Квант 2019, №7 · Страницы

3

СИММЕТРИИ В НЕСИММЕТРИЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ АНДРЕЯ САХАРОВА

графические перевоплощения, те же самые семиклассники уютно расселись прямо на полу и устремили свои пытливые глаза на пришельца. Накануне каждый из них получил по листочку, в котором его спросили, знает ли он: i что во время второй мировой войны советские и американские солдаты воевали с общим врагом – нацизмом; i но что спустя полтора десятилетия советские термоядерные ракеты были нацелены на американские города, а американские ракеты – на Россию; i что советское термоядерное оружие придумал молодой физик Андрей Сахаров и за это был щедро награжден советским правительством; i что, осознав зловредное воздействие атмосферных ядерных испытаний на здоровье человечества, он способствовал запрету таких испытаний; i а поняв, что несвобода угрожает жизни человечества, начал отстаивать права человека как основу надежного мира между народами; i что его усилия Нобелевский комитет наградил премией мира, а советское правительство – высылкой в город Горький; i что физика Сахарова больше всего интересовало, как устроена Вселенная; i и – семиклассникам на десерт – что Андрей Сахаров начал учиться в школе именно с седьмого класса, а до того учился дома.

Из рукописного наследия Андрея Сахарова

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, и, чтобы помочь 13-летним американцам понять русского физика-гуманиста, я захватил с собой две его маленькие рукописи. Я надеялся, что они помогут связать невероятные повороты Сахаровской биографии, показав, как могут быть связаны симметрия и асимметрия. Первой я показал рукопись, написанную частично на интернациональном языке арифметики (рис.1). Как только картинка появилась на экране, темнокожая отличница из первого ряда деликатно подсказала мне, что «прозрачку» я положил

Рис. 1

не той стороной. (В те времена еще не научились показывать картинки прямо из флэшки, да и флэшку еще не изобрели. Поэтому приходилось печатать-писать-рисовать на прозрачных листах, которые помещали в проектор, иногда не той стороной.) Тогда я предъявил второй автограф, уже без арифметики (рис.2), и объяснил, что Сахаров умел писать не

Рис. 2

только одной рукой в зеркальном изображении, но и обеими руками одновременно в разные стороны. А Лидия Корнеевна Чуковская, которой он демонстрировал свое умение и которая сберегла эти автографы, очевидно, так не умела. Если бы она была право-лево-рукой, как Сахаров, и если бы они оба писали поанглийски, то мои слушатели увидели бы нечто, похожее на бабочку (рис.3). Труднее было объяснить по-английски, как

Рис. 3

защита униженных и оскорбленных связала этих двух людей с разными жизненными призваниями: у одного – физика, у другой – лирика. А что они не замыкались в своих мирах, ясно из приведенных картинок.

4

КВАНТ 2019/№7

Эти же картинки помогли мне рассказать семиклассникам о симметриях и несимметриях того мира, в котором Андрею Сахарову довелось жить. Вот этот рассказ.

Правое и левое

В первые американские месяцы меня поразило обилие людей, пишущих левой рукой. За сорок пять лет предыдущей – российской – жизни ничего подобного я не видел. Разумеется, я знал, что такие люди есть, и конечно же читал лесковского «Левшу», но почему-то в повседневной жизни их не встречал и даже как-то связывал печальную судьбу Левши с его врожденной особенностью. Сахарову повезло, что он относился к еще более редкому меньшинству обоюдоруких и потому был не столь уязвим для подавляющего большинства праворуких. Но что если бы его родители не обеспечили ему домашнее образование до 7-го класса, а сразу отдали бы его на перевоспитание в советскую школу? А там – по Маяковскому – скомандовали бы: «Кто там пишет левой?! Правой! Правой! Правой!» По мнению самого Андрея Сахарова, долгое домашнее обучение усилило его «неконтактность, от которой [он] страдал потом и в школе, и в университете, да и вообще почти всю жизнь». Кто знает, ранние тесные контакты с советской жизнью могли бы и подорвать чувство собственного достоинства этого мягкого человека с твердыми моральными устоями, и лишить его способности быть в меньшинстве. А ведь в науке новое слово всегда говорит самое маленькое меньшинство – один человек.

Симметрии в физике и политике

Словом «симметрия» обычно описывают форму здания, узор, геометрическую фигуру – это всегда какая-то закономерность формы. Однако в 20-м веке удалось в физических законах разглядеть проявления симметрий мироздания. Выяснилось, например, что крутящийся волчок долго не падает просто потому, что «не знает», в какую сторону упасть: все горизонтальные направления в пространстве равноправны

– все стороны симметричны относительно вертикальной $оси.^{1}$ И вообще, всякий фундаментальный физический закон раскрывает некую симметрию Вселенной. Если же эксперимент обнаруживает какую-то асимметрию, то физик-теоретик получает трудную, но захватывающе интересную задачу – найти место этой асимметрии в гармонии мироздания. Подобной задачей Сахаров заинтересовался в 60-е годы. Симметрия бабочки, или зеркальная симметрия, причастна к самой значительной его идее в космологии – в физике Вселенной. Однако прежде чем заняться этой абсолютно мирной идеей, предыдущие два десятилетия своей жизни – наиболее плодотворные годы для физика-теоретика – Сахаров отдал созданию самого разрушительного оружия в истории человечества. Почему? Асимметрии, формировавшие его жизнь, относилась не к физике, а к политике. Андрей Сахаров поступил в университет в 1938 году, накануне мировой войны. Мир тогда представлялся ему крайне асимметричным. Впереди планеты всей шла страна, в которой ему посчастливилось родиться. Шла навстречу светлому будущему, обществу всепланетной социальной справедливости и беспредельных возможностей. Позади оставались страны капитализма и среди них наиболее зловещая гитлеровская Германия, в которой надругались над словом «социализм» приставкой «национал-» и отвергали научные теории изза их «неарийского» происхождения. Асимметрию эту отменила мировая война. Заостренная ось Берлин-Токио вонзилась почти одновременно в коммунистическую диктатуру и в крупнейшую капиталистическую демократию, что породило странную симметрию под немыслимым прежде названием «Объединенные нации»,

1 Знаменитая теорема Нётер (доказанная Эмми Нётер в 1918 году) связывает различные симметрии физических систем с законами сохранения. В частности, изотропность пространства (равноправие всех направлений) связана с законом сохранения момента импульса. (Прим. ред.)

5

СИММЕТРИИ В НЕСИММЕТРИЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ АНДРЕЯ САХАРОВА

когда США и Великобритания стали союзниками СССР в войне против нацистской Германии. Четыре года спустя, сломав воинственную ось, победившие союзники создали международную организацию – Организацию Объединенных нации – в качестве инструмента поддержания мира. После исчезновения оси, однако, «осевая» симметрия стремительно преобразилась в антисимметрию, и первые ядерные взрывы обозначили это превращение. В Хиросиме и Нагасаки наука зримо вошла в политику. И физики, причастные к этому, быстрее политиков поняли, что новая антисимметрия чревата самоуничтожением человечества. Крупнейшие физики-теоретики 20-го века Эйнштейн и Бор обращались к новорожденному мировому парламенту – ООН, призывая создать мировое правительство, чтобы ядерный век не стал последним веком цивилизации. Увы, тогда это была слишком теоретическая идея.

Теоретик-изобретатель

Слишком теоретической для 20-летнего Андрея Сахарова была и обрисованная глобальная картина мировых симметрий. В зловеще-практических обстоятельствах, когда фашисты подошли к Москве, студент-четверокурсник эвакуировался вместе с университетом в далекий Ашхабад. И после ускоренного окончания университета отправился на военный завод в Ульяновске. Завод делал патроны – для фронта, для победы. А молодой специалист по «оборонному металловедению», стараясь помочь победе, изобрел магнитный прибор для проверки качества пуль. И первая его самостоятельная задача в теоретической физике родилась из размышлений над этим изобретением. Чтобы из патронного производства возникла физическая задачка сомнительной важности, нужен человек с призванием физика-теоретика. Иначе изобретение вполне конкретного прибора не поведет к странному вопросу: а что если магнитные силы заменить электрическими? Это был не производственный вопрос, это был вопрос к природе, в которой имеется стран-

ная симметрия электричества и магнетизма. За сорок лет до того служащий патентного бюро в Берне Альберт Эйнштейн, размышляя над кажущейся несимметрией движущихся зарядов, создал самую знаменитую физическую теорию – теорию относительности. Начиная размышлять о какой-нибудь несимметрии природы, теоретик не знает, придет ли он к новой теории, просто к новой формуле или не придет ни к чему разумному вовсе. Но движет размышлениями одно и то же стремление к познанию. Итак, в самом теплом и светлом помещении Ульяновского патронного завода – в парткабинете, рядом с полками политических книг, молодой инженер занимался теоретической физикой и придумал-таки, как решить свою электромагнитную задачу. За этой задачей последовали другие – ненужные для патронного производства, но интересные для начинающего теоретика. Теоретик задавал Природе вопросы, ответы на которые получал с помощью физических рассуждений и математики, умело распоряжаясь симметриями и асимметриями. Только одну из этих задач можно понять без пояснений: «С какой скоростью увеличивается толщина льда, окруженного ледяной водой?» Решения двух других задач начинающий теоретик отправил отцу в Москву, а тот показал их Игорю Евгеньевичу Тамму, главному теоретику в Физическом институте Академии наук. В результате в начале 1945 года Андрей Сахаров стал аспирантом ФИАНа и целиком отдался теоретической физике. На чистую науку история дала ему всего несколько лет. Атомный взрыв в Хиросиме в августе 1945 года был услышан и в Советском Союзе. Ядерная асимметрия требовала ответа. Так считали не только политики, но и российские физики. Восстановление симметрии, создание советского ядерного оружия для физиков было не столько великодержавной претензией, сколько предотвращением новой войны. Летом 1948 года к разработке супер-бомбы подключили И.Е.Тамма и его сотрудников. Сахаров, только что за-

6

КВАНТ 2019/№7

впросак или работая впустую». «Нахальство» по-другому называется смелостью, а удача – награда за смелость и в науке. Но нет оснований не верить Сахарову: термоядерное изобретательство отняло слишком много его сил.

