Квант 2019, №11 · Страницы

4

КВАНТ 2019/№11

запустил ряд автоматических лунных станций («Луна-16» в 1970 г. и последняя «Луна-24» в 1976 г.), которые также выполнили исследования на Луне и доставили на Землю лунный грунт (рис.2).

ными возмущениями поверхности Луны (включая падение метеоритов). Сигналы, возбужденные на поверхности, распространяются в глубь Луны, там они рассеиваются и отражаются на внутренней структуре. С помощью линейки сейсмических приемников, установленной на лунной поверхности, рассеянные внутренней структурой акустические сигналы регистрировались и затем передавались по радиоканалу связи на Землю. Стоит заметить, что хотя сейсмические и другие эксперименты на Луне были прекращены в 1977 году, полученные данные от лунных сейсмических датчиков были заново обработаны в 2010 году с применением современных вычислительных средств. Интересно, что эта обработка показала новый вид лунного ядра: твердое ядро, окруженное жидким внешним ядром, в свою очередь, окруженным слоем частично расплавленной магмы (рис.3).

Рис. 2. Лунная станция «Луна-16» совершает посадку

Автоматические станции «Луна» доставляли на Землю керны лунного реголита, полученные в результате бурения на глубину более 2-х метров. Чтобы обеспечить такое бурение и получить неразрушенные керны, дополнительно использовалось ультразвуковое возмущение бура. Такая ультразвуковая технология лунного бурения позволила получить качественные образцы кернов, показавшие структуру лунного реголита. Анализ результатов этих полетов впервые дал убедительное доказательство наличия на Луне воды. Значительно позже, в 1990-х годах, американцы смогли получить аналогичные результаты. В структуре лунного грунта была обнаружена вода! В ходе исследований по программе «Аполлон» измерялись различные физические поля на поверхности Луны, но достаточно детальную картину внутренней структуры Луны удалось получить именно акустическим методом. Акустические сигналы могли возбуждаться при старте возвращающейся ракеты либо естествен-

Рис. 3. Внутренняя структура Луны

Полученный опыт сейсмических исследований на Луне успешно применятся при исследовании астероидов. Автоматическая стация устанавливает на поверхности астероида сейсмоприемники, которые регистрируют искусственные или естественные возмущения и их отражения от внутренней структуры.

5

ЗВУК В КОСМОСЕ. ВОЗМОЖНО ЛИ ЭТО?

Звук на Солнце

Солнце – это достаточно плотная ионизированная газовая структура. Мы не можем сомневаться в существовании звука на Солнце. Конечно, интенсивные вихри горячего газа в его верхних слоях и турбулентность создают страшный рев в широкой полосе частот. Однако на Земле мы этот рев не слышим, поскольку между Землей и Солнцем имеется 150 миллионов километров вакуума, который не пропускает звук. В верхних слоях солнечной атмосферы температура газа ниже, чем в более глубоких слоях. По опыту исследования распространения звука в стратифицированной среде можно ожидать, что звук будет концентрироваться в области с минимальной скоростью своего распространения, т.е. в слое с минимальной температурой. Звук, рождаясь в результате турбулентных движений в конвективных зонах, распространяется таким образом, чтобы остаться в верхних слоях солнечной атмосферы (рис.4). На глубине скорость звука и температура резко увеличиваются, и это заставляет звук возвращается обратно в конвективную зону. Солнце имеет сферическую форму, поэтому звук, распространяясь по циклическим траекториям вдоль поверхности Солнца (р-моды на рисунке 4, что соответствует волнам давления),

будет усиливаться, если число таких циклов будет целым. В таком случае мы можем считать Солнце резонатором, в котором усиливаются определенные колебания – сферические моды. Заметим, что на Солнце не может быть сдвиговых волн, эффективных в сейсмических задачах на Земле или на других планетах. Солнце – это плотный газ (или жидкость), в такой среде отсутствует модуль сдвига и поэтому солнечная среда не может обеспечить распространение сдвиговой волны. На большой глубине, в радиационной зоне и ядре, существенны силы гравитации, а не упругости. Поэтому там будут распространяться не упругие волны давления, а внутренние волны, совершающие движение под действием сил плавучести (g-моды на рисунке 4). Так что это скорее гидродинамическая, а не акустическая задача. Эти волны (g-моды) затухают в области конвективных потоков и не доходят до поверхности, и поверхность Солнца не отражает информацию о ядре. Однако в последнее время появились данные о возможности наблюдения этих слабых волн на Земле. Ядро Солнца вращается с периодом один оборот в семь дней, что намного быстрее, чем вращение радиационной и конвективной зон. Волны g-моды модулируют магнитное поле, создаваемое вращающимся ядром Солнца, и эти модуляционные составляющие с периодом в 7 дней были зарегистрированы земными магнетометрами. Таким образом, получается, что мы можем слышать звук Солнца на Земле.

Создание нашей Вселенной с помощью звука: Большой взрыв

Рис. 4. Слоистая структура Солнца и лучи, по которым распространяется звук. Звук, распространяющийся по целочисленным циклам, усиливается и создает сферические моды колебаний давления на поверхности (p-моды) и внутренние волны в поле тяготения (g-моды)

Принято считать, что наша Вселенная была создана в результате уникального космического явления, которое назвали «Большой взрыв». Открытие в 1964 году реликтового электромагнитного излучения является свидетельством

8

КВАНТ 2019/№11

Это чириканье соответствовало возрастающей скорости закручивания черных дыр в процессе слияния. Получив такое предварительное представление о характере зарегистрированного сигнала, можно уже переходить и к стандартным процедурам обработки, которые, конечно надежнее и объективнее, чем ухо. Другим примером может быть «озвучивание» электромагнитных портретов Солнца и планет Солнечной системы. Флуктуации электромагнитного излучения от космического объекта транслируются через громкоговоритель. (С результатом можно познакомиться на сайте НАСА http://acousticstoday.org/space.) Оказывается у каждой планеты есть свой собственный ни на что не похожий акустический образ.

Заключение

Итак, как мы сможем ответить на вопрос, заданный в заголовке статьи? Возможен ли звук в космосе? Конечно, нет. Звук существует и распространяется только в упругой среде. Звук – это упругие колебания среды, т.е. колебания ее плотности, давления, температуры. Межзвездное пространство – это чрезвычайно разреженная среда. Атомы межзвездного газа пробегают от столкновения до столкновения миллиарды километров. Звук в таких условиях практически невозможен. Но Вселенная родилась со звуком. Звуковые колебания в ранней Вселенной определили во многом ее современную структуру. Толчком к образованию галактик стали акустические колебания плазмы ранней Вселенной. Поэтому без звука не было бы и нашей Вселенной! Звук участвует в изучении космоса. Исследования структуры планет и астероидов, обнаружение воды на Луне – все это было сделано с помощью звука. Звук помогает исследовать структуру Солнца. У звука нет конкуренции в исследовании электропроводящих сред: плазма, океаны, внутренняя структура планет, куда не проникают электромагнитные волны. Таким образом, без звука наши представления о космосе, его строении и строении

космических тел были бы не полными. Звук – это инструмент для исследования космоса. Отметим, что при написании этой статьи были использованы материалы статьи «Акустика и астрономия» (J.F.Lynch. Acoustics and Astronomy), опубликованной в журнале «Акустика сегодня» (Acoustics Today, 2017, v.13, n.4). Тем, кого заинтересовала тема этой статьи, советуем посмотреть первоисточник. Он имеется в свободном доступе. Там же можно найти ссылки на дополнительные сайты с демонстрациями других акустических эффектов в космосе. Так, на сайте Дж.Г.Кремера из Вашингтонского университета (http://acousticstoday.org/ cramer) можно познакомиться с акустической моделью звука Большого взрыва, вернее – звука после Большого взрыва.

