Квант 2020, №8 · Страницы

7

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

ВЕРОЯТНОСТИ

А затем в каждой паре независимо выберем (с вероятностью 1 2) одну из точек. Докажем, что из 8 вариантов выбора точек ровно в 6 получится «тупоугольная» тройка А, В, С. В самом деле, три диаметра делят круг на 6 секторов, причем каждый сектор можно получить как пересечение трех определенных полукругов, соответствующих некоторому выбору точек А, В, С. Итак, вероятность получить «тупоугольную» тройку равна 6 8 3 4, а значит, дополнительная вероятность равна 1 4.

Задача Бюффона

Мы привыкли, что вероятность – это всегда дробь с небольшими целыми числителем и знаменателем. Но в заключение приведем две задачи, где в ответе встречается число S. Первая почти очевидна. Задача 6. На большой лист клетчатой бумаги со стороной клетки 1 случайно бросают точку. Какова вероятность, что она будет находиться на расстоянии меньше 1 2 от центра некоторой клетки? Достаточно рассмотреть одну клетку. Точки, находящиеся на расстоянии не более 1 2 от ее центра, заполняют круг площади S 4. Это и есть ответ: искомая вероятность (отношение площади круга к площади клетки) равна S 4. Задача 7 (задача Бюффона об игле). Плоскость разлинована на полосы шириной 1. На нее бросают иглу (отрезок) длиной 1. Какова вероятность, что игла пересечет одну из линий? У этой задачи удивительный ответ: 2 S. Откуда же берется S, если в условии нет речи ни об окружностях, ни о расстояниях? Наметим коротко одно из решений. Положение иглы (если не говорить о смещении ее вдоль линий, очевидно, не играющем роли) определяется двумя параметрами: расстоянием у конца иглы от верхнего края полосы, в которую он попал, 0 y 1, и углом D иглы с прямой, перпендикулярной линиям (рис.12,a). Можно считать, по соображениям симметрии, что D S 2. Условие, при котором игла пересекает

Рис. 12

край полосы: y cos D. Итак, среди точек D, y в прямоугольнике 0 D S 2, 0 y 1 мы должны выбрать лежащие ниже линии y cos D (рис.12,б) и найти отношение площади S полученной фигуры к площади прямоугольника (равной S 2 ). Для тех, кто знаком с понятием интеграла,

S 2 эта задача нетрудная:

³ cos D d D

0

1. Но можно получить ответ, опираясь на аналогию из механики. Представим себе точку, равномерно с единичной скоростью проходящую дугу АВ в 1 4 круга радиуса 1 (рис.12,в). Когда точка М находится в положении D на дуге ( 0 D S 2 ), скорость ее проекции M c на радиус ОВ равна как раз cos D. Так что рисунок 12,б – это график скорости точки M c, а площадь S под графиком равна пройденному этой проекцией пути, т.е. S OB 1. В заключение предлагаем несколько задач, похожих на те, с которыми мы познакомились.

8

КВАНТ 2020/№8

Упражнения 1. Какова вероятность того, что при двух бросаниях кубика выпадут а) два числа с суммой не меньше 10; б) два числа, из которых первое делится на второе? 2. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени и дожидается автобуса одного из двух маршрутов, идущих с интервалами 10 и 15 минут. Найдите вероятность p p t того, что ему придется ждать не менее t минут. 3. Отрезок разделен на три равные части. Какова вероятность, что три точки, случайно брошенные на отрезок, попадут в три разных кусочка? 4. На окружности случайно выбраны четыре точки А, В, С, D. Какова вероятность того, что отрезки АС и BD пересекаются? 5. а) В окружности проведен диаметр. На нем случайно выбирается точка и через нее проводится хорда, перпендикулярная диаметру. Какова вероятность, что длина хорды больше радиуса окружности? б) На окружности случайно выбираются две точки. Какова вероятность, что длина соединяющей их хорды больше радиуса? в) В круге случайно выбрана точка. Какова вероятность, что хорды с серединой в этой точке больше радиуса?

г) Решите аналогичные задачи про хорду длины r 3, где r – радиус. Замечание. Задачи а), б), в) как бы три варианта одной и той же: проведем случайную прямую, пересекающую данную окружность; какова вероятность, что длина высекаемой хорды больше радиуса? Но ответ в них разный (парадокс Бертрана)! 6. На окружности случайно выбраны три точки. Какова вероятность, что у треугольника с вершинами в этих точках а) есть угол больше 30q; б) все углы больше 30q; в) все углы меньше 120q? 7. На отрезке случайно выбраны две точки. Какова вероятность, что из отрезков, на которые он разбит, можно составить треугольник? 8. Плоскость разбита сеткой прямых на а) квадраты; б) правильные треугольники со стороной 1. Какова вероятность, что монета диаметра 1, случайно брошенная на плоскость, закроет одну из вершин сетки? 9. а) Найдите вероятность того, что выпуклый n-угольник с вершинами в случайных точках окружности содержит ее центр? б) Докажите, что вероятность того, что n случайно выбранных точек на сфере лежат на одной полусфере (по одну сторону от некоторого большого круга), равна $n^{2} n 2 2^{n}$.

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров журнала. Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»_{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

Насос для наливания воды и элементарная физика

С.ПАРНОВСКИЙ

ПОМПА НА КУХНЕ? ЭТО РЕДкость, если только это не что-то сантехническое или часть фильтра для очистки воды. Но все-таки можно вспомнить кухонные приборы, использующие помпу. В простейшем виде она предназначена для наливания обычной питьевой воды, доставляемой в больших бутылях (рис.1). Пара нажатий на крышку, которая служит ручкой ручного насоса, и вода уже льется в подставленную емкость. За этим стоит очень простая физика: насос гонит воздух в пластиковую бутыль, создавая в ней избыточное давление воздуха в верхней части, над водой. Это давление передается воде, и после того как оно превысит определенное значение, вода начнет Рис. 1. Бутыль с водой течь из трубки. На и насос для ее наливатом же $принципе^{ния}$ работает и ручная помпа в термопоте – устройстве для нагрева воды и поддержания ее в горячем состоянии (некий гибрид термоса и чайника; рис.2). Температура воды никак не влияет на работу помпы, поэтому смело можно ограничиться простейшим случаем наливания воды комнатной температуры. Чему равно минимальное необходимое избыточное давление воздуха? Если вы знакомы с формулой Паскаля для давления внутри жидкости, то ответ p U gh приходит мгновенно.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200801

С первыми двумя сомножителями вопросов нет: U – это плотность жидкости, в случае воды U 1000 кг $м^{3} ; g 9,8$ м $с^{2}$ – это ускорение свободного падения. А что же считать высотой подъема воды h? Может показаться, что это разность высот между горизонтальным участком трубки для воды, т.е. максимальной высотой, на которую поднимается вода в помпе, и уровнем воды в помпе, но здесь есть определенный нюанс. Чтобы понять это, вспомним, что такое сифон. Воспользуемся для этого цитатой из книги Вильяма Сибрука «Роберт Вуд. Современный чародей физической лаборатории» (М.: Наука, 1980): «Другим открытием, возвысившим его в глазах мальчишек, было применение принципа сифона, о котором он узнал из старой отцовской книжки. В январе случилась оттепель, и под горкой, с которой катались мальчики, образовался маленький пруд. Это было плохо, потому что, скатываясь по льду, набираешь большую скорость. Потом санки попадают в лужу, и тебя обливает грязной водой. Девочки на своих высоких санках съезжали с горки медленнее, и у них все сходило благополучно. Но ведь ни один мальчик из гордости не сядет на такие санки. Все продолжали скатываться, лежа на животе, промокали и покрывались грязью. Тогда появился Роб с шлангом для поливки сада и объявил, что он собирается откачать воду. Его товарищи – в том числе мальчики старше его, ходившие в ту же школу, стали над ним смеяться. Вокруг лужи было возвышение больше чем на фут, и все хорошо знали, что вода не течет в гору. Роб положил шланг на землю, велел одному из мальчиков заткнуть конец пальцем, а сам начал наливать воду в другой, пока весь шланг не наполнился. Уже тогда – по

