Квант 2022, №9 · Страницы

7

ПРОБЛЕМЫ КОНДЕНСАТОРА

Рис. 5. Печатная плата (R – сопротивления)

а индуктивность образует вместе с емкостью колебательный контур. По формуле Томсона можно определить период колебаний, а если считать, что весь заряд протечет за первую половину периода, то можно определить ограничение на ток. Причем сопротивление и индуктивность есть не только у выводов конденсатора, они есть у самих обкладок. Что касается фильтрации сигнала, то, если прикладывать к конденсатору обычное переменное (синусоидальное) напряжение одинаковой амплитуды, но разных частот, протекающий ток будет уменьшаться пропорционально частоте. Поэтому конденсатор может применяться для фильтрации, разделения сигналов – как сам по себе, так и в составе специальных схем, называемых фильтрами (рис. 6). Конденсатор, соединяющий провода (он

обозначен С1), и конденсаторы, соединяющие провода с корпусом всего устройства (обозначены С2), пропускают через себя высокочастотную помеху, не давая ей проникнуть через фильтр. Про интегрирование и дифференцирование сигнала в школе говорится не всегда, но понять это просто. Если вы знаете математическое определение, то сами сообразите, что заряд конденсатора, а значит и напряжение на нем, – это интеграл от тока по времени, а ток, соответственно, – производная от заряда и напряжения. Если на конденсатор подано синусоидальное напряжение, то протекающий в проводах синусоидальный же ток оказывается сдвинутым относительно напряжения на четверть периода (на S 2 ) назад. Заметим, что эти же функции может выполнять катушка индуктивности. Прав-

8

КВАНТ 2022/№9

Рис. 6. Фильтр с изображенной на нем схемой

да, запасать в ней энергию хуже, чем в конденсаторе, поскольку из-за сопротивления проводов энергия будет быстро переходить в тепло. В сверхпроводящем соленоиде этих потерь нет, но есть расход энергии на охлаждение. Как элементы фильтров и резонансных контуров, катушки индуктивности используются наряду с конденсаторами. Напряжение на индуктивности пропорционально производной от тока, и фазу синусоидального сигнала она сдвигает, но по отношению к конденсатору в противоположном направлении – ток не отстает от напряжения, а опережает его. Выше уже говорилось, что у конденсатора в смысле возможности большого токоотбора есть два ограничения. Первое (три-

виальное) – сопротивление подводящих проводов и самих обкладок. Причем сопротивление обкладок тем больше, чем они тоньше, а с точки зрения увеличения емкости при заданном объеме (уменьшение объема и веса – постоянная задача и забота) их имеет смысл делать как раз тоньше. Здесь, как это обычно и бывает в технике, параметры изделия оказываются связаны, поэтому изо всех сил улучшая один, мы ухудшаем другой. Так что не бывает просто наилучших параметров или изделий, для разных задач лучшими оказываются разные. Второе ограничение заметить труднее, потому что про сопротивление в школе говорится часто, а про индуктивность – редко. Между тем, у всякого проводника есть не только емкость, но и индуктивность. Это означает, что при протекании по нему тока возникает магнитное поле с энергией $LI^{2} 2$, а при изменении тока изза изменения обусловленного им магнитного поля возникает ЭДС, равная LdI dt (или, если вам так проще, L ’ I ’ t, когда ток, а вместе с ним и поле, растет равномерно и изменяется на ’ I за время ’ t ). То, что у проводника есть емкость и индуктивность, означает, что он сам является резонансным контуром, настроенным на соответствующую частоту, и ток через него не может существенно измениться за время, много меньшее периода колебаний. Поэтому, если мы хотим разрядить конденсатор за весьма короткое время, а в физике и технике эта задача возникает часто, применяют специальные безындукционные конденсаторы – с уменьшенной, по возможности, индуктивностью. Кстати, слова «конденсатор» и «емкость», слова «резистор» и «сопротивление», а также слова «катушка» и «индуктивность» часто употребляют как синонимы. (Забредете на радиотехнический, радиолюбительский и подобные форумы – не пугайтесь.) Хотя, конечно, конденсатор, резистор и катушка – это устройства, а емкость, сопротивление и индуктивность – физические параметры этих устройств: «емкость конденсатора 1 мкФ», «сопротивление резистора 1 кОм» и т.д.

