Квант 2021, №5 · Страницы

3

АНДРЕЙ

ДМИТРИЕВИЧ

А.Д.Сахаров во время интервью В.Губареву, март 1970 года (фотография Ю.Роста) решал самые трудные математические задачи, он часто делал это интуитивно, без той математической строгости всех доказательств, которую так любят и считают необходимой математики. Он часто не мог объяснить, как он нашел нужное решение. Это было одной из причин, по которой он в выпускном классе из математического кружка при МГУ перешел в физический кружок и серьезно увлекся физикой. Повидимому, большую роль в этом сыграл и его отец. Имея в свидетельстве об окончании средней школы (аттестаты зрелости ввели позже) только отличные отметки по всем предметам, в 1938 году Сахаров поступает на физический факультет Московского государственного университета и, несмотря на потерю времени при эвакуации факультета в Ашхабад, с отличием защищает дипломную работу в 1942 году. Как лучшему студенту выпуска, ему была предложена аспирантура. Но Сахаров отказывается от нее и в тяжелое военное время работает на военных заводах в Коврове и Ульяновске, таким образом осуществляя свое участие в общенародной борьбе с гитлеризмом. На патронном заводе в Ульяновске он делает ряд ценных рационализаторских предложений, разрабатывает оригинальную схему проверки качества внутренней части бронебойных патронов (которые у немцев назывались «фауст-патронами»). Если при изготовлении этой сердцевины патрона (специальной закалке) были до-

САХАРОВ

пущены технологические ошибки, то она имела пониженные прочностные свойства и патрон мог разорваться еще в стволе ружья. Во избежание этого смертельно опасного брака производились контрольные испытания из каждой партии изготовленных патронов. И при наличии хотя бы одного случая разрыва патрона при испытательной стрельбе уничтожалась вся партия. Отличить бракованный патрон по внешнему виду было нельзя – брак ведь таился во внутренней части этой сердцевины. Сахаров придумал способ определения этого невидимого брака с помощью нескольких магнитных полей, через которые сердцевина проходила последовательно, скользя внутри изогнутой медной трубы. Когда сердцевина останавливалась, последнее магнитное поле показывало, есть ли брак внутри или изделие вполне качественное. Работница видела этот результат по положению стрелки на циферблате и легко могла удалить бракованное изделие. Установку отличала простота конструкции и надежность контроля. Сахаров своими не очень умелыми руками изготовил первый опытный экземпляр установки (характерный штрих – необходимую изогнутую медную трубку он нашел на заводской свалке). Но для обоснования физической сущности явления и расчетов магнитных полей требовались немалые знания магнитных и механических свойств твердых тел. Значит, они уже были у молодого выпускника физического факультета. Но, пожалуй, самое главное, что уже содержалось в этой работе Сахарова и проявилось в его будущей деятельности, – это способность глубоко проникнуть в суть физического явления и воплотить идею в конкретную установку. Сахаров был премирован (премия в размере тогдашних 3000 рублей равнялась четырем месячным окладам). В своих «Воспоминаниях» через 40 лет он пишет, что с удивлением узнал о том, что описание его прибора вошло в учебники по технологиям военного дела, а сам прибор, собственноручно им изготовленный, находится в заводском музее.

4

КВАНТ 2021/№5

Перед самым окончанием войны Сахаров поступил в аспирантуру Физического института Академии наук к заведующему теоретическим отделом Игорю Евгеньевичу Тамму и через два года блестяще защитил кандидатскую диссертацию по теоретической физике элементарных частиц. Во время аспирантуры Сахаров вел обязательную педагогическую работу, читая лекции по физике в Московском энергетическом институте. После защиты диссертации Сахаров получил ряд предложений о работе в секретных организациях, занимавшихся воздействием радиоактивных излучений на человека. Но он отказывался от этих предложений, хотя они и предполагали значительное улучшение его материального положения (с женой и маленькой дочерью ему приходилось жить в общежитии). Сахаров был счастлив, работая в теоретическом отделе И.Е Тамма и занимаясь, по его выражению, «передним краем теоретической физики». Но в июне 1948 года Сахаров был включен в небольшую группу И.Е.Тамма по созданию термоядерного оружия (водородной бомбы). В то время это была самая секретная и самая важная научно-практическая работа в стране. У Сахарова, да и у самого Тамма, уже не спрашивали согласия работать по этой тематике. И через год они стали работать в сверхсекретном КБ-11 (ныне – наукоград Саров, Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики). Вскоре он становится одним из двух Главных теоретиков этого КБ. Впоследствии именно за работы по руководству созданием термоядерного оружия А.Д. Сахаров стал трижды Героем Социалистического Труда (1953, 1956, 1962), лауреатом Ленинской и трех Государственных премий. Характерно, что, будучи Главным теоретиком проблемы, Сахаров проявил себя и как замечательный конструктор и изобретатель, что и было отмечено в отзыве о его работе, сделанном тремя академиками, научными руководителями атомной проблемы, в 1953 году после испытания первой Сахаровской конструкции водородной бомбы.

Управляемый термоядерный синтез

Но, как сказано было в обращении академиков в правительство, одновременно с напряженной работой по созданию ядерного оружия, Сахаров достиг крупнейших результатов в важнейших областях физики. Речь шла об очень в то время секретных работах по использованию энергии термоядерного синтеза не только для взрыва водородной бомбы, а и для создания термоядерного реактора и получения с его помощью электроэнергии. Идея этого реактора, сформулированная Сахаровым вместе со своим старшим коллегой И.Е.Таммом, была им досконально рассчитана до уровня инженерного воплощения. Эта идея состояла в способе создания и удержания высокотемпературной (до 150 миллионов градусов) водородной плазмы особыми магнитными полями. Дело в том, что термоядерная реакция синтеза гелия из изотопов водорода может начаться только при температуре порядка 20 миллионов градусов – из-за необходимости преодолеть кулоновское отталкивание ядер и заставить их сблизиться почти вплотную. Только тогда начнут действовать ядерные силы притяжения и произойдет реакция синтеза с образованием альфа-частицы и нейтрона, имеющих температуру (энергию) уже много больше – сотни миллионов градусов. Именно это и происходит в звездах, где начальная температура, «спичка», достигается энергией сжатия огромной массы звезды. В водородной бомбе такой «спичкой» является цепная реакция ядерного взрыва урана (или плутония), электромагнитное излучение которого вместо звездной гравитационной энергии и сжимает водород до необходимой плотности и температуры. Идея необходимости создать управляемую реакцию синтеза высказывалась неоднократно. В 1949 году любитель-физик Олег Лаврентьев, моряк Тихоокеанского флота, прислал письмо в Академию наук, где высказал идею создания высокотемпературного плазменного кругового шнура (тора), удерживаемого от разлета электрическим полем. В США подобная идея

