Квант 2019, №3 · Страницы

3

ПРЕМИЯ

ЗА

ЛАЗЕРНЫЕ

Артур Эшкин, Жерар Муру и Донна Стрикленд ной оболочки). Такое излучение Эйнштейн назвал спонтанным (самопроизвольным). Колебания электрического и магнитного поля в каждом кванте этого излучения совершенно не согласованы у разных частиц ни по фазе, ни по направлению. Физики называют такие источники излучения некогерентными. Но для того чтобы объяснить планковский закон теплового излучения и его гипотезу о квантованности энергии колеблющихся частиц вещества, необходимо предположить, как заявил Эйнштейн, наличие еще одного вида излучения, плотность вероятности которого пропорциональна плотности энергии уже имеющегося излучения такой же частоты, как бы заставляющего, вынуждающего частицу излучить. Эту часть излучения Эйнштейн назвал стимулированным (вынужденным) излучением. У всех квантов такого излучения характер колебания полей совершенно одинаков – оно согласованное, когерентное. В обычном (равновесном) состоянии вещества доля такого согласованного излучения мала, основное излучение – самопроизвольное. При этом большое число возбужденных частиц успевает вернуться в нормальное состояние и число частиц в возбужденном состоянии всегда меньше числа «нормальных» частиц. Такое распределение частиц по энергиям было установлено еще Больцманом как следствие законов термодинамики в применении к системам частиц и поэтому носит его имя. Но если число возбужденных частиц по каким-то причинам становится больше

ИНСТРУМЕНТЫ

числа «нормальных» частиц, такое состояние называется инверсным, то главным становится вынужденное излучение. Можно проиллюстрировать эту ситуацию таким «житейским» примером. Когда в большой ярусной аудитории число студентов меньше числа мест, то характер заполнения этой аудитории может быть различным. Нормальное заполнение (распределение по ярусам) – это большая плотность студентов в нижних ярусах и меньшая в верхних. Но допустим, что прошел слух о замене привычного студентам профессора, хорошо читающего лекции и при этом обращающего внимание на усердие студентов, неизвестным ассистентом. И студенты тогда дружно занимают верхние ряды в аудитории, собираясь готовиться к очередной контрольной работе или просто отдохнуть со своим смартфоном. Это – инверсное, не нормальное распределение студентов. Но вдруг слух не оправдался, и в аудиторию входит их профессор. Тогда студенты начинают быстро перемещаться вниз. Это перемещение стимулировано первыми перемещающимися студентами и, глядя друг на друга (согласованно), они восстанавливают нормальное распределение по рядам. Эйнштейн не развивал идею о том, как можно получить инверсное состояние вещества. В то время его больше всего интересовала теория тяготения (общая теория относительности), и он готовился к ее экспериментальному подтверждению. В 1939 году советский физик В.А.Фабрикант на опыте показал наличие небольшой примеси вынужденного излучения при обычном равновесном состоянии вещества. В 1951 году он разработал принцип усиления вынужденного излучения средой с инверсной заселенностью энергетических состояний (уровней). Это был принцип двух параллельных зеркал, между которыми вынужденное излучение лавинно усиливается в направлении, перпендикулярном плоскостям этих зеркал. В этом и заключается смысл слова «усилитель» в названиях лазера и мазера (вторая буква а

4

КВАНТ 2019/№3

названий соответствует английскому acceleration). Лазерный луч вырывается из среды между зеркалами за счет полупрозрачности одного из зеркал или с помощью других устройств. Заслуга Таунса, Басова и Прохорова состоит в том, что они разработали методы создания среды с инверсной заселенностью уровней. Басов и Прохоров осуществили способ усиления микроволнового радио-излучения и назвали эти устройства мазерами (первая буква м названия – от microwave). Только с помощью мазеров стало возможным осуществление связи между земными и искусственно созданными космическими источниками и приемниками остронаправленного излучения. Таунс и его коллеги сосредоточили свои усилия на разработке усилителей (генераторов) излучения в оптическом диапазоне (первая буква л в слове «лазер» соответствует английскому light). Был создан так называемый рубиновый трехуровневый лазер, в котором инверсное состояние заселенности достигалось за счет безизлучательных переходов между возбужденными атомами алюминия и примеси к нему – хрома. Необходимая поддержка возбужденных состояний атомов производилась за счет облучения прозрачного кристалла рубина достаточно мощной спиральной лампой с широким диапазоном излучения. Такой лазер мог работать непрерывно. Очень быстро стало ясно, что лазер может стать исключительно мощным и точным техническим инструментом. Концентрация энергии в узком лазерном луче создает сильное световое давление. Прежде всего это могло быть использовано в прецизионной обработке металлов – резке, сварке и тому подобное. Но для этого нужно было повышать мощность луча. Препятствиями этому у непрерывных лазеров стали перегрев излучающей среды и разрушение световым давлением отражающих зеркал. Поэтому мощные лазеры принципиально могли быть только импульсными. В импульсных лазерах пределом их мощности стало $10^{3}$ Вт, что давало давление, оказываемое лучом на преграду, порядка

$10^{3} 10^{4}$ МПа. Для решения технологических задач этого было уже достаточно. Появилось много лабораторий и фирм, создающих промышленные лазеры. Для применения лазеров в исследовании сверхбыстрых процессов, протекающих в атомах, молекулах, твердых телах и биологических объектах, более важным, чем мощность луча, была как можно меньшая временнбя длительность (и, соответственно, малая протяженность в пространстве) лазерного импульса. Но это неизбежно приводило к увеличению мощности до разрушающих значений. Казалось, что выхода нет. Но в 1985 году произошел прорыв. Жерар Муру (Gйrard Mourou) и его ученица Донна Стрикленд (Donna Strickland) изобрели технологию создания чирпированного импульса (chirped pulse amplification).

Усиление чирпированных импульсов

Проще всего переводить слово «чирпирование» как чириканье, что-то напоминающее птичий щебет. Чирпом еще в 1960 году назвали частотную модуляцию радиоволн, примененную для усиления мощности радаров. Однако перенос этой идеи от радиоволн на оптический диапазон с частотами, в десятки тысяч раз большими, требовал совсем другого решения и в теоретическом плане и в практическом. Вначале импульс вынужденного лазерного излучения растягивается в тысячи раз по длине и во времени. Соответственно, мощность излучения уменьшается в тысячи раз. Такой импульс можно впустить в лазер, где его мощность будет увеличена до предельно допустимых конструкцией лазера пределов. После этого луч должен поступить в специальное устройство, где

