Квант 2020, №10 · Страницы

3

ФИЗИКА,

ГЕОМЕТРИЯ

Рис. 2. Кристаллическая структура алмаза представляет собой гранецентрированную кубическую решетку, в которую включено четыре дополнительных атома углерода. Каждый атом окружен четырьмя соседями, которые образуют правильный тетраэдр

о существовании двух кристаллических модификаций углерода – довольно распространенного графита и алмаза. Алмаз – редко встречающийся кристалл, крупные образцы которого может создавать только природа при экстремальных температурах и давлениях. И все же химически алмаз являет собой самую простую модификацию углерода (рис.2): в ней каждый атом имеет четырех соседей, с которыми образует очень прочные химические связи, называемые ковалентными. Стремление атома углерода иметь четырех соседей – результат довольно простых законов химии. Действительно, в атоме углерода, шестого элемента периодической таблицы, имеется шесть электронов. В упрощенной модели электроны распределяются вокруг ядра по оболочкам. Два ближайших к ядру электрона образуют «замкнутую оболочку»: они химически инертны. Остальные четыре электрона находятся на второй, более удаленной от ядра оболочке. Однако на ней хватило бы места и для восьми электронов, а атомы, как правило, стремятся иметь такую электронную структуру, чтобы их внешняя оболочка была заполненной. Это найден-

И

КРАСОТА

ное химиками древности «правило октета» (или, для самых легких элементов, «правило дуэта») – закон, который современные ученые объясняют с помощью квантовой механики. Ради его соблюдения атомы готовы получать или терять электроны, образуя ионы, или делить электроны с другими атомами, создавая ковалентные связи. В алмазе каждый из четырех электронов внешней оболочки соединяется с электроном внешней оболочки другого атома с образованием четырех связей C–C, и, таким образом, правило октета оказывается соблюденным. Итак, каждый атом в алмазе имеет четырех соседних. Полученная таким образом структура оказывается невероятно прочной, и поэтому алмаз является очень твердым веществом. Как мы уже упоминали, алмаз – редкая модификация углерода. По прихоти химии атомы углерода более склонны образовывать двумерную структуру, в которой каждый из них связывается только с тремя другими. Таков двумерный кристалл – графен (рис.3). Оставшийся незадействованным четвертый электрон внешней оболочки (один на атом) готов участвовать в формировании слабой связи, которая соединяет между собой один слой графена с другим, другой с третьим и т.д. В результате такой упаковки формируется графит – наиболее распространенная форма кристаллического углерода (рис.4). Это твердое темное вещество может служить,

Рис. 3. Графен состоит из атомов углерода, образующих решетку в виде сот

4

КВАНТ 2020/№10

a)

б)

Рис. 5. а) Молекула $C_{60}$ воспроизводит форму футбольного мяча, который состоит из кожаных пятии шестиугольников. б) Молекула $C_{70}$ отдаленно напоминает мяч для регби

Рис. 4. Графит состоит из совокупности слабо связанных между собой слоев графена (эти слабые связи изображены пунктиром)

например, в качестве грифеля в обычном карандаше. Соединяющие между собой слои графита слабые связи оказываются непрочными, и их довольно легко разорвать. Например, наклеивая на графит скотч и отрывая его, легко несколько слоев отделить; повторив такую процедуру несколько раз, в конце концов можно получить и единичный слой графена. Этот простой и нашедший широкое применение метод принес в 2010 году Нобелевскую премию по физике Андрею Гейму и Константину Новоселову. Часто электрон внешней оболочки, не находящий себе ковалентной связи, немного усиливает три связи своих собратьев с электронами соседних атомов. Вместо того чтобы упаковываться с другими слоями в трехмерный графит, слой графена деформируется, переставая быть плоским, и спонтанно образует необычные структуры. Опишем некоторые из них.

образуют 20 шестиугольников и 12 пятиугольников, воспроизводя таким образом форму футбольного мяча (рис.5,a). Впоследствии, после открытия молекулы $C_{60}$, в природе были обнаружены или синтезированы и другие, более крупные, молекулы, также состоящие из шестии пятиугольников. Так, например, молекула $C_{70}$ скорее имеет форму мяча для регби: она состоит из 25 шестиугольников и 12 пятиугольников (рис.5,б). К таким молекулам относится и гигант $C_{540}$ (рис.6), который довольно легко получается путем испарения графита посредством облучения лазерным импульсом или дугового разряда. Такие молекулы, возможно, могут входить в состав межзвездной пыли. Все эти молекулы, принимающие форму выпуклых многогранников и имеющие формулу $C_{2} n$, где n – целое число, могут

Когда углерод играет в футбол

В результате наблюдений и анализа исследователи в разных частях мира пришли к выводу, что в саже и пламени свечи появляется небольшое количество специфического вещества, молекулы которого состоят из 60 атомов углерода $( C_{60} ).$ Атомы углерода в нем связываются так, что

