Квант 2020, №3 · Страницы

4

КВАНТ 2020/№3

дарь, который и стал основой современных календарей. По этому календарю длительность года была принята в 365 суток, а раз в 4 года – в 366 суток. Таким образом, средняя продолжительность года в сутках была принята как 365,25 – так называемый календарный год. В году было 12 месяцев по 30 дней, а после 12-го месяца – 5 (или раз в три года 6) дополнительных суточных вставок. Такими были и древнегрузинский и древне-армянский календари. Сейчас александрийским календарем пользуются только копты – прямые потомки древних египтян, принявшие христианство с 284 года. Копты – это значительная часть современного египетского населения (около 10%). В Египте и его столице они живут компактно, образуя как бы анклавы внутри страны, сохраняя язык и свои древние обычаи такими, какими они были в третьем веке нашей эры. Любопытно, что солнечный календарь александрийского типа существовал во Франции во время Великой французской революции, пока Франция была республикой (1789–1799), и в короткий период Парижской коммуны (18 марта – 28 мая 1871 г.). Названия месяцев этого календаря полностью отражали сезонные изменения в погоде и в сельскохозяйственном труде, например: брюмер – месяц тумана, термидор – месяц жары, жерминаль – месяц посева, прорастания пшеницы, вандемьер – месяц сбора винограда. Каждый месяц делился на 3 декады, дни которых имели названия, состоящие из латинских слов: примиди – первый день, дуоди – второй день и т.д. Очень стройная и привлекательная календарная система! Добавочные дни имели романтические названия – праздник Гения, праздник Подвига и др. Раз в 4 года один добавочный день посвящался спортивным играм и состязаниям. Оказывается, что еще за 100 лет до появления современного олимпийского движения во Франции вспомнили об олимпийских играх Древней Греции, происходивших раз в 4 года. Неслучайно и инициатором организации современных олимпиад стал француз – Пьер де Кубертен.

Календарь Древнего Рима

Календарь Римской республики (509– 27 до н.э.) был солнечным, но крайне запутанным. Римляне были очень суеверны и не любили четных чисел. Семь месяцев у них имели по 29 дней, четыре – по 31 дню, а в феврале было 28 дней. Этот месяц был назван в честь Фебрууса, этрусского бога подземного царства и римского бога очищения. В этом месяце справлялась поминальная неделя. Другие месяцы именовались либо в честь богов (Януса, Марса, Майи, Юноны), либо по номерам, начиная с пятого (квинтилис, секстилис, септембер, октобер, новембер, децембер). Исключение – априлис (раскрывающий, согреваемый Солнцем). Квинтилис (июль) был пятым по счету месяцем, поскольку год начинался с марта. Очень сложно именовались в римском календаре дни. Недельные циклы отсутствовали. В каждом месяце было три особых дня. Все первые числа месяцев назывались календами, отсюда и слово «календарь». Седьмой день в длинных (по 31 дню) и пятый в остальных месяцах именовались нонами. А 15-е число в длинных месяцах и 13-е в остальных назывались идами. Дни перед этими числами были канунами (отсюда и наше русское «накануне»). А остальные дни именовались очень странным образом – обратным включительным счетом. Например, 4 августа (короткого месяца, в котором ноны приходились на 5 число) называлось кануном августовских нон, 11 августа – третьим днем до августовских ид (приходящихся на 13 августа), а 23 августа – восьмым днем до сентябрьских календ. Интересно, что вторых дней до нон, ид и календ не существовало, они именовались канунами. Ну, а первыми днями (по включительному счету) были эти самые ноны, иды и календы. Годовой подсчет дней древнеримского календаря дает 355 дней. Недостающие до солнечного года 10,25 суток требовали включения в календарь добавочных дней. И это мероприятие было запутано до предела.

5

РАЗЛИЧНЫЕ

КАЛЕНДАРИ.

Например, после 23 февраля вставлялся добавочный месяц длительностью в 22 или 23 дня, а по его истечении снова продолжался февральский счет дней до мартовских календ. Месяц этот назывался марцедонием от латинского «расплата», поскольку в этом месяце производились все денежные расчеты за минувший год. Ноны и иды в марцедонии были, как в коротком месяце, а календы и вовсе отсутствовали. Этот порядок действовал много сотен лет. Но в начале второго века до нашей эры римские жрецы, которые управляли календарем, стали манипулировать длительностью и временем вставки этого добавочного месяца. В Римской республике весь комплекс административных должностей – консулы (высшая должность), квесторы, цензоры и т.д. – был выборным сроком ровно на один год. А поскольку эти должности приносили определенный доход и другие жизненные преимущества, продление их срока было выгодным делом. Манипулируя календарем, жрецы могли увеличивать эти сроки в пользу того или иного должностного лица, наверняка небескорыстно. Могли иметь место и экономические причины изменения времени вставки в календарь месяца расплаты. О конкретном грядущем календаре население республики оповещалось жрецами в конце февраля. Об этом запутанном древнеримском календаре через много лет Вольтер сказал: «Римские полководцы всегда побеждали, но они никогда не знали, в какой день это случилось».

Юлианский календарь Его установил в 46 году до нашей эры своим указом римский диктатор и верховный жрец, полководец и государственный деятель Гай Юлий Цезарь (100–44 до н.э.). Юлий Цезарь произвел реформу календаря, прежде всего опираясь на свои права верховного жреца. За основу он взял египетский (александрийский) солнечный календарь. Семь месяцев стали иметь длительность по 31 дню, четыре месяца – по 30 дней. А один месяц имел 28 дней, но раз в четыре года – 29 дней. В году стало 365 или, раз в четыре года, 366 дней. Это

СТАРЫЙ

И

НОВЫЙ

СТИЛИ

Гай Юлий Цезарь соответствовало солнечному году в 365,25 суток. Добавочным днем раз в четыре года было не 29 февраля, как мы привыкли, а вставной день между 24 и 25 февраля, или по римскому календарю – между шестым и пятым днем до 1 марта. Он получил официальное название «дважды шестой до мартовских календ» – bis sectum Kal.Mart. Вот это самое bis sectum и превратилось для нас в слово високосный, а соответствующие годы стали впоследствии называться високосными годами. Начало года было перенесено Цезарем с 1 марта на 1 января. Вот собственно и вся реформа. Ее четкость и простота так восхитили измученных своим календарем римлян, что в благодарность (в том числе и за военные заслуги) римский сенат переименовал месяц Квинтилис в Юлиус (в этом месяце родился Цезарь). Через год, в мартовские иды 44 года до новой эры, Цезарь был убит заговорщиками во главе с Брутом. Началась борьба за власть между полководцами Антонием и Октавианом. Жрецы воспользовались неразберихой во власти и некоторое время продолжали «командовать» календарем по своему усмотрению, изменяя порядок високосных лет и вставку добавочного дня. И только через 50 лет юлианский солнечный календарь наконец заработал так, как это было задумано Цезарем. Это сделал полководец Октавиан, за военные и гражданские заслуги получивший от

6

КВАНТ 2020/№3

Юлианский календарь сената пожизненный «империй» (чрезвычайные права, которые раньше давались полководцу на короткое время военных действий). Это означало фактическое превращение республики в империю. Октавиану сенат присвоил титул императора и имя Август («преумножающий»). Август сделал юлианский календарь государственным, обязательным на всей огромной территории Римской империи с 1 января 4 года нашей эры. Месяц септилий был переименован в август и было подправлено чередование длинных и коротких месяцев – оно стало таким, как сейчас. Юлианский календарь просуществовал во всей Европе (и Византии) до конца XVII века. А сейчас по нему живет только ортодоксальная (православная) христианская церковь.