6

КВАНТ 2019/№3

нового типа – так называемых драйверных ускорителей. Мощный короткий лазерный импульс дифференцирует плазму на более легкую (электронную) и более тяжелую (ионную) части. Между ними возникает электрическое поле с огромной напряженностью $\sim 10^{21}$ В м, даже большей, чем внутри атома. Это поле представляет собой как бы хвост, кильватер самого импульса. Уже созданы ускорители электронов до энергии 4,2 ГэВ длиной всего лишь в 15 см, работающие по этому принципу. А в качестве режущего инструмента как в технологиях, так и в медицине (хирургии) сегодня применяются только аттосекундные лазеры. Понятно и оборонное значение такого лазера. Теперь стало ясно огромное значение изобретения Муру и Стрикленд, увенчанное Нобелевской премией 2018 года «за метод генерации высокоинтенсивных ультракоротких оптических импульсов». Точнее, это была только половина Нобелевской премии. Другая половина была присуждена Артуру Эшкину (Arthur Ashkin) «за изобретение оптических пинцетов и их применение в биологических системах». Она стала второй премией, присужденной за необычное применение давления света, оказываемого лазерным лучом. После создания лазеров Эшкин стал заниматься воздействием лазерного луча на микроскопические объекты, где не нужно большой мощности излучения. Вскоре он обнаружил необычное на первый взгляд явление – давление света смещало микрочастицы не по направлению луча, а в боковом направлении к середине этого луча. Каким бы узким с макроскопических позиций ни был лазерный луч, дифракция обязательно приводит к перераспределению интенсивности излучения по ширине луча. По его оси образуется нечто вроде центрального максимума, а интенсивность по краям луча в несколько десятков раз меньше. Это немного напоминает картину дифракции света на щели. Возникает градиент напряженности электрического поля, направленный от боковой поверхности луча к его оси. На частицы вещества или даже на отдельные молекулы, которые в первом

приближении можно считать электрическими диполями, действует боковая (градиентная) сила, перемещающая их к оси луча. Она прижимает частицы к оси, где они находятся в равновесном положении. Особенно устойчиво это положение, когда луч лазера в этом месте сужается, фокусируется сильной линзой. Отрезок луча представляется уже не цилиндром, а усеченным конусом. В этом случае равнодействующая градиентных сил имеет осевое направление и может уравновесить давление света, оказываемое лучом на поверхность микрообъекта. Возникает идеальная лазерная ловушка с устойчивым положением объекта в одной точке. Имея в распоряжении самые первые маломощные лазеры, Эшкин исследовал поведение объектов, где легко можно было осуществить ловушки. Это были пластмассовые шарики микронных размеров. С увеличением мощности лазеров он исследовал поведение все более мелких частиц. Вначале он совсем не думал об исследовании биологических объектов. Перейти к ним помог случай. В лаборатории росли комнатные цветы, листья которых были поражены мозаичным вирусом. Он часто поражает листья и в подмосковных садах, особенно листья черной смородины и флоксов. На листьях появляется как бы налет мельчайшей пудры различных цветов. Эшкин изучил этот порошок под микроскопом и убедился, что вирусные шарики имели размер всего лишь несколько нанометров. Возможно, это были самые маленькие микрообъекты, которые Эшкин мог иметь в это время. Но они были настолько малы, что микроскопы не могли заметить их передвижение в лазерном луче. В какой-то момент времени на вирусы стали нападать более крупные биологические объекты – бактерии, питавшиеся этими вирусами. Вот их перемещение Эшкин и стал изучать. Правда для этого ему пришлось заменить лазер с зеленой длиной волны на инфракрасный лазер. Зеленый свет губительно действовал на бактерии, а вот в инфракрасном освещении они превосходно себя чувствовали и, находясь дли-

9

ПРЕМИЯ

ЗА

ЛАЗЕРНЫЕ

ким технологиям и инновациям включила проект в список из шести проектов типа мегасайенс, которые должны быть реализованы к 2022 году. В повседневной жизни Муру очень доброжелательный и общительный человек. В Нижнем Новгороде он поразил всех тем, что первым делом приобрел себе и своей жене хорошие велосипеды и стал совершать длинные велопрогулки по городу и его живописным окрестностям. Он хороший пловец и в свои 70 лет переплывает Оку, где она перед впадением в Волгу становится довольно широкой. Его уважают и любят не только молодые коллеги, но и их подрастающие дети. Дружеские отношения вот уже почти 20 лет связывают Жерара Муру с одним из российских ведущих «лазерщиков» Александром Михайловичем Сергеевым, ныне президентом РАН, который своим другом и коллегой был приглашен на церемониальные Нобелевские торжества в Стокгольм в декабре 2018 года. Одно из самых ярких воспоминаний А.М.Сергеева об этих днях – это традиционные нобелевские лекции всех лауреатов. В своем интервью корреспонденту газеты «Московский комсомолец» от 10 января 2019 года президент РАН отмечает, что для него был неожиданным огромный интерес к физике: «Идет череда лекций, три из них в один день – физика, химия, экономика. Часть аудитории в Стокгольмском университете занята приглашенными со всего мира людьми – коллегами, родственниками лауреатов, а вторая часть – это шведская публика, для которой вход в зал был свободным. И что я вижу? На физике с утра – аншлаг, на химии народу поменьше, а на экономике существенно меньше. Вы понимаете, о чем это говорит? Как нация заинтересована в естественных науках! У нас же в России мы, к сожалению, констатируем переполненность залов на различных экономических форумах и заметное снижение интереса к естественным дисциплинам». Третий Нобелевский лауреат по физике 2018 года Донна Стрикленд стала третьей женщиной-физиком, получившей эту по-

ИНСТРУМЕНТЫ

четную награду. Первой была Мария Склодовская-Кюри (1903 г.), второй – физик-теоретик Мария Гёпперт-Майер (1963 г.). Донна Стрикленд родилась в 1959 году в Канаде и стала физиком после окончания канадского университета Макнестера. Она хотела заниматься мощными лазерами и поехала в США, в Мичиганский университет, в лабораторию Жерара Муру, где стала его аспиранткой. Муру поручил ей важнейший участок экспериментальных работ по чирпированию лазерных импульсов, и уже в 1985 году, на втором году ее аспирантуры, была опубликована совместная статья Муру и Стрикленд, ставшая основополагающей для всех лазерщиков и давшая основание для присуждения Нобелевской премии 2018 года именно им, авторам этой работы. Саму диссертацию на эту тему Стрикленд защитила в 1989 году. Тем самым она установила своеобразный «нобелевский рекорд» присуждения премии за работу, выполненную в аспирантуре. Донна Стрикленд успешно продолжала работать над увеличением мощности импульсных лазеров в канадском университете Ватерлоо, где она стала президентом Оптического общества. В момент присуждения премии ее должность в университете соответствовала должности доцента (адъюнкт-профессор). Но уже на другой день она стала полным профессором. «Я счастлива и польщена, – сказала она, – что стала одной из трех великих женщин». Необычайно моложавая и стройная, на церемонии получении знаков нобелевской награды, вручаемых шведским королем Карлом ХIV Густавом, она была в строгом, но очень изящном красном платье с одной ниткой жемчуга. Прибывшая в Стокгольм и приглашенная на церемонию вручения наград делегация преподавателей и студентов ее родного университета горячо приветствовала своего нобелевского лауреата, ставшего гордостью и своего университета, и всей Канады. Донна Стрикленд стала десятым Нобелевским лауреатом Канады и вторым канадским лауреатом-физиком.