12

КВАНТ 2020/№8

ки связано с атмосферным давлением. Именно оно не позволяет образоваться внутри трубки участку, ничем не заполненному или заполненному даже не вакуумом, а водяным паром с очень низким давлением. Но атмосферное давление эквивалентно давлению 10,33 м водяного столба. При попытке подъема шланга на большую высоту в нем образуется участок с пустотой, и жидкость перестанет течь по сифону. Разобравшись с принципом работы сифона, поговорим о водяной помпе. Как бы то ни было, ее высота заведомо меньше 10 метров и сифон в верхней части прекрасно работает. Поэтому нам надо поднять воду до высоты отверстия, из которого она вытекает. Дальше через более высокий участок изогнутой трубки воду переправит сифон, и для этого не понадобится дополнительного избыточного давления. Точнее понадобится, но только на заполнение водой сифона при прохождении самой первой порции воды. Когда же вода перестанет вытекать, она выльется из сифона. Уровень воды в трубке будет близок к уровню отверстия, из которого наливается вода в подставленную емкость. В результате, для того чтобы вода начала течь из помпы, в ней надо создать избыточное давление, которое в миллиметрах водяного столба равно или превышает высоту самого высокого, горизонтального участка трубки в помпе относительно уровня жидкости. А когда она прекращает вытекать, остаточное давление оказывается равным высоте отверстия, из которого вытекает вода, относительно нового уровня воды, который понизился при наливании. Что же поднимает воду вверх по трубке? Избыточное давление воздуха в сосуде – результат его нагнетания внутрь с помощью помпы. Высоту поднятия воды можно узнать по той же формуле Паскаля. А можно просто измерить избыточное давление в миллиметрах водяного столба, тогда каждые избыточные 10 мм вод. ст. обеспечат подъем воды на 1 см. Если мы вскрыли новую бутыль с водой и вставили в нее помпу, то воду надо поднять на сравнительно небольшую высоту, скажем 10 см. Допустим, еще 5 см

понадобится на заполнение сифона. Для всего этого достаточно обеспечить избыточное давление порядка 150 мм вод. ст. в небольшом объеме воздуха над уровнем воды в бутыли. Этого можно добиться одним энергичным нажатием на помпу. По мере расходования воды ее уровень понижается. Когда воды в бутыли мало и ее уровень чуть выше дна, поднимать воду приходится на бульшую высоту – около 50 см. Соответственно, потребуется избыточное давление в 550 мм вод. ст. Оно приблизительно вчетверо больше давления в начале эксплуатации бутыли, но все еще мало по сравнению с атмосферным давлением, равным 10330 мм вод. ст. Понятно, что избыточное давление в 5% атмосферного легко выдержит обычная стеклянная бутылка. Приблизительно такое же давление создается просто налитой в бутыль водой. Есть еще один фактор, связанный с опустошением бутыли. Нам не только приходится создавать большее избыточное давление, но и обеспечивать его в существенно большем объеме почти пустой бутыли объемом около 20 литров. В результате при наливании из почти пустой бутыли нам не обойтись парой нажатий на помпу. Их потребуется гораздо больше только для того, чтобы вода начала течь из трубки. Это нетрудно проверить на опыте. Если вода налита в бутыль почти доверху, то одного нажатия достаточно для того, чтобы в подставленный сосуд налилось немного воды. Если уровень немного ниже середины, то для этого потребуется уже три нажатия. Если воды совсем мало, то качать надо больше. Естественно, не стоит делать паузы между качками – ведь сосуд далеко не герметичный и избыточное давление понемногу уменьшается за счет воздуха, просачивающегося наружу. И вот вода потекла, но почему-то не спешит прекращать это делать. Стоп, нам ведь надо было налить всего 100 граммов воды, а стакан продолжает наполняться. Увы, это плата за конечный объем воздуха, загоняемый внутрь сосуда при одном нажатии. Давайте посмотрим, как объем наливаемой жидкости зависит от ее уровня в бутыли. Для этого проделаем несложные

16

КВАНТ 2020/№8

ции Турнира городов – сочинял задачи, читал лекции, был членом жюри различных олимпиад и конференций. Беседовал с докладчиками, объяснял им возможности развития тем их докладов, был всегда внимательным, доброжелательным и заинтересованным. Когда в конце 60-х годов возникла идея создания научно-популярного физико-математического журнала для школьников, Николай Борисович активно подключился к этой работе. Он был бессменным членом редколлегии и постоянным автором «Кванта». По его инициативе в журнале возник один из главных и, пожалуй, самых знаменитых разделов – «Задачник «Кванта», которым Николай Борисович неизменно руководил с момента основания журнала и до конца своих дней (его не стало 28 мая 1998 года). Задачи были главной страстью Н.Б.Васильева. Как и в музыке и вообще в искусстве, в задачах он особенно ценил подлинную красоту и оригинальность идеи. Он был выдающимся композитором математических задач. Его задачи – а их многие десятки – выделяются отточенностью формулировок и решений, глубиной и связями с «большой» математикой. Кроме того, он как никто умел увидеть и выявить изюминку в присланной другим автором задаче, найти наиболее привлекательную

формулировку, обнаружить возможные обобщения и дальнейшее развитие сюжета задачи, ясно и красиво изложить решение, зачастую сопроводить его комментариями и отсылками к литературе – для тех, кто захочет глубже разобраться в проблеме. Все это сделало «Задачник «Кванта» тем, что он есть: огромным корпусом глубоких и содержательных задач, под влиянием которых выросли целые поколения ученых. Николай Борисович также автор более тридцати статей, без сомнения входящих, в число лучших публикаций «Кванта». Многие статьи написаны в соавторстве с другими математиками. Умение увидеть и выделить главное сочеталось в нем с недюжинными литературными способностями; Васильев обладал редкостным даром прозрачно и четно излагать самые сложные математические сюжеты. Зная это его умение, многие математики приносили в редакцию свои статьи и просили Николая Борисовича помочь довести их «до ума». Он никогда в этом не отказывал, а в некоторых случаях статья настолько улучшалась, что авторы просили его стать их соавтором. На протяжении без малого сорока лет журнал «Квант» и Николай Борисович Васильев были неразрывно связаны. Трудно найти номер журнала, в котором не

Не будет преувеличением сказать, что каждый молодой человек, кто в течение последних тридцати лет начал в той или иной форме свой путь в математику, одним из первых слышал или читал имя Николая Борисовича Васильева. Оно было известно всем – и тем, кто участвовал в различных математических олимпиадах, и тем, кто интересовался «внеклассными» математическими статьями и книжками, и тем, кто увлекался причудливой игрой ума в решении математических задач. Этого человека просто боготворили юные, делавшие лишь первые шаги в математике, они гордились возможностью вместе с ним устраивать математические соревнования, придумывать задачи, обсуждать темы и содержание статей. Его горячо любили и высоко ценили ровесники – за преданность науке и бескорыстное служение образованию молодежи, за честность человеческих отношений и чудесный характер, за то, что с ним было надежно работать. Он пользовался бесспорным авторитетом у более старших корифеев математики, многих из них уже нет с нами, – за исключительную компетентность и многогранную образованность, за талант ученого и преподавателя, популяризатора и организатора, за то, что во главу угла всегда ставил только интересы дела. И практически все называли его тепло и по-семейному – просто Коля. Н.Х.Розов, 1998 год

18

КВАНТ 2020/№8

среди этих многоугольников найдутся два равных. (Четвертая Всесоюзная олимпиада, 1970 год, Симферополь)

Рис. 1

шестиугольников со стороной 1 (рис.1). Жук, двигаясь по линиям сети, прополз из некоторого узла А в некоторый узел В по кратчайшему пути, равному 100. Докажите, что половину всего пути он полз а одном направлении (Четвертая Всероссийская олимпиада, 1964 год, Москва)

6 («Игра Васильева»). Написано 20 чисел: 1, 2, …, 20. Двое играющих по очереди ставят перед этими числами знаки «+» или «–» (знак можно ставить перед любым свободным числом). Первый стремится к тому, чтобы после расстановки всех 20 знаков сумма всех чисел была как можно меньше по модулю. Какую наибольшую по модулю сумму может обеспечить себе второй игрок? (Шестая Всероссийская олимпиада, 1966 год, Воронеж)

7 («Фигуристы»). После выступлений 20 фигуристов каждый из 9 судей по своему усмотрению распределяет среди них места с 1-го по 20-е. Оказалось, что у кадого фигуриста места, присвоенные ему разными судьями, отличаются не более чем на 3. Подсчитаем суммы мест, полученных каждым фигуристом, и расположим эти числа в порядке возрастания: $с_{1} d с_{2} d с_{3} d... d с_{20}$. Какое наибольшее значение может иметь $с_{1}$? (Вторая Всесоюзная олимпиада, 1968 год, Ленинград)

8 («Разноцветный многоугольник»). Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что

9 («Нервные сети»). В бесконечной цепочке нервных клеток каждыя клетка может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальный момент времени t 0 возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то возбуждение будет распространяться, как показано на рисунке 2. (Возбужденные клетки – черные.)

