Квант 2022, №2 · Страницы

3

АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА И ЧЕЛОВЕК-НЕВИДИМКА

сти, становится пучком параллельных лучей (рис.15). Оптическое свойство параболы было открыто еще в Древней Греции одним из величайших математиков античности Аполлонием Пергским (262 до н.э. — 190 до н.э). Ныне оно используется повсеместно. Параболическое зеркало в карманном фонарике создает узкий направленный световой луч. Для этого лампочку помещают в фокус. Принцип работы параболической антенны или параболического рефлектора в телескопе также основан на свойстве параболы превращать пучок параллельных лучей (а значит, и лучей, идущих от далекого источника) в пучок, сходящийся в одной точке.

Из параболы можно изготовить поверхность вращения со сколь угодно малым сопротивлением. Для этого возьмем дугу «перевернутой» параболы $y x^{2}$ от ее вершины до точки, находящейся на уровне фокуса (рис.16). Теперь сожмем эту дугу относительно точки F во много раз (т.е. сделаем гомотетию относительно F) и отразим ее относительно точки F. Получили фигуру из двух дуг парабол – большой и маленькой. Они гомотетичны относительно Рис. 16 их общего фокуса F. Частица, летящая вверх, ударяется о большую дугу, далее, согласно оптическому свойству параболы, отражается и летит через фокус и, по тому же оптическому свойству, отразившись от маленькой дуги, летит вертикально вверх. Итак, после двух отражений от дуг парабол частица будет лететь в том же направлении и с той же скоростью, как раньше. Поэтому она не окажет никакого воздействия на фигуру из двух дуг парабол. Теперь закру-

Иллюстрация М.Кашина

Рис. 15

5

АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА И ЧЕЛОВЕК-НЕВИДИМКА

этого многогранника требует определенного пространственного воображения. Читатель может попробовать найти другие многогранники нулевого сопротивления с числом граней (ребер, вершин) меньшим, чем у приведенного в нашем построении.

Рис. 19

равна нулю. Теперь рассмотрим фигуру вращения треугольников AA c M и CC c N вокруг оси BB c. Мы получим трехмерную поверхность в виде шайбы (рис. 19). Она обладает нулевым сопротивлением при движении в $направлении^{A} c^{A}$. Можно изготовить поверхность нулевого сопротивления и другим способом. Рассмотрим призмы, в основании которых лежат треугольники AA c M и CC c N. Такая пара призм будет иметь нулевое сопротивление (рис. 20,а). Некоторое затруднение заключается в том, что эта конструкция не жесткая: поток частиц будет стремиться отодвинуть призмы друг от друга. Чтобы исключить такую возможность, соединим их двумя отрезками. (Отрезки имеют нулевую толщину, а значит, и нулевое сопротивление.) Но лучше сделаем по-

Упражнение 7. Треугольники AA c M и CC c N в описанном выше построении равнобедренные с углом 30q при основании. А можно ли найти пару равнобедренных треугольников, обладающую нулевым сопротивлением, с произвольным углом D при основании ( 0 D 45 q )? Почему угол должен быть меньше 45q?

Процесс изготовления поверхности нулевого сопротивления можно представить себе следующим образом. В случае фигуры вращения (см. рис. 19) берем цилиндр, а затем вырезаем из его средней части и выкидываем два усеченных конуса. В случае двух призм (см. рис. 20,а) берем прямоугольный параллелепипед и из его середины вырезаем и выкидываем некоторую его часть (невыпуклый многогранник). Естественно стремиться к тому, чтобы относительный объем выкинутой части (т.е. отношение этого объема к объему исходного тела, цилиндра или параллелепипеда) был как можно меньше. Тогда в космическом корабле такой формы поместится больше груза. Какой из двух способов лучше? Сформулируем этот вопрос в виде упражнения.

Упражнение 8. Найдите значение относительного объема выкинутой части в случаях, приведенных выше (ответы, конечно, зависят от D ).

Рис. 20

другому. Склеим вместе 4 пары призм. Для того чтобы понять, как именно это сделать, рассмотрим проекцию на плоскость, перпендикулярную направлению потока. Проекция каждой призмы – прямоугольник. Проекция всех призм – 8 прямоугольников (рис. 20,б), все вместе они образуют жесткую конструкцию. Мы получили новый невидимый объект – многогранник, имеющий нулевое сопротивление. Подсчет числа граней, ребер и вершин

Можно ли сделать так, чтобы относительный объем выкинутой части был сколь угодно мал? Оказывается, можно! Снова начнем с построений в плоскости. Рассмотрим объединение двух равнобедренных трапеций ABCD и A c B c C c D c, симметричных друг другу относительно вертикальной прямой (рис. 21). Обозначим $r^{CC} c^{BB} c$ и D ‘ ABC (следовательно, $D ‘^{BAD} ‘^{A} c^{B} c^{C} c ‘^{B} c^{A} c D c ).$ Теперь выберем угол D, равный S m, где m – целое число, большее четырех. Проведем вспомогательное построение: отразим тра-

20

КВАНТ 2022/№2

мулой были рассчитаны количества электронов, отданных каждым атомом в коллективное пользование при образовании двухатомных молекул. Результаты вычислений для простых веществ неметаллов представлены в таблице 1.

Из таблицы видно, что наибольшую ошибку при подсчете количества коллективизированных электронов приведенная формула дает для водорода: 1,3 вместо 1 (снова напомним, что величины в таблице – это достаточно грубые оценки). Заметим, что только атомы фтора отдают в коллективное пользование не все, а лишь часть (приблизительно 3 штуки из 7) электронов внешней оболочки. Атомы остальных веществ отдают все свои внешние электроны. Наиболее щедры атомы азота: они вдобавок к пяти внешним электронам отдают с внутренней оболочки в общий котел еще по одному электрону (0,88 | 1 ). Для конденсированных простых веществ неметаллов количества коллективизированных электронов приведены в таблице 2. Как видно из таблицы, молекулы легких благородных газов (He, Ne, Ar) и двухатомные молекулы водорода, фтора, азота и кислорода в конденсированном веществе не отпускают от себя даже по одному

