Квант 2022, №6 · Страницы

8

КВАНТ 2022/№6

жащими, соответственно, минимально возможное нечетное и четное количество чисел. Формальное доказательство мы оставляем нашим читателям в качестве не очень сложного упражнения. Таким образом, можно считать, что задача 2 нами полностью решена – и ответ и решение оказались довольно-таки прямолинейными. Попробуем теперь исследовать вопрос о нетранзитивности в другом направлении. Мы видели, что в цепочке из примера 2 все вероятности выигрыша p A f B, p B f C и p C f A равны 5 9, что означает довольно маленький средний выигрыш – каждый набор выигрывает у следующего в 5 случаях из 9, но в 4 случаях проигрывает. Нам хотелось бы научиться выигрывать как можно больше – так на сколько же могут все вероятности выигрыша в цепочке превышать 1 2? Может ли, например, в нетранзитивной цепочке каждый набор быть как минимум в два раза сильнее, чем следующий, т.е. выигрывать в два раза чаще, чем проигрывать? Ответ на этот вопрос положителен. И в самом деле, в наборе кубиков Эфрона (пример 3) каждый кубик ровно в два раза

сильнее следующего, поскольку вероятность выигрыша в этой цепочке всегда равна 2 3. Надо отметить, однако, что это возможно только потому, что цепочка Эфрона состоит из четырех кубиков. Для трех кубиков это было бы невозможно. Задача 3. Даны три шестигранных кубика A, B и C. Докажите, что по крайней мере одно из трех чисел $p A^{f} B, p B f C$ и p C f A не превосходит 7 12. А может быть, есть такая нетранзитивная цепочка, где каждый набор в три раза сильнее следующего за ним? Или даже в пять раз сильнее? А вот ответы на эти два вопроса оказываются отрицательными, причем вне зависимости от длины цепочки и размера наборов чисел.

Литература

1. H.Steinhaus, S.Trybula. On a Paradox in Applied Probabilities. – Bull. Acad. Polon. Sci., 7 (1959), p.67–69. 2. M.Гарднер. Крестики-нолики. – М.: Мир, 1988.

(Продолжение следует)

Вниманию наших читателей

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»^{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

Бруски Женая–Люка

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

Д.ЗЛАТОПОЛЬСКИЙ

ОСТАРИННОМ СЧЕТНОМ ПРИборе – так называемых «палочках Непера» – рассказывается во многих источниках. Прибор, впервые описанный в книге «Рабдология» («Rabdologi seu Numerationis per Virgulas libri duo») шотландского барона и любителя математики Джона Непера (кстати – первым предложившего понятие логарифма), изданной в 1617 году, позволял быстро получать произведение многозначного числа на однозначное. Он состоял из прямоугольных брусков (рис. 1); в верхней части брусков указыва-

Палочки с цифрами числа-множимого размещались так, чтобы в верхней части было представлено это $число^{1}$, а слева от них располагалась вспомогательная палочка (рис.3). Затем выделялся ряд, соответствующий числу-множителю на вспомогательной палочке. Результат определялся следующим образом.

Рис. 3

Рис. 1

лась та или иная цифра, а ниже были записаны пары цифр, разделенных наклонной чертой. Что за цифры нанесены на палочках, вы, конечно, уже поняли. Например, на палочке с цифрой семь – это цифры произведения числа 7 на 2, 3, …, 9. Аналогично устроены и другие палочки. В комплект прибора входила также палочка с цифрами 2, 3, …, 9 (рис. 2). Рис. 2 Назовем ее «вспомогательной». Как определялся результат умножения? Рассмотрим пример определения произведения числа 5619 на 5.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220603

Последняя цифра произведения – 5 – равна цифре под наклонной чертой на крайней правой палочке. Предпоследняя – это сумма цифры над чертой на крайней правой палочке – 4 – и цифры под чертой на предпоследней палочке – 5, т.е. 9. Аналогично определялись остальные цифры (справа налево): 0 + 0 = 0, 3 + 5 = 8, 2 (первая цифра результата). Все произведение равно 28095. Конечно, были возможны случаи, когда при определении очередной цифры имел место перенос единицы в уме в соседний слева разряд, где она также должна быть учтена (убедитесь в этом, например, для случая умножения числа 8365 на 8). Существенным недостатком палочек Непера было то, что приходилось при определении очередной цифры произведения

1 Конечно, в наборе должны были присутствовать по нескольку палочек с одной и той же цифрой в верхней части.

