Квант 2020, №11-12 · Страницы

3

«ВИРУС»,

«МАСКА»

i полное размагничивание $корабля;_{i}$ намагничивание корабля до максимальных значений, с тем чтобы мины взрывались на безопасном $расстоянии;_{i}$ неполная компенсация магнитного поля корабля – до уровня, когда мина перестает замечать корабль на фоне магнитного поля Земли. Первое направление активно поддерживали флотские минеры, но в ходе реализации оно оказалось технически слишком сложным. В переводе на язык современной эпидемии COVID-19 это соответствует идеальной маске или появлению вакцины, гарантирующей безопасность. Противоположного первому второго направления сначала (середина 1930-х годов) придерживалась Великобритания, однако на практике сильное намагничивание корабля не помогло полностью уберечь от магнитных мин. Опять переводя на язык COVID-19 – пусть все переболеют, а кто выживет, тому повезло. В СССР еще до второй мировой войны защитой кораблей от магнитных мин занялся ленинградский Физико-технический институт (ЛФТИ), а в нем – группа сотрудников во главе с А.П.Александровым. Ими фактически с самого начала было выбрано третье направление: вместо решения задачи полной компенсации магнитного поля была поставлена задача существенного уменьшения магнитного поля корабля. До какого уровня? Среднее значение индукции магнитного поля Земли на всей ее поверхности около 5 ˜ $10^{5}$ тесла, у магнитных полюсов оно 6,6 ˜ $10^{5}$ Тл, а на магнитном экваторе 3,4 ˜ $10^{5}$ Тл. Естественное колебание магнитного поля Земли достигает уровня 0,1–0,2 ˜ $10^{5}$ Тл. Чувствительность мины не должна быть выше этой величины, иначе она подорвется безо всяких кораблей. Но это значит, что при компенсации магнитного поля корабля точности размагничивания на уровне 0,1 ˜ $10^{5}$ Тл вполне достаточно для защиты от магнитных мин. Решение такой задачи оказалось существенно проще, чем полная компенсация магнитного поля корабля. При этом еще

–

ГДЕ

ГАРАНТИЯ?

до начала компенсации измерялась карта магнитного поля, создаваемого кораблем. Были предложены две схемы неполной компенсации: стационарная и нестационарная. По первой схеме (стационарной) на корабле размещалось несколько обмоток, по которым пропускался постоянный ток. При этом магнитное поле от обмоток было приблизительно равно по величине и противоположно по направлению магнитному полю корабля. По второй схеме (нестационарной) происходило динамическое размагничивание корабля. Обмотки, по которым пропускался переменный ток, размещались либо на самом корабле, либо рядом с кораблем (на специальном судне) и после размагничивания убирались. В ходе динамического размагничивания амплитуда магнитного поля постепенно уменьшалась от поля насыщения ферромагнетика до нуля. Такой эффект полного размагничивания был временным, и с течением времени намагничивание снова появлялось. Но при повторении процедуры размагничивания раз в несколько месяцев удавалось поддерживать магнитное поле корабля на низком уровне. Таким образом можно было уменьшить магнитное поле корабля более чем в десять раз. Это спасло множество кораблей и подводных лодок. Созданная «система ЛФТИ» была внедрена примерно на сотне кораблей и действительно защитила их от немецких магнитных мин. Интересная особенность данного примера дуэли «вируса» с «маской» касается действующих лиц этого противостояния. Размагничиванием кораблей («маска») в СССР наряду с А.П.Александровым активно занимался И.В.Курчатов. А разработкой и совершенствованием магнитных мин («вирус») в Германии – один из ведущих физиков В. Герлах. Впоследствии Курчатов стал руководителем советской атомной программы, а Герлах возглавил немецкий «Урановый проект». Так что их дуэль продолжилась не только на минном, но и на атомном направлении. Казалось бы, необходимость в размагничивании кораблей для защиты от магнитных мин – очень давняя, почти забытая

4

КВАНТ 2020/№11-12

история. Однако это не так, и в XXI веке на крупных военных кораблях размагничивание остается необходимым, причем используются те же, заложенные давно, принципы размагничивания. Только от медных кабелей обмоток размагничивания, потребляющих много энергии, постепенно переходят к кабелям на основе высокотемпературных сверхпроводников, охлажденных до криогенных температур $(_{\sim} 70$ К). Применение высокотемпературных сверхпроводников, одной из современных точек роста передовых технологий, позволяет существенно уменьшить массу обмоток и снизить мощность питания.

Стелс-технологии Второй пример касается разработки конструкций самолетов, невидимых для систем обнаружения, что по идее могло бы превратить их в подобие абсолютного оружия (впоследствии эти подходы применялись и в других системах, в частности на подводных лодках). Слово stealth в переводе с английского означает скрытность. В данном примере стелс-самолет уподобим «маске», гарантирующей неуязвимость со стороны радаров, а сами радары – «вирусу», пытающемуся увидеть самолет и «ужалить» (привести в действие системы поражения). Но возможно ли создание абсолютной «маски» большого размера? В методе обнаружения летящих объектов радарами сигнал от радиолокационной станции уходит в пространство и отражается. На радаре появляется изображение, позволяющее судить об эффективной площади рассеивания. Если обратное отражение радиоволн отсутствует, то объект невидим, эффективная площадь рассеивания равна нулю. Стелс-технологии самолетов с малой эффективной площадью рассеивания первоначально отталкивалась от двух принципов: нет отражения обратно, есть поглощение в материале корпуса. Более точно, нужно, чтобы радиоволны отражались от объекта так, чтобы обратно не вернуться, и поглощались в корпусе самолета. Это схематично изображено на рисунке 2. Ра-

Рис. 2. Схема, поясняющая идею стелс-технологий

диосигнал (стрелка сверху) при распространении внутрь корпуса самолета отражается от элементов конструкции и поглощается в его материале. Обратный возврат сигнала отсутствует. Казалось бы, измените конструкцию корпуса самолета, перейдя от гладкой, округлой формы к угловатой (опять что-то похожее на шипы коронавируса), и используйте поглощающие покрытия – проблема будет решена. Однако, реализация этих принципов в реальных конструкциях самолетов-«невидимок» послужила лишь толчком к быстрому развитию как систем обнаружения, так и стелс-технологий. При этом стоимость создания систем обнаружения оказалась во много раз меньше стоимости дальнейших шагов в сторону невидимости и неуязвимости. В создании систем обнаружения преуспела Россия, в развитии технологий невидимости – США. На рисунке 2 показано характерное расстояние L между ребрами. Если длина волны радиосигнала O меньше L, то изложенный принцип невидимости объекта должен работать. Первые стелс-самолеты в США создавались в расчете на сантиметровые длины волн радиолокационных станций, работающих на частоте $f_{\sim} 10$ ГГц. Поскольку O c f ( c 3 ˜ $10^{8}$ м с – скорость света), то при указанной частоте длина волны $O_{\sim} 3$ см. Но если выбрать длину волны $O_{≫} L$, то сигнал перестает замечать ребра и отражается. И действительно, переход на меньшие частоты и, соответственно, на большие длины волн (дециметровый диапазон) привел к тому, что самолет-«невидимка» стал заметен для

5

«ВИРУС»,

«МАСКА»