Рис. 2

Пусть в начальный момент времени t 0 возбуждена только одна клетка. Сколько клеток будет находиться в возбужденном состоянии через 15 мсек? через 65 мсек? через 1000 мсек? через t мсек? Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а содержит всего N клеток, соединенных в окружность (рис.3), – будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет? («Задачник «Кванта», Рис. 3 задача М19)

10 («Параллелепипеды»). В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых все эти точки служат вершинами? (Седьмая Всесоюзная олимпиада, 1973 год, Кишинев)

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2614–М2617, Ф2621–Ф2624

M2614. В таблице n u n разрешается переставлять местами строки, а также переставлять местами столбцы. В некоторых k клетках таблицы расставляют звездочки. При каком наибольшем k всегда можно добиться того, чтобы все звездочки стали находиться по одну сторону от главной диагонали (при этом на самой главной диагонали звездочек тоже не должно быть)? П.Кожевников

M2615. В треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон CA и AB в точках $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно (см. рисунок). На стороне AB выбрана произвольная точка D. Точка L – центр вписанной окружности треугольника BCD. Пусть биссектриса угла ACD пересекает прямую $B_{1} C_{1}$ в точке M. Докажите, что ‘ CML 90 q. Чан Куанг Хюнг (Вьетнам)

M2616. Докажите, что если p t 5 – простое число, то число p p p

§ p 1! $\cdot$ § p 1! $\cdot$ § p 1! $\cdot$ ¨ ¸ ¨ $¸^{…}$ ¨ ¸ $©^{1}$ ¹ © 2 ¹ © $p^{1}$ ¹ делится на $p^{3}$. И.Вайнштейн

M2617*. Плоскость покрашена в 100 цветов. Докажите, что найдутся три точки одного цвета, являющиеся вершинами треугольника площади 1. В.Брагин

Ф2621. Утром 21 марта в Москве длина тени елочки высотой в 1 метр в некоторый момент времени в три раза больше ее высоты, и это отношение уменьшается. Сколько времени прошло с момента восхода Солнца? Какова скорость изменения длины тени? С.Варламов

Ф2622. Водитель легкового автомобиля массой M 1000 кг в дальней поездке по прямой (из Москвы в Белгород) возле километрового столба с отметкой 100 км установил на счетчике пути значение 000,0 км. Проезжая мимо столба с отметкой 200 км, он увидел, что счетчик пути показал 101,0 км. Водитель остановил машину, подкачал все колеса от давления $p_{1} 1,1$ атм до положенных $p_{2} 2$ атм и продолжил путь. Возле столба с отметкой 300 км счетчик пути показал 201,0 км. Водитель удовлетворенно хмыкнул и поехал дальше, не останавливаясь. Каков

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

ких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше 15?

2. а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? б) А если девочек 11, а мальчиков 10?

не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева – не пятерка?

3. В каждой клетке квадрата 8u8

Автор этих задач – Н.Б.Васильев

Иллюстрации Д.Гришуковой

4. Каких пятизначных чисел больше:

клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из несколь-

28

КВАН T 2020/№8

для n 4 получится бесконечная цепочка примеров для всех четных n. Возможна такая «перестройка» многоугольника: возьмем один из его маленьких углов и вырежем из него параллелограмм, как изображено на рисунке 3. Один ма-

Рис. 3

ленький угол превратится в два равных ему маленьких и один большой.

Упражнение 3. Придумайте другую «перестройку», добавляющую к многоугольнику две вершины.

Итак, для многоугольников с четным количеством сторон есть серия примеров. Осталось понять, при каких нечетных n существуют подходящие n-угольники. Рассмотрим среди всех таких n наименьшее, обозначим его M. Тогда для всех нечетных n, бульших M, подходящий пример можно будет получить, нужное число раз повторив «перестройку» (также надо будет убедиться в наличии хотя бы одного маленького угла в исходном примере, чтобы «перестройку» можно было осуществить). Осталось найти M. В приведенном выше рассуждении скрылась неточность: такого наименьшего n может и не существовать – если подходящих примеров для нечетных n нет вовсе. Но сейчас мы такой пример приведем.

Первый пример Вернемся к конструкции на рисунке 2. При $J = 180 \infty$ такой «четноугольник» превратится в «нечетноугольник» (рис.4). Для

Рис. 4

какого наименьшего n устроенный таким образом пример существует? Сумма углов $E_{1} + E_{2} +^{…} + E_{k}$ должна быть больше $180\infty$, но все слагаемые в сумме меньше $10\infty$, значит, их хотя бы 19. Тогда всего вершин не менее 19 20 39. Нетрудно понять, что нужные значения углов подобрать возможно. Итак, пример на n 39 получен, а значит, M £ 39.

Первая оценка Некоторый пример получен, теперь давайте получим какую-нибудь оценку на количество сторон подходящего многоугольника. Снова будем рассматривать направления, но иначе. Начнем обход границы многоугольника против часовой стрелки и будем следить за тем, как меняется направление, в котором мы движемся. Так как в подходящем многоугольнике каждый угол либо маленький, либо большой, то при переходе на очередную сторону направление, в котором мы движемся, меняется на почти противоположное. Затруднений с примером для четного n как раз и не возникает – при обходе направление меняется на почти противоположное четное количество раз и становится исходным. В случае же нечетного n нам потребуется оценить возможный вклад этих «почти». Можно считать, что направлениям соответствуют лучи, выходящие из одной точки. На рисунках 5,a и 6,а показаны обходы многоугольников, а на рисунках 5,б и 6,б начала тех же лучей-направлений обхода перенесены в одну точку. Будем следить за тем, на какой угол изменяется направление. Некоторые повороты происходят по часовой стрелке, некоторые – против часовой. Направление

Рис. 5

31

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

i a - b £ - 1, тогда $10 \infty$ ◊ $b > 180 \infty$ ◊ 3, т.е. $n \ge b \ge 55$. Итак, во всех случаях количество вершин не меньше 35: $M \ge 35$.

Получаем пример

Из оценки следует, что вариант n 35 возможен лишь при a 19, b 16. Это помогает придумать пример: 4 подряд маленьких угла (в порядке обхода границы многоугольника), затем большой угол, затем снова маленький и так далее – маленькие углы чередуются с большими (рис.11).

Рис. 11

Осталось показать, что устроенный таким образом пример действительно существует и нам не помешают какие-нибудь противоречия, на которые мы еще не обратили внимания. Построение примера можно описать так. Возьмем треугольник, два угла которого меньше $10\infty$, а третий – меньше $170\infty$ (например: 9q, 9q, 162q). Больший его угол разрежем еще на 17 маленьких углов (на рисунке $12 их^{8).}$ Получится замкнутая ломаная, у которой часть звеньев друг на друга накладываются. В нем 19 маленьких углов и 16 углов в $360\infty$ (на рисунке они отмечены красным). Осталось последовательно подвигать вершины, чтобы стороны перестали накладываться друг на друга, но при этом маленькие углы остались маленькими. Таким образом будет получен искомый многоугольник. $Итак,^{M} = 35$. Задача решена.

Рис. 12

ШКОЛЬНИКОВ

Напоследок приведем еще две интересные задачи на затронутые темы.

Дополнительные задачи

1 (В.Произволов, «Задачи на вырост»). Каждый из углов 19-угольника кратен $10\infty$. Докажите, что у него найдутся две параллельные стороны.

2. Какое наибольшее количество острых углов может быть а) в выпуклом, б) в произвольном n-угольнике?

…из всех лучей, падающих из данной точки и отражающихся в данную точку, минимальны те, которые от плоских и сферических зеркал отражаются под равными углами. Герон Александрийский

Из всех путей от точки А к точке В свет выбирает тот путь, на который требуется наименьшее время. Пьер Ферма

По обе стороны от места наибольшего значения убывание вначале нечувствительно. Иоганн Кеплер

В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Леонард Эйлер

А так ли хорошо знакомы вам

?