Необходимость изменения юлианского календаря Так зачем же нужно было заменять юлианский календарь? Причина этого – чисто арифметическая. Юлианский календарь основан на том, что период солнечного цикла, так называемый календарный год, составляет 365,25 суток. Но с календарем должен быть связан так называемый тропический год, длительность которого чутьчуть меньше – 365,2424 суток. В первые века нашей эры, когда стал

общепринятым юлианский календарь, казалось, что маленькая разность этих периодов несущественна и не мешает календарю. Как нетрудно определить, она приводит к сдвигу календаря на одни сутки за 128 лет. Когда постепенно исчезала власть Римской империи и потом, в «темные столетия» раннего Средневековья, этот сдвиг мало кого интересовал. Но в XVI веке, в эпоху «осени Средневековья», которую чаще называют эпохой Возрождения, человеческий быт и общественное сознание так изменились, что многие общественные деятели и ученые стали выражать беспокойство по поводу неточности календаря. В христианском европейском мире документальным началом отсчета считается четвертый век нашей эры, когда указом римского императора Константина христианство стало государственной религией. За прошедшие после этого 12 веков сдвиг юлианского календаря составил уже больше 9 дней. Одной из причин беспокойства стало перемещение дня весеннего равноденствия с 21 марта на 12 марта. А с этим днем было связано начало многих сельскохозяйственных работ, и время подготовки к ним существенно сократилось. Весна по календарю наступала все раньше и раньше. Но была и еще одна причина беспокойства. Она имела религиозное обоснование. В христианских общинах Римской империи к началу IV века установился обычай отмечать как самый светлый праздник ставшую легендарной дату воскресения Христа. События, связанные с казнью Христа, происходили в Иерусалиме, столице римской провинции Иудеи, в дни, являвшиеся важным иудейским праздником, называвшимся «песах». Начиная с 12 века до нашей эры в иудейской религии этот праздник отмечался как память о благополучном исходе евреев из Египта, где они считались низшей расой. В начале нашей эры (как, впрочем, и сейчас) в Иудее продолжал действовать лунно-солнечный календарь, согласно которому весенний месяц Нисана перемещается относительно природного календаря, например относительно дня весеннего рав-

7

РАЗЛИЧНЫЕ

КАЛЕНДАРИ.

ноденствия. К последним дням песаха приурочивались и казни преступников, как праздничное «развлечение» для народа. На основании устных преданий и, повидимому, не дошедших до нашего времени письменных свидетельств, четыре античных историка зафиксировали, что казнь Христа произошла 13 Нисана, а его воскресение – 15 Нисана 30-го года нашей эры. В ранних христианских общинах и установился обычай ежегодно отмечать 15 Нисана еврейского календаря как праздник Светлого Воскресения. Почти во всех европейских языках этот день получил название «пасха», очень похожее на еврейское «песах». Естественно, что еврейское 15 Нисана в юлианском календаре приходилось на разные дни. В уточняющих эту дату устных преданиях говорилось о том, что это было после дня весеннего равноденствия и первого после этого полнолуния. И в 325 году первый христианский собор (съезд всех епископов – руководителей христианских общин империи), организованный императором Константином в городе Никея и поэтому получивший имя Никейского собора, установил каноном празднование Пасхи в первое воскресенье после первого новолуния после весеннего равноденствия. По юлианскому календарю разброс дня Пасхи составил 36 дней – с 20 марта по 25 апреля. Соответственно перемещались по календарю и все связанные с Пасхой религиозные дни и установления – весенние и летние посты, день Святого Духа, Троицын день и др. Недаром они называются переходящими в отличие от постоянных в календаре (Рождество Христово, осенний пост, Благовещение и пр.). Но когда реальные астрономические события, и прежде всего весеннее равноденствие, стали заметно (на 10 дней) не совпадать с каноном празднования Пасхи по юлианскому календарю, необходимость календарной реформы стала неотвратимой.

Григорианский календарь Проблема календарной реформы обсуждалась католической церковью на несколь-

СТАРЫЙ

И

НОВЫЙ

СТИЛИ

ких соборах. На последнем из них был рассмотрен проект изменения календаря, подготовленный итальянским врачом и астрономом Луиджи Лилио. Суть проекта была достаточно простой. Луиджи Лилио (лат. Алоизий Лилий) не использовал аппарат «цепных дробей» (см. статью «Календарь и астрономия»), он просто подобрал в качестве добавки к 365 суткам не 1 4, а 97 400. Таким образом, за 400 лет число високосных лет должно быть равно не 100, как в юлианском календаре, а 97. Период в 400 лет был выбран Луиджи Лилио без всякого математического или астрономического обоснования, а из соображений удобства введения нового календаря. Для того чтобы согласие календаря с астрономическим годом стало хорошим, достаточно было каждые 400 лет убирать трое суток из 100 високосных лет. Нужно было лишь договориться, какие три високосных года станут простыми (без 29 февраля). Логичным было предложение взять те годы, две первых цифры которых не кратны четырем. Например, 1600 год в проекте реформы оставался високосным, как и 1604, 1608,…, 1696, а вот 1700 год уже не должен быть високосным. Это же относится к 1800 и 1900 годам. А 2000 год опять станет високосным. И для того чтобы «выровнять» календарь с астрономическим временем, необходимо было в какой-то момент «убрать» из календаря 10 дней. Это-то и было самым трудным в реформе для ее понимания простыми людьми. Да и не только простыми. Для внедрения реформы во всем христианском мире нужен был авторитет выше авторитетов властителей отдельных государств. Таким авторитетом в 1570-е годы обладал только римский папа – глава католической конфессии христианства. Но несмотря на одобрение собором проекта реформы, в течение 14 лет папы Пий IV и Пий V не решились на активные действия. И только Григорий ХIII (римский папа с 1572 по 1583 год), да и то не сразу после избрания, а за месяц до своей кончины 24 февраля 1582 года, издал постановление (буллу), озаглавленное «Среди важнейших» («Inter gravissimas»). Вот выдержки

8

КВАНТ 2020/№3

Григорий XIII из него: «Было заботою нашей не только восстановить равноденствие на издревле назначенном ему месте, от которого со времени Никейского собора оно отступило на десять дней приблизительно, и полнолунию вернуть его место, но и установить также способ и правило, которым и будет достигнуто, чтобы в будущем равноденствие и полная луна со своих мест никогда не сдвигались… А посему мы предписываем и повелеваем касательно месяца октября текущего 1582 года, чтобы десять дней от третьего дня перед нонами (5 октября) до кануна ид (14 октября) включительно были изъяты». Помимо этого был приведен в порядок и 19-летний цикл смен лунных фаз, чтобы можно было день пасхи рассчитывать заранее. Одновременно начал происходить и переход к современному счету дней от первого до последнего дня месяца. Новая календарная система получила название григорианской, или нового сти-

