Квант 2020, №2 · Страницы

3

КАЛЕНДАРЬ

Но для промежуточных циклов – самих времен года (по-нашему – кварталов) и их долей (месяцев) природа дала еще один цикл – смену фаз Луны. Сегодня мы их называем новолунием, первой четвертью, полнолунием и последней четвертью. В фазах-четвертях мы видим половину лунного диска, освещенного Солнцем. В неполных фазах Луна нам видится в виде криволинейного кругового сегмента, похожего не серп. У многих народов для периода полной смены лунных фаз появилось слово «месяц», которое заодно означало и название самой Луны. Месяц для календаря стал удобнее, чем квартал (время года). Например, в весне можно выделить время дождей, время сева и время первой прополки, а в летнем периоде – время сенокоса, время жатвы и время созревания фруктов. Месяц удобно разделить на четыре части (совпадающие с лунными фазами), в каждой из которых по 7 суток. Вот где таится привычный нам счет дней по неделям! Такой стихийный недельно-лунный календарь принято называть просто лунным. Но когда возникло умение считать до сотни, а потом и до тысячи, этот грубый календарь стал уточняться. Прежде всего это относилось к соотношению длительностей года и месяцев. Среди людей стали выделяться те, кто вел счет дням, месяцам и годам. Еще двести лет назад на земле уже можно было найти народы, у которых календарь велся по зарубкам на дереве или по насечкам на мягком камне (точь в точь, как это делал Робинзон на своем необитаемом острове). Возможно, что именно такие люди были жрецами и наряду со счетом времени организовывали всю духовную жизнь, предсказывали события, создавали традиции и обычаи и руководили всей хозяйственной деятельностью своего племени.

Древние астрономические достижения

Жрецы первыми обратили внимание на неточность отношения солнечного и лунного периодов. Казалось бы, по простому счету, в году должно было быть ровно 12 лунных месяцев – 4 сезона по 3 месяца

И

АСТРОНОМИЯ

каждый. Но оказалось, что это число очень приблизительно. Лунных месяцев в году не 12, а на одну треть месяца больше – 12,36.Это означает, что за 3 года «набегает» целый лунный месяц, а за 9 лет будет происходить сдвиг календаря на целый сезон. С этим надо было что-то делать. Прежде всего жрецы монополизировали календарный подсчет дней и завели обычай объявлять народу о наступлении того или иного сезона и начале очередных сельскохозяйственных и иных работ. Но «для себя» им необходимо было разобраться с этим вопросом и создать правильный календарь, сохраняя его в тайне. Выяснилось, что и отношение периода лунного цикла смены фаз к суткам является не целым числом, а равно примерно 29,5, следовательно, и длительность каждой фазы не составляет ровно 7 суток. Вот эти нецелые отношения природных периодических процессов и есть главная причина того, что на нашей планете действовало не меньше десятка разных календарей, в которых главной задачей было согласование 12 лунных месяцев с годичным солнечным циклом. Такие календари получили название лунно-солнечных и солнечных. Но для них нужно было достаточно точно знать солнечный и лунный периоды в сутках. Прежде всего следовало определиться с моментом начала отсчета годичного солнечного периода. Ведь никакой «службы времени» не существовало. И не было другого пути, кроме выбора определенного положения Солнца на небе, например наивысшего положения Солнца во время

4

КВАНТ 2020/№2

самого длинного дня (летнего солнцестояния). А как фиксировать положение Солнца на небе? Сегодня это не представляет труда. Подобно тому как на поверхности Земли в качестве координат используются два угла на сферической поверхности (широта и долгота), на внутренней поверхности сферы звездного неба тоже можно применять угловые сферические координаты. Для этого существуют специальные измерительные приборы. Но такие приборы еще только предстояло создать – самые древние из них были изобретены в Вавилоне и Древней Греции в пятом-четвертом веках до нашей эры. А календари уже существовали.

Аналогом угловых координат у древних звездочетов стали созвездия. Еще в глубокой древности было замечено, что ночное небо можно условно разделить на участки, в каждом из которых расположена группа звезд, образующая схематический рисунок. Этим группам (созвездиям) стали присваивать различные названия, большая часть которых была именами богов и мифологических героев, а также животных. Названия созвездий и были первыми координатами на небесной сфере. Древние греки различали 88 таких «координат». На протяжении жизни нескольких поколений звездный рисунок выглядел неизменным – звезды казались как бы прикрепленными к небесной сфере, которая как целое вращалась вокруг земного наблюдателя, описывая полный круг за сут-

ки. Если набраться терпения и безлунной ночью неподвижно сидеть, глядя на небо, то нетрудно определить, что за пару часов небесная сфера со звездами поворачивается на угол примерно $30\infty$. Эту завораживающую панораму чудесно выразил наш великий поэт:

Морозна ночь, все небо ясно, Светил небесных дивный хор Течет так тихо, так согласно.

Конечно, мы знаем, что на самом деле «дивный хор» никуда не течет. Не звездная сфера вращается вокруг неподвижной Земли, а, наоборот, Земля вращается вокруг своей оси. Но тысячи лет почти все люди, глядя на небо, думали по-другому. Инакомыслящих были единицы, их заставляли молчать. Первым, кто выдвинул гелиоцентрическую систему мира и сделал ее обоснование, был выдающийся греческий математик, астроном и философ Аристарх Самосский (третий век до нашей эры). Но на него обрушились проклятия жрецов. Понадобилось почти две тысячи лет, чтобы трудами Коперника, Кеплера, Галилея и многих других астрономов геоцентрическая система уступила гелиоцентрической. Да и то не сразу. Знаменитое «а все-таки она вертится!» великий Галилей скорее всего произнес мысленно, покидая суд инквизиции с обещанием вслух так больше не говорить. Вот почему изначально все календари исходили из геоцентрической системы мира, в которой Земля неподвижна. Да и сегодня она хороша не только как поэтический образ. Геоцентрическая система удобна для создания календарей. Именно на ней построена сферическая астрономия, которая вводит некую воображаемую сферу на огромном расстоянии от Земли, много большем, чем расстояние от Земли до Солнца. Действительно, даже ближайшая к Солнцу звезда находится от нас на расстоянии в 270000 раз большем.

Движение Солнца в геоцентрической системе

Движение Солнца по небесной сфере в геоцентрической системе имеет непростой

7

КАЛЕНДАРЬ

ца на эклиптике относительно созвездий тоже должны изменяться — примерно на одно созвездие за 2000 лет. При этом должна меняться и длительность пребывания Солнца на «участке» того или иного созвездия. Во время Гиппарха эта длительность колебалась в пределах 28–30 дней, что и зафиксировано в астрологическом каноне, которым пользуются до сих пор. Но в наше время это совершенно другая длительность, она сейчас колеблется в пределах от 8 до 44 дней. Мало того, на современной картине звездного неба солнечная эклиптика пересекает уже не 12, а 13 созвездий. В число знаков Зодиака теперь входит и созвездие Змееносца (с 30 ноября по 18 декабря). И даты рождения современных людей соответствуют совсем другим (соседним) знакам Зодиака. Из этих неопровержимых астрономических данных следует, что все астрологические прогнозы (гороскопы) о судьбах людей, определяемые по старинному, двухтысячелетней давности, канону, сейчас бессмысленны, а если и бывают совпадения, то они чисто вероятностные. Но ведь известно, что выдающиеся астрономы эпохи Возрождения и Нового времени тоже составляли астрологические прогнозы. И это было для них единственным источником средств для жизни, а главное, для приобретения необходимых приборов и инструментов. Властные и богатые люди щедро платили за гороскопы, особенно если они сбывались. Например, предшественнику Кеплера датскому астроному Тихо Браге король Дании Фридрих II подарил целый остров и построил для него замок Ураниенбург, оснащенный самыми

И

АСТРОНОМИЯ

лучшими приборами для изучения неба (Урания – муза астрономии). Иоганну Кеплеру приписывают такие слова: «Астрология – дочь астрономии. Естественно, что дочь должна кормить мать, которая без нее умерла бы с голоду». Но множество астрологов ничего не сделали полезного в астрономии, а попросту занимались прибыльным делом.