Рис. 6. Молекула $C_{540}$

6

КВАНТ 2020/№10

а) a)

б)

Рис. 8. Две разновидности углеродных нанотрубок. a) Конструкция «кресла» имеет связи, перпендикулярные оси трубки. б) «Зигзагообразная» структура обладает связями, параллельными оси трубки

одного до нескольких десятков нанометров (рис.8). Углеродные нанотрубки создают в лабораториях различными способами: отрывая кусочки от углеродного блока при помощи лазера или электрической дуги или же путем осаждения подходящего углеродного пара. На самом деле мы, сами того не зная, производили их на протяжении веков, но только с появлением усовершенствованных инструментов сумели обнаружить эти нанообъекты. Нанотрубки, фуллерены и другие производные графена обладают электрическими и оптическими свойствами, которые будоражат умы физиков и в перспективе могут найти уникальные применения, скажем в фотоэлементах. Графеновая элект-

роника также обещает продлить действие закона Мура, позволив создавать транзисторы еще меньшего размера, чем используемые сегодня кремниевые. Нанотрубки имеют еще и замечательные механические свойства: они чрезвычайно устойчивы к растяжениям. Поэтому вскоре мы сможем увидеть легкие и прочные велосипеды и теннисные ракетки, созданные из композитных материалов, армированных углеродными нанотрубками диаметром в несколько микрон. Еще одна метаморфоза этого «особого элемента», воспетого Примо Леви!

Статья представляет собой главу из книги «Физика повседневности», выпущенной издательством «Альпина нон-фикшн» в 2020 году.

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров журнала. Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»_{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

15

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

Рис. 8

всех i, j. На картинке это означает, что матрица не изменится при отражении относительно главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол (рис.8). В оставшейся части статьи нас будут интересовать исключительно симметрические матрицы. Вектор размерности N – это столбец X высоты N, также состоящий из чисел $x_{j} ( 1 d j d N ).$ Матрицу A размера N u N всегда можно умножить на вектор той же размерности N; получится новый вектор, который обозначается через AX. В i-й позиции этого вектора помещается значение суммы $a_{i},1 x_{1}^{…} a_{i},_{N} x_{N}$; пример такого вычисления приведен на рисунке 8. Этот пример интересен еще и потому, что вектор AX оказывается гомотетичен исходному вектору X, т.е. существует такое число O, что $AX_{i} O x_{i}$ для всех 1 d i d N, или, в векторных обозначениях, AX O X. Векторы, обладающие этим замечательным свойством, называются собственными (для матрицы A), а «коэффициент $гомотетии»^{3} O$ – собственным значением, соответствующим собственному вектору X. У каждой матрицы есть тривиальный собственный вектор, а именно, состоящий из одних нулей нулевой вектор, но на первый взгляд непонятно, почему у A непременно должны быть какие-то другие. На самом деле у произвольной (т.е. не обязательно симметрической) матрицы их

3 Коэффициент

O вполне может быть нулевым или отрицательным!

Б УЛЕВЫХ

ФУНКЦИЙ

вполне может и не оказаться, и для полного понимания картины необходимо привлекать комплексные числа. Но для симметрических матриц все существенно проще: всякая такая матрица обладает полным набором $X^{1}$, … $, X^{N}$ линейно независимых (cм. следующий абзац) собственных векторов. Так, например, наша матрица A на рисунке 8, помимо уже известного нам собственного вектора $X X^{1}$ обладает еще двумя, $X^{2}$ и $X^{3}$. Тем самым у нас также появляется набор собственных значений $O_{1}$, … $, O_{N}$, соответствующих этим собственным векторам, причем (все это надо доказывать, конечно) с точностью до перестановки этот набор зависит только от матрицы A и называется ее спектром. В нашем примере спектр матрицы состоит из чисел 5, 1, 1; обратите внимание, что в нем появляются не только отрицательные числа, но и кратные значения, т.е. одному и тому же собственному значению могут соответствовать несколько (линейно независимых!) собственных векторов. В заключение нашего краткого экскурса в линейную алгебру скажем, как мы уже обещали, несколько слов про теорию размерности. Векторы $X^{1}$, … $, X^{M}$ размерности N называются линейно независимыми, если не существует никакой нетривиальной (т.е. такой, в которой хотя бы одно из $D_{i}$ отлично от 0) линейной комбинации $D_{1} X^{1}$ … $D_{M} X^{M}$, равной нулевому вектору. Число линейно независимых векторов M в такой системе не превосходит размерности N, и в случае M N система линейно независимых векторов называется базисом. Базисы можно также охарактеризовать в противоположных (или, как часто говорят математики, двойственных) терминах. Именно, система $X^{1}$, … $, X^{N}$ N-мерных векторов является базисом тогда и только тогда, когда любой другой N-мерный вектор Y можно выразить в виде линейной комбинации $D_{1} X^{1}$ … $D_{N} X^{N}$.