5

АНДРЕЙ

ДМИТРИЕВИЧ

выдвигалась крупным физиком Э.Теллером, руководившим, как и Сахаров, теоретическими работами по водородной бомбе. Но именно Сахаров еще в 1948 году выдвинул идею об удержании плазменного шнура не электрическим полем (что оказалось невозможным), а особыми магнитными полями – они были названы им тороидальными и полоидальными. Сахаров провел расчеты формы обкладок электромагнитов для создания таких полей и возможности получения необходимой начальной температуры («спички»). Эти расчеты были, конечно, гораздо сложнее тех, которые он делал, создавая магнитный дефектоскоп в своей первой научной работе в годы войны на патронном заводе в Ульяновске. Через несколько лет идея Сахарова об удержании плазмы особыми магнитными полями начала осуществляться и воплотилась в устройство, которое получило название «токамак» (сложная аббревиатура официального термина «тороидальная камера с магнитными катушками»). В основу работы были положены теоретические расчеты Сахарова и его конструкторские идеи о создании особых магнитных полей. Вначале эти работы, проводимые под руководством И.В.Курчатова и Л.А.Арцимовича, были совершенно секретными. Но в 1956 году Курчатов добился их рассекречивания и на международной конференции в английском ядерном центре в Харуэлле выступил с докладом об этих работах. Для всего научного мира (и не только научного) это стало сенсацией. К сожалению, Курчатов не мог упомянуть имени Сахарова – оно было очень сильно засекречено. Но во многих странах начались подобные работы. Они оказались трудными – начинавшаяся термоядерная реакция тут же прекращалась из-за возникавших неустойчивостей. Однако сегодня результатом этих работ стало осуществление грандиозного международного проекта ИТЭР – Международного термоядерного экспериментального реактора. 24 страны, и Россия в том числе, участвуют в этом проекте. Осталось подождать еще четыре года, и, по всей вероятности, на юге Франции

САХАРОВ

вспыхнет маленькая рукотворная звезда. Периодически будет вспрыскиваться очередная порция водородного топлива, и в раскаленных стенах, окружающих плазменный шнур, потоки воды будут превращаться в пар высокого давления, способный вращать турбогенератор. Только этот реактор будет еще не промышленным, он не предназначен работать как электростанция, на нем будут вестись исследования. Лишь потом начнется проектирование и постройка первого в истории Земли звездного источника электроэнергии. И это будет великой победой человечества! Но в юбилейном Сахаровском году очень важно напомнить, что дорогу к этой победе проложил именно Андрей Дмитриевич Сахаров!

Загадка антиматерии А.Д.Сахаров занимался не только термоядерным синтезом. Еще будучи Главным теоретиком ядерного центра, он вплотную занялся космологией, освоил ее достижения и сформулировал новые идеи, которые стали основополагающими для всей современной космологии. Одна из первых его идей была связана с отсутствием во Вселенной антивещества. В существовании античастиц физики уже давно (почти 100 лет) не сомневались. В 1927 году П. Дирак на основе специальной теории относительности и квантовой механики предсказал существование антиэлектрона. В 1934 он был обнаружен экспериментально и назван, правда, не антиэлектроном, а позитроном. Позитрон имеет точно такую же массу и величину электрического заряда, что и электрон, только этот заряд – положительный, а не отрицательный. Противоположны и другие характеристики позитрона (лептонный заряд и ориентация спина). Но главное свойство античастиц – аннигиляция. При встрече позитрона с электроном оба эти объекта исчезают, зато появляются два гамма-кванта (два – согласно закону сохранения импульса). Аннигиляция означает полное исчезновение массы (покоя) и появление вместо этого объектов с нулевой массой, обладаю-

7

АНДРЕЙ

ДМИТРИЕВИЧ

одной из гипотез все же упомянем. Речь идет о нестабильности протона. Для выводов Сахарова о барионной асимметрии протон должен быть нестабильным со средним временем жизни $10^{50}$ лет. Другими словами, барионный заряд может не сохраняться. Точных экспериментальных данных факта нестабильности протона нет, уж слишком мала вероятность его превращения. Но экспериментаторы ведут упорную работу по обнаружению этого явления. Поскольку число протонов в килограмме вещества не меньше $10^{27}$, существует надежда «поймать» этот процесс. Трудность в том, чтобы отличить этот процесс от множества других явлений, вызывающих срабатывание приборов-регистраторов. Вот уже больше 25 лет в японской подземной (чтобы защититься от космического излучения) лаборатории с помощью сотен приборов ведется наблюдение за огромным водоемом (50000 тонн воды). Результат пока такой – если и есть распад протона, то среднее время его жизни больше 1,6 ˜ $10^{34}$ лет. Что ж, это не опровергает гипотезу Сахарова. А во многих теоретических работах принцип нестабильности протона включен в число исходных постулатов.

Космологическая стрела времени и многолистная Вселенная Вторая группа космологических работ Сахарова относится к глобальным вопросам судьбы Вселенной во времени. В 1980-е годы одна за другой выходят работы Сахарова с такими захватывающими заголовками: «Космологические модели Вселенной с поворотом стрелы времени» (1980), «Многолистные модели Вселенной» (1982), «Космологические переходы с изменением стрелы времени» (1984). Все эти статьи были посвящены одной глобальной теме – что такое наш мир. Одна в нем Вселенная с единственной метрикой пространства-времени или Вселенных конечное либо бесконечное число? Меняется или нет направление космологической стрелы времени (расширение – сжатие Вселенных)? Одинаковы ли во Вселенных законы природы? Сахаров

САХАРОВ

выдвинул понятие Мегавселенной как совокупности различных Вселенных с разным числом измерений, разной сигнатурой (направлением стрелы времени), разными топологиями. А возможно, и с квантовой суперпозицией этих Вселенных. Любая из работ Сахарова представляет собой строгие обоснования его гипотез и насыщена такими математическими доказательствами, в которых нелегко разобраться неспециалисту. Тем более, что многое, кажущееся ему предельно понятным, он вообще в статьях не приводит (как это было еще в школьные годы его занятий математикой). Характерно, что эта особенность Сахарова – мгновенно совершать сложные математические преобразования – проявлялась и в его деятельности по теоретическому руководству конструкторскими работами. Его коллегам запомнился случай, когда для решения одной из проблем было создано несколько групп физиков и инженеров, каждая из которых возглавлялась крупным ученым. Результаты были получены через несколько недель работы. Когда Сахаров познакомился с этой задачей, то выполнил ее за несколько минут на одном листке бумаги. При этом он был огорчен тем, что, не зная о работе других групп, он невольно «подставил» их кажущейся ему простотой решения. Об этой необычайной особенности Сахарова академик А.Б.Мигдал сказал: «Талант попадает в цель, в которую никто попасть не может, а гений попадает в цель, которую никто не видит». А вот слова ближайшего коллеги Сахарова по работе в КБ-11 и по космологическим проблемам, тоже трижды Героя Социалистического Труда академика Я.Б.Зельдовича: «Мой мозг – это компьютер, который работает в 10 раз лучше мозга обычного человека. Мозг Сахарова невозможно классифицировать, он иначе устроен». Работы Сахарова по многолистной Вселенной также насыщены строгой математикой, как и все его другие работы. Но в своих «Воспоминаниях» и в Нобелевской лекции он делает из этих работ методологический вывод, который получил название «антропный принцип Вселенной», – мир так

9

АНДРЕЙ

ДМИТРИЕВИЧ

его разрушительное действие заставили Сахарова серьезно задуматься над экологической опасностью воздушных ядерных бомб. Что стало беспокоить их создателя? При воздушных ядерных испытаниях рождавшиеся в огромном количестве нейтроны превращали в радиоактивные изотопы многие элементы атмосферы и почвы. Главную экологическую опасность представлял радиоактивный изотоп углерода$^{14}$ C. В составе углекислого газа он распространялся по всему миру, и защиты от него не было. И Сахаров со всей своей силой аналитического ума подсчитал вероятностное действие этого изотопа на человечество. К этому времени радиобиологическая медицина накопила обширную статистику по лучевой болезни и ее влиянии на организм. Обработка этих статистических данных привела Сахарова в ужас. Он вычислил, что в результате воздушных испытаний ядерного оружия средняя продолжительность человеческой жизни на Земле сократится на несколько лет, не говоря уже о страданиях заболевших людей (прежде всего увеличится число онкологических заболеваний). Эти научные результаты Сахаров не только довел до сведения руководителей страны, но и опубликовал в научных журналах. Вот выдержка из его статьи 1958 года, имевшей заголовок «Радиоактивный углерод ядерных взрывов и непороговые биологические эффекты»: «Генетические эффекты в клетках облученных людей, вплоть до неизлечимых болезней, обязательно проявятся даже у самых отдаленных потомков, до нескольких десятков поколений…. Специфика в моральном аспекте данной проблемы – это полная безнаказанность преступления (ядерных воздушных испытаний), поскольку в каждом конкретном случае гибели или болезни человека нельзя доказать, что причина лежит в радиации…. Мы, каждый из нас, должны исходить из моральных критериев…. Нравственный критерий категорически диктует нам – не убий». В 1963 году призыв Сахарова, подхваченный многими прогрессивными деятелями культуры, привел к победе. Было зак-

