Квант 2020, №1 · Страницы

6

КВАНТ 2020/№1

в длинах волн, а в частотах.

лядело логически безупречным.

Частицы или волны?

Степень свободы

С самого начала механика встречалась с задачами, которые можно было разбить на два совершенно разных класса. Движение материальных точек и твердых тел описывалось уравнениями Ньютона. Из этих уравнений можно было определять траектории движения тел, например планет Солнечной системы, и описывать, как происходит движение вдоль траекторий. Но были и другие объекты. Движение воды в каналах, распространение звука в воздухе, изгиб железной балки – все эти задачи относились к механике сплошных сред, и ими занимались гидродинамика, аэродинамика, теория упругости и другие разделы механики. Сплошная среда и система материальных точек представлялись совершенно разными физическими объектами. Если, решая задачу о течении воды, и выделяли мысленно небольшой объем жидкости, то этот объем никак не связывали с молекулами жидкости (о молекулах вообще узнали через много лет после того, как были написаны уравнения гидродинамики). Волны в воде или в воздухе (например, те, которые называют звуком) и планеты, движущиеся вокруг Солнца, имели, казалось, мало общего. Все было ясно, вот только в оптике оставался нерешенным вопрос: что такое свет? Поток мельчайших частиц, как это думал Ньютон – сторонник корпускулярной теории, или это волны в какой-то среде, мировом эфире, как думал Гюйгенс – создатель волновой оптики? Популярность каждой из теорий в разное время была различной, но никто не мог найти решающего аргумента в пользу одной из них: свет в одних явлениях вел себя, как поток корпускул, в других – как волны. Сейчас мы хорошо знаем, что в этом нет противоречия – поверить в это стало возможным лишь благодаря квантовой теории. В прошлом же веке противоречие казалось неразрешимым. Свет должен был быть либо волной, либо частицей. Это утверждение выг-

Разница между системой материальных частиц и сплошной средой выступает очень четко, если посмотреть, каким числом координат задается состояние системы. Положение каждой точки в пространстве задается тремя числами – тремя координатами. Говорят, что материальная точка имеет три степени свободы. Если в систему входит N материальных точек, то говорят, что она имеет 3N степеней свободы. Такое же рассуждение можно провести и для скоростей. Скорость одной точки описывается тремя числами – тремя компонентами вектора скорости. Скорости N точек требуют для своего описания 3N чисел. Сколько чисел надо задать, чтобы описать состояние поверхности моря? Строго говоря, для каждой точки поверхности надо задать три числа – вектор скорости воды в данной точке; следовательно, чисел будет бесконечно много. Поверхность моря представляется нам как система с бесконечно большим числом степеней свободы. Даже тот факт, что вода состоит из молекул, а потому число степеней свободы можно определить, сосчитав молекулы, не облегчает задачу: молекул настолько много, что практически число степеней свободы остается бесконечно большим. В действительности же нас не интересует движение каждой молекулы. Когда по морю бегут волны, например от идущего корабля, то мы можем описать картину распределения волн, используя сравнительно немного чисел. Мы можем задавать величину амплитуды и фазы каждой волны; волн хотя и много, но все же меньше, чем молекул. Кроме того, картина, в основном, повторяется со временем: волны более или менее одинаковые. В каждой волне движется много молекул, движение носит коллективный характер, и мы можем говорить о коллективных степенях свободы на поверхности моря, в отличие от индивидуальных сте-

12

КВАНТ 2020/№1

ния энергии и импульса так же, как для других частиц? И хотя в положительном ответе на этот вопрос никто не сомневался, все же прямая экспериментальная проверка законов сохранения была бы очень полезной. Такая проверка была осуществлена в 1925 году Артуром Комптоном, который изучал, как рассеиваются кванты света, когда они падают на покоящийся электрон. Комптон обнаружил, во-первых, что электрон испытывает отдачу, т.е. электрон получает от кванта импульс, а вовторых, что квант теряет энергию и его частота уменьшается. Качественно картина была похожей на столкновение частиц. Но Комптон показал и больше – что энергия и импульс электрона и кванта в конце соударения как раз такие, какие получаются из уравнений, описывающих законы

сохранения.

Заключение

Таким образом, начав с изучения световых волн, физики постепенно пришли к механике квантов, очень напоминающей механику Ньютона, только с теми обобщениями, которые принесла с собой теория относительности. Рождение новой науки всегда происходило так, что в ней причудливо переплетались разные, в прошлом далеко стоящие друг от друга факты и выявлялись связи, не замечаемые ранее. Термодинамика, кинетическая теория газов, электродинамика, оптика и, наконец, теория относительности – вот тот фундамент, на котором из формулы Планка выросло здание современной физики.

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

Как дерево спасает от дождя

…кажется, дождик собирается, кажется, дождик собирается… А.Милн

Зададимся чрезвычайно простым вопросом: каким образом дерево укрывает от дождя? Конечно, о пальме, листом которой можно укрыть стадо слонов, речь не идет. Но ведь от дождя можно спрятаться и под елью, и под березой. Что же происходит при этом? Не спешите с ответом, который напрашивается сам собой, – что капли задерживаются на листьях. Ведь больше двух-трех капелек на листе не удержится. Не думайте, что капли испаряются с листьев во время дождя, – влажность столь велика при дожде, что даже выстиранное белье не сохнет. Как же маленькие листья, а тем более еловые или сосновые иглы, спасают от дождя? Или мы обманули себя, спрятавшись под дерево, когда «…разыгралась непогода: мол-

Опубликовано в «Кванте» №7 за 1991 год и «Кванте» №4 за 1992 год.

ния так и сверкала, а дождь лил как из ведра» (Г.X.Андерсен)? Как показывает житейский опыт, береза или ель – и не хуже, чем пальма – действительно спасает от дождя. И вот каким образом. Капля, упав на лист (или иголку), съезжает, как по канатной дороге, на самую удаленную от ствола часть листа – острие. С острия капля срывается и… падает на следующий лист, расположенный ниже. В дождливую погоду в лесу можно услышать «…множество различных оттенков стука дождевых капель, падающих с листа на листок» (Марсель Эме), и увидеть, как «…бежала с чашечки на чашечку грозой одуренная влага» (Б.Пастернак). Скатываясь с листа (иголки), капля удаляется от ствола на три-четыре сантиметра. А встретив на пути десять, двадцать листьев (игл), она будет отброшена на значительное расстояние. Как будто просто прокатилась по крыше. Вот и все. E.Гурович

19

КРИВЫЕ

ДРАКОНА

в) Если, как в задаче 10, выпустить из одной точки четыре Главные ломаные дракона ранга f, то по каждому отрезку сетки пройдет ровно одно звено одной из этих ломаных (рис.12). (Это – трудная теорема; ее впервые доказал Д.Э.Кнут.)

Еще несколько красивых кривых дракона изображены на рисунках 13–15.

б) а)

Рис. 12

а)

б)

Рис. 13. Эта кривая получается, если, начиная с отрезка, повторять процесс «удвоения» 12 раз, причем чередовать повороты по и против часовой стрелки. Чтобы лучше показать, как идет эта кривая, мы поворачиваем каждый раз не на 90q, а на 95q (черная линия); если уменьшить углы до 90q, то получится кривая дракона, которая изображена на рисунке цветной линией; она заполняет равномерным узором равнобедренный прямоугольный треугольник

20

КВАНТ 2020/№1

Ответы и указания

Рис. 14. Эта кривая дракона ранга 12 имеет специальное название «Папа, мама и сын». Найдите ее середину. Можете ли вы себе представить, что кривая разбивается этой точкой на два совершенно одинаковых куска, получающихся друг из друга поворотом на 90q? Чтобы поверить в это, придется, вероятно, пройтись по кривой цветным карандашом от начала до середины

Рис. 15. Здесь одна из двух половин кривой (она называется «Паровоз») нарисована цветной, чтобы показать, как эти две кривые «сцепляются» между собой. Одна половина после поворота ее вокруг средней точки на 90q совпадет с другой