Упражнения

20. Докажите, что если $X^{1}$, … $, X^{N}$ – базис, то всякий N-мерный вектор обладает единственным представлением вида $D_{1} X^{1}$ … $D_{N} X^{N}$.

« КВАНТ » Д ЛЯ МЛА ДШ ИХ Ш КОЛЬНИКОВ

Задачи

На доске школьник написал неверное равенство:

красный — так, что квадраты, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Сколько может быть синих квадратов?

Сотрите одну черту, чтобы равенство стало верным.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных четных чисел?

Имеется 100 карточек. Какие бы 50 из них ни взять, среди них можно выбрать 30 таких, что какие бы 20 из них ни взять, из них можно выбрать 10 таких, что какие бы 5 из них ни взять, среди них окажется не менее 3 красных карточек. В то же время какие бы 80 карточек из 100 ни взять, среди них можно выбрать 20 таких, что

Каждая грань кубика разделена на 4 квадрата. Каждый квадрат окрашен в один из трех цветов — синий, желтый или какие бы 10 из них ни взять, среди них окажется не менее 2 синих карточек. Сколько красных и сколько синих карточек находится в колоде?

Автор этих задач – В.В.Произволов

19

ЗАДАЧНИК

воду. Делали это очень аккуратно, так что ни одного пузырька воздуха в трубе не оказалось. Труба с водой внутри долгое время в неподвижности «висела» посреди космической лаборатории, пока ее случайно не толкнули в направлении оси симметрии. Толчок был кратковременным, ’ $t 10^{3}$ с, и труба приобрела скорость v 1 см с. В дальнейшем труба то останавливалась, то вновь двигалась с приобретенной при ударе скоростью. Через большое время скорость трубы с водой установилась и стала равной 0,5 см с. Оцените период колебаний системы «вода-труба». Коэффициент поверхностного натяжения воды V 0,07 Дж $м^{2}$. Вязкостью воды при расчете периода колебаний можно пренебречь. Г.Агарин

Ф2631. Коллекторный двигатель постоянного тока, имеющийся в электродрели, при подаче на него напряжения 100 В вращается (на холостом ходу), делая в установившемся режиме 1000 оборотов в минуту. При сверлении отверстия в дереве двигатель производит механическую мощность 100 Вт на 700 оборотах в минуту при напряжении на нем 100 В. Какую максимальную механическую мощность сможет в течение длительного времени развивать такой двигатель, если на него подать напряжение 220 В? Д.Релев

Ф2632. Для звукового усилителя используется блок питания с трансформатором. В нем есть двухполупериодный выпрямитель из четырех идеальных диодов. Первичная обмотка трансформатора включена в сеть (220 В, 50 Гц). На выходе вторичной обмотки эффективное напряжение равно U 12 В, оно подано на этот самый выпрямитель. Амперметр постоянного тока, включенный между выпрямителем и усилителем, показывает средний ток I 1 А. Усилитель работал, но противно гудел на частоте 100 Гц и ее гармониках, так как конденсатор, стоявший на выходе выпрямителя параллельно нагрузке, вышел из строя. В распоряжении Васи оказались два конденсатора емкостями

«КВАНТА»

$C_{1} C_{2} 10^{3}$ мкФ и две катушки индуктивностями $L_{1} L_{2}$. Вася собрал такую схему, что гудение на частоте 100 Гц пропало вовсе, а на других частотах значительно уменьшилось. Нарисуйте схему, придуманную Васей. Чему равно сопротивление нагрузки? Какова индуктивность катушек? Считайте, что нагрузка представляет собой активное сопротивление и оно оставалось неизменным. С.Дмитриев

Решения задач М2610–М2613, Ф2617–Ф2620 M2610. Вершины правильного стоугольника покрашены в 10 цветов. Докажите, что можно выбрать 4 вершины этого стоугольника, являющиеся вершинами прямоугольника и покрашенные не более чем в два различных цвета. Впишем данный стоугольник в окружность. Рассмотрим каждый из 50 диаметров, образуемых вершинами стоугольника. Заметим, что если среди них есть два диаметра, для которых набор цветов вершин совпадает, то четыре конца этих диаметров образуют подходящий под условие прямоугольник. Вариантов раскрасить концы диаметра в два различных цвета (без учета порядка) всего 10 ˜ 9: 2 45. Значит, если подходящий прямоугольник еще не найден, найдутся хотя бы пять диаметров, концы которых одноцветны. Выберем любые два, их концы образуют подходящий прямоугольник. Е.Бакаев

M2611. Дан треугольник ABC, в котором AB z AC (рис.1). Пусть M – середина отрезка AB, K – середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC, а P – точка, в которой серединный перпендикуляр к AC пересекает биссектрису угла BAC. Докажите, что точки A, M, K, P лежат на одной окружности.