Прямоугольник из квадратов

Ф.ШАРОВ

СДАВНИХ ВРЕМЕН ЛЮДИ ЗАНИМАЛИСЬ задачами на разрезания. Можно ли разрезать определенную фигуру на какието другие (например, на квадраты)? Можно ли из некоторого набора фигур составить другую заданную фигуру (например, правильный треугольник)? В этой статье мы докажем один из классических результатов в этой области математики – теорему Дена. Теорeма 1 (М.Ден, 1903). Если прямоугольник разрезан на квадраты (не обязательно равные), то отношение длин его сторон рационально. Читатель, конечно, без труда сможет догадаться, как разрезать прямоугольник с рациональным отношением длин сторон на квадраты (рис.1). Содержательным

Рис. 1

является лишь вопрос невозможности разрезаний в остальных случаях. Например, у прямоугольника вида a + b 2 ¥ c + d 2, где a, b, c, d рациональны, длины сторон и их отношения уже могут быть иррациональны. На этом простейшем частном случае уже можно продемонстрировать все основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы 1. В дальнейшем для удобства латинские бук-

(

) (

)

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190302

вы a, b, c, d и эти же буквы с индексами будут означать рациональные числа, а все числа вида a + b 2 будем называть хорошими.

Теорема Дена для хороших чисел

Сначала докажем теорему для частного случая, когда стороны разрезаемого прямоугольника и стороны всех квадратов являются хорошими числами. Прежде всего рассмотрим пример: прямоугольник 1 ¥ 2. Решим следующую задачу. Задача 1. Можно ли прямоугольник 1 ¥ 2 разрезать на квадраты с рациональными сторонами? А со сторонами, которые либо рациональны, либо имеют вид b 2? А со сторонами, которые являются произвольными хорошими числами? $Решение.^{1}$ Ответ на первые два вопроса: нет. Решение для третьего вопроса приведено в конце журнала. Ответим на первый вопрос. Предположим, что прямоугольник 1 ¥ 2 разрезан на квадраты с рациональными сторонами. Рассмотрим сторону, равную 2. Сумма примыкающих к ней сторон квадратов должна равняться 2. Сумма рациональных чисел не может быть равна иррациональному, следовательно, такое разрезание невозможно. Ответим на второй вопрос. Предположим, что прямоугольник 1 ¥ 2 разрезан на квадраты со сторонами вида a или b 2. Его площадь равна 2. Площади квадратов имеют вид либо $a^{2}$, либо $2b^{2}$.

1 Решение задачи 1, а также приведенное ниже доказательство невозможности разрезания прямоугольника 1 ¥ 1 + 2 на квадраты и решение задачи 3 (приведенное в конце журнала) написаны Е.Алиевой.

(

)

14

КВАНТ 2019/№3

Доказательство теоремы 1. Пусть прямоугольник $s_{0}$ ¥ $t_{0}$ разрезан на квадраты, причем $s_{0}$ и $t_{0}$ несоизмеримы. По определению его y-площадь равна y. Это число отрицательно при y < 0. В то же время y-площадь любого квадрата неотрицательна по лемме 3. Получили противоречие с леммой 4: сумма неотрицательных чисел не может равняться отрицательному. В заключение отметим, что y-площадь – это не просто олимпиадный трюк. В математике есть важное понятие меры. Мерами являются, например длина отрезков на прямой; площадь (обыкновенная, а не y-площадь) фигур на плоскости; объем тел в пространстве. Из двух основных свойств меры – аддитивности и неотрицательности – наша y-площадь обладает только первым. Если свойство неотрицательности не требуется, вместо слова «мера» используется

термин «заряд». Вот примером заряда и является y-площадь.

Литература

1. М.Скопенков, О.Малиновская, С.Дориченко, Ф.Шаров. Собери квадрат. В сборнике: Элементы математики в задачах: через олимпиады и кружки — к профессии. – М.: МЦНМО, 2018. 2. М.Скопенков, О.Малиновская, С.Дориченко. Собери квадрат. – «Квант», 2015, №2. 3. М.Скопенков, М.Прасолов, С.Дориченко. Разрезания металлического прямоугольника. – «Квант», 2011, №3. 4. Д.Фукс. Можно ли из тетраэдра сделать куб? – «Квант», 1990, №11. 5. Ф.Шаров. Разрезания прямоугольника на прямоугольники с заданными отношениями сторон. – Математическое просвещение, сер. 3, вып. 20 (2016), с.200–216. 6. И.М.Яглом. Как разрезать квадрат? – М.: Наука, 1968.

Вниманию наших читателей!

В предыдущем номере журнала в статье «Объять необъятное …» было допущено несколько опечаток. Необходимо сделать следующие исправления.

16

КВАН T 2019/№3

Рис. 2

и нерастяжимая нить, соединяющая два одинаковых шара массой m. У нити имеются вертикальные и горизонтальный участки. Шары касаются брусков. Вначале эти бруски удерживались внешними силами в неподвижном состоянии. Затем бруски отпустили, и они стали двигаться поступательно. С какими начальными ускорениями двигались бруски? Трения в системе нигде нет. М.Ромашка

Ф2558. Шаровая льдинка радиусом $R_{0}$, имеющая температуру $0 \infty C$, в условиях невесомости начинает таять (плавиться) при постоянной «невысокой» температуре окружающей среды $T_{0} ( T_{0} \sim 2 - 5 \infty C ).$ Пренебрегая испарением, определите время таяния льдинки. Во сколько раз возрастает время таяния льдинки при увеличении ее радиуса в два раза? Удельная теплота плавления льда O, коэффициент теплопроводности воды K. Считайте, что при плавлении льдинка сохраняет форму шара и симметрично окружена водой, образовавшейся при ее таянии, поскольку вода хорошо смачивает лед. Температура на внешней поверхности воды, которая представляет собой сферу, всегда равна температуре окружающей среды $T_{0}$. А.Власов

Ф2559. В точке А, расположенной на расстоянии r от центра О незаряженной проводящей сферы радиусом R, находится точечный заряд q (рис.3). Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько после заземления изменится потенциал M точки В, являющейся вершиной равностороннего треугольника АВО? Каким будет изменение вектора напряженности электрического поля в этой же точке? С.Крюков

Рис. 3

Ф2560. Имеется бесконечная сетка, сделанная из проволоки постоянного сечения,

Рис. 4

показанная на рисунке 4. Длина отрезка АВ равна а. Сопротивление единицы длины проводника равно U. Найдите сопротивление R AB между точками А и В. А.Бычков

Решения задач М2538–М2541, Ф2545–Ф2548

М2538. Петя расставляет 500 королей на клетках доски $100 u^{50}$ так, чтобы они не били друг друга. А Вася расставляет 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски 100 u 100 так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать?

Ответ. Больше способов у Васи. Идея решения – сопоставить каждой Петиной расстановке некоторую Васину расстановку так, чтобы разным расстановкам были сопоставлены разные, а кроме того, указать Васину расстановку, не сопоставленую никакой Петиной расстановке. Приведем два способа сделать нужное сопоставление.