таких радиолокационных станций. А если двинуться еще дальше и перейти уже к метровому диапазону волн, т.е. длин волн того же масштаба, что и размер элементов самолета, то малозаметность самолета становится в принципе невозможной. То же относится и к поглощению радиоволн. Для радиоволн с разной длиной волны эффективность их поглощения различна. Что в итоге? Развитие технологий малозаметности привело к тому, что они стали важным элементом для новых поколений самолетов, ракет и подводных лодок, однако не решают проблему абсолютной защиты. Но прогресс в движении к малозаметности огромен. На самолетах нового поколения принимаются меры по снижению заметности как в радиодиапазоне, так и в видимом, инфракрасном и звуковом диапазонах. В результате эффективная площадь рассеивания для большого дозвукового стратегического бомбардировщика (без стелс-технологий) оказывается порядка $100^{м} 2$, истребителя – порядка $10 м^{2}$, а для современных стелс-самолетов – еще на порядок меньше. Но при этом оказалось, что малозаметные самолеты существенно менее маневренные и менее скоростные. В итоге соперничество между сверхманевренностью и малозаметностью при бурном развитии средств радиолокации продолжается. Любопытно, что введенное выше понятие эффективной площади рассеивания можно уподобить понятию сечения взаимодействия в физике, по которому судят о параметрах элементарных частиц и характере взаимодействующих полей. При этом сечение одного и того же объекта, скажем протона, в случае взаимодействия с разными частицами может сильно различаться. Пример того, как может выглядеть протон при его взаимодействии с другим протоном, с квантом излучения (фотоном) и с легкой элементарной частицей (нейтрино), приведен на рисунке 3. Как видно из рисунка, в случае рассеяния фотона на протоне могут быть «видны» три кварка, из которых «состоит» протон. Еще четче это видно при рассеянии слабо взаимодействующего нейтрино с протоном. Как и в

–

ГДЕ

ГАРАНТИЯ?

Рис. 3. Эффективное сечение. Мишень во всех трех случаях – протон. Налетающая частица – протон; фотон; нейтрино. В нижнем ряду показано отличие в эффективном сечении взаимодействия

случае отражения от самолета радиоволн различного диапазона, сечения взаимодействия могут сильно различаться. В приведенном сравнении мы чуть коснулись современной модели строения элементарных частиц – так называемой Стандартной $модели.^{2}$ Немного продолжив аналогии, упомянем о современных «элементарных частицах» или «элементах структуры» применительно к проблеме малозаметности в самолетостроении. Это еще одна точка роста в развитии технологий. Речь идет о метаматериалах и особом языке их описания. В отличие от множества полей взаимодействия элементарных частиц в Стандартной модели – сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное – в науке о метаматериалах действует только электромагнитное поле. А вместо набора истинно элементарных частиц Стандартной модели – кварков, лептонов, калибровочных бозонов и бозона Хиггса – используется набор простых электромагнитных резонаторов. Примеры элементарных «кирпичиков», из которых строятся метаматериалы, приведены на рисунке 4. В результате метаматериал является набором макроскопических элементов из этих «кирпичиков» (и даже более сложных), которые уложены в периодическую структуру, где связу-

2 Подробнее о ней можно прочитать, например, в статье В.Рубакова «К открытию бозона Хиггса» («Квант», 2012, № 5–6).

6

КВАНТ 2020/№11-12

Рис. 4. Элементы, из которых строятся метаматериалы

Рис. 5. Структура из метаматериала, включающая комбинации отрезков прямых проволочек и двойных разрезанных колец в диэлектрике

ющим элементом является диэлектрик. Одна из таких структур показана на рисунке 5. Смысл термина «мета» – за пределами – в том, что электромагнитные свойства получающейся структуры радикально отличаются от свойств отдельных элементов. На рисунке 4 упомянут термин «сегнетоэлектричество». Это явление имеет аналогию с ферромагнетизмом из раздела о размагничивании. При воздействии на железо магнитным полем домены ориентируются вдоль магнитного поля, и мате-

риал намагничивается. Аналогично, воздействие электрического поля на сегнетоэлектрик также приводит к ориентации доменов сегнетоэлектрика, которая сохраняется после снятия электрического поля, и материал электризуется. Использование метаматериалов применительно к проблеме малозаметности самолетов бурно развивается, обещая множество прорывов. В указанных структурах электромагнитные волны распространяются по необычным траекториям, затрудняющим как обнаружение объектов, так и их свойства. Однако на этом пути еще много проблем (невидимость в широком диапазоне частот, сохранение свойств метаматериалов в реальных конструкциях самолетов при большой скорости полета и др.). Кроме того, весь корпус самолета метаматериалами не покрыть. Самолет сложно сделать полностью невидимым, однако можно довольно сильно уменьшить эффективную площадь рассеивания и затруднить его обнаружение радарами.

Коронавирус и защитная маска Мы переходим к основному разделу этой статьи. Главный вывод из предыдущих разделов – абсолютной защиты в технике пока не удалось создать, но удается сильно замаскировать объект и затруднить его обнаружение. В качестве одной из основных и простых мер защиты от нынешней эпидемии коронавируса предлагается повсеместное ношение масок (плюс соблюдение дистанции, плюс более частое мытье рук и т.д.). При этом сразу оговаривается, что маски не гарантируют от заражения. И все же, чуть перефразируя американскую поговорку, отметим, что «доброе слово, подкрепленное цифрой, порой звучит убедительнее, чем просто доброе слово». Есть два основных пути заражения: воздушно-капельный (при кашле и чихании) и контактный (прикосновения руками к поверхностям, содержащим вирусы). В первом случае вирусы попадают непосредственно на слизистые носа, глаз и рта, во втором возможно их касание грязными «вирусными» руками. Приведем несколь-

7

«ВИРУС»,

«МАСКА»

ко цифр, относящихся к вирусам. Они не точные, но могут дать представление о процессах при заражении вирусом. Будем во многом опираться на данные американского иммунолога и популяризатора науки Эрина Бромиджа, но с проверкой этих данных по другим источникам. Заметим, что оценки скорости оседания капель, содержащих вирусы, были приведены в статье А.Стасенко «Не чихать: пандемия!» («Квант», 2020, № 4). Инфекционная доза, при которой человек заболевает, – около 1000 частиц вируса. Эта цифра очень приблизительна. Она зависит от состояния здоровья человека, его иммунного статуса, возраста и т.д. Но важно отметить, что в случае COVID-19 приводят к заражению не единичные вирусы, а их большое количество, полученное за короткий период времени. С единичными вирусами иммунная система организма чаще всего может справиться. Кашель сопровождается выбросом нескольких тысяч мелких капель, содержащих вирусы, из которых те, что побольше, падают на землю, а самые мелкие зависают в воздухе. При чихании в воздух выделяется уже десятки тысяч еще более мелких капель. Общее число вирусов, выделяемых (по Бромиджу) при кашле или чихании, оценивается в сотни миллионов. При дыхании, особенно спокойном, через нос выделяется существенно меньшее количество вирусных капель, Бромидж приводит цифру в несколько десятков вирусных частиц в минуту. Если все эти частицы попадают на незараженного человека, то инфекционная доза накапливается в течение примерно часа нахождения вблизи зараженного человека. Разговор больного увеличивает количество выделяемых капель примерно на порядок. В целом, наиболее опасными для распространения коронавируса являются чихание и кашель. В этом случае использование масок как заболевшими, так и здоровыми, может радикально изменить ситуацию. Некоторую пищу для размышлений о пользе масок дает таблица (рис.6), построенная по опубликованным предварительным результатам работы финских ис-

–

ГДЕ

ГАРАНТИЯ?

Рис. 6. Риск передачи коронавируса при использовании масок

следователей. Как следует из таблицы, маска задерживает капли, содержащие вирусы, и позволяет существенно снизить опасность заражения. Эффективность использования масок возрастает, если их носят как зараженный, так и здоровый человек. Еще лучше показатели в случае, когда люди в масках находятся на расстоянии друг от друга (риск близок к нулю при расстоянии более 1,5–2 м). Отметим важную особенность картинок из таблицы: на здоровом человеке кроме маски есть еще и очки. Ведь слизистые глаз являются одним из важных каналов проникновения вируса. Хуже того: вирус, попав в глаза, очень долго сохраняется. Это подтверждается и данными китайских ученых: по их оценкам люди, регулярно носящие очки, в пять раз реже заражаются коронавирусом. Так что гарантии, как и в предыдущих случаях, нет, но «эффективную площадь заражения» при использовании масок в людных местах все же можно сильно уменьшить.

