Квант 2019, №9 · Страницы

3

ВЕТРУ И СОЛНЦУ НАВСТРЕЧУ

Таблица 1

i суммарная доля возобновляемых ресурсов (несмотря на рост доли ветра и солнца) пока снижается, главным образом из-за снижения выработки энергии из древесины и биомассы. На этом фоне планы отдельных стран по развитию возобновляемой энергетики, приведенные в таблице 2, выглядят очень

в 2020 году намечено достичь уровня генерации энергии от ВИЭ в 27%, к 2030 году также можно ожидать 35–40%. И даже Франция, где ядерная энергетика всегда была национальным приоритетом и ее доля в выработке энергии в недавнем прошлом достигала 75–78%, в последнее время намечает рост доли ВИЭ до 40% (к 2035 г.)

Таблица 2 амбициозно. Отдельно отметим ситуацию в Германии и Дании. Германия после аварии на АЭС в японской Фукусиме приняла решение полностью закрыть атомную генерацию у себя в стране и форсированно перейти к возобновляемым источникам энергии. В 2014 году суммарная доля ВИЭ в Германии составила уже 28% (ветер – 10%, солнце – 6%, гидро – 3%, био – 9%). В «крошечной» Дании, пионере освоения ветроэнергетики, достигли уровня ветрогенерации в 50% и не собираются на этом останавливаться. Что касается «тяжеловесов» по населению (Индия и Китай), то Индия предполагает выйти на 40% ВИЭ к 2030 году. Судя по тому, что в Китае уже и постепенное снижение атомной генерации до уровня 50% (к 2035 г.). С чем связано такое внимание к ВИЭ? Тут несколько составляющих. Во-первых – экологическая. При производстве электроэнергии с помощью возобновляемых источников энергии (ветер, солнце, гидро) отсутствуют вредные выбросы и, особенно, образование углекислого газа $( CO_{2} ),$ влияющего на климат и глобальное потепление. Во-вторых – ресурсная. Запасы невозобновляемых источников энергии на Земле ограничены. Ресурс же ветра и солнечной энергии весьма велик и поддерживается, пока светит наше небесное светило.

4

КВАНТ 2019/№9

Невозобновляемые источники энергии: ресурсы

На рисунке 1 показаны основные страны-производители и ожидаемые периоды максимума добычи этими странами нефти, газа и каменного угля. Видно, что в XXI

гетики существенно выше. Есть возможность использования как уранового, так и ториевого топлива, а также сжигание топлива в реакторах на быстрых нейтронах, что еще более расширяет ресурсную базу атомной генерации. По степени влияния

Рис. 1. Временно’е положение пиков добычи

столетии будет пройден пик добычи и должно произойти постепенное истощение запасов этих полезных ископаемых. Отметим, что пик добычи каменного угля в США, ЮАР и Китае уже миновал. Добыча нефти и газа будет снижаться уже в ближайшие десятилетия в большинстве стран, за исключением США и Канады. В сланцах (США) и битумных песках и глинах (Канада) довольно много нефти и газа, однако их извлечение вызывает серьезные экологические проблемы. В этом смысле ресурсы сырья для атомной энер- на окружающую среду из большой тройки невозобновляемых ресурсов (газ, нефть, уголь) газ является наиболее чистым, каменный уголь – наиболее грязным (выбросы электростанций на газе примерно в 2 раза меньше, чем на угле; при газовой генерации нет золы и сажи и т.д.). Газ чище, чем биотопливо. Наконец, есть еще одно важнейшее достоинство газовой генерации электроэнергии – возможность быстрой регулировки мощности, что важно при балансировке генерации энергии с ее потреблением.

5

ВЕТРУ И СОЛНЦУ НАВСТРЕЧУ

Возобновляемые источники энергии, особенности генерации

Мотором, приводящим в движение основные возобновляемые источники энергии, является излучение Солнца. Благодаря этому текут реки, дует ветер и растут растения. Энергию солнечного излучения, движения ветра, течения воды и биомассу естественно использовать для нужд человека (рис.2). Получать энергию можно также, используя тепловые процессы, происходящие в толще земной поверхности и

В раю Архимед, Паскаль и Ньютон играют в прятки. Архимед водит и начинает считать. Паскаль убегает за горизонт, а Ньютон оглядывается, берет палку, рисует вокруг себя квадрат со стороной один метр и становится внутрь квадрата. Архимед заканчивает считать, открывает глаза и видит Ньютона. – Я вижу Ньютона! – Э, нет! Ньютон на квадратный метр это Паскаль! Мы тоже, как и в этой шутливой притче, присмотримся сначала издалека и за-

Рис. 2. Основные виды возобновляемых источников энергии

океанах. Эти возобновляемые источники энергии на небольшом уровне использовались испокон веков, но сейчас на наших глазах происходит революция в их применении. Из возобновляемых источников энергии гидро и биомасса близки к насыщению, в то время как генерация с помощью ветра и солнца быстро растет. На них мы и посмотрим поближе. Навскидку – нет проблем. Известна такая притча:

тем поближе, какая мощность от возобновляемых источников приходится на квадратный метр. В роли Ньютона здесь выступит Джеймс Уатт. Удельная мощность излучения Солнца вблизи орбиты Земли составляет 1,4 кВт $м^{2}$ (солнечная постоянная). Если бы эту мощность можно было без потерь перевести в электроэнергию, то требуемые человечеству 20– 30 ТВт заняли бы площадь всего 1,5 2 ˜ $10^{10} м^{2} 15000 20000 км^{2}$. Не

7

ВЕТРУ И СОЛНЦУ НАВСТРЕЧУ

материалов (не говоря уже о редкоземельных элементах, требующихся для производства солнечных батарей) не является экологичным. Не случайно Германия выводит из страны стальную и алюминиевую отрасли промышленности в страны Юго- Восточной Азии и Восточной Европы, перемещая неэкологичные технологии в другие регионы мира. Но куда в таком случае перемещать, если все страны решат переходить на ветер и солнце? Временной баланс потребления и генерации. На рисунке 3 приведен характерный вид кривой потребления электроэнергии в течение суток. На нем можно выде-

Рис. 3. Временно’й характер потребления электроэнергии

лить утренний и вечерний пики потребления (6–9 ч и 18–21 ч соответственно) и некоторый спад в дневное и ночное время. Пик производства электроэнергии при использовании солнечной генерации, при-

ходящийся на дневное время, приведен на рисунке 4,а. Черная кривая соответствует безоблачному небу, цветные – вариантам облачности. Переменчивый характер вариантов ветряной генерации показан на рисунке 4,б. Сопоставление картин поступления и потребления электроэнергии показывает, что корреляции между ними нет и соблюсти баланс в каждый момент времени при прямом использовании только солнечной и ветряной генерации невозможно. Коэффициент использования мощности возобновляемых и невозобновляемых источников энергии. Переменный и даже непредсказуемый характер генерации энергии ветра и солнца приводит к тому, что соответствующие агрегаты используются неоптимально и коэффициент использования мощности снижается. На атомных электростанциях этот коэффициент достигает 95–98% (в среднем он выше 80%). Для ветроагрегатов он составляет приблизительно 17% в среднем по Европе, 15– 20% в Германии, 15% в Китае, 25% в США, где много территорий, на которых постоянно дуют сильные ветры. Для солнечных электростанций коэффициент использования мощности порядка 10% в Германии, 15% во Франции, 15–10% в США. Это означает, что установленная мощность генерации ветра и солнца, т.е. та, которую можно было бы получать при оптимальных условиях, существенно превышает мощность, которая фактически вырабатывается.

Что делать?

Рис. 4. Временно’й характер солнечной (а) и ветряной (б) генерации

Вернемся к таблице 2, в которой отражены планы резкого увеличения доли возобновляемых источников энергии, и попробуем нащупать пути выхода из проблем балансировки генерации и потребления электроэнергии при высоком уровне быстро меняющейся во времени доле ветряной и солнечной генерации. Из общих соображений отметим, что необходима своеобразная «основа», или «энергетическая подушка», т.е. «постоянный энергетический фон», на котором будет вырастать «надстройка» в виде перемен-

8

КВАНТ 2019/№9

ной ветряной и солнечной генерации. Затем нужны системы, которые могут быстро менять выдаваемую в электрическую сеть мощность, компенсируя скачки ветряной и солнечной генерации. Наконец, необходимы системы накопления излишков энергии с тем, чтобы в нужное время потратить их. На роль «постоянного энергетического фона» идеально подходит атомная энергетика. Ее лучшие показатели соответствуют постоянной мощности генерации, поэтому нынешнюю долю (5% в мировой энергетике) желательно не снижать, а наоборот наращивать. Подходят и энергия ГЭС, нынешний уровень которой (3%) также уменьшать нежелательно, и использование биомассы для производства электроэнергии. Таким образом, можно обеспечить «фон» на уровне минимум 20% мирового потребления электроэнергии (лучше – еще больше). Важной составляющей может стать газовая генерация. Она, с одной стороны, является наиболее чистой из нынешней «большой тройки» (газ, нефть, уголь). С другой стороны – запасы газа достаточно велики (в рамках XXI века). Наконец, газовые электростанции могут увеличивать постоянный «фон» производства электроэнергии и, что очень важно, позволяют легко и быстро менять выдаваемую в сеть мощность. Варианты на основе гидроаккумулирующих электростанций – ГАЭС – также важны при покрытии пиков и спадов мощности. Согласно принципу действия, ГАЭС закачивает воду в бассейн наверх, когда есть избыток мощности, и сбрасывает воду вниз, вырабатывая электроэнергию, когда мощности не хватает. Кроме того, использование биомассы для производства энергии тоже нельзя сбрасывать со счета. Ее можно использовать и для поддержания «фона», и для компенсации пиков потребления мощности. А что делать, если уровень ветряной и солнечной генерации станет очень большим? В этом случае понадобятся более радикальные решения. В литературе предложен такой комплекс мер:

i создать резерв мощностей невозобновляемых источников; i увеличить установленную мощность возобновляемых источников (запас по генерации ВИЭ); i перекачивать мощность из регионов, где она в избытке, в те регионы, где ее не хватает (сети передачи энергии); i аккумулировать избыточную энергию с целью ее использования во время недостаточной ветрои солнечной генерации (накопители). Кратко остановимся на этих мерах. Если энергосистема основана только на ветровой и солнечной генерации, то необходим резерв невозобновляемых источников той же мощности. Фактически это приводит к дублированию устройств генерации мощности, причем каждый из элементов используется неоптимально. Если существенно повысить установленную мощность ветрои солнечной генерации так, чтобы даже при слабом ветре и слабом освещении энергии было достаточно, то устройств генерации потребуется гораздо больше. Было подсчитано, что при доле ветра и солнца 60% этих устройств нужно вдвое больше, при 80% – в 6 раз больше и при 100% – в 10 раз больше(!). Это огромный расход ресурсов, опять же используемых неэффективно. Развитие магистральных систем передачи энергии в другие регионы требует радикального обновления сетей и увеличения их пропускной способности в 7 раз при доле ветра и солнца 60% и в 12 раз при 100%. Задача очень амбициозная. Использование накопителей или аккумуляторов энергии упрощает задачу балансировки производимой и потребляемой мощности и в принципе может позволить полностью обойтись без невозобновляемых источников энергии. Однако хранение избыточной энергии в больших масштабах сталкивается с нерешенными пока проблемами – емкостью накопителей, ресурсом, т.е. количеством циклов зарядка-разрядка, потерями при зарядке и разрядке. Кроме того, для изготовления накопителей нужно затратить довольно большое количество энергии. Так, в

9

КАРТОГРАФИЯ И КРИВИЗНА

Европе при использовании в качестве накопителей литий-ионных батарей и эффективности цикла зарядка/разрядка в 85% для производства этих батарей требуется энергия, в 15 раз (!) превышающая нынешнее годовое потребление энергии в Европе. В последнее время очень широко обсуждается переход к так называемой водородной энергетике. Само название намекает на новый способ производства энергии. Но фактически это один из вариантов накопителя (аккумулятора) энергии, в котором сначала получают водород из воды, затрачивая энергию, затем хранят ее (в баллонах или топливных ячейках) и, наконец, высвобождают по мере надобности (например, в автомобиле). Применительно к мировой энергетике с большой долей ветрои солнечной генерации этот способ оказывается не слишком эффективным. Действительно, КПД получения водорода из воды составляет 65–70%, а КПД получения электричества из водорода $\sim$ 50%. Таким образом, суммарный КПД составляет всего 30–35%,

т.е. большая часть энергии выбрасывается на ветер. В то же время использование водорода как вида топлива (в транспорте) в принципе может стать реальной заменой нефти, запасы которой весьма ограничены.

• • • В итоге развитию возобновляемых источников энергии сейчас придан большой импульс. Уровень затрат на ветрои солнечную генерацию превысил один триллион долларов (!). По мере роста доли ВИЭ появились проблемы и факторы, сдерживающие ее развитие: дублирование мощностей, управляемость, сети и потери в сетях, ресурс оборудования, медленное развитие накопителей, КПД накопителей, низкий коэффициент использования мощности. Ближайшие 10–20 лет покажут, насколько реальны планы и амбиции, как удастся решить проблемы и каким окажется на деле уровень ВИЭ в мире.

При подготовке статьи использовались данные А.Анпилогова, С.Безгина и Д.Станкевича.

Картография и кривизна

И.ТАЙМАНОВ

ЗАДАЧА О ПОСТРОЕНИИ НАИБОЛЕЕ точной или удобной для использования карты земной поверхности известна с давних времен. Отображение земной поверхности (или части ее) на плоскость называется картографической проекцией (картой) и сопоставляет точке поверхности точку на плоскости. Понятия долготы и широты ввел в начале II века нашей эры древнегреческий математик и географ Марин Тирский для

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190902

того, чтобы построить с их помощью карту, которая сохраняет масштаб длин вдоль экватора и всех меридианов. Эта прямоугольная карта строится очень просто: обозначим через O долготу, а через M широту; если точка с координатами $( O_{0}, M_{0} )$ отображается в точку ( 0,0 ), то точка с координатами ( O, M ) отображается в точку плоскости с координатами $x = O - O_{0}, y = M - M_{0}$. Такая проекция (рис.1) называется равнопромежуточной и до сих пор используется, например, в геоинформационных системах. При ней не сохраняются