Причина предварения равноденствий

Гиппарх догадывался, что открытое им явление предварения равноденствий связано с вращением Земли вокруг своей оси, в чем он был уверен, как и его предшественник Аристарх Самосский. Какова же связь вращения Земли с этим явлением, которое в римское время стали называть прецессией? Заметим, что XVIII веке ученые назвали этим словом другое явление, характеризующее вращение массивных тел, имеющих в данной системе отсчета одну неподвижную точку, – гироскопов (волчков). Это явление знакомо каждому с детства. При наклоне игрушечного волчка (юлы) ось вращения начинает описывать коническую поверхность. Это придает устойчивость положению волчка, потому что среднее положение вектора оси остается вертикальным. Вращательное движение оси волчка есть следствие закона динамики вращательного движения твердого тела. На обычный волчок действует момент силы тяжести, приложенной к центру масс волчка. Вектор этого момента все время остается перпендикулярным оси вращения, что и вызывает поворот этой оси. А постоянный поворот оси и означает ее вращение (прецессию). Угловая скорость прецессии всегда значительно меньше угловой скорости самого волчка. Астрономы применили законы прецессии гироскопа к вращающейся Земле. Для земного шара вращающим моментом может быть только суммарный момент сил тяготения между Землей и массивными телами солнечной системы – самим Солнцем, Луной и планетами Солнечной системы. Если бы Земля имела форму идеального однородного шара, то момент этих

8

КВАНТ 2020/№2

сил был бы равен нулю, потому что все эти силы можно было бы считать приложенными к ее центру. Но Земля не шар и не абсолютно твердое идеально однородное тело. Вращение Земли приводит к сплюснутости у полюсов, ее экваториальный радиус на 20 километров больше полярного. Эта причина и неоднородность земного вещества приводят к неравенству нулю суммарного момента сил тяготения со стороны объектов Солнечной системы. Он и вызывает прецессию земной оси. Так называемые «полюсы мира», проекции земной оси на небесную сферу, перемещаются по ней, описывая окружности с угловым раствором дважды по $23,5\infty$. В гелиоцентрической системе, где неподвижно Солнце, это соответствует углу между осью вращения Земли и плоскостью земной орбиты. Выше уже отмечалось, что это и есть причина смены времен года. Ось вращения медленно, но верно поворачивается, угловая скорость этого поворота соответствует периоду вращения 26000 лет. И времена года должны так же медленно перемещаться по годичному календарю – примерно на месяц за каждые 2200 лет. И соответственно этому для каждой местности на Земле (ее географической широты) будет меняться кульминационная суточная высота Солнца над горизонтом и среднегодичное значение этой высоты, т.е. будет меняться климат. Возможно, что это и есть причина периодического появления и исчезновения так называемых малых ледниковых периодов в умеренных широтах (другая возможная причина – долгопериодные изменения солнечной активности). Совершенно очевидно, что прецессия земной оси должна находить какое-то отражение в календарных системах, прежде всего в таких, которые связаны со звездным небом, например в астрологическом календаре. В других календарях она вно-

сит небольшую поправку и никогда не учитывалась вплоть до современного, григорианского календаря. В этом календаре используется так называемый истинный или тропический год, длительность которого определяется как промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра диска Солнца через точку весеннего равноденствия. Тем самым, влияние прецессии земной оси при этом уже учтено автоматически. И проблемой разработки солнечных календарей становится согласование длительности тропического года с длительностью суток. Длительность тропического года в современную эпоху составляет 365, 2422 суток. И эта «добавка» 0,2422 должна быть близкой к некоторому рациональному числу – отношению целых чисел. В статье В.Г.Сурдина «Високосное летосчисление» в сборнике «Математическая составляющая» (М.: Фонд «Математические этюды») рассматривается общий принцип построения календарей на основе математического аппарата под названием «цепные дроби». Вычисленные с помощью этого аппарата рациональные добавки составляют (в сутках) 1 4, 7 29, 8 33, 31 128… Это означает, что к 365 суткам в календарном году должны добавляться 1 сутки раз в 4 года, 7 суток – раз в 29 лет, 8 суток – раз в 33 года, 31 сутки – раз в 128 лет и т.д. Среднегодовая погрешность при этом будет все меньше и меньше – 11,25 минуты для дроби 1 4, 70 секунд для дроби 7 29, 20 секунд для дроби 8 33 и чуть меньше 1 секунды для дроби 31 128. Читатель уже сразу замечает, что вариант с 1 4 – это и есть юлианский календарь с его «високосной» добавкой 29 февраля 1 раз в 4 года. А что же такое нынешний григорианский календарь с этой математической (арифметической) точки зрения? Ответ на этот вопрос – во второй части статьи.

(Продолжение следует)

10

КВАНТ 2020/№2

номерами k, k + n, k + 2n,…; эти слоги по определению считаются сильными слогами (n,k)-размера. Говорят, что строка подчиняется (n,k)-размеру, если выполнено следующее $условие^{1}$:

Если некоторое слово содержит хотя бы один сильный слог (n,k)-размера, то и его ударный слог является сильным слогом (n,k)-размера. Другими словами: если ударный слог некоторого слова не является сильным, то это слово вообще не содержит сильных слогов.

Например, обсуждавшийся выше ямб – это 2,2 -размер. Стихотворение подчиняется (n,k)-размеру, если каждая его строка подчиняется (n,k)-размеру. При чтении стихотворения сильные слоги выделяются более или менее отчетливыми ударениями. Но еще раз подчеркнем: не следует путать, и тем более отождествлять, сильные и ударные слоги. Сильный слог не обязан быть ударным (первый слог слова занемог из второй строки «Евгения Онегина»), а ударный – сильным (слово не в той же строке). Помещенное в рамку правило как раз и указывает, когда сильный слог обязан быть ударным, т.е. когда на слог с определенным номером в строке действительно падает ударение при правильном чтении. Подробнее (n, k)-размер называется n-сложным размером с k-й сильной долей.

Упражнение 1. а) Докажите, что если в строке, подчиненной (n,k)-размеру, сильный слог принадлежит слову, содержащему не больше n слогов, то этот слог является ударным. б) Если в строке отсутствуют слова, содержащие больше n слогов, то условие подчиненности этой строки (n,k)- размеру равносильно тому, что все сильные слоги – ударны.

Заметим, что наша терминология не вполне согласуется с принятой в стихове-

1 Это условие стиховеды часто называют правилом запрета переакцентуации. Оно впервые было четко высказано известным лингвистом Р.Якобсоном в двадцатых годах, а затем изучено и развито в стиховедческих работах А.Н.Колмогорова и его учеников.

дении. В частности, то, что мы называем размером, чаще называют метром, а размер включает в себя еще и число сильных слогов в строке, или, как говорят, число стоп. Например, ямб – это метр, а пятистопный ямб – это размер. Классические размеры. Классическими размерами русской поэзии по определению считаются двухсложные и трехсложные размеры. Таким образом, классических размеров пять. Вот их названия:

Примеры трех из пяти классических размеров мы находим в хрестоматийных стихах Пушкина. Ямб: Я помню чудное мгновенье… Еще одно последнее сказанье… Унылая пора, очей очарованье… Хорей: Буря мглою небо кроет… Царь с царицею простился… Долго ль мне гулять на свете… Амфибрахий: Сижу за решеткой в темнице сырой… Кавказ подо мною. Один в вышине… Как ныне сбирается вещий Олег… С дактилем нам поможет Лермонтов: Тучки небесные, вечные странники… А у Некрасова мы с легкостью находим образцы всех трехсложных размеров. Дактиль: В мире есть царь, этот царь беспощаден… Дня не проводит Мазай без охоты…

2 Палец имеет три фаланги: первая длинная, две другие $короткие.^{3}$ Сильную долю окружают две слабые («краткие») $доли.^{4}$ Обратный дактилю.

11

О

СТИ Х ОТВОРН ЫХ

Амфибрахий: Савраска увяз в половине сугроба… Есть женщины в русских селеньях… Анапест: Выдь на Волгу, чей стон раздается… Что ты жадно глядишь на дорогу… Какой размер лучше? Если вы спросите у приятеля: «Ты подписался на журнал «Квант»?», то, скорее всего, вы сделаете ударения на словах «подписался» и «Квант», оставив безударными слова «ты», «на» и «журнал». Итого, 2 ударения на 9 слогов. Я думаю, это норма для разговорной речи: одно ударение на 4–5 слогов. Если вы отвечаете урок или читаете речь по бумажке, ударений будет больше (это явление описывается словом «бубнить»). Когда вы читаете «с выражением» стихи, ударений будет еще больше: примерно треть всех слогов будут ударными. Это обстоятельство побудило некоторых критиков второй половины прошлого века сделать вывод, что наиболее подходящими для русского стихосложения размерами являются трехсложные размеры. Действительно, трехсложные размеры занимают значительное место в творчестве поэтов указанного времени, прежде всего Некрасова и его окружения. Но верно и другое. Пушкин почти не пользовался трехсложными размерами: 80% его стихов написаны ямбом, 15% – хореем, а трехсложными размерами – совсем немного, причем это по большей части пародии, эпиграммы и т.п. (Справедливости ради нужно сказать, что среди немногих стихов Пушкина, написанных трехсложным размером, есть весьма известные; кроме упомянутых выше можно назвать Раздайтесь, вакхальны напевы…, Смотрю, как безумный, на черную шаль… и некоторые другие. Кстати, среди трехсложных размеров Пушкин явное предпочтение отдавал амфибрахию; чем объяснить это, я не знаю.) Двухсложными размерами написаны многие стихи Лермонтова и почти все стихи Тютчева. Предпочтение двухсложным размерам (а среди них – ямбу) отдавали такие современные Некрасову поэты, как Фет и Майков, не говоря уже о более поздних поэтах. Попробуем разобраться, в чем причина этого.