9

ПРОБЛЕМЫ КОНДЕНСАТОРА

Емкость – это, можно сказать, главный параметр конденсатора. Главным его можно назвать потому, что он почти всегда должен иметь определенное значение (иногда в фильтрах – «не менее такого-то»). Второй после емкости важный для практики параметр конденсатора – рабочее напряжение. Оно обычно должно быть «не менее такого-то». Это видно из формулы для энергии, а в случаях «неэнергетических» применений оно просто определяет возможность использования того или иного конденсатора – при большем напряжении он выйдет из строя. Максимальное напряжение определяется пробоем изоляции, т.е. ее разрушением, формально – превращением из изолятора в проводник. Физические процессы, развивающиеся при этом, многочисленны и замысловато переплетены. Познакомиться с ними можно, например, в книге «Рекорды и пределы, или Введение в экстремальное материаловедение» (Библиотечка «Квант», выпуск 136) и в статье «Что такое электрический пробой» (журнал «Квант», 1984, № 8). Вспомним некоторые из этих процессов. Например, ударную ионизацию, когда электрон, разогнанный электрическим полем, при столкновении с атомом передает ему достаточно энергии для ионизации. Понятно, что происходит дальше? Где был электрон, стало два, где было два – там стало четыре, где четыре, потом восемь… При этом часть электрической энергии превращается в тепло, и несчастный диэлектрик – между прочим, оксид алюминия, который плавится при двух с небольшим тысячах градусов, а кипит при трех тысячах – превращается в пар с таким давлением, что разрывает изнутри конденсатор (рис. 7). Повезет, если никто не

Рис. 7. Высоковольтный конденсатор после пробоя

Рис. 8. Конденсаторы, на которых указан срок службы при разных напряжениях

окажется на пути разлетающихся осколков. Впрочем, если и не доводить дело до пробоя, то срок службы (а увеличение срока службы – постоянная задача и забота) конденсатора оказывается существенно зависящим от напряжения, при котором он работает (рис. 8). Значит, происходят в нем по-тихому какие-то процессы (о которых рассказано в упомянутой книжке). У любого реального диэлектрика есть проводимость, его сопротивление не бесконечно. Тогда возникает вопрос – чем отличается диэлектрик от полупроводника? В школе обычно металлы и полупроводники различают по тому, растет или падает сопротивление с нагревом, а про диэлектрики вопрос не возникает потому, что их сопротивление считается бесконечным. А как нам теперь отличать диэлектрик от полупроводника, если у обоих при нагреве сопротивление падает? Вообще говоря, различие условно. Так, иногда пишут, что к диэлектрикам относят вещества с удельным сопротивлением более $10^{8}$ Ом ˜ м или шириной запрещенной зоны более 3 эВ. На практике к полупроводникам обычно относят пять элементов: B, Si, Ge, Se, Te и многие соединения, ориентируясь в основном на применение. В некоторых старых книжках список элементар-

10

КВАНТ 2022/№9

ных полупроводников был больше, но потом возник термин «полуметаллы» и как Плутон, не спросив его согласия, перевели из планет в карликовые планеты, так некоторые полупроводники перевели в полуметаллы. Сейчас, кроме перечисленных выше, среди элементов полупроводниками считают одну из модификаций фосфора (черный фосфор) и одну из модификаций олова (серое олово). Применение того или иного материала зависит не от названия, а от его свойств и условий использования. Например, если сама среда или устройство очень низкоомно, то в качестве изолятора может применяться и вещество, которое обычно в качестве изолятора не воспринимают. Так, в генераторах коротких мощных импульсов для изоляции может применяться вода, которую обычно считают проводником. Но все-таки из нее удаляют часть примесей – для увеличения сопротивления. Если у конденсатора есть проводимость и к нему приложено напряжение, в нем будет выделяться тепло. Его надо отводить, иначе конденсатор начнет греться, при этом сопротивление изоляции будет падать, ток еще более нарастать, тепловыделение – тоже, и в некоторых условиях начинается лавинный их рост. Это механизм так называемого электротеплового пробоя. Однако не будем подавать на конденсатор слишком большое постоянное напряжение, а подадим не него допустимое напряжение, но переменное. Мы обнаружим, что конденсатор греется, причем нагрев зависит от частоты – с ее уменьшением нагрев уменьшается. Оказывается, есть какой-то фактор, зависящий от частоты, и его называют «диэлектрические потери». Нагрев из-за диэлектрических потерь используется и в промышленности, и в быту – это именно он греет еду в СВЧ-печи или «микроволновке». Их механизм на элементарном уровне прост – переменное электрическое поле «дергает» ионы, происходит преобразование энергии электромагнитного поля в механическую энергию молекул, а она через соударения передается другим молекулам – и объект нагрева-

Рис. 9. Конденсатор, на котором указана максимальная рассеиваемая мощность

ется. Если частота и амплитуда переменного поля таковы, что конденсатор может заметно нагреться, эффект приходится учитывать. На рисунке 9 показан конденсатор, на котором обозначена предельная мощность (0,3 кВт) – она может в нем переходить в тепло без риска вывести прибор из строя.

