Квант 2021, №8 · Страницы

15

ЗАДАЧНИК

число детей, и число куч уменьшилось на 1), и снова мальчик возьмет правую кучу, а девочка – левую и т.д. В итоге мальчики возьмут все правые кучки в количестве, равном числу мальчиков, что не зависит от порядка детей в очереди. М.Дидин

M2652. В отель ночью приехали 100 туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера 1, 2, …, n, из которых k на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остается там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя проверять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого k укажите наименьшее n, при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга.

Ответ: n 100 m 1 при k 2 m и n 100 m 1 1 при k 2 m 1. Пусть k 2 m или k 2 m 1. Алгоритм. Пусть k четно. Мысленно разделим номера на 100 участков по m 1 номеров. Пусть i-й турист сначала проверяет все номера i-го участка, двигаясь слева направо, а потом проверяет номера i 1 -го участка, но справа налево (если i 100, проверяет 1-й участок). Никакие два туриста не попадут при этом в один номер, так как суммарно на двух их участках всего k 2 номера. В случае нечетного k разделим номера на 100 участков по m 1 номеров, а еще один последний номер объявим запасным. Пусть i-й турист сначала проверяет все номера i-го участка, двигаясь слева направо, потом идет в запасной номер, а затем проверяет номера i 1 -го участка, но справа налево. Снова никакие два туриста не попадут при этом в один номер, так как в объединении двух их участков и запасного номера всего k 2 номеров, а в запасном номере двое туристов также не встретятся (они могли бы оказаться только

«КВАНТА»

после посещения 2 m 1! k номеров, находящихся на ремонте, – противоречие). Оценка. Для того чтобы каждый из 100 туристов мог гарантированно заселиться в номер не на ремонте, он должен с самого начала иметь список из k 1 различных номеров, в которые будет заходить. Можно считать, что списки не меняются по ходу заселения других туристов (поскольку никакой информации о них мы не узнаем). Подчеркнем в списке каждого туриста первые m 1 номеров. Все эти 100 m 1 подчеркнутых номеров различны. Действительно, в случае совпадения подчеркнутых номеров у двух туристов есть случай, в котором алгоритм не сработает – если все номера в их списках, предшествующие совпадающему (а таких номеров не больше m m 2 m k ), находятся на ремонте. Следовательно, n t 100 m 1. При четном k этой оценки достаточно. В случае нечетного k поступим почти так же – подчеркнем в списке каждого туриста первые m 1 номеров, а кроме того, у одного из туристов подчеркнем m 2 -й номер в его списке. Утверждаем, что все 100 m 1 1 подчеркнутых номеров различны. Действительно, в случае совпадения подчеркнутых номеров у двух туристов есть случай, в котором алгоритм не сработает – если все номера в их списках, предшествующие совпадающему (таких номеров не больше m 1 m k ), находятся на ремонте. Следовательно, n t 100 m 1 1. Ф.Ивлев

M2653*. Пусть p и q – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каждый раз она прыгает либо на p вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального d p q найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся ровно на d.

Случай p q 1 очевиден. Пусть p и q различны, и пусть p q. Когда лягушка вернулась в 0, ее суммарное перемещение вправо равно суммарному перемещению

22

КВАН T 2021/№8

Таинственная шкала, или Небольшое расследование

С.ДВОРЯНИНОВ

CКАЖИТЕ, ВЫ ДАВНО ЗАГЛЯДЫвали на чердак вашего дома? А ведь чердак – это место, где начинаются приключения многих литературных героев. Вспомним строки из повести А.Гайдара «Тимур и его команда»: «Женя обошла сарай… Она подтащила к окну трухлявую лестницу и, взобравшись по ней, спрыгнула на пол чердака. Очень странно! Этот чердак был обитаем. На стене висели мотки веревок, фонарь, два скрещенных сигнальных флага и карта поселка, вся исчерченная непонятными знаками… Возле дырявой замшелой крыши торчало большое, похожее на штурвальное, колесо. Над колесом висел самодельный телефон». Мальчик Лешка, главный герой книги С,Алексеева «Сын великана», попадает на чердак в самом начале повести: «Когда Лешка толкнул чердачную дверь, та не поддалась. Дверь оказалась запертой». Порой старую вещь не хочется выбрасывать – вдруг еще пригодится? И оказывается она на чердаке или в дальнем углу кладовой либо сарая. И даже хозяин потом забывает, где и что лежит. А чердак превращается в музей антиквариата. Вот и автору недавно попалась на глаза старая вещица (рис.1). Ясно, что это безмен – пружинные весы. Как утверждает Википедия, это слово заимствовано из тюркских языков, где везне имеет значение «весы». Тюркское везне получило звучание «безмен» под влиянием народной этимологии: в народном сознании оно осмысливалось как безмены – «без изме-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210803

