Квант 2021, №4 · Страницы

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Вселенной существует и расположен он где-то в направлении созвездия Льва. Так что вопрос о центре Вселенной снова становится актуальным. Но очень хотелось бы, чтобы абсолютная демократичность нашей Вселенной была ее неотъемлемым свойством. Поэтому давайте сейчас не будем спешить с выводами и подождем, пока тонкие детали распределения реликтового излучения не будут подвергнуты «еще более тонкому анализу». И, все-таки, в голове никак не укладываются две вещи: то, что мы видим – очевидную «недемократичность» рисунка 3,б, и то, что мы получили рассужде-

ниями – полную демократичность нашей Вселенной! Однако это противоречие легко разрешить. Давайте представим, что наша Вселенная – это воздушный шарик (рис.4,в), летящий в весеннем голубом небе. Когда шарик поднимается все выше и выше, его размеры увеличиваются, а все звезды и галактики, нарисованные на его поверхности, удаляются друг от друга абсолютно демократично. Так и наша Вселенная – она абсолютно демократична, но увидеть это воочию может лишь наблюдатель, находящийся вне ее!

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы завершаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com view savin-contest Желаем успеха!

29. В каждой клетке квадратной таблицы стоит 1 или 1. Сумма всех чисел в таблице равна 1. Можно ли определить, чему равно их произведение? Б.Френкин

30. Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Каждая точка делит соответствующую сторону в отношении 1 2 (для стороны AB либо AK KB 1 2, либо BK KA 1 2 и т.д.). Могло ли оказаться, что площадь четырехугольника KLMN больше площади четырехугольника ABCD? С.Дворянинов

31. На окружности отмечено 50 точек. Рассмотрим все треугольники с вершинами в них. Может ли среди них тупоугольных треугольников быть ровно в 2 раза больше, чем остроугольных? Е.Бакаев, С.Дворянинов

32. Рассмотрим последовательность чисел 1, 2, 3, …, n. За один шаг можно поменять местами любые два числа. Найдите количество последовательностей, которые можно получить из начальной за n 1 шагов, но нельзя получить за меньшее количество шагов. В.Расторгуев

И З ИСТОРИИ НАУКИ

Бывают ли отрицательные цифры?

Д.ЗЛАТОПОЛЬСКИЙ

Что такое отрицательные цифры

Как ни странно, ответ на вопрос, вынесенный в название статьи: «Да, бывают!» Впервые отрицательные цифры предложил использовать еще в 1726 году английский математик Джон Колсон в своей статье «Краткое изложение отрицательноположительной арифметики» [1]. Чтобы отличить отрицательные цифры от «обычных», он предложил обозначать их с черточкой над цифрой. Так, в начале статьи ученый приводит число 3709286573961472 и далее показывает, что оно соответствует «обычному» числу 2308726432039468, хотя приведенный пример не совсем соответствует цели, которую, как пишет сам Колсон, он ставит, вводя отрицательные цифры. А цель эта такая – упрощение арифметических операций над большими числами путем отказа от использования «больших» цифр 6, 7, 8 и 9 и замены их значениями с отрицательными цифрами 14, 13, 12 и 11. Здесь 14 10 4, так же, как 14 10 4 (аналогично для 13, 12, 11 ). В дальнейшем Колсон приводит пример такого преобразования – вместо числа 181937462 использовать при расчетах число $22 2 143542.^{1}$

Удобнее складывать

Показывая преимущества (по его мнению) своей системы, Колсон приводит такой пример сложения нескольких чисел:

1 Конечно, Колсон описывает в статье правила преобразования чисел с цифрами 6, 7, 8 и 9 в числа с отрицательными цифрами и обратно.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210402

Видно, что если бы слагаемые были представлены в обычной десятичной записи, то пришлось бы, например, в последнем разряде складывать цифры

3 8

7 1

8 6

5 в то время как в приведенном варианте нужно сложить цифры

3 2

3 1

2 4

5 что, конечно, проще (при этом уменьшается и вероятность ошибки).