Кратчайшие пути и гипотеза Пуанкаре

В.ПРОТАСОВ

Управляя каждым шагом, Повели меня, погнали Фантастическим зигзагом По неведомой спирали. М.Щербаков. Аллилуйя

Геодезические линии

Почему самолет из Москвы в Монреаль летит через Гренландию? Москва находится на 56-й широте, Монреаль – на 45-й, а вся Гренландия – севернее 60-й. Почему самолет туда залетел? А потому, что маршрут стараются проложить по кратчайшему пути по поверхности Земли. А он, как это ни странно, проходит через Гренландию. Часто это противоречит нашей географической интуиции. Кратчайший путь из Екатеринбурга в Лос-Анджелес и вовсе проходит через Северный полюс. Кратчайший путь по заданной поверхности идет вдоль геодезической линии. Само слово «геодезическая» происходит от науки геодезии, буквально по-гречески JHZGDLVLc D – «деление земли». И если на плоскости геодезические – это прямые, то нахождение геодезических на других поверхностях порой весьма сложно. Величайший математик Леонард Эйлер (1707– 1783) в 1732 году вывел общее уравнения геодезических линий. Позже они преобразились в уравнения Эйлера–Лагранжа и стали главным инструментом не только при построении геодезических на поверхностях, но и в других экстремальных задачах. Главным приложением геодезических в то время была картография (отсюда и название). Расстояние между двумя пунктами на карте нужно всегда измерять по геодезической, причем делать это с учетом

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201102

рельефа местности. Потом геодезические стали применять для построения внутренней геометрии произвольной поверхности, где за расстояние между точками естественно брать кратчайшее расстояние по поверхности. Следует, однако, отличать геодезические линии от кратчайших! Что такое «геодезическая»? Геодезической на поверхности называется линия, локально кратчайшая в каждой своей точке. Это значит, что для любой точки M, лежащей на линии, верно следующее: какие ни взять на линии точки A и B, достаточно близкие к M, дуга геодезической AB является кратчайшим путем по поверхности между A и B. Математик сформулирует локально-кратчайшее свойство так: для любых двух точек, лежащих в некоторой окрестности точки M, дуга геодезической является кратчайшим путем по поверхности между ними. Заметим, что кратчайший путь между любыми двумя точками является геодезической линией, но обратное верно не всегда. Красная линия на рисунке 1 – геодезическая, хотя кратчайший путь из точки A в точку C по этой линии не проходит – есть короче. Но для

Рис. 1. Геодезическая – локально кратчайшая линия

11

КРАТЧАЙШИЕ

ПУТИ

И

была доказана. Это сделали советские математики Лазарь Аронович Люстерник (1899–1981) и Лев Генрихович Шнирельман (1905–1938), причем для этого они разработали новую теорию топологических методов в вариационных задачах. Ну а гораздо позже, в 1992 году, американские математики Дж.Фрэнкс и В.Бангерт доказали, что на самом деле на любой гладкой выпуклой поверхности существует не три, а бесконечно много замкнутых геодезических. Стоп, стоп! Как бесконечно много? Мы же знаем, что на эллипсоиде их три! Нет, тут что-то не так. Открываем «Наглядную геометрию» Гильберта и Кон-Фоссена, читаем: «Так можно показать, что на трехосном эллипсоиде единственными замкнутыми геодезическими линиями без самопересечений являются те три эллипса, которые получаются в пересечении этой поверхности с тремя плоскостями симметрии». Значит, «можно показать». Но авторы не пишут, как именно. Не стали ли они жертвами самообмана, как П.Ферма, которому «не хватило места» на полях книги для доказательства своей Великой теоремы? Ведь согласно теореме Фрэнкса-Бангерта, геодезических бесконечно много на любой гладкой выпуклой поверхности, значит, и на эллипсоиде тоже. Выходит, Гильберт и Кон-Фоссен ошибались? И Пуанкаре, не ставивший под сомнение, что на разноосном эллипсоиде их ровно три? И Урысон, и Люстерник, и Шнирельман – все они ошибались? Да! Более того, все они прошли мимо элементарного примера «четвертой» геодезической на эллипсоиде. Пример этот появился в 1982 году в книге В.Клингенберга «Riemannian geometry», а потом еще многократно $переоткрывался.^{1}$ Четвертая геодезическая на эллипсоиде. Пример этот настолько наглядный и замечательный, что его можно разбирать

1 Например, его в 2004 году независимо придумал российский математик С.С.Анисов, который и сообщил его автору. Лишь значительно позже мы узнали, что такой же пример содержится в книге Клингенберга.

ГИПОТЕЗА

ПУАНКАРЕ

на уроках в школе. Все видели, как перевязывают коробки с конфетами: пускают часть ленты внизу, по дну коробки, затем ведут наверх, по крышке, затем опять спускают вниз и затем опять наверх. Получается линия из четырех частей – две противоположные части внизу и две наверху (рис. 5). А теперь надо сделать Рис. 5. Перевязочная то же, но не на прялента моугольной коробке, а на круглой. Сейчас мы построим эту линию на эллипсоиде. Возьмем эллипсоид, у которого одна ось сильно меньше двух других. Почти плоский. Обозначим концы длинных полуосей (в порядке следования) A, B, C, D. Соединим A и B кратчайшей линией, идущей по поверхности эллипсоида. Так как эллипсоид почти плоский, эта линия будет близка к отрезку AB и уж точно не будет идти по экватору, потому что длина дуги экватора больше отрезка АВ. Теперь проведем такую же дугу AD по другой (нижней) стороне эллипсоида. Иначе говоря, дуга AD переходит в дугу AB при повороте $на^{180q}$ относительно оси AC. Далее пустим такую же дугу DC по верхней стороне и закончим дугой CB с нижней стороны. Мы получили замкнутую линию, состоящую из четырех равных дуг (рис.6). Оказывается, она будет геодезической.

Рис. 6. «Четвертая» геодезическая на эллипсоиде

Теорема 1. Построенная замкнутая линия ABCD является геодезической на поверхности эллипсоида. Доказательство. В каждой внутренней точке дуги AB линия является локально-

12

КВАНТ 2020/№11–12

кратчайшей. Если нет, просто заменим ее маленький кусочек на более короткий и получим более короткий путь $из^{A} в^{B,}$ что невозможно. Так же – с тремя другими дугами. Таким образом, во внутренних точках дуг все хорошо. Проблема возникает на концах дуг. Почему, скажем, в $точке^{A}$ наша линия локально кратчайшая? Возьмем рядом $с^{A}$ две $точки^{M} и^{N}$ на разных дугах. Почему $путь^{MN}$ вдоль линии является кратчайшим на эллипсоиде? Из построения этого не следует. Предположим, что $дуга^{AM}$ длиннее $дуги^{AN.}$ Тогда возьмем на продолжении $дуги^{AN}$ за $точку^{N}$ точку M c, для которой $дуга^{AM} c$ равна $дуге^{AM}$ (рис.7,а). Ясно,

Рис. 7

$что^{M} и^{M} c$ переходят друг в друга при повороте на 180q относительно $оси^{AC.}$ Если $дуги^{AM} и^{AN}$ равны, то просто $обозначим^{M} c^{N}$. Теперь предположим обратное: есть более короткий путь на поверхности эллипсоида между $точками^{M} и^{N.}$ Добавив к этому пути $дугу^{NM} c$, получаем более короткий путь по поверхности $между^{M}$ и M c. Значит, кратчайший путь $между^{M} и^{M} c$ не совпадает с дугой нашей линии MM c. Сделаем поворот на 180q относительно $оси^{AC.} Точки^{M}$ и M c поменяются местами, а кратчайший путь между ними должен перейти в себя – ведь он единственный! Обозначим $через^{P}$ середину этого кратчайшего пути (расстояния меряются вдоль пути). Поворот на 180q относительно $оси^{AC}$ оставляет эту точку на месте. Но тогда она лежит на оси вращения – $прямой^{AC.}$ А поскольку она находится на поверхности эллипсоида, она совпадает либо $с^{A,}$ либо $с^{C.}$ До $точки^{C}$ слишком далеко, кратчайший путь туда не заходит. $Значит,^{P} A.$ Итак, середина кратчайшего пути $из^{M}$ в M c находится в $точке^{A}$ (рис.7,б). Значит, кратчайший путь $из^{A} в^{M}$ идет по нашей линии. Иначе, поставим его вместо $дуги^{AM}$ и тем самым уменьшим длину $дуги^{AB,}$ что невозможно. Значит, и кратчайший путь $из^{M}$ в M c

идет по нашей линии, что противоречит предположению. Теперь все доказано.

