Квант 2021, №6 · Страницы

Удар и его окрестности

Л.АШКИНАЗИ

В любом школьном учебнике физики рассмотрен случай прямого центрального соударения двух шаров – абсолютно упругого и абсолютно неупругого. Соответствующие уравнения, по два для каждого случая, вы, конечно, можете написать и решить. В реальной жизни не бывает «прямого центрального» и не бывает «шаров» – какие-то отклонения есть всегда. Кстати, раз нет шаров, то как нам формулировать условие «прямизны» и «центральности» и будет ли нам с этой формулировки прок? Ну и, конечно, не бывает «абсолютно упругого» и, более того, не бывает «удара». Вводя это понятие, мы обычно пренебрегаем временем взаимодействия, а для изменения импульса за бесконечно малое время нужна (вспомните уравнение m ˜ ’ v F ˜ ’ t ) бесконечно большая сила, которая разрушит любой материал. Почему же все это есть в учебниках, и далеко не только в школьных? Когда в физике рассматривают модели, выбор конкретного упрощения определяется формальной возможностью получения решения и разумностью этого решения. Причем «разумность» зависит от того, как мы собираемся применять решение. Если речь идет о практическом применении, т.е. об инженерии, о создании вещей, то главное – достаточно ли точно полученное решение в тех условиях и при тех ограничениях, для которых оно нам нужно. Если речь о практике пока не идет, т.е. если это «внутрифизическая» модель, то ситуация сложнее. Тут важно, насколько модель опирается на фундаментальную физику, есть ли в ней непонятные подгоночные параметры и сколько их, насколько модель логична, допускает ли она развитие. Это менее четкие критерии, поэтому в физике могут в течение какого-то

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210602

времени сосуществовать несколько моделей одного и того же круга явлений. Инженерия таких ситуаций старается избегать, хотя это не всегда удается. Например, в дисциплине, название которой вы, наверное, слышали – «сопротивление материалов», есть несколько способов оценки предельных нагрузок на элементы конструкций, которые так и называют – «теории прочности». Но это редкая ситуация. Модель удара, изложенная в школьных учебниках, существует примерно три века (ее история рассказана, например, вот тут – http: physiclib.ru books item f00 s00 z0000053 st059.shtml). Поэтому она не «внутрифизическая», а вполне применимая на практике. Кроме того, у нее есть полезные и интересные расширения, которым и посвящена данная статья. Причем расширениям как школьным, встречающимся в задачах и вопросах на экзаменах, так и внешкольным. Но для начала, чтобы освежить эту модель в памяти и «закрепить на панели быстрого доступа», обозначим массы шаров $m_{1}$ и $m_{2}$, их скорости, соответственно, $v_{1}$ до $, v_{2}$ до $, v_{1}$ после и $v_{2}$ после и для ситуации $v_{2}$ до 0 построим красивые графики зависимости v 1 после v 1 до и $v_{2}$ после $v 1_{до}$ от $m 1 m_{2}$ для обоих типов соударений (рис.1). Кстати, подумайте, почему мы строили зависи-

Рис. 1. Поведение шаров после соударения. Кривая 1 относится к первому шару в случае упругого удара; кривая 2 – к обоим шарам при неупругом ударе; кривая 3 – ко второму шару в случае упругого удара

7

УДАР

И

ЕГО

ция нормальная – у любой модели есть границы, их полезно знать. В идеальном учебнике они должны быть указаны, или – если мы их не знаем – должно быть указано, какова область действия модели, т.е. до каких значений параметров она работоспособна и с какой точностью проверена. В данном случае у нас есть, однако, лазейка – если в условии сказано, что соударение абсолютно упругое, то работа силы трения равна нулю. Но для импульса такой лазейки нет, и некорректность остается. Правда, иногда «удар» определяют иначе и аккуратнее – как взаимодействие достаточно короткое, чтобы можно было пренебречь внешними силами. В этом случае время соударения не равно нулю, силы не равны бесконечности и то, во что мы уперлись в предыдущем абзаце, мы обошли. Но все равно при абсолютной упругости соударения нет работы силы трения, а значит – или нет этой силы или нет перемещения. Однако импульсом шарики обмениваться могут, а следовательно, могут и изменять свои угловые скорости, и разлетаться вбок. Отсюда мораль – внимательно читать определения, ибо это тоже часть модели, а разные определения означают, что у нас разные модели. К поведению вращающегося шарика с трением мы еще вернемся. Следующий шаг в глубину задачи – прямой не центральный удар (рис.2,б), шарики радостно летят по параллельным прямым и прикидывают, столкнутся ли они. Тут в игру вступают три параметра – два радиуса и расстояние между прямыми. Если оно равно нулю, имеем предыдущую задачу – центральный удар. Если расстояние больше суммы радиусов, то соударения вообще нет. Если столкновение происходит, то эти три параметра – точнее, отношение между ними – определяют положение точки столкновения и направление действующих на шарики при столкновении сил. Если соударение абсолютно неупругое, то все это не имеет значения – у нас опять два уравнения и две неизвестные величины, например скорости после соударения.

ОКРЕСТНОСТИ

Если соударение упругое, полностью или частично, то новые параметры – точка столкновения и направления сил – делаются важны. Если трения нет, то силы – это только силы реакции, они перпендикулярны поверхности и проходят через центры шаров. Их компоненты, направленные вдоль параллельных прямых, влияют на продольные скорости, а поперечные компоненты вызывают разлет шариков поперек прямых. Задача вполне решаемая, но в таком виде ее в школе не дают, а поступают проще – убивают одно неизвестное. Действительно, у нас теперь три уравнения (для энергии, импульса вдоль и поперек), а неизвестных величин четыре. В естественной ситуации это компоненты скоростей после соударения, и найти их, не зная наших новых параметров, нельзя. Но то в природе, а в школе поступают просто, делают неизвестными три любые величины – по числу уравнений. Например, полагают «известной» минимум одну из компонент одной из скоростей после соударения. Либо поступают немного приличнее – просят найти не сами компоненты, а отношение каких-то двух, опять же искусственно уменьшая количество неизвестных. Если ввести коэффициент трения, то столкновение перестает быть абсолютно упругим, и у нас возникает выбор. Можно это игнорировать, применять закон сохранения кинетической энергии, а силу трения считать пропорциональной реакции опоры. В этом случае учет трения сведется к тому, что сила, с которой один шарик действует на другой, станет не перпендикулярна поверхности – у нее возникнет касательная компонента. И все было бы хорошо, но сила трения пропорциональна реакции опоры только при наличии движения. В начале столкновения шарики друг по другу действительно скользят, но не могут ли они в процессе взаимодействия остановиться? Если же мы отказываемся от абсолютной упругости, мы либо теряем одно уравнение, либо нам надо честно посчитать работу силы трения и вычесть результат из кинетической энергии. Это будет не простая задача, особенно с учетом

