключа»:

2 3 1 2 3 1

1 2 3 4 x 5 ⋮ 7 œ

1 ˜ 2 2 ˜ 3

3 ˜ 1 4 ˜ 2 x ˜ 3 5 ˜ 1 ⋮ 7 œ

œ 2 6 3 8 3 x 5 ⋮ 7 œ

œ 2 3 x ⋮ 7 œ x

Ответ: х = 4. Согласитесь, что это решение веселее и быстрее.

Одако как узнать ключ и что делать, если вы его забыли? Восстановить ключ довольно просто. Над первой справа цифрой данного числа пишем 1. Далее 1 умножаем на 10, делим на 7 и полученный остаток 3 пишем над второй справа цифрой. То же самое делаем дальше. 3 умножаем на 10, делим на 7 и остаток 2 пишем над третьей справа цифрой. 2 умножаем на 10, делим на 7 и остаток 6 пишем над четвертой справа цифрой. Если вам когда-нибудь объясняли, что остаток 6 – это то же самое, что и остаток (–1) (поскольку 6 = 7 + (–1)), то можете писать и (–1). 6 (или (–1)) умножаем на 10, делим на 7 и остаток 4 (или (–3)) пишем над пятой справа цифрой. 4 (или (–3)) умножаем на 10, делим на 7 и остаток 5 (или (–2)) пишем над шестой справа цифрой. 5 (или (–2) умножаем на 10, делим на 7 и остаток 1 пишем над седьмой справа цифрой. Круг замкнулся. Вы прекрасно знаете, что при делении на 7 получается ровно 6 ненулевых остатков. Именно поэтому ключ уложился в 6 чисел.

Наконец, продемонстрируем читателю, каким образом возник обсуждаемый в статье алгоритм, на примере определения остатка от деления на 13 двенадцатизначного числа. Во-первых, вычислим остатки от деления на 13 степеней числа 10: $10^{1} 13 ($ 3);

$10^{2} 10^{3}$

13 ˜ $K_{2} ($ 4); 13 ˜ $K_{3} ($ 1);

$10^{4}$

13 ˜ $K_{4} 3 ; 13$ ˜ $K_{5} 4$;

10

5

$10^{6} 10^{7}$

13 ˜ $K_{6} 1 ; 13$ ˜ $K_{7} 3$;

$10^{8}$

13 ˜ $K_{8} 4$;

9

13 ˜ $K_{9} ($ 1); 13 ˜ $K_{10} 3$;

10

$10^{10}$

51

ОЛИМПИАДЫ

неподвижной карусели, за 8 с. Когда карусель подключили к электрической сети, она стала совершать один оборот за 12 с. За какое время Глюк сделает один оборот относительно неподвижного наблюдателя (теоретика Бага), если пойдет против направления вращения карусели? Скорость Глюка относительно карусели в обоих экспериментах одинакова. В.Слободянин

Задача 4. Кубики в сиропе Семиклассник Петя поместил кубик плотностью $U_{1} 1,9$ г $см^{3}$ в кастрюлю, заполненную доверху сиропом, после чего аккуратно поставил ее на весы и измерил массу. Затем он повторил эксперимент с кубиком вдвое больших линейных размеров и плотностью $U_{2} 1200$ кг $м^{3}$, предварительно вынув первый кубик из кастрюли. К удивлению экспериментатора, масса кастрюли с содержимым не изменилась. Определите плотность сиропа, если известно, что во время эксперимента кубики погружались в него полностью. М.Замятин

8 класс

Задача 1. На карусели См. задачу 3 для 7 класса, только теперь Глюк идет по направлению вращения карасели.