1. Меньше: $2^{30}$ см $= 1024^{3}$ см $= (1,024)^{3}. 10^{9}$ см $| |. 10^{9}$ см = 10700 км, а до Луны примерно 384000 км. 2. Ломаная заменится зеркально симметричной. В записывающем ее слове каждая буква изменится на противоположную: R на L, a L на R. 3. б) $2^{n–2}$ (при n t 2); сравните с задачей 5, г, д. 4. Черепаха прочтет слово, которое получается из исходного слова, если записать его буквы в обратном порядке, а затем всюду поменять L на R, a R на L. Это утверждение верно для любой ломаной. Для ломаных дракона новое слово из старого получается совсем просто – надо только заменить в исходном слове среднюю букву на противоположную (см. задачу 5). 5. Используйте теоремы 1, 2 и задачу 3. 6. Вообще говоря, другие (например, для ломаной RRLLRLLLRRLRRLL). 7. Используйте теорему 2. 9. Можно провести индукцию по n (рангу ломаной), доказав с помощью задачи 8, что достраиваемые согласно теореме 2 треугольники не могут прилегать друг к другу катетами. 10. То, что две соседние ломаные (получающиеся друг из друга поворотом на 90q) не имеют общего отрезка, вытекает из теоремы 1 и задачи 9. Чтобы строго доказать, что две симметричные друг другу относительно точки О ломаные не могут иметь общего отрезка, можно использовать теорему Жордана: «замкнутая несамопересекающаяся линия делит плоскость на две такие области – внутреннюю и внешнюю, что любая линия, один конец которой лежит во внешней области, а другой во внутренней, пересекает данную линию»; при этом, поскольку наши ломаные дракона приходят в некоторые вершины по два раза, удобнее перейти к кривым дракона. 12. а) Проверьте, пользуясь теоремой 1 (индукция по n). б) Сравните с задачей 7.

Вычисления без вычислений

А.МИГДАЛ

Если математика – это искусство избегать вычислений, то теоретическая физика – это искусство вычислять без математики.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ, ПРИВЕДЕННОЕ В КА- честве эпиграфа, возникло в результате споров физиков и математиков и нуждается в разъяснении. Даже самые простые вычисления в физике не обходятся без математики. Однако на первой, самой важной стадии работы физика-теоретика, когда устанавливается физическая картина

Опубликовано в «Кванте» №8 за 1979 год.

явления, математика отступает на задний план и играет только подсобную роль. Но прежде чем говорить о связи физики и математики, следует пояснить, что такое теоретическая физика.

Как работают физики?

Экспериментаторы и теоретики. Существует два типа физиков – экспериментаторы и теоретики, причем эти две профессии почти никогда не совмещаются в одном лице. Физики-эксперимента-

22

КВАНТ 2020/№1

торы исследуют соотношения между физическими величинами, или, говоря более торжественно, открывают законы природы, пользуясь экспериментальными установками, т.е. производя измерения физических величин с помощью приборов. Для этого надо глубоко понять изучаемые явления, чтобы знать, что и как измерять. Физики-теоретики изучают природу, пользуясь только бумагой и карандашом, т.е. выводя новые соотношения между наблюдаемыми величинами, опираясь на найденные ранее экспериментально и теоретически законы природы. Причина разделения этих двух профессий не только в том, что каждая из них требует своих специальных знаний: знания методов измерения – в одном случае и владения математическим аппаратом – в другом. Главная причина в том, что эти профессии соответствуют различным характерам мышления и различным формам интуиции. Интуиция, т.е. способность подсознательно находить правильный путь, играет важнейшую роль, особенно на первых стадиях работы. К сожалению, дар интуиции возникает не сразу, а в результате упорной работы, как награда за решение многих научных задач. Поскольку теоретическая физика имеет дело с более отвлеченными понятиями, чем физика экспериментальная, физикутеоретику требуется более абстрактная форма интуиции, близкая иногда к интуиции математика. В прошлом веке, когда физика еще не была так специализирована, многие физики совмещали обе профессии. Так, Максвелл, который получил теоретически уравнения, описывающие все электромагнитные явления, занимался и экспериментами. Герц, который обнаружил экспериментально электромагнитные волны, был одновременно и хорошим теоретиком. И все-таки в каждом случае можно указать, какая из профессий главная: для Максвелла это – теоретическая физика, а для Герца – физика экспериментальная. В XX веке одним из самых замечательных примеров «универсального» физика – и теоретика, и экспериментатора – был

Энрико Ферми. Наряду со многими другими работами Ферми создал теорию радиоактивного распада и вместе с физиками своей группы открыл экспериментально искусственную радиоактивность элементов, возникающую при бомбардировке нейтронами. Еще одним примером выдающегося теоретика, тесно связанного с экспериментом, был академик Г.И.Будкер, у которого теоретическая физика совмещалась с замечательными инженерными идеями. Он руководил теоретической разработкой и практическим осуществлением ускорителя на встречных пучках заряженных частиц в Новосибирском Академгородке. Однако это – редкие исключения, и молодой человек, интересующийся физикой, должен решить для себя, какую из двух профессий он выбирает. В дальнейшем речь пойдет о работе физиков-теоретиков. Физика и математика. Итак, задача физика-теоретика – получать соотношения между наблюдаемыми величинами с помощью математических выкладок. Не означает ли это, что теоретическая физика представляет собой нечто вроде прикладной математики? Такая точка зрения совершенно неверна. И по характеру задач, и по методам подхода к задачам математика и теоретическая физика категорически отличаются. В математике важнейшую роль играют математическая строгость, т.е. логическая безупречность всех выводов, вытекающих из принятых аксиом, и исследование всех логически возможных соотношений. Задача физики – воссоздать по возможности точную картину мира без строгих «правил игры», используя все известные экспериментальные и теоретические факты, а также основанные на интуиции догадки, которые в дальнейшем будут проверены на опыте. Так, математик исследует все логически возможные типы геометрий, физик же выясняет, какие геометрические соотношения осуществляются в нашем мире. Математик, даже если он занимается прикладными задачами, т.е. задачами, пришедшими не из математики, берется за

Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения

В.АРНОЛЬД

Уравнение было очень сложное, но профессор с присущей ему скромностью назвал его обыкновенным. Из газетного интервью с математиком

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – одно из основных орудий математического естествознания. Изобрел их Исаак Ньютон (1642–1727). Задачи, по существу приводящие к дифференциальным уравнениям, появлялись и до Ньютона. Однако решать их умели лишь такие гении, как президент французской Академии наук X.Гюйгенс (1629–1695) и учитель Ньютона, математик и богослов, проповедник английского короля И.Барроу (1630–1677). После Ньютона их решают любые студенты и даже школьники. Ньютон считал свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде $анаграммы^{1}$, смысл которой в современ-

1 6accdael3eff7i3l9n4o4qrr4s9tl2vx. Расшифровка: data aequatione quotcunque fluentes quantitates invuolvente fluxiones invenire et vice versa, т.е. «по данному уравнению, содержащему сколько-нибудь функций, найти производную и обратно». Эта анаграмма содержится в знаменитом «втором письме» Ньютона секретарю Королевского общества (английской академии наук) Ольденбургу от 24 октября 1676 года. Письмо предназначалось Лейбницу (1646–1716) и содержало сообщение об изобретении математического анализа. Переписку с Лейбницем, жившим в Германии, Ньютон вел через Ольденбурга (которого впоследствии заключили в Тауэр за связь с иностранцами).

Опубликовано в «Кванте» №2 за 1986 год.

ных терминах можно вольно передать так: «полезно» решать дифференциальные уравнения (так как ими выражаются законы природы). В другой, более длинной анаграмме Ньютон зашифровал также и придуманный им рецепт решения всех уравнений, в том числе и дифференциальных. Теория дифференциальных уравнений перерабатывает вопросы естествознания в геометрические задачи о кривых, определенных векторными полями (см. ниже), подобно тому, как декартов метод координат превращает вопросы об алгебраических уравнениях в задачи о линиях и поверхностях.

