Квант 2020, №5 · Страницы

3

ПЯТЬДЕСЯТ

ВОСЬМАЯ

ГРАНЬ

БРИЛЛИАНТА

Рис. 2. Бриллиантовая огранка алмаза

Рис. 1. Схемы типичных устройств, используемых в науке и технике для создания давлений

ваться, например, гидравлическим прессом. Максимальный предел силы определяется прочностью на сжатие того материала, из которого изготовляют детали устройства, передающего давление на испытуемый образец. Современный аппарат с поршневым цилиндром (рис.1,а) представляет собой простейшее устройство, используемое для создания давления приблизительно в 35–40 тысяч атмосфер – максимального давления, не разрушающего самого поршня, изготовляемого из карбида вольфрама. Принцип работы этого аппарата – увеличение давления при передаче силы с большей поверхности на меньшую – известен с глубокой античности. Древние винные и масляные прессы работали по тому же принципу. Хитроумный дизайн современных устройств для создания давления позволяет снизить нагрузку на их детали и тем самым увеличить предельное рабочее давление при использовании материалов с аналогичными прочностными характеристиками. Так, давление до 250–300 тысяч атмосфер создается в лабораториях с использованием мощных гидравлических прессов и многопуансонных аппаратов (рис.1,б), в которых испытуемое вещество сжимается не с двух сторон, как в аппарате с поршне- вым цилиндром, а сразу с нескольких. Понятно, что размер испытуемого образца при таких давлениях очень мал – от долей миллиметра до нескольких миллиметров. Чтобы создавать интересующие ученых давления в несколько миллионов атмосфер, потребовалось новое решение. Этим решением стала ячейка с алмазными наковальнями. Как же она устроена? Полагаю, что не каждый из читателей держал в руках ювелирный алмаз и не каждый интересовался особенностями его огранки. Бриллиант (от фр. brillant – блестящий, сверкающий) – это алмаз, которому посредством обработки придана специальная форма: бриллиантовая огранка (рис.2). В круглом бриллианте есть две основные части: верхняя и нижняя – корона и павильон. Корона имеет вверху самую большую грань, так называемую площадку, плюс еще 32 грани, вместе составляющие 33 грани короны. Павильон вытянут вниз и имеет 24 грани. Шестнадцать клиньев и восемь основных граней павильона сходятся в одной точке – шипе, нижней вершине бриллианта. Таким образом, круглый бриллиант «идеальной огранки» имеет 57 граней. Однако ученым нужна как раз та, которая в ювелирном бриллианте необязательна, – 58-я маленькая грань на месте шипа, параллельная площадке. Это – калетта. Она и выполняет роль алмазной наковальни (рис.3). Именно 58-гранный бриллиант стал первой эффективной наковальней в ячейке высокого давления, в которой таких наковален две – верхняя и нижняя (рис.4). Вещество для исследований зажимается между двумя калеттами, и чем меньше размер калетты, тем выше давление. Алмаз прозрачен для рентгеновского излучения, что позволяет изучать структуру и

4

КВАНТ 2020/№5

Рис. 3. Алмазная наковальня под микроскопом – калетта бриллианта диаметром 0,5 мм с кристалликами, предназначенными для изучения под давлением

состав вещества, находящегося между наковальнями в камере высокого давления, методами рентгеновской дифракции. Энергия, необходимая для инициирования и осуществления химических реакций под давлением, обеспечивается путем нагрева вещества в камере с помощью лазерного излучения, подводимого с обеих сторон ячейки. Таким образом, эффект генерации очень высоких давлений достигается за счет применения самого твердого и самого несжимаемого из всех известных материалов – алмаза – для изготовления наковален и существенного уменьшения размера образца.

Рис. 4. Алмазные наковальни (слева) в ячейке высокого давления (в центре) с лазерным нагревом (справа)

Рис. 5. Камера для образца в ячейке с алмазными наковальнями под оптическим микроскопом (слева вверху) в сравнении с толщиной человеческого волоса (изображение под электронным микроскопом)

С калеттами диаметром в 40 микрон можно создавать давления до 4 миллионов атмосфер – больше, чем в ядре Земли. При этом камера для образца имеет мизерные размеры, а сам образец, как правило, это крупица вещества в несколько микрон, что в десятки раз меньше толщины человеческого волоса (рис.5). Сама ячейка, в которой закрепляются алмазные наковальни, изготовляется из металла. Она состоит из двух вдвигающихся друг в друга частей, а давление между калеттами увеличивается путем постепенного закручивания винтов, скрепляющих обе части калетты. Понятно, что работа эта деликатная и молоту на таких наковальнях делать нечего. Приготовление ячейки, т.е. юстировка алмазов, подготовка камеры для образца и закладка в нее всех необходимых для экспериментов компонент, – дело тонкое, почти ювелирное, и выполняется исследователями под микроскопом. Кто же все это придумал? Как ученым пришла в голову такая конструкция? Воистину неисповедимы пути научного поиска. Однако бывают обстоятельства, приводящие к ускоренному развитию определенного направления. Трудно пове-