Статистика языка

А.ПИПЕРСКИ

РАЗВИТИЕ КОМПЬЮТЕРОВ ПРИВЕЛО К созданию больших собраний оцифрованных текстов на разных языках – так называемых лингвистических корпусов. Эти корпуса можно обрабатывать методами математической статистики. Математические модели, порой неожиданно простые, но эффективные, позволяют компьютерным лингвистам предложить человечеству и конкретному пользователю решение задач, связанных с автоматической обработкой естественного языка: распознавание речи, определение языка текста и машинный перевод, классификация текстов по темам, извлечение знаний из текста, выделение ключевых слов, анализ тональности текста (т.е. выяснение, содержится ли в нем положительная или отрицательная оценка), обнаружение спама, создание чат-ботов и т.д. Рассмотрим две задачи – автоматическое определение языка текста и исправление опечаток, хорошие решения которых основаны на анализе частотности отдельных букв и слов, а также их сочетаний в реальных текстах. Удивительно, но такой подход позволяет решать эти задачи, не обладая знаниями ни о грамматических правилах языков, ни о смыслах анализируемых текстов. Определение языка текста. Предположим, что компьютер получил задание определить, на каком языке написан такой текст:

При все че математиката е строга наука, тя има и естетическа страна.

Эта болгарская фраза означает «При том, что математика – строгая наука, она имеет

Из книги «Математическая составляющая» (М.: Математические этюды, 2019).

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191102

и эстетическую сторону». Компьютер не владеет языками, но у него есть список языков, к одному из которых надо отнести этот текст. Будем считать, что круг кандидатов не слишком широк: английский, белорусский, болгарский, немецкий, русский, украинский, французский языки. Самая простая идея, которая приходит в голову, – определять язык по алфавиту. В нашем случае это кириллица, поэтому сразу можно отбросить английский, немецкий и французский языки. Но этот метод не решит задачу полностью, например, он плохо справляется с русским и болгарским языками: болгарский алфавит – часть русского (в болгарском нет букв Ё, Ы, Э), так что любой болгарский текст можно принять за русский. Соотношение русского и украинского алфавитов сложнее, ни один не является частью другого: в украинском нет буквы Ъ, зато есть буквы для обозначения гласных звуков ª, ², ≢ и согласного ¥. Но все буквы данной фразы в нем присутствуют. В белорусском нет И (вместо нее используется буква ²), поэтому он не подходит. Итак, алфавитный подход с задачей не справляется: осталось три языка-кандидата. Наличие лингвистических корпусов позволяет анализировать языки, находить характеристики, которые их различают. В частности, «паспортом» языка может служить набор частот, с которыми в среднем встречаются буквы в этом языке. На частотность букв обратили внимание еще в докомпьютерную эпоху. Например, в телеграфной азбуке Морзе, возникшей в первой половине XIX века, наиболее часто используемым буквам ставили в соответствие более короткие сочетания точек и тире. Так, самые частые в английском языке буквы E и T кодируются односимвольно – точкой и тире соответственно. Эти буквы можно встретить и в начале

10

КВАНТ 2019/№11

верхнего ряда стандартной английской раскладки клавиатуры, унаследованной от пишущих машинок, – QWERTY. А в немецкой раскладке привычный глазу ряд заменен на QWERTZ – буква Y в немецком языке встречается существенно реже, чем Z, и сослана на периферию. Еще один пример: в криптографии простые шифры на основе замены букв утратили значение после того, как были изучены частотные характеристики языков. Естественно, в XIX веке подсчеты частотности выполнялись вручную. Теперь же, с появлением лингвистических корпусов, частоты букв или слов можно посчитать на компьютере, причем эти данные будут более точными, объективными. Если условиться, что русский алфавит состоит из 33 букв и пробела, то окажется, что самый частый символ – это пробел (14,46%), дальше следуют гласные О (9,42%), Е (7,33%), И (6,72%), А (6,52%) и согласные Н (5,83%), Т (5,56%) (см. рисунок). А реже всего встречаются буквы Ф (0,27%), Ъ (0,03%) и Ё (0,01%). Конечно, в каждом конкретном тексте частоты могут отличаться от приведенных, но эти отклонения будут несущественными. А вот в болгарском языке частоты букв будут другими. Первыми после пробела идут те же четыре гласные, что и в

русском, но в обратном порядке: А, И, Е, О. Буква Ъ в русском языке – редкость, а в болгарском употребляется в разы чаще: она обозначает особый гласный звук типа краткого «а» и встречается даже в самом слове български. Последней по частотности буквой является Ь. Все это показывает, что частотность букв действительно является индивидуальной характеристикой языка. В компьютерном анализе (например, при определении языка) текст – это последовательность букв. В простейшей модели принимается, что каждая буква в этой последовательности появляется независимо от предыдущих, т.е. текст рассматривается как цепь независимых случайных событий: «прочитав» несколько букв, читатель не знает, что ждет его дальше. Вследствие независимости вероятность встретить данную последовательность букв в выбранном языке равна произведению вероятностей (частот) появления букв в этом языке. Зная частотности букв для каждого из трех языков-претендентов, можно найти вероятность появления всей фразы (см. таблицу). Получается, что вероятность случайного появления этой фразы в болгарском языке в 300 раз больше, чем в русском, и в

11

СТАТИСТИКА ЯЗЫКА

300000 раз больше, чем в украинском. Если о происхождении фразы нет априорной информации, то языки-кандидаты считаются равноправными. Это позволяет сравнивать вероятности появления фразы в разных языках, представив их более привычно, в процентах: болгарский – 99,65%, русский – 0,3497%, украинский – 0,0003%. Следовательно, выбрав вариант с максимальной вероятностью, в данном примере получим правильный ответ: фраза написана по-болгарски. Любопытно, что такой простой алгоритм неплохо сработал даже на тексте небольшой длины. Но так бывает не всегда. Например, для названия книги Математическая составляющая получается неожиданный результат: болгарский – 51,55%, русский – 40,75%, украинский – 7,7%. Симпатия этого алгоритма к болгарскому языку объяснима и носит общий характер: в нем меньше букв, чем в русском или украинском языках, а значит, частотность отдельной буквы будет в среднем чуть больше. Поэтому большинство текстов алгоритм сочтет болгарскими. Точность определения языка текста можно повысить, если рассматривать не частоты букв по отдельности, а частоты комбинаций символов некоторой длины. Дело в том, что, в отличие от примененной выше простейшей модели, буквы в реальном тексте не независимы: на самом деле каждая буква зависит от предшествующих, по крайней мере – от предыдущей. Так, по правилам русского языка после Ъ могут идти только буквы Е, Ё, Ю или Я. В болгарском после Ъ можно встретить и букву Л, причем это в 10 раз вероятнее, чем встреча с Е, Ю и Я, вместе взятыми. А в украинском И почти не используется после пробела – значит, наша первая фраза со словами има и едва ли может быть украинской. Эту идею академик Андрей Андреевич Марков (1856–1922) воплотил в математической модели, которая в его честь получила название «цепь Маркова». Он изучил распределение гласных и согласных в

последовательности из 20000 букв в романе «Евгений Онегин» (первая глава и начало второй). Основной вывод гласил: «Мы видим, что вероятность букве быть гласной значительно изменяется, в зависимости от того, предшествует ей гласная или согласная». Подсчеты А.А.Маркова показали, что общая доля гласных – 43,2%, но вероятность встретить гласную после гласной уменьшается до 12,8%, а после согласной – возрастает до 66,3%. Получается, что в реальном тексте имеем дело не с вероятностями независимых случайных событий, а с условными вероятностями последовательно происходящих событий. В марковской модели будущее зависит от настоящего, а вот прошлое можно не анализировать: его влияние заложено в настоящем. Житейский пример: предсказывая погоду на завтра, можно ориентироваться на сегодняшнюю. Зимняя гроза – редкое явление, так что если сегодня гроза, то завтрашний день может оказаться и солнечным, и дождливым, но вряд ли выпадет снег. С другой стороны, если сегодня идет снег, то увидеть завтра грозу – маловероятно. Марковские цепи как математический инструмент можно использовать для анализа распределения не только гласных и согласных в данном языке, но и для всех пар букв алфавита. Зависимость буквы от предшествующей заметить несложно. Например, в русском языке среди пар, начинающихся с буквы З, наиболее вероятны сочетания ЗА (29,67%), ЗН (10,18%), $З^{|}$ (пробел после З; 8,36%), а после буквы А те же символы А, $Н,^{|}$ дают совсем другие результаты: АА (0,03%), АН (9,56%), $А^{|}$ (20,36%). Для решения задачи определения языка текста можно сравнивать частотные характеристики пар из одинаковых символов в разных языках. Например, тройки лидеров среди пар, начинающихся с буквы З: в русских текстах – ЗА, ЗН, $З^{|}$; в украинских – ЗА, $З^{|}$, ЗН; в болгарских – ЗА, ЗИ, ЗВ. Зная частоты всевозможных пар, можно в каждом из языков-кандидатов найти вероятность в марковской модели словосо-

12

КВАНТ 2019/№11

Частотность букв действительно является отличительной и притом наглядной характеристикой языка. Здесь приведены гистограммы для трех славянских языков.