электрону. Каждая молекула воды в составе льда участвует, как известно, в образовании четырех водородных связей, и почти такое же число электронов коллективизировано у каждой молекулы воды (3,9). Многоатомные молекулы ацетона, четы- Таблица 1 реххлористого или четырехбромистого углерода и бензола при конденсации отдают в коллективное пользование несколько электронов своей внешней оболочки (не все, а только небольшую часть). Чем крупнее атомы, входящие в состав молекул неметаллов, тем больше электронов они (молекулы) отдают в коллективное пользование, переходя в конденсированную фазу вещества. Примеры, подтверждающие такую тенденцию, это ряд благородных газов – гелий, неон, аргон, криптон, ксенон, радон; ряд галогенов – фтор, хлор, бром, йод; ряд метана $СH_{4}$ и его аналогов, в которых атомы водорода замещены атомами фтора, хлора и брома: $CF_{4}, CCl_{4}, CBr_{4}$. Для последней группы молекул на каждый из четырех входящих в молекулу атомов галогена (F, Cl, Br) при конденсации приходится примерно столько же коллективизированных электронов, сколько их из одной молекулы коллективизируется при конденсации чистых веществ $( F_{2}, Cl_{2}, Br_{2} ).$ И наконец, обсудим конденсированные вещества металлы. В таблице 3 в первой колонке записано вещество, во второй – число электронов на внешних оболочках, в третьей – сколько электронов из них коллективизировано, в четвертой – число электронов на первой внутренней оболочке, в пятой – сколько электронов из них коллективизировано. Бор, германий и кремний – неметаллы, но включены в таблицу Таблица 2 вместе с металлами, поскольку они в газообразном состоянии не образуют двухатомных молекул или молекул из большего числа атомов. В твер-

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

Нобелиада-21

Л.БЕЛОПУХОВ

ИПО ФИЗИОЛОГИИ И МЕДИЦИне, и по химии, и по экономике премии этого года хорошо соответствуют завещанию Нобеля – «ежегодное награждение тех лиц, которые в течение предшествующего года сумели принести наибольшую пользу человечеству». Правда, уже давно речь идет не о предшествующем годе, а о предшествующем времени, иногда довольно значительном. Впечатляет награда по физиологии и медицине. Найдена разгадка реакции нервной ткани человека не только на такое явление, как боль, но и на гораздо более интимные чувства – тепло, холод и прикосновение. Может быть, недалека и разгадка такого прикосновения, как нежность и ласка. Недаром статья об этой премии в журнале «Наука и жизнь» названа автором «Разгадка теплых объятий». Так и хочется назвать награду этого года медицинско-поэтической. Необычной, «инверсной» хочется назвать работу, удостоенную премии по химии. Обычный путь каталитического синтеза асимметричных молекул дан природой на клеточном уровне А теперь для ряда реакций найден путь каталитического синтеза таких молекул без участия биологического клеточного механизма – как говорят биохимики, «in vitro», т.е. в стекле, в пробирке, а не «in vivo», т.е. в живом организме. Это открывает (и уже открыло) широкие возможности для синтеза лекарств направленного действия, особенно для наследственных болезней. Несколько особняком стоит премия по физике. Общее ее название: «За новаторский вклад в наше понимание сложности физических проблем». Другими .словами, это премия за уточнение понимания слож-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220202

ности. Вообще говоря, «сложность системы» – понятие скорее математическое, нежели физическое. Но премия 2021 года придает важность не абстрактно-математической стороне понятия «сложность», а совершенно конкретным физическим исследованиям и математическим теоретикофизическим работам, доведенным в ряде случаев до сравнения с многолетними эмпирическими наблюдениями и измерениями. В качестве плацдарма исследований, где проявляется особая сложность явлений, Нобелевский комитет избрал одну из актуальнейших научных проблем – проблему глобального потепления земного климата. Эта проблема понятна всем жителям Земли, она обсуждается в научных и научнопопулярных журналах, на политических и экономических форумах и просто в людских беседах. Особенно актуальной эта тема стала в прибрежных городах и приморских странах (например, в Голландии). Ведь повышение температуры на Земле означает частичное таяние ледников и повышение уровня мирового океана, что грозит затоплению местностей, невысоко расположенных над берегом. Когда стали подсчитывать возможные сроки затопления и изменения в мировой флоре и фауне, которые могут происходить при этом, то у разных футурологов получались сроки грядущих катаклизмов, отличающиеся в десятки раз. Причина потепления – в поглощении солнечного тепла так называемыми парниковыми газами и прежде всего углекислым газом. Это потепление стали называть парниковым эффектом. Наметился даже раскол в отношении к этой проблеме. Часть ученых-климатологов, геологов, астрофизиков утверждала, что потепление – следствие естественных природных процессов, прежде всего связанных с Солнцем и процессами, на нем

23

ИЗ

ИСТОРИИ

происходящими. Но еще в 1896 году знаменитый шведский химик Сванте Аррениус высказал идею, что главная причина потепления – увеличение концентрации углекислого газа в земной атмосфере. Ведь на Венере, например, большая концентрация углекислоты в атмосфере – главная причина высокой средней температуры на этой планете (выше 400 q С ). Но в XX веке значительная часть ученых, а кроме того, экономистов, технологов, политиков утверждали, что глобальное потепление – антропогенный фактор, связанный с резким увеличением потребления углеродных топлив для автотранспорта и тепловых электростанций, происшедшем на рубеже 60-х годов прошлого столетия. Эта тема была очень выгодной для обсуждения и создания определенного имиджа у политических деятелей и получения грантов на исследования в научных лабораториях. Но постепенно ажиотаж вокруг этой проблемы стал затихать, все возможные гранты были получены и истрачены. И начались серьезные научные исследования. Их результаты тогда не получали широкого освещения в научной и околонаучной литературе, они не выходили за пределы узкоспециализированных научных журналов. Исследователи понимали, что нужно время для уверенного получения надежных результатов. И вот наконец эти работы получили высокую оценку – Нобелевскую премию по физике. Работы имели не только узко направленный характер – разобраться в проблеме глобального потепления. У исследователей было ясное понимание сложности вопроса, поэтому он и решался как частный случай исследования физически сложной системы. Вообще говоря, это – не первая нобелевская награда за работы, изучающие изменения климата и его последствия. В 2007 году Нобелевская премия мира была присуждена Межправительственной группе экспертов ООН по изменению климата (МГЭИК) и бывшему вице-президенту США Альберту Гору «за их усилия по распространению знаний об антропогенном воздействии на изменение климата и определению основных принципов, кото-

НАУКИ

рые необходимо выработать для противодействия таким изменениям». Эти работы группой экспертов ООН продолжаются и по сей день. Нобелевская премия мира была присуждена за их четвертый доклад ООН. А недавно, 9 августа 2021 года, состоялся шестой доклад. Нобелевская премия по экономике была в 2018 году присуждена Полу Ромеру и Уильяму Нордхаусу (США) «за интеграцию проблемы изменения климата и технологических инноваций в долгосрочный макроэкономический анализ». Но эти премии не были наградой за исследовательские научные работы. Они лишь фиксировали работы по обобщению имеющихся данных. Двенадцать раз (с 1924 по 1945 г.) номинировалась на Нобелевскую премию по физике работа норвежского физика Вильгельма Бьеркнеса «Прогноз погоды как физическая задача». Но Нобелевский комитет по физике так и не посчитал эту работу достойной высокой награды. И, наконец, в этом году Нобелевский комитет по физике принял решение наградить непосредственно тех ученых, которые заложили основы нашего современного понимания процессов изменения планетарного климата. Это решение было давно ожидаемым и восстанавливающим справедливость. Половина премии (5 миллионов шведских крон, что соответствует примерно 500000 евро или 40 миллионам рублей) присуждена климатологам Сюкуро Манабэ (Syukuro Manabe, Япония) и Клаусу Хассельману (Claus Hasselmann, Германия) «за моделирование климата Земли, математическое описание изменчивых систем и точное предсказание глобального потепления». Как ясно из этой мотивировки, премия дана за математически точное предсказание глобального потепления в отличие от многочисленных спекулятивных работ и рассуждений на эту тему. Вторую половину премии получил итальянский ученый Джорджо Паризи (Giordgio Parisi, Италия) «за открытие взаимодействий в хаосе и флуктуациях в физических системах от атомарных до планетарных масштабов».