19

ИЗ

ИСТОРИИ

НА У КИ

Рис. 4

складывать числа в уме, часто с учетом переноса из разряда справа, и запоминать сумму. В 80-х годах XIX века французский инженер Анри Женай по предложению математика Эдуарда Люка автоматизировал указанные вычисления. Прибор, получивший название «Бруски Женая– Люка», показан на рисунке 4. Он состоял из ряда узких деревянных брусков, на длинных гранях которых были изображены цифры и темные треугольники. Как же работал этот прибор? Прежде чем ответить на этот вопрос, объясним, почему на нем множество цифр расположено именно так и что это за темные треугольники. Рассмотрим умножение 10-значного числа на однозначное, приняв при этом, что все цифры множимого различны, например 2607194385. Поскольку результат может быть и 11- значным, составим таблицу с 11 отдельными табличками – это будут наши «бруски».

В верхней части табличек укажем соответствующие цифры множимого (рис.5). Крайнюю левую табличку в дальнейшем будем называть «базовой». Разделим ее на два столбца. В первом столбце базовой таблички предусмотрим 8 клеток с возможными цифрами множителя (2–9), а во втором столбце для каждой цифры запишем все возможные значения первой цифры произведения на нее. Какими они могут быть, эти первые цифры? При умножении на однозначное $число^{n}$ первая цифра произведения может быть равна $1, 2, …,^{n}$ – 1. Запишем это в таблицу (цифры синего цвета), учтя также цифру 0 (искомое произведение может быть и 10-значным). В каждой из табличек-брусков, кроме базовой левой, запишем также возможные значения количества единиц в произведении цифры в ее верхней части на соответствующую цифру в базовой таблице. Минимальная цифра единиц (без учета возможного переноса из разряда справа) рав-

20

Рис. 5

КВАНТ 2022/№6

на последней цифре указанного произведения и выделена в таблице красным цветом. Учтем также перенос, имея в виду, что при умножении $на^{b}$ в базовой табличке он может быть равен $1, 2, …,^{b}$ – 1 (убедитесь в этом!). Если сумма с учетом переноса получается двузначная – запишем только единицы. Теперь можно переходить к вычислению произведений. Предположим, мы ищем произведение 2607194385 и 4. В этом случае нас будет интересовать фрагмент всей таблицы рисунка 5, относящийся к цифре 4 на базовой табличке (рис. 6). Рис. 6

Последняя цифра произведения равна 0, при этом имеет место перенос двойки в соседнюю табличку. В ней должна использоваться цифра 4 (2 + 2): за счет переноса двойки происходит сдвиг на две позиции вниз. Цифра 4 и будет второй справа цифрой результата. При этом также произойдет перенос тройки в соседний старший разряд. В нем должна использоваться цифра 5 (2 + 3). Это будет третья справа цифра искомого произведения. В следующем разряде учет переноса единицы дает очередную цифру 7 (6 + 1). Продолжая перемещаться справа налево, учитывая возможные переносы, получим цифры, на рисунке 6 они обведены красными кружочками. Итак, результат равен 10428777540. Эффектно, не правда ли? Но это еще не все. Можно ли учитывать перенос автоматически, а не проводить расчеты и каждый раз рисовать стрелки, как это делали мы? Оказывается – можно! Это и было реализовано Анри Женаем. Темные стрелкитреугольники на брусках как раз и делают этот перенос. Посмотрите на рисунок 4. Например, стрелка-треугольник на бруске с цифрой 6, расположенная напротив цифры 7 в базовой табличке, учитывает перенос 4 в разряд слева. На бруске с цифрой 3, расположенном напротив цифры 6 в базовой таблице, две стрелки-треугольника, поскольку в разряд слева может случится и перенос 1, и перенос 2. В качестве примера применения всего вышесказанного рассмотрим вычисление произведения 7569 и 4 с помощью брусков Женая (рис.7). Передвигаясь вдоль направления стрелок-треугольников, быстро получаем в результате 30276.

22

КВАНТ 2022/№6

Таблица 2

Общий результат: частное равно 139, остаток 4. Для чисел с бульшим количеством цифр все рассуждения аналогичны. На рисунке 9 приведен пример деления числа 536027

Таблица 3 на 4 (показан только фрагмент брусков, относящийся к делению на 4). Результат: частное равно 134006, остаток 3.

Рис. 9

Для трехзначного делимого, например 838, первые две цифры частного определяются аналогично, это 13, а остаток равен 5. В столбце для цифры 8 в последней строке имеем – цифра: 9; – остаток: 4.