РА З МЕРА Х

Двухсложный размер против трехсложного. Если мы прочтем стихотворение, написанное ямбом или хореем, и сделаем ударения на всех сильных слогах, то получится считалка. Например: Вы ’ шел мйсяц из тумбна, $Вы^{’}$ нул нужик и ’ з кармбна… Чтобы привести количество ударений к норме, относительно которой мы выше согласились (одно ударение на 3 слога), мы должны пропустить – или приглушить – ударения на части сильных слогов. Это придает двухсложным стихам много замечательных качеств. Первое из них – разнообразие. В зависимости от того, какие именно сильные слоги выделяются ударениями, стихотворная строка может звучать совершенно по-разному. Сравните, например: Под насыпью, во рву некошенном… (Блок)

Тебе ль меня придется хоронить… (Шекспир в переводе Маршака)

Трудно поверить, что размеры этих строк одинаковы, но это так! Более того, одно и то же стихотворение, написанное ямбом или хореем, может звучать в ритмическом отношении совершенно по-разному у разных исполнителей. Второе качество – близость к разговорной речи. Возможность не барабанить с одинаковой силой все сильные слоги позволяет приглушить ритм стиха, тем самым приблизив его к прозе самого высокого качества. Лично я не могу себе представить, как «роман в стихах» мог бы быть написан трехсложным размером. Наконец, третье – выделение части сильных слогов в двухсложном размере само может подчиняться какому-нибудь арифметическому правилу, создавая дополнительный ритм. Например, если в стихотворении, подчиненном двухсложному размеру, приглушить все четные сильные слоги и выделить нечетные (или наоборот), то размер стихотворения станет четырехсложным! Но об этом мы поговорим потом. Контрдоводы трехсложного размера. Мы уже говорили, что, читая стихи, на-

12

КВАНТ 2020/№2

писанные трехсложным размером, мы принуждены более или менее равномерно выделить ударениями все сильные слоги. В результате оказывается, что стихи, написанные одинаковыми по числу слогов одноименными трехсложными размерами, очень похожи друг на друга. Сравните, например: Ты твердишь, что я холоден, замкнут и сух, Да, таким я и буду с тобой: Не для ласковых слов я выковывал дух, Не для дружб я боролся с судьбой… (Блок)

Мне на шею бросается век-волкодав, Но не волк я по крови своей. Запихай меня лучше, как шапку, в рукав Жаркой шубы сибирских степей… (Мандельштам) Авторам стихов, написанных трехсложным размером, приходится мириться с его однообразием, которое, впрочем, придает стихам некоторую торжественность («Вакхическая песнь» Пушкина), а в других случаях роднит стихотворение с задушевной русской песней (вспомните Когда я на почте служил ямщиком и Славное море, священный Байкал, и Бродяга к Байкалу подходит, и даже Наверх вы, товарищи, все по местам, и даже Вы жертвою пали в борьбе роковой!). Но нет ли способа побороть тягучее однообразие трехсложного размера? Такой способ есть, и он очень стар: нужно не следовать трехсложному размеру строго, а систематически нарушать его ритм. Примером такого видоизмененного трехсложного размера может служить гекзаметр – едва ли не самый древний из стихотворных размеров. Образцом гекзаметра может служить лицейская эпиграмма Пушкина: Внук Тредьяковского Клит гекзаметром песенки пишет… Сильными слогами гекзаметра являются 1-й, 4-й, 7-й, 9-й, 12-й и 15-й слоги; таким образом, гекзаметр представляет собой смесь дактиля и анапеста. А вот интересный пример из Лермонтова:

Они любили друг друга так долго и нежно, С тоской глубокой и страстью безумно-мятежной! Но, как враги, избегали признанья и встречи, И были пусты и хладны их краткие речи. Это – дактиль, но без ударения на 1-м слоге. Согласитесь, что размер этого стихотворения не назовешь однообразным или скучным. Сходный размер встречается у Фета:

Измучен жизнью, коварством надежды, Когда им в битве душой уступаю, И днем, и ночью смежаю я вежды И как-то странно порой прозреваю.

У более поздних поэтов так или иначе модифицированный трехсложный размер встречается очень часто. Я ограничусь одним примером из Гумилева: Уронила девушка перстень В колодец, колодец ночной. Простирает легкие персты К холодной воде ключевой. Возврати мне перстень, колодец, В нем красный цейлонский рубин…

В этом стихотворении четные строки написаны амфибрахием, а нечетные – модифицированным амфибрахием: ударение со 2-го слога перенесено на 3-й. Неклассические размеры. В нашем определении (n,k)-размера n может быть любым натуральным числом (хотя естественно брать его не слишком большим, скажем, чтобы в строке было не меньше двух сильных слогов). Что можно сказать о (n,k)-размере с n z 2 и 3? Начнем с n = 1. Очевидно, любой текст подчиняется 1,1 -размеру: все слоги сильные. Читать такие стихи – значит, скандировать (шай-бу-шай-бу!). Стихи в этом роде существуют, например: Не-ест-непьет-мень-шой-сы-нок (Некрасов), Ко-сико-са-по-ка-ро-са (Твардовский). Но они редки. Более интересны размеры с n > 3, особенно с n = 4 и 5. Совмещение размеров. Прежде чем обратиться к ним, зададимся вопросом: мо-

13

О

СТИ Х ОТВОРН ЫХ

жет ли одна и та же строка подчиняться двум разным размерам? Наше определение не исключает такую возможность. Например, строчка, составленная из одних односложных слов, подчинялась бы любому размеру.

Упражнение 2. а) Докажите, что строчка, подчиненная одновременно ямбу и хорею, состоит из односложных слов. б) Докажите, что строчка из 9 слогов, подчиненная двум разным трехсложным размерам, содержит по крайней мере 6 слов.

Практически это означает, что разные двухсложные размеры, как и разные трехсложные размеры, совместить невозможно. Казалось бы, совместить двухсложный размер с трехсложным легче, хотя и при этом возникают серьезные ограничения на длину слов.

Упражнение 3. Докажите, что если строчка подчиняется одновременно хорею и дактилю, то 4-й слог входит в состав либо односложного слова, либо слова, состоящего по крайней мере из 4-х слогов.

Набоков приводит пример строки, подчиненной ямбу и амфибрахию: Таинственный и неземной. Но строка – это еще не стихотворение. К тому же сильные слоги двухсложного и трехсложного размеров, совмещенных в одном стихотворении, были бы совершенно различны, и это стихотворение (если бы оно существовало) можно было бы прочесть двумя совершенно разными способами. Можно высказать уверенность, что ни в одном поэтическом сборнике вы такого стихотворения не найдете. Другое дело – совмещение двухсложного и четырехсложного размеров, и причина в том, что 4 делится на 2. Например, что нужно для того, чтобы строка, подчиненная ямбу, подчинялась также, скажем, 4,2 -размеру? Нужно, чтобы в слове, содержащем более одного четного слога, ударение приходилось на слог, номер которого не делится на 4. Выбросьте последнее «не», и вы получите условие подчиненности ямба 4,4 -размеру. Поскольку слов, содержащих несколько четных слогов, в стихотворении может быть не так уж много, это условие представляется вполне

РА З МЕРА Х

выполнимым. Для примера заметим, что из 14 строк первой строфы «Евгения Онегина» 13 подчиняются (4,4)-размеру и 7 подчиняются (4,2)-размеру. Наоборот, что нужно для того, чтобы строка, подчиненная (4,2)-размеру, подчинялась ямбу? Нужно, чтобы в словах, не содержащих сильных слогов (4,2)-размера, но содержащих (тогда уж единственный) четный слог, этот слог был ударным. (Например, если 3-й и 4-й слоги такой строки составляют слово, то в этом слове ударение должно падать на 4-й, а не на 3-й слог.) И это представляется вполне выполнимым. Четырехсложные размеры. Теперь мы можем обратиться к их рассмотрению. Каждому четырехсложному размеру мы поставим в соответствие сопряженный с ним двухсложный размер: для (4,1)- и (4,3)-размера таковым, по определению, считается хорей, для (4,2)- и (4,4)-размера – ямб. Далее, если строка подчиняется четырехсложному размеру, мы будем говорить о ее размере как о несамостоятельном четырехсложном, если она подчиняется также сопряженному двухсложному размеру, и как о самостоятельном – в противном случае. Начнем с самостоятельного четырехсложного размера. Должен признаться, что убедительных примеров русских стихов, подчиненных самостоятельному четырехсложному размеру, мне не известно. Вероятно, их и нет – к такому выводу можно прийти, читая статью стиховеда Л.Е.Ляпиной «Русские пеоны» в уже цитировавшемся сборнике «Русское стихосложение». (Пеоны – ученое название четырехсложных размеров; а пятисложные по-ученому называются пентонами.) Отчего это так? В поисках ответа попробуем сконструировать строчку, подчиненную самостоятельному четырехсложному размеру: Написал сорок статей я в журнал «Квант». Эта строчка подчиняется (4,3)-размеру, но не подчиняется хорею. Ее чтение вызывает явное затруднение: ударения в словах сорок и журнал кажутся стоящими не на месте. В чем дело? Вероятно, в том, что, как уже было сказано, примерно треть