САХАРОВ

лючено международное соглашение о полном запрещении ядерных испытаний в трех средах – в атмосфере, в воде и в космосе. Остались подземные испытания. Но они были более дорогими и не всегда давали нужные результаты. Окончательная победа идеи Сахарова произошла только в 1988 году, когда было заключено соглашение о полном запрещении любых ядерных испытаний и началось медленное планомерное уничтожение накопленных за 40 лет гигантских арсеналов США и СССР. А тогда, в далеком 1955 году, у Сахарова еще не было сомнений в необходимости для страны той работы, которой он занимался в КБ-11. Да не только для страны, а пожалуй, и для всего человечества. Ядерный паритет двух стран, владеющих этим оружием, казался тогда спасением человечества от уничтожения в войне с использованием водородных бомб. Точно так же считали и все (в том числе и мы, молодые ученые), кто был вовлечен в орбиту создания и испытаний ядерного оружия. Возможно, так это и было на самом деле. Сахарова тогда заботило перенесение испытаний под землю, с минимальной экологической опасностью. А основная работа нашей маленькой группы заключалась именно в исследовании подземных взрывов, в том числе и для их промышленного использования. А в воздушных испытаниях ядерного оружия мы принимали участие как специалисты по взрывам и по ударным волнам. Даже на ядерном полигоне мы не прекращали своей научной работы, используя обычные взрывчатые вещества и возможности военной организации проводить крупные подземные взрывы обычного взрывчатого вещества. Сахаров был очень заинтересован вопросом: можно ли по проявлениям подземного взрыва на поверхности земли, прежде всего по сейсмической волне, определить энергию взрыва («мощность» бомбы)? И возможно ли контролировать проведения каким-либо государством подземных ядерных испытаний? Я хорошо помню наше впечатление от знакомства И.В.Курчатова и А.Д.Сахарова с нашими научными достижениями. Тесное научное общение с И.В.Курчато-

10

КВАНТ 2021/№5

вым подтверждало то восторженное мнение о нем как о замечательной личности, которое мы знали от всех, кто с ним общался. Он хорошо разобрался в том, что мы рассказали, хотя это была совершенно незнакомая ему область науки. А все для нас интересное, что мы от него услышали о нашей работе, он оформлял так, как будто мы и без него об этом знали и до всего сами догадались. Он не стеснялся говорить, что чего-то не понял, относя это только к своей непонятливости, а не к нашему неумению прояснить дело. И он говорил, как мы уже много сделали нужного для решения задач, связанных с подземными испытаниями. Такое отношение к нам и к нашей работе буквально окрыляло. Тем более, что оно сопровождалось открытостью и юмором. По-другому шло общение с Сахаровым. Мы чувствовали, что он в научном смысле «сильнее» Курчатова, он почти мгновенно разбирался в совершенно новой для него области. Но оставалась некоторая чопорность и отстраненность в его общении, сопровождающаяся, впрочем, безукоризненной вежливостью и уважением к нам. В своих «Воспоминаниях» он и сам пишет о своей затрудненности в общении с другими людьми. Но сейчас я думаю, что основной причиной разного нашего впечатления от общения с Курчатовым и с Сахаровым был тот факт, что как раз в это время Андрей Дмитриевич Сахаров всерьез задумался о ядерных испытаниях и о своей роли в создании термоядерного оружия. После испытания «царь-бомбы» в 1961 году началось медленное «отравление» Сахарова, жившего до этого «в башне из слоновой кости», размышлениями о политической обстановке в мире и о роли нашей страны в мировой истории. В 1968 году Сахаров выступил со своим знаменитым письмом руководителям правительств всех стран, в том числе и руководству СССР. В своем письме он выдвинул три важнейшие политические задачи. Первое – прекращение гонки вооружений и постепенное уничтожение запасов ядерного оружия.

Второе – окончательная ликвидация (в СССР) последствий культа личности, признание преступной и требующей покаяния деятельности партийного и государственного руководства страной до 1953 года и предоставление реальной свободы и политических прав каждому гражданину страны. Третье – борьба с угрозой всемирного голода, который, по мнению многих футурологов тех лет, грозил человечеству. Сегодня ясно, что первое и третье предложения Сахарова большинством стран приняты к осуществлению. Письмо получило всемирную известность. В нашей стране оно не было опубликовано, но широко распространилось в так называемом «самиздате». Естественно, что оно вызвало гнев руководства страны, поскольку не только не совпадало с официальной идеологией того времени, но и выдвигало идею конвергенции – сближения капиталистического и социалистического миров и требование гласности и прав каждого человека. Сахаров был отстранен от секретных работ, уволен с должности Главного теоретика КБ-11 и других административных должностей и определен на самую низшую возможную для академика должность – старшего научного сотрудника теоретического отдела Физического института Академии наук. После этого Сахаров сосредоточился на деятельности в области защиты прав конкретных людей, чьи политические взгляды не совпадали с официальной доктриной. Она хорошо освещена не только в его собственных «Воспоминаниях», но и в многочисленных статьях и книгах о том времени. Эта деятельность заключалась в попытках присутствия и выступления на заседаниях судов, где выносились несправедливые приговоры, материальной и моральной помощи осужденным и их семьям, привлечении мировой общественности к каждому случаю осуждения. Гуманистическая деятельность Сахарова была награждена Нобелевской премией мира в 1975 году. А публикация через несколько лет цикла научных статей о Вселенной принесла ему мировую известность как

11

АНДРЕЙ

ДМИТРИЕВИЧ

выдающемуся физику, и он стал членом академий наук многих стран. С горечью приходится вспоминать о периоде 1980–1986 годов в жизни Сахарова. 12 декабря 1979 года было принято решение Политбюро ЦК КПСС о вводе войск в Афганистан. Началась затяжная афганская война. На специальном заседании Организации Объединенных Наций действия СССР были осуждены, как неправомерные, подавляющим большинством государств (104 против 18). Сахаров, на основании обширной информации о политической обстановке в Афганистане и о начале военных действий, выступил в интервью перед представителями западной прессы с осуждением действий советского правительства. Реакция правительства была незамедлительной. По Указу Президиума Верховного Совета СССР от 8 января 1980 года Сахаров был лишен всех правительственных наград. Не удалось только лишить его звания академика, хотя и была развернута в прессе грандиозная травля Сахарова, требовавшая и этого наказания. Президент Академии наук М.В.Келдыш не решился созвать необходимое для этой цели общее собрание академии. История сохранила его предварительный разговор с самым авторитетным советским физиком, Нобелевским лауреатом П.Л.Капицей, в котором Капица напомнил Келдышу: «в 1933 году Гитлер исключил А.Эйнштейна из Прусской академии наук…» 22 января 1980 года Сахаров по дороге на работу был задержан и без всякого официального приговора суда был выслан (вместе с женой) в город Горький, куда был невозможен въезд иностранных корреспондентов. Навещать Сахарова в его ссылке решались тогда очень немногие. Несмотря на то, что Сахаров получил свободное для научной работы время (и с пользой его использовал), горьковская ссылка ему дорого обошлась. Три раза он вынужден был протестовать против притеснения и ограничения прав близких ему людей. Свой протест он мог выражать единственным способом – объявлением и осуществлением голодовок. Сами голодовки и мучительные операции

САХАРОВ

искусственного кормления серьезно подорвали его здоровье. В общей сложности он провел в больницах почти год. В течение всей горьковской ссылки во многих странах мира шла кампания в его защиту. В Вашингтоне площадь в нескольких минутах ходьбы от Белого Дома, на которой находилось советским посольство, назвали Площадью Сахарова.

