Квант 2022, №5 · Страницы

3

ГАМОВ:

Георгий Гамов

ГЕОРГИЙ

АНТОНОВИЧ,

Биографии принять начинать с рассказа о предках. По отцовской линии Гамов происходил из древнего (есть документы XVII века) дворянского рода, по матери его предки принадлежали к южнорусскому духовенству. Один дед был полковником, командующим Кишиневским гарнизоном, другой – протоиереем Одесского собора. Существенно, что в обеих линиях среди его предков были математики, и уж наверняка важно, что отец был преподавателем русского языка и литературы, а мать – преподавателем истории и географии. Знания и их передача в семье ценились – мать учила ребенка французскому, преподаватель – немецкому, в доме была большая библиотека. В поздних анкетах Гамов пишет: «Читаю и перевожу со словарем – древнегреческий, читаю и могу объясняться – французский, владею свободно – немецкий, английский, датский». Кстати, насчет древнегреческого – это, наверное, одна из его шуток. А всерьез он пишет: «В возрасте семи лет я читал Жюль Верна и мечтал о путешествии на Луну». Большая библиотека, конечно, способствует успехам в науке, но, как показывает жизнь, сама по себе их не определяет.

ДЖОРДЖ,

«ДЖО»

А вот уже прямой и не случайный толчок: в 1910 году (Георгию шесть лет) он получает телескоп, в который наблюдает комету Галлея (до следующего ее появления в 1986 году он не дожил, а говорил, что хотел). В 13 лет ему дарят микроскоп, и он производит анализ так называемого «тела Христова», полученного в церкви и не съеденного на месте, а принесенного домой. Эксперимент он описал так: «Для сравнения я заранее приготовил маленькую хлебную крошку, вымоченную в красном вине. Смотря в микроскоп, я не мог увидеть разницы между двумя образцами. Микроструктура двух кусочков хлеба была совершенно одинаковой и совсем не походила на микроструктуру тонких кусочков моей кожи, которую я предварительно срезал с пальца острым ножом. Цвет образца был все еще красноватым, но мой микроскоп был недостаточно сильным, чтобы увидеть отдельные эритроциты. Поэтому это было только полу-доказательство, но я думаю, это был эксперимент, который сделал меня ученым». В школе Гамов учится хорошо, особенно по математике, физике, языкам, в последних классах интересуется (случайность ли это?) теорией относительности. Далее – физико-математический факультет Одесского университета, занимается математикой и подрабатывает вычислителем в обсерватории. Но проучился он в университете лишь год. Услышав о бурном развитии физики в Петрограде, он собирается туда ехать, и, чтобы это стало возможным, отец продает остатки фамильного серебра. Это важнейший момент, это развилка. В Петрограде Гамов учится в Петроградском университете и заканчивает его в декабре 1924 года, сдав почти все экзамены с высшей оценкой. Поступает в аспирантуру, изучает аномальную дисперсию света в парах калия, придумывает метод контроля качества оптического стекла; но теоретическая физика влечет его больше. Гамов хочет заниматься теорией относительности, которой интересовался еще в школе (значит, тот интерес был не случаен), его руководителем становится не кто иной, как Александр Фридман (математи-

4

КВАНТ 2022/№5

ка, метеорология, космология). Но Фридман в 1925 году умирает. Тем временем в Университете формируется кружок молодых физиков-единомышленников, названный его участниками «Джаз-бандой». Ими издавался самодеятельный журнал «Отбросы физики», устраивались конкурсы остроумия и проверки эрудиции. Сначала членами кружка были Гамов, Дмитрий Иваненко (ядерная физика, теория поля, гравитация), Андрей Ансельм (теория жидкостей, молекулярная физика), Владимир Кравцов (метрология атомных масс). Потом присоединились Виктор Амбарцумян (астрофизика), Лев Ландау (теорфизика), Матвей Бронштейн (теорфизика). Все, кто пишут о Гамове, упоминают о шутках и розыгрышах, юморе и озорстве. Те, кто более проницательны, говорят, что центром его мира была физика. Наши герои – молодые, талантливые, лучше других знающие, как устроены атомы и вселенная, и вдобавок знающие, что они это знают лучше других. Они считают, что «пот не должен быть виден», что всем должно казаться, что работа, наука, физика – все это для них так, игра, почти развлечение. Отчасти это и было так, особенно для Гамова, хотя и работы это вовсе не исключало. Гамов, Иваненко и Ландау опубликовали в 1928 году в «Журнале Русского физико-химического общества» статью «Мировые постоянные и предельный переход», в которой дали иерархию физических теорий на основе системы фундаментальных констант, включающей скорость света, гравитационную постоянную и постоянную Планка (так называемая cGh-система). Авторы считали эту работу шуткой и никогда на нее не ссылались, но она привлекла внимание исследователей своими идеями, касавшимися фундаментальных основ физики и принципов ее развития. Если говорить коротко: авторы построили классификацию физических теорий, исходя из того, какие величины считаются в них основными, базовыми. Заметим, что стремление к простоте оснований, к фундаментальности результа-

тов – это навсегда его: в статье, опубликованной в журнале «Nature» в 1948 году, Гамов разработал уравнения для массы и радиуса галактики, содержащей около ста миллиардов звезд типа Солнца, причем в его уравнения входят только фундаментальные константы (гравитационная постоянная, постоянная Планка, элементарный заряд и др.). В 1926 году научные руководители рекомендовали его для стажировки в Германии – это закономерно. Однако разрешение и все необходимые документы были получены лишь весной 1928 года. Гамов прибывает в Геттинген – тогдашний центр развития квантовой механики. Он работает в группе Макса Борна (одного из создателей квантовой механики); собираясь заняться какой-либо нерешенной проблемой, выбирает теорию атомного ядра, в частности – проблему альфа-распада, одного из видов радиоактивности. Предполагает, что альфа-частицы туннелируют через потенциальный барьер, и делает соответствующий расчет. Это и было первым успешным объяснением поведения радиоактивных элементов на основе квантовой теории. Одновременно с Гамовым и независимо от него идею о роли туннельного эффекта в процессе альфа-распада высказали Рональд Гёрни (квантовая механика, ядерная физика, фотопроцесс) и Эдвард Кондон (квантовая механика, ядерная физика), однако только Гамову удалось получить количественные результаты. На основе своей теории Гамов оценил размер ядер и объяснил закон Гейгера – Неттолла, связывающий энергию вылетающей альфа-частицы с периодом полураспада ядер. Теория и ее автор были признаны научным миром. Веселый, остроумный и общительный, он становится популярной фигурой и среди отечественных, и среди европейских физиков. По окончании четырехмесячной стажировки в Геттингене Гамов переезжает в Копенгаген, где датская Академия наук предоставила ему годичную стипендию для работы у Нильса Бора (квантовая механика) в Институте теоретической физики. Он посещает другие важнейшие научные

5

ГАМОВ:

ГЕОРГИЙ

АНТОНОВИЧ,

центры того времени, так в 1929 году в Лейдене он обсуждает с Паулем Эренфестом (теорфизика) капельную модель ядра. Такое рассмотрение приводило к открытию возможности деления ядер; но это выяснилось 10 лет спустя благодаря работам Якова Френкеля (теорфизика), Нильса Бора и Джона Уилера (космология, ядерная физика). Вспоминая о капельной модели ядра в своем последнем интервью, данном историкам физики весной 1968 года, Гамов сказал: «Я и сам мог бы тогда предсказать деление ядер – если б был поумнее». Тогда же он объяснил, почему менял области физики и как их выбирал: «Я начал заниматься ядерной физикой, потому что в 1928 году все занимались атомами и молекулами; Ван-дер-Ваальс, дублеты, триплеты, спин и так далее – этого было слишком много. Я не хочу, чтобы все это перепутывалось, поэтому я решил выбрать себе уголок, где никто ничего не делал, и я выбрал ядерную физику. А когда ядерная физика стала большим делом, я перебрался в ядерную астрофизику и космологию. Мне нравятся новаторские вещи». В Кембридже он включается в обсуждение перспектив расщепления ядер ускоренными протонами, которые благодаря туннельному эффекту оказались эффективным «консервным ножом». Соответствующие эксперименты были сделаны Джоном Кокрофтом (ядерная физика) и Эрнестом Уолтоном (ядерная физика) и закончились Нобелевской премией. С Фрицем Хоутермансом (ядерная физика) и Робертом Аткинсоном (ядерная физика) Гамов обсуждает ядерные реакции в звездах. Что написал позже об этой поездке Гамов? Слово главному герою, тем более, что из его рассказа мы узнаем кое-что о нем самом: «Геттинген – красивый маленький городок со старым знаменитым университетом. По уровню развития теоретической физики он мог бы поспорить в то время даже с Копенгагеном. Он гудел от возбуждения, вызванного волновой и матричной механиками, которые получили развитие только за два года до моего прибытия. И аудитории для семинаров, и кафе были заполнены физиками, старыми и молоды-