Изобретательный теоретик или практический политик?

Андрей Сахаров с дочкой, лето 1948 года (несимметрично нацеленный фотоаппарат) щитивший диссертацию по чистой науке, вернулся к физико-техническому изобретательству. Почти на два десятилетия. Он считал это дело необходимым, оно ему нравилось, и оно у него получалось. Через считанные недели у Сахарова родится идея «Слойки» – первой советской термоядерной бомбы. «Это лето памятно мне блеском воды, солнцем, свежей зеленью, скользящими по водохранилищу яхтами … Несмотря на летнее время, мы все работали очень напряженно. Тот мир, в который мы погрузились, был странно-фантастическим, разительно контрастировавшим с повседневной городской и семейной жизнью за пределами нашей рабочей комнаты, с обычной научной работой». Изобретательство совместимо с теоретической физикой. Знаменитый теоретик Энрико Ферми об изобретатении супербомбы сказал: «Превосходная физика!» Ведь термоядерный взрыв с его астрономическими температурами и давлениями дает теоретику возможность «проникнуть» внутрь звезды. Все это так. Но спустя сорок лет Сахаров с грустью писал в письме: «Пытаюсь изучать сделанное умными людьми в области квантовой теории поля … вещь крайне трудная, и я часто отчаиваюсь когда-нибудь выйти на должный уровень – упущено с 1948 года слишком многое, сплошные пробелы, и все последующие годы я только за счет удачи и «нахальства» мог что-то делать, часто попадая

Как ни увлекательно видеть в водородной бомбе искусственную звезду, к концу 50-х годов цель была достигнута, научно проблема исчерпалась. Настала очередь изощренной техники. Там тоже есть творческий простор, но не для физика-теоретика. А как быть теоретику, который знает, что изобрел самое могущественное оружие в истории и – по воле истории – стал очень влиятельным ученым в военно-научном комплексе страны? Ответственность за происходящее вокруг – родовое чувство российской интеллигенции – привело физика-теоретика в практическую политику. Свою политическую биографию Сахаров начал в области своей профессии: его заботили ядерные испытания в атмосфере – вредоносные для человечества и необязательные для поддержания ядерного баланса. Начинающему политику сопутствовал успех – в 1963 году международный договор запретил надземные испытания. Это утвердило Сахарова в важности своей новой роли. Вместе с тем, общение с высшими руководителями государства давало ему опытные знания о советском правительстве, недоступные другим. Сама проблема стратегического равновесия связана с общим потенциалом государства и общества. В середине 60-х годов развитие ядерноракетного оружия подвело к необычайно опасному повороту в гонке вооружения, хотя речь шла об обороне. Противоракетная оборона оказалась опаснее для мира, чем средства нападения. Этот неочевидный, но вполне вероятный вывод Сахаров, как один из высших военно-технических экспертов, попытался объяснить правительству 21 июля 1967 года. Он направил – секретной почтой – соответ-

8

КВАНТ 2019/№7

зали и экспериментально открыли еще в начале 30-х годов. Это была антикопия электрона – антиэлектрон, за которым закрепилось название «позитрон». Потом экспериментаторы нашли антикопии и других элементарных частиц. Асимметрия Вселенной, над которой Сахаров задумался в середине 60-х годов, состояла в том, что античастиц во Вселенной очень уж мало – по сравнению с частицами. И слава Богу за такую асимметрию – иначе каждый второй метеорит состоял бы из антивещества. А такой антиметеорит, даже если бы в нем был всего один грамм, соприкоснувшись с веществом Земли, произвел бы взрыв мощности атомной бомбы. Но эту волю Божью физики не понимали – самоочевидным казалось, что всякая частица и ее античастица созданы равными в своих правах. А значит, казалось бы, вещество и антивещество должны быть равно представлены во Вселенной. Астрофизики стали искать признаки антивещества в космосе. Писатели-фантасты устраивали драматические встречи земного космического корабля с неземным и – вполне возможно! – состоящим из антивещества. Сахаров, однако, со всей серьезностью отнесся к наблюдаемой асимметрии и приписал ее Вселенной в целом, а не просто космическому окружению Земли. Тогда надлежало понять, как симметрия микрочастиц может совмещаться с асимметрией Вселенной. К тому времени, впрочем, симметрия микромира стала уже не столь простой, как правое и левое крылья бабочки, зеркально симметричные (рис.4). В 1956 году произошло знаменательное событие – экспериментаторы обнаружили, что в мире элементарных частиц нет паритета (Parity) правого и левого, или P-симметрии. Это знамение те-

Рис. 4

Рис. 5

оретики поняли как указание на то, что бабочка микромира выглядит, скорее, так, как на рисунке 5. Иными словами, бабочка не изменится, если одновременно с перестановкой правого и левого поменять местами черный и белый цвета – частицы поменять местами с античастицами и, соответственно, каждый заряд (Charge) заменить на противоположный ему. Это CP-симметрия. Но и она оказалась не последним словом науки. В 1964 году экспериментаторы обнаружили первое не CP-симметричное явление. Что на это могли сказать теоретики? Например, то, что и в обыденной жизни нередко путают правое и левое и превращают белое в черное. Физики-теоретики умеют гораздо более хитрое – изменять направление времени на противоположное. Показывая фильм в обратном направлении, можно зубную пасту, выдавленную из тюбика, вернуть на экране вспять. В реальной жизни никто такого не видел, и физики называют такой процесс асимметричным во времени, или Тасимметричным. Что касается элементарных частиц, то физики долгое время считали, что в микромире все явления T- симметричны, как в бильярде: сняв на видео соударение шаров и пустив пленку в обратном направлении, ничего странного на экране не заметишь. После крушения P-симметрии физики стали всматриваться в другие симметрии. Им не нужна была кнопка обратной перемотки, чтобы задать вопрос о Т-симметрии в микромире, им хватало ручки и бумаги. В результате они установили самый общий закон симметрии микромира – CPT-закон. Чтобы превратить одно крыло CPT-бабочки в другое, надо поменять местами правое и левое, частицу и ее античастицу (черное и белое), прошлое и будущее (перевернуть время T) (рис.6).

9

СИММЕТРИИ В НЕСИММЕТРИЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ АНДРЕЯ САХАРОВА

краткость человеческой жизни по сравнению с возрастом Вселенной.

Рис. 6

И Сахаров придумал, как такой тройной симметрией микромира объяснить асимметрию Вселенной. Астрономы давно уже обнаружили, что Вселенная несимметрична во времени. Она расширяется – составляющие ее галактики удаляются друг от друга. Сегодня Вселенная шире, чем вчера. А поза-поза-поза…вчера? Запустим космологический фильм вспять. Расширение Вселенной теперь выглядит сжатием, галактики приближаются друг к другу, сливаются. При этом сближаются и сами элементарные частицы. Вселенная начинает чувствовать законы микромира. Именно в ту эпоху, называемую Большим взрывом, асимметрия Вселенной – по идее Сахарова – складывалась в процессах, бурлящих тогда в каждой микроточке космического пространства, T-асимметрия позволила породить наблюдаемую сейчас С-асимметрию – разное содержание частиц и античастиц. Помимо того крылышка вселенской бабочки, которое видно астрономам, физик-теоретик Сахаров увидел мысленно и другое крылышко, раскрывшееся до Большого взрыва (рис.7). Сама эта бабочка CPT-симметрична, но увидеть ее целиком не дает

Рис. 7

• • • Удивительно, как много может человек успеть за свою короткую жизнь: научиться писать правой и левой рукой одновременно, разглядеть симметрию асимметричного мира природы и сделать симметричнее мир человека. Примерно так я завершил рассказ об Андрее Сахарове для американских семиклассников. И не был уверен, что они поняли мой рассказ. Поэтому обрадовался, получив из школы пачку благодарственных писем. Одно из них доставило мне особое удовольствие. Автор по-американски сдержанно, но энергично поблагодарил меня за рассказ и выразил надежду, что моя будущая книга о Сахарове станет бестселлером. И подписался:

Не сразу я заметил, что он подписался иначе, чем Сахаров, хотя и зеркальносимметрично. Право-лево-рукий Сахаров писал двумя руками от центра к краям <= =>, а праворукий Вилли, имитируя двурукость, написал => <=. Замечательно, что и симметрии и люди бывают такими разными. И что многие загадки Вселенной ждут еще своих разгадок. Для тех, кто хочет ими заняться, Андрей Сахаров оставил совет:

Юбилей теоремы Райского

А.РОМАНОВ

50

ЛЕТ НАЗАД В ЖУРНАЛ «МАТЕМА- тические заметки» была подана статья школьника Дмитрия Райского [1] с существенным продвижением в проблеме, поставленной Хадвигером [2]. Дмитрий доказал такую теорему: При раскраске плоскости в три цвета (разбиении на три непересекающиеся множества) всегда можно выбрать цвет, в котором реализуются все расстояния, т.е. для любого положительного d найдутся две точки на расстоянии d, окрашенные в выбранный цвет. Теорема Райского является заметным усилением доказанной в 1961 году братьями Мозерами теоремы о том, что при раскраске плоскости в три цвета найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1. При подготовке статьи [1] к печати теорема была обобщена на N-мерное пространство и существенно отредактирована. В результате работа школьника оказалась трудночитаемой и недоступной для юных математиков. Здесь я постарался воспроизвести первоначальный вариант решения. Я благодарен Н.Н.Константинову, который в 1971 году рассказал мне доказательство теоремы Райского. Константинов помогал Дмитрию в подготовке статьи и без его участия публикация вряд ли была бы возможна.