Народный депутат 11 марта 1985 года Генеральным секретарем ЦК КПСС стал М.С.Горбачев. Началась эпоха «перестройки». 22 октября 1986 года в период временного улучшения здоровья после тяжелого больничного периода Сахаров письменно обращается к Горбачеву с просьбой прекратить его депортацию и ссылку его жены, поскольку ее сердечное нездоровье становится угрожающим. Он обещает прекратить свою общественную деятельность, с оговоркой «кроме исключительных случаев». 15 декабря в квартире был установлен телефон, а 16 декабря раздался звонок Горбачева, извинившегося за все ранее происшедшее и сообщившего об отмене указа о лишении Сахарова государственных наград и решения о ссылке. Утром 22 декабря в Москву прибывали три поезда из Горького. И уже с раннего утра тысячи человек заполнили горьковский «причал» на Курском вокзале, не зная даже точного времени прибытия нужного поезда. Можно считать, что именно с этих декабрьских дней началась новая эпоха нашей страны, эпоха преобразований, которая, как и все эпохи перемен, никогда не бывает простой и короткой. Сахаров, теперь уже главный научный сотрудник, с головой окунается в участие в научных семинарах и в общественную жизнь. Он отказался получить обратно знаки и удостоверения всех своих государственных наград, которых он был лишен в 1980 году, «до того времени, когда в стране не будет ни одного осужденного по политическим мотивам за инакомыслие». В 1988 году ему предоставили возможность выезда за границу. Он встречается с президентом и вице-президентом США

12

КВАНТ 2021/№5

А.Д.Сахаров на семинаре в ФИАНе, декабрь 1986 года (фотография Ю.Роста)

Р.Рейганом и Д.Бушем, президентом Франции Ф.Миттераном, премьер-министром Великобритании М.Тэтчер. Эти государственные деятели считали за честь личное знакомство с А.Сахаровым. В марте 1989 года Сахаров избран народным депутатом СССР от Академии наук. Это выдвижение поддержали своими подписями больше ста тысяч человек. Первый съезд народных депутатов СССР происходил в мае-июне 1989 года в Кремлевском дворце съездов. И 2 июня разыгралась страшная сцена, когда с трибуны съезда один за другим выступили 7 депутатов с гнусной травлей Сахарова за его интервью канадской газете, в котором Сахаров заявил о трагической судьбе группы советских военнослужащих в Афганистане, когда их, окруженных противником, расстреливали советские вертолеты, чтобы они не могли сдаться в плен. Сахарова обвинили в унижении чести и достоинства воинов «ограниченного интернационального контингента», как вот уже десять лет войны было принято в СССР называть советские войска в Афганистане. Партийно-агрессивное большинство депутатов криком и свистом заглушили попыт-

ку Сахарова сказать слова о вообще недопустимости афганской войны. Причем эта позорная сцена напрямую транслировалась по радио и телевидению. Сгорбленный, буквально раздавленный унижением, Сахаров уходил из зала. На съезде была небольшая региональная группа, по поручению которой Сахаров стал готовить проект Конституции (еще не России, а СССР). В ее основе лежали реальные права личности и право всех народов на государственное самоопределение. Этот проект был опубликован лишь в одной вильнюсской газете. В этой конституции и намека не было на ту жесткую президентскую вертикаль власти, которую установила через несколько лет принятая на народном голосовании 12 декабря 1993 года действующая Конституция Российской Федерации. Но до этого времени Сахаров не дожил. 14 декабря 1989 года он выступил на заседании межрегиональной группы, а через несколько часов у него не выдержало сердце. Партийно-агрессивное властное большинство убило его – так считали его друзья и сторонники. Похороны Сахарова стали событием, которое показало, что сам народ в Москве уже не был послушно-агрессивным большинством. Властям не удалось воспротивиться народному волеизъявлению – в последний путь Сахарова провожали сотни тысяч людей. В полном составе были Академия наук и руководство ее научных учреждений. Но не было представителей партийного руководства и правительства страны. Сахарова не стали хоронить поправительственному пышно на Новодевичьем кладбище. Он похоронен на Востряковском кладбище, где и сейчас, через тридцать с лишним лет, на аллеях есть указатели «К могиле А.Д.Сахарова» и на могиле всегда есть живые цветы. Улицы, проспекты, бульвары и площади названы именем Сахарова в 60 городах России и 14 городах других стран. И с каждым годом становится все яснее величие этого человека – великого физика и великого гуманиста!

Ю ЛИЙ МЕНДЕЛЕЕВИЧ Б Р У К

Ушел из жизни Юлий Менделеевич Брук. Жизнь и судьба Юли Брука неразрывно связана с теоротделом ФИАНа, где он многие годы занимался научной работой, с физическими олимпиадами (он участвовал в организации и проведении многих Всесоюзных и Всероссийских олимпиад) и с журналом «Квант». Хотя в редколлегию журнала он вошел только в 1981 году, его тесная связь с «Квантом» началась даже не с момента выхода первого номера журнала в 1970 году, а гораздо раньше. После того, как в 1964 году академик П.Л.Капица высказал идею о создании детского физико-математического журнала, Юля активно взялся за реализацию этой идеи. Недаром его считали самым глубоким и информированным историком «Кванта». И не только историком, но и активным автором, написавшим замечательные статьи и придумавшим много интересных задач. Одну из статей Юли Брука, в память о нем, мы воспроизводим в этом номере журнала. Но сначала предоставим слово соавтору Юли и его близкому другу Альберту Леонидовичу Стасенко.

В одной из старых статей по истории «Кванта» промелькнуло: «легендарный Юлий Менделеевич Брук». Подчеркивалась его самая активная деятельность при образовании журнала, общение со знаменитыми отцами-академиками. Юля обладал талантом писателя, был неиссякаемым источником физических сюжетов, отличался строгостью вычислителя и ответственностью творца. Еще целый пласт его деятельности – активное участие в организации Всесоюзных и Всероссийских физических олимпиад. Как-то в самолете по пути на одну из олимпиад доказывали всемирность Юли: Брукхейвен, Инсбрук… А кто-то вспомнил древнеримского Юлия: «И ты, Брук!» Юля обладал кругом общения буквально глобального масштаба, следил за судьбами друзей, рассеянных по всему миру.

Юлий Менделеевич Брук (22.02.1940–24.04.2021)

Заканчивая обстоятельные беседы, неизменно напоминал собеседнику поцеловать жену, а отпрыскам передать привет – персонально! В эпоху почтового общения вел оживленную переписку, при этом с забавной серьезностью упаковывал письма в двойной конверт, тщательно промазав клеем, и не забывал вскоре сообщить адресату по телефону содержание послания – так надежнее. Юля Брук принадлежал эпохе научнопросветительского романтизма. Посланник Неба, светлый человек, оставивший теплую сердечную память у современников. И – чтобы развеять грусть неизбежных прощаний — слова поэта:

Мы все сиротеем на нашем пути. Закон расставанья царит над планетой. Дай, Боже, нам в будущей жизни найти, Кого потеряли мы в этой!

