Квант 2019, №12 · Страницы

3

НА ПЕРЕКРЕСТКЕ ИДЕЙ: ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА

а счастья нет». Несмотря на грустную усмешку великого сатирика, радио в действительности вдохновляло очень многих в те годы – и тех, кто слушал первые радиопередачи, и тех, кто собирал радиоприемники и радиопередатчики своими руками. Выросло несколько поколений радиолюбителей. Среди них был и юный Женя Завойский, со студенческой скамьи мечтавший об исследованиях вещества с помощью радио. Вторая же линия – эта те самые исследования вещества. В 1897 году Иоганн Эмиль Вихерт и Джозеф Джон Томсон открыли электрон. Наконец-то могла появиться первая (не считая натурфилософских теорий античности) модель атома – точнее, даже несколько моделей. Самая известная из них – это модель пудинга, предложенная тем же Дж.Дж.Томсоном в 1904 году, в соответствии с которой электроны погружены в распределенный в пространстве положительно заряженный материал, как изюм в тесто (рис.1,а). Однако к 1911 году эксперименты Эрнста Резерфорда по прохождению альфа-частиц через золотую фольгу показали, что есть небольшое число частиц, отраженных назад. Такое было бы невозможно при прохождении частиц через «пудинг», в котором весь заряд как бы «размазан» по большому объему. Cущественно изменить свое направление частицы могли бы только при столкновениях с очень маленькими элементами объема, несущими в себе весь заряд атома. Эти области компактного расположения заряда были названы ядрами. Начала свое существование ядерная физика.

Рис. 1. Пудинговая (а) и плантерная (б) модели атома, предложенные Дж.Дж.Томсоном (1904 г.) и Э.Резерфордом (1911 г.) соответственно

Атомное ядро, ядерная физика – такой же символ первой половины двадцатого века, как и радио. И исследование атомного ядра с помощью радиоволн – это задача, в которой встречались сразу два символа физики этого времени.

…и квантовая физика

Разумеется, не только Завойский думал об этой задаче. Здесь стоит вспомнить еще одно направление развития физики. Модель атома, предложенная Резерфордом (рис.1,б), дала начало не только ядерной физике, но и новому этапу в становлении квантовой физики. Согласно этой модели, электроны в атоме вращаются вокруг маленького центрального ядра, подобно планетам вокруг Солнца (отсюда название модели – планетарная). Но в отличие от планет электроны – заряженные частицы. А заряженная частица при всяком движении, кроме равномерного прямолинейного, должна порождать электромагнитное излучение, как утверждают законы классической электродинамики, т.е. должна излучать, а значит – терять энергию. Что происходит с планетой или, нам проще это представить, со спутником, вращающимся вокруг планеты и теряющим энергию, например за счет трения о ее атмосферу? Спутник постепенно снижается и в конце концов падает на поверхность планеты. Планета при потере энергии должна была бы упасть на Солнце, а электрон – на ядро. Почему же он не падает? Через два года, в 1913 году, Нильс Бор предположил, что в атомах электроны могут находиться только в определенных состояниях, двигаясь по так называемым стационарным орбитам без какого-либо излучения. А излучают они лишь при переходе с одной орбиты на другую. Иными словами, энергия электрона, а точнее, его момент импульса, может принимать лишь ряд определенных дискретных значений, т.е. квантуется. Напомним, что в классической механике момент импульса – это мера вращательного движения тела, тем большая, чем дальше находятся его точки от оси вращения и чем большую тангенциальную скорость они имеют. Но

7

НА ПЕРЕКРЕСТКЕ ИДЕЙ: ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА

Рис. 7. Спектр электронного парамагнитного резонанса (ЭПР), впервые полученный Е.К.Завойским в 1944 году (а) и один из «современных» примеров спектра ЭПР (б)

сложно: у ядра очень маленький магнитный момент, его взаимодействие со слабым магнитным полем приводит к совсем ничтожному эффекту. По сравнению с ядром электрон является гораздо более сильным магнитом – его магнитный момент в тысячи раз больше, чем у ядра. И наблюдать, как поворачивается магнитный момент электрона в слабом магнитном поле (поглощая при этом энергию радиоволн), было гораздо проще. В 1944 году Завойский смог обнаружить резонансное поглощение радиоизлучения в парамагнитных кристаллах, помещенных в магнитное поле (рис.7). Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) был открыт.