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2714–М2717, Ф2721–Ф2724 M2714. Даны многочлены f и g с целыми коэффициентами, причем у многочлена g старший коэффициент равен 1. Известно, что для бесконечно многих натуральных n число f n делится на g n. Докажите, что f n делится на g n для всех натуральных n, при которых g n z 0. Фольклор

M2715. На шахматной доске хромая ладья за ход может переходить в клетку, соседствующую по стороне с клеткой, в которой ладья находится. На доске 9 u 9 хромая ладья, начав с какой-то клетки, сделала n ходов, при этом она ни одну клетку не посетила дважды и не сделала два хода подряд в одном направлении. Каково наибольшее возможное значение n? Фольклор

M2716. Найдите все пары натуральных чисел k, m такие, что для любого натурального n произведение n m n 2 m … … n km делится на k!. П.Кожевников

M2717*. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF, пересекающиеся в точке H; O – центр описанной окружности; касательные к окружности (ABC), проведенные в точках B и C, пересекаются в точке T (рис. 1). Пусть K и L симметричны точке O относительно AB и AC соответственно. Окружности (DFK) и (DEL) пересекаются в точке

Рис. 1

P, отличной от D. Докажите, что P, D, T лежат на одной прямой. Дон Луу (Вьетнам)

Ф2721. Экспериментатор Анатолий полетел с экспедицией на новую планету, пригодную для жизни. Из-за бессонницы Анатолий решил исследовать ускорение свободного падения на поверхности этой планеты и назвал эту величину «ж». Для изучения он взял три резинки с разными значениями коэффициента упругости, но одинаковой массы, равной m 20 г. Он начал измерять зависимость высоты полета резинок от величины их растяжения, но по своей неопытности написал все значения в одну таблицу. Помогите Анатолию найти ускорение свободного падения ж на

26

КВАН T 2022/№9

Башня Толи Втулкина

C.ДВОРЯНИНОВ

СК 55-летию $Останкинской^{телебашни}$

ЕЙЧАС ВЫ УЗНАЕТЕ, ЧТО БЫЛО на заседании нашего школьного кружка по физике в декабре далекого 1967 года… Когды мы все собрались и уже уселись за парты, в класс вошел наш учитель Иван Петрович, а вслед за ним через широко раскрытую дверь – Толик Втулкин. Обеими руками он держал перед собой лист фанеры, на котором были рассыпаны какие-то цилиндрические упаковки от витаминов (рис.1).

Рис. 1

– Внимание! Сейчас Толик продемонстрирует нам силу мысли! Можно сказать, телекинез, перемещение предметов силой воли! – торжественно произнес Иван Пет-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220903

рович. – Вы станете первыми свидетелями сенсационного открытия! Мы все насторожились: наши занятия никогда подобным образом не начинались. Толик же после этих слов с самым серьезным видом уселся за учительский стол, нахмурил брови и стал неотрывно смотреть на зажатую руками фанеру. Мы замерли, не зная, чего нам ожидать. И вдруг – о чудо! – цилиндрики начали шевелиться. Они потихоньку задвигались по фанере, приближаясь один к другому. Мы в недоумении замерли. Прошла, кажется, минута, и вот из всех цилиндриков сложился один длинный цилиндр. Все не отрывали от него глаз. – Это еще не все, смотрите дальше! – прервал тишину Иван Петрович. После этих слов Толик откинулся на стуле назад и, как после тяжелой работы, резко выдохнул. В тот же миг неподвижный цилиндр словно встрепенулся – и на фанере оказалась вертикальная башня. Она была довольно высокой, но при этом не падала. Толик даже наклонял свою фанерку из стороны в сторону, но башня стояла устойчиво, будто вкопанная. Потом Толик неожиданно поднялся изза стола, и башня рассыпалась. Белые цилиндрики раскатились по фанерке. Весь класс восторженно зашумел, а кто-то даже захлопал в ладоши. – Неужели, ребята, вы не знали, что такое возможно? – с серьезным видом обратился к нам Толик. – Каждый из вас может повторить этот опыт, надо только очень сильно захотеть. Пусть попробует это сделать… – он обвел класс глазами. Тут все наперобой загалдели, кому быть первым. В общем, решили, что повторит опыт Маша. Она расположилась перед столом и сосредоточилась. Не мигая, она смотрела перед собой. От напряжения Маша даже раскраснелась. И опять все повторилось: цилиндрики сначала сблизились, а потом выросла башня. Маша была потрясена. – Ну как, ребята? Кто разгадал этот фокус? – обратился к нам Иван Петрович. – Это действительно фокус. Присмотритесь внимательней.