14

КВАНТ 2021/№4

значим ее 1. Тогда последнее равенство можно записать в виде 2 ˜ $3^{m} 3^{m} 1 1$ ˜ $3^{m}$. А это означает, что любое целое число K можно изобразить в троичной системе счисления с помощью цифр 0, 1 и 1 (заменив в его развернутой записи все цифры 2 на соответствующую разность):

K

$b_{m} ˜^{3} m b_{m} 1 ˜^{3} m^{1}$ … $b_{1} ˜^{3} b_{0}$, где каждый из коэффициентов $b_{m}, b_{m} 1$, …

$..., b_{0}$ может быть равным 0, 1 или 1. Такой способ записи чисел называется «троичной уравновешенной системой $счисления».^{2}$ Так вот, если мы знаем, как записывается масса груза K в этой системе, то, чтобы уравновесить его на весах, нужно положить его на первую чашку весов, а гирю в 1 г поставить на вторую чашку, если $b_{0} 1$, и на первую чашку, если $b_{0} 1$ (если $b_{0} 0$, то гиря в 1 г вообще не используется); далее, гиря в 3 г ставится на вторую чашку, если $b_{1} 1$, и на первую, если $b_{1} 1$, и т.д. Легко понять, что, расставив гири по такому принципу, мы уравновесим груз. Прежде чем приводить пример, покажем, как преобразовать обычную троичную запись в запись в уравновешенной троичной системе. Для этого нужно для каждой двойки выполнить следующие действия: 1) заменить ее на цифру 1; 2) в соседнем слева разряде добавить 1 (если в этом разряде в результате получается 2, то для него указанные действия повторяются). Например, число 130, которое обычным образом записывается в троичной системе как 11211, во втором варианте будет иметь вид

5

4

111111 ( 3 3 3 3 3 3

3

2

1

0

130 ).

Таким образом, чтобы уравновесить груз в 130 граммов, положенный на одну из

2 Впервые такую систему описал француз- ский инженер Леон Лаланн в 1840 году. Он привел несколько первых натуральных чисел в этой системе:

1, 11, 10, 11, 111, 110, 111, 101, 100, 101, 111, …

чашек весов, нужно на ту же чашку положить гири в 81, 27 и 9 граммов, а на противоположную – гири в 243, 3 и 1 грамм. В решении задачи нам помогла уравновешенная троичная система счисления.$^{3}$ В заключение заметим, что «самый реальный» пример использования отрицательных цифр – это электронно-вычислительные машины $«Сетунь»^{4}$ и «Сетунь 70», разработанные, соответственно, в 1960 и 1970 году в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова под руководством Николая Петровича Брусенцова (1925–2014). Их устройство и работа были основаны на уравновешенной троичной системе счисления с цифрами 1, 0 и 1. [5]

Еще об уравновешенной троичной системы счисления Дональд Кнут, автор всемирно известной серии книг, посвященной основным алгоритмам и методам вычислительной математики, в книге [6, стр. 230–231] приводит другой метод $перевода.^{5}$ Он состоит в следующем. 1. К троичному числу прибавляется число из одних единиц. Например, для $130_{10} 11211_{3}$:

2. Из полученной суммы вычитается (поразрядно) число из одних единиц, использовавшееся при сложении (каждая цифра уменьшаемого уменьшается на 1):

3 Впервые на связь задачи о наборе гирь и уравновешенной троичной системы указал Люка в книге «Математические развлечения» [4]. Правда, ученый не описал, как решить задачу для конкретного значения веса $груза.^{4}$ Сетунь – название речки, протекающей неподалеку от $МГУ.^{5}$ Ученый называет уравновешенную троичную систему «быть может, самой изящной из всех систем счисления».

15

ИЗ

ИСТОРИИ

Результат совпадает с полученным в нашей статье.

Упражнения

1. Запишите в уравновешенной системе троичные числа: а) 210; б) 1202. 2. Запишите в уравновешенной троичной системе десятичные числа: а) 17; б) 53.