Состояния процесса

Чтобы изучить какой-либо процесс, нужно прежде всего уметь описывать множество всевозможных состояний этого процесса. Посмотрим, как это делается, на примерах. 1. Движение точки по прямой. Опыт показывает, что для определения движе-

Рис. 1. Движение по прямой

30

КВАНТ 2020/№1

ния материальной точки по прямой в отсутствие внешних сил достаточно задать в начальный момент ее скорость и положение на прямой. Поэтому множество всех ее состояний математик отождествляет с координатной плоскостью s; v: каждой точке на этой плоскости отвечает материальная точка, движущаяся со скоростью v и занимающая положение с координатой s, и обратно – каждому состоянию отвечает своя точка плоскости (рис.1). 2. Колебания маятника. Состояние плоского маятника тоже описывается двумя параметрами, например углом отклонения T от вертикали и угловой скоростью Z маятника (рис.2). Стало быть, множе-

Рис. 2. Колебания маятника

ством состояний маятника снова будет плоскость? Не совсем. Дело в том, что при изменении угла T на 2S маятник возвращается в прежнее положение. Поэтому множество состояний здесь – цилиндрическая поверхность (см. рис.2). 3. Положение возов на двух дорогах. Города А к В соединены двумя непересекающимися дорогами, на каждой из которых находится воз; нас интересует их взаимное расположение. Положение воза на первой дороге (рис.3) можно определить числом –

Рис. 3. Задача о двух возах на двух дорогах

долей расстояния от А до В (по первой дороге), заключенной между А и возом; аналогично, воз на второй дороге определяется такой же долей по второй дороге. Поэтому интересующее нас множество состояний описывается точками x; y единичного квадрата ( 0 d x d 1, 0 d y d 1 ). Множества состояний процесса в теории дифференциальных уравнений называют фазовыми пространствами. Итак, каждая точка фазового пространства (фазовая точка) изображает состояние процесса. А само течение конкретного процесса изображается линией в фазовом пространстве; эти линии называются фазовыми траекториями. Введение фазового пространства процесса геометризует теорию – вопросы о ходе процесса превращаются в вопросы о поведении фазовых траекторий. Получающиеся геометрические задачи могут быть трудными. Однако бывает и так, что уже одно введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу. Задача (Н.Н.Константинов). Из города А в город В ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из А в В и связанные веревкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из А в В, не порвав веревки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза с сеном радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу? Фазовым пространством здесь служит единичный квадрат. Начальное положение машин (в городе А) соответствует левому нижнему углу квадрата, а движение машин из А в В изображается кривой, ведущей в противоположный угол (см. рис.3). Точно так же начальное положение возов соответствует правому нижнему углу квадрата, а движение возов изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата (левый верхний). Но всякие две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Поэтому, как бы ни двигались возы, наступит момент, когда пара возов займет положение, в котором была в некоторый момент времени пара машин. В этот

41

ЗАДАЧНИК

те график зависимости напряжения на нагрузке, на которую замкнут источник, от сопротивления нагрузки. Подключим к источнику резистор с сопротивлением R. Напряжение на нагрузке связано с током простым соотношением: $U_{н} RI$. На том же рисунке, где изображена зависимость U I напряжения источника от тока через него, нарисуем прямую $U_{н} RI$. Точка пересечения графика U I и прямой $U_{н} RI$ даст нам искомые ток и напряжение. Для обычного источника, у которого напряжение на зажимах тем меньше, чем больше ток, никаких проблем больше не возникает – точка пересечения одна и результат определяется однозначно. А вот для необычного источника, у которого на некотором участке напряжение растет с ростом тока, есть область значений R, при которых точек пересечения целых три. Понятно, что ток не может иметь одновременно три значения; значит, с этой областью нужно разбираться отдельно – удобный графический способ нахождения тока в цепи тут явно не подходит. Подключим к источнику сначала резистор с очень большим сопротивлением, а затем будем постепенно сопротивление уменьшать. Первоначальный ток в цепи будет очень малым, и при уменьшении сопротивления он будет возрастать. На

Рис. 2

рисунке 2 такому режиму соответствует участок ab, на котором значения U и I U меняются от $U_{a} = 20$ В, $I_{a} = 0$ до $U_{b} | 10$ В, $I_{b} | 120$ мА. Каждая точка этого участка соответствует устойчивому

«КВАНТА»

состоянию (малые изменения тока в цепи приводят к изменениям напряжения, которые стремятся компенсировать изменения тока; это характерно для всех «нормальных» цепей). При дальнейшем уменьшении R режим меняется скачком от $U_{b}, I_{b}$ до $U_{c} | 22$ В, $I_{c} | 260$ мА, а затем – снова «устойчивый» режим (справа от точки с по кривой U I ). Если мы начнем с малых сопротивлений резистора, то при увеличении R мы дойдем до точки d (рис.3), затем – скачок от $U_{d} | 23$ В, $I_{d} | 210$ мА до $U_{e} | 8$ В, $I_{e} | 80$ мА и снова по кривой U I до точки а.

Рис. 3

А что если взять резистор, сопротивление которого лежит в области 80 Ом < < R < 100 Ом (значению R | 80 Ом соответствуют точки b и с на рисунке 2, значению R | 100 Ом – точки е и d на рисунке 3), и подключить его к источнику? Каковы будут напряжение и ток в цепи? Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать такие параметры цепи, как индуктивность проводов, емкость между выводами резистора. Если, например, индуктивность проводов большая (длинные провода), а емкость между проводами маленькая, то в момент подключения резистора к источнику ток будет малым (влияние индуктивности), а затем будет нарастать – режим в цепи будет устанавливаться в соответствии с рисунком 2. Если велика емкость между подключаемыми к источнику проводами, а индуктивность проводов маленькая, то в первый момент ток будет большим и станет

НАШИ ИНТЕРВЬЮ

Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым

Мы находимся в старом деревянном доме в деревне Комаровка под Москвой, где Андрей Николаевич обычно проводит конец недели. Светлая, скромно обставленная комната. В одном из углов старый, но качественный проигрыватель со специальными полками для пластинок. Стены заставлены стеллажами с книгами. В середине комнаты большой стол с множеством книг, оттисков статей, рукописей, художественных альбомов. Андрей Николаевич сидит у окна за небольшим письменным столом. Рядом с пишущей машинкой и аккуратно сложенными исписанными листами бумаги стоит магнитофон, на который записывается наша беседа. Стенограмму этой беседы мы и предлагаем вашему вниманию. – Андрей Николаевич, часто приходится слышать о возрастающей специализации науки. В то же время известно, что вы занимались такими далекими друг от друга областями математики, как теория вероятностей и алгебраическая топология, математическая логика и теория динамических систем. В чем, по-вашему, будущее науки – в универсальности или специализации? – Математика велика. Один человек не в состоянии изучить все ее разветвления. В этом смысле специализация неизбежна. Но в то же время математика – единая наука. Все новые и новые связи возникают между ее разделами, иногда самым непредвиденным образом. Одни разделы служат инструментами для других разделов. Поэтому замыкание математиков в слишком узких пределах, должно быть, гибельно для нашей науки. Положение облегчается тем, что работа в области математики, в принципе, коллективна. Должно быть некоторое количество математиков, которые понимают взаимные связи между самыми различными областями математики. С другой стороны, можно работать с большим успехом и в какой-нибудь совсем узкой ветви математики. Но в этом случае

Опубликовано в «Кванте» №4 за 1983 год (к 80-летию А.Н.Колмогорова).

надо еще, хотя бы в общих чертах, понимать связи между своей специальной областью исследования с областями смежными, понимать, что, по существу, научная работа в математике – коллективная работа. – Что вы можете сказать о соотношении и связях прикладной и чистой математики? – Прежде всего, нужно заметить, что само различие между прикладной и чистой математикой чрезвычайно условно. Вопросы, которые, казалось бы, принадлежат к чистой математике и не имеют применений, очень часто совершенно неожиданно оказываются важными для разных приложений. С другой стороны, занимаясь прикладной математикой, ученый почти неизбежно наталкивается на смежные вопросы, решающиеся теми же методами, привлекающие его своей логической красотой, но, собственно говоря, непосредственных приложений уже не получающие. Вероятно, в практической работе математика нужно проявлять должную широту. Несомненно, что математики должны, это их долг, заниматься всеми теми вопросами, которые настоятельно навязываются вопросами практики. Если смежные вопросы, пусть сразу применений не имеющие, являются привлекательными хотя бы в силу красоты и естественности возникающих задач, ими, конечно, тоже нужно заниматься.

