Квант 2022, №4 · Страницы

10

КВАНТ 2022/№4

Эта формула доказывает, что предельное значение эффективности теплообмена, организованного по Машиному методу, равно единице. Теперь мы готовы с полным основанием сделать окончательный вывод: Большое количество «честных» процессов обмена может привести к «абсолютно нечестным» результатам. Увеличивая число стаканов, можно охладить бывшую горячую воду почти до нуля, а воду в изначально холодных стаканах нагреть практически до температуры $T_{0}$. – Молодец, Маша! – хороший метод придумала, пока некоторые смотрели в окно, – сказал наш учитель и почему-то посмотрел на меня. – Но и у отстающих пока остаются шансы. Конечно, в некотором смысле превзойти Машин метод не получится – он в пределе дает значение эффективности, равное единице. А понятно, что больше единицы эффективность быть не может. Но кто знает, а вдруг существует метод, который дает более быстрое, чем Машины 1 n, стремление к единице? Подумайте об этом.

Задачи для самостоятельного решения

1. Саша объединил в одну группу D -стаканы. А что, если объединить в группу не «богатых», а «бедных»? Какова эффективность процесса,

в котором группа из n E -стаканов по очереди соединяется с каждым D -стаканом? 2. Чему равна эффективность Сашиного метода для четырех D -стаканов и восьми E -стаканов? 3. Чему будут равны предельные значения температур D - и E -стаканов в Сашином процессе для очень большого количества D -стаканов? Количества «горячих» и «холодных» стаканов могут быть разными. 4. Найдите эффективность Машиного метода для случая, когда число D -стаканов равно четырем, а количество E -стаканов равно: а) двум; б) восьми. 5. В лаборатории есть несколько красных и синих стаканов (одинаковых размеров). Если в красные стаканы налить кипяток $( T_{0} 100 q C ),$ а в синие – ледяную воду (0 q C ) и провести теплообмен по Машиному правилу, то температура красных стаканов станет равной $T_{1} 4,8 q C$, а синих $T_{2} 47,6 q C$. А какими будут температуры стаканов, если поступить наоборот – в красные стаканы налить ледяную воду, а в синие кипяток? 6. В Машином процессе большие группы E - стаканов ведут себя как самые настоящие ватаги разбойников. Их поведение подчиняется правилу: если нас больше – заберем все, если меньше – сколько можем унести. Обоснуйте это утверждение и найдите, чему равны предельные значения температур D - и E -стаканов в Машином процессе при очень большом количестве E -стаканов.

Вниманию наших читателей

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса России» – 90964. Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

Марк Иванович Башмаков

(1937–2022)

31 марта 2022 года ушел из жизни член редакционного совета журнала «Квант» Марк Иванович Башмаков — разносторонний ученый, математик, педагог, автор более 50 учебников по математике, альпинист и искусствовед-коллекционер. Марк Иванович Башмаков родился 10 февраля 1937 года в Ленинграде. Во время Великой отечественной войны его отец ушел на фронт добровольцем, вернулся инвалидом. Пятилетний Марк с матерью и двумя братьями был эвакуирован из блокадного Ленинграда и возвратился туда после окончания войны. Школу он закончил с золотой медалью и поступил на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета. На матмехе учился отлично и успевал заниматься не только математикой — был секретарем комсомольской организации всего университета. В комсомольской работе, как и вообще в жизни, придерживался принципа — браться за трудные дела, доводить их до конца и никогда не впадать в формализм в убыток сущности дела. Аспирантуру Башмаков завершил защитой диссертации «Когомология абелевых многообразий» на кафедре алгебры и теории чисел. В 60-е годы прошлого века началось активное научное сотрудничество СССР с другими