ДЖОРДЖ,

«ДЖО»

ми, обсуждавшими следствия, к которым могло бы привести это новое развитие квантовой теории… Я всегда предпочитал работать в менее людных областях. Поэтому, в то время как все квантовые физики в мире вели наступление на атомы и молекулы, я решил посмотреть, что могла бы дать новая квантовая теория для случая атомного ядра… Как может случиться, что бомбардирующие частицы большой энергии не могут перейти барьер снаружи, в то время как внутренние частицы, которые имеют только половину такой энергии, ухитряются просочиться наружу? …Прежде, чем я закрыл журнал, я уже знал, что в действительности происходит в таком случае. Это было типичное явление, которое было бы невозможно в классической ньютоновской механике, но фактически ожидалось в новой волновой механике». Иногда Гамова именуют «трижды нелауреат Нобелевской премии». Понимать это можно двояко – как то, что Нобелевские премии три раза были получены теми, кто использовал его идеи, и как то, что он сам получил три результата «нобелевского класса», но не получил соответствующей премии. Верно и то, и другое. Сам Гамов пишет: «По мере все убыстряющейся скорости научных исследований и быстро увеличивающегося числа людей, занимающихся этим, все чаще и чаще случается, что важные открытия делают одновременно и независимо друг от друга двое и более ученых, а то и несколько их коллективов. То же произошло и с моей теорией радиоактивного альфа-распада, которая была выдвинута одновременно Рональдом Гёрни совместно с Эдвардом Кондоном. В действительности их статья, которая была опубликована в «Nature», была получена издателями на несколько дней раньше, чем моя, которая была опубликована в «Zeitschrift fьr Physik». Уехав в июне 1928 года за рубеж аспирантом, Гамов возвратился в Ленинград в мае 1929 года получившим известность ученым. Вернулся ненадолго: по представлению Эрнеста Резерфорда (основоположник ядерной физики, множество учеников), А.Н.Крылова (кораблестроитель,

6

КВАНТ 2022/№5

механик) и Ю.А.Круткова (теорфизика) ему была присуждена Рокфеллеровская стипендия для работы в течение года в Кавендишской лаборатории в Кембридже. В сентябре 1929 года он прибыл в Англию. Там он написал восемь статей и свою первую научную монографию «Строение атомного ядра и радиоактивность», она была издана на английском и немецком языках. Заметим, что одновременно со своими первыми оригинальными публикациями Гамов начал публиковать и обзорные статьи по физике, что, вообще говоря, не характерно для молодых ученых. Весной 1931 года Гамов возвращается в Россию. В 1931 году Гамова – ему 28 лет – избирают членом-корреспондентом Академии наук СССР, за него подано 42 голоса из 43-х, и он один из самых молодых членкоров за всю историю. Физика развивается стремительно. Однако предложение молодых создать в Ленинграде центральный академический Институт теоретической физики во главе с Гамовым и Ландау принято не было – старшее поколение не собиралось уступать командные высоты. Это было, наверное, им обидно. Гамов работает в Радиевом институте, в Ленинградском физико-техническом институте, в Ленинградском университете. В 1932 году он и Лев Мысовский (ядерная физика) разрабатывают проект первого в Европе циклотрона, в 1937 году машина заработала. Еще будучи за границей, Гамов получил от Гульельмо Маркони (один из создателей радио) приглашение принять участие в первом Международном конгрессе по атомному ядру (Рим, 1931) и представить статью по структуре ядра. Однако поездку ему не разрешили, доклад был зачитан Максом Дельбрюком (биофизика). Делегаты конгресса послали Гамову открытку с сожалениями о его отсутствии, подписанную в числе прочих Марией Кюри (радиоактивность), Вольфгангом Паули (физика элементарных частиц), Энрико Ферми (теоретическая и экспериментальная физика), Лизе Мейтнер (ядерная физика) и другими знаменитостями. В следующем году ему не разрешили поездку в США на

летнюю школу в Мичигане. Гамов получает очередное приглашение из-за границы, на сей раз – на Международный Сольвеевский конгресс по ядерной физике, который должен был состояться в Брюсселе в октябре 1933 года. И едет на конгресс, причем вместе со своей женой – выпускницей физфака МГУ Любовью Вохминцевой. Это была развилка: если бы Гамову не разрешили взять с собой жену, он бы не поехал. А что делать дальше – возвращаться в СССР или нет? Поль Ланжевен (теорфизика) поручился за него, подвести его Гамов не может, но о проблеме узнает Мария Кюри: она разговаривает с Ланжевеном, и тот соглашается не считать Гамова связанным его ходатайством. Это закономерность, и это – развилка. После Сольвеевского конгресса ученый читал лекции в Радиевом институте в Париже, в Кавендишской лаборатории в Кембридже у Резерфорда и в Копенгагене у Нильса Бора. В 1934 Гамов отплывает в США, где проходит его жизнь в течение последующих тридцати с лишним лет. В письме к Петру Капице (результаты в разных областях физики, организатор науки) Гамов писал: «Сейчас я хочу идти по Вашим стопам и, если возможно, перейти в так называемое «Kapitza-Zustand» [«состояние Капицы»], т.е. жить за границей с советским паспортом. Написал в Москву, прося в firm expressions [крепких выражениях] продления командировки на год». Целью Гамова была возможность подобно Капице работать за границей, посещать научные центры и мероприятия и при этом в любое время приезжать в СССР. Однако это желание не нашло понимания у властей, в октябре 1934 он был уволен из Радиевого института и Физико-математического института, в 1938 году – исключен из Академии. Итак, 1934 год, Гамов и его жена – в США. Через два года Гамов получает американское гражданство. Вохминцева в заграничных поездках работала эпизодически, главным образом лаборанткой, а также в редакции журнала – писала рефераты советских статей по оптике и спект-

8

КВАНТ 2022/№5

Джорж Гамов и его кот Спин. Наверное, это был ученый кот и интересных и для него, и для других людей событий, встреч, занятий, трудов; что касается физики, то перечень будет довольно длинным. Позже он говорил, что после 1934 года ничего интересного в его жизни не было. К этим словам надо относиться как к некоторой рисовке и игре, свойственной ему с юности. Первая конференция, организованная Гамовым и Тьювом в Вашингтоне, состоялась в 1935 году. До начала второй мировой войны прошло пять конференций, на них приезжали Бор, Ферми, Бете (атомная физика), Чандрасекар (физика звезд), Дельбрюк; европейские физики знакомились с американской наукой, налаживали контакты с американскими коллегами. Это оказалось важным и для них, и для науки США, которая с тех пор является лидирующей. На конференцию 1938 года Гамов, Теллер и Тьюв пригласили физиков и астрономов, темой была физика звезд. Еще в 1926 году Артур Эддингтон (астрофизика) предположил, что источник энергии звезд – ядерная реакция, синтез гелия из водорода. Для него важно туннелирование частиц сквозь потенциальный барьер, которое происходит и при альфа-распаде. Узнав об этом эффекте от Гамова в 1928 году, Хоутерманс и Аткинсон начали расчеты ядерных превращений в звездах, 10 лет спустя Гамов и Теллер их продолжили и создали теорию «красных гигантов» (типа Бетельгейзе), а «добил» проблему Ганс Бете после конференции и бесед с Гамо-