44

КВАНТ 2020/№1

– Норберт Винер пишет в своей автобиографической книге, что перестал заниматься функциональным анализом, когда почувствовал, что «Колмогоров наступает мне на пятки». А как вы относитесь к конкуренции в математике? – Заявление Винера мне не совсем понятно. В функциональном анализе я сделал немного. Самая интересная моя работа по функциональному анализу называется «Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве». Что касается конкуренции, то конкуренция может быть дружеской, тогда она мало отличается от сотрудничества. Тесное содружество, когда два математика одновременно и параллельно думают над одной и той же проблемой, порой бывает очень продуктивным. Но при этом иногда бывает и так, что участие одного из сотрудников практически оказывается излишним и тогда ему разумно без обиды отойти в сторону. – Всегда ли математика была вашим основным увлечением? Когда вы окончательно выбрали математику как профессию? – Нет, как это часто бывает, пути моего развития были более извилистыми. С раннего детства было известно, что я умею хорошо считать и что меня интересуют математические задачи арифметического характера; я сравнительно рано познакомился и с началами алгебры. Но все это относится к очень раннему возрасту. Несколько позднее, в средних классах школы, победили уже совсем другие увлечения – в частности, историей. Возврат к математике произошел в самых последних классах средней школы. Когда я кончил среднюю школу, то долго колебался в выборе дальнейшего пути. В первые студенческие годы, кроме математики, я занимался самым серьезным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С.В.Бахрушина. Не бросал мысль о технической карьере, почемуто меня увлекала металлургия, и, параллельно с университетом, я поступил на металлургическое отделение Химико-технологического института имени Менделеева и некоторое время там проучился. Окончательный выбор математики как профессии, собственно говоря, произошел, когда я начал получать первые самостоятельные

научные результаты, т.е. лет с восемнадцати-девятнадцати. – Когда обычно проявляются способности к математике? Всегда ли, как у вас, в раннем возрасте? – Я довольно много преподавал в средней школе. У меня сложилось такое впечатление, что интерес к математике в средних классах, в возрасте двенадцати-тринадцати лет, часто оказывается временным и совсем проходит к старшим классам. Особенно часто это бывает у девочек. С теми школьниками, которые увлечены математикой в возрасте 13–14–15 лет, по-моему, стоит работать. При умелом культивировании их способности постепенно развиваются и, как правило, уже не теряются. Бывает, конечно, и очень много исключений. Разумеется, серьезный интерес к математике может проявиться и позже. – Какие математики старшего поколения оказали на вас наибольшее влияние? – В студенческие годы я был учеником Николая Николаевича Лузина. Кроме него большое влияние оказали на меня Вячеслав Васильевич Степанов, Александр Яковлевич Хинчин, Павел Сергеевич Александров и другие математики их поколения. – Что вам хотелось бы сказать о своих учениках и кого из них вы хотели бы упомянуть? – Мне повезло на талантливых учеников. Многие из них, начав работу вместе со мной в какой-нибудь области, потом переходили на новую тематику и уже совершенно независимо от меня получали замечательные результаты. Выделить из них наиболее заслуживающих упоминания было бы трудно. Скажу только в виде шутки, что в настоящее время один из моих учеников управляет земной атмосферой, а другой – океанами. – Андрей Николаевич, каков ваш режим дня? – Естественно, в течение моей достаточно длинной жизни режим дня в разные ее периоды был различным. Опишу, пожалуй, только тот режим дня, который мы с Павлом Сергеевичем Александровым установили для себя на те 3–4 дня в неделю, которые мы проводили за городом, под Москвой, в деревне Комаровка. День начинался в 7 часов утра. Первый час был посвящен гимнастике, пробежке. В 8 часов мы завтракали и принимались за рабо-

45

НАШИ

ту за столом – с пишущей машинкой или без нее. В час или два часа дня был полдник, состоящий из молока или кефира с хлебом. После полдника мы еще немного работали, но обычно отправлялись на большую прогулку пешком или – зимой – на лыжах, до 4 часов дня. Потом на полчаса мы укладывались спать. В 5 часов был обед. После обеда мы иногда еще занимались работой, обычно – второстепенной: переписывание или тому подобное. Вечер посвящался чтению, музыке, приему гостей. Перед сном мы любили еще делать небольшую прогулку. Укладывались спать около 10 часов. Но, конечно, когда работаешь и начинает получаться решение какой-либо важной проблемы, все отступает на задний план, никакого распорядка дня уже не бывает. – Вы, как и многие математики, любите серьезную музыку. Расскажите, почему. – Ваше замечание о многих математиках, увлекающихся серьезной музыкой, мне кажется правильным. Если прийти в концертный зал, особенно в Малый зал Московской консерватории, то вы там увидите непропорционально много математиков. Повидимому, между математическим творчеством и настоящим интересом к музыке имеются какие-то глубокие связи. Но выяснить и объяснить эти связи мне представляется довольно трудным. Замечу, впрочем, что мой друг Павел Сергеевич Александров рассказывал, что у него каждое направление математической мысли, тема для творческих размышлений связывались с тем или иным конкретным музыкальным произведением. Среди любимых композиторов назову, в первую очередь, Моцарта, Шумана, ну и, конечно, величайших музыкантов – Баха, Бетховена. – Лингвисты и литературоведы обратили внимание на ваши публикации по стиховедению. Что вы можете сказать об этом – менее обычном – сочетании: математика и поэзия? – Мне хотелось бы разделить этот вопрос на два, так как мое увлечение поэзией имеет такой же непроизвольный, стихийный ха-

ИНТЕРВЬЮ

рактер, как и у людей, не занимающихся теоретическим исследованием стиха. Любимые мои поэты – это Тютчев, Пушкин, Блок. Что же касается моих научных работ по метрике и ритмике русского стиха, то они действительно обратили на себя внимание специалистов-литературоведов, но все-таки это довольно специальная область исследования, интересоваться которой совершенно не обязательно всякому. – Занимаетесь ли вы спортом? Каким? – Состязательным спортом я никогда не занимался. Если не ошибаюсь, я только три раза в жизни участвовал в гонке на 10 километров на лыжах. Но я всегда очень любил большие прогулки пешком и на лыжах, совершал длинные путешествия на байдарке или на лодке. Очень люблю плавание, походы в горах. Во всех этих занятиях я ценю не только их пользу для здоровья, но ту радость общения с природой, которую они приносят. Всегда любил купание в морском прибое. В солнечные мартовские дни люблю делать большие лыжные пробеги в одних шортах. Во время таких мартовских лыжных пробегов люблю выкупаться посреди сияющих на солнце сугробов в только что вскрывшейся ото льда речке. Впрочем, я не советую обязательно подражать мне во всем этом – можно просто записаться в какую-нибудь привлекающую вас спортивную секцию. – Андрей Николаевич, что бы вы хотели пожелать нашим читателям? – Я сам являюсь ученым, и, конечно, в первую очередь, я желаю нашим читателям внести тот или иной вклад в науку, большой или хотя бы маленький. Замечу, впрочем, что в случае если все наши читатели принялись бы писать самостоятельные научные работы, то научные журналы не выдержали бы такого натиска. Поэтому я выскажу и более скромное пожелание – чтобы школьное увлечение математикой пригодилось вам и в дальнейшей жизни. В «Кванте» мы как раз стараемся вам показать, как разнообразны приложения математической науки.