ля (н.ст.). А за юлианским календарем закрепилось название старый стиль (ст.ст.). В конце XVI века различие датировок событий по старому и новому стилям составляло 10 дней. Таким же оно осталось и в XVII веке, поскольку 1600 год был високосным и в старом (юлианском) и в новом (григорианском) календаре. Но уже в XVIII веке различие составляло уже 11 дней, поскольку 1700 год был в юлианском календаре високосным, а в новом календаре он високосным не был (17 не делится на 4 без остатка). По такой же причине в XIX веке разница между старым стилем и новым составляла 12 дней, а в ХХ веке – 13 дней. В нашем ХХI веке различие по-прежнему составляет 13 дней, поскольку 2000 год был високосным в обоих календарях, но в ХХII веке различие увеличится уже до 14 дней. Григорианский календарь заметно более точен, чем юлианский. Его среднегодовая погрешность составляет всего лишь 30 секунд. Если по юлианскому календарю сдвиг весеннего равноденствия на 1 сутки происходит за 128 лет, то по григорианскому календарю такой сдвиг произойдет за 2800 лет! У григорианского календаря есть и недостатки. В частности, из-за неравномерного распределения в 400-летнем периоде трех «убранных» високосных лет дни равноденствий перемещаются по ка-

Григорианский календарь

9

РАЗЛИЧНЫЕ

КАЛЕНДАРИ.

лендарю в пределах двух-трех суток. И вполне возможно, что уже в нынешнем столетии будет создан и внедрен другой календарь, такой же точный и в то же время более удобный. Таких проектов много, есть даже комиссия ООН, которая должна заниматься этой проблемой.

Внедрение нового стиля Как происходило внедрение григорианского календаря? В католических странах реформа 1582 года была принята практически сразу (из-за угрозы отлучения от церкви в случае непослушания). Но в протестантских странах она вызвала бурю протестов и ожесточенную полемику даже среди ученых. Особенно ретивыми в этом проявили себя немецкие, голландские и швейцарские протестанты, которые считали, что «лучше разойтись с Солнцем, чем сойтись с папой». В то же время самый знаменитый тогда немецкий астроном Иоганн Кеплер, хоть и был протестантом, выступил за реформу. Но к нему не прислушались, и внедрение реформы календаря в протестантских странах растянулось на несколько десятков лет. Дольше всего сопротивлялась Англия, что, в частности, до сих пор вызывает неопределенность с днем рождения великого Ньютона. Православная церковь (Константинопольская, Антиохийская, Греческая, Болгарская, Русская и др.) отказалась принять григорианскую систему и некоторые новые правила определения дня пасхи, поэтому дни православной пасхи и католической могут разниться на неделю. По григорианскому календарю самое раннее празднование пасхи – 2 апреля, а самое позднее – 8 мая. Для определения дня пасхи была еще до реформы календаря разработана система, в которой большую роль играл и 19-летний цикл календарного повторения лунных фаз. Было создано несколько арифметических систем с использованием специальных слов и обозначений. В 1800 году 23-летний будущий великий «король математиков» Карл Фридрих Гаусс предложил сравнительно про-

СТАРЫЙ

И

НОВЫЙ

СТИЛИ

стой алгоритм определения дня пасхи (его легко можно найти в интернете). В Россию христианство пришло из Византии в конце IХ века. Тогда христианская церковь была единой. Когда в ХI веке произошел раскол христианства на две конфессии, Русь осталась верна византийской конфессии, которая получила название ортодоксальной (верной решениям только семи первых вселенских соборов). Сейчас в России эту конфессию христианства принято называть православной церковью. Россия сохранила верность старине и после государственного конца Византии в 1453 году. Поэтому в России не сразу состоялся переход к григорианскому календарю, тем более что католическая конфессия (церковь) христианства во главе с римскими папами была враждебна российскому государству. До 1917 года церковь в России не была отделена от государства, но одним из первых указов новой власти был декрет об отделении церкви от государства. Имея в виду организацию мировой пролетарской революции, необходимым стал и переход на европейский григорианский календарь. Уже в ноябре 1917 года этот вопрос был поставлен на обсуждение Совнаркома, который и принял 24 января 1918 года «Декрет о введении в Российской республике западноевропейского календаря». В декрете говорилось: «В целях установления в России одинакового почти со всеми культурными народами исчисления времени Совет народных комиссаров постановляет ввести по истечении января месяца сего года в гражданский обиход новый календарь. Для этого первым днем после 31 января сего года считать не 1 февраля, а 14 февраля, вторым днем считать 15 февраля и т.д.» Заметьте, что новый календарь в декрете не был назван «григорианским», чтобы не возникал вопрос о том, что его внедрял римский папа. Завершим эту тему словами американского астронома Г.Мойера: «Григорианский календарь представлял собою весьма удовлетворительный компромисс между необходимой точностью и крайне желательной простотой».

13

О БМ АНЧИВА Я

П РОСТОТА

что представляют собой комплексные числа.$^{5}$ Для начала на них можно смотреть как на формальные суммы вида z = x + iy, где x, y – вещественные числа, а i – некий новый объект, который называется мнимой единицей и удовлетворяет равенству $i^{2} = - 1$. Для таких сумм можно определить операции сложения, вычитания, умножения и деления так, что получится весьма стройная и красивая теория. Например, оказывается, что любой многочлен степени $n \ge 1$ имеет во множестве комплексных чисел ровно n корней (с учетом кратности). Комплексные числа удобно изображать точками на плоскости, сопоставляя числу z = x + iy точку с координатами ( x; y ). При этом величины x и y называют, соответственно, вещественной и мнимой частями комплексного числа z, а расстояние от начала координат до такой точки, равное $x^{2} + y^{2}$, называют его модулем. Горизонтальную ось, по которой откладываются вещественные части комплексных чисел, называют вещественной осью, вертикальную ось – мнимой, а саму плоскость – комплексной плоскостью. Точка $( x ; - y )$, симметричная точке ( x; y ) относительно вещественной оси, отвечает числу $x - iy$, которое называется сопряженным к числу z и обозначается z. Заметим, что привычные нам вещественные числа прекрасно чувствуют себя в новом мире: их можно представлять себе как комплексные числа с нулевой мнимой частью. Отметим, наконец, что многие хорошо знакомые нам функции, такие как многочлен, экспонента, синус, косинус, логарифм и прочие, можно определить и для комплексного аргумента. Изучение их свойств составляет предмет теории функций комплексной переменной, имеющей массу приложений в математике и физике. Важное место в этой теории занимают

5 Более полное представление о том, что такое комплексные числа и как они применяются при решении различных задач, заинтересованный читатель может получить, например, из статьи С.Дориченко «Комплексные числа» («Квант», 2008, №5).

П РОСТЫ Х

ЧИСЕЛ

вопросы, связанные с нахождением комплексных корней уравнений вида f ( z ) = 0, где f ( z ) – та или иная функция. Такие корни принято называть нулями f ( z ).