Эстафета открытий

Спустя два года, два американских физика, Эдвард Парселл и Феликс Блох, независимо друг от друга открыли поглощение энергии радиоволн ядрами водорода (ЯМР) в воде и в парафине. Эти открытия сразу были оценены физиками в Европе и в США (в СССР – тоже, но примерно с десятилетним запозданием). Начался вал исследований в этой области. Одна за другой, открывались все новые и новые разновидности магнитных резонансов (поглощение радиоизлучения ядрами, обладающими квадрупольным электрическим моментом, ферромагнитными и антиферромагнитными веществами и др.), все новые их свойства (например, сверхтонкая структура спектров ЭПР, обусловленная магнитным взаимодействи-

ем электронов и ядер), все новые методы (импульсные варианты магнитно-резонансной спектроскопии, так называемые двойные резонансы и др.). В нашей стране С.А. Альтшулер теоретически предсказал акустический парамагнитный резонанс – резонансное поглощение звука парамагнитным веществом, помещенным в магнитное поле. Возможно, одним из самых важных для приложений ЯМР в химии (и не только) стало открытие так называемого химического сдвига. Атомное ядро «чувствует» расположение соседних электронов в молекуле, в итоге частота, при которой оно дает сигнал ЯМР, будет немного различаться у двух одинаковых ядер, принадлежащих разным молекулам или даже разным атомным группам в составе одной молекулы. А значит, получив спектр ЯМР какого-либо вещества, можно определить, какие группы входят в состав его молекул, сколько их и даже как они друг относительно друга расположены – т.е. определить химическую структуру молекулы! Поэтому ЯМР уже с конца 1950-х годов стал одним из важнейших аналитических методов в химии. Он был просто незаменим при изучении сложных органических молекул, а со временем стал эффективно применяться и для исследования пространственной структуры белков, наряду с методом рентгеноструктурного анализа (рис.8; выполнен с использованием базы данных 3-мерных структур белков). С помощью ЯМР удалось увидеть подвиж-

8

КВАНТ 2019/№12

Рис. 8. Пространственные структуры белка цитохрома c, полученные методом ЯМР-спектроскопии. Видна подвижность белка в растворе (разными цветами показаны структуры белка в разные моменты времени)

ность белка в растворе, тогда как рентгеноструктурный анализ позволяет работать только с закристаллизованными белками и информации о подвижности белка в его естественной среде дать не может. Но еще большую славу магнитно-резонансной спектроскопии принесло применение так называемого градиентного магнитного поля. Первые исследователи ЯМР и ЭПР стремились к созданию наиболее однородного магнитного поля: ведь если напряженность поля будет различаться в разных участках изучаемого объекта, то находящиеся в них ядра или электроны окажутся в разных условиях и дадут сигналы при разных частотах. В итоге узкая резонансная линия «размажется» и исказит свою форму или вовсе перестанет быть видна. Но если создать неоднородное магнитное поле, изменяющееся не как попало, а, например, равномерно и только в одном направлении (т.е. создать магнитное поле, имеющее градиент величи-

ны напряженности), то можно различить сигналы одинаковых ядер, расположенных в разных участках исследуемого образца вдоль градиента поля. Иными словами, увидев, насколько сдвинулась резонансная линия какого-либо ядра, можно определить, где находится это ядро. А значит, можно построить пространственную картину исследуемого объекта! Изменяя направление градиента поля, можно получить полноценное трехмерное изображение, причем изображение его «внутренностей», не нарушая целостности объекта, т.е. без каких-либо разрезов, внедрений зондов и тому подобное. Этот метод широко известен под названием магнитно-резонансной томографии (МРТ), или ЯМР-томографии, и становится в последнее время одним из основных важнейших методов диагностики в медицине. Метод ЭПР-томографии менее распространен, но также используется в медицинских исследованиях.

9

НА ПЕРЕКРЕСТКЕ ИДЕЙ: ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА

Путь к признанию

Можно смело сказать, что у методов, эстафета открытия которых празднует в этом году свой 75-летний юбилей, счастливая судьба. Судьба же их первооткрывателей оказалась разной. Э.М.Парселл и Ф.Блох очень скоро после открытия получили Нобелевскую премию и стали в ряд самых именитых физиков в западной науке, возглавляя в разные периоды крупные исследовательские физические центры или общества. Е.К.Завойский продолжал работу в области ЭПР в Казанском университете (где он работал со студенческой скамьи и где было сделано его выдающееся открытие) лишь в течение трех лет после своего открытия. Отсутствие даже простых приборов для проведения исследований и невозможность получить их через официальные каналы государственного снабжения науки (а других практически не было) делали ситуацию бесперспективной. Из-за невозможности продолжения работы, а также из-за невыносимых условий жизни, угрожавших здоровью семьи, в 1947 году Завойский принял предложение И.В.Курчатова покинуть Казань и заняться работами по созданию советского ядерного оружия. Следующие четыре года он работал в ядерном центре в городе Сарове, однако горько сожалел об этой своей деятельности. Как только появилась возможность, он перешел на работу в Лабораторию измерительных приборов АН СССР, известную нам сейчас как Институт атомной энергии имени И.В.Курчатова, и занялся мирными приложениями – созданием сверхбыстрых электронно-оптических преобразователей, пучков ядер с поляризованными спинами и, наконец, исследованиями плазмы, что было необходимо для реализации управляемого термоядерного синтеза. Но свои работы по ЭПР Завойский, к счастью для отечественной науки, успел опубликовать до того момента, когда все научные работы в стране стали рассматриваться как секретные. Поэтому они были переведены на английский язык и опубликованы в специальных англоязычных