Рис. 1

нения». В механике такой измерительный прибор называется динамометром. Обратим внимание на две шкалы безмена. Выясним, как связаны соответствующие им единицы массы. Справа – масса в килограммах, для левой шкалы единицу массы назовем фунтом. Вначале может показаться, что 2 фунта 1 кг, 1 фунт = 0,5 кг. По мере движения вниз по шкале это соотношение меняется: 6 фунтов | 3,25 кг, 1 фунт | 0,542 кг,

7 фунтов | 3,75 кг, 1 фунт | 0,536 кг,

10 фунтов | 5,5 кг, 1 фунт | 0,550 кг,

12 фунтов | 6,5 кг, 1 фунт | 0,542 кг,

13 фунтов | 7 кг, 1 фунт | 0,538 кг,

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

«Не забудьте про часы!»

С.ПАРНОВСКИЙ

Так утверждают поэт Андрей Вознесенский, певец Максим Леонидов и театр клоунады «Лицедеи» в старом фильме «Как стать звездой». А насколько будет плохо, если забыть? Спросим у ученых. Сейчас нашу жизнь просто пронизывает информация о том, где именно мы находимся в потоке времени. Включив смартфон или компьютер, мы немедленно узнаем точное время, и каждую минуту часы меняют свои показания, синхронизированные с сигналами точного времени, с данными навигационных спутников, с эталонами… Короче, с особо точными часами. Японские ученые сравнили ход подобных суперхронометров у подножия и на вершине токийской телебашни и в очередной раз подтвердили предсказание Альберта Эйнштейна о том, что скорости течения времени у этих часов $различаются.^{1}$ На вершине время течет немного быстрей. Но было время, когда никто не считал минуты, не говоря уже о наносекундах. Было нечем и, вообще говоря, особо незачем. Вспомним классику: «Когда д’Артаньян подходил к пустырю, находившемуся подле монастыря, пробило полдень. Атос ожидал его всего пять минут – следовательно, д’Артаньян был безукоризненно точен и самый строгий судья в законах дуэли не имел бы повода упрекнуть его». А кого перестала устраивать «безукоризненная точность» с

1 Группа ученых во главе с профессором Токийского университета Хидетоси Катори в 2020 году сравнила ход компактных сверхточных атомных часов, помещенных у подножия телевышки «Небесное дерево» и на смотровой площадке на высоте 450 метров. Часы на высоте шли примерно на пять стотрилионных быстрее, чем часы внизу. За сутки они убегали вперед примерно на 4,3 наносекунды. За год разница составила бы 1,6 микросекунды.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210804

ошибкой в пять минут задолго до того, как актриса Людмила Гурченко спела одноименную песню в фильме «Карнавальная ночь»? Это были астрономы и мореплаватели. Они фиксировали время, когда происходят разные астрономические события, начиная от банальных восхода или захода солнца и кончая затмениями на Земле или на спутниках Юпитера. И началось это в очень давние $времена.^{2}$ Мореплаватели использовали астрономические наблюдения для того, чтобы определить положение своего корабля, т.е. для навигации. Для определения долготы им надо было иметь еще и надежный хронометр, выставленный по времени какой-то реперной точки, например Гринвичской обсерватории возле Лондона. Просто для того, чтобы было с чем сравнить определенное из астрономических наблюдений местное вре-

2 Про так называемый антикитерский механизм, нечто вроде древнего прообраза примитивного компьютера для предсказания астрономических событий, написано в замечательной книге Джо Мерчант «Антикитерский механизм. Самое загадочное изобретение Античности».