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

К 200-летию П.Л.Чебышёва

В.КОЗЛОВ

В мае этого года математическое сообщество отметило 200-летие со дня рождения великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышёва. Создав знаменитую Петербургскую математическую школу, Пафнутий Львович тем самым заложил фундамент для поступательного развития всей российской математики. Пафнутий Львович обогатил математику выдающимися результатами, принесшими ему мировую славу. Он внес определяющий вклад в теорию распределения простых чисел, доказал «постулат Бертрана» о наличии простых чисел в промежутке от n до 2n – 2 (n! 3). П.Л. Чебышёв получил пионерские результаты по теории вероятностей, сформулировав в общей форме закон больших чисел и центральную предельную теорему. Эти результаты впоследствии дополнены и расширены его учениками А.М.Ляпуновым и А.А.Марковым. Пафнутий Львович решил трудную задачу об условиях интегрируемости биноминального дифференциала в элементарных функциях, которая упоминается во всех учебниках по математическому анализу. Он является создателем конструктивной теории функций; всем известен многочлен Чебышёва, наименее уклоняющийся от нуля. Это направление исследований возникло из желания Чебышёва усовершенствовать плоские шарнирные механизмы. Он своими руками конструировал такие механизмы, среди которых – знаменитая стопоходящая машина, экспонировавшаяся на

Всемирной выставке в Париже в 1878 году (см. «Калейдоскоп «Кванта», рисунок 1). Наконец, упомянем Чебышёвские сети в дифференциальной геометрии, которые были введены им в связи с практикой черчения географических карт. Вообще, П.Л.Чебышёва выделяют органическая связь его исследований по чистой математике и различным ее приложениям. Эта удивительная манера творчества П.Л.Чебышёва сближает его с другим великим гением – К.Ф.Гауссом. Пафнутий Львович был влиятельным и уважаемым членом Петербургской АН. Академия наук СССР учредила золотую медаль им. П.Л.Чебышёва за лучшие исследования по математике (она присуждается, конечно, и в наше время). В историческом здании Президиума Российской академии наук в фойе зала заседаний установлены четыре бюста знаменитых членов академии. Это Михаил Ломоносов, Леонард Эйлер, Аарон Лерберг (историк) и Пафнутий Чебышёв. Жизнь и творчество П.Л. Чебышёва дают всем нам (и особенно молодежи) верный ориентир в занятиях математикой. Перефразируя слова Лапласа об Эйлере, можно сказать: читайте Чебышёва, изучайте Чебышёва. Он учитель и наставник всех российских математиков.

В ближайших номерах журнала планируется опубликовать несколько статей, раскрывающих различные грани творчества П.Л.Чебышёва. (Прим. ред.)

26

К В АН T 2021/№5

Три периода изучения теории вероятностей

А.ШИРЯЕВ

Я.Бернулли. В XVII веке – начале XVIII века центральной фигурой (еще раньше были Паскаль, Ферма, Гюйгенс) в исчислении вероятностей был Якоб Бернулли, которому принадлежит введение в науку классического понятия вероятности как отношения числа возможных исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу мыслимых исходов. Основной результат Я.Бернулли, с которым связывается его имя, это закон больших чисел. Это была первая теорема в исчислении вероятностей (опубликована в «Ars Conjectandi» в 1713 году; умер он в 1705 году), и была она доказана абсолютно строго арифметико-комбинаторными методами. (Поэтому Я.Бернулли считается и основателем комбинаторики.) П.Л.Чебышёв. Среди ученых второй половины XIX века, оказавших для исчисления вероятностей выдающуюся роль, был П.Л.Чебышёв (затем Марков и Ляпунов). Если до него оперировали с объектами, принимающими конечное число значений (в основном, два), то он был первым, кто ввел понятие случайной величины (как функции от элементарного события) и ее математического ожидания, тем самым расширив и углубив все исчисление вероятностей. Ему принадлежит ставшее классическим неравенство Чебышёва. Он был первым, кто не только осознал с полной ясностью роль случайных величин и их математических ожиданий, но и первым, кто стал исследовать скорость сходимости допредельных вероятностных законов к предельным. Тем самым, Чебышёв сделал дискретную классическую теорию вероятностей частью общематема-

тического анализа случайных явлений. (Между прочим, общее число работ Чебышёва в теории вероятностей невелико – всего $четыре.)^{А.Н.Колмогоров.}$ Сама концепция вероятности была предметом интереса и поисков на протяжении нескольких веков. Кульминацией здесь явилась монография А.Н. Колмогорова (1933 год) «Основные понятия теории вероятностей», давшая схему логического обоснования теории вероятностей и сделав ее ветвью математической теории. Помимо логического обоснования в этой монографии были четко даны такие (постоянно используемые) понятия, как условная вероятность, условное математическое ожидание, закон нуля или единицы, теорема о согласованных распределениях (в этой монографии), которая явилась центральным пунктом в создании теории случайных процессов. Монография Колмогорова открыла новую эру в развитии теории вероятностей как математической науки и в расширении сферы ее влияния и применений.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2650– М2653 предлагались на весеннем туре XLII Турнира городов. Задачи Ф2657–Ф2660 предлагались на Московской физической олимпиаде 2021 года.

Задачи М2650–М2653, Ф2657–Ф2660 M2650. При каких натуральных n найдутся n последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) n последовательных натуральных чисел? Б.Френкин

M2651. В комнате находятся несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди. М.Дидин

M2652. В отель ночью приехали 100 туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера 1, 2, …, n, из которых k на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остается там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя про-

верять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого k укажите наименьшее n, при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга. Ф.Ивлев

M2653*. Пусть p и q – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каждый раз она прыгает либо на p вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального d p q найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся ровно на d. Н.Белухов

Ф2657. Наблюдениям за планетой Венера с Земли мешает ее близость на небе к Солнцу. Угол M (рис.1) между направлениями с Земли (Е) на планету, в данном случае на Венеру (V), и на Солнце (S) называется элонгацией. Она бывает восточной и западной в зависимости от расположения планеты на небесной сфере относительно Солнца. Венеру в наибольшей западной элонгации можно наблюдать перед рассветом, а в наибольшей восточной – сразу после заката Солнца. Считается, что планета $распола-^{Рис.} 1$

28

КВАН T 2021/№5

гается западнее Солнца, если она появляется на небе раньше него. Наибольшее значение элонгации составляет около 46,5q, последний раз близкие значения наблюдались с 11 по 14 августа 2020 года, причем Венера была видна на рассвете. Орбиты Земли и Венеры можно считать круговыми и лежащими в одной плоскости. Все планеты вращаются вокруг Солнца в одном направлении, Земля вращается вокруг своей оси в ту же сторону. Отклонение земной оси от перпендикуляра к плоскости вращения планет в данной задаче несущественно. 1) Найдите расстояние от Венеры до Солнца, если расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн км. 2) Когда примерно можно ожидать следующий наиболее подходящий для наблюдения Венеры момент? А.Дергачев

Ф2658. Безмен – это ручные весы для взвешивания грузов небольшой массы. Один из вариантов конструкции безмена можно видеть на рисунке 2. Безмен состо-

Рис. 3

нии равновесия коромысло будет располагаться горизонтально. Определите по этим данным массу гири m и массу М остальной конструкции (безмена без гири и взвешиваемого груза). М.Ромашка

Ф2659. На столе стоит цилиндрический сосуд с вертикальными стенками, заполненный водой примерно наполовину. Площадь сечения сосуда равна $S 400 см^{2}$, внизу сосуда имеется штуцер, к которому присоединен горизонтально расположенный шланг. Другой конец шланга соединен со штуцером «черного ящика», в котором находится неизвестное устройство (рис.4).