журналах, которые СССР издавал для распространения за границей сведений о работах советских ученых. (Очень скоро выпуск этих журналов прекратился.) Так работы Завойского стали известны во всем мире, и приоритет его не был потерян для нашей страны. В 1957 году за открытие ЭПР Завойский получил Ленинскую премию, его портрет и статья были опубликованы в газете «Правда». С этого момента иностранные ученые, увидев, наконец, что загадочный автор первых в мире работ по ЭПР, исчезнувший десять лет назад со страниц научных журналов, существует в действительности и жив, начали ежегодно выдвигать его кандидатуру на Нобелевскую премию. С 1958 по 1966 год его 15 раз выдвигали ученые из Швеции, Швейцарии, Великобритании, Нидерландов и ГДР, а также 7 раз – соотечественники (подробнее «Нобелевская история» Е.К. Завойского описана в журнале «Наука и жизнь» №12 за 2019 г.). Но количество работ «Нобелевского уровня» в эти годы было очень велико, списки претендентов содержат десятки, а то и сотни имен, известных нам сейчас по учебникам, а премии могли получить лишь несколько человек (напомним, что Нобелевские премии в этот период получили советские физики И.Е.Тамм, И.М.Франк, П.А.Черенков, Л.Д.Ландау, А.М.Прохоров и Н.Г.Басов). Возможно, свою негативную роль сыграло и то обстоятельство, что Завойского почти не выпускали из СССР на международные конференции, а живое общение с иностранными коллегами всегда способствовало международному признанию ученого. А может быть, Завойский просто не успел получить свою заслуженную премию: он умер в 1976 году, не дожив до 70 лет. Тем не менее, приоритет Завойского в открытии ЭПР признан во всем мире, его имя помнят и ценят. Уже более четверти века назад учреждена и ежегодно вручается ученым из самых разных стран мира престижная Международная премия имени Е.К.Завойского за научные достижения в области магнитного резонанса.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2586–М2589 предлагались на XLI Турнире городов. Автор задач Ф2593–Ф2596 – С.Дмитриев.

Задачи М2586–М2589, Ф2593–Ф2596

M2586. Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовем две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин четно. М.Скопенков, А.Заславский

M2587. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят а) ровно три фишки; б) ровно четыре фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке? Е.Бакаев

$M2588^{*}$. Точка M лежит внутри выпуклого четырехугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD. Оказалось, что площадь четырехугольника ABCD равна

MA ◊ MC + MB ◊ MD.

Докажите, что четырехугольник ABCD а) вписанный; б) описанный. Н.Седракян

$M2589^{*}$. Дана возрастающая последовательность положительных чисел … $< a_{-} 2 < a_{-} 1 < a_{0} < a_{1} < a_{2} <$ …, бесконечная в обе стороны. Пусть $b_{k}$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых k подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих k членов не превышает $b_{k}$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, … либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3,…, либо с некоторого момента постоянна. И.Митрофанов

Ф2593. Две одинаковые по длине дорожки в парке заметены снегом. Два дворника, Вася и Петя, должны очистить дорожки от снега. Первую дорожку они начали чистить с двух концов, и, когда она была очищена, выяснилось, что Вася очистил 20 метров длины. Вторую дорожку они тоже начали чистить с двух концов, но теперь Вася увеличил скорость в 3 раза, а Петя сохранил прежний темп. Когда обе дорожки были очищены, оказалось, что на Васину долю пришлось всего 50 метров. А сколько метров дорожек очистил Петя?

Ф2594. Для переправки цистерн с нефтепродуктами по Каспийскому морю из Баку в Астрахань во время второй мировой войны их заполняли не полностью, и в этом случае стальная цистерна вместе со

15

ЗАДАЧНИК

доски должно примыкать четное количество коротких сторон. (i) Имеем 2 k = 10 коротких сторон, примыкающих к краям доски, значит, на одной из сторон доски не менее 3, а значит, не менее 4 коротких и не более 2 длинных сторон. Ясно, что тогда среди коротких сторон на периметре найдутся две соседствующие – противоречие. (ii) Имеем 2 k = 12 коротких сторон, примыкающих к краям доски ABCD (рис.1).

«КВАНТА»

ние доминошек, закрывающих клетки с номерами 1–14. Но после этого закрыть, не нарушая правила, клетку, помеченную синей точкой, невозможно. Противоречие. Пример с длиной границы 50 приведен на рисунке 2. Тем самым, доказанная в пун-

Рис. 2

Рис. 1

Так как не должно быть пар соседствующих друг с другом длинных сторон на периметре доски, к каждой стороне доски примыкают не менее двух коротких сторон. Значит, к какой-то стороне доски, для определенности к горизонтальному отрезку AB, примыкают ровно две короткие стороны, в таком случае примыкание к AB определяется так: длинная-короткая-длинная-короткая-длинная. Тогда к каждому из отрезков AD и BC примыкает не менее 4 коротких сторон, а значит, ровно по 4; к CD тогда примыкают ровно две короткие стороны. Далее, обе клетки, помеченные красными точками, не могут быть покрыты горизонтальными доминошками, иначе на AD найдутся два соседних длинных отрезка. Для определенности, пусть верхняя клетка с красной точкой покрыта вертикальной доминошкой, так что на рисунке 1 закрашены зафиксированные в настоящий момент доминошки. Теперь, так как никакие доминошки не могут примыкать друг к другу короткими сторонами, мы последовательно однозначно определяем положе- кте б) оценка точна, и задача полностью решена. В завершение несколько слов об истории задачи. Пункт а) (автор – Б.Френкин) был предложен летом 2019 года на Турнире матбоев имени А.П.Савина, причем на тот момент жюри не знало точного значения максимума. Задача не была решена ни одной из команд, однако участница турнира Е.Аржанцева построила пример с длиной границы, равной 50, после чего автору удалось усилить оценку до точной. А.Заславский