26

КВАН T 2021/№8

мя. Как из этих данных можно получить долготу, прекрасно объясняется, например, в книге Жюля Верна «Таинственный остров». Предположим, что корабельный хронометр ошибается на пять минут. Тогда долгота будет определена с ошибкой в 5 ˜ 15 c. Для корабля, плывущего возле экватора, это соответствует 75 морским милям, приблизительно 140 километрам. В другой океан не заплывем, но мимо небольшого острова с пиратским кладом промажем. Да и на рифы или мель сесть можно. Откуда появились 15 c при расчете? За 24 часа Земля делает один оборот, т.е. поворачивается на 360q. Тогда за час она повернется на 15q, или на 15 c за минуту. На самом деле на корабле в идеале должно быть не менее трех хронометров. Почему? Попробуйте догадаться сами. Если не хотите, то посмотрите $примечание.^{3}$ Сейчас есть и более надежные средства узнать свое положение на нашей планете. Но точный эталон времени пригодится и в космосе на борту спутника. Так, два американских спутника, получившие название Gravity Probe, использовали его для проверки общей теории относительности (ОТО), а российский Радиоастрон – для того, чтобы в связке с наземными антеннами образовать космический радиоинтерферометр с беспрецедентным разрешением до миллионных долей угловой секунды. В древности самые надежные и бесплатные часы были основаны на движении Солнца и звезд по небосводу, т.е. с видимым проявлением вращения Земли. Пусть небо иногда и покрыто тучами, все равно никакие периодические явления, вроде пения петуха или желания выпить у корабельного боцмана, не могли конкурировать с такими часами по точности определения времени. А если рядом нет, к примеру, регулярного гейзера с постоянным интервалом времени между выбросами струй, то можно организовать что-то с постоянным периодом или изменяющееся с приблизительно постоянной скоростью. Мы знаем водяные часы, свечи и лампы, используемые для отсчета времени. Но ни один из этих методов не может даже отдаленно сравниться по точности с самыми при-

3

Если на корабле два хронометра и их показания отличаются, то не ясно, какой из них врет. Если их три, то два из них покажут приблизительно одинаковое время.

митивными механическими часами с маятником. И ключевыми здесь являются слова «с маятником». Просто механические часы могли иметь неплохую точность, но она существенно улучшилась после того, как в Европе в XIII веке придумали первый, еще примитивный анкерный (он же спусковой) механизм, более надежно обеспечивающий постоянство средней скорости хода. Затем девятнадцатилетний Галилео Галилей в 1583 году во время службы в Пизанском соборе обратил внимание на раскачивание люстры. Используя собственный пульс в качестве прибора для отсчета времени, он обнаружил, что период колебаний маятника почти не зависит от амплитуды этих колебаний. Применив новое знание к практике, известный ученый Христиан Гюйгенс усовершенствовал часы – в 1657 году он получил голландский патент на конструкцию маятниковых часов. Более того, часы реально работали и обеспечивали превосходную для того времени точность хода. Это открыло дорогу их массовому производству и применению. Заметим, что Гюйгенс не ограничился маятником, в котором точка перемещается по окружности. Существует кривая, описывающая профиль углубления, в котором период колебаний материальной точки никак не зависит от амплитуды. Она называется циклоидой, а за это свое свойство получила дополнительное прозвище «таутохрона» – от переведенного на греческий язык слова «равновременная». Название «циклоида» придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Гюйгенс не только установил таутохронность циклоиды, но и придумал, как заставить подвешенный на нитке груз колебаться именно по циклоиде. Об этом и многом другом он написал в своей книге «Маятниковые часы» (точнее, «Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum an horologia aptato demonstrationes geometrica», короткие названия тогда были не в моде), вышедшей в 1673 году. Можно долго рассказывать, как постепенно усовершенствовали часы, добиваясь того, чтобы их показания были надежными, не подверженными внешним воздействиям. Достаточно упомянуть, что точный и надежный морской хронометр был придуман в Великобритании только в 1735 году. Было

Ты размеры-то на глаз поставь, да полдюйма на прочность прибавь. Эмпирическое правило кораблестроителей

Если математика – это искусство избегать вычислений, то теоретическая физика – это искусство вычислять без математики. Аркадий Мигдал

Математические расчеты нужны нам для сличения результатов применения идей с измерениями тех величин, с которыми мы оперируем в наших опытах. Джеймс Клерк Максвелл

… в точном значении любая теоретическая схема обязательно должна быть доведена до числа, по крайней мере такая возможность обязательно должна быть предусмотрена. Борис Болотовский

Никогда не начинай вычислений, пока не знаешь ответа. Каждому вычислению предпосылай оценочный расчет… Джон Арчибальд Уилер

П.Л.Капица показал нам… всю мощь метода оценок порядка величин, исходя из здравого смысла и простых физических соображений… Николай Карлов

?