5

ПЯТЬДЕСЯТ

ВОСЬМАЯ

рить, но это факт, что существенный вклад в развитие физики высоких давлений внесли… резолюция 181 (II) Генеральной Ассамблеи Организации Объединенных Наций по Палестине в 1947 году и контрабандисты. Контрабанда драгоценностей существовала всегда, но особенно большое количество алмазов попало в Америку после решения Великобритании вывести войска из Палестины в 1948 году. Прежде чем покинуть опасную зону, многие конвертировали свое богатство в бриллианты и пытались незаконно ввезти их. На таможнях США в 50-х годах было конфисковано драгоценных камней на миллионы долларов, но правительство отказалось выпускать их на тщательно регулируемый коммерческий рынок. Вместо этого они были переданы ученым государственного Национального Бюро Стандартов. Так исследователи Чарльз Вейр (Charls Weir), Элвин Ван Валкенбург (Alvin Van Valkenburg) и работавший с ними инженер Элмер Бантинг (Elmer Bunting) получили доступ к практически неограниченному запасу бриллиантов. Это именно им и пришла в голову идея ячейки высокого давления с противолежащими алмазными наковальнями, не только создающими давление, но и позволяющими оптически наблюдать сжимаемый образец через прозрачные алмазные «окна». Казалось бы, идея лежала на поверхности. К тому времени аппарат с противолежащими коническими наковальнями (рис.1,в), сделанными из твердого материала, карбида вольфрама, позволял его изобретателю Перси Бриджману (Percy W. Bridgman), Лауреату Нобелевской премии по физике 1946 года, изучать материалы под давлениями в 100 тысяч атмосфер. Замени карбидные наковальни алмазными – и готово! Однако, нет. Путь к этому дизайну прямым не был. Изначально прототипом для создания прозрачной миниатюрной ячейки высокого давления был аппарат с поршневым цилиндром. В качестве материала выбрали великолепный драгоценный камень – чистейшей воды кристалл алмаза изумрудной огранки в 7,5 карат (1 карат = 0,2 г) (рис.6)

ГРАНЬ

БРИЛЛИАНТА

Рис. 6. Бриллиант изумрудной огранки в 7,5 карат (размером $13,1 u_{9,7} u_{6,3}$ мм). Такой же был использован для изготовления прозрачной миниатюрной ячейки высокого давления

стоимостью около четверти миллиона долларов на сегодняшнем розничном рынке. В такой ячейке алмаз играл лишь пассивную роль крепкой и прозрачной цилиндрической камеры, в которой двигался миниатюрный поршень из жесткой проволоки. Алмаз является самым твердым из всех известных материалов и на изготовление крошечного отверстия диаметром в 0,4 мм и длиной 6,3 мм потребовалось 4 полных месяца сверления. В результате была получена самая необычная в мире камера высокого давления. Увы, ненадолго. Распираемый изнутри высоким давлением, создаваемым металлическим поршнем, алмаз просто разлетелся вдребезги. Дело было не только в недостаточной крепости поршня – создатели «сверленой ячейки» не учли, что алмаз, будучи чрезвычайно прочным на сжатие, не выдерживает высоких нагрузок на растяжение. Потребовалось еще немало времени и… бриллиантов, пока, издробив изрядное их количество, исследователи сошлись на одном элегантном решении. Они разработали ячейки с противолежащими алмазными наковальнями, основанные на устройстве аппарата Перси Бриджмана. Интересно отметить, что параллельно с деятельностью «алмазодробителей» шла ин-

6

КВАНТ 2020/№5

тенсивная работа «алмазопроизводителей» – ученых и инженеров, стремившихся реализовать искусственный синтез алмазов, т.е. победить в почти двухвековой гонке за тем, что раньше было прерогативой природы. Открытие коренных алмазоносных пород (кимберлитов) в Южной Африке в 1869 году позволило ученым оценить термодинамические условия формирования алмазов в недрах Земли и понять, хотя и не сразу, решающую роль давления для их синтеза. Первые «рукотворные» алмазы были получены 16 декабря 1954 года командой Американской фирмы «General Electric» в Бэлт-аппарате (от английского belt – пояс) (рис.1,г). А в 1959 году, после опубликования «рецепта» в журнале «Nature», каждый имеющий пресс для создания давлений в 55 тысяч атмосфер и температур в 1500 q C мог стать алмазопроизводителем. Но это уже другая история. Для нашей же истории интересно то, что ученые сначала полагались на Землю, чтобы понять происхождение алмазов, а сегодня они полагаются на алмазы, чтобы понять происхождение и устройство самой Земли. Современные представления о фазовом составе мантии и ядра Земли основаны на результатах экспериментов в алмазных наковальнях. Только они позволяют создать в лаборатории необходимые статические давления и температуры (вплоть до 4 млн атм. и выше 5000 q C, как в ядре Земли) и изучить, что происходит с материалами в таких экстремальных условиях. Образцы в ячейках нагреваются лазерами, а физические и химические изменения, происходящие при этом с материалами, изучаются с помощью рентгеновской дифракции, спектроскопии комбинационного рассеяния, мёссбауэровской и инфракрасной спектроскопии, а также другими современными методами в лабораториях и на источниках синхротронного излучения. Спектр исследований, конечно же, не ограничивается проблемами наук о Земле и планетологии. Какие еще вопросы волнуют ученых в настоящее время? Научные исследования с помощью ячеек с алмазными наковальнями охватывают