Рис. 4

Рис. 2

ит из металлического коромысла, закрепленного на коромысле противовеса (на левом конце коромысла) и подвижной гири (справа). На крючок подвешивается груз, массу которого надо узнать, а положение гири подбирается таким образом, чтобы в равновесии коромысло располагалось горизонтально. Показание безмена, изображенного на рисунке, равно 4 кг. Рядом с безменом находится сантиметровая линейка. Известно, что если с этого безмена снять гирю и подвесить его за ось, к которой был привязан крючок, иначе говоря, перевернуть (рис.3), то в положе-

Неизвестное устройство действует следующим образом. Если в сосуд доливают немного воды ( ’ m порядка 100 г), уровень жидкости в сосуде опускается (!) по сравнению с первоначальным. Если же после этого из сосуда зачерпывают такую же порцию воды, то уровень поднимается до первоначальной высоты. Предложите конструкцию устройства, которое может находится внутри черного ящика. Изобразите схему устройства и коротко объясните принцип его работы. Известно, что в конструкции устройства используется некоторое оборудование из следующего списка: цилиндрический сосуд – такой же, как на столе, нерастяжимые нити, пружина жесткостью $k^{300}$ Н м, набор грузов разных масс, резиновый шланг с внутренним диаметром, соответствующим диаметру

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Лунный тормоз, столкновение с Тейей и закон сохранения момента импульса

С.ПАРНОВСКИЙ

«Ничто не вечно под луной», – поется в известной оперетте. Меняется многое, в том числе и длительность суток. Точные эталоны времени утверждают, что за год она увеличивается на 23 микросекунды. Иными словами, вращение Земли замедляется, пусть и очень медленно. Это замедление предсказал еще в конце 19 века английский астроном Джордж Дарвин (сын Чарльза Дарвина). Он и указал виновника – ту самую Луну, под которой все не вечно. Луна вызывает приливы на Земле, которые создают момент силы, заставляющий нашу планету замедляться. При этом ее момент импульса передается Луне, которая за счет этого удаляется от Земли. Расстояние между Луной и Землей, усредненное за период обращения Луны, возрастает за год на 38 миллиметров. Это явно немного в астрономических масштабах, но если подумать, что за миллиарды лет изменения станут очень большими, то к ним не стоит относиться пренебрежительно. Подробно о том, что приливы передают момент импульса от Земли к Луне, рассказывается в статье Л.Асламазова «Лунный тормоз» в «Кванте» №8 за 1987 год (который легко найти в архиве старых номеров) или в книге Л.Г.Асламазова и А.А.Варламова «Удивительная физика». Поэтому не будем повторять, как притяжение Луны вызывает приливные волны в океане, как эти волны немного повернуты относительно направле-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210504

ния на Луну из-за вращения Земли и как их притяжение к Луне обеспечивает тот самый момент сил, который и вызывает все те изменения, о которых уже упоминалось. Скажем только, что расчет этого момента очень сложен и что он зависит не только от меняющегося со временем расстояния до нашего спутника, но и от конфигурации материков на Земле. Однако, для ответа на многие вопросы его и не надо вычислять. Достаточно воспользоваться законом сохранения момента импульса в системе Земля–Луна. Его мы вычислим относительно центра Земли. Естественно, что он будет суммой момента импульса вращения Земли вокруг своей оси и момента импульса движения Луны по орбите вокруг Земли. Оценим эти величины. Начнем с Луны. Ее момент импульса равен $L_{Л}$ mvr $m Z r^{2} | 28$ ˜ $10^{33}$ к㠘 $м^{2}$ с, где m | 7,3 ˜ $10^{22}$ кг – масса Луны, r | 3,8 ˜ $10^{8}$ м – среднее расстояние от Земли до Луны, $Z 2 S T_{Л}$ – угловая скорость обращения Луны, $T_{Л} | 27,32$ суток – период обращения Луны вокруг Земли. При желании можно учесть и момент импульса, связанный с вращением Луны вокруг своей оси, но он мал по сравнению с $L_{Л}$. Момент импульса Земли найдем по известной формуле $L_{З} I$:, где угловая скорость вращения Земли равна $: 2 S T_{З}$, а $T_{З} 1$ сутки. Момент инерции Земли $I 2 Mr_{З}^{2} 5$ оценим как эту величину для однородного шара массой M | 6 ˜ $10^{24}$ кг и радиусом $r_{З} | 6,4$ ˜ $10^{6}$ м. Подставив численные значения, получим $L_{З} | 7$ ˜ $10^{33}$ к㠘 $м^{2}$ с. Итак, момент импульса, связанный с движением Луны, приблизительно вчетверо больше, чем момент импульса, связанный с вращением Земли. Но из-за приливов первый со временем увеличивается, а второй уменьшается. Так что Земля замедляет скорость своего вращения. А что Луна? Изменение радиуса ее орбиты за время одного оборота, т.е. приблизительно за месяц, настолько незначительное, что движение можно считать круговым. (На самом деле Луна обращается вокруг Земли по эллипсу, но он очень близок к окружности.) Условие равенства силы притяжения Земли

ОЛИМПИАДЫ

XLII Tурнир городов

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

а) $(2)^{100} u^{101}$ клеток; б) (4) 100 u 100 клеток?

Н.Чернятьев

8–9 классы

$1 (4)^{1}$. Может ли произведение каких-то 9 последовательных натуральных чисел равняться сумме (может быть, других) 9 последовательных натуральных чисел? Б.Френкин

2 (4). В треугольнике ABC провели высоты AX и BZ, а также биссектрисы AY и BT. Известно, что углы XAY и ZBT равны. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный? Жюри

3 (4). У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) Жюри

4. а) (3) Можно ли разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? б) (3) А можно ли разрезать равносторонний треугольник на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? В.Расторгуев

5. На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

10–11 классы

1. а) (2) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой? б) (2) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника. А.Грибалко

2. а) (2) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) б) (2) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой. А.Толпыго

3 (5). См. задачу М2650 «Задачника «Кванта». 4 (5). Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение ª ¬ $x^{2} º$ ¼ px q 0 при p z 0 иметь более 100 корней ( ª ¬ $x^{2} º$ ¼ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^{2}$ )? А.Толпыго

5 (6). Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M – середина стороны AC. Прямая BO пересекает высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ в точках H a и $H_{c}$ соответственно. Описанные окружности треугольников BH a A и $BH_{c} C$ вторично пересекаются в точке K. Докажите, что K лежит на прямой BM. М.Евдокимов

46

КВАНТ 2021/№5

Устный тур для 11 класса

1. Каждая из функций f x и g x определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой? Д.Шноль

2. Петя и Вася по очереди красят ребра N-угольной пирамиды: Петя – в красный цвет, а Вася – в зеленый (ребро нельзя красить дважды). Начинает Петя. Выигрывает Вася, если после того, как все ребра окрашены, из любой вершины пирамиды в любую другую вершину ведет ломаная, состоящая из зеленых ребер. В противном случае выигрывает Петя. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник? А.Глебов

3. Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, а T – точка касания этой окружности со стороной AC. Пусть P и Q – ортоцентры треугольников BAI и BCI соответственно. Докажите, что точки T, P, Q лежат на одной прямой. Фольклор

К «Калейдоскопу «Кванта»

На рисунках на страницах 32–33 изображены механизмы, изобретенные П.Л.Чебышёвым. 1. Стопоходящая машина. 2. Сортировалка. 3. Самокатное кресло. 4. Арифмометр. Первая модель. 5. Центробежный регулятор. 6. Весы. 7. Велосипед. 8. Паровая машина. 9. Зубчатая передача. 10. Стопоходящая машина. Железная модель. 11. Пресс. 12. Механизм с изменяемым ходом. 13. Эпициклоидная передача арифмометра. 14. Механизм кулисы паровой машины. 15. Многозвенный механизм с остановками в крайних положениях. 16. Механизм с длительной остановкой ведомого звена в конце его хода.