экстремумы в физике

Как, располагая определенной суммой, выбрать в магазине максимальное количество необходимого товара; как затратить минимальное время на подготовку к экзамену, рассчитывая на высокую оценку? А вот задания посерьезнее: уменьшить до предела вес прибора, посылаемого на Марс; выпустить как можно больше продукции, используя ограниченное оборудование; добиться наименьших транспортных расходов при доставке грузов; запустить ракету на максимальную высоту при заданном запасе топлива… Это не что иное, как задачи поиска наибольших и наименьших значений, максимумов и минимумов, обобщенно экстремумов, или задачи оптимизации. Последние столетия физики и математики – порой вразнобой, чаще «нога в ногу» – бились над методами их решения и достигли, без преувеличения, превосходных результатов, продвинув их и в экономику, и в химию, и в медицину…

Вопросы и задачи

1. Вдоль железной дороги стоят километровые столбы на расстоянии 1 км друг от друга. Один из них покрасили в желтый цвет и шесть – в красный. Сумма расстояний от желтого столба до всех красных равна 14 км. Чему может быть равно максимальное расстояние между красными $столбами?^{2.}$ По одну сторону от прямой дороги расположены поселки А и В. Где на дороге нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарный путь до нее от поселков был $наименьшим?^{3.}$ Начальные положения и скорости двух равномерно движущихся кораблей показаны на рисунке. Как найти минимальное расстояние между $ними?^{4.}$ Определите минимальную скорость, с которой пловец может переплыть реку шириной d 40 м при условии, что его не должно снести на расстояние больше s 30 м. Скорость течения реки $2^{м}$ с $.^{5.}$ На графике представлена зависимость проекции ускорения прямолинейно движу- щегося тела от времени. В какие моменты скорость тела наименьшая; $наибольшая?^{6.}$ Из точки А тело движется по прямой с начальной скоростью, равной нулю, и останавливается в точке В. При этом оно может двигаться с постоянным по модулю ускорением и равномерно. Каков должен быть характер движения, чтобы его время было $минимальным?^{7.}$ Имеется множество гладких наклонных плоскостей с одинаковыми основаниями s, но разными высотами. При какой высоте h время соскальзывания тела по

$наклонной^{плоскости}$ будет минимальным?$^{8.}$ Какова скорость лопатки паровой турбины, при которой максимальная часть кинетической энергии бьющей в нее струи пара переходит в энергию вращения $турбины?^{9.}$ На диаграмме p, T процесс, проводимый с идеальным газом, изображается в виде окружности. Объем газа постоянен. Как определить графически, где масса газа максимальна и где $минимальна?^{10.}$ Давление идеального газа, расширяющегося по линейной зависимости, падает в два раза при удвоении объема. Начальная температура газа $T_{0}$. Чему равна максимальная температура в этом $процессе?^{11.}$ Найдите минимальное расстояние между предметом и его действительным изображением в тонкой линзе, фокусное расстояние которой F известно.

Микроопыт

Склейте противоположными сторонами прямоугольный лист кальки или бумаги для запекания. Полученную поверхность – произвольной формы в поперечном сечении – поставьте вертикально на дно плоской тарелки и медленно наливайте в нее воду, придерживая так, чтобы вода не могла внизу просочиться. Какую форму примет поверхность?

Любопытно, что…

…об экстремальных свойствах круга и шара в Древней Греции знали с 4 века до новой эры. Однако задачи подобного рода исследовались тогда только геометрическими методами, и каждая из них для своего решения требовала специфического приема. …общие подходы к изучению «спровоцированных» практикой экстремальных задач начали проявляться лишь в XVII веке, что привело к созданию дифференциального и интегрального исчисления – мощнейшего исследовательского инструмента естествознания. …Винченцо Вивиани, итальянский ученый, ученик Галилея, построивший по идее своего учителя маятниковые часы, а по поручению Торричелли выполнивший знаменитый опыт по доказательству существования атмосферного давления, был извес-

тен и своей книгой «О максимальных и минимальных значениях». …прозвучавшую еще у Герона мысль о том, что природа управляется экстремальными принципами, развил Ферма. От идеи кратчайшего пути, выбираемого светом, он пришел к утверждению о минимуме времени, затрачиваемого на прохождение неоднородной среды, что позволило ему вывести закон преломления света. …подтверждением того, что природа пользуется экстремальными решениями, служит форма ячеек пчелиных сот, на строительство которых при заданном объеме идет наименьшее количество воска, или форма мыльной пленки, ограниченной двумя проволочными кольцами и имеющей наименьшую площадь поверхности. …изучая движение центров тяжести тел, Торричелли опирался на принцип, носящий сейчас его имя и гласящий, что механическая система в состоянии с наименьшей потенциальной энергией находится в равновесии. …из всех шариков, скатывающихся по разным гладким желобкам из одной определенной точки в другую, быстрее всех у цели окажется шарик, скользящий по циклоиде (или брахистохроне). С решения этой и аналогичных задач, возникающих в геометрии, механике, физике, началось создание вариационного исчисления. …дальнейшее развитие теории экстремальных задач в XX веке было вызвано потребностями космонавтики, энергетики, транспорта, что привело к бурному росту таких научных направлений, как линейное программирование, оптимальное управление и теория катастроф.

Что читать в «Кванте» об экстремумах в физике

(публикации последних лет)

1. «Задачи с экстремумами» – 2015, №1, с.46; 2. «Принцип Ферма и необычное поведение света» – 2017, №2, с.27; 3.«Движение тел в гравитационном поле» – 2018, №9, с.29; 4. «Исследуем сферу ЭКСПО-2017» – 2019, №3, с.34; 5. «Относительность движения в задачах динамики» – 2019, №4, с.40; 6. «Муравей на консервной банке» – 2020, №2, с.31.

Материал подготовил А. Леонович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Волшебники Джона Конвея

К.КНОП

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК Джон Хортон Конвей знаменит не только разработанной им комбинаторной теорией игр, но и огромным вкладом в занимательную математику. Одну из самых интригующих задач Конвея я впервые услышал в пересказе Т.Ховановой [1], именно этот рассказ и послужил основой для данной статьи. Вот эта задача: Вчера вечером я ехал в одном автобусе с двумя волшебниками и подслушал их беседу: A: У меня есть несколько детей, возраст каждого из них – целое положительное число, причем их сумма равна номеру этого автобуса, а произведение – моему собственному возрасту. B: Как интересно! Возможно, если ты скажешь мне свой возраст и число твоих детей, я смогу вычислить их возраста? A: Нет, не сможешь. B: Ага! Наконец-то я узнал твой возраст. Каким был номер автобуса, в котором мы ехали? Начну с замечаний. Автор головоломки – Джон Конвей – тщательно продумывал весь ее антураж. В частности, местом действия выбран автобус (bus), потому что вместе с возрастом первого волшебника (age) и количеством его детей (children) у Конвея получились удобные обозначения для трех числовых величин – a, b, c. Пожалуй, я тоже сохраню именно эти обозначения. Итак, пусть a – возраст первого волшебника, b – номер автобуса (неизвестный нам, но известный второму волшебнику), а c – количество детей первого волшебника. Второе замечание касается фразы волшебника А «Нет, не сможешь». В этом утверждении волшебник вовсе не сомневается в интеллектуальных способностях своего друга. Оно означает, что даже по полностью известной тройке чисел a, b, c невозможно

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200804

однозначно определить возраста детей. Иначе говоря, имеются несколько разных наборов возрастов детей, которые дают одни и те же значения a, b, c. Давайте будем называть такие наборы возрастов конвеевскими, или К-наборами. Безумно красивой эту головоломку делает то, что к ней очень непросто подступиться. Если бы нам был известен возраст волшебника (число a), то можно было бы перебрать его делители и найти все варианты их сумм. Если бы был известен номер автобуса (b) – можно было бы разложить его различными способами в сумму слагаемых и получить варианты для их произведений. И даже если бы нам было известно всего лишь число детей (c), все равно объем перебора был бы уже существенно меньшим. Некоторые мои знакомые тратили на программирование перебора вариантов несколько часов и только тогда соображали, как подступаться к правильному решению. Не правда ли, задача кажется совершенно недоопределенной, т.е. допускающей разные решения? Вот одно из типичных рассуждений. Допустим, они едут в автобусе номер 21 (b 21), волшебнику 96 лет (a 96) и у него трое детей (c 3). Это значит, что их возраста – три натуральных числа с суммой 21 и произведением 96. Таких троек чисел есть две: 1, 8, 12 и 2, 3, 16, т.е. действительно если даже второй волшебник узнает все это, он не сможет определить возраста детей. Разве этот ответ не годится? Почему? Разве мы не нашли числа, удовлетворяющие всем условиям из диалога волшебников? Нет, не нашли. Ответ «96 лет, автобус номер 21, 3 ребенка» не годится потому, что не учитывает самую последнюю реплику – о том, что волшебник B смог выяснить возраст волшебника А. Смог бы он это сделать, зная только номер автобуса? Иными словами, нет ли других К-наборов чисел с тем же b, но другим a? Чтобы ответить на этот вопрос, поставим его иначе. Нет ли других К-троек чисел с меньшим b и другим a? Ведь если они отыщутся, то можно просто добавить к ним несколько годовалых детей так, чтобы общая сумма чисел (число b) в получившемся Кнаборе оказалась равной 21. При этом произведение (число a, т.е. возраст волшебника) не поменяется и останется отличным от старого. И действительно, такие K-тройки легко найти: например, это 1, 5, 8 и 2, 2, 10. Добав-