$M2577^{*}$. Внутри остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q такие, что – ABP = – CBQ и – ACP =

Рис. 1

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШК О ЛЬНИК О В

Задачи

Из трех палочек можно сложить треугольник. От каждой палочки отломили по куску и сложили из них другой треугольник. Всегда ли из оставшихся частей тоже можно сложить треугольник? Л.Емельянов числа a, при котором число a ◊ 1001 ◊ 1003 ◊ 1005 + 4 будет точным квадратом. Н.Агаханов

3. На контурную карту нанесены 10 городов (без названий) и дороги между некоторыми из них. Незнайке дали задание нанести на карту названия

Эти задачи предлагались на XIV Южном математическом турнире.

4. Прямоугольник, состоящий из кле- ток шахматной доски, назовем важным, если все его угловые клетки черные. На каждой клетке шахматной доски написано количество важных прямоугольников, содержащих эту клетку. Пусть B – сумма чисел, написанных на черных клетках, а W – сумма чисел, написанных на белых клетках. Найдите B – W. Олимпиада ЮАР

Иллюстрации Д.Гришуковой

2. Приведите пример натурального городов, но выдали лишь список пар городов, напрямую соединенных дорогой. Этого хватило, чтобы однозначно установить название каждого города. Как такое могло быть? С.Волчёнков

20

КВАН T 2019/№12

зовем это внешним набором чисел фигурки. Пример приведен на рисунке 3,а.

Упражнение 2. Существует ли фигурка с таким внешним набором чисел:

а) 0,3,3,3,3; б) 0,2,3,3; в) 0,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3; г) 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1?

Задача 2. Как по внешнему набору чисел найти периметр фигурки? Во внешнем наборе каждый единичный отрезок периметра посчитан один раз (рис.3,б). Значит, сумма чисел внешнего набора равна периметру: $¦_{внешн} p$. Теперь используем найденные свойства внутреннего и внешнего наборов для вывода полезной формулы. Задача 3. Пусть s – это площадь фигурки, p – ее периметр, а i – количество внутренних перегородок. Найдите и докажите формулу, связывающую эти три величины. Поймем, как связаны внешний и внутренний наборы. В одном случае мы для каждой клетки считали, сколько из ее сторон лежит внутри, а в другом – сколько на границе. Таким образом, в двух наборах вместе мы посчитали все 4 стороны каждой из s клеток. Значит, ¦ внутр ¦ внешн 4s. Используя результаты предыдущих задач, получим: 2 i p 4 s.

Упражнения 4. Квадрат 5 u 5 разрезали на несколько многоугольников так, что суммарная длина разрезов равна 12. Чему может быть равен суммарный периметр всех многоугольников? 5. Доску 6 u 6 разрезали на прямоугольники 1 u 2. Какой может быть суммарная длина разрезов? 6. Квадрат 8 u 8 разрезали на тетраминошки (фигурки из четырех клеток). Суммарная длина разрезов оказалась равна 60. Сколько среди этих фигурок может быть квадратов?

Теперь обсудим следующую задачу. Задача 5 (Н.Стрелкова). Квартира 3 u 3 состоит из 9 квадратных комнат 1 u 1. Каждые две соседние комнаты соединены дверью. Какое наименьшее количество дверей должно быть открыто, чтобы кот, находящийся в одной из комнат, мог свободно гулять по всей квартире? Территорией будем называть множество комнат, между которыми можно свободно передвигаться. Если от одной комнаты нельзя дойти до другой, то они отнесены к разным территориям. (В примере на рисунке 4 территория кота состоит

Упражнение 3. Найдите все фигурки, у которых периметр больше площади а) в 5 раз; б) в 4 раза; в) в 3 раза.

Из доказанной формулы следует такое свойство. Задача 4. Докажите, что периметр клетчатой фигурки всегда является четным числом. Из формулы видно, что p является разностью четных чисел 4s и 2i, поэтому оно тоже четно. В следующих упражнениях снова помогает та идея, что при суммировании периметров частей разрезы учитываются дважды.