очень широкий круг фундаментальных и прикладных проблем физики, химии и материаловедения. Приведем лишь несколько примеров, касающихся трех особенно интересных и важных современных направлений – проверки теорий в физике твердого тела, синтеза новых материалов и изучения свойств твердых тел в условиях экстремальных давлений и температур. Это важно не только для углубления понимания природы вещей, но и для поиска возможностей целенаправленного синтеза материалов с заданными уникальными свойствами. Поиск альтернативных источников энергии и новых технологий, которые позволяют использовать энергию максимально эффективно и с минимальными потерями, находится в центре внимания современного материаловедения. Сверхпроводимость, т.е. способность некоторых материалов проводить электрический ток без какоголибо сопротивления, – одно из самых захватывающих физических явлений в физике твердого тела с момента ее первого экспериментального обнаружения в 1911 году. При атмосферном давлении рекорд максимальной критической температуры сохраняется за купратами, которые проявляют сверхпроводимость при температурах до 138 К ( 135 q C ). Однако такие температуры еще слишком низки и применение сверхпроводников при технологически значимых температурах, близких к комнатной, до сих пор не представляется возможным. Хотя некоторые исследователи сомневаются, достижима ли сверхпроводимость при комнатной температуре вообще, она неоднократно обнаруживалась при температурах, которые ранее были неожиданными или считались невозможными (как в случае с высокотемпературными сверхпроводниками, работающими при температурах выше температуры жидкого азота 77 К). Обнаружение такого сверхпроводника имело бы огромное технологическое значение. Среди прочего, оно помогло бы решить мировые энергетические проблемы, создать еще более быстрые компьютеры, новые запоминающие устройства и сверхчувствительные датчики.

7

ПЯТЬДЕСЯТ

ВОСЬМАЯ

С тех пор как в 1935 году Юджин Вигнер (E.Wigner) и Хиллард Белл Хантингтон (H.B.Huntington) высказали предположение, что при достаточно высоких давлениях молекулярный водород должен перейти в атомарно-металлическое состояние, а в 1968 году Нейл Ашкрофт (Neil Ashcroft) предсказал, что твердый металлический водород при экстремально высоких давлениях должен стать сверхпроводящим при приблизительно комнатной температуре, попытки проверить эти прогнозы экспериментально не прекращаются. Хотя группа Гарвардских ученых в 2017 году заявила о наблюдении металлизации водорода при 495 ГПа, а группа французских ученых в 2019 году – при 425 ГПа, бесспорного экспериментального подтверждения металлизации и сверхпроводимости водорода при комнатной температуре пока нет, а современные теоретические расчеты предсказывают все более высокие давления перехода. Альтернативный путь к сверхпроводимости при комнатной температуре основан на идее «насыщения» химических соединений атомами водорода. По теории, при химическом синтезе под давлением в гидридных системах (т.е. в соединениях, содержащих водород) можно достичь таких малых расстояний между атомами водорода, которые бы способствовали диссоциации молекул $H_{2}$ и образованию в структуре гидрида металлической «подрешетки» из атомов водорода. Недавно опубликованные результаты экспериментов в алмазных наковальнях показали возможность синтезировать богатые водородом гидриды металлов, которые при очень высоких давлениях, как утверждается, становятся сверхпроводящими при температурах до 260 К ( 13 q C ), почти как в морозильной камере холодильника. Этот конкретный рекорд 2019 года относится к гидриду лантана высокого давления $( LaH_{10} ),$ предыдущий же был установлен тригидридом серы $( H_{3} S ),$ показавшим сверхпроводимость под высоким давлением при температурах до 203 К ( 70 q C ). Хотя в обоих случаях речь идет о давлениях порядка 200–150 ГПа, что бесконечно далеко от технологически возможных, о

ГРАНЬ

БРИЛЛИАНТА

температурах, все еще далеких от комнатных, и материалах, которые нельзя сохранить при нормальных условиях, каждый новый шаг поиска ценен, потому что он ведет к прорыву в нашем понимании мироздания и открытию новых материалов и целых классов соединений, свойства которых еще только предстоит изучить. Важным направлением современного научного поиска является создание материалов с высокой плотностью энергии, способных при определенных условиях под влиянием внешних воздействий к быстрому ее освобождению. Среди таких материалов одними из наиболее многообещающих являются полинитриды – азотные соединения, в которых несколько атомов азота связаны простыми одинарными связями. Запасенная в них энергия, по оценкам, может быть в несколько раз больше по сравнению с выделяемой известными в настоящее время наиболее эффективными взрывчатыми веществами. Работы нашей группы в Байройте показали принципиальную возможность синтеза полинитридов путем прямой химической реакции азота с металлами при высоких давлениях и температурах и сохранения их при нормальных условиях. Если бы мы могли производить их в существенных количествах, это произвело бы революцию в двигательной технике, например – в аэрокосмической промышленности. Однако пока их синтезируют только в алмазных наковальнях. Несмотря на все еще отдаленные перспективы применения, этот этап работы крайне необходим для понимания процессов формирования, структуры и состава новых материалов в деталях, что в будущем может помочь в решении вопросов их потенциального промышленного синтеза. Полинитриды интересны также и в связи с их уникальной и непредсказуемой химией и кристаллографией. Как говорил Козьма Прутков, «нельзя объять необъятного», поэтому приведем только несколько примеров наших собственных, самых свежих результатов. Представьте, вы держите в руках хрупкий декоративный бумажный фонарик или картонную коробку с пирожными. Их лег-

8

КВАНТ 2020/№5

ко раздавить, не прикладывая особых усилий. Раз – и от красивого фонарика останется жалкий комочек бумаги, а от пирожных липкая бесформенная масса. «Природа не терпит пустоты», – сказал Аристотель 24 сотни лет назад. Полости и незаполненные пространства «схлопываются» под давлением, а значит, можно было бы интуитивно предположить, что в процессе химического синтеза при высоких давлениях пористые кристаллические структуры формироваться не могут. Каково же было наше удивление, когда, изучая химические реакции между азотом и переходными металлами (Hf, W, Os) при высоких давлениях и температурах, мы обнаружили, что при гигантском давлении в 1000000 атмосфер (что соответствует давлению на глубине 2500 км внутри Земли) они образуют соединения с пористой структурой (рис.7). Мы назвали их «мифами», но не потому, что в их существование при таких давлениях трудно поверить, а потому, что они представляют собой металл-неорганические каркасы (от англ. Metal-Inorganic Framework, MIF). Образованные атомами металла и азота, эти трехмерные каркасы пронизаны каналами, заселенными молекулами азота $N_{2}$. В то время как открытые нами «мифы» существуют пока только при экстремальных давлениях и сохранить их в нормальных условиях еще не удалось, другие наши исследования показали, что принци-