странами. Башмакова-аспиранта командировали в Гвинею – он преподавал там математику на французском языке, который быстро освоил перед поездкой. После окончания аспирантуры его как молодого ученого направили в Сорбонну — Парижский университет. Из Парижа Башмаков возвратился с новыми идеями по алгебраической геометрии, которые стали предметом его докторской диссертации и отдельным направлением, которое он поддерживал на кафедре алгебры и теории чисел матмеха ЛГУ. Под его руководством готовились кандидатские и докторские диссертации в этой области. Большую часть жизни и души Марк Иванович вложил в организацию знаменитой физико-математической школы-интерната № 45 при университете и постановку в ней учебных курсов. За один 1962 год удалось добиться приказа министерства, выделения помещения, подбора преподавательского коллектива, разработки оригинальных учебных программ, набора в школу ребят из сельской местности Северо-Западного региона и, наконец, открытия в 1963 году математической школы-интерната. Решению организационных проблем немало способствовали тогдашний ректор Ленинградского университета Александр Данилович Александров — математик, физик, философ, альпинист, – и науч-

12

КВАНТ 2022/№4

ный руководитель Башмакова Дмитрий Константинович Фаддеев — заведующий лабораторией алгебры (и при этом хороший пианист). На базе школы-интерната № 45 через несколько лет была создана Заочная математическая школа, знаменитая ЗМШ, которая по-прежнему увлекает математикой тысячи ребят из всех уголков большой страны (в том числе и одного из авторов этого текста). Вспоминается первая методическая книга Башмакова «Уравнения и неравенства», вышедшая в серии «Библиотечка физико-математической школы» в 1976 году. Эта небольшая книжка стала предтечей целой линии школьных учебников по математике, среди которых есть уникальные. Например, учебник для гуманитарного профиля не является упрощением школьного курса математики, а дает представление о математике с более философских позиций. В этом учебнике нашли отражение не только методические идеи Башмакова как педагога-математика, но и увлечения автора поэзией Серебряного века и изобразительным искусством. С 1977 по 1991 год Башмаков заведовал кафедрой высшей математики №2 в Ленинградском электротехническом институте. Кафедра была создана специально для Башмакова – с целью организации в ЛЭТИ сильной математической школы. Башмаков собрал на кафедре сильный коллектив, соединив активно работающих в математике ученых (тополог В.М.Харламов, аналитик Е.М.Дынькин, специалист в дискретной математике С.В.Фомин, логик С.В.Соловьев, специалист по теории вероятностей В.А.Егоров и др.) со специалистами в методике преподавания математики. Традиции, заложенные Башмаковым, кафедра сохраняет и сейчас. В 90-е годы Башмаков был избран депутатом Ленсовета, где возглавил Комиссию по образованию и участвовал в переформировании органов управления образованием. В это время по его плану создается Центр развития альтернативного образования, в рамках которого объединяются инициативные коллективы города по разным областям школьной деятельности. Эти коллективы стали пионерами во внедрении в образование города новых педагогических технологий. По инициативе Башмакова в России была запущена программа «Математика для всех», связующим звеном которой стал международный конкурс «Кенгуру», собираю-

щий до двух миллионов школьников России ежегодно. Марк Иванович организовал и аналогичные конкурсы по другим предметам, например, «Британский бульдог» по английскому языку, близкий ему по духу конкурс «Золотое руно» по истории мировой культуры и др. В 30 лет, т.е. довольно поздно, Башмаков серьезно увлекся альпинизмом, а во всех своих увлечениях он добивался совершенства. Марк Иванович стал председателем секции альпинизма в университете. Студенты с замиранием сердца следили, как он карабкается на высокое кирпичное здание во дворе университета — здание Двенадцати коллегий, чтобы закрепить страховку для участников секции. Альпинизму Марк Иванович Башмаков посвятил более 50 лет, а по времени пребывания в горах — полжизни, как считал он сам. Последний раз он был в горах в 2021 году в день своего рождения – по традиции, он встречал этот день на горных вершинах. А так как день рождения у него в феврале, он стал одним из активных приверженцев зимних восхождений. За покорение пяти семитысячников награжден знаком «Снежный барс». Еще одной стороной многогранной натуры Марка Ивановича было увлечение книжной графикой. В его коллекции более 500 книг, настоящих произведений искусства. Эти книги изданы в небольшом числе экземпляров, причем художник и писатель являются соавторами. В них сливаются воедино мир литературы, мир графики и мир книгопечатания. В 2013 году в Эрмитаже состоялась первая выставка книг из коллекции Башмакова под названием «Книга художника». Позже такие выставки проходили каждый год, и Марк Иванович часто сам проводил экскурсии. В 2015 году в восточном крыле Главного штаба был открыт Кабинет книги художника, а Марк Иванович стал советником директора Эрмитажа. Сотрудники Эрмитажа считают Башмакова новым типом коллекционера — не столько собирателя книг, сколько их вдумчивого исследователя. Во всех видах своей деятельности Марк Иванович Башмаков был необычайно талантлив. Светлую память о нем как о человеке большого масштаба и необыкновенных талантов навсегда сохранят все, кому повезло с ним общаться и работать. С.Поздняков, С.Энтина