четания Математическая составляющая, которое рассматривается как последовательность $пар:^{|}$ М (буква М является началом слова), МА, АТ, ТЕ, ЕМ и т.д. Вероятность всего словосочетания находится как произведение вероятностей этих пар. Результаты (округленные) дают ответ на вопрос, где могла появиться такая

книга: болгарский – 0,06%, русский – 99,94%, украинский – 0,00003%. А для фразы, с которой начался разговор (При все че математиката…), степень уверенности у марковской модели почти абсолютная: вероятность, что эта фраза написана по-болгарски, равна 99,99991%!

13

СТАТИСТИКА ЯЗЫКА

Частотность последовательностей из двух (а лучше даже трех) букв – очень точная характеристика языка. Приведенный метод – основа всех применяемых определителей языка, самый известный – модуль в Google Translate. Получается, что для решения этой лингвистической задачи не требуется знание языков, работает чистая статистика. Исправление опечаток. Текстовые редакторы и смартфоны решают эту задачу методами, сходными с использовавшимися в задаче определения языка. Только теперь сравниваются частоты не букв, а слов и их последовательностей в выбранном языке. Предположим, что пользователь ввел фразу:

Его руква немного болит, а задача компьютера – найти и исправить в ней опечатки. Человеку сразу понятно, что опечатка допущена в слове руква, а должно быть написано слово рука. Попробуем научить этому и компьютер, используя гигантский лингвистический корпус русскоязычных текстов общей длиной 16 миллиардов слов. На первом этапе отыщем подозрительные слова: такие слова, которые либо отсутствуют в корпусе, либо встречаются там очень редко, скажем, для определенности – не более 100 раз (причиной возникновения в корпусе таких слов могут быть опечатки). А слова, которые встречаются более 100 раз, составляют словарь. Вот сведения о частотах наших четырех слов в корпусе: его – 46643493, руква – 50, немного – 3475296, болит – 203993. По принятой договоренности алгоритм решает, что в слове руква допущена опечатка. На втором этапе определим набор слов, одно из которых, возможно, хотел ввести пользователь. Очевидно, что эти слова должны быть похожими, близкими в каком-то смысле к слову руква: вряд ли человек хотел напечатать локоть, а получилась руква. Для измерения близости слов в лингвистике обычно используется расстояние Дамерау–Левенштейна (названное в честь

американского лингвиста и российского математика). Это расстояние равно минимальному числу «шагов», необходимых для превращения одного слова в другое. Такими шагами являются типовые, стандартные ошибки при наборе текста: замена одной буквы на другую, добавление или удаление буквы, перестановка соседних букв. Например, расстояние между словами собака и кошка равно 3: замена с на к (получится кобака); замена б на ш (кошака); удаление первой а (кошка). Есть и другой путь длины 3: собака o соака- o сошка o кошка. Но осуществить превращение меньше чем за 3 шага не удастся. Такое расстояние между словами обладает всеми привычными свойствами расстояния между точками на плоскости: неотрицательность, симметричность (расстояние от собака до кошка равно расстоянию от кошка до собака), справедливо неравенство треугольника. Теперь можно формализовать ощущение, что слово руква легко получается из слова рука, но не из слова локоть: расстояние Дамерау–Левенштейна от рука до руква равно 1, а от локоть до руква – 5. Опечаток в одном слове обычно немного, чаще всего одна. Найдем в словаре все слова, которые отстоят от подозрительного слова руква на расстояние 1. Словкандидатов не так много: рука (удаление в), рукав (перестановка а и в), буква (замена р на б) и рукава (добавление а). На этом можно остановиться и предложить пользователю список кандидатов – пусть выбирает сам. Именно так работает, например, проверка орфографии в Microsoft Word. Но компьютер может пойти дальше и попробовать исправить опечатку, т.е. выбрать самого вероятного кандидата и предложить его пользователю (так поступает Google Docs), а может и сам подставить его в предложение (так обычно работают модули в смартфонах, «помогающие» набирать текст). Этот выбор единственного кандидата – следующий этап алгоритма, который можно реализовывать по-разному.

14

КВАНТ 2019/№11

Простейшее, но неплохо работающее решение – выбрать самое частотное слово. Частоты слов-кандидатов в корпусе таковы: рука – 350883, рукава – 126817, буква – 107262, рукав – 66094. Как видно, в примере Его руква немного болит такой автоматический выбор совпадает с человеческим. А вот во фразах Здесь написана неправильная руква и У меня руква порвался простейшее решение – заменить руква на рука – будет ошибочным. Чтобы алгоритм работал более «разумно», надо каким-то образом учитывать слова в контексте фразы. И здесь на помощь снова приходят марковские цепи. Воспользуемся идеей, которая применялась в анализе по буквам, и попробуем предсказать следующее слово по последнему из виденных. Например, слово неправильная встречается в корпусе 50267 раз; пары неправильная рукава и неправильная рукав в корпусе отсутствуют, неправильная рука встречается 4 раза, неправильная буква – 53 раза. На примере фразы Здесь написана неправильная руква видно, что метод выбора самой частотной пары соседних слов более эффективный, чем простейший алгоритм. Дальнейшее улучшение алгоритма состоит в том, что учитываются и слово, идущее перед подозрительным словом, и слово, идущее после него. Определяются частоты обеих пар, найденные вероятности перемножаются. На примере фразы У меня руква порвался даже без статистических данных видно, что после сравнения произведений вероятностей пар выбор наибольшего выглядит достоверным решением:

меня рука ˜ рука порвался; меня рукава ˜ рукава порвался; меня буква ˜ буква порвался; меня рука⠘ рукав порвался.

Получается хорошо работающее исправление опечаток. Разумеется, и этот алгоритм можно и нужно совершенствовать. Во-первых, ве-

роятности одношаговых опечаток отличаются: например, перестановка соседних букв в слове значительно вероятнее, чем замена буквы на удаленную от нее на клавиатуре (скажем, заменить б на р не так-то просто). Во-вторых, можно встретиться с правильным, имеющим смысл словосочетанием, которое отсутствует в корпусе, и тогда произведение вероятностей будет равно нулю (пример: словосочетание работающее исправление, которое мы использовали в конце предыдущего абзаца, в корпусе пока отсутствует). Втретьих, рассмотренный вариант марковской цепи связывает слово только с ближайшими соседями, хотя в языке встречаются зависимости и на далеких расстояниях. Например, во фразе Руква у рубашки, которую Вася купил в аэропорту, оказались слишком короткими, выбирая на замену рукав или рукава, придется опираться не на соседние, а на далекие слова оказались и короткими. В-четвертых, сделав опечатки, можно получить фразу со словами из словаря, но ошибочную: например, У меня лукав порвался. Алгоритм такую фразу ни в чем не заподозрит. Впрочем, усложнение алгоритма позволяет справиться с подобными затруднениями. Компьютерная лингвистика. Лингвистические корпуса – фундамент компьютерной лингвистики, неисчерпаемый источник сведений о языке. Их анализируют и профессионалы – лингвисты и компьютерные специалисты, и начинающие исследователи. Даже школьник может самостоятельно написать программу для поиска и проверки закономерностей в языковых массивах. Самый известный ресурс для русского языка – это Национальный корпус русского языка (НКРЯ, http:// www.ruscorpora.ru), в основной части которого содержится 283 миллиона слов, а всего – около 600 миллионов слов. Корпус Araneum Russicum Maximum (http:/ /unesco.uniba.sk), объемом 16 миллиардов слов, мы использовали для определения частоты слов при исправлении опечаток. Он состоит из текстов, собранных

15

СТАТИСТИКА ЯЗЫКА

Частотность важна в реальной деятельности, например в прикладной лингвистике и криптологии (в ней две ветви: криптография и криптоанализ), встречается и в беллетристике. Рассказ Эдгара По «Золотой жук» (1843) – одно из первых популярных (и художественных!) изложений как реального способа шифрования методом подстановки, замены букв какими-то знаками, так и метода его расшифровки – частотного анализа. А в 1903 году Артур Конан Дойл в серии историй о Шерлоке Холмсе опубликовал рассказ «Пляшущие человечки», математически весьма схожий с «Золотым жуком».