пиально это возможно. Так, для нитрида рения $ReN_{2}$, синтезированного изначально при очень высоких давлениях, нам удалось не только существенно снизить давление синтеза (что естественно увеличило количество получаемого вещества), но и сохранить и исследовать его в комнатных условиях. В результате мы обнаружили в этом новом материале уникальное сочетание необычных физических свойств – исключительно малую сжимаемость, сверхтвердость и металлическую проводимость. Эти свойства раньше считались несовместимыми. Приведенные примеры наглядно показывают, насколько мощной термодинамической переменной является давление, позволяющее значительно изменять структуру, химическую связь и физические свойства вещества. Чем выше давление, тем сложнее электронные взаимодействия, тем разнообразнее материалы, которые могут быть синтезированы, и необычнее их свойства. Предел возможностей классической ячейки с алмазными наковальнями – это давления порядка 300–400 ГПа, соответствующие давлениям в центре Земли. Как же шагнуть дальше и заглянуть за пределы возможного? Конечно же, попробовать изменить конструкцию – перераспределить нагрузки так, чтобы алмазы не разрушались, а давления на образце увеличивались. Несколько лет назад наша группа в Байройте придумала снабдить ячейку нако-

Рис. 7. Металл-неорганические каркасные структуры металл-азотных соединений, синтезированных при гигантских давлениях в 1 мегабар и температурах 2000 К в ячейках с алмазными наковальнями. Трехмерный каркас, образованный атомами металла и азота (серые и синие шарики соответственно), пронизан каналами, заселенными молекулами азота (красные шарики)

9

ПЯТЬДЕСЯТ

ВОСЬМАЯ

ГРАНЬ

БРИЛЛИАНТА

Рис. 9. Фотография алмазной наковальни со сферической короной, сделанная под микроскопом. Диаметр ее 2,5 мм

Рис. 8. Схема устройства ячейки с наковальнями второй ступени. Вторичными наковальнями здесь служат половинки шариков из суперпрочного нанокристаллического алмаза, которые сжимают образец металла размером в 0,004 мм

вальнями второй ступени (рис.8) – вторичными наковальнями. В такой ячейке давление передается на еще меньшую поверхность, что обеспечивает его дальнейшее увеличение по тому же принципу, как и в аппарате с поршневым цилиндром. Это позволило нам достичь давлений порядка 1 терапаскаля (1 ТПа $= 10^{7}$ атм.), которые отвечают давлениям в центре гигантских планет. До сих пор этот аппарат, в котором 58-я грань бриллианта (калетта) продолжает сохранять свое важное предназначение, – чемпион по созданию статических давлений. Французские исследователи предложили модифицировать профиль самой калетты, позволяющий как бы включить (инкорпорировать) вторичную наковальню непосредственно в классическую, что позволяет достигать давлений до 0,5–0,6 ТПа. Если теперь взглянуть на корону бриллианта, она тоже претерпела изменения в дизайне. Немецкий исследователь Райни Булер (Reinhard Boehler) предложил придать ей коническую форму, что облегчило ее укрепление и увеличило ее стабильность в ячейке; при этом плоская площадка – оптическое окошко в камеру высокого давления – сохранилась. Наша группа пошла еще дальше – мы придали короне сферическую форму, поместив при этом центр калетты в оптический центр получившейся таким образом линзы (рис.9). Такое изменение короны дало возмож- ность исследовать структуру монокристаллов в наковальнях при высоких давлениях с одновременным нагревом, т.е. в условиях, когда рентгеновский и лазерный лучи синхронно сфокусированы на образце во время эксперимента. Технически добиться этого очень сложно, поскольку рентгеновское исследование структуры требует вращения изучаемого кристалла. Если лазерный луч падает на плоскую площадку, то при вращении угол падения меняется и за счет преломления в алмазе лазерный луч теряет фокусировку. Благодаря сферическому дизайну короны, лазерный луч падает на нее всегда под одним и тем же углом – перпендикулярно касательной к сферической поверхности – и, несмотря на вращение наковальни, остается сфокусированным на кристалле. В заключение рассказа о технике и содержании современных исследований в алмазных наковальнях хочется заметить, что подавляющая часть общей массы вещества, по крайней мере в Солнечной системе, находится под высокими давлениями в недрах планет. Так что исследования состояния материи при высоких давлениях и температурах – это очень важные шаги на пути к пониманию Вселенной.

Автор выражает искреннюю благодарность Т.Федотенко, Е.Быковой и М.Быкову за помощь в подготовке рисунков, а также члену редакционной коллегии «Кванта» Андрею Варламову, вдохновившему автора познакомить читателей журнала с такой необычной, но очень интересной областью современных научных исследований.

Игры Джона Конвея

В.КЛЕПЦЫН

Джон Конвей (26.12.1937–11.04.2020) говорил, что не проработал ни единого дня, а только играл. Блестящий математик современности, он работал «играючи» во многих областях, и мне хочется вспомнить часть того, чем он занимался и запомнился.