вым и Теллером. Оказалось, что в некоторых звездах энергия вырабатывается в результате длинной цепочки превращений, в которой участвуют углерод и азот. Эти превращения называются теперь углеродно-азотным циклом или циклом Бете. Что касается звезд помельче, размером с Солнце или еще менее массивных, то в реакциях участвуют литий и бериллий, это протон-протонный цикл. Гамов говорил, что этот цикл он мог придумать сам, «если был бы поумнее». Фактически он начал соответствующие расчеты вместе со своим студентом Чарлзом Кричфилдом (атомная физика) раньше, чем Бете, но тот оказался упрямее и методичнее. Еще в 1911 году Эйнар Герцшпрунг (астрономия) и Генри Рассел (астрофизика) заметили, что существует связь между видимым цветом звезд и излучаемой ими энергией. Расположение всех звезд на графике с осями цвет–светимость (оба зависят от температуры звезды) называется с тех пор диаграммой Герцшпрунга–Рассела. Звезды в ходе своей эволюции проходят из правого нижнего угла диаграммы к левому верхнему, меняя по ходу развития и светимость, и цвет. Такие звезды находятся, как говорят, на главной последовательности. Существуют и добавочные ветви, причем, по воспоминаниям астронома и астрофизика Вальтера Бааде, взаимосвязь одной из ветвей с главной последовательностью разгадал Гамов, сообщил об этом в письме и не стал публиковать. Несерьезный он был человек, да? Теорией эволюции звезд Гамов занимался и позже. Ведь правда же, интересно, почему они светят? Однажды Фриц Хоутерманс гулял с девушкой, и, глядя на звезды (дело было ночью), девушка произнесла: «Посмотри, как они сверкают!» И надо же было так случиться, что произнесла она это в ночь того дня, когда ее ухажер первым кое-что об этом узнал. И он ответствовал: «Да, и с сегодняшнего дня я знаю, почему они сверкают». Для следующей конференции в январе 1939 года Гамов, Теллер и Тьюв предложили в качестве основной темы физику низких температур. Но Бор привез из

9

ГАМОВ:

ГЕОРГИЙ

АНТОНОВИЧ,

Европы исключительную новость: Отто Ган (ядерная физика) и Фриц Штрассман (ядерная физика) открыли новый тип ядерных реакций. Облучая ядра урана нейтронами, они обнаружили, что ядро при захвате нейтрона превращается не в более тяжелый изотоп того же элемента, а раскалывается на два крупных осколка. Ключевое слово «деление» содержалось в статье Отто Фриша (ядерная физика) и Лизе Мейтнер, которые построили первую теорию явления. Начиналась новая глава науки и новая глава истории. Американские физики проявили поначалу некоторую нерешительность; им было непривычно использование науки в военных целях, но европейцы лучше понимали, что такое нацизм, и повели себя активнее. Лео Сциллард (ядерная физика), Юджин Вигнер (элементарные частицы, ядро), Ферми и Теллер предприняли первые попытки получить правительственные ассигнования на исследования по военному использованию ядерной физики и предложили ограничить открытые публикации по этой тематике в США. Почему Гамов остался в стороне от атомной проблемы? Похоже, что и приятели Гамова, и начальство сочли его недостаточно серьезным, слишком легкомысленным для таких дел. У него была репутация человека веселого, разговорчивого, общительного, любителя дружеских застолий. Альберта Эйнштейна (теорфизика), Джона фон Неймана (математика) и Джорджа Гамова привлек с началом войны к оборонным исследовательским работам Военно-морской флот США. Тематика их работ была связана с физикой и технологией взрывчатых веществ – обычных, не ядерных. Эйнштейн не мог регулярно приезжать в Вашингтон по этим делам, и потому начальство решило, что кто-то должен ездить к нему за консультациями в Принстон. На эту роль назначили Гамова, так что раз в две недели он ездил в Принстон. В 1948 году Гамов включается в работы по проекту водородной бомбы. Когда он появился в Лос-Аламосе, его давний протеже Теллер был одним из главных действующих лиц проекта, а в 1949–1952

ДЖОРДЖ,

«ДЖО»

годах он же занимал должность заместителя директора Лос-Аламосской лаборатории. Теллер называл Гамова «ученым, начавшим в Соединенных Штатах теоретические работы, которые впоследствии привели к самому большому взрывному явлению, когда-либо осуществленному человеком». О термоядерных реакциях, называя их «гамовскими играми», Теллер говорил как о предмете особых научных достижений и заслуг Джорджа. Но чемпионом «гамовских игр» он считал Ганса Бете. Мы ничего не знаем о гамовских идеях, которые были использованы для водородной бомбы. Однажды Гамова спросили, какие свои работы он считает самыми важными, и он сказал: «Не знаю… Потенциальный барьер и затем расширяющаяся Вселенная и термоядерные реакции, объяснение источников энергии Солнца, формулы, использованные для расчетов водородной бомбы». Но не сказал, естественно, какие. Гамов шутил, что его главный вклад в американскую водородную бомбу состоит в том, что он перетащил в Америку Теллера. Но не менее важным надо считать и организацию вашингтонских конференций. Дело ведь не в одном Теллере, такая большая задача – это всегда работа многих людей. Гамов никогда не забывал космологию, науку своей юности. Всерьез он занялся ею в 1946 году и посвятил ей больше десяти лет. Он хотел «скрестить космологическую науку с ядерной физикой». Однажды нечто подобное ему удалось – скрестил ядерную физику и астрономию, продвинулся в вопросе о ядерных источниках энергии звезд. Теперь Гамов предположил, что первичное вещество мира было не только очень плотным, но и очень горячим. Сам он почему-то считал, что идея горячего начала мира принадлежит не ему, а Фридману, однако в космологических работах последнего нет ни слова о температуре ранней Вселенной. Идея Гамова состояла в том, что в горячем и плотном веществе ранней Вселенной происходили ядерные реакции, и в этом ядерном котле за несколько минут были синтезированы

10

КВАНТ 2022/№5

все химические элементы, из которых и состоит теперь все на свете. Сейчас этот процесс называется «первичный нуклеосинтез», при нем образуются элементы по литий включительно, остальные – позже. Но тогда это угадать было нельзя, не было необходимых экспериментальных данных. Расчеты ядерных превращений в условиях расширяющейся космической среды требовали немалых усилий, и Гамов привлек к ним Ральфа Альфера (астрофизика) и Роберта Хермана (астрофизика). Первая публикация, подготовленная Гамовым и Альфером, появилась в печати в 1948 году под тремя именами: Альфер, Бете, Гамов. Это самая знаменитая шутка в истории физики: ради красивого названия Гамов вписал не спросясь имя Бете, так возникла работа, ставшая сразу же знаменитой под названием DEJ -теория. Самым эффектным результатом этой теории стало предсказание космического фона излучения. Электромагнитное излучение должно было сосуществовать с горячим веществом в эпоху ранней Вселенной. Оно не исчезает при общем расширении мира и сохраняется, только сильно охлажденным, до сих пор. Гамов и его сотрудники попытались оценить, какова должна быть температура этого излучения сегодня. С учетом возможных неопределенностей, неизбежных при весьма ненадежных астрономических данных об общих параметрах Вселенной как целого, и скудных сведений о ядерных константах предсказанная температура должна была лежать в пределах от 1 до 10 К. В 1950 году в одной научно-популярной статье Гамов написал, что, скорее всего, температура космического излучения составляет примерно 3 К. Результат был получен изящным и смелым способом; и если можно говорить о «стиле» научной работы, то это был стиль последней трети века, а не его середины. Через 15 лет Арно Пензиас (радиоастрономия) и Роберт Вильсон (радиоастрономия) случайно открыли это излучение. Это было самое крупное открытие в космологии со времен открытия Эдвином Хабблом (астрономия) в 1929 году расширения Вселенной, предсказанного Фридма-

ном. Пензиас и Вильсон ничего не знали о теории Гамова. В их первой статье нет ни слова о космологии, но и некоторые физики не сразу поняли смысл открытия, и тем более далеко не все понимали, что открыто именно то, что предсказывали Гамов и его ученики. Гамову оставалось три года жизни, и он успел увидеть свой успех признанным – на симпозиуме 1967 года в Нью- Йорке Гамов принимал поздравления коллег и праздновал успех. Его Вселенная не подвела, она оказалась горячей! Через десять лет после смерти Гамова первооткрыватели Пензиас и Вильсон получили Нобелевскую премию; она присуждаются только при жизни. Почему DEJ -теория долго была незамеченной, а открытие Пензиаса и Вильсона стало случайным? Есть общий научный поток, мэйнстрим, а есть смелые поиски вбок или вовсе вверх. Концепция «горячей Вселенной» представлялась тогда маловероятной: конкуренцию ей составляли модель «холодной Вселенной» (Яков Зельдович, ядерная бомба и теорфизика) и теория стационарной Вселенной (Фред Хойл, астрофизика). Но в итоге работа Гамова и его учеников была признана. Стивен Вайнберг (теорфизика) писал: «Гамов, Альфер и Херман заслуживают колоссального уважения, помимо всего прочего, за то, что они серьезно захотели воспринять раннюю Вселенную и исследовали то, что должны сказать известные физические законы о первых трех минутах». С открытием реликтового излучения в космологии начался расцвет. Интенсивная работа, в которой участвовали чуть ли не все ведущие физики и астрономы, а также и молодые активно работающие теоретики, быстро привела к созданию на основе идей Гамова и новых наблюдательных данных весьма полной и надежной космологической теории, которая называется сейчас теорией горячей Вселенной, или теорией Большого Взрыва. Что же касается космического излучения, то в СССР его стали называть реликтовым (по предложению И.С.Шкловского), а на Западе – микроволновым. Его средняя температура