Беседовал А.Сосинский

47

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Про умножение

А.САВИН

КОМУ КАК, А МНЕ ТАБЛИЦА УМНОЖЕ- ния давалась с трудом. Конечно, «дважды два – четыре» и «пятью пять – двадцать пять» запомнились легко, а вот «семью восемь» или «девятью шесть» никак не укладывались в голове. «Трудные» произведения я вычислял примерно так: «пятью восемь – сорок, да дважды восемь – шестнадцать, значит, всего пятьдесят шесть». Но учитель требовал беглых ответов, и таблицу приходилось «долбить» наизусть. Это знакомо не только мне одному – недаром сотни лет школяры разных стран, каждый на своем языке, называли ее «долбица умножения». (Между прочим, среди моих учеников – студентов физтеха – встречаются такие, кто знает ее весьма нетвердо.) В конце концов таблицу я выучил. Впоследствии выяснилось, что это было нужно не учителю, а мне самому: с ее помощью оказалось возможным перемножать любые числа, причем довольно быстро. Так я прожил много лет в полной уверенности, что без таблицы умножения числа быстро не перемножить. Эту уверенность подкрепляло то, что я узнавал о способах умножения в Индии, Китае, в Европе эпохи Возрождения… И вот однажды я наткнулся на «русский крестьянский способ умножения», который был распространен в России два столетия назад, и с изумлением обнаружил, что русские крестьяне умели перемножать числа без помощи таблицы умножения! Им достаточно было уметь умножать и делить на два, а также складывать числа. Вот как они это делали. Напишем одно из чисел слева, второе – справа на одной строчке. Левое число будем делить, правое – умножать на два,

Опубликовано в «Кванте» №2 за 1992 год.

а результаты записывать в столбик так, как показано на рисунке 1. Если в какой-то момент придется делить на два нечетное число, остаток отбросим. Когда от левого числа останется единица, $вычеркнем_{Рис.} 1$ все те строки, в которых слева стоят четные числа. Все, что осталось справа, сложим. Полученное число – произведение тех двух чисел, с которых мы начали! Сначала я, конечно, не поверил прочитанному и честно перемножил 13 и 17 по предложенному рецепту. Получился правильный ответ: 221. Я поменял числа местами и перемножил их снова. Ответ не изменился – опять 221 (рис.2). Я отказывался верить своим глазам: уж слишком это походило на фокус вроде известных примеров неправильных действий, дающих верные $ре-^{Рис.} 2$ зультаты, – таких, как изображенное на рисунке 3 «сокращение» дробей.

Рис. 3

Но метод оказался абсолютно правильным! Прежде чем читать дальше, попробуйте таким способом перемножить несколько пар чисел, чтобы освоиться с ним и набрать некоторый запас уверенности в его справедливости. Посчитали? А теперь я покажу, что это действительно способ умножения, всегда дающий верный результат. В двух предыдущих номерах нашего журнала были опубликованы статьи И.Яглома «Системы счисления» и «Две игры со спичками», в которых подробно рассказы-

49

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

вод: пожалуй, накладно будет хватать бумагу и ручку, чтобы подсчитать, сколько стоят 8 пирожков по 70 копеек за штуку, или лезть для этого в сумку за тетрадью, на обложке которой помещена «таблица Пифагора» (рис.7).

Рис. 8

Рис. 7

Она действительно такая древняя – более двух тысяч лет назад пифагорейцы умножали числа с ее помощью. (Недавно ташкентский математик А.Азамов заметил любопытное ее свойство: если четыре числа этой таблицы расположены в вершинах квадрата, центр которого – тоже число таблицы Пифагора, то число в центре квадрата равно среднему арифметическому чисел в его вершинах. Так, для чисел, выделенных на рисунке 7, имеем: 42 = ( 25 + 48 + 63 + 32 ) 4 .) За долгие тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик конца XV – начала XVI веков Лука Пачиоли в своем трактате об арифметике приводит 8 различных способов умножения. Вот два из них, на мой взгляд, наиболее интересные. В первом, который носит название «маленький замок» (рис.8), цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей, а затем результаты складываются. Преимущество этого метода пе- ред обычным в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно при прикидочных расчетах. Второй способ носит не менее романтическое название: «ревность» (или «решетчатое умножение»). Рисуется решетка, в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений (на самом деле – нужные числа из таблицы умножения). Эта решетка представляет собой прямоугольник, разбитый на квадратики, каждый из которых разделен диагональю (рис.9). «Такая решетка на-

Рис. 9

поминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окна дам и монахинь»,– пишет Лука Пачиоли. Перемножим этим способом числа 567 и 3984. Сверху таблицы запишем один сомножитель, а слева – другой. Затем в

50

КВАНТ 2020/№1

каждой клетке запишем произведение цифр сомножителей, стоящих с ней в одной горизонтали и в одной вертикали. Десятки записываются в левых нижних треугольниках, а единицы – в правых верхних. После заполнения таблицы складываются числа вдоль направлений проведенных диагоналей, результат записывается справа и снизу от таблицы. Этот способ хорош вычислительной простотой: клетки решетки заполняются прямо

из таблицы умножения, а на долю вычислителя остается только сложение. Остальные шесть способов, описанные Лукой Пачиоли, как и первые два, основаны на таблице умножения. Существует множество других способов умножения чисел с применением таблицы, придуманных в разное время и в разных странах. Но другого метода, кроме русского крестьянского, который обходился бы без нее, похоже, не существует.

Как однажды Жак-звонарь головой сломал фонарь…

А.БУЗДИН, С.КРОТОВ

Если все краски радуги вместе смешать, то… получится черная грязь. Вреднюга (из детского мультфильма)

НЕ БУДЕМ ЧЕРЕСЧУР СТРОГИМИ ПО отношению к выводу Вреднюги про краски, а рассмотрим все по порядку, поскольку физически чистый эксперимент – это вещь достаточно тонкая… Сколько существует на свете разных цветов? Откуда вообще берутся разные цвета? Эти и многие другие вопросы издавна занимали любознательных людей. Большой вклад в создание науки о цвете внес великий Ньютон. Он наблюдал разложение солнечного (белого) света при прохождении его через стеклянную призму в так называемый спектр (от латинского spectrum). Получающиеся при этом цвета в точности соответствуют цветам радуги. Призма позволила Ньютону получить радугу в «лабораторных» условиях. Вот они, цвета радуги: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Посмотрите еще раз на заглавие статьи. Мы воспользовались шуточной фразой, помогающей запомнить последовательность цветов в солнечном спектре

Опубликовано в «Кванте» №12 за 1987 год.

(как видите, и в нашей шутке есть доля правды). Наверняка кто-то из вас вспомнит еще одно мнемоническое правило – фразу «каждый охотник желает знать, где сидит фазан». Именно благодаря опытам Ньютона в конце XVII века было установлено, что белый свет представляет собой смесь из различных цветов. (В частности, Ньютон показал, что если разложенный в спектр белый свет смешать, то опять получится белый свет.) Прошло много времени, пока ученые осознали, что свет – это распространяющиеся в пространстве колебания связанных друг с другом электрических и магнитных полей, иначе говоря – электромагнитные волны. Наиболее привычный пример такого рода волн – радиоволны. Было доказано, что природа света и радиоволн – одна и та же, они отличаются лишь частотой колебаний. Частота радиоволн в тысячи раз более низкая, чем у световых. Каждому цвету отвечает определения частота колебаний. Если воспользоваться аналогией с музыкальными инструментами, то красный цвет отвечает «басам», а фиолетовый – высоким нотам. Скорость распространения электромагнитных волн с = 300000 км с. Она во мно-

51

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

го тысяч раз больше скорости звука, так что радиослушатель, сидящий дома во Владивостоке около радиоприемника, слышит голос певца на концерте, транслируемом из Москвы, раньше, чем слушатель, сидящий в дальнем ряду концертного зала. Приведенное значение скорости света ( c = 3 ◊ $10^{5}$ км с ) относится к вакууму. При распространении света в прозрачном веществе скорость оказывается меньшей. Особый интерес представляет тот факт, что при прохождении через вещество свет разных цветов распространяется с разными скоростями. Это явление называется дисперсией, и именно благодаря дисперсии призма разлагает белый свет в цветной спектр. Итак, из белого света можно получить все цвета радуги. А что означают разные цвета на картинках в этом журнале? Стоит вам прихватить с собой журнал в темную комнату, как все цвета вообще пропадут, картинки станут просто серыми – сами по себе они не «светятся», какого бы цвета ни были. Чтобы видеть их разноцветными, их необходимо освещать. При этом падающий на страницу свет частично поглощается, частично рассеивается, а видим мы именно рассеянные световые лучи. Очень важно, что разные вещества (в силу особенностей строения их молекул) обладают избирательностью к цвету – они по-разному поглощают и рассеивают свет различных участков спектра. Охра потому нам и кажется желтой, что из падающего на нее белого света поглощаются почти все лучи, кроме желтого цвета. Или вспомните про… помидор. На разных стадиях созревания он преимущественно рассеивает сначала зеленые лучи, потом – красные. В этом проявляются изменения молекулярного строения вещества помидора. Кстати, не случайно в химии цвет – важная характеристика вещества. Пришло время оставить заботы земные и… воспарить. Действительно, вряд ли найдется человек, которого хоть раз в жизни не увлекла загадочная игра небесных красок. «Цвет небесный – синий цвет…»,– написал замечательный грузин-