24

КВАНТ 2022/№2

Сюкуро Манабэ

Сюкуро Манабэ в 26-летнем возрасте получил докторскую степень по метеорологии в одном из японских университетов, после чего в 1957 году уехал в США, где занялся изучением физики атмосферы и стал тогда одним из первых в мире искать взаимосвязь между растущей концентрацией углекислого газа в атмосфере и ростом глобальной температуры. Он не только фиксировал эту взаимосвязь, но и, главное, строил физические модели для ее объяснения. В моделях Манабэ учитывалась вертикальная конвекция воздушных масс и тепловой вклад глобального круговорота воды в природе – отдача тепла при конденсации влаги. Вначале он не побоялся сделать одномерное приближение – поведение вертикальной колонны углекислого газа высотой 40 км. Дальнейшие его работы были значительно усложнены переходом к трехмерной модели и учетом движения других газов атмосферы. Оказалось, что концентрации азота и кислорода практически не влияют на атмосферную температуру, тогда как удвоение концентрации углекислого газа (от 0,02% до 0,04%) повышает температуру на 2 К. А это очень много!

Сегодня 90-летний ученый продолжает активно работать в должности старшего метеоролога Принстонского университета США, одного из самых знаменитых научных учреждений в мире (именно в этом университете работал Альберт Эйнштейн последние 20 лет своей жизни). Не правда ли, интересная должность – «старший метеоролог университета»? Сюкуро Манабэ и сейчас – страстный проповедник идеи глобального потепления, вызванного человеческой деятельностью, так называемой антропогенной природой глобального потепления. Он говорит, что наличие в ученом мире людей, которые в это не верят, для него является самой большой загадкой, «понять которую в миллион раз труднее, чем понимать причины изменения климата». Клаус Хассельман – ровесник Манабэ, ему тоже 90 лет. Он стал доктором наук по гидродинамике в Геттингенском университете и после этого занимался построением математических моделей волновых процессов в океанах и течениях, заняв долж-

Клаус Хассельман

25

ИЗ

ИСТОРИИ

Кривая Килинга ность океанолога в университете океанологии в Калифорнии. В это время его друг Чарльз Дэвид Килинг, большой любитель горных путешествий, в погодной высокогорной обсерватории на гавайских островах на вершине горы Мауна Лоа проводил многолетние измерения концентрации $CO_{2}$ в местности, далекой от цивилизации, где должны были усредняться все антропогенные влияния на атмосферу. Именно Килингом были получены надежные данные об изменении концентрации углекислого газа от 3,15 промилле (1 промилле 0,1%, обозначается 1‰) в 1958 году до 3,8 ‰ в 2005 году, когда Килинг умер от сердечного приступа. Но работы в этой обсерватории продолжаются и сейчас, и для 2020 года они дали уже значение концентрации углекислого газа 4,15 ‰. «Кривая Килинга» и сейчас является самым надежным опытным обоснованием для всех работ по глобальному потеплению. Недаром она высечена на стене здания Национальной академии наук в Ва-

НАУКИ

шингтоне. И, конечно, Чарльз Килинг был бы сейчас заслуженным номинантом на Нобелевскую премию 2021 года. И присуждение премии его другу и научному соратнику Хассельману увековечивает научные достижения обоих друзей. В тандеме Килинг–Хассельман первый был «добытчиком» фактов, а второй – их тщательным анализатором. Он применил ряд математических методов анализа информации, получивших образные названия «случайные блуждания» и «отпечатки пальцев». Основное внимание Хассельман уделил нахождению стандартных отклонений от средних значений, вызываемых сезонными изменениями содержания углекислого газа в атмосфере, связи самых высоких и самых низких отклонений с конкретными погодными условиями в эти годы, т.е. попыткам связать погоду и климат и сделать предсказания погоды более надежными. При этом он достоверно показал, что если бы не было увеличения концентрации углекислого газа в атмосфере, совпавшего по времени с резким увеличением количества тепловых электростанций и другими антропогенными факторами, то положение с температурой атмосферы вовсе не было бы таким критическим, она практически больше бы почти не возрастала. Хассельманн еще в 1975 году вернулся в родную Германию, основал институт Макса Планка по метеорологии и до 1989 года был одним из ее директоров, сейчас продолжает занимать профессорскую должность в этом институте. Джорджо Паризи – итальянский физик-теоретик. Он защитил докторскую диссертацию в родном римском универси-

26

Джорджо Паризи

КВАНТ 2022/№2

тете «Сапиенум», там же и работает сейчас в профессорской должности. В Италии он хорошо известен своей общественно-политической деятельностью – неистовой публичной критикой недостаточного финансирования итальянской науки. Еще в 1977 году бельгийский химикофизик Илья Пригожин стал Нобелевским лауреатом по химии «за работы по термодинамике необратимых процессов и их использование в химии и биологии». Пригожиным было постулировано существование неравновесных термодинамических систем, которые при определенных условиях поглощая энергию и вещество из окружающего пространства, могут совершать качественные скачки с переходом системы из одного состояния в другое, и эти скачки – непредсказуемы. В системе происходит самоорганизация. Научное направление, которым стал заниматься Пригожин, а вслед за ним и его многочисленные последователи, получило название синергетики. Сам Пригожин изучал вопрос, как ведет себя при этом во времени и пространстве такая важная функция состояния системы, как энтропия – количественная мера хаоса. Типичным примером возникновения порядка из хаоса являются фазовые переходы. Многие исследователи стали заниматься анализом фазовых переходов с позиций синергетики. Однако оказалось,