Определенное таким образом произведение содержит не более чем $n_{◊} k$ различных векторов, так как суммы векторов для разных пар могут и $совпадать.^{Лемма} 1.$ Если мы рассмотрим повороты k-пучка на произвольный угол, то лишь для конечного числа углов поворота произведение фиксированного n-пучка и повернутого k-пучка будет содержать менее чем $n_{◊} k$ различных векторов. Действительно, выбрать два различных вектора a, b из n-пучка и два различных вектора c, d из k-пучка можно лишь конечным числом способов. Для каждой такой четверки векторов рассмотрим повороты k-пучка на угол D и сравним суммы векторов $a_{+} c_{D}$ и $b_{+} d_{D}$. Так как окружности пересекаются не более чем в двух точках, не более двух углов D могут дать равенство этих сумм, что и доказывает лемму $1.^{Лемма} 2.$ Если произведение n-пучка и k-пучка содержит n ◊ k различных векторов, то n ◊ k концов этих векторов образуют n фигур, полученных параллельным переносом k-точечника, и k фигур, полу-

Вспомогательные леммы

Пусть на плоскости задана фигура из n различных точек – n-точечник. Выберем одну из этих точек и назовем n-пучком набор векторов, выходящих из этой точки ко всем точкам n-точечника (один из векторов n-пучка – нуль-вектор). Определим произведение n-пучка и k-пучка как пучок векторов a + c, где вектор a берется из n-пучка, а c – из k-пучка.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190702

Рис. 1

ченных параллельным переносом n-точечника (рис.1).

Доказательство теоремы

Предположим, что утверждение неверно и существует раскраска плоскости в три цвета, для которой нельзя выбрать цвет, в котором реализуются все расстояния. Тогда для этой раскраски у каждого цвета есть

11

ЮБИЛЕЙ

ТЕОРЕМЫ

расстояние, которого не может быть между двумя точками это цвета. Рассмотрим 7-точечник, предложенный братьями Мозерами, который Райский назвал «зондом» (рис.2). Все нарисованные отрезки имеют длину 1. Простым перебором можно убедиться, что если из

РАЙСКОГО

любом зонде для цвета 1 из 7 точек не более двух цвета 1, в любом зонде для цвета 2 из 7 точек не более двух цвета 2, а в любом зонде для цвета 3 из 7 точек не более двух цвета 3. Тем самым, не более $2_{◊} 7^{2}$ точек может быть окрашено в каждый цвет, всего не более $6_{◊} 7^{2}$ точек из $7^{3}$ может быть окрашено. Доказательство завершено.

Многомерный случай

Рис. 2

этих семи точек выбрать любые три, то найдутся две выбранные точки, соединенные отрезком. Из этого сразу следует теорема Мозеров. У нас для каждого цвета будет свой 7-точечник-зонд, в котором вместо 1 будет отсутствующее в этом цвете расстояние. Выберем произвольную точку плоскости и все векторы пучков будем считать выходящими из этой точки. Пронумеруем цвета произвольно и рассмотрим зонд для цвета 1. В каждом из трех 7-точечников-зондов выберем одну из 7 точек, например $A_{4}$. Тогда для каждого зонда определен свой 7-пучок. По лемме 1 повернем 7-точечник-зонд для цвета 2 на такой угол, чтобы произведение 7-пучков 1 и 2 содержало $7^{2}$ различных векторов (было 49-пучком), а 7-точечник-зонд для цвета 3 повернем на такой угол, чтобы произведение 49-пучка и этого 7-пучка содержало $7^{3}$ различных векторов. По лемме 2, концы этих $7^{3}$ векторов – $7^{3}$ различных точек на плоскости – образуют 49 зондов для цвета 3, они же образуют 49 зондов для цвета 2 и 49 зондов для цвета 1. Для завершения доказательства достаточно заметить, что в

В статье Райского приведено доказательство теоремы для n-мерного пространства: Пусть множества $A_{1}, A_{2},^{…}, A_{n} +_{1}$ образуют покрытие n-мерного евклидова пространства $R^{n} (n >$ 1); тогда среди них найдется такое множество $A_{i}$, что для всякого d > 0 найдется пара точек из этого множества, расстояние между которыми равно d. Для доказательства теоремы в таком виде не требуется новых идей, кроме конструирования зонда в $R^{n}$ и доказательства леммы 1. Чтобы не жертвовать доступностью изложения, рассмотрим случай трехмерного пространства, для больших измерений трудности носят чисто технический характер. (Заметим, что в статье Райского доказательство существенно отредактировано, здесь я постарался воспроизвести первоначальный вариант.) Построим зонд для $R^{3}$. Веретеном Райский назвал 5-точечник из четырех вершин правильного тетраэдра со стороной d и еще одной точки b, симметричной одной из его вершин – вершине a – относительно грани (рис.3). Зондом он назвал 9-точечник, полученный из двух веретен, совмещенных вершинами a и повернутых так, чтобы расстояние между точками b этих веретен тоже было равно d (рис.4). Рис. 3

12

КВАНТ 2019/№7

Лемма 2 меняется незначительно. Произведение n-пучка и k-пучка содержит n ˜ k векторов с учетом кратности, и n ˜ k концов этих векторов образуют n фигур, полученных параллельным переносом k-точечника, и k фигур, полученных параллельным переносом n-точечника. Каждая точка произведения пучков встречается в этих фигурах столько раз, какова кратность точки. При таком подходе многомерный случай отличается от двумерного только конструкцией зонда.

Оценка сверху

Рис. 4

Очевидно, что такой поворот веретен существует. Доказательство леммы 1 нуждается в незначительной модернизации. Для заданного n-точечника выберем плоскость в $R^{3}$ так, чтобы проекция n-точечника на эту плоскость содержала n различных точек. Выберем исходное положение (поворот) k-точечника относительно этой плоскости, чтобы его проекция содержала k различных точек. На плоскости получились n- пучок и k-пучок, для которых справедлива лемма 1. Рассмотрим поворот исходного k- пучка вокруг прямой, перпендикулярной выбранной плоскости. Проекция на плоскость содержит $n_{◊} k$ различных векторов, что и доказывает лемму 1 для $R^{3}$. Остальная часть доказательства проводится без изменений.

До публикации статьи Райского была известна раскраска плоскости в 7 цветов, в которой любые две точки на расстоянии 1 раскрашены в разные цвета. Эта раскраска основана на разбиении плоскости на равные правильные шестиугольники. С.Б.Стечкин заметил (и с разрешения Райского вставил в статью), что плоскость можно разбить на 6 таких множеств, чтобы на каждом из них реализовались не все расстояния. Элемент конструкции состоит из 4 правильных шестиугольников и 8 правильных треугольников. Путем параллельных переносов этим элементом мостится вся плоскость, как показано на ри-

Оптимизация доказательства теоремы Райского

Предложенное доказательство не использует идей, отсутствующих в первоначальном варианте Райского. Оказывается, можно отказаться от рассмотрения поворотов, делающих точки не совпадающими (лемма 1). Вместо этого можно каждому вектору произведения n-пучка и k-пучка приписать кратность – количество вариантов выбора вектора из n-пучка и вектора из k-пучка, для которых суммы векторов совпадают.

Рис. 5

сунке 5. Все треугольники являются открытыми, а нижние и правые вершины шестиугольников не принадлежат этим фигурам. Если принять сторону треугольника за 1, то расстояние $d_{1} = 2$ не реализуется на множествах $A_{1},^{…}, A_{4}$ одинаково

(Продолжение см. на с. 23)

14

КВАН T 2019/№7

ную равномерно по всей длине. С какой силой взаимодействуют две из трех палочек? Концы одной палочки касаются края вазы и середины другой палочки. С.Татиков

Ф2575. Каковы показания одинаковых мультиметров в электрической цепи, изображенной на рисунке 3? Три прибора работают омметрами на диапазоне

Решения задач М2553 – М2557, Ф2561–Ф2564

M2553 *. Решение этой задачи см. в статье А.Заславского «Об одной ортоцентрической четверке».

M2554. Окружности: 1 и: 2 касаются друг друга внешним образом в точке C и касаются внутренним образом окружности: в точках A и B (рис.1). Прямая AB вторично пересекает окружность: 1 в точке D. Докажите, что ‘ BCD 90 o.

Рис. 3

2000 кОм, а три других измеряют напряжения. Внутренние сопротивления приборов в этих режимах измерений одинаковы и равны R = 1 МОм. ЭДС эквивалентной (для внешней цепи) батарейки в каждом омметре равна E = 2,2 В. С.Варламов

Ф2576. Из однородного резинового шнура сделали петлю с «хвостом», т.е. один из концов шнура накрепко привязали узлом к одной из его точек между концами (рис.4). Шнур взяли за две точки и растянули так,

Рис. 4

что петля превратилась в два вытянутых вдоль друг друга отрезка одинаковой длины и массы, а хвост целиком вытянулся вдоль той же линии, на которой расположены участки петли. При этом все небольшие участки шнура приобрели длину, которая во много раз больше длины этих же участков в недеформированном состоянии. При растяжении шнур подчиняется закону Гука. Если «щелкнуть» по узлу, то волны, пробегающие по шнуру, отразившись от мест крепления, возвращаются к узлу одновременно. Какую долю от всей массы резинового шнура составляет хвост? А. Шнуров

Рис. 1

Пусть O, O 1, O 2 – центры окружностей:,: 1,: 2 соответственно (рис. 2). Тогда точки O 1 и O 2 расположены на сторонах равнобедренного треугольника AOB. Треугольник AO 1 D также равнобедренный, поэтому ‘ ADO 1 ‘ ABO, откуда O 1 D P OB. Пусть прямая DC пересекает вторично: 2 в точке E. Так как C лежит на O 1 O 2, из равнобедренных треугольников DO 1 C и