27

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Мы сгрудились вокруг стола и обнаружили, что все составные элементы Толиной башни были нанизаны на тонкую леску, словно бусинки на нить. Леска проходила через дырку в фанере, а ее второй конец был привязан к Толику, к его поясу. Демонстрируя якобы огромное напряжение, Толик постепенно отклонялся назад. Длина части лески, идущей поверх фанеры, уменьшалась, и все коробочки выстраивались вдоль прямой линии. На заключительном этапе вся эта конструкция оказывалась в вертикальном положении (рис. 2). Разобравшись с этим, многие

Рис. 3

Рис. 2

из нас по очереди заняли Толино место и повторили все его действия. Потом оказалось, что Толик устроил это представление не только ради развлечения и что его башня похожа… на знаменитую Останкинскую (рис. 3). Когда все немного угомонились, Иван Петрович напомнил нам, что месяц назад, 4 ноября (как было сказано, описываемые события относятся к 1967 году), с Останкинской башни впервые ушел в эфир телевизионный сигнал. На момент завершения строительства наша башня была высочайшим сооружением в мире. А еще мы узнали, что идею строительства башни из бетона предложил инженер, архитектор и ученый в области строительных конструкций Николай Васильевич Никитин (1907–1973). До этого все подобные сооружения были из металла. Прочность и устойчивость телебашни обеспечивают проходящие внутри нее натянутые тросы. Эти тросы – их 149 – прижимают бетонные кольца башни одно к другому, подобно Толиной леске. Это позволило сделать фундамент башни сравнительно неглубоким – всего около пяти метров. Конусообразное основание башни напоминает перевернутый цветок лилии с крепкими лепестками и толстым стеблем. Предложенная Никитиным конструкция была основана на наработках Юрия Васильевича Кондратюка (1897–1942), автора нереализованного проекта ветряной мельницы на горе Ай-Петри. Ю.В.Кондратюк – один из основоположников космонавтики. В 1919 году, независимо и одновременно с К.Э.Циолковским, он получил уравнение движения ракеты и предложил ее многоступенчатую конструкцию, привел схему камеры сгорания ракетного двигателя, рассчитал оптимальную траекторию полета к Луне. Впоследствии ее назвали «трассой Кондратюка». Вот так один маленький фокус Толи Втулкина помог нам узнать большие тайны Останкинской телебашни и еще многое с ней связанное.

29

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

Рис. 2. Кратер в Аризоне, образованный при падении астероида 50000 лет назад

лась воронка диаметром 1,2 км и глубиной 230 м (рис. 2). По оценкам специалистов, перед взрывом Аризонский астероид двигался со скоростью 45–60 тысяч километров в час, имел массу 300000 т и размер 50 м. Намного более впечатляющие свидетельства катастрофических столкновений астероидов с Землей обнаружены в Юкатане (Мексика) и Вредерфорде (ЮАР). Диаметр кратера в Юкатане составляет 180 км, в Вредерфорде – 300 км. Кратер в Юкатане образован астероидом размером около 10 км, врезавшимся в Землю 65 миллионов лет назад, кратер в Вредерфорде – астероидом размером 10–15 км, взорвавшимся 2 миллиарда лет назад. С падением первого астероида связывают гибель динозавров в Меловом периоде, с падением второго связывают глобальные геофизические и биологические изменения, произошедшие в Протерозойскую эру. В таблице приведены данные, которые дают оценку периодичности падения на