из интернета, а это очень важный способ создания современных лингвистических ресурсов: ведь в сети лежит множество доступных текстов. К сожалению, эти корпуса нельзя сохранить на своем компьютере, и возможности пользователя ограничены веб-интерфейсом. На помощь приходят другие источники: так, определение языка проводилось на основе свободно распространяемых корпусов из проекта Universal Dependencies (http:// universaldependencies.org), где в едином формате представлены данные 70 языков. Понятно, что частота отдельных слов и их сочетаний существенно зависит от набора текстов, включенных в корпус. У корпуса художественных текстов и корпуса текстов новостных – разный «словарный запас». Универсального, правильного корпуса для языка не существует, но надо научиться даже из отдельных, так или иначе «окрашенных» корпусов извлекать общие свойства, черты, особенности данного языка. Это желание вызывает в памяти восклицание основателя палеонтологии Жоржа Кювье: «Дайте мне одну кость, и я восстановлю животное!» По сути – это те задачи, из которых и родилась математическая статистика: как получить представление о ненаблюдаемом целом по некоторой выборке. И для их решения были созданы методы, более продвинутые, чем простой подсчет частот. Один из приемов – усреднение, согласование значений частот по разным фраг-

ментам корпуса, чтобы уменьшить влияние отдельных текстов. Например, частотность слова якорь в текстах НКРЯ, распределенных по десятилетиям, с 1970 года до наших дней, выглядит странно: 1970-е – встречается 160 раз на миллион; 1980-е – 6,8; 1990-е – 8,4; 2000-е – 6,6; 2010-е – 6,7. Причина аномалии – включенная в НКРЯ «Книга о якорях», изданная в 1973 году. В ней одной слово якорь встречается 1769 раз, а в остальном корпусе – только 2896. Полученная простым подсчетом частотность слова якорь по всему массиву – 21,9 на миллион – явно завышенная. Но если упорядочить значения частот по десятилетиям и взять число из середины списка (медиану), то получится более реальный результат: 6,8 на миллион. Можно учитывать и дисперсию, т.е. оценивать разбросанность значений: как часто и на сколько они отклоняются от среднего значения. Такой метод применял еще А.А.Марков, работая с текстом «Евгения Онегина»: он проверял устойчивость, независимость своих результатов от способов подсчета. Более сложные методы используются для предсказания «настоящих», истинных частот сочетаний слов: надо уметь отличать те, что в корпусе не встретились, но в принципе вполне возможны, от тех, что не встретились, потому что практически невозможны. В заключение отметим, что автоматическая обработка языка начала активно развиваться в 1950-е годы. В частности, первое время машинный перевод основывался на созданных вручную правилах, предписывавших, как именно переводить то или иное словосочетание при определенных условиях. Постепенно выяснилось, что сочинение правил требует огромных затрат человеческого труда, а работают они все равно плохо. Поэтому в конце 1980-х годов на первый план в автоматической обработке естественного языка вышел статистический подход: посмотрим, как похожие задачи решались до нас человеком, и найдем решение, комбинируя его из готовых частей. Это стало возможным после появления лингвистических корпусов. Методы,

16

КВАНТ 2019/№11

рассмотренные нами на примерах, прежде всего частотность букв, слов и сочетаний, стали основой решения задач компьютерной лингвистики, перечисленных в начале статьи. Интересно, но временами создается впечатление, что алгоритмы и программы, основанные на статистическом подходе, в какой-то мере освоили язык. Например, эффективность применения марковских цепей неявно связана с грамматикой и структурой языка. В примере со словосочетанием Математическая составляющая при выборе одного из трех языков помогла, в частности, высокая частотность сочетания ая в русском языке. Дело в том, что в русском языке в женском роде встречается окончание -ая, причем часто, а в болгарском и украинском в такой форме было бы просто -а. В XXI веке математика предложила но-

вые подходы к автоматической обработке языка. Бурное развитие искусственных нейронных сетей, обучаемых на огромных массивах входных данных, дало возможность решать самые разные задачи компьютерной лингвистики. А принципы работы нейронных сетей еще больше приближают компьютер к тому, что можно назвать пониманием естественных языков. На данном этапе компьютерная лингвистика все больше превращается в одну из разновидностей машинного обучения. Но если мы хотим разобраться с тем, что же происходит при обработке текстов искусственными нейронными сетями, нужен именно лингвистический взгляд. Лингвистика как наука необходима и для более полного использования возможностей уже существующих инструментов, и для построения новых математических моделей.

«Математические этюды» выпустили второе, расширенное и дополненное издание книги «Математическая составляющая». Редакторысоставители книги Н.Н.Андреев, С.П.Коновалов, Н.М.Панюнин; художник-оформитель Р.А.Кокшаров. В сюжетах, собранных в книге, рассказывается как о математической «составляющей» крупнейших достижений цивилизации, так и о математической «начинке» привычных, каждодневных вещей. Все авторы – известные ученые. Увлекательный, популярно-описательный стиль изложения делает материалы книги доступными для широкого круга читателей. Сборник богато иллюстрирован. Первое издание стало лауреатом премии «Просветитель» (2015), отмечено Золотой медалью РАН за выдающиеся достижения в области пропаганды научных знаний (2017). Во втором издании представлены новые авторы и новые сюжеты. Объем книги вырос более чем вдвое. По сути – это новая книга, выполненная в зарекомендовавшем себя стиле. Основные части книги дополнены разделами «Книжная полка», «Дополнения, комментарии, литература», «Указатель». На «Книжной полке» представлены проверенные временем книги, дающие возможность читателю получить более глубокое и всестороннее представление о мире математики. В разделе «Дополнения, комментарии, литература» развиваются и обсуждаются темы, рассмотренные в основных частях книги. Раздел «Указатель» предметно классифицирует сюжеты книги; в нем отражены и области математики, и используемые термины. Книга издается по решению Ученого совета Математического института имени В.А.Стеклова Российской академии наук.

…как раз при устройстве автоматов для различных их деталей приходится применять все отделы механики. Герон Александрийский

…не щадя ни труда, ни издержек, я дошел до того, что построил себе прибор, до такой степени превосходный, что с его помощью предметы казались почти в тысячу раз больше и более чем в тридцать раз ближе, чем при наблюдении простым глазом. Галилео Галилей

…ход часов стал чрезвычайно правильным и надежным, как показали испытания на суше и на море. Великая польза этих часов для астрономии и мореплавания может считаться установленной. Христиан Гюйгенс

Что бы ни попадало в мои руки – машинка для взбалтывания яиц или электромотор, я прежде всего думаю о том, как это усовершенствовать. Томас Эдисон

…могу выразить надежду, что мой прибор… может быть применен к передаче сигналов на расстояния при помощи быстрых электрических колебаний… Александр Попов

…миллиарды долларов уходят на строительство гигантских умных машин. Они ускоряют частицы до таких высоких энергий, что мы бессильны предположить, что может случиться при их столкновении. Стивен Хокинг

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+техника

Какие только ПРИБОРЫ нас ни окружают! Они измеряют, сигнализируют, информируют, а самое главное – практически мгновенно связывают нас друг с другом. Мир стал немыслим без этих порой незаметных помощников, но стоит им выйти из строя, как мы сразу ощущаем непривычный дискомфорт. Отдадим должное поколениям изобретателей и инженеров, ученых и техников, кропотливый труд которых привел цивилизацию к нынешнему уровню. Судя по всему, темп инновационного марафона снижаться не собирается, а вам предстоит стать его непременными участниками. Что нужно, чтобы не отстать в этом забеге? Ответ так же прост, как нелегок в исполнении, – учиться! Надеемся, наша физико-техническая серия, пусть немного, но помогла вам в этом трудном деле. А сегодня, как и раньше, навигатором в «океане» приборов нам послужит курс физики и старые знакомые из домашнего обихода и школьной лаборатории.