13

ДИАФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ

Диофантовы уравнения и рациональные точки

М.БАШМАКОВ

ОБЛАСТЬ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ, В КОторой исследуются целочисленные решения уравнений вида Р х, у,… 0, где Р х, у,… – многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами, называется диофантовым анализом, а сами эти уравнения – диофантовыми. Названы они так по имени знаменитого греческого математика Диофанта, жившего в III веке и написавшего первый трактат о таких уравнениях. Несмотря на то, что диофантовы уравнения составляют одну из самых старинных областей математики, общие методы их решения начали создаваться совсем недавно. В классических работах в основном рассматривались линейные и квадратные диофантовы уравнения. Решение более сложных уравнений сильно продвинулось в последние 20—25 лет благодаря широкому привлечению к теории чисел идей из других областей математики, прежде всего – из геометрии и топологии. Говоря словами Н.Бурбаки, «…классическая геометрия… превратилась в универсальный язык всей математики, обладающий исключительной гибкостью и удобством». Геометрия предлагает не только язык, но и свои построения, свою интуицию. Посмотрите, как нагляден геометрический язык. Возьмем, например, уравнение Ферма $х^{n} у^{n} z^{n}$, поделим обе его части на $z^{п}$ и обозначим х z через и, y z через v. Получим уравнение $u^{п} v^{п} 1$. Каждому решению х; у; z уравнения Ферма в целых числах соответствует (при z z 0 ) решение уравнения $u^{п} v^{п} 1$ в рациональных числах.

Опубликовано в журнале «Квант» №8 в 1978 году.

Если мы рассмотрим теперь график этого уравнения на плоскости u; v ,то получим кривую, причем целочисленным решениям уравнения Ферма отвечают точки этой кривом с рациональными координатами. Очевидно и обратное: каждая точка указанной кривой с рациональными координатами даст (после освобождения от знаменателя) целочисленное решение уравнения Ферма. Таким образом, вопрос о решении уравнения Ферма в переводе на геометрический язык превращается в вопрос о нахождении точек с рациональными координатами (мы их будем называть рациональными) на кривой $u^{п} v^{п} 1$. (Заметим, что при делении уравнения Ферма на $z^{п}$ мы «потеряли» его корни при z 0, но их несложно исследовать отдельно.) В этой статье мы познакомим вас с двумя геометрическими приемами отыскания рациональных точек на кривых. Начнем для простоты с уравнения $х^{2} у^{2} z^{2}$, решения которого в натуральных числах называются пифагоровыми тройками. Кривая, соответствующая уравнению $х^{2} у^{2} z^{2}$, – это окружность $u^{2} v^{2} 1$. Пифагоровы тройки (3; 4; 5), (5; 12; 13) соответствуют рациональным точкам 3 5;4 5, 5 13;12 13 этой окружности (рис. 1). Некоторые плоские кривые удобно задавать в так называемой параметрической форме; указать две функции f и g такие, что при всевозможных значениях параметра t точка Рис. 1