А так ли хорошо знакомы вам вычисления и оценки

Уж коли в условии физической задачи приведены численные данные, извольте ее решение довести до числа! А для этого придется как следует «порыться» в вашем математическом арсенале, так как могут потребоваться умения оперировать с обыкновенными и десятичными дробями, процентами, пропорциями, квадратными корнями и прочими, вроде бы нехитрыми, вычислительными премудростями. Затем надо не забыть, в каких единицах должен быть представлен численный ответ, и проверить его разумность. Не передоверяйте все подобные действия калькулятору, ведь самим повозиться с расчетами – отнюдь не избыточная нагрузка. Зачастую эта работа даже позволяет найти рациональное решение «в общем виде» или подсказывает новый, собственный способ продраться сквозь числовые джунгли. Если же вы увлечетесь и набьете руку на задачах-оценках, то цены вам не будет, и это непременно скажется на ваших учебных и олимпиадных достижениях. Попробуйте свои вычислительные силы на нескольких, надеемся вполне доступных вам, примерах.

Вопросы и задачи

1. На приемных экзаменах в аспирантуру академик Ландау предлагал поступающим продолжить последовательность букв «p», «д», «т», «ч», «п»… Что она может означать? 2. Международная космическая станция летает на высоте 300 км над поверхностью Земли. Хватит ли количества кубиков объемом в $1 мм^{3}$, содержащихся в $1 м^{3}$, чтобы сложить из них башню такой высоты? 3. Сможете ли вы оценить, на каком расстоянии от вас ударила молния? 4. К оси правильно идущих часов приделали третью стрелку, которая в каждый момент времени делит пополам угол между часовой и минутной стрелками. Сколько оборотов сделает третья стрелка за сутки, если в полночь все три стрелки совпадают? 5. Оцените минимальную допустимую продолжительность суток для планеты массой М и радиусом R. 6. Как бы вы оценили давление шариковой ручки на бумагу при письме? 7. Знаете ли вы, как Архимед придумал «взвесить» число S?

ОЛИМПИАДЫ

LXII Международная математическая олимпиада

В июле происходило главное математическое соревнование школьников в году – международная математическая олимпиада школьников. Из-за продолжающейся пандемии, как и в прошлом году, олимпиада прошла раздельно в более 140 специальных экзаменационных центрах, оборудованных видеонаблюдением, где 19 и 20 июля проводились два тура олимпиады. Как и в 2020 году, страной-организатором IMO выступала Россия, центральный оргкомитет олимпиады работал в Санкт-Петербурге на базе РГПУ им. А.И.Герцена. В олимпиаде приняли участие 619 юных математиков из 107 стран. Нашу страну на олимпиаде представляли: Иван Бахарев (Санкт-Петербург, 10 класс), Айдар Ибрагимов (Казань/Москва, 11 класс), Матвей Исупов (Ижевск, 11 класс), Андрей Шевцов (Москва, 11 класс), Данил Сибга-

туллин (Казань Москва, 11 класс), Максим Туревский (Санкт-Петербург, 10 класс). Результаты команды России подтвердили высокий уровень образования и подготовки команды: наши ребята завоевали пять золотых медалей и одну серебряную и заняли второе место в общекомандном зачете. Первое место – у сборной Китая. В таблице приведе- ны результаты наших участников по задачам. Отметим успешное выступления Максима Туревского, у которого абсолютное второе место в общем индивидуальном рейтинге. Подробная информация и статистика результатов IMO представлена на официальном сайте http: imo-official.com олимпиады.

38

КВАН T 2021/№8

тур. Методическое пособие / под ред. А.В.Чудновского – М.-Якутск, 2021. Ниже представлены теоретические задачи для старшей лиги и список победителей олимпиады.