Помимо приборов для умножения и деления существовал также прибор для проведения финансовых расчетов. Он позволял рассчитывать сумму денег, которая будет начислена банком за один день при той или иной процентной ставке. Полученное дневное значение суммы по процентам ставки, будучи умноженным на количество дней с помощью брусков для умножения, давало общую сумму за все дни. Популярность брусков Женая–Люка была большой, но недолгой, в начале ХХ века их заменили механические счетные приборы – арифмометры. Как говорится, технический прогресс не остановить…

ЗАДАЧА О ПУШЕЧНЫХ ЯДРАХ

(в один слой), и в форме пирамиды с квадратом в основании.

Французский математик Эдуард Люка известен своими работами по теории чисел. Например, его имя носит один из критериев простоты чисел Мерсенна, т.е. чисел вида $2^{n} - 1, где^{n}$ – натуральное число. Люка доказал простоту числа $2^{127} - 1$, оно несколько десятков лет оставалось наибольшим известным науке простым числом. Во время франко-прусской войны (1870– 1871 гг.) Люка служил артиллеристом. Быть может, именно в то время ему и пришла в голову следующая задача.

Найдите число пушечных ядер, которые можно уложить и в форме квадрата

Задачу легко переформулировать на языке диофантовых уравнений.

Найдите все $натуральные^{k,} n$ такие, что

$k (^{k} + 1 ) ( 2^{k} + 1 ) = n^{2}. 6$

Два $решения:^{k} 1,^{n} 1 и^{k} 24,^{n} 70$ нашел сам Люка. Однако полностью задача была решена лишь в 1918 году с использованием аппарата эллиптических функций: было доказано, что других решений нет. Н.Панюнин

Опыт есть то, до чего мы доходим опытным путем, на опыте убедившись, что не надо было набираться этого опыта. Иоганн Петер Эккерман

Математики похожи на французов: что бы им ни сказали, они все переведут на свой язык, и при этом получится нечто другое. Иоганн Вольфганг Гёте

На свете есть столь серьезные вещи, что говорить о них можно только шутя. Нильс Бор

У нас как-то не умеют делать самые серьезные дела и при этом смеяться и шутить, ведь это так оживляет жизнь и помогает! Петр Капица

Если вы не делаете ошибок, вы решаете слишком простые задачи, и это большая ошибка. Фрэнк Вильчек

У физиков есть привычка брать простейший пример какого-то явления и называть его «физикой», а примеры посложнее отдавать на растерзание другим наукам… Ричард Фейнман

Науки делятся на естественные, неестественные и противоестественные. Лев Ландау

Наука не терпит звериной серьезности! Николай Тимофеев-Ресовский

?

А так ли хорошо знакомо вам, как

« К ВАНТ» УЛЫБАЕТСЯ

Людям науки, как видим, вовсе не чуждо желание пошутить, и физики с математиками – отнюдь не исключение. Более того, благодаря именно точным дисциплинам родился своеобразный жанр «научного» юмора, иногда понятного только специалистам, но большей частью все же общедоступного. Школьники посмеиваются над учителями, студенты – над профессорами, а преподаватели – над учениками. Ученые подтрунивают друг над другом, да и над собой, и все вместе потешаются над телеведущими, потчующими нас «цифрами Фибоначчи» и «андронным коллайдером». Занятные истории, порой сдобренные сарказмом и парадоксами, – это и средство борьбы с невежеством, ведь известно, что «в каждой шутке лишь доля шутки». «Квант» никогда не расставался с юмористической рубрикой, а сегодня мы призываем вас улыбаться вместе с «Калейдоскопом».

Вопросы и задачи

1. Ученый обнаружил, что некоторая реакция протекает в течение 80 минут, если он в пиджаке. Если же он без пиджака, то та же самая реакция протекает за 1 час 20 минут. Как это $объяснить?^{2.}$ Одному профессору предложили садовый участок в форме треугольника со сторонами 55, 62 и 117 метров. Сколько придется заплатить за участок, если один квадратный метр стоит $1000 рублей?^{3.}$ На березе росло 90 яблок. Подул сильный ветер и 10 яблок упало. Сколько $осталось?^{4.}$ Может ли быть, что $23 + 2 = 1 ?^{5.}$ Известно, что на Луне сила тяжести меньше, чем на Земле. Быстрее или медленнее будет летать птица на Луне, если и там, и на Земле она летает в тех же космических $доспехах?^{6.} 4$ водопроводчика, выпив 10 литров пива, чинили кран 3 часа и в конце концов сломали. А за какое время сломают такой же кран 6 водопроводчиков и сколько пива им для того $понадобится?^{7.}$ Чему равно значение выражения ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) … $( x - z ) ?^{8.}$ Как назвал бы обычную и крестовую отвертки любитель математики, чтобы отличить их друг от $друга?^{9.}$ Чему равна молярная теплоемкость гелия при изохорическом $расширении?^{10.}$ Определите, чему равно выражение sin D sin E sin $J^{…}$ sin $Z.^{11.}$ Что означает формула $apelsin^{2} D + + abricos^{2} D = 1 ?^{12.}$ Можно ли найти высоту здания с помощью двух секундомеров?