Рис. 1

20

КВАН T 2020/№10

Рис. 3

Рис. 2

Пусть KL и AD – диаметры окружности (ABC) (рис.2). Тогда AKDL – прямоугольник, центр O которого является центром окружности. Обозначим через l ту из осей симметрии прямоугольника AKDL, которая параллельна AL. Заметим, что AL – биссектриса угла BAC. Отсюда $P AL^{\cap} ON$, где N – середина AC. Серединные перпендикуляры OM и ON к сторонам AB и AC составляют равные углы с AL, поэтому OM и ON симметричны относительно l. Значит, точки P и $Q KD^{\cap} OM$ симметричны относительно l, тем самым AKQP – прямоугольник, и точки A, K, Q, P лежат на окружности Z с диаметром AQ. Но поскольку AM A QM ( AB A OM ), точка M также лежит на Z. Задача решена. Заметим, что «уложить» четыре точки на одну окружность помогла новая, пятая точка Q, диаметрально противоположная точке A в нужной нам окружности (о таком приеме доказательства вписанности рассказано в статье Е.Бакаева, П.Кожевникова и И.Яковлева «Перпендикуляры и еще один признак вписанного четырехугольника» в «Кванте» №5–6 за 2015 г.). Приведем схему еще одного решения (его придумали некоторые участники Кавказской олимпиады, на которой предлагалась эта задача). На луче CA отложим отрезок CS, равный AB 2 (рис.3). Из равенства CS BM можно вывести равенство треугольников KCS и KBM и тот факт, что точки A, K, S, M лежат на одной окружности (подробнее об этом можно прочи- тать, например, в статье А.Полянского «Воробьями по пушкам!» в «Кванте» № 2 за 2012 г.). Для решения задачи остается понять, что точки A, S, P, M лежат на одной окружности. Если R – проекция P на AB, то NS RM AC AB 2, где N, как и в первом решении, середина AC. Поэтому прямоугольные треугольники PNS и PRM равны (получаются поворотом вокруг P). Отсюда ‘ SPM ‘ NPR 180 q ‘ BAC, что завершает доказательство. Отметим, что в доказательстве нам снова помогла новая, пятая точка на окружности, на этот раз – точка S. В завершение отметим, что верно также утверждение, аналогичное утверждению данной задачи: A, M, L и $ON \cap AK$ лежат на одной окружности. П.Кожевников

M2612. Поле для игры – горизонтальная клетчатая полоска $1_{¥} 2019$. Петя и Вася играют в такую игру. В начале игры Петя выбирает n натуральных чисел и записывает их на доске, после чего Вася ставит фишку в одну из клеток. Далее на каждом следующем ходе Петя называет некоторое число s, которое выписано на доске, а Вася переставляет фишку на s клеток, если это возможно, вправо или влево – по своему выбору. Если же переставить фишку ни влево, ни вправо на s клеток невозможно, то фишка остается на месте. При каком наименьшем n Петя может играть так, чтобы фишка за конечное количество ходов побывала на всех клетках полоски? Ответ: n 2.

24

КВАН T 2020/№10

Рис. 1

Ф2620. На фотографии (рис.1), взятой с сайта webdiscover.ru, видны радуга, море, строения, деревья, тени. Используя эту фотографию и сделав разумные предположения, попробуйте оценить, на какой высоте над морем находился фотограф, получивший такой снимок.

Рис. 2

Будем считать, что поверхность суши плоская и что улицы в городке либо параллельны друг другу, либо перпендикулярны (это разумное предположение). Тогда можно найти точки на фотографии, соответствующие горизонту. Одна точка получается, если провести линии (черные) вдоль параллельных дорог городка и они пересекутся в одной точке (рис.2). Вторая точка получится, если провести линии (желтые) по теням, падающим на горизонтальную поверхность от высоких деревьев. Фиолетовая точка – центр двух видимых радуг. Красная линия соответствует виртуальному горизонту (в предположении, что земля плоская). По треугольнику, составленному красной линией и двумя зелеными линиями, можно вычислить угловую высоту Солнца над горизон-

25

$КОНК_{УРС} И_{МЕ}$ НИ $А._{П}._{С}$ АВИНА

том: приблизительно 15,4q. Ширина первой цветной радуги равна примерно 3,5q, а направление на нее составляет с направлением солнечных лучей около 42q. Размеры двух домов, расположенных на переднем плане фотографии (3-х и 2-х этажных), и высоты деревьев, расположенных рядом с ними, можно оценить так: высота домов порядка 10 метров, высота деревьев и ширина домов порядка 15 метров. Эти размеры соответствуют размерам автомобилей на дороге, расположенной за домами на небольшом расстоянии от них. Дом, находящийся внутри первой радуги на фотографии, имеет вдоль направления на центр радуги размер порядка 1 см, а радиус радуги равен примерно 7 см. Угловой размер этого дома составляет примерно 42 q 7 6 q, или 0,1 рад. Размер дома вдоль выбранного направления приблизительно равен $10^{2} 15^{2} м_{<} 18$ м