Землю астероидов различных размеров и возможные последствия их взрывов на поверхности Земли. Как видно из таблицы, существует достаточно высокая вероятность, что в обозримой перспективе на Землю может упасть астероид размером от 100 метров и больше, взрыв которого приведет к катастрофическим последствиям локального и регионального характера. В связи с этим возникает естественный вопрос: можно ли предотвратить падение такого астероида на нашу планету? И если можно, то какие существуют для этого возможности? Ответ на поставленные вопросы может быть сформулирован в виде двух возможных решений. 1) Астероид нужно отклонить от опасной траектории так, чтобы он пролетел на безопасном от Земли расстоянии. 2) Астероид нужно разрушить на более мелкие составные части, которые в случае их

Химик без знания физики подобен человеку, который всего искать должен ощупом. И сии две науки так соединены между собой, что одна без другой в совершенстве быть не могут. Михаил Ломоносов

… химия, по моему мнению, должна многое позаимствовать от физико-химических исследований и даже принять некоторые методы физики… Дмитрий Менделеев

У физиков есть привычка брать простейший пример какого-то явления и называть его «физикой», а примеры посложнее отдавать на растерзание другим наукам, скажем …химии… Ричард Фейнман

Вся кулинария – это, по сути дела, физика ( и, разумеется, химия)… Джирл Уокер

А что же такое химия, как не физический процесс обмена веществ электронными оболочками! Альберт Стасенко

А так ли хорошо знакомы вам

ФИЗИКА + ХИМИЯ

Как, еще одно содружество физики с сопредельными естественно-научными областями, еще один междисциплинарный альянс? Конечно! Каких только комбинаций не возникает, если нужно объединять усилия, если все более сложные задачи требуют синтеза методов, идей, подходов различных наук. Неудивительно, кстати, что в Москве есть два академических института – химической физики и физической химии. И в школьных курсах мы найдем точки пересечения физики и химии – когда речь идет о молекулярно-кинетической теории, строении кристаллов, электролизе или взаимодействии излучения с веществом. Что ж, пройдемся под руку с физикой и химией по окрестностям этих точек.

Вопросы и задачи

1. Препарат содержит в молекуле восемь атомов углерода, девять атомов водорода, один атом азота и два атома кислорода. Каковы молекулярная формула препарата, его относительная молекулярная масса и молярная масса? 2. Известно, что скорость многих химических реакций возрастает с повышением температуры. А как увеличить их скорость, не прибегая к нагреву веществ? 3. Встречаются ли в природе вещества с кристаллами в форме «платоновых тел» – правильных многогранников?

?

4. Чугун плавится при более низкой температуре, чем железо. Почему? 5. В слабый раствор соляной кислоты опускают яйцо. Сначала оно тонет, затем всплывает, поднявшись до верха, снова тонет и т.д. Как это объяснить? 6. Герметично закрытый сосуд полностью заполнен водой при температуре 27 q С. Каким стало бы давление внутри сосуда, если бы силы взаимодействия между молекулами воды исчезли, а температура не изменилась? 7. Какой газ тяжелее азота, но легче кислорода? 8. В закрытом сосуде при давлении $p_{0}$ находится смесь из одного моля кислорода и двух молей водорода. Между газами происходит реакция с образованием водяного пара. Какое давление установится в сосуде после охлаждения до первоначальной температуры? Конденсации пара не происходит. 9. Могут ли при диссоциации молекул образоваться ионы одного какого-нибудь знака? 10. Каким образом, опустив два провода от гальванического элемента в стакан водопроводной воды, можно узнать, существует ли между ними постоянное напряжение? 11. Бак для воды, изготовленный из листового алюминия с помощью медных

заклепок, быстро разрушается из-за коррозии. Отчего? 12. Почему перекись водорода сохраняют в склянках из желтого стекла? 13. В физиотерапевтических кабинетах поликлиник при горении кварцевых ламп ощущается запах озона. Чем это объясняется? 14. В настоящее время в принципе можно осуществить мечту алхимиков средневековья – превратить ртуть в золото. Каким образом?

Микроопыт

В стакане с водой свежее куриное яйцо должно опуститься на дно. Растворяя в воде поваренную соль, можно заставить яйцо всплыть. Что за процессы «руководят» поведением яйца?