Свойства уравновешенной троичной системы счисления Уравновешенная троичная система счисления обладает многими весьма привлекательными свойствами. Во-первых, она дает возможность единообразно выражать как положительные, так и отрицательные числа (как отмечалось выше, при использовании двоичной системы отрицательные числа в компьютере представляются в так называемом «дополнительном коде»). В ней знак числа определяется первым символом в записи числа в этой системе: если он равен 1, то число положительное, а если 1 (1), то отрицательное. Очень просто перейти к противоположному числу, заменив 1 на 1 (1) и наоборот. В самом деле:

8 10

$101_{3} ; 8_{10}$

$101_{3}$.

Это значит, что сравнивать любые два числа можно как в десятичной системе, сравнивая цифры слева направо. Для округления вещественного троичного числа до ближайшего целого достаточно отбросить его дробную часть. Это свойство также достаточно очевидно, поскольку самая большая возможная положительная дробная часть 0,111… представляет сумму 1 3 1 9 1 27 …, которая всегда меньше 1 2. Арифметические операции в троичной симметричной системе практически не сложнее двоичных, а если учесть, что в случае чисел со знаком двоичная арифметика использует искусственные коды, то окажется, что троичная даже проще. Операция сложения всякой цифры с нулем

НАУКИ

дает в результате эту же цифру. Сложение 1 с 1 дает ноль. И только сумма двух 1 или двух 1 формируется путем переноса в следующий разряд цифры того же знака, что и слагаемые, и установки в текущем разряде цифры противоположного знака. Полностью таблица сложения, которой будем пользоваться для обычного сложения чисел «столбиком», имеет вид

Примечание. Запись 11 означает, что результат равен 1 и еще 1 переносится в следующий разряд, запись 11 – что результат равен 1 и еще 1 переносится в следующий разряд.

Сложим в уравновешенной троичной системе числа 412 и 181:

412 10

120021 3

1110111 3

181 10

20201 3

111101 3

Легко проверить, что $1111001_{3}$

$593_{10}$.

Упражнение 3. Найдите в уравновешенной троичной системе сумму чисел:

а) 10111 и 1101; б) 111011 и 11011. Результаты представьте в десятичной системе.

Столь же просто производится вычитание: для этого достаточно изменить знак вычитаемого на противоположный и сложить число с уменьшаемым. Конечно, можно проводить и «непосредственное» вычитание. Для этого удобно составить таблицу вычитания. Обсудим ее, поскольку при составлении такой таблицы получается ряд интересных результатов. Для следующих случаев ничего необычного нет: 1) 0 0 0; 2) 1 0 1; 3) 1 1 0; 4) 0 1 1 (это следует из правил алгебры и из таблицы сложения, приведенной выше); 5) 1 – 1 0 (по тем же причинам).

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2646, М2647 предлагалась на заключительном этапе XIII Олимпиады имени Л.Эйлера. Задачи Ф2653–2656 предлагались на Московской физической олимпиаде 2021 года.

Задачи М2646–М2649, Ф2653–2656 M2646. Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спербанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладет на счет $k (^{k}$! 0 ) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он $добавляет^{k} 1$ рублей, на третий$^{k}$ 2 рубля и т.д.). Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счет, общая величина счета уменьшается банком в два раза. Найдите все такие k, при которых сумма на счете всегда будет выражаться целым числом рублей. С.Берлов

M2647. При каких натуральных n можно так отметить несколько клеток доски n u n, чтобы во всех строках и столбцах было четное число отмеченных клеток, а на всех диагоналях, длина которых больше одной клетки, – нечетное? С.Берлов

M2648. Дан треугольник ABC. Пусть $точка^{C} c$ на стороне AB такова, что $отрезок^{CC} c$ делит треугольник на два треугольника с равными радиусами вписанных окружностей (рис.1). Обозначим через $t_{c}$ длину отрезка CC c. Аналогично $определим_{a}^{t} и_{b}^{t}$. Выразите площадь треугольника ABC через $t_{a}, t_{b}, t_{c}$. К.Мосевич Рис. 1