14

КВАНТ 2020/№2

слогов в стихотворении должны быть ударными; поэтому сильных слогов не достаточно, и к ним приходится добавлять хотя бы слабые дополнительные ударения. По ритмическим соображениям эти ударения хочется расположить в середине интервала между сильными слогами, а это и значит, что четырехсложный размер стремится к несамостоятельности. Несамостоятельный же четырехсложный размер – очень распространенное явление. Если вы сомневаетесь в его существовании (как сомневались некоторые стиховеды – полемика с ними составляет основное содержание цитировавшейся выше статьи Л.Е.Ляпиной), спросите у любого ученика музыкальной школы – и он скажет вам, что четырехдольный размер в музыке встречается очень часто, в частности в песнях: Я ли в поле да не травушка была… Уж как я ль мою коровушку люблю… (все это – несамостоятельный (4,3)-размер, он, как и трехдольный, весьма характерен для русской песни). Если и это вас не убеждает, полистайте Пушкина. Вот образец (4,2)-размера из его юношеских стихов: В пещйрах Геликуна Я нйкогда рождйн; Во ъмя Аполлуна Тибэллом окрещйн… Знаменитая «Зимняя дорога» Пушкина (По дороге зимней, скучной…) мне тоже кажется написанной четырехсложным размером; однако композитор Свиридов предпочел прочесть эти стихи как двухсложные. Более того, часто (можно сказать, как правило) четырехсложному размеру бывает подчинена только часть стихотворения, и переходы от четырехсложного ритма к двухсложному и обратно могут нести смысловую или изобразительную нагрузку. Это легко прослеживается, например, в поэме Некрасова «Кому на Руси жить хорошо» (несамостоятельный (4,2)-размер). Пятисложные размеры. Поскольку 5 – простое число, пятисложный размер может быть только самостоятельным. Где искать его? Казалось бы, в стихах еще

более тягучих и распевных, чем русские песни и лирика Некрасова. Может быть, подойдут народные сказания? И точно, многие строки этого рода подчинены пятисложному размеру: Ох ты гуй ecu, добрый мулодец… или То не мэж с женой, то не брбт с сестрой – Добрый мулодец с красной дйвицей. Более последовательный пятисложный размер (хотя тоже не без отступлений) можно найти в подделках под сказительный стиль, в стилизациях, написанных профессиональными поэтами, скажем в «Купце Калашникове» Лермонтова: Как сходълися, собирблися Удалы ’ е бойцы москувские На Москвэ-реку, на кулбчный бой… И прийхал царь со дружъною. Со $боя^{’}$ рами и опръчниками… Все это, кстати, (5,3)-размер. Казалось бы, все ясно. Но позволю себе привести совсем другой пример. В последний год своей жизни Гумилев написал поэму «Дракон», состоящую из 12 частей по 5 четверостиший в каждой. Приведу полностью первую часть, описывающую восход солнца на океанском берегу, а вы определите размер. Из-за свежих волн океана Красный бык приподнял рога. И бежали лани тумана Под скалистые берега.

Под скалистыми берегами, В многошумной сырой тени Серебристыми жемчугами Оседали на мох они.

Красный бык изменяет лица, Вот широко крылья простер, И парит огромная птица, Пожирающая простор.

И к вратам голубой кумирни По открытой тропе небес Он выходит, стрелок и лирник, Ключ держа от тайн и чудес.

Дуйте ветры, чтоб волны пели, Чтоб в лесах гудели стволы,

15

О

СТИ Х ОТВОРН ЫХ

Дуйте ветры в трубах ущелий, Возглашая ему хвалы. Ответ: (5,3)-размер.

Действительно, предположим, что данное стихотворение подчиняется (n,k)-размеру. Во всех 20 строчках 3-й и 8-й слоги являются ударными (в своих словах). Имеется 7 строк, в которых слово, содержащее 3-й слог, имеет более 3 слогов. Значит, либо 3-й слог является сильным, $либо^{n} t 5$. Аналогичное верно и для 8-го слога. Далее, 3-й и 8-й слоги являются одновременно сильными только в пятисложном размере. Легко проверить, что стихотворение действительно подчиняется (5,3)-размеру и не подчиняется другим пятисложным размерам. Размеры с n > 5 мы исключаем из рассмотрения (см. ниже). Для убедительности добавлю, что из наших 20 строк 6 подчиняются (3,3)-размеру, 3 подчиняются (4,1)-размеру, 1 подчиняется (4,4)-размеру, все 20 подчиняются (5,3)-размеру, 10 подчиняются (5,5)- размеру (это – издержки нашего определения) и ни одна не подчиняется ни одному другому (n,k)-размеру с n, не большим 5. Такую информацию выдала бы нам машина, если бы мы прибегли к ее помощи. Но где же в «Драконе» протяжная певучесть «Купца Калашникова»? Основная причина ее отсутствия состоит в том, что почти в каждой строке «Дракона», кроме основных ударений на 3-м и 8-м слогах, имеется достаточно отчетливое дополнительное ударение либо на 5-м, либо на 6-м слоге. Дополнительные ударения прослеживаются и в других стихах Гумилева, написанных пятисложным размером, а также у Ахматовой и Цветаевой. В какомто смысле и здесь можно было бы говорить о несамостоятельности (пятисложного) размера, но уточнить этот смысл, оставаясь в рамках строгой силлаботоники, нельзя. К стихам Цветаевой, например, трудно подходить с тем определением размера, которое дано в начале статьи и которым мы все время пользуемся. Многие ее стихи написаны индивидуальным размером с фиксированными, но не составляющими арифметической прогрессии номерами

РА З МЕРА Х

сильных слогов, скажем 3, 6, 8, как в стихотворении Юный месяц идет к полуночи: Час монахов – и зорких птиц, Заговорщиков час – и юношей, Час любовников и $убийц.^{5}$ Четыре, пять, что дальше? Дальше – 6. Бывают ли шестисложные размеры? Может быть. Так, правда с некоторой натяжкой, можно назвать шестисложным размер отдельных мест в «Купце Калашникове»: Схоронили его за Москвой-рекой… Промеж Тульской, Рязанской, Владимирской… Но число 6 имеет слишком много делителей, и шестисложный размер, скорее всего, будет распадаться в двухили трехсложные (приведенные выше строчки – не исключение). Почти всякое стихотворение, написанное трехсложным размером, будет подчиняться и шестисложному, но это не оказывает влияния на звучание стиха. Вообще, говоря о (n,k)-размерах с бульшими n, следует, во-первых, иметь в виду, что чересчур далеко расставленные сильные слоги вряд ли смогут создать определяющий ритм стиха, а во-вторых, принимать во внимание следующее, чисто арифметическое обстоятельство.

Упражнение 4. Пусть m – число слогов в строке. а) $Если^{n} t^{k} !^{m}$, то строка заведомо подчиняется (n,k)-размеру (сильных слогов нет – сравните со случаем n = = k = 1). б) $Если^{k} d^{m} k^{n}$, то условие подчиненности (n,k)-размеру не зависит от n и сводится к тому, что k-й слог ударен.

Поэтому целесообразно считать (это можно добавить к нашему определению), что число слогов в строках стихотворения, подчиненного (n,k)-размеру (хотя бы в большинстве строк), не меньше k + n. (Например, бессмысленно искать (5,5)-размер в «Драконе» Гумилева.) На практике все это означает, что (n,k)-размеров с n, большим 5, не бывает, так что мы можем закончить наш разговор. За его

5 Такие размеры являются логаэдрами.

19

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Могут ли студенты придумать стратегию, которая гарантирует им всем оценку «сдал»?

Опишем, как договориться студентам, чтобы всем сдать экзамен. Рассмотрим конкретного студента Василия. Пусть Василий представит, что преподаватель поставит ему оценку «не сдал», а всем, кто отвечает после него, – оценку «сдал». Тогда в качестве ответа Василий назовет суммарное количество оценок «сдал», полученных студентами в этом случае. Иначе говоря, если k студентов получили оценку «не сдал», то Василий назовет число 99 - k. Докажем, что, придерживаясь такой стратегии, все студенты сдадут экзамен. Если все студенты получили оценку «сдал», то они добились своей цели. Иначе рассмотрим последнего студента Петра, который получил оценку «не сдал». Поскольку после Петра все получили оценку «сдал», то Петр ответил на вопрос правильно. Таким образом, инспектор заменит все оценки на «сдал». Замечание. Покажем, что стратегия студентов единственно возможная. Допустим, что первые несколько студентов (возможно, никто) придерживаются указанной стратегии, а Василий – первый, кто назвал число, не соответствующее описанной стратегии. Тогда преподаватель может поставить ему оценку «не сдал», а всем после него – оценку «сдал». В этом случае Василий дал неверный ответ, а все, кто получил оценку «не сдал» (они отвечали до Василия), назвали число, которое больше реального числа оценок «сдал». Д.Афризонов

M2580. Дана выпуклая четырехугольная пирамида с вершиной S и основанием ABCD, причем существует сфера, вписанная в эту пирамиду (т.е. расположенная внутри пирамиды и касающаяся всех ее граней). Пирамиду разрезали по ребрам SA, SB, SC, SD и отогнули грани SAB, SBC, SCD, SDA вовне на плоскость ABCD так, что получился многоугольник AKBLCMDN, как показано на рисунке 1. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

Рис. 1

Сделаем гомотетию с центром в S, переводящую вписанную сферу в сферу, касающуюся плоскости ABCD с противоположной стороны; таким образом мы получим вневписанную сферу (рис.2). Обозначим точки касания этой вневписанной сферы с плоскостями ABCD, ABS, BCS, CDS и DAS через $T, T_{K}, T_{L}, T_{M}$ и $T_{N}$ соответственно. Покажем, что KT = LT = MT = = NT, т.е., что K, L, M и N лежат на одной окружности с центром T. Заметим, что четырехугольники $SBT_{K} A$ и KBTA симметричны относительно внешней биссекторной плоскости двугранного угла между гранями ABCD и ABS; отсюда следует, что $ST_{K} = KT$. Аналогично, $ST_{L} = LT, ST_{M} = MT$ и $ST_{N} = = NT$. Кроме того, $ST_{K} = ST_{L} = ST_{M} = = ST_{N}$, как отрезки касательных к вневписанной сфере, проведенных из S. Значит, отрезки $ST_{K}$, KT, $ST_{L}$, LT, $ST_{M}$, MT, $ST_{N}, NT$ равны, и задача решена. Замечание. Аналогичное утверждение верно для описанной n-угольной пирамиды при любом n. Изложенное выше решение остается в силе. Кроме того, общий случай можно спуском n Æ n - 1 свести к случаю n = 4.