10

КВАНТ 2019/№9

Рис. 1. Равнопромежуточная проекция

ни масштабы длин, ни углы, но сохраняются масштабы вдоль параллелей и меридианов, причем масштабы вдоль различных параллелей (линий постоянной широты M ) отличаются друг от друга, а масштабы вдоль всех меридианов (линий, вдоль которых долгота O постоянна) и экватора (параллели с y = 0) совпадают. Заметим, что у Марина Тирского «экватор» y = 0 проходил через остров Родос в Эгейском море и за его длину была принята величина $R_{e} ª 33300$ км, т.е. длина параллели, проходящей через Родос и лежащей на уровне $36\infty$ северной широты. Если в результате географических открытий экватор был зафиксирован однозначно, то до конца XIX века нулевые меридианы, от которых отсчитываются долготы, в разных странах были различными. Марин Тирский, а за ним Клавдий Птолемей и многие географы вплоть до XIX века использовали меридиан Ферро, проходящий через одноименный канарский остров, считавшийся самой западной точкой Старого света. Парижский меридиан проходил через центр Парижа, и до сих пор его метки можно найти на улицах. В России отсчет шел от Пулковского мериадиана, проходившего через Пулковскую обсерваторию под Санкт-Петербургом. В Испании же было несколько различных меридианов, и возникшая коллизия лежит в основе романа А.Переса-Реверте «Карта небесной сферы, или Тайный меридиан». Герои романа обладают картой, на которой указано место затонувшего корабля, но не знают, по отношению к какому

нулевому меридиану на карте указаны долготы. Чтобы избежать подобных ситуаций, в конце XIX века был принят единый нулевой меридиан – Гринвичский, проходящий через Гринвичскую обсерваторию под Лондоном. В середине XVI века Меркатор построил карту, которая сохраняет углы. Она до сих пор широко применяется. На ней горизонтальная $координата^{x}$ тоже пропорциональна долготе $M - M_{0}$. Равнопромежуточная карта Марина Тирского и карта Меркатора относятся к цилиндрическим, в которых параллели и меридианы переходят в прямые линии и всюду перпендикулярны друг другу. Известные из школьных учебников карты устроены сложнее и относятся к псевдоцилиндрическим. Они учитывают то, что в более точном приближении поверхность Земли является эллипсоидом, и хотя на них всегда указан масштаб, но он только указывает, насколько масштабируется размер эллипсоида перед применением к нему той или иной картографической проекции. В любом случае измерять длины линий на земной поверхности с помощью карт можно только приближенно, и при этом хорошей точности можно достичь только внутри малых областей, как показывают приведенные нами примеры. Строгий математический критерий того, что участок поверхности может быть отображен на плоскость так, чтобы сохранялись длины всех линий и площади всех областей, принадлежит Гауссу. Он состоит в том, что на поверхности гауссова кривизна K как функция от точки поверхности должна всюду обращаться в ноль. Это вытекает из более общего результата Гаусса о кривизне, который он назвал «Theorema Egregium», что переводится с латыни как «замечательная теорема». Заметим, что интерес Гаусса к этой задаче был вызван вопросом о построении достаточно точных карт, и он предложил

11

КАРТОГРАФИЯ

новую проекцию, полученную модификацией из проекции Меркатора с учетом того, что форма Земли приближается эллипсоидом. Эта проекция и отвечающие ей координаты Гаусса–Крюгера используются военными топографами. Гауссова кривизна вычисляется достаточно сложно, хотя ее можно сразу найти для поверхностей, которые получаются из листа бумаги свертыванием в цилиндр или конус или любой другой деформацией, при которой лист не рвется: поскольку они разворачиваются в плоский лист, их гауссова кривизна всюду равна нулю. Мы приведем для сферы радиуса R другое объяснение, почему любой сколь угодно малый ее участок не картографируется точно на плоскую область. На плоскости кратчайшая линия между любой парой различных точек является отрезком прямой, а точки, которые отстоят от заданной точки X на расстояние r, образуют окружность радиуса r с центром в точке X. Посмотрим, как устроены кратчайшие линии на сфере. Можно попытаться установить это экспериментально, закрепив один конец нитки в полюсе глобуса и, натягивая нитку вдоль его поверхности, рассмотреть всевозможные положения ее концов. Если длина нитки достаточно мала, то это будут в точности параллели, и при этом нитка будет проходить по меридиану. Математически это означает, что точки, отстоящие от полюса на расстояние r < S R, где R – радиус глобуса, образуют параллели – аналоги окружностей радиуса r, а кратчайшие линии – это участки меридианов, т.е. линий, которые получаются при пересечении сферического глобуса с плоскостью, проходящей через его центр и полюс. Мы можем вращать сферу вокруг ее центра так, что расстояния сохраняются, а любая заданная точка сферы перейдет в любую другую заданную точку. Поэтому с сохранением расстояний можно перевести любую точку в полюс и применить к ней предыдущее рассуждение. Линии – большие окружности, которые получаются при пересечении сферы с плоскостью, проходящей через ее центр, – называются геодезическими (на сфере).