42

КВА НT 2020/№8

ляя к ним годовалых детей, можно получить К-набор с любым b! 14 (а возраст волшебника при этом – 40 лет). А из К-наборов 1, 6, 6 и 2, 2, 9 аналогичная операция дает К-набор с любым b! 13, при этом волшебнику 36 лет. Таким образом, номер автобуса не может быть больше 13 – ведь в этом случае волшебник В не смог бы понять, 40 лет его напарнику или 36 (а возможно, и еще какие-то варианты нашлись бы). Кажется, мы ухватили эту головоломку за правильный «хвост». Нам нужно отыскать наименьший номер автобуса, дающий два К-набора – и тогда все последующие значения номеров не будут годиться.

Лирическое отступление

Мог ли у волшебника А быть всего один ребенок? Очевидно, нет: тогда бы его возраст совпадал и с номером автобуса, и с возрастом А, причем это единственный случай, когда b a. Следовательно, узнав (вычислив) a, волшебник B сразу бы определил число детей (с 1) и возраст этого ребенка, – но ведь мы должны верить А, который утверждает, что этого невозможно сделать. А как насчет двух детей (c 2)? Тогда, вычислив возраст a и зная номер автобуса b, волшебник B знал бы сумму и произведение двух натуральных чисел. Сможет ли он найти сами числа? Геометрическая аналогия этой задачи – известны полупериметр и площадь прямоугольника, стороны которого мы хотим найти (рис.1). Оказывается, что в

Рис. 1

этом случае можно узнать сами числа (в геометрическом варианте – стороны прямоугольника) даже в том случае, когда они не являются целыми, однако для этого нужно уметь решать квадратные уравнения. В нашем же случае можно обойтись простым перебором: найти все пары чисел с заданной суммой, начав с пары 1 и b 1, и затем «сближая» числа – их произведение при этом будет расти. В тот момент, когда произведение окажется равным a, нужные числа найдены. Таким образом, и для двоих детей А не мог бы сказать «Нет». Следовательно, при переборе можно отбросить все варианты с одним и двумя детьми.

А можно ли еще что-то отбросить? Да. Поскольку мы хотим найти минимальный номер автобуса, дающий неоднозначность выбора возрастов детей, то в разных Кнаборах не должно быть совпадающих чисел – потому что если бы они были, то их можно было бы убрать из каждого набора, и тогда номер автобуса (сумма) оказался бы еще меньшим. Например, если в одном из наборов есть годовалый ребенок, то в другом его быть не должно. Следовательно, в одном из К-наборов все дети старше года. Подведем промежуточные итоги. Мы сейчас будем искать разложения номера автобуса b в сумму нескольких натуральных слагаемых, больших 1. При этом рассматриваем только такие разложения, в которых число слагаемых не меньше 3, а сам номер автобуса не больше 12 (потому что для 13 мы уже знаем нужную пару К-наборов, а хотим либо найти еще меньшую, либо убедиться, что ее нет). Поехали! Перебирать варианты, безусловно, не самая приятная работа, однако порой необходимая для успешного решения жизненных задач. В нашем переборе мы будем отмечать значком строки с теми значениями a, которые встречаются (во всем переборе) более одного раза, причем с разными b. Сначала перечислим разложения, в которых каждое слагаемое больше 1: 6 2 + 2 + 2 (a 8) 7 2 + 2 + 3 (a 12) 8 2 + 2 + 2 + 2 (a 16) 8 2 + 2 + 4 (a 16) 8 2 + 3 + 3 (a 18) 9 2 + 2 + 2 + 3 (a 24) 9 2 + 2 + 5 (a 20) 9 2 + 3 + 4 (a 24) 9 3 + 3 + 3 (a 27) 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (a 32) 10 2 + 2 + 2 + 4 (a 32) 10 2 + 2 + 3 + 3 (a 36) 10 2 + 2 + 6 (a 24) 10 2 + 3 + 5 (a 30) 10 2 + 4 + 4 (a 32) 10 3 + 3 + 4 (a 36) 11 2 + 2 + 2 + 2 + 3 (a 48) 11 2 + 2 + 2 + 5 (a 40) 11 2 + 2 + 3 + 4 (a 48) 11 2 + 3 + 3 + 3 (a 54) 11 2 + 2 + 7 (a 28) 11 2 + 3 + 6 (a 36) 11 2 + 4 + 5 (a 40) 11 3 + 3 + 5 (a 45) 11 3 + 4 + 4 (a 48) 12 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (a 64)

43

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

12 2 + 2 + 2 + 2 + 4 (a 64) 12 2 + 2 + 2 + 3 + 3 (a 72) 12 2 + 2 + 2 + 6 (a 48) 12 2 + 2 + 3 + 5 (a 60) 12 2 + 2 + 4 + 4 (a 64) 12 2 + 3 + 3 + 4 (a 72) 12 3 + 3 + 3 + 3 (a 81) 12 2 + 2 + 8 (a 32) 12 2 + 3 + 7 (a 42) 12 2 + 4 + 6 (a 48) 12 2 + 5 + 5 (a 50) 12 3 + 3 + 6 (a 54) 12 3 + 4 + 5 (a 60) 12 4 + 4 + 4 (a 64) Перебор еще не окончен: ведь есть еще Кнаборы с единицей, причем их наверняка больше. Как быть с ними? Мы не будем выписывать их отдельно, но добавим к уже выписанным наборы из одного и двух слагаемых, а затем отследим каждый из вариантов по уже выписанной таблице – ведь добавление единицы или нескольких единиц (i) сохраняет произведение; (ii) увеличивает на сколько-то количество детей; (iii) увеличивает на столько же число b, т.е. сумму возрастов детей. К ранее выписанным наборам добавляются: 2 2 (a 2) 3 3 (a 3) … 11 11 (a 11) 4 2 + 2 (a 4) 5 2 + 3 (a 6) 6 3 + 3 (a 9) 6 2 + 4 (a 8) 7 3 + 4 (a 12) 7 2 + 5 (a 10) 8 4 + 4 (a 16) 8 3 + 5 (a 15) 8 2 + 6 (a 12) 9 4 + 5 (a 20) 9 3 + 6 (a 18) 9 2 + 7 (a 14) 10 5 + 5 (a 25) 10 4 + 6 (a 24) 10 3 + 7 (a 21) 10 2 + 8 (a 16) 11 5 + 6 (a 30) 11 4 + 7 (a 28) 11 3 + 8 (a 24) 11 2 + 9 (a 18) Суммы 12 и выше выписывать уже не станем, так как после добавления единиц они увеличатся.