Игра «Жизнь»

Пожалуй, самое широко известное открытие Конвея – это придуманная им игра «Жизнь». Устроена она так: на (бесконечной) бумаге в клеточку часть клеток объявляется «живыми» (или «заполненными», и обычно их закрашивают), а остальные «мертвыми» (или «пустыми»). После этого их конфигурация начинает (вся одновременно!) эволюционировать по следующим исключительно простым правилам: 1. Если у живой клетки в некоторый момент из 8 соседей было 2 или 3 живые клетки, то на следующий ход она выживает, в противном случае она умирает (обычно говорят, что если живых соседей 1 или 0, то она умирает «от одиночества», а если больше 3, то «от перенаселения»). 2. Если у пустой клетки ровно 3 живых соседа – то на следующем ходу в ней зарождается жизнь (а иначе она остается пустой). Так (рис.1), квадрат 2 u 2 («блок») остается неподвижным (у каждой его клетки по 3 живых соседа), линия из 3 клеток за 1 ход поворачивается на 90 градусов вокруг центра (поэтому ее называют «мигал-

Рис. 1. Блок, семафор и улей

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200502

Рис. 2. Пять последовательных положений глайдера, летящего вправо-вниз

кой» или «семафором»), а прямоугольник 2 u 3 за один ход становится «ульем» (еще одной не меняющейся конфигурацией). Слово «игра» тут не совсем точное, ибо все, на что влияет «игрок», это начальная расстановка клеток, все дальнейшее от него уже не зависит. Зато за жизнью такой «колонии клеток» бывает очень интересно наблюдать. Глайдер (или планер), изображенный на рисунке 2, – конфигурация, которая движется вправо-вниз с постоянной скоростью под углом в 45 градусов. А другая невинно выглядящая конфигурация из пяти клеток – r-пентамино (рис.3) – эволюционирует на протяжении 1103 поколений. Глядя на r-пентамино, Конвей задал следующий интересный вопрос: бывают ли бесконечно растущие конфигурации? Он объявил награду в 50 долларов за решение этого вопроса – которую получил Билл Госпер, открывший глайдерное ружье, конфигурацию, постоянно «стреляющую» глайдерами. Создание глайдерного ружья через какоето время позволило доказать, что игра «Жизнь» Тьюринг-полна: любую программу, которую можно запустить на какомнибудь компьютере, можно «эмулировать» с

13

ИГРЫ

ДЖОНА

Рис.9. Позиция со значением 1 2 и уравнение для нее; бесконечный стебель со значением 1 3; два бесконечных стебля с не-вещественными значениями

нулевой (т.е. такой, где начинающий проигрывает). Для конечных графов в игре «хакенбуш» сопоставляемые им числа всегда двоично-рациональные. Но – разрешив рассматривать бесконечные «стебли бамбука» (на которых, тем не менее, партия всегда завершается за конечное время), можно получить и позиции, которым сопоставляются любые вещественные числа. Более того – оказывается, что «внутри теории игр» можно выбрать игры, которые можно объявить «числами». И естественно определить операции на них – сложение, умножение и так далее. Однако среди таких чисел будут не только все вещественные, но и многие другие. Посмотрите на три правые картинки на рисунке 9. Вторая из этих трех игр, бесконечный синий «стебель бамбука», будет соответствовать «бесконечному числу» – ординалу Z. А бесконечный стебель, в котором синее ребро только нижнее, – обратному к нему «числу» 1 Z. И все это и есть придуманные Конвеем сюрреальные числа – которые я здесь, впрочем, не определил. Об этом можно почитать в книге Пьера Деорнуа [3]; а еще сюрреальным числам (уже без связи с теорией игр) была посвящена статья [4] в «Кванте» аж в 1979 году. Чтобы завершить рассказ об играх, можно упомянуть две книги Конвея – «On Numbers and Games» и написанную в соавторстве с Берлекемпом и Ги «Winning Ways for your Mathematical Plays». Обе стали бестселлерами сразу после выхода.

Иррациональность корня из 2 Мне хочется вспомнить и очень интересную – именно для школьников – статью

КОНВЕЯ

Конвея и Шипмана [5], где собраны разные доказательства иррациональности корня из 2 (и других квадратных корней). Это действительно интересное чтение: как один и тот же результат может получаться совершенно разными методами. Конечно же, там упоминается и классическое доказательство, в котором выясняется, что и числитель и знаменатель должны оказаться четными, – но не только оно. Так, там появляется доказательство Танненбаума. А именно, если бы 2 был рационален, то можно было бы взять наименьшую пару целых чисел p, q такую, что площадь квадрата со стороной p равна сумме площадей двух квадратов со стороной q. Но поместив два таких квадрата внутрь квадрата со стороной p (рис.10, слева), мы видим, что в таком случае площадь, закрытая дважды (а это квадрат со стороной 2q p ), равна непокрытой площади (а это два квадрата со стороной p q каждый). И мы получаем противоречие с минимальностью пары p, q. А Конвей заметил, что аналогичным образом можно доказывать и иррациональность корня из 3 – оно изображено на рисунке 10 справа $.^{1}$ Еще одно из собранных в этой же статье доказательств принадлежит Миклошу Лацковичу: если раскрыть скобки в вы- ражении n

2 1, то получится число вида

A 2 B, где A и B – целые. И если бы 2

Рис. 10. Доказательство Танненбаума иррациональности 2 и его модификация Конвея для 3

1 Есть и аналогичные доказательства для

5

и 6: их можно найти в статье А.Спивака «Иррациональность корней из 2, 3, 5 и 6» («Квант», 2010, №1).

Восьмого мая 2020 года ушел из жизни Глеб Леонидович Коткин.