Дзета-функция Римана и ее нули

Так вот, Риман указал способ, которым можно определить значение $\zeta ( s )$ в любой точке $s = \sigma + it$ комплексной плоскости, за исключением разве что s = 1, так, чтобы получившаяся функция задавалась рядом (4) при всех вещественных s > 1 и вместе с тем для всех s сохраняла ряд важных свойств, присущих (4). При этом оказалось, что у дзета-функции имеется бесконечно много нулей, образующих два множества. Первое составляют «тривиальные», или вещественные нули в точках вида $s = - 2, - 4, - 6,$ … Все вещественные нули имеют кратность 1, и поведение дзета-функции в окрестности каждого из них хорошо известно. Главную же загадку дзета-функции Римана таят нули второго множества. Все они лежат в узкой вертикальной полосе вида $0 \le \sigma \le 1$ и расположены симметрично относительно вещественной оси и вертикальной прямой $\sigma = 0,5$ (рис.4). Иными словами, если $\rho = \beta + i \gamma$ – такой нуль, то нулями $\zeta ( s )$ будут и точки

Рис. 4. Гипотетическая симметрия нулей дзетафункции Римана: если $\zeta (_{s} )$ имеет нуль вне критической прямой, то точки, симметричные ему, также будут нулями

ЗАДАЧНИК « КВАНТА »

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2594 – М2597 предлагались на региональном этапе XLVI Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2601–Ф2604 предлагались в этом году на первом туре Московской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2594–М2597, Ф2601–Ф2604

M2594. Известно, что для некоторых x и y суммы sin x + cos y и sin y + cos x – положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа m и n, что m sin x + n cos x – натуральное число. Н.Агаханов

M2595. а) Коля и Дима играют в игру на доске 8 ¥ 8, делая ходы по очереди, начинает Дима. Коля рисует в клетках крестики, а Дима накрывает прямоугольниками 1 ¥ 2 (доминошками) пары соседних по стороне клеток доски. За свой ход Коля должен поставить один крестик в любую пустую клетку (т.е. в клетку, в которой еще не нарисован крестик и которая еще не покрыта доминошкой). Дима за свой ход должен накрыть доминошкой две соседние клетки (еще не накрытые другими доминошками), в которых суммарно четное число крестиков (0 или 2). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? б) Та же игра и тот же вопрос, но, в отличие от пункта а), первый ход делает Коля. М.Дидин

M2596. Четырехугольник ABCD описан около окружности $\omega$. Докажите, что диаметр окружности $\omega$ не превосходит длины

отрезка, соединяющего середины сторон BC и AD. О.Южаков

M2597. Пусть p – простое число, большее 3. Докажите, что найдется натуральное число y, меньшее p 2 и такое, что число py + 1 невозможно представить в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше y. М.Антипов

Ф2601. Герметичный сосуд заполняют смесью воздуха и водяного пара и начинают охлаждать в термостате с тающим льдом. В процессе охлаждения измеряют температуру в сосуде с погрешностью $\Delta T = = 0,5 \infty C$ и давление – c погрешностью $\Delta p = 0,05$ ◊ $10^{5}$ Па. В результате получают таблицу:

Определите отношение количества воды к количеству воздуха в сосуде, а также плотность газовой фазы в начале и в конце процесса.Учтите, что давление насыщенных паров воды, равное 1 кПа, достигается при температуре около $7^\circ$ С. Молярные массы воды и воздуха равны соответственно 18 г / моль и 29 г / моль. П.Крюков

30

КВА НT 2020/№3

напором $p_{v} = \rho v^{2} 2$. Безразмерное отношение $2 p_{v} p = \rho vL \eta$ называется числом Рейнольдса и обозначается Re. Для нашего реального эксперимента, в котором $r_{0} = 1$ см, h = 20 см, g = 9,81 м $с^{2}, \rho = 1000$ кг $м^{3}, v_{0} = = 2 gh \approx 2$ м с, число Рейнольдса $Re \approx \approx 20000$. Значит, характерное вязкое трение здесь меньше характерного динамического давления во многие тысячи раз, поэтому можно полагать, что описание линий тока (см. рис.7) близко к реальности. Правда в реальности возникает сложная структурная картина, связанная с вязким «прилипанием» потока к стенке, но характерная толщина и другие размеры этой структуры относительно малы. Неожиданно обнаружилось, что в нескольких современных учебниках приводится отличная от рисунка 7 картина. Так, на рисунке 9, взятом из книги [2, с. 88] (подобный

Рис. 10

вый соответствует рисунку из книги [2, с. 88] (и похожий есть в книге [1, с. 245]), а второй составлен так, чтобы учесть пристеночное течение, обозначенное крайней линией 2. Здесь эта линия совершает разворот на $180^\circ$, т.е. меняет направление на противоположное. (Тогда как крайняя линия 1 поворачивает лишь на $63^\circ.)$ Для выяснения реальной картины был проведен соответствующий опыт. В стенку прямоугольной 15-литровой емкости было встроено качественное стеклянное окно диаметром 8 см прямо напротив входа воды в насадок Борда. Через это окно цифровым фотоаппаратом с лампой-вспышкой получено фото, приведенное на рисунке 11. На

Рис. 9

рисунок есть также в книге [3, с. 496]), крайняя линия тока, обозначенная 1, не касается вертикальной стенки. Тогда возникает вопрос: что происходит в точке 2 чуть выше линии тока 1? Если в точке 2 скорость ненулевая, то соответствующая линия тока не выйдет через отверстие, так как крайняя линия 1 уже есть. Значит, эта линия должна развернуться и замкнуться в кольцевой поток. Если же в точке 2 скорость равна нулю, то это означает резкий скачок скорости непосредственно рядом и вдоль всей линии 1. Оба случая представляются маловероятными (хотя гидродинамика богата сюрпризами). Еще более рельефно выступает вопрос о картине течения при заходе в насадок Борда. На рисунке 10 выше и ниже средней линии даны два возможных варианта течения. Пер-

Рис. 11

фото в насадок Борда 1 втекает поток. Внутренний диаметр трубочки 20 мм, а внешний диаметр рядом со входом 20,3 мм. Из медицинской иголки 2 вытекают чернила, и их тонкая зеленая траектория, обозначенная стрелкой, показывает линию тока, которая разворачивается приблизительно на $135^\circ$, что больше соответствует варианту ниже средней линии на рисунке 10. Неожиданно лампа-вспышка и случайные пузырьки воздуха помогли увидеть допол-

31

ФИЗИЧЕСКИЙ

нительные детали. Маленькие пузырьки захватываются мощным течением и движутся почти по линиям тока. За время, что длится вспышка, каждый пузырек, попавший в фокус фотоаппарата, оставляет на фотографии протяженный след, указывая линию тока. Этот след тем длиннее, чем больше скорость потока, т.е. дополнительно получается информация о скорости. Цифрой 3 на рисунке 11 отмечена группа коротких черточек-следов, которые также указывают на наличие течения с внешней стороны насадка Борда навстречу центральному потоку. Образно говоря, этот внешний поток «сталкивается» с центральным потоком.