и дом виден под углом 0,1 рад, следовательно, расстояние от дома до фотографа примерно 180 м. Если мысленно передвинуть такой дом по горизонтали вправо, чтобы на фотографии он был на одной прямой линии с фотографом и центром двух радуг, то его угловой размер изменится совсем немного и на величину оценки это не повлияет. В таком случае этот дом делит расстояние от центра радуг до первой радуги пополам, т.е. направление фотоаппарат–передвинутый дом составит с направлением солнечных лучей угол 42 q 2 21 q. Высоту фотографа над морем можно оценить так:

180 м ˜ sin 15,4 q 21 q | 100 м.

Скорее всего, фотограф находился в кресле под парашютом, который за собой на тросе тащил катер (но это лишь разумное предположение).

КОНК УРС И МЕ НИ А. П. С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com view savin-contest Желаем успеха!

5. Можно ли все натуральные числа окрасить в семь цветов так, чтобы каждый цвет присутствовал и произведение любых двух чисел одного цвета (в том числе, равных чисел) было числом того же цвета? М.Евдокимов

6. Два игрока играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой плоскости. Выигрывает тот, кто отметит своим значком пять клеток в виде креста. Всегда ли второй игрок может помешать первому выиграть? Д.Иванов

7. На доске в ряд были написаны числа 1, 2, …, n. Одним действием между каждыми двумя соседними числами записывают их сумму, затем исходные числа стирают. Через несколько действий на доске осталось одно число. Какое? (Например, если изначально написаны числа 1, 2, 3, то вместо них будут написаны 3, 5, а затем вместо них – 8.) В.Расторгуев

8. Существует ли выпуклый многогранник, все грани которого – равные тупоугольные треугольники, если его грани а) равнобедренные треугольники; б) не равнобедренные треугольники? Е.Бакаев

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Числа харшад

А.ТОЛПЫГО

КРУГ ЗАДАЧ, КОТОРЫЕ РАССМАтриваются в этой статье, можно описать одной фразой: Как часто бывает, что число делится на сумму своих цифр? Оказывается, что этот простой вопрос приводит к целому циклу довольно разнообразных задач. Числа, обладающие этим свойством, называют числами Нивена, или числами харшад (от санскритского «харша» – великая радость); такое название дал им индийский математик Д.Ч.Капрекар; для краткости будем их называть Х-числами. Поскольку однозначные числа заведомо являются таковыми, сразу условимся, что мы рассматриваем только те Х-числа, в которых не менее двух (или даже лучше, не менее трех) знаков. Начнем с того очевидного факта, что все числа с суммой цифр 3 или 9 – харшад. Легко также привести примеры Х-чисел с другими небольшими суммами цифр; например, таковы все четные числа с суммой цифр 2 или 6. Нетрудно придумать и другие примеры: это числа 224, 605 или 999999999. А как быть, если сумма цифр велика? Всегда ли можно построить такое число харшад? Ответ – положительный. Утверждение 1. Для любого натурального m существует Х-число с суммой цифр m. Доказательство. Рассмотрим числа 1, 10, 100, …, $10^{k}$, … Согласно принципу Дирихле, существует такой остаток r, что сколь угодно большое количество из этих чисел дают при делении на m остаток r. Теперь достаточно взять сумму m соответствующих чисел $10^{k}$ для разных таких k (можно и для совпадающих, но в количестве не более 9). Пример 1. Пусть m 37. Поскольку 999 делится на 37, то все числа $1, 10^{4}, 10^{7}$, … $..., 10^{3k1}$ дают одинаковые остатки при делении на 37. Таким образом, мы можем взять

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201004

число 100100100…1 (и так 37 раз); но проще взять, например, число 9009009009001. Замечание. Ниже будет доказано существенно более сильное утверждение, а именно: каково бы ни было m, доля Х-чисел среди всех чисел с суммой цифр m больше нуля (стремится к пределу, который больше нуля; более точная формулировка будет дана ниже).