И

КРИВИЗНА

Это общее понятие, обобщающее на произвольные метрические пространства понятие прямых с двумя важными отличиями, которые проявляются для некоторых пространств и, в частности, для сферы. Вопервых, участки геодезических линий имеют кратчайшую длину среди всех кривых, соединяющих их концы, но только в случае, когда концы достаточно близки друг к другу. Например, рассмотрим большую окружность на сфере: если угловая длина дуги отрезка геодезической не больше S, то он имеет кратчайшую длину среди всех линий, соединяющих его концы, а если больше S, то кратчайшим является другой, дополнительный к нему, участок большой окружности. Во-вторых, для некоторых пар точек кратчайший отрезок геодезической, соединяющий их, не является единственным: например, противоположные точки сферы связаны бесконечным числом кратчайших геодезических длины $S^{R}$. Мы приходим к следующему заключению: 1) кратчайшие линии на сфере радиуса R являются участками больших кругов (геодезических на сфере); 2) аналоги прямых на сфере – геодезические – являются замкнутыми линиями, окружностями; 3) $при^{r} < S^{R}$ «окружность радиуса» r с центром в точке P – это $параллель^{S} r$, которая получается при пересечении сферы с плоскостью, перпендикулярной оси, проходящей через точку Р и противоположную ей точку сферы (рис.2); при

Рис. 2. Окружность радиуса r на сфере

18

КВАН T 2019/№9

тивное: имеется алгоритм действий, позволяющий определить самую тяжелую монету за 2n – 2 взвешивания. Пронумеруем монеты числами 1, … ,n. Сделаем первые 2n – 3 взвешивания согласно алгоритму. Предположим, что в каждом из них перевешивала монета с бульшим номером. Согласно принципу Дирихле, среди монет с номерами 1, …, n - 1 найдется такая, которая за произведенные 2n – 3 взвешивания «проигрывала» (оказывалась более легкой) не более одного раза; обозначим номер этой монеты через k. Конечно же, монета с номером n ни разу не «проигрывала». Покажем, что такие результаты взвешиваний возможны. Действительно, такое могло произойти по крайней мере в следующих двух ситуациях. (А) Монеты упорядочены по возрастанию масс и все весы (в том числе испорченные) показывали правильные результаты во всех взвешиваниях. (Б) Монеты упорядочены по возрастанию масс, за исключением монеты номер k, которая самая тяжелая. При этом те весы, на которых монета номер k «проиграла» (если такое взвешивание было), испорчены и в этом взвешивании показали неверный результат, а в остальных взвешиваниях все весы показывали верные результаты. Рассмотрим два случая. 1. В последнем, ( 2 n - 2 ) -м взвешивании, не участвует монета с номером k. Предположим, что опять перевесила монета с бульшим номером. Тогда каждая из ситуаций (А) и (Б) по-прежнему возможна. 2. В последнем взвешивании участвует монета с номером k. Предположим, что она перевесила. Тогда, с одной стороны, возможно, что имеет место ситуация (А) и последнее взвешивание выполнялось на испорченных весах. С другой стороны, возможно, что имеет место ситуация (Б) и в последнем взвешивании весы показали правильный результат. Итак, каким бы ни было одно оставшееся взвешивание, его результат может быть таков, что после него каждая из ситуаций (А) и (Б) будет по-прежнему возможной. Тогда каждая из монет k и n может быть

самой тяжелой, т.е. нам не удалось определить самую тяжелую монету. б) Нам нужно лишь доказать, что даже если на чаши весов разрешается класть по несколько монет, то все равно самую тяжелую монету нельзя заведомо определить менее чем за 2n – 1 взвешивание. Положим $N = 2^{n} -^{1}$ ◊ n. Предположим, что массы монет равны N - 1, N - 2, N - 4, … $..., N - 2^{n} -^{1}$ (в некоторых единицах измерения) и нам откуда-то известно, что они именно такие. Докажем, что, даже обладая этой дополнительной информацией, мы не сможем заведомо определить самую тяжелую монету менее чем за 2n – 1 взвешивание. Так же, как и в пункте а), достаточно доказать, что мы не сможем ее определить ровно за 2n – 2 взвешивания. Покажем, что при указанных массах монет, если количества монет на чашах весов различны, то обязательно более тяжелым является содержимое чаши с бульшим числом монет. Действительно, пусть на одной чаше k монет, а на другой l монет и k > l. Тогда разность масс содержимых первой и второй чаш больше, чем

(

)