что математических методов Пригожина и его последователей недостаточно для предсказания поведения сложных систем. Занявшись этой проблемой, Джорджо Паризи достиг успеха именно в математическом обосновании закономерности появления тех гигантских флуктуаций на микроуровне, которые приводят к качественно новым явлениям на макроуровне. Паризи с сотрудниками изучал такие явления, как фронты горения (фронты языков пламени), смачивание, кристаллизация, границы турбулентных зон в жидких кристаллах, в самой современной физике – глубокое неупругое рассеяние в квантовой хромодинамике (появление неожиданных сложных кварковых структур) и такую неожиданную для физика проблему, как распределение транспортных потоков. В этот перечень надо добавить поиски выбросов на кривой Лизинга – флуктуации климатических изменений. Вызывает восхищение и интерес разнообразие этих увлечений Паризи. Но все дело в том, что все эти разнообразные задачи были объединены одной общей чертой. Степень их сложности очень большая. В каждой из них – огромное число различных воздействий, и даже самые современные суперкомпьютеры не могут справиться с решением таких задач «в лоб». Математические методы Паризи позволяют самой математике выделять те воздействия, которые приводят к гигантским флуктуациям поведения системы. В конечном счете его методика сводится к нахождению определенного числа энергетически выгодных (с меньшей энергией) состояний системы, а применяемая математика похожа в разных задачах. Сам Паризи еще в 1980-е годы открыл теоретически ряд закономерностей возможного поведения некоторых материалов, казавшихся полностью неупорядоченными, и создал математический аппарат. Наиболее полное решение было получено Паризи для рассмотрения возможных состояний так называемых «спиновых стекол». Успешное использование решений Паризи для спиновых стекол позволяет сейчас ставить вопрос о рожде-

27

ИЗ

ИСТОРИИ

нии целой отрасли получения совершенно новых материалов. Математически постановка обеих задач – поведение спиновых стекол при изменении их состава и поведение климата Земли при изменении состояния земной атмосферы – оказывается очень похожей. И этот факт дал возможность обоснования присуждения Паризи Нобелевской премии за общность его решений для хаоса и для флуктуаций в широком спектре физических систем – от атомарных до планетарных, от взаимодействий кварков до глобального потепления климата. В самом решении Нобелевского комитета нет ни слова о спиновых стеклах. Это комментаторы после известия о присуждении Паризи Нобелевской премии бросились перерывать работы Паризи. Быстро выяснилось, что если про спиновые стекла еще хоть что-нибудь понятно, да и сами эти слова «спин» и «стекло» хорошо известны, то о кварках или жидких кристаллах у «нормальных» людей нет никакого представления. Надо сказать, что спиновые

НАУКИ

стекла – это вовсе не стекла в нашем обычном понимании. Со стеклами их роднит только тот факт, что они не кристаллические, а аморфные тела. Но представляют они собой не соединения из окислов кремния, натрия и кальция (как обычные стекла), а сплавы двух металлов, например меди и марганца, золота и железа, серебра и марганца, меди и неодима, в соотношении примерно 10:1. И, конечно, они совершенно не прозрачны. Один атом спинового стекла при этом – немагнитный, а другой (железо, марганец, неодим) представляет собой так называемый ферромагнетик. К сожалению, школьные (да и вузовские) учебники по физике не объясняют природу ферромагнетизма, ферримагнетизма и антиферромагнетизма. Говорится лишь, что для ее понимания необходимо хотя бы минимальное знание квантовой механики. Нужно понять, в частности, что такое спин и что такое обменное взаимодействие. Но попытка разобраться в этом не наказуема.

НЕИСЧЕРПАЕМЫЙ

(Начало см. на 2-й с. обложки) Интересно найти все выпуклые сеточные фигуры из танов. Напомним три определения выпуклого многоугольника (они эквивалентны): 1) если многоугольник лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону; 2) если все внутренние углы многоугольника меньше развернутого; 3) если для любых двух точек внутри многоугольника отрезок с концами в этих точках лежит целиком внутри многоугольника. Из полного набора элементов танграма можно сложить 13 разных выпуклых сеточных многоугольников. Среди них ровно один треугольник, шесть четырехугольников, два пятиугольника и четыре шестиугольника. Попробуйте объяснить, почему треугольник единственный, а многоугольников с 9 и более сторонами не бывает. Семиугольников и восьмиугольников тоже не бывает, но доказать это сложнее, поскольку придется оценивать минимальную площадь таких фигур из танов на сетке. Постарайтесь сложить все эти 13 фигур. Красным цветом нарисованы те, сложить которые труднее. Желаем успехов! А.Ковальджи

Знание некоторых принципов избавляет от необходимости знания многих фактов. Клод Адриан Гельвеций

Теплота не способна переходить сама собой от более холодного тела к более теплому. Принцип Клаузиуса

… одни и те же принципы управляют движениями светил, … равновесием и колебаниями морей, … распределением света, … словом, самыми сложными действиями природных сил… Жан Батист Фурье

Существуют великие принципы, применимые к любым явлениям, такие, как законы сохранения энергии и момента количества движения. Ричард Фейнман

… я открыл принцип, могущий служить основой всех законов движения… Пьер Мопертюи

По Лейбницу, наш мир является лучшим из всех возможных миров, и потому его законы можно описать экстремальными принципами. Карл Зигель

А так ли хорошо знакомы вам физические принципы

«За деревьями не видно леса». Подобным же образом множество частных физических законов порой заслоняют более глубокие, базовые утверждения, называемые принципами, хотя именно их и зачастую воплощают. Наша рубрика их не скрывала – в «Калейдоскопе» были представлены принципы и относительности, и сохранения, и суперпозиции, и виртуальных перемещений … Но, конечно, их перечень этим не исчерпывается, и сегодня мы познакомимся еще с некоторыми из этой знатной когорты. Тем же из вас, кто продолжит серьезно овладевать наукой, предстоят удивительные встречи с новыми принципами, в том числе и с такими, что выходят за рамки даже столь разросшейся дисциплины, как физика. Что ж, остается принципиально, не жалея сил, продвигаться к их постижению. Оно того стоит…

Вопросы и задачи

1. Из отверстия в стенке сосуда, находящегося в вагоне поезда, вытекает вода. Зависит ли скорость ее истечения от того, стоит поезд на месте или движется равномерно и $прямолинейно?^{2.}$ Стальной шарик, движущийся горизонтально со скоростью 4v, упруго ударяется о массивную стальную вертикальную плиту, удаляющуюся от него со скоростью 3v относительно земли. Какой станет скорость шарика после отскока?

?