ШКОЛЬНИКОВ

ский поэт Нико Бараташвили. Но зададимся вопросом – безупречна ли физически упомянутая строчка? Обычно голубизну неба объясняют рассеянием света в атмосфере. Однако почему тогда ночное небо даже при полной луне не бывает голубым? Или почему разные участки неба окрашены в синий цвет по-разному – одни более ярко, другие менее ярко? А если обратиться к заходу солнца? Внимательный физик, наблюдавший заход солнца, отметил, что сначала западная часть неба приобретает желтый или оранжевый оттенок; затем, когда солнце становится огненно-красным, свечение неба меняется от желто-оранжевого до ярко-зеленого; наконец, примерно до высоты $25\infty$ над горизонтом небо окрашивается в розовый цвет. Поскольку причиной всех перечисленных цветовых коллизий является рассеяние солнечного света в атмосфере, остановимся более подробно на этом процессе.

52

КВАНТ 2020/№1

Объяснение особенностей окраски неба принадлежит английскому физику У.Рэлею. В общих чертах суть дела такова. Цвет неба определяется зависимостью рассеяния света от частоты последнего. Приходящая от солнца электромагнитная волна «раскачивает» электроны, входящие в состав молекул воздуха. Наиболее сильное воздействие на электроны оказывают лучи синей части спектра. Таким образом, из пришедшей световой волны электроны молекул воздуха «забирают» колебания синей части спектра. Но, придя в вынужденное колебательное движение, электроны отдают назад взятую у волны энергию. Однако отдают они эту энергию уже во всех направлениях, а не только в направлении падения первоначальной волны от солнца. Этот процесс и представляет собой рассеяние света. Существенным для объяснения рассеяния света в атмосфере является неравномерность распределения молекул воздуха в атмосфере – постоянно имеющие место флуктуации плотности воздуха. При равномерном распределении молекул в пространстве рассеяние было бы совершенно иным – небо просто-напросто было бы черным. Итак, сильнее всего молекулы воздуха рассеивают синюю часть спектра, и поэтому участки неба, которые мы видим в рассеянном свете, кажутся нам голубыми.$^{1}$ Чем сильнее удалены от солнца соответствующие участки небосвода, тем менее яркими они будут нам казаться. Причина состоит в том, что чем больший путь в атмосфере проходят солнечные лучи, тем меньшая в них доля приходится на синюю составляющую. Теперь, наверное, вам понятно, почему говорят «красно солнышко»? Прямые солнечные лучи по пути к нам «теряют» синюю составляющую, и преимущественную долю приходящего к

1 Может возникнуть вопрос: почему голубы- ми, а не фиолетовыми? Дело в том, что надо еще принимать во внимание специфику восприятия цветов человеческим глазом и тот факт, что в солнечном свете фиолетовых лучей «меньше», чем синих.

наблюдателю излучения составляет именно красно-желтая часть спектра. Очевидно, что дым, пыль и другие мелкие частицы, содержащиеся в воздухе, существенным образом влияют на рассеяние света в атмосфере. Известно, что после больших извержений вулканов восходы и заходы солнца порой играют удивительными красками – солнце и луна могут даже стать синими. Приведем описание последствий катастрофического извержения вулкана Кракатау в 1883 году, которое дает в своей книге «Занимательная геология» замечательный русский ученый В.А.Обручев: «Мелкий пепел затемнял солнце в Японии и в других местах на расстоянии свыше 3000 километров. Этот пепел, долго плававший в атмосфере, обусловил синеватый цвет солнца и луны в Африке и на островах Тихого океана и замечательные красные зори в конце 1883 года и в начале 1884 года, наблюдавшиеся по всей земле». Синяя окраска солнца и луны в данном случае обуславливается рассеянием света на атмосферных аэрозолях размером 0,4– 0,9 мкм, т.е. размером, сравнимым с длиной волны видимого света. Атмосферные аэрозоли указанных размеров образуются путем осаждения на твердых частицах дыма, пепла и т.д. при вулканических извержениях и крупных лесных пожарах. Именно вследствие своего относительно большого размера они рассеивают свет красной части спектра сильнее, чем синей. Это рассеяние связывают с именем немецкого ученого Ми. При наблюдении солнца и луны сквозь такой аэрозоль они видятся синеватыми – красная составляющая белого света рассеивается, и до нас доходит только синий свет. Итак, оттенки цветов, окрашивающих небесный свод, обусловлены в конкретной ситуации комбинацией рэлеевского рассеяния с рассеянием света на мелких частицах. «Голубые горы, голубые дали, голубые город» – все эти поэтические сочетания слов обычно используют в качестве символов первозданности, необыкновенной чистоты, загадочности. Самое удивительное состоит в том, что и здесь не обошлось без физики. Так, иногда над покрытой зеле-

53

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

нью открытой местностью, не слишком загрязненной вследствие человеческой деятельности, возникает очень красивая таинственная голубая дымка. В литературе часто упоминаются голубые горы Кавказа, а Голубые горы в Австралии знамениты именно своей голубой дымкой. Голубой цвет «дымки» обусловлен рассеянием света на мельчайших частицах, размер которых много меньше длины волны видимого света. Такими частицами могут быть органические макромолекулы, испускаемые растительностью, а также мельчайшие частицы, срываемые с острых частей растений электрическим полем земли. Итак, в местах скопления мельчайших частиц возникает добавочный эффект рассеяния синей части спектра. Завершая статью, предлагаем читателю сюжеты для самостоятельного рассмотрения.

ШКОЛЬНИКОВ

1. Почему издалека новогодняя елка (скажем, стоящая на главной площади вашего города) в вечернее время кажется красной, хотя она освещена огоньками разного цвета? 2. Если вам доведется в новогоднюю ночь сидеть у костра, не забудьте поэкспериментировать и может быть блеснуть перед окружающими, задав им следующий вопрос. Почему внизу на фоне деревьев дым костра кажется синим, однако над верхушками деревьев (на фоне светлого неба) он выглядит желтым? 3. Капнув несколько капель молока в стакан с водой, посмотрите сквозь него на светящуюся лампочку. Лампочка покажется красновато-желтоватой. Если же посмотреть на отраженный от стакана свет, он будет голубым. Объясните наблюдаемое различие цветов.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Избранные задачи

1. Число 1995 может быть представлено в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел многими способами: например, 997 + 998, 664 + 665 + 666, 330 + 331 +332 + 333 + 334 + 335. В каком из таких представлений наибольшее число слагаемых? С.Дворянинов

2. Имеется неограниченный запас монет в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и в 1 рубль. Известно, что сумму в A копеек можно уплатить В монетами. Докажите, что сумму в В рублей можно уплатить А монетами. Д.Фомин

3. По поверхности стола перекатывают кубик, переворачивая его через ребра. Можно ли его перевернуть 12 раз так, чтобы он перевернулся по одному разу через каждое ребро и в результате оказался на прежнем месте? С.Токарев

4. На полосу положили квадрат, сторона которого равна ширине полосы, притом так, что его граница пересекла границу полосы в четырех точках (см. рисунок). Докажите, что две прямые, проходящие накрест через эти точки, пересекаются под углом $45\infty$. В.Произволов

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Об одном стихотворении А.С.Пушкина

А.КИКОИН

СРЕДИ ПОЭТИЧЕСКИХ СОКРОВИЩ, ОС- тавленных нашим великим национальным поэтом А.С.Пушкиным, есть стихотворение, прямо относящееся к физике, точнее – к механике. Называется это стихотворение «Движение». Оно небольшое по объему – в нем всего 8 строк, но очень богатое по содержанию. В первых четырех строках читаем:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый.