$k N - 2^{n} -^{1} - lN = ( k - l ) N - k$ ◊ $2^{n} -^{1} \ge$ t N - n ◊ $2^{n} -^{1} = 0$, значит, содержимое первой чаши весов тяжелее. Таким образом, всякое взвешивание с разным количеством монет на чашах бессмысленно: всегда можно считать, что перевесит чаша, на которой больше монет, и тогда мы не получим из этого взвешивания совсем никакой информации. Поэтому в дальнейшем мы можем считать, что в каждом взвешивании на чашах весов лежит по одинаковому количеству монет. Далее, покажем, что если в некотором взвешивании на чашах весов лежит по одинаковому количеству монет, то более легким является содержимое той чаши весов, на которой находится самая легкая из участвующих во взвешивании монет. Действительно, пусть на одной чаше весов лежат монеты с массами $N - 2^{i} 1$, … $..., N - 2^{i} k$, а на другой – с массами $N - 2^{j} 1$, …, $N - 2^{j} k$, где $i_{1} >$ … $> i_{k}$ и $j_{1} >$ … $> j_{k}$, причем $i_{1} > j_{1}$, т.е. самая легкая из участвующих во взвешивании монет

19

ЗАДАЧНИК

на первой чаше. Тогда

$( N - 2 ) +^{…} + ( N - 2 )$ £

i k

i 1

$i_{1} - 1$

£ $kN - 2^{i} 1 < kN - Â 2^{s}$ £ s = 0

(

£ N - 2 j 1

$) +^{…} + ( N - 2 )$.

j k

Теперь покажем, как модифицировать решение из пункта а) в рассматриваемой ситуации. Предположим, что имеется алгоритм действий, позволяющий определить самую тяжелую монету за 2n – 2 взвешивания. Пронумеруем монеты числами 1, …, n. Сделаем первые 2n – 3 взвешивания согласно алгоритму. Для каждого из этих взвешиваний назовем главной монетой для этого взвешивания монету с самым маленьким номером из всех, участвующих в этом взвешивании. Согласно принципу Дирихле, среди монет с номерами 1, …, n – 1 найдется такая, которая за произведенные 2n – 3 взвешиваний была главной не более одного раза; обозначим номер этой монеты через k. Конечно же, монета с номером n ни разу не могла быть главной. Предположим, что в каждом из произведенных взвешиваний «проигрывала» (оказывалась более легкой) чаша, на которой лежит главная монета этого взвешивания. Покажем, что указанные результаты взвешиваний возможны. Действительно, такое могло произойти по крайней мере в следующих двух ситуациях. (А) Монеты упорядочены по возрастанию масс и все весы (в том числе, испорченные) показывали правильные результаты во всех взвешиваниях. (Б) Монеты упорядочены по возрастанию масс, за исключением монеты номер k, которая самая тяжелая. При этом те весы, на которых производилось взвешивание, в котором k была главной (если такое взвешивание было), испорчены, а в остальных взвешиваниях все весы показывали верные результаты. Рассмотрим два случая. 1. В последнем, ( 2 n - 2 ) -м взвешивании, главной является не монета с номером k. Предположим, что опять «проиграла» чаша, на которой лежит главная монета.

«КВАНТА»

Тогда каждая из ситуаций (А) и (Б) попрежнему возможна. 2. В последнем взвешивании главной является монета с номером k. Рассмотрим все остальные участвующие в этом взвешивании монеты. Пусть монета номер l — монета с самым маленьким номером из них. Предположим, что «проиграла» чаша, на которой лежит монета l. Тогда, с одной стороны, возможно, что имеет место ситуация (А) и последнее взвешивание выполнялось на испорченных весах. С другой стороны, возможно, что имеет место ситуация (Б) и в последнем взвешивании весы показали правильный результат. Итак, каким бы ни было одно оставшееся взвешивание, его результат может быть таков, что после него каждая из ситуаций (А) и (Б) будет по-прежнему возможной. Тогда каждая из монет k и n может быть самой тяжелой, т.е. нам не удалось определить самую тяжелую монету. А.Гайфуллин, М.Дидин

$Ф2569.^{1}$ На плоской вертикальной стене висят часы, у которых секундная стрелка движется плавно (без скачков) в вертикальной плоскости. Длина стрелки R = 10 см, ось вращения стрелок часов горизонтальна и находится на высоте h = 2 м над полом. На кончике секундной стрелки сидит муха и относительно стрелки не движется, а по горизонтальному полу вдоль стены с часами на расстоянии L = 10 см от нее бежит таракан с постоянной скоростью v = 10 см с. В некоторый момент таракан находится ближе всего к часам. Какой по величине в этот момент может быть скорость таракана в системе отсчета мухи, где она и секундная стрелка часов покоятся, а весь мир вращается вокруг оси часов? Какой по величине в этот момент может быть скорость мухи в системе отсчета таракана, где его туловище покоится, ножки шевелятся и мимо него весь мир движется?

1 Автор решений задач Ф2569-Ф2572 – С.Вар-

ламов.