Микроопыт

Вы должны встать с товарищем на один газетный лист, не имея возможности прикоснуться друг к другу. Как этого добиться, если сходить с газеты не разрешается?

Любопытно и … смешно

– Папа, что такое литр? – Это то же, что и метр, только жидкий. * * * Некая дама на вопрос, сколько ей лет, ответила: «Когда я выходила замуж, мужу было 40, а мне 20. Сейчас ему 60. Значит, мне 30». * * * У них средняя температура двадцать градусов, а у нас ноль: в двадцать раз меньше! (В.В.Жириновский) * * * Полицейский – водителю остановленной машины: – Холодное оружие есть? – Не знаю – у меня нет термометра.

На экзамене

– Почему трамвай работает на постоянном токе? – Если б он работал на переменном, рельсы пришлось бы укладывать по синусоиде.

• • • – Как изменяется долгота дня в течение года и почему? – Летом жарко, и дни удлиняются, а зимой холодно, и они укорачиваются. * * * – Что такое лошадиная сила? – Это мощность, которую развивает лошадь ростом в 1 метр и массой в 1 килограмм. – Да где вы такую лошадь видели? – Увы, она хранится вдали от людских глаз в палате мер и весов во Франции! * * * – Какие лучи называются инфракрасными? – Невидимые лучи красного цвета. * * * – Из каких частиц состоит атом? – Из электронов, протонов и ньютонов.

Из научного фольклора

В какой-то степени два это тоже восемь. * * * Каков антоним слову «параллельно»? Математик: «перпендикулярно». Физик: «последовательно». * * * Ректор университета: «Почему это физики всегда требуют такое дорогое оборудование? Вот, например, математики просят лишь деньги на бумагу, карандаши и ластики». Подумав, добавил: «А философы, те еще лучше. Им даже ластики не нужны». * * * Тьма тоже распространяется со скоростью света. * * * – Известно, что появление дробей сопровождалось необычайно широким их использованием. – Где это? – В 3 9 царстве, в 3 10 государстве. * * * Встречаются как-то в мороз два физика. Один другому и говорит: – Ну у тебя и нос! 720 нанометров. – Что, такой маленький? – Нет. Такой красный. * * * Знаменитый физик-теоретик Ричард Фейнман медленно поворачивал перед студентами лекало, говоря: «Оно сделано так, что независимо от того, как вы его повернете, в наинизшей точке контура касательная горизонтальна». Студенты стали приставлять карандаш к нижней точке лекала и были крайне возбуждены от этого открытия.

Что читать в «Кванте»

(публикации последних лет)

1. «Квант» улыбается» – 2018, №1, с.30; 2018, №9, с.35; 2020, №5, с.39; 2021, №5, с.23; 2022, №1, с.12; 2. «Численные значения…» – 2019, №4, с.2; 3. «Квант, который построил Исаак» – 2020, №1, 3-я с. обл.; 4. «Из записной книжки экзаменатора» – 2020, №2, с.51.

Материал подготовил А. Леонович

34

КВАН T 2022/№6

Как реки освобождаются ото льда

Т.МОРОЗОВА

Процесс таяния льда на реках и озерах кажется на первый взгляд тривиальным, хотя это не совсем так. Часто весной за потеплением идет похолодание, и так происходит несколько раз, пока природа не исчерпает свои запасы холода и окончательно не пустит весну на просторы земли и воды. Во время зимних морозов на реках нарастает лед. Так, толщина льда в Днепре составляет 0,5 метра, в реках среднеевропейской равнины – порядка 1 метра, а на сибирских реках – до 1,5 метра. Чем больше морозных дней в году, тем толще лед. Заледеневшие реки открывают новые пути для передвижения от места к месту и дают своеобразный простор пешим прогулкам и путешествиям. Но когда лед начинает таять, по нему ходить становится опасно.