Ну вот, а обещали совсем элементарный пример… А он потребовал довольно тонкого рассуждения. Да, но это – для доказательства. А построение этого примера действительно очень просто. Если учитель младших классов даст ребятам подобный плоский эллипсоид и попросит натянуть на него резиновое колечко иначе, чем вдоль одного из трех экваторов, они несомненно справятся. Зацепить петлей сверху, продеть внизу, затем – другой петлей сверху. Тем удивительнее, что многие десятилетия никто не додумался до этого примера. И никто, включая крупнейших математиков XX века – Пуанкаре и Гильберта, не допустил мысли, что на эллипсоиде может быть четвертая геодезическая. Чудеса случаются! На самом деле это – не единственный пример «неправильной» геодезической на эллипсоиде. Есть еще. В упражнении 5 мы предлагаем вам их построить. А нас ждут многогранники!

Упражнения

1. Поверхность горы имеет форму конуса, разверткой которого является треть круга радиуса 1 км. Два селения находятся у подножия горы, с противоположных сторон основания. Чему равна длина самого короткого пути между ними? 2. Из одного из селений из предыдущей задачи вышел путник, желающий обойти гору и вернуться в селение. Какова длина самого короткого маршрута? Будет ли этот маршрут замкнутой геодезической? 3. На прямом круговом цилиндре есть две очевидные замкнутые геодезические: «пояс» (окружность, параллельная основанию) и «ручка» (прямоугольник, содержащий два параллельных диаметра). А могут быть другие? 4. Образующая конуса вдвое больше радиуса основания. Постройте замкнутую геодезическую на его поверхности. Чему равна ее длина, если радиус основания равен 1? 5. Рассмотрим эллипсоид, у которого одна полуось маленькая, а две другие равны. Постройте на нем несколько новых типов замкнутых геодезических. Указание. Геодезическую из теоремы 1 можно назвать «четырехугольной», поскольку она состоит из четырех частей. Постройте «шестиугольную», «восьмиугольную» и тому подобные геодезические.

(Продолжение следует)

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2630–М2632, М2633а предлагались на XLII Турнире городов. Автор задач Ф2633–Ф2640 – А.Власов.

Задачи М2626–М2633, Ф2633–Ф2640

M2626. На межгалактическую олимпиаду съехалось бесконечное количество участников, которых зарегистрировали под номерами 1, 2, 3,… Оказалось, что при каждом n = 1, 2, … участник с номером n имеет не менее n друзей среди оставшихся участников (дружба взаимна). Имеется гостиница для проживания участников с бесконечным количеством двухместных номеров. Докажите, что участников можно расселить в двухместные номера так, чтобы в каждом номере оказалась пара друзей. В.Брагин, П.Кожевников

M2627. Дана бесконечная арифметическая прогрессия. Рассматриваются произведения пар ее членов. Докажите, что произведения в каких-то двух различных парах отличаются не более чем на 1. А.Кузнецов

M2628*. Имеется N внешне одинаковых чашечных весов. Известно, что ровно одни из них испорченные – они показывают что угодно, и их вес отличается от веса остальных, которые весят одинаково и всегда показывают верный результат. За одно взвешивание можно положить несколько весов на каждую из чаш каких-то других весов. При каком наибольшем N за три взвешивания можно гарантированно найти испорченные весы? А.Грибалко, О.Манжина

M2629*. На рисунке 1 в центре изображен произвольный (зеленый) треугольник. На его сторонах во внешнюю сторону построили белые квадраты. Некоторые из их вершин соединили отрезками, на них снова построили во внешнюю сторону белые квадраты и т.д. В промежутках между квадратами образовались треугольники и четырехугольники, которые окрасили в различные цвета. Докажите, что а) все окрашенные четырехугольники являются трапециями; б) площади всех многоугольников одного и того же цвета равны; в) отношения оснований одноцветных трапеций равны; г) если $S_{0}^{1}$ — площадь исходного треугольника, а $S_{i}$ — площадь цветного многоугольника в i-м слое, то $S 1^{1}, S 2 5$, а для

Рис. 1

15

ЗАДАЧНИК

ках до сброса резервного топлива на самолетах. За какое время произойдет освобождение бака от жидкости? Как изменится это время, если начальное давление газа увеличить в 4 раза? Считайте известными следующие величины: D S s – отношение площадей сечения бака и сливного отверстия, $p_{0}$ – начальное давление газа, $x_{0}$ – начальная высота газового столба, n – вертикальный размер бака в $единицах_{0}^{x}, U$ – плотность жидкости. Расширение газа считайте изотермическим, а внешнее давление примите равным нулю. Вязкостью жидкости и гравитацией пренебречь, бак закреплен.

Ф2636*. Ученик, который успешно перешел в 11 класс, летом на даче развлекался следующим образом. Он из большой бочки и других подручных материалов изготовил необычный термометр. Схема этого простого изобретения представлена на рисунке 5. В герметичной бочке находится вода. Высота столбика воды в прозрачной трубке зависит от температу- Рис. 5 ры. Определите чувствительность такого термометра в диапазоне летних и осенних температур 10–40 градусов Цельсия. Внутренний диаметр трубки значительно меньше внутреннего диаметра бочки. При решении задачи вам не обойтись без таблицы зависимости давления насыщенных паров воды от температуры:

Ф2637. На рисунке 6 показана схема простейшего теплообменника. В теплоизолированном баке находится теплоноситель при высокой температуре. Через бак проходит длинная и тонкая трубка-змеевик, сделанная из металла с высокой теплопроводностью. Определите конечную температуру первоначально холодной жидкости (напитка), протекшей через змеевик теплообменника. В рабочем режиме скорость про-

«КВАНТА»

текания и массу жидкости в змеевике считайте малыми. Известны следующие величины: $M, T_{0}$ – масса и начальная температура теплоносителя, $m, t_{0}$ – соответственно масса и начальная температура нагреваемой жидкости (напитка). Теплоемкости жидкостей считайте $равными,^{Рис.} 6$ потерями тепла можно пренебречь. Как изменится результат, если «поменять местами» жидкости – нагреваемую жидкость налить в бак, а через змеевик проливать теплоноситель?

Ф2638. Из материала с удельным сопротивлением U изготовлена тонкостенная сфера радиусом А (рис.7). Толщина стенок

Рис. 7

сферы $d E A, E_{≪} 1$. Небольшие области полюсов сферы (контактные области) изготовлены из сверхпроводника, их приближенно можно считать дисками радиуса r. Определите сопротивление сферы между контактными областями. Каким станет это сопротивление, если все геометрические размеры сферы увеличить в n раз?