11

ГАМОВ:

ГЕОРГИЙ

АНТОНОВИЧ,

Гамов в Боулдере – читает лекции, общается со студентами и друзьями

ДЖОРДЖ,

«ДЖО»

– 2,725 К – измерена с фантастической для космологии точностью. Ныне это излучение изучают очень тщательно, оно – основной источник данных о физическом состоянии Вселенной в первые секунды ее существования. Как только кончилась война, Гамов и Тьюв возобновили вашингтонские конференции. Первая послевоенная встреча осенью 1946 года называлась «Смежные проблемы физики и биологии». С тех пор Гамов не выпускал события в биологии из поля зрения. Так паук сидит и ждет, чтоб появилась мушка; и тогда он выскакивает из засады. Это сравнение Гамов применил, когда у него спросили, чего он ждал, чтобы включиться в биологию, если интересовался ею с 1946 года. Как оказалось, чтобы включиться в биологию, ему нужно было дождаться 1953 года, приехать с кратким визитом в Калифорнийский университет в Беркли и случайно встретить там в коридоре Луиса Альвареса (атомная физика). В руках у него (этого очередного в гамовских дружеских встречах и научных приключениях Нобелевского лауреата) был свежий журнал «Nature» со статьей Джеймса Уотсона и Френсиса Крика о структуре дезоксирибонуклеиновой кислоты – ДНК. В жизни Гамова началась новая, биологическая полоса, и в этом новом жизненном и научном приключении было немало волнующего, драматического и, само собой разумеется, смешного и веселого. Гамов исходил из следующего. В основе всего живого лежат белки. Они служат строительным материалом для живых тканей, образуют гормоны, ферменты и т.д. В организме человека более миллиона различных белков. Белки строятся из 20 аминокислот; индивидуальные свойства белка определяются тем, из каких аминокислот и в какой последовательности он образован. Синтез белков управляется нуклеиновыми кислотами, в которых хранится и посредством которых передается полный набор сведений о строении белков. Уотсон и Крик показали, что запись этой информации осуществляется с помощью выстроенных друг за другом «слов», причем «буквами» для этих слов служат четы-

12

КВАНТ 2022/№5

ре нуклеотида. Для ДНК эти буквы суть аденин, гуанин, цитозин и тимин. В РНК вместо тимина присутствует урацил. Способ записи генетической информации с помощью четырехбуквенного алфавита нуклеотидов универсален, одинаков для всего живого на Земле – для животных, растений, бактерий и вирусов. Каждое слово в генетическом тексте – это название аминокислоты, каждое предложение определяет белок. Но как из букв строятся слова? Этим вопросом и задался Гамов в 1954 году. Очевидно, что число слов должно быть не меньше 20. Если допустить, что каждое слово состоит из двух букв, то таких различных пар будет $4^{2} 16$. Это мало. Гамов сделал предположение, что в каждом слове должно быть три буквы. Таких трехбуквенных слов в четырехбуквенном алфавите было бы $4^{3} 64$. Это уже не меньше, но, наоборот, больше числа аминокислот. Может быть, считать, что слова не обязательно состоят каждое из трех букв? Или, возможно, среди 64 трехбуквенных слов есть синонимы? Гамов остановился на второй возможности как более простой: пусть будет 64 слова, но несколько из них означают одну и ту же аминокислоту. Выяснить соответствие между 64 словами языка жизни и 20 аминокислотами должен эксперимент. Новые исследования Крика, работы биохимиков Маршалла Ниренберга, Северо Очоа, Хар Корана и других вскоре показали, что идея Гамова об универсальном коде с трехбуквенными словами верна. Это был триумф генетики и личный успех Гамова. Он торжествовал победу, а радоваться удаче он умел, как рассказывают, очень хорошо. В интервью 1968 года на вопрос о работе, которая доставила ему больше всего удовольствия, Гамов ответил: «Пожалуй, биология; это было нечто совсем новое, и так занятно было разгадывать коды». Гамов продолжает работать весело и с удовольствием. В те годы он придумал для своих студентов игру: они должны были представить себе цивилизацию высокого уровня, в которой не додумались только до одной вещи – до введения вращающих-

ся элементов, в частности колес. В задаче спрашивалось, какие механизмы и машины будут изобретены такой цивилизацией, как там будут жить люди. Студенты увлеклись этой игрой – писались даже романы об особенностях жизни в таком обществе, но между делом было сделано немало вполне практичных изобретений. Существование именно трехбуквенного кода ДНК, каждое такое «слово» было названо кодоном, было подтверждено экспериментально в начале 60-х годов. Нобелевской премии 1968 года были удостоены биохимики Маршалл Ниренберг, Хар Корана и Роберт Холли – имя Гамова опять-таки не всплывало. Не всегда всплывает оно даже и сейчас. Все, кто пишут о Гамове, пишут о его шутках. Одесситы со свойственным им несгибаемым юмором считают, что причиной шуток и розыгрышей Гамова было его одесское происхождение. Редкая публикация о Гамове обходится без упоминания двух его приколов. В одной из своих научных статей он сослался на публикацию Ландау в несуществующем журнале «Червоный гудок», который начали разыскивать некоторые дотошные читатели. Про другую хохму, DEJ, рассказано выше. Ходят слухи, что он попытался уговорить еще одного своего сотрудника поменять фамилию, чтобы получилось «альфа-бетагамма-дельта», но тот оказался недостаточно одесситом. Третий прикол – исследуя роль нейтрино в процессе остывания звезд, Гамов назвал это явление URCАпроцесс. Результаты были получены совместно с Марио Шёнбергом (физика звезд), с которым Гамов познакомился именно в «Казино-де-Урка» в Рио-де-Жанейро. На случай, если бы в «Physical Review» заинтересовались странным названием, Гамов заготовил объяснение – это-де сокращение от unrecordable cooling agent, недетектируемый охлаждающий агент. Западные физики сочли, что это намек на выкачивание денег из карманов посетителей игорного дома – аналогично выкачиванию энергии из звезды потоком нейтрино. Одесские физики расценили это как исчезновение денег с помощью одес-

13

ГАМОВ:

ГЕОРГИЙ

АНТОНОВИЧ,

Вот он, Боулдер – классический городок глубинки Америки. Население меньше ста тысяч человек, 300 солнечных дней в году, крупнейший университет штата Колорадо, треть населения города – студенты. Самое высокое здание города – корпус физического факультета Колорадского университета, который называется «Джордж Гамов тауэр», а если посмотреть с другого бока – то горы, конечно, выше. Потому что это горы, природа, Вселенная…

ских воров – «урок». В разных книгах и статьях упоминаются и другие его шуточки. А вот его расчеты с Шёнбергом были подтверждены не кем-нибудь, а лично взрывом сверхновой в Большом Магеллановом Облаке, ближайшей к нам галактике. Интенсивность потока нейтрино, долетевших до нас в 1987 году, подтверждает их теорию. Нейтринное цунами летело к Земле 170 тысяч лет и опоздало лишь на 0,01%: тот, кто его предсказал и кого друзья называли «Джо», умер в 1968 году. Кроме нескольких научных, Гамов написал двадцать популярных книг, переведенных на многие языки; некоторые пере-

ДЖОРДЖ,

«ДЖО»

ведены и на русский. Но никто, кажется, не попытался понять, почему они популярны. Разобраться с должной полнотой в этом вопросе нам не под силу, но кое-что сказать можно. Первое: переплетение с жизнью – задача возникает из некоторой (часто – вполне реальной) жизненной ситуации. Надо уметь увидеть в природе ситуацию, которая может быть проанализирована на некоторую глубину при опоре на определенного объема багаж и аппарат. Иными словами, решаемую, как всегда частично, задачу. Второе: обычная задача при написании научно-популярных книг – как протянуть ниточку от «научного» до «популярного», уж больно далеко ушло одно от другого, да и школьной-то физики почти никто не знает. Некоторые авторы и издатели практикуют многослойность (обычно двухслойность, предлагалось и более) текста: например, мелкий шрифт, врезы, подверстки и т.п. В некоторых книгах Гамова этот прием проведен фундаментально – более серьезные «лекции», которые слушает персонаж, чередуются с переживанием персонажем (во сне) каких-либо событий, в которых иллюстрируется прослушанное. Третье и самое редкое: тот персонаж, который у Гамова представляет науку, способен произнести и, более того, время от времени произносит «нам не известно», «науке не известно». Гамову за его книги ЮНЕСКО была присуждена «Премия Калинги» – наиболее престижная награда за популяризацию науки. Георгий Антонович (Джорж) Гамов оставил след в этом мире: «Джордж Гамов тауэр» в Боулдере, «сквер Гамова» в его родном городе Одессе и «кратер Гамова» на Луне, который смотрел бы на все это сверху, если бы не располагался на обратной стороне Луны. Поэтому кратер смотрит во Вселенную, которая так интересовала того, чьим именем он назван.