Длинные ряды

Назовем рядом длины k последовательность чисел n, n 1, n 2, …, $n k_{–} 1,$ которые все харшад. Поскольку ряд всегда полностью определяется своим первым членом, в дальнейшем мы, как правило, будем выписывать только его. Нетрудно привести пример ряда длины 3: он может, например, начинаться с числа 110, поскольку 111 и 112 – тоже Х-числа. (Годятся также числа 1010, 10010 и т.д.) А можно ли построить ряд подлиннее? Утверждение 2. Существует ряд длины 10. Для доказательства, конечно, достаточно привести пример (что мы сейчас и сделаем), но интересно ведь знать, как его построить. Можно, разумеется, поручить дело компьютеру (и этот способ приводит к цели), но тогда – где же тут математика? Было бы очень легко построить пример, если бы нам разрешалось рассматривать однозначные числа (все числа от 1 до 10 делятся на сумму своих цифр), но это запрещено. Тем не менее это подсказывает идею: пусть первое число оканчивается нулем, и пусть сумма его цифр равна r. Тогда следующие числа будут кончаться на 1, 2, …, 9, а их суммы цифр будут r 1, …, r 9. Нетрудно было бы найти число (притом даже с заданной суммой цифр, если только она достаточно велика), которое делится на все эти числа, но нам нужно, чтобы делилось не одно число, а последовательные. Но это тоже можно сделать, если применить вот какую хитрость. Начнем с некоторого «удобного» числа (в чем именно состоит его «удобство», будет видно дальше), которое мы примем за r, т.е. за сумму цифр первого из чисел нашего ряда. Это число мы назовем опорным числом. Для начала возьмем в качестве опорного число 30. Предположим, что первое наше число заканчивается цифрами …30 или,

39

О Л ИМПИАД Ы

LXI Международная математическая олимпиада

Очередная международная олимпиада (IMO) должна была пройти в июле 2020 года в Санкт-Петербурге, но из-за пандемии сроки олимпиады сдвинулись на 18–28 сентября и формат вынужденно претерпел изменения. К сожалению, участников невозможно было собрать вместе, поэтому во всех странах, участвующих в IMO, были организованы специальные экзаменационные центры (оборудованные видеонаблюдением), где 21 и 22 сентября проводились два тура олимпиады. Несмотря на разницу в часовых поясах, туры прошли во всех странах «почти одновременно», так что самое позднее начало тура предшествовало самому раннему концу тура. Участников Олимпиады было 616, из 105 стран. Центральный оргкомитет олимпиады располагался в Санкт-Петербурге на базе РГПУ им.А.И.Герцена. В команду России этого года вошли: Данила Демин (Сочи), Алексей Львов (Новосибирск), Максим Туревский (Санкт-Петербург), Антон Садовничий (Москва), Данил Сибгатуллин (Казань, Москва), Иван Гайдай-Турлов (Москва). Результаты наших участников показаны в таблице.

Слева направо. Д.Демин, М.Туревский, А.Львов, И.Гайдай-Турлов, Д.Сибгатуллин, А.Садовничий

Сборная России стала второй в общекомандном рейтинге. На первом месте – сборная Китая, третье место – у команды США. Подробные результаты можно найти на официальном сайте олимпиады http: imo-official.com На финальной стадии подготовки сборной большой вклад внесли математики и педагоги: К.Сухов (руководил процессом подготовки), В.Брагин, Б.Баев, А.Кушнир, А.Кузнецов, П.Козлов, Н.Власова, М.Пратусевич, К.Кноп и многие другие. Отметим с благодарностью большую помощь и поддержку в организационных и содержательных вопросах подготовки команды, которую оказали Образовательный центр «Сириус» (Сочи), Центр педагогического мастерства (Москва), Президентский физико-математический лицей № 239 (Санкт-Петербург), Математический институт РАН (Москва, Санкт-Петербург).

47

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

ноль. На какую высоту $H_{1}$ относительно исходного положения платформы взлетит шарик после отрыва от нее? Ускорение свободного падения g, влиянием воздуха пренебречь.

10 класс

1. Парашютист, опускающийся с постоянной скоростью v, бросает камень так, что его начальная скорость горизонтальна и равна u относительно земли. Какое расстояние будет между парашютистом и камнем через время t после броска, если к этому времени они еще будут находиться в воздухе? Влиянием воздуха на камень пренебречь, ускорение свободного падения g. 2. В герметичном цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем находится газ, над поршнем – вакуум (рис.4). Вначале поршень находился точно посередине сосуда. Затем газ начинает просачиваться в верхнюю часть сосуда через малое отверстие в поршне. При этом поршень очень медленно опускается. Найдите давление в нижней части сосуда непосредственно перед тем, как $поршень^{Рис.} 4$ достигнет дна. Ускорение свободного падения g, масса поршня M, площадь сечения сосуда S. Температура цилиндра, поршня и газа одинакова и поддерживается постоянной. Трения нет. 3. На горизонтальной плоскости покоится тело. На него с горизонтальной скоростью u налетает кусок пластилина и прилипает. Тело смещается на расстояние $l_{1}$ и останавливается. После этого на него налетает с той же скоростью точно такой же кусок пластилина. Тело смещается на расстояние $l_{2}$ и останавливается. Найдите коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью. Ускорение свободного падения g. 4. См. задачу 2 для 9 класса (только теперь угол E задан в общем виде).