Лед на канале имени Москвы

Какой же лед наименее благоприятен для прогулок по нему? Самый опасный вариант – это тонкий ровный лед после резкого похолодания, когда создаются большие напряжения в материале и легко могут возникнуть трещины. То же относится и к свежеобразовавшемуся льду. Сетка неод-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220604

нородностей во льду при его хаотичных замерзаниях–размерзаниях с небольшими колебаниями температур создает своего рода каркас. Однако если в нем имеются пустоты, то это также представляет опасность. После таяния прибрежная полоса замерзает быстрее и в холодные весенние ночи по ней безопаснее ходить, чем по середине реки. При передвижении по льду он трещит там, где есть неоднородности и искривление рельефа. В таких местах не стоит пересекать замерзший водоем в период таяния льда и его последующего замерзания. Если ходить по льду на лыжах, то давление на него будет оказываться гораздо меньшее, чем при пешей ходьбе. Если бежать, то толчки создадут большие давление и большую опасность проломить лед. Итак, по какому льду на реке особенно опасно ходить? 1) Когда есть заметное течение реки. Чем больше сужается река, тем течение быстрее. Это непосредственно следует из уравнения неразрывности $струи^{v} 1^{S} 1_{2}^{v} S_{2}, где^{v}$ – $скорость,^{S}$ – площадь поперечного $сечения.^{2)}$ Где лед только что намерзший или после потепления, а за ним похолодания. Но тут все зависит от множества факторов. Если, например, похолодание сильное – то лед безопасен. А потепление может перемешать лед, и он плотнее замерзнет без пустот и неоднородностей. 3) В резко наступивший трескучий мороз, когда могут образовываться пустоты, трещины, а также создаваться большие напряжения во льду и возникать подледные течения. Когда лед тает постепенно, то появляется скорее снежная каша, чем лед, который может треснуть. Иными словами, при постоянном градиенте температур во время потепления лед почти не трескается в спокойных водоемах. Но на реках с большим течением треснувшие льдины появляются почти всегда – само течение не представляет возможности создать плавный градиент температур. Под мостами лед тает особо быстро ввиду наличия газов, испарений и теплых конвективных потоков. Сам лед плотнее у берега, чем на середине реки. Но не у самого-самого берега, а чуть поодаль. Реки и озера на мелководье промерзают полностью, однако когда начинается таяние, то самый край водоема быстро тает, так как абсолютная

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Треснувший лед на реке толщина льда на кромке воды небольшая. В середине же реки течение поддерживает более высокую температуру воды и не дает льду намерзать. В отличие от рек, озера долго размораживаются, потому что нижние слои льда не успевают прогреваться из-за большой теплоемкости. А кроме того, в озере больше воды и больше льда, следовательно, оно будет дольше размораживаться. Малое же количество воды быстрее замерзнет и быстрее растает. Также существенно быстрее освобождаются ото льда реки с течением, и чем оно больше, тем интенсивнее происходит процесс таяния. Почему снег на речке при потеплении и дальнейшем замерзании становится плотным льдом, в то время как снежные сугробы на берегах не леденеют? Все дело в том, что у воды теплоемкость и теплопроводность больше, чем у снега и льда, и вода вбирает в себя больше тепла и интенсивнее разогревает прилежащие слои. От слоя к слою тепло передается быстро, но чтобы прогреть каждый слой, энергии нужно затратить больше. Таким образом, на реке происходит плавление большей массы снега, а при похолодании – ее тотальное замерзание и превращение в лед. Гладь водоема при последующем похолодании замерзает ровно, если воды расплавилось много. По такой поверхности даже можно кататься на коньках. Но все же рано или поздно весна берет свое, и водоемы постепенно освобождаются ото льда. Талая вода особо холодная. Любители моржевания хорошо это знают – ведь в ней еще холоднее плавать, чем в проруби в бодрящий мороз. Дело в том, что замерзаю-

ШКОЛЬНИКОВ

щий на поверхности водоема лед образуется из очищенной воды приповерхностных слоев, из которой весь осадок ушел на дно. Очень чистую воду можно охладить до температуры$^{40}$ q C. В этой связи можно провести такой эксперимент: на небольшом морозе отстоявшуюся родниковую воду в бутылке взболтать, и она меньше чем за минуту замерзнет – примеси повысят ее температуру замерзания. Соленая вода, в силу своих физико-химических свойств, замерзает при $3 q^{C}$. Намерзание льда происходит неравномерно, особенно в солнечный день, из-за того, что на краях проруби лед охлаждает воду и намерзающие льдины и не дает растаять тому льду, что плавит солнце (в отличие от середины проруби). В итоге возникают касательные напряжения, и лед поднимается дугой. Снежный наст на берегах рек дифференцируется в отдельные вертикальные льдинки, и они имеют структуры, похожие на

Прорубь с дугообразным льдом, не прилегающим плотно к ее середине

36

КВАН T 2022/№6

сталактиты и сталагмиты в пещерах. Появляются трещины и разломы пластов. В низинах снег тает медленнее, происходит деструктурирование снега и намерзшего льда. Весной возникают постоянные колебания температур от плюса к минусу. В итоге размерзшийся снег снова замерзает, превращаясь в ледяную фрактальную структуру из множества мелких ледышек неправильной формы.