Рис. 4

из 5 комнат, а общее количество территорий равно 3.) Первое решение (размер территории кота). Сначала закроем все двери и будем открывать их по порядку. Пусть этот порядок выбирает сам кот. Он может подойти к любой закрытой двери и мяукнуть, и тогда мы откроем ему эту дверь. Если она ведет в новую комнату, территория кота

21

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

увеличится на одну комнату. Если же эта дверь ведет в комнату, до которой кот уже мог дойти иным путем, то территория не изменится. Получается, с каждой открытой дверью территория кота увеличивается не больше чем на 1. Сначала она равна 1, а в конце – 9. Значит, потребуется открыть хотя бы 8 дверей. Задача решена. Подумайте, где именно используется, что мы предлагаем выбрать дверь коту, а не открываем ее сами. Второе решение (количество территорий). Снова закроем все двери и будем открывать их по одной. Теперь будем считать общее количество территорий. Сначала каждая комната образует одну территорию, т.е. всего территорий 9. В конце все комнаты образуют одну территорию. Дверь может соединять либо две разные территории – тогда при ее открывании количество территорий уменьшится на 1, либо соединять территорию с самой собой – тогда количество территорий не уменьшится. Снова выходит, что хотя бы 8 дверей должны быть открыты. В следующем упражнении помогает тот же прием.

Упражнение 7. В квадратном лабиринте размером 6 u 6 от любой клетки можно дойти до любой другой. Какое наибольшее количество внутренних перегородок может в нем быть?

Теперь применим этот подход к клетчатым фигуркам. Задача 6. Какое наименьшее количество внутренних отрезков сетки может быть в фигурке с площадью s? Рассмотрим произвольную фигурку площади s, покрасим ее всю в белый цвет. Выберем одну из клеток фигурки, покрасим ее в черный. Далее будем закрашивать по одной белой клетке в черный цвет так, чтобы новая черная клетка примыкала по стороне к уже закрашенной части. (Такую клетку всегда получится найти: если есть и белая клетка, и черная, то на пути от одной до другой встретится пара из двух соседних разноцветных клеток.) Каждый раз количество внутренних отрезков сетки в черной фигурке будет увеличиваться хотя

ШК О ЛЬНИК О В

бы на единицу. В итоге все клетки станут черными. Значит, внутренних отрезков исходной фигурки не меньше s – 1. Заметим, что алгоритм добавления клеток здесь ровно такой же, что и в задаче про кота. Легко привести пример, в котором внутренних отрезков действительно столько: это, например, прямоугольник 1 u s. Задача 7. Какой наибольший периметр может быть у фигурки с площадью s? Нами уже доказана формула 2 i p 4 s. Из нее видно, что при фиксированном s чем больше p, тем меньше i. Значит, периметр наибольший тогда, когда количество внутренних отрезков наименьшее. Как мы уже выяснили, это достигается в случае i s 1. Подставив это в формулу 2 i p 4 s, получим, что p 2 s 2. Итак, периметр фигурки с площадью s не больше чем 2 s 2. Пример подходит прежний. Попробуйте применить ту же идею последовательного добавления клеток в следующих упражнениях.

Упражнения 8. Из фигурки, состоящей из 20 клеток, можно вырезать квадрат 3 u 3. Докажите, что ее периметр не больше 34. 9. Известно, что некоторую клеточную фигурку можно разрезать на 5 квадратов 2 u 2. Какой наибольший периметр у нее может быть? 10. Нарисуйте по 10 разных фигурок, у каждой из которых периметр равен 14, а площадь равна а) 6; б) 7. в) Почему фигурки из пункта б) содержат квадрат 2 u 2, а фигурки из пункта а) – нет?

Разберем теперь задачу, где можно применить доказанную в задаче 7 оценку периметра. Задача 8. Можно ли квадрат 5 u 5 разрезать на два клетчатых многоугольника, у каждого из которых периметр равен 28? Предположим, что можно так разрезать. Дальше можно действовать по-разному. Первое решение. Так как сумма площадей фигурок равна 25, то у одной из полученных фигурок площадь не больше 12. По предыдущей задаче, ее периметр не больше 2 ˜ 12 2 26. Противоречие.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России

Вступительные экзамены

ФИ З ИКА

ВАРИАНТ 1

1. Во сколько раз уменьшится сила тяготения между двумя одинаковыми однородными шарами, если вначале шары соприкасались друг с другом, а затем один из шаров отодвинули на расстояние, равное удвоенному диаметру шаров? 2. Какую массу воды надо дополнительно испарить в комнате объемом $49,8 м^{3}$, чтобы при температуре 27 q C повысить относительную влажность от 25% до 50%? Давление насыщенных паров при температуре 27 q C равно 3,6 кПа, молярная масса воды 18 г/моль, универсальная газовая постоянная 8,3 Дж моль ˜ К. 3. Расстояние между пластинами в плоском конденсаторе 10 мм. Разность потенциалов между обкладками 300 В. Какая сила со стороны электрического поля будет действовать на заряд 1 нКл, внесенный в конденсатор? 4. Квадратная рамка со стороной 15 см расположена в однородном магнитном поле с индукцией 0,02 Тл так, что нормаль к ее поверхности образует угол 60q с вектором индукции. Определите магнитный поток через плоскость рамки. 5. Подвешенный на легкой пружине шарик совершает гармонические колебания с периодом T и амплитудой A вдоль вертикальной оси. Найдите модуль скорости шарика в те моменты, когда его ускорение по модулю составляет часть D амплитуды ускорения ( D 1 ). 6. На покоящийся на гладком горизонтальном столе клин массой M с высоты h падает резиновый шарик массой m и отскакивает под углом D к горизонту (рис.1). Найдите скорость клина после удара. Соударение между шариком и клином считать