Вопросы и задачи

1. Как определить массу груза на неравноплечих весах? 2. Вес тела на Марсе примерно в 2,6 раза меньше, чем на Земле. Какими весами будущий космонавт сможет обнаружить это уменьшение веса? 3. У вас имеется фиксированная горизонтальная ось и однородный стержень с отверстием в середине. Что необходимо сделать, чтобы устроить из этого рычажные весы? 4. Как изменится период колебаний часов с железным шариком на конце маятника, если под ним поместить электромагнит? 5. Античные источники описывают маятниковые часы, сделанные в виде тонкой трубки, заканчивающейся резервуаром со ртутью. В чем смысл такого устройства? 6. Теплопроводность металла значительно больше теплопроводности стекла. Отчего же тогда калориметры делают из металла, а не из стекла? 7. Почему в медицинских термометрах используют ртуть, а не спирт или эфир? 8. Температура кипения ртути $357 ^\circ C.$ Как же объяснить применение ртутных термометров для измерения температур до $600 ^\circ C? 9.$ Трубку ртутного барометра подвесили к динамометру. Как будут изменяться уровень ртути в трубке и показания динамометра при изменении атмосферного давления?

10. Почему плавкий предохранитель выходит из строя раньше, чем какой-либо другой участок электрической цепи? 11. Какое минимальное число резисторов сопротивлением по 20 Ом каждый следует взять и как их соединить, чтобы получить сопротивление цепи 12 Ом? 12. Как составить схему их трех одинаковых ламп и двух выключателей, чтобы включались и горели полным накалом одна (при замыкании одного выключателя), две (при замыкании второго) или все три лампы (при замыкании обоих выключателей)? 13. Как построить сильный электромагнит, если конструктору поставлено условие, чтобы ток в нем был сравнительно малым? 14. Можно ли микроскоп использовать вместо телескопа? 15. Почему в оптических приборах, предназначенных для работы в широком диапазоне длин волн, стараются использовать отражающие поверхности, а не преломляющие?

Микроопыт

Сможете ли вы измерить объем ванны, пользуясь часами? Не понадобятся ли вам еще какие-то приборы?

Любопытно, что…

…история применения свойства ориентации магнитной иглы уходит в глубь веков, находя свидетельства в китайских и арабских источниках. Первое же упоминание о ее использовании в качестве морского компаса датируется 1180-м годом. …секстант – прибор для измерения широты точки наблюдения в открытом море даже при сильном волнении – основан на законе отражения в двух зеркалах. Идею его устройства высказал еще Ньютон, а первые приборы были сконструированы в 30-х годах XVIII века. …развитие мореплавания настоятельно требовало для нахождения долгот определения точного времени. 16 июня 1657 года Генеральные штаты Нидерландов (высший законодательный орган Нидерландов) закрепляют за Христианом Гюйгенсом приоритет изобретения часов, в которых для равномерности хода ученый использовал маятник. …во второй половине XIX века архитектура потребовала много большого по размерам

и дешевого оконного стекла. Фирмы по его производству спонсировали создание необходимых для этого приборов по измерению высоких температур, работающих дистанционно. С их помощью оказались открыты новые физические законы, позже приведшие к развитию квантовых представлений. …многие новации, предназначавшиеся сначала для военных нужд, «переселились» в гражданские отрасли – как электронно-вычислительная техника, именуемая ныне компьютерами, или система глобального позиционирования. А вот такие бытовые новинки, как, например, антипригарный тефлон, начинали «работать» в Манхэттенском атомном проекте. …GPS-навигация, спутниковые телевидение и связь вобрали в себя современнейшие физические идеи и технологии. Так, на них используются атомные часы и резервуары с жидким гелием, а поправки на замедление времени производятся в согласии с предсказаниями теории относительности. …зеркало строящегося Гигантского Магелланова телескопа, вращающаяся часть которого весит больше 1500 тонн, образует отражающую поверхность площадью $368 м^{2}$, что позволит ему вести наблюдения неба с чувствительностью, на порядок превосходящую возможности космического телескопа «Хаббл». …сфера применения роботов давно вышла за пределы производства и обслуживания – ныне они еще и развлекают нас и участвуют в спортивных соревнованиях. Например, на ринг «Лиги боевых роботов» выходит 340- килограммовый Scorpio, вооруженный острыми лезвиями и защищенный легкой углепластиковой броней.

Что читать в «Кванте» о приборах

(публикации последних лет)

1. «Простой мини-робот» – 2013, №1, с.37; 2. «Электрические цепи с измерительными приборами» – 2014, №4, с.39; 3. «Про волчок и гироскоп» – 2015, №1, с.28; 4. «Чудо стеклянной линзы» – 2017, №6, с.25; 5. «Астрономия вернулась в школу» – 2017, №12, с.2; 6. «ИТЭР» – земная звезда» – 2018, №8, с.2; №10, с.2. 7. «Лазерная локация» – 2018, №9, с.34.

Материал подготовил А.Леонович

34

КВАН T 2019/№11

(Начало на с. 29)

При этом его скорость убывает, стремясь к нулю. Допуская вольность речи, говорят, что тело остановится в бесконечности. Вто-

Рис. 4

рая космическая скорость – это минимальная скорость, позволяющая телу преодолеть влияние гравитационного поля Земли. Ясно, что эта скорость своя для каждой планеты, ибо зависит от ее массы и радиуса. Пусть теперь с > 0, т.е. начальная скорость больше второй космической. Тогда для любого положительного значения R существуют два значения скорости R¢. Соответствующие точки ( R; R¢ ) лежат на двух ветвях фазовой траектории, которые на рисунке 4 показаны синим цветом – цветом бездонного неба. Нижняя ветвь описывает падение тела из бесконечности. Каждая ветвь имеет свою горизонтальную асимптоту. Опять говоря образно, скажем, что всякое тело, стартовавшее со скоростью $v_{0} > v_{2}$, уйдет в бесконечность и будет там двигаться с некоторой скоростью. Если же c < 0 (и $v_{0} < v_{2} ),$ то значения R находятся в некотором конечном промежутке. Это означает, что запущенное с Земли тело сможет удалиться от нее лишь на конечное расстояние, на мгновение остановится и затем вернется на Землю. Вырваться из гравитационного поля Земли со столь малой скоростью невозможно. Соответствующие фазовые траектории показаны на рисунке 4 зеленым цветом – цветом зеленой травы. Траектории следует рассматривать в полуплоскости $R \ge R_{З}$. Все траектории трех цветов и составляют фазовый портрет. Название красной траектории – сепаратриса. Она отделяет траектории одного типа от траекторий другого типа.

Взяв любую точку ( R; R¢ ) в правой полуплоскости и рассмотрев проходящую через нее траекторию, можно легко увидеть эволюцию нашей динамической системы. Заметим, что каждую траекторию легко построить элементарными методами, считая, что уравнение движения задает при каждом значении параметра c функцию R, зависящую от аргумента R¢. Дело сводится к «делению единицы на квадратичную функцию». О фазовой скорости и фазовом портрете можно прочитать в «Кванте» в статьях В.Арнольда «Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения» («Квант», 1986, №2) и А.Веселова «О математике гармонических колебаний» («Квант», 1986, №5).

В заключение – фазовый портрет математического маятника

Рассмотрим жесткий невесомый стержень, на конце которого укреплена точечная масса m. Пусть такой маятник совершает колебания в вертикальной плоскости, x ( t ) – угол отклонения стержня от вертикали, x ¢ ( t ) – скорость точки. Фазовый портрет такого маятника представлен на рисунке 5. На

Рис. 5

фазовой плоскости ( x; x¢ ) точку ( 0;0 ) окружают замкнутые траектории, они соответствуют малым колебаниям маятника. Через точки $( 0;x¢_{0} )$ для больших значений начальной скорости проходят траектории, соответствующие вращательному движению маятника, при этом маятник совершает круговые колебания против или по часовой стрелке. Каждая точка ( S k ;0 ) также является фазовой траекторией, соответствующей положению равновесия маятника. Нижнее положение устойчиво, верхнее – неустойчиво. Траектории красного цвета – это сепаратрисы, они отделяют вращательные траектории от колебательных. Отметим, что движение по сепаратрисе (которая имеет конечную длину!) длится бесконечно долго…

(Продолжение следует)

МАТЕМАТ ИЧ Е С К ИЙ КР У ЖОК

Что не так с угадыванием шляп?