Здесь поэт рассказывает о легендарном споре двух древнегреческих философов. «Мудрец брадатый» – это Зенон Элейский; его противник в споре – Диоген Синопский. Первый утверждал, что движение невозможно; второй стал молча «пред ним ходить», как бы наглядно показывая несуразность такого утверждения. А дальше А.С.Пушкин пишет:

Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит. Однако ж прав упрямый Галилей.

Этими словами поэт показывает, что доказательство Диогена вовсе не такое безупречное, как казалось тем, кто хвалил «ответ замысловатый». В самом деле, ведь солнце ежедневно делает то же, что делал Диоген, маршируя перед Зеноном: оно «пред нами ходит». В действительности же, как вслед за Коперником утверждал «упрямый Галилей», солнце покоится, а движется (вращается вокруг своей оси) земля. Но никакого друго-

Опубликовано в «Кванте» №10 за 1984 год.

го доказательства Диоген дать не мог, поэтому он и «смолчал». Сейчас неправоту утверждения Зенона можно доказать, не прибегая к методу Диогена. Попробуем это сделать. Прежде всего, постараемся представить себе, как Зенон пришел к выводу, очевидно несуразному, что «движенья нет». Зенон, по-видимому, рассуждал следующим образом. Тело, двигаясь по некоторой траектории, в любой момент времени может быть где-то застигнуто. Можно считать, что в этом месте и в это мгновенье тело покоится, т.е. что его скорость равна нулю. Следовательно, движение есть лишь название, данное множеству следующих одно за другим состояний покоя. В каждом таком состоянии покоя перемещение тела, естественно, равно нулю. Складывая это непрерывное множество нулей, Зенон, конечно, получал в итоге ноль: «движенья нет»! Так вот, ошибка Зенона как раз и состоит в том, что скорость тела в каждой точке траектории он считал равной нулю. На самом деле в каждый момент времени движущееся тело обладает скоростью – так называемой мгновенной скоростью v. А раз оно обладает скоростью, то за любой сколь угодно малый промежуток времени ’ t тело совершает малое перемещение $'^{s} v '^{t}$. Число таких малых перемещений, в пределе – бесконечно малых, за все время движения t бесконечно велико. Но сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых равна не нулю, а вполне определенной величине: s = vt (если скорость v одинакова во всех точках). Складывать нужно не нули, как это делал Зенон, а малые перемещения$^{v}$ $'^{t}$. На это впервые указал, спу-

55

ШКОЛА

стя почти 2000 лет после легендарного спора, основоположник классической механики Исаак Ньютон, создавший кроме того еще и замечательный математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

В

«КВАНТЕ»

В заключение сделаем не очень существенное для темы нашей статьи замечание. В действительности очный спор Зенона с Диогеном состояться не мог: Диоген (около 400– 325 до н.э.) родился через 30 лет после смерти Зенона (490–430)!

За какое время сливаются капли?

А.ВАРЛАМОВ

СИЖИВАЛИ ЛИ ВЫ КОГДА-НИБУДЬ ЗА тарелкой прозрачного куриного бульона, покрытого пятнышками золотистого жира? Если у вас при этом не было аппетита, то вы наверняка пробовали гонять эти пятнышки по тарелке, разрывая перегородки между ними или, наоборот, соединяя пятнышки воедино, наблюдая, как неспешно они сливаются, принимая форму круга. Другое наблюдение из той же серии – за слиянием капелек ртути из разбитого термометра (осторожно – занятие это небезопасное, поскольку ртуть очень ядовита). Правда, тут вы даже не успеете моргнуть глазом, как из двух капелек образуется одна. От чего же зависит время слияния жидких капель? Прежде чем попытаться ответить на этот вопрос, поговорим немного о причине слияния капель – о поверхностном натяжении жидкости. Причем мы попробуем взглянуть на это явление с точки зрения энергетической. Молекулы, расположенные в тонком слое жидкости вблизи поверхности, находятся в особых условиях. Дело в том, что они имеют одинаковых с ними соседей только с одной стороны поверхности, в отличие от молекул внутри жидкости, окруженных со всех сторон себе подобными. Взаимодействие молекул на не слишком малых расстояниях носит характер притяжения. Если потенциальную энергию притяжения двух молекул, находя-

Опубликовано в «Кванте» №11 за 1990 год.

щихся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, считать равной нулю, то при меньших расстояниях эта энергия будет отрицательной. По абсолютной же величине, в первом приближении, энергию каждой молекулы можно считать пропорциональной числу ближайших соседей. Поэтому ясно, что у молекул в поверхностном слое (число соседей для которых меньше, чем в объеме) потенциальная энергия оказывается выше, чем у молекул внутри жидкости. (Еще одним фактором увеличения потенциальной энергии молекул в поверхностном слое является то, что по мере приближения к поверхности концентрация молекул падает.) Разумеется, молекулы жидкости не неподвижны, а находятся в непрерывном тепловом движении – одни молекулы уходят с поверхности, другие, наоборот, попадают на нее. Но и в этом случае можно говорить о

58

КВАН T 2020/№1

Мы привыкли говорить, что Луна вращается вокруг Земли. На самом же деле и Луна и Земля вращаются вокруг общего центра. Если бы этого вращения не было, то под действием силы притяжения Луна упала бы на Землю (точнее, Земля и Луна упали бы друг на друга – ведь Луна тоже притягивает Землю). Как же происходит это вращение? Представим себе, что массы Земли и Луны одинаковы. Тогда они будут двигаться вокруг точки, которая лежит на середине отрезка, соединяющего их центры. Теперь давайте мысленно «наращивать» массу Земли. Тогда центр вращения будет смещаться в сторону Земли. Поскольку масса Земли гораздо больше массы Луны (в 81 раз), то центр $вращения^{С}$ оказывается лежащим внутри земного шара (но он обязательно смещен относительно центра Земли$^{О).}$ Это вращение существенно влияет на картину приливов. Вода отступает от центра вращения. (Нечто подобное происходит в стакане воды, когда, размешивая воду ложкой, вы приводите ее во вращение, – вода отходит от центра стакана и поднимается у краев.) На дальней от Луны стороне Земли,

где наименьшая сила притяжения, образуется водяной горб. Конечно, приведенное нами объяснение приливов является весьма упрощенным. Мы не принимали во внимание неравномерность распределения воды по поверхности Земли, не учитывали влияния сил притяжения к Солнцу и других факторов, способных существенно изменить описанную картину. Однако ответ на главный вопрос мы получили: притяжение к Луне и вращение Земли вокруг общего с Луной $центра^{С}$ приводят к образованию двух приливных горбов в океане. А теперь самое время объяснить принцип действия лунного тормоза. Оказывается, что водяные горбы находятся не на линии, соединяющей центры Земли и Луны (как для простоты показано на рисунке 1), а несколько смещены в сторону (рис. 2). Происходит это по следующей причине. Земля, вращаясь вокруг своей оси, увлекает за собой и воду в океане (это происходит потому, что существует трение). В результате этого по мере поворота Земли в приливные горбы должны вовлекаться все новые и новые массы воды. Деформация, однако, всегда запаздывает по отношению к вызываю-

60

КВАН T 2020/№1

дой точке пространства в каждый момент времени определяют энергию электромагнитного поля. Электромагнитная волна переносит энергию, и можно ввести понятие о плотности потока энергии. Так мы называем величину, равную энергии поля, протекающей в единицу времени через единицу поверхности. Каждая волна характеризуется еще и фазой. Если при сложении двух световых пучков разность их фаз остается все время одной и той же, мы говорим, что имеем дело с когерентными пучками. В интерференционной картине, возникающей в результате сложения двух когерентных пучков, происходит пространственное перераспределение световой энергии. В светлых полосах энергия больше, чем сумма энергий складываемых пучков; в темных полосах, наоборот, меньше. Избыток энергии в светлых полосах как раз компенсируется недостатком ее в темных. Полная энергия, распределенная по всей интерференционной картине, точно равна сумме энергий двух интерферирующих пучков. На рисунке 1 показана зависимость плотности потока энергии в интерференционной картине от смещения по экрану, на котором

Рис. 1

она наблюдается. Картина получена при сложении двух когерентных световых пучков равной энергии. Горизонтальная пунктирная линия изображает сумму плотностей потоков энергий в складываемых пучках. Части кривой, идущие над этой прямой, соответствуют светлым интерференционным полосам, а части кривой, лежащие под пунктирной прямой, – темным. Суммарная энергия, распределенная в интерференционной картине, изображается площадью под кривой. Эта площадь точно равна площади под пунктирной прямой. Требования строгого бухгалтера природы – закона сохранения энергии – выполняются неукоснительно. Перейдем теперь к парадоксу, рассказанному С.И.Вавиловым. Представьте два со-

вершенно одинаковых когерентных резко ограниченных световых пучка $шириной^{а}$ каждый, пересекающихся под малым углом D. В $области^{ABCD}$ происходит интерференция (рис.2).