31

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Осторожно, проценты!

С.ДВОРЯНИНОВ

Дело было в 8 классе. На уроке математики. Наш учитель Иван Петрович дал нам такую задачу: В сосуд, содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? А потом добавил: «Эта задача на оценку. Кто решит, получит пятерку в журнал. Напишите на листочке свою фамилию и ответ. Листочки сдайте. Урок у нас последний, и потому сразу можете идти домой. Только не спешите!» Конечно, получить пятерку в журнал заманчиво, тем более похожие задачи мы решали. Так что довольно быстро на столе у Ивана Петровича выросла кипа листочков. Все отправились по домам, только Толик Втулкин остался в классе… А на следующий день случилось самое интересное. «Вас в классе 19 человек, ответов я получил только18, – начал Иван Петрович. Как и обещал, ставлю пятерки… Но только одному – Толе Втулкину». Как так? Класс загудел. Задача-то легкая, по сути в одно действие:

0,27 ˜ 5 5 4

1,35 9 и потому ответ: 15%.

0,15,

ШКОЛЬНИКОВ

– Что ж, в таком случае дадим слово Толику, – сказал Иван Петрович. И вот что мы услышали. – В нашем учебнике химии для 8 класса на странице 125 написано: Отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора называют массовой долей растворенного вещества. Там же даны два примера, и в обоих говорится именно о массе. Далее на странице 126 читаем про объемную долю: Аналогично массовой доле определяется и объемная доля газообразного вещества в газовой смеси. Единицы объема (литры и кубические метры) использованы в учебнике в двух примерах при описании газовых смесей. У нас же в задаче речь идет о 27-процентоном водном растворе, например соли или сахара. Количество соли и сахара в точных расчетах никогда не указывают в объемных единицах. Это только в поваренных книгах читаем: возьмите ложку соли. А математика – наука точная! Как можно получить такой раствор – известно. Берем 27 г соли и 73 г воды, или 27 кг соли и 73 кг воды. А можно взять 2,7 кг соли и 7,3 кг воды. По условию задачи такого раствора имеется 5 литров. Поскольку мы не знаем плотность раствора, то не знаем его массу и не можем узнать массу растворенной в нем соли. А какой смысл имеет используемое в приведенном решении равенство 5 4 9? Да никакого! Объем смеси не равен сумме объемов смешиваемых растворов. Это все равно, что складывать 5 яблок и 4 груши. Следовательно, задача сформулирована некорректно, решить ее невозможно, да и решать не стоит, – заключил Толик. – Вот именно за такое понимание я и поставил пятерку Толику, – торжественно произнес Иван Петрович. – Да и по химии ему надо пять поставить. В рассказе А.П.Чехова есть строчка: «Кто писал не знаю, а я дурак читаю». Так что, ребята, будьте бдительны. Не решайте дефектные задачи!

… пусты и полны заблуждений те науки, которые не порождены опытом – отцом всякой достоверности… Леонардо да Винчи

Природа дала нам глаза, чтобы мы узнали ее творения. Но она наделила нас также мозгом, способным понять эти творения. Галилео Галилей

… в противность ряду опытов не следует измышлять на авось каких-нибудь бреден. Исаак Ньютон

Время от времени следует производить самые дикие эксперименты. Из них почти никогда ничего не выходит, но если они удаются, то результат бывает потрясающим. Эразм Дарвин

Чем проще материалы иллюстративного опыта и чем более они привычны учащемуся, тем глубже он поймет идею, которую должен иллюстрировать этот опыт. Джеймс Клерк Максвелл Если последовательно опускать даже нетренированную руку в два сосуда с водой, то, как мы нашли на опыте, можно обнаружить разность температур меньше одной четверти градуса Цельсия. Уильям Томсон (лорд Кельвин) … опыт – единственный источник истины, только опыт может научить нас чему-либо новому… Анри Пуанкаре

Без экспериментаторов теоретики скисают. Лев Ландау

А так ли хорошо знакомы вам

ОПЫТЫ и НАБЛЮДЕНИЯ

Впереди лето. Конечно, каникулы – прекрасная возможность и отдохнуть, и развлечься на даче или в лагере, дома или на природе. Но там же вполне реально на практике, «вживую», убедиться в действии и всемогуществе физических законов – ведь они проросли из опытов и наблюдений. И необязательно для этого располагать сложным оборудованием, зачастую хватает лишь внимательного взгляда, простейших подручных средств, смекалки и элементарных расчетов. Надеемся, вы не проведете ближайшие месяцы в праздности, а дадите волю любознательности и сообразительности, поработаете и руками, и головой, найдете ответы на накопившиеся вопросы и озадачитесь новыми в преддверии будущих учебных лет. И наш журнал – вам в помощь. Предлагаем «для разминки» горстку летних упражнений.

Вопросы и задачи

1. При движении Земли по эллиптической орбите скорость ее все время меняется. Смогли бы вы обнаружить соответ-

?

ствующее ускорение, располагая, например, уровнем с $жидкостью?^{2.}$ Разложите на столе носовой платок и поставьте на него горлышком вниз пустую стеклянную бутылку. Как вытянуть платок из-под бутылки, не прикасаясь к $ней?^{3.}$ Вы встретили вечером двух ребят, которые катаются с одинаковой скоростью на велосипедах с разными по диаметру колесами. У кого из них ярче горит фонарик, работающий от генератора на ободе $колеса?^{4.}$ Как бросить на пол с высоты, например, 1 метр картонную (плоскую) спичку, чтобы она упала на $ребро?^{5.}$ Удастся ли вам поставить не разбитое яйцо вертикально на ровной поверхности (т.е. решить задачу о колумбовом $яйце)?^{6.}$ Переверните полную бутылку горлышком вниз. Почему вода выливается с $бульканьем?^{7.}$ Разложите зажженные спички по металлической, каменной и деревянной поверхностям. Какая из спичек будет гореть дольше, а какая быстрее потухнет?

8. Жарко, а ваш арбуз – теплый. Оказывается, если его опустить в нитяной сетке в очень горячую воду (но не больше, чем на полминуты!), то, разрезав его через 5–10 минут, вы обнаружите чуть ли не замороженную сердцевину. Как это $объяснить?^{9.}$ Почему роса вечером бывает теплее, чем $утром?^{10.}$ Как вы думаете, действовал бы имеющийся у вас термометр, если бы жидкость в нем имела тот же коэффициент теплового расширения, что и $стекло?^{11.}$ Обратите внимание на то, что летом полная Луна видна на небе меньше времени, чем зимой. Отчего $так?^{12.}$ Как меняются мощность и яркость лампы накаливания со $временем?^{13.}$ По нити лампы и по подводящим проводам идет один и тот же ток. Почему же нить раскаляется, а провода на ощупь остаются $холодными?^{14.}$ Если у вас рассыпались по полу мелкие гвозди, то как проще всего собрать их вместе и всыпать (именно всыпать!) в коробку?

Любопытно, что…

… в основе закона Архимеда лежал опытный факт: при погружении тела в воду оно становится легче. Поэтому наблюдения ученого в ванне порой называют первым в истории физическим экспериментом, а его закон – первым физическим законом. … проведя опыты с маятниками равной длины, Галилей пришел к замечательному выводу о равенстве скоростей свободного падения тел независимо от вида вещества. … более чем три века спустя участник экспедиции «Аполлон-15» астронавт Дейв Скотт, находясь на поверхности Луны, выпустил из рук молоток и перышко, и те прилунились одновременно – в полном согласии с законом Галилея. …научный соперник Ньютона, неутомимый Роберт Гук создал множество приборов для проведения экспериментов в Лондонском Королевском обществе. Скон- струировав хронометр со спиральной пружиной и исследуя возникающие в ней деформации, Гук установил закон упругости для твердых тел. … фактически первое экспериментальное свидетельство вращения Земли вокруг своей оси получил в 1851 году французский ученый Леон Фуко. Небольшой тяжелый шар, подвешенный на длинной проволоке, во время колебаний медленно поворачивался относительно земного наблюдателя. Поскольку плоскость колебаний маятника сохраняет свое положение в инерциальном пространстве, это доказывает, что поворачивается Земля. … опыт 1927 года американских физиков Дэвиссона и Джермера по бомбардировке электронами кристалла никеля блестяще подтвердил гипотезу де Бройля о связи между волнами и частицами – корпускулярно-волновом дуализме. … молодой немецкий экспериментатор Рудольф Мёссбауэр, исследуя поглощение и рассеяние гамма-квантов с помощью патефона с заводной ручкой (!), открыл в 1958 году эффект, удостоенный Нобелевской премии. … получить графен – двумерный материал, состоящий из углерода одноатомной толщины, – будущим нобелевским лауреатам, выпускникам Физтеха Андрею Гейму и Константину Новоселову удалось буквально «на коленке», используя простейшую технологию с обычной липкой лентой.