9

УДАР

И

ЕГО

Ядро этой задачи таково. Имеется шар известного размера, который изначально покоится. По прямой, проходящей через его центр, летит тело много меньшей массы, которое сталкивается с этим шаром. Сила, действующая между телами, считается известной. Каковы дальнейшие события? Условие на массы означает, что большой шар покоится, точнее – двигается много медленнее малого тела. Далее, если сила равна нулю (очень часто именно так проще всего начинать рассмотрение), то взаимодействие отсутствует – большое покоится, малое летит, удивляясь, что его скорость не изменилась. Начинаем увеличивать силу – начинается обмен импульсами, причем мы можем пользоваться и законом сохранения энергии, вычитая из кинетической энергии работу действующей между телами силы A FD, где D – диаметр. При дальнейшем увеличении силы мы приходим к «абсолютно неупругому удару», когда малое тело останавливается внутри большого. Вы сами можете написать соответствующие уравнения и получить решение. Если отказаться от условия на соотношение масс, то придется учитывать, что большое тело тоже перемещается, и тогда движение малого тела происходит не до остановки, а до совпадения скоростей. Можно рассмотреть и ситуацию, когда большое тело имеет начальную скорость, это не сильно усложнит задачу. У этой модели существуют несколько симпатичных вариантов усложнения, некоторые из них встречаются в задачниках. Например, малое тело может лететь по прямой, не проходящей через центр большого тела. В этом случае у силы F возникает момент, и большое тело начинает, очевидно, вращаться. Менее очевидно, что при этом у большого тела возникает компонента скорости, направленная поперек исходного направления движения малого тела. Другой вариант усложнения – если начальная скорость большого тела направлена не вдоль прямой, по которой изначально летит малое тела, а, например, перпендикулярно. Рассмотрите эту ситуацию и убедитесь, что вращение возникает

ОКРЕСТНОСТИ

и в этом случае. А вот если малое тело попадает в большое, летя по прямой, проходящей через центр не имеющего линейной скорости, но изначально вращающегося большого тела, то его вращение замедлится. «Все страньше и страньше», – сказала бы Алиса. (Помните такую?) Если изложенное выше показалось вам интересным, почти наверняка вам будут интересны и статьи об ударе, ранее опубликованные в журнале «Квант» – А.Панова (1990, №8), В.Козлова (1988, №9 и 1995, №4), С.Хорозова (1997, №4) и А.Гросберга и М.Каганова (1993, №9 10 и 1996, №2). Причем полезно прочесть их все, потому что авторы подходят к явлению с разных сторон и строят разные его модели – иногда более математические, иногда более физические. А из последней статьи вы еще и узнаете, почему при столкновении слышен звук и какую долю энергии он уносит. В заключение… оторвемся от книги или монитора и посмотрим наверх. Как написал Станислав Лем, космос не пуст – «его непрерывно пронизывают взгляды миллионов живых существ». Может быть, сейчас ваш взгляд пересекается с чьим-то взглядом с другого конца Галактики. В космосе тоже есть столкновения, известен один случай столкновения спутников, и вообще для космических аппаратов существует опасность столкновения со всяким мусором, летающим над нами. Правда, при этих скоростях рассмотренные нами модели не работают, механизм взаимодействия выглядит иначе и всегда происходит разрушение. Если человечество будет продолжать осваивать космос, то важность соответствующих задач будет расти, так что, если вы получите серьезное образование и займетесь этим классом задач, скучать вам не придется. Кстати, в статье мы не раз упоминали вращение. А галактики, как вы знаете, вращаются. Не связано ли это со столкновениями чего-то, из чего образовались галактики?

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2654, М2655, М2657 предлагались на заключительном этапе XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задача М2656 предлагалась на XLII Турнире городов.

Задачи М2654–М2657, Ф2661–Ф2664 M2654. На стороне BC параллелограмма ABCD отмечены точки E и F, причем E лежит между B и F (рис.1). Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямые AE и DF касаются окружности, описанной около $треу-^{Рис.} 1$ гольника AOD. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника EOF. А.Кузнецов

M2656. Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_{1} a_{2}$ … такова, что при каждом n! 100 число $a_{n}$ равно наименьшему натуральному числу, большему $a_{n} 1$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} 1$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное число составных чисел. П.Кожевников

M2655. Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди – сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница и т.д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважды красить отрезки нельзя. Учительница побеждает, если после хода одного из 31 игроков найдется клетчатый прямоугольник 1 u 2 или 2 u 1 такой, что у него вся граница покрашена, а единичный отрезок внутри него не покрашен. Докажите, что учительница сможет победить. М.Дидин, А.Кузнецов

Ф2661. Для плавного изменения уровня расположения детали над поверхностью стола соорудили показанную на рисунке 2 установку, состоящую из нескольких шарнирно соединенных стержней. Углы, образованные стержнями, равны 120q и 60q. Стержень, отмеченный на рисунке красным цветом, стальной, он имеет длину L 10 см. Его нагревают со скоростью 10 K q мин. С какой скоростью поднимается деталь? Ко-

M2657*. Натуральные числа n! 20 и k! 1 таковы, что n делится на $k^{2}$. Докажите, что найдутся натуральные числа a, b и c такие, что n ab bc ca. А.Храбров

Рис. 2

12

КВАН T 2021/№6

Следовательно, $x^{2} n y^{2} n$. Но тогда 0! $x^{2} n y^{2} n$! x – противоречие. Н.Агаханов

M2643. Окружности: и Z касаются друг друга внутренним образом в точке A (рис.1). Проведем в большей окружности

Рис. 1

: хорду CD, касающуюся Z в точке B (хорда AB не является диаметром Z ). Точка M – середина отрезка AB. Докажите, что окружность, описанная около треугольника CMD, проходит через центр Z.