К.КОХАСЬ

–П

РИВЕТ, ДРУЗЬЯ, Я РАД ЧТО ВЫ СНО- ва у экранов телевизоров! Впрочем, отсюда мне вас совершенно не видно. С вами Горгулий, научный обозреватель «Самого первого канала». Очередная программа «Что не так?», посвященная ломке стереотипов и ниспровержению стандартов научного мировоззрения, готова порадовать зрителей незабываемым феерическим выпуском. По традиции мы выбираем тему программы среди вопросов, присланных телезрителями. «Что не так с угадыванием шляп?» – спрашивает нас телезритель Пинок Тухх. Отвечает на вопрос наш замечательный эксперт по вопросам неадекватности – дятел Спятел! Прошу вас, маэстро. – Добрый вечер, уважаемые телезрители. Прежде всего, для правильной расстановки акцентов, мне хотелось бы уточнить, что я являюсь экспертом по вопросам адекватности. Если наш ведущий будет продолжать путаницу, то в следующем выпуске нам придется обсудить вопрос «Что не так с нашим ведущим?» Ясно? – Извините, извините, дорогой маэстро. Я надеюсь загладить свою вину, смотрите: в этой коробке лежат несколько черных и белых шляп, они могут существенно повысить адекватность нашего разбирательства. – Тогда приступим к конкурсу «Угадывание». Я попрошу оператора показать крупным планом насекомое Musca domestica. – Это же обычная домашняя муха! – Совершенно верно. Итак, уважаемые телезрители, пока вы любовались мухой, ассистенты надели на меня и на Горгулия по шляпе. Вам прекрасно видны цвета обеих шляп, а вот я хорошо вижу шляпу Горгулия,

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191105

но, увы, не могу понять, какого цвета шляпа на мне. – Я тоже не знаю цвета своей шляпы, – подхватил Горгулий, – но при этом прекрасно вижу шляпу дятла Спятла. И что же мы будем угадывать? – По правилам конкурса мы должны, не разговаривая и не подавая друг другу никаких сигналов, попытаться угадать цвет своей шляпы. У каждого из нас есть пультик с кнопками «черная» и «белая», мы должны незаметно нажать на одну из кнопок! – Но маэстро, вряд ли нам обоим удастся угадать цвет своей шляпы. Ведь о цвете своей шляпы у нас нет никакой информации! – Правильно. Но если хоть один из нас угадает, это будет считаться нашей победой в конкурсе! – Что-то тут не так. Каждый из нас вообще ничего не знает о цвете своей шляпы. Как же мы сможем хоть что-нибудь угадать? – Вы забываете, что один из нас является выдающимся экспертом по вопросам адекватности! Конечно, мы сможем преодолеть этот конкурс! И дело тут вовсе не в том большом зеркале, которое не видно телезрителям, но прекрасно видно нам. Мы сможем выиграть этот конкурс… с помощью интеллекта! В самом деле, дорогие телезрители, согласитесь, что имеется всего лишь две возможности – либо наши шляпы одинакового цвета, либо разного. Сейчас мы будем нажимать на кнопки, причем я буду нажимать на кнопку, исходя из предположения, что наши шляпы одинакового цвета, а мой коллега будет исходить из того, что цвета разные! Мы не знаем, какая из этих гипотез осуществилась на самом деле, но одна из гипотез точно осуществилась, и тот, кто придерживался этой гипотезы, угадает цвет! – Маэстро, это потрясающе. Но что мы будем делать, если наш телезритель Пинок Тухх попросит провести конкурс, в котором шляпы будут не двух, а, скажем, восьми цветов? – Мы позовем еще 6 друзей и проведем аналогичный конкурс! На каждого из восьми участников помощники наденут шляпу одного из 8 цветов, каждый будет видеть шляпы у остальных, но не свою собственную. И точно так же нужно, чтобы хотя бы один участник угадал цвет своей шляпы!

36

КВАН T 2019/№11

– Пультики приготовить с восемью кнопками? – Да. А чтобы не путаться с цветами, лучше просто поместить на каждой шляпе число от 0 до 7 и говорить не об угадывании цвета, а об угадывании числа на шляпе. – Неужели мы справимся? – Элементарно. Мы разобьем все возможные расклады шляп на 8 взаимоисключающих случаев: сумма чисел на всех шляпах либо делится на 8, либо дает остаток 1, либо остаток 2 и так далее. Последняя, восьмая, возможность – сумма дает остаток 7. Каждый из нас выберет по одной гипотезе и будет ее придерживаться. Например, если мне досталась гипотеза «сумма дает остаток 2», то я складываю все числа, которые вижу у остальных, и называю число, которое нужно добавить к этой сумме, чтобы получился остаток 2. – Кажется, мы действительно выиграем этот конкурс. Если я правильно догадался, по вашему алгоритму всегда угадывает ровно один участник. Таким образом, каждый участник «берет на себя» 1 8 от числа всех возможных раскладов шляп и угадывает только на них. А если мы увеличим число цветов шляп, не изменив число участников, например будем давать участникам шляпы девяти цветов, баланс нарушится, они смогут победить лишь в 8 9 всех случаев. Но все же я думаю, что мы просто обязаны удовлетворить любопытство нашего телезрителя, Пинока нашего Тухха, и объяснить, нельзя ли хоть немного увеличить число шляп, оставив количество участников конкурса прежним? – Да вы просто маньяк с этим вашим Пиноком Туххом. Можно! Но при условии, что одним участникам вы будете давать шляпы существенно большего количества цветов, а другим – шляпы меньшего числа цветов. – Отличная сделка! Согласен. Это будет впечатляющее зрелище. Сейчас же закажу для этого подходящий комплект шляп, и мы продемонстрируем это зрителям. Давайте позовем автора нашего вопроса Пинока Тухха в студию и наибольшее число шляп дадим ему! Сколько это будет? Сто? Двести? – Хе-хе, боюсь, ответ может вам показаться неприемлемым. Во всяком случае, он больше.

– Сколько же? Тысяча? Миллион? Миллиард? – Видите ли, дорогой Горгулий, ваши приемы работы, несомненно, производят впечатление. Но подозреваю, что Пиноку Тухху ваш энтузиазм… не придется по душе. Все дело в том, что вы наивно полагаете, что сумеете прочесть число, являющееся ответом на ваш вопрос. Но так ли это? Первый участник нашего конкурса будет получать шляпы всего двух цветов. Пожалуй, это буду я. Второму участнику – не возражаю, если это будете вы – будут давать шляпы трех цветов. – Не нагнетайте, маэстро, я вполне готов нести ответственность за свои слова и займу почетное предпоследнее место. – Хорошо. Третий участник должен осилить шляпы 7 цветов, четвертый – шляпы 43 цветов… – Ой. – Пятый – шляпы 1807 цветов, шестой – шляпы 3 263 443 цветов… – Ой, ой, ой… – Седьмому участнику, то есть вам, мой самоуверенный друг, придется иметь дело со шляпами 10 650 056 950 807 цветов… – Десять триллионов с хвостиком… – Это сущая мелочь по сравнению с тем, что мы приготовили восьмому участнику – Пиноку вашему, незабвенному Тухху, количество его цветов равно 27-значному числу, вот оно:

113 423 713 055 421 844 361 000 442.

– Мама… – И обратите внимание, как виртуозно у нас все подобрано: при любом раскладе шляп будет угадывать ровно один участник, при этом первый участник будет угадывать ровно на половине всех раскладов, второй – на одной трети, третий – на одной седьмой и так далее. Стоит ли говорить, что сумма обратных величин указанных чисел в точности равна 1! Есть только один подвох… – Еще один? Какой же? – Алгоритм, с помощью которого мы можем выиграть. Он… не совсем очевиден. – Аааааа! Уважаемые телезрители, мы опять испытываем проблемы с адекватным завершением нашей программы. Безобиднейшая игра с двумя шляпами довела нас до умопомрачительного количества цветов! Мы

37

МАТЕМАТ ИЧ Е С К ИЙ

КР У ЖОК

не можем ничего сделать с этим числом, мы даже затрудняемся прочесть его вслух. Кажется, вопрос нашего телезрителя опять остается без ответа! Постойте, я сказал «нашего телезрителя»? Маэстро, признавайтесь, это опять ваши происки? Вы опять, скрываясь под псевдонимом, прислали воп-

рос, чтобы нарушить спокойное течение нашей передачи? – Нет-нет, я не имею никакого отношения к случившемуся сегодня. Хотя, вы знаете… Недавно я рассказал Бусеньке о том, как легко и приятно вводить вас в ступор с помощью безобидного на вид вопроса…

Принесите еще шляп!