4. См. задачу М2656 «Задачника «Кванта».$^{5.}$ Полиция задержала 50 человек, из которых 35 – преступники, которые говорят, что захотят, а 15 – свидетели, которые всегда говорят правду. Все задержанные знают, кто преступники. Какое наименьшее число человек достаточно выбрать, чтобы, спросив потом у каждого, кто именно преступники, по ответам вычислить хотя бы одного преступника? А.Аржанцев

5. Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты? М.Евдокимов

Публикацию подготовили Е.Бакаев, И.Богданов, А.Грибалко, М.Дидин, С.Дориченко, М.Евдокимов, А.Заславский, П.Кожевников, А.Кушнир, Э.Лю, М.Малкин, Л.Медников, В.Ретинский, А.Тертерян, А.Толпыго, Б.Френкин, И.Фролов

17. Механизм с остановками в крайних положениях. 18. Механизм для преобразования вращательного движения в качательное. 19. Механизм для преобразования вращательного движения в поступательное с ускоренным обратным ходом. 20. Парадоксальный механизм. 21. Механизм, дающий два качания ведомого звена за один оборот кривошипа. 22. Шестизвенная противовращательная рукоятка. 23. Механизм с остановкой ведомого звена на полпути. 24. Механизм противовращательной рукоятки с остановкой ведомого звена. 25. Механизм, направляющий по дуге окружности.

На сайте tcheb.ru эти механизмы можно посмотреть в движении.

ИНФО Р МА Ц И Я

Очередной набор в ВЗМШ

Наши контакты: https: vzms.ru https: lycuz2.mskobr.ru +7(926)280-28-20 [email protected] (почта, прием) https: vk.com vzmsh 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, Второй учебный корпус, ауд. 307

Всероссийская заочная многопредметная школа приглашает школьников и учителей из всех регионов России, ближнего и дальнего зарубежья для обучения по программам дополнительного дистантного (он-лайн) образования. ВЗМШ – старейший в России центр дополнительного образования. Она была основана в 1964 году по инициативе выдающихся математиков, академиков И.Г.Петровского (в то время ректора МГУ) и И.М.Гельфанда. В настоящее время ВЗМШ – структурное подразделение знаменитого московского физико-математического «Лицея «Вторая школа». Мы учим математике, физике, биологии, русскому языку и литературе, истории, обществознанию. Наши преподаватели – это сотрудники МГУ имени М.В.Ломоносова и других ведущих вузов и академических институтов. Ими написана обширная библиотека уникальных учебных пособий по математике, истории, обществознанию и другим предметам. Созданные ими методики позволяют вести заочное (он-лайн) обучение на самом высоком уровне. Обучение старшеклассников в ВЗМШ направлено прежде всего на подготовку к олимпиадам и ЕГЭ. Однако мы считаем, что даже самая высокая оценка не может быть самоцелью. У нас занимаются прежде всего такие ученики, для которых на первом месте стоит саморазвитие, которые хотят знать СВЕРХ ТОГО, сверх школьной программы, и приобрести дополнительные знания по самым разным предметам. ВЗМШ окончили более 200 тысяч школьников. Из их рядов вышло множество уче-

ных, исследователей, педагогов. Многим учеба в ВЗМШ помогла лучше ориентироваться в жизни, ставить перед собой большие задачи, добиваться задуманного. ВЗМШ, в отличие от курсов или кружков, это самая настоящая школа, со своей программой, ритмом, контрольными работами, двусторонней связью между учеником и учителем. Мы предоставляем наши материалы в электронном виде, постоянно общаемся с нашими учениками через социальные сети, рассказываем им о том, что не входит в программу обучения, но помогает их развитию, знакомим с книгами и статьями наших преподавателей, проводим видеоконференции и видеолекции. В ВЗМШ существует особая форма работы – группа «Коллективный ученик». Это группа школьников, работающая по методическим пособиям ВЗМШ под руководством школьного учителя по тем же программам и пособиям, что и индивидуальные ученики. В помощь учителям – кураторам таких групп – разрабатываются специальные методические и учебные материалы. Ученики под руководством учителя вместе обсуждают пройденный материал, полученные задания. Сотрудничество с ВЗМШ, как показывает наш многолетний опыт, многие учителя воспринимают и как свою собственную учебу. Обучение в формате «Коллективный ученик» имеет следующие преимущества: контакт с учителем упрощает обучение, что особенно важно для тех школьников, которым сложно самостоятельно, без наставника, организовать свое время; совместные занятия создают творческую атмосферу, в которой есть место и для конкуренции, и для кооперации; присылаемые из ВЗМШ материалы могут служить учителю хорошей базой для организации в школе кружка или факультатива, помогают подготовить учеников к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ; ученики принимаются в ВЗМШ без выполнения вступительного задания; плата за обучение одного ученика меньше, чем при индивидуальном обучении. Подробно ознакомиться с программами обучения, зарегистрироваться, выполнить вступительные задания, а также подать заявку для группы «Коллективный ученик» можно здесь: math-vzms.org

48

КВ АН T 2021/№5

Приступить к обучению можно в любое время!

Расскажем подробнее о наших отделениях и приведем условия соответствующих вступительных работ. Ответы отправьте нам любым удобным способом: электронной почтой, простым письмом или с помощью обратной связи на нашем сайте. Не забудьте представиться и указать свой адрес и возраст. Требуются лишь базовые знания – не беспокойтесь, если вы решили не все задачи.

Отделение математики

Будущих математиков мы обучаем работать с научными текстами, четко излагать свою мысль, предоставляем возможность, используя наши пособия, продвинуться в изучении различных математических вопросов настолько далеко по сравнению с необходимым минимумом, насколько они сами этого захотят. Мы помогаем углубить и расширить полученные в школе знания, подготовиться к ЕГЭ, ОГЭ и прочим экзаменам. Тем, кому уже ведомо удовольствие от решения математических задач, мы надеемся доставить радость от размышления над новыми, похожими и вовсе не похожими на прежние, задачами. Мы последовательно обучаем школьников с 4 по 11 класс. Начать обучение можно с любого класса.

Вступительная работа

Рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса эта задача предназначается (имеется в виду тот класс, в котором вы будете учиться в следующем учебном году). Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается. 1. (5 кл.) Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу.