Рис. 2

20

КВАН T 2019/№7

Об одной ортоцентрической четверке

А.ЗАСЛАВСКИЙ

Эта статья посвящена геометрической конструкции из задачи М2553 «Задачника «Кванта» (эта задача также предлагалась на XXII Кубке памяти А.Н.Колмогорова). В процессе изучения этой конструкции, а также совместной работы над ней вместе с И.Богдановым и П.Кожевниковым обнаружилось довольно много интересных геометрических сюжетов, о которых мы и хотим рассказать читателям. Но начнем с самой исходной задачи. Задача М2553*. Обозначим через I центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, через A 1, B 1 и C 1 – точки ее касания со сторонами BC, CA и AB соответственно, через K и L – центры окружностей, вписанных в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1 соответственно, через H – основание высоты,

Ниже для краткости будем называть две фигуры перпендикулярно подобными, если они подобны, одинаково ориентированы и углы между соответствующими отрезками фигур равны 90q. Иными словами, называем фигуры перпендикулярно подобными, если одну из другой можно получить поворотной гомотетией (т.е. последовательным выполнением поворота и гомотетии) с углом поворота 90q. Решение задачи. В случае AC = BC точки P, Q и C 1 совпадают, а треугольник KC 1 L – прямоугольный и равнобедренный, следовательно, утверждение задачи верно. Далее не умаляя общности считаем, что AC < BC. Из симметрии четырехугольника BA 1 IC 1 относительно ВI (рис.2) легко видеть, что

Рис. 2

Рис. 1

опущенной из точки C (рис.1). Биссектриса угла AHC пересекает прямую A 1 C 1 в точке P, а биссектриса угла BHC пересекает прямую B 1 C 1 в точке Q. Докажите, что Q – ортоцентр треугольника KLP. Условие задачи, очевидно, означает, что каждая из точек K, L, P, Q является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными. Такая четверка точек называется ортоцентрической.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190703

прямая C 1 A 1 (на которой также лежит P) перпендикулярна прямой BI (на которой также лежит L). Аналогично, перпендикулярны прямые C 1 QB 1 и AKI. Далее, поскольку C 1 K и C 1 L – биссектрисы прямых углов AC 1 I и BC 1 I, имеем PH P C 1 K A C 1 L P QH. Поэтому треугольники KIC 1 и QC 1 H перпендикулярно подобны. Также перпендикулярно подобны треугольники LIC 1 и C 1 PH, а значит, то же верно и для четырехугольников KILC 1 и QC 1 PH, откуда PQ и KL перпендикулярны как соответствующие диагонали перпендикулярно подобных четырехугольников. Теперь достаточно показать, что PK A QL. Пусть $X HP \cap AI$ и $Y HQ \cap$

22

КВАН T 2019/№7

uuuuur uuur водит HC 1 в C 1 I. Центр такой поворотной гомотетии – проекция вершины C 1 на гипотенузу IH прямоугольного треугольника IC 1 H. Таким образом, E совпадает с проекцией C 1 на IH.

Точка D

Так как PH A QH и PD A DQ, точка D лежит на окружности (PHQ) (рис.5).

Упражнения

5. Из полученных описаний точки D выведите, что прямые СD, IC 1 и KL пересекаются в одной точке. Указание. Эти прямые – общие касательные и линия центров окружностей. 6. Докажите другим способом, используя теорему Дезарга, что а) D лежит на AB, б) E лежит на IH. Указание. Можно применить теорему Дезарга к треугольникам а) KLC 1 и QPH, б) QYL и PXK.

Наконец, заметим еще один факт о точках P и Q: прямая PQ проходит через C. Доказать это можно, например следующим образом, используя гармонические четверки. Рассмотрим точки U и V пересечения CH с B 1 C 1 и A 1 C 1 соответственно (рис.6). Нетрудно доказать (например,

Рис. 5

Упражнение 4. Докажите, что E также лежит на окружности (PHQ).

Как мы знаем, треугольник PDQ – прямоугольный равнобедренный, D – середина дуги PQ, поэтому HD – биссектриса угла PHQ. Значит, прямая HD совпадает с AB, т.е. D лежит на AB. Отметим, что D также лежит на окружности ( KC 1 L ) с диаметром KL. Таким образом, D – точка, в которой окружность ( KLC 1 ) вторично пересекает AB. Известно (см., например, статью «Описанные четырехугольники и ломаные» в «Кванте» №1 за 2010 г., задача 3), что общая внутренняя касательная к окружностям, вписанным в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1, отличная от IC 1, проходит через C. Пусть эта касательная – CD c, где D c – точка на прямой AB. Тогда C 1 и D c лежат на окружности с диаметром KL, поскольку KD c A LD c (биссектрисы углов между прямыми CD c и AB) и, аналогично, KC 1 A LC 1 (биссектрисы углов между прямыми IC 1 и AB). Тогда D c совпадает с D.

Рис. 6

пользуясь теоремой Чевы для треугольника C 1 UV ), что прямые UP, VQ и C 1 H пересекаются в одной точке, следовательно, U, V, H и точка $PQ \cap CH$ образуют гармоническую четверку. Но прямые C 1 B 1, C 1 A 1, C 1 H и C 1 C также образуют гармоническую четверку, значит, точка пересечения $PQ \cap CH$ совпадает с C.

Упражнение 7. Докажите, что прямые AH и AD симметричны относительно AF. Указание. Используйте упражнение 5.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Многократная лемма Холла в задачах про мудрецов

М.ШЕВЦОВА

Введение

Задачи, связанные с кооперативными алгоритмами (проще говоря, задачи о мудрецах) традиционно считаются довольно трудными. Дело в том, что зачастую придумать соответствующую стратегию действий, гарантирующую мудрецам успех (например, при отгадывании цветов колпаков, которые на них надеты), весьма непросто; нет какихто общих соображений, позволяющих строить нужные стратегии. Конечно, есть стандартные идеи нумерации, кодирования и т.д., но как именно занумеровать, закодировать и передать тем самым нужную информацию, приходится каждый раз придумывать заново. В этой статье мы расскажем об интересном подходе к подобным задачам, при котором придумывать подобные стратегии действий не нужно. Это кажется невероятным, но есть способ доказать существование стратегии, не предъявляя ее явно! Те же идеи применимы к задачам о фокусниках: можно доказать возможность фокуса, не раскрывая способ его проведения! Как это можно сделать, мы узнаем, познакомившись с классическим комбинаторным результатом: леммой Холла.

Обычная и многократная леммы Холла

Начнем с формулировки классической леммы Холла. Представим себе, что вечером на танцы пришли юноши и девушки. Некоторые из юношей и девушек знакомы друг с другом. Как это часто бывает, каждый юноша хочет потанцевать только со знакомой

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190705

ему девушкой. Спрашивается, смогут ли все юноши пригласить на танец знакомых им девушек? Оказывается, что существует простое необходимое и достаточное условие, при выполнении которого каждому юноше найдется пара (хотя, возможно, какие-то девушки при этом останутся без пары). В этом и заключается суть леммы Холла. Теорема 1. Лемма Холла. Рассмотрим двудольный граф, где вершины первой доли – это юноши, а вершины второй доли – девушки. Соединим ребром юношу и девушку, если они знают друг друга. Предположим, что любые k юношей знают не меньше k девушек, для любого k от 1 до общего количества юношей. Тогда все юноши смогут пригласить на танец знакомых им девушек. Есть много разных способов доказать лемму Холла. Мы приведем классическое доказательство, которое еще называется методом чередующихся цепей. Другие доказательства можно найти в статье [1]. Доказательство. Предположим противное: пусть все юноши не смогут танцевать со знакомыми им девушками. Рассмотрим наибольшее количество танцующих пар, которое можно образовать. Далее рассмотрим юношу, не вошедшего в эти пары. Он начинает организовывать свое тайное общество. В первый день в этом обществе только он. Каждый следующий день каждый юноша, входящий в это общество, приглашает туда всех знакомых с ним девушек, а они приводят туда своих партнеров по танцу (если таковые есть).

Упражнения

1. Докажите, что рано или поздно в общество придет девушка, у которой не было пары. 2. Докажите, что в таком случае можно разбить юношей и девушек на пары так, чтобы количество пар увеличилось. 3. Выведите отсюда лемму Холла.

Суть леммы Холла заключается в установлении соответствий между двумя типами объектов (юноши и девушки) при выполнении некоторых условий связи между этими объектами. В комбинаторике существует не так уж много подобных утверждений, и лемма Холла – возможно, наиболее мощное из них. Чтобы потренироваться ее применять, попробуйте решить следующие задачи.

28

КВАН T 2019/№7

Упражнения

4. Каждый из двух равновеликих квадратов разбит на 100 равновеликих частей. Докажите, что можно сложить эти квадраты в стопку и проткнуть в 100 точках так, чтобы каждая из 100 частей каждого из квадратов была проткнута. 5. Из шахматной доски вырезали 7 клеток. Докажите, что на оставшиеся клетки можно поставить 8 не бьющих друг друга ладей. Указание. Рассмотрите двудольный граф, вершины которого – это строки (первая доля) и столбцы (вторая доля) данной таблицы.

На практике мы будем использовать лемму Холла в очень конкретной ситуации, соответствующей так называемому регулярному двудольному графу. Сформулируем отдельно соответствующее утверждение, которое и будет ключевым при решении задач с мудрецами. Теорема 2. Лемма Холла для регулярного графа. Предположим, что для некоторого l > 0 каждый юноша знает ровно l девушек и каждая девушка знает ровно l юношей. Тогда все юноши смогут пригласить на танец знакомых им девушек. В терминах графов это утверждение звучит так: если в двудольном графе степени всех вершин одинаковы, то вершинам из одной доли можно сопоставить ровно по одной смежной вершине из другой доли. Доказательство. Рассмотрим произвольных k юношей и докажем, что они знают не менее k девушек (в таком случае наше утверждение следует из леммы Холла). Предположим, что k юношей знают x девушек. Посчитаем количество ребер, исходящих из этих k юношей, и количество ребер, входящих в знакомых им x девушек. Ясно, что ребер, выходящих из юношей, не больше, чем ребер, входящих в девушек. Тогда kl d xl, откуда x t k, что и требовалось доказать.