Обозначим через O центр окружности Z (рис.2). Проведем через точку A общую

Рис. 2

касательную к нашим окружностям; пусть она пересекает прямую CD в точке P. Поскольку PA PB, точка P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, который также проходит через точки M и O. Так как AM – высота в прямоугольном треугольнике PAO, имеем PM ˜ $PO PA^{2}$. С другой стороны, по свойству касательной и секущей имеем $PA^{2} PC$ ˜ PD. Значит, PM ˜ PO PC ˜ PD. Это и означает, что точки C, D, O и M лежат на одной окружности. П.Бибиков

M2644. Петя и Вася играют на доске 100 ¥ 100. Изначально все клетки доски белые. Каждым своим ходом Петя красит в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым своим ходом Вася красит в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по вертикали. Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ: выигрывает Петя. Приведем одну из возможных выигрышных стратегий для Пети. Он все время будет делать ходы, параллельные одной из диагоналей доски, назовем ее главной. Первым ходом Петя закрасит все клетки главной диагонали, после этого доска разбивается на две одинаковые «лесенки» (рис.1). Мысленно сделаем каждую лесенку симметричной относительно вертикальной прямой, сдвинув в ней каждый горизонтальный ряд, кроме первого, на полклетки относительно пре- Рис. 1 дыдущего ряда (рис.2).

Рис. 2

В результате сдвигов и бывшие вертикали, и бывшие диагонали, параллельные главной, стали наклонными рядами. При этом «вертикали» одной лесенки симметричны «диагоналям» другой. Это значит, что на каждый ход Васи Петя может ответить симметричным ходом в другую лесенку (два таких ответа показаны на рисунке 2). Тогда после каждого Петиного хода ситуация на «сдвинутой» картинке будет оставаться симметричной, а значит, Петя всегда сможет сделать ход согласно опи-

18

КВАН T 2021/№6

Педальные отрезки: где максимум?

М.ДИДИН, П.КОЖЕВНИКОВ

Пусть на плоскости дан треугольник ABC и точка X. Проекции точки X на стороны BC, CA, AB обозначим соответственно $X_{a}, X_{b}, X_{c}$. Как известно, точки $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда X лежит на описанной окружности треугольника ABC (в таком случае прямая $X_{a} X_{b} X_{c}$ называется прямой Симсона). Далее считаем, что X не лежит на окружности (ABC), тогда проведем через точки $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ окружность – так называемую педальную окружность точки X (рис.1). Вторые точки пересечения окружности $X_{a} X_{b} X_{c}$ со сторонами треугольника обозначим $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$. Педальными отрезками точки X назовем отрезки $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$. В этой небольшой статье мы изучим, какой из педальных отрезков будет макси-

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210603

мальным или минимальным по длине, в зависимости от положения точки Х. По результатам этого небольшого исследования мы рассмотрим некоторые интересные частные случаи и дадим решение задачи М2621 из «Задачника «Кванта» (см. «Квант» №9 за 2020 г.). Авторское решение этой задачи опиралось на вычисление длин педальных отрезков. Будем использовать следующий известный факт (см., например, статью П.Кожевникова «Изогонально сопряженные точки» в «Кванте» №1 за 2016 г.): перпендикуляры к прямым BC, CA, AB, проведенные в точках $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$ соответственно, всегда пересекутся в одной точке Y, изогонально сопряженной точке X, т.е. в точке Y такой, что прямые AX и AY симметричны относительно биссектрисы угла BAC, прямые BX и BY симметричны относительно биссектрисы угла ABC, прямые CX и CY симметричны относительно биссектрисы угла ACB. Иначе говоря, точки X и Y в наших рассмотрениях равноправны, они имеют общую педальную окружность. Точке Y мы также запретим лежать на окружности (ABC) (в этом случае X не определена, или, как говорят, «ушла в бесконечность»), кроме случая, когда X лежит на одной из прямых AB, BC, CA – тогда педальная окружность точки X определена и проходит через вершину треугольника ABC, а Y совпадает с этой вершиной. Основная идея будет в следующем. Мы найдем геометрическое место точек X, для которых найдутся два равных педальных отрезка, это ГМТ окажется объединением нескольких прямых и окружностей, которые разобьют плоскость на области. Далее позволим точке X непрерывно двигаться по плоскости, не пересекая «критической окружности» (ABC); при этом длины педальных отрезков будут меняться непрерывно, а значит, пока X находится внутри одной из определенных выше областей, упорядоченность по длине педальных отрезков $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$ сохранится. Далее проведем внутренние и внешние биссектрисы треугольника; пусть точки их

22

КВАН T 2021/№6

или центра описанной окружности O. Если средний угол треугольника меньше 60q, то наименьший из педальных отрезков для X H лежит на наименьшей стороне, если же средний угол треугольника больше 60q, то – на наибольшей стороне. 2. Пусть r – радиус вписанной окружности,$^{r}$ b – радиус вневписанной окружности, касающейся средней стороны, R – радиус описанной окружности. Тогда наименьший из педальных отрезков задачи М2621 (хорд окружности Нагеля) лежит на меньшей стороне если и только если 2 R r r b.

3. Наибольшая из хорд педальной окружности точки Торричелли лежит на средней стороне треугольника. 4. Наименьшая из хорд педальной окружности точки Торричелли лежит на меньшей стороне, если средний угол треугольника больше 60q, и на большей стороне – в противном случае.

Можно продолжить исследование для других замечательных точек треугольника, а также для случая тупоугольного треугольника.