и обозначют цвета также числами от 0 до n – 1. Каждый мудрец видит все шляпы, кроме своей. Значит, он знает сумму всех чисел, кроме одного (своего). Тогда пусть k-й мудрец называет свой цвет, исходя из предположения, что сумма всех чисел дает при делении на n остаток k. Например, пусть n = 8 и третий мудрец увидел, что сумма чисел у остальных мудрецов равна 20. Тогда он должен назвать число 7, потому что только в случае, когда у него шляпа 7-го цвета, сумма всех чисел (она в этом случае равна 27) дает остаток 3 при делении на 8. Заметим, что описанная стратегия весьма «экономна» в том смысле, что для каждого расклада шляп лишь один мудрец угадывает цвет шляпы. Номер этого мудреца совпадает с остатком суммы всех цветов при делении на n. Взглянем на эту экономность с другой точки зрения. Пусть судья заранее составит список из всех возможных способов выдать мудрецам шляпы разных цветов. Каждый такой способ будем называть раскладом шляп. Работа немаленькая, ведь количество всех раскладов равно $n^{n}$ (потому что каждому из n мудрецов можно дать шляпу любого из n цветов). После этого пусть судья подслушает, о чем договорились мудрецы на совещании, и возле каждого расклада шляп в своем списке запишет, какие мудрецы угадывают цвет шляпы для этого расклада. Лемма 1. Для каждого k пометка «угадывает k-й мудрец» будет стоять в точности возле $n^{n} 1$ раскладов. Иными словами, каждый мудрец выигрывает в точности на $1^{n}$ от общего числа раскладов. Доказательство. Допустим, что судья перебирает все варианты расклада шляп следующим образом: сначала он фиксирует цвета всех шляп, кроме шляпы k-го мудреца, а после этого размышляет, какую из n шляп выдать k-му мудрецу. Так как цвета всех

К.КОХАСЬ

РАССМОТРИМ СЛЕДУЮЩУЮ ИЗВЕСТ- ную задачу о мудрецах. Происходит следующий конкурс. По кругу стоят n мудрецов. Судья надевает каждому мудрецу шляпу одного из n цветов. Каждый мудрец видит шляпы, надетые на других мудрецов, но не видит своей собственной. По сигналу мудрецы (одновременно) должны высказать гипотезу о цвете своей шляпы. Если хотя бы один мудрец угадал цвет своей шляпы, считается, что мудрецы выиграли конкурс. Перед проведением конкурса мудрецы имели возможность посовещаться, а во время конкурса никакая передача информации не разрешена. Могли ли они на этом совещании придумать стратегию, позволяющую им выиграть в любом случае? Под стратегией понимается набор инструкций (свой для каждого мудреца), которыми должны руководствоваться мудрецы при выдвижении своих гипотез. Каждая такая инструкция – это набор правил вида «если вижу на таких-то мудрецах такие-то цвета шляп, то выдвигаю такую-то гипотезу». В частности, стратегия должна быть детерминированной, т. е. не содержать действий, совершаемых с некоторой вероятностью. Это значит, что при повторении конкурса с тем же самым набором шляп мудрецы дадут те же самые ответы. Решение этой задачи весьма красиво. Мудрецы нумеруют себя числами от 0 до n – 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191106

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Новосибирский государственный университет

ФИЗИКА

Письменный экзамен

1. Человек может бежать, ускоряясь и замедляясь с максимальным по абсолютной величине ускорением a. Какое минимальное время ему понадобится, чтобы стартуя с нулевой начальной скоростью добежать до стенки, находящейся от него на расстоянии L, развернуться и добежать до начальной точки? У стены его скорость должна быть нулевой (чтобы не удариться). 2. На дне очень глубокого озера глубиной H находится открытая бутылка, которая за горлышко привязана веревкой к камню, лежащему на дне. В бутылке остался воздух, и она плавает, натягивая веревку с силой F. Температура T. Универсальная газовая постоянная R. Найдите количество молей воздуха в бутылке. Объемом и массой стенок бутылки пренебречь. 3. Треугольный клин с углом D у основания лежит на гладком столе и упирается в вертикальную стенку, как показано на рисунке 1. Если на клин положить шайбу и

Рис. 2

ный момент конденсатор не заряжен. Во сколько раз средняя мощность тепловыделения в цепи в начале процесса подачи импульсов больше средней мощности тепловыделения через большое время? 5. Оцените, какую силу нужно приложить, чтобы удержать окно, на которое дует ветер средней силы. Предполагается, что вы хорошо представляете явление, можете сами задать необходимые для решения задачи величины, выбрать их численные значения и получить численный результат.

Внимание! Задача считается решенной, если помимо правильного ответа приведены необходимые объяснения.

Открытая межвузовская олимпиада «Будущее Сибири»

ПЕРВЫЙ (ОТБОРОЧНЫЙ) ЭТАП

Интернет-тур

Рис. 1

ударом придать ей некоторую скорость вверх вдоль клина, то сила давления клина на вертикальную стенку будет $равна_{1}^{F}$. А если придать шайбе некоторую скорость вниз вдоль клина, то сила давления клина на вертикальную стенку будет $равна_{2}^{F}$. Найдите коэффициент трения шайбы о клин. 4. На RC-цепочку, состоящую из последовательно соединенных резистора и конденсатора, подают импульсы напряжения с амплитудой $U_{0}$ малой длительности W каждые T секунд (рис.2). (За время импульса и в промежутках между ними заряд на конденсаторе меняется $слабо:^{T} ≪^{RC}.)$ В началь-

8 класс

1. Боря и Света решили заняться спортивной ходьбой. Они стартуют из одной точки дорожки стадиона в одном направлении и двигаются с одинаковым темпом, т.е. совершают одинаковое количество шагов в единицу времени. Длина шага Бори $l_{Б} = 70$ см, а Светы $l_{С} = 50$ см. К моменту, когда они вновь оказались в одной точке, Света прошла путь s = 1000 м. Чему равна длина L дорожки стадиона? 2. Боря положил кусочек льда при $T^{0} q C$ на чашечные весы. Затем он стал капать на него из капельницы горячей водой и записывать результаты измерения темпе-

49

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

При этом расстояния от перекрестия до грузов оказались равными $l_{1}$ и $l_{2}$, а от перекрестия до опоры и весов $L_{o}$ и $L_{в}$ соответственно. Весы показывают вес P. Чему равны массы каждого из грузов? Линейки узкие и невесомые, ускорение свободного падения равно g. 4. В аэропорту для перехода пассажиров между терминалами работает многополосный траволатор – постоянно движущийся ленточный тротуар (рис.32). Скорость 1-й

МАТЕРИАЛЫ

тем школьник соединил все приборы параллельно. В этом случае вольтметр показывал $U_{2} = 1$ В, а амперметр – $I_{2} = 1$ А. Определите ЭДС батарейки. 4. Длинную однородную массивную цепочку медленно перетягивают через неподвижную наклонную горку с помощью легкой нерастяжимой нити, привязанной к концу цепочки (рис.33). Нить перекинута че-

Рис. 32

ленты $v_{1} 1$ м с, 2-й ленты $v_{2} 2$ м с и т.д. Скорость самой скоростной 10-й ленты $v_{10} 10$ м с. Пассажир заходит на траволатор (через его 1-ю ленту) и через T = 30 c сходит с него (с его первой ленты). На каком максимальном расстоянии от первоначальной точки A он может при этом оказаться, если ему разрешено двигаться только перпендикулярно движению лент (в том числе и переходя с ленты на ленту) со скоростью, не превышающей по абсолютной величине u 1,5 м с? Ширина каждой ленты траволатора L = 3 м.