МАТЕРИАЛЫ

тиль открывают на очень короткое время и сразу же закрывают. После установления равновесия в каждом из сосудов давление в первом равно $p_{1} c$. Чему равно давление $p_{2} c$ во втором сосуде? Температура поддерживается постоянной. 2. На закрепленное кольцо, плоскость которого вертикальна, надета и закреплена в точке B легкая пружина (рис.5). В недефор-

Рис. 5

мированном состоянии свободный конец пружины находится в точке A на одинаковой высоте с точкой B и центром кольца О. На кольцо также надели массивную шайбу, прикрепив ее к свободному концу пружины (в точке A). Найдите массу шайбы m, если известно, что ее положение равновесия оказалось по высоте на R 2 ниже прямой AB. Ускорение свободного падения g, радиус кольца R, жесткость пружины k. Трением между кольцом и шайбой, кольцом и пружиной пренебречь. 3. На горизонтальной плоскости расположены массивное тело и два закрепленных детских пулемета – слева и справа от тела (рис.6). Стволы пулеметов ориентированы горизонтально и нацелены перпендикулярно поверхности тела. Прямая, проходящая через центры пулеметов, также перпендикулярна поверхности тела. Из пулеметов одновременно начали стрелять. Известно, что $временны_{ѣ}$ е интервалы между вылетом пулек у каждого пулемета малы и фиксированы. Также известно, что у левого пулемета скорость вылета пулек в 2 раза выше, чем у правого, но масса пулек в 1,5 раза меньше, а временной интервал между пульками на 30% больше, чем у правого. В какую сторону

11 класс

1. Два сосуда с идеальным газом соединены тонкой трубкой с вентилем. В первом сосуде объемом $V_{1}$ давление равно $p_{1}$, а во втором объемом $V_{2}$ давление равно $p_{2}$. Вен-

Рис. 6

48

К В АН T 2020/№10

начнет двигаться тело? Трением между телом и плоскостью пренебречь, удары пулек о поверхность тела считать абсолютно упругими. Столкновениями пулек между собой и сопротивлением воздуха пренебречь. 4. На гладкую горизонтальную спицу надеты три бусинки (рис.7). Масса второй

Рис. 7

Рис. 8

бусинки в 2 раза больше первой, а масса третьей бусинки в 3 раза больше первой. Бусинки находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и могут свободно без трения перемещаться вдоль спицы. На бусинках имеются одноименные заряды $q_{1}, q_{2}$ и $q_{3}$ соответственно. Бусинки отпускают, и они начинают разлетаться так, что вторая бусинка все время остается строго посередине между первой и третьей. Найдите заряд $q_{1}$, если заряды $q_{2}$ и $q_{3}$ известны.

Q. На сколько после этого левый конец оказался ниже правого? 4. В нулевой момент времени в ванну с водой начинают наливать горячую воду из крана. Воду непрерывно помешивают и измеряют температуру. График зависимости температуры от времени показан на рисунке 9. Определите температуру наливаемой

Второй тур

8 класс

1. Ведро до краев наполнено водой. В ведро медленно опускают сплошной деревянный кубик с ребром a. При этом из ведра выливается вода объемом $V_{0}$. Затем кубик убирают и вместо него, не доливая воды в ведро, медленно опускают другой кубик из того же материала, но с ребром 2a. Определите, какой объем воды V при этом выльется из ведра. Эффектами поверхностного натяжения пренебречь. 2. Кубик плавает в жидкости плотностью U. Когда к нему присоединили грузик, кубик стал плавать, погруженный на 60% своего объема. Когда к нему присоединили второй такой же грузик, кубик полностью погрузился в жидкость и стал плавать в безразличном положении равновесия. Найдите плотность материала, из которого сделан кубик. 3. Цирковая трапеция представляет собой длинную палку, подвешенную на двух упругих вертикальных тросах (рис.8). Когда на трапеции повисла обезьянка, ухватившись за середину палки, то палка опустилась вниз на d 1,5 см. Затем обезьянка переместилась в точку А, которая в два раза ближе к левому концу палки P, чем к правому концу

Рис. 9

воды, если расход воды из крана постоянный. Теплоемкостью ванны и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

9 класс

1. Два пешехода движутся по часовой стрелке с постоянными по абсолютной величине скоростями $v_{1} 1,2$ м с $, v_{2} 1$ м с, первый – по окружности радиусом $r_{1} 8$ м, второй – по окружности радиусом $r_{2} 10$ м. Центры окружностей совпадают. За какое время расстояние между пешеходами изменится от минимально возможного при таком движении до максимально возможного? 2. Мальчик, стоя на горизонтальной плоскости, кидает камень так, чтобы тот улетел на максимальное расстояние. Второй камень он бросает с той же по абсолютной величине скоростью вертикально вверх. Его ловит другой мальчик в верхней точке траектории и затем бросает из этой точки под тем же углом и с той же скоростью, что и первый

49

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

камень. Во сколько раз расстояние по горизонтали, которое преодолел второй камень, больше по сравнению с первым? Влиянием воздуха пренебречь. 3. Новогодняя гирлянда представляет собой прямоугольную проволочную сетку, в горизонтальные перемычки которой вставлены одинаковые лампочки, как показано на рисунке 10. Сопротивление гирлянды, из-