Задача 3. Сообщающиеся сосуды (1) В сообщающихся сосудах высотой 2h и площадью сечения S находится жидкость плотностью U (рис.2). В левом сосуде

Рис. 2

жидкость закрыта невесомым поршнем, который подвешен на невесомой пружине жесткостью k. В начальный момент оба сосуда заполнены наполовину. В правый сосуд доливают столько жидкости плотностью $U_{1} ( U_{1} U ),$ что сосуд оказывается заполнен доверху. Определите смещение поршня. Жидкости не смешиваются. К.Кутелев

Задача 4. Выравнивание температур В калориметр поместили два стальных шарика с разными начальными температурами. Полученные в результате теплообмена зависимости температур шариков от времени приведены на рисунке 3. Определите

Задача 2. Подвешенный шарнир Одинаковые однородные стержни АВ и ВС соединены шарнирно в точке В (рис.1).

Рис. 3

Рис. 1

Стержень АВ удерживается вертикальной нитью. Стержень ВС концом С опирается на гладкую горизонтальную поверхность. Точки А и С лежат на одной вертикали. В каком отношении нить делит стержень АВ? Место крепления нити к стержню на рисунке показано условно. М.Замятнин конечную температуру шариков и отношение их объемов. М.Замятнин

9 класс

Задача 1. От дуба до березы… Автомобиль и мотоцикл (одновременно с линии старта) начинают равноускоренное движение из состояния покоя по прямой дороге. Через некоторое время автомобиль

52

КВАНТ 2019/№2

проезжает мимо дуба, разогнавшись до скорости $v_{1}$. Мотоцикл, достигнув скорости $v_{2} 10$ м с, поравнялся с тем же дубом, когда автомобиль уже находился у березы и двигался со скоростью $v_{3} 40$ м с. Определите, с какой скоростью $v_{4}$ мотоцикл проедет мимо березы. Чему равна скорость $v_{1}$? М.Замятнин

Задача 2. Сообщающиеся сосуды (2) В сообщающихся сосудах высотой 2h и площадью горизонтального сечения S находится жидкость плотностью U (см. рис.2). Справа жидкость закрыта тонким легким поршнем, а слева такой же поршень подвешен на легкой пружине жесткостью k. В начальный момент оба сосуда заполнены наполовину. В правый сосуд доливают жидкость плотностью $U_{1}$ до его заполнения. Определите смещения поршней. К.Кутелев

Задача 3. Теплоотдача Замкнутая цепь состоит из последовательно включенных идеального источника тока с напряжением U, резистора с сопротивлением r и провода, длина которого $L_{1}$ и диаметр d, изготовленного из материала с удельным сопротивлением U. При протекании тока по проводу он нагревается до температуры $t_{1}$. Какой длины $L_{2}$ должен быть провод из того же материала с тем же диаметром, чтобы разность между температурой провода $t_{2}$ и температурой $t_{0}$ окружающей среды стала в n = 4 раза меньше, чем в первом случае? Примечание. Закон Ньютона–Рихмана: поток тепла через единицу поверхности (выражается в Вт $м^{2} )$ на границе двух сред пропорционален разности их температур, т.е. $q D'^{t}$, где D – коэффициент пропорциональности. С.Кармазин

Задача 4. Источник тока Идеальный источник постоянного тока поддерживает силу тока $I_{0}$ через любой

Рис. 4

подключенный к нему резистор независимо от его сопротивления. Подключенный к такому источнику вольтметр (рис.4,а) показывает $напряжение_{1}^{U} 12 B$. В каком диапазоне будут изменяться показания вольтметра при смещении ползунка реостата в цепи, схема которой приведена на рисунке 4,б? Сопротивление вольтметра равно R. М.Замятнин

Задача 5. В камере… Вдоль квадратной камеры-обскуры со стороной a на расстоянии l от нее движется человек со $скоростью^{v}$ (рис.5). С какой скоростью движется изображение человека на экране камеры (ее задней стенке), если сама камера движется во встречном направлении со скоростью u? М.Замятнин Рис. 5