КРУЖОК

Поскольку К-наборы должны иметь одинаковые а, нас будут интересовать только строки, отмеченные знаком. Выпишем все наборы снова, упорядочив по возрастанию a: 5 2 + 3 (a 6) 6 6 (a 6)

6 8

2 + 2 + 2 8 (a 8)

2 + 4 (a 8)

6 9

3 + 3 (a 9) 9 (a 9)

7 2 + 5 (a 10) 10 10 (a 10)

7 8

2 + 2 + 3 3 + 4 (a 12) 2 + 6 (a 12)

8 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + 4 10 2 + 8 (a 16)

4 + 4 (a 16)

8 2 + 3 + 3 (a 18) 9 3 + 6 (a 18) 11 2 + 9 (a 18)

9 2 + 2 + 2 + 3 2 + 3 + 4 (a 24) 10 2 + 2 + 6 (a 24)

10 11

2 + 3 + 5 (a 30) 5 + 6 (a 30),

10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 4 + 4 (a 32) 12 2 + 2 + 8 (a 32)

10 11

2 + 2 + 2 + 4

2 + 2 + 3 + 3 3 + 3 + 4 (a 36) 2 + 3 + 6 (a 36)

11 2 + 2 + 2 + 2 + 3 2 + 2 + 3 + 4 3 + 4 + 4 (a 48) 12 2 + 2 + 2 + 6 2 + 4 + 6 (a 48)

11 2 + 3 + 3 + 3 (a 54) 12 3 + 3 + 6 (a 54) Ну а теперь уже дорешать головоломку до конца можно как угодно – например, отбрасывать все варианты, содержащие равные слагаемые (потому что если такие слагаемые есть, то после их отбрасывания получается другой набор, с меньшей суммой и меньшим произведением). А можем учесть, что большему значению суммы b в другом К-наборе соответствует большее число детей. Так или иначе, из всех выписанных строчек нам подходят всего две –

11 12

3 + 4 + 4 (a 48) 2 + 2 + 2 + 6 (a 48)

Они приводят к двум таким К-наборам: 12 1 + 3 + 4 + 4 2 + 2 + 2 + 6. Значит, ехали

44

КВА НT 2020/№8

они в автобусе номер 12, а первому волшебнику – 48 лет. Задача решена! Визуализацию решения этой задачи можно посмотреть в [4].

---

Попробуйте самостоятельно разобраться со следующими вариантами диалога волшебников. 1 (упрощение задачи Конвея, автор – Т.Хованова [1]). A: У меня есть несколько детей, возраст каждого из них – целое положительное число, причем их сумма равна номеру этого автобуса. B: Как интересно! Возможно, если ты скажешь мне число твоих детей, я смогу вычислить их возраста? A: Нет, не сможешь. B: Ага! Наконец-то я узнал, сколько у тебя детей. Каков номер автобуса? 2 (широко известная версия). A: У меня трое детей, возраст каждого из них – целое положительное число, причем их сумма равна номеру этого автобуса, а произведение $–^{36.} B:$ Но я не могу узнать, сколько им лет! A: Твоя дочь старше всех моих детей. B: Спасибо, этого хватает.

Сколько лет детям волшебника А и каков в этот раз номер автобуса? 3 (авторская версия [3]). A: У меня четверо сыновей, произведение их возрастов равно 180, а сумма их возрастов равна номеру этого автобуса. Б: Все равно информации недостаточно! А: Мой младший сын очень любит мороженое. Б: И этого еще недостаточно. А: А у старшего сегодня день рождения. Б: Спасибо, теперь я знаю, сколько им лет! 4. Волшебник поймал Алису и Боба и сказал каждому целое число от 0 до 10, причем их числа отличаются на единицу (и они об этом знают). Диалог: Алиса: Я не знаю твоего числа, а ты не знаешь моего. Боб: Я не знаю твоего числа, а ты не знаешь моего. Теперь ты знаешь мое число! Какое число было сообщено Бобу?

Литература 1. Tanya Khovanova. Conway’s Wizards. – https: arxiv.org abs 1210.5460 2. С.Артемов, Ю.Гиматов, В.Федоров. Много битов из ничего. – «Квант», $1977, №3.^{3.}$ К.Кноп. Задача о детях бармена. – https: $knop.livejournal.com^{375403.html} 4.$ А.Перепечко. Визуализация задачи Конвея. – https: kvantik.com extra conway-bus

ЛА Б ОРАТОРИ Я « КВА Н ТА »

Загадочные шары

С.НОВИКОВ

ВЖИЗНИ КАЖДОМУ ЧЕЛОВЕКУ порой приходится иметь дело с закрытым (зачастую незнакомым) объектом, о внутреннем устройстве которого можно лишь догадываться. Такие объекты становятся своеобразными «черными ящиками», когда внешнему наблюдателю доступны лишь входные и выходные сигналы (или какие-либо их величины), а что происходит внутри – неизвестно. О поведении черного ящика можно

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200805

судить, лишь наблюдая реакции выходных величин на изменение входных. Это дает возможность в конечном итоге раскрыть «секрет» такого объекта. Возможно, вы уже встречались с черными ящиками – например, в задачах по электричеству. В нашем же случае в качестве черных ящиков выступают десять одинаковых с виду пластмассовых шаров диаметром 75 мм, внутреннее содержание которых неизвестно. Сначала мы опишем поведение шаров в разных опытах-ситуациях. Попробуйте высказать свои соображения, объясняющие причины того, почему шар (или шары) ведет себя определенным образом в описанной ситуации. И лишь потом читайте наши объяснения.

Эксперименты с шарами

Опыт 1. Шары под номерами 1 и 2 устанавливаются на одинаковой высоте на наклонной плоскости. Затем шарам дается

45

ЛА Б ОРАТОРИ Я

возможность одновременно начать движение вниз. При этом обнаруживается, что один из шаров достигает нижнего положения раньше другого шара. Почему? Опыт 2. Шар под номером 3 сначала удерживается в верхней части наклонной плоскости, а затем освобождается от внешнего воздействия. Шар начинает неспешно скатываться, но делает это очень (и очень) медленно. Что может быть причиной такого неспешного движения? Опыт 3. Шар под номером 4 начинает двигаться из верхнего положения на наклонной плоскости вниз скачками, имитирующими движение тела «шажками». Если шар в верхнем положении повернуть в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости, на некоторый угол и вновь отпустить, то поведение шара при скатывании не меняется. Чем может быть вызвано такое скачкообразное движение шара? Опыт 4. В опыте участвуют шары под номерами 5 и 6. Шары помещают на горизонтальную поверхность, и каждый шар самостоятельно устанавливается на этой поверхности в состоянии покоя только в одномединственном положении. Подействовав рукой на вершину каждого шара, отклоняют его на некоторый достаточно большой угол от вертикали. После этого шар под номером 5 очень быстро (!) возвращается в первоначальное состояние. Если этот же шар отклонить от вертикали в какую-нибудь другую сторону и отпустить, то он вновь немедленно возвращается в первоначальное положение. Шар же под номером 6 после устранения внешнего воздействия совершает достаточно длительные по времени колебания и лишь затем возвращается в первоначальное состояние покоя. Кроме того, если оба шара подержать в руках, то первое ощущение говорит о том, что массы шаров достаточно значительные, а внутри шаров не чувствуется какихлибо перемещений тел. Почему же шары так по-разному ведут себя, прежде чем возвратиться в первоначальное состояние покоя? Опыт 5. На фото на рисунке 1 представлен неподвижно лежащий на горизонтальной поверхности шар под номером 7. Рядом с шаром находится отвес, направление нити которого совпадает с белой (назовем ее осевой) линией на корпусе шара. А на фото на рисунке 2 показан этот же шар, который находится в покое на наклонной плоскости,

« КВА Н ТА »

Рис. 1

Рис. 2

не проявляя никаких попыток нарушить состояние неподвижности. Теперь белая линия на корпусе шара не параллельна нити отвеса, а направлена перпендикулярно наклонной плоскости. При этом шар может находиться в неподвижности на наклонной

46

КВА НT 2020/№8

плоскости, имеющей и другие (большие) углы наклона. И снова осевая линия шара перпендикулярна наклонной плоскости. Почему возможно такое поведение шара на наклонной плоскости? Опыт 6. Шар под номером 8 размещается на наклонной плоскости, и он остается там в неподвижности в том положении, в котором его поместили на плоскость. Если шар, не отрывая от наклонной плоскости, повернуть на некоторый угол в любую сторону, то он останется неподвижным и не предпримет никаких попыток к скатыванию. Такие действия можно повторить неоднократно, однако поведение шара (его неподвижность на плоскости) останется неизменным. Почему? Опыт 7. Шар под номером 9 (фото на рисунке 3) подвешен с помощью нити к лапке штатива. К корпусу шара с помощью скотча прикреплена пальчиковая батарейка, а на корпусе шара имеются два отверстиягнезда для подключения этой батарейки к шару. Если с помощью подводящих проводов соединить шар с батарейкой, то шар начинает вращаться либо по часовой стрелке, либо против (при наблюдении сверху). Если же поменять полярность батарейки, то

шар будет вращаться в другую сторону. Что может быть причиной такого двойственного поведения шара? Опыт 8. Шар под номером 10 с помощью скотча прикреплен к небольшой щетке для чистки одежды (фото на рисунке 4). Щетка с шаром находятся на горизонтальной поверхности, а на корпусе шара опять имеются

Рис. 4

гнезда для подключения его к пальчиковой батарейке. Если такое подключение осуществить, то шар начинает вибрировать, а щетка начинает двигаться в определенном направлении. При смене полярности батарейки направление движения щетки с шаром меняется на противоположное. Почему?