Скрытая симметрия

Е. БАКАЕВ

В этом номере приводится решение задачи М2644. Красота этой задачи в том, что, несмотря на совершенно разные правила хода для двух игроков, оказывается, можно взглянуть на ситуацию под таким углом, что в качестве стратегии работает симметрия непосредственно в геометрическом смысле! Мы приведем еще три игры с похожей «изюминкой». В задачах 1 и 2 игроки ходят по одинаковым правилам, но все же положение фигур на доске симметрией не обладает – предлагаем подумать, как этой симметрии достичь. В задаче 3 и вовсе игроки ходят совершенно по-разному, даже никакого расположения предметов не задается, но и там, тем не менее, разглядев скрытую симметрию, вы решите задачу. 1 (А.Толпыго). Белая ладья стоит на поле b2 шахматной доски 8 u 8, а черная – на поле c4. Игроки ходят по очереди, каждый своей ладьей, начинают белые. Запрещается ставить свою ладью под бой другой ладьи, а также на поле, где уже побывала какая-нибудь ладья. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой? (За ход ладья сдвигается по горизонтали или вертикали на любое число клеток, и считается, что она побывала только в начальной и конечной клетках этого хода.) 2 (А. Бучин, А. Иванищук). Двое игроков по очереди выставляют на доску 65u65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре? 3 (Е.Бакаев). Петя и Вася играют в такую игру. Сначала на столе лежит 11 кучек по 10 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждым ходом игрок берет 1, 2 или 3 камня, но Петя каждый раз выбирает все камни из любой одной кучи, а Вася всегда выбирает все камни из разных кучек (если их больше одного). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

24

КВАНТ 2021/№6

Перечитывая фантастов

С.ПАРНОВСКИЙ

Комиксы и созданные на их основе фильмы со спецэффектами полны героями со сверхспособностями разного рода. Чуть реже их можно найти в книгах в жанре фэнтези. А есть ли они в классической научной фантастике? Почему именно классической, спросите вы. Да просто потому, что на ранних этапах развития жанра считалось, что автор должен дать объяснение сверхспособностям своего героя, хоть както похожее на разумное. В ход шли чудесные изобретения, тайно созданные непризнанными гениями машины, некие эликсиры или лекарства, новые материалы (желательно – неизвестный науке металл неземного происхождения) и так далее. Классика жанра – это человек-невидимка Герберта Уэллса, ставший таким благодаря своему научному открытию. И практически с самого момента появления книги об этом супергерое она стало объектом научного разбора и насмешек. Действительно, свет, попадая на какой-то предмет, может поглощаться, отражаться, рассеиваться, преломляться. Именно это и делает видимым этот предмет. Молодой ученый Гриффин придумал способ устранить все эти явления и

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210604

применил его к своему телу. И что в результате? Весь свет, попавший ему в глаза, спокойно проходил сквозь них, не взаимодействуя с палочками и колбочками – светочувствительными приемниками на сетчатке его глаз. Так что пресловутый человек-невидимка Гриффин сам не должен был видеть ничего вокруг. Причем не только людей, но и окружающий мир. Остается пожалеть бедного слепца. Впрочем, если дать волю фантазии, то можно придумать способ обойти эту проблему. Простейший – разрешить сетчатке поглощать свет. Но этого мало, придется сделать видимым и хрусталик глаза, ведь если его показатель преломления сравняется, как у Уэллса, с показателем преломления воздуха, то хрусталик перестанет фокусировать свет на сетчатку и от ее видимости проку будет немного. Можно пойти дальше и представить сложное устройство, которое делит попадающий на него свет, скажем, пополам. Одна половина идет в глаза наблюдателю или на другое светочувствительное устройство, а вторая половина усиливается вдвое и продолжает свой путь, обеспечивая невидимость. Понятно, что про половины написано просто для примера. Важно, что свет, попадающий на устройство, анализируется и поглощенная его часть подменяется светом, испущенным специальным излучателем. Излученный свет должен заменять поглощенный, причем как по интенсивности, так и по направлению и спектру. Управляться все это должно, скорее всего, с помощью компьютера. В советской научной фантастике можно найти другого супергероя, ставшего таковым в результате научного открытия, причем не одного, а множества различных. Это – профессор Вагнер, герой многих рассказов Александра Беляева. Открываем изданный в 1926 году рассказ «Гость из книжного шкафа» из серии «Изобретения профессора Вагнера» и читаем: «Но профессор Вагнер не спит. Он не спит уже много

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

лет – с тех пор, как победил сон. Его жизнь – один непрерывный рабочий день. И выполняет он две работы сразу. Каждое его мозговое полушарие, как два самостоятельных веретена, ткет сразу две нити мыслей. Одна из них – о строении атома. Вот над чем работает сейчас профессор Вагнер. А другой половиной мозга – что с ним бывает очень редко – он думает о самом себе. Он подводит итог тем событиям, которые вновь сделали его пленником. Победа над сном дорого ему досталась. Тайная немецкая политическая организация “Диктатор”, желавшая воспользоваться его изобретением, путем обмана заманила его в свои сети. Профессор Вагнер бежал на самолете. Но когда спасение, казалось, уже пришло, когда он уже видел развевающийся вдали, на русской границе, красный флаг, случилось то, чего он менее всего ожидал. Его настигла неожиданная погоня». Сразу видно, что перед нами коллега Супермена. И можно предугадать, что профессор даст прикурить обществу «Диктатор» и его приспешникам: «Прошло три месяца с тех пор, как Вагнер вернулся в свое заключение после неудачного побега. …И вот только теперь, в эту бурную, дождливую ночь, он сделал одно открытие, которое должно было раскрыть перед ним все двери, сделать его свободным – свободным, как ни один человек на Земле. “Сказано – сделано!” И он вдруг направился по комнате напрямик, через столы и кресла, и проходил сквозь них, как через воздух. …И вдруг Вагнер, к ужасу зрителей, почти терявших сознание, вошел в пылающий камин, весело кивнул им последний раз, стоя среди пламени, и исчез в каминной стене». Проходя через предметы и людей, профессор неспешно путешествовал по Германии, пугая своим видом обывателей. Но враги полны коварства: «Видите ли, в чем дело: профессор Вагнер неуловим и неуязвим. Но и у него должна быть ахиллесова пята. Да, ахиллесова именно пята, можно сказать не только иносказательно, но и почти буквально.