19

ЗАДАЧНИК

ке ABC на прямых BC, CA, AB взяты точки K a, K b, K c соответственно так, что прямые AK a, BK b, CK c пересекаются в одной точке. Определим точку K ab как точку пересечения прямой AC и прямой, параллельной BK b, проходящей через точку K a. Аналогичным образом определим K ac, K ba, K bc, K ca, K cb. Тогда шесть точек K ab, K ac, K ba, K bc, K ca, K cb лежат на одной конике. В случае, когда точки K a, K b, K c лежат на сторонах BC, CA, AB (а не на их продолжениях), конструкция аффинным преобразованием может быть сведена к условию данной задачи М2540. Отметим еще несколько свойств данной конструкции (читатель может попробовать вывести их самостоятельно): 1) H ca H cb H ab H ac H bc H ba (фактически, мы видели это при доказательстве); 2) треугольники H ab H bc H ca и H ac H ba H cb равны между собой и подобны треугольнику ABC; 3) U является центром симметрии, переводящей треугольник H a H b H c в треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH b H c, H a BH c, H a H b C; 4) U является серединой отрезка, соединяющего O (центр описанной окружности треугольника ABC) и ортоцентр треугольника H a H b H c. Окружность Z, существование которой доказано нами, известна как окружность Тэйлора. Это одна из окружностей, принадлежащих семейству так называемых окружностей Таккера, которые можно определить, например, таким образом. Рассмотрим $треугольники_{»}^{XYZ}$ ABC такие, что X лежит на прямой AB, Y – на BC, а Z – на CA. Окружности Таккера – описанные окружности таких треугольников XYZ. Другие описания и интересные свойства окружностей Таккера можно найти, например, в книге: R.Honsberger «Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry». И.Вайнштейн

$М2541^{*}$. Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200

«КВАНТА»

пересекает не менее миллиарда из этих семиугольников. (Диаметр многоугольника – это максимум среди расстояний между парами его вершин.)

Обозначим через O центр данного круга, и пусть K R – это круг радиуса R с центром в O. Пусть C – множество углов всех данных семиугольников, а C R  C – подмножество тех углов, у которых вершина принадлежит кругу K R. Для решения задачи достаточно доказать, что $C_{200} t 7$ ˜ $10^{9}$ (как обычно, |X| обозначает количество элементов в множестве X). В самом деле, тогда количество семиугольников, пересекающихся с кругом $K_{200}$, не менее $C_{200} 7 t 10^{9}$. Покажем, что среднее значение угла из множества C R не превосходит 2 S 3. Действительно, в «тройной развилке» среднее значение угла равно 2 S 3 (рис.1), а в более чем тройной развилке оно еще меньше. Если же вершина лежит на стороне

Рис. 1

Рис. 2

некоторого семиугольника (рис.2), то среднее значение угла в такой вершине не больше S 2. С другой стороны, рассмотрим множество углов T R всех семиугольников, имеющих непустое пересечение с кругом K R. Поскольку диаметр каждого семиугольника не превосходит 1, T R  $C R_{1}$. Для каждого многоугольника среднее значение угла при вершине равно 5 S 7, поэтому среднее значение угла в множестве T R также равно 5 S 7. Пусть k C R, m T R, так что T R \ C R m k. С учетом того, что каждый угол из множества T R \ C R меньше S (это верно для любого угла выпуклого многоугольника), баланс средних дает m k ˜ S k ˜ 2 S 3! m ˜ 5 S 7. Отсюда

26

КВАН T 2019/№3

Левая, правая – где сторона?

С.ДВОРЯНИНОВ

ЖИЛ В XIX ВЕКЕ РУССКИЙ ПОЭТ ВА- силий Иванович Сиротин. Большая часть его творчества безвозвратно утрачена. Самое известное его стихотворение, дошедшее до наших дней, называется «Улица». Опубликовано оно было в 1859 году. Вот его первые строки: Раз возвращаюсь домой я к себе, Улица странною кажется мне. Левая, правая где сторона? Улица, улица, ты, брат, пьяна. А теперь объясню, почему я это вспомнил. Еду по Сокольнической линии московского метро домой. Выходить мне на станции Лубянка. Над выходом из вагона – схема с указанием станций этой линии (рис.1). Хорошо, очень удобно.

Рис. 1

На другой день то же самое. Вечер, метро, подъезжаю к Лубянке. Стою у двери, приготовился выходить. Над дверью привычные названия, но теперь на схеме станции указаны почему-то в другом порядке (рис.2). Оглянулся, посмотрел назад. Над противоположной дверью схема, как на рисунке 1. Здесь названия станций – словно отражение в зеркале рисунка 2. Но тут поезд остановился, двери распахнулись, и я вышел на платформу. А теперь – вопросы. Почему на разных схемах в одном вагоне названия станций

Рис. 2

идут в разном порядке? С какой стороны к Лубянке подходил мой поезд в случае рисунка 1? Какая станция была предыдущей: Чистые Пруды или Охотный ряд? А в случае рисунка 2? Советуем читателям сейчас прервать чтение, включить пространственное воображение и подумать над этими вопросами. На всякий случай напомним, что если на вагоне пассажирского поезда висит табличка «Москва–Самара», то этот поезд идет из Москвы в Самару. А на обратном пути на том же вагоне будет другая табличка «Самара–Москва». Да, еще. На Сокольнической линии движение поездов метро правостороннее. На каждой станции выход на платформу слева (с учетом направления движения поезда). А мы продолжаем наш рассказ. Размышляя о сказанном, следует учитывать психологию пассажира, находящегося в вагоне метро. Пассажир этот хочет, конечно, как можно скорее добраться до нужной станции. Он время от времени посматривает на схему движения, мысленно отмечая на ней свое передвижение. Естественно, станции следует перечислять слева направо – так мы читаем и пишем. Схема А – Б – В означает, что станцию А проехали, подъезжаем к Б, потом будет В. При этом приятнее, если на схеме

27

«КВАНТ»

ДЛ Я

М ЛАД Ш И Х

направление расположения станций согласовано с их расположением на пути поезда. При этом пассажир смотрит и на дверь – не будут ли ему мешать выйти другие люди в вагоне или же ему следует стать к двери поближе. Значит, нужная ему схема должна располагаться над дверью, через которую пассажиру выходить. Теперь становится понятно, почему внутри одного и того же вагона мы видим две разные схемы одной и той же линии метро. Обе схемы соответствуют реальному расположению станций вдоль линии метро. Когда мы переводим взор с одной схемы на другую, то поворачиваемся на $180\infty$. Рисунок 1 соответствует случаю когда поезд подходит к Лубянке от Чистых прудов, а рисунок 2 – когда со стороны Охотного Ряда. В новых поездах метро вместо бумажных схем появились электронные, на которых движение поезда отображают бегущие огоньки. Они дают повод вспомнить другие строки того же стихотворения «Улица»:

И фонари так неясно горят, Смирно на месте никак не стоят. Так и мелькают туда и сюда…