XXVIII Международная олимпиада школьников «Туймаада»

Физика

В июле этого года в Якутске прошла XXVIII Международная олимпиада «Туймаада» по физике, математике, информатике и химии. Особенностью олимпиады в этом году стала очно-дистанционная форма (без привычного экспериментального тура): школьники из Якутска участвовали очно, а из других регионов и стран – дистанционно. Участники олимпиады по физике соревновались, как обычно, в двух лигах: старшей и младшей (жюри распределяет участников по лигам в зависимости от их возраста и класса). Согласно программе олимпиады по физике участникам могут быть предложены задачи на любые темы, содержащиеся в углубленной школьной программе (в младшей лиге – за исключением тем, относящихся к выпускному и предвыпускному классам). Авторы оригинальных задач (как теоретических, так и экспериментальных) могут присылать их методической комиссии ([email protected]) – лучшие задачи войдут в итоговый комплект и будут опубликованы в образовательных журналах. Статья подготовлена на основании методического пособия: А.В.Чудновский, Р.Е.Аванесян, А.Б.Акимов, А.И.Бычков, С.Д.Варламов, М.М.Ермилов, С.И.Кошоридзе, С.П.Крюков. XXVIII Международная олимпиада «Туймаада». Физика. Теоретический

Теоретический тур

Старшая лига

Задача 1. Прыгучая кошка 1) Кошка хочет перепрыгнуть с одной полки на другую, а затем обратно. Известны минимальные начальные скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ кошки, при которых она сможет осуществить эти прыжки. Найдите модуль разности высот Н и расстояние R между полками. 2) Кошка массой m прыгает по полкам $A_{1}, A_{2},..., A_{n}$ в указанном порядке $( A_{1} o A_{2} o$ … $o A_{n} ),$ останавливаясь после каждого прыжка. Разность высот между последней и первой полками равна ’ H, а длина ломаной $A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ равна L. Чему равна минимальная энергия, необходимая кошке для всей серии прыжков? Считайте, что при прыжке КПД кошки равен 100%, а при приземлении она энергию не затрачивает. Кошку и все полки считайте материальными точками, сопротивление воздуха не учитывайте, ускорение свободного падения g известно. М.Ермилов

Задача 2. Рычаги на рычаге На горизонтальной плоскости стоит кубик, на котором лежит невесомый рычаг, на котором стоят два невесомых кубика, на которых лежат невесомые рычаги, на концах которых закреплены маленькие грузики массами М, $m_{1}, m_{2}$ и m (рис.1). Все три рычага расположены в одной вертикальной плоскости, параллельной паре граней каждого кубика и совпадающей с плоскостью рисунка. Для отсчета длин по рисунку все

40

КВАН T 2021/№8

a – константы, причем отличие данной ВАХ от прямой пропорциональности связано только с зависимостью сопротивления от температуры. Лампу подключают к источнику переменного напряжения $U U_{0}$ sin Z t с амплитудой $U_{0} 115 B$ и такой большой циклической частотой Z, что изменением температуры нити накаливания лампы за один период колебаний напряжения можно пренебречь. Найдите отношение амплитуды колебаний силы тока в ходе нескольких первых периодов к амплитуде колебаний силы тока через продолжительное время. В качестве ответа укажите искомую величину, округленную до трех цифр после запятой. А.Чудновский

Задача 8. Зеркальная Земля В начальный момент времени МКС (международная космическая станция), летящая по круговой орбите вокруг Земли на высоте H 400 км над ее поверхностью, пересекала отрезок, соединяющий центры Земли и Солнца, а непосредственно под МКС космонавты могли сквозь чистое небо наблюдать полный штиль на большой области Тихого океана. Через какое время Т изображение Солнца в океане будет приближаться к МКС со скоростью u 0,4 км с? На каком расстоянии L от МКС будет изображение в этот момент времени? Землю считайте шаром радиусом R 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли g 10 м $с^{2}$. С.Варламов

Победители олимпиады

Младшая лига

Егор Потапов, Россия – диплом I степени, Alexandru Strambei, Румыния – диплом II степени, Akezhan Shahabdin, Казахстан – диплом II степени, Максим Наумов, Россия – диплом II степени, Никита Стефанов, Россия – диплом II степени, Erdaulet Nakhip, Казахстан – диплом III степени, Amirgali Malikov, Казахстан – диплом III степени, Arthur Nikolaenko, Казахстан – диплом III степени,

Ярослав Шастин, Россия – диплом III степени, Arsenii Samoilenko, Казахстан – диплом III степени, Степан Ефимов, Россия – диплом III степени и спецприз, Андрей Хритов, Россия – диплом III степени, Данил Елисеев, Россия – диплом III степени и спецприз, Алина Мочалова, Россия – диплом III степени.