ШКОЛЬНИКОВ

Если бы все тело, говорит профессор Шмидт, было проницаемо для материи, то ясно, что Вагнер должен был провалиться сквозь землю… – Вот-вот! В этом все дело! Если земля не расступилась под его ногами, значит, его подошвы снабжены особыми изоляторами что ли. Эти изоляторы должны быть иного строения атомов, чем его тело. Каким образом эти изоляторы, или сандалии, все же проникают сквозь стены, Шмидт не уяснил. Он допускает, что впереди или по краям они снабжены оболочкой, которая способна изменить атомный состав материи, встречающейся на пути, и делать ее проницаемой. Но самые сандалии, или калоши, назовите как хотите, должны быть материальны. В этом все дело… – Ну и?.. – Ну и очень просто: нужно ловить его за эти калоши! Окружить и хватать сквозь ноги подошвы! Тогда он будет в наших руках! Поймав калоши, мы поймаем и Вагнера!» Но они, естественно, просчитались. Послушаем рассказ самого профессора: «Они, мои преследователи, думают, что я должен иметь особые изоляторы на подошвах, чтобы не провалиться сквозь землю. Только сейчас, перед тем как мне укрыться у вас, они сделали нападение на меня, вернее на мои ноги. Они хватали меня за подошвы у земли. Но я вошел по колени в землю. С таким же успехом я мог бы войти по голову, и тогда они увидали бы одну голову, двигающуюся по земле. Но у меня нет никаких “подошв”. Они ошиблись. Законы тяжести не существуют для меня. И я благополучно ушел от них». Самое время прервать чтение и задуматься, как все должно выглядеть с точки зрения физики. Сформулируем задачу: есть тело, в нашем случае это тело профессора Вагнера, на которое не действуют никакие силы. Ни гравитация, ни реакция опоры, ни механические силы при взаимодействии с соприкасающимися с ним предметами. Согласно первому закону Ньютона это тело будет двигаться с постоянной скоростью. Неужели профессор Вагнер вместо того, чтобы не спеша идти в сторону

КОНК УРС ИМ Е НИ А .П.С АВИНА

СССР, будет беспомощно барахтаться на одном месте, пытаясь добыть глоток воздуха, который проходит сквозь него не задерживаясь? Про еду и воду я даже не вспоминаю. Ответ: все немного сложнее. Тело профессора Вагнера в обычном состоянии притягивается не только к Земле, но и к Солнцу, Луне, центру Галактики, скоплениям и сверскоплениям галактик. И если профессор в некий момент одновременно сделает свое тело проницаемым и не притягивающимся к другим телам, то оно действительно будет двигаться равномерно и прямолинейно, но не в системе отсчета, связанной с Землей или немецким замком, в котором держали профессора, а относительно некой не совсем понятной «инерциальной системы отсчета». Замок вращается вокруг оси Земли за сутки, Земля возвращается вокруг центра масс системы Земля–Луна за месяц, она же вокруг Солнца – за год. Траектория замка в этой самой инерциальной системе отсчета будет существенно отличаться от прямой.

С точки зрения тех, кто наблюдал исчезновение профессора в камине, картина должна выглядеть так: профессор облучает себя таинственными лучами, после чего начинает задыхаться, барахтаясь в воздухе, и поднимается все выше и выше с увеличивающейся скоростью. Если он при этом пытается что-то произнести, то его все равно невозможно услышать – ведь его горло, легкие, голосовые связки и все остальное спокойно проходят сквозь воздух, не приводя его в колебательное движение, т.е. не вызывая звуковые волны. Наверное, в прочие детали можно не вдаваться. Но в заключение предлагается читателям самостоятельно разобраться в еще одном коронном трюке из арсенала фантастики – в путешествиях во времени. Не спрашивается, как это можно устроить, а спрашивается, куда именно попадет путешественник во времени, переместившись вперед или назад вдоль этого самого времени, но оказавшись, по мнению фантастов, «в том же самом месте». И траектория движения суперпрофессора Вагнера поможет вам в размышлениях над этим вопросом.

$КОНК_{УРС} ИМ_{Е}$ НИ $А_{.П.С}$ АВИНА

ИТОГИ КОНКУРСА ИМЕНИ А.П.САВИНА 2020/21 УЧЕБНОГО ГОДА

Победители Лучшие результаты показали Бирюлин Алексей – Москва, школа 179, 8 кл., Дренчева Мария – Болгария, София, Софийская математическая гимназия, 9 кл., Нестеренко Александра – Москва, школа 1287, 8 кл., Часовских Иван – Химки, Московская обл., школа 14, 7 кл.

Призеры Также высокие результаты показали команда МАОУ «Академический Лицей» города Магнитогорска (руководитель Мошкин Виталий Станиславович):

Чернов Богдан (10 кл.), Казакова Екатерина (9 кл.), Гофштейн Лев (9 кл.), Королев Михаил (10 кл.), совместная математическая группа Центра «Успех» Гатчинского муниципального района и Информационно-методического центра Лужского муниципального района Ленинградской области (руководитель Павлов Сергей Павлович): Стрекозов Денис (5 кл.), Дорохова Софья (7 кл.), Крылов Тимофей (7 кл.), Маркин Иван (8 кл.), Тюков Даниил (10 кл.), Еронин Валерий (10 кл.).

Поздравляем!

Победителям и призерам будут высланы дипломы журнала «Квант» и призы от МЦНМО. Помимо этого призы получат также наиболее активные участники конкурса.

…что хорошего можно сделать с вещами, не приведенными к степени и мере, особенно в физике? Алессандро Вольта

Произведенное с большей точностью измерение длины дуги меридиана … было положено в основу наиболее простой и естественной метрической системы мер. Пьер Симон Лаплас

…каждая молекула во Вселенной носит на себе печать меры и числа настолько же ясную, как и метр парижских архивов или как двойной царский локоть карнакского храма. Джеймс Клерк Максвелл

Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия даже со стороны весьма крупных ученых. Джон Уильям Рэлей

В физике … нет места для путаных мыслей… Действительно понимающие природу того или иного явления должны получать основные законы из соображений размерности. Энрико Ферми

Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве! Яков Смородинский

?

А так ли хорошо знакомы вам размерность и подобие

Перевод мер, измерения, размерность – одни из первых терминов, встречающихся в самом начале изучения физики. В их основании – понятие МЕРЫ, с которым стоит крепко подружиться и как с необходимым инструментом для грамотного решения задач, и как с опорой для качественного анализа разнообразных физических ситуаций. Понять, что «скрепляет» описывающие явление величины, что лежит в фундаменте используемых вами систем единиц, каков баланс между интуицией и расчетом – это и еще очень многое дает владение методом размерностей и тесно связанным с ним принципом подобия. Разговор об этом займет не один выпуск «Калейдоскопа». Пока же, подобно нашим наставникам из эпиграфов, займемся развитием чувства меры в физике.

Вопросы и задачи

1. Что общего между морской милей (равной 1852 м) и $секундой?^{2.}$ До отхода поезда 2 мин, а путь до вокзала 2 км. Если первый километр спортсмен бежал со скоростью 30 км ч, то с какой скоростью он должен пробежать второй километр?