19

ЗАДАЧНИК

подъема таких бумажных шариков. Ускорение свободного падения на поверхности Луны $g_{Л} 1,62$ м $с^{2}$, а на поверхности Земли $g_{З} 9,81$ м $с^{2}$. С какой установившейся скоростью будет падать вблизи поверхности Земли такой комок бумаги, отпущенный с большой высоты? Подсказка. Сила сопротивления воздуха (вблизи поверхности Земли) пропорциональна квадрату скорости шарика, плотности воздуха ( 1,2 кг $м^{3} )$ и поперечному сечению шарика. Безразмерный коэффициент в выражении для этой силы равен 0,24 (если все остальные величины выражены в единицах СИ). На пачке листов такой бумаги написано: 500 листов 210 мм u 297 мм, 80 г $м^{2}$. С.Шариков

Ф2702. Для того чтобы штыковой лопатой (рис. 1) копать канаву, Вася (его масса

Рис. 1

80 кг) давит ногой на наступ (верхняя часть полотна лопаты, изогнутая под прямым углом), и к моменту остановки лопаты 50% его веса приходится на этот наступ. При этом полотно лопаты погружается (врезается) в грунт на полштыка – это примерно 15 см. Для отрыва срезанного грунта от поверхности лопаты требуется совершить еще примерно такую же работу, какая нужна, чтобы вогнать штык в грунт. Толщина отрезанного «ломтя» составляет в среднем 5 см. Оцените работу, которую нужно совершить, чтобы выкопать яму в форме куба с ребром a 1,5 м. Грунт имеет среднюю плотность U 1,5 г $см^{3}$. Какая часть этой работы потребуется для разрушения цельности грунта, а какая на подъем «ломтя» на уровень краев ямы? Лопату будем считать невесомой. В.Лопатин

«КВАНТА»

Ф2703. Воздух в цилиндре $длиной^{l}$ можно изотермически сжимать с помощью легкой длинной проб- Рис. 2 ки (рис. 2) до тех пор, пока длина столба воздуха в цилиндре не станет равной l 3 (при большем сжатии пробка выталкивается из цилиндра по прекращении действия силы). После такого максимального сжатия воздух в цилиндре медленно нагревают. До какой минимальной температуры нужно нагреть воздух, чтобы пробка полностью вышла из цилиндра? Начальная температура атмосферного воздуха $T_{0} 300$ К. Считайте, что максимальная сила трения, действующая на пробку, прямо пропорциональна глубине ее погружения в сосуд. Силу тяжести можно не учитывать. В.Манукян

Ф2704. Прямая пластиковая трубка с прозрачными стенками, открытая с двух концов, имеет круглое внутреннее поперечное сечение. Держа трубку вертикально, один из ее концов окунули в ведро с ртутью и в этом положении нижнее отверстие трубки заткнули пробкой. Ртуть стенки трубки не смачивает. Затем трубку, сохраняя ее вертикальное положение, подняли, и в ней остался столбик ртути длиной a 20 см. Держа открытый конец трубки над ведром, трубку медленно перевернули на 180q, и теперь открытый ее конец оказался над поверхностью ртути. Столбик ртути так и остался вблизи конца трубки (теперь верхнего). Внешнее атмосферное давление 760 мм рт. ст., коэффициент поверхностного натяжения ртути V 0,4 Дж $м^{2}$ плотность ртути U 13600 кг $м^{3}$. Какова длина трубки L и каким мог быть максимальный диаметр D внутреннего отверстия трубки? В.Ртутный

Решения задач М2682–М2685, Ф2689–Ф2692 M2682. Даны шесть действительных чисел $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} x_{6}$. Для каждой тройки различных чисел из этих

34

КВАН T 2022/№4

ственно равны 112,5q и 22,5q. Докажите, что в этом треугольнике высота AH, медиана BM и биссектриса CP пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть высота AH и биссектриса CP пересекаются в точке Q (рис. 12). Покажем, что и медиана BM