Любопытно что…

… мельчайших частиц – отдельных молекул – таких неорганических веществ, как поваренная соль или сода, не существует. Их кристаллы при растворении распадаются на части, образуя ионы, и в растворе никаких «самостоятельных» молекул мы не найдем. … автор известного из курса физики газового закона, английский ученый Роберт Бойль еще в XVII веке изобрел первый химический прибор – индикатор кислотности среды (лакмусовую бумагу), что стало исходным шагом от древней алхимии к современной науке. … проведя множество опытов с 45 веществами при различных степенях разбавления, шведский физико-химик Сванте Аррениус создал теорию электролитической диссоциации, встреченную, правда, в штыки именитыми учеными, в том числе и Менделеевым. Однако теория оказалась исключительно плодотворной для развития науки, а Аррениус одним из первых был удостоен в 1903 году Нобелевской премии по химии. …самым же первым же лауреатом Нобелевской премии по химии стал нидерландский ученый Якоб Вант-Гофф. Как и Аррениус, он пришел к пониманию зави- симости скорости химических реакций от температуры, что, кстати, особенно важно для многих процессов органической химии, в том числе – приготовления пищи. … свою окончательную и ясную формулировку квантовая механика получила в 1926 году, в знаменитом уравнении, выведенном австрийским физиком-теоретиком Эрвином Шрёдингером. Это уравнение поставило на прочный теоретический фундамент всю химию: стал понятен смысл атомного номера в таблице Менделеева и значения валентности, выяснена природа химических связей. … открытый физиками в сороковые годы прошлого века ядерный магнитный резонанс (ЯМР) оказался одним из важнейших аналитических методов в химии, незаменимый при изучении сложных органических молекул. …в 1981 году физики Г.Бинниг и Г.Рорер из швейцарского отделения фирмы IBM создали сканирующий туннельный микроскоп, приведший к возможности собирать молекулярные конструкции из отдельных атомов. Так возникло направление, получившее название «нанотехнологии». … в ряду достижений электрохимии выделяются литий-ионные аккумуляторы, все более расширяющие сферу своего применения. Так, для беспилотных летательных аппаратов они оказались хороши тем, что не оставляют теплового следа и превосходят другие типы подобных источников электричества по удельной энергии.

Что читать в «Кванте» о союзе физики и химии

(публикации последних лет)

1. «Варить, парить или полоскать?» – 2017, №9, с.2; 2. «Д.И.Менделеев и периодическая система элементов» – 2019, №5, с.2; 3. «Источники электричества» – 2020, №4, с.2; 4. «Время жизни шипучей таблетки в стакане воды» – 2021, №9, с.2, № 10, с.12; 5. «Тепловые эффекты – квантовая природа» – 2022, №2, с.12.

Материал подготовил А. Леонович

37

ЛА БОР АТ ОР И Я

« КВА Н ТА »

Рис. 2. Практически параллельные лучи от Солнца, идущие к Земле и Луне

Поскольку Земля кажется нам плоской, то будем считать, что наблюдатель стоит на плоскости, касательной к сфере Земли. Тогда на закате Солнца его лучи идут к Луне и к наблюдателю параллельно плоскости, на которой стоит наблюдатель. Но параллельные линии кажутся нам сходящимися на горизонте (перспектива). Проведем вертикальную плоскость через центры Солнца и Луны. Для наглядности, в эту же плоскость поместим ряд телеграфных столбов с проводами, которые сходятся на горизонте (рис. 3). Провода параллель-

Луна

Прямой угол кажется тупым

Рис. 4. Иллюзия лунного терминатора у себя дома

на Луну не менее 45 градусов над горизонтом. Вращая ось, мы будем получать различные расположения Луны, Солнца и наблюдателя относительно друг друга (рис. 5). Сравним положение модели Луны с реальным видом Луны (рис. 6). Они полностью соответствуют друг другу, а следовательно, модель действительно демонстрирует иллюзию лунного терминатора.

Рис. 3. Параллельные лучи Солнца в плоскости столбы–Луна–Солнце сходятся на горизонте

ны солнечным лучам. Солнце на закате расположено сзади и правее наблюдателя. Линия горизонта определена направлением, в котором мы смотрим на Луну. Иллюзия лунного терминатора состоит в том, что параллельные лучи, сходящиеся на горизонте, кажутся идущими сверху. Модель Луны. Возьмем шар, например, для пинг-понга или ненужный елочный шар и покрасим его в белый и черный цвета. Белая половина будет символизировать освещенную часть Луны, а черная – неосвещенную. Белая сторона считается обращенной к Солнцу, причем лучи Солнца перпендикулярны к плоскости терминатора. Глядя на шар-Луну снизу, мы видим какую-то часть освещенной стороны Луны и какую-то часть – неосвещенной. Шар надо насадить на ось длиной примерно полметра и держать ее на вытянутой руке перед собой (рис. 4). Сделайте угол зрения