Объяснения экспериментов

Рис. 3

Опыт 1. Ответ «лежит на поверхности»: масса одного шара больше массы другого. Быстрее скатится с наклонной плоскости более легкий шар, в нашем случае он пустой. У массивного шара момент инерции больше, чем у пустого, и ему для придания вращения нужна значительно большая энергия. Для демонстрации этого опыта у нас внутрь второго шара был помещен кусок поролона с большим числом вкрапленных в него массивных свинцовых шариков-дробинок. Опыт 2. Внутри шара может находиться «сыпучее» вещество. При скатывании шара вещество медленно перемещается из более верхнего положения в нижнее. Это и замедляет движение шара вниз по наклонной плоскости. В нашем варианте для этого использовались мелкие (не более 1 мм в диаметре) свинцовые дробинки.

47

ЛА Б ОРАТОРИ Я

Некогда я увидел этот опыт на внеклассном мероприятии учителей физики в гимназии п. Удельная Московской области. В их варианте внутрь шара был помещен жидкий мед. Эффект опыта был впечатляющий.

Опыт 3. Внутрь нашего шара был помещен массивный кусок свинца кубической формы. При скатывании шара с наклонной плоскости куб переворачивался. Это и придавало шару скачкообразный характер движения. Опыт 4. Оба шара демонстрируют устойчивое положение равновесия. Устойчивость тела, имеющего точку опоры, имеет место тогда, когда его центр тяжести занимает наиболее низкое положение из всех возможных. Пятый шар иллюстрирует поведение детской игрушки «неваляшки». Внутри шара к его корпусу прикреплен с помощью клея массивный свинцовый груз. В состоянии покоя (устойчивого равновесия) центр масс шара расположен очень низко, недалеко от точки опоры. Кроме того, точка центра масс и точка опоры лежат на одной вертикальной (отвесной и осевой) линии. Когда шар наклоняют, его центр тяжести поднимается и смещается в сторону по отношению к точке опоры и вертикальной линии. Момент силы тяжести относительно точки опоры стремится вернуть шар в первоначальное состояние. Внутри шестого шара чуть ниже его экваториальной плоскости размещен массивный свинцовый диск («бублик» с прямоугольным сечением), который жестко прикреплен к корпусу. Отличие от пятого шара заключается в том, что его центр масс находится высоко от точки опоры. При наклоне шара плечо силы тяжести относительно точки опоры оказывается значительно большим, чем в случае с «неваляшкой». Поэтому и момент силы тяжести относительно точки опоры будет больше, чем в предыдущем случае. В результате амплитуда колебаний шара увеличивается, а значит, увеличивается и время затухания колебаний. Опыт 5. Внимательно посмотрев на фотографию на рисунке 3, можно увидеть на поверхности наклонной плоскости материю. Оказывается, под материей спрятана пластина из железа. Шар удерживается на такой наклонной плоскости малогабаритным неодимовым (в форме таблетки) магнитом, который с помощью клея прикреплен к его внутренней поверхности. Опыт 6. Внутри шара находится неодимовый магнит в «свободном» состоянии. При

« КВА Н ТА »

повороте шара на некоторый угол магнит скользит по его внутренней поверхности, занимая новое положение, а шар продолжает оставаться неподвижным. Опыт 7. Внутри шара имеется миниатюрный электродвигатель, который жестко прикреплен к корпусу. Ось вращения (вал) электродвигателя совпадает с направлением диаметральной вертикальной линии шара. На валу двигателя укреплен небольшой массивный диск. При подключении электродвигателя к источнику тока вал и массивный диск начинают вращаться в определенную сторону. Корпус же шара при этом поворачивается в другую сторону. Все это является следствием проявления закона сохранения момента импульса. Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса этого тела остается постоянным. Если же у неподвижного тела какая-то его часть приобретает некоторый момент импульса, имеющий определенный знак (момент импульса – векторная величина), то некоторая другая его часть непременно приобретет момент импульса противоположного знака.

Закон сохранения момента импульса учитывается при конструировании вертолетов. Так, вертолеты конструкции М.Л.Миля имеют два винта. Первый винт-ротор вращается в определенном направлении в горизонтальной плоскости над кабиной вертолета. А чтобы корпус вертолета не вращался в другую сторону, позади него размещен хвостовой винт, который, работая, препятствует вращению корпуса. В вертолетах, изготовленных по разработкам Н.И.Камова, имеются два винта-ротора, размещенных на одной оси над кабиной, но вращающихся в противоположных направлениях.

Опыт 8. Внутри шара находится миниатюрный электродвигатель, который жестко прикреплен к корпусу шара. На вал электродвигателя насажен диск, причем так, что его ось смещена относительно оси вала (говорят – диск насажен с эксцентриситетом). В результате при работе электродвигателя возникают механические колебания, которые называются вибрациями. Эти вибрации и заставляют двигаться щетку вместе с шаром.

Колебательное движение эксцентриков используется в работе вибрационных конвейеров, предназначенных для транспортировки тонкодисперсных (до десятков микрон), зернистых и кусковых (до 1000 мм и более) материалов. Они часто применяются для перемещения руды в горнорудной промышленности.

51

ЭКЗАМЕ Н АЦИО НН ЫЕ

закрашено краской. Найдите минимальный размер области, которую надо очистить от краски, чтобы через нее было видно все нижнее основание. Показатель преломления стекла 1,5. (10 б.)

Информатика

Отборочный тур Избранные задачи

1. Ученые-яблокоедоведы построили математическую модель численности популяции яблокоедов. Входные данные: Р – численность популяции; N – длительность периода моделирования в годах; U[i], i=1..N – булевские переменные, значение Истина означает, что i-й год был урожайным на яблоки. Алгоритм расчета:

Ввод P, N НЦ Для i От 1 До N Если U[i]=Истина То P := P * A Иначе P := P * B Всё КЦ Вывод P

Когда яблокоедоведы ввели в модель текущую численность популяции и выданные коллегами-яблоковедами прогнозы урожайности яблок на 5 ближайших лет, результатом оказалось число 4725 – столько яблокоедов будет через 5 лет по мнению математической модели. Какова текущая численность популяции яблокоедов, если известно, что А и В – натуральные числа и А! B? 2. Школьник Сидор недавно открыл для себя системы счисления. Особенно понравились ему «круглые» числа – где 1 и потом много ноликов. Сидору понравилось записывать такие числа из разных систем счисления (записывал он их, естественно, в той системе, в которой они были круглыми, причем в порядке возрастания). Числа он записывал подряд, без просветов – получалась строка из цифр. Например, в двоичной системе начало этой строки было таким: 110100100010000… Писал числа Сидор на листочках для заметок, когда листок заканчивался – Сидор дописывал остаток числа на следующем листке (листках) и далее, когда число заканчивалось, начинал следующее. Сколько единиц

МАТЕРИАЛЫ

оказалось у Сидора на 33-м листке, если числа он писал в троичной системе, а на листке помещается ровно 333333 цифры? 3. Вам предстоит пройти небольшой квест из взаимосвязанных заданий. 1. Оцените истинность приведенных ниже высказываний (1 – истина, 0 – ложь). Выпишите ответы подряд. x Наши минуты и секунды – наследие системы счисления древних шумеров. x Диапазон возможных значений у байта без знака вдвое меньше, чем у байта со знаком. x Существуют недвоичные компьютеры. x В троичной системе счисления четные числа оканчиваются нулем. x Компьютер не выполняет арифметические операции, а просто берет их результаты из таблиц. $x BA_{N}$! $AB_{N}$ при любом натуральном N! 9. x Любое двоичное число, нацело разделенное на 2, равно тому же числу, побитно сдвинутому вправо. x В системе счисления с основанием 21 E + F = 19. 2. Трактуя ответ задания 1 как двоичное число, найдите максимальное число, которое можно получить из него за несколько (от 0 до 7) циклических сдвигов влево. 3. В какой системе счисления результат задания 2 записывается как А2? 4. Переведите результат задания 1 в десятичную систему счисления. Затем определите значение этого числа, если трактовать его как представленное в системе счисления с основанием, равным трети ответа задания 3. 4. Назовем палиндриндексом натурального числа количество систем счисления, в которых число многозначно и симметрично (рассматриваются системы счисления с основаниями от 2 до 36). Например, палиндриндекс числа 46 равен 3, так как $46 232_{4} 141_{5} 22_{22}$. А вот у числа 47 палиндриндекс равен 0. Найдите в интервале от 600 до 666 два последовательных числа с палиндриндексом 0. В качестве ответа введите их сумму. 5. В старом замке с каждым ударом часов появляется призрак. Время жизни призрака S секунд. Бьют часы, как полагается, столько раз, сколько часов прошло с момента последней полуночи или последнего полудня. Пер-