20

КВАН T 2019/№9

В системе отсчета, где туловище таракана неподвижно, а ножки шевелятся, скорость мухи будет складываться из относительной скорости по отношению к прежней системе отсчета, равной 2 S R 60 c ª 1 см с, и переносной скорости, равной по величине скорости таракана v, но направленной в противоположную сторону. Поэтому скорость мухи относительно таракана может находиться в диапазоне от $v_{min} ª 9$ см с до $v_{max} ª 11$ см с. Точнее, от v - 2 S R 60 c до v + 2 S R 60 c. Скорость таракана в системе отсчета мухи может быть либо 2 S h 60 c - v ª 10,9 см с, либо 2 S h 60 c + v ª 30,9 см с. Величина скорости зависит от того, в какую сторону по отношению к стене бежит таракан. А от расстояния L ответы не зависят вовсе.

Ф2570. Между двумя домами с плоскими крышами, которые располагаются на одной высоте над землей, расстояние 3 метра. Вася принес на одну из крыш две легкие и прочные доски одинаковой ширины и толщины, каждая из которых имеет длину 2 метра. Связав веревками эти доски так, как показано на рисунке, Вася соединил крыши домов мостиком. Доски своими свободными концами опираются о края крыш, «заходя» на каждую крышу на 2,5 см. А каждый из привязанных к другой доске концов охвачен веревкой, образующей «одинарное» кольцо. Масса Васи 60 кг. При какой минимальной прочности веревок на разрыв Вася может, не боясь упасть и не торопясь, переходить с одной крыши на другую?

Поскольку считается, что доски легкие, учитывать в нагрузке мостика нужно только массу Васи. В каком бы месте на мостике ни находился Вася, сила натяжения веревок не должна превышать величины, при которой веревка рвется. Следовательно, нужно найти такое положение Васи

на мостике, при котором веревка одного из колец натянута наиболее сильно. Легко догадаться, что веревочное кольцо, изображенное на рисунке справа, вообще не напряжено, так как верхняя доска при нагрузке сверху непосредственно упирается в нижнюю доску. Иными словами, сила натяжения веревки этого кольца не влияет на безопасность перехода с крыши на крышу и эту веревку можно просто не учитывать. А веревка, изображенная на рисунке слева, будет натянута, причем сила ее натяжения зависит от положения Васи на мостике. Пренебрегая разницей длин 0,95 м и 1,05 м, будем считать, что эти отрезки имеют одинаковые длины. Когда Вася находится на верхней доске, сила натяжения веревки растет по мере его удаления от левого конца мостика вплоть до крайнего правого конца верхней доски. В этот момент суммарная сила натяжения вертикальных участков веревки с одной и другой стороны от досок должна быть равна 2 Mg 3, где М = 60 кг – масса Васи. При дальнейшем перемещении к правому концу мостика по нижней доске сила натяжения веревочного кольца слева становится все меньше. Таким образом, веревка должна выдерживать силу натяжения F = Mg 3 = 200 H.

Ф2571. Сплошной стальной шарик радиусом R = 5 см привязан тонкой прочной и нерастяжимой нитью к дну сосуда. В сосуд налили столько ртути, что шарик не касается дна, а нить натянута с силой F = 13,6 Н. В этот же сосуд дополнительно наливают столько воды, что весь шарик оказывается ниже ее верхнего уровня. Какой теперь стала сила натяжения нити? Плотность ртути $U_{рт} = 13,6$ г $см^{3}$, плотность стали $U_{cт} = 7,8$ г $см^{3}$, плотность воды $U_{в} = 1,0$ г $см^{3}$. Считайте, что g = 10 м $с^{2}$.

Сумма сил, действующих на покоящийся предмет, погруженный в одну или две жидкости, равна нулю. А силы эти – сила тяжести, направленная вниз, Архимедова сила, т.е. выталкивающая сила со стороны одной или двух жидкостей, направленная

36

К В АН T 2019/№9

воздуха воды гелия кислорода лития неона углекислого газа

29 ˜ $10^{3}$ кг моль 18 ˜ $10^{3}$ кг моль 4 ˜ $10^{3}$ кг моль 32 ˜ $10^{3}$ кг моль 6 ˜ $10^{3}$ кг моль 20 ˜ $10^{3}$ кг моль 44 ˜ $10^{3}$ кг моль

пульса первого тела $p_{1} 8$ к㠘 м с, второго тела $p_{2} 6$ к㠘 м с. Каков модуль импульса системы этих тел после их абсолютно неупругого удара? 4. Мальчик взвесил рыбу на самодельных весах из легкой удочки (рис.4). В качестве

ЧАСТЬ 1

Ответами к заданиям 1–24 являются слово, число или последовательность цифр или чисел. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерения физических величин писать не нужно. 1. На рисунке 1 представлен график зависимости скорости v прямолинейно движуще-

Рис. 1

гося тела от времени t. Определите по графику путь, пройденный телом в интервале времени от 0 до 3 с после начала движения. 2. На рисунке 2 представлен график зависимости модуля силы упругости F от удлинения пружины x. Какова жесткость пружины? 3. Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке 3. Модуль им-

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

гири он использовал батон хлеба массой 1 кг. Определите массу рыбы. 5. Ученик помещал цилиндр объемом $V 10 см^{3}$, не удерживая его, в различные жидкости, плотности которых представлены в таблице, и измерял объем погруженной в жидкость части цилиндра $V_{погр}$. По результатам измерений была получена зависимость объема погруженной части цилиндра $V_{погр}$ от плотности жидкости U (рис.5). Выберите два верных утверждения, согласующихся с данными, представленными на рисунке и в таблице.