Г.Л.Коткин родился 20 сентября 1934 года в городе Тобольске. В 1961 году после окончания аспирантуры Московского государственного университета Глеб Леонидович приезжает в Академгородок и начинает работать в Новосибирском государственном университете на физическом факультете. За годы работы Глеб Леонидович стал одним из самых авторитетных преподавателей физфака НГУ, настоящей его опорой. Он провел тысячи семинаров, прочитал сотни лекций. За его плечами задачи, задания, контрольные, экзамены, олимпиады, известный в мире задачник по аналитической механике, первые в нашей стране компьютерные практикумы по моделированию физических процессов и квантовой механике, задачник по статистической физике, учебные пособия для университетов по статистической физике и аналитической механике. Глеб Леонидович успешно занимался научными исследованиями по физике высоких энергий в лаборатории теоретической физики в Институте математики СО РАН. Работы с его участием пролили свет на возможность создания фотон-фотонных пучков. Глеб Леонидович был замечательным педагогом, внимательным, но строгим и принципиальным. Среди его учеников немало успешных и выдающихся ученых. Многие из них вспоминают Глеба Леонидовича как главного Учителя в своей жизни. Всю свою творческую жизнь Глеб Леонидович отдавал много сил работе со школьниками. Уже на втором курсe физфака МГУ он вел школьный кружок. Когда в начале 60-х

Глеб Леонидович Коткин

(20.09.1934 – 08.05.2020) стало быстро развиваться олимпиадное движение, он принял в нем активное участие, в том числе как автор красивых оригинальных задач. После открытия в 1963 году Новосибирской физико-математической школы-интерната он много работал с ее воспитанниками. С 1969 года Глеб Леонидович Коткин принимал самое активное участие в становлении и развитии журнала «Квант», на страницах которого регулярно печатались его интересные статьи и яркие задачи. Он неизменно входил в Редакционный совет нашего журнала.

Почему плохо кричать против ветра?

Г.КОТКИН

ПОЧЕМУ МЫ ПЛОХО СЛЫШИМ звук, если ветер дует от нас к его источнику? На первый взгляд, это ясно. Против ветра ближе падает брошенный

Опубликовано в «Кванте» №2 за 1979 год.

камень, медленнее летит птица… Попробуем, однако, провести количественную оценку. $Пусть^{с}$ – скорость звука относительно воздуха, $а^{u}$ – скорость ветра. Тогда скорость звукового сигнала относительно зем-

29

ЗАДАЧНИК

каком значении угла D наклона горы к горизонту скорость тени корабля на земле будет минимальной? В.Гребень

Ф2610. Цилиндр с жесткими стенками с внутренним радиусом R доверху заполнен несжимаемой жидкостью с плотностью U. Ось симметрии цилиндра вертикальна. Горизонтальная плоская крышка цилиндра прикреплена к его донышку тонким вертикальным тросом, натянутым с силой F, трос расположен на оси симметрии цилиндра. Этот сосуд раскрутили вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии, до угловой скорости Z. Как изменилась сила натяжения троса? Х.Цилиндров

Ф2611. Два положительных заряда $q_{1}$ и $q_{2}$ закреплены на расстоянии d друг от друга (рис.3). К зарядам привязана нерастяжи-

Рис. 3

мая непроводящая нить длиной L. По нити может скользить без трения маленькое положительно заряженное колечко. Система находится в невесомости. Найдите расстояния от колечка до зарядов в положении равновесия. М.Николсон

Ф2612. Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой изображены идеальная тонкая линза, предмет и его изображение. Из текста следует, что предмет представляет собой стержень длиной l с двумя точечными источниками света на концах. Стержень и главная оптическая ось линзы находятся в плоскости рисунка и стержень не пересекает плоскость линзы. От времени чернила выцвели, и на рисунке остались видны лишь сами источники и их изображения, причем неизвестно, какая из четырех точек чему соответствует. Интересно, что эти точки

«КВАНТА»

расположены в вершинах и в центре равностороннего треугольника (рис.4). 1) Определите, самому предмету или его изображению принадлежит точка Рис. 4 в центре треугольника. 2) Восстановите оптическую схему (предмет, изображение, линзу, ее главную оптическую ось и фокусы) с точностью до поворота рисунка на 120q и отражения. 3) Найдите фокусное расстояние линзы.

Примечание. Линза называется идеальной, если любой пучок параллельных лучей фокусируется в ее фокальной плоскости.

А.Аполонский

Решения задач М2590–М2593, Ф2597–Ф2600

M2590. Решение этой задачи будет опубликовано позже.

M2591. На плоскости нарисованы 100 синих прямых, среди которых нет параллельных и никакие три из которых не проходят через одну точку. Точки пересечения синих прямых отмечены красным. Могло ли получиться так, что расстояние между любыми двумя красными точками, лежащими на одной синей прямой, равно целому числу?

Ответ: могло. Во-первых, заметим, что достаточно построить пример, в котором расстояние между любыми двумя красными точками, лежащими на одной синей прямой, равно рациональному числу. Действительно, если конструкция с рациональными расстояниями имеется, далее можно увеличить размеры в нужное количество раз n, т.е. рассмотреть конструкцию, гомотетичную данной с коэффициентом n, где n делится на знаменатели всех рациональных чисел, выражающих расстояние (здесь важно, что расстояний конечное количество). Идея построения нужного примера может состоять в следующем. Если брать на координатной плоскости прямые, задаваемые уравнениями с рациональными коэффициентами, красные точки будут иметь рациональные координаты (в этом легко