Рис. 2

Для наблюдения интерференционной картины можно установить экран, перпендикулярный плоскости чертежа и проходящий через $точки^{А} и^{С.}$ Интерференционная картина будет состоять из прямолинейных чередующихся светлых и темных полос, заполняющих экран от $точки^{А}$ до $точки^{С}$ (рис.3). Распределение плотности потока энергии в интерференционной картине соответствует графику на рисунке 1. Если у обоих пучков одинаковые начальные фазы световых колебаний, то разность фаз световых волн первого и второго пучков в точках, лежащих на $прямой^{BD,}$ будет равна нулю. Она соответствует, таким образом, середине центральной светлой полосы. В середине сосед-

Рис. 3

ЛАБОРАТОР И Я «КВАНТА»

Наблюдения над туманом

А.БОРОВОЙ

ПРИСМАТРИВАЛИСЬ ЛИ ВЫ К ТОМУ, КАК ПОявляется над рекой вечерний туман? Он возникает не сразу, а сначала сгущается над водоворотами и перекатами. Отдельные легкие облачка в лунном свете напоминают женские фигуры в белых одеждах. И начинаешь понимать наших предков, создавших так много легенд о русалках. С описанием этого иногда удивительно красивого, а чаще тревожного и загадочного природного явления мы встречаемся и на страницах произведений художественной литературы. На полях этой и следующей страниц приведено несколько прозаических и стихотворных цитат, в которых описывается туман. Постарайтесь догадаться, кто их авторы. Как часто удается любоваться туманом, зависит от особенностей местности. Например, для жителей Ньюфаундленда, острова, расположенного у берегов Канады в месте, где теплое течение Гольфстрим сталкивается с холодным Лабрадорским течением, туманы – постоянные гости. Третью часть года, включая практически все летние дни, остров покрыт густой дымкой. Наверное, даже самое красивое описание тумана вряд ли вызовет восхищение у жителей Ньюфаундленда. Настоящая «страна туманов» – Англия, «туманный Альбион». У нас в стране особенно богаты туманными днями побережья северных морей – Балтийского, Охотского, а также Кольский полуостров. Если там, где вы живете, природные туманы – редкость, не забудьте, что у себя дома их можно видеть буквально на каждом шагу. Белое облачко, появляющееся из носика кипящего чайника,– это туман. В обиходе мы называем его паром, но это неверно, поскольку пар воды представляет собой бесцветный газ. Если быстро открыть бутылку с газированной водой, то над горлышком в первый момент появится дымок – это тоже туман. На улице в морозный день туман клубится над открытой водной поверхностью, над прорубями или полыньями, врывается в комнату через открытую форточку, возникает при дыхании (опятьтаки мы привыкли говорить – «пар от дыхания»). Образование тумана связано с тем, что при понижении температуры воздуха водяные пары, содержащиеся в

Опубликовано в «Кванте» №12 за 1986 год.

ТУМАНЪ м. (тьма, тймень) густой паръ, водяные пары въ низшихъ слояхъ воздуха, на поверхности земли ’; омраченный парбми воздухъ.

«Дитя, что ко мне ты так робко прильнул?» – «Родимый, лесной царь в глаза мне сверкнул. Он в темной короне, с густой бородой». – «О нет, то белеет туман над водой».

Белая волокнистая пелена, затянувшая почти все болото, с каждой минутой приближалась к дому… Вот белесые кольца показались с обеих сторон дома и медленно слились в плотный вал, и верхний этаж с крышей всплыл над ним точно волшебный корабль на волнах призрачного моря.

Лишь высших гор до половины Туманы покрывают скат, Как бы воздушные руины Волшебством созданных палат.

Внешность перемены была поразительна. Секунду назад мы мчались в ярких солнечных лучах, над нами было ясное небо, и далекодалеко до самого горизонта море шумело и катило свои волны, а за нами бешено гнался корабль, из-

63

КВАН T 2020/№1

рыгая дым, пламя и чугунные ядра. И вдруг, во мгновение ока, солнце точно загасили, небо исчезло, даже верхушки мачт пропали из виду, и на глаза наши, словно их заволокло слезами, опустилась серая пелена. Сырая мгла стояла вокруг нас, как стена дождя. Волосы, одежда – все покрылось алмазными блестками.

Сегодня все вокруг заснуло, Как дымкой твердь заволокло, И в полумраке затонуло Воды игривое стекло.

Какое-то странное, упоительное сияние примешалось к блеску месяца. Никогда еще не случалось ему видеть подобного. Серебряный туман пал на окрестность. Запах от цветущих яблонь и ночных цветов лился по всей земле.

Сентябрь холодный бушевал, С деревьев ржавый лист валился, День потухающий дымился, Сходила ночь, туман вставал.

Туча кружево в роще связала, Закурился пахучий туман.

Как грустна вечерняя земля! Как таинственны туманы над болотами.

Ее глаза – как два тумана, Полуулыбка, полуплач…

нем, в какой-то момент становятся насыщенными и при дальнейшем охлаждении начинают конденсироваться. И выделяют избыток влаги в виде мельчайших капель на центрах конденсации – пылинках, частицах дыма, ионах газа и т. п. Когда капли появляются в воздухе, мы говорим о тумане. А капли на поверхности земли, на листьях и траве называем росой. Чтобы представить себе, насколько изменяется содержание водяного пара в воздухе при изменении температуры, приведем такие цифры: масса насыщенного водяного пара в $1 м^{3}$ воздуха при 30 q С составляет 30 г; при охлаждении воздуха до 10 q С масса насыщенного пара уменьшается до 10 г $м^{3}$; значит, в каждом кубометре воздуха 20 г воды должны выделиться в виде капель тумана или росы. Размер капель, составляющих туман, вы можете определить следующим образом. Подержите в тумане стеклышко, смазанное вазелином, а потом рассмотрите под микроскопом оставшиеся на нем капли влаги. Микроскоп необходим, поскольку даже самые крупные капли достигают размеров всего лишь в десятки микрон, их диаметр почти в сто раз меньше толщины спички. Обычно туманы не долговечны. Мелкие капли сливаются в более крупные и опускаются вниз – туман дождем выпадает на землю. Но может случиться и так, что в теплом потоке воздуха капли тумана испарятся и туман рассеется. Все это можно наблюдать на простом опыте, для которого потребуются кофейник, сковорода и небольшой кусок резиновой трубки. Плотно вставим трубку в носик кофейника, нальем в него воду и поставим на плиту. Когда вода закипит, из трубки начнет вырываться белая струя водяного тумана. Поднесем (с помощью пинцета) конец трубки к холодной сковороде, стоящей на соседней конфорке. Туман будет подниматься над ней и частично оседать каплями на холодную поверхность металла. Но если сковороду разогреть – туман пропадет. В потоке нагретого воздуха плотность водяного пара становится ниже насыщенной, и капли воды не образуются (или испаряются). «Граждане, рейс Москва – Воркута задерживается вылетом на два часа». К сожалению, объявления такого рода нередко можно услышать в аэропорту. Чаще всего задержка происходит как раз из-за тумана. Именно он мешает принимать самолеты, идущие на посадку, и мешает их взлету. Как с этим бороться? Сначала инженеры предложили почти очевидный способ, который так хорошо «работал» в опыте со сковородой. Дело было во время войны. Английские летчики должны были отражать налеты фашистов. Но Англия – страна туманов, и летчик, вылетая с аэродрома, далеко не был уверен, что ему удастся совершить посадку в ясную погоду. И вот на шести английских аэродромах вдоль всей