Рис. 5

40

К В АН T 2019/№9

ния силы равна цене деления динамометра. Динамометр проградуирован в ньютонах. В бланк ответов № 1 перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.

Рис. 16

23. Ученику нужно обнаружить зависимость периода свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре от емкости конденсатора. Какие два колебательных контура (рис.17)

Рис. 17

он должен выбрать для проведения такого исследования? Запишите в ответе номера выбранных колебательных контуров.

24. Рассмотрите таблицу, содержащую сведения о ярких звездах. Выберите два верных утверждения, которые соответствуют характеристикам звезд. 1) Звезда Ригель является сверхгигантом. 2) Звезда Альдебаран является красным гигантом. 3) Так как звезды Антарес А и ан-Ният имеют примерно одинаковые массы, они относятся к одному спектральному классу. 4) Температура поверхности звезды Бетельгейзе выше, чем температура поверхности Солнца. 5) Так как звезды Ригель и Бетельгейзе относятся к одному созвездию, они находятся на одинаковом расстоянии от Земли.

ЧАСТЬ 2

Ответом к заданиям 25–27 является число. Это число запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕ- ТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерения физических величин писать не нужно. 25. Какой путь пройдет тело за 2 с, двигаясь по прямой в одном направлении, если его скорость за это время уменьшается в 3 раза? Модуль ускорения тела равен 5 м $с^{2}. 26.$ При изохорном нагревании идеального газа на 300 К его давление удвоилось. Какова была первоначальная абсолютная температура газа?

42

К В АН T 2019/№9

тельное время находится в положении 1. За длительное время после перевода ключа в положение 2 изменение заряда на правой обкладке конденсатора ’ q 0,55 мкКл. Найдите ЭДС источника E. 32. На плоскую цинковую пластинку $( A_{вых} = = 3,75$ эВ) падает электромагнитное излучение с длиной волны 0,3 мкм. Какова напряженность задерживающего однородного электрического поля, вектор напряженности ко-

торого перпендикулярен пластинке, если фотоэлектрон может удалиться от поверхности пластинки на максимальное расстояние d = 2,5 мм?

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания. Публикацию подготовили М.Демидова, А.Черноуцан

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

ФИЗИКА

Профильный экзамен

В 2019 году профильный экзамен (дополнительное вступительное испытание) по физике в МГУ и его Севастопольском филиале проводился в письменной форме. Типовое задание для абитуриента охватывало все основные разделы программы по физике для поступающих в МГУ: 1) механику, 2) молекулярную физику и термодинамику, 3) электродинамику и 4) оптику. По каждому разделу программы абитуриенту предлагались краткий вопрос по теории и дополняющая его задача. На выполнение всего задания отводилось четыре астрономических часа. Ниже приводятся примеры заданий профильного экзамена 2019 года.

МЕХАНИКА

1. Запишите формулы для зависимости от времени координаты и скорости точки, совершающей прямолинейное равнопеременное движение. Задача. Два одинаковых груза массой M = 1 кг каждый соединены между собой легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок, причем правый груз находится выше левого (рис.1). На правый груз осторожно положили перегрузок в виде диска с прорезью, выступающего за края груза, после чего система грузов пришла в движение. Переместившись вниз на некоторое расстояние, правый груз встре- тил ограничитель в виде горизонтально закрепленного кольца, сквозь которое груз прошел беспрепятственно, а перегрузок был удержан кольцом. На какую величину ’ T изменится сила натяжения нити после прохождения правым грузом кольца ограничителя, если масса перегрузка m = 250 г? Ускорение свободного падения примите равным Рис. 1 g 10 м $с^{2}. 2.$ Сформулируйте закон сохранения механической энергии системы материальных точек. Поясните смысл входящих в этот закон величин. Задача. На краю стола лежит шайба 1 радиуса R = 10 см, такая же шайба 2 находится на расстоянии s = 15 см от первой шайбы (рис.2). Какую минимальную ско-

Рис. 2

рость $v_{0}$ надо ударом сообщить второй шайбе в направлении первой, чтобы та упала со стола? Коэффициент трения шайб о поверхность стола P = 0,2. Соударение шайб счи-