M2649. Изначально точечные частицы A, B, C находятся соответственно в точках 0;0, 1;0, 0;1 координатной плоскости. Каждую минуту какие-то две частицы отталкиваются друг от друга вдоль прямой, соединяющей их текущие положения, проходя одинаковое (положительное) Рис. 2 расстояние (рис.2). Может ли частица A оказаться в точке а) 3;3; б) 2;3? в) Могут ли B и C оказаться одновременно соответственно в точках 0;100 и 100;0? К.Кривошеев

Ф2653. Отношение количества кислорода к количеству азота в некотором объеме «неправильного воздуха» равно 1:5. На рисунке 3 изображены графики зависимости давления насыщенных паров азота (красная линия) и кислорода (синяя линия) от температуры. Температура неправильного воздуха в начальный момент $равна_{0}^{t} 120 q C$. В процессе охлаждения в некоторый момент времени кислород и азот одновременно начинают конденсироваться. Используя график, определите как можно точнее, каким было начальное давление неправильного воздуха, если охлаждение производилось изобарически. А если изохорически? А.Бычков, П.Крюков

22

КВАН T 2021/№4

фишки разбиты на 1200 блоков. Тогда ему надо получить блок 0-го типа (на самом деле он получит три таких блока, которые и составляют требуемую фишку). За ход Петя выбирает в каждой строке блок наименьшего типа. Один из этих трех блоков сдвинется вправо и превратится в три блока предыдущего типа, так что общее количество блоков останется тем же. Петя сможет так действовать, пока каждая строка непуста; осталось показать, что этого не случится до выигрыша. Действительно, заметим, что после каждого хода в любой клетке, кроме самых левых и той, в которую только что пришли фишки, стоит не более чем два блока. Значит, в каждой строке не более чем 400 99 ˜ 2 1 600 блоков. Поскольку общее число блоков равно 1200, в каждой строке осталось хотя бы по одному блоку, что и требовалось. И.Богданов, П.Святокум, А.Хузиева, Д.Шабанов

Ф2641. Прямой участок магистрального газопровода (МГ) высокого давления проходит с востока на запад мимо двух поселков: Анискино и Борискино. Поселки расположены севернее газопровода. Кратчайшие расстояния от этих поселков до газопровода составляют 14 км и 16 км соответственно. Расстояние между точками на МГ, которым соответствуют эти минимальные расстояния, равно 10,39 км. Для газификации поселков на магистральном газопроводе требуется построить одну распределительную станцию, которая будет подавать газ с уменьшенным давлением в поселки. Определите наименьшую суммарную длину газопровода низкого давления (ГНД), необходимую для поставки газа в поселки. Укажите также место на МГ, в котором следует построить эту распределительную станцию.

Возможны разные варианты. Рассмотрим два из них. 1) Есть общий для двух поселков участок трубы, который сначала идет по кратчайшему пути к Анискино, а затем продолже-

ние идет по кратчайшему пути из Анискино в Борискино. В этом случае длина ГНД составит

14 км +

2

16 14 10,39

2 км

24,58 км.

2. Вспомним вариант, который «ищет сама природа» в том случае, когда мыльная пленка натягивается на проволочную конструкцию и самопроизвольно «выбирает» такое расположение, при котором площадь этой пленки будет минимальной. Вот этот вариант мы и обсудим в подробностях. Представим себе три длинные параллельные друг другу проволочные конструкции, две из которых неподвижны, а третья может поступательно и без трения перемещаться в направлении, перпендикулярном себе самой (при этом каждая точка этой подвижной проволоки движется строго по прямой линии). Эта третья проволока, можно сказать, скользит без трения вдоль направляющих (вдоль магистрального газопровода). Естественно, конструкция остановится в таком положении, что три участка мыльной пленки будут образовывать друг с другом двугранные углы величиной 120q. При этом пленка, натянутая на подвижную проволоку, будет перпендикулярной к направляющим, вдоль которых может скользить эта подвижная проволочка (соответствующий общий участок ГНД будет перпендикулярен трубе магистрального газопровода). Ну вот, теперь можно заняться вычислениями. Участки ГНД, идущие от места раздвоения каждый к своему поселку, составляют с МГ углы 30q. Если провести такие линии через Анискино и Борискино (считая их точками), то пересечение этих линий произойдет на расстоянии 12 км от газопровода высокого давления. Таким образом, общий для двух поселков участок ГНД имеет длину 12 км. При этом точка на МГ, в которой нужно установить распределительную станцию, делит отрезок между точками с минимальными расстояниями от Анискино (А) и Борискино (Б) в отношении 1:2 и расположена ближе к точке А. В таком случае участки ГНД от