Рис. 2

20

КВАН T 2020/№2

Другое (возможно, более простое) решение задачи можно получить, пользуясь критерием описанности вокруг сферы четырехгранного угла:

– ASB + – CSD = – BSC + – DSA.

Из этого равенства следует, что – AKB + + – CMD = – BLC + – DNA. После этого, учитывая равенство углов в равнобедренных треугольниках ANK, BKL, CLM и DMN, несложно показать, что в четырехугольнике KLMN суммы противоположных углов равны, поэтому он вписанный. Г.Кош

M2581. В социальной сети с фиксированным конечным числом пользователей каждый пользователь имеет фиксированный набор подписчиков среди остальных пользователей. Кроме того, каждый пользователь имеет некоторый начальный рейтинг – целое положительное число (не обязательно одинаковое для всех пользователей). Каждую полночь рейтинг каждого пользователя увеличивается на сумму рейтингов, которые имели его подписчики непосредственно перед полуночью. Пусть m – некоторое натуральное число. Хакер, не являющийся пользователем сети, хочет, чтобы рейтинги всех пользователей делились на m. Раз в день он может либо выбрать некоторого пользователя и увеличить его рейтинг на 1, либо ничего не делать. Докажите, что через несколько дней хакер сможет достичь своей цели.

Пусть n – количество человек в социальной сети. Будем следить только за остатками рейтингов от деления на m. Цель хакера – сделать все n остатков равными 0. Если бы хакеру разрешалось менять рейтинг более одного раза в день, то он смог бы достичь своей цели уже в первый день. Действительно, он мог бы сначала прибавить несколько раз рейтинг первому пользователю так, чтобы он стал равен 0 по модулю m, далее аналогично второму и т.д. В остальные дни хакер может не делать ничего, и рейтинги всех пользователей,

начиная со второго дня, будут равны нулю. Назовем это изначальной стратегией. Докажем теперь, что хакер может сделать те же самые изменения рейтингов, но в разные дни, чтобы через некоторое время рейтинги всех пользователей стали равны 0. Будем представлять состояния социальной сети с помощью строк, состоящих из n остатков по модулю m (соответствующих рейтингам пользователей). Такие строки можно складывать по модулю m. Например, если m = 4 и n = 6, то

( 1,2,3,0,2,1 ) + ( 2,3,2,0,2,3 ) = ( 3,1,2,0,0,0 ).

Если прямо перед полуночью была строка X, обозначим через f ( X ) строку состояний после полуночи. Лемма. Функция f аддитивна, т.е.

f ( X + Y ) = f ( X ) + f ( Y ).

Доказательство леммы. Нужно показать, что строки f ( X + Y ) и f ( X ) + f ( Y ) совпадают на каждой позиции, т.е. для каждого пользователя. Рассмотрим произвольного пользователя, пусть его зовут Боб. Пусть в расстановке X у Боба остаток рейтинга $b_{x}$, а у его подписчиков суммарно $s_{x}$ (сумма берется по модулю m). Пусть в расстановке Y у Боба рейтинг $b_{y}$, у его подписчиков суммарно $s_{y}$. Тогда у Боба в f ( X ) будет $b_{x} + s_{x}$, в f ( Y ) будет $b_{y} + s_{y}$, а в f ( X + Y ) будет $b_{x} + b_{y} + s_{x} + s_{y}$. Лемма доказана. Давайте поймем, как одно действие хакера влияет на строки в будущем. Пусть в какой-то день была строка X, тогда, если бы хакер не вносил никаких изменений, мы получили бы последовательность строк

$X, f ( X ), f ( f ( X ) ),^{…}, f^{k} ( X ),^{…}$ где $f^{k}$ обозначает k раз примененное преобразование f. Если в первый день хакер увеличит у Боба рейтинг на 1, а больше изменений вносить не будет, то мы получим, в силу аддитивности, последовательность

$X + e_{b}, f ( X ) + f ( e_{b} ),^{…}, f^{k} ( X ) + f^{k} ( e_{b} ),^{…}$, где в строке $e_{b} = ( 0,0,^{…},0,1,0,^{…} 0 )$ единичка стоит на месте, соответствующем Бобу. Таким образом, через k дней разница будет

25

ЗАДАЧНИК

ют деформации, а абсолютно твердое тело не деформируется. Еще пример: часто пренебрегают индуктивностью проводников (или – что то же самое – энергией магнитного поля, возникающего вокруг проводника при пропускании по нему тока). Однако в известной задаче про конденсатор, который после зарядки закорачивают проводником, нельзя одновременно пренебрегать сопротивлением проводника и его индуктивностью – если сопротивление очень мало, то ток получается весьма большим и даже при малой индуктивности энергия магнитного поля оказывается существенной. Простой анализ показывает, что индуктивностью действительно можно пренебречь, только если выполняется условие

$L^{≪} R^{2} C$.

Очень часто при использовании «плохой» модели концы не сходятся с концами – куда-то девается (или появляется) энергия, не хватает уравнений для решения задачи и т.п. Это всегда должно настораживать! Разберем полезный пример: на двух нитях подвешена однородная балка. Требуется найти силы натяжения нитей. Задача эта очень просто решается: нити будем считать нерастяжимыми, составим уравнения равновесия, т.е. запишем условия равенства сил и моментов сил, – и неизвестные величины сразу определятся. Добавим теперь еще одну нить. Сразу появляются неприятности – не хватает уравнений. В чем дело? Причина тут довольно серьезная – не годится модель. В случае двух нитей она подходила – малые растяжения нитей были несущественны, они приводили лишь к тому, что балка висела чуть криво, а силы при этом практически не менялись. Если же нитей три, положение совсем другое. Немного ослабим одну нить – вся нагрузка сразу придется на две другие. Значит, малые растяжения существенны и модель «нерастяжимые нити» не годится. (Ведь можно пренебрегать каким-то фактором,

«КВАНТА»

только убедившись, что его влияние пренебрежимо мало.) Положение легко поправить – нужно задать жесткости нитей (можно одинаковые, если их длины одинаковы) и из геометрических соображений найти связь между удлинениями нитей, а значит, и между силами натяжения. Это и будет недостающее уравнение. Системы такого рода называют «статически неопределимыми», имея в виду необходимость к уравнениям сил и моментов – уравнениям статики – добавлять уравнения, характеризующие физические свойства тел (например, жесткость). Статически неопределимые задачи встречаются не так уж редко. Например, задача о распределении сил давления на кирпич, лежащий на наклонной плоскости. Она похожа на предыдущую, только опор (нитей) не три, а очень много. Малейшая неровность на основании кирпича кардинально меняет результат – кирпич нельзя считать абсолютно твердым телом. Особенно каверзными бывают задачи, где взаимодействуют много тел и при этом есть трение. Один пример: задача про песок, насыпанный в кузов автомобиля (см. задачу Ф656). Давление на стенку кузова зависит и от того, как мы насыпали песок, и от того, как именно движется автомобиль (напомним тем, кто давно не ездил в кузове грузового автомобиля, что даже при движении с постоянной скоростью кузов сильно трясет). Из-за непрерывных толчков в разные стороны сухой песок постоянно перемешивается, при этом силы трения между песчинками все время меняют направление. В среднем при этом действие сил трения компенсируется, и песок напоминает жидкость, налитую в кузов. (Нечто похожее происходит, когда, желая наблюдать картину силовых линий магнитного поля, мы насыпаем железные опилки на лист бумаги и потряхиваем его, чтобы ослабить трение.) В этом случае задачу легко решить. Однако все может происходить иначе. Мы можем, например, плотно набить пе-

26

КВАНТ 2020/№2

сок в кузов, добиваясь «заклинивания» песчинок, когда уже никакая тряска не поможет – сила давления на стенку может при этом оказаться во много раз больше. Если же мы насыпаем песок медленно и аккуратно, конусом, а потом осторожно заполняем края и тщательно избегаем тряски, то сила давления возможно будет существенно меньше, чем в «гидростатическом» случае. В общем, статически неопределимые задачи имеют множество одинаково верных (и неверных, разумеется) решений. Разумный выбор модели может очень облегчить решение серьезной проблемы, причем модель может быть и очень неожи-

данной. Так, капельная модель ядра позволила оценить многие эффекты, связанные с устойчивостью ядер, а планетарная модель атома дает возможность вычислить множество полезных величин, хотя ясно, что на самом деле все устроено совсем не так. Ведь модель должна передавать далеко не все свойства изучаемого объекта (как, например, гиря на чашке весов моделирует далеко не все свойства взвешиваемого куска сыра). Итак, при выборе модели явления нужно быть очень аккуратным, не забывая, однако, о том, что живо и наглядно представить себе явление – значит существенно продвинуться в решении задачи.