Что читать в «Кванте» об опытах и наблюдениях

(публикации последних лет)

1. «Наполеон-водолаз и Фейнман-экспериментатор» – 2017, №4, с. 42; 2. «Наблюдая за струей воды…» – 2017, №8, с. 30; 3. «Опыт по Галилею» – 2019, №4, с. 26; 4. «Наблюдения над туманом» – 2020, №1, с. 62; 5. «Загадка плоского стекла» – 2021, №9, с. 43; 6. «Три истории про воду» – 2022, №2, с. 40; 7. «Наблюдение двупреломления в кристалле кальцита» – 2022, №3, с. 33.

Материал подготовил А. Леонович

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Как переформулировать задачу?

Ю.БЛИНКОВ

Консерватория. Два студента разговаривают: – Завтра сдавать курсовую по композиции, а у меня ничего не готово. – А ты сыграй сочинение своего преподавателя, только наоборот, задом наперед. – Да пробовал уже, Моцарт получается…

В СТАТЬЕ БУДЕТ РАССМОТРЕНА конструкция, связанная с ортоцентром треугольника. Используя классические факты, можно заметить эквивалентность двух вроде бы изначально не похожих друг на друга задач, переформулировать уже известную олимпиадную задачу или попытаться придумать свою. Об этом и пойдет речь. Итак, вспомним следующий факт. Факт 1. Высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Напомним, что ортотреугольник – это треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника является центром вписанной окружности ортотреугольника, а вершины треугольника – центрами его вневписанных окружностей.

Упражнение 1. Докажите факт 1. Указание (рис. 1). Можно использовать, например, то, что точки $A,^{A} 1, B и^{B} 1$ (и аналогичные четверки точек) лежат на одной окружности. Из этого следует, что угол B 1 A 1 C равен углу BAC (и аналогичные равенства углов).

Как же можно использовать эти факты? Пусть в какой-то задаче речь идет о высотах треугольника. Тогда задачу можно переформулировать, заменив треугольник на ортотреугольник, а высоты – на биссектри-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220503

Рис. 1

сы. И наоборот, если в задаче рассматриваются, например, биссектрисы внутренних или внешних углов и точки их пересечения (центры вписанных или вневписанных окружностей), то можно заменить, например, центры вневписанных окружностей на вершины треугольника, его биссектрисы – на высоты полученного треугольника и, соответственно, инцентр исходного – на ортоцентр полученного. Чем может быть привлекательна такая переформулировка? Во-первых, это приводит к другим способам доказательств известных утверждений. Рассмотрим классические примеры. Пример 1. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство (см. рис. 1). Для любого треугольника рассмотрим треугольник, образованный основаниями его высот (ортотреугольник). Тогда высоты будут являться биссектрисами ортотреугольника, которые, как известно, пересекаются в одной точке. Может возникнуть вопрос: а как быть с тупоугольным треугольником? На самом деле, проблем никаких нет: прямые, содержащие две высоты, станут биссектрисами внешних углов ортотреугольника, и пересечением будет являться центр вневписанной окружности ортотреугольника (вершина исходного треугольника). Пример 2 (окружность девяти точек). Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих вершину с ортоцентром, лежат на одной окружности. Доказательство (рис. 2). $Пусть_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ – ортотреугольник треугольника ABC, M – середина AB, K – середина CH, где H – ортоцентр. Достаточно показать, что точки M и K лежат на окружности, описанной

35

ШКОЛА

В

«КВАНТЕ»

Рис. 4

Рис. 2

около $треугольника_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$. Заметим, что обе эти точки равноудалены $от_{1}^{A} и_{1}^{B}$ и лежат на внешней и, соответственно, внутренней биссектрисах $угла_{1}^{A} C_{1}^{B} 1$. Осталось заметить, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса противолежащего угла (внутреннего или внешнего) пересекаются на описанной окружности треугольника. Во-вторых, мы можем переформулировать уже известные задачи и получать «новые» и, наоборот, решения незнакомых задач сводить к уже известным. Для этого потребуется вспомнить еще некоторые факты, связанные с ортоцентром треугольника. Факт $2. Пусть_{1}^{AA} и_{1}^{BB}$ – высоты остроугольного треугольника АВС, O – центр описанной окружности. Тогда прямые $CO и_{1}^{A} B_{1}$ перпендикулярны.

Упражнение 2. Докажите факт 2. Указание (рис. 3). Воспользуйтесь тем, что угол B 1 A 1 C равен углу BAC и тем, что угол BCO дополняет угол BAC до 90q.

Факт 3. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Рис. 3

Упражнение 3. Докажите факт 3. Указание (рис. 4). Пусть O – центр описанной окружности, H – ортоцентр, $C_{0}, B_{0}, K$ и L – середины AB, AC, CH и BH соответственно. Докажите равенство треугольников $C_{0} OB_{0}$ и KHL. Возможны и другие способы доказательства.

Факт 4. Пусть высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Тогда радиусы окружностей, описанных около треугольников ABH, BCH, ACH и ABC, равны.

Упражнение 4. Докажите факт 4. Указание. Используйте симметрию относительно прямой AC или следствие из теоремы синусов.

Отметим, что центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ACH, симметричны относительно прямой AC. Теперь рассмотрим несколько задач. Для начала – классическая задача. Задача 1. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ вневписанных окружностей треугольника ABC на его стороны, пересекаются в одной точке (рис. 5,а). Отметим, что задача допускает различные способы реше-

Рис. 5

36

КВАН T 2022/№5

ния, в том числе, использование теоремы Карно. Но проще всего свести ее к уже известной. В качестве треугольника, указанного в задаче, рассмотрим ортотреугольник треугольника АВС. Тогда вершины треугольника АВС – центры вневписанных окружностей и задача будет выглядеть так (рис. 5,б): $Пусть_{1}^{AA},_{1}^{BB} и_{1}^{CC}$ – высоты остроугольного треугольника АВС. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из В $на_{1}^{A} C_{1}$, из А $на_{1}^{B} C_{1}$ и из С $на_{1}^{A} B_{1}$, пересекаются в одной точке. Доказательство. Согласно факту 2, указанные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности треугольника АВС. Теперь – несколько олимпиадных задач. Задача 2 (Московская устная олимпиада по геометрии, 2012). В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки $I_{A}, I_{C}$ – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и AB соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника $II_{A} I_{C}$. Докажите, $что^{OI} A^{AC}$ (рис. 6,а). Доказательство. В качестве треугольника, указанного в задаче, рассмотрим ортотреугольник треугольника АВС. Тогда задача переформулируется следующим образом: $Высоты_{1}^{AA} и_{1}^{CC}$ треугольника ABC пересекаются в точке $H,_{1}^{O}$ – центр описанной окружности треугольника AHC. Докажите, $что_{1}^{O} H A_{1}^{A} C_{1}$. Этот факт нам уже знаком и является классической задачей (рис. 6,б). Действительно, если O – центр окружности, описанной около треуголь-

Рис. 6

ника ABC, то О $и_{1}^{O}$ симметричны относительно AC (см. факт 4). Учитывая факт 3, получим, $что_{1}^{BOO} H$ – параллелограмм, откуда, используя факт 2, и можно получить утверждение задачи.

Упражнение 5. Попробуйте решить эту задачу в первоначальной формулировке.