Ф2639. Металлический стержень подвешен горизонтально на двух параллельных нитях (рис.8). Такая конструкция представляет собой гравитационный маятник, который имеет три степени свободы и соответственно может совершать три разных собственных колебаний. Очевидно, что период малых колебаний ортогональной моды (стержень при таком колебании смещается поперек оси симметрии) определяется $формулой^{T} 2 S l g$. Как изменит-

21

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Об ортоцентрических четверках, связанных с треугольником

$ЧАН^{КУАНГ}$ ХЮНГ

В этой статье рассказывается о некотором обобщении задачи М2553. В процессе рассуждений мы также получим решение задачи М2615. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть вписанная в него окружность имеет центр I и касается сторон BC, CA и AB в точках A 1, B 1 и C 1 соответственно. В задаче М2553 через K и L были обозначены центры окружностей, вписанных в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1 соответственно, а через H – основание высоты, опущенной из точки C. Точки P и Q определялись как точка пересечения биссектрисы угла AHC с A 1 C 1 и точка пересечения биссектрисы угла BHC с B 1 C 1 соответственно. Утверждение задачи состояло в том, что четверка K, L, P, Q – ортоцентрическая. Решение задачи М2553 было приведено в статье А.Заславского «Об одной ортоцентрической четверке» в «Кванте» №7 за 2019 год. Там же доказывались некоторые другие свойства этой конструкции. В частности, было показано, что прямая PQ проходит через C, точка D пересечения KQ и PL лежит на AB, при этом CD – общая касательная к окружностям, вписанным в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1. Автор обнаружил обобщения этих фактов, которые можно сформулировать в виде теоремы. Теорема. Пусть D – произвольная точка на стороне AB треугольника ABC, а K и L – центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD соответственно (рис.1). Пусть $P LD \cap A 1 C 1$,

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201103

Рис. 1

$Q KD \cap B 1 C 1$. Тогда прямая PQ проходит через C, а четверка точек K, L, P, Q – ортоцентрическая. Поскольку прямые DKQ и DLP – биссектрисы смежных углов, они перпендикулярны, т.е. одна из нужных перепендикулярностей установлена: QK A PL. Ниже мы докажем, что CP A KL. Поскольку, аналогично, CQ A KL, это завершит доказательство теоремы, так как отсюда будет следовать и то, что точки C, P, Q лежат на одной прямой, и еще одна перпендикулярность PQ A KL. Введем точку M пересечения CK с B 1 C 1. В качестве вспомогательного утверждения будет выступать задача М2615. М2615. В треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон CA и AB в точках B 1 и C 1 соответственно (рис.2). На стороне AB выбрана произвольная

Рис. 2

25

ПР АКТИК У М

Чертеж в геометрической задаче

Г.ДОРОФЕЕВ, Н.РОЗОВ

НА РОЛЬ ЧЕРТЕЖА В РЕШЕНИИ геометрической задачи поступающие смотрят по-разному. Одни думают, что чертеж вообще не нужен, и выполняют его подчеркнуто небрежно. Другие, наоборот, считают сам чертеж достаточным аргументом в рассуждениях и даже не находят нужным как-либо обосновывать то, что «видно из чертежа». Обе эти крайние точки зрения неправильны. Разумеется, никакой чертеж, даже самый аккуратный, не может заменить логического доказательства, а является лишь иллюстрацией к рассуждениям. Любой геометрический факт, который мы «увидели» на чертеже, необходимо строго обосновать – только тогда можно утверждать, что этот факт действительно имеет место, а не получен из верного (или, что гораздо опаснее, неверного) рисунка. В то же время наглядный чертеж – хороший помощник при решении задачи: он может подсказать идею необходимых рассуждений и вычислений, натолкнуть на мысль использовать некоторую теорему или придумать удачное дополнительное построение. Недаром математики вообще часто прибегают к геометрическим иллюстрациям, чтобы сделать идеи доказательства более понятными. Однако помочь решить задачу может только чертеж, правильно отражающий существенные геометрические особенности конфигурации, о которой идет речь в условии. Именно поэтому к чертежу следует относиться очень внимательно. Часто поступающие ограничиваются первым более или менее удачно выполненным рисунком, не интересуясь, насколько точно сделанный чертеж отвечает условию задачи.

Опубликовано в «Кванте» №6 за 1976 год.

А Б ИТ УР И Е НТА

Между тем, во многих задачах провести полное решение по одному чертежу в принципе невозможно, поскольку условие задачи допускает существование геометрически различных конфигураций. Кроме того, такая привязанность к одному «случайному» чертежу приводит и к иной неприятности: в ходе решения задачи может обнаружиться противоречие между получающимися результатами и исходным чертежом, которое обычно ставит поступающих в тупик. Однако при правильном понимании роли чертежа в этом нет ничего страшного – следует просто отказаться от первоначального изображения и сделать новый чертеж, соответствующий появившейся геометрической информации (конечно, при условии, что проведенные рассуждения и вычисления правильны). При построении чертежа бывает полезно делать не примерный эскиз, дающий лишь общее представление о геометрической конфигурации, а стремиться последовательно конструировать чертеж, опираясь на данные задачи и общие геометрические факты. При таком подходе легче «увидеть» те идеи, которые можно применить в решении. Задача 1 (МГУ, ф-т почвоведения, 1974). В треугольнике АВС угол В равен 90q, АВ 4. На стороне ВС взята точка D так, что BD 1. Окружность радиуса 5 2 проходит через точки В и D и касается в точке В окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АВС. Прежде всего построим треугольник АВС с прямым углом В (рис.1). Для построения окружности, описанной около этого треугольника, выясним сначала, где находится ее центр О и чему равен ее радиус. Как известно, центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в

Рис. 1

30

КВАН T 2020/№11–12

Искомый отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного $треугольника_{1}^{BB} A, катет_{1}^{BB}$ которого определяется из прямоугольного треугольника $CB_{1}^{B} :_{1}^{BB} 2 r$ sin M. Остается найти катет $AB_{1}$. Прямые ОА $и_{1}^{BB}$, перпендикулярные к плоскости Р, лежат в одной плоскости. Проведем в ней прямую $ON_{P} AB_{1}$; тогда $AONB_{1}$ – прямоугольник и, следовательно, $AB_{1} ON, NB_{1} OA r$. Так как

NB

BB 1 NB 1

2 r sin M r,

Рис. 9

то из $треугольника^{ONB}$

$ON^{2}$

$OB^{2} NB^{2}$

$4 r^{2}$ sin M 1 sin M, а из $треугольника_{1}^{BB} A$

AB

$AB_{1}^{2} BB_{1}^{2}$

$ON^{2} BB_{1}^{2}$

2 r sin M.

Не следует, однако, думать, что задача решена. В самом деле, при вычислении отрезка$^{NB}$ мы существенно использовали тот факт, что точки $В,^{N} и_{1}^{B}$ расположены именно так, как это изображено на рисунке 8. Но из условия задачи вовсе не следует, что $точка^{N}$ лежит между В $и_{1}^{B}$; точка В может лежать между $точками^{N} и_{1}^{B}, точки^{N}$ и В могут даже совпадать. Только рассмотрев все эти случаи, мы можем утверждать, что провели исчерпывающее решение задачи.

Если точка В лежит $между^{N} и_{1}^{B}$ (рис.9), то $NB NB_{1}^{BB} 1 r 2 r$ sin M, а дальнейшее вычисление $отрезков^{ON}$ и АВ проводится точно так же, как и выше; в результате мы приходим к той же формуле для отрезка АВ. Если, наконец, $точки^{N}$ и В совпадают, то ясно, $что_{1}^{BB} ON r$, и AB r 2. В этом случае в треугольнике $CB_{1}^{B} катет_{1}^{BB} r$ составляет половину гипотенузы СВ 2r, а потому M 30 q, т.е. AB 2 r sin M. Таким образом, равенство AB 2 r sin M справедливо при любых возможных значениях M. Решение этой задачи можно провести и с помощью рассуждений, не зависящих от конкретного расположения точек $В,_{1}^{B} и^{N}$ – попробуйте сделать это самостоятельно.