Предположим, что вам надо выйти из

Рис. 3

Ш К О ЛЬНИК О В

вагона на станции Баррикадная через дверь, показанную на рисунке 3. Глядя на схему, скажите: куда при этом движется поезд – влево или вправо? Ответить на этот вопрос нельзя! Электронные табло в вагоне метро (возможно, из экономии изготовления) только одного типа, огоньки на них бегут справа налево. Такие табло расположены на обеих сторонах вагона. При этом направление движения огоньков совпадает с направлением движения поезда только на одной стороне вагона. В случае их несовпадения у человека возникает состояние, называемое когнитивным диссонансом. Явление резонанса вам известно, диссонанс, можно сказать, – ему противоположное. Диссонанс в музыке – это нарушение гармонии, неправильное сочетание тонов, которое производит неприятное впечатление на слушателей. Вообще, диссонанс – это то, что вносит разлад во чтолибо, вступает в противоречие с чем-нибудь. Мы надеемся, что наши читатели – будущие инженеры и конструкторы – будут в своей работе учитывать все обстоятельства, и всё, что они создадут, ни к каким диссонансам приводить не будет.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Еще раз о полуправильных многогранниках

С.КУЗНЕЦОВ

В«КАЛЕЙДОСКОПЕ «КВАНТА» В №11 ЗА

2018 год мы рассказывали о полуправильных многогранниках, т.е. выпуклых многогранниках, грани которых суть правильные многоугольники и все вершины устроены одинаковым образом. Была приведена полная классификация таких многогранников: две бесконечные серии – призмы и антипризмы, пять правильных многогранников (платоновых тел: икосаэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) и еще 14 многогранников, традиционно называемых архимедовыми. Полуправильный многогранник определяется типом вершины: информацией, какие многоугольники сходятся к ней и в каком порядке. Например, 3,4,4, т.е. «треугольник–квадрат–квадрат» – это треугольная призма. При этом одному из типов вершин, а именно 3,4,4,4, отвечают сразу два многогранника: ромбокубооктаэдр и псевдоромбокубооктаэдр. Псевдоромбокубооктаэдр стоит среди полуправильных многогранников особняком – и дело не только в том, что его открыли в XX веке, в то время как остальные были извес-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190304

Рис. 2

тны еще древним грекам. В отличие от других полуправильных, этот многогранник не обладает глобальной симметрией, или свойством транзитивности: хоть любые две его вершины и устроены одинаковым образом, не всегда их можно совместить движением, переводящим многогранник в себя. Из-за этого псевдоромбокубооктаэдр не всегда относят к архимедовым телам, и тогда последних остается 13. Наш постоянный читатель О.Лазутченко задал следующий интересный вопрос. Псевдоромбокубооктаэдр получается из обычно-

Рис. 1

го ромбокубооктаэдра поворотом «шапочки» (рис.1). Эта «шапочка» называется n- скатным куполом, где n – число сторон ее верхней грани. А что будет, если повернуть «шапочку» у другого полуправильного многогранника – ромбоикосододекаэдра (рис.2)? Результат немного разочаровывает: получившийся многогранник еще дальше от «правильности», чем полуправильные. У него по-прежнему к каждой вершине сходятся четыре правильных многоугольника – треугольник, два квадрата и пятиугольник, но в разном порядке. У некоторых вершин порядок остался 3,4,5,4, а у других стал 3,4,4,5. Однако почему бы не рассмотреть полуправильные многогранники в слабом смысле: потребовать, чтобы к каждой вер-

30

К В А НT 2019/№3

шине сходился одинаковый набор многоугольников, но в произвольном порядке? Давайте попробуем перечислить все многогранники, полуправильные в слабом смысле. Воодушевляет на такое исследование следующий более общий факт. Отбросим любые условия на вершины и потребуем только, чтобы у многогранника все грани были правильными многоугольниками – все равно, кроме призм и антипризм, получится конечное число разных многогранников! Такие многогранники называются правильногранными. Полная классификация правильногранных многогранников приведена в статье В.А.Залгаллера «Выпуклые многогранники с правильными гранями» (Записки научных семинаров ЛОМИ, №2, 1967, с.5–221). Статья Залгаллера доступна по адресу http://mi.mathnet.ru/znsl1408 – несмотря на ее большой объем и сложность, мы очень советуем читателю ознакомиться с ней. Семейство правильногранных многогранников включает в себя пять платоновых тел, 13 архимедовых плюс псевдоромбокубооктаэдр, бесконечные серии призм и антипризм, а также еще 91 многогранник. Эти последние многогранники называются джонсоновыми телами по имени автора статьи, в которой они впервые все были перечислены: N.W.Johnson. Convex polyhedra with regular faces (Canadian Journal of Mathematics, vol.18, 1966, p.169–200, https://doi.org/ 10.4153/CJM-1966-021-8). Псевдоромбокубооктаэдр также относится к джонсоновым телам, если его не причислять к архимедовым; тогда джонсоновых тел становится 92. В своей работе Н.Джонсон приводит перечень всех джонсоновых тел, но не доказывает, что других не бывает (это сделал в упомянутой выше статье В.А.Залгаллер). Нас интересуют полуправильные в слабом смысле многогранники, не являющиеся таковыми в сильном смысле. Ясно, что все они суть джонсоновы тела. Значит, нам достаточно перебрать все джонсоновы тела и отобрать среди них те, у которых в каждой вершине сходятся одни и те же многогранники. Особенно удобно делать это по статье Джонсона, где для каждого многогранника указаны типы его вершин, т.е. какие многоугольники и в каком количестве сходятся в каждую вершину.

Наш перебор дает 6 новых правильногранных многогранников, у которых в каждой вершине сходятся те же многоугольники, но в разном порядке. Интересно, что все они получаются из архимедовых многогранников с помощью операции «поворота шапочки», описанной в начале статьи. Перечислим эти шесть многогранников. Во-первых, поворотом купола у ромбоикосододекаэдра, как предложил нам О.Лазутченко, можно получить целых четыре многогранника (у Джонсона они имеют номера 72– 75). Многогранников получилось несколько, потому что можно повернуть не один, а два или даже три купола. Надобно только следить, чтобы эти купола не имели общих граней: при повороте купол «ломает» все смежные с ним купола. Если повернуть один купол, то получится скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.3). Два купола можно повернуть двумя способами – либо один напротив другого, и тогда получится дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.4); либо два непротиволежащих, что дает дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.5). Наконец, три непересекающихся купола можно выбрать только одним способом; повернув их, получим трижды скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.6). По Залгаллеру, скрученные версии ромбоикосододекаэдра обозначаются так: $0_{6} 0_{14} 0_{6}$ или $0_{6} 0_{13} 2 0_{6} ; 0_{6} 0_{14} 0_{6} ; 20_{6} 0_{13} 0_{6} ; 30_{6} 0_{13}$.