10 класс

Задача 1. Правильный нагрев Последовательная электрическая цепь состоит из идеального источника с напряжением U, резистора с $сопротивлением_{0}^{R}$ и провода круглого сечения радиусом r и длиной$^{L.}$ До какой максимальной температуры может нагреться провод при правильном выборе материала, из которого он изготовлен? Температура в помещении $T_{0}$. Мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур ’ $T T T_{0}$, где Т – температура провода, и площади его боковой поверхности. Коэффициент пропорциональности D известен. Температурным изменением сопротивления и теплоотдачей с торцов провода можно пренебречь. С.Кармазин

Задача 2. Глюк на автомобиле Экспериментатор Глюк ехал на автомобиле. В момент проезда мимо дома своего друга теоретика Бага Глюк решил измерить зависимость своей средней скорости от времени. Получившиеся результаты он свел в таблицу. Скорость изменялась монотонно. Известно, что Глюк достаточно точ-

58

КВАНТ 2019/№2

дицине осенью 2015 года? Изложите своими словами суть открытия и его значение для дальнейшего развития медицины. 5. Известно, что организмы бывают одноклеточные, многоклеточные и колониальные. Приведите как можно больше различий между этими организмами. Как отличить колониальность от истинной многоклеточности? 6. Какое открытие в области биологии кажется вам наиболее ожидаемым в настоящий момент? Попробуйте объяснить, почему именно выбранное вами открытие важно, какие перспективы оно открывает и почему оно не сделано до сих пор.

Отделение истории

Вопросы

1. Сколько правительниц государства насчитывает история России? 2. Какой сборник законов из ниже перечисленных был первым, изданным массовым тиражом? а) Судебник Ивана III. б) Судебник Ивана IV. в) Соборное Уложение. г) Воинский артикул Петра I. 3. Почему в совхозе был директор, а в колхозе председатель?

Отделение обществознания

Вопросы

1. Какая республика – субъект Российской Федерации – имеет территориальную основу? 2. Какая форма правления существовала в России с апреля 1906 по март 1917 года? а) Абсолютная монархия. б) Дуалистическая монархия. в) Сословно-представительная монархия. г) Теократическая монархия. д) Традиционная монархия. 3. В стране Ухляндии в 2016 году фирма «Грейдер», используя экскаватор и прочую технику, вырыла, во исполнение контрактных обязательств, канаву длиной в один километр и шириной в один метр, за что получила от заказчика оплату в размере 2000 рыжиков (рыжики – ухляндская валюта). В 2017 году также по заданию заказчика она эту канаву зарыла, на чем заработала 3000 рыжиков. На сколько изменился в

результате этих двух операций валовой внутренний продукт Ухляндии, если учесть, что он изменяется по состоянию на конец каждого года? а) Вырос на 2000 рыжиков. б) Вырос на 3000 рыжиков. в) Упал на 1000 рыжиков. г) Не изменился. д) Вырос на 5000 рыжиков.

Вопросы по экономике

(спецкурс в рамках курса «Обществознание») 1. Деньги служат в качестве а) единицы счета, б) средства платежа, в) средства накопления, г) всего вышеперечисленного. 2. Прямой обмен товара на товар без использования денег в экономике называется а) бартер, б) безналичный расчет, в) демпинг, г) дефолт. 3. Пристально изучив собственную бороду, старик Хоттабыч обнаружил, что после того, как он вырывает волоски для исполнения своих желаний, они немедленно отрастают вновь. Нужно ли Хоттабычу изучать экономику? а) Нужно, поскольку изучение экономики позволит ему получать максимальную прибыль. б) Не нужно, поскольку для него не существует проблемы ограниченности ресурсов. в) Нужно, поскольку тогда он сможет наилучшим образом экономить. г) Не нужно, поскольку он очень не любит учиться. 4. Емеля сумел голыми руками поймать волшебную щуку в проруби. С той поры Емеля, который и раньше был чрезвычайно ленив, не работает. Как это сказывается на безработице в Тридевятом царстве? а) Увеличивает структурную безработицу. б) Увеличивает циклическую безработицу. в) Увеличивает фрикционную безработицу. г) Никак не сказывается на безработице.