Рис. 12

Еще один яркий сюрприз зафиксирован на фотографии, представленной на рисунке 12. Оказывается, при одной и той же глубине h в одной и той же трубке Борда бывают два совершенно разных устойчивых режима течения: ламинарный, как на рисунке 6, и турбулентный, как на рисунке 12! Какой режим возникнет, зависит от стартовых условий. Если резиновую пробку (с небольшой боковой конусностью) на старте вынимать из трубки с наружной стороны, то возникает турбулентный режим, а если с внутренней стороны в толще воды, то возникает ламинарный режим. Чтобы в последнем случае не возмущать воду рукой, резиновая пробка крепится к длинному (вертикальному) стержню посредством прямой гибко-

ФАКУЛЬТАТИВ

упругой проволоки, пронизывающей пробку вдоль центральной оси. Если просто смотреть на турбулентный поток, то он белый, шумный, беспокойный, брызгающий, но лампа-вспышка «остановила» этот внешний хаос, и открылась хрустальная прозрачность, плавность и какая-то внутренняя неуловимая сущность. Теперь поток касается стенок трубки, и расход воды увеличивается (!) по сравнению с ламинарным режимом. Математическое моделирование турбулентности до сих пор остается интеллектуальным вызовом. Простые домашние эксперименты, наподобие тех, что представлены в статье, могут дать не только ответ на сотни собственных вопросов, но и послужить основой какой-либо новой концепции турбулентности. И вообще, гидроили аэродинамику стоит воспринимать как интереснейшую область для творческого осмысления. Снова вернемся к опытам с насадком Борда. Если взять не круглую трубку, а трубку (из жести) с прямоугольным 1:3 сечением, то соотношение 2s = S сохраняется. А как будет выглядеть струя? Удастся ли вообще получить ламинарный режим? Или если случайные пузырьки воздуха оказались столь эффективны для визуализации картины течения, то, может быть, стоит пузырьки создавать искусственно? Например, можно по одной медицинской иголке подавать раствор соды $NaHCO_{3}$, а по соседней иголке – раствор лимонной кислоты, тогда в смеси двух потоков должны образовываться пузырьки углекислого газа $CO_{2}$. Сотни вопросов и сотни вариантов ответов… Твори, выдумывай, пробуй!

Литература

1. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 7. – М.: Мир, 1966. 2. Т.Е.Фабер. Гидроаэродинамика. – М.: Постмаркет, 2001. 3. Д.В.Сивухин. Общий курс физики. Том 1. – М.: Физматлит, 2016.

Все есть число.

Пифагор

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук. Леонардо да Винчи

…многие из открытых математиками плодотворных методов исследования могут быть значительно лучше выражены с помощью идей, вытекающих из работы Фарадея, чем в их оригинальной форме. Джеймс Клерк Максвелл

Математика – это язык. Джозайя Уиллард Гиббс

Непостижима эффективность математики в естественных науках. Юджин Вигнер

Наш опыт… позволяет предположить, что природа является выражением простейшей математической идеи. …Но началом каждой физической теории являются мысли и идеи, а не формулы. Альберт Эйнштейн

…теоретическая физика пользуется приемами и методами математики. Однако от последней она резко отличается непосредственной связью с результатами эксперимента. Лев Ландау

…невозможна физика без математики, а пожалуй – и математика без физики: ведь вряд ли имеет смысл создавать язык, которым мы не имеем в виду пользоваться. Исаак Яглом

А так ли хорошо знаком вам

?

союз физики и математики

Был этот союз, как видно даже из эпиграфов, отнюдь не всегда безоблачным. Тем не менее, за многие столетия активного взаимодействия наук он смог настолько укрепиться, что стал необычайно плодотворным. Последние полвека «Квант» интенсивно этому способствовал, а теперь и наша рубрика попробует внести свою скромную лепту. К сожалению, математика и физика в школе порой располагаются, что называется, «по разные стороны баррикад», когда ученики не подозревают, насколько такое содружество поможет им обогатить свои знания и умения. В этом, однако, легко убедиться, участвуя в разнообразных турнирах и олимпиадах. Малую толику сходных задач мы и предлагаем сегодня, не проводя, правда, предметную границу. Полагаем, что вы сами выберите, на что опереться при их решении – на физическую интуицию, на математическую смекалку или просто на шутку. И круг подобных заданий «Калейдоскоп» намерен вскоре расширить.

Вопросы и задачи

1. На праздновании юбилея журнала «Квант» директор физико-математического лицея предложил 24 выпускникам постро- иться в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек. Как справились с этим заданием лицеисты? 2. На поверхности сферы наугад выбраны три точки. Чему равна вероятность того, что все они окажутся в одном полушарии? 3. Из Москвы стартовал вертолет, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. На какой широте и долготе он окажется по отношению к старту? 4. Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через 15 минут после того кaк первый велосипедист доехал до середины пути. Когда же после их встречи прошло 30 минут, до середины пути доехал второй велосипедист. Сколько времени занял весь путь у первого велосипедиста? 5. Два пешехода стартовали одновременно по круговой дороге с одного места в одном направлении. Пешеход, идущий быстрее, нагнал другого через 36 минут. Если бы они стартовали в противоположных направлениях, то встретились бы через 4 минуты. За сколько минут каждый из пешеходов может обойти круговую дорогу?

6. Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 секунды, вторые – через каждые 3 секунды. Всего было насчитано 13 ударов, при этом совпадающие удары воспринимались как один. Сколько времени били часы? 7. В поход пошли 56 математиков и в целое число раз меньше физиков. Они разместились в нескольких палатках, в каждой – столько человек, сколько палаток. Сколько было физиков? 8. Число яиц в корзине удваивается каждые 5 минут. Через час корзина наполнилась. За сколько времени она наполняется наполовину? 9. Десять машин выпускают одинаковые детали массой по 10 г каждая. Одна из машин испортилась и стала выпускать детали массой по 5 г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания деталей? 10. Можно ли поставить на край круглого стола кастрюлю так, чтобы она только на 1 3 площади своего дна соприкасалась с поверхностью стола? 11. По данным опроса, проведенного в классе, выяснилось, что 20% учеников, интересующихся математикой, проявляют интерес еще и к физике, а 25% учеников, интересующихся физикой, проявляют интерес и к математике. И только два ученика равнодушны к обоим этим предметам. Сколько человек в классе, если их больше 20, но меньше 30?

Микроопыт

Представьте, что вы оказались в равнинном лесу площадью $100 км^{2}$ с выпуклой границей. Можно ли из него выбраться, пройдя путь, не превышающий 30 км?

Любопытно, что…

…уже на самом раннем этапе своего формирования математика интересовала человека как геометрия и как алгебра, о чем позволяют судить наскальные рисунки и орнаменты кроманьонцев, а также числовые амулеты, отражающие связь с семидневной лунной неделей. …уровень развития математики в Вавилоне и Древнем Египте обеспечивал замечательные достижения землемеров, астрономов и строителей – достаточно вспомнить хотя бы знаменитые пирамиды!

…математическая наука в современном ее понимании была заложена в период от 6 до 4 веков до новой эры в Древней Греции, причем уровень строгости и глубины понимания были там и тогда таковы, что вновь оказались достигнуты лишь в европейской науке XIX столетия. …в школе Пифагора на первом месте были теоретические рассуждения о математических моделях природных явлений – эксперименты и наблюдения считались делом второстепенным. Зенон полагал, что математика способна решить все проблемы физики. Архимед же превосходно понимал, что математика не может развиваться в отрыве от практических потребностей людей. …Фарадей не написал ни одной формулы сложнее пропорции, тем не менее ему мы обязаны созданием одного из основных понятий физики – понятия поля; он ввел и образное представление поля – картину силовых линий. …основатель и руководитель петербургской математической школы П.Л.Чебышёв в середине XIX века впервые внедрил в теорию механизмов математические методы, указав на аналитическое направление в решении задач этой теории. …в начале XХ века известный физик, астроном и математик Джеймс Джинс активно протестовал против включения в университетскую программу подготовки физиков теорию групп, считая, что она «наверняка ни одному физику никогда не понадобится». Однако вскоре теория групп стала чуть ли не первой из областей математики, используемой в квантовой физике.