Поправка

Однако заметим, что автор задачи предполагал вопрос, который не вошел в условие. А именно: при какой последовательности замыкания ключей в том или другом резисторе выделится минимальное количество теплоты? Численный метод решения задачи с этим вопросом дает такой результат. Если сначала замыкается ключ $K_{1}$ и на каждом конденсаторе в момент включения ключа $K_{2}$ устанавливается напряжение E, то в резисторе $R_{2}$ выделяется всего 6,67% от общего количества теплоты, выделившегося в двух резисторах. В случае когда первым включается ключ $K_{2}$ и одновременно включается ключ $K_{1}$, т.е. задержки нет, то во втором резисторе выделяется минимальное количество теплоты и оно равно 13,35% от общего количества. Минимальное количество теплоты выделится в резисторе $R_{1}$, еcли сначала на большое время будет включен ключ $K_{2}$ и на конденсаторе $С_{2}$ установится напряжение E, а затем будет замкнут ключ $K_{1}$. В этом случае в резисторе $R_{1}$ выделится 53,35% от общего количества теплоты. Отношение полученных минимальных значений близко к отношению целых чисел 1:2:8.

В решение задачи Ф2579 («Квант» №11 за 2019 г.) вкралась ошибка. Правильное решение привел наш читатель Данил Груздов. Он отметил, что формулы для $Q_{1}$ и $Q_{3}$, приведенные в журнале, неправильно учитывают работу источников тока. С учетом правильного вычисления работы источников должно быть:

Q 1

$CU E CU^{2} 2$ и $Q_{3}$

$3 CU E CU^{2}$.

Тогда получается, что суммарное выделенное количество теплоты не зависит от последовательности замыкания ключей $K_{1}, K_{2}$ и временно ’ й задержки и равно Q

$2,5 C E^{2}$.

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Волны в мелкой тарелке (интерференция)

А.КОСОУРОВ

Бросая в воду камешки, наблюдай круги, ими образуемые. Козьма Прутков

НЕТ В ПРИРОДЕ ЯВЛЕНИЯ БОЛЕЕ УНИ- версального, чем распространение волн. Волны на поверхности воды, звук, свет, радио, передача деформации от одних частей твердого тела к другим – все это волновые процессы. Квантовая механика показывает, что и движением микрочастиц управляют волновые законы. Все эти волны имеют разную физическую природу, разные скорости распространения, разные частоты и длины волн. Но независимо от этого в движении любых волн много общего. Изучив законы распространения волн одной природы, можно большинство их них практически без изменения перенести на волны другого типа.

Опубликовано в «Кванте» №1 за 1971 год.

Практически изучать волны удобнее всего на поверхности воды. Что такое волна? Бросьте в пруд камень. На спокойной горизонтальной поверхности пруда возникнут разбегающиеся круги. Точки поверхности воды, до которых дошла волна, начинают колебаться относительно своего равновесного положения. Это положение соответствует горизонтальной поверхности. Чем дальше находится точка от места падения камня, тем с большим запозданием «узнает» она о падении камня. Возмущение распространяется с определенной скоростью. Точки, до которых возмущение дошло одновременно, находятся в одинаковой стадии колебательного движения, т.е. в одинаковой фазе. Скорость перемещения этой фазы и есть скорость волны. Она измеряется в направлении нормали к фронту волны. Для волн любой природы всегда можно указать физические объекты, которые под действием волны испытывают возмущение, т.е. отклонение от своих равновесных значений. Для звука – это периодические повышения и понижения давления. Для радиоволн и света – быстрые изменения напряженности электрического (и магнитного) поля. Свойства всех без исключения сред таковы, что возмущение, возникшее в некоторой области, распространяется, передаваясь от точки к точке с конечной скоростью, которая

36

КВАН T 2020/№2

Наблюдать волны лучше всего по тени на дне тарелки при прямом солнечном свете или свете яркой лампы. Каждая волна, действуя как цилиндрическая линза, дает на дне тарелки светлую полосу, повторяющую форму фронта волны. Однако волны, бегущие со скоростью около 10 см с, сливаются для взгляда, фиксированного на неподвижной тарелке. Они видны только вблизи источника, где их амплитуда велика. Чтобы увидеть их на всей поверхности воды, нужно быстро поворачивать голову. Точно так же при быстрых движениях головы можно рассмотреть спицы катящегося колеса. Очень эффектно наблюдать волны на матовом стекле фотоаппарата, особенно крупноформатного. Держа камеру в руках и плавно покачивая ее, легко добиться, чтобы волны были видны на всей поверхности. При этом кажется, что они бегут очень медленно. Можно смотреть на отражение поверхности воды и в зеркале. Легкие движения зеркала также делают волны видимыми по всей поверхности. Но удобнее всего наблюдать волны при стробоскопическом освещении. Если освещать установку короткими вспышками света с частотой, равной частоте источника волн, то от одной вспышки до другой волны переместятся на одну длину волны и волновая картина волн будет казаться неподвижной. Такое освещение чрезвычайно легко осуществить. Достаточно параллельно обмоткам магнита звонка включить небольшую лампочку. С расстояния 0,5–1 м она хорошо и равномерно осветит установку, и неподвижная теневая картина волн будет хорошо видна. Для фотографирования лучше воспользоваться прямым солнечным светом. Укрепите теперь на молоточке звонка согнутую из проволоки «вилку» с кусочками пробки на концах. Расстояние между концами вилки 2–3 см. Если концы будут опускаться в воду одновременно, получится два источника волн, колеблющихся не только синхронно, или в такт, но и синфазно, т.е. волны от обоих источников будут возникать в один и тот же момент времени. Картина будет примерно такой. От источников волн веером расходятся области больших амплитуд, разделенные областями «молчания».

Центральная область больших амплитуд расположена перпендикулярно линии, соединяющей источники. Как области молчания, так и области больших амплитуд проходят между источниками. Исследование интерференционной картины с линейкой покажет, что расстояние между двумя максимумами на линии, соединяющей источники, равно половине расстояния между двумя горбами, т.е. половине длины волны. Если изменить расстояние между источниками, то изменится и число полос большой амплитуды. Чем больше расстояние между источниками, тем больше «перьев» в нашем веере. Но расстояние между максимумами на линии, соединяющей источники, всегда равно половине длины волны. Поэтому общее число полос с максимальной амплитудой будет вдвое больше, чем число длин волн, укладывающееся на расстоянии между источниками. Отсюда следует, что если расстояние между источниками меньше половины длины волны, то интерференции вообще не будет. Такие источники действуют как один, давая одну систему круговых волн. Это можно увидеть, постепенно уменьшая расстояние между источниками. Обратите внимание еще и на то, что, продолжая в какой-нибудь области больших амплитуд фронт волны, проходящий через горб, мы в соседней области встретим впадину. Другими словами: при переходе через нулевую область фаза волны меняется на половину полного колебания. Теперь представьте себе, что у нас не два молоточка, а два источника света, излучающих световые волны, и перпендикулярно поверхности воды мы помещаем экран. Мы увидим освещенные места, соответствующие пересечению экрана и областей с большой амплитудой, и темные, не освещенные места. Иными словами, мы увидим темные и светлые интерференционные полосы. О том, как осуществить интерференционный опыт в оптике, поговорим как-нибудь в другой раз, а сейчас попробуем объяснить то, что увидели. Нарисуем на листе бумаги обе системы волн так, словно они замерли в какой-то момент (рис.2). Горбы волн отметим красным цветом, а впадины – синим. Перенумеруем волны, отметив одинаковыми числами те,

37

ЛАБОРАТОРИЯ

Рис. 2. Сложение колебаний при интерференции волн от двух точечных источников. Красные линии – горбы, синие – впадины. Утолщенными дугами показаны результирующие волны

которые вышли из источников одновременно. Из рисунка видно, что на линию, равноудаленную от источников, одновременно приходят волны, имеющие одинаковые номера. Это и понятно, так как до точек этой прямой волны прошли одинаковые пути. По принципу суперпозиции мы можем заключить, что на этой линии удвоятся как высоты горбов, так и глубины впадин. Правее и левее этой линии лежат точки, в которых горбы одной системы волн совпадут со впадинами другой. В то время как волны от одного источника вызовут в этих точках отклонение вверх, волны от другого в тот же момент вызовут в этих точках отклонение вниз. Суммарное отклонение в этих точках будет близко к нулю. Соединим все такие точки непрерывной черной линией. Если проследить за нумерацией горбов и впадин, легко заключить, что до всех точек правой линии левые волны проходят путь на половину длины волны больший, чем правые. Для левой линии на половину длины волны отстают правые волны. Справа и слева от нулевых линий лежат точки пересечения первого горба со вторым,

«КВАНТА»

второго с третьим и т. д. Легко понять, что это тоже области максимумов. Соединив эти точки, мы получим линию, до точек которой одна система волны отстает от другой на одну длину волны. Продолжая анализ чертежа, можно найти все нулевые линии и все линии максимумов. Линии, которые мы получили, математики называют гиперболами. (Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух точек – фокусов – постоянна.) Теперь совершенно ясно, почему расстояние между максимумами на линии, соединяющей источники, равно половине длины волны. Действительно, в среднюю точку этой линии волны приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга. Если сместиться из этой точки на полдлины волны, то путь одной волны увеличится на половину длины волны, а другой – уменьшится на такую же величину. Разность хода между волнами в этой точке (разность путей, пройденных волнами от источников до точки) будет равна одной длине волны, и волны снова будут взаимно усиливаться. Так будет происходить через каждую половину длины волны. Максимум, соответствующий нулевой разности хода, называют нулевым максимумом или нулевым порядком интерференции. Максимумы с разностью хода в одну длину волны – максимумами первого порядка интерференции и т. д. Максимальный порядок интерференции определяется целым числом, ближайшим к 2d O, где d – расстояние между источниками, а O – длина волны. Теперь попробуйте проанализировать сами с помощью чертежа, а может быть, и проверить экспериментально, как изменится картина, если один из источников будет излучать волны с запозданием на половину периода или на какую-нибудь другую его часть. А если сдвиг между колебаниями будет меняться случайным образом? Для экспериментального осуществления волн со сдвигом фаз достаточно сделать концы вилки разной длины.