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Парадокс Толи Втулкина

C.ДВОРЯНИНОВ

Часть I

Вниманию читателей предлагается научно-фантастический рассказ для будущих физиков-теоретиков. Уже много лет прошло с тех пор, как на нашем школьном физическом кружке Толя Втулкин демонстрировал изобретенную им экспериментальную установку. А кажется, это было вчера… Конструкция очень простая. Главная ее часть – тонкая стеклянная трубка, но не прямая, а изогнутая в виде полуокружности радиусом R. Есть еще металлический шарик 1, масса которого m. Он очень маленький и может свободно двигаться внутри трубки. Трубка закреплена на штативе в вертикальной плоскости в форме буквы C (рис.1). Ее верхний конец В и нижний Н располагаются точно на одной вертикали. Когда мы пытались поместить шарик в точку В, то это нам никак не удавалось. И ясно, почему: это положение шарика неустойчиво. А еще к точке В была привязана тонкая нить длиной 2R. К этой нити можно было привязывать другие шарики, которых были три. Массы M у

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200505

них были разные, а диаметры – чуть больше диаметра трубки. Сначала Толик поместил наш шарик 1 в точку Н, а к нити привязал легкий шарик 2, масса которого M существенно меньше массы m. Затем он отвел нить в сторону и натянул ее. В результате нить расположилась вдоль горизонтали. Это, можно сказать, была стартовая позиция. – Что будет происходить дальше, если я выпущу свой шарик 2 из рук? – спросил Толик. Ответ был всем очевиден. Шарик в руках у Толика обладает потенциальной энергией Mg ˜ 2 R. Он, двигаясь вниз как маятник, столкнется с шариком 1 и передаст ему часть своей кинетической энергии. Шарик 1, обладая некоторой энергией, начнет двигаться по трубке вверх, но, не дотянув даже до уровня точки О, на миг остановится, потом начнет скатываться вниз и выкатится из трубки. Так оно и оказалось на опыте. Во второй раз Толик привязал к нити тяжелый шарик 2, масса М которого много больше m. И эта ситуация была понятна. Шарик 1 после удара по нему шарика 2 получил такую порцию энергии, что смог подняться по трубке до точки В, причем с ненулевой скоростью. И действительно, шарик 1 вылетал из трубки, как из пушки. После этих простых опытов некоторые стали было терять всякий интерес к Толиной установке. – Подождите, не уходите, сейчас будет самое интересное, – воскликнул Толик. – Пожалуйста, посмотрите! – с этими словами он привязал к нити шарик 2 с массой m, отвел нить в сторону и натянул. – Что теперь будет с шариком 1, который сейчас покоится в точке Н, после того как я выпущу из рук свой шарик 2? А? Какие ваши предположения? – обратился ко всем Толик. Дело это всем показалось нехитрым. Потенциальная энергия шарика 2 в руках у Толика равна 2mgR. После столкновения она переходит в энергию шарика 1 с массой m. Этой энергии ему в точности, тютелька в тютельку, хватит для того, чтобы по трубке подняться в точку В.

47

ШКОЛА

Применим эту теорему для прямоугольных треугольников FBG и EDH. Имеем GF > GB, тогда $10 P_{BGF}$! BG GF!! 2BG, следовательно, BG < 5 и GC = BC – – BG > 6,25 – 5 = 1,25, т.е. GC > 1,25. Аналогично, HE > HD, тогда $6 P_{EHD}$!! EH HD! 2 HD, следовательно, HD < 3 и CH = CD – HD > 6,25 – 3 = 3,25, т.е. CH > 3,25. Теперь применим теорему для прямоугольного треугольника CHG. Получаем $7 P_{GCH} GC CH GH$! GC 2 CH! > 1,25 2 ˜ 3,25 7,75.

Противоречие. Итак, такого квадрата не существует! Блестящая идея со сложением и вычитанием периметров разбилась о свойства прямоугольных треугольников. Обнаружение скрытой ошибки в условии задачи заставляет нас задуматься над несколькими вопросами. Один из вопросов можно отнести к педагогике и методике обучения математике. Засчитывать ли решение задачи школьнику, нашедшему ответ в задаче, условие которой сформулировано некорректно? Применительно к нашим задачам – засчитывать ли решение задачи школьнику, получившему в задаче 1 ответ 6,25 тем способом, который описан выше, или школьнику, нашедшему в задаче 2, что площадь прямоугольного треугольника равна $30 см^{2}$? Здесь могут быть разные мнения. Время, отведенное на выполнение вступительной работы, ограничено, и у школьника вряд ли есть возможность провести полное исследование. Поэтому мы бы засчитали ему такое решение. Естественно, что школьник, доказавший невозможность существования такого квадрата, выше любой похвалы. Такой школьник наверняка усвоил, что одним из важнейших действий, которому учат при решении задач, является проверка! В то же время, мы можем привести следующий логический аргумент, основанный на известном свойстве импликации. Из ложного утверждения может следовать как истинное утверждение, так и ложное. Но из истинного утверждения ложное утверждение не следует. Таким образом, к задаче с противоречивыми условиями подходит любой ответ (даже тот, который мы здесь не привели), и его нужно засчитать. Однако оставим обсуждение этого непростого

В

«КВАНТЕ»

педагогического и методического вопроса за рамками этой статьи. Второй вопрос связан с попыткой исправить ошибку в условии и, возможно, провести небольшое математическое исследование. Можем ли мы спасти идею задачи, немного «пошевелив» ее условие?