Что читать в «Кванте» о союзе физики и математики

(публикации последних лет)

1. «Пределы точности “точных” наук» – 2016, Приложение №4, с.219; 2. «Для чего мы изучаем математику?» – 2017, №7, с.4; №8, с.2; 3. «Численные значения: зачем и почему они нужны» – 2019, №4, с.2; 4. «Вычисления без вычислений» – 2020, №1, с.21; 5. «Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения» – 2020, №1, с.29.

Материал подготовил А.Леонович

42

КВА НT 2020/№3

ВЗМШ окончили более 200 тысяч – несколько поколений – школьников. Из их рядов вышло множество ученых, исследователей, педагогов. Многим учеба в ВЗМШ помогла лучше ориентироваться в жизни, ставить перед собой большие задачи, добиваться задуманного. ВЗМШ, в отличие от курсов или кружков, это самая настоящая школа, со своей программой, ритмом, контрольными работами, двусторонней связью между учеником и учителем. Для учащихся работают форумы, в которых они могут задать любой интересующих их вопрос преподавателю – и получить полный и исчерпывающий ответ. Мы предоставляем наши материалы в электронном виде, постоянно общаемся с нашими учениками через социальные сети, WhatsApp и другие передовые средства связи, рассказываем им о том, что не входит в программу обучения, но помогает их развитию, знакомим с книгами и статьями наших преподавателей, проводим видеоконференции и видеолекции. В ВЗМШ существует особая форма работы – группа «Коллективный ученик». Это группа школьников, работающая по методическим пособиям ВЗМШ под руководством школьного учителя по тем же программам и пособиям, что и индивидуальные ученики. В помощь учителям – кураторам таких групп – разрабатываются специальные методические и учебные материалы. Ученики под руководством учителя вместе обсуждают пройденный материал, полученные задания. Учителя часто пользуются своей связью с ВЗМШ для выяснения и других, не связанных с работой группы, вопросов преподавания. Сотрудничество с ВЗМШ, как показывает наш многолетний опыт, многие учителя воспринимают и как свою собственную учебу. Обучение в формате «Коллективный ученик» имеет следующие преимущества: контакт с учителем упрощает обучение, что особенно важно для тех школьников, которым сложно самостоятельно, без наставника, организовать свое время; совместные занятия создают творческую атмосферу, в которой есть место и для конкуренции, и для кооперации; присылаемые из ВЗМШ материалы могут служить учителю хорошей базой для организации в школе кружка или факультатива, помогают подготовить учеников к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ; ученики принима-

ются без выполнения вступительного задания; плата за обучение одного ученика меньше, чем при индивидуальном обучении. Подробно ознакомиться с программами обучения, зарегистрироваться, выполнить вступительные задания (постарайтесь сделать это до 20 июня 2020 г.), а также подать заявку для группы «Коллективный ученик» можно здесь: https: // sdo.vzms.ru / Приступить к обучению можно в любое время!

Расскажем о наших отделениях подробнее и приведем условия соответствующих вступительных заданий.

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

Будущих математиков мы обучаем работать с научными текстами, четко излагать свою мысль, предоставляем возможность, используя наши пособия, продвинуться в изучении различных математических вопросов настолько далеко по сравнению с необходимым минимумом, насколько они сами этого хотят. Мы помогаем углубить и расширить полученные в школе знания, подготовиться к ЕГЭ, ОГЭ и прочим экзаменам. Тем, кому уже ведомо удовольствие от решения математических задач, мы надеемся доставить радость от размышления над новыми, похожими и вовсе не похожими на прежние. Мы обучаем всех наших учеников рассуждать безупречно и стройно. Мы последовательно обучаем школьников с 4 по 11 класс. Начать обучение можно с любого класса.

Вступительное задание Возможно, вы не сможете выполнить все задания своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои ответы. Для поступления в 4 класс математического отделения задания не предусматриваются.

5 класс

1. Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того как Чип принес 120, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них?

45

И Н ФОРМА Ц И Я

Расстояние между бортиками s = 20 см. 7. С какой минимальной скоростью нужно бросить снежок, чтобы попасть в окно третьего этажа, находясь на расстоянии L = 15 м от дома? Высота окна h = 1,5 м, нижний край окна находится на высоте H = 6 м над землей. 8. Палочка лежит на гладкой опоре, упираясь одним концом в шероховатую стенку,

нируют связать свое будущее с самыми перспективными направлениями – ИТ, программированием, аналитикой. У нас работает 6 программ – по одной для 8 и 9 классов и по две (базовый и углубленный уровни) – для 10 и 11 классов. При поступлении на отделение информатики нет вступительных испытаний – дело в том, что в школах очень по-разному преподается этот предмет.

ОТДЕЛЕНИЕ БИОЛОГИИ

Рис. 3

как показано на рисунке 3. Длина палочки в k = 1,5 раза больше расстояния от опоры до стенки. Каким должен быть коэффициент трения палочки о стенку, чтобы она могла находиться в равновесии под углом $\alpha$ к горизонту? 9. В круглом стеклянном сосуде находится $\nu = 1 10$ моль азота при температуре $t = 20 ^\circ C$ и давлении р = 1 атм. Оцените количество ударов молекул газа о стенки сосуда за время $\Delta t = 1$ с. 10. В схеме, изображенной на рисунке 4 и

Рис. 4

состоящей из батарейки, двух одинаковых конденсаторов и резистора, в начальный момент ключи 1 и 2 замкнуты. В каком случае на резисторе выделится больше тепла: если ключи разомкнуть одновременно или по очереди через большой промежуток времени? Внутренним сопротивлением батарейки пренебречь.