Сколько орехов должен запасти каждый из них? 2. (5 кл.) Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 648 метров. Сколько простых и сколько творческих людей «отрастили» волку хвост? 3. (5 кл.) Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января? 4. (6 кл.) На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разделились на две стаи: одна стая уселась на ветви старой березы, а другая – на ольху. Через некоторое время с березы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с березы, после чего на березе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально? 5. (6 кл.) На карточках были написаны числа 1, 2, 3, …, 111. Ваня взял себе карточки с четными номерами, а Таня – с нечетными. У кого из них сумма чисел на карточках получилась больше и на сколько? 6. (6 кл.) На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Разбейте его на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток. 7. (7 кл.) Иннокентий хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Его друг Макар утверждает, что это невозможно. Кто прав? 8. (7 кл.) В правильном 2018-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то N диагоналей. При каком наименьшем N среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину? 9. (7 кл.) У юного художника была одна банка синей и одна банка желтой краски, каждой из которых хватает на покраску $38 дм^{2}$ площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зеленая трава и желтое солнце. Зеленый цвет он

50

КВ АН T 2021/№5

ности. Включать в определитель полные описания не нужно – только те признаки, которые реально могут быть использованы для отличия одних овощей из вашей выборки от других. 2. На океаническом дне обитают представители самых разных групп животных. Какие приспособления к такому образу жизни у них возникли? Для каждого из указанных вами приспособлений приведите по одному-два примера животных, у которых оно имеется. 3. При разведении животных в неволе имеет место эффект так называемого «вырождения» – уменьшения жизнеспособности из-за близкородственного скрещивания. Интересно, что у разных видов животных вырождение наступает с разной скоростью – в то время как одним видам хватает нескольких поколений, чтобы начать вырождаться, у других маленькие близкородственные популяции могут существовать достаточно долго. Как можно объяснить это явление? С какими особенностями вида может быть связано быстрое или медленное вырождение? 4. Апоптоз – запрограммированная клеточная гибель. Когда клетка получает сигнал к запуску апоптоза, она фактически оканчивает жизнь самоубийством. Подумайте: в каких случаях это может быть полезно для организма? С какими проблемами столкнется человек, если механизм апоптоза в его клетках отключится? 5. В настоящее время на наших глазах разворачивается пандемия нового коронавируса. Расскажите, как вы понимаете: а) чем этот вирус опаснее предыдущих; б) как быстро может появиться лекарство, помогающее в случае нового заболевания или предупреждающее его; в) какие меры могут быть приняты для предотвращения или замедления эпидемии.

Отделение филологии

Мы помогаем желающим систематизировать и углубить имеющиеся знания, расширить свой кругозор, приобрести навыки исследовательской работы. Объект нашего интереса, внимания и исследования, конечно же, Слово. Родное и «чужое», «претворенное» метафорой, образное и терминологически точное. Как правильно написать и к месту использовать; как учесть системные связи; как увидеть и оце-

нить уникальность работы со Словом великих Мастеров? Сколько с ним проблем – у многих, и как приятно встретить к нему интерес – пусть у некоторых! Наши курсы будут полезны и тем, и другим. Прагматики смогут повысить грамотность, научиться решать олимпиадные лингвистические задачи, подготовиться и хорошо сдать ЕГЭ. Те же, кто получает удовольствие от общения с художественным текстом, научатся размышлять над поэзией и прозой русских классиков и писать сочинения, отвечающие требованиям ДВИ (дополнительных вступительных испытаний) филологических факультетов вузов. Ученик филологического отделения находится в постоянном взаимодействии со своим преподавателем, который в рецензии к работе обязательно дает рекомендации, как улучшить результат, а при необходимости индивидуально подбирает дополнительные задания для отработки темы или литературу для более глубокого понимания исследуемого материала.

Вступительная работа 1. Подумайте и напишите, что не так с выражениями: остался за бортом разбитого корыта; довести до белого колена; заморить червячков; ни зги не брезжит; ни слуху ни пера; скрипя сердцем; шито-крыто белыми нитками; не в коне корм. 2. Почему зайчишка имеет окончание – А, как мыслишкА, а домишко – О, как золотишкО? 3. Определите часть речи: (НА)ВСТРЕ- ЧУ, ОЗАБОЧЕ(Н/НН)О. Придумайте предложения, которые помогут доказать вашу точку зрения. 4. Вспомните трех героев русской литературы с «говорящими» фамилиями. Предложите для каждого из них две другие, тоже «говорящие» об их свойствах и качествах, и объясните свой выбор. 5. В приведенном ниже отрывке из пушкинского «Евгения Онегина» найдите аллитерацию и попытайтесь объяснить: зачем автор использует этот фонетический прием, почему именно так? Бывало, Когда гремел мазурки гром, В огромной зале все дрожало, Паркет трещал под каблуком,

51

ИНФО Р МА Ц И Я

Тряслися, дребезжали рамы; Теперь не то: и мы, как дамы, Скользим по лаковым доскам. Но в городах, по деревням Еще мазурка сохранила Первоначальные красы: Припрыжки, каблуки, усы…

Отделение истории

Обучение на историческом отделении позволит расширить кругозор, подготовиться к олимпиадам по истории, получить высокий балл по ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам. Каждый раздел курса посвящается определенному периоду российской истории, сопровождается множеством иллюстраций, историческими документами, сводами дат, династическими таблицами, которых не найдешь в обычном учебнике. Такие материалы помогут не просто запомнить пройденное, но и понять содержание эпохи. Ведь мы учим не просто запоминать, но и размышлять! На каждое выполненное задание мы даем свой комментарий: ученик не просто знает, правильно ли он ответил, а узнает, почему верен или неверен именно такой ответ. Мы рекомендуем лучшие учебники и пособия, но предлагаем свой, оригинальный, проверенный временем курс. На нашем форуме можно задавать вопросы преподавателям. Отвечают они незамедлительно. Программа обучения рассчитана на школьников старших классов.

Вступительная работа 1. Сколько правительниц государства насчитывает история России? 2. Какой сборник законов из ниже перечисленных был первым, изданным массовым тиражом? а) Судебник Ивана III. б) Судебник Ивана IV. в) Соборное Уложение. г) Воинский артикул Петра I. 3. Почему в совхозе был директор, а в колхозе председатель?

Отделение обществознания

Когда наук много, а предмет один – это обществознание. Наш курс нацелен на подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, олимпиадам по этому предмету и входящим в его состав дисциплинам, в том числе по экономике, праву, поли-

тологии, социологии, философии. Он будет интересен и тем, кто просто хочет стать разносторонне образованным человеком. Задания ЕГЭ по обществознанию, особенно второй части этого экзамена, задания олимпиад, очень сложные. Поэтому мы объясняем каждый ответ (неважно, верен он или нет), а не просто ставим баллы за его выполнение. Особое место мы уделяем самому сложному заданию экзамена – написанию эссе. Только такая обратная связь позволяет вдумчиво и полноценно подготовиться к любым экзаменам. Эту же цель преследует форум, на котором ученики могут задать любой вопрос преподавателю. Кроме того, с преподавателем можно связаться через WhatsApp. Программа обучения рассчитана на школьников старших классов.

Вступительная работа 1. Какая республика – субъект Российской Федерации – имеет территориальную основу? 2. Какая форма правления существовала в России с апреля 1906 по март 1917? а) Абсолютная монархия. б) Дуалистическая монархия. в) Сословно-представительная монархия. г) Теократическая монархия. д) Традиционная монархия. 3. В стране Ухляндии в 2016 году фирма «Грейдер», используя экскаватор и прочую технику, вырыла, во исполнение контрактных обязательств, канаву длиной в один километр и шириной в один метр, за что получила от заказчика оплату в размере 2000 рыжиков (рыжики – ухляндская валюта). В 2017 году также по заданию заказчика она эту канаву зарыла, на чем заработала 3000 рыжиков. На сколько изменился в результате этих двух операций валовой внутренний продукт Ухляндии, если учесть, что он изменяется по состоянию на конец каждого года? а) Вырос на 2000 рыжиков. б) Вырос на 3000 рыжиков. в) Упал на 1000 рыжиков. г) Не изменился. д) Вырос на 5000 рыжиков.