Упражнение 6. В частном охранном предприятии работают n охранников. Ежедневно им нужно распределяться по n объектам. По прошествии k дней оказалось, что никто дважды на одном объекте не дежурил. Докажите, что можно составить расписание на оставшиеся n – k дней так, чтобы все охранники подежурили по одному разу на всех объектах.

В дальнейшем нам будут важны идеи, связанные с применением леммы Холла для решения задач про фокусников. Мы приве-

дем лишь одну задачу на эту тему, отсылая заинтересованного читателя к статье [2]. Задача 1 (Всероссийская олимпиада по математике, 2007). Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры черным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался? Ответ: 101. Решение. Перед тем, как переходить к решению, попробуем понять, как можно формализовать отгадывание фокусником начальной расстановки цифр. У нас есть множество начальных наборов из N цифр. Один из этих наборов пишет зритель – его и должен отгадать фокусник. Эти наборы составят первую долю в нашем двудольном графе. Сам фокусник при этом видит лишь часть этого набора с двумя закрытыми помощником цифрами. Эти наборы составят вершины второй доли двудольного графа. Это простое соображение, позволяющее ввести в нашу задачу двудольный граф, подсказывает оценку для числа N. Рассмотрим все вершины второй доли. Этих вершин в точности N 1 ˜ $10^{N} 2$. С другой стороны, вершин в первой доле ровно $10^{N}$. Ясно, что если вершин во второй доле меньше, чем в первой, то фокус не удастся. Действительно, в таком случае найдутся два стартовых набора из N цифр, которые после закрытия цифр дадут один и тот же набор, который увидит фокусник, поэтому угадать нужный набор он не сможет. Отсюда получаем ограничение на N:

N 1 ˜ $10^{N} 2 t 10^{N}$, откуда N t 101. Осталось привести алгоритм действий фокусника, чтобы он мог угадать закрытые цифры в последовательности длины $N_{0} 101$. Вот здесь мы и применим лемму Холла. Что нам нужно сделать? У нас есть вершины второй доли, которые видит фокусник, и вершины первой доли, которые загадал зритель. Нам нужно установить биекцию, т.е.

30

КВАН T 2019/№7

Теорема 4. Многократная лемма Холла в регулярном случае. Рассмотрим двудольный граф, где вершины первой доли – это юноши, а вершины второй доли – девушки. Соединим ребром юношу и девушку, если они знают друг друга. Предположим, что степени всех вершин, соответствующих юношам, одинаковы и равны m и степени всех вершин, соответствующих девушкам, также одинаковы и равны d. Докажите, что каждый юноша может станцевать с ª m º « ¬ d » ¼ знакомыми ему девушками, причем каждая девушка при этом будет танцевать не более одного раза.

Упражнение 7. Докажите эту теорему.

Мудрецы и многократная лемма Холла

Итак, мы выяснили, как доказывать возможность проведения фокусов с помощью леммы Холла: ключевым является соображение о возможности установления инъекции между множеством стартовых состояний, которые видит фокусник, и множеством конечных (загаданных зрителем) состояний, которые нужно отгадать. Инъекция – это такое соответствие, что разным стартовым состояниям сопоставлены разные конечные. Однако в задачах с мудрецами и кооперативными стратегиями ситуация более сложная. Во-первых, в подавляющем большинстве таких задач мудрецы могут (и должны) ошибаться, т.е. безошибочного отгадывания просто не существует. Во-вторых, возможность наличия ошибок делает неоднозначным процесс декодирования. Иначе говоря, конечная ситуация, которую можно получить из стартовой, не однозначна. Но у нас на такой случай как раз есть многократная лемма Холла! Ключевое соображение, позволяющее заставить многократную лемму Холла работать в задачах с мудрецами, заключается в следующем. Предположим, что мудрецам надели колпаки разных цветов и им нужно угадать цвет своего колпака, видя перед собой только колпаки других мудрецов. Занумеруем мудрецов и будем надевать на них колпаки всеми возможными способами. Вооружимся фотоаппаратом и начнем их фотографировать. Будем делать фотографию каждой ситуации сверху, чтобы были

видны все шапки, а затем передадим фотоаппарат каждому из мудрецов, чтобы он сам сделал фотографии всех остальных мудрецов, которых он видит со своего места. Рассмотрим двудольный граф, в котором вершины первой доли – это все фотографии, сделанные нами (по факту просто всевозможные начальные расположения колпаков на мудрецах), а вторая доля – это все фотографии, сделанные всеми мудрецами. Далее, соединим вершину v из второй доли с вершиной u из первой, если фотография v сделана одним из мудрецов в ситуации u. Что должны сделать мудрецы? Для каждой сделанной им фотографии мудрец должен постараться восстановить цвет своего колпака. Разумеется, в некоторых случаях мудрецы ошибутся. Нам нужно найти тех мудрецов, которые гарантированно ответят верно. Точнее говоря, следует равномерно распределить ответы всех мудрецов по фотографиям u, чтобы на каждую фотографию приходилось достаточное количество правильных ответов. Для этого воспользуемся многократной леммой Холла. Мудрецы, чьи точки зрения выбраны в соответствии с данной общей фотографией u, будут отвечать исходя из предположения, что они находятся в этой ситуации, а значит, правильно. Таким образом, если каждой фотографии u поставлено в соответствие хотя бы m фотографий $u_{1},......, u_{m}$, сделанных мудрецами, то в каждой ситуации правильно ответят хотя бы m мудрецов. Число m мы определим из параметров задачи. Посмотрим, как эта схема работает на практике. Задача 2 (Московская математическая олимпиада, 2010). Команда из n мудрецов участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а затем по свистку все мудрецы одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких ее участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наме-

31

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

тив план действий каждого ее члена, может гарантированно получить? Ответ: > n k @. Решение. Рассмотрим описанный выше граф, в котором вершины первой доли – это всевозможные начальные позиции команды мудрецов (т.е. всевозможные варианты надеть на них шапки k цветов), а вершины второй доли – это фотографии, сделанные каждым из мудрецов в каждой возможной стартовой ситуации. Ясно, что в первой доле $k^{n}$, а во второй $nk^{n} 1$ вершин. Каждая вершина из первой доли соединена с n вершинами из второй доли, так как такую рассадку может видеть каждый из n мудрецов. С другой стороны, каждая вершина из второй доли соединена с k вершинами из первой доли, так как у каждого мудреца есть k вариантов цвета своего шарфа. Теперь построим алгоритм действий для мудрецов, при котором они гарантированно наберут > n k @ очков. Для этого достаточно доказать, что можно сопоставить каждой вершине из первой доли > n k @ вершин из второй доли. Воспользуемся многократной леммой Холла в регулярном случае. Применим эту лемму, сопоставив каждой начальной расстановке u мудрецов из первой доли m > n k @ вершин из второй доли. Именно эти мудрецы ответят правильно при начальной расстановке u. Таким образом, мудрецы могут гарантированно набрать > n k @ очков. Осталось доказать, что больше > n k @ очков гарантировать нельзя. На самом деле это также объясняется возможностью применения леммы Холла: если бы можно было сопоставить каждой вершине первой доли больше > n k @ вершин из второй доли, то во второй доле нам просто не хватило бы вершин. Формально это можно доказать так. Предположим, что есть такая стратегия за мудрецов, которая гарантирует хотя бы > n k @ 1 очков. Заметим, что ответ каждого мудреца однозначно определяется цветом шапок у остальных мудрецов. Поставим в соответствие каждой фотографии из первой доли точки зрения мудрецов, которые в данной ситуации отвечают правильно. Если для каждой раскраски их больше > n k @, то

$nk^{n} 1 t k^{n} > n k$ @ 1! $k^{n} > n k$ @ $nk^{n} 1$ – противоречие. Таким образом, максималь-

КРУЖОК

ное количество очков, набранных мудрецами, равно > n k @.

Есть класс задач про мудрецов, где требуется найти наибольшую вероятность гарантированно угадать цвет своего колпака. Рассмотрим, например, следующие модификации предыдущей задачи.

Упражнения

8. В условиях предыдущей задачи будем считать, что n < k. С какой максимальной вероятностью хотя бы один из мудрецов угадает цвет своей шапки? 9. В этот раз мудрецы пишут предполагаемый цвет своего колпака r раз, при этом они не видят, что написали их соседи. Какую максимальную вероятность того, что хотя бы один из них угадает за эти r попыток, могут гарантировать мудрецы?

Задача 3 (Олимпиада имени Леонарда Эйлера, 2013). 99 мудрецов сели за круглый стол. Им известно, что пятидесяти из них надели колпаки одного из двух цветов, а сорока девяти остальным – другого (но заранее неизвестно, какого именно из двух цветов 50 колпаков, а какого – 49). Каждый из мудрецов видит цвета всех колпаков, кроме своего собственного. Все мудрецы должны одновременно написать (каждый на своей бумажке) цвет своего колпака. Смогут ли мудрецы заранее договориться отвечать так, чтобы не менее 74 из них дали верные ответы? Ответ: да. Решение. Понятно, что если мудрец видит 50 колпаков одного цвета, то у него колпак цвета, отличного от того, которого 50, т.е. он знает свой колпак. Значит, 49 мудрецов знают цвет своего колпака и ответят правильно. Оставшихся 50 мудрецов, которые видят 49 колпаков одного цвета и 49 другого, будем называть невезучими. Добьемся того, чтобы из невезучих мудрецов 25 каждый раз угадывали колпак правильно. Рассмотрим описанный выше граф, в котором вершины первой доли – это всевозможные позиции команды мудрецов, а вершины второй доли – это фотографии, сделанные каждым из невезучих мудрецов в каждой возможной стартовой ситуации. Каждая вершина из первой доли соединена с 50 из

(Продолжение см. на с. 34)

Почти во всех случаях, встречающихся в практической механике, работа, необходимая для воспроизведения движения, пропорциональна… энергии произведенного работою движения… Томас Юнг

…никакая машина не может извлечь из данного количества введенной в нее теплоты больше работы, чем машина, удовлетворяющая условиям обратимости… Уильям Томсон (Кельвин)

Трехфазный ток стал современным культурным фактором; благотворное влияние, которое оказывает электротехника на жизнь западных

народов, не замедлит обнаружиться и у нас на Руси. Михаил Доливо-Добровольский

Почти вся энергия Солнца пропадает в настоящее время бесполезно для человечества… Что странного в идее воспользоваться этой энергией?! Константин Циолковский

…непрерывное излучение энергии от <радио> активных тел… указывает на громадные запасы скрытой энергии, находящейся в самих радиоатомах. Эрнест Резерфорд

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+техника

Даже поверхностно брошенный на эпиграфы взгляд заметит ключевое понятие, указывающее на тему этого выпуска, – ЭНЕРГЕ- ТИКА. Действительно, как можно обойтись в нашей инженерной серии выпусков без обсуждения возможностей и вклада науки в получение, хранение, трансформацию, передачу и использование различных видов энергии? Физика, несомненно, сыграла в этом решающую роль, и каждый раздел школьного ее курса содержит энергетические вопросы. Важность их освоения подчеркивает такой прогноз: развитие экономики, необходимое для сохранения нынешнего уровня жизни до 2050 года, с учетом роста населения, потребует многократного увеличения глобального производства энергии, поиска новых, нетрадиционных способов ее получения. Это – серьезный вызов, формирующий целый ряд физико-технических проблем. Что ж, давайте энергично, не откладывая, возьмемся за их решение!