Вертикальные льдинки

Сам по себе снег очень хороший теплоизолятор. И даже когда вокруг резко теплеет, он хранит в себе холод. Более того, даже достигнув равновесия с окружающим воздухом, снег не может растаять очень быстро, так как для этого его нужно не только нагреть, но и расплавить (суммируются количества теплоты плавления и нагревания). На берегу при таянии снега образуется вода, которая уходит в грунт. Снег же не дает прогреться внутрилежащим слоям. Поэтому при похолодании и последующем потеплении гладь реки становится ледяной, а снежные сугробы на берегах остаются непоколебимыми по своей структуре. Однако при общем потеплении и они постепенно тают и уменьшаются, уходя в грунт или стаивая на лед реки. Чем глубже река у берегов, тем меньше по ее краям сугробы. Также они могут давать трещины и разбиваться на пласты – это зависит от грунта. Сама структура льда формируется в зависимости от грунта. Внутри льда могут быть линзы и другие образования. Песчаный грунт очень плотный и практически не пропускает частицы воды, а глиняный пропускает. Поэтому когда вода замерзает, глиняные почвы упрочняются, а когда лед начинает таять, вода быстро уходит через их поры в грунт.

Если бы у реки не было песчаного русла, она бы быстро обмелела. Помимо этого, при замерзании лед расширяется и грунт вспучивается. Также при резком морозе замерзающий лед может давать трещины при расширении. Таким образом, получается, что опасно ходить по льду не только во время оттепели, но и когда резко ударяют морозы.

Трещины снежного пласта на берегу

Почему некоторые речки зимой мелеют и показывают свои песчаные берега, покрытые снегом? Здесь происходят два процесса: во-первых, испарение воды и последующий унос испарившихся масс, которые, в отличие от других сезонов, не возвращаются в водоем и выпадают осадками равномерно по всей земле, а во-вторых, уход воды в грунт и его промерзание. Интенсивность второго процесса зависит от типа грунта и глубины реки. Весной снег тает, и вода с берегов стекает в речку, где она возвращается в прежний объем. У рек часто бывают крутые берега, которые постепенно подмываются течением, да и сама река обычно течет в самом низком месте, стекая с окрестных берегов. Летом осадки стекают в реку с окрестных берегов, а зимой нет, поэтому испарения и не возвращаются. Весной испарения и талые снега не идут в облака не только из-за холодных ночей, но и потому, что растительность вбирает в себя влагу. Но иногда в особенно солнечный день влага может выпадать отдельными капельками, не собираясь в облака и дожди. В заключение отметим, что талая вода стекает в реку или под землю, образуя структуру из льдинок. В итоге уровень воды в водоеме повышается. Вот почему с приходом весны идет так называемая большая вода.

ИНФ ОРМ А Ц И Я

Очередной набор в ВЗМШ

Наши контакты: https: vzms.ru https: lycuz2.mskobr.ru +7(926)280-28-20 [email protected] (почта, прием) https: vk.com vzmsh 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, Второй учебный корпус, ауд. 307

Всероссийская заочная многопредметная школа приглашает школьников и учителей из всех регионов России, ближнего и дальнего зарубежья для обучения по программам дополнительного дистантного (он-лайн) образования. ВЗМШ – старейший в России центр дополнительного образования. Она была основана в 1964 году по инициативе выдающихся математиков, академиков И.Г.Петровского (в то время ректора МГУ) и И.М.Гельфанда. В настоящее время ВЗМШ – структурное подразделение знаменитого московского физикоматематического Лицея «Вторая школа». Мы учим математике, физике, биологии, русскому языку и литературе, истории, обществознанию. Наши преподаватели – это сотрудники МГУ имени М.В.Ломоносова и других ведущих вузов и академических институтов. Ими написана обширная библиотека уникальных учебных пособий по математике, истории, обществознанию и другим предметам. Созданные ими методики позволяют вести заочное (он-лайн) обучение на самом высоком уровне. Обучение старшеклассников в ВЗМШ направлено прежде всего на подготовку к олимпиадам и ЕГЭ. Однако мы считаем, что даже самая высокая оценка не может быть самоцелью. У нас занимаются преимущественно такие ученики, для которых на первом месте стоит саморазвитие, которые хотят знать СВЕРХ ТОГО (сверх школьной программы) и приобрести дополнительные знания по самым разным предметам. ВЗМШ окончили более 200 тысяч школьников. Из их рядов вышло множество ученых, исследователей, педагогов. Многим учеба в ВЗМШ помогла лучше ориентиро-