3. В геометрическом центре правильного шестиугольника ABCDEF приложены силы 1 H, 9 H, 5 H, 7 H, 3 H, 11 H, направленные к его вершинам A, B, C, D, E, F соответственно. Найдите модуль и направление равнодействующей $силы.^{4.}$ С помощью системы блоков груз массой m 100 кг подняли на высоту h 3 м, прикладывая силу F 250 H. На сколько пришлось вытянуть свободный конец веревки? Массой блоков и трением в них $пренебречь.^{5.}$ К двум вбитым на одном уровне гвоздям подвесили цепочку. Затем вместо нее к тем же гвоздям подвесили два стержня такой же длины, скрепленные свободными концами. У какой из этих двух систем центр тяжести $ниже?^{6.}$ Конический буек плавает в воде так, что его ось вертикальна и вершина обращена вверх. Плотность материала конуса составляет 7 8 плотности воды. Во сколько раз высота надводной части конуса меньше всей его $высоты?^{7.}$ Возможен ли идеальный процесс, при котором вся теплота, заимствованная из теплового резервуара, превращается в работу?$^{8.}$ Колебания в электрическом контуре затухают. Значит, максимальная величина заряда на любой из пластин его конденсатора становится все меньше. Не противоречит ли это закону сохранения заряда?

34

КВАНТ 2022/№2

(Начало см. на с. 28)

(возникшей час с небольшим назад) частицей. На какое примерно максимальное расстояние равное L удалялась частица от места своего рождения? Почитать о том, что думают физики о нейтрино, можно здесь:

https: elementy.ru nauchno-populyarnaya_biblioteka 435437 Zagadka_malykh_mass_neytrino

Нейтрино очень слабо взаимодействует с веществом, однако гравитация на нейтрино действует. Для того чтобы лаборатория и нейтрино снова оказались рядом через такое (сравнительно небольшое) время, равное 69 минутам, нужно, чтобы траектория движения нейтрино и траектория движения лаборатории в системе отсчета (СО), в которой центр Земли считается покоящимся, а оси координат направлены на далекие звезды, лежали в одной плоскости. Это означает, что обе эти траектории находятся в плоскости экватора Земли. Возможны различные гипотетические варианты. В одном из них нейтрино двигалось выше поверхности Земли, а в другом летало в толще Земли (рис.1). При полете

Рис. 1

над Землей форма траектории нейтрино – это часть эллипса, один из фокусов которого совпадает с центром Земли. Для рассмотрения полета нейтрино под поверхностью Земли нужно учитывать, что масса внутри Земли распределена неравномерно, поэтому ускорение свободного падения вплоть до глубины порядка 2800 км остается почти неизменным, а на еще больших глубинах убывает практически линейно до нуля в центре Земли (рис.2). Численные расчеты с учетом зависимости g от глубины показывают, что вариант с движением под поверхностью Земли приводит к времени полета нейтрино большему, чем 69 минут. Это будет так, даже если считать, что ускорение свободного паде-

Рис. 2

ния от поверхности до центра Земли сохраняет свою величину, а после прохождения через центр просто изменяет направление. Иными словами, при любой начальной скорости нейтрино, направленной к центру Земли (в нашей CO), даже в случае постоянства ускорения свободного падения по величине получается время движения туда и обратно больше 69 минут. Поэтому для расчетов остается только вариант с полетом над поверхностью Земли. Известна задача с таким условием: у планеты с такой же гравитацией и с такими же геометрическими размерами, как у Земли, отсутствует атмосфера; планета не вращается; нужно найти время падения камня с высоты, равной радиусу этой планеты, если начальная скорость камня по отношению к планете равна нулю. В этой задаче траектория падения камня – это вырожденная в прямую линию часть эллипса. Первая космическая скорость на этой планете равна v = gR = 7,905 км с. Время одного оборота вокруг этой планеты камня, брошенного с первой космической скоростью горизонтально, равно T = 2 S R v = = 84,335 мин. Поскольку для движения камня в поле тяжести планеты выполняются законы Кеплера, в частности второй закон о секториальных скоростях, то время падения камня будет равно T ( S + 1 ) ( 4 S ) = = 27,785 мин. К моменту падения на поверхность этот камень приобретет скорость, как раз равную первой космической. Следовательно, если камень бросить с поверхности планеты вертикально вверх с такой начальной скоростью, то он поднимется на высоту, равную радиусу плане-

40

КВАНТ 2022/№2

Три истории про воду

С. ДВОРЯНИНОВ

Удивительный вопрос: Почему я водовоз? Потому что без воды – И ни туды, и ни сюды! В.Лебедев-Кумач

– А у нас водопровод! Вот. С.Михалков

Казалось бы, что такого интересного в водопроводе? Изобретение, конечно, старое и очень полезное, но не более того. Однако оказывается, что и о нем можно рассказать нечто занимательное и поучительное. Итак… История первая. В конце декабря Толику Втулкину пришлось проснуться очень рано – их семья должна была прибыть в аэропорт на первый утренний рейс. Толик заметил, что вода из крана с холодной водой оказалась намного теплее, чем обычно. А из крана с горячей водой, наоборот, текла прохладная. Толик догадался, в чем дело. Очевидно, что ночью расход воды небольшой, и вода в трубах внутри дома застаивается. При этом холодная вода нагревается, а горячая – остывает. История вторая. Дело было на кухне. Толик отрыл кран холодной воды, но из крана полился кипяток. Он чуть руку не обжег! Как же такое получилось? На рисунке 1 показан смеситель, который стоял на кухне у Толика. Он смешивает горячую воду с холодной. Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220203

Обратите внимание на гусак смесителя. Чтобы набрать воды, краны открывают, а потом закрывают. Но после этого в гусаке остается немалый ее объем. Причем если из смесителя текла горячая вода, то она и останется в гусаке. Если же теперь сразу открыть кран холодной воды, то холодная вода начнет вытеснять горячую. И в первую очередь из смесителя выльется именно оставшаяся там горячая вода, которая не успела остыть. Так что будьте внимательны! Пусть после открытия крана вода немного стечет, и только потом осторожно попробуйте, не слишком ли она горячая. Как говорят, не зная броду, не суйся в воду. Действующий смеситель характеризуется расходом воды, измеряемым, например, литрами в минуту, и температурой вытекающей воды, измеряемой в градусах Цельсия. Состояние каждого крана характеризуется углом поворота барашка. У современных кранов он небольшой. Будем считать, что каждый барашек можно повернуть на угол от 0q до 90q. Пусть расход воды прямо пропорционален углу поворота и наибольший, равный 4,5 л мин, получается при повороте на 90q. Пусть температура горячей воды 70 qС, холодной 10 qС. Мы управляем двумя параметрами – углами M и . Два параметра отклика системы – это температура вытекающей воды и ее расход. На рисунке 2 на плоскости с координатами ( M, \ ) показаны пять отрезков, вдоль каждого из которых температура воды постоянна. Если углы поворота барашек M и \ увеличить $в^{k}$ раз, то температура воды не изменится, а расход