Вопросы и задачи

1. Скорость выходящей из гидротурбины воды меньше, чем входящей. С чем это связано? 2. Почему секциям батарей центрального отопления придают ребристую форму, а не круглую, как у обычных труб?

2. Отчего температура выхлопных газов на выходе из глушителя автомобиля в несколько раз ниже, чем в цилиндре двигателя? 4. Чем объяснить, что двигатели внутреннего сгорания имеют более высокий КПД, чем паровые машины? 5. На что расходуется энергия, потребляемая домашним холодильником? 6. К какому типу двигателей следует отнести огнестрельное оружие? 7. Что является нагревателем, рабочим телом и холодильником в ракетном двигателе? 8. Включенный в сеть электрический утюг непрерывно выделяет тепло. Почему его обмотка не перегорает? 9. В момент включения в сеть энергоемких приборов (электрочайника, электроутюга, электрокамина и т.д.) яркость горящих в квартире лампочек заметно падает, но вскоре восстанавливается. Как это объяснить? 10. Две электрические лампы накаливания мощностью 25 и 200 Вт включены в цепь последовательно. Какая из них будет гореть ярче при замыкании цепи? 11. Каким кипятильником можно вскипятить воду в кастрюле с меньшей затратой энергии: мощностью 600 Вт или 1 кВт? 12. Электропроводка внутри квартир покрыта слоем изоляции, а высоковольтные линии электропередачи – нет. Почему?

13. Почему необходимо преобразование напряжения трансформаторами в высоковольтное и обратно при передаче энергии на дальние расстояния? 14. Как изменится сила тока в первичной и вторичной цепях работающего трансформатора, если его железный сердечник разомкнуть? 15. Почему у электродвигателей часто перегорает обмотка, если внезапно остановить ротор? 16. В каком случае легче вращать ротор электрогенератора: когда внешняя цепь разомкнута или когда замкнута? 17. Верно ли утверждение, что в ветряных двигателях используется преобразованная солнечная энергия? 18. Почему в космосе КПД солнечных батарей выше, чем на земле? 19. В какой вид преобразуется максимальная доля высвобождающейся энергии при делении ядер урана?

Микроопыт

Наверняка вы не раз наблюдали за водопроводными насадками, с помощью которых орошают парковые лужайки, а возможно, и сами использовали их на дачных участках. В каких энергетических установках применяется такой же принцип действия?

Любопытно, что…

…стремление поставить на службу силы природы уже за тысячи лет до новой эры привело к постройке водяных и ветряных мельниц – прообразов современных турбин. …древнегреческий ученый и инженер Герон Александрийский изобрел и построил эолипил – первую действующую паровую машину. …открытие в 1643 году итальянцем Эванджелиста Торричелли атмосферного давления повлекло за собой изобретение воздушных насосов и пароатмосферных установок. В 1675 году голландец Христиан Гюйгенс продемонстрировал машину, работающую силой взрыва пороха, а сотрудничающий с ним француз Дени Папен в 1690 году первым использовал пар для поднятия поршня и описал замкнутый термодинамический цикл парового двигателя.

324х208

…питомцы парижской Политехнической школы Гаспар-Гюстав Кориолис и Жан-Виктор Понселе, стремясь применить теоретические методы к задачам прикладного характера, четко определили понятие работы, а также ввели оценку потерь энергии из-за наличия трения. …первый в мире электродвигатель был построен Майклом Фарадеем в 1821 году, а десятилетием позднее им же был открыт закон электромагнитной индукции, легший в основу современной электроэнергетики. …один из самых выдающихся изобретателей в области электротехники Никола Тесла, разработавший ряд конструкций электродвигателей, электрогенераторов и трансформаторов, прославился еще и постройкой Ниагарской гидроэлектростанции. …недавно японские инженеры пучком микроволнового излучения передали 2 киловатта мощности на 55 метров. Это очередной шаг к реализации геостационарной электростанции, когда на высоте 36 тысяч километров спутники «собирают» и транслируют на Землю солнечную энергию. …разработана методика напыления на любые гибкие материалы – ткани, пластик и даже туалетную бумагу – солнечных фотоэлементов, вырабатывающих заметное напряжение без утраты КПД. …студенту из Германии удалось создать «электромагнитный комбайн», улавливающий энергию буквально из воздуха, а именно – фоновых полей мобильной связи, сигналов Wi-Fi и других бытовых источников, затем заряжая ею батарейки определенного типа.

Что читать в «Кванте» об энергетике

(публикации последних лет)

1. «Великая и ужасная ядерная энергия» – 2015, №3, с.11; 2. «Термодинамика и мотоЦИКЛ» – 2017, №2, с.25; 3. «Трансформатор Тесла – что это такое» – 2017, №10, с.31; 4. «Почему ЛЭП гудят на частоте 100 Гц?» – 2018, №2, с.38; 5. «Что трансформирует трансформатор?» – 2018, №3, с.36; 6. «ИТЭР – земная звезда» – 2018, №8, с.2; 7. «ИТЭР – сегодня» – 2018, №10, с.2.

Материал подготовил А.Леонович

38

КВ АН T 2019/№7

сколько раз увеличится эта работа, если количество ежеминутно поступающей воды возрастет вдвое? Силой трения при движении воды по трубе пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$.

9 класс

1. Два отдаленных участка аэропорта A и B связаны движущимся тротуаром. Пассажир дважды перемещался по этому маршруту. В первый раз работала только дорожка из A в B, и пассажир затратил время $t_{1} | 4$ мин 50 с на замкнутый $маршрут^{A} o^{B} o^{A}$. Во втором случае обе дорожки не двигались, и пассажир на этот же маршрут затратил время $t_{2} | 6$ мин 40 с. Какое время потратил бы пассажир на $маршрут^{A} o^{B} o^{A}$, если бы обе дорожки двигались? Пассажир во всех случаях идет с одной и той же относительной скоростью. 2. Имеется несколько одинаковых медных кубиков и электроплитка. Первоначально все кубики имели комнатную температуру. Конфорка электроплитки была нагрета и находилась при постоянной температуре. Первый кубик длительное время нагревали на конфорке, а затем, сняв с нее, положили на второй, холодный кубик и измерили установившуюся температуру образовавшейся стопки – она оказалась равной $T_{1}$. Во втором опыте аналогично нагретый на плитке третий кубик положили на стопку из холодных кубиков 4 и 5 – установилась температура $T_{2}$. Какая установится температура, если теплый кубик 1 из первой стопки положить на холодный кубик 6? Потерей кубиками тепла во внешнюю среду пренебречь. 3. Перевернутый цилиндрический стакан закрыт легким подвижным поршнем. В дно

Рис. 2

стакана встроена длинная трубка $сечением^{S}$ (рис.2). Поршень удерживает некоторое количество жидкости. Его медленно перемещают вверх. График прикладываемой к поршню силы в зависимости от высоты его подъема приведен на рисунке 3. Определите по

Рис. 3

графику и приведенным данным плотность жидкости. Трение отсутствует. 4. Изолирующая кювета длиной L до высоты H заполнена проводящей жидкостью (рис.4). Сопротивление между левым и пра-

Рис. 4

вым краем объема жидкости R. Каким станет это сопротивление, если в кювету параллельно ее дну поместить выполненный из изолятора брусок длиной l и шириной, равной ширине кюветы? Расстояние между нижней гранью бруска и дном кюветы h, h < H. Жидкость не переливается через край и брусок не утопает в жидкости целиком, l ≫ H. 5. Стрела автомобильного крана длиной l опирается на шарнир и удерживается в наклонном положении тросом, прикрепленным к вертикальной стойке точно над шарниром на высоте h относительно него (рис.

39

ИНФОРМАЦИЯ

циентом P, P! tg D. К верхнему бруску прикреплена нить, переброшенная через блок, закрепленный на нижнем бруске (рис.6). При каком коэффициенте трения можно, натягивая нить с некоторым усилием вдоль склона, поднимать нижний брусок, оставляя верхний неподвижным?