КОНК УРС ИМ Е НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com view savin-contest Желаем успеха!

9. Можно ли записать в каждой вершине куба натуральное число так, чтобы все 8 чисел были различны, но произведение чисел в вершинах каждой грани было одно и то же? М.Евдокимов

10. а) На клетчатом листе нарисовали четырехугольник с вершинами в узлах сетки (рис.1). Докажите, что у него один из углов в два раза больше другого. б) Нарисуйте на клетчатом листе выпуклый четырехугольник с вершинами в уз-

…можете вы указать, где находится кончик летящей стрелы? Зенон Элейский

Почему если к дереву приложить топор, обремененный тяжелым грузом, то дерево будет повреждено незначительно, но если поднять топор без груза и ударить по дереву, то оно расколется? Аристотель

Вопреки здравому смыслу, сила давления на дно сосуда не зависит от его формы, а зависит

лишь от высоты столба жидкости, ее плотности и площади дна. Парадокс Паскаля …Пока ящик не открыт, кот внутри ящика пребывает в суперпозиции двух состояний, т.е. ни жив, ни мертв. Парадокс Шрёдингера …в физике парадокс – всего лишь путаница в нашем собственном понимании. Ричард Фейнман Когда съедают бублик, куда девается дырка? Фольклор

А так ли хорошо знакомы вам

?

физические парадоксы

История физики изобилует парадоксами! Иногда нехитрыми, требующими лишь более внимательного взгляда и привлечения уже известных знаний, чтобы разрешить кажущиеся противоречия. А порой глубокими, затрагивающими основы существующих теорий и ведущими к их пересмотру. Размышления над парадоксами занимали умы выдающихся ученых, а их анализ сыграл важную роль в развитии современной физики. Однако и в пределах школьного курса найдется немало задач, носящих парадоксальный характер и вроде бы расходящихся со здравым смыслом. Их решение, надеемся, позволит выйти за рамки привычных, стандартных подходов, расширит представления о физических явлениях, а также предостережет от некоторых, бывает обидных, ошибок. Вооружимся парадоксальной поговоркой «невероятно, но факт» – и смело вперед!

Вопросы и задачи

1. В закрытом равномерно движущемся вагоне в центре пола лежит мяч, а над ним у потолка висит легкий резиновый шарик, надутый водородом. Как будут двигаться мяч и шарик, если вагон резко затормозит? Сопротивлением воздуха и трением мяча о пол можно пренебречь.

2. А как бы на вопрос Аристотеля (см. эпиграф) ответили вы? 3.Обруч, раскрученный в вертикальной плоскости и посланный по полу рукой гимнастки, через несколько секунд сам возвращается к ней. Чем это объяснить? 4. Шарик массой m, связанный нитью с неподвижной осью, движется по окружности со скоростью v. Его кинетическая энергия равна $mv^{2} 2$ и постоянна. Однако в системе отсчета, движущейся в плоскости вращения шарика со скоростью v, его кинетическая энергия изменяется от 0 до $2mv^{2}$. Согласуется ли это с законом сохранения энергии? 5. На монете начерчена мелом прямая линия. Разве не должна искривляться эта линия, если монету нагреть? 6. Если капнуть воду на горизонтальную раскаленную плиту, то капелька долго держится, почти не испаряясь. Если сделать это при слабо накаленной плите, то капелька почти мгновенно с шипением испарится. Как истолковать разницу в таком «поведении» капельки? 7. Открыв дверцу холодильника в жаркий день, мы чувствуем поток устремленного в комнату охлажденного воздуха. Можно ли таким путем создавать прохладу в комнате?

8. Медная труба с внешним диаметром 1 см служит проводником пара. Чтобы уменьшить тепловые потери, ее покрыли слоем теплоизоляции толщиной 5 мм. Однако потери после этого не только не уменьшились, но даже возросли. Почему? 9. Разность потенциалов между обкладками заряженного плоского воздушного конденсатора прямо пропорциональна расстоянию между ними. Раздвигая пластины, мы вроде бы можем неограниченно увеличивать эту разность потенциалов. Нет ли здесь противоречия? 10. К положительно заряженному шару А поднесли металлический положительно заряженный шар В, который стал притягиваться к шару А. Как же так, ведь одноименно заряженные тела должны отталкиваться!? 11. С помощью маленького осколка зеркала на стене наблюдают солнечный «зайчик», причем его круглая форма почемуто не зависит от формы осколка. В каком случае это происходит? 12. Спичкой можно закрыть от глаза какое-нибудь слово книжного текста. Однако если держать спичку в 1–2 сантиметрах от глаза, то текст будет виден «сквозь» спичку. Чем это объясняется?

Микроопыт

Возьмите стакан, до половины заполненный водой, и накройте его листом бумаги. Плотно прижмите бумагу рукой и переверните стакан вверх дном. Убедившись, что бумага расположена горизонтально, уберите руку. Вода не выливается! Что за парадокс?

Любопытно, что…

…по главной апории (по-гречески – затруднение) Зенона против движения, летящую стрелу нельзя отличить от покоящейся. Выйти из этого «безвыходного положения» удалось лишь в середине XVII века с введением Гюйгенсом понятия скорости. …мировоззренческой основой древнегреческих ученых, приводящей к парадоксам, был отказ от каких бы то ни было текущих процессов, якобы недоступных для научного анализа, и ограничение од-

ними лишь застывшими «состояниями». …знаменитый гидростатический парадокс, вошедший в школьные учебники под именем закона Паскаля, значительно ранее был открыт Симоном Стевином, кстати говоря, восстановившим результаты, полученные еще Архимедом. …в соответствии с установленным в 1905 году законом, значительная часть энергии в спектре теплового излучения приходится на его коротковолновую (ультрафиолетовую) область, что противоречит эксперименту. Такое несовпадение получило название ультрафиолетовой катастрофы или парадокса Рэлея – Джинса. …ньютонова теория тяготения оказалась неприменимой к появившейся в начале ХХ века новой модели Вселенной, приводя к гравитационному парадоксу, согласно которому в любой точке Вселенной должна действовать бесконечно большая сила. …прошлый век подарил новые, поначалу казавшиеся парадоксальными, физические представления: электрическое и магнитное поля не существуют отдельно, а для разных наблюдателей одно и то же поле может проявляться или как магнитное, или как электрическое, или как их смесь в самых разных пропорциях. …расхождение в возрасте близнецов, один из которых остается на Земле, а другой совершает космическое путешествие, – пожалуй, самый известный парадокс в теории относительности. …в конце ХХ века активно обсуждался так называемый квантовый эффект Зенона. Его основное парадоксальное утверждение заключалось в том, что непрерывное наблюдение за процессом радиоактивного распада делает сам распад невозможным.

Что читать в «Кванте» о физических парадоксах (публикации последних лет) 1. «О роли парадоксов в развитии науки» – 2016, приложение №2, с.165; 2. «На том стоим!» – 2018, №5, с.26; 3. «Относительность движения в задачах динамики» – 2019, №4, с.40; 4. «Парадокс Вавилова» – 2020, №1, с. 59.