39

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

тайм – со счетом 4:3. Докажите, что в некоторый момент счет на табло был ничейный. Решение. Рассмотрим последовательность, элементами которой являются разности между мячами, забитыми первой и второй командами. Первый элемент последовательности представляет собой разность в начале второго тайма, последний элемент – разность в конце второго тайма. Вместе с каждым забитым мячом появляется новый элемент последовательности (т.е. каждый элемент последовательности соответствует обновлению счета на табло). Так как первый элемент последовательности равен –1, последний равен 1 и каждые два соседних значения отличаются на 1, по дискретной теореме о промежуточном значении есть элемент последовательности, равный нулю. Этот элемент соответствует моменту, когда счет на табло был ничейным. Задача 3. В некоторой стране человек считается богатым, если его зарплата больше зарплаты премьер-министра. В этой стране богатые мужчины предпочитают жениться на бедных женщинах. Докажите, что можно установить премьер-министру такую зарплату, чтобы количество богатых мужчин было в точности равно количеству бедных женщин. (Все зарплаты в стране различные. Считайте, что зарплата бывает любым вещественным числом.) Решение. Упорядочим по возрастанию все имеющиеся в стране зарплаты: $z_{1}, z_{2}$, … $, z_{n}$, зарплату премьер-министра обозначим через Z. Определим последовательность натуральных чисел так: $a_{k}$ равно разности между количеством богатых мужчин и бедных женщин, если $z_{k} Z z_{k} 1$. Кроме того, $a_{0}$ (соответственно, $a_{n} )$ равно той же разности, если $Z z_{1}$ (соответственно, $Z > z_{n} ).$ При таком определении любые два соседних элемента последовательности $a_{k}$ и $a_{k} 1$ отличаются на 1, так как при соответствующем изменении зарплаты премьер-министра человек с зарплатой $z_{k} 1$ становится богатым, что уменьшает текущую разность на 1, если этот человек был женщиной, или увеличивает на 1, если он был мужчиной. Первый элемент последовательности соответствует ситуации, когда все люди в стране богатые (кроме самого премьера), и тогда $a_{0}$! 0. Соответственно, последний элемент после-

КРУЖОК

довательности означает ситуацию, когда все люди бедные, и $a_{n} 0$. По дискретной теореме о промежуточном значении существует такое k, что $a_{k} 0$. Тогда установим зарплату премьер-министру, соответствующую этому значению k. Задача 4. На окружности отмечены 77 точек, среди которых нет диаметрально противоположных. Докажите, что можно провести диаметр через одну из этих точек так, что по обе стороны диаметра точек окажется поровну. Решение. Проведем диаметр окружности через произвольную отмеченную точку и раскрасим одну из половинок круга в синий цвет, а другую – в красный. Если в половинках поровну точек, то нужный диаметр найден. В противном случае определим последовательность следующим образом: $a_{1}$ равно разности между количеством отмеченных точек в синей части и красной части для данного положения диаметра. Будем постепенно поворачивать диаметр вокруг центра окружности (раскрашенные половинки круга поворачиваются вместе с ним) и каждый раз, когда с диаметра уходит отмеченная точка либо попадает на него, мы записываем новый элемент последовательности (который тоже равен разности между количеством отмеченных точек в синей части и красной части). Последний элемент последовательности соответствует такому положению диаметра, когда он снова проходит через первую отмеченную точку. В этом положении диаметр поворачивается на 180q, а синяя и красная половинки меняются местами. Следовательно, последний элемент последовательности противоположен первому, т.е. один из них положителен, а второй – отрицателен. Так как любые два соседних элемента последовательности отличаются на 1, по дискретной теореме о промежуточном значении найдется элемент последовательности, равный нулю. Осталось заметить, что этот элемент последовательности соответствует положению диаметра, проходящему через одну из отмеченных точек, так как общее количество точек нечетно.

Наконец, обсудим еще один тип дискретной непрерывности. Представим себе кузнечика, который прыгает по прямой вперед или назад. Прыжки кузнечика по длине не

44

КВАН T 2020/№2

Рис. 7

Рис. 9

Рис. 8

Доказательство этого утверждения уже несколько раз появлялось на страницах «Кванта», например на первой странице статьи [3]. Тут мы его воспроизводить не будем. Вооружившись прямой Симсона, вернемся к доказательству теоремы 1. На рисунке 8 мы видим, что точки $A_{1}, B_{1}$ и P – проекции точки I на прямые, содержащие стороны треугольника A c B c C. Поскольку точки $A_{1}, B_{1}$ и P лежат на одной прямой, то по теореме 2 точка I лежит на описанной окружности треугольника A c B c C. Поскольку CI – биссектриса угла C, а I – середина дуги A c IB c, то P – середина A c B c (IP – высота в равнобедренном треугольнике A c IB c ). Тем самым, использование прямой Симсона позволяет по-новому взглянуть на решение задачи 1. Отметим, что такая скрытая прямая Симсона в задачах – не такое уж редкое явление.

Немного истории

Здесь мы можем остановиться и немного отдохнуть. Оказывается, у задачи 1 есть своя история. Недавно первому автору этой статьи попал в руки старый номер журнала «Математика в школе» за 1996 год. Выяснилось, что в том же году на Всероссийской олимпиаде в 10 классе была дана наша задача 1 в других обозначениях. В журнале приводились два решения этой задачи. Первое – векторное, чисто вычислительное – занимало примерно половину страницы печатного текста, второе использовало свойства проективного преобразования и двойных отношений. Стало интересно, а есть ли более доступные геометрические решения. Плоды этих размышлений перед вами. Теперь вернемся из 1996 года более чем на 20 лет назад, в 1973 год. Итак, «Задачник «Кванта», задача М178, автор – Игорь Федорович Шарыгин. Здесь задача 1 дана в более общем виде: вместо центра вписанной окружности можно рассматривать любую точку на биссектрисе! Оказывается, что сама окружность ни при чем. Для удобства формулировку дадим в наших обозначениях. Задача 2 (обобщение задачи 1). Из некоторой точки T биссектрисы угла C треугольника ABC опустим перпендикуляры $TA_{1}, TB_{1}$ и $TC_{1}$ на его стороны BC, CA и AB соответственно. Пусть P – точка пересечения прямых $TC_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ (рис.9). Докажите, что CP делит сторону AB пополам.

Упражнение. Решите эту задачу. Указание. Используйте задачу 1.

И наконец, более века назад в фундаментальной книге Д.Ефремова «Новая геометрия треугольника» [1], опубликованной в 1902 году (рис.10), была помещена теорема, совпадающая с задачей И.Ф.Шарыгина с точностью до обозначений. Вообще книгу Д.Ефремова можно рекомендовать всем любителям геометрии. Она содержит богатейший теоретический обзор геометрии треугольника.

ОЛИМПИАДЫ

Муниципальный этап LIV Всероссийской олимпиады школьников по физике

Задачи олимпиады

9 класс

1. Все наоборот Система, состоящая из подвижного блока, тонкой нити, рычага со шкалой и точечного груза массой m, находится в равновесии в жидкости с плотностью U (рис.1). Массами блока, нити и рычага можно пренебречь.

Рис. 2

1. Определите показание амперметра. 2) Определите показание идеального вольтметра, если его включить в цепь вместо амперметра. В.Слободянин

Рис. 1

1. Для каждого тела (блока, рычага и груза) сделайте отдельный рисунок с расстановкой всех сил, действующих на него. 2) Определите объемы блока и рычага. К.Кутелев

2. Температура проводника При пропускании тока от источника постоянного напряжения через длинную цилиндрическую проволоку ее установившаяся температура будет на ’ $T_{1}$ выше температуры окружающей среды. Если проволоку пластично (объем не изменяется) вытянуть в длину в 2 раза и подключить к тому же источнику напряжения, то ее установившаяся температура будет на ’ $T_{2}$ выше температуры окружающей среды. Определите отношение ’ $T_{2}$ ’ $T_{1}$. В.Яворский

3. Двойной контур Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке 2, состоит из резисторов сопротивлениями R и 2R, идеального источника постоянного напряжения $U_{0} = 5,6$ В и идеального амперметра. Сопротивление R = 2,0 кОм.