Рис. 5. Лучи Солнца, параллельные площадке наблюдателя, освещают модель Луны с разных сторон. Горизонтальный стержень направлен к Солнцу

Рис. 6. Сравнение модели Луны с реальным видом Луны

45

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

числа пробегают все остатки по модулю 3, т.е. находятся 0, 1, 2 в каком-то порядке; и во всех 2m столбцах с номерами, не кратными 3, поровну чисел 0, 1 и 2. Значит, их поровну и в объединении m столбцов с номерами, кратными 3. Но эти столбцы состоят либо только из 1, либо только из 2, либо только из 0. Значит, каждого из типов должно быть поровну, поэтому m делится на 3, а n делится на 9. Рассуждение В.Ретинского закончено. Ответ на вопрос задачи для n, кратных 9, пока не известен. Отметим еще такую интересную связь этой задачи с предыдущими. Рассмотрим искомую перестановку $a_{i}$. Вернемся к пронумерованным точкам на окружности. Проведем стрелки от вершин с номерами $a_{i}$ к $a_{i} 2 i$. Тогда, во-первых, из каждой вершины выходит одна стрелка и входит в нее одна стрелка. Во-вторых, все эти стрелки разные (т.е. не совпадают при поворотах). В-третьих, все

МАТЕРИАЛЫ

точки типа $a_{i} i$ разные, а это полусумма чисел $a_{i}$ и $a_{i} 2 i$, т.е. середина дуги от $a_{i}$ к $a_{i} 2 i$. А раз середины таких дуг для всех стрелок разные, то при нечетном n это значит, что среди стрелок от $a_{i}$ к $a_{i} 2 i$ нет параллельных! Что, конечно, напоминает нам о задачах 2 и 4… В завершение приведем еще одну непростую задачу про перестановки по кругу. 23 (Д.Храмцов, региональный этап Всероссийской олимпиады, 2013). На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих ее на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовем расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удаленными не более чем на n, увеличилось?

ЕГЭ по физике

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

В 2022 году вариант ЕГЭ по физике состоял из 30 заданий: 23 задания в первой части (с кратким ответом) и 7 заданий во второй части (с развернутым ответом). Из заданий первой части 12 оценивались максимум в 1 балл, 11 – максимум в 2 балла. Из 11 двухбалльных заданий в пяти требуется выбрать все правильные утверждения из пяти предложенных. Первые два задания первой части – межраздельные, в ответе на каждое из них требуется проявить знание различных разделов физики. Из заданий второй части одно качественное (24, максимум 3 балла), два средней сложности (25 и 26, максимум 2 балла), три повышенной сложности (27,28, 29, максимум 3 балла), а за последнее 30-е задание можно было получить максимум 4 балла (3 балла за решение и 1 балл за обоснование применимости физических законов и корректности написания формул). Всего за весь вариант можно было получить максимум 54 первичных балла. Варианты 2023 года по структуре будут мало чем отличаться от вариантов 2022 года.

Демонстрационный вариант ЕГЭ-2023 можно найти на сайте ФИПИ. Ниже приводится один из открытых вариантов ЕГЭ 2022 года с ответами ко всем заданиям, требующим краткого ответа, и решениями всех задач, требующих развернутого ответа. Решения даются в редакции, предложенной предметной комиссией. Инструкцию по выполнению работы и необходимые справочные данные можно найти в журнале «Квант» №9 за 2020 год или на сайте ФИПИ.

Часть 1 Ответами к заданиям 1–23 являются число или последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Едини-

63

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 10

Первый способ. Без ограничения общности будем считать, что $‘^{BAC} d ‘^{BCA}$. Пусть $O_{a}$ и $O_{c}$ – центры описанных окружностей треугольников AA 0 I и $CC_{0} I$ соответственно, а M – середина AC.

Так как MO a и $MO_{c}$ – средние линии треугольника AIC, $то^{MO} a_{c}^{O} I_{c}^{LO} и^{KO} a^{O} a^{I} MO_{c}$.