ваться в жизни, ставить перед собой бульшие задачи, добиваться задуманного. ВЗМШ, в отличие от курсов или кружков, это самая настоящая школа, со своей программой, ритмом, контрольными работами, двусторонней связью между учеником и учителем. Мы предоставляем наши материалы в электронном виде, постоянно общаемся с нашими учениками через социальные сети, рассказываем им о том, что не входит в программу обучения, но помогает их развитию, знакомим с книгами и статьями наших преподавателей, проводим видеоконференции и видеолекции. В ВЗМШ существует особая форма работы – группа «Коллективный ученик». Это группа школьников, работающая по методическим пособиям ВЗМШ под руководством школьного учителя по тем же программам и пособиям, что и индивидуальные ученики. В помощь учителям – кураторам таких групп – разрабатываются специальные методические и учебные материалы. Ученики под руководством учителя вместе обсуждают пройденный материал, полученные задания. Сотрудничество с ВЗМШ, как показывает наш многолетний опыт, многие учителя воспринимают и как свою собственную учебу. Обучение в формате «Коллективный ученик» имеет следующие преимущества: контакт с учителем упрощает обучение, что особенно важно для тех школьников, которым сложно самостоятельно, без наставника, организовать свое время; совместные занятия создают творческую атмосферу, в которой есть место и для конкуренции, и для кооперации; присылаемые из ВЗМШ материалы могут служить учителю хорошей базой для организации в школе кружка или факультатива, помогают подготовить учеников к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ; ученики принимаются в ВЗМШ без выполнения вступительного задания; плата за обучение одного ученика меньше, чем при индивидуальном обучении. Подробно ознакомиться с программами обучения, зарегистрироваться, выполнить вступительные задания, а также подать заявку для группы «Коллективный ученик» можно здесь: math-vzms.org Приступить к обучению можно в любое время! Расскажем подробнее о наших отделениях и приведем условия соответствующих вступительных работ.

42

КВ А НT 2022/№6

Отделение математики

Будущих математиков мы обучаем работать с научными текстами, четко излагать свою мысль, предоставляем возможность, используя наши пособия, продвинуться в изучении различных математических вопросов настолько далеко по сравнению с необходимым минимумом, насколько они сами этого захотят. Мы помогаем углубить и расширить полученные в школе знания, подготовиться к ЕГЭ, ОГЭ и прочим экзаменам. Тем, кому уже ведомо удовольствие от решения математических задач, мы надеемся доставить радость от размышления над новыми, похожими и вовсе не похожими на прежние, задачами. Мы последовательно обучаем школьников с 4 по 11 класс. Начать обучение можно с любого класса.

Вступительная работа

Рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса эта задача предназначается (имеется в виду тот класс, в котором вы будете учиться в следующем учебном году). Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается. 1. (5 кл.). Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них? 2. (5 кл.) Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 648 метров. Сколько простых и сколько творческих людей «отрастили» волку хвост? 3. (5 кл.) Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января? 4. (6 кл.) На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разделились

на две стаи: одна стая уселась на ветви старой березы, а другая – на ольху. Через некоторое время с березы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с березы, после чего на березе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально? 5. (6 кл.) На карточках были написаны числа 1, 2, 3, …, 111. Ваня взял себе карточки с четными номерами, а Таня – с нечетными. У кого из них сумма чисел на карточках получилась больше и на сколько? 6. (6 кл.) На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Разбейте его на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток. 7. (7 кл.) Иннокентий хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Его друг Макар утверждает, что это невозможно. Кто прав? 8. (7 кл.) В правильном 2018-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то N диагоналей. При каком наименьшем N среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину? 9. (7 кл.) У юного художника была одна банка синей и одна банка желтой краски, каждой из которых хватает на покраску $38 дм^{2}$ площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зеленая трава и желтое солнце. Зеленый цвет он получал, смешивая две части желтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на $6 дм^{2}$ больше, чем площадь неба? 10. (8–10 кл.) Два города А и В расположены на берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга. Пароход может проплыть из А в В и обратно за 1 час. Больше или меньше времени понадобится ему, чтобы проплыть 20 км по озеру? 11. (7–10 кл.) а)Можно ли занумеровать ребра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, которые в ней сходятся, была одной и той же? б) Аналогичный вопрос, если расставлять по ребрам куба числа 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