Рис. 1

абсолютно упругим. Трение между столом и клином не учитывать. 7. Одноименные клеммы двух источников с ЭДС $E_{1}$ и $E_{2}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно соединили так, что образовалась замкнутая цепь. Затем к клеммам одного из источников подключили идеальный вольтметр. Найдите его показания, если $E_{1} = 5$ В, $E_{2} = 2$ В, $r_{1} = 10$ Ом, $r_{2} = 5$ Ом. 8. Стержень движется с постоянной скоростью относительно лабораторной системы отсчета (ЛСО) в продольном направлении мимо двух меток A и B, расположенных на расстоянии ’ x друг от друга (в ЛСО). Сначала в момент времени $t_{1}$ напротив метки A оказался передний конец стержня. Затем напротив метки B в моменты $t_{2}$ и $t_{3}$ оказались передний и задний концы стержня соответственно. Найдите собственную длину стержня $L_{0}$.

ВАРИАНТ 2

1. Автомобиль стартует с постоянным ускорением и проезжает участок длиной 100 м. Какова скорость автомобиля в конце участка, если он проезжает его за 5 с? 2. С некоторой высоты со скоростью 20 м с горизонтально брошен камень. Через 4 с после броска кинетическая энергия камня стала равной 3000 Дж. Какова масса камня? 3. ЭДС источника 5 В, его внутреннее сопротивление 3 Ом. Какой ток протекает в

42

К В АН T 2019/№12

подтверждения проверяют подстановкой

y A

$r_{91} x_{A}^{e} A$

$, y_{B}$

$r_{91} x_{B}^{e} B$

и v в уравнение

( ). Например, 1, 90, 46 – корректное подтверждение суммы M = 46. Постройте хотя бы одно корректное подтверждение суммы M = 69.

10 (11 кл.). Известно, что оба числа p и $p^{2018} 800$ простые. Докажите, что число $p^{4} 8$ тоже простое. Публикацию по математике, а также математике и криптографии подготовил С.Рамоданов; по физике – М.Алексеев, В.Попов

ИН Ф ОРМАЦИ Я

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (национального исследовательского университета) (МФТИ) проводит набор в 8–11 классы учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т.п.), расположенных на территории Российской Федерации. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 100 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее бывший ученик. Научно-методическое руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт. Обучение в школе ведется по четырем предметам научно-технической направленности – физике, математике, информатике и химии. В 8 классе изучаются только физика и математика. В 9–11 классах к этим предметам добавляются математические основы информатики и ИКТ (информатика) и химия. Учащиеся могут по своему выбору изучать один, два, три или четыре предмета. Количество заданий в год по классам и предметам представлено в таблице:

Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики, высшей математики и департамента химии МФТИ, а также выпускники МФТИ и другие специалисты, имеющие большой опыт работы с одаренными школьниками. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и 8–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные. Примеры заданий можно посмотреть на сайте ЗФТШ. Цель нашей школы – помочь учащимся 8– 11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся предметами научнотехнической направленности, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Программы ЗФТШ являются профильными дополнительными общеразвивающими программами и едины для всех отделений. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2020/21 учебный год проводится на заочное, очное и очно-заочное отделения. Полная программа обучения рассчитана на 4 года – с 8-го по 11-й классы включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. Согласно положению о ЗФТШ учащийся может обучаться только на одном отделении ЗФТШ.

43

ИН Ф ОРМАЦИ Я

Учащиеся всех отделений, успешно справившиеся с программой ЗФТШ, по окончании 11 класса получают свидетельство с итоговыми оценками по изучавшимся в 11-м классе предметам. Свидетельство учитывается при поступлении в МФТИ в соответствии с правилами приема в МФТИ и Порядком учета индивидуальных достижений поступающих (https://pk.mipt.ru/ bachelor/2020_ID). Ученикам всех отделений будет предложено участвовать в физико-математической олимпиаде «ФИЗТЕХ – 2021», которая проводится на базе МФТИ и в ряде городов России в феврале или начале марта, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и его факультетов. Для учащихся и руководителей факультативных групп работает online-лекторий по физике, математике и химии по программе ЗФТШ. Лекции читают преподаватели МФТИ (как правило, авторы заданий). Подробнее об этих мероприятиях можно прочитать на сайте ЗФТШ. Обучение в ЗФТШ бесплатное. Для учащихся, проживающих за пределами Российской Федерации, возможно только платное обучение на заочном или очнозаочном отделениях.