9 класс

1. См. задачу 1 для 8 класса. 2. У Пети имеется большое количество маленьких пластиковых шариков, и он хочет найти плотность U материала, из которого они изготовлены. Для этого он поставил на весы пустой цилиндрический сосуд объемом V и измерил его вес, равный $P_{1}$. Затем он доверху насыпал в стакан шарики и начал медленно наливать в стакан некоторую жидкость. В момент, когда шарики начали всплывать, вес оказался равным $P_{2}$. Найдите плотность U. Ускорение свободного падения равно g. 3. У школьника имеются три электрических прибора: батарейка, вольтметр и амперметр. Все приборы неидеальные, т.е. обладают конечным сопротивлением. Школьник соединил все приборы последовательно, при этом вольтметр показывал $U_{1} = 10$ В, а амперметр – $I_{1} = 0,1$ А. За-

Рис. 33

рез блок, и к ее концу привязан динамометр. График зависимости показаний динамометра от перемещения конца нити показан на рисунке. Определите массу цепочки. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}$. Трения нет. 5. Две старинные пушки нацелены так, чтобы попасть друг в друга. Левая пушка выстреливает ядро массой $m_{1} = 10$ кг, а правая стреляет ядром массой $m_{2} = 2$ кг. Пушки стреляют одновременно, ядра сталкиваются лоб в лоб и слипаются. На каком расстоянии от левой пушки упадут слипшиеся ядра, если расстояние между пушками L = 600 м? Влиянием воздуха пренебречь.

10 класс

1. Горка представляет собой наклонную плоскость, внизу плавно сопряженную с

Рис. 34

51

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

На поршень налита вода плотностью U слоем высотой $h_{2}$. В равновесии высота поршня над дном сосуда равна $h_{1}$. Цилиндр закрывают герметичной крышкой, расположенной на высоте $h_{3}$ над поверхностью воды. Через некоторое время поршень прохудился, и вся вода оказалась внизу. Чему равно давление воздуха в сосуде? Атмосферное давление равно $p_{0}$, ускорение свободного падения равно g, трения нет. Температура постоянна. 2. Два одинаковых шарика массой m каждый соединены непроводящей пружинкой жесткостью N. В начальном положении шарики неподвижны, пружинка не растянута, а ее длина равна l. Шарики зарядили одинаковыми зарядами q, и они начали разлетаться в разные стороны. При какой минимальной величине q пружинка порвется, если известно, что она выдерживает максимальную силу F? 3. На гладкой горизонтальной плоскости неподвижно лежат два маленьких шарика. Они соединены невесомой нерастяжимой нитью, которая вначале была распрямлена (рис.39; вид сверху). Центр нити начина-

МАТЕРИАЛЫ

40. имеется однородное магнитное поле с индукцией B, направленное вдоль оси z. Частицу с зарядом e и массой m запустили так, что она движется в плоскости xy по замкнутой траектории. Найдите период движения частицы по этой траектории. 5. Оцените, какое максимальное статическое напряжение относительно земли может быть на человеке, окруженном заземленными предметами (деревьями, бетонными стенами, батареями отопления и т.д.), если известно, что электрическая прочность воздуха на пробой E 30 кВ см. Предполагается, что вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие в условии задачи величины, выбрать их численные значения и получить численный результат. 6. Задача-демонстрация (демонстрируется видеоролик). Луч лазерной указки направлен под углом к горизонтальной поверхности стола (рис.41). Если на пути

Рис. 41

Рис. 39

ют перемещать вдоль плоскости с некоторой постоянной скоростью, направленной перпендикулярно начальной ориентации нити. Шарики сталкиваются первый раз под углом к начальной ориентации нити, равным, очевидно, 90q. Под каким углом к начальной ориентации нити они столкнутся во второй раз, если их массы равны 7m и 5m, а столкновения абсолютно упругие? 4. В двух противоположных квадрантах плоскости xy (заштрихованы на рисунке

Рис. 40

лазерного луча разместить тонкий вертикальный металлический стержень круглого сечения, на столе образуется светящаяся окружность с центром в месте нахождения стержня. Если заменить стержень круглого сечения на вертикальный стержень с неправильной (не круглой) формой сечения, светящаяся линия на столе все равно имеет форму окружности. Объясните наблюдаемое явление.

Публикацию подготовили В.Боровков, Е.Жданов, А.Киприянов, С.Лежнин, М.Махмудиан, А.Ненашев, Е.Пальчиков, А.Погосов, Д.Похабов, Г.Федотович

52

К В АН T 2019/№11

Инженерная олимпиада школьников

В течение нескольких лет ряд ведущих технических университетов России – Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, Российский университет транспорта (МИИТ), Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ», Нижегородский государственный технический университет имени Р.Е.Алексеева и Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П.Королева – проводят необычную олимпиаду, посвященную физике в технике, физике вокруг нас, физике в жизни человека. Эту олимпиаду организаторы назвали Инженерной олимпиадой школьников, чтобы подчеркнуть, что она больше, чем по физике. В заданиях олимпиады встречались задачи, посвященные работе многих инженерных устройств – прокатного стана, дифференциала автомобиля, механизма Липкина–Посселье, подвесного моста, жидкостного насоса, уголкового отражателя и той физике, на основе которой они работают. Нам кажется, что задание Инженерной олимпиады школьников немножко сокращает интервал между школьной физикой и физикой, помогающей жить человеку, и показывает, какой интересной может быть профессия инженера. В 2018/19 учебном году отборочные туры Инженерной олимпиады школьников прошли более чем на 30 площадках в нашей стране, а также в Армении, Казахстане, Киргизии, Узбекистане. Инженерная олимпиада школьников входит в Перечень олимпиад школьников, поэтому ее победители и призеры получают особые права при поступлении в любые вузы РФ, а граждане иностранных государств могут претендовать на обучение в российских вузах за счет средств государственного бюджета РФ (в рамках квот Россотрудничества РФ). Ниже приводятся избранные задачи заключительного тура Инженерной олимпиады 2018/ 19 учебного года. (Невошедшие сюда задачи были опубликованы в «Задачнике «Кванта» в №5 за 2019 год.)

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ТУРА ОЛИМПИАДЫ

1. Имеются две лампочки. Одна, мощностью $P_{1} 110$ Вт, рассчитана на работу в бытовой электрической сети напряжением $U_{1} 220$ В. Вторая лампочка, от карманного фонарика, рассчитана на напряжение $U_{2} 3,5$ В и силу тока $I_{2} 0,28$ А. Лампочки соединяют последовательно и подключают к бытовой электрической сети. Перегорит ли какая-нибудь из лампочек? Считать, что нити накала лампочек в любой момент времени имеют сопротивление рабочего режима. 2. Инженеры-взрывотехники, изучая взрыв экспериментального субъядерного заряда, установили, что сразу после взрыва заряд превращается в шарообразное однородное облако мельчайшей пыли радиусом R и плотностью $U_{0}$. Начальная скорость v каждой пылинки облака направлена от его центра и пропорциональна расстоянию r до него: v = Hr, где H – известный коэффициент. Считая, что в дальнейшем скорости пылинок не меняются, определите плотность пыли на расстоянии x от центра облака через время t после взрыва. 3. В распоряжении инженера имеются пять электрических лампочек: три с номинальной мощностью $P_{1} 40$ Вт и две с номинальной мощностью $P_{2} 60$ Вт. Все лампочки рассчитаны на напряжение U = = 110 В. Как следует подключить эти лампочки к бытовой электрической сети напряжением $U_{1} 220$ В, чтобы все они горели нормальным накалом? 4. В конце 19 века в связи с развитием машиностроения велись интенсивные работы по преобразованию одного движения в другое. Например, вращательного в движение по прямой или в s-образное. Тогда математики вспомнили о лемме, доказанной много лет назад (в 13 веке) известным персидским математиком Насиром ад-Дином Туси. Условие этой леммы сводится к следующему. Пусть по внутренней поверхности поло-

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

Рис. 5

переходящую в себя при повороте вокруг $O на^{120\infty} ).$ Задача построения треугольника по этим данным известна (см., например, №2495 на сайте zadachi.mccme.ru). Третье решение. Построим окружность с центром O, равную вписанной окружности правильного треугольника со стороной a, проведем к ней касательные из A, B, C (рис.6). Так как они

Рис. 3

Рис. 6

переходят одна в другую при повороте треугольника вокруг $O на^{120\infty}$, то в пересечении они образуют правильный треугольник. Четвертое решение. Построим где-то в стороне правильный треугольник со стороной a и его

Рис. 4

– AKC = – AOC $= 120 \infty$. Построим правильный треугольник с центром O и вершиной K, он будет искомым. Второе решение. Точку K можно получить также из следующих соображений: в треугольнике ACK нам известны – $K =^{120} \infty$, сторона AC = b, разность сторон AK – KC = a (если исходить из предположения, что мы строим конструкцию,

Рис. 7