11 класс

Рис. 5

5).Определите максимальный вес груза, который можно поднять с помощью такого крана при высоте верхнего конца стрелы относительно шарнира H, если трос выдерживает максимальное $усилие^{T.}$

1. Решите задачу 1 для 10 класса. 2. На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска длиной L и массой M (рис.7). На ее левый край положили маленький брусок массой m. Толчком доске сообщили

10 класс

1. Два поезда движутся с постоянными скоростями по встречным путям. Пассажир первого купе первого вагона первого поезда увидел стоящего на железнодорожной насыпи медведя на $t_{1} 4$ с раньше, чем пассажир первого купе последнего, пятого вагона этого же поезда. Пассажир первого купе первого вагона второго поезда увидел этого же медведя на $t_{2} 4$ с раньше пассажира первого купе последнего, шестого вагона этого же поезда. За какое время второй поезд пройдет перед глазами пассажира первого поезда? 2. Решите задачу 3 для 9 класса. 3. Через $время^{t} = 200 c$ после отправления голова поезда поравнялась с железнодорожным переездом, и за время $W_{1} 23,6 c$ поезд прошел мимо этого переезда целиком. Мимо следующего переезда, расположенного на расстоянии L = 2500 м от первого, он прошел за время $W_{2} 16,23$ с. С каким постоянным ускорением двигался поезд? 4. Решите задачу 5 для 9 класса. 5. На плоскости, наклоненной под углом D к горизонту, лежат два одинаковых бруска, удерживаемых силой трения с коэффи-

Рис. 6

Рис. 7

некоторую начальную скорость, и оба тела пришли в движение. При какой начальной скорости доски брусок приобретет наибольшую скорость? Коэффициент трения между бруском и доской P, а трение между доской и горизонтальной поверхностью отсутствует. 3. На гладком горизонтальном столе лежат шарик и подвижный трамплин, поверхность которого вначале горизонтальна, а в конце вертикальна (рис.8). Трамплин толчком приводят в движение навстречу шарику

Рис. 8

со скоростью v. На какое расстояние по горизонтали пролетит шарик после того, как подскочит на трамплине? Трения нет. Массы шарика и трамплина равны. Размером трамплина пренебречь. 4. Шприц закрыли со стороны иголки, вставили в него поршень; постепенно увеличивая усилие, вдвинули поршень до 1/2 длины шприца и, постепенно ослабляя усилие, его отпустили – в результате он остановился на расстоянии 3/4 длины шприца от его конца (рис.9). Определите усилие при

40

КВ АН T 2019/№7

Рис. 9

поршне, вдвинутом до длины шприца, если атмосферное давление $p_{0}$, а площадь сечения $поршня^{S.}$ Изменением температуры пренебречь.

5. На пружине висит гиря массой m. К находящейся в равновесии гире при помощи нити присоединили вторую гирю той же массы m и, не растягивая пружину, отпустили (рис.10). Какую минимальную силу натяжения должна выдерживать нить, чтобы она не порвалась?

Рис. 10

О Л ИМ П ИА ДЫ

Заключительный этап XLV Всероссийской олимпиады школьников по математике

9 класс

10 класс

Заключительный этап Всероссийской математической олимпиады школьников прошел в Пермском крае с 21 по 27 апреля 2019 года. Все участники олимпиады проживали в корпусах расположенного на живописном берегу Камы курорта Усть-Качка, а туры олимпиады проходили в находящемся неподалеку современном здании Кадетского корпуса. В экскурсионную программу олимпиады были включены поездки в Кунгурскую пещеру, осмотр достопримечательностей Перми. Интересной и насыщенной была научно-познавательная программа олимпиады: перед участниками выступали с лекциями представители ведущих университетов страны. В олимпиаде приняли участие 378 юных математиков из 65 регионов России. Кроме того, традиционными участниками олимпиады

11 класс

43

О Л ИМ П ИА ДЫ

Победители олимпиады

9 класс

Садовничий Антон – Москва, лицей «Вторая школа», Аникин Сергей – Москва, лицей «Вторая школа»;

10 класс

Андреев Аркадий – Казань, лицей 131, Захаров Георгий – Курган, гимназия 47, Писцов Георгий – Москва, школа 1329, Храмов Владислав – Казань, гимназия 7 имени Героя России А.В.Козина, Васильев Иван – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239,

Ефремов Андрей – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239;

11 класс

Ковалев Тимофей – Москва, СУНЦ МГУ, Львов Алексей – Новосибирск, гимназия 6 «Горностай», Кулишов Валерий – Москва, ГБОУ «Пятьдесят седьмая школа», Петров Владимир – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, Д.Белов, И.Богданов, А.Гайфуллин, М.Григорьев, П.Кожевников, О.Подлипский

Заключительный этап LIII Всероссийской олимпиады школьников по физике

Рис. 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс

Задача 1. Навигация Движущийся равномерно и прямолинейно корабль прошел точку A, находящуюся на расстоянии L = 5 км от пристани B (рис. 1). Через некоторое время W после этого от корабля и от пристани навстречу друг другу отправились два катера. Перерисуйте рисунок в бланк решений и построениями с помощью циркуля и линейки без делений определите точку, в которой находился корабль в момент встречи катеров, если известно, что: • катера двигались по прямой с одинаковыми скоростями, составляющими 3/8 от скорости корабля; • время движения катеров от их старта до встречи также равно W; • при встрече катеров корабль вновь оказался на расстоянии L от пристани. Опишите последовательность построений и найдите расстояние (в километрах), которое проходит катер за время W. Ветра и течения нет.

45

О Л ИМ П ИА ДЫ

2. угловое ускорение стержня d Z dt; 3) промежуток времени W; 4) угол поворота стержня к моменту времени W. С.Варламов

Задача 2. Поканальное движение Небольшие частицы с одинаковыми массами m и зарядами q и —q движутся без трения по пересекающимся под прямым углом узким прямым каналам, расположенным в

на молярная теплоемкость газа C. Найдите максимально возможный КПД цикла. Л.Колдунов, А.Жигар

Задача 4. Заряженная пластинка Тонкая плоская пластинка из диэлектрика в форме ромба со стороной a и острым углом $60^{o}$ заряжена однородно с поверхностной плотностью заряда V. Потенциал в вершине острого угла ромба равен $M_{1}$, в вершине тупого равен $M_{2}$ (рис. 7). Из такого же

Рис. 7

Рис. 5

горизонтальной плоскости (рис.5). При этом оказалось, что в процессе дальнейшего движения расстояние R между частицами остается неизменным. Найдите суммарную кинетическую энергию частиц. И.Воробьев

Задача 3. Архив лорда Кельвина В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, совершенного над фиксированым количеством одноатомного идеального газа (рис. 6). От времени чернила выцвели, и информация про направления некоторых процессов была утрачена. Также была утрачена и информация про то, что отложено по оси абсцисс. Известно лишь, что на оси абсцисс отложена одна из следующих величин: объем, давление, температура или плотность, а шкала выполнена в условных единицах. По оси ординат отложе-

Рис. 6

диэлектрика вырезают тонкую пластинку в форме равностороннего треугольника ABC со стороной 2a (рис. 8) и заряжают ее с такой

Рис. 8

же поверхностной плотностью заряда. Определите: 1) потенциал в точке C треугольной пластинки; 2) потенциал в точке D, лежащей на середине стороны треугольной пластинки. Теперь из треугольной пластинки ABC удаляют правильный треугольник со стороной a (рис. 9). Определите:

Рис. 9

48

КВ АН T 2019/№7

Победители олимпиады

9 класс

Дмитрий Сорокин – Москва, «Пятьдесят седьмая школа», Даниил Житов – Москва, Школа «Летово», Тихон Евтеев – Москва, школа 179, Антон Руденко – Москва, школа 1329, Кирилл Аржаных – Москва, Лицей «Вторая школа», Матвей Князев – Березники Пермского края, школа 3, Тимур Прядилин – Москва, Школа «Летово»;

10 класс

Татьяна Емельянова – Москва, ФМШ 2007, Иван Харичкин – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239, Сергей Савельев – Москва, школа 1568 имени Пабло Неруды, Александр Головастенко – Санкт-Петербург, Академический лицей «Физико-техническая школа», Алексей Кадыков – Республика Мордовия, Республиканский лицей для одаренных детей,

Никита Москалев – Кировская область, Кировский физико-математический лицей, Федор Оксаниченко – Санкт-Петербург, школа имени А.М.Горчакова, Антоний Белышев – Санкт-Петербург, Академический лицей «Физико-техническая школа», Константин Ведерников – Москва, Школа «Летово»;

11 класс

Григорий Бобков – Москва, школа 1589, Алексей Шишкин – Москва, школа 1589, Владимир Малиновский – Москва, школа 1589, Дмитрий Царёв – Москва, Лицей «Вторая школа», Никита Чуйкин – Череповец Вологодской области, школа 17, Юрий Бруякин – Москва, Школа «Воробьевы горы», Владислав Поляков – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239, Терентий Кузнецов – Новосибирск, СУНЦ НГУ.

Публикацию подготовил В.Слободянин

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ МА ТЕ РИА ЛЫ

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана

Ф ИЗИКА

Олимпиада-2019

Первый тур

Вариант 1

1. Из пункта А, находящегося на берегу реки, выезжает велосипедист и, двигаясь со скоростью v 5 м с вдоль реки, при- бывает в пункт В, находящийся ниже по течению, через 80 c (рис.1). Одновременно с велосипедистом с противоположного берега из точки С отплывает катер, который должен попасть в пункт В одновременно с велосипедистом. С какой минимальной скоростью (в км/ч) относительно воды должен плыть катер, если скорость течения реки $v_{0} 5$ км ч, а ширина реки b = 300 м?