4. Область видимости В архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой был изображен точечный источник света $S_{0}$, плоское зеркало M и частично линии a и b, ограничивающие область видимости изображения источника в зеркале. От времени чернила выцвели и

Рис. 3

зеркала не стало видно (рис.3). Построением восстановите положение зеркала и его размер. В.Слободянин

5. В потолок Во время тренировки в спортивном зале Петя заметил, что если он бросает мяч вер-

53

ОЛИМПИАДЫ

тикально вверх со скоростью $v_{0}$, то мяч возвращается к нему через время W = 2 с. Но если скорость броска увеличить до $3 v_{0} 2$, то время, через которое возвращается мячик, не изменяется. Чему равна скорость $v_{0}$? На какой высоте h над точкой броска находится в зале потолок? Удар о потолок можно считать упругим. Ускорение свободного падения равно g. М.Замятнин

10 класс

1. Фрагмент цепи Фрагмент разветвленной электрической цепи представлен на рисунке 4. Показание вольтметра $V_{1}$ равно 10 В, вольтметра $V_{3}$

3. Летающий ваттметр На некоторой планете устройство массой 1 кг, которое умеет измерять мгновенную мощность силы тяжести, бросили с поверхности под углом 30q к горизонту. В таблице представлены значения измеренной мощности в разные моменты времени. Найдите время и дальность полета устройства. Силу сопротивления воздуха и изменение ускорения свободного падения не учитывайте.

Л.Колдунов

4. Всё наоборот Система, состоящая из двух подвижных блоков, тонких нитей, рычага со шкалой и точечных грузов массами m и 2m, находится в равновесии в жидкости с плотностью U (рис.6). Массами блоков, нитей и рычага можно пренебречь.

Рис. 4

равно 50 В, миллиамперметра $A_{1}$ равно 20 мА, миллиамперметра $A_{2}$ равно 40 мА, сила тока, протекающего через резистор R, равна 20 мА. Вычислите сопротивление резистора R. Все вольтметры одинаковые. В.Слободянин

Рис. 6

2. В разнос Частица движется в плоскости x, y. Ее скорость вдоль оси y увеличивается от нулевой с постоянным ускорением $a_{y} 0,10$ м $с^{2}$,

1. Сделайте рисунок с расстановкой всех сил, действующих на каждое из тел (блоки, рычаг, грузы). 2) Определите объемы блоков и рычага.

К.Кутелев

5. Столкновение Система, состоящая из двух одинаковых брусков массой m каждый, соединенных недеформированной пружиной жесткостью k, движется по гладкому горизонтальному столу со скоростью $v_{0}$ и налетает на покоящийся брусок массой m 2 (рис.7). Удар центральный и абсолютно упругий. Найдите:

Рис. 5

а вдоль оси x изменяется так, как показано на рисунке 5. Найдите максимальные значения модулей ускорения и скорости частицы.

М.Замятнин

Рис. 7

54

К ВА НT 2020/№2

1. скорость $v_{3}$ покоившегося бруска сразу после столкновения; 2) максимальную деформацию ’ L пружины.

В.Слободянин

11 класс

1. В туннеле На горизонтальной поверхности на расстоянии l друг от друга расположены две параллельные вертикальные стенки. У противоположных стенок лежат два одинаковых маленьких шарика, связанные слабо натянутой нитью (рис.8). Зазор между шариками и стенками мал. Нить, соединяющая

Рис. 9

мального значения 1,6R, кольцо отпускают. Определите: 1) длину l недеформированной пружины; 2) максимальную скорость v бусинок при движении от стенки; 3) расстояние от бусинок до стенки, когда они опять окажутся на диаметре. Трения в системе нет.

К.Кутелев

Рис. 8

шарики, перпендикулярна стенкам. Шарики находятся на расстоянии L ≫ l от краев стенок. На шарик 1 воздействуют «щелчком» (коротким импульсом силы), в результате чего он приобретает скорость $v_{0}$, направленную под углом D к нити ( tg D 2 ). Соударения шариков со стенками абсолютно упругие. Трение в системе отсутствует. Нить легкая и нерастяжимая. 1) Найдите скорость $v_{20}$ шарика 2 сразу после щелчка. 2) Через какое время $t_{1}$ нить вновь окажется натянутой? 2) Через какое время $t_{2}$ шарики достигнут правого края стенок?

А.Уймин

2. Кольцо, бусинки, пружина Вдоль тонкого кольца радиусом R и массой 2m могут скользить 2 бусинки массой m каждая. Бусинки соединены пружиной жесткостью k. В начальный момент кольцо удерживают на горизонтальной поверхности, прижимая к вертикальной стенке, а бусинки находятся в неустойчивом равновесии на его диаметре. На рисунке 9 показан вид сверху. После небольшого толчка бусинки начинают двигаться от стенки. В момент, когда расстояние от бусинок до стенки достигает макси-

3. На Луне В горизонтальном цилиндре находятся два одинаковых подвижных поршня с пружинами, отличающимися по жесткости в 2 раза (рис.10,а). Когда между поршнями газа нет, пружины не деформированы. В пространство между поршнями закачивают идеальный газ. Через некоторое время расстояние между поршнями стало равным $l_{0} = 6$ см (рис.10,б). Определите, на сколько сместится каждый поршень, если температуру газа

Рис. 10

медленно увеличить в 2 раза. Трения в системе нет. Атмосферным давлением на Луне пренебречь.

К.Кутелев

4. Властелин кольца (бусинка) Маленькая бусинка массой m и зарядом +q может скользить без трения по непроводящему незаряженному кольцу радиусом R (рис.11). В плоскости кольца на расстоянии h от центра кольца (h < R) закреплен заряд +Q. В начальный момент скорость бусинки равна $v_{0}$. 1) Какой максимальной скоростью будет обладать бусинка в процессе движения?

56

К ВА НT 2020/№2

Ниже представлены теоретические задачи для старшей лиги и список победителей олимпиады.

Теоретический тур

Старшая лига

Задача 1. Трение по максимуму Горизонтальная плоскость разделена на две полуплоскости – гладкую и шероховатую. Однородная линейка массой m и длиной L, скользившая со скоростью $v_{0}$ по гладкой части вдоль прямой, перпендикулярной границе раздела, наезжает на шероховатую часть с коэффициентом трения P. Найдите максимальный модуль мощности $N_{max}$ силы трения, действующей на линейку, и момент времени $t_{max}$, когда он достигается, считая от начала пересечения линейкой границы между полуплоскостями. Задача 2. Вода и пар В жестком сосуде находится вода массой $m_{0} = 11$ г и ее насыщенный пар массой m = 10 г при температуре T 100 q C. Найдите общую теплоемкость С системы. При температуре T известны удельная теплоемкость воды c 4,2 кДж к㠘 q С и удельная теплота испарения воды O 2,3 МДж кг, а малые относительные изменения давления ’ p p и температуры ’ T T насыщенного пара связаны соотношением ’ p p D’ T T, где D 13. Задача 3. Силовая линия В некоторой точке А, находящейся на большом расстоянии от однородно заряженного отрезка длиной L, вектор напряженности электрического поля образует малый угол D с прямой, параллельной отрезку. Найдите расстояние x между ближайшим к точке A концом отрезка и точкой пересечения отрезка с силовой линией, проходящей через точку A. Задача 4. Глубина резкости Объектив диаметром D = 1 см и фокусным расстоянием F = 2 см дает на пленке максимально резкое изображение предмета, расположенного на расстоянии а от объектива. На каких расстояниях (укажите $a_{min}$ и $a_{max} )$ располагаются предметы, которые на том же кадре оказались изображены достаточно резко, если размер зерна пленки (или пикселя, если бы это был цифровой фотоаппарат) равен d = 10 мкм? Проведите расчеты для двух частных случаев: $a_{1} = 12$ м и $a_{2} = 60$ м.

Задача 5. Колебания на свету Тонкостенный цилиндр радиусом R = 10 см из материала с поверхностной плотностью V 80 г $м^{2}$ подвешен за центр основания на очень тонкой нити в вакууме и находится в широком горизонтальном потоке света интенсивностью I 1 кВт $м^{2}$. Боковая поверхность цилиндра разделена параллельными оси цилиндра отрезками на две половины, одна из которых отражает весь падающий свет, а вторая – поглощает его. Оцените период Т малых крутильных колебаний цилиндра с амплитудой $M_{0} 0,12$.

Победители олимпиады

Младшая лига

Kaldybaev Rauan, Казахстан – диплом I степени, Alexander Goo Zong Han, Сингапур – диплом I степени, Serikbayev Islamkhan, Казахстан – диплом II степени, Ersen Andrei-Ovidiu, Румыния – диплом II степени, Pitebay Yersultan, Казахстан – диплом III степени, Дмитриев Николай, Россия, Республика Саха (Якутия) – диплом III степени, Новиков Станислав, Россия, Республика Саха (Якутия) – диплом III степени, Кулаковский Айяр, Россия, Республика Саха (Якутия) – диплом III степени.

Старшая лига

Zaharachescu Mihail-Marian, Румыния – диплом I степени, Ghita Antonia-Alma, Румыния – диплом I степени, Burlacu Eduard-Florin, Румыния – диплом I степени, Васильев Артем, Россия, Республика Саха (Якутия) – диплом II степени, Кайдапов Жамсо, Россия, Республика Бурятия – диплом II степени, Cotirlan Claudiu-Mihai, Румыния – диплом III степени, Yanchenko Alexey, Казахстан – диплом III степени, Ho Li Xiong Timothy, Сингапур – диплом III степени, Унаров Айтал, Россия, Республика Саха (Якутия) – диплом III степени.

Публикацию подготовили А.Чудновский, Ю.Григорьев