ОТДЕЛЕНИЕ ИНФОРМАТИКИ

Мы будем рады видеть на нашем отделении школьников 8–11 классов, которые пла-

Цель биологического отделения – помочь школьникам углубить и расширить свои знания, а также познакомиться с современными методами и достижениями науки. Программа биологического отделения включает в себя наиболее интересные темы, которым в базовом школьном курсе уделяется мало внимания: это физиология растений, цитология и генетика, теория систематики, физиология человека и животных и некоторые другие разделы. Наши пособия и учебные материалы в первую очередь приучают школьников к самостоятельной творческой работе, дают им возможность приобретения навыков письменного изложения своих мыслей, выдвижения и критического анализа различных гипотез, работы с биологической литературой. Каждый учащийся биологического отделения получает куратора, который проверяет работы и отвечает на возникшие вопросы, а также помогает школьнику увидеть свои слабые места и их скорректировать. Это обеспечивает получение школьниками информации «из первых рук», знакомство с фактами и теориями, которые еще не успели войти в школьные учебники. В зависимости от класса – 8 или 9 – школьники учатся на биологическом отделении ВЗМШ 2 или 3 года. Закончившие 8 классов поступают на 1 курс, а 9 классов – на 2, по окончании 3 курса все ученики, выполнившие программу обучения (по схемам 1-2-3 или 2-3), получают диплом об окончании биологического отделения ВЗМШ. Вступительное задание 1. Составьте определитель (в форме тез и антитез) овощей, продающихся в магазине, по внешнему виду, собрав в нем десяток видов, наиболее типичных для вашей местности. Включать в определитель полные описания не нужно – только те признаки,

46

КВА НT 2020/№3

которые реально могут быть использованы для отличия одних овощей из вашей выборки от других. 2. На океаническом дне обитают представители самых разных групп животных. Какие приспособления к такому образу жизни у них возникли? Для каждого из указанных вами приспособлений приведите один-два примера животных, у которых оно имеется. 3. При разведении животных в неволе имеет место эффект так называемого «вырождения» – уменьшения жизнеспособности из-за близкородственного скрещивания. Интересно, что у разных видов животных вырождение наступает с разной скоростью – в то время как одним видам хватает нескольких поколений, чтобы начать вырождаться, у других маленькие близкородственные популяции могут существовать достаточно долго. Как можно объяснить это явление? С какими особенностями вида может быть связано быстрое или медленное вырождение? 4. Апоптоз – запрограммированная клеточная гибель. Когда клетка получает сигнал к запуску апоптоза, она фактически оканчивает жизнь самоубийством. Подумайте – в каких случаях это может быть полезно для организма? С какими проблемами столкнется человек, если механизм апоптоза в его клетках отключится? 5. В настоящее время на наших глазах разворачивается пандемия нового коронавируса. Расскажите, как вы понимаете: а) чем этот вирус опаснее предыдущих; б) как быстро может появиться лекарство, помогающее в случае нового заболевания, или предупреждающее его; в) какие меры могут быть приняты для предотвращения или замедления эпидемии? В ответах можно использовать и факты, найденные в литературе, и собственные идеи. Просим для сведений, почерпнутых из книг, приводить ссылки на источники (для сведений, взятых из интернета, – точный адрес страницы, с которой вы их взяли).

ОТДЕЛЕНИЕ ФИЛОЛОГИИ

Мы помогаем желающим систематизировать и углубить имеющиеся знания, расширить свой кругозор, приобрести навыки исследовательской работы. Объект нашего интереса, внимания и исследования, конечно же, Слово. Родное и

«чужое», «претворенное» метафорой, образное, терминологически точное. Как правильно написать и к месту использовать; как учесть системные связи; как увидеть и оценить уникальность работы со Словом великих Мастеров? Сколько с ним проблем – у многих, и как приятно встретить к нему интерес – пусть у некоторых! Наши курсы будут полезны и тем, и другим. Прагматики смогут повысить грамотность, научиться решать олимпиадные лингвистические задачи, подготовиться и хорошо сдать ЕГЭ. Те же, кто получает удовольствие от общения с художественным текстом, научатся размышлять над поэзией и прозой русских классиков и писать сочинения, отвечающие требованиям ДВИ (дополнительных вступительных испытаний) филологических факультетов вузов. Ученик филологического отделения находится в постоянном взаимодействии со своим преподавателем, который в рецензии к работе обязательно дает рекомендации, как улучшить результат, а при необходимости индивидуально подбирает дополнительные задания для отработки темы или литературу для более глубокого понимания исследуемого материала.

Вступительное задание 1. Подумайте и напишите, что не так с выражениями: остался за бортом разбитого корыта; довести до белого колена; не мудрствуя долго; ни зги не брезжит; ни слуху ни пера; скрипя сердцем; шито-крыто белыми нитками; не в коне корм. 2. Определите часть речи: (НА)ВСТРЕ- ЧУ, ОЗАБОЧЕ(Н/НН)О. Придумайте предложения, которые помогут доказать вашу точку зрения. 3. Вспомните трех героев русской литературы с «говорящими» фамилиями. Предложите для каждого из них две другие, тоже «говорящие» об их свойствах и качествах, и объясните свой выбор. 4. В приведенном ниже отрывке из пушкинского «Евгения Онегина» найдите аллитерацию и попытайтесь объяснить: зачем автор использует этот фонетический прием, почему именно так?

Бывало, Когда гремел мазурки гром, В огромной зале все дрожало,

47

И Н ФОРМА Ц И Я

Паркет трещал под каблуком, Тряслися, дребезжали рамы; Теперь не то: и мы, как дамы, Скользим по лаковым доскам. Но в городах, по деревням Еще мазурка сохранила Первоначальные красы: Припрыжки, каблуки, усы…

ОТДЕЛЕНИЕ ИСТОРИИ

Обучение на историческом отделении позволит расширить кругозор, подготовиться к олимпиадам по истории, получить высокий балл по ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам. Каждый раздел курса посвящается определенному периоду российской истории, сопровождается множеством иллюстраций, историческими документами, сводами дат, династическими таблицами, которых не найдешь в обычном учебнике. Такие материалы помогут не просто запомнить пройденное, но и понять содержание эпохи. Ведь мы учим не просто запоминать, но и размышлять! На каждое выполненное задание мы даем свой комментарий: ученик не просто знает, правильно ли он ответил, а узнает, почему верен или неверен именно такой ответ. Мы рекомендуем лучшие учебники и пособия, но предлагаем свой, оригинальный, проверенный временем курс. На нашем форуме можно задавать вопросы преподавателям. Отвечают они незамедлительно. Программа обучения рассчитана на школьников старших классов. Вступительное задание 1. Сколько правительниц государства насчитывает история России? 2. Какой сборник законов из ниже перечисленных был первым, изданным массовым тиражом? 1) Судебник Ивана III. 2) Судебник Ивана IV. 3) Соборное Уложение. 4) Воинский артикул Петра I. 3. Почему в совхозе был директор, а в колхозе председатель?

ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕСТВОЗНАНИЯ

Когда наук много, а предмет один, – это обществознание. Наш курс нацелен на подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, олимпиадам по этому предмету и входящим в его состав дисциплинам, в том числе по экономике, праву, поли-

тологии, социологии, философии. Он будет интересен и тем, кто просто хочет стать разносторонне образованным человеком. Задания ЕГЭ по обществознанию, особенно второй части этого экзамена, задания олимпиад очень сложные. Поэтому мы объясняем каждый ответ (неважно, верен он или нет), а не просто ставим баллы за его выполнение. Особое место мы уделяем самому сложному заданию экзамена – написанию эссе. Только такая обратная связь позволяет вдумчиво и полноценно подготовиться к любым экзаменам. Эту же цель преследует форум, на котором ученики могут задать любой вопрос преподавателю. Кроме того, с преподавателем можно связаться через WhatsApp. Программа обучения рассчитана на школьников старших классов. Вступительное задание 1. Руритания, согласно ее Конституции, является социальным государством. Приведите примеры положений, которые могут быть включены в Конституцию Руритании, которые отражали бы данную характеристику. 2. Кристина увлекается орнитологией: весной она записывает пение разных птиц, летом проводит наблюдения за их гнездованием, осенью наблюдает, как собираются на юг перелетные птицы, в школе она делает на уроках доклады о жизни пернатых. Данные факты характеризуют Кристину как 1) личность, 2) индивида, 3) генотип, 4) гражданку. 3. Использование только доказанных фактов, законов и теорий, особого языка характерно для 1) религии, 2) морали, 3) науки, 4) искусства. 4. Одной из главных экономических проблем является 1) условия жизни, 2) ограниченность ресурсов, 3) лень, 4) альтернативная стоимость. 5. Для какого из исторических типов обществ характерно становление массового стандартизированного серийного производства, механизация и автоматизация производственных процессов, безусловное преобладание экономических стимулов к труду? 1) Aграрного, 2) информационного, 3) традиционного, 4) индустриального.