50

КВ АН T 2019/№7

2. Муравей сидит в нижней точке внутренней поверхности тонкостенного обруча радиусом R = 0,5 м, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Определите радиус кривизны траектории муравья в тот момент, когда муравей окажется в верхней точке обруча. 3. Два однородных свинцовых стержня длиной L = 1,3 м каждый могут свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг общей горизонтальной оси, проходящей через края этих стержней. Стержни отклонили в разные стороны на 90q от вертикали и отпустили без начальной скорости. Определите, на сколько градусов нагреются стержни после столкновении, считая его абсолютно неупругим. Принять, что все тепло, выделившееся при столкновении стержней, идет на их нагревание. Сопротивление воздуха не учитывать. Удельная теплоемкость свинца с 130 Дж к㠘 град. Ускорение свободного падения принять равным g 10 м $с^{2}. 4.$ По наклонной плоскости, расположенной под углом 45q к горизонту, одновременно начинают скатываться без проскальзывания обруч и соскальзывать брусок. Найдите коэффициент трения между бруском и плоскостью, при котором оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга. 5. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находится моль гелия. На поршне лежит груз. При этом объем газа $V_{1} = 10$ л, а давление $p_{1} 4$ ˜ $10^{5}$ Па. В некоторый момент времени груз с поршня убрали. В результате газ под поршнем адиабатически изменил свой объем, а давление газа уменьшилось в два раза. Определите температуру газа после установления термодинамического равновесия. Силами трения при перемещении поршня в цилиндре пренебречь. 6. На гвозде, вбитом в стену, висит гибкий трос длиной 20 м так, что его концы находятся на одном уровне. В начальный момент трос покоится. В некоторый момент в результате небольшого толчка трос начинает скользить по гвоздю. Определите скорость троса в момент времени, когда отношение длин троса по разные стороны гвоздя будет равно 3:1. Ускорение свободного падения принять равным 10 м $с^{2}. 7.$ Бетонная однородная свая массой m и длиной L лежит на дне водоема. Привязав

трос к одному концу сваи, ее медленно поднимают в вертикальное положение, в котором свая, опираясь на дно, выступает над поверхностью воды на одну третью часть своей длины. Найдите работу, которую необходимо совершить при таком подъеме сваи. Плотность бетона в n = 4 раза больше плотности воды. Силами сопротивления и массой троса пренебречь. 8. Батарея конденсаторов, состоящая из четырех одинаковых металлических пластин, расположенных в воздухе на равных расстояниях d друг от друга, подключена к источнику постоянного тока с ЭДС, равной E, как показано на рисунке 5. Площадь

Рис. 5

каждой из пластин равна S. Пластина 1 соединена проводником с пластиной 3. Определите величину заряда, который пройдет через источник тока, если пространство между пластинами 2 и 3 заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью H 4. Расстояние d между пластинами мало по сравнению с их размерами. 9. Металлический шар радиусом $R_{1} = = 4$ см окружен концентрической проводящей оболочкой радиусом $R_{2} = 10$ см. Пространство между шаром и оболочкой заполнено однородным диэлектриком. Определите величину максимального напряжения, которое можно подвести к такому сферическому конденсатору, если пробой диэлектрика происходит при напряженности электрического поля в нем E 100 кВ см.

Второй тур

Вариант 1

1. Однородный стержень массой m и длиной L лежит на горизонтальной шероховатой поверхности. Ударом стержню сообщают скорость v, направленную вдоль его продольной оси. Определите максимальное расстояние, на которое сместится стержень, если известно, что для поворота стержня на той же плоскости вокруг одного из его кон-

51

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ

цов на угол D нужно совершить работу, равную А. 2. На шероховатую горизонтальную поверхность вертикально поставили гантель, состоящую из двух маленьких шариков массами $m_{1} 2 m$ и $m_{2} m$, соединенных невесомым жестким стержнем (рис.6). Гантель

Рис. 6

отпускают без начальной скорости, и она начинает падать. Определите величину коэффициента трения между гантелью и плоскостью, если нижний шарик начинает скользить по плоскости, когда угол наклона стержня с плоскостью достигнет D 75 q ( sin 75 q 0,97 ). 3. Моль одноатомного идеального газа из начального состояния 1 расширяется в процессе 1–2 (рис.7) с постоянной теплоемкос-

Рис. 7

тью, совершая в нем работу $A_{12} = 200$ Дж. Затем к газу подводится количество теплоты $Q_{23} = 200$ Дж в процессе 2–3, в котором давление газа прямо пропорционально его объему. Температуры в состояниях 1 и 3 одинаковые. Найдите количество теплоты, подведенное к газу в процессе 1–2. 4. В схеме, изображенной на рисунке 8, при разомкнутом ключе K конденсатор ем-

МА ТЕ РИА ЛЫ

Рис. 8

костью С = 10 мкФ заряжен до напряжения $U_{0} = 2 B.$ Индуктивность катушки L = = 0,1 Гн, ЭДС батареи E = 5 В, диод D – идеальный. Определите максимальный ток в цепи после замыкания ключа. Найдите напряжение, которое установится на конденсаторе после замыкания ключа. 5. На гладкой горизонтальной поверхности расположена треугольная призма массой 2m с углом D 30 q, соединенная невесомой недеформированной пружиной жесткостью k c бруском массой m (рис.9). Шар массой m

Рис. 9

падает вертикально вниз и ударяется в призму со скоростью v. Определите величину максимальной деформации пружины при дальнейшем движении тел. Силами трения пренебречь. 6. Какое максимальное число электроннопозитронных пар может образоваться при взаимодействии с веществом двух одинаковых гамма-квантов, на которые распалась движущаяся нейтральная релятивистская частица с массой покоя $m_{0}$, если угол между направлениями разлета гамма-квантов T 60 q? Считать, что вся энергия гаммаквантов идет на образование электроннопозитронных пар.

Вариант 2

1. На шероховатой поверхности стола лежит цепочка длиной L так, что один ее конец свешивается с края стола. Когда свешивающаяся часть цепочки составляет 1/4 часть ее полной длины, цепочка начинает соскальзывать. Найдите скорость цепочки

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

полученный граф через G ij. Этот граф может распасться на несколько компонент связности; обозначим через c ij их количество. Если c ij! 100, то в одной из компонент нет стабильных вершин; тогда можно изменить цвет каждой вершины в этой компоненте, заменив i на j и наоборот, и добиться требуемой альтернативной раскраски. Значит, c ij d 100 при всех i и j. Заметим, что каждая компонента связности, содержащая x вершин, содержит не менее x – 1 ребер; значит, если в G ij есть v ij вершин, то количество ребер в нем e ij не меньше чем v ij c ij, т.е.

e ij t v ij 100.

( * )

С другой стороны, нетрудно найти сумму V всех чисел v ij и сумму E всех чисел e ij. Действительно, в исходном графе 10000 вершин и каждая из них участвует в 6 графах вида G ij; поэтому V 6 ˜ 10000 60000. С другой стороны, в исходном $графе^{11} ˜^{10000} 2 55000$ ребер и каждое участвует ровно в одном графе G ij; поэтому E = 55000. Поскольку пар цветов всего $C_{7}^{2} 21$, неравенство ( * ) влечет $E t V^{21}$ ˜ 100, что не так для найденных значений. Значит, наше предположение неверно, и требуемая перекраска возможна. 5. Предположим противное: пусть прямоугольники имели размеры k u l, где l < k. Пусть $a_{i}$ – длина стороны квадрата у i-го ребенка. Тогда каждая сторона прямоугольника составлена из нескольких отрезков длиной $a_{i}$, т.е. $l b_{i} a_{i}$ и $k c_{i} a_{i}$, где $b_{i}$ и $c_{i}$ – натуральные числа. При этом у ребенка получилось $b_{i} c_{i}$ квадратиков. Заметим, что $1 k l c_{i} b_{i}$, т.е. число k l рационально. Пусть s t – его несократимая запись; тогда s > 1, и $c_{i}$ делится на s при всех i. Значит, и число квадратиков у i-го ребенка делится на s. Тогда общее число квадратиков Q также делится на s > 1, и притом Q > s (поскольку количество детей больше 1). Значит, Q – составное число; противоречие. 6. Продлим отрезок AM на его длину за точку M, получим точку N такую, что ADNT – параллелограмм. Поскольку ‘ ANT ‘ CAM, для решения задачи достаточно показать, что ‘ AKT ‘ ANT, или что точки A, T, N, K лежат на одной окружности (рис.3). Пусть ND пересекает AB в точке S; тогда DS P BC, и BSDC – равнобокая трапеция. Мы докажем, что точки K и N лежат на окружности Z, описанной около треугольника AST. Имеем ‘ ATN ‘ ADN 180 o ‘ SDA 180 o ‘ ASD, значит, N лежит на окружности Z. Из окружности, описанной около трапеции BSDC, имеем ‘ SKT ‘ $SBC^{180} o$ ‘ SAT, поэтому K ле-

Рис. 3

жит на окружности Z, что и требовалось доказать. 7. Обозначим юбилейную монету через Ю. Отложим две неюбилейные монеты A и B и разложим оставшиеся 14 монет по 7 на каждую чашу так, чтобы Ю попала на левую. Назовем монету левой или правой, если при взвешивании она попала на левую или правую чашу соответственно. Случай (=). Пусть чаши оказались в равновесии. В этом случае либо на каждой чаше по 3 тяжелых монеты (и тогда A и B обе тяжелые), либо по 4 (тогда A и B легкие). В любом случае обе отложенные монеты одинаковы. В этом случае возьмем с левой чаши Ю и еще одну монету C и сравним эту пару с парой A и B. Подслучай (=,=). Пусть снова получено равновесие. Тогда все 4 монеты A, B, C, Ю весят одинаково. Сравним их с любыми другими четырьмя левыми монетами. Если весы окажутся в равновесии, то все 8 монет во взвешивании – одного веса. Тогда среди левых монет было 6 монет такого веса; это невозможно. Значит. какая-то чаша перевесит, и мы узнаем, являлись A, B, C и Ю тяжелыми или легкими. Подслучай (=,<). Чаша, содержащая Ю во втором взвешивании, легче. Тогда на этой чаше не может быть двух тяжелых монет. Сравнив эти две монеты друг с другом, мы в случае неравенства сразу узнаем вес Ю, а в случае равенства сможем сделать вывод о том, что обе монеты на этой чаше – легкие. Подслучай (=,>), когда чаша с Ю тяжелее, аналогичен. Случай (<). Пусть левая чаша в первом взвешивании оказалась легче. Тогда среди левых монет не более трех тяжелых. Сравнив Ю с какой-нибудь левой монетой C, мы либо узнаем вес Ю (в случае неравенства), либо