Материал подготовил А.Леонович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Две задачи о покрытии доски уголками

А.КАНУННИКОВ

ОДНА ИЗ РАСПРОСТРАНЕННЫХ кружковых тем – замощения, разрезания, раскраски. Типичная задача на эту тему формулируется так: «Можно ли данную фигуру, состоящую из клеток, разрезать на фигурки данного вида?» (см., например, [1]). В этой статье мы решим две схожие исследовательские задачи о покрытии прямоугольной доски уголками. Задача 1. Доски каких размеров m u n можно разрезать на уголки из трех клеток? Очевидно, что число клеток mn должно быть кратно 3, а значит, m или n кратно 3. Рассмотрим близкую задачу, в которой это ограничение снимается. Задача 2. Доски каких $размеров^{m} u^{n}$ можно покрыть уголками из трех клеток равномерно в несколько слоев? (Каждая клетка покрывается одним и тем же числом уголков.) В ответе к этой задаче m и n уже могут быть не кратны 3 (в этом случае число слоев будет кратно 3). Интересное решение задачи 2 для доски 5 u 7 автор увидел в книжке [2], когда был школьником. Догадаться до этого решения весьма не просто.

покрыть уголком двумя способами (рис.1) – в обоих случаях однозначно ставится еще один уголок снизу и эти два уголка образуют $прямоугольник^{3} u^{2}$. К оставшейся $доске^{3} u^{n} 2$ применяем то же рассуждение и получаем, что $доска^{3} u^{n}$ разрезается на уголки $œ^{n}$ четно. (1) Далее возьмем $m 6. Доски^{6} u^{2} и^{6} u^{3}$ можно разрезать на $блоки^{3} u^{2}$, а значит – и на уголки (рис.2). Отсюда ясно, что доска 6 u n разрезается на уголки при любом n! 1. (2)

Рис. 2

Действительно, при четном n такая доска разрезается на доски 6 u 2, а при нечетном n – на одну $доску^{6} u^{3} и^{n} 3^{2} досок^{6} u^{2}$. Осталось исследовать доски с нечетными m, n! 3, где m кратно 3. Наименьшие значения: m 9 и $n^{5.}$ На разрезание $доски^{9} u 5$ может уйти много неудачных попыток. В решении поможет раскраска доски, показанная на рисунке 3. Ясно, что каждый уголок покрывает не более чем одну зеленую клетку. С другой стороны, зеленых клеток 15 – столько же, сколько должно быть уголков. Значит, в каждом уголке должно быть по

Решение задачи 1

Будем считать, что m кратно 3. Начнем со случая m 3. При n 2 получаем прямоугольник$^{3}$ $u^{2}$, который разрезается на два уголка. Исследуем общий случай $доски^{3} u^{n}$ при n! 1. Ее левую верхнюю клетку можно

Рис. 3

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201105

Рис. 4

40

КВАНТ 2020/№11–12

ками, не расставляя числа. Рассмотрим, к примеру, доску 5 u 7. Пусть ее можно покрыть уголками в N слоев. Тогда число зеленых клеток во всех слоях равно 12N, а число уголков равно $35^{N} 3$. Но в каждом уголке – не более одной зеленой клетки, значит, уголков не больше, чем зеленых клеток (по всем слоям), $т.е.^{12} N 35^{N} 3$ – противоречие. Это решение рассказала преподаватель Малого мехмата Марина Молчанова. Особого внимания заслуживает доска 7 u 7. Если мы научимся покрывать ее, то сможем покрыть вообще все не рассмотренные ранее доски $7^{2} p u 7^{2} t$. (8) Достаточно показать, что, вырезав любую клетку доски 7 u 7, мы сможем покрыть оставшуюся часть уголками в один слой. В самом деле, наложив друг на друга все 49 таких покрытий, мы покроем доску 7 u 7 в 48 слоев! Конечно, примеры покрытий достаточно привести не для 49 клеток, а всего для 10 – они отмечены на $рисунке^{7,}$ любая

Рис. 8

Рис. 7

другая клетка переводится в одну из отмеченных поворотом или отражением доски. Каждая из 10 клеток, отмеченных на рисунке$^{7,}$ попадает в один из квадратов 2 u 2, выделенных красным. После вырезания клетки такой квадрат сам становится уголком, а как разрезать оставшуюся часть доски, показано на соответствующем из рисунков 8,а-в. Суммируя утверждения (4)–(8), получаем следующую теорему. Теорема 2. Доска m u n равномерно покрывается уголками в следующих случаях и только в них: $1)^{mn}$ четно $и^{m,n}$! 1; $2)^{m,} n$ нечетны и больше 3, кроме досок 5 u 5 и 5 u 7.

Литература 1. С.Табачников, Д.Фукс. Невозможные замощения. – «Квант», 2011, №2. 2. А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи. Как решать нестандартные задачи. – М.: МЦНМО, $2008.^{3.}$ П.А.Кожевников. Замощения: от шахматной раскраски до диаграмм Ван-Кампена и групп Конвея. – Материалы ЛШСМ-2013, https://www.mccme.ru/dubna/2013/ courses/kozhevnikov.htm

47

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

МАТЕРИАЛЫ

Рис. 14

3. В электрической цепи (рис.14) все элементы идеальные, конденсатор не заряжен. Величины E, R, C известны, r R. Ключ K на некоторое время замыкают, а затем размыкают, когда скорость роста энергии конденсатора максимальна. 1) Найдите ток, текущий через конденсатор, сразу после замыкания ключа. 2) Найдите ток, текущий через конденсатор, сразу после размыкания ключа. 3) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания ключа? 4. В цепи используется мостовая схема (рис.15,а). ЭДС идеального источника

Рис. 15

E 10 В, $R_{2} 12$ Ом, $R_{3} 8$ Ом, $R_{4} 2$ Ом. Вольт-амперная характеристика диода показана на рисунке 15,б, пороговое напряжение диода $U_{0} 1$ В. 1) Найдите ток через резистор сопротивлением $R_{3}$ при разомкнутом ключе K. 2) При каких значениях $R_{1}$ ток потечет через диод при замкнутом ключе K? 3) При каком значении $R_{1}$ мощность тепловых потерь на диоде будет равна $P_{D} 1,25$ Вт?

Рис. 16

5. Оптическая система состоит из тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F (F! 0), плоского зеркала и небольшого экрана Э, расположенного так, что свет от источника S может попасть на линзу только после отражения от зеркала (рис.16). Зеркало расположено перпендикулярно главной оптической оси линзы $OO_{1}$. Источник S находится на расстоянии 3 F 4 от оси $OO_{1}$ и на расстоянии F 2 от плоскости линзы. Линза и источник неподвижны, а зеркало движется со скоростью v вдоль оси $OO_{1}$. В некоторый момент зеркало оказалось на расстоянии F от линзы. 1) На каком расстоянии от плоскости линзы наблюдатель A сможет увидеть в этот момент изображение источника в системе? 2) Под каким углом D к оси $OO_{1}$ движется изображение в этот момент? (Найдите значение любой тригонометрической функции угла.) 3) Найдите скорость изображения в этот момент. Публикацию по математике подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, И.Глухов, А.Головко, С.Городецкий, В.Дубинская, Ю.Кузьменко, Е.Молчанов, О.Подлипский, Д.Терёшин; по физике – Л.Колдунов, В.Плис, В.Усков, В.Чивилёв, А.Шеронов, Ю.Юрьев

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров журнала. Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»_{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

ИНФОРМАЦИЯ

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (национального исследовательского университета) (МФТИ) проводит набор в 8–11 классы учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т. п.), расположенных на территории Российской Федерации. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 100 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее бывший ученик. Научно-методическое руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт. Обучение в школе ведется по четырем предметам научно-технической направленности – физике, математике, информатике и химии. В 8 классе изучаются только физика и математика. В 9–11 классах к этим предметам добавляются математические основы информатики и ИКТ (информатика) и химия. Учащиеся могут по своему выбору изучать один, два, три или четыре предмета. Количество заданий в год по классам и предметам представлено в таблице:

Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики, высшей математики и департамента химии МФТИ, а также выпускники МФТИ и другие специалисты, имеющие большой опыт работы с одаренны-