49

ОЛИМПИАДЫ

2. Множество A состоит из n различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^{2}$. Множество B также состоит из n различных натуральных чисел, сумма которых $равна^{n} 2$. Докажите, что найдется число, которое принадлежит как множеству A, так и множеству B. Д.Храмцов 3. См. задачу М2595,б «Задачника «Кванта». 4. См.задачу 4 для 9 класса. 5. См. задачу 5 для 9 класса. 6. На доске написано выражение cos x. Разрешается сложить или перемножить несколько написанных на доске выражений (одно выражение может использоваться несколько раз) и дописать полученное новое выражение на доску. Можно ли за несколько действий получить выражение, которое при $x = \pi$ принимает значение 0? Н.Агаханов 7. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD во внешнюю сторону построены прямоугольники. Оказалось, что все вершины этих прямоугольников, отличные от точек A, B, C, D, лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольник ABCD – вписанный. А.Кузнецов 8. На доске пишут n квадратных трехчленов вида $∗^{x} 2 + ∗^{x} +$ ∗ (вместо коэффициентов написаны звездочки). Можно ли при каком-либо n > 100 поставить вместо 3n звездочек некоторые 3n последовательных натуральных чисел (в каком-то порядке) так, чтобы каждый из n данных трехчленов имел два различных целых корня? О.Южаков 9. См. задачу 9 для 9 класса. 10. Петя задумал два многочлена f ( x ) и g ( x ), каждый вида $ax^{2} + bx + c$ (т.е. степень каждого многочлена не превышает 2). За ход Вася называет Пете число t, а Петя сообщает ему (по своему усмотрению) одно из значений f ( t ) или $g (^{t} )$ (не уточняя, какое именно он сообщил). После n ходов Вася должен определить один из Петиных многочленов. При каком наименьшем n у Васи есть стратегия, позволяющая гарантированно этого добиться? М.Антипов

11 класс

1. На доске написано n различных целых чисел. Произведение двух наибольших рав-

но 77. Произведение двух наименьших тоже равно 77. При каком наибольшем n это возможно? Р.Женодаров, жюри 2. См. задачу 2 для 10 класса. 3. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AC опущена высота BH. На стороне BC отмечена точка D, на отрезке BH – точка E, а на отрезке CH – точка F так, что $\angle$ BAD $= \angle$ CAE и $\angle^{AFE} = \angle^{CFD}$. Докажите, что $\angle^{AEF} = 90 ^\circ$. Б.Обухов 4. См. задачу 4 для 9 класса. 5. В таблице $N \times N$ расставлены все натуральные числа от 1 до $N^{2}$. Число назовем большим, если оно наибольшее в своей строке, и малым, если оно наименьшее в своем столбце (таким образом, число может быть и большим, и малым одновременно, а может не быть ни тем, ни другим). Найдите наименьшую возможную разность между суммой всех больших чисел и суммой всех малых чисел. С.Токарев 6. На доске написаны функции $x + 1, x^{2} + 1, x^{3} + 1, x^{4} + 1$. Разрешается дописывать на доску новую функцию, получаемую из двух уже написанных на доске с помощью операций вычитания или умножения. Покажите, как получить ненулевую функцию, которая при положительных значениях аргумента принимает неотрицательные значения, а при отрицательных значениях аргумента – неположительные значения. Н.Агаханов 7. Можно ли раскрасить все натуральные числа в два цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не являлась степенью двойки? Д.Храмцов 8. См. задачу М2594 «Задачника «Кванта» 9. Три сферы попарно касаются внешним образом в точках A, B и C, а также касаются плоскости $\alpha$ в точках D, E и F. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, меньше, чем радиус окружности, описанной около треугольника DEF. А.Кузнецов 10. См. задачу 10 для 10 класса.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, М.Григорьев, П.Кожевников, О.Подлипский

50

КВ А НT 2020/№3

Региональный этап LIV Всероссийской олимпиады школьников по физике

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

7 класс

Задача 1. Две двери Две балконные двери шириной $a_{1}$ и $a_{2}$ начинают передвигать к противоположным стенам со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно (рис.1). На рисунке 3 изображен качественный график зависимости величины области пересечения дверей l (рис.2) от времени t. С помощью графика найдите численные значения величин $a_{1}, a_{2}, v_{1}$ и $v_{2}$.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Примечание. Касаясь противоположной стены, дверь останавливается. График построен без соблюдения масштаба, $l_{0} = 1,8$ м, $t_{1} = 6$ с, $t_{2} = 15$ с, $t_{0} = 30$ с. А.Кузнецова Задача 2. Алиса в кофейне чудес В выходной день Алиса с подружками пошла в кафе «Шоколадница». Шли они с постоянной скоростью. Придя в кафе, Алиса построила график зависимости своей средней скорости от времени, включая время, когда она пила кофе (рис.4). Перед уходом Алиса решила порадовать своих подписчиков в Instagram новой публикацией. Потянув-

Рис. 4

шись за телефоном, девочка случайно пролила остатки кофе на график. Определите: 1) сколько времени Алиса пила кофе в кафе; 2) в каких единицах измерения изображена скорость на графике, если путь до кофейни s = 1,6 км. А.Уймин Задача 3. Жидкость в теле Дионисий нашел в лаборатории своего дедушки 5 внешне одинаковых тел. Мальчик вычислил среднюю плотность каждого из них. Оказалось, что они разные. В прилагаемой к телам записке упоминалось, что они содержат одинаковые полости, частично заполненные жидкостью. Масса m жидкости была написана на каждом теле. Также из записки следовало, что одно из тел отличается размером полости (бракованное). Результаты измерений средней плотности и массы налитой жидкости приведены в таблице:

Определите: 1) номер бракованного тела; 2) объем тела $V_{к}$; 3) массу $m_{к}$ небракованного тела без налитой жидкости. А.Уймин

59

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Как выглядит график синуса?

1. См. рис.4 (здесь m = 0,…, 11). 2. См. рис.5. Комментарий. Наблюдаются те же самые «фазовые переходы», что у графиков y = = sin round $10^{m} \pi x$ (здесь round(t) обозначает ближайшее к t число, m = 0,…, 15):

(

Рис. 4

Рис. 5

(

) )

РЕШЕНИЯ

i при малых m мы видим настоящие синусы; i дальше наступает «турбулентная фаза»; i ее сменяет фаза многозначных медленно меняющихся синусов; i при m = 10 имеем двузначный синус, и это связано с тем, что шаг по х равен $2^{-} 10 ; i$ дальше идут медленно меняющиеся однозначные синусы.