Рис. 10

лемме о трех биссектрисах KP – вторая внешняя биссектриса. Отсюда построение: соединяем точки A, K, P. Пусть ‘ AKP D. Через точку K под углом D к KP проводим прямую t, которая пересекает луч AP в вершине B. У нас есть ‘ KAB 180 q ‘ A. Тогда есть и угол A. Через вершину A под углом, равным ‘ A, к стороне AB проводим луч. Он пересекает прямую t в недостающей вершине C. Задача 10 (Л.Кэрролл). На сторонах AC и AB треугольника ABC постройте точки F и N такие, чтобы отрезок FN был параллелен стороне BC и при этом выполнялось равенство BN CF BC. Решение. Пусть такие точки F и N построены и пусть также FN || BC, x y a (рис. 11). Анализ показывает, что если най-

Рис. 11

ти на BC такую точку T, что CT y, то BT x. Поскольку ’ CFT равнобедренный ( CF CT y ), то ‘ 1 ‘ 2. Но ‘ 2 ‘ 3 (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых FN и BC). Аналогично, ‘ 4 ‘ 5 ( BN BT x ) и ‘ 5 ‘ 6 ( FN || BC ). Тогда FT и NT – две внешние биссектрисы в ’ AFN. Согласно лемме, AT совпадает с внутренней биссектрисой угла A в треугольнике AFN. Переходим к построению. Проводим биссектрису AT в ’ ABC. На стороне CA откладываем отрезок CF CT, а на стороне BA – отрезок BN BT. Соединяем F и N. Отрезок FN – искомый. Задача 11. В треугольнике ABC величины углов при вершинах A и B соответ-

Рис. 12

проходит через Q. Из ’ AHB имеем ‘ HAB 90 q 22,5 q 67,5 q. Продолжим CA за точку A. Тогда ‘ DAB 180 q 112,5 q 67,5 q. В ’ AHC отрезок CP совпадает с внутренней биссектрисой, AB – с внешней. Значит, по лемме о трех биссектрисах, HP – вторая внешняя биссектриса и ‘ AHP ‘ BHP 45 q. Но и ‘ ACB 45 q ( 180 q 112,5 q 22,5 q ). Следовательно, APHC – трапеция. По так называемой лемме о трапеции (точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований любой трапеции лежат на одной прямой) луч BQ проходит через середину AC – точку M. А это и означает, что высота AH, медиана BM и биссектриса CP пересекаются в одной точке – точке Q. Задача 12 (Д.Швецов). Биссектрисы AL и BK прямоугольного треугольника ABC ( C 90 q ) пересекаются в точке I, Q – центр описанной окружности треугольника CKL. Докажите, что QI A AB. Доказательство. Так как ’ KCL – прямоугольный, то точка Q – середина KL. Проведем KN A AB и LT A AB (рис. 13). Очевидно, CK KN и CL LT (любая точка биссектрисы равноудалена от сторон). Тогда

Рис. 13

36

КВАН T 2022/№4

Рис. 2

Рис. 1

он приблизителен и не точен. Теперь вы, как хороший послушный школьник, рисуете все силы (рис. 1,а), пишите уравнения: «сумма сил по горизонтали», «сумма сил по вертикали» и «сумма моментов относительно центра тяжести» равны нулю. И – о ужас – у вас есть три уравнения и четыре неизвестных. У составителей задач есть способ бороться с этой ситуацией – «придушить» одно неизвестное, в данном случае объявить, что трение в верхней точке контакта отсутствует: коэффициент трения P 0 (рис. 1,б). Естественно, это отключает одну из сил, но где вы видели стену без трения? Кстати, очевидно, что если объявлять P 0 в нижней точке, то это может быть опасно для жизни. Эта задача – одна из многих «статически неопределимых задач». Так называют задачи статики, в которых количество неизвестных больше количества уравнений. В школе обычно рассматривают плоские задачи статики – всего лишь потому, что картинки к ним легко рисовать на плоской поверхности: на бумаге, доске или экране. В таких задачах уравнений три – два про сумму сил вдоль осей координат и одно про сумму моментов. На досуге подумайте, сколько уравнений будет для трехмерной задачи статики. Понятно, что в реальной жизни что бы с телами ни делали, как бы их ни располагали, все силы в итоге приобретают какие-то значения. «Нерешаемость» этих задач возникает потому, что мы чем-то пренебрегли, а для решения нужно это «что-то» учесть. Но имейте в виду – если мы это «что-то» учтем и задача получит свое решение, то это будет означать, что мы решили данную задачу лишь в данном приближении. В нашем случае «что-то» – это деформации элементов системы. При рассмотрении какой-либо другой задачи или даже при увеличении требо-