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Как возникает хаос. Законы равновесного хаоса идеального газа

А.ВЛАСОВ

ВСЕНТЯБРЕ 1859 ГОДА НА ЗАСЕДАнии Британской научной ассоциации Дж.Максвелл доложил о своих исследованиях в области молекулярной кинетической теории газов. В этом докладе впервые был приведен статистический закон распределения скоростей молекул. С этой работы в кинетической теории газов появляется вероятность, начинается становление статистической физики. Здесь уместно привести цитату из книги Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица «Статическая физика»: «Предмет статистической физики… составляет изучение особого типа закономерностей, которым подчиняются поведение и свойства макроскопических тел, т.е. тел, состоящих из колоссального количества отдельных частиц – атомов и молекул …На первый взгляд отсюда можно было бы заключить, что с увеличением числа частиц должны невообразимо возрастать сложность и запутанность свойств механической системы и что в поведении макроскопического тела мы не сможем найти и следов какой-либо закономерности. Однако это не так, и мы увидим в дальнейшем, что при весьма большом числе частиц появляются новые своеобразные закономерности. Эти – так называемые статистические закономерности… – ни в какой степени не могут быть сведены к чисто механическим закономерностям». Сразу отметим, что мы ограничимся исследованием простейших классических идеальных систем. Попытаемся проследить, как с ростом числа частиц, составляющих систему, в ней возникает предельный статистический порядок. Естественно, здесь не будет красивой (но для школьника непонятной)

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210403

математики, однако и без формул, в которых воплощен порядок хаоса, нам не обойтись. Отвечать на поставленные вопросы будет компьютер (естественно, мы предоставим ему соответствующую программу). Начнем с уточнения модели идеального газа.

Модель идеального газа Из школьного учебника известно, что идеальный газ – это система невзаимодействующих материальных точек. Но в такой модели нет главного – отсутствует возможность возникновения хаоса и, соответственно, нет возможности возникновения вероятностного порядка. Очевидно, что хаос в замкнутой (изолированной) системе невзаимодействующих частиц может возникать только в результате их столкновений. Столкновения возможны только между частицами, имеющими размер. Если считать молекулы газа упругими шариками, то возникает проблема «исключенного» объема. Газ твердых шариков – это уже не идеальный газ, и его равновесное состояние уже не подчиняется уравнению Клапейрона–Менделеева. Но можно исправить положение, предложив особый – виртуальный – механизм столкновений. В момент виртуального столкновения определяются (вычисляются) изменения скоростей, но эти изменения временно «откладываются». Шарики продолжают движение, и только в момент кратчайшего расстояния между их центрами «включается» отложенное изменение скоростей.