Старшая лига

Vladimir Lim, Казахстан – диплом I степени, Иван Пыльцин, Россия – диплом I степени, Daniil Shatokhin, Казахстан – диплом II степени, Святослав Красин, Россия – диплом II степени, Кирилл Чиветьев, Россия – диплом II степени, Станислав Новиков, Россия – диплом II степени и спецприз, Nurdaulet Nazarbay, Казахстан – диплом II степени, Alisher Yerkebayev, Казахстан – диплом III степени, Кирилл Лавыгин, Россия – диплом III степени, Михаил Дьячковский, Россия – диплом III степени и спецприз, Yavor Miroslavov Yordanov, Болгария – диплом III степени, Horia Mercan, Румыния – диплом III степени. Публикацию подготовили А.Чудновский, Ю.Григорьев

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Национальный исследовательский университет «МИЭТ» на протяжении многих лет проводит для старшеклассников олимпиады по математике, физике и информатике, которые пользуются большой популярностью среди школьников страны. С 2015 года в заочной (дистанционной) форме проводится олимпиада школьников «РИТМ МИЭТ». Ежегодно в 9 секциях олимпиады принимают участие более 2000 человек. В 2018 году университет организовал очную Физикоматематическую олимпиаду МИЭТ, которая проходит в нескольких десятках городов России и стран СНГ. С 2019 года также проводится олимпиада школьников «Электронный наномир». Ниже приводятся задачи по физике заключительного этапа олимпиады «РИТМ МИЭТ», варианты Физико-математической олимпиады МИЭТ и избранные задачи олимпиады «Электронный наномир».

Интернет-олимпиада «РИТМ МИЭТ»

Заключительный этап

1. В момент отправления поезда с ускорением a 1 м $с^{2}$ пассажир находился на расстоянии r 15 м от открытой двери своего вагона и на 10 м позади нее (рис.1). С какой

Рис. 1

минимальной скоростью и в каком направлении должен бежать пассажир, чтобы заскочить в свой вагон? 2. Ось полого цилиндра горизонтальна. Небольшая шайба находится внутри цилиндра в нижней точке. Цилиндр начинают вращать вокруг его оси так, что скорость шайбы до начала ее проскальзывания увели-

чивается со временем по линейному закону v at, где a 1 м $с^{2}$. Проскальзывание шайбы начинается в момент, когда цилиндр повернулся на угол M S 6 относительно первоначального положения. Определите коэффициент трения между цилиндром и шайбой. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 3.$ В теплоизолированном цилиндрическом сосуде объемом $V_{0} 1$ л под поршнем находятся небольшой электронагреватель и одноатомный идеальный газ при давлении $p_{0} 100$ кПа. Поршень начинают перемещать с постоянной скоростью, включив при этом электронагреватель и регулируя его мощность так, что давление в сосуде изменяется пропорционально объему газа. Определите минимальную и максимальную мощности нагревателя при увеличении объема газа в 2 раза за время $t_{0} 400$ с. 4. Состояние двухатомного идеального газа изменяется по циклу Карно. Минимальный объем газа в цикле V 1 л, максимальное давление p 200 кПа. При адиабатическом расширении газ совершает за цикл работу A 150 Дж. Определите КПД цикла. 5. Три одинаковых шарика соединены двумя легкими нерастяжимыми нитями одинаковой длины (рис.2). Крайние шарики поло-

Рис. 2

жительно заряжены. В начальный момент шарики находятся на одной прямой, скорости крайних равны нулю, а средний шарик движется в направлении, перпендикулярном нитям, с кинетической энергией, равной потенциальной энергии электрического взаимодействия крайних шариков. Определите: а) минимальный угол между нитями при движении шариков; б) угол E между нитями в момент времени, когда скорость среднего шарика равна нулю. Силой тяжести пренебречь. 6. К двум медным стержням прижали Побразный медный проводник (рис.3). Сопротивления четырех контактов П-образного проводника со стержнями равны $R_{1} R_{2} R_{3} 1$ Ом и $R_{4} 3$ Ом. Эти сопротивления значительно превышают сопротивления самих стержней и П-проводника.