МАТЕРИАЛЫ

помощью навигатора определили, что расстояние между ними равно 3,4 км. Василий остался на месте, а Алексей начал двигаться к нему пешком по улицам по оптимальному пути. В отличие от Алексея, мы не знаем, где точно находятся приятели. Постарайтесь, с помощью имеющейся информации, определить минимальное и максимальное возможное значение длины этого оптимального пути. Ответ округлите до сотен метров. 2. Три одинаковых сосуда с идеальным газом соединены тонкими трубками, снабженными вентилями (рис.12). Давления в

Рис. 10

меренное между клеммами A и B, равно $R_{0} 1919$ Ом. После того как в гирлянде перегорела одна лампочка, сопротивление стало равным R 1920 Ом. Определите общее количество лампочек в гирлянде, если известно, что их число заведомо больше 1938 и меньше 3838. Сопротивления лампочек одинаковы, сопротивлением проводов пренебречь. 4. По лестнице с одинаковыми ступенями прыгает вниз маленькая лягушка (рис.11).

Рис. 12

1-м, 2-м и 3-м сосудах равны $p_{1}, p_{2}$ и $p_{3}$ соответственно. Вентиль между сосудами 1 и 2 открывают и после наступления равновесия закрывают. Затем открывают вентиль между сосудами 2 и 3. Найдите давление $p_{3} c$ в 3-м сосуде после наступления равновесия. Температура поддерживается постоянной. 3. На горизонтальной поверхности стоят три одинаковых кубика (рис.13). Кубики

Рис. 13

Рис. 11

Каждый раз она отталкивается одинаковым образом и попадает с середины ступени на середину следующей ступени. Последний прыжок она совершила по ровной поверхности, длина этого прыжка d, а высота h. Найдите высоту ступеней H, если длина ступеней равна L. Влиянием воздуха пренебречь.

10 класс

1. На острове Манхэттен г.Нью-Йорка много улиц, которые расположены взаимно перпендикулярно на небольших расстояниях друг от друга. Алексей и Василий, прогуливаясь по острову, в некий момент с соединены одинаковыми пружинами, натяжение которых одинаково. Если 1-й кубик медленно тянуть влево, то, когда он пройдет расстояние $d_{1}$, 3-й кубик начнет двигаться. Если из того же исходного положения 1-й кубик медленно толкать вправо, то, когда он пройдет расстояние $d_{2}$, 3-й кубик начнет двигаться. На какое расстояние $d_{x}$ нужно одновременно переместить вправо 1-й и 3-й кубики из того же исходного положения, чтобы средний кубик пришел в движение? Коэффициенты трения покоя и скольжения считать одинаковыми. 4. Значок в виде равностороннего треугольника, его высоты и вписанной в него

53

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

стоянию между точками подвеса пружин, и отпустили. Оказалось, что стержень в равновесии строго параллелен горизонту. Найдите вес стержня. 3. На тонкое полукольцо, сделанное из непроводящего материала, нанизали маленькую бусинку, имеющую положительный заряд (рис.28). На концах полукольца закрепили положительные точечные заряды $q_{1}$ и $q_{2} ( q_{1} q_{2} )$ в точках A и B соответственно. Полукольцо также закрепили. Через длительное время бусинка остановилась в точке С. Найдите угол D. Силы тяжести нет.

Рис. 28

Рис. 29

4. Кольцо массой M, равномерно заряженное по периметру зарядом Q, катится по горизонтальной плоскости (рис.29). В какой-то момент времени включается магнитное поле с индукцией В перпендикулярно плоскости кольца. Сила давления кольца на плоскость возрастает в 3 раза. Найдите скорость кольца. Ускорение свободного падения g. 5. Оцените период остаточных колебаний бензина в наполовину заполненной железнодорожной цистерне, возникших в результате ее торможения. Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие в условии задачи величины, выбрать их численные значения и получить численный результат. 6. Задача-демонстрация (демонстрируется видеоролик). Внутри обычной консервной банки находится небольшое устройство, прикрепленное к центру крышки и состоящее из моторчика и питающего его отсека с батарейками (рис.30). При включении моторчик вращает по кругу отсек с батарейками. Банку плотно закрывают крышкой с

МАТЕРИАЛЫ

Рис. 30

включенным моторчиком и кладут на бок. Она приходит в движение и перемещается по горизонтальному столу. Если на ее пути установить небольшое препятствие, то она преодолевает его, причем иногда с первой попытки, а иногда, ударившись о препятствие, откатывается назад и преодолевает препятствие после нескольких попыток. Объясните наблюдаемое явление. Публикацию подготовили В.Боровков, Е.Жданов, А.Киприянов, С.Лежнин, М.Махмудиан, А.Ненашев, Е.Пальчиков, А.Погосов, Д.Похабов, Г.Федотович