Прямоугольник

Что произойдет, если в условии задачи квадрат заменить на прямоугольник? Чтобы не загромождать чертеж, уберем из рассмотрения ’ FQK. Переформулируем задачу. Задача 3. От прямоугольника ABCD отрезали треугольники и внутри каждого из них написали его периметр (рис.2). Найдите периметр прямоугольника ABCD при условии, что периметр четырех- Рис. 2 угольника FGHE равен 10. Применяя те же рассуждения со сложением и вычитанием периметров треугольников, найдем, что периметр прямоугольника ABCD равен 25. Но теперь мы хотим знать: существует ли такой прямоугольник? При обсуждении задач 1 и 3 с друзьями возник вопрос о большом разбросе значений периметров четырехугольника FGHE и квадрата ABCD. Такая конструкция казалась невозможной. Периметр четырехугольника FGHE, равный 10, подозрительно мал по сравнению с периметром квадрата (прямоугольника) ABCD. Дальнейшие выкладки подтверждают верность высказанной догадки. Начнем наше исследование с определения. Назовем четырехугольник вписанным в прямоугольник (квадрат), если каждая из его вершин лежит на одной из сторон прямоугольника (квадрата). В нашей задаче четырехугольник FGHE является вписанным в прямоугольник ABCD. Получим несколько несложных оценок, связывающих периметры прямоугольника (квадрата) и вписанного в него четырехугольника. Задача 4. Для периметров прямоугольника ABCD и вписанного в него четырехугольника FGHE выполняются неравенства $P_{FGHE} P_{ABCD} 2 P_{FGHE}$. Докажите это.

52

КВАН T 2020/№5

Рис. 4 углы при основаниях равны 60q H. Покажем, что треугольник с углами ‘ A 120 q, ‘ B H 2, ‘ $C^{60} q H 2$ не накрывается такими равнобедренными треугольниками. На рисунке 4 показано, как проходят три стороны этих равнобедренных треугольников внутри ‘АВС (углы, отмеченные одной дугой, это углы при основаниях равнобедренных треугольников, они равны 60q H ). Красным цветом выделена область, которая останется ненакрытой. 27. а) $2^{n}$. Пронумеруем лампочки. Если у кнопки номер k, то соединим ее со всеми лампочками с номерами от 1 до k. Тогда для любого t можно будет поменять состояние лампочки под номером t, не поменяв состояния других: при t > 1 для этого надо нажать на кнопки t и t 1, а при t 1 – просто нажать на кнопку 1. Значит, можно поменять состояние одной лампочки независимо от других; соответственно, можно получить любую комбинацию горящих и не горящих лампочек. $б)^{2} m^{1}, где^{m}$ – наибольшее натуральное число такое, что $2^{m} d^{n}$. Оценка. Количество возможных комбинаций горящих и не горящих лампочек, которые можно получить, нажимая на кнопки в некоторой конфигурации кнопок и лампочек, назовем разнообразием этой конфигурации. $Рассмотрим^{n}$ лампочек и теперь будем последовательно рассматривать кнопки в таком порядке: номер 1, номер 2, номер 4, 8,… $…,^{2} m^{1},^{n.}$ Такие кнопки назовем важными, их количество $равно^{m} + 1.$ Покажем, что при каждом добавлении важной кнопки разнообразие конфигурации увеличивается ровно в 2 раза. Добавим очередную важную кнопку K. Так как номер очередной кнопки больше суммы номеров всех предыдущих подключенных кнопок, то найдется лампочка L, которая соединена только с новой кнопкой. Рассмотрим одну из старых комбинаций горящих и не горящих лампочек – она попрежнему достижима. Нажав на кнопку K, получим комбинацию, которую до этого нельзя было получить, так как в ней горит лампочка L, чего раньше нельзя было достичь. (При этом понятно, что из двух разных старых комбинаций указанным образом не может получиться одна и та же новая.) Таким образом, достижимы все старые конфигурации и количество новых комбинаций равно количеству старых, т.е. количество достижимых конфигураций увеличилось в 2 раза. Итак, после добавления важных кнопок разнообразие конфигурации станет $равным^{2} m^{1}$. Добавим

Рис. 5 теперь все остальные кнопки – они, очевидно, не понизят разнообразие. Пример. Покажем, как соединять кнопки с лампочками, чтобы разнообразие было $равно^{2} m^{1}$. На $рисунке^{5}$ показан пример конфигурации $для^{n} 13, тогда^{m} 3$, разнообразие $равно^{2} 4$. Строчки соответствуют кнопкам, столбцы – лампочкам; если клетка закрашена, то соответствующие кнопка и лампочка соединены. Построение примера разбито на три этапа. Кнопки, добавленные на первом этапе, отмечены красным (это важные кнопки), на втором – синим, на третьем – зеленым. Первый этап. Подключим сначала важные кнопки с номерами $1, 2, …,^{2} m^{1}$ так, чтобы никакие две не соединялись с одной лампочкой. Это возможно сделать, так как общее количество $лампочек^{n}$ не $меньше^{2} m$, что в свою очередь больше суммы номеров кнопок, которые мы сейчас подключаем. Теперь подключим последнюю важную кнопку с $номером^{n.}$ Как мы уже показывали, к этому моменту разнообразие $равно^{2} m^{1}$. Покажем теперь, как добавлять остальные лампочки, чтобы оно не увеличилось. Второй этап. Теперь подключим все неважные кнопки с номерами $меньше^{2} m$ следующим образом. Номер каждой такой кнопки представляется как сумма некоторых степеней двойки, меньших $2^{m}$. Кнопки с номерами, равными этим степеням двойки, мы уже добавили; соединим рассматриваемую кнопку с теми же лампочками. Нажатие на новую кнопку можно заменить нажатием на несколько старых, так что ее добавление не повышает разнообразия. Третий этап. Оставшиеся кнопки – с номерами от $2^{m} до^{n} 1$ – подключим по следующему правилу. Кнопка c номером i должна соединяться с теми лампочками, с которыми не соединена «противоположная» ей кнопка с $номером^{n} i$. Все кнопки, «противоположные» к добавляемым на этом этапе,