Теперь чуть более сложная задача. Задача 3 (Московская устная олимпиада по геометрии, 2016). Точки $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из $I_{A}$ на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из $I_{B}$ на BC, в точке $X_{C}$. Аналогично определяются точки $X_{A}$ и $X_{B}$. Докажите, что прямые $I_{A} X_{A}, I_{B} X_{B}$ и $I_{C} X_{C}$ пересекаются в одной точке. Доказательство. Рассмотрим треугольник $I_{A} I_{B} I_{C}$ (рис. 7,а). Заметим, что перпендику-

Рис. 7

38

КВАН T 2022/№5

Мы же попробуем ее переформулировать (аналогичные рассуждения приводятся в статье [2]). В качестве треугольника, указанного в задаче, возьмем $ортотреугольник_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ треугольника ABC, а в качестве I – ортоцентр треугольника ABC. Тогда M – середина $стороны_{1}^{A} C_{1}$ ортотреугольника. А чем же является точка N? Вспомним, что описанная окружность ортотреугольника является окружностью девяти точек треугольника ABC. Середина стороны AC на ней лежит и является пересечением серединного перпендикуляра $к_{1}^{A} C_{1}$ и биссектрисы внешнего $угла_{1}^{B}$ (см. доказательство примера 2). Следовательно, в качестве точки N можно рассмотреть середину AC. Учитывая, что $точка_{1}^{B}$ также лежит на AC, задача переформулируется следующим образом: $Высоты_{1}^{AA} и_{1}^{CC}$ треугольника ABC пересекаются в точке H. Пусть N и M – середины $AC и_{1}^{A} C_{1}$ соответственно. Докажите, что ‘ $HMA_{1}$ ‘ HNC. Но эта задача нам знакома, ее решение следует из подобия треугольников $HMA_{1}$ и HNC, которое, в свою очередь, легко получить из подобия $треугольников_{1}^{C} HA_{1}$ и AHC.

Упражнение 11. Докажите это подобие.

Попробуем теперь придумать задачу сами. Возьмем, например, такой факт. Факт $5. Пусть_{1}^{B} и_{1}^{A}$ – точки касания вневписанных окружностей треугольника АВС со сторонами АС и BC соответственно. $Тогда_{1}^{BA} AB_{1}$.

Упражнение 12. Докажите факт 5. Указание (рис. 9,а). Используйте равенство отрезков касательных.

Попробуем переформулировать? Обозначим треугольник, указанный в условии, $через_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$, и пусть он является ортотреугольником треугольника ABC. Тогда указанные точки касания – основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и B на соответствующие стороны ортотреугольника. Обозначив точки касания $через_{2}^{A} и_{2}^{B}, получим_{1}^{A} B_{2}^{B} 1_{2}^{A}$ (рис. 9,б). Задача не кажется совсем известной, но узнать можно… Попробуем еще чуть-чуть переформулировать. Из задачи 1 нам известно, что перпендикуляры из вершин треугольника к соответствующим сторонам ортотреугольника пересекаются в одной точке

Рис. 9

(центре О описанной окружности треугольника). Используя эти соображения, получим следующую «новую» задачу: Задача 7. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA c и BB c. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что расстояние от $точки^{A} c$ до прямой BO равно расстоянию от $точки^{B} c$ до прямой AO. В действительности эта задача не нова: она предлагалась на Московской математической олимпиаде в 2019 году. Ну что ж, мы немного опоздали. Попробуем еще?

Упражнения для самостоятельного решения

Переформулируйте следующие утверждения: а) Факт 4. б) Биссектрисы двух внутренних и одного внешнего угла неравнобедренного треугольника пересекают прямые, содержащие противоположные стороны, в трех точках, лежащих на одной прямой. в) Описанная окружность треугольника делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей этого треугольника.

ОЛ И МП И АДЫ

XLIII Турнир городов

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

$1 (3)^{1}$. Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперед от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного? А.Рубин

2 (4). Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом еще на 5 и так далее. Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи? С.Дориченко

3 (5). На Поле Чудес выросло 11 золотых монет, но стало известно, что ровно четыре из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Лиса Алиса и Буратино собрали монеты и стали их делить. Алиса собирается отдать Буратино четыре монеты, но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь? А.Грибалко

4 (5). На диагонали AC квадрата ABCD взята точка P. Пусть H – точка пересечения высот треугольника APD, M – середина AD и N – середина CD. Докажите, что прямые PN и MH взаимно перпендикулярны. И.Кухарчук

5 (6). Прямоугольник 1 u 3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

от друга разбивают доску 20 u 21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе Вася независимо от действий Пети? А.Глебов

10–11 классы

1 (4). Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали k умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных k чисел нет цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно k раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи. А.Грибалко 2 (4). На Поле Чудес выросло 8 золотых монет, но стало известно, что ровно три из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Лиса Алиса и Буратино собрали монеты и стали их делить. Алиса собирается отдать Буратино три монеты, но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь? А.Грибалко 3 (5). Пусть n – натуральное число. Назовем последовательность $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ интересной, если для каждого i 1, 2,…, n верно одно из равенств $a i^{i}$ или $a i^{i} 1$. Назовем интересную последовательность четной, если сумма ее членов четна, и нечетной – если иначе. Для каждой нечетной интересной последовательности нашли произведение ее чисел и записали его на первый листок. Для каждой четной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от n.) А.Глебов 4 (5). См. задачу 5 для 8–9 классов. 5 (6). Четырехугольник ABCD вписан в окружность Z с центром в точке O. Описан-

51

ОЛ И МП И АДЫ

7. Звездолет находится в полупространстве на расстоянии a от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолет может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолет гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной а) (6) не более 14а; б) (6) не более 13а? М.Евдокимов

Устный тур для 11 класса

1. Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Еще он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень? Б.Френкин

2. Назовем расположенный в пространстве треугольник ABC удобным, если для любой точки P вне его плоскости из отрезков PA, PB и PC можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник? Д.Бродский

3. Дан клетчатый $квадрат^{n} u^{n}, где^{n}$! 1. Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть x – количество слов в кроссворде, y – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения x y при данном n. Б.Френкин

4. На доске написана функция sin x cos x. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух

написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных x некоторой константе c. Чему может равняться c? М.Евдокимов

5. Дан неравнобедренный треугольник ABC. Выберем произвольную окружность Z, касающуюся описанной окружности треугольника ABC внутренним образом в точке B и не пересекающую прямую AC. Отметим на Z точки P и Q так, чтобы прямые AP и CQ касались Z, а отрезки AP и CQ пересекались внутри треугольника ABC. Докажите, что все полученные таким образом прямые PQ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности Z. А.Марданов

6. На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве а) приписывать А слева; б) приписывать Б справа; в) одновременно приписывать Б слева и А справа. Например, БААБ так получить можно $(^{A} o$ БАА o БААБ ), а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном n половину слов длины n получить можно, а другую половину – нельзя. Фольклор, предложил А.Шень

Материал подготовили: Е.Бакаев, Н.Белухов, И.Богданов, Д.Бродский, А.Глебов, А.Грибалко, С.Дориченко, М.Евдокимов, А.Заславский, П.Кожевников, Э.Лю, М.Малкин, А.Марданов, Л.Медников, В.Ретинский, М.Святловский, А.Тертерян, А.Толпыго, Б.Френкин, И.Фролов, А.Шень

52

КВАН T 2022/№5

Всероссийская олимпиада по физике имени Дж.К.Максвелла

Заключительный этап

Теоретический тур

7 класс

Задача 1. Связанные препятствия Между источником сигнала S и приемником P перпендикулярно прямой, соединяющей их, движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями две пары связанных тонкой нитью пластин (рис. 1). Если

Задача 2. Секретный продукт При производстве суперсекретного продукта в заводских условиях в тару непрерывно заливают три различных ингредиента: сначала «красный», затем «зеленый» и, наконец, «синий» (настоящие названия засекречены). Все ингредиенты заливаются с одинаковым постоянным объемным расходом. Сотрудники предприятия построили график зависимости массы продукта от времени в процессе производства. Но в целях соблюдения секретности график был стерт сотрудниками службы безопасности вместе с единицами измерений по осям. В то же время на нем (рис. 2) все еще можно увидеть 4

Рис. 1

сигнал по пути от источника к приемнику проходит через одну из пластин, приемник зажигает на дисплее желтую лампочку, если через обе – красную. В момент прохождения пластин мимо источника сначала на $t_{1} 1$ с на дисплее зажглась красная лампочка, затем $t_{2} 2$ с горела желтая, а потом в течение $t_{3} 6$ с – опять красная. Ни до, ни после этого лампочки не загорались. Известно, что первые пластины и справа и слева имеют длину L 30 см, вторая пластина справа имеет длину 3L. Считайте, что сигнал от источника к приемнику передается мгновенно. 1) Определите длину L x второй пластины слева, а также длины соединяющих пластины нитей $( l_{1}$ – левой и $l_{2}$ – правой). Длины нитей отличны от нуля. 2) Найдите скорости движения левых $( v_{1} )$ и правых $( v_{2} )$ пластин. А.Евсеев

Рис. 2

точки, одна из которых соответствует первому моменту полной готовности продукта. Из сведений, полученных по различным каналам, также известно, что плотности каких-то двух ингредиентов равны U и 2U. 1) Определите плотности «красного», «зеленого» и «синего» ингредиентов. 2) Восстановите утраченный график. 3) Найдите плотность готового продукта. 4) Какую долю от общего объема составляют объемы каждого из ингредиентов? Примечание. Объемным расходом назы-

’ V, где ’ V – объем $'^{t}$ ингредиента, заливаемого в тару за время ’ t.