45

Э КЗАМЕНА Ц ИОННЫЕ

мощность так, что температура в сосуде остается постоянной. За время $t_{0} 500$ с объем газа в сосуде увеличился в 2 раза. Определите минимальную и максимальную мощности нагревателя в этом процессе. 5. Три одинаковых шарика соединены двумя легкими нерастяжимыми нитями одинаковой длины (рис.13). Крайние шарики за-

Рис. 13

ряжены положительно. Сначала шарики удерживают в вершинах равнобедренного треугольника при натянутых нитях, а затем одновременно отпускают. В системе возникают колебания с максимальной кинетической энергией $E_{max} 0,1$ Дж и максимальной потенциальной энергией электрического взаимодействия $U_{max} 2 E_{max}$. Определите: а) максимальную кинетическую энергию $E_{1}$ среднего шарика; б) минимальный угол $D_{min}$ между нитями. Силой тяжести пренебречь.

11 класс 1. На горизонтальной поверхности земли находится гладкая полусфера радиусом R. Из ее верхней точки А начинает скользить небольшой камушек. а) С какой скоростью v он упадет на землю? б) Под каким углом D к горизонту будет направлена эта скорость? в) Под каким углом E к горизонту нужно бросить камушек с поверхности земли с минимально возможной начальной скоростью, чтобы он достиг точки А? 2. Цилиндрический сосуд с водой находится в помещении, в котором поддерживается влажность воздуха $M_{1}$ 70% при неизменной температуре. Уровень воды в сосуде понижается со скоростью $v_{1} 0,2$ см сутки. Определите, с какой скоростью $v_{2}$ будет понижаться уровень воды в сосуде, если влажность воздуха в комнате станет $M_{2}$ 50% при той же температуре. 3. Заряженная бусинка массой m и зарядом q скользит без трения по нити, натянутой вдоль оси симметрии однородно заряженной неподвижной диэлектрической полусферы, приближаясь к ее внутренней поверхности (рис.14). Воображаемую границу сферы бусинка пересекла в точке 1 со скоростью v, а в точке 2, совпадающей с центром

МАТЕ Р ИАЛЫ

Рис. 14

полусферы, имела скорость 5v. а) Определите разность потенциалов $M_{1} M_{2}$ электростатического поля полусферы в точках 1 и 2. б) С какой скоростью бусинка ударилась о внутреннюю поверхность полусферы? 4. Наночастицей принято называть изолированный твердофазный объект, имеющий отчетливо выраженную границу с окружающей средой, максимальный размер которого в любом направлении составляет от 1 до 100 нм. Какое количество электронов можно удержать на сферической проводящей наночастице радиусом R 50 нм, если предельная напряженность электрического поля окружающей среды $E_{max} 2$ ˜ $10^{6}$ В м, а диэлектрическая проницаемость окружающей частицу среды H 11,7? Коэффициент пропорциональности в законе Кулона k 9 ˜ $10^{9}$ Н ˜ $м^{2} Кл^{2}. 5.$ На диэлектрической подложке сформирована двухуровневая металлизация, фрагмент которой показан на рисунке 15. Алю-

Рис. 15

миниевые проводники 1 и 2 лежат в нижнем слое металлизации, а проводники 3 и 4 – в верхнем, отделенном от нижнего слоя диэлектриком. Каждый проводник подсоединен к изолированной от других проводников контактной площадке. Потенциалы проводников равны $M_{1} 4$ В, $M_{2} 3$ В, $M_{3} 2$ В, $M_{4} 1$ В соответственно. Сопротивление между проводниками в местах их перекрытия R 100 МОм значительно больше сопротивления самих проводников. Определите ток I, втекающий в рассматриваемый фрагмент по проводнику 1. Публикацию подготовили Г.Гайдуков, И.Горбатый, А.Спиридонов, И.Федоренко