2. Может ли самолет за 1 секунду пролететь $1 километр?^{4.}$ Девочки слепили снеговика, а мальчики соорудили точную его копию, но в два раза большей высоты. Какова масса копии, если масса оригинала 50 кг? Плотность снега считайте $неизменной.^{5.}$ Баскетбольный мяч нужно накачать на 8 фунтов на квадратный дюйм (PSI, pound per square inch). Манометр насоса измеряет давление в паскалях. Что покажет прибор после $накачки?^{6.}$ Одной из характеристик писчей бумаги является ее плотность V, для измерения которой используют внесистемную едини- цу г $м^{2}$. Какое давление оказывает на стол лист бумаги плотностью $V ?^{7.}$ Как, пользуясь соображениями размерности, определить зависимость скорости звуковых волн в стержне от модуля Юнга и плотности $материала?^{8.}$ Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен q. Новое кольцо таких же габаритов сделано из материала, плотность которого в 10 раз больше. Какой заряд разорвет новое кольцо?

9. Какая физическая величина может измеряться в единицах Дж $Кл^{2}$. с? 10. Потенциал в вершине кубика, заряженного равномерно по объему, равен 12 В. Чему равен потенциал в центре кубика? 11. В каких единицах выражается интенсивность электромагнитного излучения?

Микроопыт

Изобразите, например с помощью транспортира, центральный угол величиной в 10 градусов, затем рассмотрите его через лупу. Изменится ли величина угла?

Любопытно, что…

… с древних времен индейцы при покупке земли в качестве единицы измерения принимали территорию, которую человек мог обойти за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этого самого быстрого бегуна. … размеры многих монументальных сооружений, в том числе и знаменитого Стоунхенджа, кратны особой мере длины, названной мегалитическим ярдом и равной 82,9 сантиметра. … Галилей с помощью анализа размерностей впервые пришел к выводу, что величина безопасной нагрузки на единицу объема балки обратно пропорциональна ее длине. … в решении Галилеем задачи о колебаниях маятника уже содержались соображения о подобном поведении подобных систем. Принцип же подобия в ясном виде впервые сформулировали Ньютон и Гук. … к понятию размерности физической величины и принципу однородности по размерностям в 1822 году первым прибегнул французский ученый Жан Фурье, а развил и распространил Джеймс Максвелл. … в 1832 году немецкий математик и физик Карл Гаусс создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы для трех основных велечин – времени, длины и массы. А в 1881 году в Париже был созван Международный конгресс, впервые учредивший общепринятые единицы измерения для физических величин, присвоив им названия в честь великих физиков.

… по сей день некоторые внесистемные единицы не утрачивают своей актуальности и удобства и продолжают активно использоваться – как, например, «лошадиная сила», «астрономическая единица длины» и «миллиметр ртутного столба». … Макс Планк, введший в 1900 году свою знаменитую постоянную, отмечал, что его константа вместе со скоростью света и ньютоновской гравитационной постоянной образуют абсолютную систему единиц. Принципиально, что с точным определением и фиксацией величины фундаментальных констант тесно связаны современные значения эталонов единиц измерения. … основополагающее открытие квантовой физики – идея квантования – родилось на основе анализа Нильсом Бором размерностей физических величин, характеризующих движение электрона вокруг ядра атома. …подлетевший в 1999 году к Марсу космический аппарат НАСА прошел слишком низко над поверхностью планеты и сгорел в ее атмосфере. К аварии привела постыдная ошибка: одна группа специалистов использовала при расчетах британские единицы измерения (фунт-сила), а другая – метрические (ньютон).

Что читать в «Кванте» о размерности и подобии

(публикации последних лет) 1. «Из записной книжки учителя» – 2014, №5/6, с. 18; 2. «Сила в один буратино» – 2015, №2, с.30; 3. «Размерности и … правило квантования Бора» – 2016, Приложение №2, с.144; 4. «Объять необъятное, или Ее преПодобие Размерность» – 2019, №2, с.2; 5. «Зачем плющить зерна, или О плотности потоков» – 2019, №11, с. 27; 6. «Вычисления без вычислений» – 2020, №1, с.21; 7. «Белые карлики – кристаллические звезды» – 2021, №5, с.17.

Материал подготовил А.Леонович

О Л ИМ П ИАД Ы

LXXXIV Московская математическая олимпиада школьников

28 марта 2021 года прошла очередная Московская математическая олимпиада (одновременно со сложным вариантом весеннего тура Турнира городов, многие задачи были общими). Приводим некоторые задачи олимпиады (в скобках после номера задачи указан класс, в котором она предлагалась). Все условия и решения можно найти на сайте olympiads.mccme.ru mmo.

односторонним движением. Министр путей сообщения, тайный злодей, решил так организовать движение, что, покинув любой город, в него нельзя будет вернуться. Для этого он каждый день, начиная с 1 июня 2021 года, меняет направление движения на одной из дорог. Докажите, что он сможет добиться своего к 2022 году (т.е. за 214 дней). А.Заславский

Избранные задачи 1.(8) Барон Мюнхгаузен утверждает, что к любому двузначному числу можно справа приписать еще две цифры так, чтобы получился полный квадрат (к примеру, если задано число 10, то дописываем 24 и получаем $1024 32^{2} ).$ Прав ли барон? М.Евдокимов

6.(9) Положительные числа a и b таковы, что a b a b. Что больше: a b или ab? В.Клепцын, А.Гусев

2.(8) Митя купил на день рождения круглый торт диаметром 36 сантиметров и 13 тоненьких свечек. Мите не нравится, когда свечки стоят слишком близко, поэтому он хочет поставить их на расстоянии не меньше 10 сантиметров друг от друга. Поместятся ли все свечки на торте? Д.Мухин

3.(8) В правильном пятиугольнике ABCDE отмечена точка F – середина CD. Серединный перпендикуляр к AF пересекает CE в точке H. Докажите, что прямая AH перпендикулярна прямой CE. А.Блинков

4.(8) В каждом из 16 отделений коробки 4 u 4 лежит по золотой монете. Коллекционер помнит, что какие-то две лежащие рядом монеты (соседние по стороне) весят по 9 граммов, а остальные – по 10 граммов. За какое наименьшее число взвешиваний на весах, показывающих общий вес в граммах, можно определить эти две монеты? М.Евдокимов

5.(8) В некотором государстве 32 города, каждые два из которых соединены дорогой с

7.(9) Клетки бумажного квадрата 8 u 8 раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата 2 u 2, не имеющих общих клеток одинаковой раскраски. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.) Л.Попов, А.Гусев

8.(10) На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую – то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? М.Евдокимов

9.(10) Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше 60q. А.Блинков

10.(10) Есть бесконечная в одну сторону клетчатая полоска, клетки которой пронумерованы натуральными числами, и мешок с десятью камнями. В клетках полоски камней изначально нет. Можно делать следующее: – перемещать камень из мешка в первую клетку полоски или обратно; – если в клетке с номером i лежит камень, то можно переложить камень из мешка в клетку с номером i 1 или обратно.