вается величина P

Объем готового продукта равен сумме объемов ингредиентов. А.Евсеев

55

ОЛ И МП И АДЫ

Рис. 2

но, что удары шайб о стену упругие, а при центральном столкновении самих шайб рассеивается доля D ( 0 D 1 ) их суммарной кинетической энергии в системе отсчета их центра масс. Постройте качественный график зависимости расстояния l между первой шайбой и стеной от $времени^{t,}$ отсчитываемого от момента первого столкновения шайб. Отметьте на нем характерные точки. Е.Весенин

Рис. 4

Рис. 5

Задача 4. Ледяная картина После добавления в сосуд с водой некоторого количества льда в нем устанавливается тепловое равновесие. На рисунке 3 приведе-

Рис. 6

Рис. 3

на диаграмма, на которой выделены области с указанием конечного состояния содержимого сосуда в зависимости от температуры $t_{л}$ и массы $m_{л}$ добавленного льда. 1) Какая температура установится в сосуде, если в него добавить 0,5 кг льда при температуре 10 q C? 2) Определите начальную $температуру^{t}$ и массу m воды в сосуде. Тепловыми потерями и теплоемкостью сосуда можно пренебречь. Содержимое из сосуда не выливается. Удельная теплота плавления льда O 330 кДж кг, удельная теплоемкость льда $c_{л} 2100$ Дж к㠘 q С, удельная теплоемкость воды c 4200 Дж к㠘 q С. М.Замятнин

Задача 5. Электроцикл Фрагмент электрической цепи состоит из соединенных параллельно диодов, резисторов, ключей и идеального вольтметра (рис. 4).

Диоды $D_{1}$ и $D_{2}$ открываются при разных напряжениях $( U_{01} U_{02} ).$ Их вольт-амперная характеристика приведена на рисунке 5. На диаграмме (рис. 6) изображен циклический процесс 1–2–3–4–1, отражающий связь силы тока I, входящего в фрагмент, и показаний вольтметра U. Масштаб по оси ординат утерян, но известно, что в течение цикла сила тока I изменялась с постоянной по модулю скоростью k 1 мА с, а количество теплоты, выделившееся на резисторах в процессе 2–3, равно $Q_{23} 6,4$ Дж. Опишите возможную последовательность действий с ключами, которая приведет к такому виду циклического процесса. Определите: 1) напряжения открытия диодов $U_{01}$ и $U_{02}$; 2) сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$; 3) время W, которое длился цикл; 4) количество теплоты $Q_{41}$, выделившееся на резисторах на участке 4–1. Д.Рубцов

10 класс

Задача 1. Три тигра Три тигра одновременно начинают движение по горизонтальной поверхности с постоянными по модулю скоростями. Скорость первого тигра в любой момент времени направлена на второго, скорость второго – на

59

ОЛ И МП И АДЫ

фик зависимости напряжения на конденсаторе $U_{C}$ от силы тока в цепи I. Точка 1 соответствует моменту времени начала протекания тока, точка 2 – достижению максимального напряжения на конденсаторе, а пунктирная линия 23 – прекращению протекания в цепи электрического тока.

2. Найдите $U_{0}, R$ и A. 3) Найдите количество теплоты Q R, выделившееся на резисторе за все время протекания тока в цепи. 4) Определите время W, в течение которого в цепи протекал ток.

А.Уймин

Победители олимпиады

9 класс

Гаранов Илья – Москва, Кобозев Артем – Москва, Прохоров Павел – Москва, Чайка Максим – Москва, Винокурова Елизавета – Тюменская область, Муравьев Михаил – Кировская область, Иванов Максим – Пензенская область, Битлев Роберт – Санкт-Петербург (8 класс), Чувилин Владислав – Москва,

Аверьянов Александр – Москва;

Куимов Данила – Кировская область;

10 класс

11 класс

Душанин Алексей – Московская область, Ершов Александр – Московская область, Буторин Глеб – Москва, Стеценко Георгий – Санкт-Петербург, Бобков Вячеслав – Москва (9 класс), Паюсов Никита – Кировская область, Мякутин Иван – Москва, Важенин Юрий – Москва, Кировичев Сергей – Санкт-Петербург, Гаврилов Даниил – Московская область (9 класс),

Калашников Олег – Московская область, Ерин Вадим – Московская область, Гладышев Илья – Москва, Гуляев Артем – Москва, Яковлев Алексей – Москва, Пермяков Максим – Республика Мордовия, Терехова Ольга – Московская область, Кравацкий Алексей – Москва, Виноградов Иван – Санкт-Петербург.

Публикацию подготовил В.Слободянин

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №4)

1. Один из возможных примеров приведен на рисунке 1.

Рис. 2

Рис. 1

2. 769999. Первое решение. Сумма пяти последних цифр числа по условию делится нацело на 6 (частное равно первой цифре). Сумма четырех последних цифр числа также делится нацело на 6 (частное равно второй цифре). Поэтому вторая цифра, как разность двух чисел, делящихся на 6, также делится на 6. Значит, вторая цифра 0 или 6. Если она равна 0, то и сумма последних четырех цифр также равна 0, а значит, и первая цифра равна 0, но шестизначное число с нуля начинаться не может. Итак, этот вариант не подходит, и вторая цифра равняется 6. Тогда сумма последних четырех цифр $равняется^{6} ˜^{6} 36$, а значит, все они равны 9. Наконец, сумма последних пяти цифр равняется 42, и, следовательно, первая цифра $равняется^{42} :^{6} 7$. Тем самым искомое число – это 769999. Второе решение. Сумма последних 4 цифр в 6 раз больше, чем вторая цифра, значит, сумма последних 5 цифр равна 7 вторым и равна 6 первым цифрам. Следовательно, 7 вторых цифр равны 6 первым, значит, первая цифра равна 7, а вторая равна 6; тогда сумма последних четырех $равна^{36,}$ а это достижимо, только если все 4 последние цифры – девятки. Комментарий. Можно решить задачу, перебрав все возможные варианты (от 0 до 9) значения второй цифры числа. Например, если эта цифра равна 9, то сумма цифр правее нее в 6 раз больше, $т.е.^{9} ˜^{6} 54$, но тогда сумма всех цифр правее первой $равна^{9} 54^{63}$. Так как число 63 не делится на 6, вариант, что вторая цифра 9, не подходит и т.д. 3. а) Ответ показан на рисунке 2. б) Максимальное число мест для задумчивых мышек равно 26 (рис.3). Комментарии. 1. В любом примере для пункта б) один из концов каждого из следующих 10

Рис. 3

Рис. 4

отрезков должен быть свободен (если отмечены оба конца, то куски сыра должны располагаться на прямой, перпендикулярной этому отрезку, а значит, подходящих мест будет ровно 6; рис. 4). Отсюда можно вывести и то, что больше 26 задумчивых мышек быть не может: если один из концов свободен, то у нас есть минимум 10 неотмеченных перекрестков. 2. Сюжет задачи отсылает к известному мысленному эксперименту, наиболее ярко описанному немецким математиком и философом рубежа XVII–XVIII веков Готфридом Вильгельмом Лейбницем: «Голодный осел, оказавшийся на одинаковом расстоянии от двух совершенно одинаковых охапок сена, умрет с голоду, так и не выбрав, какую съесть». Этот эксперимент придуман не Лейбницем, он встречается и у других философов, рассуждавших о свободе выбора – у нидерландского философа XVII века Бенедикта Спинозы и даже у древнегреческого ученого Аристотеля в его трактате «О небе», где он иронически приведен в споре с софистами в качестве примера абсурдного умозаключения. А самого осла обычно называют буридановым в честь французского философа XIV века Жана Буридана. Выражение «буриданов осел» вошло в язык как обозначение нерешительного, сомневающегося, колеблющегося человека.