Рис. 2

41

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Рис. 3

возрастет $в^{k}$ раз. Если же изменять величины M и \ с одновременным сохранением их суммы, то мы получим постоянный расход воды с разной температурой. Соответствующие линии показаны на рисунке 3. Если по каждому отрезку на этом рисунке двигаться вверх, то температура воды будет расти. История третья. В последние годы на смену смесителям с двумя кранами пришли шаровые смесители. Такие смесители, называемые еще джойстиковыми или шарнирными, как и всякие иные, используют для смешивания холодной воды с горячей и получения в результате требуемого расхода воды необходимой температуры. И здесь мы сталкиваемся, на первый взгляд, с парадоксом. Всякий действующий кран, как уже говорилось, характеризуется двумя параметрами: расходом воды и ее температурой. Два этих параметра (выход) есть отклик на два других параметра – расход горячей воды и расход холодной. В старых кранах крутим два барашка и получаем то, что хотим. А у шарового крана рычаг всего один! Как же нам одним рычагом управлять двумя параметрами? Раньше даже у кучера были левая вожжа и правая, а кнутом он задавал лошадям нужную скорость. На самом деле никакого парадокса нет. Положение рычага шарового крана определяется двумя параметрами, подобно тому, как положение точки на поверхности земного шара определяется тоже двумя параметрами – долготой и широтой. В действительности и у шарового смесителя число

ШКОЛЬНИКОВ

Рис. 4

входных параметров равно числу выходных. Можно сказать, что «долгота» шарового крана характеризует отношение объемов горячей и холодной воды, поступающих в камеру смешивания. Это отношение соответствует температуре смеси (рис.4). «Широта» шарового крана определяет расход потребляемой воды. Изменяя долготу при неизменной широте, мы изменяем температуру смеси, сохраняя расход. Меняя широту при постоянной долготе, мы изменяем расход воды и сохраняем пропорцию между объемом холодной воды и объемом горячей, т.е. не меняем температуру. Достигается это движением задвижек 1 и 2, показанных на $рисунке^{5.}$

Рис. 5

Предположим, что вечером мы установили нужную температуру воды на выходе и желаем вернуться к ней утром. В таком случае мы уменьшаем только широту (т.е. расход воды) до нуля. При этом работает задвижка 2. В результате шаровой кран «запомнит» температуру, и надобности в ее регулировании в следующий раз не будет. Это обстоятельство объявляют одним из достоинств шаровых смесителей.

А еще в управлении рычагом шарового крана есть доля романтики. Поворачиваем его влево, вправо, к себе, от себя и представляем, что это не водопроводный кран, а… штурвал самолета. Штурвал от себя – и самолет начинает пикиро-

КОНК УРС ИМ Е НИ А. П. С АВИНА

вать. Штурвал на себя – и самолет, увеличив угол атаки, взмывает вверх. Штурвал вправо – и самолет кренится вправо…

Сейчас мы не говорим обо всех конструктивных особенностях шарика, находящегося внутри крана и реализующего действие задвижек 1 и 2, а обсуждаем только принцип работы смесителя. К шарику прикреплен шток, переходящий в рычаг, имеются пазы и прорези, которые выполняют функции задвижек и обеспечивают смешивание воды. Изготовление шарика требует и подходящих материалов, и соответствующей их обработки. Как обычно, путь от идеи до ее реального воплощения зачастую оказывается длинным. Теперь пора вспомнить, что вода поступает к нам в дом под давлением. Существуют нормативы давления: 0,3–6,5 атмосфер

для холодной вoды и 0,3–4,5 aтмocфep для гopячeй. Предположим, что ночью, когда потребление воды во всем городе уменьшается, давление горячей воды оказалось намного выше давления холодной. Тогда при закрытой задвижке 2 горячая вода из сети начнет вытеснять воду из камеры К в трубу холодного водоснабжения. Если это будет продолжаться достаточно долго, то горячая вода заполнит довольно большой участок трубы холодной воды. И что тогда получится утром? А утром из смесителя, как бы мы его ни крутили, будет течь только горячая вода. Это и есть третья история, о которой мы хотели рассказать. История невыдуманная. Такое явление автор и его соседи наблюдают довольно часто. А у вас бывает такое? Понаблюдайте!

КОНК УРС ИМ Е НИ А. П. С АВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на участников не младше 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected]. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

21. Некоторые клетки белой прямоугольной таблицы закрасили синим. Во всех строках количество синих клеток различно, и во всех столбцах тоже. Докажите, что если в таблице не поровну строк и столбцов, то в ней поровну белых и синих клеток. Б.Френкин

$22. Квадрат^{6} u^{6}$ и прямоугольник 3 u 12 пересекаются, как показано на рисунке.

Докажите, что сумма зеленых отрезков в два раза больше суммы красных отрезков. Л.Смирнова

23. У натурального числа N последняя цифра нечетная. Верно ли, что у $числа^{N} 10$ третья справа цифра (разряда сотен) четная? М.Малкин

24. Какое наибольшее количество параллелепипедов размера 1 u 2 u 4 можно разместить в кубе 5 u 5 u 5? Ребра параллелепипедов должны быть параллельны ребрам куба. В.Расторгуев

До финала

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

А.БЛИНКОВ

На личной олимпиаде XXVI Турнира имени А.П.Савина школьлникам 5–6 классов была предложена следующая задача. Задача 1. Школьный турнир по настольному теннису проходил по такой системе: на каждом этапе игроки разбивались на пары и играли одну партию, на следующем этапе опять разбивались на пары и играли одну партию (пары не повторялись) и так далее. Школьник, дважды проигравший, выбывал из турнира. Если на каком-то этапе количество участников нечетно, то один проходил на следующий этап без игры. Сколько человек участвовало в турнире, если до финала, в котором должны были играть двое, было сыграно 29 партий? Эта же задача, но с добавленным вопросом – «Сколько человек участвовало в турнире, если до финала, в котором должны были играть двое, было сыграно 30 партий?» – вошла под номером 15 в Конкурс имени А.П.Савина (см. «Квант» № 11-12 за 2021 г.). К удивлению жюри, считавшего задачу простой, ее решили немногие. Поэтому, прежде чем привести решение, обратимся к «классической задаче» в слегка измененной формулировке. Задача 2. В турнире по боксу, проходившему по олимпийской системе (проигравший выбывает), было проведено 29 боев, не считая финального. Сколько боксеров участвовало в турнире? Решение. В каждом из боев, прошедших до финала, проигрывал один боксер, который выбывал из турнира. В финале встречались двое не проигрывавших ранее, значит, всего участников было 29 + 2 = 31.

Упражнение 1. В турнире по тем же правилам участвовало 66 боксеров. Сколько боев проведено до финала?