42

К В А НT 2021/№6

Московская олимпиада школьников по физике 2021 года

Заключительный этап

7 класс

1. Обычные и «Ласточки» (7 баллов) На железнодорожной ветке, связывающей город М с областным центром T, есть (кроме прочих) остановки в городке З и поселке П. От М до З проложены два пути для движения поездов в направлении Т, а от З до П – один путь (рис.1). Расстояние от М до З

2. Губка Менгера (10 баллов) На рисунке 2 воспроизведен компьютерный рисунок из «Википедии» (автор: Niabot),

Рис. 2

Рис. 1

равно 45 км, а от З до П – 15 км. Начиная с 17:00 и до 21:00 от М в направлении Т каждые пятнадцать минут отправляются скоростные электропоезда «Ласточка», которые останавливаются в З, но не останавливаются в П, а также хотя бы раз в час отправляются обычные электрички, останавливающиеся и в З и в П. Ласточки движутся со средней скоростью 120 км ч, а обычные электрички – со средней скоростью 45 км ч. На пути от М до З Ласточки и обычные электрички движутся по разным путям, не мешая друг другу. Электричка не отправляется из З, если на пути до П ее может догнать Ласточка, выжидая в З удобного момента для отправления (так, чтобы можно было доехать до П, не мешая Ласточкам). Можно считать, что посадка, высадка и пересадка пассажиров с одного электропоезда на другой на остановках происходят за пренебрежимо малое время. A. За какое минимальное время можно доехать до поселка П по железной дороге, отправившись из М в интервале времени от 18:00 до 19:00 включительно, в случае наиболее удобного расписания электричек? (3 балла) B. В какое время (часов, минут) в интервале от 18:00 до 18:30 включительно следует назначить отправление электричек от М, чтобы они приходили в П, не задерживаясь в З? Укажите все значения. (4 балла) П.Крюков, А.Бычков на котором изображены первые итерации построения фрактала под названием «Губка Менгера». На первой итерации в кубе делают три сквозных отверстия квадратного сечения. Оси отверстий взаимно перпендикулярны, перпендикулярны граням куба и проходят через середины граней. Длина стороны квадрата, лежащего в сечении отверстия, равна 1 3 длины стороны грани куба. На второй итерации подобные отверстия проделывают в маленьких кубиках, образовавшихся на гранях большого куба, и так далее. Пусть имеется заготовка в виде куба с длиной стороны 1 м, изготовленная из пластика плотностью 1000 кг $м^{3}$, а также устройство, при помощи которого можно делать в этой заготовке отверстия квадратного сечения сколь угодно малого размера. Из куба решили изготовить n-ю итерацию Губки Менгера. A. Чему равна средняя плотность куба на четвертой итерации (последний кубик на рисунке)? (4 балла) B. Представим себе, что образующиеся на n-й итерации полости заполняют пластиком плотностью 2000 кг $м^{3}$. Чему может быть равна средняя плотность куба на n-й ( n t 0 ) итерации? В ответе укажите границы диапазона возможных значений плотности. (2 балла) С. Нам не нравится, что губка белая. Решили покрасить все грани губки на второй итерации (в том числе все внутренние) синей краской, расход которой составляет 100 г $м^{2}$. Хватит ли для этого одной банки, содержащей 1 кг краски? А двух банок? (4 балла) П.Крюков, А.Бычков

44

К В А НT 2021/№6

и направлены так, как показано на рисунке 6. A. 1) Если бы второй и четвертой бусинок не было, то как выглядел бы график зависимости угла $M_{3} t$, определяющего положение третьей бусинки, от времени для первых двух секунд движения? (1 балл) 2) Изобразите график зависимости угла $M_{2} t$, определяющего положение второй бусинки, от времени для первых двух секунд движения (на кольце четыре бусинки). (3 балла). B. В какой точке кольца будет находиться через 2 секунды после начала движения первая бусинка? Сколько столкновений она испытает за это время? (2 балла) С. Верно ли, что углы, характеризующие положение бусинок, а также их скорости через некоторое время T будут такими же, как в начальный момент? Если да, то найдите время T. (5 баллов) П.Крюков

2. См. задачу Ф2658 «Задачника «Кванта» (8 баллов). 3. Про электросамокат (6 баллов) В электросамокате в качестве источника энергии используется батарея литий-ионных аккумуляторов. При помощи специального устройства, которое называется контроллером, и мотора электрическая энергия, запасенная в аккумуляторе, преобразуется в механическую работу без потерь. Можно считать, что при движении с постоянной скоростью вся механическая работа совершается мотором самоката против силы сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости самоката. Уровень заряда батареи пропорционален электрической энергии, запасенной в аккумуляторе. При движении на самокате со скоростью 15 км ч по горизонтальной дороге уровень заряда батареи уменьшается от 80% до 70% за 20 минут. За какое время произойдет такое же уменьшение заряда батареи при движении со скоростью 18,9 км ч по той же дороге на том же самокате того же самого человека, что и в первом случае?

3. См. задачу Ф2659 «Задачника «Кванта» (10 баллов).

9 класс

1. Диско-шар (10 баллов) Диско-шар – это шар с зеркальной поверхностью, состоящей из сотен или тысяч граней, каждая из которых – маленькое плоское зеркало. Обычно он подвешивается на потолке к устройству, которое равномерно вращает его вокруг вертикальной оси. Когда шар освещается прожекторами, зрители видят многочисленные отблески («зайчики»), бегущие по полу, стенам и потолку помещения (фото на рисунке 7). Зеркальные шары

Рис. 7

приобрели популярность в период расцвета музыкального стиля диско в конце 70-х годов 20 века, когда их стали устанавливать в залах дискотек и ночных клубов. Пусть шар радиусом R вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр (точка A на рисунке 8, вид сверху), совершая n оборотов в секунду. Расстояние от центра шара до вертикальной стены, совпадающей с горизонтальной осью x, равно H, при этом H ≫ R. Шар освещается пучком параллельных лучей, который формируется прожектором, расположенным на стене на той же высоте, что и центр шара. Лучи света от прожектора идут перпендикулярно стене, поперечный размер пучка равен 2d.