Распределение Максвелла и закон равномерного распределения Здесь нам не обойтись без понятия вероятности. Сделаем небольшое отступление в область элементарной теории вероятности. Физические процессы бывают детерминированными и случайными. Соответственно, параметры (физические величины), характеризующие эти процессы, являются детерминированными или случайными. Характер процессов и их параметров определяется в ходе повторных измерений. Для детерминированных величин повторные измерения дают неизменные результаты (в пределах погрешности измерения). Для случайных величин повторные измерения приводят к множеству (спектру) значений. Вероятность – характеристика случайного процесса. Ее «математика» строится на идее

33

ФИЗИЧЕСКИЙ

координаты частиц рассчитываются по формулам $x_{i} x_{i}^{v} i$ ˜ dt, где dt – очень малый промежуток времени. При перекрытии сфер шариков возникает фаза удара. Рассчитываются новые скорости встретившихся молекул, и движение продолжается. На протяжении всего компьютерного эксперимента собирается необходимая информация о физическом состоянии системы. В нашем случае это статистика скорости и энергии молекул. На рисунке 4 показан вероятностный спектр скоростей молекул газа. Компьютер эту кар-

ФАКУЛЬТАТИВ

Рис. 5

Рис. 4

тинку получает следующим образом. Весь возможный интервал скоростей молекул делится на малые ячейки. После каждого шага движения в соответствующие ячейки (в те ячейки, в которые попадает скорость молекулы) добавляется по 1. По завершении достаточно продолжительного эксперимента содержимое ячеек делится на число шагов (число испытаний). Понятно, что таким делением мы определяем вероятность скорости молекул в данном интервале. Полученный график доказывает дискретность спектра скоростей молекул. Всего состояний 36. Можно отметить наличие достаточно четкой симметрии в спектре. И, что самое важное, этот спектр зависит от начальных условий. Тому подтверждение повторный график системы с другими начальными условиями (рис. 5). Интересно, что число состояний остается прежним, но картинка спектра существенно меняется. И наблюдается совсем неожиданное (для такой малой системы, всего 2 частицы) равенство средних энергий легкой и тяжелой частиц. В двух реализациях отношение средних энергий достаточно близко к единице (0,988 и 1,139).

Рис. 6

При увеличении числа частиц до 4 (две пары частиц легкая – тяжелая) функция вероятности резко меняется (рис. 6). Она становится практически непрерывной. Число состояний превышает 400 (число ячеек скорости). На графике видно, что уже все ячейки скорости заполнены, а точность вычислений уже не позволяет выявить дискретность. Смена начальных состояний практически уже не меняет спектр и поэтому при дальнейшем увеличении числа частиц можно перейти к функциям плотности вероятности. Для этого интервальную вероятность следует поделить на величину интервала. На графике на рисунке 7 представлена функция плотности вероятности проекции скорости для 3 пар частиц. Точки (крестики) – компьютерный эксперимент, синяя непрерывная линия соответствует теоретической функции Максвелла для случая одномерного идеального газа

$mv^{2}$

U v

m ˜ $e^{2} kT. 2 S kT$

34

КВАН T 2021/№4

Рис. 7

Двумерная модель идеального газа Здесь все значительно интереснее. Модели газа второй и третьей размерности должны иметь непрерывный спектр скоростей (при малом числе частиц дискретного спектра уже не будет). Это определяется непрерывностью углового параметра, определяющего изменение скоростей при столкновениях. Теперь посмотрим, как меняется спектр скоростей при увеличении числа частиц. На рисунке 10 представлен график для 2 частиц. Очень неожиданный и красивый результат – линейная функция плотности вероятности (для системы двух частиц наиболее вероятным является наличие максимальной скорости). Это очень далеко от функции Максвелла. Но стоит добавить одну частицу, и система начинает «исправляться» (рис. 11). С дальнейшим ростом числа частиц система очень быстро по спектру скоростей «сходится» к функции Максвелла (рис. 12 для 16 частиц). Здесь уместно привести (для любителей программирования) дополнительную инфор-

Рис. 8

Рис. 10

Рис. 9

На графике видно, что уже для 3 пар (6 частиц) проявляется достаточно четкая корреляция с функцией Максвелла. Следующий график (рис 8) соответствует системе из 10 пар (20 частиц). Здесь теоретическая кривая практически совпадает с экспериментальной, различия видны (небольшие флуктуации) только в области нулевых скоростей. И наконец, график на рисунке 9 для 50 пар (100 частиц) иллюстрирует, что эксперимент и теория идеально совпадают.