Рис. 3

Рис. 5

Рис. 4

Рис. 6

…во всяком бруске, опирающемся на опоры, но имеющем возможность свободно изгибаться, при неизменности поперечного сечения и однородности материала та его часть, которая находится на наибольшем расстоянии от опор, изгибается больше всего. Леонардо да Винчи

Модуль упругости равен отношению нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению. Анри Навье

…при закалке более твердое вещество сильно закаливается, а другое остается слабо закаленным… получается материал, обладающий одновременно и большой твердостью, и большой вязкостью… Дмитрий Чернов

Есть… материалы, которые ведут себя очень странным и сложным образом. Чем сложнее материал, тем причудливей его поведение. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+техника

Сегодня мы сфокусируем ваше внимание на употребляемых в технике МАТЕРИА- ЛАХ. История их освоения – это история цивилизации. С первых же попыток приспособить – для постройки жилищ либо охоты, для сражений или бытовых нужд – окружающие его камни и деревяшки человек, сначала неосознанно, наталкивался на необходимость разобраться с их свойствами. Твердые и мягкие, прочные и рассыпчатые, упругие и хрупкие, они задавали неокрепшему разуму порой нелегкие загадки. А вот раздумья над ними подталкивали к поиску закономерностей, объясняющих эти свойства. Потребность не только в прикладном, передаваемом из поколения в поколение опыте, но и в его осмыслении росла по мере овладения все новыми предоставляемыми природой естественными материалами. Эта потребность особенно возросла, когда человек посягнул на создание материалов искусственных. И здесь без науки, неотъемлемо включающей в себя физику, уже было не обойтись. Конечно, сейчас мы сможем бросить лишь беглый взгляд на крохотную долю неисчислимого множества обступающих нас материалов и их разнообразных характеристик. Но даже те из них, которых касается школьный курс, могут дать представление об огромной области знаний, называемой материаловеде- нием – еще одним плодотворным союзом физики и техники.

Вопросы и задачи

1. По камушку и теннисному мячу ударяют доской. Почему мяч при прочих равных условиях летит дальше? 2. Если выпуклый «звездчатый» многогранник, вылепленный из пластилина, с силой бросать вертикально вниз, то он будет отскакивать от пола, как упругий резиновый мячик, практически не сминаясь. В то же время пластилин легко мнется руками. Как это объяснить? 3. Пружина растянута под действием подвешенного груза. Как будет изменяться потенциальная энергия пружины, если ее: а) нагревать; б) охлаждать? 4. Стальной стержень зажат между двумя стойками. Как деформируется стержень при нагревании? 5. Почему в бетонных конструкциях в качестве арматуры – усиливающего элемента – используется только железо, а не другие металлы? 6. Чтобы железобетонную балку сделать прочнее, при ее изготовлении стальные стержни растягивают и заливают жидким бетоном. После его затвердевания стержни освобождают. Каково преимущество такой конструкции?

7. Почему при кладке кирпичных печей используют глиняный раствор, а не, например, цементный (хотя он более твердый)? 8. Одинаковые кубики из стекла и монокристалла кварца опускают в горячую воду. Сохранится ли форма кубиков? 9. Древесина по-разному колется и пилится вдоль и поперек; бревна проводят тепло в поперечном направлении в два с лишним раза хуже, чем в продольном. Почему? 10. Отчего при резких изменениях температуры металл обычно не дает трещин, а камень растрескивается? 11. При склепке толстых листов металла в отверстия листов вставляют раскаленные докрасна заклепки. Какое значение имеет применение именно горячих заклепок? 12. Чтобы приварить один кусок железа к другому, оба куска раскаляют, накладывают друг на друга и сильно бьют по ним кузнечным молотом. Почему при этом получается прочное соединение? 13. Отчего алюминий нельзя паять оловянным припоем? 14. Если в сварочном станке давление электродов на деталь оказывается меньше, то напряжение между ними должно быть больше и наоборот. Чем это можно объяснить?

Микроопыт

Вам необходимо сломать руками не очень тонкий (диаметром 3–4 миллиметра) медный провод. Скорее всего, вы начнете его сгибатьразгибать в нужном месте. Добились своего? Если да, то почему?

Любопытно, что…

…первые исследования по сопротивлению материалов, прочности арок, балок и других элементов механических конструкций были проведены гениальным художником, инженером и ученым эпохи Возрождения Леонардо да Винчи. …английский ученый Томас Юнг ввел понятие модуля упругости, ставшее важнейшим в новой отрасли механики – теории упругости. Позже воспитанник парижской Политехнической школы Анри Навье указал, что для полного описания свойств материалов нужно знать не только величину предела прочности, но и этот самый модуль, получивший имя Юнга, и дал приня-

тое до сих пор его определение (см. эпиграф). …кость, с древности используемая для изготовления самых разных инструментов, обладает высокой устойчивостью к внешним воздействиям. Причина в том, что кость – это пример природного композиционного материала, сочетающего свойства входящих в него компонентов. Известнейший искусственный композит – железобетон. …французский математик и инженер Жан- Виктор Понселе, ведший «Курс индустриальной механики, читанный мастерам и рабочим», ввел в науку и технику термин «усталость», обнаружив снижение прочности стальных конструкций при воздействии циклических напряжений. …превосходные прочностные качества железобетона позволяют строить высотные дома с толщиной стен всего лишь 20 сантиметров. Однако весьма низкие его теплоизолирующие свойства требуют дополнительного покрытия стен пористыми материалами, обеспечивающими преграду для передачи тепла. …исследования устойчивости колонн в начале XX века легли в основу теории пластичности, кардинально развитой в 30-х годах теорией дислокаций – изъянов кристаллической решетки. Произошедший благодаря этому переворот в физике твердого тела непосредственно приблизил ее к материаловедению и наметил новые пути и возможности техники. …замечательные электрические свойства «нобелевского лауреата» графена обусловлены тем, что он имеет вид листиков толщиной всего лишь в один атом углерода. Но эта двухмерность технически очень неудобна, что заставляет физиков искать и, похоже, успешно, его трехмерные подобия.

Что читать в «Кванте» о материалах

(публикации последних лет) 1. «Закон Гука и коэффициент Пуассона…» – 2016, №3, с.30; 2. «Поверхность и что на ней происходит» – 2017, №8, с.7; 3. «Рекордные механические параметры» – 2018, №2, с.7; 4. «Механика невидимого» – 2018, №11, с.10.

Материал подготовил А.Леонович

43

ОЛИМПИАДЫ

Задача 2. Каникулы в Простоквашино (1) От станции Простоквашино до дома, в котором живет кот Матроскин, расстояние s = 1,2 км. Дядя Федор с Шариком приехал на станцию Простоквашино и пошел домой со скоростью $v_{Ф} 4$ км ч, а Шарик побежал со скоростью $v_{Ш} 12$ км ч. Добежав до дома, Шарик повернул обратно, навстречу дяде Федору, и так бегал вперед и назад между дядей Федором и домом вплоть до момента прибытия мальчика домой. Какой путь больше: суммарный путь $s_{1}$, который Шарик пробежал, перемещаясь в сторону дома, или $s_{2}$, который он пробежал, перемещаясь в обратном направлении? На сколько один путь длиннее другого? Определите $s_{1}$ и $s_{2}$. А.Лукьянов

ний объем стакана в 5 раз больше объема кубика. М.Замятнин

8 класс

Задача 1. Каникулы в Простоквашино (2) См. задачу 2 для 7 класса. Только теперь Шарик бежал домой вниз по склону со скоростью $v_{Ш1} 12$ км ч, а обратно бежал вверх по склону со скоростью $v_{Ш2} 8$ км ч.