ми школьниками. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и 10–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные. Примеры заданий можно посмотреть на сайте ЗФТШ. Цель нашей школы – помочь учащимся 8–11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся предметами научно-технической направленности, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Программы ЗФТШ являются профильными дополнительными общеразвивающими программами и едины для всех отделений. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2021 22 учебный год проводится на заочное, очное и очно-заочное отделения. Полная программа обучения рассчитана на 4 года – с 8-го по 11-й классы включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. Согласно положению о ЗФТШ учащийся может обучаться только на одном отделении ЗФТШ. Учащиеся всех отделений, успешно справившиеся с программой ЗФТШ, по окончании 11 класса получают свидетельство с итоговыми оценками по изучавшимся в 11-м классе предметам. При поступлении в МФТИ свидетельство об окончании ЗФТШ будет учитываться в первую очередь в ранжировании при прочих равных условиях. Ученикам всех отделений будет предложено участвовать в физико-математической олимпиаде «ФИЗТЕХ – 2022», которая проводится на базе МФТИ и в ряде городов России в феврале или начале марта, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и его факультетов. Для учащихся и руководителей факультативных групп работает online-лекторий по физике, математике и химии по программе ЗФТШ. Лекции читают преподаватели МФТИ (как правило, авторы заданий). Подробнее об этих мероприятиях можно прочитать на сайте ЗФТШ. Обучение в ЗФТШ бесплатное. Для учащихся, проживающих за пределами Российской Федерации, возможно только платное обучение на заочном или очнозаочном отделении.

49

ИНФОРМАЦИЯ

ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (индивидуальное заочное обучение) Телефон: (495) 408-51-45, e-mail: [email protected] Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительного задания по выбранным для изучения предметам. Школьники, поступающие на заочное отделение, выполняют вступительное задание на сайте https: zftsh.online в формате онлайн-олимпиады. Олимпиада стартует 22.03.2021 в 9.00 и закончится 28.03.2021 в 21.00 (время московское). На выполнение заданий по каждому предмету дается 4 часа. Решение приемной комиссии будет сообщено до 1 июня 2021 года по указанному при регистрации адресу электронной почты. Также в личном аккаунте появится справка о зачислении в ЗФТШ. При регистрации на https: zftsh.online необходимо прикрепить хорошо читаемую копию справки из школы. Вниманию школьников, уже обучающихся на заочном отделении ЗФТШ Если школьник уже обучается в ЗФТШ и хочет добавить на следующий год еще предмет, необходимо с 22.03.21 по 28.03.21 выполнить на сайте https: zftsh.online вступительное задание по этому предмету. Выполнить вступительное задание нужно из своего уже имеющегося аккаунта. Еще раз регистрироваться не надо. Решение приемной комиссии в таких случаях не высылается, а справка о добавлении предмета и задания по нему становятся доступными ученику в личном аккаунте в июле в случае положительного решения приемной комиссии. Обучение на платформе zftsh.online Ученик в течение учебного года в соответствии с программой получает в личном кабинете на сайте https: zftsh.online доступ к заданиям по изучаемым предметам. Ученик выполняет на сайте задания с помощью встроенного редактора или путем прикрепления скан-копий или фотографий работ, выполненных в тетради. Работы по истечении срока выполнения проверяют на сайте закрепленные за учеником преподаватели ЗФТШ. Как только ра-

бота проверена, ученик видит свою работу с рецензией и авторскими решениями контрольной части задания.

ОЧНО-ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (обучение в факультативных группах) Телефон: (498) 744-63-51, e-mail: [email protected] Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении двумя, тремя или четырьмя преподавателями – физики, математики, информатики и химии, в отдельных случаях разрешается обучение по одному предмету. Руководители факультатива принимают в него учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ЗФТШ (работы проверяются руководителями групп и в ЗФТШ не высылаются). Вступительное задание для очно-заочного отделения будет размещено на сайте school.mipt.ru 29 марта и будет доступно до 30 мая. Группа (не менее 7 человек) принимается в ЗФТШ по заявлению директора на бланке общеобразовательного учреждения (образец можно посмотреть на сайте ЗФТШ в разделе «отделения» o «очно-заочное» o «поступление»). В заявлении должны быть указаны Ф.И.О. руководителей факультативной группы по предметам и поименный алфавитный список обучающихся (Ф. И. О. в алфавитном порядке полностью с указанием класса, в который поступают учащиеся, и итоговых оценок за вступительное задание по выбранным предметам, адрес, телефон и e-mail школы). Заявление можно выслать обычной почтой, вложив конверт для ответа о приеме в ЗФТШ с обратным адресом одного из руководителей на адрес ЗФТШ (с пометкой «Факультатив»), или выслать в отсканированном виде (с подписями и печатью) на e-mail: [email protected] до 1 июня 2021 года. Работа руководителей факультативов может оплачиваться общеобразовательным учреждением как руководство профильными факультативными занятиями по предоставлении ЗФТШ соответствующих сведений. Руководители, работающие с учащимися, будут в течение учебного года: получать учебно-методические материалы (програм-

50

КВАНТ 2020/№11–12

мы по физике, математике, химии и информатике, задания по темам программ, решения заданий с краткими рекомендациями по оценке работ учащихся); приглашаться на курсы повышения квалификации учителей физики и математики (kpk.mipt.ru), проводимые на базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оценивают руководители факультативных групп (в ЗФТШ не высылаются), а в ЗФТШ высылаются ведомости с итоговыми оценками по каждому заданию и итоговая ведомость (11 класс) за год, образец – на сайте ЗФТШ. (Подробнее – в разделе «Рекомендации».)

ОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (заочное обучение с посещением очных консультаций) Телефон: (925) 755-55-80, Группа ВК: https: vk.com vftsh Для учащихся Москвы и Московской области по программе ЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Набор в них проводится в сентябре в два $этапа:_{i}$ заочный этап – тестирование на сайте http: $zftsh.online,_{i}$ очный этап – устные экзамены.

Более подробная информация о наборе на очное отделение будет размещена на сайтах ЗФТШ в августе 2021 года. Занятия с учащимися очного отделения проводятся в учебных корпусах МФТИ в городах Долгопрудный и Жуковский.

КОНТАКТЫ ЗФТШ Почтовый адрес: Институтский пер., д. 9, г. Долгопрудный, Московская область, 141700, ЗФТШ. Телефоны: (495) 408-51-45 – заочное отделение, (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, (498) 744-65-83 и (925) 755-55-80 – очное отделение. E-mail: [email protected] – заочное отделение, [email protected] – очно-заочное отделение. Web: www.school.mipt.ru https: zftsh.online ВК: https: vk.com club1032617 Очное отделение при ФАЛТ МФТИ в Жуковском E-mail: [email protected] ВК: https: vk.com vftshfalt

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«Квант» для младших школьников

ЗАДАЧИ (см. «Квант» №10)

1. Нужно стереть одну черту у цифры четыре, чтобы остался знак «+». 2. Нет. Пусть последовательные числа – это n и n 1, а соседние четные числа – это m и m 2 (m! 0). Если m t n, то m(m 2)! n(n 1). Если же m n, то m 2 d n 1 и m(m 2) n(n 1). 3. 8. Каждый из 24 квадратов примыкает ровно к одной вершине кубика. К каждой вершине кубика примыкают три квадрата, и они должны быть трех разных цветов. Значит, синих квадратов столько же, сколько вершин, т.е. 8. 4. Воспользуемся следующим очевидным утверждением. Имеется K карточек. Известно, что какие бы М из них ни взять, среди них окажется не менее N особых. В этом случае среди K карточек имеется не менее K – M + N особых.

Считая, что особые карточки – красные, в приложении к условию задачи имеем:

70

Считая, что особые карточки – синие, в приложении к условию задачи имеем:

Итак, в колоде находятся 68 красных и 32 синие карточки.

ЗАДАЧИ (см. «Квант» №11-12)

1. Как видно из рисунка 1, длина кошки примерно равна 0,5 м.