Пояснение. Когда мы говорим «работа совершается против силы сопротивления воздуха», то имеем в виду, что работа сил, заставляющих самокат двигаться, равна по абсолютной величине работе силы сопротивления.

М.Ромашка, П.Крюков

Рис. 8

45

О Л ИМ П ИА Д Ы

Рассмотрим «зайчики», бегущие по стене на той же высоте, что и прожектор. A. Чему равно максимальное значение координаты зайчика $x_{max}$? (2 балла) B. Определите скорость v x движения «зайчика», проходящего точку с координатой x. (4 балла) С. Пусть одинаковые маленькие плоские зеркала, покрывающие поверхность шара, имеют форму квадратиков с длиной стороны a ( a ≪ R ). Пусть пучок света прожектора, падающий на шар, имеет небольшую расходимость, определяемую углом 2M ( M ≪ 1 ). Оцените максимальное значение угла M, при котором хотя бы в некоторых точках стены можно будет различить отдельные «зайчики». (4 балла)

Указание. При решении могут оказаться полезными следующие приближенные соотношения для тригонометрических функций малых углов D ( D ≪ 1, > D @ рад): sin D | D, cos D | 1, tg D | D.

П.Крюков

2. См. задачу Ф2657 «Задачника «Кванта» (10 баллов). 3. См. задачу Ф2660 «Задачника «Кванта» (8 баллов). 4. Плотность мантии (6 баллов) По существующим представлениям о строении Земли под слоем земной коры небольшой толщины находится мантия, состоящая из силикатных пород и простирающаяся примерно до глубины 2900 км, мантия окружает жидкое внешнее ядро. С небольших глубин из-за высоких давлений твердое вещество мантии начинает проявлять пластические свойства, поэтому при расчетах можно считать его жидким. На основе анализа данных о скоростях распространения сейсмических волн возникли модельные представления о распределении давления внутри Земли. В первом приближении график зависимости давления р от глубины h (при h Щ 3500 км) состоит из двух линейных участков (рис.9), при этом гравитационная сила, действующая на тело массой m со стороны Земли на глубинах до 3000 км, определяется по той же формуле, что и на поверхности: F mg. Можно считать, что ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}$. Изобразите графически зависимость плотности вещества Земли от глубины, соответствующую участку прямой пропорциональности на графике давления. На сколько

Рис. 9

изменяется плотность в точке излома графика давления? А.Бычков, П.Крюков

5. Планирование (9 баллов) На крыло летательного аппарата со стороны натекающего на него потока воздуха, движущегося со скоростью v (относительно крыла), действуют силы, зависящие от скорости v: подъемная сила L v, ортогональная скорости, и сила сопротивления D v, сонаправленная скорости (рис.10). Отноше-

Рис. 10

L v называется аэродинами- D v ческим качеством. В этой задаче рассмат- ние K v ривается полет планера (безмоторного летательного аппарата), для которого аэродинамическое качество можно считать постоянным, не зависящим от направления и величины скорости v. Известно, что в неподвижном (относительно земли) воздухе планер может лететь, снижаясь, с постоянной скоростью, так что уменьшение высоты будет составлять 20 метров на каждый километр перемещения по горизонтали (рис.11).

Рис. 11

47

О Л ИМ П ИА Д Ы

2. Подул встречный (для тазика) ветер, так что горизонтальная составляющая скорости капель вблизи земли оказалась равна w, а вертикальная равна u. Какое расстояние $L_{2}$ пройдет тазик до остановки, если время движения равно t? (2 балла) B. В этой части задачи считается, что дырок в тазике нет, вся попадающая в таз дождевая вода остается в нем. За рассматриваемое время вода не заполняет таз целиком и не переливается через борт. Ветра нет, скорость капель вертикальна. 1) Определите зависимость скорости таза от времени v t в этом случае. (2 балла) 2) Если таз проходит расстояние s к моменту, когда масса воды в нем становится равна массе таза M, то какое расстояние он пройдет к моменту, когда масса воды в нем станет равна 3M? (3 балла) Фольклор

2. Изобразите характеристику (7 баллов) В схеме специального источника напряжения, показанной на рисунке 14, диоды –

емкостью 3C не заряжен, ток в цепи равен нулю. Другие параметры схемы равны $R_{1} 10$ МОм, $R_{2} 10$ Ом, E 12 В. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов можно пренебречь. Ключ замыкают. Определите токи $i_{1}$ и $i_{2}$, текущие через резисторы сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ соответственно, через одну секунду после замыкания ключа. М.Ромашка

4. Рассматривая монеточку (9 баллов) На дне сосуда глубиной h, заполненного жидкостью с показателем преломления n, в точке с координатами (0, h) (направление осей показано на рисунке 16) располагается

Рис. 16

Рис. 14

идеальные (открываются при близком к нулю напряжении), значения ЭДС и внутреннего сопротивления равны E 1,5 В и r 1,0 Ом соответственно. Изобразите графически зависимость i U (ВАХ источника), где i – ток, возникающий при подключении к источнику нагрузки, а U – разность потенциалов выводов A и $B: U M_{A} M_{B}$. По мотивам задачи А.Зильбермана Ф753

3. Токи через секунду (8 баллов) В схеме, показанной на рисунке 15, ключ K изначально разомкнут, конденсатор емкостью C 100 мкФ заряжен, а конденсатор

Рис. 15

Рис. 17

монеточка S. Наблюдатель видит изображение монеточки $S_{1}$ в точке с координатами (x, y). Множество значений (x, y) для разных углов зрения изображено на графике (рис.17). Используя график, найдите показатель преломления жидкости n и глубину сосуда h. П.Крюков

5. О капле (12 баллов) В этой задаче рассматривается эффект уменьшения температуры капли воды вследствие испарения с ее поверхности при близких к комнатным давлении и температуре.