Из параллельности $прямых^{MO} a$ и CI, а также

$O a^{K} и^{IA} 0$ (обе они $перпендикулярны^{AA} 0 )$ получаем ‘ MO a K ‘ CIA 0 ‘ CIC 0 ‘ C 0 IA 0

‘ CIC 0 120 q. Аналогично, ‘ $LO_{c} M$

‘ CIC 0 ‘ CIA

‘ C 0 IA

‘ CIC 0 120 q. Следовательно, треугольники MO a K и $LO_{c} M$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда MK = ML.

Второй способ. Так как $‘^{A} 0^{IC} 0 ‘_{1}^{A} IC_{1} 120 q$, то дуги A 0 C 0 и $A_{1} C_{1}$ вписанной окружности треу- гольника ABC равны. Следовательно, хорды $A 0 A_{1}$ и $C 0 C_{1}$ параллельны, поэтому точки K, I, L лежат на одной прямой. При этом $‘^{AKI}$

$‘^{CLI} 90 q$, т.е. AKLC – прямоугольная трапеция. Ее средняя линия является серединным перпендикуляром к стороне KL, значит, середина стороны AC равноудалена от точек K и $L. 14. За^{5}$ вопросов. Оценка. Каждый вопрос делит цифры на две группы: одни соответствуют ответу «да», остальные – ответу «нет». Пусть жюри на первый вопрос ответило «да». Если мы точно знаем, правдивый ли это ответ, то наш вопрос не разделял цифры на группы. В противном случае никаких выводов о числе мы сделать также не можем, так как не знаем, сказали нам правду или нет. Значит, у нас по-прежнему остается

РЕШЕНИЯ

девять возможных вариантов. Даже если все последующие ответы будут правдивые, то для отгадывания одной цифры из девяти потребуется еще хотя бы четыре вопроса, поскольку 9! $2^{3}$. Алгоритм. Сначала научимся отгадывать одну цифру из пяти за четыре вопроса. Будем считать, что это цифры $1, 2,^{3,} 4,^{5.}$ Спросим: «Это 1 или 2?» 1) Если ответ «да», то спросим еще раз: «Это 1 или 2?» 1.1) Если ответ снова «да», то загаданная цифра действительно 1 или 2 и нам еще не врали. Спросим два раза: «Это 1?» Если оба раза нам ответят «да», то загадана цифра 1, а если будет хотя бы один ответ «нет», то цифра 2. 1.2) Если ответ «нет», то на первый вопрос нам соврали и загадана одна из $цифр^{3,} 4,^{5.}$ За два вопроса, на которые нам ответят правдиво, мы отгадаем эту цифру. 2) Если на первый вопрос нам ответили «нет», то спросим: $«Это^{3?»}$ 2.1) Если ответ «да», то спросим еще раз: $«Это^{3?»}$ Если нам снова ответят «да», то загадана действительно $цифра^{3,}$ а если «нет», то нам уже соврали и загадана $цифра^{4} или^{5.}$ За один вопрос мы ее отгадаем. 2.2) Если ответ «нет», то загадана $цифра^{4} или^{5}$ и нам еще не врали. Аналогично случаю 1.1, определим загаданную цифру за два вопроса. Теперь перейдем к решению исходной задачи. Спросим: «Это $1, 2,^{3} или^{4?»}$ Если ответ «нет», то загадана одна из пяти $цифр^{5,} 6,^{7,} 8, 9$ и нужно угадать ее за четыре вопроса, а это мы уже умеем. Если же ответ «да», то спросим: «Это 2, 3, 4 или 5?» 1) Если ответ «нет», то спросим: «Это 1?» Если нам ответят «да», то загадана действительно цифра 1, а если «нет», то на первый вопрос нам соврали и загадана одна из $цифр^{6,} 7,^{8,} 9.$ За два вопроса, на которые нам ответят правдиво, мы отгадаем эту цифру. 2) Если ответ «да», то спросим: «Это $2 или^{3?»}$ 2.1) Если ответ «нет», то возможны следующие варианты: либо загадана цифра $1 или^{5}$ и нам уже соврали, либо загадана $цифра^{4}$ и нам еще не врали. Сначала спросим: «Это 1?», потом: $«Это^{5?»}$ Если на один из вопросов нам ответят «да», то соответствующая цифра и загадана, а если оба ответа будут «нет», то загадана $цифра^{4.}$ 2.2) Если ответ «да», то возможны следующие варианты: либо загадана цифра $2 или^{3}$ и нам еще не врали, либо загадана $цифра^{4}$ и на последний вопрос нам соврали. Спросим: «Это 2?»