Главный вывод – для решения задачи 2 нет необходимости разбирать, как именно проходили бои. Это касается и задачи 1.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220205

Решение задачи 1. Каждый из школьников, дошедших до финала, либо вовсе не проигрывал, либо проиграл одну партию. Поэтому на долю остальных приходится 29, 28 или 27 проигранных партий. Так как школьник выбывал после двух проигранных партий, то 29 или 27 партий быть не могло, а количество выбывших составляет 28: 2 14. Значит, в турнире могло участвовать только 16 школьников. Задача решена. Отметим, что и в данном случае не надо приводить пример, описывающий как именно проходил турнир, и показывать, что полученный ответ достигается, так как в условии сказано, что турнир состоялся, а полученный ответ – единственный. Но ситуация изменится, если в таком турнире до финала было сыграно 30 партий. Действительно, рассуждая аналогично, получим, что на долю выбывших приходится 30, 29 или 28 партий. Тогда в турнире могло участвовать $30^{:} 2 2 17$ или $28^{:} 2 2 16$ школьников. В этом случае требуется показать, что оба полученных ответа возможны. Сделаем это для 17 участников. Один из школьников без игры прошел на второй этап, на котором «отдыхал» один из школьников, выигравший на первом этапе, а Таблица 1 остальные, выигравшие на первом и не игравший ранее участники, встречались с проигравшими, сменив соперников, и вновь выиграли. Тогда после второго этапа 8 участников выбыли, а осталось 9 участников, не имеющих поражений. Следующие два этапа проходили по аналогичной схеме, после чего осталось 5 школьников, не имеющих поражений. Результаты пятого, шестого, седьмого и восьмого этапов приведены в таблице 1 (индекс соответствует номеру этапа). Таким образом, до финала дошли участники 1 и 2, а сыграно было $8 + 8 +^{4} +^{4} + 2 + 2 + 1 + 1 = 30$ партий.

Упражнение 2. Приведите аналогичный пример для 16 участников такого турнира, в котором сыграно 30 партий.

С математической точки зрения в приведенном примере ошибок нет, но в реальности турниры по указанной системе проходят по правилам, более жестко регламентирующим

47

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

порядок разбиения на пары. Приведем первую часть правил турнира, система проведения которого носит название Double Elimination. Турнир разделен на две сетки – верхнюю и нижнюю (сетку победителей и сетку проигравших). Все участники начинают турнир в верхней сетке. Участники разбиваются на пары, которые проводят в первом туре игры между собой. Победители первого тура выходят во второй тур верхней сетки. Проигравшие переходят в нижнюю сетку. В нижней сетке турнир начинается со второго тура. Начиная с этого тура, игры проводятся одновременно в обеих сетках, но никто не должен играть с одним и тем же соперником дважды. Выигравший в верхней сетке переходит в следующий тур в ней же. Проигравший в верхней сетке переходит в следующий тур в нижней сетке. Выигравший в нижней сетке переходит в следующий тур в ней же. Проигравший в нижней сетке выбывает из турнира. При таком подходе приведенный пример не работает, так как уже во втором туре между собой встречаются участники из разных сеток. Более того, если на каждом этапе игроки разбивались на пары, то такой турнир вообще провести невозможно! Действительно, уже после второго этапа количество участников в нижней сетке существенно превысит количество в верхней, поэтому в какой-то момент в верхней сетке останется один участник, у которого не будет пары, а в нижней сетке – не менее двух. Это удобно показать на примере 16 участников (см. таблицу 2, пары чисел – количество

Таблица 2 участников в верхней и нижней сетках соответственно). На помощь приходит вторая часть правил, которая имеет несколько разновидностей. Наиболее простая из них такова. На некоторых этапах игры проводятся только в нижней сетке до тех пор, пока количество участников в обеих сетках не станет одинаковым. После того, как в обеих сетках останется по два участника, на следующем этапе образуются две пары, в каждой из которых участник из верхней сетки встречается с участни-

КРУЖОК

ком из нижней. В случае побед обоих «верхних» участников они разыгрывают финал. В случае поражений обоих на следующем этапе они меняются соперниками и победители этих пар выходят в финал. Если же выигрывает один из них, то образуется пара участников, имеющих по одному поражению, победитель которой выходит в финал и играет с тем, кто поражений не имеет. Отметим, что приведенные правила почти автоматически обеспечивают условие «никто не должен играть с одним и тем же соперником дважды». Тогда турнир, в котором 16 участников сыграли до финала 30 партий, мог быть проведен так, как показано в таблице 3 (в первой строке – количество учас-

Таблица 3 тников в каждой сетке, во второй – количество игр в каждой сетке; на 6 этапе участники из верхней сетки сначала проиграли нижним и поменялись соперниками, после чего победители пар вышли в финал).

Упражнение 3. Приведите пример, показывающий, что в турнире с 17 участниками могло быть сыграно 30 партий до финала, согласно правилам, приведенными выше.

В заключение сравним турниры по олимпийской системе и системе Double Elimination для 16 участников. По олимпийской системе до финала проходит 3 этапа и играется 14 партий, а по системе с выбыванием после двух поражений проходит 6 или 7 этапов, в которых играется 28, 29 или 30 партий, т.е. во втором случае и этапов, и партий как минимум вдвое больше. Желающие могут исследовать, сохранятся ли эти закономерности для турниров с произвольным количеством участников, начав, для простоты, с турнира, в котором $2^{n}$ участников.

51

ОЛИМПИАДЫ

та с воздухом; поток тепла через картонный диск пропорционален разности температур его поверхностей и пропорционален площади диска. А.Аполонский

пуса корабля считайте постоянными (командир может выбирать любое значение расхода). Изменение массы корабля не учитывайте, ускорение свободного падения равно g. А.Заяц

Задача 2. Тяжелый поршень В вертикальном закрытом сосуде переменного сечения имеются два отделения цилиндрической формы: нижнее c площадью сечения $S_{1} S$ и высотой $h_{1} h$, верхнее c площадью сечения $S_{2} 3 S$ и высотой $h_{2} 3 h$ (рис. 10). Нижнее отделение плотно и герметично закрыто подвижным теплопроводящим поршнем (поршень не приклеен, но газ не проникает в пространство между поршнем и опорами), который может с минимальным трением перемещаться внутри верхнего от- Рис. 10 деления. В обоих отделениях находится одно и то же количество Q газа при температуре $T_{0}$. Газ во всем сосуде медленно нагревают. Когда температура газа достигает $величины_{0}^{2T}$, поршень отрывается от опор. 1) Чему равна масса поршня? 2) На какой высоте h c от нижнего основания сосуда окажется поршень в равновесии? Температура всего газа поддерживается $равной_{0}^{2T}.^{3)}$ Газ в сосуде начинают медленно охлаждать. При какой $температуре^{T}$ поршень снова опустится на опоры? Примечание. Температура газа над и под поршнем всегда поддерживается одинаковой. А.Заяц