49

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 1

Теперь от нас требуется доказать, что окружности (DBC), (DEF) и $DO 1 O_{2}$ имеют вторую общую точку помимо D. Из равенства ‘ ABD ‘ ACD следует (см. рис.1), что радиусы окружностей (ADB), (ADC) равны и что они получаются друг из друга центральной симметрией относительно M – середины AD. Обозначим через $B_{1}, C_{1}$ вторые точки пересечения прямой BC с окружностями (ADB), (ADC) соответственно. Тогда ‘ ADE ‘ DBC ‘ $B_{1} AD$, откуда $AB_{1} P DE$, т.е. точки $B_{1}, E$ также центрально симметричны относительно M. Аналогично, $C_{1}, F$ центрально симметричны относительно М, откуда $EFB_{1} C_{1}$ – параллелограмм и EF P BC. Также

‘ FBC

‘ FBA ‘ ABD ‘ DBC ‘ FDA ‘ ACD ‘ ADE

‘ BCD ‘ DCA ‘ ACE

‘ BCE, откуда BCEF – равнобокая трапеция. Тогда вторая точка пересечения окружностей (DBC) и (DEF) – точка Dc, симметричная точке D относительно оси симметрии равнобокой трапеции BCEF. Осталось доказать, что окружность $DO 1 O_{2}$ проходит через точку Dc, т.е. надо доказать вписанность четырехугольника $DD c O_{1} O_{2}$. Это равносильно тому, что серединные перпендикуляры к отрезкам DDc $, DO_{1}, DO_{2}$ пересекаются в одной точке, т.е. что AC и EX пересекаются на оси симметрии трапеции BCEF. Рассматривая радикальные оси для пар окружностей (ADBF), (ADCE), (BCEF), получаем, что прямые AD, BE, CF конкурентны, т.е. что точка пересечения прямых AD, CE лежит на оси симметрии трапеции. Из теоремы Паскаля для ломаной (ADXECC) следует, что точки пересечения пар прямых AD и CE, AC и EX, DX и касательной к окружности (ADC) в точке C – обозначим эту точку через Y – лежат на одной прямой. Поэтому достаточно доказать, что Y лежит на оси симметрии трапеции, т.е. что DX, касательная к окружности (ADC) в точке C и ось симметрии трапеции пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

РЕШЕНИЯ

Из (3) следует, что точка X лежит на окружности Аполлония для точек B и C, проходящей через точку D и основания K и L внешней и внутренней биссектрис угла D в треугольнике DBC (обозначим эту окружность через Z ). Рассмотрим радикальный центр окружностей (ADC), Z и окружности нулевого радиуса с центром в С. Он лежит на прямых DX и касательной к окружности (ADC) в точке С, т.е. совпадает с точкой Y. Осталось доказать, что радикальная ось Z и окружности нулевого радиуса с центром в С – ось симметрии трапеции, т.е. серединный перпендикуляр к BC. Так как их радикальная ось перпендикулярна их линии центров (т.е. BC), нужно проверить, что на их радикальной оси лежит середина BC. Это очевидно, поскольку (C, B, L, K) –1 (как две вершины ’ DBC и основания внешней и внутренней биссектрис), откуда K и L инверсны относительно окружности с диаметром BC и центром N (одно из определений гармонической четверки точек на прямой) и NL ˜ $NK NC^{2}$, т.е. степень точки N относительно двух рассматриваемых окружностей одинакова, и эта точка лежит на их радикальной оси, что и требовалось. 4 (М. Исупов). Отметим точки касания отрезков AB, BC, CD, DA с * – точки K, L, M, N соответственно (рис.2). Также отметим точку J, диаметрально противоположную точке I на:. Заметим, что I лежит на биссектрисе угла BAD. Так как ‘ IAJ 90 q, то AJ и AI – внутренняя и внешняя биссектрисы угла XAY. Значит, I и J – середины дуг XY, поэтому X и Y симметричны относительно IJ – линии центров окружностей. Аналогично, Z и T симметричны относительно IJ. Отсюда TX ZY. Далее, из симметрии относительно IJ вытекает, что отрезки касательных от T и Z до * равны.

Рис. 2