Рис. 3

Рис. 4

ваний к точности решения может понадобиться учесть что-то еще. Рассмотрим простой пример, а потом вернемся к нашей лестнице. Пусть балка висит на двух тросах и нужно найти их натяжения (рис. 2). Задача тривиальна: горизонтальных сил нет, так что уравнений два и неизвестных тоже два. Приделываем третий трос (рис. 3) и… наступает караул. Попробуем учесть деформации – но чьи? Деформации тросов в школе подчиняются закону Гука, а деформацию балки в школе не посчитать. Поэтому ограничимся тросами, их деформация показана на рисунке 4 условно в виде пружин. У нас прибавится шесть известных величин: начальные длины и коэффициенты в законе Гука, три неизвестных: итоговые длины и три уравнения: зависимость длин веревок от натяжений, т.е. уравнения закона Гука, но не в виде F kx, а в виде $L L_{0} N k$, где $L_{0}$ – начальная длина, N – сила натяжения, k – коэффициент жесткости. Однако нам как не хватало одного уравнения, так не хватает и сейчас. Не видите ли вы на рисунке еще одно уравнение? Уравнения этого типа называют уравнениями совместимости деформаций. Действительно, деформации элементов конструкции как-то связаны, размеры элементов конструкции не могут быть произвольными. Например, если точки закрепления тросов на балке лежали на одной прямой, то они и будут лежать на одной прямой, а если деформации невелики, то тросы параллельны и итоговые длины связаны тривиальным уравнением. Это и будет седьмое уравнение, которого нам не хватало. Задачу можно решить и при больших деформациях, просто решение будет длиннее. Можно рассмотреть и широкий диапазон начальных длин и коэффициентов жесткости, причем в этом случае можно написать программу, которая будет подвешивать балку на тросах прямо на экране и показывать нам поведение при варьировании исходных величин.

39

ОЛ И МП И А Д Ы

если все его стороны равны и все его углы равны.) К.Кноп

3. (8) Верно ли, что из любого выпуклого четырехугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырехугольника? А.Юран

4. (9) У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n,…, 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырех различных? А.Толпыго

5. (9) Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причем монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число t! 1 (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в t раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет 100 предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в t раз, не меняя количества монет, то у него будет 101 предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет. А.Галочкин

6. (9) Некоторые клетки доски 100 u 100 покрашены в черный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть черные клетки, их количество нечетно. В каждой строке, где есть черные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счету черную клетку. В каждом столбце, где есть черные клетки, поставим синюю фишку в среднюю по счету черную клетку. Оказалось, что все красные фишки стоят в разных столбцах, а синие фишки — в разных строках. Докажите, что найдется клетка, в которой стоят и синяя, и красная фишки. Б.Френкин

7. (10) Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников (рис. 3) необходимо взять, чтобы

Рис. 3

среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки? А.Кулыгин

8. (10) Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале 0;1? А.Канель-Белов

9. (11) В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям x и y) нарисовали график показательной функции $y 3^{x}$. Затем ось y и все отметки на оси x стерли. Остались лишь график функции и ось x без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось y? М.Евдокимов

10. (11) Звездолет находится в полупространстве на расстоянии a от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолет может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолет гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более 14a? М.Евдокимов

11. (11) В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина еще одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? М.Евдокимов

12. (11) В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползет свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся. П.Бородин

Публикацию подготовил Н.Панюнин