Задача 4. И снова Снеллиус В архиве Снелла нашли чертеж. От времени чернила частично выцвели и остались видны только 4 точки, две из которых являются точечными действительными источниками $S_{1}$ и $S_{2}$, а оставшиеся две – D и E – их изображениями (рис. 11). Из описания к чертежу следовало, что изображения созданы одной линзой. Найдите построением с помощью циркуля и ли- Рис. 11 нейки (без делений) все возможные положения линзы, ее тип и фокусное расстояние. А.Евсеев, В.Словобянин

Задача 3. Мягкая посадка Космический корабль должен приземлиться на лишенную атмосферы планету и коснуться ее поверхности со скоростью, не превышающей $v_{п}$, которую могут погасить амортизаторы. На $высоте^{h}$ над поверхностью планеты командир корабля включил тормозной реактивный двигатель, создающий силу тяги, направленную вверх. Какой по величине в этот момент была $скорость^{v}$ корабля, направленная вертикально вниз, если оказалось, что в процессе посадки он истратил минимальное количество топлива? (Если таких скоростей несколько, то укажите их все.) Массовый расход P топлива и скорость u истечения газов относительно кор- торах, равна 7 Вт. Определите суммарную мощность, выделяющуюся на резисторах в цепи, изображенной на рисунке 13. Характеристики всех элементов цепей не заданы, но элементы, обозначенные на схемах одинаково, имеют одинаковые характеристики. Источники можно считать идеальными. А.Коновалов

Задача 5. Суммарная мощность В цепи, изображенной на рисунке 12, суммарная мощность, выделяющаяся на резис-

Рис. 12

Рис. 13

11 класс Задача 1. Треугольник и пленка Легкие стержни OA и AB соединены шарнирно между собой (рис. 14). Конец О стержня ОА закреплен шарнирно на гладкой спице, а на конце В стержня АВ прикреплено с помощью шарнира маленькое колечко мас-

ИНФОРМА Ц И Я

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (национального исследовательского университета) (МФТИ) проводит набор учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т.п.), расположенных на территории Российской Федерации, для обучения в 8–11 классах ЗФТШ на 2022 23 учебный год. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики, высшей математики и департамента химии МФТИ, а также выпускники МФТИ и другие специалисты, имеющие большой опыт работы с одаренными школьниками. Полная программа обучения рассчитана на 4 года – с 8-го по 11-й класс включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. Учащиеся всех отделений по окончании одиннадцатого класса получают свидетельство об окончании ЗФТШ и могут добавить дополнительные баллы при поступлении в МФТИ (подробная информация имеется на сайте МФТИ в разделе «Изменения в порядке учета индивидуальных достижений»). Для учащихся и руководителей факультативных групп работает online-лекторий по программам ЗФТШ. Лекции читают преподаватели МФТИ.

ОЧНО-ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (обучение в факультативных группах)

Телефон: (498) 744-63-51 Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении по одному или нескольким предметам. Руководители факультатива принимают в него учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ЗФТШ (работы проверяются руководителями групп и в ЗФТШ не высылаются). Обучение в ЗФТШ для государственных школ бесплатное. Для учащихся, проживающих за пределами Российской Федерации, возможно только платное обучение. Более

подробную информацию можно посмотреть на сайте school.mipt.ru Вступительное задание для очно-заочного отделения будет размещено на сайте school.mipt.ru 30 марта 2022 года и будет доступно до 31 мая 2022 года.

ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (индивидуальное заочное обучение)

Телефон: (495) 408-51-45 Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения онлайн-олимпиады на сайте https: zftsh.online по выбранным для изучения предметам. Олимпиада стартует 23.03.2022 в 9.00 и закончится 27.03.2022 в 21.00 (время московское). На выполнение заданий для каждого предмета дается 4 часа. Решение приемной комиссии будет сообщено до 1 июня 2022 года по указанному при регистрации адресу электронной почты. Также в личном аккаунте появится справка о зачислении в ЗФТШ. При регистрации на https: zftsh.online необходимо прикрепить хорошо читаемую копию справки из школы.

ОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (заочное $обучение^{с}$ посещением очных консультаций)

Телефон: (925) 755-55-80 Группа ВК: https: vk.com vftsh Для учащихся Москвы и Московской области по программе ЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Набор в них проводится в сентябре в два этапа: • заочный этап – тестирование на сайте http: zftsh.online, • очный этап – устные экзамены. Более подробная информация о наборе на очное отделение будет размещена на сайтах ЗФТШ в августе 2022 года. Занятия с учащимися очного отделения проводятся в учебных корпусах МФТИ в городах Долгопрудный и Жуковский. Обучение для школьников бесплатное (в рамках плана приема), для непрошедших по конкурсу возможно только платное обучение.

63

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 12

РЕШЕНИЯ

точек прямые до пересечения, чтобы определить положение точки в плоскости линзы (рис. 14). Однако при таком подходе важно не перепутать изображения этих точек с другими точками пересечения прямых CO, DO с линией изображения («ложные точки» $E_{1}$ и $L_{1} ).$ Для правильного выбора достаточно заметить, что для действительных изображений в собирающей линзе увеличение расстояния от предмета до линзы приводит к уменьшению расстояния от линзы до изображения. Поэтому изображениям «дальних» от О точек пересечения круга с прямыми (C и D) отвечают «ближние» к O точки пересечения этих прямых с эллипсом-изображением. Закачивая наше построение, определим главную оптической ось линзы $O_{1} O_{2}$ как прямую, проходящую через точку O перпендикулярно OP (рис. 15). Наконец, для определения положе-

Рис. 13

Рис. 14

ческий центр линзы O находится в точке пересечения общих внутренних касательных AB и MN к кругу и его изображению (рис. 12). Рассмотрим луч, проходящий через точки A и M. После преломления в линзе он проходит через точки пересечения касательных к изображению круга B и N. Поэтому в точке пересечения линий, проходящих через точки круга и его изображения, находится точка P, принадлежащая плоскости линзы (рис. 13). Проведя прямую OP, найдем положение плоскости линзы. Отметим, что для построения плоскости линзы можно провести через O любые две прямые, пересекающие круг и его изображение (например, CL и DE), выбрать на этих прямых точки, принадлежащие кругу, используя найденный центр линзы, определить изображения этих точек (L и E), а затем провести через эти пары

Рис. 15

ния фокусов линзы рассмотрим лучи, идущие параллельно главной оптической оси через точку M и ее изображение N. По другую сторону от линзы эти лучи проходят через точки N и M соответственно, пересекая оптическую ось в точках фокусов $F_{1}$ и $F_{2}$. Как видно, фокальные плоскости действительно оказались между кругом и его изображением.

18-я Международная естественнонаучная олимпиада юниоров (IJSO-2021)

(см. «Квант» № 1)

1. а). 2. b). 3. b). 4. d). 5. b).

Тест

6. b). 7. b). 8. d). 9. b). 10. b).