52

КВА НT 2020/№8

вый удар следует ровно в момент наступления очередного часа, интервал между ударами 1 секунда. Требуется сосчитать максимальное возможное количество призраков в замке. …Стоп, не начинайте пока писать программу! Дело в том, что замок расположен не на Земле. Там, где он находится, в сутках по 2*H часов, а в часе M минут, в минуте М секунд. Гарантируется, что входные данные корректны, число призраков конечно. 1) Найдите максимальное число призраков при H 12, M 60, S 10808. 2) Найдите максимальное число призраков при H 29, M 99, S 29410. 6. Дан алгоритм (рис.4). Сколько существует различных пар значений А и В, при которых алгоритм зацикливается?

Рис. 4

Рис. 5

7. Число N – байт без знака; AND, OR, NOT – поразрядные логические операции. Из приведенных ниже высказываний выберите те, которые, будучи истинными, несут ровно 3 бита информации о числе N. A. (NOT N)! 3 B. N OR 229 239 C. N OR 28 0 D. N AND 90 2 E. N 32 F. N AND 168 128

Заключительный тур

1. Большая закупка (8 баллов) Вы ведете закупки материалов в фирме, занимающейся ремонтом квартир. Краска у вашего поставщика продается в ведрах и в банках. Имеется электронная таблица (рис.5). Предполагается, что при внесении в столбец «Количество» количества краски, которое требуется, в столбце «Стоимость» появляется минимальная сумма, которую следует заплатить для приобретения количества литров краски не меньше требуемого. Какую формулу следует записать в ячейке G6, чтобы выполнять необходимые расчеты? Формула должна быть тиражируемой (таблица тянется вниз на много строк). Гарантируется, что объем ведра не меньше объема банки.

2. Непарное число (12 б.) Имеется функция f (рис.6), работающая с двумя байтами без знака, результат – тоже байт без знака. Студент Сидор написал программу, которая присваивает переменной S сначала значение 0, а потом в цикле 101 раз получает с клавиатуры число Х и присваивает S значение f(S, X). Когда Сидор запустил программу, он ввел 101 число, при этом

53

ЭКЗАМЕ Н АЦИО НН ЫЕ

МАТЕРИАЛЫ

Рис. 6

известно, что все числа, кроме 49-го по счету, встречались среди введенных дважды (не обязательно подряд). Каким было 49-е число, если известно, что 11-е число равнялось 200 и 77-м было число 3, а в результате программа вывела 55?

3. Линька яблокоедов (7 б.) Весной яблокоеды линяют, каждый из них старается сбросить все иголки. Но в силу особенностей организма яблокоеды сбрасывают иголки только пачками: яблокоед может при любом количестве иголок, не меньшем 3, сбросить 3 иголки, кроме того, при четном количестве иголок он может сбросить половину из них, а при нечетном не меньше 5 может сбросить 4 иголки. При этом если количество иголок у яблокоеда после его изменения делится без остатка на 3, то у него отрастают 4 новые иголки, а если оно не делится на 3, но делится на 7 – то 6 новых иголок. В вольере 4 линяющих яблокоеда. В данный момент у первого 31 иголка, у второго 73, у третьего 19, у четвертого 122. У скольких из них есть возможность сбросить все иголки (количество сбросов не ограничено)?

4. Пометка территории (15 б.) Будучи помещенным в свободную ячейку стеллажа-массива, яблокоед начинает метить территорию. Делает он это по такому рекурсивному алгоритму (описан он слегка неформально, но Яблокоеду понятно; рис.7). Выполняя его, яблокоед постепенно захватывает весь стеллаж, кроме занятых ячеек и

Рис. 7

ячеек, отгороженных занятыми от доступного яблокоеду пространства. Яблокоеда поместили в верхний левый угол – ячейку с координатами (1, 1) – стеллажа-массива размером 2n + 1 на 2n + 1, 1 < n < 1000, в котором в среднем «столбце» и в средней «строке» все ячейки, кроме центральных трех, заняты. а) В какой ячейке яблокоед закончит захват стеллажа при n = 4? б) В какой ячейке яблокоед закончит захват стеллажа при n = 789?

5. Первоклашки (15 б.) Семь первоклашек стоят в одном ряду. Каждый из них может находиться в одном из двух состояний: 1 – смотрит в телефон, 2 – жует бутерброд. Известно, что крайнего правого первоклашку можно перевести из наблюдающего в жующее состояние, просто вытащив из рук телефон и подсунув бутерброд (и наоборот). Состояние других первоклашек можно изменить, только если ближайший справа первоклашка смотрит в телефон, а остальные первоклашки справа (если они есть) жуют бутерброды. За 5 секунд можно изменить состояние только одного первоклашки. Вначале все первоклашки смотрят в телефон. Так как наступил обеденный перерыв, необходимо перевести их всех в жующее состояние. За какое минимальное количество секунд преподаватель сможет это сделать?

54

КВА НT 2020/№8

6. Зашифрованный пароль (8 б.) Петя зарегистрировался на сайте и, чтобы не забыть слово-пароль, решил выписать его в блокнот, перед этим зашифровав. Вот что написано в блокноте Пети:

1101111111100001110000001110

Какое слово было использовано для пароля? Условие Фано Петя, к счастью, еще не проходил.

7. Заклинания (10 б.) В Хогвартсе практическое занятие: 200 учеников идут вдоль аллеи из 200 яблонь и отрабатывают заклинания «Расцветамус» и «Опадамус». Первый ученик заставляет все яблони расцвести. Второй меняет состояние каждой второй яблони, и с четных яблонь цветы осыпаются. Третий меняет состояние каждой третьей яблони на противоположное, то же проделывает четвертый с каждой четвертой яблоней и т.д. Сколько цветущих яблонь будет на аллее после окончания занятия?

8. Блогеры (10 б.) Дуся и Буся – блогеры, записывающие аудио-подкасты. Сегодня они записывали свои подкасты про проблемы подснежников зимой без снега и начали запись одновременно. Дуся записывала свой монолог на телефон с одноканальным микрофоном, поддерживающим частоту дискретизации 24576 Гц c глубиной звука в 32 бита. Буся записывалась на студии в стереорежиме с четырьмя каналами записи, каждый из которых поддерживал частоту дискретизации 98304 Гц с глубиной звука в 64 бита. Дуся записывала сообщение 4 минуты, потом 6 минут готовила к загрузке (на информационном объеме файла это не отразилось) и начала загружать на свой канал, причем скорость ее соединения составила

1 МБит/с. Буся ничего не редактировала и сразу после завершения записи начала выкладывать свою запись со скоростью 2 Мбит/с. Сколько минут записывалась Буся, если известно, что подкасты загрузились одновременно?

9. Логическое выражение (5 б.) Замените логическое выражение тождественным ему, содержащим не более одной логической операции:

$( A \int ( ÿ A > B ) ) Ÿ ( B \int ( B Æ A ) )$.

10. Поисковые запросы (10 б.) На рисунке 8 представлены результаты выполнения нескольких поисковых запро-

Рис. 8

сов в пределах домена. Сколько бит информации о значении Х несет в себе сообщение «По запросам “ананас & беспредел” и “ананас & валторна” выдается одинаковое количество результатов» при условии, что значение Y известно и лежит в пределах от 25 до 35?

Публикацию по математике подготовили И.Комарчев, А.Моисеев, С.Преображенский;

по физике – Т.Андреева, М.Крупина, В.Кузьмичёв;

по информатике – С.Костоуров, Е.Крылова, К.Плотникова