Рис. 11

37

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

A при этом совершили, если при вращении стержни отклонились на угол D 45 q? Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}$, размерами грузов можно пренебречь. 2. Колебательная система состоит из груза $массой^{m,} лежаще-_{Рис.} 4$ го на гладкой горизонтальной плоскости, невесомого гладкого блока, двух невесомых, нерастяжимых нитей и трех невесомых пружин $жесткостью_{1}^{k} 2 3$ Н см $,_{2}^{k} 1 2$ Н см $и_{3}^{k} 1$ Н см соответственно, соединенных так, как показано на рисунке 5. Центр масс груза лежит на одной горизонтали с прикрепленной к нему нитью и осью пружины $жесткостью_{1}^{k}$. В положении равновесия все пружины растянуты. Считая, что нити все время остаются $натянутыми,^{Рис.} 5$ определите круговую частоту Z малых гармонических колебаний груза. 3. В полностью заполненном баллоне объемом $V_{0} 5$ л помещается $m_{0} 2,5$ кг сжиженного пропана $( C_{3} H_{8} ).$ Если часть пропана из баллона выпустить наружу, то в нем будут находиться в равновесии жидкий пропан и его насыщенный пар. Найдите массу $m_{1}$ пропана, находящегося в баллоне в газообразном состоянии, когда из этого баллона выпущено D (%) первоначально находившегося пропана, если температуру пропана поддерживают постоянной и равной t 17 q C. Давление насыщенных паров пропана при этой температуре p 0,8 МПа. Молярная масса пропана 0 44 г моль, универсальная газовая постоянная R 8,31Дж моль ˜ К. 4. Две разноименно заряженные частицы находятся на оси х декартовой системы координат на расстоянии l 3 см друг от друга (рис.6). Удерживая одну частицу неподвижной, вторую частицу переместили в направлении оси у на расстояние $l_{1} 4$ см. При этом была совершена работа $A_{1}$. Рис. 6

МАТЕРИАЛЫ

Какую работу $A_{2}$ понадобится совершить, чтобы после этого передвинуть вторую частицу на расстояние $l_{2} 2$ см в направлении оси х? 5. На горизонтальном дне аквариума лежит плоское зеркало. Человек, наклонившийся над водой и смотрящий вертикально вниз, видит изображение своего глаза в зеркале на расстоянии l 50 см. Определите толщину слоя H воды в аквариуме, если глаз расположен на расстоянии h 10 см от ее поверхности. Показатель преломления воды считайте равным n 4 3. Учтите, что для малых значений аргумента M, заданного в радианах, можно считать tg M | sin M | M.

Заключительный этап

Заключительный этап олимпиады проводился 25–27 февраля 2021 года в дистанционном формате на портале https: exam.distant.msu.ru. Для участия в этом этапе к рабочему месту испытуемого предъявлялись определенные технические требования (с ними можно ознакомиться на сайте олимпиады). Задание для учащихся 7–9 классов состояло из четырех задач по темам, изучаемым в рамках программы по физике для основной общеобразовательной школы. Задания для учащихся 10–11 классов были составлены в полном соответствии с Кодификатором ЕГЭ 2021 года по физике и охватывали основные разделы Кодификатора, а именно: 1) механику, 2) молекулярную физику и термодинамику, 3) электродинамику и 4) оптику. Типовое задание состояло из четырех различных разделов, включающих задачи и уточняющие вопросы по теории. На выполнение заданий для всех классов отводилось 4 астрономических часа (240 минут).

7–9 классы 1. При выполнении лабораторной работы по физике ученик получил в свое распоряжение три пружины, жесткости двух из которых оказались $равными_{1}^{k} 10$ Н м $и_{2}^{k} 20$ Н м соответственно, а жесткость третьей была неизвестна. По указанию учителя ученик соединил все три пружины последовательно и растянул получившуюся составную пружину, подействовав на каждый из ее свободных концов силой F 1 Н (рис.7). Измерив полное удлинение ’ l со-