Задача 2. Качаем пресс На полозьях, которые могут скользить по гладкому полу, установлен гидравлический пресс, заполненный несжимаемым маслом. Шток поршня большего диаметра прикреплен к стене (рис.3,а). При движении поршня

Задача 3. Усреднение На рисунке 2 приведены графики зависимости от времени координат двух машин,

Рис. 3

Рис. 2

ехавших по одной прямой дороге. Определите среднюю путевую скорость $v_{10}$ второй машины за 10 минут движения с точки зрения наблюдателя, находящегося в первой. В какие моменты времени движения, кроме конечного, средняя скорость второй машины относительно первой также была равна $v_{10}$? Какого максимального значения достигала средняя путевая скорость второй машины в процессе движения? М.Замятнин

Задача 4. Кубический коктейль Если в стакан, доверху заполненный жидкостью плотностью U 1,2 г $см^{3}$, погрузить кубик, то средняя плотность содержимого станет $U_{1} 1,4$ г $см^{3}$; если вместо этого кубика поместить другой кубик такого же объема, то средняя плотность содержимого станет $U_{2} 1,6$ г $см^{3}$. Какой окажется средняя плотность $U_{3}$ содержимого, если в стакан поместить сразу оба кубика? Внутрен- между ним и стенкой пресса возникает сила трения F (одинаковая для обоих поршней). Чтобы сдвинуть пресс с места, к меньшему поршню необходимо приложить силу не меньшую, чем $F_{1} = 500$ Н. Определите величину силы трения F, если площади поршней отличаются в 4 раза. Какую минимальную горизонтальную силу $F_{2}$ необходимо приложить к поршню большего диаметра, чтобы отодвинуть пресс от стены, если установить его так, чтобы шток меньшего поршня был прикреплен к стене (рис.3,б)? В какую сторону в этом случае должна быть направлена сила $F_{2}$? М.Замятнин

Задача 3. Пластичность Цилиндрический столбик из пластилина высотой H и площадью основания s плотно прилепили к гладкому дну сосуда, в который налили жидкость плотностью $U_{0}$ до верха столбика (рис.4,а). Вода под столбик плас-

Рис. 4

49

ЭКЗ АМ ЕН А Ц ИО НН Ы Е

теорита расходуется относительная доля его начальной кинетической энергии, равная D? Начальная температура метеорита $t_{0}$. Удельная теплоемкость железа с, температура плавления железа $t_{пл}$, удельная теплота плавления железа O. 5. На поверхности воды плавает непрозрачный шар радиусом R, наполовину погруженный в воду. На какой максимальной глубине $H_{max}$ нужно поместить под центром шара точечный источник света, чтобы ни один световой луч не прошел в воздух? Показатель преломления воды n.

Второй тур

1. Бревно массой m плавает в воде, не касаясь дна реки. Какой объем V занимает погруженная в воду часть бревна? Плотность воды U. 2. Моторная лодка плывет по реке вниз по течению. В тот момент, когда лодка проплывала мимо пристани, из нее выпал спасательный круг. Рыбак, находившийся в лодке, обнаружил пропажу только спустя промежуток времени t. Он сразу же развернул лодку и поплыл в обратном направлении, не изменяя режима работы мотора. Спасательный круг он нашел на расстоянии s от пристани. Определите скорость v течения реки, считая ее постоянной. 3. Цепь, изображенная на рисунке 2, составлена из четырех одинаковых резисторов

МА ТЕР ИАЛЫ

емкость вещества, из которого они состоят, c. Рассеянием тепла в окружающую среду можно пренебречь. 5. Тонкий круглый деревянный диск плавает в бассейне, наполненном водой. В воде под диском на глубине h закреплен точечный источник света S, причем центр диска и источник находятся на одной вертикали (рис.3). Пренебрегая отражением света от стенок и дна бассей- Рис. 3 на, определите минимальный диаметр диска d, при котором ни один световой луч не выйдет из воды. Показатель преломления воды n.

10–11 классы

Первый тур

1. Два пластилиновых шарика массами m и 2m одновременно бросают навстречу друг к другу с одинаковыми скоростями $v_{0}$, лежащими в одной вертикальной плоскости и образующими с горизонтом углы D (рис.4).

Рис. 4

Рис. 2

сопротивлением R каждый и резистора сопротивлением $R_{1}$. На клеммах АВ поддерживается постоянное напряжение U. На какую величину ’ I изменится сила тока, текущего через резистор сопротивлением $R_{1}$, после замыкания ключа K? Сопротивлением проводов и ключа можно пренебречь. 4. При центральном соударении шарика, движущегося со скоростью v, с таким же неподвижным шариком последний приобретает скорость v 2. Найдите изменение температуры шариков ’ t, если удельная тепло-

Точки бросания шариков находятся на поверхности земли на расстоянии l друг от друга. После соударения шарики слипаются и движутся далее как одно тело. Найдите время W полета этого тела от момента соударения до момента падения на землю. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. 2. Клин с углом D при вершине находится на горизонтальном столе (рис.5). На поверхности клина располагается брусок массой m, к которому привязана невесомая нерастяжимая нить. Второй конец нити перекинут через блок на клине и прикреплен к непод-

Рис. 5

51

ЭКЗ АМ ЕН А Ц ИО НН Ы Е

Рис. 8

стоянии l от нее расположен зеркальный шар, центр которого лежит на главной оптической оси линзы. Определите радиус шара R, если лучи, отраженные от него, собираются в фокусе линзы, ближайшем к источнику. Учтите, что для малых значений аргумента x, заданного в радианах, справедлива такая приближенная формула: tg x | x.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП

Проведение заключительного этапа олимпиады «Ломоносов» было назначено на 22 февраля 2019 года. Для учащихся всех классов этот этап проводился в очной форме на физическом факультете МГУ и на трех региональных площадках в городах Астана (Казахстан), Белгород и Невинномысск. Задание для учащихся 7–8, а также 9 классов состояло из четырех задач по темам, изучаемым в рамках программы по физике для основной общеобразовательной школы. Задания для учащихся 10–11 классов были составлены в полном соответствии с Кодификатором ЕГЭ 2019 года по физике и охватывали основные разделы Кодификатора, а именно: 1) механику, 2) молекулярную физику и термодинамику, 3) электродинамику и 4) оптику. Типовое задание включало четыре различных раздела, состоящих из задач и уточняющих вопросов по теории.