61

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

Рис. 19

Рис. 18

6. Можно. Взвешивания приведены на схеме (рис. 18; золотые монеты – желтые, серебряные – серые, бронзовые – коричневые). Случаи, когда левая чаша перевешивает, разбираются аналогично. 7. Заметим, что угол многоугольника M может быть равен 60q, 90q, 120q, 150q. Значит, каждый внешний угол M не меньше 30q. Поскольку сумма внешних углов многоугольника равна 360q, у M не более 12 углов, причем их может быть 12 только в случае, когда все углы равны по 150q. Если у M меньше 12 сторон, то не все его углы равны 150q. Мысленно вставим несколько сторон нулевой длины: если есть угол 120q, вставим в соответствующую вершину сторону нулевой длины, если есть угол 90q ( 60q ) – две (три) последовательные стороны нулевой длины. В итоге получится 12 сторон, некоторые из которых равны 0. Назовем характеристикой многоугольника M набор $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{12}$ длин его сторон, перечисленных в порядке обхода против часовой стрелки от фиксированной вершины. Стороны $a_{1}, a_{3}$, … $, a_{11}$ будем называть нечетными, а стороны $a_{2}, a_{4}$, … $, a_{12}$ – четными. Назовем каемкой разбиения объединение плашек (квадратов и равносторонних треугольников), имеющих хотя бы одну общую точку с границей многоугольника M (рис.19). Если каемка не совпадает с M, обозначим через $M_{1}$ многоугольник, полученный из M отбрасыванием каемки. Рассмотрим плашку каемки, примыкающую к углу, сторона которой лежит на стороне AB многоугольника M. Если это квадрат, то все плашки, примыкающие к AB, – тоже квадраты (образующиеся углы в 90q можно замостить только квадратами; см. рис. 19,a). Если это треугольник, то все оставшиеся плашки, примыкающие к этой стороне, – тоже треугольники (см.рис. 19,б). Таким образом, к каждой стороне многоугольника M примыкают либо только квадраты, либо только треугольники. Отсюда следует, что стороны $M_{1}$ будут параллельны соответствующим сторонам M (стороны AB и CD на рисунке 19). Если у M нет углов по 60q или 90q, то длины сторон $M_{1}$ будут либо равны соответствующим длинам сторон M (в случае квадратов), либо на единицу меньше (в случае треугольников). При этом длина стороны $M_{1}$ может стать равной 0. Таким образом, $M_{1}$ – выпуклый многоугольник, у которого сторон не больше, чем у M. Многоугольник $M_{1}$ также имеет характеристику – набор, построенный по тем же правилам так, чтобы нумерации сторон в M и $M_{1}$ соответствовали друг другу. Пусть длины всех сторон M отличны от нуля, т.е. все углы M равны 150q. Существует два варианта расположить квадрат и треугольник, примыкающие к углу 150q. При выборе одного из вариантов остальная каемка восстанавливается однозначно (сначала восстанавливается часть каемки, примыкающая к сторонам угла, затем разбиения двух соседних углов и т.д.). Итого получается два варианта каемки: треугольники расположены вдоль всех нечетных сторон, а квадраты – вдоль всех четных, или наоборот (рис. 20). В первом варианте характеристи-

Рис. 20

кой $M_{1}$ будет набор $a_{1} 1, a_{2}, a_{3} 1, a_{4},..., a_{11} 1, a_{12}$, во втором – набор $a_{1}, a_{2} 1, a_{3}, a_{4} 1,..., a_{11}, a_{12} 1$. Пусть по крайней мере одна нечетная сторона M равна 0, а все четные стороны отличны от нуля. Рассмотрим такое i, что $a_{i} 0$. Тогда угол при соответствующей вершине в многоугольнике M будет равен 120q (поскольку $a_{i} 1$ и $a_{i} 1$ не равны 0), т.е. его единственным образом можно разбить на два треугольника. Далее каемка восстанавливается однозначно: вдоль всех четных сторон лежат треугольники, а вдоль всех нечетных сторон ненулевой длины – квадраты. Характеристика $M_{1}$ будет равна $a_{1}, a_{2} 1, a_{3}, a_{4} 1,$ … $, a_{11}, a_{12} 1$. Если хоть одна четная сторона M равна нулю, а все нечетные стороны отличны от нуля, аналогично получим, что характеристика $M_{1}$ будет равна $a_{1} 1, a_{2}, a_{3} 1, a_{4}$, … $, a_{11} 1, a_{12}$. Если же по крайней мере одна четная и одна нечетная стороны M равны нулю, то каемка тем более восстанавливается однозначно. Посколь-