Заочное отделение (индивидуальное заочное обучение) Телефон: (495) 408-51-45, e-mail: [email protected] Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительного задания по выбранным для изучения предметам. Школьники, поступающие на заочное отделение, выполняют вступительное задание на сайте https://zftsh.online с помощью встроенного редактора или путем прикрепления скан-копий или фотографий работ, выполненных в тетради. Работы, выполненные в тетрадях и присланные по почте, приниматься не будут. При регистрации на https://zftsh.online необходимо прикрепить хорошо читаемую копию справки из школы. Вступительное задание необходимо отправить на проверку не позднее 1 марта 2020 года. Решение приемной комиссии будет сооб-

щено в июле 2020 года по указанному при регистрации адресу электронной почты. Также в личном аккаунте появится справка о зачислении в ЗФТШ. Вниманию школьников, уже обучающихся на заочном отделении ЗФТШ Если школьник уже обучается в ЗФТШ и хочет добавить на следующий год еще предмет, необходимо до 1 марта 2020 года выполнить на сайте https://zftsh.online вступительное задание по этому предмету. Выполнить вступительное задание нужно из своего уже имеющегося аккаунта. Еще раз регистрироваться не надо. Решение приемной комиссии в таких случаях не высылается, а справка о добавлении предмета и задания по нему становятся доступными ученику в личном аккаунте в июле в случае положительного решения приемной комиссии. Обучение на платформе zftsh.online Ученик в течение учебного года в соответствии с программой получает в личном кабинете на сайте https://zftsh.online доступ к заданиям по изучаемым предметам. Ученик выполняет на сайте задания с помощью встроенного редактора или путем прикрепления скан-копий или фотографий работ, выполненных в тетради. Работы по истечении срока выполнения проверяют на сайте закрепленные за учеником преподаватели ЗФТШ. Как только работа проверена, ученик видит свою работу с рецензией и авторскими решениями контрольной части задания.

Очно-заочное отделение (обучение в факультативных группах) Телефон: (498) 744-63-51, e-mail: [email protected] Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении двумя, тремя или четырьмя преподавателями – физики, математики, информатики и химии, в отдельных случаях разрешается обучение по одному предмету. Руководители факультатива принимают в него учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ЗФТШ (работы проверяются руководителями групп и в ЗФТШ не высылаются). Группа (не менее 7 человек) принимается в ЗФТШ по заявлению директора на бланке

44

К В АН T 2019/№12

общеобразовательного учреждения (образец можно посмотреть на сайте ЗФТШ в разделе «отделения» o «очно-заочное» o «поступление»). В заявлении должны быть указаны Ф.И.О. руководителей факультативной группы по предметам и поименный алфавитный список обучающихся (Ф. И. О. в алфавитном порядке полностью с указанием класса, в который поступают учащиеся, и итоговых оценок за вступительное задание по выбранным предметам, адрес, телефон и e-mail школы). Заявление можно выслать обычной почтой, вложив конверт для ответа о приеме в ЗФТШ с обратным адресом одного из руководителей на адрес ЗФТШ (с пометкой «Факультатив»), или выслать в отсканированном виде (с подписями и печатью) на e- mail: [email protected] до 1 апреля 2020 года. Работа руководителей факультативов может оплачиваться общеобразовательным учреждением как руководство профильными факультативными занятиями по предоставлении ЗФТШ соответствующих сведений. Руководители, работающие с учащимися, будут в течение учебного года получать учебно-методические материалы (программы по физике, математике, химии и информатике, задания по темам программ, решения заданий с краткими рекомендациями по оценке работ учащихся); приглашаться на курсы повышения квалификации учителей физики и математики (kpk.mipt.ru), проводимые на базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оценивают руководители факультативных групп (в ЗФТШ не высылаются), а в ЗФТШ высылаются ведомости с итоговыми оценками по каждому заданию и итоговая ведомость (11 класс) за год, образец – на сайте ЗФТШ. (Подробнее – в разделе «Рекомендации».)

Очное отделение (заочное обучение с посещением очных консультаций) Телефон: (925) 755-55-80, Группа ВК: https://vk.com/vftsh Для учащихся Москвы и Московской области по программе ЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Набор в них проводится в сентябре в два этапа: i заочный этап – тестирование на сайте http://zftsh.online,

i очный этап – устные экзамены. Более подробная информация о наборе на очное отделение будет размещена на сайтах ЗФТШ в августе 2020 года. Занятия с учащимися очного отделения проводятся в учебных корпусах МФТИ в городах Долгопрудный и Жуковский.

Контакты ЗФТШ

Почтовый адрес: Институтский пер., д.9, г.Долгопрудный, Московская область, 141700, ЗФТШ. Телефоны: (495) 408–51–45 – заочное отделение, (498) 744–63–51 – очно-заочное отделение, (498) 744–65-83 и (925) 755–55– 80 – очное отделение. E-mail: [email protected] – заочное отделение, [email protected] – очно-заочное отделение. Web: www.school.mipt.ru https://zftsh.online ВК: https://vk.com/club1032617 Очное отделение при ФАЛТ МФТИ в Жуковском – E-mail: [email protected] ВК: https://vk.com/vftshfalt

Ниже приводятся вступительные задания по физике, математике, информатике и химии. Номера задач, обязательных для выполнения (для поступления на заочное и очно-заочное отделения), и максимальные баллы приводятся в таблицах (в физике

Номера задач

Максимальные баллы

48

К В АН T 2019/№12

1. Май; 2) июнь; 3) июль; 4) август. 15 (3 б.). На вход программе подается последовательность натуральных чисел. Признак конца ввода – ноль. Напишите программу, которая находит сумму трехзначных чисел, кратных трем и последняя цифра которых равна 7. Числа не превосходят 10000. Массивы не использовать.