7–8 классы

1. Сплошной однородный цилиндр высотой h и диаметром основания D стоит на горизонтальной плоскости. Медленно наклоняя цилиндр, его опрокидывают. Во сколько раз n энергия, выделившаяся при падении цилиндра на плоскость, превысит минимальную работу, совершенную при его опрокидывании? 2. В чайник со свистком налили воду массой $m_{1}$ и поставили на электрическую плитку. Через время $W_{1}$ вода закипела и раздался свисток. Какова масса $m_{2}$ воды, оставшейся в чайнике после кипения воды, продолжавшегося в течение еще времени $W_{2}$? Начальная температура воды t, темпе-

МА ТЕР ИАЛЫ

ратура кипения воды $t_{к}$. Удельная теплота парообразования воды r, а ее удельная теплоемкость с. Теплоемкостью чайника и потерями тепла за счет рассеяния в окружающую среду можно пренебречь. 3. Гальванометр с неизвестным внутренним сопротивлением включили в цепь источника постоянного тока один раз последовательно с резистором сопротивлением R, а второй раз параллельно с ним. При этом в первый раз стрелка гальванометра отклонилась на $X_{1} 2$ деления шкалы, а во второй раз на $X_{2} 4$ деления. Определите по этим данным внутреннее сопротивление гальванометра r, если напряжение на клеммах источника в обоих случаях одно и то же. 4. Непрозрачный сосуд имеет форму куба с длиной ребра a. Внутрь сосуда параллельно одной из его боковых граней направляют луч света, как показано на рисунке 9. Луч попадает в точку b, находящуюся на ребре куба. До какого уровня h необходимо заполнить сосуд водой, чтобы луч света попал в точку c, расположенную на $дне^{Рис.} 9$ сосуда на расстоянии a 4 от точки b? Показатель преломления воды n.

9 класс

1. Гепард, заметив антилопу, убегающую от него со скоростью $v_{A}$, начинает ее преследовать. Разгоняясь равноускорено, он за время $W_{1}$ развивает скорость $v_{Г}$, с которой бежит в течение времени $W_{2}$. Затем, почувствовав перегрев своего тела, гепард прекращает преследование, останавливаясь с тем же по модулю ускорением, что и при разгоне. На каком максимальном расстоянии $s_{max}$ должны находиться друг от друга в начальный момент эти животные, чтобы гепард смог полакомиться пойманной антилопой? Замечание. Вследствие отсутствия потовых желез на теле и плохого отвода тепла через шкуру гепард не может развивать максимальную скорость (примерно 110 км ч ) в течение длительного времени без опасного для его организма перегрева. 2. В калориметр с водой, имеющей температуру $t_{1}$, помещают кусок льда, причем

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №2)

1. В 81 раз. Пусть квадратик имеет размеры 1 u 1, а квадрат n u n. Тогда площадь креста равна 2n – 1 (вертикальный столбик имеет размеры n u 1, горизонтальная строка 1 u n, а площадь квадратика мы сосчитали дважды). Из равенства 2n – 1 = 17 получаем, что n = 9. Значит, площадь квадрата равна 9 u 9 81. 2. Предположим, что оба мальчика не ошиблись. Поскольку Петя не ошибся, то общее количество принесенных конфет четно (в два раза больше количества конфет, принесенных Петей). Так как Коля принес целое количество конфет и это треть от четного числа, то он принес четное число конфет. Но, по его словам, он отдал девочкам нечетное количество конфет, так как количества конфет, доставшихся Маше и Тане, имеют разную четность (различаются на 3), а сумма двух чисел разной четности нечетна. Получили противоречие. 3. 5. Пусть в комнате k лжецов. Тогда первые k человек сказали правду (и, следовательно, были рыцарями), а $остальные^{10} k$ соврали (и были лжецами). Значит, k = 10 – k, откуда k = 5. 4. Не может. Предположим, что сумма могла равняться 8900098. У каждого из слагаемых одна и та же последняя цифра N. Значит, последняя цифра суммы равна последней цифре числа 13N. Отсюда следует, что N = 6. Но тогда каждое из слагаемых делится на 6, т.е. делится на 3. Следовательно, и сумма всех чисел делится на 3. Но по признаку делимости на 3 число 8900098 на 3 не делится. Противоречие.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №1) 17. 4. Рассмотрим число abcde с такими свойствами. Оно делится на 5, поэтому e = 5. Так как оно делится на 11, то по признаку делимости знакопеременная сумма цифр S делится на 11: $S a b c d^{5} ⋮^{11}$. Наибольшего значения она достигает, когда с плюсом берутся самые большие цифры, а наименьшего – когда самые маленькие. Таким образом, $S d^{7} 6^{4} 3 5 11$ и S t 4 3 7 6 5 1. Заметим, что среди пяти цифр числа ровно 3 нечетные, значит, S нечетно. Итак, S делится на 11, нечетно и

1 d S d 11, значит, S = 11. Такая знакопеременная сумма цифр достигается только тогда, когда с плюсом берутся самые большие цифры. Тем самым, 6 и 7 стоят на первом и третьем местах, а 3 и 4 на втором и четвертом. Это дает 4 возможные комбинации: 63745, 64735, 73645, 74635. 18. Так быть могло. Приведем пример. Пусть в конструкторе Пети четыре равнобедренных треугольника с ребрами по 2 см и основанием 1 см, у Васи – три таких же треугольника, а четвертый – равносторонний треугольник со стороной 1 см. Тогда Петя сможет собрать тетраэдр, как на рисунке 1,а, а Вася – как на рисунке 1,б.

Рис. 1

19. а, б) Да, найдутся. Например, подходят числа 1 ˜ 100! 1, 2 ˜ 100! 1, 3 ˜ 100! 1, …, 100 ˜ 100! 1. Сумма любых k из них (где k от 1 до 100) будет делиться на k, поскольку имеет вид N ˜ 100! k, а 100! делится на k, так как делится на все числа от 1 до 100. Значит, среднее арифметическое любых нескольких чисел из нашего примера – целое. Покажем еще, что в приведенном примере нет чисел с общим множителем, большим 1. Предположим противное: какие-то два числа из примера – скажем, a ˜ 100! 1 и b ˜ 100! 1 – делятся на простое число p. Тогда $p !^{100}$ (иначе на p делилось бы и число 100! и, следовательно, число 1, что невозможно). Разность наших двух чисел $a b ˜^{100!}$ тоже делится на p, но у этой разности, очевидно, нет простых делителей, больших 100. Противоречие. 20. а) 4998; б) 4802. Оценка. Разобьем доску на вертикальные доминошки, раскрасим их в шахматном порядке (каждая доминошка целиком белая или целиком черная). а) $На^{50} 2$ белых доминошках должно быть хотя бы $50^{2} 1$ закрашенных клеток, чтобы нельзя было выбрать 2 белые доминошки без закрытых клеток. Аналогично с черными. Значит, всего закрашено хотя бы $2 50^{2} 1 4998$ клеток. б) Оценка для этого пункта доказывается анало-

гично: всего закрашено хотя $бы^{2} 50^{2} 99$ клетки.

4802