ХИМИЯ

Рис. 6

вок турфирмой «Все на отдых» за 4 месяца (рис.7). Для каждого месяца вычислено общее количество проданных путевок и сред-

Рис. 7

няя цена одной путевки (рис.8). Известно, что доход фирмы от продажи каждой путевки не зависит от места отдыха и равен 10% от средней цены путевки в текущем месяце. В каком месяце доход турфирмы был максимальный?

Рис. 8

1 (2 б.). Рассчитайте плотность 12%-го раствора карбоната натрия, полученного упариванием его 10%-го раствора массой 150 г до объема 112 мл. 2 (5 б.). Бертоллетову соль массой 24,5 г прокалили в присутствии диоксида марганца. Полученный газ смешали с газом, который образовался при взаимодействии диоксида марганца массой 26,1 г с избытком концентрированной соляной кислоты. Определите относительную плотность полученной газовой смеси по воздуху. Возможно ли взаимодействие компонентов данной смеси друг с другом? 3 (15 б.). Даны четыре вещества: водный раствор гидроксида натрия, соляная кислота, углекислый газ и оксид хрома (III). Напишите не менее пятнадцати уравнений реакций с участием данных веществ, а также с участием продуктов их взаимодействия. 4 (4 б.). В водном растворе соляной и азотной кислот массой 170 г соотношение массы воды и массы обеих кислот составляет 3:2. При обработке этого раствора избытком гидрокарбоната натрия выделилось 33,6 л газа. Определите массовые доли каждой из кислот в растворе. 5 (4 б.). Масса атома стабильного изотопа элемента Х равна 4,98 ˜ $10^{24}$ г. Определите, что это за элемент, и рассчитайте объем фтора (л, н. у.), который может прореагировать с простым веществом элемента Х массой 6,0 г. Каким станет данный объем при давлении 2 атм и температуре 40 q C? 6 (8 б.). Изотопы элементов Х и Y имеют массовые числа 37 и 40 соответственно. Их ядра содержат по 20 нейтронов. 1) Определите, каким химическим элементам соответствуют изотопы, напишите электронные конфигурации для их атомов. 2) Определите характерные степени окисления данных элементов и напишите электронные конфигура-

49

ОТ В ЕТЫ,

У КАЗАНИ Я,

ции для всех полученных заряженных частиц. 3) Приведите формулы высших оксидов данных элементов. Возможно ли взаимодействие между этими оксидами? Объясните, почему. Если возможно, напишите уравнение реакции. 7 (4 б.). Растворимость сульфата натрия в 100 г воды при 20 q C составляет 19,2 г, а при 30 q C – 40,8 г. Вычислите массу глауберовой соли, которая выпадет в осадок, если 500 г насыщенного при 30 q C раствора охладить до 20 q C. 8 (3 б.). При добавлении по каплям раствора гидроксида натрия к раствору хлорида алюминия образуется белый аморфный осадок, а при добавлении раствора хлорида алюминия к раствору гидроксида натрия – нет (рис.9). Объясните данное

РЕ Ш ЕНИ Я

Рис. 10

10 (6 б.). Изотопы элементов Х и Y имеют массовые числа 37 и 40 соответственно. Их ядра содержат по 20 нейтронов. 1) Определите, каким химическим элементам соответствуют изотопы, напишите электронные конфигурации для их атомов. 2) Определите характерные степени окисления данных элементов и напишите электронные конфигурации заряженных частиц в высшей и низшей степенях окисления. 3) Приведите формулы высших оксидов данных элементов. Возможно ли взаимодействие между этими оксидами? Объясните, почему. Если возможно, напишите уравнение реакции. 11 (4 б.). При сжигании дихлоралкена массой 37,5 г получили смесь газов ( 200 q C ) общей массой 85,5 г. Установите молекулярную и структурную формулы органического вещества, если известно, что оно не имеет ни геометрических изомеров, ни заместителей при атомах углерода, находящихся в $sp^{3}$ -гибридном состоянии. 12 (6 б.). Составьте цепочку превращений (рис.11).

Рис. 9

явление, напишите уравнения протекающих реакций в молекулярной и краткой ионной формах. 9 (5 б.). Осуществите цепочку превращений (рис.10).

Рис. 11

ОТ В ЕТЫ, У КАЗАНИ Я, РЕ Ш ЕНИ Я

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №11)

1. Ответ приведен на рисунке 1. 2. 8 минут 20 секунд. Если расстояние от пальмы до баобаба равно S метров, то скорость реки S 25 м мин. Пусть скорость живого крокодила V м мин, тогда S = 25 ( V - S 25 ), так как живой крокодил расстояние S проплывает за 25 минут против тече-

Рис. 1